连续型随机变量练习题
概率统计练习册习题解答[定]
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习题1-1 样本空间与随机事件1．选择题（1）设,,A B C 为三个事件，则“,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可表示为（ D ） （A ）ABAC BC （B ）A B C （C ）ABC ABC ABC （D ）A B C（2）设三个元件的寿命分别为123,,T T T ，并联成一个系统，则只要有一个元件正常工作则系统能正常工作，事件“系统的寿命超过t ”可表示为（ D ）A {}123T T T t ++>B {}123TT T t >C {}{}123min ,,T T T t >D {}{}123max ,,T T T t > 2．用集合的形式表示下列随机试验的样本空间Ω与随机事件A ：（1）同时掷三枚骰子，记录三枚骰子的点数之和，事件A 表示“点数之和大于10”。
解：{},18543，，，＝Ω ；{}18,,12,11 ＝A 。
（2）对目标进行射击，击中后便停止射击，观察射击的次数；事件A 表示“射击次数不超过5次”。
解：{} ，，，＝321Ω；{}54321A ，，，，＝。
（3）车工生产精密轴干，其长度的规格限是15±0.3。
现抽查一轴干测量其长度，事件A 表示测量长度与规格的误差不超过0.1。
3．设A ，B ，C 为三个事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列各事件： （1） A ，B ，C 都发生：解： ABC ；（2） A ，B ，C（3） A 发生，B 与C（4） A ，B ，C 中至少有一个发生：解：C B A ⋃⋃（5）A ，B ，C 4．设某工人连续生产了4个零件，i A 表示他生产的第i 个零件是正品（4,3,2,1=i ），试用i A 表示下列各事件：（1）只有一个是次品；（2）至少有一个次品；（3）恰好有两个是次品；（4习题1-2 随机事件的概率及计算1．填空题（1）已知B A ⊂，4.0)(=A P ，6.0)(=B P，则)(A P)(AB P)(B A P )(B A P =)(B A P 0 ，)(B A P（2）设事件A 与B 互不相容，()0.4,()0.3P A P B ==，则()P AB ()P AB 0.6（3）盒子中有10个球，其中3（4）一批产品由45件正品、5件次品组成，现从中任取3件产品，其中恰有1件次品的概率为（5）某寝室住有6名学生，至少有两个同学的生日恰好在同一个月的概率为2．选择题（1）如果A 与B 互不相容，则（C ）(A) AB =∅ (B) A B = (C ) AB =Ω (D) A B =Ω（2）设A 、B 是任意两事件，则=-)(B A P （ B 、C ）。
数学期望练习题
数学期望练习题数学期望是概率论中的一个重要概念，在实际问题中有着广泛的应用。
下面，我将为大家提供一些关于数学期望的练习题，帮助大家更好地理解和掌握这一概念。
一、离散型随机变量的数学期望1.问题描述：某餐厅每天的顾客量服从泊松分布，已知平均值为20。
每个顾客消费的金额是一个服从均值为6的离散型随机变量。
求每天餐厅的总收入的数学期望。
解答：设每天的顾客数为X，每个顾客的消费金额为Y。
餐厅总收益为Z，有Z = X * Y。
已知X符合泊松分布，平均值为20，即E(X) = 20。
Y为均值为6的离散型随机变量，即E(Y) = 6。
因为Z = X * Y，根据离散型随机变量的数学期望的性质，有E(Z) = E(X * Y) = E(X) * E(Y) = 20 * 6 = 120。
所以餐厅的总收益的数学期望为120。
2.问题描述：某电商平台上，某商品的销售量服从泊松分布，平均每天销售50件。
已知每件商品的利润为30元，求每天该商品的总利润的数学期望。
解答：设每天的销售量为X，每件商品的利润为Y。
该商品的总利润为Z，有Z = X * Y。
已知X符合泊松分布，平均值为50，即E(X) = 50。
Y的值为固定的30元，即E(Y) = 30。
因为Z = X * Y，根据离散型随机变量的数学期望的性质，有E(Z) = E(X * Y) = E(X) * E(Y) = 50 * 30 = 1500。
所以该商品的总利润的数学期望为1500元。
二、连续型随机变量的数学期望1.问题描述：某公司的年度利润服从正态分布，已知平均利润为100万美元，标准差为20万美元。
求该公司的年度利润的数学期望。
解答：设该公司的年度利润为X。
已知X符合正态分布，平均值为100万美元，标准差为20万美元。
根据连续型随机变量的数学期望的性质，有E(X) = 平均值 = 100万美元。
所以该公司的年度利润的数学期望为100万美元。
2.问题描述：某品牌的汽车寿命服从指数分布，已知平均寿命为10年。
概率计算练习题随机变量的分布函数与概率密度函数
概率计算练习题随机变量的分布函数与概率密度函数随机变量是概率论中的重要概念，它是一种随机现象的数值表示。
概率计算是概率论的核心内容之一，通过计算随机变量的分布函数和概率密度函数，我们可以更好地理解和分析随机事件的发生概率。
本文将通过一系列练习题来帮助读者巩固对随机变量的分布函数和概率密度函数的理解。
练习题一：离散型随机变量设随机变量X的分布列为：X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4----------------------------------P(X=x) | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.2 | 0.21. 求随机变量X的分布函数F(x)。
解析：分布函数F(x)定义为P(X≤x)，根据分布列可以求得如下分布函数：F(0) = P(X≤0) = 0.2F(1) = P(X≤1) = 0.2 + 0.3 = 0.5F(2) = P(X≤2) = 0.2 + 0.3 + 0.1 = 0.6F(3) = P(X≤3) = 0.2 + 0.3 + 0.1 + 0.2 = 0.8F(4) = P(X≤4) = 0.2 + 0.3 + 0.1 + 0.2 + 0.2 = 12. 求随机变量X的概率密度函数f(x)。
解析：概率密度函数f(x)只对连续型随机变量有意义，对于离散型随机变量，f(x)恒为0。
因此，对于该题中给定的随机变量X，概率密度函数f(x)不存在。
练习题二：连续型随机变量设随机变量Y的密度函数f(y)如下：f(y) = 0.5，0≤y≤2f(y) = 0，其他1. 求随机变量Y的分布函数F(y)。
解析：分布函数F(y)定义为P(Y≤y)，根据密度函数可以求得如下分布函数：F(y) = ∫[0, y] f(t)dt根据密度函数的定义域可知，在区间[0, y]上f(t)=0.5，因此：F(y) = ∫[0, y] 0.5dt = 0.5y，0≤y≤2F(y) = ∫[0, y] 0dt = 0，其他2. 求随机变量Y在区间[1, 2]上的概率P(1 ≤ Y ≤ 2)。
2.4连续型随机变量及其概率密度1
c
ba
例 在PGA巡回赛中，前100名最好的高尔夫运动员 的击球距离在260米和284米之间，假设这些运动员的 击球距离在该区间上服从均匀分布。
(1)写出击球距离的概率密度函数； 解：令X表示击球距离，根据题意可知X~U(260,284)
f
(x)
1 24
,
260 x 284
0,
0
x0
P{X 1} F(1) 1 (11)e1 1 2e1
二、几个重要的连续型随机变量及其密度函数
1.均匀分布 若连续型随机变量X具有概率密度
f
(
Байду номын сангаас
x)
b
1
a
,
0,
a x b, 其他,
则称X在(a,b)上服从均匀分布. 记为X ~ U(a,b).
概率密度函数图形
0
0dx
0.5 3x2dx x3 0.5 0.125
1
0
0
A3
3x2, 0 x 1,
例题 1 设 X 概率密度 f (x) 0
, 其它.
求（3）求 F(x) .
解（3）由定义知 F(x) x f (t)dt
x
x
当 x 0 时， F(x) f (x)dx 0dx 0 ；
0.06
0.04
0.02
连续型随机变量取值落在某一 区间的概率与区间的开闭无关
-10
-5
a
5
bx
x
F( x) f (t)dt
注意
若X是连续型随机变量，{ X=a }是不可
能事件，则有P{ X a} 0. 反之不一定
概率论与数理统计2.第二章练习题(答案)
第二章练习题（答案）一、单项选择题1．已知连续型随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤+<=ππx x b kx x x F ,10,0,0)( 则常数k 和b 分别为 （ A ）（A ）0,1==b k π （B ）π1,0b k = （C ）0,21==b k π （D ）π21,0==b k ． 2.下列函数哪个是某随机变量的分布函数 （ A ）A. f （x ）={xa e −x 22a,x ≥01, x <0(a ＞0); B. f （x ）={12cosx, 0< x <π0, 其他C. f （x ）={cosx, −π2< x <π20, 其他D. f （x ）={sinx, −π2< x <π20, 其他3.若函数()f x 是某随机变量X 的概率密度函数，则一定成立的是 （ C ） A. ()f x 的定义域是[0,1] B. ()f x 的值域为[0,1] C. ()f x 非负 D. ()f x 在(,)-∞+∞内连续4. 设)1,1(~N X ，密度函数为)(x f ，则有（ C ） A.{}{}00>=≤X P X P B. )()(x f x f -= C. {}{}11>=≤X P X P D. )(1)(x F x F --=5. 设随机变量()16,~μN X ，()25,~μN Y ，记()41-<=μX P p ，()52+>=μY P p ，则正确的是 （ A ）.（A ）对任意μ，均有21p p = （B ）对任意μ，均有21p p < （C ）对任意μ，均有21p p > （D ）只对μ的个别值有21p p = 6. 设随机变量2~(10,)X N ，则随着的增加{10}P X （ C ）A.递增B.递减C.不变D.不能确定7.设F 1(x )与F 2(x )分别为随机变量X 1、X 2的分布函数,为使F (x )=aF 1(x )-bF 2(x )是某一随机变量的分布函数,在下列给定的多组数值中应取 ( A )A . a =53, b =52-; B . a =32, b =32;C . 21-=a ， 23=b ; D . 21=a , 23-=b .8.设X 1与X 2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度函数分别为f 1(x )和f 2(x )，分布函数分别为F 1(x )和F 2(x )，则 ( D ) (A) f 1(x )+f 2(x ) 必为某个随机变量的概率密度； （B ）f 1(x )•f 2(x ) 必为某个随机变量的概率密度； （C ）F 1(x )+F 2(x ) 必为某个随机变量的分布函数； (D) F 1(x ) •F 2(x ) 必为某个随机变量的分布函数。
随机变量练习题(答案)
随机变量练习题（答案）1．袋中有2个黑球6个红球，从中任取两个，可以作为随机变量的是（B ）（A ）取到的球的个数 （B ）取到红球的个数（C ）至少取到一个红球 （D ）至少取到一个红球的概率提示：（A ）的取值不具有随机性，（C ）是一个事件而非随机变量，（D ）是概率值而非随机变量，而（B ）满足要求．2．抛掷两颗骰子，所得点数之和记为ξ，那么ξ=4表示的随机试验结果是（D ）（A ）一颗是3点，一颗是1点 （B ）两颗都是2点（C ）两颗都是4点 （D ）一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点提示：对（A ）、（B ）中表示的随机试验的结果，随机变量均取值4，而（D ）是ξ=4代表的所有试验结果．掌握随机变量的取值与它刻划的随机试验的结果的对应关系是理解随机变量概念的关键．提示（A ）、（D ）不满足分布列的基本性质②，（B ）不满足分布列的基本性质①，正确选择是（C ）．4．在三次独立重复试验中，若已知A 至少出现一次的概率等于1927，则事件A 在一次试验中出现的概率为31 。
提示：1927=1－(1－p )3, ⇒P (A )=p =31. 5．设随机变量ξ的分布列为P (ξ=k )=(1)c k k +，k =1，2，3，c 为常数，则P (0.5<ξ<2.5)= 98 . 提示：1=c ·(111122334++⨯⨯⨯)=43c , 故c =34. 所以P (0.5<ξ<2.5)=p (1)+p (2)=32+92=98. 6．设随机变量ξ～B (2，p )，η～B (4，p )，若 P (ξ>1)=95，则 P (η≥1)= 6581· 提示：95=P (ξ≥1)=1－P (ξ=0)=1－(1－p )2, 即(1－p )2=94, p =31,故P (η≥1)=1－P (η=0)=1－(1－p )4=1－(32)4=6581. 7．一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是31。
概率统计练习册习题解答(定)
概率统计练习册习题解答（定）习题1-1 样本空间与随机事件A,B,C 为三个事件，则A,B,C 中至少有一个不发 ”这一事件可表示为(D )(A ) ABU AC U BC (B ) AU BUC ( C ) ABC U ABC U ABC ( D )BUC 2）设三个元件的寿命分别为T”T 2,T 3，并联成一个系 ，则只要有一个元件正常工作则系统能正常工作， 件 系统的寿命超过t”可表示为（D ）B TT 2T 3t C min T I ,T 2,T 3 t用集合的形式表示下列随机试验的样本空间 机事件A : 1）同时掷三枚骰子，记录三枚骰子的点数之和, 件A 表示 点数之和大于10”。
O2）对目标进行射击，击中后便停止射击，观察射 击的次数；事件A 表示 射击次数不超过5次o3）车工生产精密轴干，其长度的规格限是15±0.3。
现抽查一轴干测量其长度，事件 A 表示测1.选择题（1）设 生AUT i T 2 T 3tTT 2T3t 2. 随( 事 解： =3,4,5, ,18； A = 11,12, ,18解： =簽2,3，- A = ^2,3,4,5量长度与规格的误差不超过0.1。
O3 .设A ，B ，C 为三个事件，用A ，B ，C 的运算关0.3； A= x; x-15 0.1x; x -15 解:系表示下列各事件：(1)A, B, C 都发生：解：ABC；(2)A, B, C都不发生：解：ABC(3)A发生，B与C不发生：解:A§C (或A-B-C)；(4)A, B, C中至少有一个发生：解：AuBuC(5)A, B, C中不多于两个发生：解：刁MUJ4.设某工人连续生产了4个零件，人表示他生产的件:(1 ) 只有一个是次品；A( A2A3A4 u A】A? A3A4 u A t A2 A3A4U A!A2A3A4(2)至少有一个次品；A-55uA。
(3)恰好有两个是次品；1.填空题(1)已知AuB, P(A) = 0.4 9 P(B) = 0.6 9贝|| P(A)=_0.6, P(AB)=0.4,P(JU^)=_0.6, P(AB) =_0.2 , P(AB) = 0 9 P(A B)=A P42A3 A4 uA] A2J3 A4 uAj A2A3J4A2 A3A4 u J]J2J3A4<J A}A2A3A4(4)至多有三个不是次品；A, u A2 u A? u A4 0习题1-2机事件的概率及计算第,个零件是正品(i = 1,2,3,4 ), 试用4表示下列各事0.4 o(2)设事件/与B互不相容，P(A) = 0A9 P(B) = 0.3,贝!| P(AB)=0.3 9 P(A\JB)= 0.6 o(3)盒子中有10个球，其中3个红球，接连不放回抽取五次，第一次抽到红球的概率 三次抽到红球的概率 4) 一批产品由45件正品、5件次品组成，现从中 任取3件产品，其中恰有 1件次品的概率为5)某寝室住有6名学生，至少有两个同学的生日 恰好在同一个月的概率为0.3 ， 0.3 。
概率统计练习册习题解答
苏州科技学院 《概率论与数理统计》活页练习册习题解答信息与计算科学系 概率论与数理统计教材编写组2013年12月习题1-1 样本空间与随机事件1．选择题（1）设,,A B C 为三个事件，则“,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可表示为（ D ） （A ）ABAC BC （B ）A B C （C ）ABC ABC ABC （D ）A B C（2）设三个元件的寿命分别为123,,T T T ，并联成一个系统，则只要有一个元件正常工作则系统能正常工作，事件“系统的寿命超过t ”可表示为（ D ）A {}123T T T t ++>B {}123TT T t >C {}{}123min ,,T T T t >D {}{}123max ,,T T T t >2．用集合的形式表示下列随机试验的样本空间Ω与随机事件A ：对目标进行射击，击中后便停止射击，观察射击的次数；事件A 表示“射击次数不超过5次”。
解：{} ，，，＝321Ω；{}54321A ，，，，＝。
3．设某工人连续生产了4个零件，i A 表示他生产的第i 个零件是正品（4,3,2,1=i ），试用i A 表示下列各事件：（1）只有一个是次品；（2习题1-2 随机事件的概率及计算1．填空题（1）已知B A ⊂，4.0)(=A P ，6.0)(=B P ，则)(A P)(AB P=)(B A P 0 ，)(B A P（2）设事件A 与B 互不相容，()0.4,()0.3P A P B ==，则()P AB ()P A B 0.62．选择题（1）如果()0P AB =，则（ C ）(A) A 与B 互不相容 (B) A 与B 互不相容(C) ()()P A B P A -= (D) ()()()P A B P A P B -=- (2) 两个事件A 与B 是对立事件的充要条件是（ C ）（A ） )()()(B P A P AB P = （B ）1)(0)(==B A P AB P 且 （C ） Ω=∅=B A AB 且 （D ）∅=AB 3．一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求 （1）5只全是好的的概率； （2）5只中有两只坏的的概率； （3）5只中至多有一只坏的概率。
高中数学概率与统计概率分布练习题及答案
高中数学概率与统计概率分布练习题及答案1. 离散型随机变量问题1一次买彩票，抽奖号码是从1到30的整数，每个号码中奖的概率是相等的。
求以下事件的概率：a) 中奖号码小于等于10b) 中奖号码是偶数c) 中奖号码是质数解答1a) 中奖号码小于等于10的概率为10/30，即1/3。
b) 中奖号码是偶数的概率为15/30，即1/2。
c) 中奖号码是质数的概率为8/30，即4/15。
问题2某商品的销售量每天可以是0、1、2或3箱，各箱销售的概率分别为0.1、0.3、0.4和0.2。
求销售量的概率分布表。
解答2销售量的概率分布表如下：销售量 | 0 | 1 | 2 | 3--- | --- | --- | --- | ---概率 | 0.1 | 0.3 | 0.4 | 0.22. 连续型随机变量问题3某地每天的气温符合正态分布，均值为20摄氏度，标准差为3摄氏度。
求以下事件的概率：a) 气温大于等于15摄氏度b) 气温在15摄氏度到25摄氏度之间解答3a) 气温大于等于15摄氏度的概率可以通过计算标准正态分布的累积概率得到，约为0.8413。
b) 气温在15摄氏度到25摄氏度之间的概率可以通过计算标准正态分布的累积概率得到，约为0.6827。
问题4某工厂生产的铆钉的长度符合正态分布，均值为5毫米，标准差为0.2毫米。
若从工厂中随机抽取一只铆钉，求其长度在5.2毫米到5.5毫米之间的概率。
解答4将问题转化为标准正态分布，得到长度在1到2.5之间的概率约为0.3944。
以上是高中数学概率与统计概率分布的练习题及答案。
随机变量练习题(答案)
随机变量练习题（答案）1．袋中有2个黑球6个红球，从中任取两个，可以作为随机变量的是（B ）（A ）取到的球的个数 （B ）取到红球的个数（C ）至少取到一个红球 （D ）至少取到一个红球的概率提示：（A ）的取值不具有随机性，（C ）是一个事件而非随机变量，（D ）是概率值而非随机变量，而（B ）满足要求．2．抛掷两颗骰子，所得点数之和记为ξ，那么ξ=4表示的随机试验结果是（D ）（A ）一颗是3点，一颗是1点 （B ）两颗都是2点（C ）两颗都是4点 （D ）一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点提示：对（A ）、（B ）中表示的随机试验的结果，随机变量均取值4，而（D ）是ξ=4代表的所有试验结果．掌握随机变量的取值与它刻划的随机试验的结果的对应关系是理解随机变量概念的关键．提示（A ）、（D ）不满足分布列的基本性质②，（B ）不满足分布列的基本性质①，正确选择是（C ）． 4．在三次独立重复试验中，若已知A 至少出现一次的概率等于1927，则事件A 在一次试验中出现的概率为31 。
提示：1927=1－(1－p )3, ⇒P (A )=p =31. 5．设随机变量ξ的分布列为P (ξ=k )=(1)c k k +，k =1，2，3，c 为常数，则P (0.5<ξ<2.5)= 98 . 提示：1=c ·(111122334++⨯⨯⨯)=43c , 故c =34. 所以P (0.5<ξ<2.5)=p (1)+p (2)=32+92=98. 6．设随机变量ξ～B (2，p )，η～B (4，p )，若 P (ξ>1)=95，则 P (η≥1)= 6581· 提示：95=P (ξ≥1)=1－P (ξ=0)=1－(1－p )2, 即(1－p )2=94, p =31,故P (η≥1)=1－P (η=0)=1－(1－p )4=1－(32)4=6581. 7．一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是31。
二、随机变量及其分布(答案)
概率论与数理统计练习题系第二章专业班姓名随机变量及其分布（一）学号一．选择题：1 ．设X是失散型随机变量，以下可以作为X的概率分布是[B]X x1x2x3x4X x1x2x3x4（ A）1111（B）1111 p p248162488X x1x2x3x4（D）X x1x2x3x4（ C）1111p1111 p23412234122 ．设随机变量ξ的分布列为X0123C ] p0.10.30.4F ( x) 为其分布函数，则 F ( 2) = [0.2（ A）（B）（ C）（D）1二、填空题：1 ．设随机变量X的概率分布为X012，则 a = p a0.20.52 ．某产品 15 件，其中有次品 2 件。
现从中任取3 件，则抽得次品数X 的概率分布为P(X 0)C13366， P( x1)C21 C13236， P( xC22 C1313 C153105C1531052)105C1533 ．设射手每次击中目标的概率为, 连续射击10 次，则击中目标次数X 的概率分布为P( X k ) C10k(0.7)k (0.3)10 k(k0,1, 2,L ,10)三、计算题：1 ．同时掷两颗骰子，设随机变量X为“两颗骰子点数之和”求：（ 1）X的概率分布；（2）P( X3) ；（3）P( X12)解：（1）P( X2)1P( X3)2P( X4)3P(X 5)4，，，，36363636P( X6)5，P( X7) 6 ， P( X5 436 8)， P(X 9)363636P( X10)3 ，P( X11)2 ，P( X 1363612)36所以 X 的概率分布列：X 2 34 5 6 7 89 10 11 12P12 34 5 6 5 4 3 2 1363636363636 3636363636（2） P(X3) 336（ 3） P(X>12)=02 ．产品有一、 二、三等品及废品四种， 其中一、 二、三等品及废品率分别为 60%，10%，20%及 10%，任取一个产品检查其质量，试用随机变量X 描述检查结果。
概率论部分---05-二维连续型随机变量-作业题及参考答案
1第4部分二维连续型随机变量练习一1．设二维连续型随机变量()X Y ,的概率密度⎩⎨⎧≥≥=+-其它,00,0,),()(y x axye y x f y x 。
（1）求常数a ；（2）求概率(2)P X Y >。
2．设二维连续型随机变量()X Y ,的概率密度⎩⎨⎧<<=-其它,00,),(y x e y x f y ，求随机变量()X Y ,关于X 和Y 的边缘概率密度)(),(y f x f Y X 。
3．设二维连续型随机变量()X Y ,的概率密度⎩⎨⎧<<=其它,01,),(22y x y cx y x f (1)确定常数c ；(2)求随机变量()X Y ,关于X 和Y 的边缘概率密度)(),(y f x f Y X 。
练习二1．设二维连续型随机变量(,)X Y 的概率密度为2211(,)0x y f x y π⎧+≤⎪=⎨⎪⎩其它(1)求随机变量()X Y ,关于X 和Y 的边缘概率密度)(),(y f x f Y X ；(2)判断随机变量X Y 与是否相互独立？2．设随机变量Y 服从参数为1的指数分布，令121,ln 21,ln 30,ln 20,ln 3Y Y X X Y Y ≥≥⎧⎧==⎨⎨<<⎩⎩(1)求二维随机变量12(,)X X 的联合概率分布律；(2)判断随机变量1X 与2X 是否相互独立？23．设X 和Y 是相互独立的随机变量，X 在(0,1)上服从均匀分布，Y 服从参数1/2λ=的指数分布。
(1)求随机变量X 和Y 的联合概率密度(,)f x y ；(2)设含有a 的二次方程为220a Xa Y ++=，试求方程有实根的概率。
第4部分作业题的参考答案：练习一1．7(1)1;(2){2}27a P X Y =>=．2．,0,0()()0,00,0x y X Y e x ye y f x f y x y --⎧⎧>>==⎨⎨≤≤⎩⎩．3．21(1),4c =245/2217(1),11,01(2)()()820,0,X Y x x x y y f x f y ⎧⎧--<<<<⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩其它其它．练习二1．11(1)()()0,0,X Y x y f x f y ≤≤==⎪⎪⎩⎩，其它其它．(2)随机变量X Y 与不相互独立．2．120111(1)0261103X X （2）随机变量1X 与2X 不相互独立．3．/21,01,0(1)(,)20,y e x y f x y -⎧<<>⎪=⎨⎪⎩其它(2)1(1)(0)]0.1445-Φ-Φ=．。
《概率论》第10讲练习题
fY
(
y)
1, 0,
0 y 1 其他
z
fZ (z) f X (x) fY (z x)dx
2
被积函数不为0的区域
1
0 x 1 0 z x 1
即
0 x 1 z 1 x z
z=x 1x
0,
z 0或z 2,
1
0 fY (z x)dx
z
0 1dx,
1
1dx, z1
0 z 1, 1 z 2,
0,
f
Z
(
z
)
z,
2 z,
z 0或z 2 0 z 1 1 z 2 y
解法二 从分布函数出发
1
FZ (z) P( X Y z)
1
f (x, y)dxdy
x
x yz
当z < 0 时，
FZ (z) 0
当0 z < 1 时，
z
zx
FZ (z) 0 dx0 1dy
z
0(z x)dx
=1-[1-P{X≤z}][1-P{Y≤z}]
即有 FN(z)= 1-[1-FX(z)][1-FY(z)]
下面进行推广
设X1,…,Xn是n个相互独立的随机变量,它们的 分布函数分别为
FXi ( x) (i =0,1，…, n)
我们来求 M=max(X1,…,Xn) 和N=min(X1,…,Xn) 的分布函数.
二．连续型随机变量（X，Y）的函数 的概率分布
1. 已知（X，Y）~ f (x , y)，求 Z= （X，Y）的
概率分布
(1) FZ(z)=P(Z z) =P{ （X，Y） z}
f (x, y)dxdy ( x, y)z
概率论第二章练习答案
概率论第二章练习答案 WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】《概率论》第二章练习答案一、填空题：1．设随机变量X 的密度函数为f(x)=⎩⎨⎧02x 其它1〈⨯〈o 则用Y 表示对X 的3次独立重复的观察中事件(X≤21)出现的次数，则P （Y ＝2）＝ 。
2. 设连续型随机变量的概率密度函数为： ax+b 0<x<1f (x) =0 其他且EX ＝31，则a = _____-2___________， b = _____2___________。
3. 已知随机变量X 在[ 10，22 ] 上服从均匀分布，则EX= 16 ， DX= 124. 设=+==）（，则，为随机变量，1041132ξξξξE E E 22104=+ξE 5. 已知X 的密度为=)(x ϕb ax + 且其他,10<<x P （31<x ）=P(X>31) ， 则a = , b =⎰⎰⎰+=+⇒==+∞∞-10133131311dx b ax dx b ax x P x P dx x ）（）（）〉（）〈（）（ϕ联立解得：6．若f(x)为连续型随机变量X 的分布密度，则⎰+∞∞-=dx x f )(＿＿1＿＿＿＿。
7. 设连续型随机变量ξ的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=2,110,4/0,0)(2x x x x x F ，则P （ξ=）= 0 ；)62.0(<<ξP = 。
8. 某型号电子管，其寿命（以小时记）为一随机变量，概率密度)(x ϕ＝()⎪⎩⎪⎨⎧≥)(01001002其他x x ，某一个电子设备内配有3个这样的电子管，则电子管使用150小时都不需要更换的概率为＿＿＿8/27＿＿＿＿＿。
2100xx≥100 ∴ ϕ(x)= 0 其它P （ξ≥150）=1－F(150)=1－⎰⎰=-+=+=150100150100232132********x dx x [P(ξ≥150)]3=(32)3=2789. 设随机变量X 服从B （n, p ）分布，已知EX ＝，DX ＝，则参数n ＝___________，P ＝_________________。
随机变量练习题
随机变量练习题随机变量是概率论与数理统计中重要的概念之一，它描述了在一次试验中可能取到的各种不同的结果以及它们对应的概率。
通过练习题的形式，我们可以更加深入地理解随机变量的概念和相关的计算方法。
第一题：假设一家餐厅的顾客人数是一个随机变量，该餐厅平均每天接待80名顾客，且顾客人数符合泊松分布。
现在我们要计算该餐厅每天接待100名顾客的概率是多少？解答：根据题意可知，该题是一个泊松分布的问题。
泊松分布的概率质量函数为P(X=k)=e^(-λ)*(λ^k)/(k!)，其中λ为平均值。
将题目中的平均值代入公式，即可求得概率。
假设顾客人数为X，则有λ=80。
P(X=100)=e^(-80)*(80^100)/(100!)计算得到的结果为0.0082，即该餐厅每天接待100名顾客的概率为0.0082。
第二题：某电子产品的寿命是一个随机变量，该随机变量服从正态分布。
已知该电子产品的平均寿命为10000小时，标准差为500小时。
现在我们要计算该电子产品寿命在9500小时至10500小时之间的概率是多少？解答：根据题意可知，该题是一个正态分布的问题。
正态分布的概率密度函数为f(x)=(1/(σ√(2π)))*e^(-(x-μ)²/(2σ²))，其中μ为平均值，σ为标准差。
将题目中的平均值和标准差代入公式，即可求得概率。
假设电子产品寿命为X，则有μ=10000，σ=500。
P(9500≤X≤10500)=∫[9500,10500](1/(500√(2π)))*e^(-(x-10000)²/(2*500²))dx利用统计软件或查表工具可以计算得到结果为0.6827，即该电子产品寿命在9500小时至10500小时之间的概率为0.6827。
通过以上两个练习题，我们可以看到随机变量的计算方法主要包括概率质量函数和概率密度函数的应用。
对于已知的分布，可以利用相应的公式计算概率；对于未知的分布，可以利用统计方法进行逼近估计。
分布函数练习题
分布函数练习题一、简答题1. 什么是概率密度函数？概率密度函数是用来描述连续型随机变量的概率分布的函数。
它在给定点附近的取值越大，表示该点附近的概率越大。
2. 什么是分布函数？分布函数是描述随机变量的取值小于等于某一给定点的概率的函数。
它表示了随机变量的累积概率分布。
二、计算题1. 设连续型随机变量X的概率密度函数为：f(x) = {2x, -1 ≤ x < 0,3-x, 0 ≤ x < 1,0, 其他}求随机变量X的分布函数F(x)。
解：对于-∞ < x ≤ -1，F(x) = 0；对于-1 ≤ x < 0，F(x) = ∫[x,-1] 2t dt = x²+2x+1；对于0 ≤ x < 1，F(x) = ∫[0,x] (3-t) dt = -x²+3x；对于1 ≤ x < +∞，F(x) = 1。
所以随机变量X的分布函数F(x)为：F(x) = {0, x < -1,x²+2x+1, -1 ≤ x < 0,-x²+3x, 0 ≤ x < 1,1, x ≥ 1}2. 已知随机变量X的分布函数为：F(x) = {0, x < -1,x/2+1/4, -1 ≤ x < 0,1/2, 0 ≤ x < 1,1/2+x/4-1/8, 1 ≤ x < 2,1, x ≥ 2}求随机变量X的概率密度函数f(x)。
解：计算f(x)的方法为求F(x)的导数。
对于x < -1，f(x) = 0；对于-1 ≤ x < 0，f(x) = d/dx (x/2+1/4) = 1/2；对于0 ≤ x < 1，f(x) = d/dx (1/2) = 0；对于1 ≤ x < 2，f(x) = d/dx (1/2+x/4-1/8) = 1/4；对于x ≥ 2，f(x) = 0。
所以随机变量X的概率密度函数f(x)为：f(x) = {0, x < -1,1/2, -1 ≤ x < 0,0, 0 ≤ x < 1,1/4, 1 ≤ x < 2,0, x ≥ 2}三、应用题某电子设备的寿命服从参数为10的指数分布，求该电子设备至少可工作10小时的概率。
概率论与数理统计
概率论与数理统计（经管类模拟练习题）一.单项选择题1. 有10张奖券，8张为20元，2张为50元，从中随机抽取1张，则所得奖金的平均值是( )A. 26B. 78C. 120D. 90答案：A2. 甲、乙两人同时向目标射击，已知甲击中目标的概率为0.6，乙击中目标的概率为0.7,目标被击中的概率为A. 0B. 0.42C. 0.5D. 0.88答案：D3. 连续型随机变量X 的密度函数)(x f 必满足条件（ ）。
A. 1)(0≤≤x fB. 在定义域内单调不减 若随机变量X 的分布函数F(x)可表示成一个非负可积函数f(x)的积分，则称X 为连续型随机变量，f(x)称为X 的概率密度函数（分布密度函数）。
C.⎰+∞∞-=1)(dx x f D.1)(lim =+∞→x f x答案：C4. 下列关于正态分布的说法中正确的是( ) A. 随机变量),(~2σμN X ，则 σ=)(X D B. 随机变量),(~2σμN X ，则σ=)(X E C. 随机变量),(~2σμN X ，则2)(μ=X E D. 随机变量),(~2σμN X ，则2)(σ=X D答案：D5. 已知A 、B 、C 为三个随机事件，则A 、B 、C 不都发生的事件为（ ） A. ABC B. C B A C. C B A D. ABC 答案：B6. 以A 表示事件“甲乙都击中目标”，则其对立事件A 是( )A. 甲击中目标，乙没有击中目标B. 甲乙都没有击中目标；C. 甲没有击中目标或者乙没有击中目标D. 甲没有击中目标，乙击中目标 答案：C7. 抛掷2枚均匀对称的硬币，恰好有两枚正面向上的概率是( )A. 0.125B. 0.25C. 0.375D. 0.5答案：B8. 下列事件运算关系正确的是（ ）A. A B BA B +=B. A B BA B +=C. A B BA B +=D. B B -=1 答案：A9. 下列说法中正确的是( )A. 如果事件B A ,有∅=B A ，称B A ,互为对立事件B. 若A 与B 相互独立，则A 与B 也相互独立C. 设B A ,是两个事件，有)()()(A P B P A B P -=-D. 设B A ,是两个事件，有)()()(B P A P B A P +=答案：B10. 设A ,B 是两个随机事件，则下列等式中不正确的是( ) A. )()()(B P A P AB P =，其中B A ,互不相容； B. )|()()(B A P B P AB P =,其中0)(≠B P C. )()()(B P A P AB P =,其中B A ,相互独立 D. )|()()(A B P A P AB P =，其中0)(≠A P 答案：A11. 设随机变量X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0,0,)(x x e x f x ，记X Y 2=，则=)(Y E ( )A. 1-B. 0C. 1D. 2答案：D12. 有甲，乙两种味道和颜色极为相似的名酒各4杯。
第2章 随机变量 练习题
1 3
的家庭发生过个人财产被盗的情况，现派出 100 名调查员，每人调查并
报告 5 个家庭财产安全的情况。求（1）每份调查报告为“ 5 个家庭中无人财产被盗”的概率；
（2）确定 100 份报告中，得出“ 5 个家庭中无人财产被盗”的报告份数的分布；并计算其数学
期望和方差。
（（1）( 2)5 3
；（2）X ~ b ( 100，( 2)5 3
5、离散型随机变量 X 的分布律为
X 1 P a+b
0 ab
23 0.3 0.2
且 EX = 1，求（1）a、b 之值；（2）P ( X 0 X < 2.5 ) ； （3）D ( 2 X2 3 ) 。
（ （1）0.25，0.05； （2）3 / 4 ； （3）43.84
）
6、设随机变量 X 的分布函数
42、某种型号电子管的“ 寿命” X 服从指数分布，如果其平均寿命为 1000 小时，（1）写出 X 的分布函数；（2）在使用了 500 小时还没有坏的情况下，可继续使用 100 小时而不损坏的概率； （3）三个该型号的电子管同时使用时，至少有一个寿命超过期望寿命的概率。
1 x 4 x4
布列与分布函数；（2）条件概率 P ( Y < 3 Y 0 ) 。
，若 Y = X 1 ，求（1）Y 的分
（1）
Y0
2
3
PY 0.4 0.2 0.4
0
FY( y)
0.4 0.6
1
y0 0 y2 2 y3
x3
； （2） 1 / 3
2、从 1，2，3，4，5 五个书中任取三个，按大小排列为 x1 < x2 < x3 ，令 Z = x2 ，求 Z 的