四年级奥数详解答案-第24讲-方阵问题
方阵问题
方阵问题【知识要点】1.方阵问题：把若干人或物排列成正方形队列的形式，根据排列规律，引出的计算问题就叫做方阵问题2.方阵问题的特点是：方阵每边的实物数量相等，相邻两边的实物数量相差2，相邻两层的实物数量相差83.方阵问题的解题思路是：（1）实心方阵：每边数×每边数＝总数 （每边数－1）×4＝每层数每层数÷4＋1＝每边数（2）空心方阵：大实心方阵－小实心方阵＝总数（每边数－层数）×层数×4＝总数【典型题解】例1.四年级同学举行广播操比赛，排成了8行8列。
如果去掉一行一列，要去掉几人？还剩多少人？分析：方阵中的任何1人，既是其中一排中的人，也是其中一列中的人。
去掉一行一列，不管去掉哪一行哪一列，总有1人被去掉了两次，因此，求去掉一行一列去掉多少人，就是求比原来方阵中2行的人数少1人是多少人解：82115⨯-=（人） 881549⨯-=（人）答：要去掉15人，还剩49人例2.菊花展上，园丁李师傅要摆一个正方形空心花坛，已知四边各摆5盆菊花，且四个角上都有一盆，请计算李师傅摆这个花坛共要用多少盆菊花？分析：正方形空心花坛是空心方阵，依题意，四个角上的1盆在横、竖排中各计算了一次。
求李师傅共要用多少盆，就是求这个空心方阵的总数，可以4个5盆中减去重复计算的4个1盒解：541416⨯-⨯=（盆）答：李师傅摆这个花坛共要用16盆菊花例3.某校180名学生，排成一个三层空心方阵，这个方阵外层每边有多少名学生？ 分析：在三层空心方阵中，外层比中层多8，中层比内层多8，如果中层、内层的人数与外层同样多，需要加上3个8人，这样总人数180就多了()83⨯人，平均分成3份，就可求出最外层有多少人，然后求外层每边多少人解：()+⨯÷=÷=（人）684117118180833204368÷+=+=（人）答：这个方阵外层每边有18名学生例4.某班抽出一些学生参加节日活动表演，如果排成一个正方形实心方阵多7人，如果每行每列增加1人，就少4人，共抽出学生多少人？分析：排成一个实心方阵多7人，增加一行一列后少4人，说明增加一行一列的总人数是()74+人，就可先求出原来方阵中一排的人数，然后求出抽出学生总数解：()+-÷=÷=（人）5572573274121025⨯+=+=（人）答：共抽出学生32人【能力训练】A 卷1.同学们排队，要排成每行10人，共10行的方阵，共需要多少人？2.同学们排成十行十列的方阵，如果去掉一行一列，要去掉多少人？3.小明用棋子摆了一个实心方阵，后来他又加上15个棋子，使横竖各增加一排，成为一个大的实心方阵，原来的实心方阵每排有几个棋子？4.一个正方形池塘四周栽满了树，已知每边栽了9棵，并且四个角上都有一棵，这个池塘四周一共栽了多少棵树？5.学校的升旗台成正方形，在四周共放了40盆花，每个角放一盆，每边放花多少盆？6.同学们站队，一共站了15行，如果要去掉2行2列，一共要去掉多少人？7.沿一个正方形水池的四周栽树一行，四角都要栽1棵，共载树152棵。
应用题板块-方阵问题(小学奥数四年级)
应用题板块-方阵问题（小学奥数四年级）“方阵问题”是以现实生活中的方阵为题材，通过对方阵中“每边数量”、“边数”、“总数”的自主探究，探索出此类问题中各个数量之间存在的数量关系。
在此过程中，让孩子充分体验模型思想建立的一般过程，感受数学模型的魅力。
【一、题型要领】士兵排队，横着排叫行，竖着排叫列，若行数与列数相等，正好排成一个正方形，这就是一个方队，这种方队也叫做方阵。
根据不同的排列方式，方阵分为实心方阵和空心方阵。
1.实心方阵【基本概念】实心方阵是内部全部排满的方阵。
下图左侧是一个5 * 5的方阵，下图右侧是一个6 * 6的方阵，图中绿色表示的是方阵的最外层。
【基本公式】假设方阵最外层每边的人数是N（1）方阵层数 = （N + 1）÷ 2，当N为奇数时= N ÷ 2，当N为偶数时（2）方阵最外层总人数 = 最外层每边的人数* 4 - 4 = （N - 1）* 4 （3）方阵总人数 = 最外层每边的人数* 最外层每边的人数= N * N2. 空心方阵【基本概念】空心方阵是内部未全部排满的方阵，注意只能是内部未排满，且未排满的部分也是一个方阵。
下图左侧是一个整体5 * 5，内部1* 1未排满的空心方阵；下图右侧是一个整体6 * 6，内部2 * 2未排满的空心方阵【基本公式】假设方阵最外层每边的人数是N，层数是M（1）方阵最外层总人数 = 最外层每边的人数* 4 - 4 = （N - 1）* 4 （2）内部方阵最外层每边的人数 = 最外层每边的人数 - 2 * 层数 = N - 2 * M（3）方阵总人数 = 外部方阵总人数 - 内部方阵总人数 = N * N - （N - 2 * M）*（N - 2 * M）= 4 * M * （N - M）【二、重点例题】例题1【题目】一个正方形花坛，原来摆了一些花，组成了一个实心方阵，后来运走了11盆花，使行和列都减少了一排，原来摆了多少盆花？【分析】如下图所示，原先鲜花摆放成如下的方阵，蓝色部分为后来运走的鲜花，绿色及省略部分为剩下的鲜花。
四年级奥数方阵问题
方阵问题我们在日常生活中经常遇到编排正方形体操队列，在方形台上或操场上摆鲜花、插彩旗，在正方形棋盘上摆棋子等问题，你可别小瞧了这些问题，这里面包含了许多数学奥秘呢，快来看看吧！1、运动会上，同学们站了一个有6行，每行6人的正方形队伍。
这个正方形队伍中一共有( )名同学。
2、49名同学可以站成一个（）行（）列的正方形队伍，64名同学可以站成一个（）行（）列的正方形队伍。
3、在一行队伍中，小明的左边有4个同学，右边有5个同学，这一行队伍共有10人，对吗？讲一讲：例1：同学们站成一行，小明从左数站在第9个，从右数站在第6个。
你知道这一行有多少个同学吗？练一练：1、操场上插着一排颜色不同的彩旗，从左数，红旗是第7面；从右数，红旗是第4面，你知道这一排彩旗有多少面吗？2、同学们排成一队做操，调皮的小强东张西望，结果发现自己无论从前数，还是从后数都是第5个。
你知道总共有多少个同学在做操吗？试一试：有20只兔子排成一行在做操。
小白兔左边有7个小兔，小灰兔右边有3只小兔，问，小白兔与小灰兔中间还有几只小兔？例2：运动会上，同学们准备在正方形操场四周插上彩旗，四个角上都要有一面彩旗，使每边有8面彩旗，那么一共要准备多少面彩旗呢?练一练：1、它的说法对吗？为什么？2、解放军叔叔们在一个哨所警戒，哨所的四个角上都有一名哨兵，敌人无论从哨所的哪一方面看，都会看到有10人站岗，请你算一算这个哨所有多少解放军哨兵？试一试：16只兔子分装在8个笼子里（如右图），这样看每边有6只兔子，现在要使每边变成5只，该怎么调整笼中的兔子？例3：请问，原定每个年级有多少人参加比赛呢？练一练：1、一个正方形方阵横竖减少一排后减少了11人，那原来每排有多少人？2、军训学生进行队列表演，排成一个正方形队列，如果这个队列横竖再增加一排，就还需要补充19人，原来参加队列表演的学生有多少人？试一试：参加表演的正方形队伍，如果横竖都去掉2行，则减少36人，原来的队伍有多少人？老师让我在正方形舞台四周摆上鲜花，每边摆6盆，6×4=24（盆），我想最少要用24盆花。
方阵问题知识点总结
方阵问题知识点总结一、方阵的定义与基本概念1. 方阵的定义方阵是一个矩阵，其行数等于列数。
即如果一个矩阵的行数和列数相等，那么它就是一个方阵。
例如，一个3×3的矩阵就是一个3阶方阵。
2. 方阵的性质（1）对角线元素：方阵的主对角线上的元素称为主对角线元素。
（2）对角元素：方阵的非主对角线上的元素称为对角元素。
（3）上三角矩阵：方阵中主对角线以下的元素都是0的方阵称为上三角矩阵。
（4）下三角矩阵：方阵中主对角线以上的元素都是0的方阵称为下三角矩阵。
（5）对称矩阵：如果矩阵A的转置矩阵等于它本身，即A^T=A，那么矩阵A就是对称矩阵。
（6）单位矩阵：主对角线上的元素全为1，其余元素全为0的方阵称为单位矩阵，记为I。
3. 方阵的阶数一个n×n的方阵，我们称其为n阶方阵。
4. 方阵的转置对于一个m×n的矩阵A，转置矩阵记为A^T，即将矩阵A的行列互换得到的新矩阵。
5. 方阵的行列式方阵的行列式是一个重要的概念。
给定一个n阶方阵A，对其行列式记作|A|。
行列式是一个数学上的概念，其代表了一个矩阵的某种性质，具体来说，它代表了一个线性方程组的解的好坏程度。
6. 方阵的逆矩阵对于一个n×n的方阵A，如果存在一个n×n的矩阵B，使得AB=BA=I，那么我们称矩阵B 是矩阵A的逆矩阵，记作A^(-1)。
只有可逆的方阵才有逆矩阵，即行列式不为0的方阵才有逆矩阵。
7. 方阵的秩一个矩阵的秩即为矩阵的行最简形的非零行数。
对于一个n×n的方阵A，记其秩为r(A)。
8. 方阵的特征值和特征向量对于一个n×n的方阵A，如果存在一个实数λ和一个非零向量x，使得Ax=λx，那么我们称λ是矩阵A的特征值，x是矩阵A的对应于特征值λ的特征向量。
二、方阵问题的求解方法1. 方阵的加法和减法对于两个n×n的方阵A和B，它们的加法和减法均为将对应位置的元素相加和相减。
四年级奥数-方阵问题
四年级奥数－方阵问题
1. 一正方形方队，外层总共84人，求此方队的总人数。
2. 360人排成6层的中空方阵，最外层和最内层每边人数各多少人？
3. 光明小学学生排成每边20个人的正方形方阵，最外边两层共站多少学生？
4．一块正方形苗圃种满了树苗。
后来又补种了19棵，使横、竖各增加了一排，原来正方形苗圃中有多少棵树苗？
5.育英小学四年级的同学排成一个实心方阵列队，还剩下5人，如果横竖各增加一排，排成一个稍大的实心方阵，则缺少26人。
育英小学四年级有多少人？
6．一个大型方队，外层每边30人，内层每边10人，中间的位置由16人进行体操表演。
问：这个方队共有多少人？
7．一方阵形桃园共10层，最里层共种16棵桃树，若每棵桃树结桃子60千克。
这桃园可结桃子多少千克？
8．有学生若干人，列成三层中空方阵，那么就多9人，中空部分增列两层，则少15人，问：有学生多少人？
9．参加小学生运动会团体操表演的运动员组成了一个正方形队列，共排了20行，每行20人。
从这个正方形对列中去掉一行一列，去掉了多少人？还剩下多少人？
10．四年级同学参加体操表演，，先排成每边16人的实心方阵队形，后来又变成一个四层空心方阵，这个中空方阵最外层有多少人？
11．中空方阵最外层32人，最内层12人，将这一方队改排一列纵队，前后两人相距121
米（包括每人所占空间），这列队伍长多少米？。
四年级奥数：极值问题、方阵问题的解决思路
四年级奥数：极值问题、方阵问题的解决思路生活中，人们都热衷于追求“事半功倍”的效果，以不断提高我们学习、工作、生活的效率和质量，这在数学中就体现了数学上的“极值”问题----最多、最少、最大、最小、最长、最短等。
极值问题涉及知识面广，题型灵活多样，因此，解题时要善于运用所学知识、甚至生活常识，由于没有统一的方法，所以针对不同题型需要采取不同的策略。
一般来说，主要有以下几个突破口：（1）采用枚举法进行比较，来确定最佳；（2）通过估算并构造出具体的对象，确定最值；（3）从最不利或最有利的情况出发，通过分析和推理确定最值。
例题1例题2数字可以重复，数字和一定，没有最大数；求数最小，则数位越少，数字9越多越好；数字可以重复，若数位一定，求数最小，则高位上数字越小越好。
例题3例题4各位上的数字之和一定，且数字不能重复，求最小数，先按照从大到小的顺序选择数字，再按照从小到大的顺序排列数字；各位上的数字之和一定，且数字不能重复，求最大数，先按照从小到大的顺序选择数字，再按照从大到小的顺序排列数字。
例题5几个数的和一定，要使其中的一个数最小，那么其他的数必须最大，要使其中的一个数最大，那么其他的数必须最小；求平均数中的极值，一般分为四个步骤：根据份数标序号；假设最高；去掉已知数，求剩下的平均数；调整。
在数学问题中，我们把若干人或物排列成正方形的队列的形式后，再根据排列规律引出的计算统称为方阵问题。
方阵问题分为实心方阵和空心方阵两种，其特点是：同边上相邻两条边的数量相差2，相邻两层的数量相差8。
实心方阵和空心方阵的关系式为：1、实心方阵：（1）每边数×每边数=总数；（2）（每边数-1）×4=每层数；（3）每层数÷4+1=每边数；2、空心方阵：（1）答实心方阵-小实心方阵=总数；（2）（每边数-层数）×层数×4=总数；例题1例题2方阵中，最外层个数=最外层每边个数×4-4，总人数=行数×列数。
小学奥数：方阵问题
归纳 • 例如小明用棋子摆了一个实心方阵，他发现再加入20
枚棋子，使得原方阵增加两行两列，正好可以成为一 个大一点的实心方阵.请问原来的方阵有多少枚棋子？
如果增加两行两列， 则角落会多几枚棋子？
纵横共多出几排？
如何得出原方阵最外 层每边数？
总结：
• 如果一个方阵加入棋子，使得方阵增加几行几 列，角落里（红色部分）的棋子会有几×几。
笔记：
• 判断下面四个图形是不是方阵？
①
②
③
④
• 例1：49人排成一个实心方阵，这个方阵每边 多少人？
49=7×7 答：这个方阵每
边有7人。
• 小试牛刀： • 1.一个实心方阵，每边站20个人，请问这个方阵
共有多少人？
• 2.64人排成一个实心方阵，这个方阵每边人数是 多少？
• 3.如果是100人排成一个实心方阵，这个方阵每 边多少人？
——两层空心方阵
这是一个几层的空心方阵？
从空心方阵发现方阵的特点
外层 中层 内层
总数 28 20 12
每边数 8 6 4
总结
• 方阵问题 • 四、方阵的特点： • 1. 相邻两层的总数相差8个； • 2. 相邻两层每边数相差2个.
• 例4：若干盆花围成一个一层空心方阵，发现每边有 5盆花，请问一共有几盆花？
• 3.公园进行郁金花花卉展览，把一些黄色的郁金香刚好排列成一 个方阵，如果给这个方阵增添25盆花，刚好能让方阵增加一行一 列，请问这个黄色的郁金香方阵原来是有多少盆花？
• 例3：运动会入场式要求运动员排成一个10行 10列的正方形方阵，如果去掉2行2列，要减少 多少名学生？
• 想一想：如果原来是10行10列，去掉2行2列后， 还有几行几列？
【小学四年级奥数讲义】方阵问题
【小学四年级奥数讲义】方阵问题一、知识概要1、方阵可以分为实心方阵和空心方阵。
2、方阵的基本特点是：方阵中，里一层总比外一层的一边少2个物体，里一层物体的个数一定比上一层物体总个数少8个。
3、实心方阵中，物体个数=最外层的一边个数×最外层一边的个数；（每边数—1）×4=每层数；每层数÷4+1=每边数4、空心方阵中物体的个数=（最外层一边个数—层数）×层数×45、去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数×2-1二、典型例题1、有一个正方形的稻田，四个角上都放1个稻草人，如果每边放5个，四边共放多少个稻草人？2、有一个正方形池塘，四个角上都栽1棵树，一共栽了28棵树，那么每边栽多少棵？3、同学们排成一个两层空心方阵，外层每边8人，这个方阵一共有多少人？4、把若干个棋子摆成一个三层的空心方阵，最外层每边12个棋子，求这个方阵共有多少个棋子？5、同学们在军训时排成了一个由204人组成的三层空心方阵，求最外面一层每边有多少人？6、某小学举行运动会，同学们排成正方形队列参加团体操表演。
如果在这个正方形队列中减少一行一列，则要减少15人，问参加团体操表演的有多少同学？7、在儿童公园的一次菊花展上，用120盆菊花摆成一个三层空心方阵，这个方阵最外层每边有多少盆花？8、一个中空方阵的队列，最外层每边18人，最内层每边10人。
这个队列共有多少人？9、用64枚棋子摆成一个两层中空方阵，如果想在外面再增加一层，问需要增加多少枚棋子？10、学校组织一次团体操表演，把男生排列成一个实心方阵，又在这个实心方阵四周站一排女生。
女生有72人参加表演，男生有多少人？三、针对练习1、在正方形的广场四周装彩灯，四个角上都装一盏，每边装25盏，问这个广场一共需装彩灯多少盏？2、小强用棋子排成了一个每边11枚的中空方阵，共2层，求这个方阵共用多少枚棋子？3、小刚在用棋子摆好的实心阵上又填了17枚棋子，使它的横竖各增加一排，成了大一点的实心方阵，求原来实心方阵有多少枚棋子？4、解放军进行排队表演，组成一个外层有48人，内层有16人的多层中空方阵，这个方阵有几层？一共有多少人？5、有一个用圆片摆成的两层中空方阵，外层每边有16个圆片，如果把内层的圆片取出来，在外层再摆一层，变成一个新的中空方阵，应再增加多少圆片？6、用棋子摆成方阵，恰好每边24粒的实心方阵，若改为3层的空心方阵，它的最外层每边应改放多少粒?7、有学生若干名，排成中实的方阵则多2人，若在这正方阵纵横两个方向个增加一行还缺五人，问有学生多少人？8、仪仗队员组成两个实心方阵，甲方阵每边12人，后来两队合在一起排成一个中空方阵的丙方阵，丙方阵最外层一边人数比乙方阵最外层一边人数多4人，又原来甲方阵的人正好填满丙方阵空心。
小学奥数之方阵问题—例题习题及含答案
方阵问题知识导航学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。
如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。
核心公式：一、实心方阵1．方阵总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心）=每边数×每边数2．方阵最外层每边人数=（方阵最外层总人数÷4）＋13．方阵外一层每边人数比内一层每边人数多24．去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－15、每层数=（每边数-1）×4二、空心方阵1、外边人数=总人数÷4÷层数+层数2、总数=最外层人数2-最内层人数2=（最外层每边数-层数）×层数×4=（最外层数+最内层数）×层数÷23、内层数=外层数-84、每层数=（每边数-1）×45、实心方阵的总人数是一个完全平方数，空心方阵的总人数是4的倍数。
例1四年级同学参加广播操比赛，要排列成每行8人，共8行方阵。
排列这个方阵共需要多少名同学？解题分析这是一道实心方阵问题，求这个方阵里有多少名同学，就是求实心方阵中布点的总数。
排列成每行8人点，共8行，就是有8个8点。
求方阵里有多少名同学，就是求8个8人是多少人？解：8×8=64（人）答：排列这个方阵，共需要64名同学。
例2有一堆棋子，刚好可以排成每边6只的正方形。
问棋子的总数是多少？最外层有多少只棋子？解题分析依题意可以知道：每边6只棋子的正方形，就是棋子每6只1排，一共有6排的实心方阵。
根据方阵问题应用题的解题规律，求实心方阵总数的数量关系，总人数=每边人数×每边人数，从而可以求出棋子的总数是多少只。
而最外层棋子数则等于每边棋子数减去1乘以行数4，即（6-1）×4只。
解：（1）棋子的总数是多少？6×6=36（只）（2）最外层有多少只棋子？（6-1）×4=20（只）答：棋子的总数是36只，最外层有20只棋子。
奥数方阵问题 (2)
奥数方阵问题1. 引言在奥数竞赛中，方阵问题是一个常见的题型。
方阵问题涉及到对方阵的行列进行合理安排，满足一定条件的问题。
本文将介绍奥数方阵问题的相关概念与解题方法。
2. 方阵问题的定义与性质2.1 方阵的定义方阵是一个矩阵，其行数与列数相等。
通常用n表示方阵的阶数，即n*n的矩阵为方阵。
2.2 方阵问题的性质方阵问题常常涉及到对方阵的行列进行排列，以满足特定条件。
在解决方阵问题时，我们通常可以运用排列组合、数学归纳法等方法。
3. 方阵问题的解题思路3.1 分析题目条件在解决方阵问题时，首先需要仔细分析题目给出的条件。
根据题目条件的具体要求，确定方阵的阶数、行列的特定规律等。
3.2 使用数学归纳法对于某些方阵问题，可以运用数学归纳法来进行解题。
数学归纳法是一种证明方法，通过证明一个命题在某个初始情况下成立，并假设该命题对于某个自然数k 成立，然后推导出该命题在k+1的情况下也成立。
3.3 运用排列组合排列组合是解决方阵问题的常用方法之一。
通过对方阵的行列进行合理排列，满足题目给出的条件。
4. 实例分析：奥数方阵问题示例4.1 问题描述某个方阵中，共有4行4列，每个格子中填数字1-9的整数，每个整数只能用一次。
使得每行、每列以及对角线的数字之和相等，且每个对角线上的数也都不相同。
请问有多少种可能的方阵填法？4.2 解题过程首先，我们需要确定方阵的阶数，题目给出是4行4列，所以是一个4阶方阵。
其次，根据题目条件，每行、每列以及对角线的数字之和相等。
那么我们可以假设每行的和为S，每列的和为S，对角线的和为S。
根据方阵定义，每个格子中填数字1-9的整数，且每个整数只能用一次。
所以我们可以通过排列组合的方法来求解。
我们可以将方阵分为4个部分，即4个行，每个行有4个数待填。
首先，我们可以从第一行开始填，填法有9种选择。
然后，我们按照题目给出的条件来选择每个格子中的数字。
接下来，我们可以根据已填的第一行，来确定第二行的填法。
四年级奥数方阵问题
四年级奥数方阵问题方阵问题是一类非常经典的数学问题，尤其在奥数学习中更为常见。
所谓方阵问题，就是指将一群数按照列或者行的形式排列成一个方阵，然后考察方阵中各数之间的关系以及如何通过已知的数求出其他数的位置。
一、方阵的排列规律我们需要明白方阵是如何排列的。
一个 n x n的方阵是由 n^2个数按照行或列的方式排列而成的。
以 3 x 3的方阵为例，我们可以将其排列如下：1 2 34 5 67 8 9在这个方阵中，每一行都是从 1开始逐渐递增的数字，每一列则是从 1开始逐渐递增的数字。
同时，每一行和每一列都有一个共同的规律，即从第一个数开始，每隔一个数就出现一次。
例如第一行中，第一个数是 1，第二个数是 2，第三个数是 3；第二行中，第一个数是 4，第二个数是 5，第三个数是 6；第三行中，第一个数是 7，第二个数是 8，第三个数是 9。
二、方阵中数的计算方法在方阵中，我们可以很容易地找到一些数的规律。
例如，对于任意一个 n x n的方阵，我们可以发现：1、每一行或每一列的和都是 n(n+1)/2。
2、每一行或每一列的平均值都是 (n+1)/2。
3、对于任意一个数 i，它在每一行中出现的次数都是 n-i+1次（从第 i个数开始）。
4、对于任意一个数 i，它在每一列中出现的次数都是 n-i+1次（从第 i个数开始）。
三、例题解析例1：有一个 5 x 5的方阵，已知第一行的和为 10，第二行的和为 15，第三行的和为 20，第四行的和为 25，那么第五行的和是多少？分析：由于每一行或每一列的和都是 n(n+1)/2，所以第五行的和为：5 x (5+1) / 2 - (10 + 15 + 20 + 25) = 50 - 70 = -20。
例2：有一个 4 x 4的方阵，已知第一列的和为 10，第二列的和为 15，第三列的和为 20，那么第四列的和是多少？分析：由于每一行或每一列的和都是 n(n+1)/2，所以第四列的和为：4 x (4+1) / 2 - (10 + 15 + 20) = 20 - 45 = -25。
方阵 奥数 四年级
方阵（教师版）知识点精讲方阵问题应用题就就是把人或物按照一定得条件排成正方形，再根据已知条件求出人或物得数量得应用题。
特点就是：方阵每边得实物数量相等，同边上相邻两层得实物数量相差2，相邻两层得实物数量相差8。
数量关系：（1）方阵每边人数与四周人数得关系：（每边人数-1）×4=四周人数四周人数÷4+1=每边人数（2）方阵总人数得计算方法：实心方阵：每边人数×每边人数=总人数空心方阵：1.外边人数×外边人数-内边人数×内边人数=总人数2.若将空心方阵分成4个相等得矩形计算，则：（外边人数-层数）×层数×4=总人数3.逐层相加，则：第一层人数+第二层人数+第三层人数+…=总人数课堂例题与练习1.四年级同学参加广播操比赛，要排列成每行8人，共8行方阵。
排列这个方阵共需要多少名同学？解题分析：这就是一道实心方阵问题，求这个方阵里有多少名同学，就就是求实心方阵中布点得总数。
排列成每行8人点，共8行，就就是有8个8点。
求方阵里有多少名同学，就就是求8个8人就是多少人？解：8×8=64（人）答：排列这个方阵，共需要64名同学。
2.有一堆棋子，刚好可以排成每边6只得正方形。
问棋子得总数就是多少？最外层有多少只棋子？解题分析依题意可以知道：每边6只棋子得正方形，就就是棋子每6只1排，一共有6排得实心方阵。
根据方阵问题应用题得解题规律，求实心方阵总数得数量关系，总人数=每边人数×每边人数，从而可以求出棋子得总数就是多少只。
而最外层棋子数则等于每边棋子数减去1乘以行数4，即（6-1）×4只。
解：（1）棋子得总数就是多少？6×6=36（只）（2）最外层有多少只棋子？（6-1）×4=20（只）答：棋子得总数就是36只，最外层有20只棋子。
3.一堆棋子排成一个实心方阵，共有8行8列，如果去掉一行一列，要去掉多少只棋子？还剩下多少只棋子？解题分析排成方阵得棋子，无论排在任何地方，都既就是其中一排得棋子，也就是其中一行得棋子，所以，无论去掉哪一行与哪一列，总会有一只棋子被重复去掉1次，因此，要求出去掉一行一列去掉多少只棋子，就就是要求出比原来方阵中2行得棋子数少1只。
小学四年级奥数题等量代换、方阵问题
小学四年级奥数题等量代换、方阵问题1.小学四年级奥数题等量代换1、一头牛一天吃草的重量和一只兔子9天吃草的重量相等，也和6只羊一天吃草的重量相等，已知一头牛一天吃青草18千克，一只兔子和一只羊一天共吃青草多少千克？【答案】因为一头牛一天吃草的重量和一只兔子9天吃草的重量相等，也就是一只兔子9天吃草的重量是18千克，即一只兔子一天共吃青草18÷9=2千克；又因为头牛一天吃草的重量也和6只羊一天吃草的重量相等，也就是6只羊一天吃草的重量是18千克，即一只羊一天共吃青草18÷6=3千克，所以一只兔子和一只羊一天共吃青草2+3=5千克。
2、有6个筐里放着同样多的鸡蛋，如果从每个筐里拿出50个鸡蛋，则6个筐里剩下的鸡蛋个数的总和等于原来两个筐里鸡蛋个数的总和，原来每个筐里有鸡蛋多少个？【思路】根据“6个筐里剩下的鸡蛋个数的总和等于原来两个筐里鸡蛋个数的总和”，说明6个筐里取出的鸡蛋个数的总和等于原来6-2=4（筐）里鸡蛋个数的总和，用取出的50X6=300（个）鸡蛋除4就可以求出原来每个筐里鸡蛋的个数。
【详解】50X6=300（个）6-2=4（位）300÷4=75（个）答：原来每筐有75个鸡蛋。
3、已知A+B=24B=A+A+A求A=?B=?解：将两个等式编号：A+B=24(1)B=A+A+A(2)将(1)式中的B用(2)式中的3个A代替得A+A+A+A=24所以A=6,B=182.小学四年级奥数题等量代换1、用3个鹅蛋能换9个鸡蛋，2个鸡蛋能换4个鸽子蛋，用5个鹅蛋能换多少个鸽子蛋？2、20个桃子可换2个香瓜，9个香瓜可换3个西瓜，8个西瓜可换多少个桃子？3、2头猪可换4只羊，3只羊可换6只兔子，3头猪可换几只兔子？4、已知A+B=24B=A+A+A求A=?B=?5、3袋大米和4袋黄豆共重425千克，6袋大米和3袋黄豆共重600千克，每袋大米重多少千克？3.小学四年级奥数题方阵问题1、在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行22人，参加体操表演的同学一共有多少人？2、有一个3层中空方阵，最外边一层有10人，求全方阵的人数。
方阵问题的公式
方阵问题的公式 方阵问题是数学领域中一个经典的问题，其公式可以用来解决方阵的一些特殊性质和计算。
在方阵问题中，我们研究的是一个n x n 的方阵，其中n表示方阵的维度。
方阵的定义是一个正方形的矩阵，即行数和列数相等。
在方阵中，每一个元素都有唯一的坐标表示( i, j )，其中i表示行索引，j表示列索引。
例如，方阵中第一个元素的坐标为(1, 1)，第二个元素的坐标为(1, 2)，以此类推。
方阵问题的公式包括方阵的行列式、伴随矩阵、逆矩阵等。
下面将详细介绍方阵问题的各个公式。
1、方阵的行列式公式： 方阵的行列式用来表示一个方阵的特征值，其计算方法是按照某一行或某一列展开，然后通过递归的方式计算。
行列式记作det(A)，其中A表示方阵。
2、方阵的伴随矩阵公式： 方阵的伴随矩阵是通过方阵的代数余子式构成的矩阵，记作adj(A)。
方阵的伴随矩阵可以用来计算方阵的逆矩阵。
3、方阵的逆矩阵公式： 方阵的逆矩阵是一个与原方阵相乘等于单位矩阵的方阵。
方阵的逆矩阵记作A^(-1)，其中A表示方阵。
方阵的逆矩阵可以通过伴随矩阵公式计算得出。
方阵问题的公式在数学和计算机科学中都有广泛的应用。
它们可以用来解决线性方程组、矩阵变换、数据压缩等问题。
例如，在计算机图形学中，方阵的逆矩阵可以用来实现图形的旋转、缩放和平移等变换。
总之，方阵问题的公式是解决方阵特性和计算的重要工具。
通过方阵的行列式、伴随矩阵和逆矩阵公式，可以研究和解决方阵相关的各种问题。
这些公式在数学和计算机科学等领域都有着广泛的应用，对于理解方阵的特性和运用具有重要意义。
四年级奥数详解答案-第24讲-方阵问题
四年级奥数详解答案第24讲第二十四讲方阵问题一、知识概要方阵，就是人或物排成的正方形。
方阵有实心方阵和空心方阵之分。
其基本特点是：1、方阵在同一层里每条的数量相等，向里向外，每边依次增加2，每层总数就依次减少8。
2、每层数=（每边数－1）×4每边数=每层数÷4＋1二、典型题目精讲1、有正方形的小花圃，四个角上都栽了1棵小白杨树，在两棵白杨树再均栽上8棵小松树。
四边一共栽了__________棵小树。
解：这些树构成一个方阵，所以，四边一共栽树：（8＋2－1）－4=36（棵）2、一个正方形的队列，若横竖方向各减少一行，则就减少了13人。
这个正方形队列原来是__________人。
解：（如图）“横竖各减少一行”刚好13人，说明原正方形的“边长”是7（人）。
所以这个正方形队列共有7×7=49（人）3、同学们排成一个三层空心方阵（如图），外层每边10人，这个方阵共有______人。
解：最外层人数=（10－1）×4=36（人）。
因为由外向内每层依次减少8，所以三层共有36＋（36－8）＋（36－8×2）=84(人)，或者用“大实心方阵”－“小实心方阵”亦可。
大实心方阵有：10×10=100(人);小实心方阵有4×4=16(人),100－16=84（人）4、新华小学四年级学生排成一个实心方阵还多9人，如果横竖各增加一排，成为大一点的实心方阵又差24人。
四年级有学生______人。
解：①原实习方阵每边数为（9＋24－1）÷2=16（人）；②四年级共有学生16×16＋9=265（人）（如图）5、甲、乙两队种树，要把树种成正方形。
第一次每队种10棵，第二次每队又种10棵，这样一直种下去，最后一次甲队所种10棵，而乙队种的不足10棵。
收工后，老师问他们两队共种了多少树，两个队长都说：“共种了二百多棵树。
”你能说出他们种树的准确数吗？解：因为“共种了二百多棵树”，所以正方形的边长至少为15，最大为17。
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四年级奥数详解答案第24讲
第二十四讲方阵问题
一、知识概要
方阵，就是人或物排成的正方形。
方阵有实心方阵和空心方阵之分。
其基本特点是： 1、方阵在同一层里每条的数量相等，向里向外，每边依次增加2，每层总数就依次减
少8。
2、每层数=（每边数－1）×4
每边数=每层数÷4＋1
二、典型题目精讲
1、有正方形的小花圃，四个角上都栽了1棵小白杨树，在两棵白杨树再均栽上8棵小松树。
四边一共栽了__________棵小树。
解：这些树构成一个方阵，所以，四边一共栽树：（8＋2－1）－4=36（棵）
2、一个正方形的队列，若横竖方向各减少一行，则就减少了13人。
这个正方形队列原来是__________人。
解：（如图）“横竖各减少一行”刚好13人，说明原正方形的
“边长”是7（人）。
所以这个正方形队列共有7×7=49（人）
3、同学们排成一个三层空心方阵（如图），外层每边10人，这个
方阵共有______人。
解：最外层人数=（10－1）×4=36（人）。
因为由外向内每层依
次减少8，所以三层共有36＋（36－8）＋（36－8×2）=84(人)，
或者用“大实心方阵”－“小实心方阵”亦可。
大实心方阵有：
10×10=100(人);小实心方阵有4×4=16(人),100－16=84（人）
4、新华小学四年级学生排成一个实心方阵还多9人，如果横竖各
增加一排，成为大一点的实心方阵又差24人。
四年级有学生______人。
解：①原实习方阵每边数为（9＋24－1）÷2=16（人）；
②四年级共有学生16×16＋9=265（人）（如图）
5、甲、乙两队种树，要把树种成正方形。
第一次每队种10棵，第二次每队又种10棵，这
样一直种下去，最后一次甲队所种10棵，而乙队种的不足10棵。
收工后，老师问他们
两队共种了多少树，两个队长都说：“共种了二百多棵树。
”你能说出他们种树的准确数吗？解：因为“共种了二百多棵树”，所以正方形的边长至少为15，最大为17。
①若边长为15，则甲、乙共植树15×15=225（棵），而225÷20=11（次）……5（棵），
即第12次甲、乙共植树10棵以上，但余数为5，表示甲、乙第12次共植5棵，
这与条件矛盾，不合题意。
②同理,若边长16，则16×16=256（棵），256÷20=12（次）……16（棵），符合题意。
③若边长为17，则17×17=289（棵），289÷20=14（次）……9（棵）,不合题意。
故：甲队种树13×10=130（株），乙队种树12×10＋6=126（棵）。
6、解放军战士若干人,他们分成两队,可排成甲、乙两个方阵，其中甲方阵每边人数是12
人，如果两队合并，可以排成另一个空心丙方阵。
丙方阵最外层每边人数比乙方阵最外层每边人数多4人。
甲方阵的战士正好能填满丙方阵的空心。
解放军战士有___人。
解：①乙方阵每边的人数=（12×12×2－4×4）÷（4×2）=34（人）；
②总人数=34×34＋12×12=1300（人）。
三、练习巩固与拓展
1、国庆节前夕，在街中心一塑像的周围，用204盆鲜花围成一个每边三层的方阵，求最外
面一层每边有鲜花_________盆。
2、有一队学生排成一中空方阵，最外层人数共52人，最内层人数共28人，这队学生共有
______人。
3、一个空心方阵的花坛,共12层坛花草,最内层每边18盆花草,这个花坛共有花草______盆。
4、一队士兵排成一个空心长方形队列，方阵每边三层，最外层长的方向站15人，宽的方
向站12人，这个长方阵共有________士兵。
5、有武术队员若干人，如果分成两队可排成甲、乙两个实心方阵，其中甲方阵每边8人；
如果两队合并，可另排成一个三层空心丙方阵，原甲方阵的人数正好能填满丙的空心方阵，武术队员共有多少人？
6、有一个用瓷砖拼成的正方形，要在横、竖方向分别增加3排瓷砖，拼成一个大正方形，
一共要增加159块瓷砖，问原来的正方形是由几块瓷砖拼成的？
7、每边长25米的正方形池水边铺正方形水泥块，这种水泥块每边为50厘米，如果紧靠水
池边铺三层水泥块，成为三层空心方阵，共要水泥块多少块？
8、用120枚棋子排成一个两层的中空方阵，求外层每边的棋子数。
9、希望小学举行团体操表演，想排成6层的空心方阵，现在360人参加，最外层和最里层
每边各安排多少人？
10、一个中空方阵的队列，最外层每边16人，最内层每边8人，这个队列共有多少人？
11、用棋子摆成方阵，恰为每边12枚的实心方阵，若改为3层的空心方阵，它的最外层每
边应放多少枚棋子？
12、64名手捧鲜花的少先队员在彩车周围排成一个每边两层的方阵，现在要在方阵外面再
增加一层成为三层方阵，问需要增加少先队员多少名？
13、同学们排练团体操，排成一个方阵，中间的实心方阵是女同学，外面三层是男同学，最
外圈两层又是女同学，已知方阵中男同学是108人，问女同学是多少人？
14、一队战士排成三层空心方阵多出9人，如果在空心部分再增加一层，又差7人，问这队
战共有多少人？
15、用棋子排成一个空心方阵，方阵每边4层，最外层长的方向有25枚棋子，宽的方向有
20枚棋子，这个长方阵有多少枚棋子？
1、解：（204＋8＋8×2）÷2
=228÷3
=76（盆）
答：最外层每边有鲜花20盆。
2、解：（52－28）÷8＋1=4（层）
52÷4＋1=14（人）
（14－4）×4×4=160（盆）
答：这队学生共160人。
3、解：18＋2×（12－1）=40（盆）
（40－12）×12×4=1344（盆）
答：这个花坛共有花草1344盆。
4、解：15×12－（15－3×2）×（12－3×2）
=15×12－9×6
=180－54=126（人）
答：这个长方阵共有士兵126人。
5、解：（8＋2＋2＋2－3）×3×4=132（人）
答：武术队员共有132人。
6、解：原来的正方形每边瓷砖数：
（159－3×3）÷（3＋3）=25（块）
25×25=625（块）
答：原来的正方形是由625块瓷砖拼成的。
7、解：水泥块总数为：
2500÷50×4×3＋3×3×4=636（块）答：共要水泥块636块。
8、解：120÷4÷2＋2=17（枚）
答：每边棋子17枚。
9、解：360÷4÷6＋6=21（人）
21－2×5=11（人）
答：最外层每边21人，最内层每边11人。
10、解：（16－8）÷2＋1=5（层）
（16－5）×5×4=220（人）
答：这个列队共有220人。
11、解：12×12=144（枚）
144÷4÷3＋3=15（枚）
答：最外层每边应放15枚。
12、解：64÷4÷2＋2=10（名）
（10＋2－1）×4=44（名）
答：需要增加少先队员44名。
13、解：108÷4÷3＋3=12（人）
（12－2×3）×（12－2×3）=36（人）
（12＋2×2－2）×2×4=112（人）答：女同学是148人。
14、解：9＋7＋8×3=40（人）
40÷4＋1=11（人）
（11－3）×3×4＋9=105（人）
答：这队战士共有105人。
15、解：（25－4）×4×2＋（20－4）×4×2
=21×4×2＋16×4×2
=168＋128
=296（枚）
答：共有296枚棋子。