解直角三角形易错题
常见常新题型__注重解题方法——解三角形易错点扫描
ʏ江苏省高邮市第一中学 袁达飞解三角形问题是高考中的常见题型,主要利用正弦定理㊁余弦定理来求解未知边角的关系或具体值,由于解三角形需要综合应用正余弦定理和有关角的一些变换,所以经常会出现一些顾此失彼的错误,现归纳如下,供同学们学习时参考㊂易错点一㊁忽视解的讨论致误例1 在әA B C中,已知a =2,b =2,A =45ʎ,求B ㊂错解:由正弦定理知s i n B =b s i n Aa=2s i n 45ʎ2=12㊂又0<B <180ʎ,故B =30ʎ或150ʎ㊂剖析:上述解法中忽现了A +B +C =180ʎ这一隐含条件,当B =150ʎ时,A +B =195ʎ,与三角形的内角和为180ʎ矛盾㊂正解:由正弦定理知s i n B =b s i n Aa=2s i n 45ʎ2=12㊂又0<B <180ʎ,故B =30ʎ或B =150ʎ㊂若B =150ʎ,则A +B >180ʎ,应舍去㊂故B =30ʎ㊂易错点二㊁忽视三角形中角的范围致误例2 在әA B C 中,已知(a 2+b 2)㊃s i n (A -B )=(a 2-b 2)s i n C ,判断әA B C 的形状㊂错解:原式可化为(a 2+b 2)(s i n A c o s B-c o s A c o s B )=(a 2-b 2)(s i n A c o s B +c o s A s i n B ),即a 2s i n B c o s A =b 2s i n A c o s B ㊂由正弦定理得b 2s i n 2As i n 2B㊃s i n B c o s A =b 2s i n A c o s B ,化简得s i n A c o s A =s i n B c o s B ,即s i n 2A =s i n 2B ,所以A =B ㊂所以әA B C 是等腰三角形㊂剖析:上述解法忽略了角的范围,s i n 2A=s i n 2B 是2A =2B 的必要但不充分条件,另外,有些同学也可能由于逻辑关系不清而出现以下错误的判断:由s i n 2A =s i n 2B ,得2A =2B ,又2A +2B =π,且A =B ,A +B =π2,所以әA B C 是等腰直角三角形㊂正解:将条件都化为有关角的关系形式,前面同错解,得s i n 2A =s i n 2B ㊂因为A ,B 是三角形的内角,所以2A =2B 或2A =π-2B ,即A =B 或A +B =π2㊂故әA B C 是等腰三角形或直角三角形㊂易错点三㊁忽视隐含条件致误例3 在不等边әA B C中,a 为最大边,若a 2<b 2+c 2,则角A 的取值范围是㊂错解:因为a 2<b 2+c 2,所以b 2+c 2-a2>0,则c o s A =b 2+c 2-a22b c>0㊂又因为A 为әA B C 的内角,故A 为锐角,所以0<A <90ʎ㊂剖析:上述解法忽视了隐含条件:三角形的内角和为180ʎ,所以最大边所对的角应该大于60ʎ㊂正解:前面同错解,得0ʎ<A <90ʎ㊂又因为a 为最大边,所以A >60ʎ㊂所以60ʎ<A <90ʎ㊂故A 的取值范围是(60ʎ,90ʎ)㊂易错点四㊁忽视角之间的关系致误例4 在әA B C 中,若s i n 2A s i n 2B =t a n Ata n B ,则әA B C 的形状为㊂错解:已知s i n 2A s i n 2B =t a n A ta n B =s i n A c o s Bc o s A s i n B ㊂因为s i n A >0,s i n B >0,所以s i n A c o s A =s i n B c o s B ,即s i n 2A =s i n 2B ,所以2A =2B ,即A =B ㊂故әA B C 为等腰三角形㊂剖析:上述解法忽视了 在әA B C 中,由72解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2023年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.s i n 2A =s i n 2B ,可以得到2A +2B =π这种情况,导致漏解,结果错误㊂正解:前面同错解,得s i n 2A =s i n 2B ㊂所以2A =2B 或2A +2B =π,则A =B 或A +B =π2,故әA B C 为等腰三角形或直角三角形㊂易错点五㊁忽视三角形中三边的基本关系致误例5 已知钝角三角形的三边长分别是2a +1,a ,2a -1,求实数a 的取值范围㊂错解:因为2a +1,a ,2a -1是三角形的三边,所以2a +1>0,a >0,2a -1>0,解得a >12㊂又2a +1是三边长的最大值,设该边所对的角为θ,则c o s θ=a 2+(2a -1)2-(2a +1)22a (2a -1)<0,解得12<a <8㊂剖析:不是任意的三个正数都能作为三角形的三条边长,还需要满足三角形三边的基本关系,即两边之和大于第三边㊂上述解法中少了这个约束条件㊂正解:前面同错解,得12<a <8㊂又a +(2a -1)>2a +1,解得a >2㊂综上可得,实数a 的取值范围是(2,8)㊂易错点六㊁实际问题中题意不明致误图1例6 如图1,在海岛A 上有一座海拔1k m的山,山顶设有一个观察站P ,上午11时,测得一轮船在岛北30ʎ东㊁俯角为60ʎ的B 处,到11时10分,又测得该船在岛北60ʎ西㊁俯角为30ʎ的C 处㊂(1)求该船的航行速度;(2)又经过一段时间后,船到达海岛的正西方向的D 处,试问:此时船距海岛A 有多远?易错分析:有的同学对题意没有理解透彻,方位确定不了,不能观察出әB A C 是直角三角形;有的同学在求A D 的长时不能放在әA C D 中利用正弦定理求解㊂剖析:实际应用问题中的有关名词㊁术语不能混淆㊂①仰角和俯角:与目标视线在同一铅直平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方时叫做仰角,目标视线在水平视线下方时叫做俯角㊂②方向角:从指定方向线到目标方向线的水平角㊂③方位角:从指定方向线顺时针到目标方向线的水平角㊂④坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数㊂正解:(1)在R tәP A B 中,øA P B =60ʎ,P A =1,所以A B =3(k m )㊂在R t әP A C 中,øA P C =30ʎ,所以A C=P A ㊃t a n 30ʎ=33(k m )㊂在әA C B 中,øC A B =30ʎ+60ʎ=90ʎ,所以B C =A C 2+A B 2=332+32=303(k m )㊂所以该船的航行速度为303ː16=230(k m /h)㊂(2)øD A C =90ʎ-60ʎ=30ʎ㊂s i n øD C A =s i n (180ʎ-øA C B )=s i n øA C B =A B B C =3303=31010㊂s i n øC D A =s i n (øA C B -30ʎ)=s i n øA C B ㊃c o s 30ʎ-c o s øA C B ㊃s i n 30ʎ=31010㊃32-1-310102㊃12=33-11020㊂在әA C D 中,由正弦定理得A Ds i n øD C A=A C s i n øC D A ,所以A D =A C ㊃s i n øD C As i n øC D A=33㊃3101033-11020=9+313(k m )㊂故当船到达海岛的正西方向的D 处时,船与海岛A 的距离为9+313k m ㊂(责任编辑 王福华)82 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2023年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
猜题06直角三角形的边角关系(易错必刷30题8种题型专项训练)(原卷版)
第6章 直角三角形的边角关系（易错必刷30题8种题型专项训练）➢锐角三角函数的定义 ➢锐角三角函数的增减性 ➢特殊角的三角函数值 ➢解直角三角形➢解直角三角形的应用➢解直角三角形的应用坡度坡角问题➢解直角三角形的应用仰角俯角问题➢解直角三角形的应用方向角问题一．锐角三角函数的定义（共8小题）1．正方形网格中，∠AOB 如图放置，则cos ∠AOB 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．2．在Rt △ABC 中，AC ＝8，BC ＝6，则cos A 的值等于（ ）A ．B ．C ．或D ．或3．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点A ，B ，C 在坐标轴上，若点A 的坐标为（0，3），tan ∠ABO ＝，则菱形ABCD 的周长为（ ）A ．6B ．6C ．12D ．84．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝，AB ＝4，则cos B 的值是（ ） A ． B ． C ． D ．5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，若cos∠A＝，则BC的长为（）A．8B．12C．13D．186．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠OAB的正弦值是．7．如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的正弦值是．8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，若cos A＝，则BC的长为．二．锐角三角函数的增减性（共1小题）9．若∠A是锐角，且sin A＝，则（）A．0°＜∠A＜30°B．30°＜∠A＜45°C．45°＜∠A＜60°D．60°＜∠A＜90°三．特殊角的三角函数值（共2小题）10．在△ABC中，如果∠A、∠B满足|tan A﹣1|+（cos B﹣）2＝0，那么∠C＝．11．计算：（1）tan45°﹣sin30°cos60°﹣cos245°；（2）3tan30°﹣tan245°+2sin60°．四．解直角三角形（共5小题）12．如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是（）A．B．2C．D．13．将一副三角板如图摆放在一起，组成四边形ABCD，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，∠ACB＝45°，连接BD，则tan∠CBD的值等于（）A．B．C．D．14．阅读理解：为计算tan15°三角函数值，我们可以构建Rt△ACB（如图），使得∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，可得到∠D＝15°，所以tan15°＝＝＝＝2﹣．类比这种方法，请你计算tan22.5°的值为（）+1B．﹣1C．D．A．15．四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变边长为2的正方形ABCD的内角，变为菱形ABC'D'，若∠D'AB＝45°，则阴影部分的面积是（）A．B．5﹣C．D．5﹣216．我们给出定义：如果两个锐角的和为45°，那么称这两个角互为半余角．如图，在△ABC中，∠A，∠B互为半余角，且，则tan A＝．五．解直角三角形的应用（共3小题）17．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝44cm，则高AD约为（）（参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm18．如图2，有一块四边形的铁板余料ABCD，经测量AB＝50cm，BC＝108cm，CD＝60cm，且tan B＝tan C ＝，若要从这块余料中裁出顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，则该矩形的面为cm2．19．胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄河南北“天堑变通途”．已知主塔AB垂直于桥面BC于点B，其中两条斜拉索AD、AC与桥面BC的夹角分别为60°和45°，两固定点D、C 之间的距离约为33m，求主塔AB的高度（结果保留整数，参考数据：≈1.41，≈1.73）．六．解直角三角形的应用坡度坡角问题（共2小题）20．如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（）A．5cosαB．C．5sinαD．21．为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i＝3：4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比．已知斜坡CD长度为20米，∠C＝18°，求斜坡AB的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）七．解直角三角形的应用仰角俯角问题（共6小题）22．荆州市滨江公园旁的万寿宝塔始建于明嘉靖年间，周边风景秀丽．现在塔底低于地面约7米，某校学生测得古塔的整体高度约为40米．其测量塔顶相对地面高度的过程如下：先在地面A处测得塔顶的仰角为30°，再向古塔方向行进a米后到达B处，在B处测得塔顶的仰角为45°（如图所示），那么a的值约为米（≈1.73，结果精确到0.1）．23．在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B的仰角为60°，沿山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ＝，请你帮助该小组计算建筑物的高度AB．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732）24．在一次数学课外实践活动中，某小组要测量一幢大楼MN的高度，如图，在山坡的坡脚A处测得大楼顶部M的仰角是58°，沿着山坡向上走75米到达B处，在B处测得大楼顶部M的仰角是22°，已知斜坡AB的坡度i＝3：4（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），求大楼MN的高度．（图中的点A，B，M，N，C均在同一平面内，N，A，C在同一水平线上，参考数据：tan22°≈0.4，tan58°≈1.6）25．如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成．如图2，AB是灯杆，CD是灯管支架，灯管支架CD与灯杆间的夹角∠BDC＝60°．综合实践小组的同学想知道灯管支架CD的长度，他们在地面的点E处测得灯管支架底部D的仰角为60°，在点F处测得灯管支架顶部C的仰角为30°，测得AE＝3m，EF＝8m（A，E，F在同一条直线上）．根据以上数据，解答下列问题：（1）求灯管支架底部距地面高度AD的长（结果保留根号）；（2）求灯管支架CD的长度（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73）．26．小明为了测量楼房AB的高度，他从楼底的B处沿着斜坡向上行走20m，到达坡顶D处．已知斜坡的坡角为15°．（以下计算结果精确到0.1m）（1）求小明此时与地面的垂直距离CD的值；（2）小明的身高ED是1.6m，他站在坡顶看楼顶A处的仰角为45°，求楼房AB的高度．（sin15°≈0.2588cos15°≈0.9659tan15°≈0.2677）27．《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》．这本著作建立起了从直接测量向间接测量的桥梁．直至近代，重差测量法仍有借鉴意义．如图2，为测量海岛上一座山峰AH的高度，直立两根高2米的标杆BC和DE，两杆间距BD相距6米，D、B、H三点共线．从点B处退行到点F，观察山顶A，发现A、C、F三点共线，且仰角为45°；从点D处退行到点G，观察山顶A，发现A、E、G三点共线，且仰角为30°．（点F、G都在直线HB上）（1）求FG的长（结果保留根号）；（2）山峰高度AH的长（结果精确到0.1米）．（参考数据：≈1.41，≈1.73）八．解直角三角形的应用方向角问题（共3小题）28．如图，湖心岛上有一凉亭B，在凉亭B的正东湖边有一棵大树A，在湖边的C处测得B在北偏西45°方向上，测得A在北偏东30°方向上，又测得A、C之间的距离为100米，则A、B之间的距离是米（结果保留根号形式）．29．如图，某渔船在海面上朝正西方向以20海里/时匀速航行，在A处观测到灯塔C在北偏西60°方向上，航行1小时到达B处，此时观察到灯塔C在北偏西30°方向上，若该船继续向西航行至离灯塔距离最近的位置，求此时渔船到灯塔的距离（结果精确到1海里，参考数据：≈1.732）30．如图，B地在A地的北偏东56°方向上，C地在B地的北偏西19°方向上，原来从A地到C地的路线为A→B→C，现在沿A地北偏东26°方向新修了一条直达C地的分路，路程比原来少了20千米．求从A地直达C地的路程（结果保留整数．参考数据：≈1.41，≈1.73）。
备战中考数学 直角三角形的边角关系 培优 易错 难题练习(含答案)及答案解析
备战中考数学直角三角形的边角关系培优易错难题练习(含答案)及答案解析一、直角三角形的边角关系1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米．【答案】553【解析】【分析】如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可．【详解】解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．∵AM⊥CD，∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°，∴四边形OQMP是矩形，∴QM＝OP，∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°，∴△COD是等边三角形，∵OP⊥CD，∠COD＝30°，∴∠COP＝12∴QM＝OP＝OC•cos30°＝3∵∠AOC＝∠QOP＝90°，∴∠AOQ＝∠COP＝30°，∴AQ＝1OA＝5（分米），2∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3∵OB∥CD，∴∠BOD＝∠ODC＝60°在Rt△OFK中，KO＝OF•cos60°＝2（分米），FK＝OF•sin60°＝23（分米），在Rt△PKE中，EK＝22-＝26（分米），EF FK∴BE＝10−2−26＝（8−26）（分米），在Rt△OFJ中，OJ＝OF•cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米），在Rt△FJE′中，E′J＝22-（2）＝26，63∴B′E′＝10−（26−2）＝12−26，∴B′E′−BE＝4．故答案为：5＋53，4．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．2．已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD=DC，延长CB交⊙O 于点E．（1）图1的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；（2）如图2，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．①若CF=CD时，求sin∠CAB的值；②若CF=aCD（a＞0）时，试猜想sin∠CAB的值．（用含a的代数式表示，直接写出结果）【答案】（1）AE=CE；（2）①；②．【解析】试题分析：（1）连接AE、DE，如图1，根据圆周角定理可得∠ADE=∠ABE=90°，由于AD=DC，根据垂直平分线的性质可得AE=CE；（2）连接AE、ED，如图2，由∠ABE=90°可得AE是⊙O的直径，根据切线的性质可得∠AEF=90°，从而可证到△ADE∽△AEF，然后运用相似三角形的性质可得=AD•AF．①当CF=CD时，可得，从而有EC=AE=CD，在Rt△DEC中运用三角函数可得sin∠CED=，根据圆周角定理可得∠CAB=∠DEC，即可求出sin∠CAB的值；②当CF=aCD（a＞0）时，同①即可解决问题．试题解析：（1）AE=CE．理由：连接AE、DE，如图1，∵∠ABC=90°，∴∠ABE=90，∴∠ADE=∠ABE=90°，∵AD=DC，∴AE=CE；（2）连接AE、ED，如图2，∵∠ABE=90°，∴AE是⊙O的直径，∵EF是⊙OO的切线，∴∠AEF=90°，∴∠ADE=∠AEF=90°，又∵∠DAE=∠EAF，∴△ADE∽△AEF，∴，∴=AD•AF．①当CF=CD时，AD=DC=CF，AF=3DC，∴=DC•3DC=，∴AE=DC，∵EC=AE，∴EC=DC，∴sin∠CAB=sin∠CED===；②当CF=aCD（a＞0）时，sin∠CAB=．∵CF=aCD，AD=DC，∴AF=AD+DC+CF=（a+2）CD，∴=DC•（a+2）DC=（a+2），∴AE=DC，∵EC=AE，∴EC=DC，∴sin∠CAB=sin∠CED==．考点：1．圆的综合题；2．探究型；3．存在型．3．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M是斜边AB的中点，MD∥BC，且MD=CM，DE⊥AB于点E，连结AD、CD．（1）求证：△MED∽△BCA；（2）求证：△AMD≌△CMD；（3）设△MDE的面积为S1，四边形BCMD的面积为S2，当S2=175S1时，求cos∠ABC的值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）cos∠ABC=5 7 .【解析】【分析】（1）易证∠DME=∠CBA，∠ACB=∠MED=90°，从而可证明△MED∽△BCA；（2）由∠ACB=90°，点M是斜边AB的中点，可知MB=MC=AM，从而可证明∠AMD=∠CMD，从而可利用全等三角形的判定证明△AMD≌△CMD；（3）易证MD=2AB，由（1）可知：△MED∽△BCA，所以2114ACBS MDS AB⎛⎫==⎪⎝⎭V，所以S△MCB=12S△ACB=2S1，从而可求出S△EBD=S2﹣S△MCB﹣S1=25S1，由于1EBDS MES EB=V，从而可知52MEEB=，设ME=5x，EB=2x，从而可求出AB=14x，BC=72，最后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．【详解】（1）∵MD∥BC，∴∠DME=∠CBA，∵∠ACB=∠MED=90°，∴△MED∽△BCA；（2）∵∠ACB=90°，点M是斜边AB的中点，∴MB=MC=AM，∴∠MCB=∠MBC，∵∠DMB=∠MBC，∴∠MCB=∠DMB=∠MBC，∵∠AMD=180°﹣∠DMB ，∠CMD=180°﹣∠MCB ﹣∠MBC+∠DMB=180°﹣∠MBC ， ∴∠AMD=∠CMD ， 在△AMD 与△CMD 中，MD MD AMD CMD AM CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AMD ≌△CMD （SAS ）； （3）∵MD=CM ， ∴AM=MC=MD=MB ， ∴MD=2AB ，由（1）可知：△MED ∽△BCA ， ∴2114ACB S MD S AB ⎛⎫== ⎪⎝⎭V ，∴S △ACB =4S 1， ∵CM 是△ACB 的中线， ∴S △MCB =12S △ACB =2S 1， ∴S △EBD =S 2﹣S △MCB ﹣S 1=25S 1， ∵1EBDS MES EB=V ， ∴1125S MEEB S =，∴52ME EB =， 设ME=5x ，EB=2x ， ∴MB=7x ， ∴AB=2MB=14x ，∵12MD ME AB BC ==， ∴BC=10x ，∴cos ∠ABC=105147BC x AB x ==. 【点睛】本题考查相似三角形的综合问题，涉及直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，三角形面积的面积比，锐角三角函数的定义等知识，综合程度较高，熟练掌握和灵活运用相关的性质及定理进行解题是关键.4．下图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图.已知BC=4 m,AB=6 m,中间平台宽度DE=1 m,EN,DM,CB为三根垂直于AB的支柱,垂足分别为N,M,B,∠EAB=31°,DF⊥BC于点F,∠CDF=45°,求DM和BC的水平距离BM的长度.(结果精确到0.1 m.参考数据:sin31°≈0.52,cos 31°≈0.86,tan 31°≈0.60)【答案】2.5m.【解析】试题分析：设DF=x，在Rt△DFC中，可得CF=DF=x，则BF=4-x，根据线段的和差可得AN=5-x，EN=DM=BF=4－，在Rt△ANE中，∠EAB=，利用∠EAB的正切值解得x的值．试题解析：解：设DF=，在Rt△DFC中，∠CDF=，∴CF=tan·DF=，又∵CB=4，∴BF=4－，∵AB=6，DE=1，BM= DF=，∴AN=5－，EN=DM=BF=4－，在Rt△ANE中，∠EAB=，EN=4－，AN=5－，tan==0．60，解得=2．5，答：DM和BC的水平距离BM为2．5米．考点：解直角三角形．5．如图，抛物线y=﹣x2+3x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D在抛物线上且横坐标为3．（1）求tan∠DBC的值；（2）点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标．【答案】（1）tan∠DBC=；（2）P（﹣，）．【解析】试题分析：（1）连接CD，过点D作DE⊥BC于点E．利用抛物线解析式可以求得点A、B、C、D的坐标，则可得CD//AB，OB=OC，所以∠BCO=∠BCD=∠ABC=45°．由直角三角形的性质、勾股定理和图中相关线段间的关系可得BC=4，BE=BC﹣DE=．由此可知tan∠DBC=；（2）过点P作PF⊥x轴于点F．由∠DBP=45°及∠ABC=45°可得∠PBF=∠DBC，利用（1）中的结果得到：tan∠PBF=．设P（x，﹣x2+3x+4），则利用锐角三角函数定义推知=，通过解方程求得点P的坐标为（﹣，）．试题解析：（1）令y=0，则﹣x2+3x+4=﹣（x+1）（x﹣4）=0，解得 x1=﹣1，x2=4．∴A（﹣1，0），B（4，0）．当x=3时，y=﹣32+3×3+4=4，∴D（3，4）．如图，连接CD，过点D作DE⊥BC于点E．∵C（0，4），∴CD//AB，∴∠BCD=∠ABC=45°．在直角△OBC中，∵OC=OB=4，∴BC=4．在直角△CDE中，CD=3．∴CE=ED=，∴BE=BC﹣DE=．∴tan∠DBC=；（2）过点P作PF⊥x轴于点F．∵∠CBF=∠DBP=45°，∴∠PBF=∠DBC，∴tan∠PBF=．设P（x，﹣x2+3x+4），则=，解得 x1=﹣，x2=4（舍去），∴P（﹣，）．考点：1、二次函数；2、勾股定理；3、三角函数6．如图，某公园内有一座古塔AB，在塔的北面有一栋建筑物，某日上午9时太阳光线与水平面的夹角为32°，此时塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子CD．中午12时太阳光线与地面的夹角为45°，此时塔尖A在地面上的影子E与墙角C的距离为15米（B、E、C在一条直线上），求塔AB的高度．（结果精确到0.01米）参考数据：sin32°≈0.5299，cos32°≈0.8480，tan32°≈0.6249，2 1.4142．【答案】塔高AB约为32.99米.【解析】【分析】过点D作DH⊥AB，垂足为点H，设AB＝x，则AH＝x﹣3，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：过点D作DH⊥AB，垂足为点H．由题意，得 HB = CD = 3，EC = 15，HD = BC ，∠ABC =∠AHD = 90°， ∠ADH = 32°．设AB = x ，则 AH = x – 3．在Rt △ABE 中，由 ∠AEB = 45°，得 tan tan451ABAEB EB∠=︒==． ∴ EB = AB = x ．∴ HD = BC = BE + EC = x + 15． 在Rt △AHD 中，由 ∠AHD = 90°，得 tan AHADH HD∠=． 即得 3tan3215x x -︒=+． 解得 15tan32332.991tan32x ⋅︒+=≈-︒．∴ 塔高AB 约为32.99米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．7．许昌芙蓉湖位于许昌市水系建设总体规划中部，上游接纳清泥河来水，下游为鹿鸣湖等水系供水，承担着承上启下的重要作用，是利用有限的水资源、形成良好的水生态环境打造生态宜居城市的重要部分．某校课外兴趣小组想测量位于芙蓉湖两端的A ，B 两点之间的距离他沿着与直线AB 平行的道路EF 行走，走到点C 处，测得∠ACF=45°，再向前走300米到点D 处，测得∠BDF=60°．若直线AB 与EF 之间的距离为200米，求A ，B 两点之间的距离（结果保留一位小数）【答案】215.6米． 【解析】 【分析】过A 点做EF 的垂线，交EF 于M 点，过B 点做EF 的垂线，交EF 于N 点，根据Rt △ACM 和三角函数tan BDF ∠求出CM 、DN ，然后根据MN MD DN AB =+=即可求出A 、B 两点间的距离.【详解】解：过A 点做EF 的垂线，交EF 于M 点，过B 点做EF 的垂线，交EF 于N 点在Rt △ACM 中，∵45ACF ∠=︒， ∴AM=CM=200米，又∵CD=300米，所以100MD CD CM =-=米， 在Rt △BDN 中，∠BDF=60°，BN=200米 ∴115.6tan 60BNDN =≈o米，∴215.6MN MD DN AB =+=≈米 即A ，B 两点之间的距离约为215.6米． 【点睛】本题主要考查三角函数，正确做辅助线是解题的关键.8．如图，正方形OABC 的顶点O 与原点重合，点A ，C 分别在x 轴与y 轴的正半轴上，点A 的坐标为（4，0），点D 在边AB 上，且tan ∠AOD ＝12，点E 是射线OB 上一动点，EF ⊥x 轴于点F ，交射线OD 于点G ，过点G 作GH ∥x 轴交AE 于点H ． （1）求B ，D 两点的坐标；（2）当点E 在线段OB 上运动时，求∠HDA 的大小；（3）以点G 为圆心，GH 的长为半径画⊙G ．是否存在点E 使⊙G 与正方形OABC 的对角线所在的直线相切？若不存在，请说明理由；若存在，请求出所有符合条件的点E 的坐标．【答案】（1）B （4，4），D （4，2）；（2）45°；（3）存在，符合条件的点为（8﹣2，8﹣2）或（2，2）或42164216,77⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭或16421642,77⎛-- ⎝⎭，理由见解析 【解析】【分析】（1）由正方形性质知AB=OA=4，∠OAB=90°，据此得B（4，4），再由tan∠AOD= 12得AD=12OA=2，据此可得点D坐标；（2）由1tan2GFGOFOF∠==知GF=12OF，再由∠AOB=∠ABO=45°知OF=EF，即GF=12EF，根据GH∥x轴知H为AE的中点，结合D为AB的中点知DH是△ABE的中位线，即HD∥BE，据此可得答案；（3）分⊙G与对角线OB和对角线AC相切两种情况，设PG=x，结合题意建立关于x的方程求解可得．【详解】解：（1）∵A（4，0），∴OA＝4，∵四边形OABC为正方形，∴AB＝OA＝4，∠OAB＝90°，∴B（4，4），在Rt△OAD中，∠OAD＝90°，∵tan∠AOD＝12，∴AD＝12OA＝12×4＝2，∴D（4，2）；（2）如图1，在Rt△OFG中，∠OFG＝90°∴tan∠GOF＝GFOF ＝12，即GF＝12OF，∵四边形OABC为正方形，∴∠AOB＝∠ABO＝45°，∴OF＝EF，∴GF＝12EF，∴G为EF的中点，∵GH∥x轴交AE于H，∴H为AE的中点，∵B（4，4），D（4，2），∴D为AB的中点，∴DH是△ABE的中位线，∴HD∥BE，∴∠HDA＝∠ABO＝45°．（3）①若⊙G与对角线OB相切，如图2，当点E在线段OB上时，过点G作GP⊥OB于点P，设PG＝x，可得PE＝x，EG＝FG2x，OF＝EF＝2x，∵OA＝4，∴AF＝4﹣2，∵G为EF的中点，H为AE的中点，∴GH为△AFE的中位线，∴GH＝12AF＝12×（4﹣2）＝22，则x＝22x，解得：x＝22，∴E（8﹣2，8﹣2如图3，当点E在线段OB的延长线上时，x＝2x﹣2，解得：x＝2+2，∴E（8+42，8+42）；②若⊙G与对角线AC相切，如图4，当点E在线段BM上时，对角线AC，OB相交于点M，过点G作GP⊥OB于点P，设PG＝x，可得PE＝x，EG＝FG2，OF＝EF＝2x，∵OA＝4，∴AF＝4﹣2，∵G为EF的中点，H为AE的中点，∴GH为△AFE的中位线，∴GH＝12AF＝12×（4﹣2）＝22，过点G作GQ⊥AC于点Q，则GQ＝PM＝3x﹣2∴3x﹣2＝22x，∴227x=，∴42164216,77E⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭；如图5，当点E在线段OM上时，GQ＝PM＝22﹣3x，则22﹣3x＝2﹣2x，解得422x-=，∴16421642,77E⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭；如图6，当点E在线段OB的延长线上时，3x﹣22x﹣2，解得：4227x=（舍去）；综上所述，符合条件的点为（8﹣2，8﹣2）或（2，2）或42164216++⎝⎭或16421642--⎝⎭．【点睛】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握正方形和直角三角形的性质、正切函数的定义、三角形中位线定理及分类讨论思想的运用．9．关于三角函数有如下的公式：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ①cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ②tan（α+β）=③利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如：tan105°=tan（45°+60°）==﹣（2+）．根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：如图，直升飞机在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端D点的俯角α=60°，底端C点的俯角β=75°，此时直升飞机与建筑物CD的水平距离BC为42m，求建筑物CD的高．【答案】建筑物CD的高为84米．【解析】分析：如图，过点D作DE⊥AB于点E，由题意易得∠ACB=75°，∠ABC=90°，DE=BC=42m，∠ADE=60°，这样在Rt△ABC和在Rt△ADE中，结合题中所给关系式分别求出AB和AE的长，即可由CD=BE=AB-AE求得结果了.详解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，由题意可得∠ACB=75°，∠ABC=90°，DE=BC=42m，CD=BE，∠ADE=60°，∴在Rt△ABC和Rt△ADEAB=BC•tan75°=42tan75°=，AE=，∴CD=AB﹣AE=（米）.答：建筑物CD 的高为84米.睛：读懂题意，把已知量和未知量转化到Rt △ABC 和Rt △ADE 中，这样利用直角三角形中边角间的关系结合题目中所给的“两角和的三角形函数公式”即可使问题得到解决.10．已知Rt △ABC,∠A=90°,BC=10,以BC 为边向下作矩形BCDE,连AE 交BC 于F.(1)如图1,当AB=AC,且sin ∠BEF=35时，求BF CF 的值； (2)如图2,当tan ∠ABC=12时,过D 作DH ⊥AE 于H,求EH EA ⋅的值； (3)如图3,连AD 交BC 于G,当2FG BF CG =⋅时,求矩形BCDE 的面积【答案】(1)17；（2）80；（3）100. 【解析】【分析】 (1)过A 作AK ⊥BC 于K ,根据sin ∠BEF=35得出35FK AK =,设FK =3a ,AK =5a ，可求得BF =a ,故17BF CF =；（2）过A 作AK ⊥BC 于K ,延长AK 交ED 于G ,则AG ⊥ED ，得△EGA ∽△EHD ，利用相似三角形的性质即可求出；（3）延长AB 、ED 交于K ,延长AC 、ED 交于T ,根据相似三角形的性质可求出BE =ED ，故可求出矩形的面积.【详解】解：(1)过A 作AK ⊥BC 于K ,∵sin ∠BEF ＝35,sin ∠FAK ＝35, ∴35FK AK =, 设FK =3a ,AK =5a ,∴AK =4a ,∵AB =AC ,∠BAC =90°,∴BK =CK =4a ,∴BF =a ,又∵CF =7a ,∴17BF CF = (2)过A 作AK ⊥BC 于K ,延长AK 交ED 于G ,则AG ⊥ED ，∵∠AGE =∠DHE =90°,∴△EGA ∽△EHD ,∴EH ED EG EA=， ∴·EH EA EG ED ⋅=,其中EG =BK , ∵BC =10,tan ∠ABC ＝12， cos ∠ABC ＝5， ∴BA ＝BC · cos ∠ABC ＝5， BK= BA·cos ∠ABC ＝855⨯= ∴EG =8,另一方面：ED =BC =10,∴EH ·EA =80 (3)延长AB 、ED 交于K ,延长AC 、ED 交于T ,∵BC ∥KT ,BF AF FG KE AE ED ==， ∴BF KE FG DE =，同理：FG ED CG DT= ∵FG 2= BF ·CG ∴BF FG FG CG =， ∴ED 2= KE ·DT ∴KE ED DE DT= ， 又∵△KEB ∽△CDT ,∴KE CD BE DT=， ∴KE ·DT ＝BE 2， ∴BE 2＝ED 2∴ BE =ED∴1010100BCDE S =⨯=矩形【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键根据题意作出辅助线再进行求解.11．如图，在航线l 的两侧分别有观测点A 和B ，点B 到航线l 的距离BD 为4km ，点A 位于点B 北偏西60°方向且与B 相距20km 处．现有一艘轮船从位于点A 南偏东74°方向的C 处，沿该航线自东向西航行至观测点A 的正南方向E 处．求这艘轮船的航行路程CE 的长度．（结果精确到0.1km ）（参考数据：3≈1.73，sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49）【答案】20.9km【解析】分析：根据题意，构造直角三角和相似三角形的数学模型，利用相似三角形的判定与性质和解直角三角形即可.详解：如图，在Rt △BDF 中，∵∠DBF=60°，BD=4km ，∴BF=cos 60BD o =8km ， ∵AB=20km ，∴AF=12km ， ∵∠AEB=∠BDF ，∠AFE=∠BFD ，∴△AEF ∽△BDF ，∴AE BD AF BF， ∴AE=6km ， 在Rt △AEF 中，CE=AE•tan74°≈20.9km ．故这艘轮船的航行路程CE 的长度是20.9km ．点睛：本题考查相似三角形，掌握相似三角形的概念，会根据条件判断两个三角形相似.12．如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，BC 为⊙O 的直径，AE 为⊙O 的切线，过点B 作BD ⊥AE 于D ．（1）求证：∠DBA=∠ABC；（2）如果BD=1，tan∠BAD=，求⊙O的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】试题分析：（1）如图，连接OA，由AE为⊙O的切线，BD⊥AE得到∠DAO=∠EDB=90°，于是得到DB∥AO，推出∠DBA=∠BAO，由于OA=OB，得到∠ABC=∠BAO，即可得到结论；（2）根据三角函数的知识可求出AD，从而根据勾股定理求出AB的长，根据三角函数的知识即可得出⊙O的半径．试题解析：（1）如图，连接OA，∵AE为⊙O的切线，BD⊥AE，∴∠DAO=∠EDB=90°，∴DB∥AO，∴∠DBA=∠BAO，又∵OA=OB，∴∠ABC=∠BAO，∴∠DBA=∠ABC；（2）∵BD=1，tan∠BAD=，∴AD=2，∴AB=，∴cos∠DBA=；∵∠DBA=∠CBA，∴BC=．∴⊙O的半径为2.5．考点：1.切线的性质；2.勾股定理；3.解直角三角形．。
秋九年级数学上册 专题训练 解直角三角形易错问题归纳 (新版)华东师大版
——————————新学期新成绩新目标新方向——————————专题训练(五) 解直角三角形易错问题归纳►易错点一没有找准边、角的对应关系，生搬硬套1．在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝5，求AC与BC的长．►易错点二没有说明在直角三角形中，缺少推理依据2．如图Z－5－1，△ABC是一块绿地，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝20，求△ABC的面积．图Z－5－1►易错点三忽略锐角三角函数的取值范围3．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10.若sin A是方程2x2－3x＋1＝0的根，求BC的长．►易错点四对坡度的概念理解不准确4．［2016·营口］某居民楼紧挨一座山坡AB，经过地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可以确保山体不滑坡．如图Z－5－2所示，已知AE∥BD，斜坡AB的坡角∠ABD＝60°.为防止滑坡，现对山坡进行改造，改造后，斜坡BC与地面BD成45°角，AC＝20米．求斜坡BC 的长．(结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)图Z－5－2►易错点五忘记分类讨论5．在△ABC中，AB＝12 2，AC＝13，cos B＝22，则边BC的长为( )A．7 B．8 C．8或17 D．7或176．在△ABC中，∠A＝30°，AC＝40 cm，BC＝25 cm，求△ABC的面积．1．解：∵tan60°＝AC 5， ∴AC ＝5tan60°＝5 3.由勾股定理，得BC ＝（5 3）2＋52＝10.2．解：如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则AD ＝20cos30°＝10 3， CD ＝12×20＝10， ∴tan45°＝10BD， ∴BD ＝10，∴AB ＝10＋10 3，∴S △ABC ＝12×(10＋10 3)×10＝50＋50 3.3．解：因为方程2x 2－3x ＋1＝0的根为x ＝12或x ＝1， 所以sin A ＝12或sin A ＝1. 由题意知∠A 为锐角，所以0<sin A <1，所以sin A ＝12. 因为sin A ＝BC 10＝12， 所以BC ＝5.4．解：如图，过点A 作AM ⊥BD 于点M ，过点C 作CN ⊥BD 于点N ，则四边形ACNM 为矩形，∴MN ＝AC ，CN ＝AM .∵∠ABD ＝60°，∠CBD ＝45°，∴BN ＝CNtan 45°＝CN ，BM ＝AM tan60°＝33CN ，BC ＝CN sin45°＝2CN . ∵AC ＝BN －BM ，AC ＝20米， ∴20＝CN －33CN ， ∴CN ＝30＋10 3≈47.30(米)，∴BC ＝2CN ≈1.41×47.30≈66.7(米)．答：斜坡BC 的长约是66.7米．5．D6．解：分两种情况讨论：(1)如图①，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则AD ＝40cos30°＝203，CD ＝12×40＝20， ∴DB ＝252－202＝15，∴△ABC 的面积为12×20×(20 3＋15)＝(200 3＋150)cm 2.(2)如图②，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则 AD ＝40cos30°＝20 3，CD ＝12×40＝20，∴DB ＝252－202＝15，∴△ABC 的面积为12×20×(20 3－15)＝(200 3－150)cm 2. 答：△ABC 的面积为(200 3＋150)cm 2或(200 3－150)cm 2.。
解直角三角形易错题型(带答案)
解直角三角形易错题【基础题型】一、选择题1. 在△ABC 中，∠C=90°，下列等式不正确的是（ ）A. sin 2A+cos 2=1B. sin 2（90°- A ）+ cos 2（90°- A ）=1C. C.sin （60°- A ）=cos （30°+ A ）D. tanA · cotA=12. 已知α为锐角，且cos （α-10°）=23，则α等于（ ） A.20° B.40° C.60° D.80°3. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，AC=3，AB=5，则tan ∠BCD 等于（ ）A. 43B.34C.53D.544. 在△ABC 中，∠C=90°，斜边AB=m ，∠B=40°，则直角边BC 的长是（ ）A. msin40°B.msin50°C.mtan40°D.tan40m5. Rt △ABC 中，∠C=90°，两直角边长分别为6，8，现将△ABC 按如图所示方式折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan ∠CBE 的值是（ ）A. 724B.37C.247D.316. 如图，为测量某物体AB 的高度，在D 点测得A 点的仰角为30°，朝物体AB 方向前进20米，到达点C ，再次测得点A 的的仰角为60°，则物体AB 的高度为（ ）A.103米B.10米C.20米D.203米7. 如图，已知楼房AB 高为50米，铁塔塔基距楼房的水平距离BD 为100米，塔高CD 为31503100 m ，则下面结论正确的是（ ）A. 由楼顶望塔顶仰角为60°B.由楼顶望塔基俯角为60°B. 由楼顶望塔顶仰角为30° D.由楼顶望塔基俯角为30°8. 以下对坡度的描述正确的是（ ）A. 坡度是指斜坡与水平线夹角的度数B. 坡度是指斜坡的铅直高度与水平宽度的比C. 坡度是指斜坡的水平宽度与铅直高度的比D. 坡度是指倾斜的角度二、填空题1. 在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，如果CD=4,BD=3，则∠A 的正弦值是 .2. 如图，在Rt △ABC 中，∠CAB=90°，AD 是∠CAB 的平分线，tanB=21，则CD:DB= .3. 在坡度为1：1.5的山坡上植树，要求相邻两树之间的水平距离为6m ，则斜坡上相邻两树的坡面距离为 .4. 如图，在高2m ，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要 m.三、解答题1.甲，乙两名同学在计算锐角A 的正弦值时，甲的答案为sinA=107，乙的答案为sinA=1013.请你不看解答过程，迅速判断哪名同学的答案一定是错误的，并说明理由。
人教版九年级数学下册解直角三角形易错题(含答案)
解直角三角形(第一课时)易错题1 、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 的平分线AD 交BC 于D ，且AD ＝4，AC ＝23，求：sin ∠CAB ＝________．错解：在在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∵2422==-=AC AD AB∴21sin =∠CAD ，又AD 平分∠A ，∴sin ∠CAB=21sin =∠CAD 分析：产生错误的原因是认为：当一个锐角是另一个角的两 倍时，其函数值也为这个锐角的两倍。
正确答案：在在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， ∵2422==-=AC AD AB∴21sin =∠CAD ，∴︒=∠30CAD又∵AD 平分∠A ，∴∠CAB =2∠CAD=60° ∴sin ∠CA B =sin60°=23 应对攻略：当一个角的度数一定时，其函数值不会因为边长的改变而改变。
要求某个锐角的函数值，应该借助直角三角形相应边的比值得到。
2、在中，，AC=1cm ，BC=2cm ，求sinA ，tanA ． 错解 ：在中，∵，AC=1，BC=2，∴． ∴． ∴．∴．分析 错误地应用了“若直角三角形中的一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边对角为”，没有分清斜边和直角边，避免该错误的有效方法是应画出图形，利用“数形结合”进行解答． 正解 在中，∵， ∴．∴，应对攻略：正确解题的关键是结合题意，画出图形，借助图象的直观性，使问题得以解决。
解直角三角形(第二课时)易错题1、已知：一块形状是等腰三角形的空坪，测得腰长为20米，一腰上的高与另腰的夹角为60°，要在这块空坪上种上草皮，请你帮忙计算一下，需要买多少个平方的草皮比较合适？ （结果保留根号）错解： 如图：ABC ∆中，AB=CA ，AB CD ⊥于D ，︒=∠60ACD由：ACCDACD COS =∠，得：310cos =∠=ACD AC CD ∴310021=•=∆CD AB S ABC 答：需要买3100个平方的草皮比较合适分析：由已知条件这是一等腰三角形，并没有指出是锐角等腰三角还是钝角等腰三角形 所以，要分类讨论。
初中解三角形易错题总结
易错题
一．选择题（共7 小题）
1．一个直角三角形有两条边长为 3 和4，则较小锐角的正切值是（）
2．将一副直角三角板中的两块按如图摆放，连AD，则tan ∠DAC的值为（）
3．正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为（）
4．等腰三角形，边长分别是6，8，则底角的余弦是（）
5．正比例函数y=kx 的图象经过点（3，2），则它与x 轴所夹锐角的正切值是（）
6．在Rt△ABC中，锐角A的正弦值为，那么这个三角形的两条直角边长不可能是（）
7．△ABC中，若AB=6，BC=8，∠B=120°，则△ABC的面积为（）
二．填空题（共 1 小题）
8．若等腰三角形两边为4，9，则底角余弦值是_________ ．
三．解答填空题（共 3 小题）
9．如图，△ABC是等腰三角形，∠ACB=90°，过BC的中点D作DE⊥AB，垂足为E，连接CE，
则sin ∠ACE= _________ ．
10．如图，电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，若CD 与地面成45°，∠A=60°，CD=4m，，则电线杆AB的长为_________ 米．
11．在一个含30°角的三角形中，一条边的长为1，另一条边的长为2．那么这个三角形的面
积有_________ 种结果．。
中考数学易错难题（含解析）之直角三角形的边角关系及答案
备战中考数学培优易错难题(含解析)之直角三角形的边角关系及答案一、直角三角形的边角关系1．已知：如图，在四边形 ABCD中， AB∥CD，∠ACB =90°， AB=10cm， BC=8cm， OD垂直平分 A C．点 P从点 B出发，沿 BA方向匀速运动，速度为 1cm/s；同时，点 Q从点 D出发，沿 DC方向匀速运动，速度为 1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P作 PE⊥AB，交 BC于点 E，过点 Q作 QF∥AC，分别交 AD， OD于点 F， G．连接 OP，EG．设运动时间为 t ( s )（0＜t＜5），解答下列问题：（1）当 t为何值时，点 E在BAC的平分线上？（2）设四边形 PEGO的面积为 S(cm2)，求 S与 t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使四边形 PEGO的面积最大？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（4）连接 OE， OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使 OE⊥OQ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）t=4s；（2）S四边形PEGO=-t+382155t+6，(0<t<5)；（3）t=时，28S四边形PEGO取得最大值；（4）t=【解析】【分析】16时，OE⊥OQ.5（1）当点E在∠BAC的平分线上时，因为EP⊥AB，EC⊥AC，可得PE=EC，由此构建方程即可解决问题．（2）根据S四边形OPEG=S△OEG+S△OPE=S△OEG+（S△OPC+S△PCE-S△OEC）构建函数关系式即可．（3）利用二次函数的性质解决问题即可．（4）证明∠EOC=∠QOG，可得tan∠EOC=tan∠QOG，推出可解决问题．【详解】（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=10cm，BC=8cm，∴AC=102-82=6（cm），∵OD垂直平分线段AC，∴OC=OA=3（cm），∠DOC=90°，∵CD∥AB，EC GQ=，由此构建方程即OC OG∴∠BAC=∠DCO，∵∠DOC=∠ACB，∴△DOC∽△BCA，∴∴AC AB BC==，OC CD OD6108==，3CD OD∴CD=5（cm），OD=4（cm），∵PB=t，PE⊥AB，易知：PE=35t，BE=t，44当点E在∠BAC的平分线上时，∵EP⊥AB，EC⊥AC，∴PE=EC，35t=8-t，44∴t=4．∴∴当t为4秒时，点E在∠BAC的平分线上．（2）如图，连接OE，PC．S四边形OPEG=S△OEG+S△OPE=S△OEG+（S△OPC+S△PCE-S△OEC）=⎡11⎛4⎫4⎫1⎛5⎫31⎛⎛5⎫⨯ 4-t⎪⨯3+⎢⨯3⨯ 8-t⎪+⨯ 8-t⎪⨯t-⨯3⨯ 8-t⎪2⎝5⎭4⎭524⎭⎝5⎭2⎝⎝⎣283215t+16(0<t<5)．3（3）存在．=-t+8⎛5⎫68∵S=- t-⎪+(0<t<5)，3⎝2⎭32568时，四边形OPEG的面积最大，最大值为．32（4）存在．如图，连接OQ．∵OE⊥OQ，∴t=∴∠EOC+∠QOC=90°，∵∠QOC+∠QOG=90°，∴∠EOC=∠QOG，∴tan∠EOC=tan∠QOG，∴EC GQ=，OC OG35t8-t4=5，∴434-t5整理得：5t2-66t+160=0，解得t=∴当t=16或10（舍弃）516秒时，OE⊥OQ．5【点睛】本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，多边形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.2．小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架ACO＇后，电脑转到AO＇B＇位置（如图3），侧面示意图为图4．已知OA=OB=24cm，O＇C⊥OA于点C，O＇C=12cm．（1）求∠CAO＇的度数．（2）显示屏的顶部B＇比原来升高了多少？（3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏O＇B＇与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O＇B＇应绕点O＇按顺时针方向旋转多少度？【答案】（1）∠CAO′=30°；（2）（36﹣12方向旋转30°．【解析】）cm；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针试题分析：（1）通过解直角三角形即可得到结果；（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，通过解直角三角形求得BD=OBsin∠BOD=24×=12，由C、O′、B′三点共线可得结果；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，求得∠EO′B′=∠FO′A=30°，既是显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．试题解析：（1）∵O′C⊥OA于C，OA=OB=24cm，∴sin∠CAO′=∴∠CAO′=30°；（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，∵sin∠BOD=∵∠AOB=120°，∴∠BOD=60°，∴BD=OBsin∠BOD=24×∠CAO′=30°，∴∠AO′C=60°，∵∠AO′B′=120°，∴∠AO′B′+∠AO′C=180°，∴O′B′+O′C﹣BD=24+12﹣12=36﹣12，）cm；=12，∴BD=OBsin∠BOD，，∵O′C⊥OA，，∴显示屏的顶部B′比原来升高了（36﹣12（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，理由：∵显示屏O′B与水平线的夹角仍保持120°，∴∠EO′F=120°，∴∠FO′A=∠CAO′=30°，∵∠AO′B′=120°，∴∠EO′B′=∠FO′A=30°，∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．考点：解直角三角形的应用；旋转的性质．3．如图，在平行四边形ABCD中，，与交于点，连接，.的值.（1）求证：四边形（2）若，是菱形；，，求平分，交于点，平分，交于点【答案】（1）证明见解析（2）【解析】试题分析：（1）根据AE平分∠BAD、BF平分∠ABC及平行四边形的性质可得AF=AB=BE，从而可知ABEF为平行四边形，又邻边相等，可知为菱形（2）由菱形的性质可知AP的长及∠PAF=60°，过点P作PH⊥AD于H，即可得到PH、DH 的长，从而可求tan∠ADP试题解析：(1)∵AE平分∠BAD BF平分∠ABC∴∠BAE=∠EAF∠ABF=∠EBF∵AD//BC∴∠EAF=∠AEB∠AFB=∠EBF∴∠BAE=∠AEB∠AFB=∠ABF∴AB=BE AB=AF∴AF=AB=BE∵AD//BC∴ABEF为平行四边形又AB=BE∴ABEF为菱形（2）作PH⊥AD于H由∠ABC=60°而已（1）可知∠PAF=60°，PA=2，则有PH=∴tan∠ADP=，AH=1，∴DH=AD-AH=5考点：1、平行四边形；2、菱形；3、直角三角形；4、三角函数4．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，点D在边AC上且BD平分∠ABC，设CD=x．（1）求证：△ABC∽△BCD；（2）求x的值；（3）求cos36°-cos72°的值．【答案】(1)证明见解析；（2）【解析】75+8-1+5；（3）．162试题分析：（1）由等腰三角形ABC中，顶角的度数求出两底角度数，再由BD为角平分线求出∠DBC的度数，得到∠DBC=∠A，再由∠C为公共角，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ABC与三角形BCD相似；（2）根据（1）结论得到AD=BD=BC，根据AD+DC表示出AC，由（1）两三角形相似得比例求出x的值即可；（3）过B作BE垂直于AC，交AC于点E，在直角三角形ABE和直角三角形BCE中，利用锐角三角函数定义求出cos36°与cos72°的值，代入原式计算即可得到结果．试题解析：（1）∵等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=36°，∵∠CBD=∠A=36°，∠C=∠C，∴△ABC∽△BCD；（2）∵∠A=∠ABD=36°，∴AD=BD，∵BD=BC，∴AD=BD=CD=1，设CD=x，则有AB=AC=x+1，∵△ABC∽△BCD，AB BC x+11==，，即BD CD1x整理得：x2+x-1=0，∴解得：x1=则x=-1-5-1+5，x2=（负值，舍去），22-1+5；2（3）过B作BE⊥AC，交AC于点E，∵BD=CD，∴E为CD中点，即DE=CE=-1+5，4-1+5AE5+14==在Rt△ABE中，cosA=cos36°=，AB-1+54+121+-1+5在Rt△BCE中，cosC=cos72°=EC-1+5，4==BC14则cos36°-cos72°==5+1-1+51-=．244【考点】1.相似三角形的判定与性质；2.等腰三角形的性质；3.黄金分割；4.解直角三角形．5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm，AD是斜边BC上的高，垂足为D，BE=1cm．点M从点B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动，点N从点E出发，与点M 同时同方向以相同的速度运动，以MN为边在BC的上方作正方形MNGH．点M到达点D 时停止运动，点N到达点C时停止运动．设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，点G刚好落在线段AD上？（2）设正方形MNGH与Rt△ABC重叠部分的图形的面积为S，当重叠部分的图形是正方形时，求出S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围．（3）设正方形MNGH的边NG所在直线与线段AC交于点P，连接DP，当t为何值时，△CPD是等腰三角形？【答案】（1）3；（2）【解析】；（3）t=9s或t=（15﹣6）s.试题分析：（1）求出ED的距离即可求出相对应的时间t.（2）先求出t的取值范围，分为H在AB上时，此时BM的距离，进而求出相应的时间．同样当G在AC上时，求出MN的长度，继而算出EN的长度即可求出时间，再通过正方形的面积公式求出正方形的面积.（3）分DP=PC和DC=PC两种情况，分别由EN的长度便可求出t的值．试题解析：∵∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm∴AB=8cm，BD=4cm，AC=8cm，DC=12cm，AD=4cm.（1）∵当G刚好落在线段AD上时，ED=BD﹣BE=3cm∴t=s=3s．（2）∵当MH没有到达AD时，此时正方形MNGH是边长为1的正方形，令H点在AB 上，则∠HMB=90°，∠B=60°，MH=1∴BM=cm.∴t=s.当MH到达AD时，那么此时的正方形MNGH的边长随着N点的继续运动而增大，令G点在AC上，设MN=xcm，则GH=DH=x，AH=∵AD=AH+DH=∴x=3．当≤t≤4时，SMNGN =1cm2．x+x=x=4x，，当4＜t≤6时，SMNGH=（t﹣3）2cm2∴S关于t的函数关系式为：（3）分两种情况：.①∵当DP=PC时，易知此时N点为DC的中点，∴MN=6cm ∴EN=3cm+6cm=9cm.∴t=9s故当t=9s的时候，△CPD为等腰三角形；②当DC=PC时，DC=PC=12cm∴NC=6cmcm=（15﹣6）cm∴EN=16cm﹣1cm﹣6∴t=（15﹣6故当t=（15﹣6）s）s时，△CPD为等腰三角形．）s时，△CPD为等腰三角形．综上所述，当t=9s或t=（15﹣6考点：1.双动点问题；2.锐角三角函数定义；3.特殊角的三角函数值；4.正方形的性质；5.由实际问题列函数关系式；6.等腰三角形的性质；7.分类思想的应用.11x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过22A、B两点，与x轴的另一个交点为C．（1）求抛物线的解析式；6．如图，直线y＝（2）根据图象，直接写出满足11x+2≥﹣x2+bx+c的x的取值范围；22（3）设点D为该抛物线上的一点、连结AD，若∠DAC＝∠CBO，求点D的坐标．【答案】（1）y=-（2，﹣3）．【解析】【分析】（1）由直线y＝式；123x-x+2；（2）当x≥0或x≤﹣4；（3）D点坐标为（0，2）或221x+2求得A、B的坐标，然后根据待定系数法即可求得抛物线的解析2（2）观察图象，找出直线在抛物线上方的x的取值范围；（3）如图，过D点作x轴的垂线，交x轴于点E，先求出CO＝1，AO＝4，再由∠DAC＝∠CBO，得出tan∠DAC＝tan∠CBO，从而有，【详解】解：（1）由y＝DE CO=,最后分类讨论确定点D的坐标．AE BO1x+2可得：2当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝﹣4，∴A（﹣4，0），B（0，2），3⎧b=-1⎪把A、B的坐标代入y＝﹣x2+bx+c得：⎨2，，2⎪⎩c=2123x-x+22211（2）当x≥0或x≤﹣4时，x+2≥﹣x2+bx+c22∴抛物线的解析式为：y=-（3）如图，过D点作x轴的垂线，交x轴于点E，123x-x+2令y＝0，22解得：x1＝1，x2＝﹣4，∴CO＝1，AO＝4，123设点D的坐标为（m，-m-m+2），22∵∠DAC＝∠CBO，∴tan∠DAC＝tan∠CBO，DE CO=∴在Rt△ADE和Rt△BOC中有，AE BO由y=13-m2-m+21当D在x轴上方时，22=m+42解得：m1＝0，m2＝﹣4（不合题意，舍去），∴点D的坐标为（0，2）．13-(-m2-m+2)1当D在x轴下方时，22=m+42解得：m1＝2，m2＝﹣4（不合题意，舍去），∴点D的坐标为（2，﹣3），故满足条件的D点坐标为（0，2）或（2，﹣3）．【点睛】本题是二次函数综合题型，主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式．解题的关键是能够熟练掌握一次函数和二次函数的有关知识解决问题，分类讨论是第（3）题的难点．7．如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；（2）连接FC，观察并直接写出∠FCN的度数（不要写出解答过程）（3）如图（2），将图中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB＝6，BC＝8，E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变，若∠FCN的大小不变，请求出tan∠FCN的值．若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．【答案】（1）见解析；（2）∠FCN＝45°，理由见解析；（3）当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，tan∠FCN＝【解析】【分析】（1）根据三角形判定方法进行证明即可．（2）作FH⊥MN于H．先证△ABE≌△EHF，得到对应边相等，从而推出△CHF是等腰直角三角形，∠FCH的度数就可以求得了．（3）解法同（2），结合（1）（2）得：△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE，得出EH=AD=BC=8，由三角函数定义即可得出结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AB＝AD，AE＝AG＝EF，∠BAD＝∠EAG＝∠ADC＝90°，∴∠BAE+∠EAD＝∠DAG+∠EAD，∠ADG＝90°＝∠ABE，∴∠BAE＝∠DAG，在△ADG和△ABE中，4．理由见解析.3⎧∠ADG=∠ABE⎪⎨∠DAG=∠BAE，⎪AD=AB⎩∴△ADG≌△ABE（AAS）．（2）解：∠FCN＝45°，理由如下：作FH⊥MN于H，如图1所示：则∠EHF＝90°＝∠ABE，∵∠AEF＝∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠FEH+∠AEB＝90°，∴∠FEH＝∠BAE，在△EFH和△ABE中，⎧∠EHF=∠ABE⎪⎨∠FEH=∠BAE，⎪EF=AE⎩∴△EFH≌△ABE（AAS），∴FH＝BE，EH＝AB＝BC，∴CH＝BE＝FH，∵∠FHC＝90°，∴∠FCN＝45°．（3）当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，理由如下：作FH⊥MN于H，如图2所示：由已知可得∠EAG＝∠BAD＝∠AEF＝90°，结合（1）（2）得：△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE，∴EH＝AD＝BC＝8，∴CH＝BE，∴EH FH FH==；AB BE CHFH EH84===，CH AB634．3在Rt△FEH中，tan∠FCN＝∴当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，tan∠FCN＝【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形，矩形的判定及全等三角形的判定方法等知识点的综合运用，其重点是通过证三角形全等或相似来得出线段的相等或成比例．8．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F，切点为G，连接AG交CD于K．（1）如图1，求证：KE＝GE；（2）如图2，连接CABG，若∠FGB＝1∠ACH，求证：CA∥FE；23，AK＝10，求CN5（3）如图3，在（2）的条件下，连接CG交AB于点N，若sin E＝的长．【答案】（1）证明见解析；（2）△EAD是等腰三角形．证明见解析；（3）【解析】试题分析：2010.13（1）连接OG，则由已知易得∠OGE=∠AHK=90°，由OG=OA可得∠AGO=∠OAG，从而可得∠KGE=∠AKH=∠EKG，这样即可得到KE=GE；（2）设∠FGB=α，由AB是直径可得∠AGB=90°，从而可得∠KGE=90°-α，结合GE=KE可得∠EKG=90°-α，这样在△GKE中可得∠E=2α，由∠FGB=∠E=∠ACH，由此即可得到CA∥EF；（3）如下图2，作NP⊥AC于P，由（2）可知∠ACH=∠E，由此可得sinE=sin∠ACH=CH=4a，则tan∠CAH=1∠ACH可得∠ACH=2α，这样可得2AH3=，设AH=3a，可得AC=5a，AC5CH4=，由（2）中结论易得∠CAK=∠EGK=∠EKG=∠AKC，从而可AH3AH=3，AK=10a，结合AK=10可得a=1，HK得CK=AC=5a，由此可得HK=a，tan∠AKH=则AC=5；在四边形BGKH中，由∠BHK=∠BKG=90°，可得∠ABG+∠HKG=180°，结合∠AKH+∠GKG=180°，∠ACG=∠ABG可得∠ACG=∠AKH，在Rt△APN中，由tan∠CAH=tan∠ACG=4PN=，可设PN=12b，AP=9b，由3APPN5 =tan∠AKH=3可得CP=4b，由此可得AC=AP+CP=13b=5，则可得b=，由CP13此即可在Rt△CPN中由勾股定理解出CN的长.试题解析：（1）如图1，连接OG．∵EF切⊙O于G，∴OG⊥EF，∴∠AGO+∠AGE=90°，∵CD⊥AB于H，∴∠AHD=90°，∴∠OAG=∠AKH=90°，∵OA=OG，∴∠AGO=∠OAG，∴∠AGE=∠AKH，∵∠EKG=∠AKH，∴∠EKG=∠AGE，∴KE=GE．（2）设∠FGB=α，∵AB是直径，∴∠AGB=90°，∴∠AGE=∠EKG=90°﹣α，∴∠E=180°﹣∠AGE﹣∠EKG=2α，1∠ACH，2∴∠ACH=2α，∴∠ACH=∠E，∴CA∥FE．∵∠FGB=（3）作NP⊥AC于P．∵∠ACH=∠E，∴sin∠E=sin∠ACH=则CH=2AH3=，设AH=3a，AC=5a，AC52AC-CH=4a，tan∠CAH=CH4=，AH3∵CA∥FE，∴∠CAK=∠AGE，∵∠AGE=∠AKH，∴∠CAK=∠AKH，∴AC=CK=5a，HK=CK﹣CH=4a，tan∠AKH=∵AK=10，∴AH=3，AK=AH2+HK2=10a，HK10a=10，∴a=1．AC=5，∵∠BHD=∠AGB=90°，∴∠BHD+∠AGB=180°，在四边形BGKH中，∠BHD+∠HKG+∠AGB+∠ABG=360°，∴∠ABG+∠HKG=180°，∵∠AKH+∠HKG=180°，∴∠AKH=∠ABG，∵∠ACN=∠ABG，∴∠AKH=∠ACN，∴tan∠AKH=tan∠ACN=3，∵NP⊥AC于P，∴∠APN=∠CPN=90°，在Rt△APN中，tan∠CAH=在Rt△CPN中，tan∠ACN=∴CP=4b，∴AC=AP+CP=13b，∵AC=5，∴13b=5，∴b=PN4=，设PN=12b，则AP=9b，AP3PN=3，CP5，132010．13∴CN=PN2+CP2=410⋅b=9．已知Rt△ABC,∠A=90°,BC=10,以BC为边向下作矩形BCDE,连AE交BC于F. (1)如图1,当AB=AC,且sin∠BEF=3BF时，求的值；CF5(2)如图2,当tan∠ABC=1时,过D作DH⊥AE于H,求EH⋅EA的值；2(3)如图3,连AD交BC于G,当FG2=BF⋅CG时,求矩形BCDE的面积【答案】(1)【解析】【分析】1；（2）80；（3）100.7(1)过A作AK⊥BC于K,根据sin∠BEF=3FK3=,设FK=3a,AK=5a，可求得BF=a,故得出5AK5BF1=；（2）过A作AK⊥BC于K,延长AK交ED于G,则AG⊥ED，得△EGA∽△EHD，CF7利用相似三角形的性质即可求出；（3）延长AB、ED交于K,延长AC、ED交于T,根据相似三角形的性质可求出BE=ED，故可求出矩形的面积.【详解】解：(1)过A作AK⊥BC于K,∵sin∠BEF＝∴33,sin∠FAK＝,55FK3=,AK5设FK=3a,AK=5a,∴AK=4a,∵AB=AC,∠BAC=90°,∴BK=CK=4a,∴BF=a,又∵CF=7a,∴BF1=CF7(2)过A作AK⊥BC于K,延长AK交ED于G,则AG⊥ED，∵∠AGE=∠DHE=90°,∴△EGA∽△EHD,∴EH ED=，EG EA∴EH⋅EA=EG·ED,其中EG=BK,∵BC=10,tan∠ABC＝cos∠ABC＝1，22，520，5∴BA＝BC· cos∠ABC＝BK= BA·cos∠ABC＝∴EG=8,另一方面：ED=BC=10,∴EH·EA=80202⨯=855(3)延长AB、ED交于K,延长AC、ED交于T,∵BC∥KT,∴BF AF FG==，KE AE EDBF KE FG ED==，同理：FG DE CG DTBF FG=，FG CGKE ED=，DE DT∵FG2= BF·CG∴∴ED2= KE·DT∴KE CD=，BE DT∴KE·DT＝BE2，∴BE2＝ED2∴BE=ED∴S矩形BCDE=10⨯10=100又∵△KEB∽△CDT,∴【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键根据题意作出辅助线再进行求解. 10．如图，半圆O的直径AB＝20，弦CD∥AB，动点M在半径OD上，射线BM与弦CD 相交于点E（点E与点C、D不重合），设OM＝m．（1）求DE的长（用含m的代数式表示）；（2）令弦CD所对的圆心角为α，且sinα2=4．5①若△DEM的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出m的取值范围；②若动点N在CD上，且CN＝OM，射线BM与射线ON相交于点F，当∠OMF＝90°时，求DE的长．100-10m503m2-60m+300【答案】（1）DE＝；（2）①S＝，（＜m＜10），m13m5.2【解析】【分析】②DE＝（1）由CD∥AB知△DEM∽△OBM，可得DE DM=，据此可得；OB OM1∠COD，据此2（2）①连接OC、作OP⊥CD、MQ⊥CD，由OC＝OD、OP⊥CD知∠DOP＝可得sin∠DOP＝sin∠DMQ＝DM sin∠ODP＝43、sin∠ODP＝，继而由OM＝m、OD＝10得QM＝553（10﹣m），根据三角形的面积公式即可得；如图2，先求得PD＝8、CD5CD DM50=，求得OM＝，据此可得m的取值范围；BO OM133＝6，可得OM＝8，根据（1）所求结果可得答5＝16，证△CDM∽△BOM得②如图3，由BM＝OB sin∠BOM＝10×案．【详解】（1）∵CD∥AB，∴△DEM∽△OBM，∴DE DM DE10-m==，即，OB OM10m∴DE＝100-10m；m（2）①如图1，连接OC、作OP⊥CD于点P，作MQ⊥CD于点Q，∵OC＝OD、OP⊥CD，∴∠DOP＝∵sin1∠COD，2α2＝4，543，sin∠ODP＝，55∴sin∠DOP＝sin∠DMQ＝∵OM＝m、OD＝10，∴DM＝10﹣m，∴QM＝DM sin∠ODP＝3（10﹣m），511100-10m33m2-60m+300×（10﹣m）＝则S△DEM＝DE•MQ＝×，22m5m如图2，∵PD＝OD sin∠DOP＝10×∴CD＝16，∵CD∥AB，∴△CDM∽△BOM，∴4＝8，5CD DM1610-OM==，即，BO OM10OM50，13解得：OM＝∴50＜m＜10，13503m2-60m+300∴S＝，（＜m＜10）．13m②当∠OMF＝90°时，如图3，则∠BMO＝90°，在Rt△BOM中，BM＝OB sin∠BOM＝10×则OM＝8，由（1）得DE＝【点睛】本题主要考查圆的综合题，解题的关键是熟练掌握圆的有关性质、相似三角形的判定与性质及解直角三角形的能力．3＝6，5100-10⨯85=．8211．如图所示，一堤坝的坡角∠ABC=62︒，坡面长度AB=25米(图为横截面)，为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB=50︒，则此时应将坝底向外拓宽多少米？(结果保留到0.01米)(参考数据：sin62︒≈0.88，cos62︒≈0.47，tan50︒≈1.20)【答案】6.58米【解析】试题分析：过A点作AE⊥CD于E．在Rt△ABE中，根据三角函数可得AE，BE，在Rt△ADE中，根据三角函数可得DE，再根据DB=DE﹣BE即可求解．试题解析：过A点作AE⊥CD于E．在Rt△ABE中，∠ABE=62°．∴AE=AB•sin62°=25×0.88=22米，BE=AB•cos62°=25×0.47=11.75米，在Rt△ADE中，∠ADB=50°，∴DE=∴DB=DE﹣BE≈6.58米．故此时应将坝底向外拓宽大约6.58米．=18米，考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，0），点B（0，33），点O为原点．动点C、D分别在直线AB、OB上，将△BCD沿着CD折叠，得△B'CD．（Ⅰ）如图1，若CD⊥AB，点B'恰好落在点A处，求此时点D的坐标；（Ⅱ）如图2，若BD=AC，点B'恰好落在y轴上，求此时点C的坐标；（Ⅲ）若点C的横坐标为2，点B'落在x轴上，求点B'的坐标（直接写出结果即可）．【答案】（1）D（0，3）；（2）C（12﹣63，123﹣18）；（3）B'（2+13，0），（2﹣13，0）.【解析】【分析】(1)设OD为x，则BD=AD=33x，在RT△ODA中应用勾股定理即可求解；(2)由题意易证△BDC∽△BOA，再利用A、B坐标及BD=AC可求解出BD长度，再由特殊角的三角函数即可求解；(3)过点C作CE⊥AO于E，由A、B坐标及C的横坐标为2，利用相似可求解出BC、CE、OC等长度；分点B’在A点右边和左边两种情况进行讨论，由翻折的对称性可知BC=B’C，再利用特殊角的三角函数可逐一求解.【详解】（Ⅰ）设OD为x，∵点A（3，0），点B（0，33），∴AO=3，BO=33∴AB=6∵折叠∴BD=DA在Rt△ADO中，OA2+OD2=DA2．∴9+OD2=（33﹣OD）2．∴OD=3∴D（0，3）（Ⅱ）∵折叠∴∠BDC=∠CDO=90°∴CD∥OA∴∴BD BC=且BD=AC，BO ABBD6-BD=633∴BD=123﹣18∴OD=33﹣（123﹣18）=18﹣93∵tan∠ABO=AO3，=OB3CD3，=BD3∴∠ABC=30°，即∠BAO=60°∵tan∠ABO=∴CD=12﹣63∴D（12﹣63，123﹣18）（Ⅲ）如图：过点C作CE⊥AO于E∵CE⊥AO∴OE=2，且AO=3∴AE=1，∵CE⊥AO，∠CAE=60°∴∠ACE=30°且CE⊥AO∴AC=2，CE=3∵BC=AB﹣AC∴BC=6﹣2=4若点B'落在A点右边，∵折叠∴BC=B'C=4，CE=3，CE⊥OA∴B'E=B'C2-CE2=13∴OB'=2+13∴B'（2+13，0）若点B'落在A点左边，∵折叠∴BC=B'C=4，CE=3，CE⊥OA∴B'E=B'C2-CE2=13∴OB'=13﹣2∴B'（2﹣13，0）综上所述：B'（2+13，0），（2﹣13，0）【点睛】本题结合翻折综合考查了三角形相似和特殊角的三角函数，第3问中理解B’点的两种情况是解题关键.。
【易错题】沪科版九年级数学上册《第23章解直角三角形》单元检测试卷含答案解析.doc
【易错题解析】沪科版九年级数学上册 第23章 解直角三角形 单元检测试卷、单选题（共10题；共30分）1 •在 RtA ABC 中,ZC=90°, ZB=35°, AB=7,则 BC 的长为()2•在△ ABC 中,ZC=90%若cosB 哼则ZB 的值为（）A.30°B.60°C.45° 3.要在宽为22米的九州大道AB 两边安装路灯，路灯的灯臂CD 长2米，且与灯柱BC成220。
角，路灯采用 圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO 与灯臂CD 垂直，当灯罩的轴线DO 通过公路路面的中心线时照明效果最佳, 此时，路灯的灯柱BC 高度应该设计为（）5•如果把RtA ABC 的三边长度都扩大2倍，那么锐角A 的余眩值（6.在AABC 中，若|sinA-||+ (^-tanB) 2=0,则ZC 的度数为( )7.（2017<滨州）如图，在△ ABC 中，AC 丄BC, ZABC=30°,点D 是CB 延长线上的一点,且BD=BA,则tan ZD ACA. 7sin35°B.7cos35°C. 7tan35° 7D ・ cos35 D ・90B. (11V3-4)米C. (11-2V3)米D. (11V3-2V2)米4.已知点A, B 分别在反比例函数y 二彳（x>0）,y= — （x>0）的图象上.ROA 丄OB,则tanB 为（） XB 2 D iA.扩大到原来的2倍B.缩小到原来的jC.不变D.都不能确定 A. 30° B. 60° C. 90° D.120°的值为（）A. (11-2^2)米A. 2+ V3B. 2 V3C. 3+ V3D. 3 V3 8•在Rt/XABC 中，ZC=90\ AC=5, ZA=a,那么BC 的长是()9. （2017＞深圳）如图，学校环保社成员想测量斜坡CD 旁一棵树AB 的高度，他们先在点C 处测得树 顶B 的仰角为60° ,然后在坡顶D 测得树顶B 的仰角为30° ,已知斜坡CD 的长度为20m , DE 的长为10m ,则树AB 的高度是（）m二.填空题（共10题；共30分）□.计算：5 — 3.14）° 一 2V3COS 30° + （|）-2-|-3| = ______________ .22.计算：sin 260°+cos 260° - tan45°= _________ .13•若 sinA 二-,则 cos （90。
浙教版初中数学九年级下册解直角三角形在实际问题中的运用 易错点剖析
三角函数的应用常见错误示例一、例1 在Rt △ABC 中，如果各边长都扩大为原来的2倍，则锐角A 的正切值（ ）A.扩大2倍B.缩小2倍C.扩大4倍D.没有变化错解： 选A.错解分析： 该题选A 是对锐角三角函数的定义不理解所致，根据锐角三角函数的定义可知应选D.可画出草图，结合图形分析.要明白三角函数的本质只是一个比值.正解：D.二、例2 在△ABC 中，若sin A =32，且a =4，能否求出b ，c 的值？ 错解： ∵sin A =c a =32，∴c 4=32，∴c =6 由勾股定理，得b =22a c -=1636-=20=25错解分析： 对锐角三角函数的适用条件没有认真思考，△ABC 并没有说是直角三角形所以不能当做是直角三角形来求.正解：不能，因为△ABC 不一定是直角三角形.三、例3 在△ABC 中，∠B =90°，BC =3，AB =5，求tan A ，cos A 的值.错解： 在Rt △ABC 中，AC =22BC AB -=2235-=4. tan A =AC BC =43，cos A =AB AC =54. 错解分析： 题中已指出∠B =90°，所以AC 应为Rt △ABC 的斜边，而上述解法是从印象出发，误以为∠C 的对边AB 是斜边，因此，解题时应认真审题，注意所给条件，分清斜边和直角边.正解：在Rt △ABC 中，∠B =90°，AC 925+=34.tan A =AB BC =53， cos A =AC AB =345=34345. 四、例4 在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =1，BC =2，求sin A ，tan A 的值.错解： 在Rt △ABC 中，∵∠C =90°，AC =21BC ， ∴∠B =30°∴∠A =90°-∠B =60°.∴sin A =sin60°=23， tan A =tan60°=3.错解分析：本题错误地认为，直角三角形中，一条直角边等于另一条边的一半，那么这条边所对的角就是30°，没有分清斜边和直角边.正解：在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AB =22BC AC +=2221+=5.∴sin A =AB BC =52=552. tan A =AC BC =12=2. 五、例5 如图，飞机于空中A 处，测得地面目标B 处的俯角为α，此时飞机高度AC 为a 米，则BC 的距离为（ ）米A.a tanαB. a tan αC. a sin αD.a cos α错解：选A.在Rt △ABC 中，∠BAC =α，AC =a ， ∴ACBC =tan α， ∴BC =AC ·tan α=a tan α 错解分析： 本题的错误在于没弄清俯角的定义，俯角是从上往下看时，视线与水平线的夹角，所以∠DAB =α，而不是∠BAC =α，正解：选B. ∵飞机在A 处目测B 的俯角为α，∴∠ABC =α又∵在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =a ，∴tan ∠ABC =BCAC ， ∴BC =a =tan ABC tan ∠AC α 六、 例6 已知0°＜α＜30°，求cos α的取值范围（ ）A CB D αA.0＜cos α＜21B. 21＜cos α＜22 C. 22＜cos α＜23 D.23＜cos α＜1 错解：选A.错解分析： 误将余弦函数当成正弦函数来求解，余弦函数的函数值是随着锐角度数的增大而减小，而正弦函数的函数值才是随着锐角度数的增大而增大.另外容易记错特殊角度的函数值也是这种题型的易错点之一，大家在解题过程中要注意多加体会！正解：选D.七、概念不清出错例7 如图，直升机在长江大桥AB 上方P 点处，此时飞机离地面高度为a cm ，且A ，B ，O 三点在一条直线上，测得点A 俯角为α，点B 的俯角为β，求长江大桥AB 的长度.错解： 在Rt △AOP 中，tan ∠APO =OP OA ，∠APO =α， ∴ OA =OP ·tan α.在Rt △BPO 中，∠BPO =β.∵tan ∠BPO =OPOB ， ∴OB =OP ·tan ∠BPO .∴AB =OA -OB =OP (tan α-tan β)=a (tan α-tan β).错解分析：把从P 点观测A 点的俯角误认为∠APO ，从P 点观测B 点的俯角误认为∠BPO ，只有弄清俯角概念才能避免该错误.正解：根据题意，得∠CP A =α，∠BPC =β，∴∠P AO =α，∠PBO =β.在Rt △POA 中，∵cot ∠P AO =OPOA ， ∴OA =OP ·cot α.在Rt △POB 中， ∵cot ∠PBO =OPOB ， A B C P O a∴OB =OP ·cot β.∴AB =OA -OB =OP ·cot α-OP ·cot β=OP (cot α-cot β)=a (cot α-cot β).八、忽略直角三角形出错例8 在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边为a ，b ，c ，且a :b :c =3:4:5，求证sin A +sin B =57. 错解：设a =3k ，b =4k ，c =5k ， 则sin A =c a =k k 53=53， sin B =c b =k k 54=54， ∴sin A +sin B =53+54=57. 错解分析：本题中没有说明∠C =90°，而直接应用正弦、余弦函数的定义是错误的，应先证明△ABC 为直角三角形，且∠C =90°后才能用定义.正解：设a =3k ，b=4k ，c =5k (k ＞0)，∵a 2+b 2=(3k )2+(4k )2=25k 2=c 2，∴△ABC 是以c 为斜边的直角三角形.∴∠C =90°.则sin A =c a =k k 53=53， sin B =c b =k k 54=54， ∴sin A +sin B =53+54=57.。
中考易错点《解直角三角形》
4.8解直角三角形易错清单1.涉及锐角三角函数的概念时,是否明确“对边”“邻边”“斜边”都是在“直角三角形”中.【例1】(2014·广东广州)如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC的三个顶点均在格点上,则tan A等于().【解析】【答案】 D【误区纠错】本题容易出错的是,而错选C.2.实际问题中对坡角、俯角、仰角与方位角等找不准无法准确理解题意易出错.【例2】(2014·广东深圳)小明去爬山,在山脚看山顶角度为30°,小明在坡比为5∶12的山坡上走1 300米,此时小明看山顶的角度为60°,求山高().【解析】,即tanα(α为坡角)的值.坡度为5∶12,则tanα=,通过构造两个直角三角形△ABE与△BDF,分别求解可得DF与EB的值,再利用图形关系,进而可求出答案.【答案】∵BE∶AE=5∶12,∴BE∶AE∶AB=5∶12∶13.∵AB=1 300米,∴AE=1 200米,BE=500米.设EC=x米,∵∠DBF=60°,【误区纠错】解决实际问题时,常因对名词术语如俯角、仰角、方位角、坡角等概念了解不清导致错误.名师点拨掌握锐角三角函数的概念,会熟练运用特殊角的三角函数值.提分策略1.求锐角三角函数值的问题.解决与网格有关的三角函数求值题的基本思路是从所给的图形中找出直角三角形,确定直角三角形的边长,依据三角函数的定义进行求解.【例1】如图所示,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则sin A的值为().【解析】利用网格构造直角三角形,根据锐角三角函数的定义解答.如图,连接CO.根据网格的特点,CO⊥AB.在Rt△AOC中,【答案】 B2.特殊锐角的三角函数值的应用.【例2】在△ABC中,若∠A,∠B满足,则∠C= . 【解析】得∠A=60°,∠B=45°,则∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°.【答案】75°.3.解直角三角形的问题.作三角形的高,将非直角三角形转化为直角三角形,是解直角三角形常用的方法.【例3】(2014·四川遂宁)如图,根据图中数据完成填空,再按要求答题:(1)(2)(3)(4)sin2A1+sin2B1= ;sin2A2+sin2B2= ;sin2A3+sin2B3= .(1)观察上述等式,猜想:在Rt△ABC中,∠C=90°,都有sin2A+sin2B= ;(2)如图(4),在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,利用三角函数的定义和勾股定理,证明你的猜想.(3)已知:∠A+∠B=90°,且sin A=,求sinB.【解析】(1)由前面的结论,即可猜想出:在Rt△ABC中,∠C=90°,都有sin2A+sin2B=1. (2)在Rt△ABC中,∠C=90°.利用锐角三角函数的定义得出sin A=,sin B=,则sin2A+sin2B=,再根据勾股定理得到a2+b2=c2,从而证明sin2A+sin2B=1.(3)利用关系式sin2A+sin2B=1,结合已知条件sin A=,进行求解.【答案】(1)14.利用解直角三角形解决实际问题.【例4】(2014·甘肃白银)为倡导“低碳生活”,人们常选择以自行车作为代步工具、图(1)所示的是一辆自行车的实物图.图(2)是这辆自行车的部分几何示意图,其中车架档AC与CD 的长分别为45cm和60cm,且它们互相垂直,座杆CE的长为20cm.点A,C,E在同一条直线上,且∠CAB=75°.(参考数据:sin75°=0.966,cos75°=0.259,tan75°=3.732)(1)(2)(1)求车架档AD的长;(2)求车座点E到车架档AB的距离(结果精确到1cm).【解析】(1)在Rt△ACD中利用勾股定理求AD即可.(2)过点E作EF⊥AB,在Rt△EFA中,利用三角函数求EF=AE sin75°,即可得到答案.【答案】(1)∵在Rt△ACD中,AC=45cm,DC=60cm,∴车架档AD的长是75cm.(2)过点E作EF⊥AB,垂足为F,∵AE=AC+CE=(45+20)cm,∴EF=AE sin75°=(45+20)sin75°≈62.7835≈63(cm),∴车座点E到车架档AB的距离约是63cm.【例5】(2014·四川内江)“马航事件”的发生引起了我国政府的高度重视,迅速派出了舰船和飞机到相关海域进行搜寻.如图,在一次空中搜寻中,水平飞行的飞机观测得在点A俯角为30°方向的点F处有疑似飞机残骸的物体(该物体视为静止).为了便于观察,飞机继续向前飞行了800米到达B点,此时测得点F在点B俯角为45°的方向上,请你计算当飞机飞临点F 的正上方点C时(点A,B,C在同一直线上),竖直高度CF约为多少米?(结果保留整数,参考数值:≈1.7)【解析】此题考查了考查俯角的定义,要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形.注意方程思想与数形结合思想的应用.【答案】∵∠BCF=90°,∠FBC=45°,∴BC=CF.∵∠CAF=30°,解得CF=400+400≈400(1.7+1)=1 080(米).故竖直高度CF约为1080米.专项训练一、选择题1. (2014·安徽芜湖模拟)已知a=3,且(4tan45°-b)2+=0,以a,b,c为边组成的三角形面积等于().A. 6B. 7C. 8D. 9(第2题)2. (2013·吉林镇赉县一模)如图,O为原点,点A的坐标为(3,0),点B的坐标为(0,4),☉D过A,B,O 三点,点C为优弧AO上的一点(不与O,A两点重合),则cos C的值为().二、填空题3. (2014·江苏如皋地区模拟)如图,∠ABC=60°,半径为1cm的☉O切BC于点C,若将☉O在BC上向右滚动,则当☉O滚动到与AC也相切时,圆心O移动的水平距离是cm.(第3题)(第4题)4.(2014·江苏扬州树人集团学校模拟)如图,△ABC的顶点都在方格纸的格点上,则sin A= .5. (2014·河南信阳三模)如图,某公园入口处原有三阶台阶,每级台阶高为20cm,深为30cm.为方便残疾人士,拟将台阶改为斜坡,设台阶的起点为A,斜坡的起始点为C,现将斜坡的坡度设计为i=1∶4.5,则AC的长为cm.(第5题)三、解答题6.(2014·安徽安庆二模)如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C;另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲,乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为45m/min.在甲出发2min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留5min后,再从B匀速步行到C,二人同时到达.已知缆车匀速直线运动的速度为180m/min,山路AC长为2 430m,且测得∠CAB=45°,∠CBA=105°.求:(1)索道AB的长;(2)乙的步行速度.(第6题)7.(2014·河南洛阳一模)如图,在一笔直的海岸线l上有AB两个观测站,A在B的正东方向,AB=2(单位:km).有一艘小船在点P处,从A测得小船在北偏西60°的方向,从B测得小船在北偏东45°的方向.(1)求点P到海岸线l的距离;(2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后,到点C处,此时,从B测得小船在北偏西15°的方向.求点C与点B之间的距离.(上述两小题的结果都保留根号)(第7题)8. (2013·吉林中考模拟)已知,如图,在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC,数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°,然后他们沿着坡度为1∶2.4的斜坡AP攀行了26米,在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°.求:(1)坡顶A到地面PQ的距离;(2)古塔BC的高度.(结果精确到1米)(参考数据:sin76°≈0.97,cos76°≈0.24,tan76°≈4.01)(第8题)参考答案与解析1.A[解析]由已知条件得b=4,c=5,由于a=3,所以这个三角形是直角三角形,且两条直角边分别是3,4,所以面积是6.2. D[解析]连接AB,利用同弧所对的圆周角相等求解.5. 210[解析]由题意,知(20+20+20)∶(AC+30+30)=1∶4.5,解得AC=210(cm).(第6题)7. (1)如图,过点P作PD⊥AB于点D, 设PD=x,由题意,知PBD=45°,∠PAD=30°,∴在Rt△BDP中,BD=PD=x.在Rt△PDA中,AD=PD=x.∵AB=2,(第7题)8. (1)过点A作AH⊥PQ,垂足为H.∵斜坡AP的坡度为1∶2.4,设AH=5k,则PH=12k,由勾股定理,得AP=13k.∴13k=26.解得k=2.∴AH=10.故坡顶A到地面PQ的距离为10米.(2)延长BC交PQ于点D.∵BC⊥AC,AC∥PQ,∴BD⊥PQ.∴四边形AHDC是矩形,CD=AH=10,AC=DH.∵∠BPD=45°,∴PD=BD.设BC=x,则x+10=24+DH.∴AC=DH=x-14.- 11 -。
中考数学复习直角三角形的边角关系专项易错题附答案
中考数学复习直角三角形的边角关系专项易错题附答案一、直角三角形的边角关系1．如图，在△ABC中，AB=7.5，AC=9，S△ABC=814．动点P从A点出发，沿AB方向以每秒5个单位长度的速度向B点匀速运动，动点Q从C点同时出发，以相同的速度沿CA方向向A点匀速运动，当点P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动，以PQ为边作正△PQM （P、Q、M按逆时针排序），以QC为边在AC上方作正△QCN，设点P运动时间为t秒．（1）求cosA的值；（2）当△PQM与△QCN的面积满足S△PQM=95S△QCN时，求t的值；（3）当t为何值时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上．【答案】（1）coaA=45；（2）当t=35时，满足S△PQM=95S△QCN；（3）当t=273326-s或2733+s时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上．【解析】分析：（1）如图1中，作BE⊥AC于E．利用三角形的面积公式求出BE，利用勾股定理求出AE即可解决问题；（2）如图2中，作PH⊥AC于H．利用S△PQM=95S△QCN构建方程即可解决问题；（3）分两种情形①如图3中，当点M落在QN上时，作PH⊥AC于H．②如图4中，当点M在CQ上时，作PH⊥AC于H．分别构建方程求解即可；详解：（1）如图1中，作BE⊥AC于E．∵S△ABC=12•AC•BE=814，∴BE=92， 在Rt △ABE 中，AE=22=6AB BE -， ∴coaA=647.55AE AB ==． （2）如图2中，作PH ⊥AC 于H ．∵PA=5t ，PH=3t ，AH=4t ，HQ=AC-AH-CQ=9-9t ，∴PQ 2=PH 2+HQ 2=9t 2+（9-9t ）2，∵S △PQM =95S △QCN ， ∴3•PQ 2=935⨯•CQ 2， ∴9t 2+（9-9t ）2=95×（5t ）2， 整理得：5t 2-18t+9=0， 解得t=3（舍弃）或35． ∴当t=35时，满足S △PQM =95S △QCN ． （3）①如图3中，当点M 落在QN 上时，作PH ⊥AC 于H ．易知：PM ∥AC ，∴∠MPQ=∠PQH=60°，∴3，∴39-9t ），-．∴t=273326②如图4中，当点M在CQ上时，作PH⊥AC于H．同法可得PH=3QH，∴3t=3（9t-9），∴t=27+33，26-s或27+33s时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN 综上所述，当t=273326的边上．点睛：本题考查三角形综合题、等边三角形的性质、勾股定理锐角三角函数、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．2．问题背景:如图（a）,点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′,连接A B′与直线l交于点C，则点C即为所求.（1）实践运用：如图(b)，已知，⊙O的直径CD为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为．（2）知识拓展：如图(c)，在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．【答案】解：（1）22．（2）如图，在斜边AC上截取AB′=AB，连接BB′．∵AD平分∠BAC，∴点B与点B′关于直线AD对称．过点B′作B′F⊥AB,垂足为F，交AD于E，连接BE．则线段B′F的长即为所求 (点到直线的距离最短) ．在Rt△AFB/中，∵∠BAC=450, AB/="AB=" 10，∴．∴BE+EF的最小值为【解析】试题分析：（1）找点A或点B关于CD的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和MN的交点P就是所求作的位置，根据题意先求出∠C′AE，再根据勾股定理求出AE，即可得出PA+PB的最小值：如图作点B关于CD的对称点E，连接AE交CD于点P，此时PA+PB最小，且等于A．作直径AC′，连接C′E，根据垂径定理得弧BD=弧DE．∵∠ACD=30°，∴∠AOD=60°，∠DOE=30°．∴∠AOE=90°．∴∠C′AE=45°．又AC为圆的直径，∴∠AEC′=90°．∴∠C′=∠C′AE=45°．∴C′E=AE=AC′=2．∴AP+BP的最小值是22（2）首先在斜边AC上截取AB′=AB，连接BB′，再过点B′作B′F⊥AB，垂足为F，交AD于E，连接BE，则线段B′F的长即为所求．3．如图，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD，其中∠BAC=45°，∠ACD=30°，点E为CD边上的中点，连接AE，将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E，D′E交AC于F 点．若AB=6cm．（1）AE的长为 cm；（2）试在线段AC上确定一点P，使得DP+EP的值最小，并求出这个最小值；（3）求点D′到BC的距离．【答案】（1）；（2）12cm；（3）cm．【解析】试题分析：（1）首先利用勾股定理得出AC的长，进而求出CD的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出答案：∵∠BAC=45°，∠B=90°，∴AB=BC=6cm，∴AC=12cm．∵∠ACD=30°，∠DAC=90°，AC=12cm，∴（cm）．∵点E为CD边上的中点，∴AE=DC=cm．（2）首先得出△ADE为等边三角形，进而求出点E，D′关于直线AC对称，连接DD′交AC 于点P，根据轴对称的性质，此时DP+EP值为最小，进而得出答案．（3）连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G，进而得出△ABD′≌△CBD′（SSS），则∠D′BG=45°，D′G=GB，进而利用勾股定理求出点D′到BC边的距离．试题解析：解：（1）．（2）∵Rt△ADC中，∠ACD=30°，∴∠ADC=60°，∵E为CD边上的中点，∴DE=AE．∴△ADE为等边三角形．∵将△ADE沿AE所在直线翻折得△AD′E，∴△AD′E为等边三角形，∠AED′=60°．∵∠EAC=∠DAC﹣∠EAD=30°，∴∠EFA=90°，即AC所在的直线垂直平分线段ED′．∴点E，D′关于直线AC对称．如答图1，连接DD′交AC于点P，∴此时DP+EP值为最小，且DP+EP=DD′．∵△ADE是等边三角形，AD=AE=，∴，即DP+EP最小值为12cm．（3）如答图2，连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G，∵AC垂直平分线ED′，∴AE=AD′，CE=CD′，∵AE=EC，∴AD′=CD′=．在△ABD′和△CBD′中，∵，∴△ABD′≌△CBD′（SSS）．∴∠D′BG=∠D′BC=45°．∴D′G=GB．设D′G长为xcm，则CG长为cm，在Rt△GD′C中，由勾股定理得，解得：（不合题意舍去）．∴点D′到BC边的距离为cm．考点：1．翻折和单动点问题；2．勾股定理；3．直角三角形斜边上的中线性质；4．等边三角形三角形的判定和性质；5．轴对称的应用（最短线路问题）；6．全等三角形的判定和性质；7．方程思想的应用．4．如图，在△ABC中，∠A=90°，∠ABC=30°，AC=3，动点D从点A出发，在AB边上以每秒1个单位的速度向点B运动，连结CD，作点A关于直线CD的对称点E，设点D运动时间为t（s）．（1）若△BDE是以BE为底的等腰三角形，求t的值；（2）若△BDE为直角三角形，求t的值；（3）当S△BCE≤92时，所有满足条件的t的取值范围（所有数据请保留准确值，参考数据：tan15°=2【答案】（1；（2秒或3秒；（3）6﹣【解析】【分析】（1）如图1，先由勾股定理求得AB的长，根据点A、E关于直线CD的对称，得CD垂直平分AE，根据线段垂直平分线的性质得：AD=DE，所以AD=DE=BD，由，可得t 的值；（2）分两种情况：①当∠DEB=90°时，如图2，连接AE，根据t的值；②当∠EDB=90°时，如图3，根据△AGC≌△EGD，得AC=DE，由AC∥ED，得四边形CAED 是平行四边形，所以AD=CE=3，即t=3；（3）△BCE中，由对称得：AC=CE=3，所以点D在运动过程中，CE的长不变，所以△BCE 面积的变化取决于以CE作底边时，对应高的大小变化，①当△BCE在BC的下方时，②当△BCE在BC的上方时，分别计算当高为3时对应的t的值即可得结论．【详解】解：（1）如图1，连接AE，由题意得：AD=t，∵∠CAB=90°，∠CBA=30°，∴BC=2AC=6，∴∵点A、E关于直线CD的对称，∴CD垂直平分AE，∴AD=DE，∵△BDE是以BE为底的等腰三角形，∴DE=BD，∴AD=BD，∴；（2）△BDE为直角三角形时，分两种情况：①当∠DEB=90°时，如图2，连接AE，∵CD垂直平分AE，∴AD=DE=t，∵∠B=30°，∴BD=2DE=2t，∴AB=3t=33，∴t=3；②当∠EDB=90°时，如图3，连接CE，∵CD垂直平分AE，∴CE=CA=3，∵∠CAD=∠EDB=90°，∴AC∥ED，∴∠CAG=∠GED，∵AG=EG，∠CGA=∠EGD，∴△AGC≌△EGD，∴AC=DE，∵AC∥ED，∴四边形CAED是平行四边形，∴AD=CE=3，即t=3；综上所述，△BDE为直角三角形时，t的值为3秒或3秒；（3）△BCE中，由对称得：AC=CE=3，所以点D在运动过程中，CE的长不变，所以△BCE 面积的变化取决于以CE作底边时，对应高的大小变化，①当△BCE在BC的下方时，过B作BH⊥CE，交CE的延长线于H，如图4，当AC=BH=3时，此时S△BCE=12AE•BH=12×3×3=92，易得△ACG≌△HBG，∴CG=BG，∴∠ABC=∠BCG=30°，∴∠ACE=60°﹣30°=30°，∵AC=CE，AD=DE，DC=DC，∴△ACD≌△ECD，∴∠ACD=∠DCE=15°，tan∠ACD=tan15°=t3=23，∴t=6﹣3由图形可知：0＜t＜6﹣3时，△BCE的BH越来越小，则面积越来越小，②当△BCE在BC的上方时，如图3，CE=ED=3，且CE⊥ED，此时S△BCE=12CE•DE=12×3×3=92，此时t=3，综上所述，当S △BCE ≤92时，t 的取值范围是6﹣33≤t≤3．【点睛】本题考查三角形综合题、平行四边形的判定和性质、直角三角形的性质、三角形的面积问题、轴对称等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会用分类讨论的思想思考问题，学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题．5．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线4y kx =+交x 轴、y 轴分别于点A 、点B ，且ABO ∆的面积为8.（1）求k 的值；（2）如图，点P 是第一象限直线AB 上的一个动点，连接PO ，将线段OP 绕点O 顺时针旋转90°至线段OC ，设点P 的横坐标为t ，点C 的横坐标为m ，求m 与t 之间的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，过点B 作直线BM OP ⊥，交x 轴于点M ，垂足为点N ，点K 在线段MB 的延长线上，连接PK ，且0PK KB P +=，2PMB KPB ∠=∠，连接MC ，求四边形BOCM 的面积.【答案】（1）1k =；（2）4m t =+；（3）32BOCM S =Y .【解析】【分析】（1）先求出A 的坐标，然后利用待定系数法求出k 的值；(2) 过点P 作PD x ⊥轴，垂足为D ，过点C 作CE x ⊥轴，垂足为E ，证POD OCE ∆≅∆可得OE PD =，进一步得出m 与t 的函数关系式；（3）过点O 作直线OT AB ⊥，交直线BM 于点Q ，垂足为点T ，连接QP ，先证出QTB PTO ∆≅∆；再证出KPB BPN ∠=∠；设KPB x ∠=︒，通过计算证出PO PM =；再过点P 作PD x ⊥轴，垂足为点D ，根据tan tan OPD BMO ∠=∠得到OD BO PD MO =，列式可求得t=4；所以OM=8进一步得出四边形BOCM 是平行四边形，最后可得其面积为32.【详解】解：（1）把0x =代入4y kx =+，4y =，∴4BO =，又∵4ABO S ∆=， ∴142AO BO ⋅=，4AO =， ∴(4,0)A -，把4x =-，0y =代入4y kx =+，得044k =-+，解得1k =.故答案为1；（2）解：把x t =代入4y x =+，4y t =+， ∴(,4)P t t +如图，过点P 作PD x ⊥轴，垂足为D ，过点C 作CE x ⊥轴，垂足为E ，∴90PDO CEO ∠=∠=︒，∴90POD OPD ∠+∠=︒，∵线段OP 绕点O 顺时针旋转90°至线段OC ，∴90POC ∠=︒，OP OC =，∴90POD EOC ∠+∠=︒，∴OPD EOC ∠=∠，∴POD OCE ∆≅∆，∴OE PD =，4m t =+.故答案为4m t =+.（3）解：如图，过点O 作直线OT AB ⊥，交直线BM 于点Q ，垂足为点T ，连接QP ，由（1）知，4AO BO ==，90BOA ∠=︒，∴ABO ∆为等腰直角三角形，∴45ABO BAO ∠=∠=︒，9045BOT ABO ABO ∠=︒-∠=︒=∠，∴BT TO =，∵90BTO ∠=︒，∴90TPO TOP ∠+∠=︒，∵PO BM ⊥，∴90BNO ∠=︒，∴BQT TPO ∠=∠，∴QTB PTO ∆≅∆，∴QT TP =，PO BQ =，∴PQT QPT ∠=∠，∵PO PK KB =+，∴QB PK KB =+，QK KP =，∴KQP KPQ ∠=∠，∴PQT KQP QPT KPQ ∠-∠=∠-∠，TQB TPK ∠=∠，∴KPB BPN ∠=∠，设KPB x ∠=︒，∴BPN x ∠=︒，∵2PMB KPB ∠=∠，∴2PMB x ∠=︒，45POM PAO APO x ∠=∠+∠=︒+︒，9045NMO POM x ∠=︒-∠=︒-︒， ∴45PMO PMB NMO x POM ∠=∠+∠=︒+︒=∠，∴PO PM =，过点P 作PD x ⊥轴，垂足为点D ，∴22OM OD t ==，9045OPD POD x BMO ∠=︒-∠=︒-︒=∠，tan tan OPD BMO ∠=∠，OD BO PD MO =，442t t t=+， 14t =，22t =-（舍）∴8OM =，由（2）知，48m t OM =+==，∴CM y P 轴，∵90PNM POC ∠=∠=︒，∴BM OC P ，∴四边形BOCM 是平行四边形，∴4832BOCM S BO OM =⨯=⨯=Y .故答案为32.【点睛】本题考查了一次函数和几何的综合题，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，添加适当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．6．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，AD ＝8cm ，连接BD ，将△ABD 绕B 点作顺时针方向旋转得到△A ′B ′D ′（B ′与B 重合），且点D ′刚好落在BC 的延长上，A ′D ′与CD 相交于点E ． （1）求矩形ABCD 与△A ′B ′D ′重叠部分（如图1中阴影部分A ′B ′CE ）的面积；（2）将△A ′B ′D ′以每秒2cm 的速度沿直线BC 向右平移，如图2，当B ′移动到C 点时停止移动．设矩形ABCD 与△A ′B ′D ′重叠部分的面积为y ，移动的时间为x ，请你直接写出y 关于x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围；（3）在（2）的平移过程中，是否存在这样的时间x ，使得△AA ′B ′成为等腰三角形？若存在，请你直接写出对应的x 的值，若不存在，请你说明理由．【答案】（1）452；（2）详见解析；（3）使得△AA ′B ′成为等腰三角形的x 的值有：0秒、32 669-． 【解析】【分析】（1）根据旋转的性质可知B ′D ′＝BD ＝10，CD ′＝B ′D ′﹣BC ＝2，由tan ∠B ′D ′A ′＝'''''=A B CE A D CD 可求出CE ，即可计算△CED ′的面积，S ABCE ＝S ABD ′﹣S CED ′； （2）分类讨论，当0≤x ≤115时和当115＜x ≤4时，分别列出函数表达式； （3）分类讨论，当AB ′＝A ′B ′时；当AA ′＝A ′B ′时；当AB ′＝AA ′时，根据勾股定理列方程即可．【详解】解：（1）∵AB ＝6cm ，AD ＝8cm ，∴BD ＝10cm ，根据旋转的性质可知B ′D ′＝BD ＝10cm ，CD ′＝B ′D ′﹣BC ＝2cm ，∵tan ∠B ′D ′A ′＝'''''=A B CE A D CD ∴682=CE ∴CE ＝32cm ， ∴S ABCE ＝S ABD ′﹣S CED ′＝8634522222⨯-⨯÷=（cm 2）； （2）①当0≤x ＜115时，CD ′＝2x +2，CE ＝32（x +1）， ∴S △CD ′E ＝32x 2+3x +32， ∴y ＝12×6×8﹣32x 2﹣3x ﹣32＝﹣32x 2﹣3x +452； ②当115≤x ≤4时，B ′C ＝8﹣2x ，CE ＝43（8﹣2x ）∴()214y 8223x =⨯-＝83x 2﹣643x +1283． （3）①如图1，当AB ′＝A ′B ′时，x ＝0秒； ②如图2，当AA ′＝A ′B ′时，A ′N ＝BM ＝BB ′+B ′M ＝2x +185，A ′M ＝NB ＝245， ∵AN 2+A ′N 2＝36，∴（6﹣245）2+（2x +185）2＝36， 解得：x ＝669-，x ＝669--（舍去）； ③如图2，当AB ′＝AA ′时，A ′N ＝BM ＝BB ′+B ′M ＝2x +185，A ′M ＝NB ＝245， ∵AB 2+BB ′2＝AN 2+A ′N 2∴36+4x 2＝（6﹣245）2+（2x +185）2 解得：x ＝32． 综上所述，使得△AA ′B ′成为等腰三角形的x 的值有：0秒、32秒、6695-．【点睛】本题主要考查了图形的平移变换和旋转变换，能够数形结合，运用分类讨论的思想方法全面的分析问题，思考问题是解决问题的关键．7．如图，AB 是圆O 的直径，O 为圆心，AD 、BD 是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD ．延长PD 交圆的切线BE 于点E(1)判断直线PD 是否为⊙O 的切线，并说明理由；(2)如果∠BED=60°，PD=3，求PA的长；(3)将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形DFBE为菱形．【答案】（1）证明见解析；（2）1；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）连接OD，由AB是圆O的直径可得∠ADB=90°，进而求得∠ADO+∠PDA=90°，即可得出直线PD为⊙O的切线；（2）根据BE是⊙O的切线，则∠EBA=90°，即可求得∠P=30°，再由PD为⊙O的切线，得∠PDO=90°，根据三角函数的定义求得OD，由勾股定理得OP，即可得出PA；（3）根据题意可证得∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，由AB是圆O的直径，得∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则可表示出∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，由圆内接四边形的性质得出x 的值，可得出△BDE是等边三角形．进而证出四边形DFBE为菱形．【详解】（1）直线PD为⊙O的切线，理由如下：如图1，连接OD，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADO+∠BDO=90°，又∵DO=BO，∴∠BDO=∠PBD，∵∠PDA=∠PBD，∴∠BDO=∠PDA，∴∠ADO+∠PDA=90°，即PD⊥OD，∵点D在⊙O上，∴直线PD为⊙O的切线；（2）∵BE是⊙O的切线，∴∠EBA=90°，∵∠BED=60°，∴∠P=30°，∵PD为⊙O的切线，∴∠PDO=90°，在Rt△PDO中，∠P=30°，∴0 tan30ODPD=，解得OD=1，∴PO，∴PA=PO﹣AO=2﹣1=1；（3）如图2，依题意得：∠ADF=∠PDA，∠PAD=∠DAF，∵∠PDA=∠PBD∠ADF=∠ABF，∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，∵四边形AFBD内接于⊙O，∴∠DAF+∠DBF=180°，即90°+x+2x=180°，解得x=30°，∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF=30°，∵BE、ED是⊙O的切线，∴DE=BE，∠EBA=90°，∴∠DBE=60°，∴△BDE是等边三角形，∴BD=DE=BE，又∵∠FDB=∠ADB﹣∠ADF=90°﹣30°=60°∠DBF=2x°=60°，∴△BDF是等边三角形，∴BD=DF=BF，∴DE=BE=DF=BF，∴四边形DFBE为菱形.【点睛】本题是一道综合性的题目，考查了切线的判定和性质，圆周角定理和菱形的性质，是中档题，难度较大．8．如图，AB是⊙O的直径，PA、PC与⊙O分别相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E．(1)求证：∠EPD=∠EDO；(2)若PC=3，tan∠PDA=34，求OE的长．【答案】（1）见解析；（25.【解析】【分析】（1）由切线的性质即可得证.（2）连接OC，利用tan∠PDA=34，可求出CD=2,进而求得OC=32，再证明△OED∽△DEP，根据相似三角形的性质和勾股定理即可求出OE的长.【详解】（1）证明：∵PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，∴∠APO=∠CPO, PA⊥AO，∵DE⊥PO，∴∠PAO=∠E=90°，∵∠AOP=∠EOD，∴∠APO=∠EDO，∴∠EPD=∠EDO.（2）连接OC，∴PA=PC=3，∵tan ∠PDA=34， ∴在Rt △PAD 中， AD=4，PD=22PA AD +=5，∴CD=PD-PC=5-3=2，∵tan ∠PDA=34， ∴在Rt △OCD 中，OC=32， OD=22OC CD +=52， ∵∠EPD=∠ODE ，∠OCP=∠E=90°，∴△OED ∽△DEP ，∴PD DO =PE DE =DE OE=2， ∴DE=2OE, 在Rt △OED 中，OE 2+DE 2=OD 2，即5OE 2=252⎛⎫ ⎪⎝⎭=254， ∴OE=5．【点睛】本题考查了切线的性质；锐角三角函数；勾股定理和相似三角形的判定与性质，充分利用tan ∠PDA=34，得线段的长是解题关键.9．如图，已知二次函数212y x bx c =++的图象经过点A （-3，6），并与x 轴交于点B （-1，0）和点C ，顶点为点P ．（1）求这个二次函数解析式；（2）设D 为x 轴上一点，满足∠DPC =∠BAC ，求点D 的坐标； （3）作直线AP ，在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，在直线AP 上是否存在点N ，使AM +MN 的值最小？若存在，求出M 、N 的坐标：若不存在，请说明理由．【答案】（1）点C坐标为（3，0），点P（1，-2）；（2）点P（7，0）；（3）点N（-7 5，145）．【解析】【分析】（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）利用S△ABC= 12×AC×BH=12×BC×y A，求出sinα=222105BHAB==，则tanα=12，在△PMD中，tanα= MDPM=1222x=+，即可求解；（3）作点A关于对称轴的对称点A′（5，6），过点A′作A′N⊥AP分别交对称轴与点M、交AP于点N，此时AM+MN最小，即可求解．【详解】（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得：9633212bb c⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--+⎪⎩，解得：132bc=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，故：抛物线的表达式为：y=12x2-x-32，令y=0，则x=-1或3，令x=0，则y=-32，故点C坐标为（3，0），点P（1，-2）；（2）过点B作BH⊥AC交于点H，过点P作PG⊥x轴交于点G，设：∠DPC=∠BAC=α，由题意得：AB=210，AC=62，BC=4，PC=22，S△ABC=12×AC×BH=12×BC×y A，解得：BH=22，sinα=BHAB=22210=5，则tanα=12，由题意得：GC=2=PG，故∠PCB=45°，延长PC，过点D作DM⊥PC交于点M，则MD=MC=x，在△PMD中，tanα=MDPM=22x+=12，解得：x=22，则CD=2x=4，故点P（7，0）；（3）作点A关于对称轴的对称点A′（5，6），过点A′作A′N⊥AP分别交对称轴与点M、交AP于点N，此时AM+MN最小，直线AP表达式中的k值为：84-=-2，则直线A′N表达式中的k值为12，设直线A′N的表达式为：y=12x+b，将点A′坐标代入上式并求解得：b=72，故直线A′N的表达式为：y=12x+72…①，当x=1时，y=4，故点M（1，4），同理直线AP的表达式为：y=-2x…②，联立①②两个方程并求解得：x=-75，故点N（-75，145）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等知识，其中（3），利用对称点求解最小值，是此类题目的一般方法．10．如图，AB 为O e 的直径，C 、D 为O e 上异于A 、B 的两点，连接CD ，过点C 作CE DB ⊥，交CD 的延长线于点E ，垂足为点E ，直径AB 与CE 的延长线相交于点F .（1）连接AC 、AD ，求证：180DAC ACF ∠+∠=︒.（2）若2ABD BDC ∠=∠.①求证：CF 是O e 的切线.②当6BD =，3tan 4F =时，求CF 的长. 【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；② 203CF =. 【解析】【分析】（1）根据圆周角定理证得∠ADB=90°，即AD ⊥BD ，由CE ⊥DB 证得AD ∥CF ，根据平行线的性质即可证得结论；（2）①连接OC ．先根据等边对等角及三角形外角的性质得出∠3=2∠1，由已知∠4=2∠1，得到∠4=∠3，则OC ∥DB ，再由CE ⊥DB ，得到OC ⊥CF ，根据切线的判定即可证明CF 为⊙O 的切线；②由CF ∥AD ，证出∠BAD=∠F ，得出tan ∠BAD=tan ∠F=BD AD =34，求出AD=43BD=8，利用勾股定理求得AB=10，得出OB=OC=，5，再由tanF=OC CF =34，即可求出CF ． 【详解】解：（1）AB 是O e 的直径，且D 为O e 上一点， 90ADB ∴∠=︒，CE DB ⊥Q ，90DEC ∴∠=︒，//CF AD ∴，180DAC ACF ∴∠+∠=︒.（2）①如图，连接OC .OA OC =Q ，12∴∠=∠.312∠=∠+∠Q ，321∴∠=∠.42BDC Q ∠=∠，1BDC ∠=∠，421∴∠=∠，43∴∠=∠，//OC DB ∴.CE DB ⊥Q ，OC CF ∴⊥.又OC Q 为O e 的半径，CF ∴为O e 的切线.②由（1）知//CF AD ，BAD F ∴∠=∠，3tan tan 4BAD F ∴∠==， 34BD AD ∴=. 6BD =Q483AD BD ∴==， 226810AB ∴=+=，5OB OC ==.OC CF Q ⊥，90OCF ∴∠=︒，3tan 4OC F CF ∴==， 解得203CF =. 【点睛】本题考查了切线的判定、解直角三角形、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要运用三角函数、勾股定理和由平行线得出比例式才能得出结果．11．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边的中线，DE ⊥BC 于E ，连结CD ，点P 在射线CB上（与B，C不重合）（1）如果∠A＝30°，①如图1，∠DCB等于多少度；②如图2，点P在线段CB上，连结DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连结BF，补全图2猜想CP、BF之间的数量关系，并证明你的结论；（2）如图3，若点P在线段CB 的延长线上，且∠A＝α（0°＜α＜90°），连结DP，将线段DP绕点逆时针旋转2α得到线段DF，连结BF，请直接写出DE、BF、BP三者的数量关系（不需证明）【答案】（1）①∠DCB＝60°．②结论：CP＝BF．理由见解析；（2）结论：BF﹣BP＝2DE•tanα．理由见解析．【解析】【分析】（1）①根据直角三角形斜边中线的性质，结合∠A＝30°，只要证明△CDB是等边三角形即可；②根据全等三角形的判定推出△DCP≌△DBF，根据全等的性质得出CP＝BF，（2）求出DC＝DB＝AD，DE∥AC，求出∠FDB＝∠CDP＝2α+∠PDB，DP＝DF，根据全等三角形的判定得出△DCP≌△DBF，求出CP＝BF，推出BF﹣BP＝BC，解直角三角形求出CE＝DEtanα即可．【详解】（1）①∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴∠B＝60°，∵AD＝DB，∴CD＝AD＝DB，∴△CDB是等边三角形，∴∠DCB＝60°．②如图1，结论：CP＝BF．理由如下：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE⊥BC，∠DCB＝60°，∴△CDB 为等边三角形.∴∠CDB ＝60°∵线段DP 绕点D 逆时针旋转60°得到线段DF ，∵∠PDF ＝60°，DP ＝DF ，∴∠FDB ＝∠CDP ，在△DCP 和△DBF 中DC DB CDP BDF DP DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DCP ≌△DBF ，∴CP ＝BF.（2）结论：BF ﹣BP ＝2DEtanα．理由：∵∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，DE ⊥BC ，∠A ＝α，∴DC ＝DB ＝AD ，DE ∥AC ，∴∠A ＝∠ACD ＝α，∠EDB ＝∠A ＝α，BC ＝2CE ，∴∠BDC ＝∠A+∠ACD ＝2α，∵∠PDF ＝2α，∴∠FDB ＝∠CDP ＝2α+∠PDB ，∵线段DP 绕点D 逆时针旋转2α得到线段DF ，∴DP ＝DF ，在△DCP 和△DBF 中DC DB CDP BDF DP DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DCP ≌△DBF ，∴CP ＝BF ，而 CP ＝BC+BP ，∴BF ﹣BP ＝BC ，在Rt △CDE 中，∠DEC ＝90°，∴tan ∠CDE ＝CE DE， ∴CE ＝DEtanα， ∴BC ＝2CE ＝2DEtanα，即BF ﹣BP ＝2DEtanα．【点睛】本题考查了三角形外角性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，旋转的性质的应用，能推出△DCP ≌△DBF 是解此题的关键，综合性比较强，证明过程类似．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，0），点B（0，33），点O为原点．动点C、D分别在直线AB、OB上，将△BCD沿着CD折叠，得△B'CD．（Ⅰ）如图1，若CD⊥AB，点B'恰好落在点A处，求此时点D的坐标；（Ⅱ）如图2，若BD=AC，点B'恰好落在y轴上，求此时点C的坐标；（Ⅲ）若点C的横坐标为2，点B'落在x轴上，求点B'的坐标（直接写出结果即可）．【答案】（1）D（032）C（12﹣33﹣18）；（3）B'（13 0），（2130）.【解析】【分析】(1)设OD为x，则3x，在RT△ODA中应用勾股定理即可求解；(2)由题意易证△BDC∽△BOA，再利用A、B坐标及BD=AC可求解出BD长度，再由特殊角的三角函数即可求解；(3)过点C作CE⊥AO于E，由A、B坐标及C的横坐标为2，利用相似可求解出BC、CE、OC等长度；分点B’在A点右边和左边两种情况进行讨论，由翻折的对称性可知BC=B’C，再利用特殊角的三角函数可逐一求解.【详解】（Ⅰ）设OD为x，∵点A（3，0），点B（0，33），∴AO=3，BO=33∴AB=6∵折叠∴BD=DA在Rt△ADO中，OA2+OD2=DA2．∴9+OD2=（33﹣OD）2．∴3∴D（03）（Ⅱ）∵折叠∴∠BDC=∠CDO=90°∴CD∥OA∴BD BC BO AB =且BD=AC ， ∴6633BD -= ∴BD=123﹣18∴OD=33﹣（123﹣18）=18﹣93∵tan ∠ABO=3OB AO =， ∴∠ABC=30°，即∠BAO=60°∵tan ∠ABO=3BD 3CD =， ∴CD=12﹣63∴D （12﹣63，123﹣18）（Ⅲ）如图：过点C 作CE ⊥AO 于E∵CE ⊥AO∴OE=2，且AO=3∴AE=1，∵CE ⊥AO ，∠CAE=60°∴∠ACE=30°且CE ⊥AO∴AC=2，3∵BC=AB ﹣AC∴BC=6﹣2=4若点B'落在A 点右边，∵折叠∴BC=B'C=4，3CE ⊥OA∴22'13B C CE -=∴13∴B'（130）若点B'落在A 点左边，∵折叠∴BC=B'C=4，CE⊥OA∴=∴2∴B'（20）综上所述：B'（0），（20）【点睛】本题结合翻折综合考查了三角形相似和特殊角的三角函数，第3问中理解B’点的两种情况是解题关键.。
【易错题】浙教版九年级下《第章解直角三角形》单元试卷(教师用)
【易错题解析】浙教版九年级数学下册第一章解直角三角形单元测试卷一、单选题（共10题；共30分）1.在中，°, °，AB=5，则BC的长为( )A. 5tan40°B. 5cos40°C. 5sin40°D.【答案】B【考点】锐角三角函数的定义【解析】【解答】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴cosB= ，∵AB=5，∠B=40°，∴BC=AB·cosB=5cos40°.故答案为：B.【分析】根据余弦函数的定义得出cosB=，故BC=AB·cosB=5cos40°.2.在Rt△ABC 中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（）A. B. C. D.【答案】A【考点】锐角三角函数的定义【解析】【解答】∵∠C=90°，sinA=，∴sinA==，设AB=5x，BC=3x，∴AC=4x，∴tanB ==.故答案为：A.【分析】在直角三角形中，根据锐角三角函数的定义即可得出答案.3.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=3，b=4，则tanB的值是（）A. B. C. D.【答案】A【考点】锐角三角函数的定义【解析】【分析】在Rt△ABC中，∠C=90°，a=3，b=4，根据正切的定义知：tanB=.故选A.4.如图所示,热气球探测器在A点处,点B为楼顶,点C为楼底,AD为水平线,EF为经过点A的铅垂线,则下列说法正确的有( )①∠1为仰角; ②∠2为仰角; ③∠3为俯角; ④∠4为俯角.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题【解析】【解答】解：正确的说法是②∠2为仰角，③∠3为俯角；故答案为：B【分析】根据仰角与俯角的定义，视线在水平线上方，由视线和水平线所形成的夹角就是仰角；视线在水平线下方，由视线和水平线所形成的夹角就是俯角；根据定义即可一一判定。
2020-2021九年级数学直角三角形的边角关系的专项培优 易错 难题练习题及答案解析
2020-2021九年级数学直角三角形的边角关系的专项培优易错难题练习题及答案解析一、直角三角形的边角关系1．如图，山坡上有一棵树AB，树底部B点到山脚C点的距离BC为63米，山坡的坡角为30°．小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高，点C到测角仪EF的水平距离CF=1米，从E处测得树顶部A的仰角为45°，树底部B的仰角为20°，求树AB的高度．（参考数值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）【答案】6.4米【解析】解：∵底部B点到山脚C点的距离BC为6 3 米，山坡的坡角为30°．∴DC=BC•cos30°=3==米，6392∵CF=1米，∴DC=9+1=10米，∴GE=10米，∵∠AEG=45°，∴AG=EG=10米，在直角三角形BGF中，BG=GF•tan20°=10×0.36=3.6米，∴AB=AG-BG=10-3.6=6.4米，答：树高约为6.4米首先在直角三角形BDC中求得DC的长，然后求得DF的长，进而求得GF的长，然后在直角三角形BGF中即可求得BG的长，从而求得树高2．小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架ACO＇后，电脑转到AO＇B＇位置（如图3），侧面示意图为图4．已知OA=OB=24cm，O＇C⊥OA于点C，O＇C=12cm．（1）求∠CAO＇的度数．（2）显示屏的顶部B＇比原来升高了多少？（3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏O＇B＇与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O＇B＇应绕点O＇按顺时针方向旋转多少度？【答案】（1）∠CAO′=30°；（2）（36﹣12）cm；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．【解析】试题分析：（1）通过解直角三角形即可得到结果；（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，通过解直角三角形求得BD=OBsin∠BOD=24×=12，由C、O′、B′三点共线可得结果；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，求得∠EO′B′=∠FO′A=30°，既是显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．试题解析：（1）∵O′C⊥OA于C，OA=OB=24cm，∴sin∠CAO′=，∴∠CAO′=30°；（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，∵sin∠BOD=，∴BD=OBsin∠BOD，∵∠AOB=120°，∴∠BOD=60°，∴BD=OBsin∠BOD=24×=12，∵O′C⊥OA，∠CAO′=30°，∴∠AO′C=60°，∵∠AO′B′=120°，∴∠AO′B′+∠AO′C=180°，∴O′B′+O′C﹣BD=24+12﹣12=36﹣12，∴显示屏的顶部B′比原来升高了（36﹣12）cm；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，理由：∵显示屏O′B与水平线的夹角仍保持120°，∴∠EO′F=120°，∴∠FO′A=∠CAO′=30°，∵∠AO′B′=120°，∴∠EO′B′=∠FO′A=30°，∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．考点：解直角三角形的应用；旋转的性质．3．如图，湿地景区岸边有三个观景台、、.已知米，米，点位于点的南偏西方向，点位于点的南偏东方向.(1)求的面积；(2)景区规划在线段的中点处修建一个湖心亭，并修建观景栈道.试求、间的距离.(结果精确到米)(参考数据：，，，，，，)【答案】（1）560000（2）565.6【解析】试题分析：（1）过点作交的延长线于点，，然后根据直角三角形的内角和求出∠CAE，再根据正弦的性质求出CE的长，从而得到△ABC的面积；（2）连接，过点作，垂足为点，则.然后根据中点的性质和余弦值求出BE、AE的长，再根据勾股定理求解即可.试题解析：(1)过点作交的延长线于点，在中，，所以米.所以(平方米).(2)连接，过点作，垂足为点，则.因为是中点，所以米，且为中点，米，所以米.所以米，由勾股定理得，米.答：、间的距离为米.考点：解直角三角形4．如图，某公园内有一座古塔AB ，在塔的北面有一栋建筑物，某日上午9时太阳光线与水平面的夹角为32°，此时塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子CD ．中午12时太阳光线与地面的夹角为45°，此时塔尖A 在地面上的影子E 与墙角C 的距离为15米（B 、E 、C 在一条直线上），求塔AB 的高度．（结果精确到0.01米）参考数据：sin32°≈0.5299，cos32°≈0.8480，tan32°≈0.6249，2 1.4142≈．【答案】塔高AB 约为32.99米. 【解析】 【分析】过点D 作DH ⊥AB ，垂足为点H ，设AB ＝x ，则 AH ＝x ﹣3，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：过点D 作DH ⊥AB ，垂足为点H ．由题意，得 HB = CD = 3，EC = 15，HD = BC ，∠ABC =∠AHD = 90°， ∠ADH = 32°．设AB = x ，则 AH = x – 3．在Rt △ABE 中，由 ∠AEB = 45°，得 tan tan451ABAEB EB∠=︒==．∴EB = AB = x．∴HD = BC = BE + EC = x + 15．在Rt△AHD中，由∠AHD = 90°，得tanAH ADHHD∠=．即得3 tan3215xx-︒=+．解得15tan32332.991tan32x⋅︒+=≈-︒．∴塔高AB约为32.99米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．5．某条道路上通行车辆限速60千米/时，道路的AB段为监测区，监测点P到AB的距离PH为50米（如图）．已知点P在点A的北偏东45°方向上，且在点B的北偏西60°方向上，点B在点A的北偏东75°方向上，那么车辆通过AB段的时间在多少秒以内，可认定为超速？（参考数据：3≈1.7，2≈1.4）．【答案】车辆通过AB段的时间在8.1秒以内，可认定为超速【解析】分析：根据点到直线的距离的性质，构造直角三角形，然后利用解直角三角形的应用，解直角三角形即可.详解：如图，由题意知∠CAB=75°，∠CAP=45°，∠PBD=60°，∴∠PAH=∠CAB–∠CAP=30°，∵∠PHA=∠PHB=90°，PH=50，∴AH=tan PH PAH∠33，∵AC∥BD，∴∠ABD=180°–∠CAB=105°，∴∠PBH=∠ABD–∠PBD=45°，则PH=BH=50，∴AB=AH+BH=503+50，∵60千米/时=503米/秒，∴时间50350503+=3+33≈8.1（秒），即车辆通过AB段的时间在8.1秒以内，可认定为超速．点睛：该题考查学生通过构建直角三角形，利用某个度数的三角函数值求出具体边长，即实际路程，并进行判断相关的量。
中考数学 直角三角形的边角关系 培优 易错 难题练习(含答案)及答案解析
中考数学直角三角形的边角关系培优易错难题练习(含答案)及答案解析一、直角三角形的边角关系1．如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°．（1）求∠BPQ的度数；（2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）．备用数据：，【答案】（1）∠BPQ=30°；（2）该电线杆PQ的高度约为9m．【解析】试题分析：（1）延长PQ交直线AB于点E，根据直角三角形两锐角互余求得即可；（2）设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．试题解析：延长PQ交直线AB于点E，（1）∠BPQ=90°-60°=30°；（2）设PE=x米．在直角△APE中，∠A=45°，则AE=PE=x米；∵∠PBE=60°∴∠BPE=30°在直角△BPE中，33米，∵AB=AE-BE=6米，则3，解得：3则BE=（33+3）米．在直角△BEQ中，QE=33BE=33（33+3）=（3+3）米．∴PQ=PE-QE=9+33-（3+3）=6+23≈9（米）．答：电线杆PQ的高度约9米．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．2．如图，在△ABC中，AB=7.5，AC=9，S△ABC=814．动点P从A点出发，沿AB方向以每秒5个单位长度的速度向B点匀速运动，动点Q从C点同时出发，以相同的速度沿CA方向向A点匀速运动，当点P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动，以PQ为边作正△PQM （P、Q、M按逆时针排序），以QC为边在AC上方作正△QCN，设点P运动时间为t秒．（1）求cosA的值；（2）当△PQM与△QCN的面积满足S△PQM=95S△QCN时，求t的值；（3）当t为何值时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上．【答案】（1）coaA=45；（2）当t=35时，满足S△PQM=95S△QCN；（3）当2733-或2733+时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上．【解析】分析：（1）如图1中，作BE⊥AC于E．利用三角形的面积公式求出BE，利用勾股定理求出AE即可解决问题；（2）如图2中，作PH⊥AC于H．利用S△PQM=95S△QCN构建方程即可解决问题；（3）分两种情形①如图3中，当点M落在QN上时，作PH⊥AC于H．②如图4中，当点M在CQ上时，作PH⊥AC于H．分别构建方程求解即可；详解：（1）如图1中，作BE⊥AC于E．∵S △ABC =12•AC•BE=814， ∴BE=92， 在Rt △ABE 中，AE=22=6AB BE -， ∴coaA=647.55AE AB ==． （2）如图2中，作PH ⊥AC 于H ．∵PA=5t ，PH=3t ，AH=4t ，HQ=AC-AH-CQ=9-9t ，∴PQ 2=PH 2+HQ 2=9t 2+（9-9t ）2，∵S △PQM =95S △QCN ， ∴32=9352， ∴9t 2+（9-9t ）2=95×（5t ）2， 整理得：5t 2-18t+9=0， 解得t=3（舍弃）或35． ∴当t=35时，满足S △PQM =95S △QCN ． （3）①如图3中，当点M 落在QN 上时，作PH ⊥AC 于H ．易知：PM∥AC，∴∠MPQ=∠PQH=60°，∴PH=3HQ，∴3t=3（9-9t），-．∴t=2733②如图4中，当点M在CQ上时，作PH⊥AC于H．同法可得3，∴39t-9），∴27+33-s27+33时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN 综上所述，当2733的边上．点睛：本题考查三角形综合题、等边三角形的性质、勾股定理锐角三角函数、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．3．在矩形ABCD中，AD＞AB，点P是CD边上的任意一点（不含C，D两端点），过点P 作PF∥BC，交对角线BD于点F．（1）如图1，将△PDF 沿对角线BD 翻折得到△QDF ，QF 交AD 于点E ．求证：△DEF 是等腰三角形；（2）如图2，将△PDF 绕点D 逆时针方向旋转得到△P'DF'，连接P'C ，F'B ．设旋转角为α（0°＜α＜180°）．①若0°＜α＜∠BDC ，即DF'在∠BDC 的内部时，求证：△DP'C ∽△DF'B ．②如图3，若点P 是CD 的中点，△DF'B 能否为直角三角形？如果能，试求出此时tan ∠DBF'的值，如果不能，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②12或33 . 【解析】【分析】（1）根据翻折的性质以及平行线的性质可知∠DFQ=∠ADF ，所以△DEF 是等腰三角形；（2）①由于PF ∥BC ，所以△DPF ∽△DCB ，从而易证△DP′F′∽△DCB ；②由于△DF'B 是直角三角形，但不知道哪个的角是直角，故需要对该三角形的内角进行分类讨论．【详解】（1）由翻折可知：∠DFP=∠DFQ ，∵PF ∥BC ，∴∠DFP=∠ADF ，∴∠DFQ=∠ADF ，∴△DEF 是等腰三角形；（2）①若0°＜α＜∠BDC ，即DF'在∠BDC 的内部时，∵∠P′DF′=∠PDF ，∴∠P′DF′﹣∠F′DC=∠PDF ﹣∠F′DC ，∴∠P′DC=∠F′DB ，由旋转的性质可知：△DP′F′≌△DPF ，∵PF ∥BC ，∴△DPF ∽△DCB ，∴△DP′F′∽△DCB ∴''DC DP DB DF ， ∴△DP'C ∽△DF'B ；②当∠F′DB=90°时，如图所示，∵DF′=DF=12BD ， ∴'12DF BD =， ∴tan ∠DBF′='12DF BD =；当∠DBF′=90°，此时DF′是斜边，即DF′＞DB ，不符合题意；当∠DF′B=90°时，如图所示，∵DF′=DF=12BD ， ∴∠DBF′=30°， ∴tan ∠DBF′=3.【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题，涉及旋转的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的性质以及判定等知识，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握相关的性质与定理、运用分类思想进行讨论是解题的关键.4．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）已知：如图，AB 是半圆O 的直径，弦//CD AB ，动点P 、Q 分别在线段OC 、CD 上，且DQ OP =，AP 的延长线与射线OQ 相交于点E 、与弦CD 相交于点F （点F 与点C 、D 不重合），20AB =，4cos 5AOC ∠=．设OP x =，CPF ∆的面积为y ．（1）求证：AP OQ =；（2）求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当OPE ∆是直角三角形时，求线段OP 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）236030050(10)13x x y x x -+=<<；（3）8OP = 【解析】【分析】（1）证明线段相等的方法之一是证明三角形全等，通过分析已知条件，OP DQ =，联结OD 后还有OA DO =，再结合要证明的结论AP OQ =，则可肯定需证明三角形全等，寻找已知对应边的夹角，即POA QDO ∠=∠即可；（2）根据PFC ∆∽PAO ∆，将面积转化为相似三角形对应边之比的平方来求；（3）分成三种情况讨论，充分利用已知条件4cos 5AOC ∠=、以及（1）（2）中已证的结论，注意要对不符合（2）中定义域的答案舍去．【详解】（1）联结OD ，∵OC OD =，∴OCD ODC ∠=∠，∵//CD AB ，∴OCD COA ∠=∠，∴POA QDO ∠=∠．在AOP ∆和ODQ ∆中， {OP DQPOA QDO OA DO=∠=∠=，∴AOP ∆≌ODQ ∆，∴AP OQ =；（2）作PH OA ⊥，交OA 于H ， ∵4cos 5AOC ∠=， ∴4455OH OP x ==，35PH x =，∴132AOP S AO PH x ∆=⋅=． ∵//CD AB ，∴PFC ∆∽PAO ∆， ∴2210()()AOP yCP x S OP x∆-==， ∴2360300x x y x-+=，当F 与点D 重合时， ∵42cos 210165CD OC OCD =⋅∠=⨯⨯=， ∴101016x x =-，解得5013x =， ∴2360300x x y x-+=50(10)13x <<； （3）①当90OPE ∠=o 时，90OPA ∠=o ， ∴4cos 1085OP OA AOC =⋅∠=⨯=； ②当90POE ∠=o 时，1010254cos cos 25OC CQ QCO AOC ====∠∠， ∴252OP DQ CD CQ CD ==-=-2571622=-=， ∵501013OP <<， ∴72OP =（舍去）； ③当90PEO ∠=o 时，∵//CD AB ，∴AOQ DQO ∠=∠，∵AOP ∆≌ODQ ∆，∴DQO APO ∠=∠，∴AOQ APO ∠=∠，∴90AEO AOP ∠=∠=o ，此时弦CD 不存在，故这种情况不符合题意，舍去； 综上，线段OP 的长为8．5．水库大坝截面的迎水坡坡比（DE 与AE 的长度之比）为1：0.6，背水坡坡比为1：2，大坝高DE=30米，坝顶宽CD=10米，求大坝的截面的周长和面积．【答案】故大坝的截面的周长是（634+305+98）米，面积是1470平方米． 【解析】 试题分析：先根据两个坡比求出AE 和BF 的长，然后利用勾股定理求出AD 和BC ，再由大坝的截面的周长=DC+AD+AE+EF+BF+BC ，梯形的面积公式可得出答案．试题解析：∵迎水坡坡比（DE 与AE 的长度之比）为1：0.6，DE=30m ，∴AE=18米，在RT △ADE 中，AD=22DE AE +=634米∵背水坡坡比为1：2，∴BF=60米，在RT △BCF 中，BC=22CF BF +=305米，∴周长=DC+AD+AE+EF+BF+BC=634+10+305+88=（634+305+98）米， 面积=（10+18+10+60）×30÷2=1470（平方米）．故大坝的截面的周长是（634+305+98）米，面积是1470平方米．6．如图，直线y ＝12x +2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线y ＝﹣12x 2+bx +c 经过A 、B 两点，与x 轴的另一个交点为 C ．（1）求抛物线的解析式； （2）根据图象，直接写出满足12x +2≥﹣12x 2+bx +c 的x 的取值范围； （3）设点D 为该抛物线上的一点、连结AD ，若∠DAC ＝∠CBO ，求点D 的坐标．【答案】（1）213222y x x =--+；（2）当x ≥0或x ≤﹣4；（3）D 点坐标为（0，2）或（2，﹣3）．【解析】【分析】（1）由直线y ＝12x +2求得A 、B 的坐标，然后根据待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）观察图象，找出直线在抛物线上方的x 的取值范围；（3）如图，过D 点作x 轴的垂线，交x 轴于点E ，先求出CO ＝1，AO ＝4，再由∠DAC ＝∠CBO ，得出tan ∠DAC ＝tan ∠CBO ，从而有，DE CO AE BO =,最后分类讨论确定点D 的坐标． 【详解】解：（1）由y ＝12x +2可得： 当x ＝0时，y ＝2；当y ＝0时，x ＝﹣4，∴A （﹣4，0），B （0，2），把A 、B 的坐标代入y ＝﹣12x 2+bx +c 得： 322b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，， ∴抛物线的解析式为：213222y x x =--+ （2）当x ≥0或x ≤﹣4时，12x +2≥﹣12x 2+bx +c （3）如图，过D 点作x 轴的垂线，交x 轴于点E ， 由213222y x x =-+令y ＝0， 解得：x 1＝1，x 2＝﹣4，∴CO ＝1，AO ＝4，设点D 的坐标为（m ，213222m m --+）， ∵∠DAC ＝∠CBO ，∴tan ∠DAC ＝tan ∠CBO ，∴在Rt △ADE 和Rt △BOC 中有DE CO AE BO =， 当D 在x 轴上方时，213212242--+=+m m m 解得：m 1＝0，m 2＝﹣4（不合题意，舍去），∴点D 的坐标为（0，2）．当D 在x 轴下方时，213(2)12242---+=+m m m 解得：m 1＝2，m 2＝﹣4（不合题意，舍去），∴点D 的坐标为（2，﹣3），故满足条件的D 点坐标为（0，2）或（2，﹣3）．【点睛】本题是二次函数综合题型，主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式．解题的关键是能够熟练掌握一次函数和二次函数的有关知识解决问题，分类讨论是第（3）题的难点．7．如图1，以点M（－1，0）为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A、B、C、D，直线y＝－x－与⊙M相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点F．（1）请直接写出OE、⊙M的半径r、CH的长；（2）如图2，弦HQ交x轴于点P，且DP:PH＝3:2，求cos∠QHC的值；（3）如图3，点K为线段EC上一动点（不与E、C重合），连接BK交⊙M于点T，弦AT 交x轴于点N．是否存在一个常数a，始终满足MN·MK＝a，如果存在，请求出a的值；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）OE=5，r=2，CH=2（2）；（3）a=4【解析】【分析】（1）在直线y＝－x－中，令y=0，可求得E的坐标，即可得到OE的长为5；连接MH，根据△EMH与△EFO相似即可求得半径为2；再由EC=MC=2，∠EHM=90°，可知CH 是RT△EHM斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出CH的长；（2）连接DQ、CQ．根据相似三角形的判定得到△CHP∽△QPD，从而求得DQ的长，在直角三角形CDQ中，即可求得∠D的余弦值，即为cos∠QHC的值；（3）连接AK，AM，延长AM，与圆交于点G，连接TG，由圆周角定理可知，∠GTA=90°，∠3=∠4，故∠AKC=∠MAN，再由△AMK∽△NMA即可得出结论．【详解】（1）OE=5，r=2，CH=2（2）如图1，连接QC、QD，则∠CQD =90°，∠QHC =∠QDC，易知△CHP∽△DQP，故，得DQ=3，由于CD=4，；（3）如图2，连接AK，AM，延长AM，与圆交于点G，连接TG，则，由于，故，；而，故在和中，；故△AMK∽△NMA;即：故存在常数，始终满足常数a="4"解法二：连结BM，证明∽得8．现有一个“Z“型的工件（工件厚度忽略不计），如图所示，其中AB为20cm，BC为60cm，∠ABC＝90，∠BCD＝60°，求该工件如图摆放时的高度（即A到CD的距离）．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73）【答案】工件如图摆放时的高度约为61.9cm．【解析】【分析】过点A作AP⊥CD于点P，交BC于点Q，由∠CQP＝∠AQB、∠CPQ＝∠B＝90°知∠A＝∠C＝60°，在△ABQ中求得分别求得AQ、BQ的长，结合BC知CQ的长，在△CPQ中可得PQ，根据AP＝AQ+PQ得出答案．【详解】解：如图，过点A作AP⊥CD于点P，交BC于点Q，∵∠CQP＝∠AQB，∠CPQ＝∠B＝90°，∴∠A＝∠C＝60°，在△ABQ中，∵AQ＝（cm），BQ＝AB tan A＝20tan60°＝20（cm），∴CQ ＝BC﹣BQ＝60﹣20（cm），在△CPQ中，∵PQ＝CQ sin C＝（60﹣20）sin60°＝30（﹣1）cm，∴AP＝AQ+PQ＝40+30（﹣1）≈61.9（cm），答：工件如图摆放时的高度约为61.9cm．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义求得相关线段的长度是解题的关键．9．已知抛物线y＝﹣16x2﹣23x+2与x轴交于点A，B两点，交y轴于C点，抛物线的对称轴与x轴交于H点，分别以OC、OA为边作矩形AECO．(1)求直线AC的解析式；(2)如图，P为直线AC上方抛物线上的任意一点，在对称轴上有一动点M，当四边形AOCP 面积最大时，求|PM﹣OM|的值．(3)如图，将△AOC沿直线AC翻折得△ACD，再将△ACD沿着直线AC平移得△A'C′D'．使得点A′、C'在直线AC上，是否存在这样的点D′，使得△A′ED′为直角三角形？若存在，请求出点D′的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1) y＝13x+2；(2) 点M坐标为（﹣2，53）时，四边形AOCP的面积最大，此时|PM﹣OM|有最大值61； (3)存在，D′坐标为：（0，4）或（﹣6，2）或（35-，195）．【解析】【分析】（1）令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝2或﹣6，求出点A、B、C坐标，即可求解；（2）连接OP交对称轴于点M，此时，|PM﹣OM|有最大值，即可求解；（3）存在；分①A′D′⊥A′E；②A′D′⊥ED′；③ED′⊥A′E三种情况利用勾股定理列方程求解即可．【详解】（1）令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝2或﹣6，∴A（﹣6，0）、B（2，0）、C（0，2），函数对称轴为：x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，83），C点坐标为（0，2），则过点C的直线表达式为：y＝kx+2，将点A坐标代入上式，解得：k13=，则：直线AC的表达式为：y13=x+2；（2）如图，过点P作x轴的垂线交AC于点H．四边形AOCP面积＝△AOC的面积+△ACP的面积，四边形AOCP面积最大时，只需要△ACP的面积最大即可，设点P坐标为（m，16-m223-m+2），则点G坐标为（m，13m+2），S△ACP12=PG•OA12=•（16-m223-m+213-m﹣2）•612=-m2﹣3m，当m＝﹣3时，上式取得最大值，则点P 坐标为（﹣3，52）．连接OP 交对称轴于点M ，此时，|PM ﹣OM |有最大值，直线OP 的表达式为：y 56=-x ，当x ＝﹣2时，y 53=，即：点M 坐标为（﹣2，53），|PM ﹣OM |的最大值为：2222555(32)()2()233-++--+=61． （3）存在．∵AE ＝CD ，∠AEC ＝∠ADC ＝90°，∠EMA ＝∠DMC ，∴△EAM ≌△DCM （AAS ），∴EM ＝DM ，AM ＝MC ，设：EM ＝a ，则：MC ＝6﹣a ．在Rt △DCM 中，由勾股定理得：MC 2＝DC 2+MD 2，即：（6﹣a ）2＝22+a 2，解得：a 83=，则：MC 103=，过点D 作x 轴的垂线交x 轴于点N ，交EC 于点H ．在Rt △DMC 中，12DH •MC 12=MD •DC ，即：DH 10833⨯=⨯2，则：DH 85=，HC 2265DC DH =-=，即：点D 的坐标为（61855-，）； 设：△ACD 沿着直线AC 平移了m 个单位，则：点A ′坐标（﹣61010，D ′坐标为（618551010，-++），而点E 坐标为（﹣6，2），则2''A D =22618(6)()55-++=36，2'A E =22(2)1010+=2410m +，2'ED =22248(()551010+=2128510m +．若△A ′ED ′为直角三角形，分三种情况讨论：①当2''A D +2'A E =2'ED 时，36+2410m -=2128510m +，解得：m =105，此时D ′（618551010，-++）为（0，4）； ②当2''A D +2'ED =2'A E 时，36+2128510m +=2410m +，解得：m =8105-，此时D ′（618551010，-++）为（－6，2）； ③当2'A E +2'ED =2''A D 时，2410m -++2128510m ++=36，解得：m =810-或m =10，此时D ′（618551010，-++）为（－6，2）或（35-，195）．综上所述：D 坐标为：（0，4）或（﹣6，2）或（35-，195）． 【点睛】本题考查了二次函数知识综合运用，涉及到一次函数、图形平移、解直角三角形等知识，其中（3）中图形是本题难点，其核心是确定平移后A ′、D ′的坐标，本题难度较大．10．已知：如图，直线y ＝－x ＋12分别交x 轴、y 轴于A 、B 点，将△AOB 折叠，使A 点恰好落在OB 的中点C 处，折痕为DE ． (1)求AE 的长及sin ∠BEC 的值； (2)求△CDE 的面积．【答案】（1）2，sin ∠BEC=35；（2）754【解析】 【分析】（1）如图，作CF ⊥BE 于F 点，由函数解析式可得点B ，点A 坐标，继而可得∠A=∠B=45°，再根据中点的定义以及等腰直角三角形的性质可得OC=BC=6，2，设AE=CE=x ，则222-x ，在Rt △CEF 中，利用勾股定理求出x 的值即可求得答案；（2）如图，过点E 作EM ⊥OA 于点M ，根据三角形面积公式则可得S △CDE =S △AED =24AD×AE ，设AD=y ，则CD=y ，OD=12-y ，在Rt △OCD 中，利用勾股定理求出y ，继而可求得答案. 【详解】（1）如图，作CF ⊥BE 于F 点，由函数解析式可得点B （0，12），点A （12，0），∠A=∠B=45°，又∵点C是OB中点，∴OC=BC=6，CF=BF=32，设AE=CE=x，则EF=AB-BF-AE=122-32-x=92-x，在Rt△CEF中，CE2=CF2+EF2，即x2=（92-x）2+（32）2，解得：x=52，故可得sin∠BEC=35CFCE，AE=52；（2）如图，过点E作EM⊥OA于点M，则S△CDE=S△AED=12AD•EM=12AD×AEsin∠EAM=12AD•AE×sin45°=24AD×AE，设AD=y，则CD=y，OD=12-y，在Rt△OCD中，OC2+OD2=CD2，即62+（12-y）2=y2，解得：y=152，即AD=152，故S△CDE=S△AED=24AD×AE=754．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，涉及了勾股定理、折叠的性质、三角形面积、一次函数的性质等知识，综合性较强，正确添加辅助线、熟练应用相关知识是解题的关键.11．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，．点为轴上一动点，过点且垂直于轴的直线分别交直线及抛物线于点，．（1）填空：点的坐标为，抛物线的解析式为；（2）当点在线段上运动时（不与点，重合），①当为何值时，线段最大值，并求出的最大值；②求出使为直角三角形时的值；（3）若抛物线上有且只有三个点到直线的距离是，请直接写出此时由点，，，构成的四边形的面积．【答案】（1），；（2）①当时，有最大值是3；②使为直角三角形时的值为3或；（3）点，，，构成的四边形的面积为：6或或.【解析】【分析】（1）把点A坐标代入直线表达式y＝，求出a＝−3，把点A、B的坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）①设：点P（m，），N（m，）求出PN值的表达式，即可求解；②分∠BNP＝90°、∠NBP＝90°、∠BPN＝90°三种情况，求解即可；（3）若抛物线上有且只有三个点N到直线AB的距离是h，则只能出现：在AB直线下方抛物线与过点N的直线与抛物线有一个交点N，在直线AB上方的交点有两个，分别求解即可．【详解】解：（1）把点坐标代入直线表达式，解得：，则：直线表达式为：，令，则：，则点坐标为，将点的坐标代入二次函数表达式得：，把点的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故：抛物线的解析式为：，故：答案为：，；（2）①∵在线段上，且轴，∴点，，∴，∵，∴抛物线开口向下，∴当时，有最大值是3，②当时，点的纵坐标为-3，把代入抛物线的表达式得：，解得：或0（舍去），∴；当时，∵，两直线垂直，其值相乘为-1，设：直线的表达式为：，把点的坐标代入上式，解得：，则：直线的表达式为：，将上式与抛物线的表达式联立并解得：或0（舍去），当时，不合题意舍去，故：使为直角三角形时的值为3或；（3）∵，，在中，，则：，，∵轴，∴，若抛物线上有且只有三个点到直线的距离是，则只能出现：在直线下方抛物线与过点的直线与抛物线有一个交点，在直线上方的交点有两个.当过点的直线与抛物线有一个交点，点的坐标为，设：点坐标为：，则：，过点作的平行线，则点所在的直线表达式为：，将点坐标代入，解得：过点直线表达式为：，将拋物线的表达式与上式联立并整理得：，，将代入上式并整理得：，解得：，则点的坐标为，则：点坐标为，则：，∵，，∴四边形为平行四边形，则点到直线的距离等于点到直线的距离，即：过点与平行的直线与抛物线的交点为另外两个点，即：、，直线的表达式为：，将该表达式与二次函数表达式联立并整理得：，解得：，则点、的横坐标分别为，，作交直线于点，则，作轴，交轴于点，则：，，，则：，同理：，故：点，，，构成的四边形的面积为：6或或.【点睛】本题考查的是二次函数知识的综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等相关知识，其中（3）中确定点N的位置是本题的难点，核心是通过△＝0，确定图中N点的坐标．12．小明坐于堤边垂钓，如图①，河堤AC的坡角为30°，AC长米，钓竿AO的倾斜角是60°，其长为3米，若AO与钓鱼线OB的夹角为60°，求浮漂B与河堤下端C之间的距离(如图②)．【答案】1．5米．【解析】试题分析：延长OA交BC于点D．先由倾斜角定义及三角形内角和定理求出在Rt△ACD中,米，CD=2AD=3米，再证明△BOD是等边三角形，得到米，然后根据BC=BD−CD即可求出浮漂B与河堤下端C之间的距离．试题解析：延长OA交BC于点D.∵AO的倾斜角是，∴∵在Rt△ACD中, (米)，∴CD=2AD=3米，又∴△BOD是等边三角形，∴(米)，∴BC=BD−CD=4.5−3=1.5(米).答：浮漂B与河堤下端C之间的距离为1.5米.。
专题训练 解直角角形易错问题归纳 衡水中学内部资料 精品教学课件
3 4 3 解：设最小角为 α，则 sinα＝ ，cosα＝ ，tanα＝ 5 5 4
3．如图，△ABC 是一块绿地，∠A＝30°，∠B ＝45°，AC＝20，求△ABC 的面积．
解：50＋50 3
类型之三
忽略锐角三角函数的取值范围而致错
4．在△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10，若 sinA 是方程 2x2－3x＋1＝0 的根，求 BC 的长．
班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩， 我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京 二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生 的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么 好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基 础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的 ，何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样 一个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱 笑的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得 她很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样 一个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成 绩当中，心理素质非常好，是非常重要的。
高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分 英语141分 理综291分 报考高校：
北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
班主任 孙烨：杨蕙心是一个目标高远 的学生，而且具有很好的学习品质。学 习效率高是杨蕙心的一大特点，一般同 学两三个小时才能完成的作业，她一个 小时就能完成。杨蕙心分析问题的能力 很强，这一点在平常的考试中可以体现 。每当杨蕙心在某科考试中出现了问题 ，她能很快找到问题的原因，并马上拿 出解决办法。
解：5
类型之四
忘记分类讨论而致错
5．在△ABC 中，∠A＝30°，AC＝40 cm ，BC ＝25 cm，求△ABC 的面积．
解：△ABC 的面积为(200 3＋150)cm2 或(200 3 －150)cm2
中考数学复习直角三角形的边角关系专项易错题含答案解析
中考数学复习直角三角形的边角关系专项易错题含答案解析一、直角三角形的边角关系1．如图，山坡上有一棵树AB，树底部B点到山脚C点的距离BC为63米，山坡的坡角为30°．小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高，点C到测角仪EF的水平距离CF=1米，从E处测得树顶部A的仰角为45°，树底部B的仰角为20°，求树AB的高度．（参考数值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）【答案】6.4米【解析】解：∵底部B点到山脚C点的距离BC为6 3 米，山坡的坡角为30°．∴DC=BC•cos30°=3==米，639∵CF=1米，∴DC=9+1=10米，∴GE=10米，∵∠AEG=45°，∴AG=EG=10米，在直角三角形BGF中，BG=GF•tan20°=10×0.36=3.6米，∴AB=AG-BG=10-3.6=6.4米，答：树高约为6.4米首先在直角三角形BDC中求得DC的长，然后求得DF的长，进而求得GF的长，然后在直角三角形BGF中即可求得BG的长，从而求得树高2．已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别在BC、AC边上，连结BE、AD交于点P，设AC=kBD，CD=kAE，k为常数，试探究∠APE的度数：（1）如图1，若k=1，则∠APE的度数为；（2）如图2，若31）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，求出∠APE的度数．（3）如图3，若3D、E分别在CB、CA的延长线上，（2）中的结论是否成立，请说明理由．【答案】（1）45°；（2）（1）中结论不成立，理由见解析；（3）（2）中结论成立，理由见解析.【解析】分析：（1）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而判断出△FAE≌△ACD，得出EF=AD=BF，再判断出∠EFB=90°，即可得出结论；（2）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而判断出△FAE∽△ACD，再判断出∠EFB=90°，即可得出结论；（3）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而判断出△ACD∽△HEA，再判断出∠EFB=90°，即可得出结论；详解：（1）如图1，过点A作AF∥CB，过点B作BF∥AD相交于F，连接EF，∴∠FBE=∠APE，∠FAC=∠C=90°，四边形ADBF是平行四边形，∴BD=AF，BF=AD．∵AC=BD，CD=AE，∴AF=AC．∵∠FAC=∠C=90°，∴△FAE≌△ACD，∴EF=AD=BF，∠FEA=∠ADC．∵∠ADC+∠CAD=90°，∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EHD．∵AD∥BF，∴∠EFB=90°．∵EF=BF，∴∠FBE=45°，∴∠APE=45°．（2）（1）中结论不成立，理由如下：如图2，过点A 作AF ∥CB ，过点B 作BF ∥AD 相交于F ，连接EF ，∴∠FBE=∠APE ，∠FAC=∠C=90°，四边形ADBF 是平行四边形，∴BD=AF ，BF=AD ．∵AC=3BD ，CD=3AE ， ∴3AC CD BD AE==． ∵BD=AF ， ∴3AC CD AF AE==． ∵∠FAC=∠C=90°，∴△FAE ∽△ACD ， ∴3AC AD BF AF EF EF===，∠FEA=∠ADC ． ∵∠ADC+∠CAD=90°，∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EMD ．∵AD ∥BF ，∴∠EFB=90°． 在Rt △EFB 中，tan ∠FBE=33EF BF =， ∴∠FBE=30°，∴∠APE=30°，（3）（2）中结论成立，如图3，作EH ∥CD ，DH ∥BE ，EH ，DH 相交于H ，连接AH ，∴∠APE=∠ADH ，∠HEC=∠C=90°，四边形EBDH 是平行四边形，∴BE=DH ，EH=BD ．∵3BD ，3AE ，∴3AC CD BD AE ==． ∵∠HEA=∠C=90°，∴△ACD ∽△HEA ， ∴3AD AC AH EH==，∠ADC=∠HAE ． ∵∠CAD+∠ADC=90°，∴∠HAE+∠CAD=90°，∴∠HAD=90°． 在Rt △DAH 中，tan ∠ADH=3AH AD =， ∴∠ADH=30°，∴∠APE=30°．点睛：此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，构造全等三角形和相似三角形的判定和性质．3．已知：△ABC 内接于⊙O ，D 是弧BC 上一点，OD ⊥BC ，垂足为H ．（1）如图1，当圆心O 在AB 边上时，求证：AC=2OH ；（2）如图2，当圆心O 在△ABC 外部时，连接AD 、CD ，AD 与BC 交于点P ，求证：∠ACD=∠APB ；（3）在（2）的条件下，如图3，连接BD ，E 为⊙O 上一点，连接DE 交BC 于点Q 、交AB 于点N ，连接OE ，BF 为⊙O 的弦，BF ⊥OE 于点R 交DE 于点G ，若∠ACD ﹣∠ABD=2∠BDN ，AC=，BN=，tan ∠ABC=，求BF 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）24.【解析】试题分析：（1）易证OH 为△ABC 的中位线，可得AC=2OH ；（2）∠APB=∠PAC+∠ACP ，∠ACD=∠ACB+∠BCD ，又∵∠PAC =∠BCD ，可证∠ACD=∠APB ；（3）连接AO 延长交于⊙O 于点I ，连接IC ，AB 与OD 相交于点M ，连接OB ，易证∠GBN=∠ABC ，所以BG=BQ.在Rt △BNQ 中，根据tan ∠ABC=，可求得NQ 、BQ 的长.利用圆周角定理可求得IC 和AI 的长度，设QH=x ，利用勾股定理可求出QH 和HD 的长度，利用垂径定理可求得ED 的长度，最后利用tan∠OED=即可求得RG的长度，最后由垂径定理可求得BF的长度．试题解析：（1）在⊙O中，∵OD⊥BC，∴BH=HC，∵点O是AB的中点，∴AC=2OH；（2）在⊙O中，∵OD⊥BC，∴弧BD=弧CD，∴∠PAC=∠BCD，∵∠APB=∠PAC+∠ACP，∠ACD=∠ACB+∠BCD，∴∠ACD=∠APB；（3）连接AO延长交于⊙O于点I，连接IC，AB 与OD相交于点M，连接OB，∵∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN，∴∠ACD﹣∠BDN=∠ABD+∠BDN，∵∠ABD+∠BDN=∠AND，∴∠ACD﹣∠BDN=∠AND，∵∠ACD+∠ABD=180°，∴2∠AND=180°，∴∠AND=90°，∵tan∠ABC=，∴，∴，∴，∵∠BNQ=∠QHD=90°，∴∠ABC=∠QDH，∵OE=OD，∴∠OED=∠QDH，∵∠ERG=90°，∴∠OED=∠GBN，∴∠GBN=∠ABC，∵AB⊥ED，∴BG=BQ=，GN=NQ=，∵∠ACI=90°，tan∠AIC=tan∠ABC=，∴，∴IC=，∴由勾股定理可求得：AI=25，设QH=x，∵tan∠ABC=tan∠ODE=，∴，∴HD=2x，∴OH=OD﹣HD=，BH=BQ+QH=，∵OB2=BH2+OH2，∴，解得：，当QH=时，∴QD=，∴ND=，∴MN=，MD=15,∵，∴QH=不符合题意，舍去，当QH=时，∴QD=∴ND=NQ+QD=，ED=，∴GD=GN+ND=,∴EG=ED﹣GD=，∵tan∠OED=，∴，∴EG=RG，∴RG=，∴ BR=RG+BG=12,∴BF=2BR=24．考点：1圆；2相似三角形；3三角函数；4直角三角形.4．在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点()0,0O ，点()3,0A ，点()0,4C ，连接OB ，以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOCB ，旋转角为()0360αα︒<<︒，得到矩形ADEF ，点,,O C B 的对应点分别为,,D E F .(Ⅰ)如图，当点D 落在对角线OB 上时，求点D 的坐标；(Ⅱ)在(Ⅰ)的情况下，AB 与DE 交于点H .①求证BDE DBA ∆≅∆；②求点H 的坐标.(Ⅲ)α为何值时，FB FA =.(直接写出结果即可).【答案】(Ⅰ)点D 的坐标为5472(,)2525；(Ⅱ)①证明见解析；②点H 的坐标为(3，258)；(Ⅲ)60α=︒或300︒.【解析】【分析】 (Ⅰ) 过A D 、分别作,AM OB DN OA ⊥⊥，根据点A 、点C 的坐标可得出OA 、OC 的长，根据矩形的性质可得AB 、OB 的长，在Rt △OAM 中，利用∠BOA 的余弦求出OM 的长，由旋转的性质可得OA=AD ，利用等腰三角形的性质可得OD=2OM ，在Rt △ODN 中，利用∠BOA 的正弦和余弦可求出DN 和ON 的长，即可得答案；(Ⅱ)①由等腰三角形性质可得∠DOA=∠ODA ，根据锐角互余的关系可得ABD BDE ∠∠=，利用SAS 即可证明△DBA ≌△BDE ；②根据△DBA ≌△BDE 可得∠BEH=∠DAH ，BE=AD ，即可证明△BHE ≌△DHA ，可得DH=BH ，设AH=x ，在Rt △ADH 中，利用勾股定理求出x 的值即可得答案；（Ⅲ）如图，过F 作FO ⊥AB ，由性质性质可得∠BAF=α，分别讨论0<α≤180°时和180°<α<360°时两种情况，根据FB=FA 可得OA=OB ，利用勾股定理求出FO 的长，由余弦的定义即可求出∠BAF 的度数.【详解】(Ⅰ)∵点()30A ，，点()04C ，， ∴3,4OA OC ==.∵四边形OABC 是矩形，∴AB=OC=4，∵矩形DAFE 是由矩形AOBC 旋转得到的∴3AD AO ==.在Rt OAB ∆中，225OB OA AB =+=， 过A D 、分别作B,DN OA AM O ⊥⊥在Rt ΔOAM 中，OM OA 3cos BOA OA OB 5∠===， ∴9OM 5= ∵AD=OA ，AM ⊥OB ， ∴18OD 2OM 5==. 在Rt ΔODN 中：DN 4sin BOA OD 5∠==，cos ∠BOA=ON OD =35， ∴72DN 25=，54ON 25=. ∴点D 的坐标为5472,2525⎛⎫⎪⎝⎭.(Ⅱ)①∵矩形DAFE 是由矩形AOBC 旋转得到的，∴OA AD 3,ADE 90,DE AB 4∠===︒==.∴OD AD =.∴DOA ODA ∠∠=.又∵DOA OBA 90∠∠+=︒，BDH ADO 90∠∠+=︒∴ABD BDE ∠∠=. 又∵BD BD =，∴ΔBDE ΔDBA ≅.②由ΔBDE ΔDBA ≅，得BEH DAH ∠∠=，BE AD 3==，又∵BHE DHA ∠∠=，∴ΔBHE ΔDHA ≅.∴DH=BH ，设AH x =，则DH BH 4x ==-，在Rt ΔADH 中，222AH AD DH =+，即()222x 34x =+-，得25x 8=， ∴25AH 8=. ∴点H 的坐标为253,8⎛⎫ ⎪⎝⎭. (Ⅲ)如图，过F 作FO ⊥AB ，当0<α≤180°时，∵点B 与点F 是对应点，A 为旋转中心，∴∠BAF 为旋转角，即∠BAF=α，AB=AF=4，∵FA=FB ，FO ⊥AB ，∴OA=12AB=2， ∴cos ∠BAF=OA AF =12， ∴∠BAF=60°，即α=60°，当180°<α<360°时， 同理解得：∠BAF′=60°，∴旋转角α=360°-60°=300°.综上所述：α60=︒或300︒.【点睛】本题考查矩形的性质、旋转变换、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义等知识，正确找出对应边与旋转角并熟记特殊角的三角函数值是解题关键.5．如图，在平面直角坐标系中，直线DE交x轴于点E（30，0），交y轴于点D（0，40），直线AB：y＝13x+5交x轴于点A，交y轴于点B，交直线DE于点P，过点E作EF⊥x轴交直线AB于点F，以EF为一边向右作正方形EFGH．（1）求边EF的长；（2）将正方形EFGH沿射线FB的方向以每秒10个单位的速度匀速平移，得到正方形E1F1G1H1，在平移过程中边F1G1始终与y轴垂直，设平移的时间为t秒（t＞0）．①当点F1移动到点B时，求t的值；②当G1，H1两点中有一点移动到直线DE上时，请直接写出此时正方形E1F1G1H1与△APE 重叠部分的面积．【答案】（1）EF＝15；（2）①10；②120；【解析】【分析】（1）根据已知点E（30，0），点D（0，40），求出直线DE的直线解析式y=-43x+40，可求出P点坐标，进而求出F点坐标即可；（2）①易求B（0，5），当点F1移动到点B时，1010=10；②F点移动到F'10t，F垂直x轴方向移动的距离是t，当点H运动到直线DE上时，在Rt△F'NF中，NFNF'=13，EM=NG'=15-F'N=15-3t，在Rt△DMH'中，43MHEM'=，t=4，S=12×(12+454)×11=10238；当点G运动到直线DE上时，在Rt△F'PK中，PKF K'=13，PK=t-3，F'K=3t-9，在Rt△PKG'中，PKKG'＝31539tt--+＝43，t=7，S=15×（15-7）=120.【详解】（1）设直线DE的直线解析式y＝kx+b，将点E（30，0），点D（0，40），∴30040k bb+=⎧⎨=⎩，∴4340 kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴y＝﹣43x+40，直线AB与直线DE的交点P（21，12），由题意知F（30，15），∴EF＝15；（2）①易求B（0，5），∴BF＝1010，∴当点F1移动到点B时，t＝101010÷＝10；②当点H运动到直线DE上时，F点移动到F'10，在Rt△F'NF中，NFNF'=13，∴FN＝t，F'N＝3t，∵MH'＝FN＝t，EM＝NG'＝15﹣F'N＝15﹣3t，在Rt△DMH'中，43MHEM'=，∴41533tt=-，∴t＝4，∴EM＝3，MH'＝4，∴S＝1451023(12)11248⨯+⨯=；当点G运动到直线DE上时，F 点移动到F'的距离是10t ， ∵PF ＝310，∴PF'＝10t ﹣310，在Rt △F'PK 中，13PK F K ='， ∴PK ＝t ﹣3，F'K ＝3t ﹣9，在Rt △PKG'中，PK KG '＝31539t t --+＝43， ∴t ＝7，∴S ＝15×（15﹣7）＝120.【点睛】本题考查一次函数图象及性质，正方形的性质；掌握待定系数法求函数解析式，利用三角形的正切值求边的关系，利用勾股定理在直角三角形中建立边之间的联系，准确确定阴影部分的面积是解题的关键．6．如图1，以点M （－1，0）为圆心的圆与y 轴、x 轴分别交于点A 、B 、C 、D ，直线y ＝－x －与⊙M 相切于点H ，交x 轴于点E ，交y 轴于点F ．（1）请直接写出OE 、⊙M 的半径r 、CH 的长；（2）如图2，弦HQ 交x 轴于点P ，且DP : PH ＝3 : 2，求cos ∠QHC 的值；（3）如图3，点K 为线段EC 上一动点（不与E 、C 重合），连接BK 交⊙M 于点T ，弦AT交x 轴于点N ．是否存在一个常数a ，始终满足MN·MK ＝a ，如果存在，请求出a 的值；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）OE=5，r=2，CH=2（2）；（3）a=4【解析】【分析】（1）在直线y＝－x－中，令y=0，可求得E的坐标，即可得到OE的长为5；连接MH，根据△EMH与△EFO相似即可求得半径为2；再由EC=MC=2，∠EHM=90°，可知CH 是RT△EHM斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出CH的长；（2）连接DQ、CQ．根据相似三角形的判定得到△CHP∽△QPD，从而求得DQ的长，在直角三角形CDQ中，即可求得∠D的余弦值，即为cos∠QHC的值；（3）连接AK，AM，延长AM，与圆交于点G，连接TG，由圆周角定理可知，∠GTA=90°，∠3=∠4，故∠AKC=∠MAN，再由△AMK∽△NMA即可得出结论．【详解】（1）OE=5，r=2，CH=2（2）如图1，连接QC、QD，则∠CQD =90°，∠QHC =∠QDC，易知△CHP∽△DQP，故，得DQ=3，由于CD=4，；（3）如图2，连接AK，AM，延长AM，与圆交于点G，连接TG，则，由于，故，；而，故在和中，；故△AMK∽△NMA;即：故存在常数，始终满足常数a="4"解法二：连结BM，证明∽得7．3米/秒 =65.88千米/小时>60千米/小时．此车超过限制速度．…4分8．现有一个“Z“型的工件（工件厚度忽略不计），如图所示，其中AB为20cm，BC为60cm，∠ABC＝90，∠BCD＝60°，求该工件如图摆放时的高度（即A到CD的距离）．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73）【答案】工件如图摆放时的高度约为61.9cm．【解析】【分析】过点A作AP⊥CD于点P，交BC于点Q，由∠CQP＝∠AQB、∠CPQ＝∠B＝90°知∠A＝∠C ＝60°，在△ABQ中求得分别求得AQ、BQ的长，结合BC知CQ的长，在△CPQ中可得PQ，根据AP＝AQ+PQ得出答案．【详解】解：如图，过点A作AP⊥CD于点P，交BC于点Q，∵∠CQP＝∠AQB，∠CPQ＝∠B＝90°，∴∠A＝∠C＝60°，在△ABQ中，∵AQ＝（cm），BQ＝AB tan A＝20tan60°＝20（cm），∴CQ＝BC﹣BQ＝60﹣20（cm），在△CPQ中，∵PQ＝CQ sin C＝（60﹣20）sin60°＝30（﹣1）cm，∴AP＝AQ+PQ＝40+30（﹣1）≈61.9（cm），答：工件如图摆放时的高度约为61.9cm．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义求得相关线段的长度是解题的关键．9．如图，半圆O的直径AB＝20，弦CD∥AB，动点M在半径OD上，射线BM与弦CD相交于点E（点E与点C、D不重合），设OM＝m．（1）求DE的长（用含m的代数式表示）；（2）令弦CD所对的圆心角为α，且sin4 =25α．①若△DEM的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出m的取值范围；②若动点N在CD上，且CN＝OM，射线BM与射线ON相交于点F，当∠OMF＝90°时，求DE的长．【答案】（1）DE＝10010mm-；（2）①S＝2360300m mm-+，（5013＜m＜10），②DE＝5 2 .【解析】【分析】（1）由CD∥AB知△DEM∽△OBM，可得DE DMOB OM=，据此可得；（2）①连接OC、作OP⊥CD、MQ⊥CD，由OC＝OD、OP⊥CD知∠DOP＝12∠COD，据此可得sin∠DOP＝sin∠DMQ＝45、sin∠ODP＝35，继而由OM＝m、OD＝10得QM＝DM sin∠ODP＝35（10﹣m），根据三角形的面积公式即可得；如图2，先求得PD＝8、CD＝16，证△CDM∽△BOM得CD DMBO OM=，求得OM＝5013，据此可得m的取值范围；②如图3，由BM＝OB sin∠BOM＝10×35＝6，可得OM＝8，根据（1）所求结果可得答案．【详解】（1）∵CD∥AB，∴△DEM∽△OBM，∴DE DM OB OM =，即1010DE m m -=， ∴DE ＝10010m m -； （2）①如图1，连接OC 、作OP ⊥CD 于点P ，作MQ ⊥CD 于点Q ，∵OC ＝OD 、OP ⊥CD ，∴∠DOP ＝12∠COD ， ∵sin 2α＝45， ∴sin ∠DOP ＝sin ∠DMQ ＝45，sin ∠ODP ＝35， ∵OM ＝m 、OD ＝10，∴DM ＝10﹣m ，∴QM ＝DM sin ∠ODP ＝35（10﹣m ）， 则S △DEM ＝12DE •MQ ＝12×10010m m -×35（10﹣m ）＝2360300m m m-+， 如图2，∵PD ＝OD sin ∠DOP ＝10×45＝8， ∴CD ＝16，∵CD ∥AB ，∴△CDM ∽△BOM ，∴CD DM BO OM =，即1610=10OM OM-，解得：OM＝50 13，∴5013＜m＜10，∴S＝2360300m mm-+，（5013＜m＜10）．②当∠OMF＝90°时，如图3，则∠BMO＝90°，在Rt△BOM中，BM＝OB sin∠BOM＝10×35＝6，则OM＝8，由（1）得DE＝100108582-⨯=．【点睛】本题主要考查圆的综合题，解题的关键是熟练掌握圆的有关性质、相似三角形的判定与性质及解直角三角形的能力．10．小明坐于堤边垂钓，如图①，河堤AC的坡角为30°，AC长米，钓竿AO的倾斜角是60°，其长为3米，若AO与钓鱼线OB的夹角为60°，求浮漂B与河堤下端C之间的距离(如图②)．【答案】1．5米．【解析】试题分析：延长OA交BC于点D．先由倾斜角定义及三角形内角和定理求出在Rt△ACD中,米，CD=2AD=3米，再证明△BOD是等边三角形，得到米，然后根据BC =BD −CD 即可求出浮漂B 与河堤下端C 之间的距离．试题解析：延长OA 交BC 于点D .∵AO 的倾斜角是， ∴∵在Rt △ACD 中,(米)，∴CD =2AD =3米， 又∴△BOD 是等边三角形， ∴(米)， ∴BC =BD −CD =4.5−3=1.5(米).答：浮漂B 与河堤下端C 之间的距离为1.5米.11．如图所示，一堤坝的坡角62ABC ∠=︒，坡面长度25AB =米(图为横截面)，为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角50ADB ∠=︒，则此时应将坝底向外拓宽多少米？(结果保留到0.01 米)(参考数据：sin620.88︒≈，cos620.47︒≈，tan50 1.20︒≈)【答案】6.58米【解析】试题分析：过A 点作AE ⊥CD 于E ．在Rt △ABE 中，根据三角函数可得AE ，BE ，在Rt △ADE 中，根据三角函数可得DE ，再根据DB=DE ﹣BE 即可求解．试题解析：过A 点作AE ⊥CD 于E ． 在Rt △ABE 中，∠ABE=62°． ∴AE=AB•sin62°=25×0.88=22米，BE=AB•cos62°=25×0.47=11.75米，在Rt△ADE中，∠ADB=50°，∴DE==18米，∴DB=DE﹣BE≈6.58米．故此时应将坝底向外拓宽大约6.58米．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．12．如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，点D从B点出发沿B→A方向在线段BA上以a cm/s速度运动，与此同时，点E从线段BC的某个端点出发，以b cm/s速度在线段BC 上运动，当D到达A点后，D、E运动停止，运动时间为t（秒）．（1）如图1，若a=b=1，点E从C出发沿C→B方向运动，连AE、CD，AE、CD交于F，连BF．当0＜t＜6时：①求∠AFC的度数；②求222AF FC BFAF FC+-⋅的值；（2）如图2，若a=1，b=2，点E从B点出发沿B→C方向运动，E点到达C点后再沿C→B 方向运动．当t≥3时，连DE，以DE为边作等边△DEM，使M、B在DE两侧，求M点所经历的路径长．【答案】（1）①120°；②1；（2）当3≤t≤6时，M点所经历的路径长为3．【解析】【分析】（1）①如图1，由题可得BD=CE=t，易证△BDC≌△CEA，则有∠BCD=∠CAE，根据三角形外角的性质可求得∠EFC=60°，即可得到∠AFC=120°；②延长FD到G，使得FG=FA，连接GA、GB，过点B作BH⊥FG于H，如图2，易证△FAG 是等边三角形，结合△ABC是等边三角形可证到△AGB≌△AFC，则有GB=FC，∠AGB=∠AFC=120°，从而可得∠BGF=60°．设AF=x，FC=y，则有FG=AF=x，BG=CF=y．在Rt△BHG中运用直角三角形的性质可得BH=2y，GH=12y，从而有FH=x﹣12y．在Rt△BHF中根据勾股定理可得BF2=x2﹣xy+y2，代入所求代数式就可解决问题；（2）过点E作EN⊥AB于N，连接MC，如图3，由题可得∠BEN=30°，BD=t，CE=2t﹣6，从而有BE=12﹣2t，BN=6﹣t，进而可得DN=EC．由△DEM是等边三角形可得DE=EM，∠DEM=60°，从而可得∠NDE=∠MEC，进而可证到△DNE≌△ECM，则有∠DNE=∠ECM=90°，故M点运动的路径为过点C垂直于BC的一条线段．然后只需确定点M的始点和终点位置，就可解决问题．【详解】（1）如图1，由题可得BD=CE=t．∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠B=∠ECA=60°．在△BDC和△CEA中，BD CEB ECABC AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDC≌△CEA，∴∠BCD=∠CAE，∴∠EFC=∠CAE+∠ACF=∠BCD+∠ACF=∠ACB=60°，∴∠AFC=120°；②延长FD到G，使得FG=FA，连接GA、GB，过点B作BH⊥FG于H，如图2．∵∠AFG=180°﹣120°=60°，FG=FA，∴△FAG是等边三角形，∴AG=AF=FG，∠AGF=∠GAF=60°．∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∴∠GAF=∠BAC，∴∠GAB=∠FAC．在△AGB和△AFC中，AG AFGAB FACAB AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AGB≌△AFC，∴GB=FC，∠AGB=∠AFC=120°，∴∠BGF=60°，∴∠GBH=30°．设AF=x，FC=y，则有FG=AF=x，BG=CF=y．在Rt△BHG中，GH=12y，BH=y，∴FH=FG﹣GH=x﹣12y．在Rt△BHF中，BF2=BH2+FH2=（2y）2+（x﹣12y）2=x2﹣xy+y2，∴222AF FC BFAF FC+-⋅=2222x y x xy yxy+--+（）=1；（2）过点E作EN⊥AB于N，连接MC，如图3，由题可得：∠BEN=30°，BD=1×t=t，CE=2（t﹣3）=2t﹣6，∴BE=6﹣（2t﹣6）=12﹣2t，BN=12BE=6﹣t，∴DN=t﹣（6﹣t）=2t﹣6，∴DN=EC．∵△DEM是等边三角形，∴DE=EM，∠DEM=60°．∵∠NDE+∠NED=90°，∠NED+∠MEC=180°﹣30°﹣60°=90°，∴∠NDE=∠MEC．在△DNE和△ECM中，∵DN ECNDE CEMDE EM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DNE≌△ECM，∴∠DNE=∠ECM=90°，∴M点运动的路径为过点C垂直于BC的一条线段．当t=3时，E在点B，D在AB的中点，此时CM=EN=CD=BC•sin B=6×3 2=33；当t=6时，E在点C，D在点A，此时点M在点C；∴当3≤t≤6时，M点所经历的路径长为33．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数、特殊角的三角函数值、勾股定理、三角形外角的性质等知识，综合性比较强，有一定的难度；构造旋转型全等三角形（由共顶点的两个等边三角形组成）是解决第1（2）小题的关键，证到∠ECM=90°是解决第（2）小题的关键．。
中考数学二轮 直角三角形的边角关系 专项培优 易错 难题含答案
中考数学二轮 直角三角形的边角关系 专项培优 易错 难题含答案一、直角三角形的边角关系1．某地是国家AAAA 级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为 “小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ，想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40o ，从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60o ，5CB m ＝, 2.7CD m ＝．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3m ．于是，他们很快就算出了AB 的长．你也算算？（结果精确到0.1m ．参考数据：400.64400.77400.84sin cos tan ︒≈︒≈︒≈，，.2 1.41,3 1.73≈≈）【答案】AB 的长约为0.6m ．【解析】【分析】作BF CE ⊥于F ，根据正弦的定义求出BF ，利用余弦的定义求出CF ，利用正切的定义求出DE ，结合图形计算即可．【详解】解：作BF CE ⊥于F ，在Rt BFC ∆中， 3.20BF BC sin BCF ⋅∠≈＝，3.85CF BC cos BCF ⋅∠≈＝，在Rt ADE ∆E 中，3 1.73tan 3AB DE ADE ===≈∠， 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+＝﹣＝，＝＝﹣＝由勾股定理得，22BH AH 0.6(m)AB =+≈，答：AB 的长约为0.6m ．【点睛】考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．2．如图，反比例函数() 0k y k x=≠ 的图象与正比例函数 2y x = 的图象相交于A (1,a ),B 两点，点C 在第四象限，CA ∥y 轴，90ABC ∠=︒.(1)求k 的值及点B 的坐标；(2)求tanC 的值.【答案】（1）2k =，()1,2B --；（2）2.【解析】【分析】（1）先根据点A 在直线y=2x 上，求得点A 的坐标，再根据点A 在反比例函数()0k y k x=≠ 的图象上，利用待定系数法求得k 的值，再根据点A 、B 关于原点对称即可求得点B 的坐标；（2）作BH ⊥AC 于H ，设AC 交x 轴于点D ，根据90ABC ∠=︒ ， 90BHC ∠=︒ ，可得C ABH ∠∠=，再由已知可得AOD ABH ∠∠=，从而得C AOD ∠∠=，求出C tan 即可.【详解】（1）∵点A (1，a )在2y x =上，∴a =2，∴A (1，2)，把A (1，2)代入 k y x =得2k =， ∵反比例函数()0k y k x=≠ 的图象与正比例函数 2y x = 的图象交于A ，B 两点， ∴A B 、 两点关于原点O 中心对称，∴()12B --， ； （2）作BH ⊥AC 于H ，设AC 交x 轴于点D ，∵90ABC ∠=︒ ， 90BHC ∠=︒ ，∴C ABH ∠∠=，∵CA ∥y 轴，∴BH ∥x 轴，∴AOD ABH ∠∠=，∴C AOD ∠∠=，∴AD 22OD 1tanC tan AOD =∠===.【点睛】本题考查了反比例与一次函数综合问题，涉及到待定系数法、中心对称、三角函数等知识，熟练掌握和应用相关知识是解题的关键，（2）小题求出∠C=∠AOD 是关键.3．在Rt △ACB 和△AEF 中，∠ACB ＝∠AEF ＝90°，若点P 是BF 的中点，连接PC ，PE. 特殊发现：如图1，若点E 、F 分别落在边AB ，AC 上，则结论：PC ＝PE 成立（不要求证明）． 问题探究：把图1中的△AEF 绕点A 顺时针旋转．(1)如图2，若点E 落在边CA 的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(2)如图3，若点F 落在边AB 上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(3)记AC BC＝k ，当k 为何值时，△CPE 总是等边三角形？（请直接写出后的值，不必说）【答案】()1 PC PE =成立 ()2 ，PC PE =成立 ()3当k 3CPE V 总是等边三角形【解析】【分析】 （1）过点P 作PM ⊥CE 于点M ，由EF ⊥AE ，BC ⊥AC ，得到EF ∥MP ∥CB ，从而有EM FP MC PB=，再根据点P 是BF 的中点，可得EM=MC ，据此得到PC=PE ． （2）过点F 作FD ⊥AC 于点D ，过点P 作PM ⊥AC 于点M ，连接PD ，先证△DAF ≌△EAF ，即可得出AD=AE ；再证△DAP ≌△EAP ，即可得出PD=PE ；最后根据FD ⊥AC ，BC ⊥AC ，PM ⊥AC ，可得FD ∥BC ∥PM ，再根据点P 是BF 的中点，推得PC=PD ，再根据PD=PE ，即可得到结论．（3）因为△CPE 总是等边三角形，可得∠CEP=60°，∠CAB=60°；由∠ACB=90°，求出∠CBA=30°；最后根据AC k BC =，AC BC =tan30°，求出当△CPE 总是等边三角形时，k 的值是多少即可．【详解】解：（1）PC=PE 成立，理由如下：如图2，过点P 作PM ⊥CE 于点M ，∵EF ⊥AE ，BC ⊥AC ，∴EF ∥MP ∥CB ，∴EM FP MC PB=，∵点P 是BF 的中点，∴EM=MC ，又∵PM ⊥CE ，∴PC=PE ；（2）PC=PE 成立，理由如下：如图3，过点F 作FD ⊥AC 于点D ，过点P 作PM ⊥AC 于点M ，连接PD ，∵∠DAF=∠EAF ，∠FDA=∠FEA=90°，在△DAF 和△EAF 中，∵∠DAF=∠EAF ，∠FDA=∠FEA ，AF=AF ，∴△DAF ≌△EAF （AAS ），∴AD=AE ，在△DAP 和△EAP 中，∵AD=AE ，∠DAP=∠EAP ，AP=AP ，∴△DAP ≌△EAP （SAS ），∴PD=PE ，∵FD ⊥AC ，BC ⊥AC ，PM ⊥AC ，∴FD ∥BC ∥PM ，∴DM FP MC PB=， ∵点P 是BF 的中点，∴DM=MC ，又∵PM ⊥AC ，∴PC=PD ，又∵PD=PE ，∴PC=PE ；（3）如图4，∵△CPE 总是等边三角形，∴∠CEP=60°，∴∠CAB=60°，∵∠ACB=90°，∴∠CBA=90°﹣∠ACB=90°﹣60°=30°， ∵AC k BC ，AC BC=tan30°， ∴k=tan30°=3， ∴当k 为33时，△CPE 总是等边三角形．【点睛】考点：1．几何变换综合题；2．探究型；3．压轴题；4．三角形综合题；5．全等三角形的判定与性质；6．平行线分线段成比例．4．我市在创建全国文明城市的过程中，某社区在甲楼的A 处与E 处之间悬挂了一副宣传条幅，在乙楼顶部C 点测得条幅顶端A 点的仰角为45°，条幅底端E 点的俯角为30°，若甲、乙两楼之间的水平距离BD 为12米，求条幅AE 的长度．(结果保留根号)【答案】AE 的长为(123)+【解析】【分析】在Rt ACF V 中求AF 的长, 在Rt CEF V 中求EF 的长,即可求解.【详解】过点C 作CF AB ⊥于点F由题知：四边形CDBF 为矩形12CF DB ∴==在Rt ACF V 中，45ACF ∠=︒tan 1AF ACF CF∴∠== 12AF ∴=在Rt CEF V 中，30ECF ∠=︒tan EF ECF CF∴∠= 3123EF ∴= 43EF ∴=1243AE AF EF ∴=+=+∴求得AE 的长为(1243+【点睛】本题考查了三角函数的实际应用,中等难度,作辅助线构造直角三角形是解题关键.5．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线4y kx =+交x 轴、y 轴分别于点A 、点B ，且ABO ∆的面积为8.（1）求k 的值；（2）如图，点P 是第一象限直线AB 上的一个动点，连接PO ，将线段OP 绕点O 顺时针旋转90°至线段OC ，设点P 的横坐标为t ，点C 的横坐标为m ，求m 与t 之间的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，过点B 作直线BM OP ⊥，交x 轴于点M ，垂足为点N ，点K 在线段MB 的延长线上，连接PK ，且0PK KB P +=，2PMB KPB ∠=∠，连接MC ，求四边形BOCM 的面积.【答案】（1）1k =；（2）4m t =+；（3）32BOCM S =Y .【解析】【分析】（1）先求出A 的坐标，然后利用待定系数法求出k 的值；(2) 过点P 作PD x ⊥轴，垂足为D ，过点C 作CE x ⊥轴，垂足为E ，证POD OCE ∆≅∆可得OE PD =，进一步得出m 与t 的函数关系式；（3）过点O 作直线OT AB ⊥，交直线BM 于点Q ，垂足为点T ，连接QP ，先证出QTB PTO ∆≅∆；再证出KPB BPN ∠=∠；设KPB x ∠=︒，通过计算证出PO PM =；再过点P 作PD x ⊥轴，垂足为点D ，根据tan tan OPD BMO ∠=∠得到OD BO PD MO =，列式可求得t=4；所以OM=8进一步得出四边形BOCM 是平行四边形，最后可得其面积为32.【详解】解：（1）把0x =代入4y kx =+，4y =，∴4BO =，又∵4ABO S ∆=， ∴142AO BO ⋅=，4AO =， ∴(4,0)A -，把4x =-，0y =代入4y kx =+，得044k =-+，解得1k =.故答案为1；（2）解：把x t =代入4y x =+，4y t =+， ∴(,4)P t t +如图，过点P 作PD x ⊥轴，垂足为D ，过点C 作CE x ⊥轴，垂足为E ，∴90PDO CEO ∠=∠=︒，∴90POD OPD ∠+∠=︒，∵线段OP 绕点O 顺时针旋转90°至线段OC ，∴90POC ∠=︒，OP OC =，∴90POD EOC ∠+∠=︒，∴OPD EOC ∠=∠，∴POD OCE ∆≅∆，∴OE PD =，4m t =+.故答案为4m t =+.（3）解：如图，过点O 作直线OT AB ⊥，交直线BM 于点Q ，垂足为点T ，连接QP ，由（1）知，4AO BO ==，90BOA ∠=︒，∴ABO ∆为等腰直角三角形，∴45ABO BAO ∠=∠=︒，9045BOT ABO ABO ∠=︒-∠=︒=∠，∴BT TO =，∵90BTO ∠=︒，∴90TPO TOP ∠+∠=︒，∵PO BM ⊥，∴90BNO ∠=︒，∴BQT TPO ∠=∠，∴QTB PTO ∆≅∆，∴QT TP =，PO BQ =，∴PQT QPT ∠=∠，∵PO PK KB =+，∴QB PK KB =+，QK KP =，∴KQP KPQ ∠=∠，∴PQT KQP QPT KPQ ∠-∠=∠-∠，TQB TPK ∠=∠，∴KPB BPN ∠=∠，设KPB x ∠=︒，∴BPN x ∠=︒，∵2PMB KPB ∠=∠，∴2PMB x ∠=︒，45POM PAO APO x ∠=∠+∠=︒+︒，9045NMO POM x ∠=︒-∠=︒-︒， ∴45PMO PMB NMO x POM ∠=∠+∠=︒+︒=∠，∴PO PM =，过点P 作PD x ⊥轴，垂足为点D ，∴22OM OD t ==，9045OPD POD x BMO ∠=︒-∠=︒-︒=∠，tan tan OPD BMO ∠=∠，OD BO PD MO =，442t t t=+， 14t =，22t =-（舍）∴8OM =，由（2）知，48m t OM =+==，∴CM y P 轴，∵90PNM POC ∠=∠=︒，∴BM OC P ，∴四边形BOCM 是平行四边形，∴4832BOCM S BO OM =⨯=⨯=Y .故答案为32.【点睛】本题考查了一次函数和几何的综合题，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，添加适当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．6．如图，AB是⊙O的直径，E是⊙O上一点，C在AB的延长线上，AD⊥CE交CE的延长线于点D，且AE平分∠DAC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB＝6，∠ABE＝60°，求AD的长．【答案】（1）详见解析；（2）9 2【解析】【分析】（1）利用角平分线的性质得到∠OAE＝∠DAE，再利用半径相等得∠AEO＝∠OAE，等量代换即可推出OE∥AD，即可解题，（2）根据30°的三角函数值分别在Rt△ABE中，AE＝AB·cos30°，在Rt△ADE中，AD=cos30°×AE即可解题.【详解】证明：如图，连接OE，∵AE平分∠DAC，∴∠OAE＝∠DAE．∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠OAE．∴∠AEO＝∠DAE．∴OE∥AD．∵DC⊥AC，∴OE⊥DC．∴CD是⊙O的切线．（2）解：∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∠ABE＝60°．∴∠EAB＝30°，在Rt△ABE中，AE＝AB·cos30°=6×3=33，在Rt△ADE中，∠DAE＝∠BAE＝30°，∴AD=cos30°×AE=3×33=9 2 .【点睛】本题考查了特殊的三角函数值的应用，切线的证明，中等难度，利用特殊的三角函数表示出所求线段是解题关键.7．在正方形ABCD中，AC是一条对角线，点E是边BC上的一点（不与点C重合），连接AE，将△ABE沿BC方向平移，使点B与点C重合，得到△DCF，过点E作EG⊥AC于点G，连接DG，FG．（1）如图，①依题意补全图；②判断线段FG与DG之间的数量关系与位置关系，并证明；（2）已知正方形的边长为6，当∠AGD＝60°时，求BE的长．【答案】（1）①见解析，②FG＝DG，FG⊥DG，见解析；（2）3BE【解析】【分析】（1）①补全图形即可，②连接BG，由SAS证明△BEG≌△GCF得出BG＝GF，由正方形的对称性质得出BG＝DG，得出FG＝DG，在证出∠DGF＝90°，得出FG⊥DG即可，（2）过点D作DH⊥AC，交AC于点H．由等腰直角三角形的性质得出DH＝AH＝2FG＝DG＝2GH＝6，得出DF2DG＝3Rt△DCF中，由勾股定理得出CF＝3得出结果．【详解】解：（1）①补全图形如图1所示，②FG＝DG，FG⊥DG，理由如下，连接BG，如图2所示，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝45°，∵EG⊥AC，∴∠EGC＝90°，∴△CEG 是等腰直角三角形，EG ＝GC ，∴∠GEC ＝∠GCE ＝45°，∴∠BEG ＝∠GCF ＝135°，由平移的性质得：BE ＝CF ，在△BEG 和△GCF 中，BE CF BEG GCF EG CG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEG ≌△GCF （SAS ），∴BG ＝GF ，∵G 在正方形ABCD 对角线上，∴BG ＝DG ，∴FG ＝DG ，∵∠CGF ＝∠BGE ，∠BGE+∠AGB ＝90°，∴∠CGF+∠AGB ＝90°，∴∠AGD+∠CGF ＝90°，∴∠DGF ＝90°，∴FG ⊥DG.（2）过点D 作DH ⊥AC ，交AC 于点H ．如图3所示,在Rt △ADG 中，∵∠DAC ＝45°，∴DH ＝AH ＝2在Rt △DHG 中，∵∠AGD ＝60°，∴GH 33236，∴DG ＝2GH ＝6，∴DF 2DG ＝3在Rt △DCF 中，CF ()22436-3∴BE ＝CF ＝3．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、解直角三角形的应用等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．8．如图，在ABC △中，10AC BC ==，3cos5C =,点P 是BC 边上一动点（不与点,A C 重合），以PA 长为半径的P e 与边AB 的另一个交点为D ，过点D 作DE CB ⊥于点E .()1当P e 与边BC 相切时，求P e 的半径；()2联结BP 交DE 于点F ，设AP 的长为x ，PF 的长为y ，求y 关于x 的函数解析式，并直接写出x 的取值范围；()3在()2的条件下，当以PE 长为直径的Q e 与P e 相交于AC 边上的点G 时，求相交所得的公共弦的长.【答案】（1）409；（2）)25880010x x x y x -+=<<；（3）105- 【解析】【分析】 （1）设⊙P 与边BC 相切的切点为H ，圆的半径为R ，连接HP ，则HP ⊥BC ，cosC=35，则sinC=45，sinC=HP CP =R 10R -=45，即可求解； （2）PD ∥BE ，则EB PD ＝BF PF ，即：2248805x x x y x --+-=，即可求解； （3）证明四边形PDBE 为平行四边形，则AG=GP=BD ，即：5求解．【详解】（1）设⊙P 与边BC 相切的切点为H ，圆的半径为R ，连接HP ，则HP ⊥BC ，cosC=35，则sinC=35， sinC=HP CP =R 10R -=45，解得：R=409； （2）在△ABC 中，AC=BC=10，cosC=35， 设AP=PD=x ，∠A=∠ABC=β，过点B 作BH ⊥AC ，则BH=ACsinC=8，同理可得：CH=6，HA=4，5tan ∠()2284x +-2880x x -+ 25，则525， 如下图所示，PA=PD ，∴∠PAD=∠CAB=∠CBA=β，tanβ=2，则cosβ=5，sinβ=5， EB=BDcosβ=（45-25x ）×5=4-25x ， ∴PD ∥BE ，∴EB PD ＝BF PF ，即：2248805x x x y x --+-=， 整理得：y=()25x x 8x 800x 103x 20-+<<+； （3）以EP 为直径作圆Q 如下图所示，两个圆交于点G ，则PG=PQ ，即两个圆的半径相等，则两圆另外一个交点为D ，GD 为相交所得的公共弦，∵点Q 时弧GD 的中点，∴DG ⊥EP ，∵AG 是圆P 的直径，∴∠GDA=90°，∴EP ∥BD ，由（2）知，PD ∥BC ，∴四边形PDBE 为平行四边形，∴AG=EP=BD ，∴5设圆的半径为r，在△ADG中，AD=2rcosβ=5，DG=5，AG=2r，5+2r=45，解得：2r=51，则：DG=5=10-25，相交所得的公共弦的长为10-25．【点睛】本题考查的是圆知识的综合运用，涉及到解直角三角形、勾股定理等知识，其中（3），要关键是根据题意正确画图，此题用大量的解直角三角形的内容，综合难度很大．9．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边的中线，DE⊥BC于E，连结CD，点P在射线CB上（与B，C不重合）（1）如果∠A＝30°，①如图1，∠DCB等于多少度；②如图2，点P在线段CB上，连结DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连结BF，补全图2猜想CP、BF之间的数量关系，并证明你的结论；（2）如图3，若点P在线段CB 的延长线上，且∠A＝α（0°＜α＜90°），连结DP，将线段DP绕点逆时针旋转2α得到线段DF，连结BF，请直接写出DE、BF、BP三者的数量关系（不需证明）【答案】（1）①∠DCB＝60°．②结论：CP＝BF．理由见解析；（2）结论：BF﹣BP＝2DE•tanα．理由见解析．【解析】【分析】（1）①根据直角三角形斜边中线的性质，结合∠A＝30°，只要证明△CDB是等边三角形即可；②根据全等三角形的判定推出△DCP≌△DBF，根据全等的性质得出CP＝BF，（2）求出DC＝DB＝AD，DE∥AC，求出∠FDB＝∠CDP＝2α+∠PDB，DP＝DF，根据全等三角形的判定得出△DCP≌△DBF，求出CP＝BF，推出BF﹣BP＝BC，解直角三角形求出CE＝DEtanα即可．【详解】（1）①∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，∵AD ＝DB ，∴CD ＝AD ＝DB ，∴△CDB 是等边三角形，∴∠DCB ＝60°．②如图1，结论：CP ＝BF ．理由如下：∵∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，DE ⊥BC ，∠DCB ＝60°，∴△CDB 为等边三角形.∴∠CDB ＝60°∵线段DP 绕点D 逆时针旋转60°得到线段DF ，∵∠PDF ＝60°，DP ＝DF ，∴∠FDB ＝∠CDP ，在△DCP 和△DBF 中DC DB CDP BDF DP DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DCP ≌△DBF ，∴CP ＝BF.（2）结论：BF ﹣BP ＝2DEtanα．理由：∵∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，DE ⊥BC ，∠A ＝α，∴DC ＝DB ＝AD ，DE ∥AC ，∴∠A ＝∠ACD ＝α，∠EDB ＝∠A ＝α，BC ＝2CE ，∴∠BDC ＝∠A+∠ACD ＝2α，∵∠PDF ＝2α，∴∠FDB ＝∠CDP ＝2α+∠PDB ，∵线段DP 绕点D 逆时针旋转2α得到线段DF ，∴DP ＝DF ，在△DCP 和△DBF 中DC DB CDP BDF DP DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DCP ≌△DBF ，而 CP＝BC+BP，∴BF﹣BP＝BC，在Rt△CDE中，∠DEC＝90°，∴tan∠CDE＝CEDE，∴CE＝DEtanα，∴BC＝2CE＝2DEtanα，即BF﹣BP＝2DEtanα．【点睛】本题考查了三角形外角性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，旋转的性质的应用，能推出△DCP≌△DBF是解此题的关键，综合性比较强，证明过程类似．10．如图，Rt△ABC，CA⊥BC，AC＝4，在AB边上取一点D，使AD＝BC，作AD的垂直平分线，交AC边于点F，交以AB为直径的⊙O于G，H，设BC＝x．（1）求证：四边形AGDH为菱形；（2）若EF＝y，求y关于x的函数关系式；（3）连结OF，CG．①若△AOF为等腰三角形，求⊙O的面积；②若BC＝3，则30CG+9＝______．（直接写出答案）．【答案】（1）证明见解析；（2）y＝18x2（x＞0）；（3）①163π或8π或（17+2）π；21．【解析】【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质以及垂径定理证明AG=DG=DH=AH即可；（2）只要证明△AEF∽△ACB，可得AE EFAC BC解决问题；（3）①分三种情形分别求解即可解决问题；②只要证明△CFG∽△HFA，可得GFAF=CGAH，求出相应的线段即可解决问题；【详解】（1）证明：∵GH垂直平分线段AD，∴HA＝HD，GA＝GD，∵AB是直径，AB⊥GH，∴EG＝EH，∴DG＝DH，∴AG＝DG＝DH＝AH，∴四边形AGDH是菱形．（2）解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵AE⊥EF，∴∠AEF＝∠ACB＝90°，∵∠EAF＝∠CAB，∴△AEF∽△ACB，∴AE EF AC BC=，∴124x yx=，∴y＝18x2（x＞0）．（3）①解：如图1中，连接DF．∵GH垂直平分线段AD，∴FA＝FD，∴当点D与O重合时，△AOF是等腰三角形，此时AB＝2BC，∠CAB＝30°，∴AB83，∴⊙O的面积为163π．如图2中，当AF＝AO时，∵AB ＝22AC BC +＝216x +，∴OA ＝216x +， ∵AF ＝22EF AE +＝2221182x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴216x +＝2221182x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得x ＝4（负根已经舍弃），∴AB ＝42，∴⊙O 的面积为8π．如图2﹣1中，当点C 与点F 重合时，设AE ＝x ，则BC ＝AD ＝2x ，AB ＝2164x +，∵△ACE ∽△ABC ，∴AC 2＝AE•AB ，∴16＝2164x +解得x 2＝17﹣2（负根已经舍弃），∴AB 2＝16+4x 2＝17+8，∴⊙O 的面积＝π•14•AB 2＝（17+2）π综上所述，满足条件的⊙O的面积为163π或8π或（217+2）π；②如图3中，连接CG．∵AC＝4，BC＝3，∠ACB＝90°，∴AB＝5，∴OH＝OA＝52，∴AE＝32，∴OE＝OA﹣AE＝1，∴EG＝EH2512⎛⎫-⎪⎝⎭212，∵EF＝18x2＝98，∴FG＝212﹣98，AF22AE EF+158，AH22AE EH+302，∵∠CFG＝∠AFH，∠FCG＝∠AHF，∴△CFG∽△HFA，∴GF CGAF AH=，∴219281530 8-=∴CG＝705﹣33010，∴30＝21．故答案为21【点睛】本题考查圆综合题、相似三角形的判定和性质、垂径定理、线段的垂直平分线的性质、菱形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．11．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，0），点B（0，33），点O为原点．动点C、D分别在直线AB、OB上，将△BCD沿着CD折叠，得△B'CD．（Ⅰ）如图1，若CD⊥AB，点B'恰好落在点A处，求此时点D的坐标；（Ⅱ）如图2，若BD=AC，点B'恰好落在y轴上，求此时点C的坐标；（Ⅲ）若点C的横坐标为2，点B'落在x轴上，求点B'的坐标（直接写出结果即可）．【答案】（1）D（032）C（12﹣33﹣18）；（3）B'（13 0），（2130）.【解析】【分析】(1)设OD为x，则3x，在RT△ODA中应用勾股定理即可求解；(2)由题意易证△BDC∽△BOA，再利用A、B坐标及BD=AC可求解出BD长度，再由特殊角的三角函数即可求解；(3)过点C作CE⊥AO于E，由A、B坐标及C的横坐标为2，利用相似可求解出BC、CE、OC等长度；分点B’在A点右边和左边两种情况进行讨论，由翻折的对称性可知BC=B’C，再利用特殊角的三角函数可逐一求解.【详解】（Ⅰ）设OD为x，∵点A（3，0），点B（0，33），∴AO=3，BO=33∴AB=6∵折叠∴BD=DA在Rt△ADO中，OA2+OD2=DA2．∴9+OD2=（33﹣OD）2．∴3∴D（03）（Ⅱ）∵折叠∴∠BDC=∠CDO=90°∴CD ∥OA ∴BD BC BO AB =且BD=AC ， ∴6633BD -= ∴BD=123﹣18∴OD=33﹣（123﹣18）=18﹣93∵tan ∠ABO=3OB AO =， ∴∠ABC=30°，即∠BAO=60° ∵tan ∠ABO=3BD 3CD =， ∴CD=12﹣63∴D （12﹣63，123﹣18）（Ⅲ）如图：过点C 作CE ⊥AO 于E∵CE ⊥AO∴OE=2，且AO=3∴AE=1，∵CE ⊥AO ，∠CAE=60°∴∠ACE=30°且CE ⊥AO∴AC=2，3∵BC=AB ﹣AC∴BC=6﹣2=4若点B'落在A 点右边，∵折叠∴BC=B'C=4，3CE ⊥OA∴22'13B C CE -=∴13∴B'（130）若点B'落在A 点左边，∵折叠∴BC=B'C=4，CE=3，CE ⊥OA ∴B'E=22'13B C CE -=∴OB'=13﹣2∴B'（2﹣13，0）综上所述：B'（2+13，0），（2﹣13，0）【点睛】本题结合翻折综合考查了三角形相似和特殊角的三角函数，第3问中理解B’点的两种情况是解题关键.12．如图所示，小华在湖边看到湖中有一棵树AB ，AB 与水面AC 垂直．此时，小华的眼睛所在位置D 到湖面的距离DC 为4米．她测得树梢B 点的仰角为30°，测得树梢B 点在水中的倒影B′点的俯角45°．求树高AB （结果保留根号）【答案】AB=（3）m ．【解析】【分析】设BE=x ，则BA=x+4，B′E=x+8，根据∠ADB′=45°，可知DE=B′E=x+8，再由tan30°=BE DE 即可得出x 的值，进而得到答案，【详解】如图：过点D 作DE ⊥AB 于点E ，设BE=x ，则BA=x+4，B′E=x+8，∵∠ADB′=45°，∴DE =B′E=x+8，∵∠BDE=30°，∴tan30°=383BE x DE x ==+ ，解得3， ∴AB=BE+4=（3）m ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答此题的关键。
中考数学复习直角三角形的边角关系专项易错题及答案
中考数学复习直角三角形的边角关系专项易错题及答案一、直角三角形的边角关系1．如图，某无人机于空中A 处探测到目标B D 、的俯角分别是30、60︒︒,此时无人机的飞行高度AC 为60m ，随后无人机从A 处继续水平飞行303m 到达'A 处.（1）求之间的距离（2）求从无人机'A 上看目标的俯角的正切值.【答案】（1）120米；（2）35. 【解析】【分析】（1）解直角三角形即可得到结论；（2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ，于是得到'60A E AC ==， '30CE AA ==3Rt △ABC 中，求得DC=333，然后根据三角函数的定义即可得到结论．【详解】解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°，在Rt △ABC 中，AC=60m ， ∴AB=sin 30AC ︒=6012=120（m ） （2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ，则'60A E AC ==， '30CE AA ==3在Rt △ABC 中， AC=60m ，∠ADC=60°， ∴DC=333∴3∴tan ∠A 'A D= tan ∠'A DC='A E DE 503235答：从无人机'A 上看目标D 235【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线建立直角三角形是解题的关键.2．如图，海上观察哨所B 位于观察哨所A 正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A 与哨所B 同时发现一走私船，其位置C 位于哨所A 北偏东53°的方向上，位于哨所B 南偏东37°的方向上．（1）求观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离；（2）若观察哨所A 发现走私船从C 处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截．求缉私艇的速度为多少时，恰好在D 处成功拦截．（结果保留根号）（参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37 ＝sin53°≈去，tan37°≈2，tan76°≈）【答案】（1）观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离为15海里；（2）当缉私艇以每小时617D 处成功拦截.【解析】【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出∠ACB ＝90°，再解Rt △ABC ，利用正弦函数定义得出AC 即可；（2）过点C 作CM ⊥AB 于点M ，易知，D 、C 、M 在一条直线上．解Rt △AMC ，求出CM 、AM ．解Rt △AMD 中，求出DM 、AD ，得出CD ．设缉私艇的速度为x 海里/小时，根据走私船行驶CD 所用的时间等于缉私艇行驶AD 所用的时间列出方程，解方程即可．【详解】（1）在ABC △中，180180375390ACB B BAC ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=.在Rt ABC V 中，sin AC B AB =，所以3sin 3725155AC AB ︒=⋅=⨯=（海里）. 答：观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离为15海里.（2）过点C 作CM AB ⊥，垂足为M ，由题意易知，D C M 、、在一条直线上. 在Rt ACM V 中，4sin 15125CM AC CAM =⋅∠=⨯=，3cos 1595AM AC CAM =⋅∠=⨯=. 在Rt ADM △中，tan MD DAM AM∠=， 所以tan 7636MD AM ︒=⋅=.所以222293691724AD AM MD CD MD MC =+=+==-=，.设缉私艇的速度为v 海里/小时，则有2491716v=，解得617v =. 经检验，617v =是原方程的解. 答：当缉私艇以每小时617海里的速度行驶时，恰好在D 处成功拦截.【点睛】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．3．在等腰△ABC 中，∠B=90°，AM 是△ABC 的角平分线，过点M 作MN ⊥AC 于点N ，∠EMF=135°．将∠EMF 绕点M 旋转，使∠EMF 的两边交直线AB 于点E ，交直线AC 于点F ，请解答下列问题：（1）当∠EMF 绕点M 旋转到如图①的位置时，求证：BE+CF=BM ；（2）当∠EMF 绕点M 旋转到如图②，图③的位置时，请分别写出线段BE ，CF ，BM 之间的数量关系，不需要证明；（3）在（1）和（2）的条件下，tan ∠BEM=，AN=+1，则BM= ，CF= ．【答案】（1）证明见解析（2）见解析（3）1，1+或1﹣【解析】【分析】(1)由等腰△ABC中，∠B=90°，AM是△ABC的角平分线，过点M作MN⊥AC于点N，可得BM=MN，∠BMN=135°，又∠EMF=135°，可证明的△BME≌△NMF，可得BE=NF，NC=NM=BM进而得出结论；（2）①如图②时，同（1）可证△BME≌△NMF，可得BE﹣CF=BM，②如图③时，同（1）可证△BME≌△NMF，可得CF﹣BE=BM；(3) 在Rt△ABM和Rt△ANM中，，可得Rt△ABM≌Rt△ANM，后分别求出AB、 AC、 CN 、BM、 BE的长，结合（1）（2）的结论对图①②③进行讨论可得CF的长.【详解】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠C=45°，∵AM是∠BAC的平分线，MN⊥AC，∴BM=MN，在四边形ABMN中，∠，BMN=360°﹣90°﹣90°﹣45°=135°，∵∠ENF=135°，，∴∠BME=∠NMF，∴△BME≌△NMF，∴BE=NF，∵MN⊥AC，∠C=45°，∴∠CMN=∠C=45°，∴NC=NM=BM，∵CN=CF+NF，∴BE+CF=BM；（2）针对图2，同（1）的方法得，△BME≌△NMF，∴BE=NF，∵MN⊥AC，∠C=45°，∴∠CMN=∠C=45°，∴NC=NM=BM，∵NC=NF﹣CF，∴BE﹣CF=BM；针对图3，同（1）的方法得，△BME≌△NMF，∴BE=NF，∵MN⊥AC，∠C=45°，∴∠CMN=∠C=45°，∴NC=NM=BM，∵NC=CF﹣NF，∴CF﹣BE=BM；（3）在Rt△ABM和Rt△ANM中，，∴Rt△ABM≌Rt△ANM（HL），∴AB=AN=+1，在Rt△ABC中，AC=AB=+1，∴AC=AB=2+，∴CN=AC﹣AN=2+﹣（+1）=1，在Rt△CMN中，CM=CN=，∴BM=BC﹣CM=+1﹣=1，在Rt△BME中，tan∠BEM===，∴BE=，∴①由（1）知，如图1，BE+CF=BM，∴CF=BM﹣BE=1﹣②由（2）知，如图2，由tan∠BEM=，∴此种情况不成立；③由（2）知，如图3，CF﹣BE=BM，∴CF=BM+BE=1+，故答案为1，1+或1﹣．【点睛】本题考查三角函数与旋转与三角形全等的综合，难度较大，需综合运用所学知识求解.4．在正方形ABCD中，BD是一条对角线.点P在射线CD上（与点C，D不重合），连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于点H，连接AH、PH.（1）若点P在线CD上，如图1，①依题意补全图1；②判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明；（2）若点P在线CD的延长线上，且∠AHQ＝152°，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路.（可以不写出计算结果）【答案】（1）①如图；②AH＝PH，AH⊥PH．证明见解析（2）或【解析】试题分析：（1）①如图（1）；②（1）法一：轴对称作法，判断：AH＝PH，AH⊥PH．连接CH，根据正方形的每条对角线平分一组对角得：△DHQ等腰Rt△，根据平移的性质得DP＝CQ，证得△HDP≌△△HQC，全等三角形的对应边相等得PH＝CH，等边对等角得∠HPC＝∠HCP，再结合BD是正方形的对称轴得出∠AHP＝180°－∠ADP＝90°，∴AH＝PH且AH⊥PH．四点共圆作法，同上得：∠HPC＝∠DAH，∴A、D、P、H共向，∴∠AHP＝90°，∠APH＝∠ADH＝45°，∴△APH等腰Rt△．（2）轴对称作法同（1）作HR⊥PC于R，∵∠AHQ＝152°，∴∠AHB＝62°，∴∠DAH＝17°∴∠DCH＝17°．设DP＝x，则.由代入HR，CR解方程即可得出x的值. 四点共圆作法，A、H、D、P共向，∴∠APD＝∠AHB＝62°，∴．试题解析：（1）①法一：轴对称作法，判断：AH＝PH，AH⊥PH证：连接CH，得：△DHQ等腰Rt△，又∵DP＝CQ，∴△HDP≌△△HQC，∴PH＝CH，∠HPC＝∠HCPBD为正方形ABCD对称轴，∴AH＝CH，∠DAH＝∠HCP，∴AH＝PH，∠DAH＝∠HPC，∴∠AHP＝180°－∠ADP＝90°，∴AH＝PH且AH⊥PH．法二：四点共圆作法，同上得：∠HPC＝∠DAH，∴A、D、P、H共向，∴∠AHP＝90°，∠APH＝∠ADH＝45°，∴△APH等腰Rt△．（2）法一：轴对称作法考虑△DHQ等腰Rt△，PD＝CQ，作HR⊥PC于R，∵∠AHQ＝152°，∴∠AHB＝62°，∴∠DAH＝17°∴∠DCH＝17°．设DP＝x，则.由得：，∴．即PD=法二：四点共向作法，A、H、D、P共向，∴∠APD＝∠AHB＝62°，∴．考点：全等三角形的判定；解直角三角形；正方形的性质；死电脑共圆5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm，AD是斜边BC上的高，垂足为D，BE=1cm．点M从点B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动，点N从点E出发，与点M 同时同方向以相同的速度运动，以MN为边在BC的上方作正方形MNGH．点M到达点D 时停止运动，点N到达点C时停止运动．设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，点G刚好落在线段AD上？（2）设正方形MNGH与Rt△ABC重叠部分的图形的面积为S，当重叠部分的图形是正方形时，求出S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围．（3）设正方形MNGH的边NG所在直线与线段AC交于点P，连接DP，当t为何值时，△CPD是等腰三角形？【答案】（1）3；（2）；（3）t=9s或t=（15﹣6）s.【解析】试题分析：（1）求出ED的距离即可求出相对应的时间t.（2）先求出t的取值范围，分为H在AB上时，此时BM的距离，进而求出相应的时间．同样当G在AC上时，求出MN的长度，继而算出EN的长度即可求出时间，再通过正方形的面积公式求出正方形的面积.（3）分DP=PC和DC=PC两种情况，分别由EN的长度便可求出t的值．试题解析：∵∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm∴AB=8cm，BD=4cm，AC=8cm，DC=12cm，AD=4cm.（1）∵当G刚好落在线段AD上时，ED=BD﹣BE=3cm∴t=s=3s．（2）∵当MH没有到达AD时，此时正方形MNGH是边长为1的正方形，令H点在AB 上，则∠HMB=90°，∠B=60°，MH=1∴BM=cm.∴t=s.当MH到达AD时，那么此时的正方形MNGH的边长随着N点的继续运动而增大，令G点在AC上，设MN=xcm，则GH=DH=x，AH=x，∵AD=AH+DH=x+x=x=4，∴x=3．当≤t≤4时，S MNGN=1cm2．当4＜t≤6时，S MNGH=（t﹣3）2cm2∴S关于t的函数关系式为：.（3）分两种情况：①∵当DP=PC时，易知此时N点为DC的中点，∴MN=6cm∴EN=3cm+6cm=9cm.∴t=9s故当t=9s的时候，△CPD为等腰三角形；②当DC=PC时，DC=PC=12cm∴NC=6cm∴EN=16cm﹣1cm﹣6cm=（15﹣6）cm∴t=（15﹣6）s故当t=（15﹣6）s时，△CPD为等腰三角形．综上所述，当t=9s或t=（15﹣6）s时，△CPD为等腰三角形．考点：1.双动点问题；2.锐角三角函数定义；3.特殊角的三角函数值；4.正方形的性质；5.由实际问题列函数关系式；6.等腰三角形的性质；7.分类思想的应用.6．如图，某校数学兴趣小组为测量校园主教学楼AB的高度，由于教学楼底部不能直接到达，故兴趣小组在平地上选择一点C，用测角器测得主教学楼顶端A的仰角为30°，再向主教学楼的方向前进24米，到达点E处（C，E，B三点在同一直线上），又测得主教学楼顶端A的仰角为60°，已知测角器CD的高度为1.6米，请计算主教学楼AB的高3，结果精确到0.1米）【答案】22.4m【解析】【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造等量关系，进而求解．【详解】解：在Rt △AFG 中，tan ∠AFG =3， ∴FG =tan 3AG AFG =∠， 在Rt △ACG 中，tan ∠ACG =AG CG ， ∴CG =tan AG ACG∠=3AG ． 又∵CG ﹣FG =24m ，即3AG ﹣3=24m ， ∴AG =123m ，∴AB =123+1.6≈22.4m ．7．水库大坝截面的迎水坡坡比（DE 与AE 的长度之比）为1：0.6，背水坡坡比为1：2，大坝高DE=30米，坝顶宽CD=10米，求大坝的截面的周长和面积．【答案】故大坝的截面的周长是（634+305+98）米，面积是1470平方米．【解析】试题分析：先根据两个坡比求出AE和BF的长，然后利用勾股定理求出AD和BC，再由大坝的截面的周长=DC+AD+AE+EF+BF+BC，梯形的面积公式可得出答案．试题解析：∵迎水坡坡比（DE与AE的长度之比）为1：0.6，DE=30m，∴AE=18米，在RT△ADE中，AD=22DE AE+=634米∵背水坡坡比为1：2，∴BF=60米，在RT△BCF中，BC=22CF BF+=305米，∴周长=DC+AD+AE+EF+BF+BC=634+10+305+88=（634+305+98）米，面积=（10+18+10+60）×30÷2=1470（平方米）．故大坝的截面的周长是（634+305+98）米，面积是1470平方米．8．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，动点P在线段BC上，点Q在线段AB上，且PQ＝BQ，延长QP交射线AC于点D．（1）求证：QA＝QD；（2）设∠BAP＝α，当2tanα是正整数时，求PC的长；（3）作点Q关于AC的对称点Q′，连结QQ′，AQ′，DQ′，延长BC交线段DQ′于点E，连结AE，QQ′分别与AP，AE交于点M，N（如图2所示）．若存在常数k，满足k•MN＝PE•QQ′，求k的值．【答案】（1）证明见解析（2）PC的长为37或32（3）8【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠B＝∠BPQ＝∠CPD，由直角三角形的性质得出∠BAC＝∠D，即可得出结论；（2）过点P作PH⊥AB于H，设PH＝3x，BH＝4x，BP＝5x，由题意知tanα＝1或12，当tanα＝1时，HA＝PH＝3x，与勾股定理得出3x+4x＝5，解得x＝57，即可求出PC长；当tanα＝12时，HA＝2PH﹣6x，得出6x+4x＝5，解得x＝12，即可求出PC长；（3）设QQ′与AD交于点O，由轴对称的性质得出AQ′＝AQ＝DQ＝DQ′，得出四边形AQDQ′是菱形，由菱形的性质得出QQ′⊥AD，AO＝12AD，证出四边形BEQ'Q是平行四边形，得出QQ′＝BE，设CD＝3m，则PC＝4m，AD＝3+3m，即QQ′﹣BE＝4m+4，PE＝8m，由三角函数得出MOAO＝tan∠PAC＝PCAC，即可得出结果．【详解】（1）证明：∵PQ＝BQ，∴∠B＝∠BPQ＝∠CPD，∵∠ACB＝∠PCD＝90°，∴∠A+∠BAC＝90°，∠D+∠CPD＝90°，∴∠BAC＝∠D，∴QA＝QD；（2）解：过点P作PH⊥AB于H，如图1所示：设PH＝3x，BH＝4x，BP＝5x，由题意得：tan∠BAC＝43，∠BAP＜∠BAC，∴2tanα是正整数时，tanα＝1或12，当tanα＝1时，HA＝PH＝3x，∴3x+4x5，∴x＝57，即PC＝4﹣5x＝37；当tanα＝12时，HA＝2PH﹣6x，∴6x+4x＝5，∴x＝12，即PC＝4﹣5x＝32；综上所述，PC的长为37或32；（3）解：设QQ′与AD交于点O，如图2所示：由轴对称的性质得：AQ′＝AQ ＝DQ ＝DQ′， ∴四边形AQDQ′是菱形， ∴QQ′⊥AD ，AO ＝12AD ， ∵BC⊥AC ， ∴QQ′∥BE ， ∵BQ ∥EQ′，∴四边形BEQ'Q 是平行四边形， ∴QQ′＝BE ，设CD ＝3m ，则PC ＝4m ，AD ＝3+3m ， 即QQ′﹣BE ＝4m+4，PE ＝8m ， ∵MO AO ＝tan ∠PAC ＝PCAC， ∴332MOm +＝43m，即MN ＝2MO ＝4m （1+m ）， ∴k ＝PE QQ MNg ′＝8(44)4(1)m m m m ++＝8．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等腰三角形的性质与判定、三角函数、勾股定理、菱形的判定与性质、平行线的性质以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，灵活运用三角函数是解题关键．9．如图，△ABC 中，AC ＝BC ＝10，cosC ＝35，点P 是AC 边上一动点（不与点A 、C 重合），以PA 长为半径的⊙P 与边AB 的另一个交点为D ，过点D 作DE ⊥CB 于点E ． （1）当⊙P 与边BC 相切时，求⊙P 的半径．（2）连接BP 交DE 于点F ，设AP 的长为x ，PF 的长为y ，求y 关于x 的函数解析式，并直接写出x的取值范围．（3）在（2）的条件下，当以PE长为直径的⊙Q与⊙P相交于AC边上的点G时，求相交所得的公共弦的长.【答案】（1）409R=;（2）25880320xy x xx=-++;（3）50105-.【解析】【分析】（1）设⊙P与边BC相切的切点为H，圆的半径为R，连接HP，则HP⊥BC，cosC＝35，则sinC＝45，sinC＝HPCP＝10RR-＝45，即可求解；（2）首先证明PD∥BE，则EB BFPD PF=，即：2024588x yxxx-+--=，即可求解；（3）证明四边形PDBE为平行四边形，则AG＝EP＝BD，即：AB＝DB+AD＝AG+AD＝45，即可求解．【详解】（1）设⊙P与边BC相切的切点为H，圆的半径为R，连接HP，则HP⊥BC，cosC＝35，则sinC＝45，sinC＝HPCP＝10RR-＝45，解得：R＝409；（2）在△ABC 中，AC ＝BC ＝10，cosC ＝35， 设AP ＝PD ＝x ，∠A ＝∠ABC ＝β，过点B 作BH ⊥AC ，则BH ＝ACsinC ＝8，同理可得：CH ＝6，HA ＝4，AB ＝45，则：tan ∠CAB ＝2， BP ＝228+(4)x -＝2880x x -+，DA ＝25x ，则BD ＝45﹣25x ， 如下图所示，PA ＝PD ，∴∠PAD ＝∠CAB ＝∠CBA ＝β，tanβ＝2，则cosβ5，sinβ5，EB ＝BDcosβ＝（525x ）5＝4﹣25x ，∴PD ∥BE ，∴EB BFPD PF=，即：2024588x y x xx y-+-=，整理得：y 25xx 8x 803x 20-++（3）以EP 为直径作圆Q 如下图所示，两个圆交于点G，则PG＝PQ，即两个圆的半径相等，则两圆另外一个交点为D，GD为相交所得的公共弦，∵点Q是弧GD的中点，∴DG⊥EP，∵AG是圆P的直径，∴∠GDA＝90°，∴EP∥BD，由（2）知，PD∥BC，∴四边形PDBE为平行四边形，∴AG＝EP＝BD，∴AB＝DB+AD＝AG+AD＝5设圆的半径为r，在△ADG中，AD＝2rcosβ5DG5AG＝2r，5＝52r51，则：DG550﹣5相交所得的公共弦的长为50﹣5【点睛】本题考查的是圆知识的综合运用，涉及到解直角三角形、勾股定理等知识，其中（3），要关键是根据题意正确画图，此题用大量的解直角三角形的内容，综合难度很大．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣14x2+bx+c与直线y＝12x﹣3分别交x轴、y轴上的B、C两点，设该抛物线与x轴的另一个交点为点A，顶点为点D，连接CD 交x轴于点E．（1）求该抛物线的表达式及点D的坐标；（2）求∠DCB的正切值；（3）如果点F在y轴上，且∠FBC＝∠DBA+∠DCB，求点F的坐标．【答案】（1）21y 234x x =-+-，D （4，1）；（2）13；（3）点F 坐标为（0，1）或（0，﹣18）． 【解析】 【分析】 （1）y ＝12x ﹣3，令y ＝0，则x ＝6，令x ＝0，则y ＝﹣3，求出点B 、C 的坐标，将点B 、C 坐标代入抛物线y ＝﹣14x 2+bx+c ，即可求解； （2）求出则点E （3，0），EH ＝EB•sin ∠OBC ＝5，CE ＝32，则CH ＝5，即可求解；（3）分点F 在y 轴负半轴和在y 轴正半轴两种情况，分别求解即可． 【详解】 （1）y ＝12x ﹣3，令y ＝0，则x ＝6，令x ＝0，则y ＝﹣3， 则点B 、C 的坐标分别为（6，0）、（0，﹣3），则c ＝﹣3， 将点B 坐标代入抛物线y ＝﹣14x 2+bx ﹣3得：0＝﹣14×36+6b ﹣3，解得：b ＝2， 故抛物线的表达式为：y ＝﹣14x 2+2x ﹣3，令y ＝0，则x ＝6或2， 即点A （2，0），则点D （4，1）； （2）过点E 作EH ⊥BC 交于点H ，C 、D 的坐标分别为：（0，﹣3）、（4，1）， 直线CD 的表达式为：y ＝x ﹣3，则点E （3，0）， tan ∠OBC ＝3162OC OB ==，则sin ∠OBC 5，则EH ＝EB•sin ∠OBC 5CE＝32，则CH＝5，则tan∠DCB＝13 EHCH=；（3）点A、B、C、D、E的坐标分别为（2，0）、（6，0）、（0，﹣3）、（4，1）、（3，0），则BC＝35，∵OE＝OC，∴∠AEC＝45°，tan∠DBE＝164-＝12，故：∠DBE＝∠OBC，则∠FBC＝∠DBA+∠DCB＝∠AEC＝45°，①当点F在y轴负半轴时，过点F作FG⊥BG交BC的延长线与点G，则∠GFC＝∠OBC＝α，设：GF＝2m，则CG＝GFt anα＝m，∵∠CBF＝45°，∴BG＝GF，即：5＝2m，解得：m＝5CF22GF CG+5＝15，故点F（0，﹣18）；②当点F在y轴正半轴时，同理可得：点F（0，1）；故：点F坐标为（0，1）或（0，﹣18）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等相关知识，其中（3），确定∠FBC＝∠DBA+∠DCB＝∠AEC＝45°，是本题的突破口．11．如图，AB为⊙O的直径，P是BA延长线上一点，CG是⊙O的弦∠PCA＝∠ABC，CG⊥AB，垂足为D(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)求证：PA AD PC CD；(3)过点A作AE∥PC交⊙O于点E，交CD于点F，连接BE，若sin∠P＝35，CF＝5，求BE的长．【答案】（1）见解析；（2）BE=12．【解析】【分析】（1）连接OC，由PC切⊙O于点C，得到OC⊥PC，于是得到∠PCA+∠OCA=90°，由AB为⊙O的直径，得到∠ABC+∠OAC=90°，由于OC=OA，证得∠OCA=∠OAC，于是得到结论；（2）由AE∥PC，得到∠PCA=∠CAF根据垂径定理得到弧AC=弧AG，于是得到∠ACF=∠ABC，由于∠PCA=∠ABC，推出∠ACF=∠CAF，根据等腰三角形的性质得到CF=AF，在R t△AFD中，AF=5，sin∠FAD=35，求得FD=3，AD=4，CD=8，在R t△OCD中，设OC=r，根据勾股定理得到方程r2=（r-4）2+82，解得r=10，得到AB=2r=20，由于AB为⊙O的直径，得到∠AEB=90°，在R t△ABE中，由sin∠EAD=35，得到BEAB＝35，于是求得结论．【详解】（1）证明：连接OC，∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC，∴∠PCO=90°，∴∠PCA+∠OCA=90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC+∠OAC=90°，∵OC=OA，∴∠OCA=∠OAC，∴∠PCA=∠ABC；（2）解：∵AE∥PC，∴∠PCA=∠CAF，∵AB⊥CG，∴弧AC=弧AG，∴∠ACF=∠ABC，∵∠PCA=∠ABC，∴∠ACF=∠CAF，∴CF=AF，∵CF=5，∴AF=5，∵AE∥PC，∴∠FAD=∠P，∵sin∠P=35，∴sin∠FAD=35，在R t△AFD中，AF=5，sin∠FAD=35，∴FD=3，AD=4，∴CD=8，在R t△OCD中，设OC=r，∴r2=（r﹣4）2+82，∴r=10，∴AB=2r=20，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，在R t△ABE中，∵sin∠EAD=35，∴35BEAB，∵AB=20，∴BE=12．【点睛】本题考查切线的性质，锐角三角函数，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题关键是连接OC构造直角三角形．12．如图，某次中俄“海上联合”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30°．位于军舰A正上方1000米的反潜直升机B侧得潜艇C的俯角为68°．试根据以上数据求出潜艇C 离开海平面的下潜深度．（结果保留整数．参考数据：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5，3≈1.7）【答案】潜艇C离开海平面的下潜深度约为308米【解析】试题分析：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度，用锐角三角函数分别在Rt△ACD中表示出CD和在Rt△BCD中表示出BD，利用BD=AD+AB二者之间的关系列出方程求解．试题解析：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度，根据题意得：∠ACD=30°，∠BCD=68°，设AD=x，则BD=BA+AD=1000+x，在Rt△ACD中，CD=tan AD ACD=tan30x= 3x在Rt△BCD中，BD=CD•tan68°，∴325+x=3x•tan68°解得：x≈100米，∴潜艇C离开海平面的下潜深度为100米．点睛：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是作出辅助线，从题目中找出直角三角形并选择合适的边角关系求解．视频。
九年级数学下册 28.2 解直角三角形及其应用错解剖析素
解直角三角形错解剖析一、忽视直角三角形致错例1：在ABC △中A B C ∠∠∠，，的对边为a b c ，，，且a ：b ：c =3：4：5，求证：57sin sin =+B A ． 错解 证明：设345a k b k c k ===，，， 则5353sin ===k k c a A ，5454sin ===k k c b B ． ∴575453sin sin ===+B A ． 分析 本题中没有说明︒=∠90C ，而直接应用正弦、余弦函数的定义是错误的，应先证明ABC △为直角三角形，且︒=∠90C 后才能用定义．正解 证明：设345(0)a k b k c k k ===>，，，∵22222225)4()3(c k k k b a ==+=+，∴ABC △是以c 为斜边的直角三角形．∴︒=∠90C ． 则5353sin ===k k c a A ，5454sin ===k k c b B ． ∴575453sin sin ===+B A ． 二、混淆规律、特殊函数值致错例2 下列说法：（1）若α为锐角，则0tan 1a <<；（2）在ABC ∆中，已知34a b ==，，则43tan =a ； （3）33333130tan 45tan )3045tan(75tan +=+=︒+︒=︒+︒=︒； （4）若α为锐角，且a cot 35tan 1=︒，则︒=55α． 其中正确的说法是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．都不对错解 选D分析 （1）因受0tan 1a <<的影响，而错误认为0tan 1a <<，正确答案为tan 0a >．（2）在ABC △中，ba A =tan 的前提是︒=∠90C ．（3）︒75tan 不是tan 与︒75的积，而是一个整体，︒75tan 表示︒75的正切．正确答案是：3275tan +=︒．（4）同角与互为余角的正、余切关系的混淆而出现错误．正确答案为：︒=35α．正解 选D ．三、边角关系理解不透致错例3 在Rt ABC △中，︒=∠90C ，AC=1cm ，BC=2cm ，求sinA ，tanA ．错解 在Rt ABC △中，∵︒=∠90C ，AC=1，BC=2， ∴BC AC 21=． ∴︒=∠90B ． ∴︒=∠60A ．∴sin tan A A == 分析 错误地应用了“若直角三角形中的一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边对角为︒30”，没有分清斜边和直角边，避免该错误的有效方法是应画出图形，利用“数形结合”进行解答．正解 在Rt ABC △中，∵︒=∠90C ，∴5212222=+=+=BC AC AB ．∴55252sin ===AB BC A ， 212tan ===AC BC A ． 四、概念不清致错例4 如图，直升机在长江大桥AB 上方P 点处，此时飞机离地面高度为a cm ，且A 、B 、O 三点在一条直线上，测得点A 俯角为α，点B 的俯角为β，求长江大桥AB 的长度．aO PCB A 错解 在Rt AOP △中tan OA APO APO OPα∠=∠=， ∴OA=OP×tan a ．在Rt BPO △中，BPO β∠=．∵tan OB BPO OP∠=，∴BPO OP OB ∠∙=tan ． ∴AB=OA -OB=OP(βαtan tan -)=a (βαtan tan -)．分析 把从P 点观测A 点的俯角误认为APO ∠，从P 点观测B 点的俯角误认为BPO ∠，只有弄清俯角才能避免该错误．正解 根据题意，得CPA BPC αβ∠=∠=，，∴PAO PBO αβ∠=∠=，．在Rt POA △中，cot cot OAPAO OA OP OP α∠=∴=∙，．在Rt POA △中，cot cot OAPAO OA OP OP β∠=∴=∙，．∴AB=OA -OB=βαcot cot ∙-∙OP OP=OP （βαcot cot -）=a （βαcot cot -）．。
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解直角三角形错题集 数学学科组： 班级： 姓名：
一、选择题（每题3分，共42分）
1、如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin A 的值为( )
A.12
B.55
C.1010
D.255
（1题） (2题) (3题) (4题)
2.如图 在4x4的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上，则图中∠ABC 的余弦是（ ）
A.2
B. 552
C.2
1 D.55 3.如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A,B,P,Q,四点均在正方形网格的格点上，线段AB 、PQ 交于点M ，则∠QMB 的正切值是（ ）
A.2
1 B. 1 C.3 D.
2 4.如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=3，∠,B=30°，P 是BC 边上的动点，则AP 的长不可能是（ ）A.3.5 B.4.2 C.5.8 D.7
5.在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠A=α，BD 是斜边AC 上的高，那么（ ）
A.AC=BC ·sinα
B.AC=AB ·cosα
C.BC=AC ·tanα
D.CD=BD ·tanα
6.在△ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则有（ ）
A ．b=a·tanA
B ．b=c·sinA
C ．a=c·cosB
D ．c=a·sinA
7. Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，若AB=a ，∠B=α，则AD 等于( )
A.asin 2α
B.acos 2α
C.asinα·cosα
D.atanα
8.若∠A 是锐角，且4
3cosA =，则（ ） A.0°<∠A<30° B.30°<∠A<45° C.45°<∠A<60° D.60°<∠A<90°
9.在△ABC 中，三边之比为a ：b ：c=1：3：2，则sinA+tanA 等于（ ）．
A ．
6323+ B.32
1+ C.233 D.213+ 10 .菱形ABCD 中，对角线AC=10，BD=6，则sin 2A =( ) A.53 B.5
4 C.34343 D.3434
5 11．已知△A 为锐角，且cosA≤12
，那么（ ） A ．0°<△A≤60°B ．60°≤△A<90° C ．0°<△A≤30°D ．30°≤△A<90°
12、当锐角△A>60°时，cosA 的值（ ）．
A ．小于12
B ．大于12
C ．大于 3 2
D ．大于1 13、式子2cos30°－tan45°－（1－tan60°）2的值是( )
A. 23－2 B ．0 C ．2 3 D ．2 14、点（-sin60°，cos60°）关于y 轴对称的点的坐标是（ ）
A ．（32，12）
B ．（-32，12）
C ．（-32，-12）
D ．（-12，-3
2）
二、填空题（每题3分，共18分）
1 .Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，两直角边之和为14，则它的斜边长为_________ 2.如图（2
），在△ABC 中，△ACB =90°，BC =4，AC =5，CD △AB ，则sin△ACD 的值是 ，tan△BCD 的值是 .
（2） （3）
3.在△ABC 中，△A=75°，2cosB=2，则tanC = .
4.若α是锐角，sinα+cosα =2
3，则sinα·cosα 的值为 .
A B
C D 5..已知α为锐角，3tan 3
3≤≤α，则α的取值范围是 . 6.如图（3），在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，∠BAE=30O ，AE=2，则BD=________
三、解答题（第2、4题每题5分，其他每题6分，共40分）
1.计算：(1)cos45°sin45°＋2sin60°tan60°－1tan30°＋tan45° (2)sin45°＋cos30°3－2cos60°
－sin60°(1－sin30°)
2.如图所示，Rt △ABC 中，∠C=90°，AD ∥BC,∠CBE=
2
1∠ABE.求证：DE=2AB.
3.在Rt△ABC 中，△ACB ＝90°，CD△AB 于点D ，AC= 5 ，BC=2，求sin△ACD 的值。
4．在Rt △ABC 中，两边的长分别为3和4，求最小角的正切值．
5.一位同学想利用树影测量树高，某一时刻他在太阳光下，测得长为1米的竹竿的影长为0.9米，但他在测量树影时，发现因树靠近一墙壁，影子不能全落在地面上，有一部分影子在墙上，他测得墙壁上的影高为1.2米，测得地面上的影长为2.7米，请你帮他求出树高.
6.如图，在Rt△ABC中，△C＝90°，△A＝30°，E为AB边上一点且AE：EB=4：1，EF△AC 于点F，连接FB，求tan△CFB的值.
1 ，△B＝60°，△C＝45°，求AB的长.
7.如图，在△ABC中，已知BC=3。