2019年北京东城区初三一模数学试卷(详解)
2019年北京市东城区中考数学一模试卷含答案解析
2019年北京市东城区中考数学一模试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．数据显示，2019年全国新建、改扩建校舍约为51 660 000平方米，全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件工作取得明显成果．将数据51 660 000用科学记数法表示应为（）A．5.166×107B．5.166×108C．51.66×106D．0.5166×1082．下列运算中，正确的是（）A．x•x3=x3B．（x2）3=x5C．x6÷x2=x4D．（x﹣y）2=x2+y23．有五张质地、大小、反面完全相同的不透明卡片，正面分别写着数字1，2，3，4，5，现把它们的正面向下，随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的数字是奇数的概率是（）A．B．C．D．4．甲、乙、丙、丁四人参加训练，近期的10次百米测试平均成绩都是13.2秒，方差如下A．甲B．乙C．丙D．丁5．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=38°时，∠1=（）A．52°B．38°C．42°D．60°6．如图，有一池塘，要测池塘两端A，B间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A和B的点C，连接AC并延长至D，使CD=CA，连接BC并延长至E，使CE=CB，连接ED．若量出DE=58米，则A，B间的距离为（）A．29米B．58米C．60米D．116米7．在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是（）A．（﹣4，﹣2）B．（2，2）C．（﹣2，2）D．（2，﹣2）8．对式子2a2﹣4a﹣1进行配方变形，正确的是（）A．2（a+1）2﹣3 B．（a﹣1）2﹣C．2（a﹣1）2﹣1 D．2（a﹣1）2﹣39．为了举行班级晚会，小张同学准备去商店购买20个乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品．已知乒乓球每个1.5元，球拍每个25元，如果购买金额不超过200元，且买的球拍尽可能多，那么小张同学应该买的球拍的个数是（）A．5 B．6 C．7 D．810．如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰Rt △ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，设点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．分解因式：ab2﹣ac2=______．12．请你写出一个一次函数，满足条件：①经过第一、三、四象限；②与y轴的交点坐标为（0，﹣1）．此一次函数的解析式可以是______．13．已知一个多边形的每个外角都是72°，这个多边形是______边形．14．为了解一路段车辆行驶速度的情况，交警统计了该路段上午7：00至9：00来往车辆的车速（单位：千米/时），并绘制成如图所示的条形统计图．这些车速的众数是______．15．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”译文：“假设有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱．若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把自己的钱给乙，则乙的钱数也能为50．问甲、乙各有多少钱？”设甲持钱为x，乙持钱为y，可列方程组为______．16．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC=BC．甲、乙、丙、丁四位同学的主要作法如下：甲同学的作法：如图甲：以点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC于点P，则点P就是所求的点．乙同学的作法：如图乙：作线段AC的垂直平分线交BC于点P，则点P就是所求的点．丙同学的作法：如图丙：以点C为圆心，CA长为半径画弧，交BC于点P，则点P 就是所求的点．丁同学的作法：如图丁：作线段AB的垂直平分线交BC于点P，则点P就是所求的点．请你判断哪位同学的作法正确______；这位同学作图的依据是______．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算：tan60°+|﹣2|﹣（﹣1）0﹣（）﹣1．18．解不等式组，并把它的解集表示在数轴上．19．已知x2﹣x﹣3=0，求代数式（x+1）2﹣x（2x+1）的值．20．如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠BAC=40°，请你选择图中现有的一个角并求出它的度数（要求：不添加新的线段，所有给出的条件至少使用一次）．21．列方程或方程组解应用题：在“春节”前夕，某花店用13 000元购进第一批礼盒鲜花，上市后很快销售一空．根据市场需求情况，该花店又用6 000元购进第二批礼盒鲜花．已知第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的，且每盒鲜花的进价比第一批的进价少10元．问第二批鲜花每盒的进价是多少元？22．如图：在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E（尺规作图的痕迹保留在图中了），连接EF．（1）求证：四边形ABEF为菱形；（2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长．23．在平面直角坐标系xOy中，直线y=k1x+b与x轴交于点B，与y轴交于点C，与反比例函数y=的图象在第一象限交于点A（3，1），连接OA．（1）求反比例函数y=的解析式；（2）若S△AOB：S△BOC=1：2，求直线y=k1x+b的解析式．24．某校为了解九年级学生近两个月“推荐书目”的阅读情况，随机抽取了该年级的部分学生，调查了他们每人“推荐书目”的阅读本数．设每名学生的阅读本数为n，并按以下规定分为四档：当n＜3时，为“偏少”；当3≤n＜5时，为“一般”；当5≤n＜8时，为“良好”；当n≥8“”（1）求出本次随机抽取的学生总人数；（2）分别求出统计表中的x，y的值；（3）估计该校九年级400名学生中为“优秀”档次的人数．25．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB．（1）求证：PB是⊙O的切线．（2）若PB=3，DB=4，求DE的长．26．在课外活动中，我们要研究一种四边形﹣﹣筝形的性质．定义：两组邻边分别相等的四边形是筝形（如图1）．小聪根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对筝形的性质进行了探究．下面是小聪的探究过程，请补充完整：（1）根据筝形的定义，写出一种你学过的四边形满足筝形的定义的是______；（2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对筝形性质的猜想，并选取其中的一条猜想进行证明；（3）如图2，在筝形ABCD中，AB=4，BC=2，∠ABC=120°，求筝形ABCD的面积．27．已知关于x的一元二次方程mx2+（3m+1）x+3=0．（1）当m取何值时，此方程有两个不相等的实数根；（2）当抛物线y=mx2+（3m+1）x+3与x轴两个交点的横坐标均为整数，且m为正整数时，求此抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象直接写出实数a的取值范围．28．如图，等边△ABC ，其边长为1，D 是BC 中点，点E ，F 分别位于AB ，AC 边上，且∠EDF=120°．（1）直接写出DE 与DF 的数量关系；（2）若BE ，DE ，CF 能围成一个三角形，求出这个三角形最大内角的度数；（要求：写出思路，画出图形，直接给出结果即可）（3）思考：AE +AF 的长是否为定值？如果是，请求出该值，如果不是，请说明理由．29．对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：若存在过点P 的直线l 交⊙C 于异于点P 的A ，B 两点，在P ，A ，B 三点中，位于中间的点恰为以另外两点为端点的线段的中点时，则称点P 为⊙C 的相邻点，直线l 为⊙C 关于点P 的相邻线．（1）当⊙O 的半径为1时，①分别判断在点D （，），E （0，﹣），F （4，0）中，是⊙O 的相邻点有______； ②请从①中的答案中，任选一个相邻点，在图1中做出⊙O 关于它的一条相邻线，并说明你的作图过程；③点P 在直线y=﹣x +3上，若点P 为⊙O 的相邻点，求点P 横坐标的取值范围；（2）⊙C 的圆心在x 轴上，半径为1，直线y=﹣与x 轴，y 轴分别交于点M ，N ，若线段MN 上存在⊙C 的相邻点P ，直接写出圆心C 的横坐标的取值范围．2019年北京市东城区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．数据显示，2019年全国新建、改扩建校舍约为51 660 000平方米，全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件工作取得明显成果．将数据51 660 000用科学记数法表示应为（）A．5.166×107B．5.166×108C．51.66×106D．0.5166×108【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：51 660 000用科学记数法表示应为5.166×107，故选A．2．下列运算中，正确的是（）A．x•x3=x3B．（x2）3=x5C．x6÷x2=x4D．（x﹣y）2=x2+y2【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．【分析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加；幂的乘方底数不变指数相乘；同底数幂的除法底数不变指数相减；差的平方等于平方和减积的二倍；可得答案．【解答】解：A、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故A错误；B、幂的乘方底数不变指数相乘，故B错误；C、同底数幂的除法底数不变指数相减，故C正确；D、差的平方等于平方和减积的二倍，故D错误；故选：C．3．有五张质地、大小、反面完全相同的不透明卡片，正面分别写着数字1，2，3，4，5，现把它们的正面向下，随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的数字是奇数的概率是（）A．B．C．D．【考点】概率公式．【分析】根据有五张质地、大小、反面完全相同的不透明卡片，其中奇数有1，3，5，共3个，再根据概率公式即可得出答案．【解答】解：∵共有5个数字，奇数有3个，∴抽出的数字是奇数的概率是．故选C．4．甲、乙、丙、丁四人参加训练，近期的10次百米测试平均成绩都是13.2秒，方差如下表所示A．甲B．乙C．丙D．丁【考点】方差．【分析】根据方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布越稳定进行比较即可．【解答】解：∵0.019＜0.022＜0.030＜0.121，∴乙的方差最小，∴这四人中乙发挥最稳定，故选：B5．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=38°时，∠1=（）A．52°B．38°C．42°D．60°【考点】平行线的性质．【分析】先求出∠3，再由平行线的性质可得∠1．【解答】解：如图：∠3=∠2=38°°（两直线平行同位角相等），∴∠1=90°﹣∠3=52°，故选A．6．如图，有一池塘，要测池塘两端A，B间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A和B的点C，连接AC并延长至D，使CD=CA，连接BC并延长至E，使CE=CB，连接ED．若量出DE=58米，则A，B间的距离为（）A．29米B．58米C．60米D．116米【考点】全等三角形的应用．【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得答案．【解答】解：在△ABC和△DEC中，，△ABC≌△DEC（SAS），∴AB=DE=58米，故选：B．7．在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是（）A．（﹣4，﹣2）B．（2，2）C．（﹣2，2）D．（2，﹣2）【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标；坐标与图形变化-平移．【分析】首先根据横坐标右移加，左移减可得B点坐标，然后再关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标符号改变可得答案．【解答】解：点A（﹣1，2）向右平移3个单位长度得到的B的坐标为（﹣1+3，2），即（2，2），则点B关于x轴的对称点C的坐标是（2，﹣2），故选D．8．对式子2a2﹣4a﹣1进行配方变形，正确的是（）A．2（a+1）2﹣3 B．（a﹣1）2﹣C．2（a﹣1）2﹣1 D．2（a﹣1）2﹣3【考点】配方法的应用．【分析】利用完全平方公式进行变形即可．【解答】解：2a2﹣4a﹣1，=2（a2﹣2a+1）﹣3，=2（a﹣1）2﹣3．故选：D．9．为了举行班级晚会，小张同学准备去商店购买20个乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品．已知乒乓球每个1.5元，球拍每个25元，如果购买金额不超过200元，且买的球拍尽可能多，那么小张同学应该买的球拍的个数是（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】一元一次不等式组的应用．【分析】设小张同学应该买的球拍的个数为x个，利用购买金额不超过200元得到20×1.5+25x≤200，然后解不等式后求出不等式的最大整数解即可．【解答】解：设小张同学应该买的球拍的个数为x个，根据题意得20×1.5+25x≤200，解得x≤6.8，所以x的最大整数值为6，所以小张同学应该买的球拍的个数是6个．故选B．10．如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰Rt △ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，设点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】根据题意作出合适的辅助线，可以先证明△ADC和△AOB的关系，即可建立y与x的函数关系，从而可以得到哪个选项是正确的．【解答】解：作AD∥x轴，作CD⊥AD于点D，若右图所示，由已知可得，OB=x，OA=1，∠AOB=90°，∠BAC=90°，AB=AC，点C的纵坐标是y，∵AD∥x轴，∴∠DAO+∠AOD=180°，∴∠DAO=90°，∴∠OAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=90°，∴∠OAB=∠DAC，在△OAB和△DAC中，，∴△OAB≌△DAC（AAS），∴OB=CD，∴CD=x，∵点C到x轴的距离为y，点D到x轴的距离等于点A到x的距离1，∴y=x+1．故选A．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．分解因式：ab2﹣ac2=a（b+c）（b﹣c）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=a（b2﹣c2）=a（b+c）（b﹣c），故答案为：a（b+c）（b﹣c）12．请你写出一个一次函数，满足条件：①经过第一、三、四象限；②与y轴的交点坐标为（0，﹣1）．此一次函数的解析式可以是y=x﹣1（答案不唯一）．．【考点】一次函数图象与系数的关系．【分析】首先根据函数经过的象限确定比例系数的符号，然后根据其与y轴的交点确定答案即可．【解答】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限，∴k＞0，∴设一次函数的解析式为y=x+b，∵经过点（0，﹣1），∴b=﹣1，∴解析式为y=x﹣1，故答案为：y=x﹣1（答案不唯一）．13．已知一个多边形的每个外角都是72°，这个多边形是五边形．【考点】多边形内角与外角．【分析】任何多边形的外角和是360°．用外角和除以每个外角的度数即可得到边数．【解答】解：360÷72=5．故这个多边形是五边形．故答案为：五．14．为了解一路段车辆行驶速度的情况，交警统计了该路段上午7：00至9：00来往车辆的车速（单位：千米/时），并绘制成如图所示的条形统计图．这些车速的众数是70千米/时．【考点】众数；条形统计图．【分析】根据众数是出现次数最多的数直接写出答案即可；【解答】解：70千米/时是出现次数最多的，故众数是70千米/时，故答案为：70千米/时．15．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”译文：“假设有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱．若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把自己的钱给乙，则乙的钱数也能为50．问甲、乙各有多少钱？”设甲持钱为x，乙持钱为y，可列方程组为．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．【分析】设甲持钱为x，乙持钱为y，根据题意可得，甲的钱+乙的钱的一半=50元，乙的钱+甲所有钱的=50元，据此可列方程组．【解答】解：设甲持钱为x，乙持钱为y，根据题意，可列方程组：，故答案为：．16．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC=BC．甲、乙、丙、丁四位同学的主要作法如下：甲同学的作法：如图甲：以点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC于点P，则点P就是所求的点．乙同学的作法：如图乙：作线段AC的垂直平分线交BC于点P，则点P就是所求的点．丙同学的作法：如图丙：以点C为圆心，CA长为半径画弧，交BC于点P，则点P 就是所求的点．丁同学的作法：如图丁：作线段AB的垂直平分线交BC于点P，则点P就是所求的点．请你判断哪位同学的作法正确丁同学；这位同学作图的依据是垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；等量代换．【考点】作图—复杂作图．【分析】分别利用线段垂直平分线的性质结合圆的性质分析得出答案．【解答】解：甲同学的作法：如图甲：以点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC于点P，则点P就是所求的点．无法得出AP=BP，故无法得出PA+PC=BC，故此选项错误；乙同学的作法：如图乙：作线段AC的垂直平分线交BC于点P，则点P就是所求的点．无法得出AP=BP，故无法得出PA+PC=BC，故此选项错误；丙同学的作法：如图丙：以点C为圆心，CA长为半径画弧，交BC于点P，则点P就是所求的点．无法得出AP=BP，故无法得出PA+PC=BC，故此选项错误；丁同学的作法：如图丁：作线段AB的垂直平分线交BC于点P，则点P就是所求的点，可得：AP=BP，则PA+PC=BC．故答案为：丁；垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；等量代换．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算：tan60°+|﹣2|﹣（﹣1）0﹣（）﹣1．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】本题涉及特殊角的三角函数值、绝对值、零指数幂、负整数指数幂4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：tan60°+|﹣2|﹣（﹣1）0﹣（）﹣1=+2﹣﹣1﹣2=﹣1．18．解不等式组，并把它的解集表示在数轴上．【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式2（x﹣2）≤3（x﹣1），得：x≥﹣1，解不等式，得：x＜3，∴不等式组的解集为﹣1≤x＜3，不等式组的解集在数轴上的表示如下：19．已知x2﹣x﹣3=0，求代数式（x+1）2﹣x（2x+1）的值．【考点】整式的混合运算—化简求值．【分析】原式利用完全平方公式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．【解答】解：原式=x2+2x+1﹣2x2﹣x=﹣x2+x+1，由x2﹣x﹣3=0，得到x2﹣x=3，则原式=﹣3+1=﹣2．20．如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠BAC=40°，请你选择图中现有的一个角并求出它的度数（要求：不添加新的线段，所有给出的条件至少使用一次）．【考点】等腰三角形的性质．【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=70°，由角平分线的性质得到∠ABD=∠CBD=35°，根据平行线的性质得到∠E=∠EAB=35°，于是得到结论．【解答】解：∠EAC=75°，∵AB=AC，∠BAC=40°，∴∠ABC=∠ACB=70°，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴∠ABD=∠CBD=35°，∵AE∥BD，∴∠E=∠EAB=35°，∴∠EAC=∠EAB+∠BAC=75°．21．列方程或方程组解应用题：在“春节”前夕，某花店用13 000元购进第一批礼盒鲜花，上市后很快销售一空．根据市场需求情况，该花店又用6 000元购进第二批礼盒鲜花．已知第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的，且每盒鲜花的进价比第一批的进价少10元．问第二批鲜花每盒的进价是多少元？【考点】分式方程的应用．【分析】可设第二批鲜花每盒的进价是x元，根据等量关系：第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的，列出方程求解即可．【解答】解：设第二批鲜花每盒的进价是x元，依题意有=×，解得x=120，经检验：x=120是原方程的解，答：第二批鲜花每盒的进价是120元．22．如图：在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E（尺规作图的痕迹保留在图中了），连接EF．（1）求证：四边形ABEF为菱形；（2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长．【考点】菱形的判定与性质；平行四边形的性质；作图—基本作图．【分析】（1）由尺规作∠BAF的角平分线的过程可得，AB=AF，∠BAE=∠FAE，根据平行四边形的性质可得∠FAE=∠AEB，然后证明AF=BE，进而可得四边形ABEF为平行四边形，再由AB=AF可得四边形ABEF为菱形；（2）根据菱形的性质可得AE⊥BF，BO=FB=3，AE=2AO，利用勾股定理计算出AO的长，进而可得AE的长．【解答】（1）证明：由尺规作∠BAF的角平分线的过程可得AB=AF，∠BAE=∠FAE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，∴BE=FA，∴四边形ABEF为平行四边形，∵AB=AF，∴四边形ABEF为菱形；（2）解：∵四边形ABEF为菱形，∴AE⊥BF，BO=FB=3，AE=2AO，在Rt△AOB中，AO==4，∴AE=2AO=8．23．在平面直角坐标系xOy中，直线y=k1x+b与x轴交于点B，与y轴交于点C，与反比例函数y=的图象在第一象限交于点A（3，1），连接OA．（1）求反比例函数y=的解析式；（2）若S△AOB：S△BOC=1：2，求直线y=k1x+b的解析式．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数解析式中，得出关于k2的一元一次方程，解方程即可得出结论；（2）分两种情况考虑：①直线y=k1x+b经过第一、三、四象限，由S△AOB：S△BOC=1：2结合三角形的面积公式得出点C的坐标，由待定系数法即可求出此时直线的函数解析式；②直线y=k1x+b经过第一、二、四象限，由S△AOB：S△BOC=1：2结合三角形的面积公式得出点C的坐标，由待定系数法即可求出此时直线的函数解析式．【解答】解：（1）将点A（3，1）代入到y=中，得1=，解得：k2=3．故反比例函数的解析式为y=．（2）符合题意有两种情况：①直线y=k1x+b经过第一、三、四象限，如图1所示．∵S△AOB：S△BOC=1：2，点A（3，1），∴点C的坐标为（0，﹣2）．则有，解得：．∴直线的解析式为y=x﹣2．②直线y=k1x+b经过第一、二、四象限，如图2所示．∵S△AOB：S△BOC=1：2，点A（3，1），∴点C的坐标为（0，2）．则有，解得：．∴直线的解析式为y=﹣x+2．24．某校为了解九年级学生近两个月“推荐书目”的阅读情况，随机抽取了该年级的部分学生，调查了他们每人“推荐书目”的阅读本数．设每名学生的阅读本数为n，并按以下规定分为四档：当n＜3时，为“偏少”；当3≤n＜5时，为“一般”；当5≤n＜8时，为“良好”；当n≥8“”请根据以上信息回答下列问题：（1）求出本次随机抽取的学生总人数；（2）分别求出统计表中的x，y的值；（3）估计该校九年级400名学生中为“优秀”档次的人数．【考点】扇形统计图；用样本估计总体．【分析】（1）根据题意当3≤n＜5时为“一般”可知一般档次人数为6+7，结合其所占百分比为26%，相除可得总人数；（2）由良好档次的百分比及总人数可得良好档次的人数，减去阅读本数为5、7的人数可得x的值，将总人数减去其余各项人数可得y的值；（3）根据样本中优秀档次所占百分比乘以九年级总人数可得．【解答】解：（1）由表知被调查学生中“一般”档次的有13人，所占比例是26%，故被调查的学生数是13÷26%=50（人）；（2）被调查的学生中“良好”档次的人数为50×60%=30（人），∴x=30﹣（12+7）=11（人），y=50﹣（1+2+6+7+12+11+7+1）=3（人）；（3）由样本数据可知：“优秀”档次所占的百分比为×100%=8%，∴估计九年级400名学生中优秀档次的人数为：400×8%=32（人）．25．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB．（1）求证：PB是⊙O的切线．（2）若PB=3，DB=4，求DE的长．【考点】切线的判定与性质．【分析】（1）由已知角相等，及对顶角相等得到三角形DOE与三角形POB相似，利用相似三角形对应角相等得到∠OBP为直角，即可得证；（2）在直角三角形PBD中，由PB与DB的长，利用勾股定理求出PD的长，由切线长定理得到PC=PB，由PD﹣PC求出CD的长，在直角三角形OCD中，设OC=r，则有OD=8﹣r，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，然后通过相似三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵在△DEO和△PBO中，∠EDB=∠EPB，∠DOE=∠POB，∴∠OBP=∠E=90°，∵OB为圆的半径，∴PB为圆O的切线；（2）解：在Rt△PBD中，PB=3，DB=4，根据勾股定理得：PD==5，∵PD与PB都为圆的切线，∴PC=PB=3，∴DC=PD﹣PC=5﹣3=2，在Rt△CDO中，设OC=r，则有DO=4﹣r，根据勾股定理得：（4﹣r）2=r2+22，解得：r=，∴OP==，∵∠E=∠PCO，∠CPO=∠CPO，∴△DEP∽△OBP，∴，∴DE=．26．在课外活动中，我们要研究一种四边形﹣﹣筝形的性质．定义：两组邻边分别相等的四边形是筝形（如图1）．小聪根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对筝形的性质进行了探究．下面是小聪的探究过程，请补充完整：（1）根据筝形的定义，写出一种你学过的四边形满足筝形的定义的是菱形；（2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对筝形性质的猜想，并选取其中的一条猜想进行证明；（3）如图2，在筝形ABCD中，AB=4，BC=2，∠ABC=120°，求筝形ABCD的面积．【考点】四边形综合题．【分析】（1）根据筝形的定义解答即可；（2）根据全等三角形的判定和性质证明；（3）连接AC，作CE⊥AB交AB的延长线于E，根据正弦的定义求出CE，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：（1）∵菱形的四条边相等，∴菱形是筝形，故答案为：菱形；（2）筝形是轴对称图形；筝形的对角线互相垂直；筝形的一组对角相等．已知：四边形ABCD是筝形，求证：∠B=∠D，证明：如图1，连接AC，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC，∴∠B=∠D；（3）如图2，连接AC，作CE⊥AB交AB的延长线于E，∵∠ABC=120°，∴∠EBC=60°，又BC=2，∴CE=BC×sin∠EBC=，∴S△ABC=AB×CE=2，∵△ABC≌△ADC，∴筝形ABCD的面积=2S△ABC=4．27．已知关于x的一元二次方程mx2+（3m+1）x+3=0．（1）当m取何值时，此方程有两个不相等的实数根；（2）当抛物线y=mx2+（3m+1）x+3与x轴两个交点的横坐标均为整数，且m为正整数时，求此抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象直接写出实数a的取值范围．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征．【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式，直接计算即可；（2）根据求根公式，求出两根，由抛物线与x轴的两个交点的横坐标都为正整数，求出m 的值，可得抛物线解析式；（3）画出图象，找到当y1=y2时，a的值，根据图象，直接判断即可．【解答】解：（1）由题意可知，△=b2﹣4ac=（3m+1）2﹣4m×3=（3m﹣1）2＞0，解得m≠，∵mx2+（3m+1）x+3=0是一元二次方程，∴m≠0，。
【附5套中考模拟试卷】北京市东城区2019-2020学年中考数学一模考试卷含解析
A．3B． C． D．4
11．如图,在边长为6的菱形 中, ,以点 为圆心,菱形的高 为半径画弧,交 于点 ,交 于点 ,则图中阴影部分的面积是（）
A． B． C． D．
12．如图，一张半径为 的圆形纸片在边长为 的正方形内任意移动，则在该正方形内，这张圆形纸片“能接触到的部分”的面积是（）
A． B． C． D．
8．如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别AB、AC是上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分的周长为（ ）cm
A．1B．2C．3D．4
9．一个正多边形的内角和为900°，那么从一点引对角线的条数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
10．如图，已知A、B两点的坐标分别为（－2，0）、（0，1），⊙C的圆心坐标为（0，－1），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是
A．21.7米B．22.4米C．27.4米D．28.8米
6．下列运算正确的是（ ）
A．3a2﹣2a2=1B．a2•a3=a6C．（a﹣b）2=a2﹣b2D．（a+b）2=a2+2ab+b2
7．如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且∠AOC＝126°，则∠CDB＝（ ）
A．54°B．64°C．27°D．37°
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
精品解析：北京市东城区2019届九年级中考一模数学试题(解析版)
2019年北京市东城区中考数学一模试卷一、选择题（每小题2分，共16分）1.下列立体图形中，主视图是圆的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【详解】A、圆锥的主视图是三角形，故A不符合题意；B、圆柱的主视图是矩形，故B不符合题意；C、圆台的主视图是梯形，故C不符合题意；D、球的主视图是圆，故D符合题意，故选D．【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，熟记常见几何体的三视图是解题关键．2.2019年中国北京世界园艺博览会于4月29日在北京延庆举行，会期共162天，预计参观人数不少于16 000 000人次，将16 000 000用科学记数法表示应为（）A. 16×104B. 1.6×107C. 16×108D. 1.6×108【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】将16 000 000用科学记数法表示应 1.6×107，故选B．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．3.已知实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）A. a b >B. a b <C. 0ab >D. a b ->【答案】D 【解析】【分析】由数轴得出a ＜－1＜0＜b ＜1，根据a 、b 的范围，即可判断各选项的对错. 【详解】由数轴得出a ＜－1＜0＜b ＜1，则有A 、a ＜b ，故A 选项错误；B 、|a|>|b|，故B 选项错误；C 、ab ＜0，故C 选项错误；D 、-a ＞b ，故D 选项正确， 故选D.【点睛】本题考查了实数与数轴，解决本题的关键是结合数轴，灵活运用相关知识进行判断．4.如图，将一张矩形纸片折叠，若∠1＝80°，则∠2的度数是（ ）A. 50°B. 60°C. 70°D. 80°【答案】A 【解析】 【分析】利用平行线的性质解决问题即可． 【详解】如图，∵a ∥b ，∴∠1＝∠3＝80°，由翻折不变性可知：∠2＝∠4＝12（180°﹣80°）＝50°， 故选A ．【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．5.一个多边形的每个内角均为120°，则这个多边形是（ ） A. 四边形 B. 五边形C. 六边形D. 七边形【答案】C 【解析】由题意得，180°(n -2)=120°n ⨯, 解得n =6.故选C.6.如果a 2+3a ﹣2＝0，那么代数式（23139a a ++-）23a a-⋅ 的值为（ ） A. 1 B.12 C.13D.14【答案】B 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值． 【详解】原式＝2231(3)(3)3a a a a a a a-⋅=+-+，由a 2+3a ﹣2＝0，得到a 2+3a ＝2，则原式＝12，故选B．【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7.弹簧原长（不挂重物）15cm，弹簧总长L（cm）与重物质量x（kg）的关系如下表所示：当重物质量为5kg（在弹性限度内）时，弹簧总长L（cm）是（）A. 22.5B. 25C. 27.5D. 30【答案】B【解析】【分析】根据表格数据，建立数学模型，进而利用待定系数法可得函数关系式，当x＝5时，代入函数解析式求值即可．【详解】设弹簧总长L（cm）与重物质量x（kg）的关系式为L＝kx+b，将（0.5，16）、（1.0，17）代入，得：0.51617k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：k2b15=⎧⎨=⎩，∴L与x之间的函数关系式为：L＝2x+15；当x＝5时，L＝2×5+15＝25（cm）故重物为5kg时弹簧总长L是25cm，故选B．【点睛】此题主要考查根据实际问题列一次函数关系式，解决本题的关键是得到弹簧长度的关系式，难点是得到x千克重物在原来基础上增加的长度．8.改革开放40年以来，城乡居民生活水平持续快速提升，居民教育、文化和娱乐消费支出持续增长，已经成为居民各项消费支出中仅次于居住、食品烟酒、交通通信后的第四大消费支出，如图为北京市统计局发布的2017年和2018年我市居民人均教育、文化和娱乐消费支出的折线图．说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2018年第二季度与2017年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2018年第二季度与2018年第一季度相比较．根据上述信息，下列结论中错误的是（）A. 2017年第二季度环比有所提高B. 2017年第三季度环比有所提高C. 2018年第一季度同比有所提高D. 2018年第四季度同比有所提高【答案】C【解析】【分析】根据环比和同比的比较方法，验证每一个选项即可.【详解】2017年第二季度支出948元，第一季度支出859元，所以第二季度比第一季度提高，故A正确；2017年第三季度支出1113元，第二季度支出948元，所以第三季度比第二季度提高，故B正确；2018年第一季度支出839元，2017年第一季度支出859元，所以2018年第一季度同比有所降低，故C错误；2018年第四季度支出1012元，2017年第一季度支出997元，所以2018年第四季度同比有所降低，故D正确；故选C．【点睛】本题考查折线统计图，同比和环比的意义；能够从统计图中获取数据，按要求对比数据是解题的关键．二、填空题（每小题2分，共16分）9.x的取值范围是．【答案】x2≥。
【附5套中考模拟试卷】北京市东城区2019-2020学年中考第一次质量检测数学试题含解析
北京市东城区2019-2020学年中考第一次质量检测数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（2016福建省莆田市）如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是（）A．PC⊥OA，PD⊥OB B．OC=OD C．∠OPC=∠OPD D．PC=PD 2．如果边长相等的正五边形和正方形的一边重合，那么∠1的度数是( )A．30°B．15°C．18°D．20°3．如图，已知反比函数kyx=的图象过Rt△ABO斜边OB的中点D，与直角边AB相交于C，连结AD、OC，若△ABO的周长为426+，AD=2，则△ACO的面积为（）A．12B．1 C．2 D．44．据财政部网站消息，2018年中央财政困难群众救济补助预算指标约为929亿元，数据929亿元科学记数法表示为（）A．9.29×109B．9.29×1010C．92.9×1010D．9.29×10115．在平面直角坐标系中，把直线y＝x向左平移一个单位长度后，所得直线的解析式为()A．y＝x＋1 B．y＝x－1 C．y＝x D．y＝x－26．如图，AB∥CD，点E在CA的延长线上.若∠BAE=40°，则∠ACD的大小为（）A．150°B．140°C．130°D．120°7．下列计算正确的是（）A．﹣2x﹣2y3•2x3y＝﹣4x﹣6y3B．（﹣2a2）3＝﹣6a6C．（2a+1）（2a﹣1）＝2a2﹣1 D．35x3y2÷5x2y＝7xy8．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线MN交AB于点D，连接CD，则下列结论正确的是（）A．CD+DB=AB B．CD+AD=AB C．CD+AC=AB D．AD+AC=AB9．由五个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的左视图是( )A．B．C．D．10．利用“分形”与“迭代”可以制作出很多精美的图形，以下是制作出的几个简单图形，其中是轴对称但不是中心对称的图形是（）A．B．C．D．11．如图是婴儿车的平面示意图,其中AB∥CD,∠1=120°,∠3=40°,那么∠2的度数为（）A．80°B．90°C．100°D．102°12．已知一次函数y=kx+b的图象如图，那么正比例函数y=kx和反比例函数y=bx在同一坐标系中的图象的形状大致是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图①，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，动点P 从点A 出发，沿AB 匀速运动，到达点B 时停止，设点P 所走的路程为x ，线段OP 的长为y ，若y 与x 之间的函数图象如图②所示，则矩形ABCD 的周长为_____．14．如图，圆锥底面圆心为O ，半径OA ＝1，顶点为P ，将圆锥置于平面上，若保持顶点P 位置不变，将圆锥顺时针滚动三周后点A 恰好回到原处，则圆锥的高OP ＝_____．15．如图，在平面直角坐标系中，函数y=k x（k ＞0）的图象经过点A （1，2）、B 两点，过点A 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AB 、BC ．若三角形ABC 的面积为3，则点B 的坐标为___________．16．如果正比例函数y=(k-2)x 的函数值y 随x 的增大而减小，且它的图象与反比例函数y=k x 的图象没有公共点，那么k 的取值范围是______．17．函数2x y x =-中，自变量x 的取值范围是______． 18．计算：5-=____.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）甲乙两件服装的进价共500元，商场决定将甲服装按30%的利润定价，乙服装按20%的利润定价，实际出售时，两件服装均按9折出售，商场卖出这两件服装共获利67元．求甲乙两件服装的进价各是多少元；由于乙服装畅销，制衣厂经过两次上调价格后，使乙服装每件的进价达到242元，求每件乙服装进价的平均增长率；若每件乙服装进价按平均增长率再次上调，商场仍按9折出售，定价至少为多少元时，乙服装才可获得利润（定价取整数）．20．（6分）甲、乙两公司各为“希望工程”捐款2000元．已知乙公司比甲公司人均多捐20元，且乙公司的人数是甲公司人数的45，问甲、乙两公司人均捐款各多少元？ 21．（6分） (1)解方程：+＝4 (2)解不等式组并把解集表示在数轴上：.22．（8分）先化简，再求值：22111x x x x ⎛⎫-+ ⎪--⎝⎭，其中x 满足2410x x -+=． 23．（8分）解方程：（1）x 2﹣7x ﹣18＝0（2）3x （x ﹣1）＝2﹣2x24．（10分）根据函数学习中积累的知识与经验，李老师要求学生探究函数y=1x+1的图象．同学们通过列表、描点、画图象，发现它的图象特征，请你补充完整． （1）函数y=1x+1的图象可以由我们熟悉的函数 的图象向上平移 个单位得到； （2）函数y=1x +1的图象与x 轴、y 轴交点的情况是： ； （3）请你构造一个函数，使其图象与x 轴的交点为（2，0），且与y 轴无交点，这个函数表达式可以是 ． 25．（10分）计算﹣1423116()|3|2-+-26．（12分）某楼盘2018年2月份准备以每平方米7500元的均价对外销售，由于国家有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格连续两个月进行下调，4 月份下调到每平方米6075元的均价开盘销售．（1）求3、4两月平均每月下调的百分率；（2）小颖家现在准备以每平方米6075元的开盘均价，购买一套100平方米的房子，因为她家一次性付清购房款，开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元，小颖家选择哪种方案更优惠？（3）如果房价继续回落，按此平均下调的百分率，请你预测到6月份该楼盘商品房成交均价是否会跌破4800元/平方米，请说明理由．27．（12分）如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于12EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，连接AP，交CD于点M，若∠ACD=110°，求∠CMA的度数______．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．D【解析】试题分析：对于A，由PC⊥OA，PD⊥OB得出∠PCO=∠PDO=90°，根据AAS判定定理可以判定△POC≌△POD；对于B OC=OD，根据SAS判定定理可以判定△POC≌△POD；对于C，∠OPC=∠OPD，根据ASA判定定理可以判定△POC≌△POD；，对于D，PC=PD，无法判定△POC≌△POD，故选D．考点：角平分线的性质；全等三角形的判定．2．C【解析】【分析】∠1的度数是正五边形的内角与正方形的内角的度数的差，根据多边形的内角和定理求得角的度数，进而求解．【详解】∵正五边形的内角的度数是15×（5-2）×180°=108°，正方形的内角是90°，∴∠1=108°-90°=18°．故选C【点睛】本题考查了多边形的内角和定理、正五边形和正方形的性质，求得正五边形的内角的度数是关键．3．A【解析】【分析】在直角三角形AOB中，由斜边上的中线等于斜边的一半，求出OB的长，根据周长求出直角边之和，设其中一直角边AB=x，表示出OA，利用勾股定理求出AB与OA的长，过D作DE垂直于x轴，得到E 为OA中点，求出OE的长，在直角三角形DOE中，利用勾股定理求出DE的长，利用反比例函数k的几何意义求出k的值，确定出三角形AOC面积即可．【详解】在Rt△AOB中，AD=2，AD为斜边OB的中线，∴OB=2AD=4，由周长为6，得到6，设AB=x，则6-x，根据勾股定理得：AB2+OA2=OB2，即x2+（6-x）2=42，整理得：x26x+4=0，解得x162x262，∴6262，过D作DE⊥x轴，交x轴于点E，可得E为AO中点，∴OE=12OA=1262（假设62，与62，在Rt△DEO中，利用勾股定理得：22OD OE1262），∴k=-DE•OE=-1262)）×1262)）=1.∴S△AOC=12DE•OE=12，故选A．【点睛】本题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：勾股定理，直角三角形斜边的中线性质，三角形面积求法，以及反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例的图象与性质是解本题关键．4．B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×1n的形式，其中1≤|a|＜1，n为整数．确定n的值是易错点，由于929亿有11位，所以可以确定n=11-1=1．【详解】解：929亿=92900000000=9.29×11．故选B．【点睛】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．5．A【解析】向左平移一个单位长度后解析式为：y=x+1.故选A.点睛：掌握一次函数的平移.6．B【解析】试题分析：如图，延长DC到F，则∵AB∥CD，∠BAE=40°，∴∠ECF=∠BAE=40°.∴∠ACD=180°-∠ECF=140°.故选B．考点：1.平行线的性质；2.平角性质.7．D【解析】【分析】A．根据同底数幂乘法法则判断；B．根据积的乘方法则判断即可；C．根据平方差公式计算并判断；D．根据同底数幂除法法则判断．【详解】A.-2x-2y3 2x3y=-4xy4，故本选项错误；B. (−2a2)3=−8a6，故本项错误；C. (2a+1)(2a−1)=4a2−1，故本项错误；D.35x3y2÷5x2y=7xy，故本选项正确.故答案选D.本题考查了同底数幂的乘除法法则、积的乘方法则与平方差公式，解题的关键是熟练的掌握同底数幂的乘除法法则、积的乘方法则与平方差公式.8．B【解析】【分析】作弧后可知MN⊥CB，且CD=DB.【详解】由题意性质可知MN是BC的垂直平分线，则MN⊥CB，且CD=DB，则CD+AD=AB.【点睛】了解中垂线的作图规则是解题的关键.9．D【解析】【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有看到的棱都应表现在主视图中．【详解】解：从正面看第一层是二个正方形，第二层是左边一个正方形．故选A．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图的知识，解题的关键是了解主视图是由主视方向看到的平面图形，属于基础题，难度不大．10．A【解析】【分析】根据：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.逐个按要求分析即可.【详解】选项A，是轴对称图形，不是中心对称图形，故可以选；选项B，是轴对称图形，也是中心对称图形，故不可以选；选项C，不是轴对称图形，是中心对称图形，故不可以选；选项D，是轴对称图形，也是中心对称图形，故不可以选.故选A本题考核知识点：轴对称图形和中心对称图形.解题关键点：理解轴对称图形和中心对称图形定义.错因分析容易题.失分的原因是：没有掌握轴对称图形和中心对称图形的定义.11．A【解析】分析：根据平行线性质求出∠A，根据三角形内角和定理得出∠2=180°-∠1−∠A，代入求出即可．详解：∵AB∥CD.∴∠A=∠3=40°，∵∠1=60°，∴∠2=180°-∠1−∠A=80°，故选：A.点睛：本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等.三角形内角和定理：三角形内角和为180°. 12．C【解析】试题分析：如图所示，由一次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，可得k＞1，b＜1．因此可知正比例函数y=kx的图象经过第一、三象限，反比例函数y=bx的图象经过第二、四象限．综上所述，符合条件的图象是C选项．故选C．考点：1、反比例函数的图象；2、一次函数的图象；3、一次函数图象与系数的关系二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．1【解析】分析：根据点P的移动规律，当OP⊥BC时取最小值2，根据矩形的性质求得矩形的长与宽，易得该矩形的周长．详解：∵当OP⊥AB时，OP最小，且此时AP=4，OP=2，∴AB=2AP=8，AD=2OP=6，∴C矩形ABCD=2（AB+AD）=2×（8+6）=1．故答案为1．点睛：本题考查了动点问题的函数图象，关键是根据所给函数图象和点的运动轨迹判断出AP=4，OP=2．14．【解析】【分析】先利用圆的周长公式计算出PA 的长，然后利用勾股定理计算PO 的长．【详解】解：根据题意得2π×PA ＝3×2π×1，所以PA ＝3，所以圆锥的高OP ＝ 故答案为．【点睛】 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．15．（4，12）． 【解析】【分析】由于函数y=k x（x ＞0常数k ＞0）的图象经过点A （1，1），把（1，1）代入解析式求出k=1，然后得到AC=1．设B 点的横坐标是m ，则AC 边上的高是（m-1），根据三角形的面积公式得到关于m 的方程，从而求出，然后把m 的值代入y=2x ，即可求得B 的纵坐标，最后就求出了点B 的坐标． 【详解】∵函数y=k x（x ＞0、常数k ＞0）的图象经过点A （1，1）， ∴把（1，1）代入解析式得到1=1k ， ∴k=1，设B 点的横坐标是m ，则AC 边上的高是（m-1），∵AC=1 ∴根据三角形的面积公式得到12×1•（m-1）=3， ∴m=4，把m=4代入y=2x ， ∴B 的纵坐标是12，。
2019学年北京市东城区中考一模数学试卷【含答案及解析】
2019学年北京市东城区中考一模数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________题号一二三四五总分得分一、选择题1. 与的和为的数是（）A． B． C． D．2. 2015年元旦期间，北京各大公园接待游客达245 000万人次。
其中，“冰雪乐园”吸引了大批游客亲身感受冰雪带来的快乐，一起为北京申办2022年冬奥会助力加油．用科学记数法表示245 000 ，正确的是（）A． B．C． D．3. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（）A．圆柱 B．球 C．圆锥 D．棱柱4. 在某校初三年级古诗词比赛中,初三（1）班42名学生的成绩统计如下,则该班学生成绩的中位数和众数分别是（）5. 分数5060708090100人数12813144td6. 在六张卡片上分别写有六个数,从中任意抽取一张,卡片上的数为无理数的概率是（）A． B． C． D．7. 正五边形的每个外角等于（）A．36° B．60° C．72° D．108°8. 如图，是的直径，点在上，过点作的切线交的延长线于点，连接，．若，则的度数是（）A． B． C． D．9. 小李驾驶汽车以千米/小时的速度匀速行驶小时后，途中靠边停车接了半小时电话，然后继续匀速行驶．已知行驶路程（单位：千米）与行驶时间（单位：小时）的函数图象大致如图所示，则接电话后小李的行驶速度为（）A． B． C． D．OP是∠MON的角平分线，点A是OP上一点，过点A作ON 10. 如图，已知∠MON =60°，的平行线交OM于点B,AB=4．则直线AB与ON之间的距离是（）A． B． C． D．11. 如图1，和都是等腰直角三角形，其中，点与点重合，点在上，，．如图2，保持不动，沿着线段从点向点移动，当点与点重合时停止移动．设，与重叠部分的面积为，则关于的函数图象大致是（）二、填空题12. 分解因式：．13. 计算的结果为．14. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是．15. 北京的水资源非常匮乏，为促进市民节水，从2014年5月1日起北京市居民用水实行阶梯水价，实施细则如下表:某户居民从年月日至月日,累积用水立方米,则这户居民个月共需缴纳水费元．16. 已知女排赛场球网的高度是米，某排球运动员在一次扣球时，球恰好擦网而过，落在对方场地距离球网米的位置上，此时该运动员距离球网米，假设此次排球的运行路线是直线，则该运动员击球的高度是米．17. 在平面直角坐标系中，记直线为．点是直线与轴的交点，以为边做正方形,使点落在在轴正半轴上，作射线交直线于点，以为边作正方形,使点落在在轴正半轴上，依次作下去，得到如图所示的图形．则点的坐标是，点的坐标是．三、解答题18. 如图，与交于点，，．求证：．四、计算题19. 计算：五、解答题20. 解不等式组：21. 先化简，再求值：，其中．22. 列方程或方程组解应用题：年“植树节”前夕，某小区为绿化环境，购进棵柏树苗和棵枣树苗，且两种树苗所需费用相同．每棵枣树苗的进价比每棵柏树苗的进价的倍少元，每棵柏树苗的进价是多少元？23. 在平面直角坐标系中，过点向轴作垂线，垂足为，连接．双曲线经过斜边的中点，与边交于点．（1）求反比例函数的解析式；（2）求△的面积．24. 如图，中，,是边上的中线，分别过点，作，的平行线交于点，且交于点，连接．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，求的值．25. 为弘扬中华传统文化,某学校决定开设民族器乐选修课．为了更贴合学生的兴趣，对学生最喜爱的一种民族乐器进行随机抽样调查，收集整理数据后，绘制出以下两幅未完成的统计图，请根据图1和图2提供的信息，解答下列问题：（1）在这次抽样调查中，共调查名学生；（2）请把条形图（图1）补充完整；（3）求扇形统计图（图2）中，二胡部分所对应的圆心角的度数；（4）如果该校共有学生名，请你估计最喜爱古琴的学生人数．26. 如图,在⊙中，为直径，，弦与交于点，过点分别作⊙的切线交于点，且GD与的延长线交于点．（1）求证：;（2）已知：，⊙的半径为，求的长．27. 在四边形中，对角线与交于点，是上任意一点，于点，交于点．（1）如图1,若四边形是正方形,判断与的数量关系;明明发现，与分别在和中，可以通过证明和全等,得到与的数量关系；请回答：与的数量关系是．（2）如图2,若四边形是菱形, ,请参考明明思考问题的方法，求的值．28. 在平面直角坐标系中，抛物线过点，,与轴交于点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，求点的坐标;（3）在抛物线的对称轴上是否存在点,使成为以为直角边的直角三角形？若存在,求出点的坐标；若不存在,请说明理由．29. 已知：Rt△A′BC′和Rt△ABC重合，∠A′C′B=∠ACB=90°，∠BA′C′=∠BAC=30°，现将Rt△A′BC′绕点B按逆时针方向旋转角α（60°≤α≤90°），设旋转过程中射线C′Ｃ和线段AA′相交于点D,连接BD．（1）当α=60°时，A’B 过点C，如图1所示，判断BD和A′Ａ之间的位置关系，不必证明；（2）当α=90°时，在图2中依题意补全图形，并猜想（1）中的结论是否仍然成立，不必证明；（3）如图3，对旋转角α（60°＜α＜90°），猜想（1）中的结论是否仍然成立；若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由．30. 定义符号的含义为：当时, ；当时,．如：，．（1）求;（2）已知, 求实数的取值范围;（3）已知当时，．直接写出实数的取值范围．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】第25题【答案】第26题【答案】第27题【答案】第28题【答案】第29题【答案】。
北京市东城区2019届初三统一练习数学试题(二)含答案
北京市东城区2019—2019学年第二学期统一练习（二） 初三数学 2019.6学校 班级 姓名 考号一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．我国最大的领海是南海，总面积有3 500 000平方公里，将数3 500 000用科学记数法表示应为A ．63.510⨯B ．73.510⨯C ．53510⨯D ． 80.3510⨯2．如图，已知数轴上的点A ，O ，B ，C ，D 分别表示数﹣2，0，1，2，3，则表示数2的点P 应落在线段球．从该盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是A ．13 B ．25 C ．12 D ． 234. 下列图案中 ，既是中心对称又是轴对称图形的是A B C D5．如图所示的几何体是由一些正方体组合而成的立体图形，则这个几何体的俯视图是A B C D7．某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是A．4 B．3 C．2 D．19. 如图所示，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省A．1元B．2元C．3元D．4元10. 某班有20位同学参加乒乓球、羽毛球比赛，甲说：“只参加一项的人数大于14人.”乙说：“两项都参加的人数小于5人.”对于甲、乙两人的说法，有下列四个命题，其中真命题的是A.若甲对，则乙对B.若乙对，则甲对C.若乙错，则甲错D.若甲错，则乙对二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．分解因式：2242ax ax a -+= ．12．关于x 的一元二次方程0122=-+x kx 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．13. 如图，点P 在△ABC 的边AC 上，请你添加一个条件，使得△ABP ∽△ACB ，这个条件可以是 ．14. 九年级（3）班共有50名同学，如图是该班一次体育模拟测试成绩的频数分布直方图（满分为30分，成绩均为整数）．若将不低于23分的成绩评为合格，则该班此次成绩达到合格的同学占全班人数的百分比是 ．15．定义运算“*”，规定x *y =a （x +y ）+xy ，其中a 为常数，且1*2=5，则2*3= ． 16．在平面直角坐标系中，小明玩走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位，…，依此类推，第n 步的走法是：当n 能被3整除时，则向上走1个单位；当n 被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n 被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第8步时，棋子所处位置的坐标是 ；当走完第2019步时，棋子所处位置的坐标是 ．三、解答题（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算：0112sin 60(3π)()4-︒-+.18．已知023a b =≠，求代数式22422a b a b a ab-++的值．19．如图，已知∠ABC =90°，分别以AB 和BC 为边向外作等边△ABD 和等边△BCE ，连接AE ，CD . 求证：AE =CD ．20．列方程或方程组解应用题：为迎接“五一劳动节”，某超市开展促销活动，决定对A ，B 两种商品进行打折出售．打折前，买6件A 商品和3件B 商品需要108元，买3件A 商品和4件B 商品需要94元.问：打折后，若买5件A 商品和4件B 商品仅需86元，比打折前节省了多少元钱？21. 如图，在边长为4的正方形ABCD 中，请画出以A 为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD 的边上，且含边长为3的等腰三角形．（要求：画出三个．．大小不同，符合题意的等腰三角形，只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3）DCBADCBADCBA22．如图，矩形ABCD 中，M 为BC 上一点，F 是AM 的中点，EF ⊥AM ，垂足为F ，交AD于点E ．（1）求证：∠BAM =∠AEF ；（2）若AB =4，AD =6，4cos 5BAM ∠=，求DE 的长.23.如图，四边形ABCD 是平行四边形，点(10)(31)(33)A B C ，，，，，．反比例函数(0)my x x=>的图象经过点D . （1）求反比例函数的解析式；（2）经过点C 的一次函数(0)y kx b k =+≠的图象与反比例函数的图象交于P 点，当k ＞0时，确定点P 横坐标的取值范围（不必写出过程）. 24.阅读下列材料：2019年是北京市正式执行新《环境空气质量标准》的第一年.这一年，北京建立起35个覆盖全市的监测站点，正式对PM2.5、二氧化硫、二氧化氮等六项污染物开展监测.2019年全年,本市空气质量一级优的天数有41天；二级良天数135天.本市主要大气污染物PM2.5年均浓度为89.5微克/立方米，单就PM2.5的浓度而言，全年共有204天达到一级优或二级良水平.2019年全年， PM2.5年均浓度为85.9微克/立方米.，PM2.5优良天数总计204天，其中PM2.5一级优天数达到93天，比2019年的71天增加了22天.2019年全年，本市空气质量达标天数为186天，即空气质量优良的好天儿占了一半，比2019年增加了14天. 本市主要大气污染物PM2.5年均浓度为80.6微克/立方米，单就PM2.5的浓度而言，2019年PM2.5优良天数累计达到223天，其中一级优天数首次突破100达到105天，二级良天数累计为118天. 根据以上材料解答下列问题：（1）北京市2019年空气质量达到优良的天数为 天；单就PM2.5的浓度而言，北京市2019年全年达到二级良的天数为 天；（2）选择统计表或统计图，将2019—2019年北京市PM2.5的年均浓度和PM2.5的优良天数表示出来.25. 如图，在△ABC 中，BA =BC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC ，BC 于点D ，E ，BC 的延长线与⊙O 的切线AF 交于点F ． （1）求证：∠ABC =2∠CAF ；（2）若AC =sin 10CAF ∠=，求BE 的长．26. 阅读下列材料：在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°， AB =1，∠A =α，求sin2α（用含sin α，cos α的式子表示）．聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取AB 的中点O ，连接OC ，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则∠COB = 2α，然后利用锐角三角函数在Rt △ABC 中表示出AC ，BC ，在Rt △ACD 中表示出CD ，则可以求出sin 2α=CD OC=21sin AC ⋅α=21cos sin αα⋅=ααcos sin 2⋅．图1 图2阅读以上内容，回答下列问题：在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =1. (1)如图3，若BC =13，则 sin α= ， sin2α= ；图3(2)请你参考阅读材料中的推导思路，求出tan2α的表达式（用含sin α，cos α的式子表示）．27.二次函数21:C y x bx c =++的图象过点A （-1,2），B （4,7）.（1）求二次函数1C 的解析式；（2）若二次函数2C 与1C 的图象关于x 轴对称，试判断二次函数2C 的顶点是否在直线AB上；（3）若将1C 的图象位于A ，B 两点间的部分（含A ，B 两点）记为G ，则当二次函数221y x x m =-+++与G 有且只有一个交点时，直接写出m 满足的条件.28. 【问题】在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，点E 在直线BC 上（B ,C 除外），分别经过点E 和点B 做AE 和AB 的垂线，两条垂线交于点F ，研究AE 和EF 的数量关系. 【探究发现】某数学兴趣小组在探究AE ，EF 的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，他们发现当点E 是BC 的中点时，只需要取AC 边的中点G （如图1），通过推理证明就可以得到AE 和EF 的数量关系，请你按照这种思路直接写出AE 和EF 的数量关系；图1【数学思考】那么当点E 是直线BC 上（B ，C 除外）（其它条件不变），上面得到的结论是否仍然成立呢？请你从“点E 在线段BC 上”；“点E 在线段BC 的延长线”；“点E 在线段BC 的反向延长线上”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明你的结论；图2【拓展应用】当点E 在线段CB 的延长线上时，若BE =nBC （01n ＜＜），请直接写出ABC S △：AEF S △的值．备用图29. 定义：y 是一个关于x 的函数，若对于每个实数x ，函数y 的值为三数2+x ，12+x ，205+-x 中的最小值，则函数y 叫做这三数的最小值函数.（1）画出这个最小值函数的图象，并判断点A （1， 3）是否为这个最小值函数图象上的点；（2）设这个最小值函数图象的最高点为B ，点A （1, 3），动点M （m ，m ）.①直接写出△ABM 的面积，其面积是 ；②若以M 为圆心的圆经过B A ,两点，写出点M 的坐标；③以②中的点M 为圆心，以2为半径作圆. 在此圆上找一点P ，使PA 的值最小，直接写出此最小值.北京市东城区2018-2019学年第二学期统一练习（二） 初三数学参考答案及评分标准 2019.6二、填空题（本题共18分，每小题3分）三、解答题（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 17．计算：0112sin 60(3π)()4-︒-+.解：原式14+ …………4分 =3-. …………5分18. 解： 22422a b a b a ab -++=224(2)(2)a b a a b a a b -++=2a ba - …………3分 023a b=≠，∴设2,3.a k b k == …………4分∴ 原式=-2 . …………5分 19. 证明：△ABD 和△BCE 为等边三角形，∴∠ABD =∠CBE =60°，BA=BD ，BC=BE. …………2分∴∠ABD+∠ABC =∠CBE+∠ABC ，即∠CBD =∠ABE. …………3分∴△CBD ≌△EBA.（SAS ） …………4分∴AE=CD. …………5分20.解：设打折前一件商品A 的价格为x 元，一件商品B 的价格为y 元. …………1分依据题意，得631083494x y x y +=⎧⎨+=⎩. …………3分 解得：1016x y =⎧⎨=⎩. …………4分 所以5×10+4×16-86=28（元） 答：比打折前节省了28元. …………5分 21. 满足条件的所有图形如图所示：…………5分注意：画出一个给2分，二个给4分，三个给5分. 22.解：（1）∵矩形ABCD ，∴∠B =∠BAC =90°.∵EF ⊥AM ，∴∠AFE =∠B =∠BAD =90°.∴∠BAM +∠EAF =∠AEF+∠EAF =90°. ∴∠BAM =∠AEF . …………2分 （2）在Rt △ABM 中，∠B =90°，AB =4，cos ∠BAM =45， ∴AM =5.∵F 为AM 中点， ∴AF =52. ∵∠BAM =∠AEF ， ∴cos ∠BAM = cos ∠AEF =45. ∴sin ∠AEF =35.在Rt △AEF 中， ∠AFE =90°，AF =52，sin ∠AEF =35， ∴AE =256. ∴DE=AC-AE =6-256=116. …………5分 23.解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，点(10)(31)(33)A B C ，，，，，，∴BC =2.∴D （1,2）. ∵反比例函数my x=的图象经过点D ， ∴21m =. ∴2m =.∴2y x=. …………3分（2）233p x <<. …………5分 24.解：（1）172；133. …………2分25.（1）证明：连结BD .∵AB 是O 的直径， ∴90ADB ∠=︒.∴90DAB DBA ∠+∠=︒. ∵AB AC =，∴2ABD ABC ∠=∠，12AD AC =. ∵AF 为⊙O 的切线， ∴∠F AB =90°.∴90FAC CAB ∠+∠=︒. ∴FAC ABD ∠=∠.∴2.ABC CAF ∠=∠ …………2分⑵ 解：连接AE.∴∠AEB =∠AEC =90°.∵sin CAF ABD CAF CBD CAE ∠=∠=∠=∠=∠，∴sin sin ABD CAF ∠=∠．∵90ABD AC ∠=︒=，∴AD 10sin AD AB ABD==∠=BC .∵90AEC AC ∠=︒=，∴sin 2CE AC CAE =⋅∠=.∴1028BE BC CE =-=-=. …………5分26.解：（1）sin α=13， sin2α=9. …………2分 （2）∵AC = cos α，BC =sin α，∴CD =AC BC AB⨯=sin cos αα⋅. ∵∠DCB =∠A ，∴在Rt △BCD 中，BD =sin 2α.∴OD =12- sin 2α. ∴tan2α=CD OD =22sin cos 2sin cos 112sin sin 2αααααα⋅⋅=--. …………5分 27.解：（1）∵21:C y x bx c =++的图象过点A （-1,2），B （4,7），∴217164.b c b c =-+⎧⎨=++⎩， ∴21.b c =-⎧⎨=-⎩， ∴221y x x =--. …………2分（2）∵二次函数2C 与1C 的图象关于x 轴对称，∴22:21C y x x =-++. ∴2C 的顶点为（1,2）.∵A （-1,2），B （4,7）,∴过A 、B 两点的直线的解析式：3y x =+.令x =1，则y =4.∴2C 的顶点不在直线AB 上. …………4分（3）414m <≤或4m =-. …………7分28.解：【探究发现】：相等. …………1分【数学思考】证明：在AC 上截取CG=CE ，连接GE.∵∠ACB =90°,∴∠CGE =∠CEG =45°.∵AE ⊥EF ，AB ⊥BF ，∴∠AEF =∠ABF =∠ACB =90°,∴∠FEB +∠AEF =∠AEB =∠EAC +∠ACB.∴∠FEB =∠EAC.∵CA=CB ，∴AG=BE ，∠CBA =∠CAB =45°.∴∠AGE =∠EBF =135°.∴△AGE ≌△EBF .∴AE=EF .…………5分 【拓展应用】ABC S △：AEF S △=1：（222n n ++）…………7分 29.解：（1）图象略；是.…………2分 （2）①2.…………4分 ②M （3,3）.…………6分…………8分。
2019届北京市东城区九年级5月综合练习(一模)数学试卷【含答案及解析】
2019届北京市东城区九年级5月综合练习（一模）数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、单选题1. 数据显示：2016年我国就业增长超出预期. 全年城镇新增就业1 314万人，高校毕业生就业创业人数再创新高. 将数据1 314用科学记数法表示应为（）A. B. C. D.2. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A. B. C. D.3. 在一个布口袋里装有白、红、黑三种颜色的小球，它们除颜色外没有任何区别，其中白球2只，红球6只，黑球4只，将袋中的球搅匀，闭上眼睛随机从袋中取出1只球，则取出黑球的概率是（）A. B. C. D.4. 某健步走运动的爱好者用手机软件记录了某个月（30天）每天健步走的步数（单位：万步），将记录结果绘制成了如图所示的统计图．在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是（）A. 1.2，1.3B. 1.3，1.3C. 1.4，1.35D. 1.4，1.35. 如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于M，N两点，将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若∠EMB=75°，则∠PNM等于（）A. 15°B. 25°C. 30°D. 45°6. 下列哪个几何体，它的主视图、左视图、俯视图都相同（）A. B. C. D.7. 我国传统建筑中，窗框（如图1）的图案玲珑剔透、千变万化. 如图2，窗框的一部分所展示的图形是一个轴对称图形，其对称轴有（）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条8. 如图，A，B的坐标为（2，0），（0，1），若将线段AB平移至A1B1，则a+b的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 59. 某经销商销售一批电话手表，第一个月以550元/块的价格售出60块，第二个月起降价，以500元/块的价格将这批电话手表全部售出，销售总额超过了5.5万元．这批电话手表至少有（）A. 103块B. 104块C. 105块D. 106块10. 图1是某娱乐节目中一个游戏环节的录制现场，场地由等边△ADE和正方形ABCD组成，正方形ABCD两条对角线交于点O，在AD的中点P处放置了一台主摄像机.游戏参与者行进的时间为x，与主摄像机的距离为y，若游戏参与者匀速行进，且表示y与x的函数关系式大致如图2所示，则游戏参与者的行进路线可能是（）A. A→O→DB. E→A→CC. A→E→DD. E→A→B二、填空题11. 分解因式：=______________12. 请你写出一个二次函数，其图象满足条件：开口向上；与y轴的交点坐标为（0，1）. 此二次函数的解析式可以是___________13. 若关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是____________________．14. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 .15. 北京市2012-2016年常住人口增量统计如图所示.根据统计图中提供的信息，预估2017年北京市常住人口增量约为________万人次，你的预估理由是 .16. 下面是“以已知线段为直径作圆”的尺规作图过程.请回答：该作图的依据是________________________。
(完整)2019年北京市初三一模数学-几何综合专题(教师版)
2019一模几何综合专题一、旋转变换1.（等边三角形+对称＋旋转）(2019通州一模27)如图，在等边ABC △中，点D 是线段BC 上一点.作射线AD ，点B 关于射线AD 的对称点为E .连接CE 并延长，交射线AD（1）设BAF α∠=，用α表示BCF ∠的度数；（2）用等式表示线段AF 、CF、EF 之间的数量关系，并证明. 解：（1）连接AE . ∵点B 关于射线AD 的对称点为E ，∴AE =AB ，BAF EAF α∠=∠=∵ABC △是等边三角形， ∴AB AC =，60BAC ACB ∠=∠=︒. ∴602EAC α∠=︒-，AE AC =. 1分∴()1180602602ACE αα∠=︒-︒-=︒+⎡⎤⎣⎦. ∴6060BCF ACE ACB αα∠=∠-∠=︒+-︒=. ……………… 2分另解：借助圆. （2）AF EF CF -=证明：如图，作60FCG ∠=︒交AD 于点G ，连接BF . ……………… 3分 ∵BAF BCF α∠=∠=，ADB CDF ∠=∠， ∴60ABC AFC ∠=∠=︒. ∴△FCG 是等边三角形.∴GF = FC . ……………… 4分 ∵ABC △是等边三角形，∴BC AC =，60ACB ∠=︒. ∴ACG BCF α∠=∠=.在△ACG 和△BCF 中，CA CB ACG BCF CG CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴△ACG ≌△BCF .∴AG BF =. ……………… 5分 ∵点B 关于射线AD 的对称点为E ， ∴BF EF =. ……………… 6分 ∴AF AG GF -=.∴AF EF CF -=. ……………… 7分另一种证法：作60FAH ∠=︒交FC 的延长线于点H ，连接BF .2.（等边三角形＋旋转）(2019平谷一模27)在△ABC中，∠ABC=120°，线段AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AD，连接CD，BD交AC于P．（1）若∠BAC=α，直接写出∠BCD的度数（用含α的代数式表示）；（2）求AB，BC，BD之间的数量关系；（3）当α=30°时，直接写出AC，BD的关系．解：（1）∠BCD=120°－α． ······························································（2）解：方法一：延长BA使AE=BC，连接DE． (2)由（1）知△ADC是等边三角形，∴AD=CD．∵∠DAB+∠DCB=∠DAB+∠DAE=180°，∴∠DAB=∠DAE．∴△ADE≌△CDB． (3)∴BD=BE．∴BD=AB+BC． (4)方法二：延长AB使AF=BC，连接CF． (2)∠BDC=∠ADE．∵∠ABC=120°，∴∠CBF=60°．∴△BCF是等边三角形．∴BC=CF．∵∠DCA=∠BCF=60°，∴∠DCA+∠ACB=∠BCF+∠ACB．即∠DCB=∠ACF．∵CA=CD，∴△ACF≌△DCB． (3)∴BD=AF．∴BD=AB+BC． (4)（3）AC，BD的数量关系是：AC ； (5)位置关系是：AC⊥BD于点P． (6)H O DBA3.（等边三角形＋旋转）(2019延庆一模27).已知：四边形ABCD 中，120ABC ∠=︒，60ADC ∠=︒，AD =CD ，对角线AC ，BD相交于点O ，且BD 平分∠ABC ，过点A 作AH BD ⊥，垂足为H ． （1）求证：ADB ACB ∠=∠；（2）判断线段BH ，DH ，BC 之间的数量关系；并证明．解：（1）证明：∵∠ADC =60°，DA=DC∴△ADC 是等边三角形． ……1分 ∴∠DAC =60°,AD=AC ． ∵∠ABC=120°,BD 平分∠ABC ∴∠ABD=∠DBC =60°．∴∠DAC =∠DBC =60° ∵∠AOD =∠BOC∠ADB=180°- ∠DAC -∠AOD∠ACB=180°- ∠DBC -∠BOC∴∠ADB=∠ACB ……3分（2）结论：DH=BH+BC ……4分 证明：在HD 上截取HE=HB ……5分∵AH ⊥BD∴∠AHB=∠AHE =90° ∵AH =AH∴△ABH ≌△AEH ∴AB=AE, ∠AEH=∠ABH =60° ……6分 ∴∠AED=180°-∠AEH=120° ∴∠ABC=∠AED=120° ∵AD=AC, ∠ADB=∠ACB ∴△ABC ≌△AED∴DE=BC ……7分 ∵DH=HE+ED∴DH=BH+BC ……8分4.（等边三角形+旋转）(2019密云一模27)已知ABC ∆为等边三角形，点D 是线段AB 上一点（不与A 、B 重合）.将线段CD 绕点C 逆时针旋转60︒得到线段CE.连结DE 、BE. （1）依题意补全图1并判断AD 与BE 的数量关系.（2）过点A 作AF EB ⊥交EB 延长线于点F.用等式表示线段EB 、DB 与AF 之间的数量关系并证明.27.（1）补全图形AD 与BE 的数量关系为AD=BE .................................2分（2）∵∠ACB=∠DCE= 60°, ∴∠ACD=∠BCE 又∵AC=BC,CD=CE ∴△ACD ≌△BCE∴AD=BE, ∠CBE=∠CAD=60°∴∠ABF=180°-∠ABC-∠CBE=60° 在Rt AFB ∆中，3AF AB = ∴BE+BD=3AB.................................7分图2D CBA图1A B CD DEBA5.（正方形+旋转+最值）(2019东城一模27)如图，在正方形ABCD 中，E 是边BC 上一动点（不与点B ，C 重合），连接DE ，点C 关于直线DE 的对称点为C ʹ，连接ACʹ并延长交直线DE 于点P ，F 是AC ′中点，连接DF ．（1）求∠FDP 的度数；（2）连接BP ，请用等式表示AP ，BP ，DP 三条线段之间的数量关系，并证明． （3）连接ACACC ′的面积最大值．解：（1）由对称可知 CD ＝C ′D ，∠CDE ＝∠C ′DE ． 在正方形ABCD 中，AD ＝CD ，∠ADC ＝90°， ∴AD ＝C ′D ．又∵F 为AC ′中点，∴DF ⊥AC ′，∠ADF ＝∠C ′DF ．……………………………………………………1分∴∠FDP ＝∠FDC ′＋∠EDC ′=12∠ADC ＝45°．…………………2分（2）结论：BP ＋DPAP ．……………………………………………………3分 如图，作AP ′⊥AP 交PD 延长线于P ′， ∴∠P AP ′＝90°．在正方形ABCD 中，DA ＝BA ，∠BAD ＝90°， ∴∠DAP ′＝∠BAP ．由（1）可知∠APD ＝45°， ∴∠P ′＝45°．∴AP ＝AP ′……………………………………………………4分在△BAP 和△DAP ′中，BA DA BAP DAP AP AP =⎧⎪'∠=∠⎨⎪'=⎩，∴△BAP ≌△DAP ′（SAS ）……………………………………………………5分 ∴BP ＝DP ′．P BAP BA∴DP＋BP＝PP′＝．（3－1……………………………………………………7分P'B A6.（等腰直角三角形+旋转）(2019房山一模27).已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC.(1) 如图1，点D是BC边上一点(不与点B，C重合)，连接AD，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，连接CE.若∠BAD=α，求∠DBE的大小(用含α的式子表示) ；(2) 如图2，点D在线段BC的延长线上时，连接AD，过点B作BE⊥AD，垂足E在线段AD上，连接CE.①依题意补全图2；②用等式表示线段EA，EB和EC之间的数量关系，并证明.图1 图2解：（1）解: 依题意，∠CAB=45°，∵∠BAD=α，∴∠CAD=45α︒-.∵∠ACB=90°，BE⊥AD，∠ADC=∠BDE，∴∠DBE=∠CAD=45α︒-. …………………………………2分（2）解：①补全图形如图…………………………………4分②猜想：当D在BC边的延长线上时，EB - EAEC.…………………………………5分证明：过点C作CF⊥CE，交AD的延长线于点F.∵∠ACB=90°，∴∠ACF=∠BCE.∵CA=CB，∠CAF =∠CBE，∴△ACF≌△BCE.…………………………………6分∴AF=BE，CF=CE.∵∠ECF=90°，∴EFEC.即AF-EAEC.AB A∴7分7.（等腰直角三角形+旋转）(2019门头沟一模27). 如图，∠AOB = 90°，OC 为∠AOB 的平分线，点P 为OC 上一个动点，过点P 作射线PE 交OA 于点E ．以点P 为旋转中心，将射线PE 沿逆时针方向旋转90°，交OB 于点F ．（1）根据题意补全图1，并证明PE = PF ；（2）如图1，如果点E 在OA 边上，用等式表示线段OE ，OP 和OF 之间的数量关系，并证明； （3）如图2，如果点E 在OA 边的反向延长线上，直接写出线段OE ，OP 和OF 之间的数量关系．图1 图227．（本小题满分7分）解：（1）补全图形（如图1）； ……………………………… 1分证明：略. ……………………………………… 3分（2）线段OE ，OP 和OF 之间的数量关系是OF +OE =2OP . ……………………………… 4分证明：如图2，作PQ ⊥PO 交OB 于Q .∴ ∠2+∠3 = 90°，∠1+∠2 = 90°. ∴ ∠1=∠3.又∵ OC 平分∠AOB ，∠AOB =90°， ∴∠4 =∠5 = 45°. 又∵ ∠5 +∠6 = 90°， ∴∠6 = 45°，∴∠4 = ∠6 . ∴ PO = PQ .∴ △EPO ≌ △FPQ . ……………………… 5分 ∴ PE =PF ，OE = FQ .又∵OQ = OF +FQ = OF + OE .又∵ OQ =2OP ，∴OF + OE =2OP . ……………………… 6分（3）线段OE ，OP 和OF 之间的数量关系是OF - OE =2OP . ………………………… 7分PPEECCBBOOAA图2图18.（等腰直角三角形+旋转）(2019燕山一模27)如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，∠B ＝90°，点D 为线段BC 上一个动点(不与点B ，C 重合)，连接AD ，将线段AD 绕点D 顺时针旋转90°得到线段DE ，连接EC ．(1) ① 依题意补全图1；② 求证：∠EDC ＝∠BAD ； (2) ① 小方通过观察、实验，提出猜想：在点D 运动的过程中，线段CE 与BD 的数量关系始终不变，用等式表示为： ； ② 小方把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法： 想法1：过点E 作EF ⊥BC ，交BC 延长线于点F ，只需证△ADB ≌△DEF ． 想法2：在线段AB 上取一点F ，使得BF ＝BD ，连接DF ，只需证△ADF ≌△DEC ． 想法3：延长AB 到F ，使得BF ＝BD ，连接DF ，CF ，只需证四边形DFCE 为平行四边形． ……请你参考上面的想法，帮助小方证明①中的猜想．(一种方法即可)27．(1)①补全的图形如图的所示；………………………………1分②证明：∵∠ADE ＝∠B ＝90°，∴∠EDC ＋∠ADB ＝∠BAD ＋∠ADB ＝90°，∴∠EDC ＝∠BAD ． ………………………………3分(2) ①CE ＝2BD ． ………………………………4分②想法1：证明：如图，过点E 作EF ⊥BC ，交BC 延长线于点F ，∴∠F ＝90°．在△ADB 和△DEF 中，∠B ＝∠F ＝90°，∠EDC ＝∠BAD ，AD ＝DE ， ∴△ADB ≌△DEF ， ∴AB ＝DF ，BD ＝EF ．图1 D C B A 备用图 A B CD AB ECD EA∵AB＝BC，∴DF＝BC，即DC＋CF＝BD＋DC，∴CF＝BD＝EF，∴△CEF是等腰直角三角形，∴CECFBD．………………………………7分想法2：证明：在线段AB上取一点F，使得BF＝BD，连接DF，∵∠B＝90°，AB＝BC，∴DFBD，∵AB＝BC，BF＝BD，∴AB－BF＝BC－BD，即AF＝DC．在△ADF和△DEC中，AF＝DC，∠BAD＝∠EDC，AD＝DE，∴△ADF≌△DEC，∴CE＝DFBD．………………………………7分∴AD＝CF，∠BAD＝∠BCF．∵AD＝DE，∴DE＝CF．∵∠EDC＝∠BAD，∴∠EDC＝∠BCF，∴DE∥CF，∴四边形DFCE为平行四边形，9.（等腰直角三角形+旋转）(2019丰台一模27)在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ， D 为AB 的中点，点E 为AC 延长线上一点，连接DE ，过点D 作DF ⊥DE 交CB 的延长线于点F ． （1）求证：BF= CE ；（2）若CE =AC ，用等式表示线段DF 与AB 的数量关系，并证明．解：（1）连接CD.在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，D 为AB 中点，∴CD ⊥BD , CD=BD=DA. ...............1分∵DF ⊥DE ， ∴∠BDF =∠CDE . ∵∠F =∠E ，∴△DBF ≌△DCE .∴BF=CE. ..................3分 （2）52DF AB =. ..................4分 理由如下：由（1）知△DBF ≌△DCE ，∴DF=DE. ..................5分 连接BE.∵CE=CA ， ∴BA=BE.∴∠A=∠BEA=45°. ∴∠ABE=90°. 设AD=BD=a ， ∴AB=BE=2a. ∴5DF DE a ==.∴52DF AB =. .........................7分FA EC DB10.（等腰直角三角形+旋转＋解直角三角形）(2019朝阳一模27)如图，在Rt △ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，将线段BC 绕点B 逆时针旋转α°（0<α<180），得到线段BD ，且AD ∥BC ． （1）依题意补全图形；（2）求满足条件的α的值； （3）若AB =2，求AD 的长． 解：（1）满足条件的点D 有两个，补全图形如图1所示．………………………………………2分 （2）如图2，过点B 作BE ⊥D 1D 2于点E ．由题意可知，BD 1=BD 2 =BC ，AE ∥BC ． ∴∠AEB =90°．∵在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ， ∴∠EAB =∠ABC =45°．∴在Rt △ABE 中，22BE AB =，在Rt △ABC 中，22AB BC =． ∴11122BE BC BD ==．……………………………………………………………………4分∴∠D 1=∠D 2=30°． ∵D 1D 2∥BC ，∴30α=或150．……………………………………………………………………………5分（3）∵AB =2，∴2BE AE ==．∴D 1E = D 2E =6．∴AD 的长为62-或62+．………………………………………………………7分图1图2CFE CAB11.（等边三角形+旋转）(2019怀柔一模27)如图，等边△ABC 中，P 是AB 上一点，过点P 作PD ⊥AC 于点D ，作PE ⊥BC 于点E ，M 是AB 的中点，连接ME ，MD ． （1）依题意补全图形；（2）用等式表示线段BE ，AD 与AB 的数量关系，并加以证明； （3）求证：MD=ME ．（1）补全图形如图：（2）线段BE ，AD 与AB 的数量关系是：AD+ BE=12AB ． ∵△ABC 是等边三角形，∴∠A=∠B=60°． ∵PD ⊥AC ，PE ⊥BC ，∴∠APD=∠BPE=30°， ∴AD=AP ，AD=AP ． ∴AD+ BE=（AP+ BP ）=AB ．………………………………3分（3）取BC 中点F ，连接MF ．∴MF=AC ．MF ∥AC ． ∴∠MFB=∠ACB=60°．∴∠A=∠MFE=60°． ∵AM=AB ，AB=AC ，∴MF=MA ． ∵EF+ BE=BC ， ∴AD + BE=AB ．∴EF=AD. ∴△MAD ≌△MFE （SAS ）．∴MD=ME ．…………………………………7分212121212121212121二、轴对称变换12.（正方形+对称）(2019西城一模27)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AD，E是边BC上的一动点，连接DE交AC于点F，连接BF．（1）求证：FB=FD；（2）点H在边BC上，且BH=CE，连接AH交BF于点N．①判断AH与BF的位置关系，并证明你的结论；②连接CN．若AB=2，请直接写出线段CN长度的最小值．解：（1）证明：∵∠ABC=90°，BA=BC，∴∠BAC=∠ACB=45°．∵AB绕点A逆时针旋转90°得到AD，∴∠BAD=90°，AB=AD．∴∠DAF=∠BAD－∠BAC=45°．∴∠BAF=∠DAF．…………………………………………………………1分∵AF=AF，∴△BAF≌△DAF．∴FB=FD．…………………………………………………………………2分（2）①AH与BF的位置关系：AH⊥BF．……………………………………………3分证明：连接DC，如图．∵∠ABC+∠BAD=180°，∴AD∥BC．∵AB=BC=AD，∴四边形ABCD是平行四边形．∵∠ABC=90°，∴四边形ABCD是矩形．∴AB=DC，∠ADC=∠DCB=90°．∴∠ABH=∠DCE．∵BH=CE，∴△ABH≌△DCE．∴∠BAH=∠CDE．∵△BAF≌△DAF，∴∠ABF=∠ADF．∴∠BAH＋∠ABF=∠CDE＋∠ADF=∠ADC=90°．∴∠ANB=180°－(∠BAH＋∠ABF)=90°．∴AH⊥BF．……………………………………………………………5分1．…………………………………………………………………………7分13．（等腰三角形+对称）(2019顺义一模27)已知：如图，在△ABC中，AB>AC，∠B=45°，点D是BC边上一点，且AD=AC，过点C作CF⊥AD于点E，与AB交于点F．（1）若∠CAD=α，求∠BCF的大小（用含α的式子表示）；（2）求证：AC=FC；（3）用等式直接表示线段BF与DC的数量关系．解：（1）过点A作AG⊥BC于点G，…………………1分∴∠2+∠4=90°，∵AD=AC，∴∠1=∠2=12∠CAD=12α，…………………………2分∵CF⊥AD于点E，∴∠3+∠4=90°，∴∠3=∠2=12∠CAD=12α，…………………………3分即∠BCF=12α．（2）证明：∵∠B=45°，∴∠BAG=45°，………………………………………4分∵∠BAC=45°+∠1，∠AFC=45°+∠3，∴∠BAC=∠AFC，∴AC=FC．………………………………………………5分（3）DC．…………………………………7分AB CDFE4231GEFD CBA三、平移变换14.（等边三角形+平移）(2019石景山一模27). 如图，在等边△ABC 中，D 为边AC 的延长线上一点()CD AC <，平移线段BC ，使点C 移动到点D ，得到线段ED ，M 为ED 的中点，过点M 作ED 的垂线，交BC 于点F ，交AC 于点G ． （1）依题意补全图形； （2）求证：AG = CD ；（3）连接DF 并延长交AB 于点H ，用等式表示线段AH 与CG 的数量关系，并证明．27．（1）补全的图形如图1所示． …………… 1分 （2）证明：Q △ABC 是等边三角形， ∴AB BC CA ==．60ABC BCA CAB ∠=∠=∠=︒．由平移可知ED ∥BC ，ED =BC ．………… 2分 60ADE ACB ∴∠=∠=︒． 90GMD ∠=︒Q ，2DG DM DE ∴==． …………… 3分 DE BC AC ==Q ， DG AC ∴=．AG CD ∴=． …………… 4分（3）线段AH 与CG 的数量关系：AH = CG ．…………… 5分证明：如图2，连接BE ，EF ．,ED BC =Q ED ∥BC ，BEDC ∴四边形是平行四边形．BE CD CBE ADE ABC ∴=∠=∠=∠，． GM ED Q 垂直平分，EF DF ∴=．DEF EDF ∴∠=∠．Q ED ∥BC ，BFE DEF BFH EDF ∴∠=∠∠=∠，． BFE BFH ∴∠=∠． BF BF =Q ，BEF BHF ∴△≌△． …………… 6分 BE BH CD AG ∴===． AB AC =Q ，AH CG ∴=．…………… 7分B图1图2四、其它15.（等腰直角三角形+全等）(2019海淀一模27)如图，在等腰直角△ABC 中，90ABC ?°，D 是线段AC 上一点（2CA CD > ），连接BD ，过点C 作BD 的垂线，交BD 的延长线于点E ，交BA 的延长线于点F ．（1）依题意补全图形；（2）若ACE α?，求ABD Ð的大小（用含α的式子表示）； （3）若点G 在线段CF 上，CG BD =，连接DG ．①判断DG 与BC 的位置关系并证明；②用等式表示DG ，CG ，AB 之间的数量关系为 ．（1）补全图形，如图．（2） 解：∵ AB =BC ，∠ABC =90°，∴ ∠BAC =∠BCA =45°．∵ ∠ACE =α， ∴ 45ECB α??．∵ CF ⊥BD 交BD 的延长线于点E ， ∴ ∠BEF =90°． ∴ ∠F +∠ABD =90°． ∵ ∠F +∠ECB =90°， ∴45ABD ECB α???．（3）① DG 与BC 的位置关系：DG ⊥BC ．证明：连接BG 交AC 于点M ，延长GD 交BC 于点H ，如图．∵ AB =BC ，∠ABD =∠ECB ，BD =CG ， ∴ △ABD ≌△BCG ． ∴ ∠CBG =∠BAD =45°． ∴ ∠ABG =∠CBG =∠BAC =45°． ∴ AM =BM ，∠AMB =90°． ∵ AD =BG ， ∴ DM =GM ．∴ ∠MGD =∠GDM =45°． ∴ ∠BHG =90° ∴ DG ⊥BC ．H。
11-2019年东城区初三数学一模答案
东城区2019-2019学年度第一次模拟检测初三数学试题参考答案及评分标准 2019.5二、填空题（本题共16分，每小题 2分）9. 1x≥ 10. ()()22n m m +- 11. 8 12. 2x 13. ②③14. 2y x =+ 15. 答案不唯一 ，理由须 支撑推断结论 16. 正方形的对角线相等且互相平分，圆的定义三、解答题（本题共68分，17-24题，每题5分，第25题6分，26-27题，每小题7分，第28题8分）=217.解：原式分分18. 解：4+6,23x x x x ⎧⎪⎨+⎪⎩①②＞≥，由①得，-x ＞2，------------------1分由②得，1x ≤， ------------------2分 ∴不等式组的解集为-1x 2＜≤.所有整数解为-1, 0, 1. ---------------------5分19.证明： ∵∠BAC =90°，∴∠FBA +∠AFB =90°. -------------------1分 ∵AD ⊥BC ，∴∠DBE +∠DEB =90°．---------------- 2分 ∵BE 平分∠ABC ,∴∠DBE =∠FBA . -------------------3分∴∠AFB =∠DEB . -------------------4分 ∵∠DEB =∠FEA ， ∴∠AFB =∠FEA .∴AE =AF . -------------------5分20. （1）证明：()()2=+3-42m m ∆+()2=+1m ∵()2+10m ≥，∴无论实数m 取何值，方程总有两个实根. -------------------2分 （2）解：由求根公式，得()()1,231=2m m x +±+，∴1=1x ，2=+2x m . ∵方程有一个根的平方等于4， ∴()2+24m =.解得=-4m ，或=0m . -------------------5分 21.(1) 证明：∵平行四边形ABCD ， ∴=AB DC ，AB DC ∥.∵AB =AE ，∴=AE DC ，AE DC ∥.∴四边形ACDE 为平行四边形. -------------------2分 (2) ∵=AB AC ， ∴=AE AC .∴平行四边形ACDE 为菱形. ∴AD ⊥CE . ∵AD BC ∥， ∴BC ⊥CE.在Rt △EBC 中，BE =6, 1cos 3BC B BE ==, ∴=2BC .根据勾股定理，求得BC 分22.解：（1）∵点()3,A n 在函数()30y x x=＞的图象上， ∴=1n ，点()3,1A .∵直线()20y ax a =-≠过点()3,1A ， ∴ 321a -= .解得 1a =. ----------------------2分 (2)易求得()0,2B -.如图，12AOB A S OB x =⋅△，1=2ABC A S BC x ⋅△∵=2ABC AOB S S △△，∴=24BC OB =.∴()10,2C ,或()20,6C -. ----------------------5分 23. （1）证明：连接OC . ∵CD CB =∴∠1=∠3. ∵OA OC =， ∴∠1=∠2. ∴∠3=∠2. ∴AE OC ∥. ∵AE EF ⊥， ∴OC EF ⊥.∵ OC 是O 的半径，∴EF 是O 的切线. ----------------------2分 （2）∵AB 为O 的直径， ∴∠ACB =90°.根据勾股定理，由AB =5,BC =3,可求得AC =4. ∵AE EF ⊥ ， ∴∠AEC =90°. ∴△AEC ∽△ACB . ∴AE ACAC AB =. ∴445AE =. ∴165AE =. ----------------------5分 24. 解：(I)：56.8%；----------------------1分(II)折线图； ----------------------3分(III)答案不唯一，预估的理由须支撑预估的数据，参考数据61%左右.--------5分25.解：（1）4.5 . --------------------2分 （2）--------------------4分(3) 4.2，点P 是AD 与CE 的交点. --------------------6分26.解：(1) ∵点()0,0O 在抛物线上，∴320a -=，23a =.--------------------2分(2)①对称轴为直线2x =；②顶点的纵坐标为 2a --.--------------------4分 (3) （i ）当0a ＞时，依题意，-20320.a a -⎧⎨-⎩＜，≥解得2.3a ≥（ii ）当0a ＜时， 依题意，-20320.a a -⎧⎨-⎩＞，≤解得a ＜-2.综上，2a -＜，或23a ≥. --------------------7分27. （1）①75B ∠=︒，45ACB ∠=︒；--------------------2分②作DE ⊥AC 交AC 于点E .Rt △ADE 中，由30DAC ∠=︒，AD =2可得DE =1，AE =. Rt △CDE 中，由45ACD ∠=︒，DE=1，可得EC =1.∴AC 1.Rt △ACH 中，由30DAC ∠=︒，可得AH =； --------------4分（2）线段AH 与AB +AC 之间的数量关系：2AH =AB +AC证明： 延长AB 和CH 交于点F ，取BF 中点G ，连接GH .易证△ACH ≌△AFH .∴AC AF =,HC HF =. ∴GH BC ∥. ∵AB AD =，∴ ABD ADB ∠=∠. ∴ AGH AHG ∠=∠ . ∴ AG AH =.∴()2222AB AC AB AF AB BF AB BG AG AH +=+=+=+==. --------------7分 28. 解：（1）C ； --------------2分 （2）① 60°；② △MNE 是等边三角形，点E 的坐标为)；--------------5分③ 直线2y x =+交 y 轴于点K （0，2），交x 轴于点()T 0.∴2OK =，OT =. ∴60OKT ∠=︒.作OG ⊥KT 于点G ,连接MG . ∵()M 0，1， ∴OM =1.∴M 为OK 中点 . ∴ MG =MK =OM =1.∴∠MGO =∠MOG =30°，OG∴3.2G ⎫⎪⎪⎝⎭， ∵120MON ∠=︒, ∴ 90GON ∠=︒.又OG =1ON =， ∴30OGN ∠=︒. ∴60MGN ∠=︒.∴G 是线段MN 关于点O 的关联点.经验证，点)E在直线2y =+上. 结合图象可知， 当点F 在线段GE 上时 ，符合题意. ∵G F E x x x ≤≤，∴F x 分.。
最新北京市东城区2019年最新中考一模(5月)数学试卷(含答案)(已纠错)
北京市东城区2019年中考一模（5月）数学试卷一、选择题(本题共16分，每小题2分)下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的1．如图，若数轴上的点A ，B 分别与实数-1，1对应，用圆规在数轴上画点C ，则与点C 对应的实数是 A . 2B .3C . 4D . 52. 当函数()212y x =--的函数值y 随着x 的增大而减小时，x 的取值范围是 A ．x ＞0B ．x ＜1C ．1x ＞D ．x 为任意实数3．若实数a ，b 满足a b ＞，则与实数a ，b 对应的点在数轴上的位置可以是4．如图，O 是等边△ABC 的外接圆，其半径为3. 图中阴影部分的面积是 A ．πB ．3π2C ．2πD ．3π1题 4题5．点A （4，3）经过某种图形变化后得到点B （-3，4），这种图形变化可以是 A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称C ．绕原点逆时针旋转90°D ．绕原点顺时针旋转90°6． 甲、乙两位同学做中国结，已知甲每小时比乙少做6个，甲做30个所用的时间与乙做45个所用的时间相同，求甲每小时做中国结的个数. 如果设甲每小时做x 个，那么可列方程为 A ．30456x x =+ B ．30456x x =-C ．30456x x =-D ．30456x x=+ 7．第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举行.冬奥会的项目有滑雪（如跳台滑雪、高山滑雪、单板滑雪等）、滑冰（如短道速滑、速度滑冰、花样滑冰等）、冰球、冰壶等.如图，有5张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有跳台滑雪、速度滑冰、冰球、单板滑雪、冰壶五种不同的项目图案，背面完全相同．现将这5张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是滑雪图案的概率是12139有意义，则实数x的取值范围是__________________.10．分解因式：24m n n-= ________________.11．若多边形的内角和为其外角和的3倍，则该多边形的边数为________________.12. 化简代数式11+122xxx x⎛⎫+÷⎪--⎝⎭，正确的结果为________________.13．含30°角的直角三角板与直线l1，l2的位置关系如图所示，已知l1//l2，∠1=60°. 以下三个结论中正确的是_____________（只填序号）. ①2AC BC =; ②BCD △为正三角形; ③AD BD =14.将直线y =x 的图象沿y 轴向上平移2个单位长度后，所得直线的函数表达式为 ____________，这两条直线间的距离为____________.15. 举重比赛的总成绩是选手的挺举与抓举两项成绩之和，若其中一项三次挑战失败，则该项成绩为0. 甲、乙是同一重量级别的举重选手，他们近三年六次重要比赛的成绩如下（单位：公斤）：如果你是教练，要选派一名选手参加国际比赛，那么你会选派____________（填“甲”或“乙”），理由是______________________________________． 16．已知正方形ABCD .求作：正方形ABCD 的外接圆. 作法：如图，（1）分别连接AC ，BD ，交于点O ;(2) 以点O 为圆心，OA 长为半径作O .O 即为所求作的圆.请回答：该作图的依据是_____________________________________.三、解答题(本题共68分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第26-27，每小题7分，第28题8分)17．计算：()212sin 60-π-2++1-3-⎛⎫︒ ⎪⎝⎭.18． 解不等式组4+6,23x x x x ⎧⎪+⎨⎪⎩＞≥， 并写出它的所有整数解.19. 如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于点D . BF 平分∠ABC 交AD 于点E ，交AC 于点F . 求证：AE =AF .20. 已知关于x 的一元二次方程()2320x m x m -+++=.(1) 求证：无论实数m 取何值，方程总有两个实数根； (2) 若方程有一个根的平方等于4，求m 的值.21．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，延长BA 至点E ，使AE = AB ，连接DE ，AC . （1）求证：四边形ACDE 为平行四边形;（2）连接CE 交AD 于点O . 若AC=AB =3，1cos 3B =，求线段CE 的长.22. 已知函数()30y x x=＞的图象与一次函数()20y ax a =-≠的图象交于点A ()3,n .（1）求实数a 的值；(2) 设一次函数()20y ax a =-≠的图象与y 轴交于点B .若点C 在y 轴上，且=2ABC AOB S S △△，求点C 的坐标.23． 如图，AB 为O 的直径，点C ，D 在O 上，且点C 是BD 的中点.过点C 作 AD 的垂线EF 交直线AD 于点E .（1）求证：EF 是O 的切线；（2）连接BC . 若AB =5，BC =3，求线段AE 的长.24．随着高铁的建设，春运期间动车组发送旅客量越来越大.相关部门为了进一步了解春运期间动车组发送旅客量的变化情况，针对2014年至2019年春运期间铁路发送旅客量情况进行了调查，具体过程如下. (I )收集、整理数据请将表格补充完整：（II ）描述数据为了更直观地显示春运期间动车组发送旅客量占比的变化趋势，需要用 ___________(填“折线图”或“扇形图”)进行描述； （III ）分析数据、做出推测预计2019年春运期间动车组发送旅客量占比约为___________，你的预估理由是_________________________________________ .25. 如图，在等腰△ABC 中，AB =AC ,点D ,E 分别为BC ，AB 的中点，连接AD .在线段AD 上任取一点P ,连接PB ,PE .若BC =4,AD =6，设PD =x （当点P 与点D 重合时，x 的值为0），PB +PE =y .小明根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变换而变化的规律进行了探究. 下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、计算，得到了x 与y 的几组值，如下表： （说明：补全表格时，相关数值保留一位小数）. （参考数据：1.414≈1.732≈2.236≈）(2) 建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）函数y 的最小值为______________(保留一位小数)，此时点P 在图1中的位置为________________________.26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()02342≠-+-=a a ax ax y 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧）． （1）当抛物线过原点时，求实数a 的值； （2）①求抛物线的对称轴；②求抛物线的顶点的纵坐标（用含a的代数式表示）；（3）当AB≤4时，求实数a的取值范围．27. 已知△ABC 中，AD 是的平分线，且AD =AB ， 过点C 作AD 的垂线，交 AD 的延长线于点H ．（1）如图1，若 ①直接写出B ∠和ACB ∠的度数； ②若AB =2，求AC 和AH 的长；（2）如图2，用等式表示线段AH 与AB +AC 之间的数量关系，并证明．BAC ∠60BAC ∠=︒28．给出如下定义：对于⊙O的弦MN和⊙O外一点P（M，O，N三点不共线，且P，O在直线MN的异侧），当∠MPN＋∠MON=180°时，则称点P是线段MN关于点O的关联点．图1是点P为线段MN关于点O的关联点的示意图.在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1.（1）如图2，22M⎛⎝⎭，22N⎛⎫-⎪⎪⎝⎭.在A（1，0），B（1，1），)C三点中, 是线段MN关于点O的关联点的是；（2）如图3，M（0，1），N122⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，点D是线段MN关于点O的关联点.①∠MDN的大小为°；②在第一象限内有一点E),m，点E是线段MN关于点O的关联点，判断△MNE的形状，并直接写出点E的坐标；③点F在直线23y x=-+上，当∠MFN≥∠MDN时，求点F的横坐标Fx的取值范围．东城区2019-2020学年度第一次模拟检测初三数学试题参考答案及评分标准 2018.5一、选择题（本题共16分，每小题2分）二、填空题（本题共16分，每小题 2分） 9. 1x ≥10.()()22n m m +-11.812.2x 13. ②③14. 2y x =+ 15. 答案不唯一，理由须 支撑推断结论16. 正方形的对角线相等且互相平分，圆的定义三、解答题（本题共68分，17-24题，每题5分，第25题6分，26-27题，每小题7分，第28题8分）=217.解：原式分分18. 解：4+6,23x x x x ⎧⎪⎨+⎪⎩①②＞≥，由①得，-x ＞2，------------------1分由②得，1x ≤， ------------------2分 ∴不等式组的解集为-1x 2＜≤. 所有整数解为-1, 0, 1. ---------------------5分19.证明： ∵∠BAC =90°，∴∠FBA +∠AFB =90°.-------------------1分 ∵AD ⊥BC ，∴∠DBE +∠DEB =90°．---------------- 2分 ∵BE 平分∠ABC ,∴∠DBE =∠FBA . -------------------3分∴∠AFB =∠DEB .-------------------4分∵∠DEB =∠FEA ，∴∠AFB =∠FEA .∴AE =AF .-------------------5分20. （1）证明：()()2=+3-42m m ∆+()2=+1m∵()2+10m ≥，∴无论实数m 取何值，方程总有两个实根. -------------------2分（2）解：由求根公式，得()()1,231=2m m x +±+，∴1=1x ，2=+2x m .∵方程有一个根的平方等于4，∴()2+24m =.解得=-4m ，或=0m .-------------------5分21.(1) 证明：∵平行四边形ABCD ，∴=AB DC ，AB DC ∥.∵AB =AE ，∴=AE DC ，AE DC ∥.∴四边形ACDE 为平行四边形.-------------------2分(2) ∵=AB AC ，∴=AE AC .∴平行四边形ACDE 为菱形.∴AD ⊥CE .∵AD BC ∥，∴BC ⊥CE.在Rt △EBC 中，BE =6,1cos 3BC B BE ==,∴=2BC .根据勾股定理，求得BC 分22.解：（1）∵点()3,A n 在函数()30y x x=＞的图象上， ∴=1n ，点()3,1A .∵直线()20y ax a =-≠过点()3,1A ，∴ 321a -=.解得1a =.----------------------2分(2)易求得()0,2B -. 如图，12AOB A S OB x =⋅△，1=2ABC A S BC x ⋅△∵=2ABC AOB S S △△，∴=24BC OB =.∴()10,2C ,或()20,6C -. ----------------------5分23. （1）证明：连接OC .∵CD CB =∴∠1=∠3.∵OA OC =，∴∠1=∠2.∴∠3=∠2.∴AE OC ∥.∵AE EF ⊥，∴OC EF ⊥.∵ OC 是O 的半径，∴EF 是O 的切线.----------------------2分（2）∵AB 为O 的直径，∴∠ACB =90°.根据勾股定理，由AB =5,BC =3,可求得AC =4.∵AE EF ⊥ ，∴∠AEC =90°.∴△AEC ∽△ACB . ∴AE ACAC AB =.∴445AE =. ∴165AE =. ----------------------5分24. 解：(I)：56.8%；----------------------1分(II)折线图； ----------------------3分(III)答案不唯一，预估的理由须支撑预估的数据，参考数据61%左右.--------5分25.解：（1）4.5 . --------------------2分（2）--------------------4分(3) 4.2，点P 是AD 与CE 的交点.--------------------6分26.解：(1) ∵点()0,0O 在抛物线上，∴320a -=，23a =.--------------------2分(2)①对称轴为直线2x =；②顶点的纵坐标为 2a --.--------------------4分(3) （i ）当0a ＞时， 依题意，-20320.a a -⎧⎨-⎩＜，≥ 解得2.3a ≥ （ii ）当0a ＜时，依题意，-20320.a a -⎧⎨-⎩＞，≤解得a ＜-2.综上，2a -＜，或23a ≥. --------------------7分27. （1）①75B ∠=︒，45ACB ∠=︒；--------------------2分②作DE ⊥AC 交AC 于点E .Rt △ADE 中，由30DAC ∠=︒，AD=2可得DE =1，AE =.Rt △CDE 中，由45ACD ∠=︒，DE=1，可得EC =1.∴AC 1.Rt △ACH 中，由30DAC ∠=︒，可得AH =；--------------4分（2）线段AH 与AB +AC 之间的数量关系：2AH =AB +AC证明：延长AB 和CH 交于点F ，取BF 中点G ，连接GH .易证△ACH ≌△AFH .∴AC AF =,HC HF =.∴GH BC ∥.∵AB AD =，∴ ABD ADB ∠=∠.∴ AGH AHG ∠=∠ .∴ AG AH =.∴()2222AB AC AB AF AB BF AB BG AG AH +=+=+=+==. --------------7分28.解：（1）C ；--------------2分（2）①60°；②△MNE 是等边三角形，点E 的坐标为)；--------------5分③直线2y =+交 y 轴于点K （0，2），交x 轴于点()T 0.∴2OK =，OT =∴60OKT ∠=︒.作OG ⊥KT 于点G ,连接MG .∵()M 0，1，∴OM =1.∴M 为OK 中点 .∴ MG =MK =OM =1.∴∠MGO =∠MOG =30°，OG ∴3.2G ⎫⎪⎪⎝⎭，∵120MON ∠=︒,∴ 90GON ∠=︒.又OG =，1ON =，∴30OGN ∠=︒.∴60MGN ∠=︒.∴G 是线段MN 关于点O 的关联点.经验证，点)E 在直线2y x =+上.结合图象可知， 当点F 在线段GE 上时 ，符合题意. ∵G F E x x x ≤≤，F x 分.。
2019年北京市东城区初三一模数学试卷(附答案和解析)
2019年北京东城区初三一模数学试卷一、选择题（本题共8小题。
每题2分，共16分）1. A.B.C.D.下列立体图形中，主视图是圆的是（ ）．2.A.B.C.D.年中国北京世界园艺博览会于月日在北京延庆举行，会期共天．预计参观人数不少于人次．将用科学记数法表示应为（ ）．3. A. B. C. D.已知实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）．4. A. B. C. D.如图，将一张矩形纸片折叠，若，则的度数是（ ）．5. A.四边形B.五边形C.六边形D.七边形若一个多边形的每个内角均为，则该多边形是（ ）．6.如果，那么代数式的值为（ ）．A. B. C. D.7. A.B.C.D.弹簧原长（不挂重物），弹簧总长 与重物质量 的关系如下表所示：弹簧总长 重物质量当重物质量为 （在弹性限度内）时，弹簧总长是（ ）．8. A.年第二季度环比有所提高 B.年第三季度环比有所提高C.年第一季度同比有所提高D.年第四季度同比有所提高改革开放年以来，城乡居民生活水平持续快速提升．居民教育、文化和娱乐消费支出持续增长，已经成为居民各项消费支出中仅次于居住、食品烟酒、交通通信后的第四大消费支出．下图为北京市统计局发布的年和年我市居民人均教育、文化和娱乐消费支出的折线图．教育、文化和娱乐消费支出折线图一二三四二三四季度年年元一说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如年第二季度与年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如年第二季度与年第一季度相比较．根据上述信息，下列结论中错误的是（ ）．二、填空题（本题共8小题。
每题2分，共16分）9.若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．10.有一个质地均匀的正方体，六个面上分别标有这六个整数，投掷这个正方体一次，则向上一面的数字是偶数的概率为 ．11.能说明命题“若，则”是假命题的一个值是 ．12.如图，为的外接圆⊙的直径，若，则．13.《九章算术》中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大小器各容几何？”其大意是：今有大容器个，小容器个，总容量为斛；大容器个，小容器个，总容量为斛，问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器容量为斛，小容器容量为斛，根据题意，可列方程组为 ．（斛：古量器名，容量单位）14.如图，在平行四边形中，点在的延长线上，且，连接交于点，则的值是 ．15.为方便市民出行，年北京地铁推出了电子定期票．电子定期票在使用有效期限内，支持单人不限次数乘坐北京轨道交通全路网（不含机场线）所有线路．电子定期票包括一日票、二日票、三日票、五日票及七日票共五个种类，价格如下表：种类一日票二日票三日票五日票七日票单价（元/张）某人需要连续天不限次数乘坐地铁，若决定购买电子定期票，则总费用最低为 元．16.如图，方格纸中每个小正方形的边长都是，，，，均落在格点上．（1）（2） ．点为的中点，过点作直线，过点作于点，过点作于点，则矩形的面积为 ．三、解答题（本题共68分）17.（1）（2）下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线“的尺规作图过程．已知如图，直线及直线外一点．求作：直线，使得．作法：如图，①直线上取一点，连接；②的平分线；③点为圆心，长为半径画弧，交射线于点；④作直线．所以直线就是所求作的直线．根据小明设计的尺规作图过程，用直尺和圆规，补全图形．（保留作图痕迹）完成下面的证明．证明：∵平分．∴．∵，∴ ．∴ ．∴．（ ）（填推理的依据）18.计算：．19.解不等式组：．20.（1）（2）已知关于的一元二次方程有实数根．求的取值范围．当为符合条件的最大整数时，求此时方程的解．21.（1）（2）如图，在中，平分，的垂直平分线分别交，，于点，，，连接，．求证：四边形是菱形．若，，，求的长．22.（1）（2）在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点．求及的值．点是轴正半轴上的一点，且是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标．23.如图，与⊙相切于点，为上一点，且，连接并延长交⊙于点，连接．（1）（2）求证：．若⊙的半径为，，求的长．24.（1）（2）（3）某年级共有名学生，为了解该年级学生上学的交通方式，从中随机抽取名学生进行问卷调查，并对调查数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．.不同交通方式学生人数分布统计图如下：公共交通公共交通私家车私家车步行步行自行车自行车.采用公共交通方式单程所花费时间（分）的频数分布直方图如下（数据分成组：，，，，，）：频数学生人数时间分.采用公共交通方式单程所花费时间在这一组的是：根据以上信息，完成下列问题：补全频数分布直方图．采用公共交通方式单程所花费时间的中位数为 分．请你估计该年级采用公共交通方式上学的一共有 人，其中单程不少于分钟的有 人．25.（1）（2）12（3）如图，点在弦所对的优弧上，且为半圆，是上的动点，连接，．已知，设，两点间的距离为，点到弦所在直线的距离为，，两点间的距离为．小明根据学习函数的经验，分别对函数，随自变量的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整．按照下表中自变量的值进行取点、画图、测量，分别得到了，与的几组对应值．在同一平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，，并画出函数，的图像．结合函数图像，解决问题：连接，则的长约为．当以，，为顶点组成的三角形是直角三角形时，的长度约为．26.（1）（2）（3）在平面直角坐标系中，抛物线．求抛物线的顶点坐标．若抛物线与轴的两个交点分别为和（点在点的左侧），且，求的值．已知四个点，，，，若抛物线与线段和线段都没有公共点，请直接写出的取值范围．27.（1）（2）（3）如图，在正方形中，是边上的一动点（不与点，重合），连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交直线于点，是的中点，连接．求的度数．连接，请用等式表示，，三条线段之间的数量关系，并证明．连接，若正方形的边长为，请直接写出的面积最大值．28.12（1）12（2）在平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：若点到、轴的距离中的最大值等于点到、轴的距离中的最大值，则称，两点为“等距点”．下图中的，两点即为“等距点”．已知点的坐标为．在点，，中，为点的“等距点”的是 ．若点在直线上，且、两点为“等距点”，则点的坐标为 ．直线：与轴交于点，与轴交于点．若，是直线上的两点，且、为“等距点”，求的值．当时，半径为的上存在一点，线段上存在一点，使得，两点为“等距点”，直接写出的取值范围．2019年北京东城区初三一模数学试卷(详解)一、选择题（本题共8小题。
2019-2020学年北京市东城区九年级5月统一练习(一模)数学试题有标准答案
PNMF EDCBA北京市东城区第二学期统一练习（一）初三数学学校班级姓名 考号一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．数据显示：2016年我国预期. 全年城镇新增就业1 314万人，高校毕业生就业创业人数再创新高. 将数据1 314用科学记数法表示应为A ．31.31410⨯B ．41.31410⨯C ．213.1410⨯D ． 40.131410⨯ 2．实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是A ．a b ＜B ．a b ＞-C ．b a ＞D ．2a ＞-3．在一个布口袋里装有白、红、小球，它们除颜色外没有任何区别，其中白球2只，红球6只，黑球4只，将袋中的球搅匀，闭上眼睛随机从袋中取出1只球，则取出黑球的概率是 A ．12 B ．13 C ．14 D ．164．某健步走运动的爱好者用手机个月（30天）每天健步走的步数（单位：万步），将记录结果绘制成了如图所示的统计图．在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是 A ．1.2，1.3 B ．1.3，1.3 C ．1.4，1.35 D ．1.4，1.35. 如图，A 线EF 分别交AB ，CD 于M ，N 两点，将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若∠EMB =75°，则∠PNM 等于 A ．15° B ．25° C ．30° D ．45°6．下列哪个几何体，它的主视图、左视图、俯视图都相同A B C DPOEDCBA7．我国传统建筑中，窗框（如图1）的图案玲珑剔透、千变万化. 如图2，窗框的一部分所展示的图形是一个轴对称图形，其对称轴有 A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条8. 如图，点A ，B 的坐标为（2，0），（0，1），若将线段AB 平移至A 1B 1，则a +b 的值为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．59. 某经销商销售一批一个月以550元/块的价格售出60块，第二个月起降价，以500元/块的价格将这批电话手表全部售出，销售总额超过了．．．5.5万元．这批电话手表至少有 A ．103块 B ．104块 C ．105块 D ． 106块10. 图1是某娱乐节环节的录制现场，场地由等边△ADE 和正方形ABCD 组成，正方形ABCD 两条对角线交于点O ，在AD 的中点P 处放置了一台主摄像机.游戏参与者行进的时间为x ，与主摄像机的距离为y ，若游戏参与者匀速行进，且表示y 与x 的函数关系式大致如图2所示，则游戏参与者的行进路线可能是图1 图2A. A O DB. E A CC. A E DD. E A B 二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．分解因式：22ab ab a -+= ．12．请你写出一个二次函数，其图○1开口向上；○2与y 轴的交点坐标为（0，1）. 此二次函数的解析式可以是 ．13. 若关于方程x 2+2（k ﹣1）x +k 2﹣1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．14. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 ． 15. 北京市2012-2016年常住人口增量统计如图所示.根据统计图中提供的信息，预估2017年北京市常住人口增量约为 万人次，你的预估理由是 .16．下面是“以已知线段为直径作圆”的尺规作图过程.请回答：该作图的依据是 ．三、解答题（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算：011122sin 60(2π)()2--︒+--. 18. 解不等式122123x x ++-＞，并写出它的正整数解. 19．先化简，再求值： 224122x x x x x -+⎛⎫-÷- ⎪++⎝⎭，其中22410x x +-=． 已知：线段AB.求作：以AB 为直径的⊙O .BA作法：如图， （1） 分别以A ，B 为圆心，大于21AB 的长为半径 作弧，两弧相交于点C ，D ；（2）作直线CD 交AB 于点O ；（3）以O 为圆心，OA 长为半径作圆. 则⊙O 即为所求作的.FECBAD20．如图，在△ABC 中，∠B =55°，∠C =30°，分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，求∠BAD 的度数．21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线()0y kx b k =+≠与双曲线6y x=相交于点A （m ，3），B (-6，n )，与x 轴交于点C ．（1）求直线()0y kx b k =+≠的解析式； （2）若点P 在x 轴上，且32ACP BOC S S =△△，求点P 的坐 标（直接写出结果）．22．列方程或方程组解应用题：在某场CBA 比赛中，某位运动员的技术统计如下表所示：技术 上场时间（分钟） 出手投篮（次） 投中 （次） 罚球得分（分） 篮板 （个） 助攻（次） 个人总得分（分） 数据38271163433注：（1）表中出手投篮次数和投中次数均不包括罚球；（2）总得分=两分球得分+三分球得分+罚球得分．根据以上信息，求本场比赛中该运动员投中两分球和三分球各几个．23．如图，四边形ABCD 为平行四边形，∠BAD 的角平分线AF 交CD 于点E ，交BC 的延长线于点F ． （1）求证：BF =CD ；（2）连接BE ，若BE ⊥AF ，∠BFA =60°，BE =3ABCD 的周长．24.阅读下列材料：“共享单车”府合作，在校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车共享的一种服务，是共享经济的一种新形态.共享单车的出现让更多的用户有了更好的代步选择.自行车也代替了一部分公共交通甚至打车的出行.Quest Mobile 监测的M 型与O 型单车从2016年10月——2017年1月的月度用户使用情况如下表所示：F EOCBAD 图1DCBA根据以上材料解答下列问题：（1）仔细阅读上表，将O 型单车总用户数用折线图表示出来，并在图中标明相应数据； （2）根据图表所提提供的数据，选择你所感兴趣的方面，写出一条你发现的结论.25. 如图，四边形ABC ，对角线AC 为⊙O 的直径，过点C 作AC的垂线交AD 的延长线于点E ，点F 为CE 的中点，连接DB ， DF ．（1）求证：DF 是⊙O 的切线；（2）若DB 平分∠ADC ，AB =a ，AD ∶DE =4∶1，写出求DE 长的思路．26. 在课外活动中，我们要研究一种凹四边形——燕尾四边形的性质.定义1：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形（如图1）.DCBADCBA DCBA（1）根据凹四边形的定义，下列四边形是凹四边形的是（填写序号） ；○1 ○2 ○3 定义2：两组邻边分别相等的凹四边形叫做燕尾四边形（如图2）.特别地，有三边相等的凹四边形不属于燕尾四边形.小洁根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对燕尾四边形的性质进行了探究. 下面是小洁的探究过程，请补充完整：（2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对燕尾四边形性质的猜想，并选取其中的一条猜想加以证明；（3）如图2，在燕尾四边形ABCD 中，AB =AD =6，BC =DC =4，∠BCD =120°，求燕尾四边形ABCD 的面积（直接写出结果）.27．二次函数2(2)2(2)5y m x m x m =+-+-+，其中20m +>． （1）求该二次函数的对称轴方程； （2）过动点C (0, n )作直线l ⊥y 轴.① 当直线l 与抛物线只有一个公共点时, 求n 与m 的函数关 系；② 若抛物线与x 轴有两个交点，将抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，l 与新图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象. 当n =7时，直线的图象恰好有三个公共点，求此时m 的值；（3）若对于每一个给定的x 的值，它所对应的函数值都不小于1，求m 的取值范围． 28. 在等腰△ABC 中，（1）如图1，若△ABC 为等边三段BC 中点，线段AD 关于直线AB 的对称线段为线段AE ，连接DE ，则∠BDE的度数为___________；（2）若△ABC 为等边三角形，点D 为线段BC 上一动点（不与B ，C 重合），连接AD 并将 线段AD 绕点D逆时针旋转60°得到线段DE ，连接BE .①根据题意在图2中补全图形；②小玉通过观察、验证，提出猜测：在点D 运动的过程中，恒有CD =BE .经过与同学们的充分讨论，形成了几种证明的思路：思路1：要证明CD =BE ，只需要连接AE ，并证明△ADC ≌△AEB ；思路2：要证明CD =BE ，只需要过点D 作DF ∥AB ，交AC 于F ，证明△ADF ≌△DEB ； 思路3：要证明CD =BE ，只需要延长CB 至点G ，使得BG =CD ，证明△ADC ≌△DEG ； ……请参考以上思路，帮助小玉证明CD =BE .（只需要用一种方法证明即可）（3）小玉的发现启发了，若AB =AC =kBC ，AD =kDE ，且∠ADE =∠C ，此时小明发现BE ，BD ，AC 三者之间满足一定的的数量关系，这个数量关系是______________________.（直接给出结论无须证明）图1图2图329．设平面内一点到等边三角为d ，等边三角形的内切圆半径为r ，外接圆半径为R .对于一个点与等边三角形，给出如下定义：满足r ≤d ≤R 的点叫做等边三角形的中心关联点. 在平面直角坐标系xOy 中，等边△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (0，2)，B （﹣3，﹣1），C (3，﹣1). （1）已知点D （2，2），E （3，1），F （21-，﹣1）. 在D ，E ，F 中，是等边△ABC 的中心关联点的是 ； （2）如图1，过点A 作直线交x 轴正半轴于M ，使∠AMO =30°.①若线段AM 上存在等边△ABC 的中心关联点P （m ，n ），求m 的取值范围；②将直线AM 向下平移得到直线y =kx +b ，当b 满足什么条件时，直线y =kx +b 上总存在．．．等边△ABC 的中心关联点；（直接写出答案，不需过程） （3）如图2，点Q 为直线y =﹣1上一动点，⊙Q 的半径为21. 当Q 从点（﹣4，﹣1）出个单位的速度向右移动，运动时间为t 秒.是否存在某一时刻t ，使得⊙Q 上所有点都是等边△ABC 的中心关联点？如果存在，请直接写出所有符合题意的t 的值；如果不存在，请说明理由.图1图2北京市东城区第二学期统一练习（一） 初三数学参考答案及评分标准一、选择题（本题共30分，每小题3分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ACBDCBBACA题号1112 1314 15 16答案2(-1)a b答案不唯一如：21y x =+1k ＜6答案不唯一，合理就行垂直平分线的判定；垂直平分线的定义和圆的定义题8分） 17．计算：011122sin 60(2π)()2--︒+--解：原式=23312-+- …………4分 =31-. …………5分 18. 解： 去分母得：3（x +1）＞2（2x +2）﹣6，…………1分去括号得：3x +3＞4x +4﹣6， …………2分 移项得：3x ﹣4x ＞4﹣6﹣3，…………3分合并同类项得：﹣x ＞﹣5， 系数化为1得：x ＜5.…………4分故不等式的正整数解有1，2，3，4这4个.…………5分19. 解： 224122x x x x x -+⎛⎫-÷- ⎪++⎝⎭ =22422x x x x x x -++⋅--+ =242x x x x ++-+ =4(2)x x +. …………3分∵ 22410x x +-=. ∴ 2122x x +=. …………4分 原式=8. …………5分20. 解：由题意可得：MN 是AC 的垂直平分线．则AD =DC ．故∠C =∠DAC ．…………2分 ∵ ∠C =30°，∴ ∠DAC =30°． …………3分 ∵ ∠B =55°，∴ ∠BAC =95°． …………4分 ∴ ∠BAD =∠BAC ﹣∠CAD =65°． …………5分21．解：（1）由题意可求：m =2，n =-1．将（2，3），B (-6，-1)带入y kx b =+，得32,16.k b k b =+⎧⎨-=-+⎩解得 1,22.k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴ 直线的解析式为122y x =+. …………3分 （2）（-2,0）或（-6,0）. …………5分22．解：设本场比赛中该运动员投中两分球x 个，三分球y 个. …………1分依题意有23633,11.x y x y ++=⎧⎨+=⎩. …………3分 解得6,5.x y =⎧⎨=⎩ …………4分答：设本场比赛中该运动员投中两分球6个，三分球5个． …………5分FECBA D23. 解：（1）证明：∵ 四边形ABCD 为平行四边形，∴ AB =CD ，∠FAD =∠AFB. 又∵ AF 平分∠BAD ， ∴ ∠FAD =∠FAB . ∴ ∠AFB =∠FAB . ∴ AB =BF.∴ BF =CD . …………3分（2）解：由题意可证△ABF 为等边三角形，点E 是AF 的中点.在Rt △BEF 中，∠BFA =60°，BE =23 可求EF =2，BF =4.∴ 平行四边形ABCD 的周长为12. …………5分24. 解：（1）…………4分（2）答案不唯一． …………5分25. 解：（1）证明：连接OD .∵ OD =CD ， ∴ ∠ODC =∠OCD . ∵ AC 为⊙O 的直径， ∴ ∠ADC =∠EDC=90°. ∵ 点F 为CE 的中点， ∴ DF =CF . ∴ ∠FDC =∠FCD . ∴ ∠FDO =∠FCO . 又∵ AC ⊥CE ， ∴ ∠FDO =∠FCO =90°.∴ DF 是⊙O 的切线. …………2分（2）○1由DB 平分∠ADC ，AC 为⊙O 的直径，证明△ABC 是等腰直角三角形； ○2 由AB =a ，求出AC 2a ； ○3 由∠ACE=∠ADC =90°，∠CAE 是公共角，证明△ACD ∽△AEC ，得到2ACAD AE =⋅；○4设DE 为x ，由AD ∶DE =4∶1，求出10DE a =. …………5分 26．解：（1）○2. …………1分 （2）它是一个轴对称图形；相等；一组对角相等；一条对角线所在的直线垂直平分另一条对角线等等. …………3分已知：如图，在凹四边形ABCD 中，AB =AD ，BC =DC. 求证：∠B =∠D. 证明：连接AC .∵AB=AD,CB=CD,AC=AC ， ∴△ABC ≌△ADC.∴∠B =∠D. …………4分（3）燕尾四边形ABCD的面积为…………5分 27.解：（1）对称轴方程：2(2)12(2)m x m -+=-=+. …………1分（2）①∵直线l 与抛物线只有一个公共点,∴23n m =-+. …………3分 ② 依题可知：当237m -+=-时，直线l 与新的图象恰好有三个公共点. ∴5m =. …………5分（3）抛物线2(2)2(2)5y m x m x m =+-+-+的顶点坐标是(1,23)m -+.依题可得 20,23 1.m m +>⎧⎨-+≥⎩解得2,1.m m >-⎧⎨≤⎩ ∴ m 的取值范围是21m -<≤. …………7分28.解：（1）30°； …………1分 （2）思路1：如图，连接AE .EDCBA,60. ..AD DE ADE ADE ABC EAB DAC AB AC AE AD EAB DAC CD BE =∠=︒∴∴∠=∠==∴∴=Q Q ，△为等边三角形.△为等边三角形,，，△≌△E…………5分思路2：过点D 作DF ∥AB ，交AC 于F .…………5分思路3：延长CB 至G ，使BG =CD.…………5分（3）k (BE +BD )=AC . …………7分 29.解：（1）E ,F ; …………2分 （2）①解：依题意A （0，2），M （32，0）.可求得直线AM 的解析式为233+-=x y . 经验证E 在直线AM 上. 因为OE =OA =2，∠MAO =60°， 所以△OAE 为等边三角形， 所以AE 边上的高长为3.=60.,=60..===60,.,..ABC AC BC BAC DF AB DFC CDF AF BD ADE ACB ABC DAF EDB AD DE ADF DEB DF BE CD ∴=∠︒∴∠︒∴∴=∠∠∠︒∴∠=∠=∴∴==Q Q Q Q △为等边三角形，，∥△为等边三角形.又△≌△=60.,.===60,.,.,==60..ABC AC BC BAC CD BG DG AC ADE ACB ABC DAF EDB AD DE ADC DEG CD EG BG C G BGE BE BG CD ∴=∠︒=∴=∠∠∠︒∴∠=∠=∴∴==∠∠︒∴∴==Q Q Q Q △为等边三角形,，又△≌△△为等边三角形.当点P 在AE 上时，3≤OP ≤2.所以当点P 在AE 上时，点P 都是等边△ABC 的中心关联点. 所以0≤m ≤3; …………4分 ②﹣334≤b ≤2; …………6分 （3）t =25425-4 或 …………8分。
【含五套中考卷】北京东城区名校2019年中考数学一模试卷(含答案解析)
北京东城区名校2019年中考数学一模试卷(含答案解析)注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题．（每小题3分，共30分．每题四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）如果+10%表示“增加10%”，那么“减少8%”可以记作（）A．﹣18% B．﹣8% C．+2% D．+8%2．（3分）在以下永洁环保、绿色食品、节能、绿色环保四个标志中，是轴对称图形是（）A．B．C．D．3．（3分）某班抽取6名同学参加体能测试，成绩如下：85，95，85，80，80，85．下列表述错误的是（）A．众数是85 B．平均数是85 C．中位数是80 D．极差是154．（3分）已知点A（a，2017）与点A′（﹣2018，b）是关于原点O的对称点，则a+b的值为（）A．1 B．5 C．6 D．45．（3分）如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为（）A．28° B．52° C．62° D．72°6．（3分）下列运算正确的是（）A．x3+x2=x5B．x3﹣x2=x C．（x3）2=x5D．x3÷x2=x7．（3分）若分式的值为零，则x的值为（）A．0 B．1 C．﹣1 D．±18．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＜1 D．k＜1且k≠09．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，AD为⊙O的直径，交B C于点E，若DE=2，OE=3，则tanC•tanB=（）A．2 B．3 C．4 D．5二．填空题．（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）11．（3分）“激情同在”第23届冬奥会于2018年2月在韩国平昌郡举行，场馆的建筑面积约是358 000平方米，将358 000用科学记数法表示为．12．（3分）因式分解：3ab2+a2b= ．13．（3分）如图，点A为△PBC的三边垂直平分线的交点，且∠P=72°，则∠BAC= ．14．（3分）如图，正比例函数y1=k1x和反比例函数y2=的图象交于A（﹣1，2）、B（1，﹣2）两点，若y1＜y2，则x的取值范围是．15．（3分）已知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为65πcm2，圆锥的母线是cm．16．（3分）如图，AB是半⊙O的直径，点C在半⊙O上， AB=5cm，AC=4cm．D是上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为．[来源:学科网]三、解答题（共9道题，共102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）解方程：（1）3x（x﹣1）=2x﹣2（2）18．（10分）如图，已知E、F分别是平行四边形ABCD的边AB、CD上的两点，且∠CBF=∠ADE．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）判定四边形DEBF是否是平行四边形？19．（10分）有两把不同的锁和四把不同的钥匙，其中两把钥匙恰好分别能打开这两把锁，其余的钥匙不能打开这两把锁．现在任意取出一把钥匙去开任意一把锁．（1）请用列表或画树状图的方法表示出上述事件所有可能的结果；（2）求一次打开锁的概率．20．（10分）如图所示，小明在大楼30米高（即PH=30米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，已知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1：，点P、H、B、C、A 在同一个平面上．点H、B、C在同一条直线上，且PH⊥HC．（1）山坡坡角（即∠ABC）的度数等于度；（2）求山坡A、B两点间的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）21．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC=80°，∠BAC=40°，AB的垂直平分线分别与AC、AB交于点D、E．（1）尺规作图作出AB的垂直平分线DE，并连结BD；（保留作图痕迹，不写作法）（2）证明：△ABC∽△BDC．22．（12分）某商品的进价为每件40元，售价不低于50元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每月少卖1件；如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件，设每件商品的售价为x元，每月的销售量为y件．（1）求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？23．（12分）如图，在四边形OABC中，BC∥AO，∠AOC=90°，点A，B的坐标分别为（5，0），（2，6），点D为AB上一点，且，双曲线y=（k＞0）经过点D，交BC于点E（1）求双曲线的解析式；（2）求四边形ODBE的面积．24．（14分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线y=﹣与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是x轴上方抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）若PE=5EF，点P的横坐标是m，求m的值；（3）若点E′是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P，使点E′落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．25．（14分）如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作圆O，点F为圆O与射线BD的公共点，连接EF、CF，过点E作EG⊥EF，EG与圆O相交于点G，连接CG．（1）试说明四边形EFCG是矩形；（2）当圆O与射线BD相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中，①矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由；②求点G移动路线的长．2018年广东省广州中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题．（每小题3分，共30分．每题四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【解答】解：“增加”和“减少”相对，若+10%表示“增加10%”，那么“减少8%”应记作﹣8%．故选：B．2．【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，符合题意；C、不是轴对称图形，不符合题意；D、不是轴对称图形，不符合题意．故选：B．3．【解答】解：这组数据中85出现了3次，出现的次数最多，所以这组数据的众数位85；由平均数公式求得这组数据的平均数位85，极差为95﹣80=15；将这组数据按从大到校的顺序排列，第3，4个数是85，故中位数为85．所以选项C错误．故选：C．4．【解答】解：∵点A（a，2017）与点A′（﹣2018，b）是关于原点O的对称点，∴a=2018，b=﹣2017，∴a+b=1，故选：A．5．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AB∥CD，AB=BC，∴∠MAO=∠NCO，∠AMO=∠CNO，在△AMO和△CNO中，∵，∴△AMO≌△CNO（ASA），∴AO=CO，[来源:学*科*网]∵AB=BC，∴BO⊥AC，∴∠BOC=90°，∵∠DAC=28°，[来源:学科网]∴∠BCA=∠DAC=28°，∴∠OBC=90°﹣28°=62°．故选：C．6．【解答】解：（A）x3与x2不是同类项，不能合并，故A错误；（B）x3与x2不是同类项，不能合并，故B错误；（C）原式=x6，故C错误；故选：D．7．【解答】解：由x2﹣1=0，得x=±1．①当x=1时，x﹣1=0，∴x=1不合题意；②当x=﹣1时，x﹣1=﹣2≠0，∴x=﹣1时分式的值为0．故选：C．8．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，∴，即，解得k＞﹣1且k≠0．故选：B．9．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，∴b=﹣4a，即4a+b=0，（故①正确）；∵当x=﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，（故②错误）；∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，而b=﹣4a，∴a+4a+c=0，即c=﹣5a，∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴8a+7b+2c＞0，（故③正确）；∵对称轴为直线x=2，∴当﹣1＜x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x＞2时，y随x的增大而减小，（故④错误）．故选：B．10．【解答】解：连接BD、CD，由圆周角定理可知∠B=∠ADC，∠C=∠ADB，∴△ABE∽△CDE，△ACE∽△BDE，∴=， =，由AD为直径可知∠DBA=∠DCA=90°，∵DE=2，OE=3，∴AO=OD=OE+ED=5，AE=8，tanC•tanB=tan∠ADB•tan∠ADC======4．故选：C．二．填空题．（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）11．【解答】解：358 000用科学记数法表示为3.58×105，故答案为：3.58×105．12．【解答】解：3ab2+a2b=ab（3b+a）．13．【解答】解：∵A为△PBC三边垂直平分线的交点，∴点A是△PBC的外心，由圆周角定理得，∠BAC=2∠BPC=144°，故答案为：144°14．【解答】解：∵正比例函数y1=k1x和反比例函数y2=的图象交于A（﹣1，2）、B（1，﹣2）两点，y1＜y2，∴此时x的取值范围是﹣1＜x＜0或x＞1，故答案为：﹣1＜x＜0或x＞1．15．【解答】解：设母线长为R，则：65π=π×5R，解得R=13cm．16．【解答】解：如图，连接BO′、BC．∵CE⊥AD，∴∠AEC=90°，∴在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，在Rt△ABC中，∵AC=4，AB=5，∴BC===3，在Rt△BCO′中，BO′===，∵O′E+BE≥O′B，∴当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B﹣O′E=﹣2，故答案为：．三、解答题（共9道题，共102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【解答】解：（1）3x2﹣3x=2x﹣2，3x2﹣3x﹣2x+2=0，3x2﹣5x+2=0，因式分解可得：（3x﹣2）（x﹣1）=0，则3x﹣2=0或x﹣1=0，所以方程的解为；（2）两边乘以x（x﹣2），得3（x﹣2）=2x，解得x=6，检验：将x=6代入x（x﹣2）≠0，所以x=6是原方程的解．18．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠A=∠C，AD=BC，在△ADE与△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（ASA）；（2）四边形DEBF是平行四边形．理由如下：∵DF∥EB，又由△ADE≌△CBF，知AE=CF，∴AB﹣AE=CD﹣CF，即DF=EB．∴四边形DEBF是平行四边形．19．【解答】解：（1）分别用A与B表示锁，用A、B、C、D表示钥匙，画树状图得：则可得共有8种等可能的结果；（2）∵一次打开锁的有2种情况，∴一次打开锁的概率为： =．20．【解答】解：（1）过A作AD⊥BC于D，∵山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1：，∴∠ABC=30°，故答案为：30；（2）由题意得，∠PBH=60°，∠APB=45°，∵∠ABC=30°，∴∠ABP=90°，∴△PBA是等腰直角三角形，∴PB====20，∵AB=PB=20=34.6，答：山坡A、B两点间的距离是34.6米．21．【解答】（1）解：如图，DE为所求；（2）证明：∵DE是AB的垂直平分线，∴BD=AD，∴∠ABD=∠A=40°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=80°﹣40°=40°，∴∠DBC=∠BAC，∵∠C=∠C∴△ABC∽△BDC．22．【解答】解：（1）当50≤x≤80时，y=210﹣（x﹣50），即y=260﹣x，当80＜x＜140时，y=210﹣（80﹣50）﹣3（x﹣80），即y=420﹣3x．则y=；（2）当50≤x≤80时，w=﹣x2+300x﹣10400=﹣（x﹣150）2+12100，当x＜150时，w随x增大而增大，则当x=80时，w最大=7200；当80＜x≤140时，w=﹣3x2+540x﹣16800=﹣3（x﹣90）2+7500，当x=90时，w最大=7500，∴x=90时，W有最大值7500元，答：每件商品的售价定为90元时，每个月可获得最大利润是7500元．23．【解答】解：（1）作BM⊥x轴于M，作DN⊥x轴于N，如图，∵点A，B的坐标分别为（5，0），（2，6），∴BC=OM=2，BM=OC=6，AM=3，∵DN∥BM，∴△ADN∽△ABM，∴==，即==，∴DN=2，AN=1，∴ON=OA﹣AN=4，∴D点坐标为（4，2），把D（4，2）代入y=得k=2×4=8，∴反比例函数解析式为y=；（2）S四边形ODBE=S梯形OABC﹣S△OCE﹣S△OAD=×（2+5）×6﹣×|8|﹣×5×2=12．24．【解答】解：（1）将点A、B坐标代入抛物线解析式，得：解得，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+4x+5．（2）∵点P的横坐标为m，∴P（m，﹣m2+4m+5），E（m，﹣m+3），F（m，0）．∴PE=|y P﹣y E|=|（﹣m2+4m+5）﹣（﹣m+3）|=|﹣m2+m+2|，EF=|y E﹣y F|=|（﹣m+3）﹣0|=|﹣m+3|．由题意，PE=5EF，即：|﹣m2+m+2|=5|﹣m+3|=|﹣m+15|①若﹣m2+m+2=﹣m+15，整理得：2m2﹣17m+26=0，解得：m=2或m=；②若﹣m2+m+2=﹣（﹣m+15），整理得：m2﹣m﹣17=0，解得：m=或m=．由题意，m的取值范围为：﹣1＜m＜5，故m=、m=这两个解均舍去．∴m=2或m=．（3）假设存在．作出示意图如下：∵点E、E′关于直线PC对称，∴∠1=∠2，CE=CE′，PE=PE′．∵PE平行于y轴，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴PE=CE，∴PE=CE=PE′=CE′，即四边形PECE′是菱形．当四边形PECE′是菱形存在时，由直线CD解析式y=﹣m+3，可得OD=4，OC=3，由勾股定理得CD=5．过点E作EM∥x轴，交y轴于点M，易得△CEM∽△CDO，∴=，即=，解得CE=|m|，∴PE=CE=|m|，又由（2）可知：PE=|﹣m2+m+2|∴|﹣m2+m+2|=|m|．①若﹣m2+m+2=m，整理得：2m2﹣7m﹣4=0，解得m=4或m=﹣；②若﹣m2+m+2=﹣m，整理得：m2﹣6m﹣2=0，解得m1=3+，m2=3﹣．由题意，m的取值范围为：﹣1＜m＜5，故m=3+这个解舍去．当四边形PECE′是菱形这一条件不存在时，[来源:学科网ZXXK]此时P点横坐标为0，E，C，E'三点重合与y轴上，也符合题意，∴P（0，5）综上所述，存在满足条件的点P，可求得点P坐标为（0，5），（﹣，），（4，5），（3﹣，2﹣3）25．【解答】解：（1）证明：如图1，∵CE为⊙O的直径，∴∠CFE=∠CGE=90°．∵EG⊥EF，∴∠FEG=90°．∴∠CFE=∠CGE=∠FEG=90°．∴四边形EFCG是矩形．（2）①存在．连接OD，如图2①，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ADC=90°．∵点O是CE的中点，∴OD=OC．∴点D在⊙O上．∵∠FCE=∠FDE，∠A=∠CFE=90°，∴△CFE∽△DAB．∴=（）2．[来源:Z§xx§]∵AD=4，AB=3，∴BD=5，S△CFE=（）2•S△DAB=××3×4=．∴S矩形EFCG=2S△CFE=．∵四边形EFCG是矩形，∴FC∥EG．∴∠FCE=∠CEG．∵∠GDC=∠CEG，∠FCE=∠FDE，∴∠GDC=∠FDE．∵∠FDE+∠CDB=90°，∴∠GDC+∠CDB=90°．∴∠GDB=90°Ⅰ．当点E在点A（E′）处时，点F在点B（F′）处，点G在点D（G′）处，如图2①所示．此时，CF=CB=4．Ⅱ．当点F在点D（F″）处时，直径F″G″⊥BD，如图2②所示，此时⊙O与射线BD相切，CF=CD=3．Ⅲ．当CF⊥BD时，CF最小，如图2③所示．S△BCD=BC•CD=BD•CF∴4×3=5×CF∴CF=．∴≤CF≤4．∵S矩形EFCG=，∴×（）2≤S矩形EFCG≤×42．∴≤S矩形EFCG≤12．∴矩形EFCG的面积最大值为12，最小值为．②∵∠GDC=∠FDE=定值，点G的起点为D，终点为G″，如图2②所示，∴点G的移动路线是线段DG″．∵∠G″DC=∠BDA，∠DCG″=∠A=90°，∴△DCG″∽△DAB．∴=．∴=．∴DG″=．∴点G移动路线的长为．中考数学模拟试卷一、选择题：（本大题6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）1．实数a ，b ，c ，d 在数轴上对应的位置如图所示，绝对值相等的两个实数是 （ ）A ．a 与bB ．b 与cC ．c 与dD ．a 与d2．下列运算正确的是 （ ）A ．a 2+a 2=a 4B ．a 6÷a 3=a 2C ．a 3×a 2=a 5D ．（a 3b ）2=a 5b 33．按如图所示的方法折纸，下面结论正确的个数 （ ） ①∠2=90° ②∠1=∠AEC③△ABE∽△ECF ④∠BAE=∠3A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．若α、β是一元二次方程x 2+2x －6=0的两个不相等的根，则α2－2β的值是 （ ）A ．10B ．16C ．－2D ．－105．如图1所示，将一个正四棱锥（底面为正方形，四条测棱相等）的其中四条边剪开，得到图2，则被剪开的四条边有可能是 （ ）A ．PA ，PB ，AD ，BCB ．PD ，DC ，BC ，AB C ．PA ，AD ，PC ，BCD ．PA ，PB ，PC ，AD6．如图1，在等边三角形ABC 中，AB=2，G 是BC 边上一个动点且不与点B 、C 重合，H 是AC 边上一点，且30=∠AGH °．设BG=x ，图中某条线段长为y ，y 与x 满足的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图中的 （ ）A ．线段CGB ．线段AGC ．线段AH D．线段CH二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．据了解2016年11月12日凌晨双“十一”天猫的总成交金额达到1207亿元，1207亿元用科学记数法可表示为 元．8．如图，ABC △中，AC 、BC 上的中线交于点O ，且BE⊥AD．若BD ＝10，BO ＝8，则AO 的长为 ．9．《孙子算经》是中国图1 第5题图 图2 图1 第6题图 图2传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣．《孙子算经》记载“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五．’不知客几何？”译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗，问有多少客人？”设共有客人x 人，可列方程为 ．10.一次函数y=－2x+4与y=12x 交于点（m ，n ），则112m n+= ． 11.二次函数2y x bx =+的图象如图，对称轴为直线x=1．若关于x 的一元二次方程20x bx y +-=(t 为实数)在－1＜x ＜4的范围内有解，则y 的取值范围是 ．12.在菱形ABCD 中，AB ＝5，AC ＝8，点P 是AC 上的一个动点，过点P 作EF 垂直于AC 交AD 于点E ，交AB 于点F ，将△AEF 沿EF 折叠，使点A 落在点A'处，当△A'CD是直角三[角形时，AP 的长为 ．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13.（1）解不等式组：3+12213≤⎧⎪-⎨>⎪⎩x x x（2）如图，已知正五边形ABCDE ，AF ∥CD 交DB 的延长线于点F ，交DE 的延长线于点G ．求∠G 的度数．14.先化简，再求值：a ＋2a ＋3÷a 2－4 a 2＋3a －1，其中a ＝12．15.如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 在AD 上，请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）（1）在图1中，过点E 作直线EF 将四边形ABCD 的面积平分；（2）在图2中，DE ＝DC ，作∠A 的平分线AM ；第13题（2）图16.某商场为了吸引顾客，举行抽奖活动，并规定：顾客每购买100元的商品，就可以随机抽取一张奖券，抽得奖券“紫气东来”、“化开富贵”、“吉星高照”，就可以分别获得100元、50元、20元的购物券，抽得“谢谢惠顾”不赠购物券；如果顾客不愿意抽奖，可以直接获得购物券10元，小明购买了100元的商品，他看到商场公布的前10000张奖券的抽奖结果如下：（1）求“紫气东来”奖券出现的频率；（2）请你帮助小明判断，抽奖和直接获得购物券，哪种方式更合算？说明理由．17.近两年，市区的公共自行车给市民出行带来了极大的方便．图①是公共自行车的实物 图，图②是公共自行车的车架示意图，点A 、D 、C 、E 在同一条直线上，CD ＝30cm ， DF ＝20cm ，AF ＝25cm ，FD⊥AE 于点D ，座杆CE ＝15cm ，且∠EAB＝75°． （1）求AD 的长；（2）求点E 到AB 的距离．（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）四、（本大题3小题，每小题8分，共24分）18.随着“互联网＋”时代的到来，一种新型打车方式受到大众欢迎．该打车方式的计价 规则如图①所示，若车辆以平均速度vkm/h 行驶了skm ，则打车费用为（ps ＋60q ·s v）元（不足9元按9元计价）．小明某天用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车费用y （元）与行驶里程x （km ）的函数关系也可由如图②表示． （1）当x ≥6时，求y 与x 的函数关系式． （2）若p ＝1，q ＝0.5，求该车行驶的平均速度．图① 第10题图图②km )y (0元起步费＋计价规则19.我市某校在八，九年级开展征文活动，校学生会对这两个年级各班内的投稿情况进行统计，并制成了如图所示的两幅不完整的统计图．（1）求扇形统计图中投稿篇数为2所对应的扇形的圆心角的度数：（2）求该校八，九年级各班在这一周内投稿的平均篇数，并将该条形统计图补充完整．（3）在投稿篇数为9篇的4个班级中，八，九年级各有两个班，校学生会准备从这四个中选出两个班参加全市的表彰会，求出所选两个班正好不在同一年级的概率．20.如图所示，已知四边形OABC 是菱形，OC 在x 轴上，B （18，6），反比例函数k y x（k ≠0）的图象经过点A ，与OB 交于点E ． （1）求出k ； （2）求OE:EB ；五、（本大题2小题，每小题9分，共18分）21.如图，圆形靠在墙角的截面图，A 、B 分别为⊙O 的切点，BC ⊥AC,点P 在AmB⌒上以2°/s 的速度由A 点向点B 运动（A 、B 点除外），连接AP 、BP 、BA 。
北京东城区2019年中考一模试题-数学
北京东城区2019年中考一模试题-数学数学试卷2018、5【一】选择题〔此题共32分，每题4分〕下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.1.15-的相反数是 A.5B.15C.15-D.－52.根据国家财政部公布的2017年全国公共财政收入情况的数据显示，全国财政收入103740亿元，这是我国年度财政收入首次突破10万亿.将103740用科学记数法表示应为A.10.374×104B.0.10374×105C.1.0374×105D.1.0374×1063、如图，//,,33AB CD BC ABE C BED∠∠=︒∠平分，则的度数是 A.16︒B.33︒C.49︒D.66︒4、如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝2，=150B ∠︒，那么平行四边形ABCD 的面积为A.2B.3C.5.某校七年级有13名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛.小梅已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的A.中位数B.众数C.平均数D.极差6、如图，假设AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD ＝58°，那么∠C 等于A.116°B.64°C.58°D.32°7.甲盒子中有编号为1，2，3的3个白色乒乓球，乙盒子中有编号为4，5，6的3个黄色乒乓球、现分别从每个盒子中随机地取出1个乒乓球，那么取出乒乓球的编号之和大于6的概率为A 、94B 、95C 、32D 、978.如图，在正方形ABCD 中，AB ＝3CM ，动点M 自A 点出发沿AB 方向以每秒1CM 的速度向B 点运动，同时动点N 自A 点出发沿折线AD —DC —CB 以每秒3CM 的速度运动，到达B 点时运动同时停止.设△AMN 的面积为Y 〔CM2〕，运动时间为X 〔秒〕，那么以下图象中能大致反映Y 与X 之间的函数关系的是ABCD【二】填空题〔此题共16分，每题4分〕9.不等式512422x x ->+的解集为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.10.分解因式：214x y xy y-+＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.11.假设把代数式242x x -+化为2()x m k -+的形式，其中m 、k 为常数，那么m k ＝.12.如图，正方形ABCD 的边长为10，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E 、F 、G 、H 分别落在边AD 、AB 、BC 、CD 上，那么DE 的长为、【三】解答题〔此题共30分，每题5分〕13.014tan60(2)3-︒--+、14.解分式方程312212x x x -=++、15、先化简，再求值：2320x x --=，求代数式(1)(1)(23)x x x x +---的值.16.如图，点B C F E 、、、在同一直线上，12∠=∠，BF EC =，要使ABC ∆≌DEF ∆，还需添加的一个条件是〔只需写出一个即可〕，并加以证明、17.定义[]p q ，为一次函数y px q =+的特征数、〔1〕假设特征数是[]21m +，的一次函数为正比例函数，求m 的值；〔2〕抛物线()(2)y x n x =+-与x 轴交于点A B 、，其中0n >，点A 在点B 的左侧，与Y 轴交于点C ，且OAC △的面积为4，O 为原点，求图象过A C 、两点的一次函数的特征数、18.列方程或方程组解应用题：食品安全是老百姓关注的话题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输、某饮料加工厂生产的A 、B 两种饮料均需加入同种添加剂，A 饮料每瓶需加该添加剂2克，B 饮料每瓶需加该添加剂3克，270克该添加剂恰好生产了A 、B 两种饮料共100瓶，问A 、B 两种饮料各生产了多少瓶？【四】解答题〔此题共20分，每题5分〕19.如图，矩形ABCD 中，E 是AD 上的一点，过点E 作EF ⊥EC 交边AB 于点F ，交CB 的延长线于点G ，且EF ＝EC 、〔1〕求证：CD ＝AE ；〔2〕假设DE ＝4CM ，矩形ABCD 的周长为32CM ，求CG 的长、20.为了了解某校九年级男生的体能情况，体育老师随机抽取部分男生进行引体向上测试，并对成绩进行了统计，绘制成图1和图2尚不完整的统计图、〔1〕本次抽测的男生有人，抽测成绩的众数是； 〔2〕请你将图2的统计图补充完整；〔3〕假设规定引体向上5次以上〔含5次〕为体能达标，那么该校350名九年级男生中，估计有多少人体能达标？21.如图，△ABC 中，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，CA 是⊙O 的切线，AE 平分∠BAC 交BC 于点E ，交CD 于点F 、〔1〕求证：CE ＝CF ；〔2〕假设SINB ＝35，求DF ∶CF 的值、22.在ABC △中，AB 、BC 、AC小宝同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格〔每个小正方形的边长为1〕，再在网格中画出格点ABC △〔即ABC △三个顶点都在小正方形的顶点处〕，如图1所示、这样不需求ABC △的高，而借用网格就能计算出它的面积、〔1〕请你将ABC △的面积直接填写在横线上＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；思维拓展：〔2〕我们把上述求ABC △面积的方法叫做构图法、假设ABC △三边的长分别为〔0a >〕，请利用图2的正方形网格〔每个小正方形的边长为a 〕画出相应的ABC △，并求出它的面积填写在横线上＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；探索创新：〔3〕假设ABC △〔0a >〕，且ABC △的面积为22a ，试运用构图法在图3的正方形网格〔每个小正方形的边长为a 〕中画出所有符合题意的ABC △（全等的三角形视为同一种情况），并求出它的第三条边长填写在横线上＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿、【五】解答题〔此题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分〕23.关于X 的一元二次方程22(41)30x m x m m -+++=. 〔1〕求证：无论M 取何实数时，原方程总有两个实数根；〔2〕假设原方程的两个实数根一个大于2，另一个小于7，求M 的取值范围；〔3〕抛物线22(41)3y x m x m m =-+++与X 轴交于点A 、B ，与Y 轴交于点C ，当M 取〔2〕中符合题意的最小整数时，将此抛物线向上平移N 个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△ABC 的内部〔不包括△ABC 的边界〕，求N 的取值范围〔直接写出答案即可〕、24.∠ABC ＝90°，点P 为射线BC 上任意一点〔点P 与点B 不重合〕，分别以AB 、AP 为边在∠ABC 的内部作等边△ABE 和△APQ ，连结QE 并延长交BP 于点F.〔1〕如图1，假设AB ＝32，点A 、E 、P 恰好在一条直线上时，求此时EF 的长〔直接写出结果〕；〔2〕如图2，当点P 为射线BC 上任意一点时，猜想EF 与图中的哪条线段相等〔不能添加辅助线产生新的线段〕，并加以证明；〔3〕假设AB ＝32，设BP ＝x ，以QF 为边的等边三角形的面积Y ，求Y 关于x 的函数关系式、25.如图，在平面直角坐标系XOY 中，二次函数2y bx c =++的图象与x 轴交于A〔－1，0〕、B 〔3，0〕两点，顶点为C .（1）求此二次函数解析式；（2）点D 为点C 关于X 轴的对称点，过点A 作直线l ：y BD 于点E ，过点B 作直线BK ∥AD 交直线l 于K 点.问：在四边形ABKD 的内部是否存在点P ，使得它到四边形ABKD 四边的距离都相等，假设存在，请求出点P 的坐标；假设不存在，请说明理由；（3）在〔2〕的条件下，假设M 、N 分别为直线AD 和直线l 上的两个动点，连结DN 、NM 、MK ，求DN NM MK ++和的最小值.参考答案【一】选择题〔此题共32分，每题4分〕 题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 B C D B A D C C【三】解答题：〔此题共30分，每题5分〕 13、〔本小题总分值5分〕解：原式113=+………………4分23=-.………………5分14、〔本小题总分值5分〕解：312212x x x -=++去分母得321x x -=+………………3分解得23x =.………………4分 经检验：23x =是原方程的解.所以原方程的解是23x =.………………5分15、〔本小题总分值5分〕 解：原式＝(1)(1)(23)x x x x +---＝22123x x x --+………………2分 ＝231x x -+-.………………3分 ∵2320x x --=，∴232x x -=.………………4分∴原式＝－3.………………5分 16、〔本小题总分值5分〕解：可添加的条件为：AC DF B E A D =∠=∠∠=∠或或〔写出其中一个即可〕.…1分证明：∵BF EC =， ∴BF CF EC CF -=-. 即BC EF =.－－－－－－－2分 在△ABC 和△DEF 中，,12,,AC DF BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△DEF.－－－－－－－－5分 17、〔本小题总分值5分〕 解：（1）由题意得10m +=. ∴1m =-.－－－－－－－1分〔2〕由题意得点A 的坐标为〔－N ，0〕，点C 的坐标为〔0，－2N 〕.………………2分∵OAC △的面积为4，∴1242n n ⨯=.∴2n =.∴点A 的坐标为〔－2，0〕，点C 的坐标为〔0，－4〕.…………………………3分 设直线AC 的解析式为y kx b =+.∴02,4.k b b =-+⎧⎨-=⎩∴2,4.k b =-⎧⎨=-⎩…………………………4分 ∴直线AC 的解析式为24y x =--. ∴图象过A C 、两点的一次函数的特征数为[]24--，.………………………5分18、〔本小题总分值5分〕解法一：设A 饮料生产了X 瓶，那么B 饮料生产了〔100－X 〕瓶.…………………………2分依题意，得2X ＋3（100－X ）＝270.…………………………3分解得X＝30，100－X＝70.…………………………4分答：A饮料生产了30瓶，B饮料生产了70瓶........................................5分解法二：设A饮料生产了X瓶，B饮料生产了Y瓶. (1)分依题意，得10023270.x yx y+=⎧⎨+=⎩，…………………………………3分解得30,70.xy=⎧⎨=⎩…………………………………4分答：A饮料生产了30瓶，B饮料生产了70瓶.…………………………………5分【四】解答题〔此题共20分，每题5分〕19.〔本小题总分值5分〕解：〔1〕证明：在RT△AEF和RT△DEC中，∵EF⊥CE，∴∠FEC＝90°、∴∠AEF＋∠DEC＝90°，而∠ECD＋∠DEC＝90°，∴∠AEF＝∠ECD、…………………………1分又∠FAE＝∠EDC＝90°，EF＝EC，∴RT△AEF≌RT△DCE、∴AE＝CD、…………………………2分〔2〕∵AD＝AE＋4，∵矩形ABCD的周长为32CM，∴2〔AE＋AE＋4〕＝32、、解得AE＝6、…………………………3分∴AF＝4，BF＝2.由AD∥BC可证△AEF∽△BGF、…………………………4分∴2AE AFBG BF==、21世纪教育网∴BG＝3.∴CG＝13.…………………………5分20.〔本小题总分值5分〕解：（1）50，5；…………………………2分（2）如下图：…………………………3分（3）252)501041(350=+-⨯.答：估计有252人体能达标.………………………………5分21、〔本小题总分值5分〕解：〔1〕证明：∵BC是直径，∴∠ADC＝90°.∴∠1＋∠3＝90°.………………1分 ∵CA 是圆的切线， ∴∠ACB ＝90°.∴∠2＋∠4＝90°.………………2分 ∵AE 平分∠BAC ， ∴∠1＝∠2. ∴∠3＝∠4. ∵∠3＝∠5， ∴∠4＝∠5.∴CE ＝CF.………………3分〔2〕过点E 作EG ⊥AB 于点G.………………4分 ∴EG ＝EC ，CD ∥EG. ∴EG ＝CF.∴DF ADEG AG =. 又易证AG ＝AC.∴DF ADFCAC =. 又可证∠ACD ＝∠B.∴DF ∶CF 的值为35.………………5分22、〔本小题总分值5分〕解：〔1〕ABC △的面积为72；……………………1分 〔2〕ABC △的面积为252a；…………………………3分〔3〕图中三角形为符合题意的三角形.…………………………5分 【五】解答题：〔此题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分〕23、〔本小题总分值7分〕 解：（1）证明：Δ＝[]22(41)4(3)m m m -+-+＝2441m m ++＝2(21)m +∵2(21)m +≥0，∴无论M 取何实数时，原方程总有两个实数根.………………2分〔2〕解关于X 的一元二次方程22(41)30x m x m m -+++=， 得1231,= x m x m =+.………………3分由题意得312,317,7. 2.m m m m +>+>⎧⎧⎨⎨<<⎩⎩或………………4分解得173m <<.………………5分〔3〕符合题意的N 的取值范围是91544n <<.……………7分 24.〔本小题总分值7分〕解：〔1〕EF ＝2、……………1分〔2〕EF ＝BF 、……………2分21世纪教育网21世纪教育网 证明：∵∠BAP ＝∠BAE －∠EAP ＝60°－∠EAP ， ∠EAQ ＝∠QAP －∠EAP ＝60°－∠EAP ， ∴∠BAP ＝∠EAQ 、 在△ABP 和△AEQ 中，AB ＝AE ，∠BAP ＝∠EAQ ，AP ＝AQ ， ∴△ABP ≌△AEQ 、∴∠AEQ ＝∠ABP ＝90°、∴∠BEF 180180906030AEQ AEB =︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒、 又∵∠EBF ＝90°－60°＝30°， ∴EF ＝BF 、……………4分（3）在图1中，过点F 作FD ⊥BE 于点D 、 ∵△ABE 是等边三角形， ∴BE ＝AB ＝32、 由〔2〕得=∠EBF 30°， 在RT △BDF中，BD =、 ∴BF ＝2cos30BG=︒、∴EF ＝2、∵△ABP ≌△AEQ ， ∴QE ＝BP ＝x 、 ∴QF ＝QE ＋EF 2x =+、∴以QF 为边的等边三角形的面积Y＝222)x x +=7分25、〔本小题总分值8分〕解：（1）∵点A 、B 的坐标分别为〔－1，0〕、〔3，0〕，∴0,30.b c b c -+=++=解得b c ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴二次函数解析式为2y x =-.……………2分 〔2〕可求点C 的坐标为〔1，-〕∴点D 的坐标为〔1，.可求直线AD的解析式为y =由题意可求直线BK的解析式为y =-.∵直线l的解析式为y ， ∴可求出点K 的坐标为（5，.易求4AB BK KD DA ====.∴四边形ABKD 是菱形.∵菱形的中心到四边的距离相等，∴点P 与点E 重合时，即是满足题意的点，坐标为〔2.……………5分（3）∵点D 、B 关于直线AK 对称，∴DN MN +的最小值是MB .过K 作KF ⊥X 轴于F 点.过点K 作直线AD 的对称点P ，连接KP ，交直线AD 于点Q ，∴KP ⊥AD.∵AK 是∠DAB 的角平分线，∴KF KQ PQ ===∴MB MK +的最小值是BP .即BP 的长是DN NM MK ++的最小值. ∵BK ∥AD ，∴90BKP ∠=︒.在RT △BKP 中，由勾股定理得BP ＝8.∴DN NM MK ++的最小值为8.……………8分。
最新北京市东城区2019年最新中考一模(5月)数学试卷(含答案)(精校版)
北京市东城区2019年中考一模（5月）数学试卷一、选择题(本题共16分，每小题2分)下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的1．如图，若数轴上的点A ，B 分别与实数-1，1对应，用圆规在数轴上画点C ，则与点C 对应的实数是 A . 2B .3C . 4D . 52. 当函数()212y x =--的函数值y 随着x 的增大而减小时，x 的取值范围是 A ．x ＞0B ．x ＜1C ．1x ＞D ．x 为任意实数3．若实数a ，b 满足a b ＞，则与实数a ，b 对应的点在数轴上的位置可以是4．如图，O 是等边△ABC 的外接圆，其半径为3. 图中阴影部分的面积是 A ．πB ．3π2C ．2πD ．3π1题 4题5．点A （4，3）经过某种图形变化后得到点B （-3，4），这种图形变化可以是 A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称C ．绕原点逆时针旋转90°D ．绕原点顺时针旋转90°6． 甲、乙两位同学做中国结，已知甲每小时比乙少做6个，甲做30个所用的时间与乙做45个所用的时间相同，求甲每小时做中国结的个数. 如果设甲每小时做x 个，那么可列方程为 A ．30456x x =+ B ．30456x x =-C ．30456x x =-D ．30456x x=+ 7．第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举行.冬奥会的项目有滑雪（如跳台滑雪、高山滑雪、单板滑雪等）、滑冰（如短道速滑、速度滑冰、花样滑冰等）、冰球、冰壶等.如图，有5张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有跳台滑雪、速度滑冰、冰球、单板滑雪、冰壶五种不同的项目图案，背面完全相同．现将这5张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是滑雪图案的概率是12139有意义，则实数x的取值范围是__________________.10．分解因式：24m n n-= ________________.11．若多边形的内角和为其外角和的3倍，则该多边形的边数为________________.12. 化简代数式11+122xxx x⎛⎫+÷⎪--⎝⎭，正确的结果为________________.13．含30°角的直角三角板与直线l1，l2的位置关系如图所示，已知l1//l2，∠1=60°. 以下三个结论中正确的是_____________（只填序号）. ①2AC BC =; ②BCD △为正三角形; ③AD BD =14.将直线y =x 的图象沿y 轴向上平移2个单位长度后，所得直线的函数表达式为 ____________，这两条直线间的距离为____________.15. 举重比赛的总成绩是选手的挺举与抓举两项成绩之和，若其中一项三次挑战失败，则该项成绩为0. 甲、乙是同一重量级别的举重选手，他们近三年六次重要比赛的成绩如下（单位：公斤）：如果你是教练，要选派一名选手参加国际比赛，那么你会选派____________（填“甲”或“乙”），理由是______________________________________． 16．已知正方形ABCD .求作：正方形ABCD 的外接圆. 作法：如图，（1）分别连接AC ，BD ，交于点O ;(2) 以点O 为圆心，OA 长为半径作O .O 即为所求作的圆.请回答：该作图的依据是_____________________________________.三、解答题(本题共68分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第26-27，每小题7分，第28题8分)17．计算：()212sin 60-π-2++1-3-⎛⎫︒ ⎪⎝⎭.18． 解不等式组4+6,23x x x x ⎧⎪+⎨⎪⎩＞≥， 并写出它的所有整数解.19. 如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于点D . BF 平分∠ABC 交AD 于点E ，交AC 于点F . 求证：AE =AF .20. 已知关于x 的一元二次方程()2320x m x m -+++=.(1) 求证：无论实数m 取何值，方程总有两个实数根； (2) 若方程有一个根的平方等于4，求m 的值.21．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，延长BA 至点E ，使AE = AB ，连接DE ，AC . （1）求证：四边形ACDE 为平行四边形;（2）连接CE 交AD 于点O . 若AC=AB =3，1cos 3B =，求线段CE 的长.22. 已知函数()30y x x=＞的图象与一次函数()20y ax a =-≠的图象交于点A ()3,n .（1）求实数a 的值；(2) 设一次函数()20y ax a =-≠的图象与y 轴交于点B .若点C 在y 轴上，且=2ABC AOB S S △△，求点C 的坐标.23． 如图，AB 为O 的直径，点C ，D 在O 上，且点C 是BD 的中点.过点C 作 AD 的垂线EF 交直线AD 于点E .（1）求证：EF 是O 的切线；（2）连接BC . 若AB =5，BC =3，求线段AE 的长.24．随着高铁的建设，春运期间动车组发送旅客量越来越大.相关部门为了进一步了解春运期间动车组发送旅客量的变化情况，针对2014年至2019年春运期间铁路发送旅客量情况进行了调查，具体过程如下. (I )收集、整理数据请将表格补充完整：（II ）描述数据为了更直观地显示春运期间动车组发送旅客量占比的变化趋势，需要用 ___________(填“折线图”或“扇形图”)进行描述； （III ）分析数据、做出推测预计2019年春运期间动车组发送旅客量占比约为___________，你的预估理由是_________________________________________ .25. 如图，在等腰△ABC 中，AB =AC ,点D ,E 分别为BC ，AB 的中点，连接AD .在线段AD 上任取一点P ,连接PB ,PE .若BC =4,AD =6，设PD =x （当点P 与点D 重合时，x 的值为0），PB +PE =y .小明根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变换而变化的规律进行了探究. 下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、计算，得到了x 与y 的几组值，如下表： （说明：补全表格时，相关数值保留一位小数）. （参考数据：1.414≈1.732≈2.236≈）(2) 建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）函数y 的最小值为______________(保留一位小数)，此时点P 在图1中的位置为________________________.26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()02342≠-+-=a a ax ax y 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧）． （1）当抛物线过原点时，求实数a 的值； （2）①求抛物线的对称轴；②求抛物线的顶点的纵坐标（用含a的代数式表示）；（3）当AB≤4时，求实数a的取值范围．27. 已知△ABC 中，AD 是的平分线，且AD =AB ， 过点C 作AD 的垂线，交 AD 的延长线于点H ．（1）如图1，若 ①直接写出B ∠和ACB ∠的度数； ②若AB =2，求AC 和AH 的长；（2）如图2，用等式表示线段AH 与AB +AC 之间的数量关系，并证明．BAC ∠60BAC ∠=︒28．给出如下定义：对于⊙O的弦MN和⊙O外一点P（M，O，N三点不共线，且P，O在直线MN的异侧），当∠MPN＋∠MON=180°时，则称点P是线段MN关于点O的关联点．图1是点P为线段MN关于点O的关联点的示意图.在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1.（1）如图2，22M⎛⎝⎭，22N⎛⎫-⎪⎪⎝⎭.在A（1，0），B（1，1），)C三点中, 是线段MN关于点O的关联点的是；（2）如图3，M（0，1），N122⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，点D是线段MN关于点O的关联点.①∠MDN的大小为°；②在第一象限内有一点E),m，点E是线段MN关于点O的关联点，判断△MNE的形状，并直接写出点E的坐标；③点F在直线23y x=-+上，当∠MFN≥∠MDN时，求点F的横坐标Fx的取值范围．东城区2019-2020学年度第一次模拟检测初三数学试题参考答案及评分标准 2018.5一、选择题（本题共16分，每小题2分）二、填空题（本题共16分，每小题 2分） 9. 1x ≥10.()()22n m m +-11.812.2x 13. ②③14. 2y x =+ 15. 答案不唯一，理由须 支撑推断结论16. 正方形的对角线相等且互相平分，圆的定义三、解答题（本题共68分，17-24题，每题5分，第25题6分，26-27题，每小题7分，第28题8分）=217.解：原式分分18. 解：4+6,23x x x x ⎧⎪⎨+⎪⎩①②＞≥，由①得，-x ＞2，------------------1分由②得，1x ≤， ------------------2分 ∴不等式组的解集为-1x 2＜≤. 所有整数解为-1, 0, 1. ---------------------5分19.证明： ∵∠BAC =90°，∴∠FBA +∠AFB =90°.-------------------1分 ∵AD ⊥BC ，∴∠DBE +∠DEB =90°．---------------- 2分 ∵BE 平分∠ABC ,∴∠DBE =∠FBA . -------------------3分∴∠AFB =∠DEB .-------------------4分∵∠DEB =∠FEA ，∴∠AFB =∠FEA .∴AE =AF .-------------------5分20. （1）证明：()()2=+3-42m m ∆+()2=+1m∵()2+10m ≥，∴无论实数m 取何值，方程总有两个实根. -------------------2分（2）解：由求根公式，得()()1,231=2m m x +±+，∴1=1x ，2=+2x m .∵方程有一个根的平方等于4，∴()2+24m =.解得=-4m ，或=0m .-------------------5分21.(1) 证明：∵平行四边形ABCD ，∴=AB DC ，AB DC ∥.∵AB =AE ，∴=AE DC ，AE DC ∥.∴四边形ACDE 为平行四边形.-------------------2分(2) ∵=AB AC ，∴=AE AC .∴平行四边形ACDE 为菱形.∴AD ⊥CE .∵AD BC ∥，∴BC ⊥CE.在Rt △EBC 中，BE =6,1cos 3BC B BE ==,∴=2BC .根据勾股定理，求得BC 分22.解：（1）∵点()3,A n 在函数()30y x x=＞的图象上， ∴=1n ，点()3,1A .∵直线()20y ax a =-≠过点()3,1A ，∴ 321a -=.解得1a =.----------------------2分(2)易求得()0,2B -. 如图，12AOB A S OB x =⋅△，1=2ABC A S BC x ⋅△∵=2ABC AOB S S △△，∴=24BC OB =.∴()10,2C ,或()20,6C -. ----------------------5分23. （1）证明：连接OC .∵CD CB =∴∠1=∠3.∵OA OC =，∴∠1=∠2.∴∠3=∠2.∴AE OC ∥.∵AE EF ⊥，∴OC EF ⊥.∵ OC 是O 的半径，∴EF 是O 的切线.----------------------2分（2）∵AB 为O 的直径，∴∠ACB =90°.根据勾股定理，由AB =5,BC =3,可求得AC =4.∵AE EF ⊥ ，∴∠AEC =90°.∴△AEC ∽△ACB . ∴AE ACAC AB =.∴445AE =. ∴165AE =. ----------------------5分24. 解：(I)：56.8%；----------------------1分(II)折线图； ----------------------3分(III)答案不唯一，预估的理由须支撑预估的数据，参考数据61%左右.--------5分25.解：（1）4.5 . --------------------2分（2）--------------------4分(3) 4.2，点P 是AD 与CE 的交点.--------------------6分26.解：(1) ∵点()0,0O 在抛物线上，∴320a -=，23a =.--------------------2分(2)①对称轴为直线2x =；②顶点的纵坐标为 2a --.--------------------4分(3) （i ）当0a ＞时， 依题意，-20320.a a -⎧⎨-⎩＜，≥ 解得2.3a ≥ （ii ）当0a ＜时，依题意，-20320.a a -⎧⎨-⎩＞，≤解得a ＜-2.综上，2a -＜，或23a ≥. --------------------7分27. （1）①75B ∠=︒，45ACB ∠=︒；--------------------2分②作DE ⊥AC 交AC 于点E .Rt △ADE 中，由30DAC ∠=︒，AD=2可得DE =1，AE =.Rt △CDE 中，由45ACD ∠=︒，DE=1，可得EC =1.∴AC 1.Rt △ACH 中，由30DAC ∠=︒，可得AH =；--------------4分（2）线段AH 与AB +AC 之间的数量关系：2AH =AB +AC证明：延长AB 和CH 交于点F ，取BF 中点G ，连接GH .易证△ACH ≌△AFH .∴AC AF =,HC HF =.∴GH BC ∥.∵AB AD =，∴ ABD ADB ∠=∠.∴ AGH AHG ∠=∠ .∴ AG AH =.∴()2222AB AC AB AF AB BF AB BG AG AH +=+=+=+==. --------------7分28.解：（1）C ；--------------2分（2）①60°；②△MNE 是等边三角形，点E 的坐标为)；--------------5分③直线2y =+交 y 轴于点K （0，2），交x 轴于点()T 0.∴2OK =，OT =∴60OKT ∠=︒.作OG ⊥KT 于点G ,连接MG .∵()M 0，1，∴OM =1.∴M 为OK 中点 .∴ MG =MK =OM =1.∴∠MGO =∠MOG =30°，OG ∴3.2G ⎫⎪⎪⎝⎭，∵120MON ∠=︒,∴ 90GON ∠=︒.又OG =，1ON =，∴30OGN ∠=︒.∴60MGN ∠=︒.∴G 是线段MN 关于点O 的关联点.经验证，点)E 在直线2y x =+上.结合图象可知， 当点F 在线段GE 上时 ，符合题意. ∵G F E x x x ≤≤，F x 分.。
北京东城区初三一模数学试题目答案共5页文档
北京市东城区2019--2019学年第二学期初三综合练习（一）数学试卷参考答案一、选择题（本题共32分，每小题4分）题 号1 2 3 45 6 7 8 答 案A C A C BDBB二、填空题（本题共16分，每小题4分）题 号9 10 1112 答 案x ≠5b (a -1)2（1,0），（3,0）或 （0,3），（4,3）等938，0 1)332(-n ，0三、解答题：（本题共30分，每小题5分） 13．（本小题满分5分）解:084sin 45(3)4-︒+-π+-=22422⨯-+1+4 ………………………………………4分 =5． …………………………………… 5分14．（本小题满分5分） 解：由①得：x ≤2. --------1分 由②得：x-3＞-4,x ＞-1. --------2分∴原不等式组的解集为 -1＜x ≤2. --------3分 ∴原不等式组的整数解为 0,1,2. --------5分 15．（本小题满分5分）=x x x x x x x 1]12)1)(1(3[2-⨯--+---------2分=12+-x x . --------3分 当13-=x 时，3133312-=-=+-x x .--------5分 16．（本小题满分5分）证明：∵AC 是∠DAE 的平分线， ∴∠1=∠2. -------1分 又∵AD ∥EC ，∴∠2=∠3. ------2分 ∴∠1=∠3.∴AE=CE. --------3分-121ABCD E231在△ABE 和△CBE 中， AE=CE ， ∠AEB=∠CEB ， BE=BE ，∴△ABE ≌△CBE. --------4分 ∴AB=CB. ------5分17．（本小题满分5分）解：设小明家2月份用气x 立方米，则去年12月份用气(x +10) 立方米．-------1分 根据题意，得%251096109690⨯+=+-x x x ． ----------------3分 解这个方程，得x ＝30． ---------------4分 经检验，x ＝30是所列方程的根．答：小明家2月份用气30立方米． -----------------5分 18．（本小题满分5分） 证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠B=∠D.又Q AE ⊥BC ，AF ⊥CD ， ∴∠AEB=∠AFD.∴∠BAE=∠DAF.---------2分 （2）在Rt △ABE 中，sin ∠BAE=53，AE=4,可求 AB=5. ---------3分 又∵∠BAE=∠DAF ， ∴ sin ∠DAF=sin ∠BAE=53. 在Rt △ADF 中，AF=524, sin ∠DAF =53,可求DF=518-------4分 ∵ CD=AB=5. ∴CF=5-518=57． …………………………………………5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19.（本小题满分5分）解：（1）0.6；36；------------2分 （2）72°；补全图如下：ABCDEF60%比较了解20%非常了解基本了解不太了解2%18%------------4分（3）1500×0.6＝900.答：学生中“比较了解”的人数约为900人 ------------5分 20.（本小题满分5分）（1）证明：在⊙O 中，OD ⊥AB ，CB ⊥AB ，∴AM ＝MB ，OD ∥BC . …………………1分 ∴AD ＝DC . ……………2分 （2）∵DE 为⊙O 切线， ∴OD ⊥DE ……………3分 ∴四边形MBED 为矩形.∴DE ∥AB. ……………4分 ∴MB=DE =2，M D=BE ＝EC =1. 连接OB.在R t △OBM 中，OB 2=OM 2+BM 2.解得 OB=25. …………………5分 21．（本小题满分5分）解：（1）∵点A (1,6),B (a ,3)在反比例函数y =xk 2的图象上， ∴ k 2=1×6=6. --------1分 ∴ a ×3=6，a =2. ∴B (2，3).由点A (1,6),B (2,3)也在直线y=k 1x+b 上，得⎩⎨⎧=+=+,32,611b k b k解得k 1=-3.∴k 1=-3， k 2=6. -----------------2分 (2) 设点P 的坐标为（m,n ）. 依题意，得21×3（m +2+m -2）=18，m =6. -----------------3分 ∴ C （6,3），E （6,0）. ∵ 点P 在反比例函数y =x6的图象上， ∴ n =1. ------------------4分 ∴PE ：PC =1：2 . ------------------5分 22．（本小题满分5分）C DxyOEPA BMOA BCDE解： （1）设AD =x ，由题意得，BG=x －2，CG=x-3. 在Rt △BCG 中，由勾股定理可得 222(2)(3)5x x -+-=. 解得 6x =. --------------2分（2）参考小萍的做法得到四边形AEGF ，∠EAF=60°，∠EGF=120°，∠AEG=∠AFG= 90°，AE=AF=AD=4. 连结EF ，可得 △AEF 为等边三角形. ∴ EF=4.∴ ∠FEG=∠EFG= 30°. ∴ EG=FG.在△EFG 中，可求，433EG =. ∴△EFG 的周长＝BG+CG+BC=BG+CG+EB+FC=2EG=833. --------------5分 五、解答题：（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．（本小题满分7分）解： 由方程(m -1)x 2-(2m -1)x +2+x m =0可得 ∵21,x x 均为正整数，m 也是整数，∴m =2. ----------3分 （2）由（1）知x 2-3x +2+x2=0. ∴x 2-3x +2= -x2. 画出函数y = x 2-3x +2，y = -x2的图象，---------6分 由图象可知，两个函数图象的交点个数是1. ---------7分24. （本小题满分7分）（1）△EPF 为等边三角形. --------------1分 （2）设BP=x ，则CP ＝6－x.由题意可 △BEP 的面积为238x . △CFP 的面积为23(6)2x -. △ABC 的面积为93.设四边形AEPF 的面积为y.自变量x 的取值范围为3＜x ＜6. --------------4分 （3）可证△EBP ∽△PCF.设BP=x ，则 (6)8x x -=.解得 124,2x x ==.∴ PE 的长为4或23. --------------7分Oxy GF ED CBA25．（本小题满分8分）解：（1）依题意，可知 C(0,8),则B(4,0) 将A(-2,0)，B(4，0)代入 y=ax 2+bx +8，⎩⎨⎧=++=+-.08416,0824b a b a 解得⎩⎨⎧=-=.2,1b a 配方得y2(1)9x =--+，顶点D （1,9）. ---------3分 （2）假设满足条件的点P 存在，依题意设(2)P t ，， 由(08)(19)C D ，，，求得直线CD 的解析式为8y x =+， 它与x 轴的夹角为45o． 过点P 作PN ⊥y 轴于点N.依题意知，∠NPO=30°或∠NPO=60°. ∵PN=2，∴ON=332或23． ∴存在满足条件的点P ，P 的坐标为（2，332 ）和(2，23)．-----------6分 （3）由上求得(80)(412)E F -，，，．当抛物线向上平移时，可设解析式为228(0)y x x m m =-+++>． 当8x =-时，72y m =-+． 当4x =时，y m =．720m ∴-+≤或12m ≤．由题意可得m 的范围为072m ∴<≤．∴ 抛物线最多可向上平移72个单位． -----------8分FP 2M 2N 2P 1N 1M 1HABOxy CD11E。
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∴
，
∴四边形
是菱形．
（ 2 ）作
于，
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∵
是菱形，
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∴
，
，
∵
，
，
∴
，
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
证明：∵ 平分
．
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
∴
．（
）（填推理的依据）
【答案】（ 1 ）画图⻅解析．
（2）
，
，内错⻆相等，两直线平行．
【解析】（ 1 ）
（ 2 ） ∵ 平分
，
∴
．
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【解析】 设 得
，将 ，
得
，
∴
，
时，
故选 ．
，
代入，
．
8. 改革开放 年以来，城乡居⺠生活水平持续快速提升．居⺠教育、文化和娱乐消费支出持续增 ⻓，已经成为居⺠各项消费支出中仅次于居住、⻝品烟酒、交通通信后的第四大消费支出．下图 为北京市统计局发布的 年和 年我市居⺠人均教育、文化和娱乐消费支出的折线图． 教育、文化和娱乐消费支出折线图
∴
．
22. 在平面直⻆坐标系 中，直线 （ 1 ） 求 及 的值． （ 2 ） 点 是 轴正半轴上的一点，且 标．
与双曲线
交于点
．
是等腰三⻆形，请直接写出所有符合条件的点 的坐
【答案】（ 1 ） ．
（2）
或或
．
【解析】（ 1 ）∵
在
上，
∴
，
∴
，
∵直线
过
，
∴代入得
，
∴．
（2）
或或
．
23. 如图， 与⊙ 相切于点 ， 为 上一点，且 ．
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求作：直线 ，使得
．
作法：如图，
①直线 上取一点 ，连接 ；
②
的平分线 ；
③点 为圆心， ⻓为半径画弧，交射线 于点 ；
④作直线 ．
所以直线 就是所求作的直线．
根据小明设计的尺规作图过程，
（ 1 ） 用直尺和圆规，补全图形．（保留作图痕迹）
（ 2 ） 完成下面的证明．
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元
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季度
一二 三四 一二三 四
年
年
说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如 年第二季度
2.
年中国北京世界园艺博览会于 月 日在北京延庆举行，会期共 天．预计参观人数不少于
人次．将
用科学记数法表示应为（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】 B
【解析】
，
故选： ．
3. 已知实数 ， 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【解析】 偶数有 、 、 一共 个数字，偶数向上教概研率云资为源页 ． 故答案为： ．
11. 能说明命题“若 ，则
”是假命题的一个 值是
．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】 ，则
错误，只需
故答案为： ．
即可．
12. 如图， 为
的外接圆⊙ 的直径，若
，则
．
【答案】 【解析】 连接 ，
时间 分
（ 2 ） 将 人用时从小到大排序应为第 名和第 名平均数，
可知中位数在
内的第 名和第 名平均数，
∴中位数为
（分）．
故答案为： ．
（ 3 ） 该年级采用公共交通工具人数为
（人），
单程不少于 分钟的人数为
（人）．
故答案为： ； ．
25. 如图，点 在弦 所对的优弧上，且 为半圆， 是 上的动点，连接 ， ．已知 ，设 ， 两点间的距离为 ，点 到弦 所在直线的距离为 ， ， 两点间的距离为 ．
，连接 并延⻓交⊙ 于点 ，连接
（ 1 ） 求证：
．
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2019/12/19 （ 2 ） 若⊙ 的半径为 ，
，求 的⻓． 教研云资源页
．
，过点 作
于点 ，过点 作
于点 ，
【答案】（ 1 ） （2）
【解析】（ 1 ）
．
（ 2 ） 设直线 交 于点 ，
∵ 为 中点，
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
由
知，
，
∴
．
三、解答题
（本题共68分）
17. 下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线“的尺规作图过程．
已知如图，直线 及直线 外一点 ．
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则 的值是
．
中，点 在 的延⻓线上，且
，连接 交 于点 ，
【答案】
【解析】 ∵ ∴ ∵ ∴设 ∴ ∵ ∴ ∴
为平行四边形，
，
，
，
，则
，
，
，
．
15. 为方便市⺠出行， 年北京地铁推出了电子定期票．电子定期票在使用有效期限内，支持单人
不限次数乘坐北京轨道交通全路网（不含机场线）所有线路．电子定期票包括一日票、二日票、
，
，
，
，
，
）：
频数 学生人数
.采用公共交通方式单程所花费时间在
这一组的是：
时间 分
根据以上信息，完成下列问题：
（ 1 ） 补全频数分布直方图．
（ 2 ） 采用公共交通方式单程所花费时间的中位数为
（ 3 ） 请你估计该年级采用公共交通方式上学的一共有
有
人．
分． 人，其中单程不少于 分钟的
【答案】（ 1 ）画图⻅解析． （2） （3） ;
∵ 为⊙ 的直径，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
故答案为 ．
13. 《九章算术》中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大小器各容几
何？”其大意是：今有大容器 个，小容器 个，总容量为 斛；大容器 个，小容器 个，总容量为
斛，问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器容量为 斛，小容器容量为 斛，根据题
二、填空题
（本题共8小题。每题2分，共16分）
9. 若式子
在实数范围内有意义，则 的取值范围是
．
【答案】
【解析】 由题意得：
要使二次根式有意义，根号内的数非负，
所以
，．
10. 有一个质地均匀的正方体，六个面上分别标有
面的数字是偶数的概率为
．
这六个整数，投掷这个正方体一次，则向上一
【答案】
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2019年北京东城区初三一模数学试卷(详解)
一、选择题
（本题共8小题。每题2分，共16分）
1. 下列立体图形中，主视图是圆的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】 D
【解析】 A 选项：主视图为三⻆形． B 选项：主视图为矩形． C 选项：主视图为梯形． D 选项：主视图为圆． 故选 D .
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∴
，
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∴
．
24. 某年级共有 名学生，为了解该年级学生上学的交通方式，从中随机抽取 名学生进行问卷调 查，并对调查数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． .不同交通方式学生人数分布统计图如下： 步行
自行车
公共交通
私家车
公共交通 步行
私家车 自行车
.采用公共交通方式单程所花费时间（分）的频数分布直方图如下（数据分成 组：
【答案】（ 1 ） （2）
．
，
．
【解析】（ 1 ）∵
有实数根
∴
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∴
．
（ 2 ）∵
， 为最大整数，
∴，
三日票、五日票及七日票共五个种类，价格如下表：
种类
一日票
二日票
三日票
五日票
七日票
单价（元/张）
某人需要连续 天不限次数乘坐地铁，若决定购买电子定期票，则总费用最低为
元．
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