分段函数和映射详解

12xx≥2 (1)求 fff－21的值， (2)若 f(x)＝2，求 x 的值．
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必修1 第一章 集合与函数概念
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[思路点拨] 分段考虑求值即可． (1)先求 f－12，再求 ff－21，最后求 fff－12； (2)分别令 x＋2＝2，x2＝2，12x＝2，分段验证求 x.
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1．(1)设 A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，在图 中不能表示从集合 A 到集合 B 的映射的是( )
(2)已知集合 A＝{a，b}，B＝{0,1}，则下列对应不 是从 A 到 B 的映射的是( )
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解析： (1)A，B，D符合映射定义，C中x∈[0,2) 时，每一个x都有两个元素与之对应，故不是映 射． (2)C中，b元素无对应元素，且a元素有两个元素 与之对应． 答案： (1)C (2)C
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分段函数
x＋2x<0 已知函数 f(x)＝x20≤x<2 ，
答案： (1)4 (2)(－∞，－3)
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分段函数的图象
已知函数f(x)＝2|x－1|－3|x|，x∈R. (1)画出函数f(x)的图象； (2)求函数f(x)的值域． [思路点拨] 本题为含有绝对值的函数，应先用 零点分段讨论法去掉绝对值符号，再画出分段函 数的图象，然后解之．
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(3)因为一个圆有无数个内接矩形，即集合A中任 何一个元素在集合B中有无数个元素与之对应， 故不是映射． (4)对A中任何一个元素，按照对应关系f，在B中 都有唯一一个元素与之对应，符合映射定义， 是映射．
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判断对应关系f：A→B是否为集合A到集合B的映 射的方法 (1)明确集合A、B中的元素． (2)判断A的每一个元素是否在集合B中有唯一的元 素与之相对应．若进一步判断是否为一一映射， 还需注意B中的每一个元素在A中都有元素与之对 应，集合A中的不同元素对应的元素不相同．
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[思路点拨] 根据映射的定义，判断一个对应是 否为映射，只要检验对A中的任何元素，按对应 关系f，是否在B中都有唯一元素与之对应．
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(1)不是．当 x＝2∈A 时， |x－2|＝0∉B， 即 A 中的元素 2 在 B 中没有元素和它对应， 所以(1)不是映射． (2)是．∵y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2， ∴对任意的 x，总有 y≥2. 又当 x∈N 时，x2－2x＋3 必为整数，即 y∈Z. ∴当 x∈A 时，x2－2x＋3∈B. ∴对 A 中每一个元素 x，在 B 中都有唯一的 y 与 之对应．故(2)是映射．
第2课时 分段函数和映射
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映射的概念
下列对应是不是从 A 到 B 的映射？ (1)A＝B＝N*，f：x→|x－2|； (2)A＝{x|x≥2，x∈N}，B＝{y|y≥0，y∈Z}， f：x→y＝x2－2x＋3； (3)A＝{平面内的圆}，B＝{平面内的矩形}，对应 关系 f：作圆的内接矩形； (4)A＝{高一·一班的男生}，B＝{男生的身高}，对 应关系 f：每个男生对应自己的身高．
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(1)f－12＝－12＋2＝32.2 分 ∴ff－12＝f32＝322＝94，4 分 ∴fff－21＝f94＝12×94＝98.6 分 (2)当 f(x)＝x＋2＝2 时，x＝0，不符合 x<0. 当 f(x)＝x2＝2 时，x＝± 2，其中 x＝ 2符合 0≤x<2. 8分
当 f(x)＝12x＝2 时，x＝4，符合 x≥210 分 综上，x 的值是 2或 4.12 分
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解析： (1)当 x<0 时，y＝－2(x －1)＋3x ＝x＋2； 当 0≤x<1 时，y＝－2(x－1)－3x ＝－5x＋2； 当 x≥1 时，y＝2(x－1)－3x＝－x －2.
x＋2， x<0，
因此 y＝－5x＋2， 0≤x<1， －x－2， x≥1.
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2．(1)已知 f(x)＝2xx2，，xx≥<00 ，若 f(x)＝16，则 x
的值为________．
x，x≤－2
(2)函数 f(x)＝x＋1，－2<x<4 3x，x≥4
，若 f(a)<－3，则
a 的取值范围是________．
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(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值 所在的范围，代入相应的解析式求得． (2)多层“f ”的问题，要按照“由里到外”的顺 序，层层处理． (3)已知分段函数的函数值求相对应的自变量的 值，可分段利用函数解析式求得自变量的值， 但应注意检验分段解析式的适用范围，也可先 判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再 求解．
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解析： (1)当 x<0 时，2x＝16，无解；当 x≥0 时，x2＝16，解得 x＝4. (2)当 a≤－2 时，f(a)＝a<－3，此时不等式的解 集为 a<－3. 当－2<a<4 时，f(a)＝a＋1<－3，此时不等式无解． 当 a≥4 时，f(a)＝3a<－3，此时不等式无解． 所以，a 的取值范围是(－∞，－3)．
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必修1 第一章 集合与函数概念
依上述解析式作出图象，如图． (2)由图象可以看出：所求值域为(－∞，2]．
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(1)分段函数的解析式因其特点可以分成两个或两 个以上的不同部分，所以它的图象也由几部分构 成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一 些孤立的点或几段线段，而分段函数的定义域与 值域的最好求法也是“图象法”． (2)对含有绝对值的函数，要作其图象，首先根据 绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分 段函数来画图象．