高量4-量子力学的基本原理

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令 f ( R ) R，则 [ P, R]与 R 对易 2 这样 [ P, R ] R[ P, R] [ P, R]R 2 因为 [ P, R ] 2iR 2R[ P, R] 2iR R 所以 [ P, R] i R 结合以上各式，有 2 [ P, R ] 2iR 4 2 [ P, R ] 4iR R 6 4 [ P, R ] 6iR R n n 2 有理由猜想 [ P, R ] niR R (n 1,2,3,)
2 1 H ( p, q ) ( p qA) qV 2m
1 H ( X , P) [ P qA( X )] 2 qV ( X ) 2m
二、轨道角动量算符 1. 分量形式
轨道角动量算符 L 是与经典力学中的角动量 r p 相对应的算符 L X P
§6.4 算符的构成 一、位置算符、动量算符和哈密顿算符 1. 位置算符 用 X1 X , X 2 Y , X 3 Z 表示一个例子直角坐标下的 位置算符。对单粒子来说，有 3 个自由度，这三者
是相互对易的厄米算符完备组。
以后约定，用单一字母X表示位置算符，用 X 表
示其矢量性。 注意矢量的两种含义： 1）Hilbert空间中的矢量，如 | , | 等 2）三维位形空间中的矢量，用箭头标出，如 X 、 x（小写表本征值） 1
2
用数学归纳法很容易证明（请课下证）。
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下面看n取负值又如何。
n 1 0 [ P,1] [ P, R n ] R 1 n 1 n R [ P, n ] [ P, R ] n R R 1 1 n 1 [ P, n ] n [ P, R ] n 利用 [ P, R ] niR R R R 1 1 1 [ P , ] i R ni n 2 R R R R n n 2 所以式 [ P, R ] niR R (n 1,2,3,)
ijk
Li ijk X j Pk
此规律要记住！
ijk 称为Levi-Civita符号，其定义是
ijk
1 正序 123，231，312 1 乱序 132，321，213 0 其它（包括重复如 221）
4
容易验证 ijk 服从下列关系 以第一式的证明为例： 等式左边=
kn l lm k
i[ ( lik ljn ) X k Pn ( kli kjm ) X m Pl ]
kn l lm k
（然后利用 ijk ilm jl km jm kl）
i[ ( in jk ij kn ) X k Pn ( jl im ml ij ) X m Pl ]
kl mn
i[ ikl jmn lm X k Pn ikl jmn kn X m Pl ]
kl mn kl mn
7
i[ ikl jmn lm X k Pn ikl jmn kn X m Pl ]
kn lm lm kn
i[ ikl jln X k Pn ikl jmk X m Pl ]
ijk ijk
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现在设所有矢量满足下列两条关系
L A 0 [ Li , A j ] i ijk Ak
kFra Baidu bibliotek
可以看作是对矢量算符的定义。
由此推导一些其它对易关系。 2 1. [L , A] 2 解: [ L , A] [ Li Li , Aj e j ]
ijk l
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[ L , A] i ijk{Ak Li i ikl Al Ak Li }e j
2 ijk l
2 2i ijk Ak Li e j (i) ijk ikl Al e j
ijk ijk l
2 2i kij Ak Li e j (i) ( ikj ikl Al )e j
R并没有逆算符。为使 R 1作为一个算符存在，必须把
物理空间中坐标原点及其邻域去掉。
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n 1. [ P, R ] 对易关系的推导 2 2 [ P, R ] [ P, X ] [ Pi ei , X j X j ]
i j
ei [ Pi , X j X j ] ei {X j [ Pi , X j ] [ Pi , X j ] X j } ei {2i ij X j }


此三式相加，得
i 3k i 3l

1 1 2 l k 1 or 2 or 3 ijk ijl lk ij 0
2 lk
﹟
6
2. 轨道角动量各分量间的对易关系
（ 1）
kl
[ Li , L j ] i ijk Lk
k mn
记住！
[证] [ Li , L j ] [ ikl X k Pl , jmn X m Pn ]]
ijk ijk
0
﹟
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§6.5 矢量算符的代数运算 一、与基本对易关系 [ X , P] i 有关的对易关系
2 讨论单粒子算符。设 R X X12 X 22 X 32 ，R是原
2
点与粒子的距离算符。 在量子力学中还常用到R 的
逆算符 R 1，且
1 R . R
1
det(R) 0 , 但 R 2有零本征值, 根据算符有逆的条件，
[ Li , Pj ] i ijk Pk
k
k
其中 ijk 起了很重要作用，它除满足下列两式外
k

ij
ijk ijl
2 kl
jl km jm kl

i
ijk ilm
还有 等关系。
A B ijk Ai B j ek A B C ijk Ai B j Ck
0 (l k 1) 1 (l k 2,3) 0 (l k , e.g . 23,32)
5
即 同理有

i
i1k i1l

lk lk lk
(l , k 1) (l , k 2) (l , k 3)

i i
i 2 k i 2l
ikl jmn [ X k Pl , X m Pn ]]
kl mn
ikl jmn {X k [ Pl , X m ]Pn X m [ X k , Pn ]Pl ]}
kl mn
ikl jmn (i lm X k Pn i kn X m Pl )
kn lm
i
由于

lm kn
ij kn
X k Pn ij ml X m Pl
lm kn
（指标代换）
jl im
X m Pl jn ik X k Pn
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代入上式
所以
[ Li , L j ] i ( in jk jn ik ) X k Pn
ij k k
i ijk ( Li Ak Ak Li )e j
ijk
因为 所以
[ Li , Ak ] i ikl Al
l
Li Ak Ak Li i ikl Al
l
代入上式，则 2 [ L , A] i ijk{Ak Li i ikl Al Ak Li }e j
n
j 3 j
n2
R
对n取正、负整数和零普遍成立。
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2. 其它与 P, R 有关的对易关系
用类似的方法可以得到
n
2 2 式中P是 P 大小的算符， P P ，还有
n2 [ P , R] niP P 1 1 [ n , R] ni n 2 P P P
3
L
的三个分量
L1 X 2 P L2 X 3 P L3 X1P2 X 2 P 3 X 3P 2, 1 X1P 3, 1
可以写成一个紧凑的形式 而
jk L 可以写成 L Li ei L1e1 L2e2 L3e3 ijk X i Pj ek i
1 2 [ P , R ] i (2 P R 2i ) R 2 1 1 [ P , ] i 2 P R 3 R R
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二、与轨道角动量 L 有关的对易关系
[ Li , L j ] i ijk Lk
前面已经介绍： [ Li , X j ] i ijk X k
2. 动量算符
用P表示。动量算符的三个分量 P 1, P 2, P 3 与经典分析 力学中直角坐标下的正则动量对应。 正确的对应方法是先就所讨论的系统写出经典的拉
i ) ( L T V , 体系处在保守力场V 中， 格朗日函数 L(qi , q
T为动能），其中 q i 用直角坐标，此时正则动量 pi 的定
i ijq nkq X k Pn
kn q
kn
i ijq Lq
q
﹟
用类似的方法可以证明：
[ Li , X j ] i ijk X k [ Li , Pj ] i ijk Pk
k k
注意：轨道角动量同所有矢量的对易关系都具有上
面的形式。
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另外还有：
[证] [L , L] [L L, L]

ij
ijk ijl
2 kl
jl km jm kl

i
ijk ilm
(
i
i1k i1l
i 2k i 2l i 3k i 3l )
对第一个求和

i
i1k i1l
11k 11l 21k 21l 31k 31l
2i ei X i i 2iX 2iR
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ij ij ij
有时也写成
2 [ P, R ] 2iR 4 由此可知 2 [ P, R ] 4iR R 6 4 [ P, R ] 6iR R 2 [ P, R ]与 R 对易，或 又由第一式可知， 2 0 [R,[P, R ]] [ R, R[ P, R] [ P, R]R] R2[ P, R] [ P, R]R2 2 所以 [ P, R] 与 R 对易 这样 [ P, R] 必与 f ( R 2 )对易。
2
[ L , L] 0
2
[ Li Li , L j ]e j {Li [ Li , L j ] [ Li , L j ]Li }e j {i ijk Li Lk i ijk Lk Li }e j
ijk ij ij
{i ijk Li Lk i kji Li Lk }e j {i ijk Li Lk i kij Li Lk }e j
[ Li Li , Aj ]e j
ij
i
j
{Li [ Li , Aj ] [ Li , Aj ]Li }e j
ij
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[ L , A] {Li [ Li , Aj ] [ Li , Aj ]Li }e j
2 ij
{Lii ijk Ak i ijk Ak Li }e j
义是
i ) L(qi , q pi i q
动量算符 Pi 就与经典的 pi 相对应。
pi mvi ; 无电磁场存在时，正则动量与机械动量一致， 当粒子在电磁场中运动时， pi mvi qAi .
2
3. 哈密顿算符
对单粒子，H算符的形式与经典分析力学中的哈密 顿函数 相对应，写为