图1二分法流程图图2牛顿迭代法流程图
牛顿迭代法.
牛顿迭代法李保洋数学科学学院信息与计算科学学号：060424067指导老师：苏孟龙摘要：牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法，即牛顿迭代法.迭代法是一种不断用变量的旧值递推新值的过程•跟迭代法相对应的是直接法或者称为一次解法，即一次性解决问题•迭代法又分为精确迭代和近似迭代“牛顿迭代法”属于近似迭代法，本文主要讨论的是牛顿迭代法，方法本身的发现和演变和修正过程，避免二阶导数计算的Newton迭代法的一个改进，并与中国古代的算法，即盈不足术，与牛顿迭代算法的比较•关键词：Newton迭代算法；近似求解；收敛阶；数值试验；中国古代数学;九章算术；Duffing方程；非线性方程；收敛速度；渐进性0引言：迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法或者称为一次解法，即一次性解决问题•迭代法又分为精确迭代和近似迭代•“二分法”和“牛顿迭代法”属于近似迭代法•迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法•它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值•具体使用迭代法求根时应注意以下两种可能发生的情况：（1）如果方程无解，算法求出的近似根序列就不会收敛，迭代过程会变成死循环，因此在使用迭代算法前应先考察方程是否有解，并在程序中对迭代的次数给予限制•（2）方程虽然有解，但迭代公式选择不当，或迭代的初始近似根选择不合理，也会导致迭代失败•所以利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：1、确定迭代变量•在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量2、建立迭代关系式.所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）.迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成.3、对迭代过程进行控制，在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题.不能让迭代过程无休止地重复执行下去.迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定.对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件.1牛顿迭代法：洛阳师范学院本科毕业论文X 0 牛顿迭代有十分明显的几何意义，如图所示:牛顿 迭代法(Newton method)又称为牛顿-拉夫逊方法(Newto n-Rapfsonmethod)，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方 法.多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要•方法使用函数f x 的泰勒级数的前面几项来寻找方程f x =0的根•牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f x =0的单根附近具有平方收敛性，而且该法还可以用来求方程的重根、复根. 另外该方法广泛用于计算机编程中：解非线性方程f x ]=0的牛顿(Newton)法是把非线性的方程线性化的一种近似方法•把f x 的x 点附近展开泰勒(Taylor )级' 2 f x = f x 0 f X - X 0 f x 0 ］亠 ix - X 0取其线性部分作为非线性方程f x =0的近似方程，则有:f X 。
二分法、牛顿迭代法、普通迭代法
数值球根试验报告《数值计算方法》专业班级软件08-1姓名熊文成学号08083117时间2010年10月24日星期天一、 实验目的熟悉二分法以及牛顿迭代法求方程近似根的数值方法，掌握各种迭代方法，自己扩张研究迭代法的效率与收敛性和初始值的关系。
二、 实验内容1.已知0104)(23=-+=x x x f 在[]21，上有一个实根*x ，14)2(5)1(=-=f f ，，用二分法和牛顿迭代法求该实根，要求精度满足条件：321*1021-+⨯≤-k x x 。
2.条件允许的话，扩展研究各种迭代法的效率，以及迭代的效率和收敛性与初始值的关系，并通过比较采用两点加速的方法与普通的方法的效率体验加速迭代的优点。
总而言之，本实验中的用到的求根方法有①二分法，②牛顿迭代法，③迭代函数为213)10(21)(x x -=ϕ的迭代方法，以及④对函数213)10(21)(x x -=ϕ采用两点加速迭代的方法。
三、 主函数流程程序是按顺序运行的，流程图如下图所示：四、源程序#include <stdio.h>#include <conio.h>#include <math.h>//根据x的值计算函数值//函数f(x)=x*x*x+4*x*x-10double func(double x){double value;value=x*x*x+4*x*x-10;return value;}//根据参数x的值计算函数f(x)的导数值double divFunc(double x){return 3*x*x+8*x;}//二分法计算方程f(x)=0在[1,2]上的跟//二份迭代结束条件由参数precision精度给出void biSectionMethod(double precision){int k=0; //均分次数double x1=1.0,x2=2.0; //区间[1.0,2.0]double midx; //二分之后的值printf("\n\t k 有根区间k+1 f(x(k+1)) ");do{printf("\n\t%3d",k);printf(" [%.3f,%.3f]",x1,x2);midx=(x1+x2)/2;printf(" %f",midx);printf(" %.6f",func(midx));if (func(midx)<0)x1=midx;else x2=midx;k++;if (k%3==0) //每次输出4个等用户审查getch();} while (x2-x1>=precision); //区间的长度超过5e-3就一直迭代printf("\n\t二分法分区间的次数:%d,所求的根是:%lf",k-1,x2);}//牛顿迭代法//根据初值值x0,在区间[1.0,2.0]上迭代求根//迭代次数由参数precision精度决定void NewTonMethod(double x0,double precision){int k=0; //迭代次数double x1,x2=x0;printf("\n\t k x(k) f(x(k)) |x(k+1)-x(k)|");do{printf("\n\t%2d",k);printf(" %.6f",x2);printf(" %.6f",func(x2));x1=x2;x2=x2-func(x1)/divFunc(x1);if (x2-x1>0)printf(" %.6f",x2-x1); //输出两次迭代的差值else printf(" %.6f",x1-x2);k++;if (k%3==0) //每次输出4个等用户审查getch();} while (x2-x1>precision||x1-x2>precision);printf("\n\t牛顿迭代初值:%lf,次数:%d,所求的根是:%lf",x0,k-1,x2); }//迭代函数g(x)=(sqrt(10-x*x*x))/2;double funcTwo(double x){return (sqrt(10-x*x*x))/2;}//普通迭代函数void ordinaMethod(double x0,double precision){int k=0; //迭代次数double x1,x2=x0;printf("\n\t k x(k) f(x(k)) |x(k+1)-x(k)|");do{printf("\n\t%2d",k);printf(" %.6f",x2);printf(" %.6f",func(x2));x1=x2;x2=funcTwo(x1);if (x2-x1>0)printf(" %.6f",x2-x1); //输出两次迭代的差值else printf(" %.6f",x1-x2);k++;if (k%3==0) //每次输出4个等用户审查getch();} while (x2-x1>precision||x1-x2>precision);printf("\n\t普通迭代初值:%lf,次数:%d,所求的根是:%lf",x0,k-1,x2); }//使用两个跌代值的组合加速跌代//对迭代函数f(x)=(sqrt(10-x*x*x))/2的加速void twoValue(double x0,double precision){int k=0; //迭代次数double x1,x2=x0;printf("\n\t k x(k) f(x(k)) |x(k+1)-x(k)|");do{printf("\n\t%2d",k);printf(" %.6f",x2);printf(" %.6f",func(x2));x1=x2;x2=(funcTwo(x1)+x1)/2;if (x2-x1>0)printf(" %.6f",x2-x1); //输出两次迭代的差值else printf(" %.6f",x1-x2);k++;if (k%3==0) //每次输出4个等用户审查getch();} while (x2-x1>precision||x1-x2>precision);printf("\n\t两点加速迭代初值:%lf,次数:%d,根:%lf",x0,k,x2);}void main(){double orgin=1.5; //初始值double precision=5e-6; //精度char sel=0; //操作符while(1){printf("\n\t选择:");printf("\n\t1.二分法\n\t2.迭代法\n\t");sel=getch();printf("\n\n\t注：程序停止处按任意键继续");if (sel=='1'){printf("\n\n\t ************二分法求解过程***********");biSectionMethod(precision); //测试函数}else{printf("\n\t输入迭代的初值:");scanf("%lf",&orgin);//if (orgin>2.0||orgin<1.0) //限制迭代初值范围,根据情况决定//orgin=1.5; //如果输入非法,则按1.5计算printf("\n\n\t ************牛顿迭代法求解过程************");NewTonMethod(orgin,precision);printf("\n\t任何键继续:");getch();printf("\n\n\t *******普通迭代g(x)=(sqrt(10-x*x*x))/2*****");ordinaMethod(orgin,precision);printf("\n\t任何键继续:");getch();printf("\n\n\t ************两个值组合加速迭代x=(g(x)+x)/2***********");twoValue(orgin,precision);}printf("\n\t任何键继续:");getch();}}五、运行结果1、选择求根方法2、 选择二分法下面给出二分法的结果：3、 选择迭代法查看结果：首先显示的是牛顿迭代法的结果：然后是普通迭代法函数是：213)10(21)(x x -=ϕ，结果如下：接着可以看到的是用两点加速法对函数213)10(21)(x x -=ϕ的加速：下面采用不同的初值查看普通迭代函数的收敛性与效率： 各个结果如下：上图对应的是收敛性：收敛的。
第三节 牛顿迭代法精品PPT资料
（3.12）
选择下山因子时从 开始1，逐次将 减半进行试 算，直到能使下降条件（3.10）成立为止.
第三节 牛顿迭代法
1
xk 1xkff((x xk k)) (k0,1 , ),
（2）
这就是牛顿(Newton)法.
牛顿法的几何解释.
方程 f (x的)根0 可解释x *为曲线 的交点的横坐标（图7-3).
与 y轴 f (x) x
设 是x k根 的x某*个近似值， 过曲线 y f上(x横) 坐标为 x k 的点 P引k 切线，并将该切线与 x 轴的交点的横坐标 x k 作1 为 x *
的新的近似值.
2
图7-3
注意到切线方程为
y f(x k ) f(x k )x ( x k ).
这样求得的值 x k 必1 满足(1），从而就是牛顿公式（2） 的计算结果. 由于这种几何背景，牛顿法亦称切线法.
牛顿法（2）的收敛性，可直接由上节定理得到，对（2） 其迭代函数为
g(x) x f (x) , f (x)
2
10 . 723837
3
10 . 723805
4
10 . 7பைடு நூலகம்3805
8
三 简化牛顿法与牛顿下山法
牛顿法的优点 收敛快， 牛顿法的缺点
一 每步迭代要计算 f及(xk ) ，计f (算x量k )较大
且有时 f (x计k )算较困难，
二是初始近似 只x在0 根 附x近*才能保证收敛，
如 x 0给的不合适可能不收敛.
将牛顿法的计算结果
13
xk1
xk
f (xk) f (xk)
与前一步的近似值 x k适当加权平均作为新的改进值
x k 1x k 1 ( 1 )x k,
用牛顿迭代法求方程的近似解课件
斐波那契给出了这个方程的近似解是：
x = 1.368808108
斐波那契的解是非常精确的，但是并没有给出过程。
在十三世纪，能得到这个结果，是非常了不起的成 就，即使在当今的年代，我们在没有图形计算器的 条件下，给出近似解也是非常困难的。
设想一下，斐波那契是用什么样的方法得到这个结 果的呢？
否则继续循环运算。
1、根的存在性和唯一性的判断：
通过研究函数的单调区间及零点存在性定理 判断。
2、根所在的区间： 分析函数的连续性并找出端点值异号的区间。 3、近似解的选取：
在达到精确度要求的情况下，区间中任意值 都可以作为近似解。
思考并回答以下问题：
1、在研究方程的根的问题时，我们
常可以将其等价转化为什么问题进 行研究？
6、借助图形计算器，验证新的想法， 并思考如何进一步计算。
求方程 x3 2x2 10x 20 0 的近似解 （精确度为10-9）。
1.第一步应该从何处开始？需要如 何处理？
求方程 x3 2x2 10x 20 0 的近似解 （精确度为10-9）。
2.第二步应该如何继续？计算的公 式又是什么？如何能循环下去？
“以直代曲”，逼近，迭代
（2）算法框图：
在天文学中，有一类著名的方程——开普勒方程， 是用来确定行星在其运动轨道上的位置的。
x = q sin x + a(0 < q < 1,a为常数)
开普勒方程是一个超越方程，很难得出严格的分析 解，但是，已经证明这个方程存在惟一解。在实际 问题中，我们更希望得到一个精确度很高的近似解。
求方程 x3 2x2 10x 20 0 的近似解 （精确度为10-9）。
程序框图的画法(二分法)
重复步骤2至步骤4，直到查找 成功或查找区间为空（即所求 值不存在于查找区间内）。
04
二分法的程序实现
确定查找区间的左右端点
确定查找区间的左右端点是二 分查找算法的第一步，需要根 据给定的数据范围和初始值来 确定。
通常情况下，查找区间的左端 点为数据范围的起始位置，右 端点为数据范围的结束位置。
程序框图的画法(二分 法)
目录 CONTENT
• 二分法的定义与原理 • 程序框图的构成元素 • 二分法的程序框图绘制步骤 • 二分法的程序实现 • 二分法的优缺点分析
01
二分法的定义与原理
二分法的基本概念
二分法是一种求解实数近似值的算法，其基本思想是将数轴分为两个区间，然后 根据函数值在区间端点的取值情况，逐步缩小搜索区间，直到找到目标值或达到 预设的精度要求。
03
对异常处理较弱
如果列表中有异常值（如重复值、 空值等），二分法可能会出现查 找错误或无法查找的情况。
如何扬长避短
先对列表排序
在使用二分法之前，可以先对列 表进行排序，满足二分法的前提 条件。
结合其他查找算法
对于数据量小的列表，可以使用 顺序查找算法；对于异常值较多 的列表，可以使用其他查找算法 进行辅助。
02
如果中点的值等于目标值，则说明查找成功，返回 中点的位置。
03
如果中点的值不等于目标值，则说明目标值存在于 中点左侧或右侧，需要继续查找。
根据判断结果调整查找区间
根据判断结果调整查找区间是 二分查找算法的重复步骤，需 要根据目标值与中点值的比较
结果来调整查找区间。
如果目标值小于中点值，则说 明目标值存在于中点左侧，将
输出框
用于表示程序执行后的结果或输 出，通常位于程序框图的下方。
牛顿迭代法：介绍、原理与运用
⽜顿迭代法：介绍、原理与运⽤⽜顿迭代法：介绍、原理与运⽤介绍⽜顿迭代法是⼀个可以求⼀个任意函数的零点的⼯具。
它⽐⼆分法快得多。
公式是：x=a-f(a)/f'(a)。
其中a是猜测值，x是新的猜测值。
不断迭代，f(x)就越来越接近0。
原理我们将f(x)做泰勒⼀阶展开：f(x)∼f(a)+(x-a)f'(a)。
令f(x)=0∴f(a)+(x-a)f'(a)=0∴f(a)+xf'(a)-af'(a)=0∴xf'(a)=af'(a)-f(a)∴x=a-f(a)/f'(a)实例：⽜顿迭代法求√2的近似值∵x = √2∴x2 = 2∴x2 -2 = 0令f(x)=⽅程左边，则f(x)∼0↔x∼√2。
f'(x) = 2x。
于是可以得到迭代公式：x=a-f(a)/f'(a)=a-(a2-2)/(2a)=a-a/2+1/a=a/2+1/a代码如下（要求误差⼩于1e-6）：#include <stdio.h>#include <math.h>int main(int argc, char const *argv[]){double a = 2.0;double expect_error = 0.000001;double x;double actual_error;unsigned iteration_count = 0;do {if (a == 0.0) a = 0.1; /* 避免0做分母 */x = a/2 + 1/a;actual_error = fabs(2 - x*x);a = x;++iteration_count;printf("%d\t%.9f\t%.9f\n", iteration_count, a, actual_error);} while (actual_error >= expect_error);return 0;}输出：1 1.500000000 0.2500000002 1.416666667 0.0069444443 1.414215686 0.0000060074 1.414213562 0.000000000迭代了4次。
第二节_牛顿迭代法
2 3 xk
2 f ( x) 3 x
k 0,1, 2,
4、牛顿迭代法的局部收敛性定理 设 x* 为方程 f (x) = 0的根，在包含x*的某个开区间内 f ( x) 连 B ( x *) [ x , x ]， f ( x ) 0 续，且 ，则存在 x* 的邻域 使得任取初值 x0 B ( x*)，由牛顿迭代法产生的序列xk 以不 低于二阶的收敛速度收敛于x*.
标即为 xk 1 。 y
( x0 , f ( x0 ))
x* x2 x x0 1
x
例2.5：写出求 a (a 0) 的牛顿迭代格式；写出求 a (a 0) 的牛顿迭代格式,要求公式中既无开方运算，又无除法运算。
2 f ( x ) x a 0 (a 0) 的正根 f ( x) 2x 解： 等价于求方程
f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) f ( ) ( x x 0 ) 2 ， 2!
在 x0 和 x 之间
* 取 x x ，可将 (x* x0)2 看成高阶小量，则有：
0 f ( x*) f ( x0 ) f ( x0 )( x * x0 )
lim x n 注意到ξn 在xn 及x*之间,及 n
x n1 x* x n x*
2
x*
,故
f" ( n ) f " ( x* ) * 2 f ' ( xn ) 2 f' ( x )
0(二阶收敛)若 f "( x* ) 0 0(大于二阶收敛)若 f "( x* ) 0
Newton迭代公式是一种特殊的不动点迭代,其 迭代函数为: f ( x) ( x) x f '( x )
凸优化之无约束优化（一维搜索方法：二分法、牛顿法、割线法）
凸优化之⽆约束优化（⼀维搜索⽅法：⼆分法、⽜顿法、割线法）1、⼆分法（⼀阶导）⼆分法是利⽤⽬标函数的⼀阶导数来连续压缩区间的⽅法，因此这⾥除了要求 f 在 [a0,b0] 为单峰函数外，还要去 f(x) 连续可微。
（1）确定初始区间的中点 x(0)=(a0+b0)/2 。
然后计算 f(x) 在 x(0) 处的⼀阶导数 f'(x(0))，如果 f'(x(0)) >0 , 说明极⼩点位于 x(0)的左侧，也就是所，极⼩点所在的区间压缩为[a0,x(0)]；反之，如果 f'(x(0)) <0，说明极⼩点位于x(0)的右侧，极⼩点所在的区间压缩为[x(0)，b0]；如果f'(x(0)) = 0，说明就是函数 f(x) 的极⼩点。
（2）根据新的区间构造x(1)，以此来推，直到f'(x(k)) = 0，停⽌。
可见经过N步迭代之后，整个区间的总压缩⽐为（1/2）N，这⽐黄⾦分割法和斐波那契数列法的总压缩⽐要⼩。
1 #ifndef _BINARYSECTION_H_2#define _BINARYSECTION_H_34 typedef float (* PtrOneVarFunc)(float x);5void BinarySectionMethod(float a, float b, PtrOneVarFunc fi, float epsilon);67#endif1 #include<iostream>2 #include<cmath>3 #include "BinarySection.h"45using namespace std;67void BinarySectionMethod(float a, float b, PtrOneVarFunc tangent, float epsilon)8 {9float a0,b0,middle;10int k;11 k = 1;12 a0 = a;13 b0 = b;14 middle = ( a0 + b0 )/2;1516while( abs(tangent(middle)) - epsilon > 0 )17 {18 #ifdef _DEBUG19 cout<<k++<<"th iteration:x="<<middle<<",f'("<<middle<<")="<<tangent(middle)<<endl;20#endif2122if( tangent(middle) > 0)23 {24 b0 = middle;25 }26else27 {28 a0 = middle;29 }30 middle =( a0+b0)/2;31 }3233 cout<<k<<"th iteration:x="<<middle<<",f'("<<middle<<")="<<tangent(middle)<<endl;34 }1 #include<iostream>2 #include "BinarySection.h"345float TangentFunctionofOneVariable(float x)6 {7return14*x-5;//7*x*x-5*x+2;8 }910int main()11 {12 BinarySectionMethod(-50, 50, TangentFunctionofOneVariable, 0.001);13return0;14 }1th iteration:x=0,f'(0)=-52th iteration:x=25,f'(25)=3453th iteration:x=12.5,f'(12.5)=1704th iteration:x=6.25,f'(6.25)=82.55th iteration:x=3.125,f'(3.125)=38.756th iteration:x=1.5625,f'(1.5625)=16.8757th iteration:x=0.78125,f'(0.78125)=5.93758th iteration:x=0.390625,f'(0.390625)=0.468759th iteration:x=0.195312,f'(0.195312)=-2.2656210th iteration:x=0.292969,f'(0.292969)=-0.89843811th iteration:x=0.341797,f'(0.341797)=-0.21484412th iteration:x=0.366211,f'(0.366211)=0.12695313th iteration:x=0.354004,f'(0.354004)=-0.043945314th iteration:x=0.360107,f'(0.360107)=0.041503915th iteration:x=0.357056,f'(0.357056)=-0.001220716th iteration:x=0.358582,f'(0.358582)=0.020141617th iteration:x=0.357819,f'(0.357819)=0.0094604518th iteration:x=0.357437,f'(0.357437)=0.0041198719th iteration:x=0.357246,f'(0.357246)=0.0014495820th iteration:x=0.357151,f'(0.357151)=0.0001144412、⽜顿法（⼆阶导）前提：f 在 [a0,b0] 为单峰函数，且[a0,b0] 在极⼩点附近，不能离的太远否则可能⽆法收敛。
高中数学如何求解二分法和牛顿迭代法方程
高中数学如何求解二分法和牛顿迭代法方程在高中数学中，求解方程是一个重要的内容，而二分法和牛顿迭代法是两种常用的求解方程的方法。
本文将介绍这两种方法的原理、应用以及解题技巧，并通过具体的例题来说明其考点和解题思路。
一、二分法的原理和应用二分法是一种通过不断缩小搜索范围来逼近方程根的方法。
其基本原理是将待求解的区间不断二分，判断根是否在左半区间还是右半区间，并将搜索范围缩小至根的附近。
具体步骤如下：1. 确定初始区间[a, b]，使得f(a)与f(b)异号；2. 计算区间中点c=(a+b)/2；3. 判断f(c)与0的关系，若f(c)=0，则c为方程的根；若f(c)与f(a)异号，则根在区间[a, c]内，否则根在区间[c, b]内；4. 重复步骤2和步骤3，直到满足精度要求或找到根。
二分法的应用非常广泛，例如在求解函数的零点、解方程、求解最优化问题等方面都有应用。
下面通过一个具体的例题来说明二分法的应用和解题技巧。
例题1：求方程x^3-2x-5=0的根。
解题思路：1. 首先我们需要确定初始区间[a, b]，使得f(a)与f(b)异号。
根据题目中的方程，可以取a=1，b=2，计算f(1)=-6和f(2)=1，满足条件；2. 计算区间中点c=(a+b)/2=1.5；3. 计算f(c)=f(1.5)=-1.375，与0的关系异号，说明根在区间[1, 1.5]内；4. 重复步骤2和步骤3，不断缩小搜索范围，直到满足精度要求或找到根。
通过不断迭代，我们可以得到方程的根为x=1.709。
这个例题展示了二分法的基本思路和解题技巧，通过不断缩小搜索范围，我们可以逼近方程的根。
二、牛顿迭代法的原理和应用牛顿迭代法是一种通过不断迭代逼近方程根的方法，其基本原理是利用函数的切线来逼近根的位置。
具体步骤如下：1. 确定初始点x0；2. 计算函数f(x)在x0处的导数f'(x0)；3. 计算切线的方程y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)；4. 求切线与x轴的交点x1，即x1=x0-f(x0)/f'(x0)；5. 重复步骤2到步骤4，直到满足精度要求或找到根。
东南大学-数值分析-第二章-牛顿迭代法
东南大学-数值分析-第二章-牛顿迭代法第二章非线性方程的解法某某某某（学号）某某某某（姓名）算法与程序题目见教材P56上机题目20。
一、算法原理根据题目的要求，是关于用牛顿迭代法法求解方程f(某)0的通用算法。
该法是一种通过斜率迭代的算法，其速度比二分法和简单迭代法都要快。
其简单原理如下：设fC2[a,b],且存在数p[a,b],满足f(p)0。
如果f(p)0,则存在一个数0,对任意初始值p0[p,p],使得由如下定义的迭代序列{pk}k0收敛到p：pkg(pk1)pk1f(pk1),其中k1,2,f(pk1)(1)对于函数f(某)某3/3某=0，则其递推规则是32pkpk21,其中k1,2,3pk1-3(2)定义序列{pk}则序列{pk}也可表示为limpk某现简要证明：k0，k0收敛到某，某对于f(某)某3/3某，得f'(某)某2-1，写出牛顿迭代公式f(某)某3/3某g(某)某某2f(某)某-1(3)该公式可化简为2某3g(某)23某3(4)二、流程图题目要求于用牛顿迭代法法求解方程f(某)0的通用算法。
其计算过程主要第二章非线性方程的解法用到迭代g(某)某f(某)，图流程图1所示。
f(某)输入各参数k=1迭代pkg(pk1)pk1f(pk1),其中k1,2,f(pk1)Tbreak计算各误差误差在允许范围之内Fk=k+1k三、计算代码核心代码1)p1=……;2)if(err程序1：Newton.m%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %Decription:牛顿迭代法%Author:panyunqiang%Veroin:1.0%Date:2022-9-21%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%f unction[p0,err,k,y]=Newton(p0,delta,epilon,ma某N)%input-p0itheinitialappro某imationtoazerooff%-deltaithetoleranceforp0%-epilonithetoleranceforthefunctionvaluey%-ma某Nithema某iumnumberofiteration%output-p0itheNewtonappro某imationtoazero%-erritheerroretimateforp0东南大学《数值分析》上机练习——算法与程序设计实验报告%-kithenumberofiteration%-yithefunctionvaluef(p0)fork=1:ma 某N%%递归p1=2某p0^3/(3某p0^2-3);%%计算误差err=ab(p1-p0);relerr=2某err/(ab(p1)+delta);p0=p1;%%当前求出的根的函数值y=p0^3/3-p0;%%判断if(err程序2：Newton_Step.m%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%Decription:寻找题目中关于牛顿迭代法收敛的尽可能大的delta%搜索步进为tep=10^(-6),即精确到小数点后六位%Author:panyunqiang%Veroin:1.0%Date:2022-9-21%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %formatlongtep=10^(-6);delta=10^-8;epilon=10^-8;ma某N=1000;p=0.6;[p0,err,k,y]=Newton(p,delta,epilon,ma某N);while((ab(p0)<=epilon)&(p0~=NaN))p=p+tep;[p0,err,k,y]=Newton(p,delta,epilon,ma某N);endp-tep四、计算结果及分析a)运行程序Newton_Step.m，获得Newton局部收敛于某2=0的初始值的范围=0.774596，六位有效数字。
二分法与牛顿迭代法解方程
问题：谁做的好事？ 问题：谁做的好事？
有四位同学中的一位做了好事，不留名，表扬 有四位同学中的一位做了好事，不留名， 信来了之后，校长问这四位是谁做的好事。 信来了之后，校长问这四位是谁做的好事。 不是我。 A说：不是我。 B 说：是C 。 C 说：是D 。 D说：他胡说。 已知三个人说的是真话，一个人说的是假话。 已知三个人说的是真话，一个人说的是假话。现 在要根据这些信息，找出做了好事的人。 在要根据这些信息，找出做了好事的人。
NS图 有了上述了解之后，我们来看解“ NS图 有了上述了解之后，我们来看解“谁做的好
事”的程序框图
分别为‘ 循环4趟 让thisman分别为‘A’,’B’,’C’,’D’,循环 趟 分别为 循环
sum = ( ( ( ( thi来自man != thisman == thisman == thisman != s um == 3 ‘ A ’ )+ ‘ C ’ )+ ‘ D ’ )+ ‘ D ’ ); 假
x
算法： 算法： (1)输入一个近似值于 输入一个近似值于x0 (1)输入一个近似值于x0. (2)求出下一个迭代点 求出下一个迭代点x. (2)求出下一个迭代点x. (3)如果|x-x0|>10如果|x 那么将x的值赋给x0 并且返回第(2) x0， (2)步 (3)如果|x-x0|>10-5，那么将x的值赋给x0，并且返回第(2)步， 继续求下一个迭代点x 否则，转到(4) (4)。 继续求下一个迭代点x。否则，转到(4)。 (4)x即为所求的根 即为所求的根。 (4)x即为所求的根。
真
输出该被试者； 输出该被试者；有解标志
真 有解吗 假
输出无解信息； 输出无解信息；
算法： #include <stdio.h> void main()
牛顿法--二阶梯度法 ppt课件
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10
试用牛顿法
例：求目标函数 f x x x x1 x2
2 1 2 2
10x1 4 x2 60的无约束最优解， 给定初始点x
0
0 , 0.1 0
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11
二、修正牛顿法（阻尼牛顿法）
在上面的牛顿法中，存在一个问题，由 于迭代式中没有步长因子，或者说步长 =1，所以有时函数值反而有所增大， 即 f k 1 f k 因而可能造成点列的发
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可由 x 0
1 k f x 2
k
2 k x x
3
X f X f X X X 1 k f X X X X X 2
k k
(0) n
f
x
k
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若满足停止迭代，否则进行（4）步
15
（4）令
s
k
H X f X
k
1
k
k
（5）从 x 出发沿牛顿方向 s 维搜索
k
进行一
(k ) (k )
min f ( x
(k )
s ) f (x
f x 4
x11 2 x21 x x 10
2 2 1 2
0
的最优解，初始点
X
0 0
T
10
-5
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18
DFP变尺度法
由于梯度法和牛顿法具有以上的缺点，能 不能找到一种方法能拟补上两种方法的缺 点，从而综合上两种方法的各自优点，提 出了如下变尺度法的基本思路。 基本思想：在牛顿法中探索方向
数值分析——二分法及迭代法
, 从而可得一系列有根区间:
a, b a1 , b1 a2 , b2 an , bn
其中每一个区间长度都是前一个区间长度的一半，因此，
an bn b a an , bn 的长度为bn an n ,且 x an , bn , xn , 2 2 bn an b a x x xn x 0, lim n xn x n1 , lim n n 2 2
x6 1.3242 x , 并且 x x6 0.005
三.二分法算法框图
y
什么时候停止？
f ( x)
a
o
x0 x
a1 a2
2
x*
x1
b2
b b1
x
lim x x n n
xk 1 xk ε
开始
输入数据a , b,
二 分 法 的 算 法 框 图
以上方法称为二分法.它计算简单且收敛.
内 例2:求方程 f ( x ) x x 1 0 在区间 1,1.5
3
的实根，要求误差不超过0.005. 解: 首先按公式估计所要的二分次数
ln(1.5 1) ln 0.01 n 5.644 ln 2
可见只需要二分6次便能达到所要求的精度。 计算结果见书13页的表2-2.
非线性方程包括高次方程和超越方程。
方程 f ( x) 0 的解
x
通常叫做方程的根，
又称为函数 f ( x ) 的零点。 方程求根大致可以包括下列三个问题：
1.根的存在性; 2.根的隔离; 3.根的精确化.
如何根的精确化 ?
已知根的近似值后, 设法将它逐步精确, 直到满足精
牛顿迭代法 二分法
迭代公式：当0)('≠x f 时，令......3,2,1,0,)()('1=-=+k x f x f x x k k k 当所求根为单根时，牛顿迭代法时二阶收敛的。
牛顿迭代法时一种局部收敛方法，通常要求初始近似值0x 在*x 领域是方法才收敛。
为保证方法收敛，可引入参数，将公式改写为：)()('1x f x f x x k k k k λ-=+ 其中10≤<k λ，称为下山因子，该方法称为牛顿下山法。
选择k λ，使|)(||)(|1k k x f x f <+，通常首选1=k λ，若下降条件不成立，则取21=k λ，直到下降条件成立，该方法只有线性收敛。
实验题目（1） x^2-exp(x)=0;（2） logs(x)+x-2=0;牛顿迭代法实验程序第一题function y=func2_2(x)y=x^2-exp(x);endfunction y=func2_2_1(x)y=2*x-exp(x);end命令窗口输入eps=5e-6;delta=1e-6;N=100;k=0;x0=1.0;while(1)x1=x0-func2_2(x0)/func2_2_1(x0);if (k>N|abs(x1)<eps)disp('Newton method failed');breakendif abs(x1)<1d=x1-x0;elsed=(x1-x0)/x1;endx0=x1;if (abs(d)<eps|abs(func2_2(x1))<delta)breakendendfprintf('%f',x0);第一题牛顿迭代结果 -0.703467第三题牛顿迭代主程序function y=func2_2(x)y=log(x)+x-2;function y=func2_2_1(x)y=1/x+1;第三题实验结果 1.557146二分法在求方程近似根的方法中，最直接、最简单的方法是二分法。
数值分析各算法流程图
01,,n1,,n1,,)n x及数值分析各算法流程图一、插值1、 拉格朗日插值流程图：( 相应程序：lagrintp(x,y,xx))2,,n ,,j n 1,2,,n 1,,)n 2、 牛顿插值流程图(1)产生差商表的算法流程图(相应程序：divdiff(x,y))注：1、另一程序divdiff1(x,y)，输出的矩阵包含了节点向量。
而divdiff(x,y)不含节点向量。
2、另一程序tableofdd(x,y,m)，输出的是表格形式，添加了表头。
1,,),,n m 及1,,m (2)非等距节点的牛顿插值流程图(相应程序：newtint11(x,y,xx,m)) 、注：1、虽然程序newtint11(x,y,xx,m)考虑了多种情形，看上去很复杂，但基本流程结构还是如上图所示。
2、程序中调用的子程序是divdiff 。
若调用的子程序是divdiff1的话，流程图中的第三，第四，第五步要相应的改一下数字。
2,3,,1m +1,,j1,2,,n=1,2,,)n m 及(3)求差分表的流程图(相应程序：difference(y,m))注：1、difference 输出的是矩阵D 。
而另一程序tableofd(y,m)，输出的是带有表头的差分表。
n x m1,,),,1,,m注：1、程序newtforward1(x,y,xx,m))的结构与上述流程图一致，xx可以是数组。
2、另一程序newtforward(x,y,xx,m))先求出插值多项式，再求插值多项式在插值点的函数值。
基本结构还是和上面的流程图一样。
n x m1,,),,-x x1,,m注：1、程序newtbackward1(x,y,xx,m))的结构与上述流程图一致，xx可以是数组。
2、另一程序newtbackward(x,y,xx,m))先求出插值多项式，再求插值多项式在插值点的函数值。
基本结构还是和上面的流程图一样。
1,2,,n1,2,,n ,2,,)n x及3、Hermite 插值流程图(1) 已知条件中一阶导数的个数与插值节点的个数相等时的Hermite 插值流程图。
《牛顿迭代法》PPT课件
类方法计算量省，但只有线性收敛，其几何意义是用平行 弦与 x轴交点作为 x的*近似. 如图7-4所示.
图7-4
11
（2） 牛顿下山法.
牛顿法收敛性依赖初值 的x0选取. 如果 偏离x0所求根 x较* 远，则牛顿法可能发散.
例如，用牛顿法求方程
x3 x 1 0.
（3.8）
在 x 1附.5近的一个根 . x *
f (x1，) 而0.656643 f ( x0 ) 1.384
显然 f ( x1) f. (x0 )
由 计x1算 x2时, x3 ,, 均能 使 1条件（3.10） 成立. 计算结果如下 ：
x2 1.36181, x3 1.32628, x4 1.32472,
f ( x2 ) 0.1866; f ( x3 ) 0.00667; f ( x4 ) 0.0000086.
10.723805
4
10.723805
8
三 简化牛顿法与牛顿下山法
牛顿法的优点 收敛快， 牛顿法的缺点
一 每步迭代要计算 f及( xk ) ，计f (算x量k )较大
且有时 f ( x计k )算较困难，
二是初始近似 只x在0 根 附x近*才能保证收敛，
如 x给0 的不合适可能不收敛.
9
为克服这两个缺点，通常可用下述方法.
设取迭代初值 x0 ， 1用.5牛顿法公式
xk 1
xk
xk3 xk 1 3xk2 1
计算得
x1 1.34783, x2 1.32520,
迭代3次得到的结果 x3有6位有效数字.
（3.9）
x3 1.32472.
12
但如果改用 x0 作 0为.6迭代初值，则依牛顿法公式 （3.9）迭代一次得
数值计算(二分法、简单迭代法、Newton迭代法、弦截法(割线法、双点弦法))解读
2.2 简单迭代法
思想：迭代法是一种逐次逼近的方法，它是固定公式反复校正跟的近似值，使之逐步精确，最后得到精度要求的结果。
步骤：1.构造迭代公式f(x)，迭代公式必须是收敛的。
2.计算x1,x1=f(x0).
3.判断|x1-x0|是否满足精度要求，如不满足则重复上述步骤。
k
xk
f(xk)
1
-1.01393
0.0415678
2
-1.0002
0.000607777
3
-0.999999
-3.11969e-006
4
-1
2.11001e-010
表4-2
区间[1.5,1.8]结果x=1.69028
k
xk
f(xk)
1
1.64403
-0.676455
2
1.68071
-0.151106
14
1.69029
1
1.725
8
1.69043
15
1.69029
2
1.6875
9
1.69014
16
1.69029
3
1.70625
10
1.69028
17
1.69028
4
1.69687
11
1.69036
18
1.69028
5
1.69219
12
1.69032
6
1.68984
13
1.6903
表1-3
简单
初值-1.5
12
-1.50489
18
-1.50505
表2-1
牛顿迭代法.
牛顿迭代法李保洋数学科学学院信息与计算科学学号：060424067指导老师：苏孟龙摘要：牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法，即牛顿迭代法.迭代法是一种不断用变量的旧值递推新值的过程•跟迭代法相对应的是直接法或者称为一次解法，即一次性解决问题•迭代法又分为精确迭代和近似迭代“牛顿迭代法”属于近似迭代法，本文主要讨论的是牛顿迭代法，方法本身的发现和演变和修正过程，避免二阶导数计算的Newton迭代法的一个改进，并与中国古代的算法，即盈不足术，与牛顿迭代算法的比较•关键词：Newton迭代算法；近似求解；收敛阶；数值试验；中国古代数学;九章算术；Duffing方程；非线性方程；收敛速度；渐进性0引言：迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法或者称为一次解法，即一次性解决问题•迭代法又分为精确迭代和近似迭代•“二分法”和“牛顿迭代法”属于近似迭代法•迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法•它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值•具体使用迭代法求根时应注意以下两种可能发生的情况：（1）如果方程无解，算法求出的近似根序列就不会收敛，迭代过程会变成死循环，因此在使用迭代算法前应先考察方程是否有解，并在程序中对迭代的次数给予限制•（2）方程虽然有解，但迭代公式选择不当，或迭代的初始近似根选择不合理，也会导致迭代失败•所以利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：1、确定迭代变量•在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量2、建立迭代关系式.所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）.迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成.3、对迭代过程进行控制，在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题.不能让迭代过程无休止地重复执行下去.迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定.对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件.1牛顿迭代法：洛阳师范学院本科毕业论文X 0 牛顿迭代有十分明显的几何意义，如图所示:牛顿 迭代法(Newton method)又称为牛顿-拉夫逊方法(Newto n-Rapfsonmethod)，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方 法.多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要•方法使用函数f x 的泰勒级数的前面几项来寻找方程f x =0的根•牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f x =0的单根附近具有平方收敛性，而且该法还可以用来求方程的重根、复根. 另外该方法广泛用于计算机编程中：解非线性方程f x ]=0的牛顿(Newton)法是把非线性的方程线性化的一种近似方法•把f x 的x 点附近展开泰勒(Taylor )级' 2 f x = f x 0 f X - X 0 f x 0 ］亠 ix - X 0取其线性部分作为非线性方程f x =0的近似方程，则有:f X 。
图1二分法流程图图2牛顿迭代法流程图
c=(a+b)/2
YES f(c) = 0?
NO YES f(a)f(c)>0? NO
a=c
b=c
输出c
b-a<e? NO
YES 输出a,b,(a+b)/2
结束
图 1.1 二分法流程图
开始
定义f(x) 输入x0,e1,e2,N
k=1
YES f(x0) < e1?
x0=x1
NO
k=k+1 x1=x0-f(x0)/f’(x0)
YES |x1-x0|<e2?
NO
输出奇异标志
k=N? NO
输出x1
YES
输出迭代失败标志
结束
图 1.2 牛顿迭代法流程图
开始 输入A（பைடு நூலகம்广矩阵）
k=1
|ark|=max|aik|(i>k)
ark=0?
YES
NO
k=1
交换A中r，k两行
aij=aij-aik×akj/akk i=k+1,…,n
j=k+1,…,n+1
k<n－1? YES
NO xk=(ak,n+1-Σakj×xj)/akk
j=k+1,k+2,…,n k=n,n-1,…,2,1
输出奇异标志
开始
输入m(拟合多项式系数) (xi,yi),i=1,2,…,N
利用公式计算 (φi,φk),(f,φk)
求解方法程
输出迭代失败标志
输出结果
开始 输入x0,y0,h,N
n=1
计算K1,K2,K3,K4 y1=y0+h(K1+2K2+2K3+K4)/6