定积分的应用(体积、旋转体的侧面积)演示模板.ppt

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例 1．设有半径为R 的正圆柱体，被通过其底的直径 而与底面交成 的 平 面所截，求截得的圆柱楔的体积。
解：如图建立坐标系，
ytan
R
则底圆的方程为 x2 y2 R2 。 x
x[ R,R] ，用过点 x且垂直于x轴
y
o
y
的平面去截楔形，截得的截面是直角三角形，R x
故截面积为 A( x) 1 y ytan 1(R2 x2 )tan ，
则 V 20a y2 dx 2 ab2 sin3t d t
2 ab2 2 1
3
4 ab2
3
特别当b
=
a
时,
就得半径为a
的球体的体积
4
3
a3
.
9
例 3．已知圆台的上底 半径为r1 ，下底半径为r2 ， 高为 h ，求它的体积。
解：如图选择坐标系，母线 AB 的方程为
y
0
r1
h r2
(
x
2
2
V
R
A( x)dx
R
1 (
R2
x2 )tandx
2 R3tan.
R
R2
3
(二)旋转体的体积
特别 , 当考虑连续曲线段
轴旋转一周围成的立体体积时, 有
V b [ f (x)]2 dx a
y
y f (x)
当考虑连续曲线段
o ax b x
绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,
有
V d [( y)]2dy c
2
例3. 求双纽线
所围图形面积 .
解: 利用对称性 , 则所求面积为
1 a2 cos2 d
2
y
4
a2 4 cos 2 d (2 ) 0
o
ax
a2sin 2 a2
4
思考: 用定积分表示该双纽线与圆 r a 2 sin
所围公共部分的面积 .
答案:
A 2
6 a2 sin2 d
0
4 6
2
3 a2
2 a x
例2. 计算心形线
与圆
所围图形的面积 .
1 2cos cos 2
解: 利用对称性 , 所求面积
A
1a2 2
2
1 a2 (1 cos )2 d
2
1 2
(1
cos
2
)
1 a2 a2 (3 2cos 1 cos 2 )d
2
2
2y
1 a2 a2 (3 2)
2
4
o
a 2a x
ax
bx
A(x)
ax
bx
取 x 为积分变量，积分区间为[a,b] 。在[a,b] 上任取一
代表小区间[ x, x dx ] ，对应的立体中一薄片的 体积 V
近似等于底面积为 A( x) ，高为dx 的柱体的体积 A( x)dx ，
即体积微元 所求体积为
dV A( x)dx ，
V
b a
A(
x )dx
r2
)
y
h
x
r1
r2 h
y r2
o
V
hx2dy
0
h
(
0
r1 r2 h
yr2 )2dy
h
r1 r2
h
(
r1
r2
0h
yr2 )2 d (
r1 r2 h
yr2 )
A(r1,h)
B(r2 ,0)
x
h ( r1 r2 3(r1 r2 ) h
yr2 )3
h 0
h 3(r1 r2
)
(r13
r23
)
1 o 1 x
Vx 1 (2 x2 )dx 1 x4dx
x2 y22
1
2
1
1
(2
x2
x4
)dx
2(2 x
x3
x5
)
1
0
3 50
2(2 1 1) 44. 3 5 15
1
Vy ydy
2 (2 y2 )dy
0
1
1 y2 1 (2 y 1 y3 ) 2
20
31
[(2 2 2 2 )(2 1 )]
y
d y x (y) c
ox
例2计算由椭圆
所围图形绕 x 轴旋转而
转而成的椭球体的体积. 解: 方法1 利用直角坐标方程
y b
o x ax
则 V 2 a y2 dx 0
(利用对称性)
2
b2 a2
a
(a
2
x2
)
dx
0
2
b2 a2
a2 x
1 3
x3
a 0
4 ab2
3
8
方法2 利用椭圆参数方程
利用对称性
2
a3 0
(1 cos t)3 d t
16
a3 sin6 0
t 2
dt
(令 u
t) 2
32
a3
2
0
sin 6
u
du
32
a3
5 6
3 4
1 2
2
5 2a3
14
绕 y 轴旋转而成的体积为
y
2a
x x2 ( y)
o
a 2 a x
x x1( y)
2a
2
(t
sin t)2 a sin
2
3
3
( 4 2 7 ). 36
y
2
y x2
1
o
x
x2 y成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 .
解: 绕 x 轴旋转而成的体积为
y
Vx
2 a y2 dx
0
y
o
a 2 a x
2 a2 (1 cos t)2 a(1 cost) d t 0
1 2
a
2
cos 2
d
3
二、体积
（一）平行截面面积为已知的立体的体积
设有一立 体 位于平面 xa, xb (ab) 之间，已知它被
过点 ( x, 0, 0) (a xb) 且垂直于 x 轴 的平面所截得的截面面
积为 A( x) ，假定 A( x)是 x 的连续函数，求 立 体 的 体积V 。
A(x)
3h(r12
r1r2
r22
)
当上底半径 r1 0 ，下底半径r2 r 时，
则得圆锥的体积为V 1r 2h 。 3
例 4．求由 x2 y2 2 和 y x2 所围成的图形分别
绕 x 轴 、 y 轴 旋转而成的旋转体的体积。
解：解方程组
x2 y x
y
2
2
2
y
y x2
得交点(1, 1) ，(1, 1) 。
1
例1. 求由摆线
的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .
解:
2
AdA0 a (1 cost) a (1 cost) d t
a2 2 (1 cos t)2 d t 0
y
4a2 2 sin4 t d t
0
2
8a2 sin4 u d u 0
16 a2 2 sin4 u d u 0
o (令u t )
0
2
令u t 2
16
a
3
0
(2u
sin
2u)
sin
4
u
d
u
令v u
2
16
a3
2
2
(2v
sin 2v) cos4 v d v
偶函数
奇函数
18
例 6．证明：由 0a xb， 0 y f ( x) 所围成的图形
绕
y 轴 旋转所成的旋转体的体积为：Vy 2
bx f ( x)dx 。
a
证明：以 x 为 积分变量，把在[a,b] 上的任意子区间
0
a
2
(t
tdt sin t)2
a
sin
注意上下限
tdt
!
a3 2 (t sin t)2 sin td t 0
注
15
说明:
y
x xdx
柱面面积
柱壳体积
2 a(t sin t) a (1 cost)
17
2
2
0
a(t
sin
t)
a2
(1
cos
t)2
d
t
8 a3 2 (t sin t)sin4 t d t