空间向量的直角坐标及其运算
空间向量的坐标运算
(x2 x1 ) (y2 y1 ) (z2 z1 ) ;
例3 已知A(3,3,1)，B(1,0,5)求
线段 AB的中点坐标和长度.
z 解：设M(x,y,z)是AB的中点，则 B(1,0,5)
OM=
M
1 2
(OA+OB)
AM=MB
o y
x
d A, B 1 3 0 3 5 1 29
2 2 2
A(3,3,1)
例4 已知A(3,3,1)，B(1,0,5)求 到A，B两点距离相等的点P(x,y,z)的坐
标x,y,z满足的条件. 解：设点P到A，B的距离相等，则
2 2 2 2 2
( x 3) y 3 z 1 x 1 y 0 z 5
例2 已知向量a=(-2,2,0),b=(-2,0,2), 求向 量n使n⊥a,且n⊥b. 解:设n=(x, y, z,)则 n•a=(x, y, z,)•(-2,2,0)=-2x+2y=0 n•b=(x, y, z,)•(-2,0,2)=-2x+2z=0 所以y=x, z=x
于是n= (x, x, x)=x(1,1,1),
C 1 A1 N C A B
B1
M
课后作业
课本：P94 练习
P97 练习
z
D1
A1
F1 E1
B1
C1
D(0，0，0）
1 F1（O， 4
，1）
O D
A
C
y
x
B （1，，1） E1 3
4
思考题：直三棱柱ABC A1B1C1 , 底面ABC中， CA＝CB＝1，BCA＝90o，棱AA1＝2，M , N 分别为A1B1 ,AA1的中点. (1)求BN的长； (2)求 cos BA1 , CB1 的值； (3)求证：A1 B C1M .
高二数学空间向量运算的坐标表示
一、向量的直角坐标运算
设a (a1, a2 , a3 ),b (b1 , b2 , b3 )则
a b (a 1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) ;
a b (a 1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) ;
a (a1 , a2 , a3 ),( R) ;
F A1 B1 E D1 C1
D
C
A
B
练习三：
如图：直三棱柱ABC A1 B1C1 , 底面ABC 中， CA＝CB＝1，BCA＝90o，棱AA1＝2，M、 N分别为A1B1、AA1的中点， 1)求BN的长； 2)求 cos BA1 , CB1 的值； 3)求证：A1B C1M。
（3）当cos a , b 0 时，a b 。 思考：当 0 cos a , b 1 及 1 cos a , b 0时， 的夹角在什么范围内？
练习一：
1.求下列两个向量的夹角的余弦：
(1) a (2 , 3 , 3) , b (1, 0 , 0) ;
解：设正方体的棱长为1，如图建
C1
z
D1 A1
F1 E1 B1
立空间直角坐标系 O xyz ，则
3 B(1,1, 0) , E1 1, ,1 , 4
C
D
O
B
y
1 D(0 , 0 , 0) , F1 0 , ，1 . 4
A
x
1 3 BE1 1, ,1 (1,1, 0) 0 , ,1 , 4 4
（1）线段 AB 的中点坐标和长度； 解：设 M ( x , y , z ) 是 AB 的中点，则
空间向量运算的坐标表示
F1
0
,
1 4
，1 .
B
BE1
1 ,
3 4
, 1
(1 , 1 ,
0)
0
,
1 4
, 1
,
例2 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，B1E1
D1F1
A1B1 4
，求
BE1
与
DF1
所成的角的余弦值。
z
D1
F1
C1
DF1
0
,
1 4
，1 (0
,
0
,
0)
0
,
1 4
，1 .
A1
E1 B1
一、向量的直角坐标运算
设a (a1, a2, a3),b (b1,b2,b3)则 a b (a1b1,a2 b2,a3 b3) ; a b (a 1b1,a2 b2 ,a3 b3 );
a (a1,a2,a3),( R);
a b a1b1 a2b2 a3b3
;
a // b a1 b1,a2 b2 ,a3 b3( R) ; a1 / b1 a2 / b2 a2 / b2 .
注意：
a1b1 a2b2 a3b3
;
a12 a22 a32 b12 b22 b32
（1）当 cos a , b 1 时，a 与 b 同向； （2）当 cos a , b 1 时，a 与 b 反向；
（3）当cos a , b 0 时，a b 。
思考：当 0 cos a , b 1及 1 cos a , b 0时，
2)求点A到直线EF的距离。 D1
(用向量方法）
F A1
C1 B1
E
D A
C B
空间向量的坐标表示与计算
空间向量的坐标表示与计算空间向量是三维空间中的一个重要概念，可以用来表示空间中的一个点或者空间中的两个点之间的位移向量。
为了方便计算和表示，我们可以使用坐标表示来描述和计算空间向量。
一、空间向量的坐标表示在三维坐标系中，可以使用三个坐标轴（通常是x轴、y轴、z轴）来表示一个空间向量的坐标。
这三个坐标轴是相互垂直的，构成一个直角坐标系。
对于一个空间向量v，可以使用v的起点在坐标原点的坐标表示来表示该向量。
假设v的坐标表示为(x, y, z)，其中x、y、z分别表示v在x轴、y轴、z轴上的坐标值。
例如，对于一个空间向量v，如果它的起点在坐标原点，终点的坐标分别为(3, 4, 5)，那么可以表示为v = (3, 4, 5)。
二、空间向量的计算1. 向量的加法空间向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
假设有两个向量a和b，它们的坐标表示分别为(a1, a2, a3)和(b1, b2, b3)。
那么它们的和向量c的坐标表示为(c1, c2, c3)，其中c1 = a1 + b1，c2 = a2 + b2，c3 = a3 + b3。
+ b的坐标表示为(c1, c2, c3) = (1 + 4, 2 + 5, 3 + 6) = (5, 7, 9)。
2. 向量的减法空间向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
假设有两个向量a和b，它们的坐标表示分别为(a1, a2, a3)和(b1, b2, b3)。
那么它们的差向量c的坐标表示为(c1, c2, c3)，其中c1 = a1 - b1，c2 =a2 - b2，c3 = a3 - b3。
例如，对于向量a = (1, 2, 3)和向量b = (4, 5, 6)，它们的差向量c = a - b的坐标表示为(c1, c2, c3) = (1 - 4, 2 - 5, 3 - 6) = (-3, -3, -3)。
3. 向量的数量积空间向量的数量积是指将两个向量相乘得到一个标量（即一个数）。
[整理]9.6.1空间向量的直角坐标及其运算
![[整理]9.6.1空间向量的直角坐标及其运算](https://img.taocdn.com/s3/m/6593be180066f5335a812187.png)
课 题：9.6.1空间向量的直角坐标及其运算教学目的：1．掌握空间右手直角坐标系的概念，会确定一些简单几何体（正方体、长方体）的顶点坐标； 2．掌握空间向量坐标运算的规律；3．会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直； 4．会用中点坐标公式解决有关问题。
教学重点：空间右手直角坐标系，向量的坐标运算。
教学难点：空间向量的坐标的确定及运算。
授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：本节有两个知识点：向量和点的直角坐标及向量的坐标运算、夹角和距离公式。
这一小节，我们在直角坐标系下，使向量运算完全坐标化。
去掉基底，使空间一个向量对应一个三维数组，这样使向量运算更加方便。
在上一小节已学习向量运算的基础上，把向量运算完全坐标化，对学生已不会感到抽象和困难。
在第2个知识点中，我们给出空间解析几何两个最基本的公式：夹角和距离公式。
在这个知识点中，作为向量坐标计算的例题，还顺便证明了直线与平面垂直的“性质定理”。
通过解一些立体几何的应用题，就可为学生今后进一步学习空间解析几何、高维向量和矩阵打下基础。
要求学生理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算，掌握两点的距离公式。
掌握直线垂直于平面的性质定理。
教学过程：一、复习引入：1．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j作为基底。
任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得j y i x a+=把),(y x 叫做向量a的（直角）坐标，记作),(y x a =，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a在y 轴上的坐标，特别地，)0,1(=i，)1,0(=j ，)0,0(0= 。
2．平面向量的坐标运算若),(11y x a =，),(22y x b = ，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=。
空间直角坐标系及坐标运算
基础知识梳理
4．空间向量坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 则a·b若＝aa＝1b(1a＋1，a2ab22，＋aa33)b，3 .b＝(b1，b2，b3)， (2)共线与垂直的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝ λb3，a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝ 0(a，b均为非零向量)．
课堂互动讲练
2．证明空间四点共面的方法 对空间四点P，M，A，B可通过 证明下列结论成立来证明四点共面 (1)M→P＝xM→A＋yM→B； (2)对空间任一点 O，O→P＝O→M＋xM→A ＋yM→B；
课堂互动讲练
(3)对空间任一点 O，O→P＝xO→M＋yO→A ＋zO→B(x＋y＋z＝1)；
A．x＝1，y＝1 B．x＝12，y＝－12 C．x＝16，y＝－32
D．x＝－16，y＝32 答案：C
三基能力强化
3．已知空间四边形 OABC 中，点 M 在 线段 OA 上，且 OM＝2MA，点 N 为 BC 的中
点，设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，则M→N等于
() A.12a＋12b－23c
【解】 法一：(1)原式可变形为 O→P＝O→M＋(O→A－O→P)＋(O→B－O→P) ＝O→M＋P→A＋P→B. ∴O→M＝O→P－P→A－P→B. 由共面向量定理的推论知 M 与 P、A、 B 共面．
课堂互动讲练
(2)
原
式
可
变
形
为
→ OP
＝
2
→ OA
＋
→ OA
－
O→B＋O→A－O→M＝2O→A＋B→A＋M→A.
基础知识梳理
3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角
(第19课)空间向量的直角坐标及其运算(3)
课 题：9．6空间向量的直角坐标及其运算 (三)教学目的：1.进一步掌握空间向量的夹角、距离等概念，并能熟练运用；2.能综合运用向量的数量积知识解决有关立体几何问题；3.了解平面法向量的概念教学重点：向量的数量积的综合运用 教学难点：向量的数量积的综合运用 授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1 空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k表示；（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k，以点O 为原点，分别以,,i j k的方向为正方向建立三条数轴：x y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量 ,,i j k都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zO x 平面； 2．空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使O A xi yj z k =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．3．空间向量的直角坐标运算律：（1）若123(,,)a a a a = ，123(,,)b b b b = ，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++， 112233(,,)a b a b a b a b -=--- ，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈，112233a b a b a b a b ⋅=++ ， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈， 1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=．（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标4 模长公式：若123(,,)a a a a = ，123(,,)b b b b =，则||a ==||b ==．5．夹角公式：cos ||||a ba b a b ⋅⋅==⋅6．两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则||AB ==，或,A B d =二、讲解范例：例1 求证：如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行已知：直线O A α⊥于O ，B D α⊥于B ． 求证：//O A B D ．证明：以O 为原点，射线O A 为非负z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，,,i j k分别为沿x 轴，y 轴，z 轴的坐标向量，设(,,)B D x y z =，∵B D α⊥，∴BD i ⊥ ，BD j ⊥，(,,)(1,0,0)0BD i x y z x ⋅=⋅==， (,,)(0,1,0)0BD j x y z y ⋅=⋅==，∴(0,0,)BD z =，即BD z k = ，又知O ，B 为两个不同的点，∴//B D O A ．点评：如果表示向量a 的有向线段所在直线垂直于平面α，记作a α⊥，此时向量a叫做平面α的法向量．例2．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是1,DD DB 中点，G 在棱C D 上，14C G CD =，H 是1C G 的中点，（1）求证：1EF B C ⊥；（2）求E F 与1C G 所成的角的余弦； （3）求F H 的长解：如图以D 为原点建立直角坐标系D xyz -， 则1(1,1,1)B ，(0,1,0)C ，1(0,0,)2E ，11(,,0)22F ，3(0,,0)4G ，1(0,1,1)C ，71(0,,)82H ，（1）111(,,)222E F =- ，1(1,0,1)B C =-- ，∴1111(,,)(1,0,1)0222E F B C ⋅=-⋅--= ， ∴1EF B C ⊥．（2）∵11(0,,1)4C G =-- ，∴111113(,,)(0,,1)22248E F C G⋅=-⋅--= ，||2EF ==，1||4C G ==，∴13cos(,)1724EF C G ==，∴E F 与1C G所成的角的余弦17．（3）∵131(,,)282F H =- ，∴||8FH == ．例3．已知点P 是平行四边形A B C D 所在平面外一点，如果(2,1,4)AB =--，(4,2,0)A D = ，(1,2,1)AP =--（1）求证：AP是平面A B C D 的法向量；（2）求平行四边形A B C D 的面积．（1）证明：∵(1,2,1)(2,1,4)0AP AB ⋅=--⋅--=， (1,2,1)(4,2,0)0AP AD ⋅=--⋅=，∴AP AB ⊥，AP AD ⊥，又AB AD A = ，AP ⊥平面A B C D ，∴AP是平面A B C D 的法向量． （2）||AB ==||AD ==，∴(2,1,4)(4,2,0)6AB AD ⋅=--⋅=，∴cos(,)105A B A D ==，∴sin BAD ∠==∴||||sin ABCDS AB AD BAD =⋅∠=例4 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝a ，BC ＝b ，AA 1＝c ，求异面直线BD 1和B 1C 所成角的余弦值分析一：利用11BB BC BA BD ++=11BB BC C B -=，以及数量积的定义，可求出cos ＜C B BD 11,＞，从而得到异面直线BD 1和B 1C 所成角的余弦值分析二：建立空间直角坐标系，利用向量，且将向量的 运算转化为实数（坐标）的运算，以达到证明的目的解：建立如图所示空间直角坐标系，使D 为坐标原点， 则B(b,a,0),D 1(0,0,c),B 1(b,a,c),C(0,a,0) ),0,(),,,(11c b C B c a b BD --=--=∴22211)(0)()(c b c c a b C B BD -=-⋅+⋅-+-=⋅∴))((cos ,||,||2222222112212221c b c b a cb c b C B c a b BD +++-==+=++=设异面直线BD 1和B 1C 所成角为θ，则cos 22=θ三、课堂练习：1 设231(,,)a a a a = ，231(,,)b b b b = ，且a b ≠ ，记||a b m -=，求a b -与x 轴正方向的夹角的余弦值解：取x 轴正方向的任一向量(,0,0)c x =，设所求夹角为α， ∵22331111()(,,)(,0,0)()a b c a b a b a b x a b x -⋅=---⋅=-∴1111()()cos ||||a b c a b x a b m x m a b c α-⋅--===-⋅ ，即为所求 2． 在ΔABC 中，已知AB ＝(2,4,0),BC ＝(－1,3,0)，则∠ABC ＝＿＿＿解： (2,4,0),(1,3,0),BA BC =--=-cos ,2||||BA BC BA BC BA BC ⋅∴===-∴∠ABC ＝45°3．已知空间三点A(0,2,3),B(－2,1,6),C(1,－1,5)⑴求以向量AC AB ,为一组邻边的平行四边形的面积S ；⑵若向量a 分别与向量AC AB ,垂直，且|a |＝3，求向量a的坐标分析：⑴21cos ),2,3,1(),3,1,2(==∠∴-=--=BAC AC AB∴∠BAC ＝60°，3760sin ||||==∴ AC AB S ⑵设a＝(x,y,z)，则,032=+--⇒⊥z y x AB a33||,023222=++⇒==+-⇒⊥z y x a z y x AC a 解得x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1，∴a ＝(1,1,1)或a＝(－1，－1，－1). 四、小结 ：在计算和证明立体几何问题时，如果能够在原图中建立适当的空间直角坐标系，将图形中有关量用坐标来表示，利用空间向量的坐标运算来处理，则往往可以在很大程度上降低对空间相象的要求；求向量坐标的常用方法是先设出向量坐标，再待定系数 五、课后作业：六、板书设计（略）七、课后记：。
空间向量的坐标运算1
空间直角坐标系O--xyz中的坐标， 记作.
a =( a 1 , a2, a3)
z
a
k i Oj
A(a1,a2,
a3) y
x
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;
；
马上就明白了。哈里被人领养了，而汤姆没有，他还依旧被留在孤儿院。 如何答复汤姆呢？摩罗·邦尼博士知道，最直截了当的办法，就是找一家愿意领养孩子的人，然后秘密地办理领养手续，待一切办好之后，给汤姆回信，说：汤姆，我的孩子！我真有点疏忽大意了，像您这样好的孩 子，是不应该没有爸爸妈妈的。明天我一定给您送去。 对于一个孤儿，上帝真的会这样答复吗？摩罗·邦尼博士心里非常矛盾。他想，对于一个从小失去依靠的人，要想让他知道上帝是公平的，绝不能用这种办法。经过深思熟虑，他给汤姆回了这么一封信。 亲爱的汤姆： 我不 期望您现在就读懂这封信，不过我还是想现在就告诉您，上帝永远是公平的。假若您认为我没有送给您爸爸妈妈，就是我的不公，这实在让我感到遗憾。我想告诉你：我的公平在于免费地向人类供应了三样东西：生命、信念和目标。 您知道吗？你们每一个人的生命都是免费得到的。到目 前为止，我没让任何一个人在生前为他的生命支付过一分钱。信念和目标与生命一样，也是我免费提供给你们的，不论你生活在人间的哪一个角落，不论你是王子还是贫儿，只要想拥有它们，我都随时让您们据为己有。 孩子，让生命、信念和目标成为免费的东西，这就是我在人间的公平 所在，也是我作为上帝的最大智慧。但愿有一天，您能理解。 您的上帝 这封信后来被刊登在《基督教科学箴言报》上，成为上帝最著名的公平独白，同时也使很多人第一次真正地认识了上帝 务实的李敖 ?你会说我的思想有一点老古板，我对你们清华大学早期的校友名字叫胡适的态 度，你们知道我是老牌的态度，在很早的时候胡适送给我1000块，我在大学捐了150万台币，相当于35万人民币，我是来还这个情，告诉大家，人间有情有义，可是人间也会疏财仗义，我的解释是钱拿出来才是事，光同情你是不可以的。 在帮助慰安妇的时候我把胡适送给我的字都义卖了。 因为二次世界大战，在中国，在朝鲜，在高丽，在台湾，在菲律宾，街上走的女孩子17、18岁抓着就跑，放在军营里面，给他们做性奴隶，不但集体乱奸，怀孕了把她绑在门板上动妇科手术，没有麻醉药，日本人是这样子对待我们的。后来日本人为了应付联合国，就说我们和解这件事情，就 是全世界对慰安妇每个人送50万新台币，相当于10几万人民币，台湾当时还剩下54个老太太，很可怜，有的眼睛看不到，有的路走不动，一身都是性病，没有人理她们。慰安妇的团体和他们说，这个钱不能要，日本人说原谅他们，这50万现金对她们太重要了，可是她们说不可以拿这个钱，为 了国家的尊严和个人的荣誉不可以拿这个钱。不拿可是心里觉得很难过，因为她们现在需要这个钱，我李敖实在看不过去，我站出来，我拿出100件收藏品，举行义卖，我们卖了100万美金，每个人发50万，条件就是你不能要日本鬼子的50万，你要我的50万，还定了一个规定，如果你拿了日本 的50万，这个50万要还我，最后日本人真这样了，但是我说不行，不能要日本人的钱。所以日本人是行不通的，至少在台湾保留了我们中国人的尊严。 我和大家讲，大家注意，我这个招不谈高调的，就是你道德劝说慰安妇不拿这个钱，不尽人情，老太太们实在要这个钱，她内心发生了天 人交战，什么办法，就是我的方法，这才是务实。你们只看到我张牙舞爪，骂张三和李四，你们没有看到我务实这一面，这是很重要的。今天的意思就是大家要务实，面对今天的中国问题和中国的前途，就是说中国才是我们真正努力的方向，真正努力的目标，真正献身的目标。 摘自《李 敖2005年9月23日清华大学演讲文字实录》 爱的遗赠 ?艾尔非常年轻的时候，就已经是一个娴熟的艺术家和制陶工人了。他有一个妻子和两个优秀的儿子。 一天晚上，他的长子感到胃部疼得厉害，但是艾尔和妻子都认为这只是普通的肠道疾病，而没有多加注意。可是男孩得的却是急性阑尾炎， 他在那天晚上意外地死去了。如果不是由于他的粗枝大叶，如果他能稍微意识到儿子病情的严重性，儿子的死本来是完全可以避免的。——在这样巨大的犯罪感的压制下，艾尔的情绪急剧地变坏了。 不久之后，他的妻子也离开了他，留下他和6岁的小儿子相依为命，这使本来就已经很糟 的局面更加恶化。艾尔受不了这两件事给他带来了打击和痛苦，就妄图从酒精中寻求帮助和解脱，没过多久，他就变成了一个酒鬼。 随着对酒精的迷恋越来越深，艾尔所拥有的一切开始一点一点地失去了--他的家，他的土地，他的艺术作品，他的一切。最后，艾尔在旧金山的一家汽车旅 馆里孤独地死去了。 当我听到艾尔去世的消息后，我对他的蔑视也和世人对那些死后没给子孙留下任何遗产的人的蔑视一样。"这是一个多么彻底的失败者呀！"我心里这样想，"完全是浪费生命！" 随着时间的流逝，我开始对早年自己对艾尔的苛刻评断重新估价，因为，我认识了艾 尔现在已经成年的小儿子厄尼。他是我所知道的最仁慈最精细最富爱心的人之一。我观察着厄尼和他的孩子们，看见他们之间洋溢着丰富的关爱之情。我知道那种仁慈和爱心一定源自某处。 我很少听到厄尼谈论他的父亲。要为一个酒鬼辩护是多么困难啊。一天，我鼓起勇气问他，"有一 件事使我感到很迷惑，"我说，"我知道你主要由你的父亲抚养长大的。那么他究竟是如何使你成为这样一个非同一般的人的呢？" 厄尼平静地坐在那儿，仔细思索了一会儿，然后他说："从我记事起一直到我18岁离开家，父亲每天晚上都到我的房间里来，在我的面颊上吻一下，并且说：' 我爱你，儿子。'" 我的眼睛湿润了，我意识到我过去觉得艾尔是一个失败者的想法是多么的愚蠢。他虽然没给儿子留下了什么物质财富，但是他用一个父亲的仁慈和爱心，培养出了一个非常善良无私的儿子。 ? 给狗取个好名字 ? 我的朋友琴德太太，住在纽约白利斯德路，她刚雇好一个 女佣，告诉她下星期一开始来工作。琴德太大打电话给那女佣以前的女主人，那太太指这个女佣并不好。当那女佣来上班的时候，琴德太太说： "妮莉，前天我打电话给你以前做事的那家太太。她说你诚实可靠，会做菜，会照顾孩子，不过她说你平时很随便，总不能将房间整理干净。 我相信她说的是没有根据的，你穿的很整洁，这是谁都可以看出来的……我可以打赌，你收拾房间，一定同你的人一样整洁干净。我也相信，我们一定会相处得很好。" 是的，她们果然相处得非常好，妮莉不得不顾全她的名誉，所以琴德太太所讲的，她真的做到了。她把屋子收拾得干干 净净，她宁愿自己多费些时间，辛苦些，也不愿意破坏琴德太太对她的好印象。 包德文铁路机车工厂总经理华克伦，他说过这样的话："一般人，都会愿意接受指导，如果你得到他的敬重，并且对他的某种能力表示敬重的话。" 我们也可以这样说，如果你想改善一个人某方面的缺点， 你要表示出，他已经具有这方面的优点了。莎士比亚说： "如果你没有某种美德，就假定你有。"最好是"假定"对方有你所要激发的美德，给他一个美好的名誉去表现，他会尽其所能，也不愿意使你感到失望的。 雷布利克在她的《我和梅脱林克的生活》一书中，曾叙述一个低卑的比 利时女佣的惊人改变。 她这样写着：隔壁饭店里有个女佣，每天替我送饭菜来，她的名字叫洗碗的玛丽。因为她开始工作时，是厨房里的一个助手。她那副长相真古怪，一对斗鸡眼，两条弯弯的腿，身上瘦得没有四两肉，精神也是显得无精打采、迷迷糊糊的。 有一天，当她端着一 盘面来给我时，我坦白的对她这样说："玛丽，你不知你有内在的财富？" 玛丽平时似乎有约束自己感情的习惯，生怕会招来什么灾祸，不敢做出一点喜欢的样子，她把面放到桌上后，才叹了口气说："太太，我是从来不敢想到那些的。"她没有任何怀疑，也没有提出更多的问题，她只是回 到厨房，反复思索我所说的话，深信这不是人家开她的玩笑。 就从那天起，她自己似乎也考虑到那回事了；在她谦卑的心理，已起了一种神奇的变化。她相信自己是看不见的暗室之宝；她开始注意修饰她的面部和身体。她那原来枯萎了的青春，渐渐洋溢出青春般的气息来。 两个月 后，当我要离开那地方时，她突然告诉我，她就要跟厨师的侄儿结婚了。她悄悄的告诉我："我要去做人家的太太了！她向我道谢我只用了这样简短的一句话，就改变了她的人生。 雷布利克给"洗碗的玛丽"，一个美好的名誉，而那个名誉改变了她的一生。 当利士纳要影响在法国的美 国士兵的行为时，也用了同样的方法。哈巴德将军--一位最受人们欢迎的美国将军，他曾经告诉利士纳说，在他看来，在法国的二百万美国兵，是他所接触过最合乎理想、最整洁的队伍。 这是不是过份的赞许？或许是的。可是我们看利士纳如何应用它！ 利士纳说："我从未忘记把哈 巴德将军所说的话，告诉士兵们，我并没有怀疑这话的真实性，即使并不真实，那些士兵们知道哈巴德将军的意见后，他们会努力去达到那个水准。" 有这样一句古语："如果不给一条狗取个好听的名字，不如把它勒死算了。" 几乎包括了富人、穷人、乞丐、盗贼，每一个人都愿意竭 尽其所能，保持别人赠予他的"诚实"的美誉。 "星星监狱"狱长洛斯说： "如果你必须去对付一个盗贼、骗子，只有一个办法可以制服他，那就是待他如同一个诚会、体面的绅士一样，假设他是位规规矩矩的正人君子。他会感到受宠若惊，他会很骄傲的认为有人信任他。" 那句话 太重要，太好了！我们不妨再说一遍： "如果你必须去对付一个盗贼、骗子，只有一个办法可以制服他，那就是待他如同一个诚实、体面的绅士，假设他是位规规矩矩的正人君子。他会感到受宠若惊，他会很骄傲的认为有人信任他。" 所以，如果你要影响一个人的行为，而不引起他 的反感，记住这项规则，那是： 给人一个美名让他去保全。 ? 松下幸之助：为你配副好眼镜 ?每一个生意人都想赚钱，这是天经地义的事。可是，满脑子都是生意经，这只是一般人的想法。 很久以前，我曾接到一封从北海道的札幌市寄来的信件，内容大致如下："我是一位眼镜商 人，前几天，在杂志上看到了您的照片。因为您所配戴的眼镜不大适合脸形，希望我能为您服务，
空间向量的坐标和运算
空间向量的坐标和运算一、空间向量的坐标和运算1.空间直角坐标系在单位正方体$oabc$-$d$′$a$′$b$′$c$′中，以$o$点为原点，分别以射线$oa$，$oc$，$od$′的方向为正方向，以线段$oa$，$oc$，$od$′的长为单位长，建立三条数轴：$x$轴、$y$轴、$z$轴。
这时我们说建立了一个空间直角坐标系$oxyz$，其中点$o$叫做坐标原点，$x$轴、$y$轴、$z$轴叫做坐标轴。
通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为$xoy$平面、$yoz$平面、$xoz$平面。
2.空间矢量的坐标一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。
如果$a（x_1，y_1，z_1）$，$B（x_2，y_2，z_2）$，那么$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{ob}-\overrightarrow{OA}$=$（x_2-x_1$，$y_2-y_1$，$z_2-z_1）$。
3、空间向量的坐标运算设置$\boldsymbol（x_1，y_1，z_1）$，$\boldsymbol B（x_2，y_2，z_2）$，然后（1）$\boldsymbola+\boldsymbolb$=$(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)$。
（2） $\boldsymbola-\boldsymbolb$=$（x_1-x_2，y_1-y_2，z_1-z_2）$（3）$\boldsymbola·\boldsymbolb$=$x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$。
（4） $|\boldsymbola |=\sqrt{x^2_1+y^2_1+z^2_1}$（5）$λ\boldsymbola=（λx_1,λy_1,λz_1）$。
4.平行（共线）和垂直空间向量的充要条件设非零向量$\boldsymbola(x_1,y_1,z_1)$，$\boldsymbolb(x_2,y_2,z_2)$，则$\boldsymbola∥\boldsymbolb\leftrightarrow\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}=\frac{z_1}{z_2}=λ（λ∈\mathbf{r}）$$\boldsymbola⊥\boldsymbolb\leftrightarrow\boldsymbola·\boldsymbolb=0\leftrig htarrow$$x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2=0$。
空间向量的直角坐标运算律
.空间向量的直角坐标运算律：（1）若，，则．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
（2）若，，则，，，，，；，．夹角公式：．（3）两点间的距离公式：若，，则或。
对于垂直问题，一般是利用进行证明；对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明．2．利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便．其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角或其补角，而求两个向量的夹角则可以利用向量的夹角公式。
3．用向量法求距离的公式设n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，则点B到平面的距离为（如图）。
向量法在求空间角上的应用平面的法向量的求法：设n=(x,y,z)，利用n与平面内的两个不共线的向a，b垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取其一组解，即得到平面的一个法向量（如图）。
线线角的求法：设直线AB、CD对应的方向向量分别为a、b，则直线AB与CD所成的角为。
（注意：线线角的范围[00,900]）线面角的求法：设n是平面的法向量，是直线的方向向量，则直线与平面所成的角为（如图）。
二面角的求法：设n1，n2分别是二面角的两个面，的法向量，则就是二面角的平面角或其补角的大小（如图）利用法向量求空间距离⑴点A到平面的距离：，其中，是平面的法向量。
⑵直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。
⑶两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。
①线线平行的判定：判定定理性质定理判定定理判定定理性质定理判定定理总结：从中可以看出，一般情况下，往往借助一些“性质定理”来构造满足“判定定理”的条件。
(2)还会考查到的位置关系：异面直线的判定。
判定方法：定义(排除法与反证法)、判定定理。
二、基本例题例1已知：分析：利用线面平行的性质与平行公理。
注意严格的公理化体系的推理演绎。
说明：过l分别作平面∴l∥m同理l∥n∴m∥n又又例2. 已知：AB是异面直线a、b的公垂线段，P是AB的中点，平面经过点P且与AB垂直，设M是a上任意一点，N是b 上任意一点。
空间向量的坐标运算精选全文完整版
| AC | | BB1 | cos 900 0 AD1 DB1 AD1 DA AD1 AB AD1 BB1 | AD1 | | DA | cos1350 | AD1 | | AB | cos 900
| AD1 | | BB1 | cos 450 0 又AD1 AC A,
AD1 DB1, AC DB1. DB1 平面ACD1.
xA‘
y B(3,4,0)
与y轴垂直的坐标平面是___x_o__z___ A'(3, 4, 5)
与z 轴垂直的坐标平面是___x_o_y____
(2)点P(2,3,4)在 xoy平面内的射影是_(_2_,3_,_0_)
在 xoz 平面内的射影是_(2_,_0_,4_)_
在 yoz平面内的射影是_(0_,_3_,4_)_
(2)a 6b 8c _(2_,_-3_,_1_)_+_(_12,0,18)+(0,0,-16)
=(14,-3,3)
练习Ｐ39 8.判定下列各题中的向量是否平行: (1) (1,2,-2)和(-2,-4,4), (2) (-2,3,5)和(16,-24,40). 解: (1) (-2,-4,4) = -2 (1,2,-2)
数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这样
就建立了一个空间直角坐标系O — x y z .
点O叫做原点，向量 i, j, k
z k
都叫做坐标向量.通过每两个
y
i 坐标轴的平面叫做坐标平面。
O
j
x
三、向量的直角坐标系
给定一个空间坐标系和向量
a ,且设 i, j, k为坐标向量，由空z a
间向量基本定理，存在唯一的有
D1 A1
D
课件5：3.1.4空间向量的直角坐标运算
a1b1＋a2b2＋a3b3
a·b
2
2
2
2
2
2
cos<a，b>＝
＝_________________________.
a
＋a
＋a
b
＋b
＋b
1
2
3
1
2
3
|a||b|
设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则
2
2
2
→
x
－x
求：
（1）< ，>（精确到0.1°）；
（2） 在上正投影的数量（精确到0.01）.
解：（1）由点A，B，C的坐标可得
=（-1,2,0），=（1,1,3）
||= 5 ， ||= 11 ，
||·||= -1×1+2×1+0×3=1，
因此cos< ，>=
AB·AC
5．已知向量a＝(－2,2,0)，b＝(－2,0,2)，
求向量n使n⊥a，且n⊥b.
解
设 n＝(x，y，z)，
则 n·a＝(x，y，z)·(－2,2,0)＝－2x＋2y＝0，
n·b＝(x，y，z)·(－2,0,2)＝－2x＋2z＝0.
－2x＋2y＝0，
解方程组
可得 y＝x，z＝x.
－2x＋2z＝0，
＋y
－y
＋z
－z
2
1
2
1
2
1
|AB|＝________________________________.
名师点拨：(1)空间向量的坐标是空间向量的一种形
空间向量的直角坐标及其运算.rar
课题：§1.2.2映射教学目的：（1）了解映射的概念及表示方法，了解象、原象的概念；（2）结合简单的对应图示，了解一一映射的概念．教学重点：映射的概念．教学难点：映射的概念．教学过程：一、引入课题复习初中已经遇到过的对应：1．对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应；2．对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应；3．对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；4．某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；5．函数的概念．二、新课教学1．我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射（mapping）（板书课题）．2．先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系（1）开平方；（2）求正弦（3）求平方；（4）乘以2；3．什么叫做映射？一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．记作“f：A→B”说明：（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的．其——————————————第 1 页（共2页）——————————————中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述．（2）“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。
4．例题分析：下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？（1）A={P | P是数轴上的点}，B=R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2）A={ P | P是平面直角体系中的点}，B={（x，y）| x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角体系中的点与它的坐标对应；（3）A={三角形}，B={x | x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；（4）A={x | x是新华中学的班级}，B={x | x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生．思考：将（3）中的对应关系f改为：每一个圆都对应它的内接三角形；（4）中的对应关系f改为：每一个学生都对应他的班级，那么对应f：B A是从集合B到集合A的映射吗？5．完成课本练习三、作业布置补充习题——————————————第 2 页（共2页）——————————————。
空间向量的表示与运算技巧
空间向量的表示与运算技巧在数学和物理学中，空间向量是描述三维空间中大小和方向的量。
它是由一组按照特定规则排列的数值组成，可以用于计算物体的位移、速度、加速度等各种物理量。
本文将介绍空间向量的表示和运算技巧。
一、空间向量的表示方法1. 直角坐标表示法直角坐标表示法是最常用的一种表示方法。
在三维直角坐标系中，一个空间向量可以用三个实数(x,y,z)表示，分别表示向量在x轴、y轴和z轴上的分量。
例如，向量A可以表示为A = (x,y,z)。
2. 分量表示法分量表示法将向量的分量按照一定顺序排列，形成一个有序数组。
例如，向量A可以表示为A = [x,y,z]。
3. 基向量表示法基向量表示法利用基向量来表示一个向量。
在三维空间中，通常使用标准单位向量i、j、k作为基向量。
例如，向量A可以表示为A =x*i + y*j + z*k。
二、空间向量的运算技巧1. 向量的加法向量的加法是将对应分量相加得到新的向量。
例如，向量A =(x1,y1,z1)和向量B = (x2,y2,z2)，它们的和可以表示为A + B = (x1+x2, y1+y2, z1+z2)。
2. 向量的减法向量的减法是将对应分量相减得到新的向量。
例如，向量A =(x1,y1,z1)和向量B = (x2,y2,z2)，它们的差可以表示为A - B = (x1-x2, y1-y2, z1-z2)。
3. 向量的数量积向量的数量积，又称为点积或内积，是将对应分量相乘后求和得到一个标量。
例如，向量A = (x1,y1,z1)和向量B = (x2,y2,z2)，它们的数量积可以表示为A·B = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2。
4. 向量的向量积向量的向量积，又称为叉积或外积，是通过对应分量的乘积得到一个新的向量。
向量A = (x1,y1,z1)和向量B = (x2,y2,z2)的向量积可以表示为A×B = (y1*z2 - z1*y2, z1*x2 - x1*z2, x1*y2 - y1*x2)。
82空间直角坐标系、空间向量及运算
用向量数量积的定义及性质可解决立体几何中求异面直线所成的角，求两点距离或线段长度以及证明线线垂直、线面垂直等典型问题.
例题分析：
例1：如图，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，G为
△BC1D的重心.（1）试证A1,G,C三点共线；（2）试证A1C⊥平面BC1D;
（3）求点C到平面BC1D的距离.
例2：已知一个60°的二面角的棱上有两点A,B,AC,BD分别是在这两个面内且垂直于AB的线段.又知AB=4,AC=6,BD=8,求:
(1)CD的长;(2)AB与CD成的角的余弦值.
巩固练习：教师用书【259】对接高考
课后作业：对应课后提升：解答题
教后
反思
备课组长签字：年月日
③λa(λx1,λy1,λz1);
(2)a·b=x1x2+y1y2+z1z2.
(3)若点A(x1,y1,z1),点B垂直的条件(x2-x1,y2-y1,z2-z1)
①a∥b(b≠0)
x1=λx2
y 1=λy2;
z1=λz2
②若x2y2z2≠0，则a∥b ;③a⊥b，则x1x2+y1y2+z1z2=0.
教法
讨论与讲授法相结合
学法
课前预习、课堂合作探究
个人主页
教具
教材、练习册
课型
常规课
课时安排
1课时
教
学
过
程
主要知识：1.空间向量的直角坐标运算：
(1)已知a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2)，则
①a+b=( x1+x2,y1+y2,z1+z2);②a-b=(x1-x2,y1-y2,z1-z2);
空间向量及其运算的坐标表示
平面向量
平面向量的坐标运算： a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ) a b ( x1 x2 , y1 y2 );
空间向量
空间向量的坐标运算： a ( x1 , y1 , z1 ), b ( x2 , y2 , z 2 ) a b ( x1 x2 , y1 y2 , z1 z 2 );
空间向量
空间向量的夹角： a ( x1 , y1 , z1 ), b ( x2 , y2 , z 2 ) ab cos a,b | a || b | x1 x2 y1 y2 z1 z 2 2 2 2 2 2 x1 y1 z12 x2 y2 z 2
垂直与平行： a ( x1 , y1 , z1 ), b ( x2 , y2 , z 2 ) x1 y1 z1 a // b (?) x2 y 2 z 2 a b x1 x2 y1 y2 z1 z 2 0
x1 x 2 y1 y 2 z1 z 2 （3）中点坐标公式： ( , , ) 2 2 2
2.两个向量夹角公式
a1b1 a2b2 a3b3 a b cos a, b ; 2 2 2 2 2 2 | a || b | a1 a2 a3 b1 b2 b3
垂直与平行： a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ) a // b x1 y2 x2 y1 0 a b x1 x2 y1 y2 0
对比表4
平面向量
平面向量基本定理： 如果e1 , e 2是同一平面内的两个不 共线 的向量，那么对于这个 平面内的任一 向量a，有且仅有一对实数 x, y，使a xe1 ye 2 .
空间向量的直角坐标运算.ppt
| AB | AB AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
2. 夹角公式
cos a,b a b
a1b1 a2b2 a3b3
;
| a || b |
a12 a22 a32 b12 b22 b32
利用向量的坐标表示求夹角和距离
x
平面向量的坐标表示： a =( a1 , a2 )
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点 的坐标减去始点的坐标．
(a 1b1,a2 b2 ,a3 b3 )
(a 1b1,a2 b2 ,a3 b3 )
(a1,a2,a3),( R)
a1b1 a2b2 a3b3
利用空间直角坐标系解立体几何中的题，需首 先建立空间直角坐标系，选取图中有公共起点 且互相垂直的三条线段所在直线为坐标轴；再 利用公式解决夹角、模等问题．
例3 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，B1E1
D1F1
A1B1 4
，求
BE1
与
DF1 所成的角的余弦值。
z
解：设正方体的棱长为1，如图建
a1 b1,a2 b2 ,a3 b3 ( R) a1 / b1 a2 / b2 a2 / b2
a1b1 a2b2 a3b3 0
二、距离与夹角
1.距离公式 | a |2 a a a12 a22 a32
AB ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1)
D1
F1
C1
立空间直角坐标系 O xyz ，则
A1
E1 B1
B(1,1, 0)
,
E1 1,
空间直角坐标系与空间向量的运算
解析 (1)∵A→1D＝A→D－A→A1＝c－a， ∴A→1M＝12A→1D＝12(c－a)． 同理，A→1N＝12(b＋c)， ∴M→N＝A→1N－A→1M
＝12(b＋c)－12(c－a) ＝12(b＋a)＝12a＋12b. (2)证明：∵A→B1＝A→A1＋A→B＝a＋b， ∴M→N＝12A→B1，即 MN∥AB1， ∵AB1⊂平面 ABB1A1，MN⊄平面 ABB1A1， ∴MN∥平面 ABB1A1.
变式迁移 4 (1)已知 a＝3m－2n－4p≠0，b＝(x＋1)·m＋8n＋2yp，且 m、n、 p 三个向量不共面，若 a∥b，求实数 x、y 的值； (2)已知平行四边形 ABCD(如图所示)，从平面 AC 外一点 O 引 向量O→E＝kO→A，O→F＝kO→B，O→G＝kO→C，O→H＝kO→D.
因为|MA|＝ 3－02＋0－y2＋1－02＝ 10＋y2， |AB| ＝ 1－32＋0－02＋－3－12 ＝ 20 ， 所 以 10＋y2 ＝ 20，解得 y＝± 10. 故 y 轴上存在点 M 使△MAB 为等边三角形，点 M 的坐标为(0， 10，0)或(0，－ 10，0)．
题型三 空间向量的分解 例 3 在如图所示的平行六面体中，求证：A→C1＝12(A→C＋A→B1＋ A→D1)．
O→P＝xO→A＋yO→B＋zO→C， 可看成平面 ABC 的一个向量参数方程，其 x＋y＋z＝1，
中 x，y，z 为参数． (3)空间向量基本定理：如果三个向量 a、b、c 不共面，那么空间
空间向量的直角坐标及其运算
空间向量的直角坐标及其运算 (2)教学目的：1.掌握空间向量的模长公式、夹角公式、两点间的距离公式，会用这些公式解决有关问题；2.会根据向量的坐标判断两个向量共线或垂直教学重点：夹角公式、距离公式教学难点：模长公式、夹角公式、两点间的距离公式及其运用教学过程： 一、复习引入： 1 空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k 表示；（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量 ,,i j k 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面； 2．空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标． 3．空间向量的直角坐标运算律： （1）若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++，112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈，112233a b a b a b a b ⋅=++，112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈，1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=．（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ， 则212121(,,)AB x x y y z z =---．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标4 模长公式：若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 则2||a a a a =⋅=+2||b b b b =⋅=+5．夹角公式：2cos||||a ba b a b a⋅⋅==⋅+6．两点间的距离公式： 若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ， 则2||(AB AB ==，或,A B d = 二、讲解范例：例1．求证：如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行． 已知：直线OA ⊥平面α，直线BD ⊥平面α，O 、B 为垂足． 求证：OA //BD ．说明：如果表示向量a 的有向线段所在直线垂直于平面α，则与向量a 共线的所有向量所在直线都垂直于α．则称这个向量垂直于平面 EMBED Equation.DSMT4 α，记作EMBED Equation.DSMT4 a ⊥α．如果a ⊥α，那么向量a 叫做平面α的法向量．．．．例2．如图棱长为2的正方体A'B'C'D'—ABCD 中，E 、F 分别为棱C ’D ’和AB 的中点.（1）求直线BD ’与CE 所成的角；（2）求平面A ’ECF 与底面ABCD 所成的角；(3)求点B 到平面A ’ECF 的距离；（4）直线DA ’与AC 的距离例3.已知三角形的顶点是(1,1,1)A -，(2,1,1)B -，(1,1,2)C ---，试求这个三角形的面积点评：三角形的内角可看成由该角的顶点出发的两边所在向量的夹角三、课堂练习： 1若(3cos ,3sin ,1)A θθ，(2cos ,2sin ,1)B θθ，求||AB 的取值范围；2．已知(,2,0)a x =，2(3,2,)b x x =-，且a 与b 的夹角为钝角，求x 的取值范围； 3．若(cos ,sin ,2sin )P ααα，(2cos ,2sin ,1)Q ββ，求||PQ 的最大值和最小值四、小结 ：1．空间向量的模长公式、两点间的距离公式的形式与平面向量中相关内容一致，因此可类比记忆；2．在计算异面直线所成角时，仍然用向量数量积的知识，建立空间直角坐标系后能方便的求出向量的坐标，则通常考虑用坐标运算来求角3．对于一些较特殊的几何体或平面图形中有关夹角，距离，垂直，平行的问题，都可以通过建立坐标系将其转化为向量间的夹角，模，垂直，平行的问题，从而利用向量的坐标运算求解，并可以使解法简单化．值得注意的是——坐标系的选取要合理、适当． 五、作业：9B062。
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∴ AP AB ， AP AD，又 AB AD A ， AP 平面 ABCD，
∴ AP 是平面 ABCD的法向量； 解：（2） AB 22 12 42 21 ， AD 42 22 02 2 5 ，
∴ SABC
1 2
AB
AC
sin
A
101 。 2
7、在棱长为1的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E, F 分别是 DD1、DB 中点，G 在棱CD 上，
CG
1 4
CD
，
H
是
C1G
的中点；
（1）求证： EF B1C ；（2）求 EF 与C1G 所成的角的余弦；（3）求 FH 的长。
解：如图以 D 为原点建立直角坐标系 D xyz ，
（3）证明线面平行：若直线的方向向量与平面的一个法向量垂直，则这直线与该平面平行；
（4）证明面面平行：若两个不重合平面的法向量平行，则这两个平面就互相平行。 11、用向量求异面直线所成角：
找出两条异面直线各自的一个方向向量，计算这两个向量的夹角 ，则 （或 的补角）
即为两条异面直线所成的角。
设 a、b 是异面直线， d1 是直线 a 的一个方向向量， d2 是直线b 的一个方向向量，异面
一、基本概念：
1、空间直角坐标系：
（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用 i, j,k
表示；
（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底 i, j,k ，以点O 为原点，分别以 i, j,k 的方向
为正方向建立三条数轴：x 轴、 y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴；我们称建立了一个空间 直角坐标系 O xyz ，点O 叫原点，向量 i, j, k 都叫单位向量；通过每两个坐标轴的平
a1b2 a2b1 0
a b a1b1 a2b2 a3b3 0 ； a / /b a b a b a1c2 a2c1 0 。
9、空间直线的方向向量和平面的法向量：
b1c2 b2c1 0
（1）空间直线的方向向量： 空间直线的方向用一个与该直线平行的非零向量来表示，该向量称为这条直线的一个方
直线 a、b 所成的角为 ，则 cos d1 d2 。
d1 d2
12、用向量求线面角：
设 为直线 l 与平面 所成的角， 为直线l 的方向向量 d 与平面 的法向量之间的夹
角，则有 或 ，即 ，故有：sin nd ；
2
2
2
nd
特别地，（1）当 0时， ，此时，l ；
j
A(x1,y1,z1) AB
B(x2,y2,z2) y
7、两点间的距离公式：
x
若 Ax1, y1, z1，Bx2, y2, z2 ，则 AB
2
AB
x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2 ，
或 dA,B x2 x1 2 y2 y12 z2 z12 。
8、向量的垂直和平行：
C1G
所成的角
的余弦
51 ； 17
24
（3）∵ FH
1 2
,
3 8
,
1 2
，∴
FH
1
2
2
3 8
2
1 2
2
41 。 8
8、已知点 P 是平行四边形 ABCD所在平面外一点，如果 AB 2,1,4 ，AD 4,2,0 ， AP 1,2,1 ；
（1）求证： AP 是平面 ABCD的法向量；（2）求平行四边形 ABCD 的面积。
A(x,y,z) y
的坐标，记作 Ax, y, z ， x 叫横坐标， y 叫纵坐标， z 叫x竖坐标。
3、空间向量的直角坐标运算律：
（1）若 a a1,a2,a3 ， b b1,b2,b3 ，则：
z
① a b a1 b1,a2 b2,a3 b3 ；
k
② a b a1 b1,a2 b2,a3 b3 ；
2
（2）当 时， 0，此时，l 或l / / 。
2
13、用向量求面面角： 设 n1 ， n2 分别为平面、 的法向量，二面角的大小为 ，向量 n1 ， n2 的夹角为 ，
则当 n1 ，n2 同时指出二面角的内侧与外侧时，有 ；当 n1 ，n2 同时指向二面角的内 侧与外侧时，有 。
a b a b cos a,b ；若 a a1,a2,a3 ，b b1,b2,b3 ，则 a b a1b1 a2b2 a3b3 。
6、夹角公式：
z
cos a，b ab
a1b1 a2b2 a3b3
。
a b a12 a22 a32 b12 b22 b32
k
O i
∴ AB AD 2,1,44,2,0 6 ，∴ cos(AB, AD) 6 3 105 ，
212 5 105
∴ sin BAD
1 9 105
32 ，∴ S 35
ABCD
AB AD sin BAD 8
6。
9、如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E 是 BC1 的中点，求直线 DE 与平面 ABCD所成的角的大小。
解：如图建立空间直角坐标系，则 D0,0,0,B2,2,0,C10,2,2, E1,2,1，
∴ DE 1,2,1 ，平面 ABCD的一个法向量 n 0,0,1 ；
设 DE 与平面 ABCD所成的角 ，
n DE
则 sin
6 ，∴ arcsin
6；
n DE 6
6
∴ 直线 DE 与平面 ABCD所成的角为arcsin 6 。
D1
C1
∴ EF B1C ；
A1 E
（
2）∵
C1G
0,
1 4
,
1
，∴
EF
C1G
1 2
,
1 2
,
1 2
0,
1 4
,
1
3 8
，
A
D
F
x
B1 H
G
C y
B
EF
1
2
2
1
2
2
1
2
2
3 2
，
C1G
02
1
2
4
12
17 ， 4
3
∴ cos(EF,C1G)
8 3
17
51 17
，∴
EF
与
,
3
，
d
A,B
1 32 0 32 5 12
29 ；
（2）∵ 点 Px, y, z 到 A, B 两点的距离相等，
则 x 32 y 32 z 12 x 12 y 02 z 52 ，
化简得： 4x 6y 8z 7 0 ，所以，到 A, B 两点的距离相等的点 Px, y, z 的坐
14、用向量求点到面的距离：
设 n 为平面 的法向量， A、B 分别为平面 内、外的点，则点 B 到平面 的距离：
AB n
d
。
n
二、例题讲解：
1、已知 a 2,3,5 ，b 3,1,4 ，求a b ，a b ， a ，8a ，a b 。
解： a b 2,3,53,1,4 1,2,1 ， a b 2,3,5 3,1,4 5,4,9 ，
分别以 i, j, k 为坐标向量建立空间直角坐标系O xyz ，
则
AD
1,0,0
，
D1F
0,
1 2
,
1
，
AD
D1F
1,
0,
0
0,
1 2
,
1
0
，∴
D1F
AD
，
又
AE
0,1,
1 2
，
AE
D1F
0,1,
1 2
0,
1 2
,
1
0
，
∴ D1F AE ， AD AE A，所以， D1F 平面 ADE 。
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的 坐标。
4、模长公式：
若 a a1,a2,a3 ， b b1,b2,b3 ，则 a a a a12 a22 a32 ，
b b b b12 b22 b32 。
5、向量的数量积：
已知向量 a,b ，则 a b cos a,b 叫做 a,b 的数量积，记作 a b ，即：
4、已知 A3,3,1， B1,0,5；
求：（1）线段 AB 的中点坐标和长度；
（2）到 A, B 两点的距离相等的点 P(x, y, z) 的坐标 x, y, z 满足的条件。
解：（1）设 M 是线段 AB 的中点，则OM 1 2
OA OB
2,
3 2
,3
；
∴
AB
的中点坐标是
2,
3 2
a 22 (3)2 52 38 ，8a 82,3,5 16,24,40 ，
ab 2,3,53,1,4 29 。
2、求点 A2,3,1关于 xOy 平面， zOx 平面及原点O 的对称点。
解：∵ A2,3,1在 xOy 平面上的射影C2,3,0，x 在 zOx 平面上的射影为 B2,0,1 ，
向向量。
（2）平面的法向量：
已知平面 ，如果表示向量 n 的有向线段所在直线与平面 垂直，则n 就叫做平面 的
一个法向量。
注：（1）平面 的一个法向量垂直于与平面 共面的所有向量；
（2）一个平面的所有法向量共线（或平行）； （3）一个平面的法向量有互相相反的两个方向。
10、用法向量解题的几个基本原理： （1）证明线面垂直：若直线的方向向量与平面的法向量平行，则这条直线就与该平面垂直； （2）证明面面垂直：若两个平面的法向量垂直，则这两个平面就互相垂直；