浙江省中考数学压轴题分类及解析.pdf

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浙江省各市中考数学分类解析专题12 押轴题

专题12：押轴题一、选择题1.（2012浙江杭州3分）已知关于x，y的方程组x y=4ax y=3a-⎧⎨-⎩+3，其中﹣3≤a≤1，给出下列结论：①x=5y=1⎧⎨-⎩是方程组的解；②当a=﹣2时，x，y的值互为相反数；③当a=1时，方程组的解也是方程x+y=4﹣a的解；④若x≤1，则1≤y≤4．其中正确的是【】A．①②B．②③C．②③④D．①③④【答案】C。

【考点】二元一次方程组的解，解一元一次不等式组。

【分析】解方程组得出x、y的表达式，根据a的取值范围确定x、y的取值范围，逐一判断：解方程组x y=4ax y=3a-⎧⎨-⎩+3，得x=12ay=1a+⎧⎨-⎩。

∵﹣3≤a≤1，∴﹣5≤x≤3，0≤y≤4。

①x=5y=1⎧⎨-⎩不符合﹣5≤x≤3，0≤y≤4，结论错误；②当a=﹣2时，x=1+2a=﹣3，y=1﹣a=3，x，y的值互为相反数，结论正确；③当a=1时，x+y=2+a=3，4﹣a=3，方程x+y=4﹣a两边相等，结论正确；④当x≤1时，1+2a≤1，解得a≤0，y=1﹣a≥1，已知0≤y≤4，故当x≤1时，1≤y≤4，结论正确。

，故选C。

2.（2012浙江湖州3分）如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于【】A．5 B．453C．3 D．43. （2012浙江嘉兴、舟山4分）如图，正方形ABCD的边长为a，动点P从点A出发，沿折线A→B→D→C→A 的路径运动，回到点A时运动停止．设点P运动的路程长为长为x，AP长为y，则y关于x的函数图象大致是【】A． B．C．D．【答案】D。

【考点】动点问题的函数图象。

【分析】因为动点P按沿折线A→B→D→C→A的路径运动，因此，y关于x的函数图象分为四部分：A→B，B→D，D→C，C→A。

浙江中考数学压轴题(二)

浙江中考试卷压轴题（二）★做题前提醒：1、建议“单页打印”，中考第二轮复习时可以对题目进行裁剪粘拼整理成专题；2、建议在“分析书写区”写出题目的详细解答，养成细心、耐心、恒心的做题好习惯。

【2020年杭州中考第23题】【考点归类】_____________________在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝x2+bx+a，y2＝ax2+bx+1（a，b是实数，a≠0）．（1）若函数y1的对称轴为直线x＝3，且函数y1的图象经过点（a，b），求函数y1的表达式．（2）若函数y1的图象经过点（r，0），其中r≠0，求证：函数y2的图象经过点（，0）．（3）设函数y1和函数y2的最小值分别为m和n，若m+n＝0，求m，n的值．【分析书写区】【2020年杭州中考第23题】【考点归类】_____________________如图，已知AC，BD为⊙O的两条直径，连接AB，BC，OE⊥AB于点E，点F是半径OC的中点，连接EF．（1）设⊙O的半径为1，若∠BAC＝30°，求线段EF的长．（2）连接BF，DF，设OB与EF交于点P，①求证：PE＝PF．②若DF＝EF，求∠BAC的度数．【分析书写区】【2020年湖州中考第10题】【考点归类】_____________________七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地．由边长为2的正方形可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板，如图1所示．分别用这两副七巧板试拼如图2中的平行四边形或矩形，则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是（）A．1和1B．1和2C．2和1D．2和2【分析书写区】【2020年湖州中考第16题】【考点归类】_____________________如图，已知在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限，反比例函数kyx（x＞0）的图象经过OA的中点C．交AB于点D，连结CD．若△ACD的面积是2，则k的值是．【分析书写区】【2020年湖州中考第23题】【考点归类】_____________________已知在△ABC中，AC＝BC＝m，D是AB边上的一点，将∠B沿着过点D的直线折叠，使点B落在AC边的点P处（不与点A，C重合），折痕交BC边于点E．（1）特例感知：如图1，若∠C＝60°，D是AB的中点，求证：AP＝AC；（2）变式求异：如图2，若∠C＝90°，m＝6，AD＝7，过点D作DH⊥AC于点H，求DH和AP的长；（3）化归探究：如图3，若m＝10，AB＝12，且当AD＝a时，存在两次不同的折叠，使点B落在AC边上两个不同的位置，请直接写出a的取值范围．【分析书写区】。

浙江省中考数学压轴题分类及解析.pptx

在△ABD 和△BCE 中，
，
∴△ABD≌△BCE（ASA）； 2 △DEF 是正三角形；理由如下： ∵△ABD≌△BCE≌△CAF， ∴∠ADB=∠BEC=∠CFA， ∴∠FDE=∠DEF=∠EFD， ∴△DEF 是正三角形； 3 作 AG⊥BD 于 G，如图所示： ∵△DEF 是正三角形， ∴∠ADG=60°，
，
答：a 的值为 0.04，b 的值为 30；
（2）①当 0≤t≤50 时，设 y 与 t 的函数解析式为 y=k1t+n1，
将（0，15）、（50，25）代入，得：
，
解得：
，
∴y 与 t 的函数解析式为 y= t+15；当 50＜t≤100 时，设 y 与 t 的函数解析式为 y=k2t+n2，
路段流量 q 与速度 v 之间的部分数据如下表：[来源:学科网 ZXXK]
速度 v（千米/小时） …[来源:学科网] 5 10 20 32 40 48 …
流量 q（辆/小时） …
550 1000 1600 1792 1600 1152 …
(1) 根据上表信息，下列三个函数关系式中，刻画 q，v 关系最准确的是
（只需填上
正确答案的序号）①
②
③
(2)请利用（1）中选取的函数关系式分析，当该路段的车流速为多少时，流量达到最大？最
大流量是多少？
(3) 已知 q，v，k 满足
，请结合（1）中选取的函数关系式继续解决下列问题：
①市交通运行监控平台显示，当
时道路出现轻度拥堵，试分析当车流密度 k
在什么范围时，该路段出现轻度拥堵；
在 Rt△ADG 中，DG= b，AG= b，
在 Rt△ABG 中，c2=（a+ b）2+（ b）2，

浙江省中考数学真题压轴题分类汇编

浙江省中考数学真题压轴题分类汇编一、压轴题--四边形1、（衢州）在直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC，连结OB，D为OB的中点。

点E是线段AB上的动点，连结DE，作DF⊥DE，交OA于点F，连结EF。

已知点E从A 点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒。

(1)如图1，当t=3时，求DF的长；(2)如图2，当点E在线段AB上移动的过程中，∠DEF的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tan∠DEF的值；(3)连结AD，当AD将△DEF分成的两部分面积之比为1:2时，求相应t的值。

2、（丽水）如图，在矩形ABCD中，点E是AD上的一个动点，连接BE，作点A关于BE的对称点F，且点F落在矩形ABCD的内部，连结AF，BF，EF，过点F作GF⊥AF交AD于点G，设=n.(1)求证：AE=GE；(2)当点F落在AC上时，用含n的代数式表示的值；(3)若AD=4AB，且以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形，求n的值.二、压轴题--圆3、（•杭州）如图，已知△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上（不与点A，B重合），点D为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E，射线AO与射线EB交于点F，与⊙O交于点G，设∠GAB=ɑ，∠ACB=β，∠EAG+∠EBA=γ，(1)点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：ɑ30°40°50°60°β120°130°140°150°γ150°140°130°120°猜想：β关于ɑ的函数表达式，γ关于ɑ的函数表达式，并给出证明：(2)若γ=135°，CD=3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O半径的长．4、（•温州）如图，已知线段AB=2，MN⊥AB于点M，且AM=BM，P是射线MN上一动点，E，D分别是PA，PB的中点，过点A，M，D的圆与BP的另一交点C（点C在线段BD上），连结AC，DE．(1)当∠APB=28°时，求∠B和的度数；(2)求证：AC=AB．(3)在点P的运动过程中①当MP=4时，取四边形ACDE一边的两端点和线段MP上一点Q，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且Q为锐角顶点，求所有满足条件的MQ的值；②记AP与圆的另一个交点为F，将点F绕点D旋转90°得到点G，当点G恰好落在MN上时，连结AG，CG，DG，EG，直接写出△ACG和△DEG的面积之比．5、（•宁波）有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．(1)如图1，在半对角四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠C＝∠A，求∠B与∠C的度数之和；(2)如图2，锐角△ABC内接于⊙O，若边AB上存在一点D，使得BD＝BO．∠OBA的平分线交OA于点E，连结DE并延长交AC于点F，∠AFE＝2∠EAF．求证：四边形DBCF是半对角四边形；(3)如图3，在（2）的条件下，过点D作DG⊥OB于点H，交BC于点G．当DH＝BG时，求△BGH与△ABC的面积之比．三、压轴题--方程6、（·台州）在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根，比如对于方程，操作步骤是：第一步：根据方程系数特征，确定一对固定点A（0，1），B（5，2）;第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A，另一条直角边恒过点B；第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x轴上点C处时，点C 的横坐标m即为该方程的一个实数根（如图1）第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x轴上另一点D处时，点D 的横坐标为n即为该方程的另一个实数根。

2023年杭州中考数学压轴题多种解法

2023年杭州中考数学压轴题多种解法
题目：已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（−1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3），点D 是抛物线的顶点，点E是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当△BDE的面积最大时，求E点的坐标；
（3）当∠BDE=∠BCE时，求E点的坐标．
解法一：
（1）由题意，得⎩⎨⎧a−b+c=09a+3b+c=0c=3，解得⎩⎨⎧a=−1b=2c=3，所以抛物线的表达式为
y=−x2+2x+3.
（2）由（1）知，顶点D的坐标为（1，4），设E点的坐标为（m，−m2+2m+3），过E点作y轴的平行线，交BD于点F，则F点的坐标为（1，−m2+2m+3），所以S△BDE=S△BDF+S△DFE=21
×2×(4−(−m2+2m+3))=−m2+2m+5=−(m−1)2+6.当m=1时，△BDE的面积最大，此时E点的坐标为（1，4）.
（3）过点D作DG⊥BC于G，则G点的坐标为（1，1），易知直线CE的斜率不存在时，不满足题意.设直线CE的方程为y−3=k(x−0)，即y=kx+3.由{y=−x2+2x+3y=kx+3，得−x2+(2−k)x+0=0.解得：x1=−3,x2 =kk−2，所以E点的坐标为(kk−2,k⋅kk−2+3).由∠BDE=∠BCE，得∠EGC=∠EDC.所以3−kk−2kk−2−1=1−(k⋅kk−2+3)4−(k⋅kk−2+3)=−1.解得：k2−k−3=0.解得：k1=2−−1+13,k2=2−−1−13，所以E点的坐标为(2−−1+13,5+13)或(2−−1−13,5−13).。

2022年浙江各地中考数学真题按知识点分类汇编专题15 压轴题(含详解)

专题15 压轴题一、解答题1．（2022·杭州）在正方形ABCD 中，点M 是边AB 的中点，点E 在线段AM 上（不与点A 重合），点F 在边BC 上，且2AE BF =，连接EF ，以EF 为边在正方形ABCD 内作正方形EFGH ．(1)如图1，若4AB =，当点E 与点M 重合时，求正方形EFGH的面积，(2)如图2，已知直线HG 分别与边AD ，BC 交于点I ，J ，射线EH 与射线AD 交于点K ． ①求证：2EK EH =；②设AEK α∠=，FGJ 和四边形AEHI 的面积分别为1S ，2S ．求证：2214sin 1S S α=-． 2．（2022·湖州）已知在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，a ，b 分别表示∠A ，∠B 的对边，a b >．记△ABC 的面积为S ．(1)如图1，分别以AC ，CB 为边向形外作正方形ACDE 和正方形BGF C ．记正方形ACDE 的面积为1S ，正方形BGFC 的面积为2S ． ①若19S =，216S =，求S 的值；②延长EA 交GB 的延长线于点N ，连结FN ，交BC 于点M ，交AB 于点H ．若FH ⊥AB （如图2所示），求证：212S S S -=． (2)如图3，分别以AC ，CB 为边向形外作等边三角形ACD 和等边三角形CBE ，记等边三角形ACD 的面积为1S ，等边三角形CBE 的面积为2S ．以AB 为边向上作等边三角形ABF （点C 在△ABF 内），连结EF ，CF ．若EF ⊥CF ，试探索21S S -与S 之间的等量关系，并说明理由．3．（2022·嘉兴）小东在做九上课本123页习题：“1AB （如图1），用直尺和圆规作AB 上的一点P ，使AP ：AB ＝1”小东的作法是：如图2，以AB 为斜边作等腰直角三角形ABC ，再以点A 为圆心，AC 长为半径作弧，交线段AB 于点P ，点P 即为所求作的点．小东称点P 为线段AB 的“趣点”．(1)你赞同他的作法吗？请说明理由．(2)小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP ，点D 为线段AC 上的动点，点E 在AB 的上方，构造DPE ，使得DPE ∽CPB ．①如图3，当点D 运动到点A 时，求∠CPE 的度数．②如图4，DE 分别交CP ，CB 于点M ，N ，当点D 为线段AC 的“趣点”时（CD ＜AD ），猜想：点N 是否为线段ME 的“趣点”？并说明理由．4．（2022·温州）如图1，AB 为半圆O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 切半圆于点D ，BE CD ⊥，交CD 延长线于点E ，交半圆于点F ，已知5,3BC BE ==．点P ，Q 分别在线段AB BE ,上（不与端点重合），且满足54AP BQ =．设,BQ x CP y ==．(1)求半圆O 的半径．(2)求y 关于x 的函数表达式．(3)如图2，过点P 作PR CE ⊥于点R ，连结,PQ RQ ． ①当PQR 为直角三角形时，求x 的值．②作点F 关于QR 的对称点F '，当点F '落在BC 上时，求CF BF ''的值． 5．（2022·宁波）如图1，O 为锐角三角形ABC 的外接圆，点D 在BC 上，AD 交BC 于点E ，点F 在AE 上，满足,∠-∠=∠∥AFB BFD ACB FG AC 交BC 于点G ，BE FG =，连结BD ，DG ．设ACB α∠=．(1)用含α的代数式表示BFD ∠． (2)求证：△≌△BDE FDG ． (3)如图2，AD 为O 的直径． ①当AB 的长为2时，求AC 的长．②当:4:11=OF OE 时，求cos α的值．6．（2022·绍兴）如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，动点E 从点A 出发，沿边AD ，DC 向点C 运动，A ，D 关于直线BE 的对称点分别为M ，N ，连结MN ．(1)如图，当E 在边AD 上且2DE =时，求AEM ∠的度数．(2)当N 在BC 延长线上时，求DE 的长，并判断直线MN 与直线BD 的位置关系，说明理由． (3)当直线MN 恰好经过点C 时，求DE 的长．7．（2022·金华）如图，在菱形ABCD 中，310,sin 5AB B ==，点E 从点B 出发沿折线B C D --向终点D 运动．过点E 作点E 所在的边（BC 或CD ）的垂线，交菱形其它的边于点F ，在EF 的右侧作矩形EFGH ．(1)如图1，点G 在AC 上．求证：FA FG =．(2)若EF FG =，当EF 过AC 中点时，求AG 的长．(3)已知8FG =，设点E 的运动路程为s ．当s 满足什么条件时，以G ，C ，H 为顶点的三角形与BEF 相似（包括全等）？8．（2022·丽水）如图，以AB 为直径的O 与AH 相切于点A ，点C 在AB 左侧圆弧上，弦CD AB ⊥交O 于点D ，连接,AC AD ．点A 关于CD 的对称点为E ，直线CE 交O 于点F ，交AH 于点G ．(1)求证：CAG AGC ∠=∠；(2)当点E 在AB 上，连接AF 交CD 于点P ，若25EF CE =，求DP CP的值； (3)当点E 在射线AB 上，2AB =，以点A ，C ，O ，F 为顶点的四边形中有一组对边平行时，求AE 的长． 9．（2022·台州）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l 的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H 离地竖直高度为h （单位：m ）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG ，其水平宽度3m DE =，竖直高度为EF 的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到l的距离OD为d（单位：m）．(1)若 1.5EF=；h=，0.5m①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围；(2)若1mEF=．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出h的最小值．专题15 压轴题一、解答题1．（2022·杭州）在正方形ABCD 中，点M 是边AB 的中点，点E 在线段AM 上（不与点A 重合），点F 在边BC 上，且2AE BF =，连接EF ，以EF 为边在正方形ABCD 内作正方形EFGH ．(1)如图1，若4AB =，当点E 与点M 重合时，求正方形EFGH的面积，(2)如图2，已知直线HG 分别与边AD ，BC 交于点I ，J ，射线EH 与射线AD 交于点K ． ①求证：2EK EH =；②设AEK α∠=，FGJ 和四边形AEHI 的面积分别为1S ，2S ．求证：2214sin 1S S α=-．【答案】(1)5；(2)①见解析；②见解析【解析】(1)解：∵4AB =，点M 是边AB 的中点， ∴2AE BE ==， ∵2AE BF =， ∴1BF =，由勾股定理，得2225EF BE BF =+=， ∴正方形EFGH 的面积为5．(2)解：①由题意知90KAE B ∠=∠=︒， ∴90EFB FEB ∠+∠=︒， ∵四边形EFGH 是正方形， ∴90HEF ∠=︒， ∴90KEA FEB ∠+∠=︒， ∴KEA EFB ∠=∠，∴KEA EFB ∽△△， ∴2KE AE EF BF==． ∴22EK EF EH ==．②由①得HK HE GF ==，又∵90KHI FGJ ∠=∠=︒，KIH FJG ∠=∠，∴KHI FGJ ≌△△，设KHI △的面积为1S ．∵∠K =∠K ， ∠KHI =∠A =90°，∴KHI KAE ∽△△， ∴2222122244sin 12S S KA KA KA S KH KE KE α⎛⎫ ⎪+⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭， ∴2214sin 1S S α=-． 2．（2022·湖州）已知在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，a ，b 分别表示∠A ，∠B 的对边，a b >．记△ABC 的面积为S ．(1)如图1，分别以AC ，CB 为边向形外作正方形ACDE 和正方形BGF C ．记正方形ACDE 的面积为1S ，正方形BGFC 的面积为2S ． ①若19S =，216S =，求S 的值；②延长EA 交GB 的延长线于点N ，连结FN ，交BC 于点M ，交AB 于点H ．若FH ⊥AB （如图2所示），求证：212S S S -=． (2)如图3，分别以AC ，CB 为边向形外作等边三角形ACD 和等边三角形CBE ，记等边三角形ACD 的面积为1S ，等边三角形CBE 的面积为2S ．以AB 为边向上作等边三角形ABF （点C 在△ABF 内），连结EF ，CF ．若EF ⊥CF ，试探索21S S -与S 之间的等量关系，并说明理由．【答案】(1)①6；②见解析；(2)2114S S S -=，理由见解析【解析】(1)∵19S =，216S = ∴b ＝3，a ＝4 ∵∠ACB ＝90°∴11S ab 34622==⨯⨯=②由题意得：∠F AN ＝∠ANB ＝90°，∵FH ⊥AB ∴∠AFN ＝90°－∠F AH ＝∠NAB ∴△F AN ∽△AN B ∴FA AN AN NB=∴a b aa b+=，得：22ab b a += ∴122S S S +=．即212S S S -= (2)2114S S S -=，理由如下： ∵△ABF 和△BEC 都是等边三角形∴AB ＝FB ，∠ABC ＝60°－∠FBC ＝∠FBE ，CB ＝EB ∴△ABC ≌△FBE （S A S ） ∴AC ＝FE ＝b ∠FEB ＝∠ACB ＝90° ∴∠FEC ＝30°∵EF ⊥CF ，CE ＝BC ＝a∴cos30b FE a CE ==︒=∴b =∴212S ab ==由题意得：21S =，22S =∴22221S S -== ∴2114S S S -=3．（2022·嘉兴）小东在做九上课本123页习题：“1AB （如图1），用直尺和圆规作AB 上的一点P ，使AP ：AB ＝1”小东的作法是：如图2，以AB 为斜边作等腰直角三角形ABC ，再以点A 为圆心，AC 长为半径作弧，交线段AB 于点P ，点P 即为所求作的点．小东称点P 为线段AB 的“趣点”．(1)你赞同他的作法吗？请说明理由．(2)小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP ，点D 为线段AC 上的动点，点E 在AB 的上方，构造DPE ，使得DPE ∽CPB ．①如图3，当点D 运动到点A 时，求∠CPE 的度数．②如图4，DE 分别交CP ，CB 于点M ，N ，当点D 为线段AC 的“趣点”时（CD ＜AD ），猜想：点N 是否为线段ME 的“趣点”？并说明理由．【答案】(1)赞同，理由见解析，(2)①45︒，②点N 是线段ME 的“趣点”，理由见解析【解析】(1)证明：赞同，理由如下：等腰直角三角形ABC ，,45,AC BC A B 21cos 45,22ACAB ,AC AP 1,2AP AB ∴点P 为线段AB 的“趣点”． (2)①由题意可得：45,90,,CABB ACB AC AP BC11804567.5,2ACP APC9067.522.5,BCP 1804522.5112.5,CPBDPE ∽CPB ，D ，A 重合，112.5,DPE CPB 18045.CPE DPE CPB ②点N 是线段ME 的“趣点”，理由如下：当点D 为线段AC 的“趣点”时（CD ＜AD ）， 1,2AD AC 而,AC AP 1,2AD AP1,,2AC A A AB ,ADP ACB ∽90,ADP ACB 45,,APD DP CB ∥22.5,DPC PCB PDE ,DMPM 9022.567.5,MDC MCD ,MD MC 同理可得：,MCMN,MP MD MC MN 22.5,45,MDP MPD E B 45,90,EMP MPE 1,2MP MNME ME∴ 点N 是线段ME 的“趣点”．4．（2022·温州）如图1，AB 为半圆O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 切半圆于点D ，BE CD ⊥，交CD 延长线于点E ，交半圆于点F ，已知5,3BC BE ==．点P ，Q 分别在线段AB BE ,上（不与端点重合），且满足54AP BQ =．设,BQ x CP y ==．(1)求半圆O 的半径．(2)求y 关于x 的函数表达式．(3)如图2，过点P 作PR CE ⊥于点R ，连结,PQ RQ ． ①当PQR 为直角三角形时，求x 的值．②作点F 关于QR 的对称点F '，当点F '落在BC 上时，求CF BF ''的值．【答案】(1)158；(2)5544y x =+；(3)①97或2111；②199 【解析】(1)解：如图1，连结OD ．设半圆O 的半径为r ．∵CD 切半圆O 于点D ，∴OD CD ⊥．∵BE CD ⊥， ∴OD BE ∥，∴△∽△COD CBE ， ∴OD CO BE CB=，即535r r -=， ∴158r =，即半圆O 的半径是158．(2)由（1）得：1555284CA CB AB =-=-⨯=． ∵5,4AP BQ x BQ ==， ∴54AP x =． ∵CP AP AC =+， ∴5544y x =+． (3)①显然90PRQ ∠<︒，所以分两种情况． ⅰ）当90RPQ ∠=︒时，如图2．∵PR CE ⊥，∴90ERP ∠=︒． ∵90E ∠=︒，∴四边形RPQE 为矩形， ∴PR QE =．∵333sin 544PR PC C y x =⋅==+， ∴33344x x +=-， ∴97x =．ⅰ）当90PQR ∠=︒时，过点P 作PH BE ⊥于点H ，如图3，则四边形PHER 是矩形， ∴,PH RE EH PR ==． ∵5,3CB BE ==，∴4CE ==． ∵4cos 15CR CP C y x =⋅==+， ∴3PH RE x EQ ==-=， ∴45EQR ERQ ∠=∠=︒， ∴45PQH QPH ∠=︒=∠， ∴3HQ HP x ==-，由EH PR =得：33(3)(3)44x x x -+-=+， ∴2111x =．综上所述，x 的值是97或2111．②如图4，连结,AF QF '，由对称可知QF QF ='，F QR EQR ∠=∠'∵BE ⊥CE ，PR ⊥CE ， ∴PR ∥BE ， ∴∠EQR =∠PRQ ， ∵BQ x =，5544CP x =+，∴EQ =3-x ，∵PR ∥BE ，∴CPR CBE △∽△，∴CP CB CR CE=，即：x CR +=555444，解得：CR =x +1，∴ER =EC -CR =3-x ，即：EQ = ER∴∠EQR =∠ERQ =45°，∴45F QR EQR ∠=∠='︒∴90BQF ∠='︒， ∴4tan 3QF QF BQ B x ==⋅='． ∵AB 是半圆O 的直径，∴90AFB ∠=︒， ∴9cos 4BF AB B =⋅=， ∴4934x x +=， ∴2728x =， ∴319119CF BC BF BC BF BF BF x -==''''=-='-． 5．（2022·宁波）如图1，O 为锐角三角形ABC 的外接圆，点D 在BC 上，AD 交BC 于点E ，点F 在AE 上，满足,∠-∠=∠∥AFB BFD ACB FG AC 交BC 于点G ，BE FG =，连结BD ，DG ．设ACB α∠=．(1)用含α的代数式表示BFD ∠．(2)求证：△≌△BDE FDG ．(3)如图2，AD 为O 的直径．①当AB 的长为2时，求AC 的长．②当:4:11=OF OE 时，求cos α的值．【答案】(1)902︒∠=-BFD α；(2)见解析；(3)①3；②5cos 8α= 【解析】(1)∵∠-∠=∠=AFB BFD ACB α，①又∵180∠+∠=︒AFB BFD ，②②-①，得2180∠=︒-BFD α， ∴902︒∠=-BFD α．(2)由（1）得902︒∠=-BFD α，∵∠=∠=ADB ACB α， ∴180902∠=︒-∠-︒-∠=FBD ADB BFD α，∴DB DF =．∵FG AC ， ∴∠=∠CAD DFG ．∵CAD DBE ∠=∠，∴∠=∠DFG DBE ．∵BE FG =，∴()BDE FDG SAS △≌△．(3)①∵△≌△BDE FDG ，∴∠=∠=FDG BDE α，∴2∠=∠+∠=BDG BDF EDG α．∵DE DG =， ∴()11809022∠=︒-∠=︒-DGE FDG α， ∴在BDG 中，3180902∠=︒-∠-∠=︒-DBG BDG DGE α， ∵AD 为O 的直径，∴90ABD ∠=︒． ∴32∠=∠-∠=ABC ABD DBG α． ∴AC 与AB 的度数之比为3∶2．∴AC 与AB 的的长度之比为3∶2，∵2AB =，∴3=AC ．②如图，连结BO ．∵OB OD =，∴∠=∠=OBD ODB α，∴2∠=∠+∠=BOF OBD ODB α．∵2∠=BDG α，∴∠=∠BOF BDG ． ∵902∠=∠=︒-BGD BFO α， ∴△∽△BDG BOF ，设BDG 与BOF 的相似比为k ， ∴==DG BD k OF BO ． ∵411=OF OE ， ∴设4OF x =，则114OE x DE DG kx ===，，∴114==+=+OB OD OE DE x kx ，154==+BD DF x kx ， ∴154154114114++==++BD x kx k BO x kx k ，由154114+=+k k k，得247150+-=k k ，解得154k =，23k =-（舍）， ∴11416=+=OD x kx x ，15420=+=BD x kx x ，∴232==AD OD x ，在Rt ABD △中，205cos 328∠===BD x ADB AD x ， ∴5cos 8α=． 6．（2022·绍兴）如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，动点E 从点A 出发，沿边AD ，DC 向点C 运动，A ，D 关于直线BE 的对称点分别为M ，N ，连结MN ．(1)如图，当E 在边AD 上且2DE =时，求AEM ∠的度数．(2)当N 在BC 延长线上时，求DE 的长，并判断直线MN 与直线BD 的位置关系，说明理由．(3)当直线MN 恰好经过点C 时，求DE 的长．【答案】(1)∠AEM ＝90°；(2)DE ＝103；MN ∥BD ，证明见解析；(3)DE 的长为【解析】(1)解：∵DE =2，∴AE ＝AB ＝6，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝90°，∴∠AEB ＝∠ABE ＝45°，由对称性知∠BEM ＝45°，∴∠AEM =∠AEB+∠BEM ＝90°；(2)如图1， ∵AB =6，AD =8，∴由勾股定理得BD =10，∵当N 落在BC 延长线上时，BN ＝BD ＝10，∴CN ＝2．由对称性得，∠ENC ＝∠BDC ，∴cos ∠ENC ＝2610EN =， ∴EN ＝103， ∴DE ＝EN ＝103；直线MN 与直线BD 的位置关系是MN ∥BD ．由对称性知BM ＝AB ＝CD ，MN ＝AD ＝BC ，又∵BN ＝BD ，∴△BMN ≌△DCB （SSS ），∴∠DBC ＝∠BNM ，所以MN ∥BD ；(3)①情况1：如图2，当E 在边AD 上时，直线MN 过点C ，∴∠BMC ＝90°，∴MC =∵BM ＝AB ＝CD ，∠DEC ＝∠BCE ，∠BMC ＝∠EDC ＝90°，∴△BCM ≌△CED （AAS ），∴DE ＝MC ＝②情况2：如图3，点E 在边CD 上时，∵BM ＝6，BC ＝8，∴MC ＝CN ＝8-∵∠BMC ＝∠CNE ＝∠BCD ＝90°，∴∠BCM ＋∠ECN ＝90°，∵∠BCM ＋∠MBC ＝90°，∴∠ECN ＝∠MBC ，∴△BMC ∽△CNE ， ∴BM MC CN EN=，∴EN MC CN BM ⋅=∴DE ＝EN综上所述，DE 的长为 7．（2022·金华）如图，在菱形ABCD 中，310,sin 5AB B ==，点E 从点B 出发沿折线B C D --向终点D 运动．过点E 作点E 所在的边（BC 或CD ）的垂线，交菱形其它的边于点F ，在EF 的右侧作矩形EFGH ．(1)如图1，点G 在AC 上．求证：FA FG =．(2)若EF FG =，当EF 过AC 中点时，求AG 的长．(3)已知8FG =，设点E 的运动路程为s ．当s 满足什么条件时，以G ，C ，H 为顶点的三角形与BEF 相似（包括全等）？【答案】(1)见解析(2)7AG =或5(3)1s =或3225s =或327s =或1012s ≤≤ 【解析】(1)证明：如图1， ∵四边形ABCD 是菱形，∴BA BC =，∴BAC BCA ∠=∠．∵FG BC ，∴FGA BCA ∠=∠，∴BAC FGA ∠=∠，∴△AFG 是等腰三角形，∴FA FG =．(2)解：记AC 中点为点O ．①当点E 在BC 上时，如图2，过点A 作AM BC ⊥于点M ，∵在Rt ABM 中，365AM AB ==，∴8BM =．∴6,2FG EF AM CM BC BM ====-=，∵,OA OC OE AM =∥，∴112122CE ME CM ===⨯=， ∴1AF ME ==，∴167AG AF FG =+=+=．②当点E 在CD 上时，如图3，过点A 作AN CD ⊥于点N ．同理，6,2FG EF AN CN ====，112AF NE CN ===， ∴615AG FG AF =-=-=．∴7AG =或5．(3)解：过点A 作AM BC ⊥于点M ，作AN CD ⊥于点N ．①当点E 在线段BM 上时，08s <≤．设3EF x =，则4,3BE x GH EF x ===， ⅰ）若点H 在点C 的左侧，810s +≤，即02s <≤，如图4， 10(48)24CH BC BH x x =-=-+=-．∵GHC FEB △∽△，∴GH CH EF BE=，∴GH EF CH BE =， ∴33244x x =-，解得14x =，经检验，14x =是方程的根， ∴41s x ==．∵GHC BEF △∽△， ∴GH CH BE EF =， ∴GH BE CH EF =， ∴34243x x =-，解得825x =，经检验，825x =是方程的根， ∴32425s x ==． ⅰ）若点H 在点C 的右侧，810s +>，即28s <≤，如图5，(48)1042CH BH BC x x =-=+-=-．∵GHC FEB △∽△， ∴GH CH EF BE =， ∴GH EF CH BE =，∴33424x x =-，此方程无解．∵GHC BEF △∽△， ∴GH CH BE EF =， ∴GH BE CH EF =， ∴34423x x =-，解得87x =，经检验，87x =是方程的根， ∴3247s x ==． ②当点E 在线段MC 上时，810s <≤，如图6，6,8,EF EH BE s ===．∴8,2BH BE EH s CH BH BC s =+=+=-=-．∵GHC FEB △∽△， ∴GH CH EF BE =， ∴GH EF CH BE =， ∴662s s=-，此方程无解．∵GHC BEF △∽△， ∴GH CH BE EF =， ∴GH BE CH EF =， ∴626s s =-，解得1s =±经检验，1s =∵810s <≤，∴1s =③当点E 在线段CN 上时，1012s ≤≤，如图7，过点C 作⊥CJ AB 于点J ，在Rt BJC △中，10,6,8BC CJ BJ ===．8,EH BJ JF CE ===，∴BJ JF EH CE +=+，∴CH BF =，∵,90GH EF GHC EFB =∠=∠=︒，∴GHC EFB △≌△，符合题意，此时，1012s ≤≤．④当点E 在线段ND 上时，1220s <<，∵90EFB ∠>︒，∴GHC 与BEF 不相似．综上所述，s 满足的条件为：1s =或3225s =或327s =或1012s ≤≤． 8．（2022·丽水）如图，以AB 为直径的O 与AH 相切于点A ，点C 在AB 左侧圆弧上，弦CD AB ⊥交O 于点D ，连接,AC AD ．点A 关于CD 的对称点为E ，直线CE 交O 于点F ，交AH 于点G ．(1)求证：CAG AGC ∠=∠；(2)当点E 在AB 上，连接AF 交CD 于点P ，若25EF CE =，求DP CP的值； (3)当点E 在射线AB 上，2AB =，以点A ，C ，O ，F 为顶点的四边形中有一组对边平行时，求AE 的长．【答案】(1)证明过程见解析；(2)57；352或22+【解析】(1)证明：如图，设CD 与AB 相交于点M ， ∵O 与AH 相切于点A ， ∴90BAG ，∵CD AB ⊥，∴90AMC ∠=，∴AG CD ∥， ∴CAG ACD ，AGC FCD ，∵点A 关于CD 的对称点为E ，∴FCD ACD ∠=∠，∴CAG AGC ∠=∠．(2)解：过F 点作FK AB ⊥于点K ，设AB 与CD 交于点N ，连接DF ，如下图所示：由同弧所对的圆周角相等可知：FCD FAD ，∵AB 为O 的直径，且CD AB ⊥，由垂径定理可知：AC AD =，∴ACD ADC ∠=∠，∵点A 关于CD 的对称点为E ，∴FCD ACD ∠=∠，∴FAD FCD ACD ADC ∠=∠=∠=∠，即FAD ADC ∠=∠，∴DP AP =，由同弧所对的圆周角相等可知：ACP DFP ，且CPA FPD ， ∴CPA FPD △≌△，∴PC PF =，∵FK AB ⊥，AB 与CD 交于点N ，∴90FKE CNE ． ∵KEF NEC ，90FKE CNE ， ∴KEF NEC △∽△，∴25KEEFEN CE ，设KE =2x ，EN =5x ， ∵点A 关于CD 的对称点为E ，5AN EN x ∴==，10AE AN NE x =+=，12AK AE KE x =+=，又FK PN ∥，∴APN AFK ， ∴551212PA ANx AF AK x ． ∵FCD CDA ，∴CF AD ∥， ∴57DPAP AP CP PF AF AP ； (3)解：分类讨论如下：解：如图1中，当∥OC AF 时，连接OC ，OF ，设AGF α∠=，则CAG ACD DCF AFG α∠=∠=∠=∠=，∵∥OC AF ，OCF AFC α∴∠=∠=，OC OA =，3OCA OAC α∴∠=∠=，45OAG ∠=︒，490α∴=︒，22.5α∴=︒，OC OF =，OA OF =，22.5OFC OCF AFC ∴∠=∠-∠=︒，45OFA OAF ∴∠=∠=︒，AF ∴==，∵∥OC AF ，AE AF OE OC∴=∴， 1OA =，2AE ∴=2中，当∥OC AF 时，连接OC ，设CD 交AE 点M ．设OAC α∠=，∵∥OC AF ，FAC OCA α∴∠=∠=，2COE FAE α∴∠=∠=，AFD D ∠=∠，AGF D ∠=∠，3AGC AFG AEC FAE α∴∠=∠=∠+∠=，90AGC AEC ∠+∠=︒，490α∴=︒，22.5α∴=︒，245α=︒，COM ∴∆是等腰直角三角形，OC ∴，OM ∴=1AM =，22AE AM ∴==如图3中，当AC OF ∥时，连接OC ，OF ，设AGF α∠=，2ACF ACD DCF α∠=∠+∠=，∵AC OF ∥，2CFO ACF α∴∠=∠=，4CAO ACO α∴∠=∠=，180AOC OAC ACO ∠+∠+∠=︒，10180α∴=︒，18α∴=︒，36COE ECO CFO ∴∠=∠-∠=︒，OCE FCO ∴∆∆ 、，2OC CE CF ∴=⋅ 、， ()11CE CE ∴=+ 、，CE AC OE ∴===AE OA OE ∴=-；如图4中，当AC OF ∥时，连接OC ，OF ，BF ．设FAO α∠=，∵AC OF ∥，CAF OFA α∴∠=∠=，2COF BOF α∴∠=∠=，AC AE =，AEC CAE EFB ∴∠=∠=∠，BF BE ∴=，由OCF OBF ∆≅∆，CF BF BE ∴==，E COF ∠=∠，COF CEO ∴∆∆，2OC CE CF ∴=⋅，BE CF ∴==AE AB BE ∴=+=．综上所述，满足条件的AE 的长为22352或 9．（2022·台州）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l 的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H 离地竖直高度为h （单位：m ）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG ，其水平宽度3m DE =，竖直高度为EF 的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A 离喷水口的水平距离为2m ，高出喷水口0.5m ，灌溉车到l 的距离OD 为d （单位：m ）．(1)若 1.5h =，0.5m EF =；①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC ；②求下边缘抛物线与x 轴的正半轴交点B 的坐标；③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d 的取值范围；(2)若1m EF =．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出h 的最小值．【答案】(1)①6m ；②(2,0)；③21d ≤≤；(2)6532【解析】（1）①如图1，由题意得(2,2)A 是上边缘抛物线的顶点，设2(2)2y a x =-+．又∵抛物线经过点(0,1)5.， ∴1.542a =+，∴18a =-． ∴上边缘抛物线的函数解析式为21(2)28y x =--+．当0y =时，21(2)208x --+=，∴16x =，22x =-（舍去）．∴喷出水的最大射程OC 为6m ．图1②∵对称轴为直线2x =，∴点(0,1)5.的对称点的坐标为(4,1.5)． ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m 得到的，即点B 是由点C 向左平移4m 得到，则点B 的坐标为(2,0)．③如图2，先看上边缘抛物线，∵0.5EF =，∴点F 的纵坐标为0.5．抛物线恰好经过点F 时，21(2)20.58x --+=．解得2x =±∵0x >，∴2x =+当0x >时，y 随着x 的增大而减小，∴当26x ≤≤时，要使0.5y ≥，则2x ≤+∵当02x ≤<时，y 随x 的增大而增大，且0x =时， 1.50.5y =>，∴当06x ≤≤时，要使0.5y ≥，则02x ≤≤+∵3DE =，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带，∴d 的最大值为(231+-=．再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是OB d ≤，∴d 的最小值为2．综上所述，d 的取值范围是21d ≤≤．(2)h 的最小值为6532．由题意得(2,0.5)A h +是上边缘抛物线的顶点，∴设上边缘抛物线解析式为2(2)0.5y a x h =-++．∵上边缘抛物线过出水口（0，h ） ∴40.5y a h h =++=解得18a =- ∴上边缘抛物线解析式为21(2)0.58y x h =--++ ∵对称轴为直线2x =，∴点(0,)h 的对称点的坐标为(4,)h ．∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m 得到的，∴下边缘抛物线解析式为21(2)0.58y x h =-+++．当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D ，F 恰好分别在两条抛物线上， ∵DE =3∴设点(),0D m ，()3,0E m +，213,(32)0.58F m m h ⎛⎫+-+-++ ⎪⎝⎭， ∵D 在下边缘抛物线上，∴21(2)0.508m h -+++= ∵EF =1∴21(32)0.518m h -+-++= ∴21(32)0.58m h -+-++-21(2)0.518m h ⎡⎤-+++=⎢⎥⎣⎦，解得 2.5m =，代入21(2)0.508m h -+++=，得6532h =．所以h 的最小值为6532．。

2024年浙江中考数学最后一卷终极押题卷及答案

2024年浙江中考最后一卷数学注意事项：1．本试卷共有三个大题，分为单项选择题、填空题、解答题，满分120分，考试时间100分钟。

2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效。

一、单选题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）1．下列各数中最大的数是（）A．5−B．0 C．1−D2．下面计算正确的是（）A．3a﹣2a＝1 B．2a2+4a2＝6a4C．（x3）2＝x5D．x8÷x2＝x63．今年春节电影《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没•逆转时空》《第二十条》在网络上持续引发热议，根据国家电影局2月18日发布数据，我国2024年春节档电影票房达80.16亿元，创造了新的春节档票房纪录．其中数据80.16亿用科学记数法表示为（）A．8×80.16108.01610×B．9C．10×80.1610×D．100.8016104．下列立体图形中，主视图是三角形的是（）A．B．C．D．5．在数轴上表示不等式x﹣2≤0的解集，正确的是（）A．B．C ．D ．6．随着自动驾驶技术的不断发展，某知名汽车制造公司近期对研发的自动驾驶汽车进行了一次大规模的路测，有45辆自动驾驶汽车参与了这次测试．测试结束后，技术部门对每辆汽车的性能进行评估（车辆的自动驾驶技术、安全性、反应速度等综合表现），得分如下：得分（分） 75 80 85 90车辆（辆） 5 16 14 10得分的中位数和众数分别是（）A ．80，80B ．82.5，80C ．80，85D ．85，807．如图，线段CD 是O 的直径，CD AB ⊥于点E ，若8AB =，3OE =，则CE 的长是（）A ．8B ．7C ．6D ．58．《九章算术》中曾记载：“今有牛五羊二，直金十两；牛二羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛，2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？若设每头牛值金x 两，每只羊值金y 两，则可列方程组为（）A ．5210258x y x y += +=B ．2510528x y x y += +=C ．51058x y x y += +=D ．21028x y x y += +=9．二次函数2y =的图象如图所示，点O 为坐标原点，点A 在y 轴的正半轴上，点B ，C 在函数图象上，四边形OBAC 为菱形，且120ABO ∠=°，则点C 的坐标为（）A ．14 −B ．14 −C ． −D ．(− 10．如图，四边形ABCD 是一张矩形纸片．折叠该矩形纸片，使AB 边落在AD 边上，点B 的对应点为点F ，折痕为AE ，展平后连接EF ；继续折叠该纸片，使FD 落在FE 上，点D 的对应点为点H ，折痕为FG ，展平后连接HG ．若矩形HECG ∽矩形ABCD ，1AD =，则CD 的长为（）．A ．0.5B 1−C D二、填空题（本大题共有6小题，每小题4分，共24分）11．因式分解： 34t t −=12．实现中国梦，必须弘扬中国精神．在如图所示除正面图案不同外，其余无差别的四张不透明卡片上分别写有“红船精神”、“长征精神”、“延安精神”、“特区精神”，将卡片置于暗箱摇匀后随机抽取一张，则所抽取卡片为“特区精神”的概率为．13x 的值可以是．（写出一个即可） 14．如图，《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕塑，掷铁饼者张开的双臂与肩宽可以近似看像一张拉满弦的弓，若弧长为2π3米，“弓”所在圆的半径1．2米，则“弓”所对的圆心角θ的度数为．15．如图，点A 为反比例函数(0,0)k y k x x=<<的图象上一点，AB x ⊥轴于点B ，点C 是y 轴正半轴上一点，连接BC ，AD BC ∥交y 轴于点D ，若0.5ABCD S =四边形，则k 的值为．16．如图，正方形ABCD 的边长为2，以AB 边上的动点O 为圆心，OB 为半径作圆，将AOD △沿OD 翻折至A OD ′ ，若O 过A OD ′ 一边上的中点，则O 的半径为．三、解答题（本大题共有8小题，共66分）（共66分）17．（本题6分）计算或化简：(1)()201253π− +−−+−； (2)()()()2m n n m m n +−−−．18．（本题6分）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标分别为()2,4A ，()3,1B ，()5,3C ．(1)作ABC 关于y 轴对称的111A B C △；(2)将ABC 绕原点O 顺时针旋转90°，得到222A B C △，作出222A B C △并求点C 旋转到点2C 所经过的路径长．19．（本题6分）2023年全国教育工作会议提出要把开展读书活动作为一件大事来抓．引导学生爱该书．读好书，善读书，贵阳市某校为了推进这项工作，对全校学生一周内平均读书时间进行抽样调查．将调查结果的数据分成A 、B 、C 、D 、E 五个等级并绘制成表格和扇形统计图如下．等级周平均读书时间t （单位：小时）人数A01t ≤< 4 B12t ≤< a C23t ≤< 20 D34t ≤< 15 E 4t ≥5 每个等级人数扇形统计图(1)求统计图表中=a ______，m =______．(2)已知该校共有2800名学生，试估计该校每周读书时间至少3小时的人数为______．(3)请写出一条你对读书的建议．20．（本题8分）我国是世界上最早发明历法的国家之一，《周礼》中记载：垒土为圭，立木为表，测日影，正地中，定四时，如图1，圭是地面上一根水平标尺，指向正北，表是一根垂直于地面的杆，正午，表的日影（即表影）落在圭上，根据表影的长度可以测定节气．在一次数学活动课上，要制作一个圭表模型，如图2，地面上放置一根长2米的杆AB ，向正北方向画一条射线BC ，在BC 上取点D ，测得 1.5m BD =， 2.5m AD =．(1)判断：这个模型中AB 与BC 是否垂直．答：______（填“是”或“否”）；你的理由是：______．(2)利用这个圭表模型，测定某市冬至正午阳光与日影夹角30°，夏至正午阳光与日影夹角为60°，请求出这个模型中该市冬至与夏至的日影的长度差（结果保留根号）．21．（本题8分）如图，在矩形ABCD 中，沿EF 将矩形折叠，使A 、C 重合，AC 与EF 交于点H ．(1)求证：AE ＝AF ；(2)若AB ＝4，BC ＝8，求△ABE 的面积．22．（本题10分）我市某镇组织20辆汽车装运完A 、B 、C 三种脐橙共100吨到外地销售．按计划，20辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙．且必须装满，根据下表组织的信息，解答以下问题．脐橙品种A B C 每辆汽车运载量（吨） 6 5 4每吨脐橙获利（元） 1200 1600 1000(1)设转运A 种脐橙的车辆数为x ，转运B 种脐橙的车辆数为y ，求y 与x 的函数表达式；(2)如果转运每种脐橙的车辆数都不少于4，那么车辆的安排方案有几种？(3)若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出此时最大利润的值．23．（本题10分）定义：平面直角坐标系xOy 中，当点N 在图形M 的内部，或在图形M 上，且点N 的横坐标和纵坐标相等时，则称点N 为图形M 的“梦之点”．(1)如图①，矩形ABCD 的顶点坐标分别是(1,2)A −，(1,1)B −−，(3,1)C −，(3,2)D ，在点1(2,2)P −−，2(0,0)P ，3(1,1)P ，4(2,2)P 中，是矩形ABCD “梦之点”的是________；(2)如图②，已知A 、B 是抛物线21922y x x =−++上的“梦之点”，点C 是抛物线的顶点： ①求出AC ，AB ，BC 三条线段的长度；②判断ABC 的形状，并说明理由．24．（本题12分）如图，ABC 内接于圆O ，AD 是ABC 的高线，9AD =，12CD =，tan 3ABD ∠=，连接OC ．(1)求证：ABC 是等腰三角形；(2)求证：BCO BAD ∠=∠；(3)若点E 是OC 上一动点，EF AB ∥交BC 于点F ．①若OEF 与ABD △相似，求EF 的长；②当OEF 的面积与CEF △的面积差最大时，直接写出此时CF 的长．2024年浙江中考最后一卷数学解析及参考答案一、单选题1．D【分析】此题考查了实数的大小比较法则：正数大于零，零大于负数，两个负数绝对值大的反而小，据此判断．【详解】∵510−<−<<故选：D ．2．D【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，本题得以解决．【详解】解：∵3a ﹣2a ＝a ，故选项A 错误；∵2a 2+4a 2＝6a 2，故选项B 错误；∵（x 3）2＝x 6，故选项C 错误；∵x 8÷x 2＝x 6，故选项D 正确；故选D ．【点睛】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．3．B【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ×的形式，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10≥时，n 是正数；当原数的绝对值1<时，n 是负数．【详解】解：80.16亿98.01610×，故选：B ．4．B【分析】本题考查立体几何的三视图．根据题意，逐项判断即可．【详解】解：A.主视图为长方形，此项不符合题意；B.主视图为三角形，此项符合题意；C.主视图为圆，此项不符合题意；D.主视图为长方形，此项不符合题意．故选：B ．5．C【分析】先解不等式，求出解集，然后在数轴上表示出来．【详解】解：不等式x ﹣2≤0，得：2x ≤ ，把不等式的解集在数轴上表示出来为：．故选：C【点睛】本题主要考查了解不等式，并在数轴上表示解集，解题的关键是熟练掌握解不等式的步骤，不等式的解集在数轴表示时空心圈不包含该点，实心圈包含该点．6．D【分析】本题为统计题，考查众数与中位数的意义，根据众数的定义，找到该组数据中出现次数最多的数即为众数；根据中位数定义，将该组数据按从小到大依次排列，处于中间位置的两个数的平均数即为中位数．【详解】有45辆自动驾驶汽车参与了这次测试，45个分数，按大小顺序排列最中间的数据是第23个数：85，故得分的中位数是85（分），得80分的人数最多，有16人，故众数为80，故选D ．7．A【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，根据垂径定理求出AE 的长是解此题的关键．连接OA ，根据垂径定理求出AE ，再根据勾股定理求出OA ，最后根据线段的和差求解即可．【详解】解：如图，连接OA ，线段CD 是O 的直径，CD AB ⊥于点E ，∴12AE AB =，8AB =， ∴4AE =，3OE =，∴5OA ，∴5OC OA ==，∴8CE OC OE =+=，故选：A ．8．A【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是设每头牛、每只羊分别值金x 两、y 两，根据“5头牛，2只羊，值金10两；2头牛，5只羊，值金8两”列出方程组即可得答案．【详解】解：设每头牛值金x 两，每只羊值金y 两，则可列方程组为5210258x y x y += +=，故选A ．9．B【分析】本题考查了菱形的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数图象上点的坐标性质得出BD 的长是解题关键．连接BC 交OA 于D ，如图，根据菱形的性质得BC OA ⊥，60OBD ∠=°，利用含30度的直角三角形三边的关系得OD =，设BD t =，则OD =，()B t ，利用二次函数图象上点的坐标特征得2=，得出14BD =，OD =C 点坐标．【详解】解：连接BC 交OA 于D ，如图，四边形OBAC 为菱形，BC OA ，120ABO ∠=° ，60OBD ∴∠=°，OD ∴，设BD t =，则OD =，()B t ∴，把()B t 代入2y =,得2=，解得10t =（舍去）， 214t =，14BD ∴=，OD =故C 点坐标为：14 − ．故答案为：B ．10．C【分析】本题考查的是矩形的性质、翻折的性质及相似多边形性质，熟练应用矩形和相似多边形性质是解题关键，设CD x =，则()1,1EC x CG x x =-=--，根据两矩形相似求出即可．【详解】解：在矩形ABCD 中，设CD x =，则ABCD x ==，1AD BC ==，由翻折得,90AB AF x AFE B BAF ==∠=∠=∠=︒，∴四边形ABEF 是正方形，同理，四边形DFHG 是正方形，,1BE AB x DF DG x ∴====-，()1,121CE x CG x x x ∴=-=--=-，矩形HECG ∽矩形ABCD ，EC CG BC CD∴=，即1211x x x --=，解得：x =，经检验，xCD ∴ 故选：C ．二、填空题11．()()22t t t +−【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，再利用公式法即可求解，熟练掌握提公因式法及公式法分解因式是解题的关键．【详解】解：()()()324422t t t t t t t −=−=+−，故答案为：()()22t t t +−．12．14/0.25 【分析】本题考查了概率公式的应用，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．全部情况的总数是四种，符合条件的情况的是一种，二者的比值就是其发生的概率．【详解】由于概率为所求情况数与总情况数之比，而抽取卡片为“特区精神”的情况数只有一种，从暗箱随机抽取一张的情况数为四种，故抽取卡片为“特区精神”的概率为14，故答案为14． 13．0（答案不唯一）【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件的条件是被开方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0进行求解即可．∴10x −>，解得1x <．∴x 的值可以是0，故答案为：0（答案不唯一）．14．100°/100度【分析】本题考查的是已知弧长与半径求解弧所对的圆心角，熟记弧长公式是解本题的关键．直接利用弧长公式计算即可．【详解】解：设“弓”所在的圆的弧长圆心角度数是n °，则1.2π2π1803n =，解得：100n =，故答案为：100°．15．0.5−【分析】本题考查了反比例函数k 值的几何意义，熟练掌握k 值的几何意义是解答本题的关键.根据反比例函数k 值的几何意义进行解答即可.【详解】AB x ⊥ 轴于点B ，CD x ⊥轴，∴AB CD ，又 AD BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，过点作AM y ⊥轴，则四边形ABOM 是矩形， ∴0.5,ABOMABCD S S k ===矩形平行四边形∵反比例函数图象在第二象限，0.5k ∴=−，故答案为：0.5−.16．23、54【分析】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，勾股定理，圆的定义；分三种情况讨论，设O 的半径为r ，分别根据勾股定理，即可求解．【详解】设O 的半径为r ，当O 经过A O ′的中点，即经过AO 的中点， ∴1233r AB =，当O 经过OD 的中点，则12r OB OD ==， ∴2OD r =，2AO AB OB r =−=−，在Rt AOD 中，222AD AO OD +=∴()()222222r r +−=解得：r = 当O 经过A D ′的中点，即经过AD 的中点，设AD 的中点为M ，∴2,1,AO r AM OM r =−== ∴()22221r r −+= 解得：54r =综上所述，半径为23、54故答案为：23、54 三、解答题17．(1)5(2)222m mn −+【分析】此题考查了实数的运算以及整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．（1）原式利用零指数幂、绝对值的代数意义以及负整数指数幂法则计算即可求出值；（2）根据平方差公式和完全平方公式化简，再合并同类项即可．【详解】（1）解：原式159=-+5=；（2）原式()22222n m m mn n =−−−+22222n m m mn n =−−+−222m mn =−+18．(1)图见解析(2)【分析】本题考查作图-轴对称变换，旋转变换，以及求弧长，熟练掌握相关作图方法是解题关键；（1）根据点关于y 轴对称的性质分别找到对应的点1A ，1B ，1C ，然后进一步连接即可；（2）利用旋转变换的性质分别作出A ，B ，C 的对应点2A ，2B ，2C ，再顺次连接即可，利用弧长公式求得点C 经过的路径长．【详解】（1）解：如图，111A B C △即为所求；（2）如图，222A B C △即为所求，由题意可知，OC∴点C 旋转到点2C =． 19．(1)6，40(2)1120(3)全校学生一周内平均读书时间23t ≤<(答案不唯一)【分析】本题考查了扇形统计图，样本估计总体等知识．（1）由等级得到学生总数，即可得出a ，再求C 等级的占比即可；（2）用样本估计总体即可得出结果；（3）根据表格可题建议合理即可．【详解】（1）解：由等级D 得到学生总数1530%50÷=人， ∴504201556a −−−−，()%2050100%40%m =÷×=，40m =，故答案为：6，40．（2）1552800112050+×=人，故该校2800名学生每周读书时间至少3小时的人数为1120人．故答案为：1120．（3）根据表格可建议：全校学生一周内平均读书时间23t ≤<．20．(1)是；222AB BD AD +=，由勾股定理的逆定理可知AB BC ⊥．(2)．【分析】本题考查的勾股定理的逆定理的应用，解直角三角形的应用，理解题意是解本题的关键．（1）利用勾股定理的逆定理判断即可；（2）先画图，利用三角函数再计算BE=BF =，从而可得答案．【详解】（1）解：是，理由：由测量结果可知得 1.5m BD =， 2.5m AD =，而2m AB =，∴2226.25AB BD AD +==，∴90ABD ，∴AB BC ⊥．故答案是：是；222AB BD AD +=，由勾股定理的逆定理可知AB BC ⊥．（2）如图，由题意可得：90ABC ∠=°，2AB =，30AFB ∠=°，60AEB ∠=°，∴tan tan 60AB AEB BE∠=°=，∴BE =，同理：tan tan 30AB AFBBF ∠=°=，∴BF =，∴FE BF BE =−==． 21．(1)证明见解析(2)6【分析】（1）依据平行线的性质以及矩形的性质，即可得到∠AFE =∠AEF ，进而得出AE =AF ．（2）设BE =x ，则AE =EC =8-x ，在Rt △ABE 中，根据勾股定理可得方程，即可得到BE 的长，再根据三角形面积计算公式求解．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 矩形，∴AD ∥BC ，∴∠AFE =∠FEC ，由折叠的性质得：∠AEF =∠FEC ，∴∠AFE =∠AEF ，∴AE =AF ．（2）解：根据折叠的性质可得AE =EC ，设BE =x ，则AE =EC =8-x ，在Rt △ABE 中，根据勾股定理可得：222AB BE AE +=，即()22248x x +=−，解得：x =3，∴BE =3，∴ABE S = 12AB •BE =12×4×3=6．【点睛】本题主要考查了折叠问题以及矩形的性质的运用，解题的方法是设要求的线段长为x ，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．22．(1)220y x =−+ (2)5种(3)当转运A 种脐橙的车4辆，转运B 种脐橙的车12辆，转运C 种脐橙的车4辆时，利润最大为140800元【分析】（1）根据题意列式：()20651040x x y y −−=++，整理后即可得到220y x =−+；（2）根据装运每种水果的车辆数都不少于4辆，4x ≥，2204x −+≥，解不等式组即可；（3）设利润为W 元，则()480016000048W x x =−+≤≤，根据一次函数的增减性求解即可．【详解】（1）根据题意，装运A 种水果的车辆数为x ，装运B 种水果的车辆数为y ，∴装运C 种水果的车辆数为()20x y −−，∴()20651040x x y y −−=++，整理得220y x =−+．（2）由（1）知，装运A ，B ，C 三种水果的车辆数分别为x ，220x −+，x ，由题意得2204x −+≥，解得8x ≤，∵4x ≥，∴48x ≤≤．∵x 为整数，∴x 的值为4，5，6，7，8，∴安排方案共有5种．（3）设利润为W 元，∴()612005220160041000W x x x =×+−+×+× 4800160000x =−+，因为48000−<，且x 的值为4，5，6，7，8，∴W 的值随x 的增大而减小，∴当4x =时，销售利润最大．当装运A 种水果4车，B 种水果12车，C 种水果4车，销售获利最大．最大利润48004160000140800W =−×+=（元）．【点睛】主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义求解．注意要根据自变量的实际范围确定函数的最值．23．(1)2(0,0)P ，3(1,1)P ，4(2,2)P(2)①AC =BC =AB =ABC 是直角三角形，理由见解析【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、勾股定理以及勾股定理逆定理：（1）根据“梦之点”的定义判断这几个点是否在矩形的内部或者边上即可得到答案；（2）①根据“梦之点”的定义求出A ，B 的坐标，再求出顶点的坐标，计算出AC ，AB ，BC 的长； ②根据勾股定理逆定理，即可求解．【详解】（1）解：∵矩形ABCD 的顶点坐标分别是(1,2)A −，(1,1)B −−，(3,1)C −，(3,2)D ，∴矩形ABCD 的“梦之点”(),x y 满足2,131x y −−≤≤≤≤，∴点2(0,0)P ，3(1,1)P ，4(2,2)P 是矩形ABCD 的“梦之点”，1(2,2)P −−不是矩形的“梦之点”．故答案为：2(0,0)P ，3(1,1)P ，4(2,2)P（2）解：①A 、B 是抛物线21922y x x =−++上的“梦之点”， ∴21922x x x =−++，解得：123,3x x ==−，当3x =时，3y =，当3x =−时，=3y −，∴()()3,3,3,3A B −−， ∵()2219115222y x x x =−++=−−+， ∴顶点坐标为()1,5C ，∴AC =BC =AB =； ②ABC 是直角三角形，理由如下：∵AC =BC =AB =∴((2222280AB AC BC +=+==，∴ABC 是直角三角形．24．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)①EF =253CF =【分析】本题考查了圆的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，掌握相关知识是解题的关键．（1）利用勾股和锐角三角函数求得AC BC =即可证明；（2）连接,OA OB ，延长CO 交AD 于点M ，交AB 于点N ，先证明CO 是ACB ∠的角平分线，再证明ANM CDM ∽即可得出结论；（3）①过O 点作OH BC ⊥交BC 于点H ，点E 是OC 上一动点，EF AB ∥交BC 于点F ，先证明CHO CFB ∽，设EF x =3x =即可求解，②要使OEF 的面积与CEF △的面积差最大，必须使EF 和()CE OE −最大，当E 点与O 点重合时，EF 最大，CE OE OC −=最大，先求得EF =即可求出CF ．【详解】（1）证明：∵AD 是ABC 的高线，∴90ADC ADB ∠=∠=°， ∵9AD =，12CD =，∴15AC ===，∵tan 3ABD ∠=， ∴tan 3AD ABD BD∠==， ∴3BD =，∴31215BC BD CD =+=+=， ∴AC BC =，∴ABC 是等腰三角形．（2）证明：连接,OA OB ，延长CO 交AD 于点M ，交AB 于点N ，如图：∵AC BC =，∴CAB CBA ∠=∠， ∵OA OB =，∴OAB OBA ∠=∠， ∴CAO CBO ∠=∠， ∵OA OC =，∴CAO ACO ∠=∠， ∵OB OC =，∴BCO CBO ∠=∠， ∴ACO BCO ∠=∠， ∴CO 是ACB ∠的角平分线，又∵ AC BC =，∴CN AB ⊥，∴90ANC BNC ∠=∠=°， ∴90MDC ANE ∠=∠=°，又∵AMN CMD ∠=∠， ∴ANM CDM ∽，∴DCM NAM ∠=∠， ∴BCO BAD ∠=∠．（3）解：①过O 点作OH BC ⊥交BC 于点H ，点E 是OC 上一动点，EF AB ∥交BC 于点F ，如图：∵,,15OB OC OH BC BC =⊥=， ∴17.52CH BC ==，90CHO CFB ∠=∠=°， ∴CHO CFB ∽，∴COH CBF ∠=∠， ∵tan 3ABD ∠=， ∴tan tan 3CH COH CBF OH∠=∠==， ∴ 2.5OH =，∴OC =， ∵EF AB ∥，90BNC ∠=°， ∴CEF CNB ∽，∴90CEF CNB ∠=∠=°，设EF x =，∴tan tan 3CE CE CFE CBN EF x∠=∠===， ∴3CE x =，∵OEF ADB ∽，∴OE EF AD BD=， ∵OEOC CE =−， 3x =，解得：x =∴EF ②∵90CEF ∠=°，即EF OC ⊥， ∴12CEF S CE EF =⋅ ，12OEF S OE EF =⋅ ， ∴()111222CEF OEF S S CE EF OE EF EF CE OE −=⋅−⋅=⋅− ，由题知，要使OEF 的面积与CEF △的面积差最大，必须使EF 和()CE OE −最大，∴当E 点与O 点重合时，EF 最大，CE OE OC −=最大，如图：∵EF AB ∥，∴CEF CNB ∽，∴CFE CBN ∠=∠，CE OC ==，∴tan tan 3CE CFE CBN EF ∠=∠==，∴EF∴253CF =．。

2024届浙江省吴兴区中考数学押题试卷含解析

2024届浙江省吴兴区中考数学押题试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．如图，AB 是⊙O 的直径，D ，E 是半圆上任意两点，连接AD ，DE ，AE 与BD 相交于点C ，要使△ADC 与△BDA 相似，可以添加一个条件．下列添加的条件中错误的是( )A ．∠ACD ＝∠DAB B ．AD ＝DEC ．AD·AB ＝CD·BD D ．AD 2＝BD·CD2．若一次函数=y ax b +的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式一定成立的是（）A ．0a b +<B ．0a b ->C ．0ab >D ．0b a< 3．如图，已知∠1＝∠2，要使△ABD ≌△ACD ，需从下列条件中增加一个，错误的选法是（）A ．∠ADB ＝∠ADC B ．∠B ＝∠C C ．AB ＝ACD ．DB ＝DC4．人的大脑每天能记录大约8 600万条信息，数据8 600用科学记数法表示为（）A ．0.86×104B ．8.6×102C ．8.6×103D ．86×1025．如图，AB ∥ED ，CD=BF ，若△ABC ≌△EDF ，则还需要补充的条件可以是（）A ．AC=EFB ．BC=DFC ．AB=DED ．∠B=∠E6．如图是某公园的一角，∠AOB=90°，弧AB 的半径OA 长是6米，C 是OA 的中点，点D 在弧AB 上，CD ∥OB ，则图中休闲区（阴影部分）的面积是（）A．91032π⎛⎫-⎪⎝⎭米2B．932π⎛⎫-⎪⎝⎭米2C．9632π⎛⎫-⎪⎝⎭米2D．()693π-米27．对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，如[4]=4，[3]=1，[﹣2.5]=﹣3.现对82进行如下操作：821第次−−−−−→[8282⎡⎤⎢⎥⎣⎦]=92第次−−−−−→[93]=33第次−−−−−→[33]=1，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，对121只需进行多少次操作后变为1（）A．1 B．2 C．3 D．48．一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（）A．12B．14C．16D．1129．下列计算正确的是（）A．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣2 B．（a+1）（a﹣2）＝a2+a﹣2C．（a+b）2＝a2+b2D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b210．如图，直线a∥b，∠ABC的顶点B在直线a上，两边分别交b于A，C两点，若∠ABC=90°，∠1=40°，则∠2的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣12PC的最大值为_____．12．如图，AB是半径为2的⊙O的弦，将AB沿着弦AB折叠，正好经过圆心O，点C是折叠后的AB上一动点，连接并延长BC交⊙O于点D，点E是CD的中点，连接AC，AD，EO．则下列结论：①∠ACB=120°，②△ACD是等边三角形，③EO的最小值为1，其中正确的是_____．（请将正确答案的序号填在横线上）13．如图，某数学兴趣小组将边长为4的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形DAB的面积为__________ ．14．如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是___．15．在直角三角形ABC中，∠C=90°，已知sinA=,则cosB=_______.16．如图，小红作出了边长为1的第1个正△A1B1C1，算出了正△A1B1C1的面积，然后分别取△A1B1C1三边的中点A2，B2，C2，作出了第2个正△A2B2C2，算出了正△A2B2C2的面积，用同样的方法，作出了第3个正△A3B3C3，算出了正△A3B3C3的面积…，由此可得，第8个正△A8B8C8的面积是_____．17．函数y=36x x +- 中，自变量x 的取值范围为_____．三、解答题（共7小题，满分69分） 18．（10分）先化简2211a a a a ⎛⎫-÷⎪--⎝⎭，然后从22a -≤<中选出一个合适的整数作为a 的值代入求值． 19．（5分）如图，在平面直角坐标系中，直线y x m =-+与x 轴交于点(4,0)A ，与y 轴交于点B ，与函数(0)k y x x=>的图象的一个交点为(3,)C n ．（1）求m ，n ，k 的值；（2）将线段AB 向右平移得到对应线段A B ''，当点B '落在函数(0)k y x x=>的图象上时，求线段AB 扫过的面积．20．（8分）把0，1，2三个数字分别写在三张完全相同的不透明卡片的正面上，把这三张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记录下数字．放回后洗匀，再从中抽取一张卡片，记录下数字．请用列表法或树状图法求两次抽取的卡片上的数字都是偶数的概率．21．（10分）已知关于x 的一元二次方程3x 2﹣6x+1﹣k=0有实数根，k 为负整数．求k 的值；如果这个方程有两个整数根，求出它的根．22．（10分）如图，直线l 是线段MN 的垂直平分线，交线段MN 于点O ，在MN 下方的直线l 上取一点P ，连接PN ，以线段PN 为边，在PN 上方作正方形NPAB ，射线MA 交直线l 于点C ，连接BC ．（1）设∠ONP＝α，求∠AMN的度数；（2）写出线段AM、BC之间的等量关系，并证明．23．（12分）如图，AB∥CD，∠1＝∠2，求证：AM∥CN24．（14分）如图，直线y＝2x＋6与反比例函数y＝kx(k＞0)的图像交于点A(1，m)，与x轴交于点B，平行于x轴的直线y＝n(0＜n＜6)交反比例函数的图像于点M，交AB于点N，连接BM.求m的值和反比例函数的表达式；直线y＝n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、D【解题分析】解：∵∠ADC=∠ADB，∠ACD=∠DAB，∴△ADC∽△BDA，故A选项正确；∵AD=DE，∴AD DE，∴∠DAE=∠B，∴△ADC∽△BDA，∴故B选项正确；∵AD2=BD•CD，∴AD：BD=CD：AD，∴△ADC∽△BDA，故C选项正确；∵CD•AB=AC•BD，∴CD：AC=BD：AB，但∠ACD=∠ABD不是对应夹角，故D选项错误，故选：D．考点：1．圆周角定理2．相似三角形的判定2、D【解题分析】∵一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，∴a<0，b>0，∴a+b不一定大于0，故A错误，a−b<0，故B错误，ab<0，故C错误，b<0，故D正确．a故选D.3、D【解题分析】由全等三角形的判定方法ASA证出△ABD≌△ACD，得出A正确；由全等三角形的判定方法AAS证出△ABD≌△ACD，得出B正确；由全等三角形的判定方法SAS证出△ABD≌△ACD，得出C正确．由全等三角形的判定方法得出D不正确；【题目详解】A正确；理由：在△ABD和△ACD中，∵∠1=∠2，AD=AD，∠ADB=∠ADC，∴△ABD≌△ACD（ASA）；B正确；理由：在△ABD和△ACD中，∵∠1=∠2，∠B=∠C，AD=AD∴△ABD≌△ACD（AAS）；C正确；理由：在△ABD和△ACD中，∵AB=AC，∠1=∠2，AD=AD，∴△ABD≌△ACD（SAS）；D不正确，由这些条件不能判定三角形全等；故选：D．【题目点拨】本题考查了全等三角形的判定方法；三角形全等的判定是中考的热点，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．4、C【解题分析】科学记数法就是将一个数字表示成a×10的n次幂的形式，其中1≤|a|＜10，n表示整数．n为整数位数减1，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n次幂．【题目详解】数据8 600用科学记数法表示为8.6×103故选C．【题目点拨】用科学记数法表示一个数的方法是（1）确定a：a是只有一位整数的数；（2）确定n：当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．5、C【解题分析】根据平行线性质和全等三角形的判定定理逐个分析.【题目详解】由//AB ED，得∠B=∠D,因为CD BF=，若ABC≌EDF，则还需要补充的条件可以是：AB=DE,或∠E=∠A, ∠EFD=∠ACB,故选C【题目点拨】本题考核知识点：全等三角形的判定. 解题关键点：熟记全等三角形判定定理.6、C【解题分析】连接OD，∵弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，∴OC=12OA=12×6=1．∵∠AOB=90°，CD∥OB，∴CD⊥OA．在Rt△OCD中，∵OD=6，OC=1，∴2222CD OD OC6333=-=-=．又∵CD333sin DOCOD62∠===，∴∠DOC=60°．∴2606193336336022DOCAODS S Sππ∆⋅⋅=-=-⨯⨯=-阴影扇形（米2）．故选C．7、C【解题分析】分析：[x]表示不大于x的最大整数，依据题目中提供的操作进行计算即可．详解：1211211131[]112[]33[]1 11113===第次第次第次∴对121只需进行3次操作后变为1.故选C．点睛：本题是一道关于无理数的题目，需要结合定义的新运算和无理数的估算进行求解.8、C【解题分析】画树状图求出共有12种等可能结果，符合题意得有2种，从而求解.【题目详解】解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，两次都摸到白球的有2种情况，∴两次都摸到白球的概率是：21 126=．故答案为C．【题目点拨】本题考查画树状图求概率，掌握树状图的画法准确求出所有的等可能结果及符合题意的结果是本题的解题关键．9、D【解题分析】A、原式=a2﹣4，不符合题意；B、原式=a2﹣a﹣2，不符合题意；C、原式=a2+b2+2ab，不符合题意；D、原式=a2﹣2ab+b2，符合题意，故选D10、C【解题分析】依据平行线的性质，可得∠BAC的度数，再根据三角形内和定理，即可得到∠2的度数．【题目详解】解：∵a∥b，∴∠1＝∠BAC＝40°，又∵∠ABC＝90°，∴∠2＝90°−40°＝50°，故选C．【题目点拨】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、1【解题分析】分析: 由PD−12PC＝PD−PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD−12PC的值最大，最大值为DG＝1．详解: 在BC上取一点G，使得BG＝1，如图，∵221PBBG==，422BCPB==，∴PB BC BG PB=，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴12 PG BGPC PB==，∴PG＝12 PC，当点P在DG的延长线上时，PD−12PC的值最大，最大值为DG2243+1．故答案为1点睛: 本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．12、①②【解题分析】根据折叠的性质可知，结合垂径定理、三角形的性质、同圆或等圆中圆周角与圆心的性质等可以判断①②是否正确，EO的最小值问题是个难点，这是一个动点问题，只要把握住E在什么轨迹上运动，便可解决问题．【题目详解】如图1，连接OA和OB，作OF⊥AB．由题知：AB沿着弦AB折叠，正好经过圆心O∴OF=OA=12OB∴∠AOF=∠BOF=60°∴∠AOB=120°∴∠ACB=120°（同弧所对圆周角相等）∠D=12∠AOB=60°（同弧所对的圆周角是圆心角的一半）∴∠ACD=180°-∠ACB=60°∴△ACD是等边三角形（有两个角是60°的三角形是等边三角形）故，①②正确下面研究问题EO的最小值是否是1如图2，连接AE和EF∵△ACD是等边三角形，E是CD中点∴AE⊥BD（三线合一）又∵OF⊥AB∴F是AB中点即，EF是△ABE斜边中线∴AF=EF=BF即，E点在以AB为直径的圆上运动．所以，如图3，当E、O、F在同一直线时，OE长度最小此时，AE=EF，AE⊥EF∵⊙O的半径是2，即OA=2，OF=1∴（勾股定理）∴所以，③不正确综上所述：①②正确，③不正确．故答案是：①②．【题目点拨】考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．13、16【解题分析】设扇形的圆心角为n°，则根据扇形的弧长公式有：π·4=8180n，解得360πn=所以22360S==16360360扇形π4πrπ=n14、12【解题分析】根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，而从C向A运动时，BP先变小后变大，从而可求出线段长度解答．【题目详解】根据题意观察图象可得BC=5，点P 在AC 上运动时，BP ⊥AC 时，BP 有最小值，观察图象可得，BP 的最小值为4，即BP ⊥AC 时BP=4，又勾股定理求得CP=3，因点P 从点C 运动到点A ，根据函数的对称性可得CP=AP=3，所以ABC ∆的面积是13+342⨯⨯（）=12. 【题目点拨】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是注意结合图象求出线段的长度，本题属于中等题型．15、．【解题分析】试题分析：解答此题要利用互余角的三角函数间的关系：sin （90°-α）=c osα，cos （90°-α）=sinα．试题解析：∵在△ABC 中，∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴cosB=sinA=．考点：互余两角三角函数的关系．16、834【解题分析】根据相似三角形的性质，先求出正△A 2B 2C 2，正△A 3B 3C 3的面积，依此类推△A n B n C n 的面积是，从而求出第8个正△A 8B 8C 8的面积．【题目详解】正△A 1B 1C 13 而△A 2B 2C 2与△A 1B 1C 1相似，并且相似比是1：2，则面积的比是，则正△A 2B 2C 2的面积是34×14；因而正△A 3B 3C 3与正△A 2B 2C 2的面积的比也是14，面积是34×（14）2；依此类推△A n B n C n 与△A n-1B n-1C n-1的面积的比是14，第n 314）n-1．所以第8个正△A 8B 8C 83（14）73【题目点拨】本题考查了相似三角形的性质及应用，相似三角形面积的比等于相似比的平方，找出规律是关键．17、x≠1．【解题分析】该函数是分式，分式有意义的条件是分母不等于0，故分母x-1≠0，解得x 的范围．【题目详解】根据题意得：x−1≠0，解得：x≠1.故答案为x≠1.【题目点拨】本题考查了函数自变量的取值范围，解题的关键是熟练的掌握分式的意义.三、解答题（共7小题，满分69分）18、-1【解题分析】先化简，再选出一个合适的整数代入即可，要注意a 的取值范围.【题目详解】解：2211a a a a⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭ (1)(1)12a a a a a ---=•- 1(1)12a a a a a -+-=•- 2a =，当2a =-时，原式212-==-．【题目点拨】本题考查的是代数式的求值，熟练掌握代数式的化简是解题的关键.19、（1）m=4, n=1,k=3.（2）3.【解题分析】（1）把点(4,0)A ，分别代入直线y x m =-+中即可求出m=4，再把(3,)C n 代入直线y x m =-+即可求出n=1.把(3,1)C 代入函数(0)k y x x=>求出k 即可；（2）由（1）可求出点B 的坐标为（0，4），点B‘是由点B 向右平移得到，故点B’的纵坐标为4，把它代入反比例函数解析式即可求出它的横坐标，根据平移的知识可知四边形AA’B’B 是平行四边形，再根据平行四边形的面积计算公式计算即可.【题目详解】解：（1）把点(4,0)A ，分别代入直线y x m =-+中得：-4+m=0,m=4,∴直线解析式为4y x =-+.把(3,)C n 代入4y x =-+得：n=-3+4=1.∴点C 的坐标为（3，1）把（3，1）代入函数(0)k y x x=>得： 13k = 解得：k=3.∴m=4, n=1,k=3.(2)如图，设点B 的坐标为（0，y ）则y=-0+4=4∴点B 的坐标是（0，4）当y=4时，34x= 解得，34x = ∴点B’（34，4） ∵A’,B’是由A,B 向右平移得到，∴四边形AA’B’B 是平行四边形，故四边形AA’B’B 的面积=34⨯4=3.【题目点拨】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题及函数的平移，利用数形结合思想作出图形是解题的关键.20、见解析，4 9 .【解题分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两次抽取的卡片上的数字都是偶数的结果数，然后根据概率公式求解．【题目详解】解：画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中两次抽取的卡片上的数字都是偶数的结果数为4，所以两次抽取的卡片上的数字都是偶数的概率＝49．【题目点拨】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．21、（2）k=﹣2，﹣2．（2）方程的根为x2=x2=2．【解题分析】（2）根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的值；（2）将k的值代入原方程，求出方程的根，经检验即可得到满足题意的k的值．【题目详解】解：（2）根据题意，得△=（﹣6）2﹣4×3（2﹣k）≥0，解得k≥﹣2．∵k为负整数，∴k=﹣2，﹣2．（2）当k=﹣2时，不符合题意，舍去；当k=﹣2时，符合题意，此时方程的根为x2=x2=2．【题目点拨】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：（2）△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解法．22、（1）45°（2）2=，理由见解析AM BC【解题分析】（1）由线段的垂直平分线的性质可得PM＝PN，PO⊥MN，由等腰三角形的性质可得∠PMN＝∠PNM＝α，由正方形的性质可得AP＝PN，∠APN＝90°，可得∠APO＝α，由三角形内角和定理可求∠AMN的度数；（2）由等腰直角三角形的性质和正方形的性质可得2=，∠MNC＝∠ANB＝45°，可证AN BNMN CN=，2△CBN∽△MAN，可得2=．AM BC【题目详解】解：（1）如图，连接MP，∵直线l是线段MN的垂直平分线，∴PM＝PN，PO⊥MN∴∠PMN＝∠PNM＝α∴∠MPO＝∠NPO＝90°－α，∵四边形ABNP是正方形∴AP＝PN，∠APN＝90°∴AP＝MP，∠APO＝90°－（90°－α）＝α∴∠APM＝∠MPO－∠APO＝（90°－α）－α＝90°－2α，∴()180902452a PMA PAM a ︒-︒-∠∠=︒+＝＝， ∴∠AMN ＝∠AMP －∠PMN ＝45°＋α－α＝45°（2）2AM BC =理由如下：如图，连接AN ，CN ，∵直线l 是线段MN 的垂直平分线，∴CM ＝CN ，∴∠CMN ＝∠CNM ＝45°，∴∠MCN ＝90° ∴2MN CN =，∵四边形APNB 是正方形∴∠ANB ＝∠BAN ＝45° ∴2AN BN =，∠MNC ＝∠ANB ＝45°∴∠ANM ＝∠BNC又∵2MN AN CN BN== ∴△CBN ∽△MAN∴2AM MN BC CN==∴2AM BC =【题目点拨】本题考查了正方形的性质，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．23、详见解析.只要证明∠EAM=∠ECN ，根据同位角相等两直线平行即可证明.【题目详解】证明：∵AB ∥CD ，∴∠EAB=∠ECD ，∵∠1=∠2，∴∠EAM=∠ECN ，∴AM ∥CN ．【题目点拨】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定，属于中考基础题．24、（1）m ＝8，反比例函数的表达式为y ＝8x；（2）当n ＝3时，△BMN 的面积最大．【解题分析】（1）求出点A 的坐标，利用待定系数法即可解决问题；（2）构造二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题.【题目详解】解：（1）∵直线y=2x+6经过点A （1，m ），∴m=2×1+6=8，∴A （1，8），∵反比例函数经过点A （1，8），∴8=1k ， ∴k=8，∴反比例函数的解析式为y=8x．（2）由题意，点M ，N 的坐标为M （8n ，n ），N （62n -，n ）， ∵0＜n ＜6， ∴62n -＜0， ∴S △BMN =12×（|62n -|+|8n |）×n=12×（﹣62n -+8n）×n=﹣14（n ﹣3）2+254， ∴n=3时，△BMN 的面积最大．。

浙江省中考数学压轴题(共11题)

23．（2012•杭州）如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知∠EAT=30°，AE=3，MN=2．（1）求∠COB的度数；（2）求⊙O的半径R；（3）点F在⊙O上（是劣弧），且EF=5，把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比．24．（2012•湖州）如图1，已知菱形ABCD的边长为2，点A在x轴负半轴上，点B在坐标原点．点D的坐标为（﹣，3），抛物线y=ax2+b（a≠0）经过AB、CD两边的中点．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移（如图2），过点B 作BE⊥CD于点E，交抛物线于点F，连接DF、AF．设菱形ABCD平移的时间为t秒（0＜t＜）①是否存在这样的t，使△ADF与△DEF相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；②连接FC，以点F为旋转中心，将△FEC按顺时针方向旋转180°，得△FE′C′，当△FE′C′落在x轴与抛物线在x轴上方的部分围成的图形中（包括边界）时，求t的取值范围．（写出答案即可）24．（2012•嘉兴）在平面直角坐标系xOy中，点P是抛物线：y=x2上的动点（点在第一象限内）．连接OP，过点0作OP的垂线交抛物线于另一点Q．连接PQ，交y轴于点M．作PA丄x轴于点A，QB丄x轴于点B．设点P的横坐标为m．（1）如图1，当m=时，①求线段OP的长和tan∠POM的值；②在y轴上找一点C，使△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形，求点C的坐标；（2）如图2，连接AM、BM，分别与OP、OQ相交于点D、E．①用含m的代数式表示点Q的坐标；②求证：四边形ODME是矩形．24．（2012•丽水）在△ABC中，∠ABC=45°，tan∠ACB=．如图，把△ABC的一边BC放置在x轴上，有OB=14，OC=，AC与y轴交于点E．（1）求AC所在直线的函数解析式；（2）过点O作OG⊥AC，垂足为G，求△OEG的面积；（3）已知点F（10，0），在△ABC的边上取两点P，Q，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形与△OFP全等，且这两个三角形在OP的异侧？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．26．（2012•宁波）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2），过A，C画直线．（1）求二次函数的解析式；（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H．①若M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC（点C与点A对应），求点M的坐标；②若⊙M的半径为，求点M的坐标．24．（2012•衢州）如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A（1，2），过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移过程中与△COD重叠部分面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．24．（2012•绍兴）如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，连接AC，抛物线y=x2﹣4x﹣2经过A，B两点．（1）求A点坐标及线段AB的长；（2）若点P由点A出发以每秒1个单位的速度沿AB边向点B移动，1秒后点Q也由点A 出发以每秒7个单位的速度沿AO，OC，CB边向点B移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点P的移动时间为t秒．①当PQ⊥AC时，求t的值；②当PQ∥AC时，对于抛物线对称轴上一点H，∠HOQ＞∠POQ，求点H的纵坐标的取值范围．24．（14分）（2012•台州）定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的距离．已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角坐标系中四点．（1）根据上述定义，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是_________；当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离（即线段AB长）为_________；（2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数解析式．（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M，①求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长；②点D的坐标为（0，2），m≥0，n≥0，作MN⊥x轴，垂足为H，是否存在m的值使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．24．（2012•温州）如图，经过原点的抛物线y=﹣x2+2mx（m＞0）与x轴的另一个交点为A．过点P（1，m）作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B．记点B关于抛物线对称轴的对称点为C（B、C不重合）．连接CB，CP．（1）当m=3时，求点A的坐标及BC的长；（2）当m＞1时，连接CA，问m为何值时CA⊥CP？（3）过点P作PE⊥PC且PE=PC，问是否存在m，使得点E落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的m的值，并定出相对应的点E坐标；若不存在，请说明理由．24．（2012•义乌市）如图1，已知直线y=kx与抛物线y=交于点A（3，6）．（1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N．试探究：线段QM 与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；（3）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD．继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？24．（12分）（2012•嘉兴）在平面直角坐标系xOy中，点P是抛物线：y=x2上的动点（点在第一象限内）．连接OP，过点0作OP的垂线交抛物线于另一点Q．连接PQ，交y轴于点M．作PA丄x轴于点A，QB丄x轴于点B．设点P的横坐标为m．（1）如图1，当m=时，①求线段OP的长和tan∠POM的值；②在y轴上找一点C，使△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形，求点C的坐标；（2）如图2，连接AM、BM，分别与OP、OQ相交于点D、E．①用含m的代数式表示点Q的坐标；②求证：四边形ODME是矩形．。

2024年中考数学临考押题卷02(浙江卷)(全解全析)-备战2024年中考数学临考题号押题

2024年中考数学临考押题卷（浙江卷）02一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．﹣的绝对值是（）A．B．﹣C．D．﹣【答案】C【分析】根据绝对值是数轴上的点到原点的距离，可得答案．【解答】解：﹣的绝对值是，故选：C．【点评】本题考查了实数的性质，绝对值是数轴上的点到原点的距离．2．若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠0B．x≠﹣1C．x≠1D．x≥1【答案】C【分析】根据分母不为零分式有意义，可得答案．【解答】解：由题可知，x﹣1≠0，解得x≠1，故选：C．【点评】本题主要考查分式有意义的条件，掌握分母不为零的条件是解题的关键．3．如图，已知AB∥CD，点E在线段AD上（不与点A，点D重合），连接CE，若∠C＝20°，∠CED＝120°，则∠A的度数为（）A．10°B．20°C．30°D．40°【答案】D【分析】由三角形内角和定理求出∠D＝40°，由平行线的性质推出∠A＝∠D＝40°．【解答】解：∵∠C＝20°，∠CED＝120°，∴∠D＝180°﹣20°﹣120°＝40°，∵AB∥CD，∴∠A＝∠D＝40°．故选：D．【点评】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，关键是由三角形内角和定理求出∠D的度数，由平行线的性质推出∠A＝∠D＝40°．4．“春江潮水连海平，海上明月共潮生”，水是诗人钟爱的意象，经测算，一个水分子的直径约为0.0000000004m，数据0.0000000004用科学记数法表示为（）A．4×10﹣11B．4×10﹣10C．4×10﹣9D．0.4×10﹣9【答案】B【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.0000000004＝4×10﹣10．故选：B．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．5．沿正方体相邻的三条棱的中点截掉一个角，得到如图所示的几何体，则他的主视图是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据主视图的定义，画出这个几何体的主视图即可．【解答】解：这个几何体的主视图如下：故选：B．【点评】本题考查简单组几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的画法和形状是正确判断的前提．6．一位射击运动员在一次训练效果测试中射击了10次，成绩如图所示，对于这10次射击的成绩有如下结论，其中不正确的是（）A．方差是1B．中位数是8C．平均数是8D．众数是8【答案】A【分析】根据众数、中位数、平均数以及方差的算法进行计算，即可得出答案．【解答】解：由图可得，数据8出现4次，次数最多，所以众数为8，故D正确；10次成绩排序后为：6，7，7，8，8，8，8，9，9，10，所以中位数是（8+8）＝8，故B正确；平均数为（6+7×2+8×4+9×2+10）＝8，故C正确；方差为[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝1.2，故A不正确；不正确的有1个；故选：A．【点评】本题主要考查了众数、中位数、平均数以及方差，用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差．7．已知x﹣y＝1，且2﹣y＞0，则x的取值范围是（）A．x＞1B．x＞3C．x＜1D．x＜3【答案】D【分析】根据已知易得：y＝x﹣1，从而可得2﹣（x﹣1）＞0，然后按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答．【解答】解：∵x﹣y＝1，∴y＝x﹣1，∵2﹣y＞0，∴2﹣（x﹣1）＞0，2﹣x+1＞0，﹣x＞﹣1﹣2，﹣x＞﹣3，x＜3，故选：D．【点评】本题考查了解一元一次不等式，不等式的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键．8．《九章算术》中曾记载：“今有牛五羊二，直金十两；牛二羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛，2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？若设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据“5头牛，2只羊，值金10两；2头牛，5只羊，值金8两”列出方程组即可得答案．【解答】解：由题意可列方程组为，故选：A．【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是找出题目中的等量关系．9．已知点A（m，k），B（n，k+1）（m＞0＞n）是二次函数y＝x2+1函数图象上的两个点，若关于x的一元二次方程mx2+nx+k＝0有两根x1，x2，则（）A．0＜x1+x2＜1，x1•x2＞0B．x1+x2＜0，x1•x2＞0C．x1+x2＞1，x1•x2＞0D．x1+x2＝0，x1•x2＜0【答案】C【分析】依据题意，由点A（m，k），B（n，k+1）是二次函数y＝x2+1函数图象上的两个点，结合m＞0＞n，则点A（m，k）在其第一象限的图象上，则m＞0，k＞0，点B（n，k+1）在其第二象限的图象上，则n＜0，且k+1＝n2，即n2＝m2+1，则（）2＝1+＞1，进而求解．【解答】解：∵点A（m，k），B（n，k+1）是二次函数y＝x2+1函数图象上的两个点，又m＞0＞n，∴点A（m，k）在其第一象限的图象上，点B（n，k+1）在其第二象限的图象上．∴n＜0，k+1＝n2，m＞0，k＞0，k＝m2，∴n2＝m2+1．∴（）2＝1+＞1∵m、n异号，＜0，设x＝＜0，即x2＞1，即x2﹣1＞0，则x＜﹣1，故﹣＞1，∵m＞0，k＞0，∴＞0．由mx2+nx+k＝0得，x1+x2＝﹣＞1，x1x2＝＞0．故选：C．【点评】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征和求表达式等，由n2＝m2+1得到（）2＝1+＞1是解题的关键．10．如图，E是平行四边形ABCD边AD中点，BE与AC交于点F，连接BD，已知AD＝10，BE＝9，AC ＝12．下列命题：①点F是△ABD的重心；②△BFC与△ABC相似；③BD＝13；④平行四边形ABCD的面积为72．其中正确的命题为（）A．①②B．②③C．③④D．①④【答案】D【分析】①设AC与BD交于点O，在△ABD中，AO为BD边上的中线，BE为AD边上的中线，根据三角形重心的定义可对命题①进行判断；②在OC上取一点H，是OH＝OF，连接DF，DH，BH，证四边形BHDF为平行四边形，得EF为△ADH的中位线，则EF＝DH＝BF，AF＝FH，再根据BE＝9，AC＝12得EF＝3，OF＝2，则BF＝6，AF ＝4，CF＝8，再证△BFC为直角三角形，△ABC不是直角三角形，由此可对命题②进行判断；③在Rt△BOF中利用勾股定理得OB＝，进而得BD＝2OB＝≠13，由此可对命题③进行判断；④根据S△ABC＝AC•BF＝36，则S平行四边形ABCD＝2S△ABC＝72，据此可对命题④进行判断，综上所述即可得出答案．【解答】解：①设AC与BD交于点O，如图1所示：∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，在△ABD中，AO为BD边上的中线，又∵点E是AD的中点，∴BE为AD边上的中线，∴点F是△ABD的重心，故命题①正确；②在OC上取一点H，是OH＝OF，连接DF，DH，BH，如图2所示：∵四边形ABCD为平行四边形，AD＝10，BE＝9，AC＝12，点E是AD的中点，∴OB＝OD，OA＝OC＝AC＝6，AE＝DE＝AD＝5，BC＝AD＝10，∴四边形BHDF为平行四边形，∴BF∥DH，BF＝DH，即EF∥DH，∴EF为△ADH的中位线，∴EF＝DH＝BF，AF＝FH，∴EF＝BE＝3，OF＝OA＝2，∴BF＝BE﹣EF＝9﹣﹣3＝6，AF＝OA﹣OF＝6﹣2＝4，∴CF＝OC+OF＝6+2＝8，在△BFC中，BF2+CF2＝62+82＝100，BC2＝100，∴BF2+CF2＝BC2，∴△BFC为直角三角形，即BF⊥AC，在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB＝＝＝，在△ABC中，AB2+BC2＝（）2+102＝152，AC2＝122＝144，∵AB2+BC2≠AC2，∴△ABC不是直角三角形，∴△BFC与△ABC不相似，故命题②不正确；③在Rt△BOF中，BF＝6，OF＝2，由勾股定理得：OB＝＝，∴BD＝2OB＝≠13，故命题③不正确；④在△ABC中，AC＝12，BF＝6，BF⊥AC，＝AC•BF＝×12×6＝36，∴S△ABC＝2S△ABC＝72．∴S平行四边形ABCD故命题④正确，综上所述：正确的命题是①④，故选：D．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形重心的定义，相似三角形的判定，三角形中位线定理，勾股定理及其逆定理，理解平行四边形的判定和性质，三角形重心的定义，相似三角形的判定，熟练掌握三角形中位线定理，勾股定理及其逆定理是解决问题的关键．二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

浙江省中考数学分类解析20：压轴题

浙江省11市2015年中考数学试题分类解析汇编（20专题）专题20：压轴题1. （2015年浙江杭州3分）设二次函数11212())0(()y a x x x x a x x =--≠≠，的图象与一次函数()20y dx e d =+≠的图象交于点1(0)x ，，若函数21y y y =+的图象与x 轴仅有一个交点，则【】A. 12 ()a x x d -=B. 21()a x x d -=C. 212()a x x d -=D. ()212a x x d +=【答案】B.【考点】一次函数与二次函数综合问题；曲线上点的坐标与方程的关系.【分析】∵一次函数()20y dx e d =+≠的图象经过点1(0)x ，，∴110dx e e dx =+⇒=-.∴()211y dx dx d x x =-=-.∴()()[]2112112()()()y y y a x x x x d x x x x a x x d =+=--+-=--+. 又∵二次函数1121()()(0)y a x x x x a x x =--≠≠，的图象与一次函数()20y dx e d =+≠的图象交于点1(0)x ，，函数21y y y =+的图象与x 轴仅有一个交点，∴函数21y y y =+是二次函数，且它的顶点在x 轴上，即()2211y y y a x x =+=-.∴()[]()()212121()()x x a x x d a x x a x x d a x x --+=-⇒-+=-..令1x x =，得()1211()a x x d a x x -+=-，即1221()0()0a x x d a x x d -+=⇒--=.故选B.2. （2015年浙江湖州3分）如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，点A 是函数1y x= (x <0)图象上一点，AO 的延长线交函数2k y x =（x >0，k 是不等于0的常数)的图象于点C ，点A 关于y 轴的对称点为A ′，点C 关于x 轴的对称点为C ′，连接CC ′，交x 轴于点B ，连结AB ，AA ′，A ′C ′，若△ABC 的面积等于6，则由线段AC ，CC ′，C ′A ′，A ′A 所围成的图形的面积等于【】A.8B.10C.310D.46【答案】B.【考点】反比例函数综合题；曲线上点的坐标与方程的关系；轴对称的性质；特殊元素法和转换思想的应用.【分析】如答图，连接A ′C ，∵点A 是函数1y x= (x <0)图象上一点，∴不妨取点A ()1,1-- . ∴直线AB ：y x =.∵点C 在直线AB 上，∴设点C (),x x .∵△ABC 的面积等于6，∴()1162x x ⋅⋅+=，解得123,4x x ==- （舍去）.∴点C ()3,3 .∵点A 关于y 轴的对称点为A ′，点C 关于x 轴的对称点为C ′，∴点A ′()1,1- ，点C ′()3,3- .∴由线段AC ，CC ′，C ′A ′，A ′A 所围成的图形的面积等于'''1124621022AA C CA C S S ∆∆+=⨯⨯+⨯⨯=. 故选B.3. （2015年浙江嘉兴4分）如图，抛物线221y x x m =-+++交x 轴于点A （a ，0）和B （b ， 0），交y 轴于点C ，抛物线的顶点为D .下列四个命题：①当>0x 时，>0y ；②若1a =-，则4b =；③抛物线上有两点P （1x ，1y ）和Q （2x ，2y ），若12<1<x x ，且12>2x x +，则12>y y ；④点C 关于抛物线对称轴的对称点为E ，点G ，F 分别在x 轴和y 轴上，当2m =时，四边形EDFG 周长的最小值为62. 其中真命题的序号是【】A. ①B. ②C. ③D. ④【答案】C.【考点】真假命题的判断；二次函数的图象和性质；曲线上点的坐标与方程的关系；轴对称的应用（最短线路问题）；勾股定理.【分析】根据二次函数的图象和性质对各结论进行分析作出判断：①从图象可知当>>0x b 时，<0y ，故命题“当>0x 时，>0y ”不是真命题；②∵抛物线221y x x m =-+++的对称轴为212x =-=-，点A 和B 关于轴对称，∴若1a =-，则3b =，故命题“若1a =-，则4b =”不是真命题；③∵故抛物线上两点P （1x ，1y ）和Q （2x ，2y ）有12<1<x x ，且12>2x x +，∴211>1x x --，又∵抛物线221y x x m =-+++的对称轴为1x =，∴12>y y ，故命题“抛物线上有两点P （1x ，1y ）和Q （2x ，2y ），若12<1<x x ，且12>2x x +，则12>y y ”是真命题；④如答图，作点E 关于x 轴的对称点M ，作点D 关于y 轴的对称点N ，连接MN ，ME 和ND 的延长线交于点P ，则MN 与x 轴和y 轴的交点G ，F 即为使四边形EDFG 周长最小的点.∵2m =，∴223y x x =-++的顶点D 的坐标为（1，4），点C 的坐标为（0，3）.∵点C 关于抛物线对称轴的对称点为E ，∴点E 的坐标为（2，3）.∴点M 的坐标为()2,3- ，点N 的坐标为()1,4- ，点P 的坐标为（2，4）. ∴2222112,3758DE MN =+==+= .∴当2m =时，四边形EDFG 周长的最小值为258DE MN +=+.故命题“点C 关于抛物线对称轴的对称点为E ，点G ，F 分别在x 轴和y 轴上，当2m =时，四边形EDFG 周长的最小值为62” 不是真命题.综上所述，真命题的序号是③.故选C.4. （2015年浙江金华3分）如图，正方形ABCD 和正三角形AEF 都内接于⊙O ，EF 与BC ，CD 分别相交于点G ，H ，则EF GH的值是【】A. 26B. 2C. 3D. 2【答案】C.【考点】正方形和等边三角形的性质；圆周角定理；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；等腰直角三角形的判定和性质，特殊元素法的应用.【分析】如答图，连接AC,EC ，AC 与EF 交于点M .则根据对称性质，AC 经过圆心O ，∴AC 垂直平分EF ，01EAC FAC EAF 302∠=∠=∠=.不妨设正方形ABCD 的边长为2，则AC 22=.∵AC 是⊙O 的直径，∴0AEC 90∠=.在Rt ACE ∆中，3AE AC cos EAC 2262=⋅∠=⋅=， 1CE AC sin EAC 2222=⋅∠=⋅=. 在Rt MCE ∆中，∵0FEC FAC 30∠=∠=，∴12CM CE sin EAC 222=⋅∠=⋅=. 易知GCH ∆是等腰直角三角形，∴GF 2CM 2==.又∵AEF ∆是等边三角形，∴EF AE 6==. ∴EF 63GH 2==. 故选C.5. （2015年浙江丽水3分）如图，在方格纸中，线段a ，b ，c ，d 的端点在格点上，通过平移其中两条线段，使得和第三条线段首尾相接组成三角形，则能组成三角形的不同平移方法有【】A. 3种B. 6种C. 8种D. 12种【答案】B ．【考点】网格问题；勾股定理；三角形构成条件；无理数的大小比较；平移的性质；分类思想的应用.【分析】由图示，根据勾股定理可得：2,5,25,5a b c d ==== .∵<,<,,<<a b c a d c b d c b a d b d +++=-+ ，∴根据三角形构成条件，只有,,a b d 三条线段首尾相接能组成三角形.如答图所示，通过平移,,a b d 其中两条线段，使得和第三条线段首尾相接组成三角形，能组成三角形的不同平移方法有6种.故选B ．6. （2015年浙江宁波4分）如图，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形. 若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形标号为【】A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③【答案】A.【考点】多元方程组的应用（几何问题）.【分析】如答图，设原住房平面图长方形的周长为2l ，①的长和宽分别为,a b ，②③的边长分别为,c d .根据题意，得2a c d c b d a b c l =+⎧⎪=+⎨⎪++=⎩①②③，-①②，得2a c c b a b c -=-⇒+=，将2a b c +=代入③，得1422c l c l =⇒=（定值），将122c l =代入2a b c +=，得()122a b l a b l +=⇒+=（定值），而由已列方程组得不到d .∴分割后不用测量就能知道周长的图形标号为①②.故选A.7. （2015年浙江衢州3分）如图，已知等腰,ABC AB BC ∆= ，以AB 为直径的圆交AC 于点D ，过点D 的O e 的切线交BC 于点E ，若5,4C D C E == ，则O e 的半径是【】A. 3B. 4C.256 D. 258【答案】D ．【考点】等腰三角形的性质；切线的性质；平行的判定和性质；矩形的判定和性质；勾股定理；方程思想的应用．【分析】如答图，连接OD ，过点B 作BF OD ⊥于点F ，∵AB BC =，∴A C ∠=∠.∵AO DO =，∴A ADO ∠=∠.∴C ADO ∠=∠.∴//OD BC.∵DE 是O e 的切线，∴DE OD ⊥.∴DE BC ⊥.∴90CED ∠=︒，且四边形DEBF 是矩形.∵5,4CD CE == ，∴由勾股定理，得3DE =.设O e 的半径是x ，则(),3,244OB x BF OF x BE x x x ===-=--=- .∴由勾股定理，得222OB OF BF =+，即()22234x x =+-，解得258x =. ∴O e 的半径是258. 故选D ．8. （2015年浙江绍兴4分）挑游戏棒是一种好玩的游戏，游戏规则：当一根棒条没有被其它棒条压着时，就可以把它往上拿走. 如图中，按照这一规则，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，…，则第6次应拿走【】A. ②号棒B. ⑦号棒C. ⑧号棒D. ⑩号棒【答案】D.【考点】探索规律题（图形变化类）.【分析】当一根棒条没有被其它棒条压着时，就可以把它往上拿走. 如图中，按照这一规则，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，第3次应拿走⑥号棒，第4次应拿走②号棒，第5次应拿走⑧号棒，第6次应拿走⑩号棒，故选D.9. （2015年浙江台州4分）某班有20位同学参加围棋、象棋比赛，甲说：“只参加一项的人数大于14人” ；乙说：“两项都参加的人数小于5人” .对于甲、乙两人的说法，有下列四个命题，其中真命题的是【】A.若甲对，则乙对B.若乙对，则甲对C.若乙错，则甲错D.若甲粗，则乙对【答案】B.【考点】逻辑判断推理题型问题；真假命题的判定.【分析】针对逻辑判断问题逐一分析作出判断：A.若甲对，即只参加一项的人数大于14人，等价于等于15或16或17或18或19人，则两项都参加的人数为5或4或3或2或1人，故乙不对；B.若乙对，即两项都参加的人数小于5人，等价于等于4或3或2或1人，则只参加一项的人数为等于16或17或18或19人，故甲对；C.若乙错，即两项都参加的人数大于或等于5人，则只参加一项的人数小于或等于15人，故甲可能对可能错；D.若甲粗，即只参加一项的人数\小于或等于14人，则两项都参加的人数大于或等于6人，故乙错.综上所述，四个命题中，其中真命题是“若乙对，则甲对”.故选B.10. （2015年浙江温州4分）如图，C 是以AB 为直径的半圆O 上一点，连结AC ，BC ，分别以AC ，BC 为边向外作正方形ACDE ，BCFG ，DE ，FG ，»»AC BC ，的中点分别是M ，N ，P ，Q. 若MP+NQ=14，AC+BC=18，则AB 的长是【】A. 29B.790 C. 13 D. 16【答案】C.【考点】正方形的性质；垂径定理；梯形的中位线定理；方程思想、转换思想和整体思想的应用.【分析】如答图，连接OP 、OQ ， ∵DE ，FG ，»»AC BC ，的中点分别是M ，N ，P ，Q ，∴点O 、P 、M 三点共线，点O 、Q 、N 三点共线.∵ACDE ，BCFG 是正方形，∴AE=CD=AC ，BG=CF=BC.设AB=2r ，则,OM MP r ON NQ r =+=+ .∵点O 、M 分别是AB 、ED 的中点，∴OM 是梯形ABDE 的中位线. ∴()()()1112222OM AE BD AE CD BC AC BC =+=++=+，即()122M P r A C B C +=+. 同理，得()122NQ r BC AC +=+. 两式相加，得()322MP NQ r AC BC ++=+ .∵MP+NQ=14，AC+BC=18，∴3142182132r r +=⨯⇒=. 故选C.11. （2015年浙江义乌3分）挑游戏棒是一种好玩的游戏，游戏规则：当一根棒条没有被其它棒条压着时，就可以把它往上拿走. 如图中，按照这一规则，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，…，则第6次应拿走【】A. ②号棒B. ⑦号棒C. ⑧号棒D. ⑩号棒【答案】D.【考点】探索规律题（图形变化类）.【分析】当一根棒条没有被其它棒条压着时，就可以把它往上拿走. 如图中，按照这一规则，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，第3次应拿走⑥号棒，第4次应拿走②号棒，第5次应拿走⑧号棒，第6次应拿走⑩号棒，故选D.12. （2015年浙江舟山3分）如图，抛物线221y x x m =-+++交x 轴于点A （a ，0）和B （b ， 0），交y 轴于点C ，抛物线的顶点为D .下列四个命题：①当>0x 时，>0y ；②若1a =-，则4b =；③抛物线上有两点P （1x ，1y ）和Q （2x ，2y ），若12<1<x x ，且12>2x x +，则12>y y ；④点C 关于抛物线对称轴的对称点为E ，点G ，F 分别在x 轴和y 轴上，当2m =时，四边形EDFG 周长的最小值为62. 其中真命题的序号是【】A. ①B. ②C. ③D. ④【答案】C.【考点】真假命题的判断；二次函数的图象和性质；曲线上点的坐标与方程的关系；轴对称的应用（最短线路问题）；勾股定理.【分析】根据二次函数的图象和性质对各结论进行分析作出判断：①从图象可知当>>0x b 时，<0y ，故命题“当>0x 时，>0y ”不是真命题；②∵抛物线221y x x m =-+++的对称轴为212x =-=-，点A 和B 关于轴对称，∴若1a =-，则3b =，故命题“若1a =-，则4b =”不是真命题；③∵故抛物线上两点P （1x ，1y ）和Q （2x ，2y ）有12<1<x x ，且12>2x x +，∴211>1x x --，又∵抛物线221y x x m =-+++的对称轴为1x =，∴12>y y ，故命题“抛物线上有两点P （1x ，1y ）和Q （2x ，2y ），若12<1<x x ，且12>2x x +，则12>y y ”是真命题；④如答图，作点E 关于x 轴的对称点M ，作点D 关于y 轴的对称点N ，连接MN ，ME 和ND 的延长线交于点P ，则MN 与x 轴和y 轴的交点G ，F 即为使四边形EDFG 周长最小的点.∵2m =，∴223y x x =-++的顶点D 的坐标为（1，4），点C 的坐标为（0，3）.∵点C 关于抛物线对称轴的对称点为E ，∴点E 的坐标为（2，3）.∴点M 的坐标为()2,3- ，点N 的坐标为()1,4- ，点P 的坐标为（2，4）.∴2222112,3758DE MN =+==+= .∴当2m =时，四边形EDFG 周长的最小值为258DE MN +=+.故命题“点C 关于抛物线对称轴的对称点为E ，点G ，F 分别在x 轴和y 轴上，当2m =时，四边形EDFG 周长的最小值为62” 不是真命题.综上所述，真命题的序号是③. 故选C.1. （2015年浙江杭州4分）如图，在四边形纸片ABCD 中，AB =BC ，AD =CD ，∠A =∠C =90°，∠B =150°，将纸片先沿直线BD 对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平，若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，则CD = ▲【答案】23+或423+.【考点】剪纸问题；多边形内角和定理；轴对称的性质；菱形、矩形的判定和性质；含30度角直角三角形的性质；相似三角形的判定和性质；分类思想和方程思想的应用.【分析】∵四边形纸片ABCD 中，∠A =∠C =90°，∠B =150°，∴∠C=30°.如答图，根据题意对折、裁剪、铺平后可有两种情况得到平行四边形：如答图1，剪痕BM 、BN ，过点N 作NH ⊥BM 于点H ，易证四边形BMDN 是菱形，且∠MBN =∠C =30°. 设BN =DN =x ，则NH =12x .根据题意，得1222x x x ⋅=⇒=，∴BN =DN =2， NH =1.易证四边形BHNC 是矩形，∴BC =NH =1. ∴在Rt BCN ∆中，CN =3. ∴CD =23+.如答图2，剪痕AE 、CE ，过点B 作BH ⊥CE 于点H ，易证四边形BAEC 是菱形，且∠BCH =30°. 设BC =CE =x ，则BH =12x .根据题意，得1222x x x ⋅=⇒=，∴BC =CE =2， BH =1. 在Rt BCH ∆中，CH =3，∴EH =23-. 易证BCD EHB ∆∆∽，∴CD BCHB EH =，即2123CD =-. ∴()()()2234232323CD +==+-+.综上所述，CD =23+或423+.2. （2015年浙江湖州4分）已知正方形ABC 1D 1的边长为1，延长C 1D 1到A 1，以A 1C 1为边向右作正方形A 1C 1C 2D 2，延长C 2D 2到A 2，以A 2C 2为边向右作正方形A 2C 2C 3D 3(如图所示)，以此类推⋯，若A 1C 1=2，且点A ，D 2， D 3，⋯，D 10都在同一直线上，则正方形A9C 9C 10D 10的边长是 ▲【答案】8732.【考点】探索规律题（图形的变化）；正方形的性质；相似三角形的判定和性质. 【分析】如答图，设AD 10与A 1C 1相交于点E ，则121AD E D A E ∆∆∽，∴11211AD D ED A A E=. 设1A E x =，∵AD 1=1，A 1C 1=2，∴2112,1D A D E x ==- .∴11223x x x -=⇒=.易得21322D A E D A D ∆∆∽，∴2113222D A A ED A A D =. 设32D A y =，则222A D y =-，∴22332y y y =⇒=-即21323222332C C D A --===. 同理可得，31414354324233,,22C C C C ----==⋅⋅⋅∴正方形A 9C 9C 10D 10的边长是9181099273322C C --==.3. （2015年浙江嘉兴5分）如图，在直角坐标系xOy 中，已知点A （0，1），点P 在线段OA 上，以AP 为半径的⊙P 周长为1. 点M 从A 开始沿⊙P 按逆时针方向转动，射线AM 交x 轴于点N （n ，0）. 设点M 转过的路程为m （0<<1m ）.（1）当14m =时，n = ▲ ；（2）随着点M 的转动，当m 从13变化到23时，点N 相应移动的路径长为 ▲【答案】（1）1-；（2）233. 【考点】单点和线动旋转问题；圆周角定理；等腰直角三角形的判定和性质；等边三角形的判定和性质；含30度直角三角形的性质. 【分析】（1）当14m =时，090APM ∠=，∴045NAO ∠=. ∵A （0，1），∴1ON OA ==.∴1n =-. （2）∵以AP 为半径的⊙P 周长为1，∴当m 从13变化到23时，点M 转动的圆心角为120°，即圆周角为60°. ∴根据对称性，当点M 转动的圆心角为120°时，点N 相应移动的路径起点和终点关于y 轴对称.∴此时构成等边三角形，且030OAN ∠=. ∵点A （0，1），即OA =1，∴1333ON ==.∴当m 从13变化到23时，点N 相应移动的路径长为323233⨯=. 4. （2015年浙江金华4分）图1是一张可以折叠的小床展开后支撑起来放在地面的示意图，此时，点A ，B ，C 在同一直线上，且∠ACD=90°.图2是小床支撑脚CD 折叠的示意图，在折叠过程中，ΔACD 变形为四边形ABC'D'，最后折叠形成一条线段BD". （1）小床这样设计应用的数学原理是 ▲ （2）若AB ：BC=1：4，则tan ∠CAD 的值是 ▲【答案】（1）三角形的稳定性和四边形的不稳定性；（2）815. 【考点】线动旋转问题；三角形的稳定性；旋转的性质；勾股定理；锐角三角函数定义. 【分析】（1）在折叠过程中，由稳定的ΔACD 变形为不稳定四边形ABC'D'，最后折叠形成一条线段BD"，小床这样设计应用的数学原理是：三角形的稳定性和四边形的不稳定性.（2）∵AB ：BC=1：4，∴设AB x,CD y == ，则BC 4x,AC 5x == .由旋转的性质知BC"BC 4x,AC"3x,C"D"y === = ， ∴AD AD"AC"C"D"3x y ==+=+.在Rt ACD ∆中，根据勾股定理得222AD AC CD =+， ∴()()22283x y 5x y y x 3+=+⇒=.∴8xCD y 83tan CAD AD 5x 5x 15∠====. 5. （2015年浙江丽水4分）如图，反比例函数xky =的图象经过点（-1，22-），点A 是该图象第一象限分支上的动点，连结AO 并延长交另一支于点B ，以AB 为斜边作等腰直角三角形ABC ，顶点C 在第四象限，AC 与x 轴交于点P ，连结BP . （1）k 的值为 ▲ .（2）在点A 运动过程中，当BP 平分∠ABC 时，点C 的坐标是 ▲ .【答案】（1）22k = ；（2）（2，2-）.【考点】反比例函数综合题；曲线上点的坐标与方程的关系；勾股定理；等腰直角三角形的性质；角平分线的性质；相似、全等三角形的判定和性质；方程思想的应用. 【分析】（1）∵反比例函数ky x=的图象经过点（-1，22-）， ∴22221kk -=⇒=-.（2）如答图1，过点P 作PM ⊥AB 于点M ，过B 点作BN ⊥x 轴于点N ，设22,A x x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ ，则22,B x x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ -. ∴2282AB x x=+. ∵△ABC 是等腰直角三角形，∴2282BC AC x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，∠BAC =45°. ∵BP 平分∠ABC ，∴()BPM BPC AAS ∆∆≌.∴2282BM BC x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.∴()22822AM AB BM x x =-=-+.∴()22822PM AM x x ==-+. 又∵228OB x x =+，∴()22821OM BM OB x x =-=-+. 易证OBN OPM ∆∆∽，∴ON BN OBOM PM OP==.由ON BNOM PM=得，()()()222222882122x x x x xx⎛⎫-- ⎪--⎝⎭=-+-+，解得2x =. ∴()2,2A，()2,2B - -.如答图2，过点C 作EF ⊥x 轴，过点A 作AF ⊥EF 于点F ，过B 点作BE ⊥EF于点E ，易知，()BCE CAF HL ∆∆≌，∴设CE AF y ==. 又∵23,22BC BE y ==+ ，∴根据勾股定理，得222BC BE CE =+，即()()2222322yy =++.∴22220y y +-=，解得22y =-或22y =+（舍去）. ∴由()2,2A，()2,2B - -可得()2,2C -.6. （2015年浙江宁波4分）如图，已知点A ，C 在反比例函数)0(>=a xay 的图象上，点B ，D 在反比例函数)0(<=b xby 的图象上，AB ∥CD ∥x 轴，AB ，CD 在x 轴的两侧，AB =3，CD =2，AB 与CD 的距离为5，则b a -的值是 ▲ 【答案】6.【考点】反比例函数综合题；曲线上点的坐标与方程的关系；特殊元素法和方程思想的的应用【分析】不妨取点C 的横坐标为1，∵点C 在反比例函数(0)ay a x =>的图象上，∴点C 的坐标为()1,a . ∵CD ∥x 轴，CD 在x 轴的两侧，CD =2，∴点D 的横坐标为1-. ∵点D 在反比例函数(0)b y b x=<的图象上，∴点D 的坐标为()1,b -- . ∵AB ∥CD ∥x 轴，AB 与CD 的距离为5，∴点A 的纵坐标为5b --. ∵点A 在反比例函数(0)a y a x =>的图象上，∴点A 的坐标为,55a b b ⎛⎫--- ⎪+⎝⎭. ∵AB ∥x 轴，AB 在x 轴的两侧，AB =3，∴点B 的横坐标为315355a b ab b +--+=++.∵点B 在反比例函数(0)b y b x=<的图象上，∴点B 的坐标为23155,5315b a b b b b a ⎛⎫+-+ ⎪++-⎝⎭.∴225554155315a bb b b b b b b b a =-⎧+⎪⇒--=⎨++--=⎪+-⎩. ∵50b +≠，∴4153b b b --=⇒=-. ∴3a =. ∴6a b -=.7. （2015年浙江衢州4分）如图，已知直线334y x =-+分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，P 是抛物线21252y x x =-++上的一个动点，其横坐标为a ，过点P 且平行于y 轴的直线交直线334y x =-+于点Q ，则当PQ BQ =时，a 的值是 ▲.【答案】4或1-或425+或425-.【考点】二次函数与一次函数综合问题；单动点问题，曲线上点的坐标与方程的关系；勾股定理；分类思想和方程思想的应用．【分析】根据题意，设点P 的坐标为21,252a a a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭ ，则Q 3,34a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.在334y x =-+令0x =得3y =．∴()0,3B . ∵PQ BQ =∴222133********a a a a a ⎛⎫⎛⎫-++--+=+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即221185a a a -++=.由221185a a a -++=解得4a =或1a =-.由221185a a a -++=-解得425a =+或425a =-.综上所述，a 的值是4或1-或425+或425-.8. （2015年浙江绍兴5分）实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，用两个相同的管子在容器的5cm 高度处连通（即管子底端离容器底5cm ），现三个容器中，只有甲中有水，水位高1cm ，如图所示. 若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升65cm ，则开始注入 ▲ 分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm.【答案】35或3320或17140【考点】方程思想和分类思想的应用【分析】∵甲、乙、丙三个圆柱形容器底面半径之比为1：2：1，注水1分钟，乙的水位上升56cm ， ∴注水1分钟，甲、丙的水位上升103cm. 设开始注入t 分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm. 甲与乙的水位高度之差0.5cm 时有三种情况： ①乙的水位低于甲的水位时，有5310.565-=⇒=t t （分钟）. ②甲的水位低于乙的水位，甲的水位不变时，∵5910.565-=⇒=t t （分钟），1096>535⨯=，∴此时丙容器已向甲容器溢水. ∵103532÷=（分钟），535624⨯=（cm ），即经过32分钟丙容器的水到达管子底端，乙的水位上升54cm ，∴55333210.546220⎛⎫+⨯--=⇒= ⎪⎝⎭t t （分钟）. ③甲的水位低于乙的水位，乙的水位到达管子底端，甲的水位上升时，∵乙的水位到达管子底端的时间为35515522464⎛⎫+-÷÷= ⎪⎝⎭（分钟）， ∴10151715120.53440⎛⎫--⨯-=⇒= ⎪⎝⎭t t （分钟）. 综上所述，开始注入35或3320或17140分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm.9. （2015年浙江台州5分）如图，正方形ABCD 的边长为1，中心为点O ，有一边长大小不定的正六边形EFGHIJ 绕点O 可任意旋转，在旋转过程中，这个正六边形始终在正方形ABCD 内（包括正方形的边），当这个六边形的边长最大时，AE 的最小值为 ▲【答案】212-. 【考点】面动旋转问题；正方形和正六边形的性质；数形结合思想的应用.【分析】如答图，当这个正六边形的中心与点O 重合，两个对点刚好在正方形两边中点，这个六边形的边长最大，此时，这个六边形的边长为12. 当顶点E 刚好在正方形对角线AC 的AO 一侧时，AE 的值最小，最小值为2121OA OE 222--=-=.10. （2015年浙江温州5分）图甲是小明设计的带图案的花边作品，该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成（不重叠，无缝隙）. 图乙中，76=BC AB ，EF=4cm ，上下两个阴影三角形的面积之和为54cm 2，其内部菱形由两组距离相等的平行线交叉得到，则该菱形的周长为 ▲ cm【答案】503. 【考点】菱形和平行四边形的性质；三角形和梯形面积的应用；相似判定和性质；待定系数法、方程思想数形结合思想和整体思想的应用.【分析】如答图，连接MN 、PQ ，设MN=2x ，PQ=2y ，∵67AB BC =，∴可设AB=()6>0k k ，BC=7k . ∵上下两个阴影三角形的面积之和为54， ∴272354672x kk k k +⋅⋅+=⋅，即()22735442x k k k +⋅+=①. ∵四边形DEMN 、AFMN 是平行四边形，∴DE=AF=MN=2x .∵EF=4，∴447x k +=，即7422k x -=②. 将②代入①得，2747354422k k k k -⎛⎫+⋅+=⎪⎝⎭，化简，得274360k k +-=.解得12182,7k k ==-（舍去）. ∴AB=12，BC=14，MN=5，52x =. 易证△MCD ∽△MPQ ，∴145122522y -=，解得103y =. ∴PM=222510025496x y +=+=. ∴菱形MPNQ 的周长为2550463⨯= 11. （2015年浙江义乌4分）实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，用两个相同的管子在容器的5cm 高度处连通（即管子底端离容器底5cm ），现三个容器中，只有甲中有水，水位高1cm ，如图所示. 若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升65cm ，则开始注入 ▲ 分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm.【答案】35或3320或17140【考点】方程思想和分类思想的应用【分析】∵甲、乙、丙三个圆柱形容器底面半径之比为1：2：1，注水1分钟，乙的水位上升56cm ， ∴注水1分钟，甲、丙的水位上升103cm. 设开始注入t 分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm. 甲与乙的水位高度之差0.5cm 时有三种情况： ①乙的水位低于甲的水位时，有5310.565-=⇒=t t （分钟）. ②甲的水位低于乙的水位，甲的水位不变时，∵5910.565-=⇒=t t （分钟），1096>535⨯=，∴此时丙容器已向甲容器溢水. ∵103532÷=（分钟），535624⨯=（cm ），即经过32分钟丙容器的水到达管子底端，乙的水位上升54cm ， ∴55333210.546220⎛⎫+⨯--=⇒= ⎪⎝⎭t t （分钟）. ③甲的水位低于乙的水位，乙的水位到达管子底端，甲的水位上升时， ∵乙的水位到达管子底端的时间为35515522464⎛⎫+-÷÷= ⎪⎝⎭（分钟）， ∴10151715120.53440⎛⎫--⨯-=⇒= ⎪⎝⎭t t （分钟）. 综上所述，开始注入35或3320或17140分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm.12. （2015年浙江舟山4分）如图，在直角坐标系xOy 中，已知点A （0，1），点P 在线段OA 上，以AP 为半径的⊙P 周长为1. 点M 从A 开始沿⊙P 按逆时针方向转动，射线AM 交x 轴于点N （n ，0）. 设点M 转过的路程为m （0<<1m ）. 随着点M 的转动，当m 从13变化到23时，点N 相应移动的路径长为 ▲【答案】233. 【考点】单点和线动旋转问题；圆周角定理；等边三角形的判定和性质；含30度直角三角形的性质.【分析】∵以AP 为半径的⊙P 周长为1，∴当m 从13变化到23时，点M 转动的圆心角为120°，即圆周角为60°. ∴根据对称性，当点M 转动的圆心角为120°时，点N 相应移动的路径起点和终点关于y 轴对称.∴此时构成等边三角形，且030OAN ∠=.∵点A（0，1），即OA=1，∴1333ON==.∴当m从13变化到23时，点N 相应移动的路径长为323233⨯=.1. （2015年浙江杭州12分）如图，在△ABC中(BC>AC)，∠ACB=90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E（1）若13ADDB=，AE=2，求EC的长（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P，问：线段CP可能是△CFG的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由EA D BC【答案】解：（1）∵∠ACB=90°，DE⊥AC，∴DE∥BC.∴AD AEDB EC=.∵13ADDB=，AE=2，∴213EC=，解得6EC=.（2）①若1CFG ECD∠=∠，此时线段CP1为△CFG1的斜边FG1上的中线.证明如下：∵1CFG ECD∠=∠，∴11CFG FCP∠=∠.又∵1190CFG CG F∠+∠=︒，∴11190FCP PCG∠+∠=︒.∴111CG F PCG∠=∠. ∴111CP G P=.又∵11CFG FCP∠=∠，∴11CP FP=. ∴1111CP FP G P==.∴线段CP1为△CFG1的斜边FG1上的中线.②若2CFG EDC∠=∠，此时线段CP2为△CFG2的斜边FG2上的高线.证明如下：∵2CFG EDC ∠=∠，又∵DE ⊥AC ，∴90DEC ∠=︒. ∴90ECD EDC ∠+∠=︒. ∴290ECD CFG ECD EDC ∠+∠=∠+∠=︒. ∴CP 2⊥FG 2. ∴线段CP 2为△CFG 2的斜边FG 2上的高线.③当CD 为∠ACB 的平分线时，CP 既是△CFG 的FG 边上的高线又是中线.【考点】平行线分线段成比例的性质；直角三角形两锐角的关系；等腰三角形的判定；分类思想的应用.【分析】（1）证明DE ∥BC ，根据平行线分线段成比例的性质列式求解即可.（2）分C F G E C D∠=∠，CFG EDC ∠=∠和CD 为∠ACB 的平分线三种情况讨论即可.2. （2015年浙江杭州12分）方成同学看到一则材料，甲开汽车，乙骑自行车从M 地出发沿一条公路匀速前往N 地，设乙行驶的时间为t (h )，甲乙两人之间的距离为y (km )，y 与t 的函数关系如图1所示，方成思考后发现了图1的部分正确信息，乙先出发1h ，甲出发0.5小时与乙相遇，⋯⋯，请你帮助方成同学解决以下问题：（1）分别求出线段BC ，CD 所在直线的函数表达式；（2）当20<y <30时，求t 的取值范围；（3）分别求出甲、乙行驶的路程S 甲、S 乙与时间t 的函数表达式，并在图2所给的直角坐标系中分别画出它们的图象；（4）丙骑摩托车与乙同时出发，从N 地沿同一条公路匀速前往M 地，若丙经过错误！未找到引用源。

浙江新中考二轮专题——解答压轴题02圆的压轴题(解析版)

解答压轴题02圆的压轴题目录题型01 圆与其它知识的综合问题类型一圆与三角形的综合问题类型二圆与四边形的综合问题类型三圆与函数的综合问题题型02 圆的综合问题中的常见问题类型四圆背景下的图形变换问题类型五圆背景下的最值（隐圆）问题类型六圆背景下的定值问题题型01 圆与其它知识的综合问题类型一圆与三角形的综合问题1．（2024·浙江宁波·模拟预测）在一个三角形中，如果三个内角的度数之比为连续的正整数，那么我们把这个三角形叫做和谐三角形．(1)概念理解：若△ABC 为和谐三角形，且∠A <∠B <∠C ，则∠A = °，∠B = °，∠C = °．（任意写一种即可）(2)问题探究：如果在和谐三角形ABC 中，∠A <∠B <∠C ，那么∠B 的度数是否会随着三个内角比值的改变而改变？若∠B 的度数改变，写出∠B 的变化范围；若∠B 的度数不变，写出∠B 的度数，并说明理由．(3)拓展延伸：如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 为锐角，BD 为圆的直径，∠OBC =30°．过点A 作AE ⊥BD ，交直径BD 于点E ，交BC 于点F ，若AF 将△ABC 分成的两部分的面积之比为1:2，则△ABC 一定为和谐三角形吗？请说明理由．【答案】(1)30； 60； 90（答案不唯一）(2)∠B 的度数不变，等于60°，见详解(3)△ABC 一定为和谐三角形，见详解【分析】（1）设∠A:∠B:∠C =(n −1):n:(n +1)，其中n ≥2，n 为正整数，则∠B =180°×n (n−1)+n+(n+1)=180°×13=60°，n 可取不同的值，再计算即可；（2）设∠A:∠B:∠C =(n −1):n:(n +1)，其中n ≥2，n 为正整数，则∠B =180°×n (n−1)+n+(n+1)=180°×13=60°；（3）①当S △ACF =2S △ABF 时，连结OA ，OC ，过点O 作OG ⊥BC 于点G ，解△BOC 得OG =12r ，BG =CG =√32r ，由BC ⌢=BC ⌢得∠BAC =12∠BOC =60°，再证明∠AFB =60°=∠BAC ，则△ABF ∽△CBA ，得AB =r ，可证△AOB 为等边三角形，后面即可求证；②当S △ABF =2S △ACF 时，解法产生迁移，仿照类比即可．【详解】（1）解：由题意得：设∠A:∠B:∠C=(n−1):n:(n+1)，其中n≥2，n为正整数，∴∠B=180°×n(n−1)+n+(n+1)=180°×13=60°，可设n=2，由∠A:∠B:∠C=1:2:3，∴∠A=16×180°=30°，∠C=36×180°=90°，故答案为：30；60；90；（2）解：∠B的度数不变，由题意得：设∠A:∠B:∠C=(n−1):n:(n+1)，其中n≥2，n为正整数，∴∠B=180°×n(n−1)+n+(n+1)=180°×13=60°；所以，∠B的度数不变，且∠B=60°；（3）解：△ABC一定为和谐三角形.理由如下：分两种情况讨论：①当S△ACF=2S△ABF时，如答图1，连结OA，OC，过点O作OG⊥BC于点G.由OA=OB=OC=r，∠OBC=30°，可得∠OCB=30°，∠BOC=180°−30°−30°=120°，∴OG=12r，BG=CG=OB⋅cos30°=√32r，∴BC=2BG=√3r，∵BC⌢=BC⌢∴∠BAC=12∠BOC=60°，又∵S△ACF=2S△ABF，∴CF=2BF，∴BF=13BC=√33r.∵AF⊥BD，∠OBC=30°，∴∠AFB=60°=∠BAC，又∵∠ABF=∠CBA,∴△ABF∽△CBA，∴AB2=BF⋅BC，即∴AB2=√33r⋅√3r解得：AB=r，∴△AOB为等边三角形，∵AB⌢=AB⌢∴∠ACB=12∠AOB=30°，∴∠ABC=90°，∵30°:60°:90°=1:2:3，∴△ABC为和谐三角形；②当S△ABF=2S△ACF时，如答图2，连结OA,OC，过点O作OG⊥BC于点G.同理可得OA=OB=OC=r，BC=√3r，∠BAC=60°，BF=23BC=2√33r，△ABF∽△CBA，∴AB2=BF⋅BC，∴AB=√2r，∴△AOB为等腰直角三角形，∴∠ACB=12∠AOB=45°，∴∠ABC=75°，∵45°:60°:75°=3:4:5，∴△ABC为和谐三角形.综上所述，△ABC一定为和谐三角形.【点睛】本题考查了三角形内角和定理，圆周角定理，30°角的直角三角形，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解决本题的关键．2．（2024·浙江宁波·一模）已知：⊙O是△ABC的外接圆，连接BO并延长交AC于点D,∠CDB=3∠ABD．(1)如图1，求证：AC=AB；(2)如图2，点E是弧AB上一点，连接CE，AF⊥CE于点F，且∠BAF=∠ACE，求tan∠BCE的值；(3)在（2）的条件下，若EF=2，BC=8√2，求线段AB的长．【答案】(1)证明见解析(2)1(3)4√10【分析】（1）连接OC，根据三角形外角定理得∠CAB=2∠ABD，由圆心角是圆周角的一半得∠COB=4∠ABD，再用外角定理得∠ACO=∠ABD，两边加上等腰△OCB的两个相等底角得∠ACB=∠ABC，即得AC=AB；（2）根据△AGF和△CGB的内角和，根据对顶角相等及第（1）问结论，转化成与∠BAF，∠ACE，∠BCE相关的角，最后得到∠BCE=45°，即得tan∠BCE=1；（3）过A作AN⊥BC于N，连接AE，如图所示，根据（1）（2）中结论，由垂径定理及等腰直角三角形的判定与性质确定NM=NC=NB，设FA=FM=x，则AM=√2x，由三角形相似的判定与性质，根据相似比列方程求解得到AN、BN的值，在Rt△ABN中，由勾股定理求解即可得到答案．【详解】（1）证明：连接OC，如图所示：∵∠CDB=∠DAB+∠ABD，∠CDB=3∠ABD，∴∠DAB=2∠ABD，即∠CAB=2∠ABD，∵BC⌢=BC⌢，∴∠COB=2∠CAB，∴∠COB=4∠ABD，而∠COB=∠CDO+∠DCO，∴4∠ABD=∠CDB+∠ACO=3∠ABD+∠ACO，∴∠ACO=∠ABD，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠ACB=∠ACO+∠OCB=∠ABD+∠OBC=∠ABC，∴AC=AB；（2）解：设AB与CE交于G点，如图所示：∵∠AGF+∠AFG+∠GAF=180°=∠CGB+∠GBC+∠BCG，且∠AGF=∠CGB，∴∠AFG+∠GAF=∠GBC+∠BCG，∵AF⊥CE，∴∠AFG=90°，∴90°+∠GAF=∠GBC+∠BCG，由（1）知∠ACB=∠ABC=∠GBC，∴∠GBC=∠ACE+∠BCE，∴90°+∠GAF=∠ACE+∠BCE+∠BCG，∵∠BAF=∠ACE，即∠GAF=∠ACE，∴90°=∠BCE+∠BCG，即2∠BCE=90°，∴∠BCE=45°，∴tan∠BCE=tan45°=1；（3）解：过A作AN⊥BC于N，连接AE，如图所示：由（1）知AC=AB，由（2）知∠BCE=45°，∴NM=NC=NB=1BC=4√2，2∵∠AMF=∠CMN=45°，AF⊥CE∴△AFM是等腰直角三角形，即FA=FM，设FA =FM =x ，则AM =√2x ，∵∠ABC =∠ACB =∠E ，∠ANC =∠AFE =90°，∴△ANC ∽△AFE ，∴AN AF =NC FE ，即√2x+4√2x =4√22，解得x =4，∵在等腰Rt △AFM 中，FA =FM =4，MA =4√2，∴AN =AM +MN =8√2，在Rt △ABN 中，由勾股定理可得AB =√AN 2+NB 2=4√10．【点睛】本题综合考查圆综合，涉及外角性质、圆周角与圆心角的关系、圆周角定理及其推理、等腰三角形的性质、对顶角相等、解直角三角形、垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点；其中45°角与辅助线的配合与等角的正切值相等得到边的比值关系起重要作用．3．（2023·浙江温州·模拟预测）如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，AF 为∠BAC 的外角平分线，过点A ，C 及线段AB 上一点E 作圆O ，交射线AF 于点D ．(1)求证：DE =DC ．(2)试判断AD BE 是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．(3)作点A 关于CD 的对称点A ′，当点A ′落在△ADE 任一边所在直线上时，求所有满足条件的BE 长．【答案】(1)见解析(2)AD BE 是定值，AD BE =56(3)BE 的长为185或115【分析】（1）由四边形的外接圆可得∠ECD +∠EAD =180°，从而∠ECD =∠GAF ，又∠DEC =∠DAC ，再结合角平分线的定义可得∠ECD =∠DEC ，得证DE =DC ；（2）证明△BEC ∽△ADC ，根据相似三角形的性质即可解答；（3）分情况讨论：①当点A ′在边AD 所在直线上；②点A ′在边DE 所在直线上，分别求解即可．【详解】（1）证明：如图，∵⊙O是四边形AECD的外接圆，∴∠ECD+∠EAD=180°，∵∠GAF+∠EAD=180°，∴∠ECD=∠GAF．⌢=CD⌢，∵CD∴∠DEC=∠DAC．∵AF平分△ABC的外角∠GAC，∴∠GAF=∠CAF，∴∠ECD=∠DEC，∴DE=DC；（2）∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠GAC=∠B+∠ACB=2∠B，∵AF平分∠GAC，∠GAC=∠B，∴∠GAF=∠CAF=12∵∠BEC+∠AEC=180°，∠ADC+∠AEC=180°，∴∠BEC=∠ADC，∴△BEC∽△ADC，∴ADBE =ACBC=56，即ADBE 是定值，为ADBE=56．（3）①如图，当点A′在边AD所在直线上时，∵点A′与点A关于CD对称，∴CD⊥AA′，∴∠ADC=90°，∴AC是⊙O的直径，设⊙O与BC交于点H，连接AH，∴∠AHC=90°，即AH⊥BC，∵AB=AC，∴CH=12BC=12×6=3，∠HAC=12∠BAC，∵∠DAC=12∠GAC，∴∠DAH=∠DAC+∠HAC=12(∠GAC+∠BAC)=12×180°=90°，∵∠ADC=∠AHC=90°，∴四边形ADCH是矩形，∴AD=CH=3，∵ADBE =56，∴BE=65AD=65×3=185；②如图，当点A′在边DE所在直线上时，∵点A ′与点A 关于CD 对称，∴CD 是AA ′的垂直平分线，∴AC =A ′C =5，AD =A ′D ，∵CD =CD ，∴△ACD ≌△A ′CD (SSS )，∴∠DAC =∠DA ′C ，∵∠DEC =∠DAC ，∴∠DEC =∠DA ′C ，∴CE =CA ′=5．过点A 作AN ⊥BC 于点N ，过点C 作CM ⊥AB 于点M ，∵AB =AC ，AN ⊥BC ，∴CN =12BC =12×6=3，AN =√AC 2−CN 2=√52−32=4，∵S △ABC =12BC ⋅AN =12AB ⋅CM ，∴CM =BC⋅AN AB =6×45=245，∴在Rt △BCM 中，BM =√BC 2−CM 2=√62−(245)2=185，在Rt △ECM 中，EM =√CE 2−CM 2=√52−(245)2=75， ∴BE =BM −EM =185−75=115． ③当点A ′在边AE 所在直线上时，点A ′与点A 重合，点E 与点B 重合，不合题意．综上所述，符合条件的BE 的长为185或115．【点睛】本题考查圆的有关知识，相似三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，轴对称的性质．正确作出辅助线，综合运用相关知识，采用分类讨论思想是解题的关键．4．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图①，OA 是⊙O 的半径，点P 是OA 上一动点，过P 作弦BD ⊥弦AC ，垂足为E ，连结AB ，BC ，CD ，DA ．(1)求证：∠BAO =∠CAD ． (2)当OA ∥CD 时，求证：AC =BC ． (3)如图②，在（2）的条件下，连结OC ．①若△ABC 的面积为12，cos∠ADB =45，求△APD 的面积． ②当P 是OA 的中点时，求BDAC 的值．【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)①43，②5√714【分析】（1）延长AO 交圆⊙O 与F ，连接BF ，利用同弧所对的圆周角相等得出∠AOE =∠AFB ，进而可证△ABF ∽△AED ，进而可得∠BAO =∠CAD ．（2）连接CF ，由直径所对的圆周角为直角可得∠ACF =90°，∠AFC +∠FAC =90°，由平行的性质可得∠FAC =∠ACD ，根据等角得余角相等可得∠AFC =∠CDE ，由同弧所对的圆周角相等可得∠AFC =∠CBA ，∠CDE =∠CAB ，进而可得∠CBA =∠CAB ，即可证AC =BC ．（3）①由余弦的定义可得：DEAD=45，由勾股定理可得AE =35AD ，由同角的余弦相等可得CE BC=45，设CE =4a ，则BC =AC ，由勾股定理可得BE =3a ，进而AE =a ，由平行的性质可得OEDE =AECE =14，进而可求出PE =13a ，PD =53a ，由S △ABC =12×5a ×3a =12，求出a 2，进而根据三角形面积公式可求出△APD 的面积． ②过点O 作OH ⊥AC 于H ，根据垂径定理得AC =2AH =2CH ，结合中位线得E 是AH 的中点，设AE =k ，可求得BC =AC ，由勾股定理得BE =√7k ，进一步证得△AED ∽△BEC ，有AEBE =DECE解得DE ，则有BD ，即可求得BDAC ．【详解】（1）解：延长AO 交圆⊙O 与F ，连接BF ．∴∠ABF=90°，∵BD⊥AC与E，∴∠AED=∠ABF=90°，又∠AOE=∠AFB，∴△ABF∽△AED，∴∠BAF=∠EAD，即∠BAO=∠CAD．（2）连接CF，∵AF是⊙O的直径，∴∠ACF=90°，∴∠AFC+∠FAC=90°，∵OA∥CD，∴∠FAC=∠ACD，∵BD⊥AC与E，∴∠AED=90°∵∠CDE+∠ACD=90°∴∠AFC=∠CDE，又∵∠AFC=∠CBA，∠CDE=∠CAB ∴∠CBA=∠CAB（3）①∵cos∠ADB=45，∴DEAD =45，∴DE=45AD，∴AE=√AD2−DE2=35AD，∵∠ACB=∠ADB，∴CEBC =45，设CE=4a，则BC=5a=AC，∴BE=√BC2−CE2=3a，∵BC=AC=5a，∴AE=AC−EC=a，∴AD=53a，DE=43a，∵OP∥CD，∴OEDE =AECE=14，∴PE=13a，PD=53a，∴S△APD=12PD⋅AE=12×53a×a=56a2，∵S△ABC=12AC⋅BE=12×5a×3a=12解得：a2=2415，∴S△APD=56a2=56×2415=43．②过点O作OH⊥AC于H，∴AC=2AH=2CH，∴PE∥OH，∵P是OA的中点，∴E是AH的中点，设AE=k，则AH=2k，AC=4k，CE=3k，BC=AC=4k，∴BE=√BC2−CE2=√7k，∵∠ADB=∠ACB，∠AED=∠BEC，∴△AED∽△BEC，∴AEBE =DECE，∴DE=AE⋅CEBE =√7k=3√77k，∴BD=107√7k，∴BDAC =107√7k4k=5√714，故BDAC 的值为5√714．【点睛】本题主要考查同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角为直角、解直角三角形、勾股定理、垂径定理、三角形的中位线定理以及相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉圆的相关知识和相似三角形的性质．5．（2024·浙江·一模）如果过三角形一个顶点的线段将三角形分成两个三角形，其中的一个三角形与原三角形相似，且该三角形与原三角形的相似比为1:√2，则原三角形叫和谐三角形．(1)如图1，已知BD是△ABC中AC边上的中线，BC=2√2，AC=4，求证：△ABC是和谐三角形；(2)如图2，在5×5的方格纸中，A、B在格点上，请画出一个符合条件的和谐△ABC；(3)如图3，在（1）的条件下，作△ABD的外接圆⊙O，E是⊙O上一点，且满足AE⌢=AB⌢，连接DE，①设BD=x，BE=y，求y关于x的函数表达式；②当AE∥BC时，求⊙O的半径．【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①y =√2x 2−4√22；②√6+√303【分析】（1）由已知数据证明CD BC=BC AC，由∠BCD =∠ACB 证明△CBD ∽△CAB ，则问题可证；（2）根据和谐三角形和勾股定理在网格图中构造图形即可；（3）①由△CBD ∽△CAB ，得到∠CBD =∠CAB =∠BED ，AB =√2x ，利用圆内接四边形性质推导∠BDC =∠AEB =∠ABE 证明△DBC ∽△DAF ，用x 表示AF 则有AB =BF +AF =2y x+4√2x=√2x ，解得y =√2x 2−4√22； ②连接OA 、OB ，证明△ABE 是等边三角形，则有y =√2x ，所以√2x =√2x 2−4√22，解得x =1+√5，y =√2+√10，再求出⊙O 的半径为√33AB =√6+√303；【详解】（1）∵BD 是AC 边上的中线，AC =4， ∴CD =2 ∴CDBC =2√2=√2，BCAC =2√24=√2，∴CD BC =BC AC=√2∵∠BCD =∠ACB ， ∴△CBD ∽△CAB ∴△ABC 是和谐三角形（2）答案如下图（画出一个△ABC 即可）理由：如图画线段BD，由勾股定理可知，AB=√10，AD=√5，AC=2√5，故可知ADAB =ABAC=√2，∠A=∠A，∴△ABD∽△ACB，故符合题意，同理如图取点D，连BD，可证明△ABD∽△ACB（3）①∵△CBD∽△CAB，∴BDAB =BCAC=√2∴∠CBD=∠CAB=∠BED，∴AB=√2BD，即AB=√2x∵AE⌢=AB⌢，∴∠AEB=∠ABE∵四边形ADBE内接于⊙O，∴∠ADB+∠AEB=∠ADB+∠BDC=180°，∴∠BDC=∠AEB=∠ABE，∴△DBC∽△BEF∴xy =2BF，∴BF=2yx∵∠BDC=ABE=∠ADE，∠CBD=∠CAB，∴△DBC∽△DAF∴2x =2√2，∴AF=4√2x，∴AB=BF+AF=2yx +4√2x=√2x，∴y=√2x 2−4√2 2②连接OA、OB、过O作OH⊥AB于点H∵AE∥BC，∴∠AEB=∠ABE=∠ADC=∠ABC=∠BAE，∴△ABE是等边三角形，∴y=√2x，∴√2x=√2x 2−4√22，解得x=1+√5，y=√2+√10∴AB=√2(1+√5)=√2+√10，∵AB=AE=BE，∴AE⌢=AB⌢=BE⌢，∴∠AOB=120°∵OA=OB，∴∠BOH=60°，∴OB=BHsin60°=2√3BH3=√33AB，∴⊙O的半径为√33AB=√6+√303【点睛】本题考查了圆的有关性质和相似三角形的性质和判定，解答时注意根据和谐三角形的定义进行判定．6．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图1，⊙O为锐角三角形ABC的外接圆，点D在劣弧BC上，点F在AE上，AD交BC于点E，且∠AFB−∠BFD=∠ACB，FG∥AC交BC于点G，BE=FG，连结BD，DG．设∠ACB=α．(1)用含α的代数式表示∠BFD．(2)求证：△BDE≌△FDG．(3)如图2，AD为⊙O的直径．①当AB⌢的长为2时，求AC⌢的长．②当OF:OE=4:11时，求cosα的值．【答案】(1)90−α2(2)见解析(3)①3；②58【分析】（1）联立∠AFB−∠BFD=∠ACB=α，∠AFB+∠BFD=180°，即可得出∠BFD的度数；（2）根据角的关系得出DB=DF，推出∠DFG=∠DBE，又BE=FG，即可根据SAS证明△BDE≌△FDG；（3）①用α表示出∠ABC的度数，根据度数比等于弧长比计算弧长即可；②连接OB，作BM⊥AD于M，设OE=11，OF=4，设DE=m，则OB=m+11，OM=3.5，BD=m+15，DM=m+7.5，求出m=5，则可得出答案．【详解】（1）解：∵∠AFB−∠BFD=∠ACB=α①，又∵∠AFB+∠BFD=180°②，②−①，得2∠BFD=180°−α，∴∠BFD=90°−α2；（2）证明：由（1）得∠BFD=90°−α2，∵∠ADB=∠ACB=α，∴∠FBD=180°−∠ADB−∠BFD=90°−α2，∴DB=DF，∵FG∥AC，∴∠CAD=∠DFG，∵∠CAD=∠DBE，∴∠DFG=∠DBE，在△BDE和△FDG中，{DB=DF∠DFG=∠DBEBE=FG，∴△BDE≌△FDG(SAS)；（3）解：①∵△BDE≌△FDG，∴∠FDG=∠BDE=α，∴∠BDG=∠BDF+∠EDG=2α，∵DE=DG，∴∠DGE=12(180°−∠FDG)=90°−α2，∴∠DBG=180°−∠BDG−∠DGE=90°−3α2，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°，∴∠ABC=∠ABD−∠DBG=3α2，∴AC⌢与AB⌢所对的圆心角度数之比为3:2，∴AC⌢与AB⌢的长度之比为3:2，∵AB⌢的长为2，∴AC⌢的长为3；②连接OB，作BM⊥AD于M，由题意知，△BDF和△BEF都是等腰三角形，∴EM=MF，设OE=11，OF=4，设DE=m，则OB=m+11，OM=3.5，BD=m+15，DM=m+7.5，∴OB2−OM2=BD2−DM2，即(m+11)2−3.52=(m+15)2−(m+7.5)2，解得m=5或m=−12（舍去），∴cos∠BDM=MDBD =BDAD=58．【点睛】本题主要考查圆的综合题，熟练掌握圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识是解题的关键．7．（2023·浙江宁波·三模）如图1，△ABC内接于⊙O，点D为劣弧AC⌢上一点，满足∠BCA=12∠D，过点B作AD的垂线，垂足为点F，交⊙O于点E．(1)求证：BA=BC；(2)若ABAC =56，求BFDF的值；(3)求证：DF=AF+CD；(4)如图3，若∠EBA=13∠EBC，AF=kCD，用含有k的代数式表示tan∠BAD．【答案】(1)见解析(2)BFDF =43(3)见解析(4)tan∠BAD=√1−k21−k【分析】（1）设∠ADC=x，则∠BCA=12x，而∠ABC=180°−x，得出∠BAC=∠BCA，根据等角对等边，即可得证；（2）连结BD，连结BO并延长交AC于点G，根据已知得出BGGC =43，进而根据正切的定义，即可求解．（3）在FD上截取FM=FA，则BM=BA=BC．设∠ABC=2θ，则∠AMC=180°−θ，且∠ADC=180°−2θ，得出∠CMD=∠DCM=θ，则DC=DM，即可得证；（4）在FD上截取FM=FA，则BM=BA=BC，连接BD,AE，根据条件证明△BDM≌△BDC(SAS)，可得∠ABE=∠EBM=∠DBM=∠DBC，再证明△BFD∽△AFE即可求解．【详解】（1）证明：设∠ADC=x，则∠BCA=12x，而∠ABC=180°−x，∴∠BAC=12x，即∠BAC=∠BCA，∴BA=BC．（2）如图1，连结BD，连结BO并延长交AC于点G，则BG⊥AC，即CG=AG．∵ABAC =56，∴BCGC =53，设BC=5k,GC=3k，则BG=4k，∴BGGC =43．∵AD⊥BE，∴BFDF =tan∠BDF=tan∠BCA=BGGC=43．（3）如图2，在FD上截取FM=FA，则BM=BA=BC．∴∠BAM=∠BMA=∠BMC=∠BCM设∠ABC=2θ，则∠BCM=∠BAM=360°−∠BAC4=90°−12θ，∠AMC=360°−2θ4×2=180°−θ，∠ADC=180°−2θ，∴∠CMD=180°−∠AMC=θ，∠BCD=180°−∠BAD=90°+12θ∴∠MCD=∠BCD−∠BCM=θ∴DC=DM，∴FD=FM+MD=AF+CD．（4）如图3，在FD上截取FM=FA，则BM=BA=BC，连接BD,AE．∴BM=BA=BC∴∠EBA=∠EBM，∵BA⌢=BC⌢，∴∠BDA=∠BDC，∵DC=DM，BD=BD∴△BDM≌△BDC(SAS)∵∠EBA=13∠EBC，∴∠ABE=∠EBM=∠DBM=∠DBC．∴AE⌢=CD⌢，即AE=CD设CD=a，则AF=ka，AE=CD=a，∴EF =√AE 2−AF 2=√1−k 2x ，DF =AF +CD =(k +1)x ∵BA⌢=BA ⌢ ∴∠AFE =∠DFB∴△BFD ∽△AFE ， ∴BFAF =DFEF 即BFkx =√1−k 2x． ∴BF =√1−k 2∴tan∠BAD =BF AF=√1−k 21−k．【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，弧与圆周角的关系，熟练掌握三角函数关系是解题的关键．8．（2024·浙江·一模）如图1，AB 是半圆O 的直径，点C ，D 是半圆O 上的点，且AC ∥OD ，连结BC 交OD 于点E ．(1)求证：OD ⊥BC ．(2)如图2，连结CD ，AD ，BD ，若sin∠ABC =13，求△ACD 与△OBD 的面积之比．(3)如图3，连结BD ，作CP ∥BD 交AB 于点P ，连结PD ．求证：BD 2=BO ⋅BP ．【答案】(1)证明见解析； (2)23；(3)证明见解析．【分析】（1）由AB 是半圆O 的直径得∠ACB =90°，再根据平行线的性质可得∠OEB =90°，即可求证；（2）由OA =OB 可得S △AOD =S △BOD ，由sin∠ABC =13可得ACOD =23，由AC ∥OD 根据平行线之间距离相等可得S △ACD S △AOD=AC OD =23，即可得到S △ACD S △OBD=23；（3）连接CD ，先证明点P 、O 、D 、C 四点共圆，得到∠CPD =∠COD ，进而可得∠BOD =∠BDP ，又由∠OBD =∠DBP ，可得△OBD ∽△DBP ，即得到BO BD =BDBP ，即可求证．【详解】（1）证明：∵AB 是半圆O 的直径， ∴∠ACB =90°， ∵AC ∥OD ，∴∠OEB =∠ACB =90°， ∴OD ⊥BC ；（2）解：∵OA =OB ， ∴S △AOD =S △BOD ， ∵AB 是半圆O 的直径， ∴∠ACB =90°， ∵sin∠ABC =13，∴AC AB=13，∵AB =2OD ， ∴AC OD=23，∵AC ∥OD ， ∴S △ACD S △AOD =AC OD =23，∴S△ACD S △OBD=23；（3）解：连接CD ，∵OD ⊥BC ， ∴CD =BD ， ∴CD ⏜=BD ⏜， ∴∠1=∠2， ∵CP ∥BD ，∴∠1=∠3，∠CPD =∠BDP ，∴∠1=∠2=∠3，∴∠DCP=2∠2，∵∠BOD=2∠2，∴∠DCP=∠BOD，∵∠BOD+∠POD=180°，∴∠DCP+∠POD=180°，∴∠CPO+∠CDO=180°，∴点P、O、D、C四点共圆，∴∠CPD=∠COD，∴∠COD=∠BDP，∵∠COD=2∠1=2∠2，∴∠COD=∠BOD，∴∠BOD=∠BDP，又∵∠OBD=∠DBP，∴△OBD∽△DBP，∴BOBD =BDBP，即BD2=BO⋅BP．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，圆内接四边形的判定，掌握圆的有关性质是解题的关键．9．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，△ABC内接于⊙O（∠ACB>90°），连接OA，OC．记∠BAC=α，∠BCO=β，∠BAO=γ．(1)证明：α+β=90°．(2)设OC与AB交于点D，⊙O半径为2，①若β=γ+45°，AD=2OD，求由线段BD，CD，弧BC围成的图形面积S．②若α+2γ=90°，设sinα=k，用含k的代数式表示线段OD的长．【答案】(1)见解析(2)①π−√33；②2k+1【分析】（1）连接OB ，利用圆周角定理可得∠BOC =2α，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结论；（2）①利用（1）的结论与已知条件可得γ+α=45°，则△OAC 为等腰直角三角形，利用直角三角形的边角关系可得∠BAO =30°，作DE ⊥OB 于E ，则OE =EB =12OB =1，利用等腰直角三角形的性质和直角三角形的边角关系可得DE 的长，利用S =S 扇形OCB −S △DBO 计算即可得解；②延长AO 交⊙O 于G ，连接BG ，由圆周角定理可得∠BOG =2∠BAO =2γ，利用等腰三角形的性质可得∠BOG =∠OBC ，作OF ⊥BC 于F ，则CF =BF =12BC ，∠COF =12∠BOC =α，则CF =OC ⋅sinα=k ，从而得出BC =2k ，设OD =x ，则CD =OC −OD =2−x ，证明△DAO ∽△DBC ，由相似三角形的性质可得OA BC=OD CD，代入计算即可得出答案．【详解】（1）证明：如图，连接OB ，，∵∠BOC =2∠BAC ，∠BAC =α，∴∠BOC =2α， ∵OC =OB ，∴∠OCB =∠OBC =β，∵∠BOC +∠OCB +∠OBC =180°， ∴2α+2β=180°， ∴α+β=90°；（2）解：①∵β=γ+45°，α+β=90°， ∴90°−α=γ+45°， ∴γ+α=45°，∵ ∠BAC =α，∠BAO =γ， ∴∠OAC =∠BAC +∠BAO =45°， ∵OA =OC ，∴∠OAC =∠OCA =45°， ∴∠AOC =90°，∵AD=2OD，∴sin∠OAD=ODAD =12，∴∠OAD=30°，∴∠BAC=15°，∴∠BOC=2∠BAC=30°，∵OA=OB，∴∠OBA=∠BAO=30°，∴∠DOB=∠DBO=30°，∴DO=DB，如图，作DE⊥OB于E，则OE=EB=12OB=1，，∵tan∠DOB=DEOE，∴√33=DE1，∴DE=√33，∴S△DOB=12OB⋅DE=√33，∵S扇形OCB =30π×22360=π3，∴S=S扇形OCB −S△DBO=π−√33；②∵α+2γ=90°，α+β=90°，∴β=2γ，如图，延长AO交⊙O于G，连接BG，，∵∠BOG=2∠BAO=2γ，∴∠BOG=∠OCB，∵∠OBC=∠OCB，∴∠BOG=∠OBC，∴BC∥AG，作OF⊥BC于F，则CF=BF=12BC，∠COF=12∠BOC=α，∵sinα=k，sinα=CFOC，∴CF=OC⋅sinα=k，∴CF=2k，设OD=x，则CD=OC−OD=2−x，∵BC∥AG，∴△DAO∽△DBC，∴OABC =ODCD，∴22k =x2−x，解得：x=2k+1，∴OD=2k+1．【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，通过添加恰当的辅助线以充分利用圆周角定理是解题的关键．10．如图所示，在⊙O的内接△AMN中，∠MAN=90°，AM=2AN，作AB⊥MN于点P，交⊙O于另一点B，C是AM⌢上的一个动点（不与A，M重合），射线MC交线段BA的延长线于点D，分别连接AC和BC，BC交MN于点E．(1)求证：△CMA∽△CBD．(2)若MN=10，MC⌢=NC⌢，求BC的长．(3)在点C运动过程中，当tan∠MDB=34时，求MENE的值．【答案】(1)证明见解析(2)3√10(3)32【分析】（1）利用圆周角定理得到∠CMA=∠ABC，再利用两角分别相等即可证明相似；（2）连接OC，先证明MN是直径，再求出AP和NP的长，接着证明△COE∽△BPE，利用相似三角形的性质求出OE和PE，再利用勾股定理求解即可；（3）先过C点作CG⊥MN，垂足为G，连接CN，设出GM=3x，CG=4x，再利用三角函数和勾股定理分别表示出PB和PG，最后利用相似三角形的性质表示出EG，然后表示出ME和NE，算出比值即可．【详解】（1）解：∵AB⊥MN，∴∠APM=90°，∴∠D+∠DMP=90°，又∵∠DMP+∠NAC=180°，∠MAN=90°，∴∠DMP+∠CAM=90°，∴∠CAM=∠D，∵∠CMA=∠ABC，∴△CMA∽△CBD．（2）连接OC，∵∠MAN=90°，∴MN是直径，∵MN=10，∴OM=ON=OC=5，∵AM=2AN，且AM2+AN2=MN2，∴AN=2√5，AM=4√5，∵S△AMN=12AM⋅AN=12MN⋅AP，∴AP=4，∴BP=AP=4，∴NP=√AN2−AP2=2，∴OP=5−2=3，∵MC ⌢=NC ⌢， ∴OC ⊥MN ， ∴∠COE =90°， ∵AB ⊥MN ， ∴∠BPE =90°， ∴∠BPE =∠COE ，又∵∠BEP =∠CEO ， ∴△COE ∽△BPE ∴CO BP =OE PE=CE BE，即54=OE PE=CE BE由OE +PE =OP =3， ∴OE =53，PE =43，∴CE =√OC 2+OE 2=√52+(53)2=53√10，BE =√BP 2+PE 2=√42+(43)2=43√10，∴BC =53√10+43√10=3√10．（3）过C 点作CG ⊥MN ，垂足为G ，连接CN ，则∠CGM =90°， ∴∠CMG +∠GCM =90°， ∵MN 是直径， ∴∠MCN =90°， ∴∠CNM +∠DMP =90°， ∵∠D +∠DMP =90°，∴∠D=∠CNM=∠GCM，∵tan∠MDB=34，∴tan∠CNM=tan∠GCM=34，∵tan∠GCM=GMCG∴设GM=3x，CG=4x，∴CM=5x，∴CN=20x3，NG=16x3，∴NM=25x3，∴OM=ON=25x6，∵AM=2AN，且AM2+AN2=MN2，∴AN=5√53x，AM=10√53x，∵S△AMN=12AM⋅AN=12MN⋅AP，∴AP=103x=PB，∴NP=53x，∴PG=163x−53x=113x，∵∠CGE=∠BPE=90°，∠CEG =∠BEP，∴△CGE∽△BPE，∴CGBP =GEPE=CEBE，即4x103x=GEPE=CEBE∴GE=2x，PE=53x∴ME=5x，NE=10x3，∴ME:NE=3:2，∴MENE 的值为32．【点睛】本题考查了圆的相关知识、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识，涉及到了动点问题，解题关键是构造相似三角形，正确表示出各线段并找出它们的关系，本题综合性较强，属于压轴题．11．（2024·浙江温州·一模）如图1，锐角△ABC内接于⊙O，点E是AB的中点，连结EO并延长交BC于D，点F在AC上，连结AD，DF，∠BAD=∠CDF．(1)求证：DF∥AB．(2)当AB=9，AF=FD=4时，①求tan∠CDF的值；②求BC的长．(3)如图2，延长AD交⊙O于点G，若GC⌢:CA⌢:AB⌢=1:4:3，求S△BEDS△DFC的值．【答案】(1)证明见详解(2)①tan∠CDF=√173；②BC=545(3)S△BEDS△DFC =3√3+52【分析】（1）由垂径定理可得∠B=∠BAD，结合已经条件，即可得∠B=∠CDF，即可证DF∥AB（2）先证明△CDF∽△CBA，得出CF，再证明△CDF∽△CAD，得出CD的值，再由相似的性质即可求出BC 的值，进一步求出BD的值，再利用勾股定理即可求出DE，再根据正切的定义即可求出tan∠CDF的值．（3）根据圆周角定理可得：∠1:∠B:∠C=1:4:3设∠1=α，则∠B=4α，∠C=3α，则∠ADB=∠1+∠C=4α，即可证△ADB为等边三角形，即可求出α．过点E作EM⊥BC交BC于M，过点A作AP⊥BC交BC于P，过点F作FN⊥BC交BC于N，设BD=2m，利用三角函数求出EM和BD的值，即可得出S△BED，设FN=CN=n，利用线段的和差关系得出m关于n的代数式，进一步求出S△DFC，然后比较即可求出答案．【详解】（1）证明：∵点E是AB的中点，且DE过圆心，∴AB⊥DE，∴AD=BD，∴∠B=∠BAD，有∵∠BAD=∠CDF，∴∠B=∠CDF，∴DF∥AB．（2）∵DF∥AB，∴△CDF∽△CBA，∴DFBA =CFCA，即：49=CF4+CF，解得：CF=165，又∵AF=FD，∴∠CAD=∠FDA，∵DF∥AB，∴∠FDA=∠BAD=∠CDF，∴∠CAD=∠CDF，又∠C=∠C∴△CDF∽△CAD，∴CDCA =CFCD，∴CD2=CF⋅AC=165×(165+4)=57625，∴CD=245，∵△CDF∽△CBA，∴DCBC =DFBA，即245BC =49，∴BC =545，∴BD =BC −DC =545−245=6，∵AE =12AB =92，在△ADE 中， DE =√AD 2−AE 2=√62−(92)2=3√72， ∴tan∠CDF =tan∠EAD =DE AE =3√7292=√73，综上，tan∠CDF =√173；BC =545．（3）∵GC⌢:CA ⌢:AB ⌢=1:4:3， ∴它们所对圆心角度数比为1:4:3．根据同弧所对圆周角为原心角的一半，可知它们所对的圆周角度数比为1:4:3即∠1:∠B:∠C =1:4:3设∠1=α，则∠B =4α，∠C =3α，则∠ADB =∠1+∠C =4α，∵AD =BD ，∴∠BAD =∠B =4α，∴∠ADB =∠BAD =∠B =4α，∴△ADB 为等边三角形，∴4α=60°，∴α=15°，∴∠C =3α=45°，过点E 作EM ⊥BC 交BC 于M ，过点A 作AP ⊥BC 交BC 于P ，过点F 作FN ⊥BC 交BC 于N ，设BD =2m ，∵∠B =60°，∠BED =90°，∴BE =BD ⋅cos 60°=2m ×12=m ，EM =BE ⋅sinB =m ⋅sin60°=m ×√32=√32m ， ∴S △BED =12EM ⋅BD =12×√32m ⋅2m =√32m 2，同理AP =AB ⋅sinB =2m ×sin60°=2m ×√32=√3m ，∵∠C =∠PAC =45°，∴PC=AP=√3m，∵PD=12BD=m，∴CD=PC−PD=(√3−1)m，∵∠C=∠NFC=45°，设FN=CN=n，∴DF∥AB，∠FDN=∠B=60°，∴DN=FNtan60°=√33n，又∵CD=DN+NC，即(√3−1)m=√33n+n，解得：n=(2√3−3)m，∴S△DFC=12DC⋅FN=12×(√3−1)m×(2√3−3)m=9−5√32m2，∴S△BEDS△DFC =√32m29−5√32=5+3√32．【点睛】本题主要考查了圆与三角形的综合题，垂径定理，平行线的判定以及性质，相似的判定以及性质，正切的定义，圆周角定理，等边三角形的判定以及性质，解直角三角形，勾股定理等知识，综合性较强，正确的作出辅助线是解题的关键．12．（2023·浙江杭州·二模）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC、AC上的点为D、E，连接AD、BE，线段BE与线段AD交于点Q．(1)①求证：DB2=DQ⋅DA；②如果AQQD=3，求∠C的正切值：(2)如果BQ=3，EQ=2，求△ABC的面积．【答案】(1)①见解析；②2(2)152√5【分析】（1）①证明BDQ∽△ADB即可证明；②设DQ=k，根据等腰三角形“三线合一”表示出CD，即可利用ADCD求出答案；（2）连接CQ，根据勾股定理求出CE，AE=x，再根据勾股定理求出AC，即可利用面积公式求出面积．【详解】（1）①证明：∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴∠BAD=∠CAD，∵DE⌢=DE⌢，∴∠CAD=∠CBE，∴∠CBE=∠BAD，∵∠BDQ=∠ADB，∴△BDQ∽△ADB，∴DQBD =BDAD，∴DB2=DQ⋅DA．②解：设DQ=k，∵AQQD=3，∴AQ=3k，∴AD=4k，∵DB2=DQ⋅DA=4k2，∴BD=2k，∵AB=AC，∴CD=BD=2k，∴tanC=ADCD =4k2k=2．（2）解：如图，连接CQ，∵AD⊥BC，BD=CD，∴CQ=BQ=3，∵QE=2，∴CE=√CQ2−QE2=√5，设AE=x，∴AC=x+√5=AB，在Rt△ABE中，AE2+BE2=AB2，即x2+52=(x+√5)2，解得：x=2√5，∴AC=3√5∴S△ABC=12AC⋅BE=12×3√5×5=152√5．【点睛】本题考查了圆的性质的应用，等腰三角形性质、勾股定理的性质的应用,三角形面积的计算，相似三角形的判定和性质，求三角函数值，解题的关键是作出辅助线，数形结合，熟练掌握相关的判定和性质．13．（2023·浙江宁波·一模）【教材呈现】以下是浙教版八年级下册数学教材第85页的部分内容．先观察下图，直线l1∥l2，点A，B在直线l2上，点C1，C2，C3，C4在直线l1上．△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4这些三角形的面积有怎样的关系？请说明理由。