潍坊2014二模数学试题文科及理科

高三数学(文)
2014．04
本试卷共5页，分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分．考试时间120分钟．
第I 卷(选择题 共50分)
注意事项：
1．答卷前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的、号、考试科目填写在规定的位置上。

2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．第Ⅱ卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不得使用涂改液，胶带纸、修正带和其他笔。

4．不按以上要求作答以及将答案写在试题卷上的，答案无效。

一、选择题：本大题共10小题。

每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.若复数z 满足()1i z i z +=，则的虚部为 A.2i - B.12- C.2i D.12
2.已知集合{}(){}2210,l 10,A x x B x o
x A B g =-≤=-≤⋂=则 A.[]0,2 B.(]0,2 C.(]1,2
D.()1,2 3.下列结论正确的是
A.若向量a//b ，则存在唯一的实数a b λλ=使
B.已知向量,a b 为非零向量，则“,a b 的夹角为钝角”的充要条件是“0a b •<”
C.“若3π
θ=，则1cos 2θ=”的否命题为“若132πθθ≠≠，则cos ” D.若命题22:,10:,10p x R x x p x R x x ∃∈-+<⌝∀∈-+>，则
4.为了调查学生携带手机的情况，学校对高一、高二、高三三个年级的学生进行分层抽样调查.已知高一有学生1000人、高二有1200人；三个年级总共抽取了66人，其中高一抽取了20人，则高三年级的全部学生数为
A.1000
B.1100
C.1200
D.1300
4.已知()()()21sin ,42f x x x f x f x π⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭
为的导函数，则()'y f x =图象大致是
6.已知,αβ表示平面，,m n 表示直线，,m βαβ⊥⊥，给出下列四个结论；
①,n n αβ∀⊂⊥；②,n m n β∀⊂⊥；③,//n m n α∀⊂；④,n m n α∃⊂⊥. 则上述结论中正确的个数为
A.1
B.2
C.3
D.4
7.已知函数()2f x x x =+，执行右边的程序框图，若输出的结果是
3132
，则判断框中的条件应是
A. 30n ≤
B. 31n ≤
C. 32n ≤
D. 33n ≤ 8.已知双曲线()22
22:10x y C a b a b
-=>0,>的左、右焦点分别是12F F 、，过2F 垂直x 轴的直线与双曲线C 的两渐近线的交点分别是M 、
N ，若1MF ∆N 为正三角形，则该双曲线的离心率为
A.21
B.3
C.13
D.23+
9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的
表面积为
A.43
π B.
323π C.4π D.16π
10.已知定义在R 上的函数()y f x =对任意的x 满足()()1,11
f x f x x +=--≤<当时，()3f x x =.函数()1,0,1,0a o
g x x g x x x
⎧>⎪=⎨-<⎪⎩，若函数()()()[)6h x f x g x =--+∞在，上
有6个零点，则实数a 的取值围是
A.()1077⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭，，
B.(]117997⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭，，
C.(]11199⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭，
，
D.[)117997⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦，， 第II 卷（非选择题 共100分）
注意事项：
将第II 卷答案用0.5mm 的黑色签字笔答在答题卡的相应位置上.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11.已知12,e e 是夹角为60的两个单位向量.若向量1232a e e =+，则a =________。

12.函数()()12301x f x a a a +=->≠且的图象经过的定点坐标是_________.
13.已知抛物线()2
:20C y px p =>上一点()()2,0P m m >，若P 到焦点F 的距离为4，则以P 为圆心且与抛物线C 的准线相切的圆的标准方程为_______.
14.曲线sin 2222y x x A B ππππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
在点，，，处的切线分别为1212,,l l l l ，设及直线220x y -+=围成的区域为D （包括边界）.设点(),P x y 是区域D 任意一点，则x+2y 的最大值为________.
15.如右图所示，位于东海某岛的雷达观测站A ，发现其北偏东45，
与观测站A 距离202海里的B 处有一货船正匀速直线行驶，半小时
后，又测得该货船位于观测站A 东偏北()
045θθ<<的C 处，且4cos 5
θ=.已知A 、C 两处的距离为10海里，则该货船的船速为________海里/小时.
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分12分）
已知函数()()sin 0,04f x A x A πωω⎛⎫=+
>> ⎪⎝⎭的振幅为2，其图象的相邻两个对称中心之间的距离为3
π. （I ）若2
6,03125f πααπ⎛⎫
+=<< ⎪⎝⎭，求sin α； （II ）将函数()y f x =的图象向右平移6
π个单位得到()y g x =的图象，若函数()11036y g x k π⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦
在，上有零点，数k 的取值围.
17.（本小题满分12分）
某学校随机抽取了100名学生进行身高调查，得到如下统计表：
（I ）求表中b 、c 、d 的值；
（II ）根据上面统计表，估算这100名学生的平均身高x ；
（III ）若从上面100名学生中，随机选取2名身高不低于185cm 的学生，求这2名学生中至少有1名学生身高不低于195cm 的概率.
18.（本小题满分12分）
直三棱柱111ABC A B C -中，111
,,AB AC AC AA AC AC ⊥=与交于一点P ，延长1B B 到D ，使得BD=112
AA ，连接DC ，DA 得到如图所示几何体. （I ）求证：BP//平面ACD ；
（II ）求证：平面1ABC ⊥平面11A B C .
19. （本小题满分12分）
已知等差数列{}135468,42,69n a a a a a a a ++=++=；等比数列{}1,2n b b =，()2123log 6bb b =.
（I ）求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式；
（II ）设n n n c a b =-，求数列{}
n c 的前n 项和n T .
20.（本小题满分13分） 如图，椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的短轴长为2，点P 为上顶点，圆222:O x y b +=将椭圆C 的长轴三等分，直线()4:05
l y mx m =-≠与椭圆C 交于A 、B 两点.
（I ）求椭圆C 的方程；
（II ）求证△APB 为直角三角形，并求该三角形面积的最
大值.
21. （本小题满分14分）
已知函数()()2
ln 01x f x a x x a a a =+->≠且. （I ）求函数()f x 的单调区间；
（II ）比较()()11f f -与的大小；
（III ）对任意[]()()1212111x x f x f x e ∈--≤-，，，恒成立，求a 的取值围.
高三数学（理）
本试卷共4页，分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．
第I 卷（选择题共50分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的、号、考试科目填写在规定的位置上。

2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不得使用涂改液，胶带纸、修正带和其他笔。

4．不按以上要求作答以及将答案写在试题卷上的，答案无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数z 满足 (1)i z i +⋅=，则z 的虚部为
A ． 2i -
B ． 12-
C ．2i
D ．12
2．设集合 {}{}|213,|lg(1)A x x B x y x =-≤==-，则 A B =
A.(1,2)
B.[1,2]
C.(1,2]
D.[1,2)
3．下列结论正确的是
A.若向量a ∥b ，则存在唯一的实数 λ使 a b λ=
B.已知向量a ，b 为非零向量，则“a ，b 的夹角为钝角”的充要条件是“a ⋅b<0’’ c ．“若 3π
θ=，则 1cos 2θ=
”的否命题为“若 3πθ≠，则 1cos 2θ≠” D ．若命题 2:,10p x R x x ∃∈-+<，则 2:,10p x R x x ⌝∀∈-+>
4．已知 21()sin(),'()42
f x x x f x π=
++为 ()f x 的导函数，则 '()y f x =的图象大致是
5．已知 ,αβ表示平面，m ，n 表示直线， ,m βαβ⊥⊥，给出下列四个结论：
① ,n n αβ∀⊂⊥；② ,n m n β∀⊂⊥；③,//n m n α∀⊂；④ ,n m n α∃⊂⊥， 则上述结论中正确的个数为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6．已知函数 2()f x x x =+，执行右边的程序框图，若输出的结果是
3132
，则 判断框中的条件应是
A. 30n ≤ B ． 31n ≤
C ． 32n ≤
D ． 33n ≤ 7．已知双曲线 22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别是1F 、2F 过 2F 垂直x 轴的直线与双曲线C 的两渐近线的交点分别是M 、N ，若
1MF N ∆为正三角形，则该双曲线的离心率为
A ． 213
B ． 3
C ． 13
D ． 23+
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接
球的表面积为
A ． 43
π B ．
323π C ． 4π D ． 16π 9．在区间[-3，3]上任取两数x ，y ，使 2
10x y --<
成立的概率为
A ． 827
B ． 727
C ． 16
D ． 427
10．已知定义在R 上的函数 ()y f x =对任意的x 满足 (1)()f x f x +=-，当-l ≤x<l
时， 3()f x x =．函数 log ,0,()1,0a x x g x x x
⎧>⎪=⎨-<⎪⎩若函数在 [)6,-+∞上有6个零点，则实
数a 的取值围是
A ． 1
(0,)(7,)7+∞ B. (]11,7,997⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C. (]1
,1,1,99⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ． [)11,7,997⎛⎤ ⎥⎝⎦
第Ⅱ卷 （非选择题共1 00分）
注意事项：
将第Ⅱ卷答案用0. 5mm 的黑色签字笔答在答题卡的相应位置上，
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
1 1．已知 12,e e 是夹角为 60的两个单位向量，若向量 1232a e e =+，则 a =________.
12.现将如图所示的5个小正方形涂上红、黄两种颜色，其中3个涂
红色，2个涂黄色，若恰有两个相邻的小正方形涂红色，则不同的
涂法种数共有_________．（用数字作答）
13.已知抛物线 2:2(0)C y px p =>上一点 (2,)(0)P m m >，若P 到焦点F 的距离为4，则以P 为圆心且与抛物线C 的准线相切的圆的标准方程为_________．
14．曲线 sin y x =在点 (,),(,)2222A B ππππ
-处的切线分别为 12,l l ,设 12,l l 及直线 x-2y+2=0围成的区域为D(包括边界)．设点P(x ，y)是区域D 任意一点，则x+2y 的最大值为________.
15.如右图所示，位于东海某岛的雷达观测站A ，发现其北偏东 45，与
观测站A 距离 202海里的B 处有一货船正匀速直线行驶，半小时
后，又测得该货船位于观测站A 东偏北 (045)θθ<<的C 处，且
4cos 5
θ=，已知A 、C 两处的距离为10海里，则该货船的船速为 海里／小时___________．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16.（本小题满分12分）
已知函数 ()sin()(0,0)4f x A x A πωω=+
>>的振幅为2，其图象的相邻两个对称中心之间的距离为 3
π． (I)若 26(),03125
f a a ππ+=<<，求sina ； (Ⅱ)将函数 ()y f x =的图象向右平移 6
π个单位得到 ()y g x =的图象，若函数 ()y g x k =-是在 110,36π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上有零点，数 k 的取值围． 17．（本小题满分1 2分）
直三棱柱 111ABC A B C -中，,2,AB BC BC ⊥=，
112,BB AC =与1A C 交于一点P ，延长 1B B 到D ，使得BD=
AB ，连接DC ，DA ，得到如图所示几何体．
(I)若AB=1，求证：BP ∥平面ACD,
(Ⅱ)若直线 1CA 与平面 11BCC B 所成的角为 30，求
二面角 1D AC C --的余弦值．
18．（本小题满分12分）
某超市制定“五一”期间促销方案，当天一次性购物消费额满1000元的顾客可参加“摸球抽奖赢代金券”活动，规则如下：
①每位参与抽奖的顾客从一个装有2个红球和4个白球的箱子中逐次随机摸球，一次只摸出一个球；
②若摸出白球，将其放回箱中，并再次摸球；若摸出红球则不放回，工作人员往箱中补放一白球后，再次摸球；
③如果连续两次摸出白球或两个红球全被摸出，则停止摸球．
停止摸球后根据摸出的红球个数领取代金券，代金券数额Y 与摸出的红球个数x 满足如下关系：Y=144+72x(单位：元)．
(I)求一位参与抽奖顾客恰好摸球三次即停止摸球的概率； (Ⅱ)求随机变量Y 的分布列与期望．
19．（本小题满分12分）
已知等差数列 {}135468,42,69n a a a a a a a ++=++=;等比数列 {}1,2n b b =， 2123log ()6b b b =．
(I)求数列 {}n a 和数列 {}n b 的通项公式；
(Ⅱ)设 n n n c a b =-，求数列{}
n c 的前n 项和 n T ．
20.（本小题满分13分） 如图，椭圆 22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的短轴长为2，点P 为上顶点，圆 222
:O x y b +=将椭圆C 的长轴三等分，直线 4:(0)5
l y mx m =-≠与椭圆C 交于A 、B 两点，PA 、PB 与圆O 交于M 、N 两点．
(I)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)求证△APB 为直角三角形；
(Ⅲ)设直线MN 的斜率为n ，求证：
m n
为定值． 21．（本小题满分14分）
已知函数 2()ln (01)x f x a x x a a a =+->≠且．
( I)求函数 ()f x 的单调区间；
(Ⅱ)a>l ，证明：当 (0,)x ∈+∞时， ()()f x f x >-； (Ⅲ)若对任意 1212,,x x x x ≠，且当 12()()f x f x =时，有 120x x +<，求a 的取值围，。