备战2017高考技巧大全之高中数学黄金解题模板

【高考地位】

含参不等式的恒成立问题越来越受到高考命题者的青睐，由于新课标高考对导数应用的加强，这些不等式的恒成立问题往往与导数问题交织在一起，这在近年的高考试题中不难看出这个基本的命题趋势. 解决这类问题的关键是揭开量词隐含的神秘面纱还函数问题本来面目，在高考中各种题型多以选择题、填空题和解答题等出现，其试题难度属高档题.

【方法点评】

方法一 分离参数法

使用情景：对于变量和参数可分离的不等式

解题模板：第一步 首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可

以根据不等式

的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；

第二步 先求出含变量一边的式子的最值； 第三步 由此推出参数的取值范围即可得出结论.

例1 已知函数()2

ln f x kx x =-，若()0f x >在函数定义域内恒成立，则的取值范围是（ ）

A ．1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭

B ．11,2e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭

C ．1,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭

D ．1,2e ⎛⎫

+∞ ⎪⎝⎭

【答案】D 【解析】

考点：函数的恒成立问题．

【方法点晴】本题主要考查了函数的恒成立问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值与最值、恒成立的分离参数构造新函数等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想，试题有一定的思维深度，

属于中档试题，解答中根据函数的恒成立，利用分离参数法构造新函数，利用新函数的性质是解答的关键．含参不等式分离参数后的形式因题、因分法而异，因此解决含参不等式恒成立问题需把握住下述结论：（1）()()f x g a <恒成立⇔max ()()f x g a <；（2）()()f x g a ≤恒成立⇔max ()()f x g a ≤；（3）()()f x g a >恒成立⇔min ()()f x g a >。（4）()()f x g a ≥恒成立⇔min ()()f x g a ≥.

【变式演练1】已知函数()124x x f x a =++在(,1]-∞上有意义，则的取值范围是 . 【答案】3

[,)4

-+∞．

【解析】函数()f x 在(,1]-∞上有意义，等价于1240x

x

a ++≥在(,1]-∞上恒成立，即

11(

),x (,1]42x x a ≥-+∈-∞恒成立，记11

()(),x (,1]42

x

x g x =-+∈-∞，即等价于max (),x (,1]a g x ≥∈-∞.因为()g x 在(,1]-∞上是增函数，因此()g x 的最大值为(1)g . 所以

max 3()(1)4a g x g ≥==-，于是的取值范围是34a ≥-，故应填3

[,)4

-+∞．

【变式演练2】若关于的不等式24

3x a a x

+≥-对任意实数0x >恒成立，则实数的取值范围

为（ ）

A ．[1,4]-

B ．(,2][5,)-∞-⋃+∞ C. (,1][4,)-∞-⋃+∞ D ．[2,5]- 【答案】A 【解析】

考点：基本不等式的应用；不等式的恒成立问题.

方法二 函数性质法

使用情景：对于不能分离参数或分离参数后求最值较困难的类型

解题模板：第一步 首先可以把含参不等式整理成适当形式如(,)0f x a ≥、(,)0f x a <等；

第二步 从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值； 第三步 得出结论.

例2 已知函数3

23()12f x ax x =-+ ()x R ∈，

其中0a >. 若在区间11

[,]22

-上，()0f x >恒成立，求的取值范围. 【答案】05a <<.

【点评】对于不能分离参数或分离参数后求最值或确界较困难的问题，我们可以把含参不等式整理成适当形式如(,)0f x a ≥、(,)0f x a <等，然后从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值. 在解题过程中常常要用到如下结论：（1）如果(,)f x a 有最小值()g a ，则(,)0f x a >恒成立⇔()0g a >，(,)0f x a ≥恒成立⇔()0g a ≥；（2）如果(,)f x a 有最大值()g a ，则(,)0f x a <恒成立⇔()0g a <，(,)0f x a ≤恒成立⇔()0g a ≤. 【变式演练3】已知函数(),0x

f x e ax a =->．

（1）记()f x 的极小值为()g a ，求()g a 的最大值； （2）若对任意实数恒有()0f x ≥，求()f a 的取值范围．

【答案】（1）；（2）(

21,e e e ⎤-⎦． 【解析】

试题分析：（1）借助题设条件运用导数的有关知识求解；（2）借助题设运用分类整合思想将不等式进行等价转化,再运用导数知识求解．

（2）当0x ≤时，0,0x

a e ax >-≥恒成立，

当0x >时，()0f x ≥，即0x

e ax -≥，即x e a x

≤

令()()()()22

1,0,,x

x x x e x e e x e h x x h x x x x --'=∈+∞==， 当01x <<时，()0h x '<，当1x >时，()0h x '>，故()h x 的最小值为()1h e =， 所以a e ≤，故实数的取值范围是(]0,e

()(]2,0,a f a e e a e =-∈，()2a f a e a '=-，由上面可知20a e a -≥恒成立，

故()f a 在(]0,e 上单调递增，所以()()()2

01e

f f a f e e e =<≤=-，

即()f a 的取值范围是(

21,e e e ⎤-⎦

考点：极值的概念及导数的有关知识的综合运用．

【变式演练4】设函数2

()1x

f x e x ax =---，若0x ≥时，()0f x ≥，求的取值范围。