空间中向量的概念和运算-课件
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(2)数量积的运算律：
数乘向量与向量 数量积的结合律
交换律
分配律
(λa)·b＝λ(a·b)
a·b＝b·a a·(b＋c)＝a·b＋
a·c
思考感悟
2．(1)两个向量a、b垂直的充要条件是a·b＝ 0，对吗？ (2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0，对吗？ 提示：(1)不对；(2)不对．
考点一
课堂互动讲练
所
以D→M
＝D→A
＋
→ AM
＝12
(a
＋b)－
c
＝12
(a＋
b－
2c)．
(2)在△BCD 中，G→M＝13D→M＝13·12(a＋b－2c)
＝16a＋16b－13c.
(3)在△ADG 中，注意到三角形重心的性质，得
A→G＝A→D＋D→G＝c＋23
→
DM
＝c＋23(12D→B＋12D→C)
＝c＋13(A→B－A→D＋A→C－A→D)
∴S→C⊥A→B，即 SC⊥AB.
方法感悟
1．在运用空间向量的运算法则化简向量表达式 时，要结合空间图形，观察分析各向量在图形中 的表示，运用运算法则，化简到最简为止． 2．证明两向量共线的方法为：首先判断两向量中 是否有零向量．若有，则两向量共线；若两向量 a，b中，b≠0，且有a＝λb(λ∈R)，则a，b共线．
3．空间向量加法的运算律 (1)交换律：a＋b＝__b_＋__a__. (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 4．空间向量的数乘运算 (1)定义：实数λ与空间向量a的乘积__λ_a___仍然是 一个___向__量___，称为向量的数乘运算． (2)向量a与λa的关系
λ的范 围 λ>0
λ＝0
例1 如图，已知长方体 ABCD-A′B′C′D′， 化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向 量． (1)A→A′－C→B； (2)A→A′＋A→B＋B′→C′.
【思路点拨】 (1) 分析题意 → 将C→B等价转化为D→A → D→A转化为－A→D → 平行四边形法则 → 得出结论 (2) 应用平行四边形法则先求A→ A′＋A→B → 应用三角形法则求AB→′＋B′→C′
3．两向量的数量积，其结果是个数量，而不是向 量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值 的乘积，其符号由夹角的余弦值决定． 4．当a≠0时，由a·b＝0不能推出b一定是零向量， 这是因为任一个与a垂直的非零向量b，都有a·b＝ 0，这由向量的几何意义就可以理解．
•
9、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。2021/3/52021/3/5Fr iday, March 05, 2021
线线垂直．
例3 如 图 所 示 ， 已 知 平 行 六 面 体 ABCD － A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧 棱AA1的长为b，∠A1AB＝∠A1AD＝120°， (1)求AC1的长； (2)证明：AC1⊥BD.
【解】 (1)∵A→C12＝(A→C＋C→C1)2
＝(A→B＋A→D＋A→A1)2
考点突破 空间向量的加减运算
(1)计算两个空间向量的和或差时，与平面向量 完全相同．运算中掌握好三角形法则和平行四 边形法则是关键． (2)计算三个或多个空间向量的和或差时，要注 意以下几点：
①三角形法则和平行四边形法则； ②正确使用运算律； ③有限个向量顺次首尾相连，则从第一个向量的 起点指向最后一个向量的终点的向量即表示这有 限个向量的和向量．
＝E→F.(说明：表示方法不唯一)
(2)连接 BD，依题意知 M 为 BD 的中点，则M→N ＝M→B＋B→N ＝12D→B＋34B→ C′＝12(D→A＋A→B)＋34(B→C＋C→ C′) ＝12(－A→D＋A→B)＋34(A→D＋A→ A′) ＝12A→B＋14A→D＋34AA→′.
∴α＝12，β＝14，γ＝34.
→ 得出结论
【解】 (1)A→ A′－C→B＝AA→′－D→A
＝A→ A′＋A→D＝AD→′.
(2)A→ A′＋A→B＋B′→C′ ＝(A→ A′＋A→B)＋B′→C′ ＝A→ B′＋B′→C′＝A→C′.
向量AD→′、AC→′如图所示．
【名师点评】 化简向量表达式主要是利用平行 四边形法则或三角形法则．在化简过程中遇到减 法时可灵活应用相反向量转化成加法，也可按减 法法则进行运算，加、减法之间可相互转化．
知新益能
1．空间向量 (1)空间向量的定义 在空间，把具有_大__小___和__方__向__的量叫作空间向 量，向量的__大__小___叫作向量的长度或模．
(2)空间向量及其模的表示方法 空间向量用有向线段表示，有向线段的_长__度___ 表示向量的模．如图，a 的起点是 A，终点是 B，
则 a 也可记作__A→_B__，其模记作|A→B|或|a|.
＝c＋13(a＋b－2c)＝13(a＋b＋c)．
【名师点评】 (1)有限多个空间向量 a1，a2，
a3，…，an 相加，可以从某点 O 出发，逐一引向
→ 量O→A1＝a1，A→1A2＝a2，…，An－1An ＝an.如图，
于是以所得折线 OA1A2…An 的起点 O 为起点，终
点 An 为终点的向量O→An就是 a1，a2，…，an 的和，
考点二
空间向量的线性运算
空间向量加法、减法、数乘向量的意义及运算 律与平面向量类似．
例2 如图所示，已知空间四边形 ABCD 中，向量 A→B＝a，A→C＝b，A→D＝c，若 M 为 BC 中点，G 为 △BCD 的重心，试用 a、b、c 表示下列向量： (1)D→M；(2)G→M；(3)A→G.
2．空间向量的加减法 从任意一点 O 出发作O→A＝a，O→B＝b.并且从 A
出发作A→C＝b(如图所示)，则 a＋b＝_O→_C__，a－b ＝___B_→_A_.
思考感悟 1．空间两向量的加减法与平面内两向量的加减 法完全一样吗？ 提示：一样．因为空间中任意两个向量均可平 移到同一个平面内，所以空间向量与平面向量 加减法均可以用三角形或平行四边形法则，是 一样的．
＝
→ (AB
＋A→D
＋
→ AA1
→ )·(AD
－
→ AB)
＝
→ AB
→ ·AD
＋
→ AD
2
＋
→ AA1
→ ·AD
－
→ AB
2
－
→ AD
→ ·AB
－
→ AA1
·A→B＝A→A1
·A→D－A→A1·A→B
＝bacos120°－bacos120°＝0.
∴A→C1⊥B→D，即 AC1⊥BD.
【名师点评】 (1)求两点间的距离或某条线段 的长度的方法：将此线段用向量表示后，利用|a| ＝ |a|2＝ a·a求解． (2)证明两直线垂直可转化为证明两直线的方向
→ 即O→An
＝
→ OA1
＋
→ A1A2
＋
…
＋
An－1An
＝a1＋a2＋…
ห้องสมุดไป่ตู้
＋an.此即为空间向量的多边形法则．
(2)用折线作向量的和时，若折线的终点与起点重
合，则和向量为零向量．
自我挑战 1 已知 ABCD－A′B′C′D′是平 行六面体． (1)化简12AA→′＋B→C＋23A→B，并在图中标出其结 果； (2)设 M 是 底 面 ABCD 的 中 心 ， N 在 侧 面 BCC′B′的对角线 BC′上，且 BN＝3NC′，
λ<0
方向关系
模的关系
方向相同 λa＝0，其方向是任意
的 方向相反
λa的模是 a的模的
|λ|倍
(3)空间向量的数乘运算律 设 λ、μ 是实数，则有①分配律：λ(a＋b)＝ ___λ_a_＋__λ_b_____. ②结合律：λ(μ a)＝(λμ)a. 5．空间向量的数量积 (1)定义：从空间任意一点 O 出发作O→A＝a，O→B ＝b，则 θ＝__∠_A_O__B___就是 a，b 所成的角，a， b 的数量积 a·b＝|a||b|cosθ.
设M→N＝αA→B＋βA→D＋γA→ A′，试求 α、β、γ 的
值．
解：(1)如图所示，取 AA′的中点为 E，则12A→ A′
＝E→ A′. 又B→C＝A′→D′， A→B＝D′→C′，
取
F
为
D′C′
的
一
个
三
等
分
点
( D→′F
＝
2 3
D′→C′)，
则D→′F＝23A→B.
∴12A→ A′＋B→C＋23A→B＝E→ A′＋A′→D′＋D→′F
【思路点拨】 连接AM得 到△ADM，利用线段中点 的向量表示和三角形的重心 的意义，在△ADM中开始 进行向量运算．
【解】(1)连接 AM，在△ADM 中，D→M＝D→A＋ A→M， 由线段中点的向量表示知
A→M＝12(A→B＋A→C)＝12(a＋b)， 由相反向量的概念知D→A＝－A→D＝－c，
•
16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/3/52021/3/5Marc h 5, 2021
•
17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2021/3/52021/3/52021/3/52021/3/5
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
3．1 空间中向量的概念和运算
学习目标
课前自主学案 3.1
课堂互动讲练
知能优化训练
学习目标
1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示 方法和字母表示方法． 2．掌握空间向量的线性运算，数量积． 3．能运用运算法则及运算律解决一些简单几何问 题．
课前自主学案
温故夯基
1．平面上有_大__小___和_方__向___的量叫作向量，方向 相同且模_相__等__的向量称为相等向量． 2．向量可以进行加减和数乘运算，向量加法满足 __交__换___律和_结__合___律．
向量垂直，即证明两向量的数量积为零．
自我挑战2 在三棱锥SABC中，SA⊥BC， SB⊥AC，求证：SC⊥AB.
证明：如图， S→C＝S→A＋A→C，A→B＝A→S＋S→B， 则S→C·A→B＝(S→A＋A→C)·(A→S＋S→B) ＝－S→A2＋S→A·S→B＋A→C·A→S＋A→C·S→B ＝S→A·(S→B－S→A－A→C)＋0 ＝S→A·(A→B－A→C)＝S→A·C→B＝0.
考点三
向量的数量积及应用
(1)对向量的数量积的运算律应注意以下几点： ①要准确区分两向量数量积的运算性质与数乘 向量实数与实数之积之间的差异．
②数量积运算不满足消去律．
若a、b、c(b≠0)为实数，ab＝bc⇒a＝c；但对于 向量，就不正确，即a·b＝b·c a＝c.由图可 以看出．
(2)由空间向量数量积得到的几个结论的应用： ①应用结论|a|＝ a·a可以求向量的模或空间图 形中的线段长度，用已知的线段对应向量表示 待求线段对应的向量，转化求解． ②应用结论 a⊥b⇔a·b＝0，可以证明空间中的
•
13、知人者智，自知者明。胜人者有 力，自 胜者强 。2021/3/52021/3/52021/3/52021/3/53/5/2021
•
14、意志坚强的人能把世界放在手中 像泥块 一样任 意揉捏 。2021年3月5日星期 五2021/3/52021/3/52021/3/5
•
15、最具挑战性的挑战莫过于提升自 我。。2021年3月2021/3/52021/3/52021/3/53/5/2021
•
10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/3/52021/3/52021/3/53/5/2021 8:32:42 AM
•
11、越是没有本领的就越加自命不凡 。2021/3/52021/3/52021/3/5M ar-215- Mar-21
•
12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人 的错儿 。2021/3/52021/3/52021/3/5Fr iday, March 05, 2021
＝
→ AB
2
＋
→ AD
2
＋
→ AA1
2
＋
2
→ AB
→ ·AD
＋
2
→ AB
→ ·AA1
＋
→→ 2AD·AA1
＝ a2 ＋ a2 ＋ b2 ＋ 2a·acos90°＋ 2abcos120°＋
2abcos120° ＝2a2＋b2－2ab.
∴|A→C1|＝ 2a2＋b2－2ab.
(2)证
明：
∵A→C1
→ ·BD
数乘向量与向量 数量积的结合律
交换律
分配律
(λa)·b＝λ(a·b)
a·b＝b·a a·(b＋c)＝a·b＋
a·c
思考感悟
2．(1)两个向量a、b垂直的充要条件是a·b＝ 0，对吗？ (2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0，对吗？ 提示：(1)不对；(2)不对．
考点一
课堂互动讲练
所
以D→M
＝D→A
＋
→ AM
＝12
(a
＋b)－
c
＝12
(a＋
b－
2c)．
(2)在△BCD 中，G→M＝13D→M＝13·12(a＋b－2c)
＝16a＋16b－13c.
(3)在△ADG 中，注意到三角形重心的性质，得
A→G＝A→D＋D→G＝c＋23
→
DM
＝c＋23(12D→B＋12D→C)
＝c＋13(A→B－A→D＋A→C－A→D)
∴S→C⊥A→B，即 SC⊥AB.
方法感悟
1．在运用空间向量的运算法则化简向量表达式 时，要结合空间图形，观察分析各向量在图形中 的表示，运用运算法则，化简到最简为止． 2．证明两向量共线的方法为：首先判断两向量中 是否有零向量．若有，则两向量共线；若两向量 a，b中，b≠0，且有a＝λb(λ∈R)，则a，b共线．
3．空间向量加法的运算律 (1)交换律：a＋b＝__b_＋__a__. (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 4．空间向量的数乘运算 (1)定义：实数λ与空间向量a的乘积__λ_a___仍然是 一个___向__量___，称为向量的数乘运算． (2)向量a与λa的关系
λ的范 围 λ>0
λ＝0
例1 如图，已知长方体 ABCD-A′B′C′D′， 化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向 量． (1)A→A′－C→B； (2)A→A′＋A→B＋B′→C′.
【思路点拨】 (1) 分析题意 → 将C→B等价转化为D→A → D→A转化为－A→D → 平行四边形法则 → 得出结论 (2) 应用平行四边形法则先求A→ A′＋A→B → 应用三角形法则求AB→′＋B′→C′
3．两向量的数量积，其结果是个数量，而不是向 量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值 的乘积，其符号由夹角的余弦值决定． 4．当a≠0时，由a·b＝0不能推出b一定是零向量， 这是因为任一个与a垂直的非零向量b，都有a·b＝ 0，这由向量的几何意义就可以理解．
•
9、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。2021/3/52021/3/5Fr iday, March 05, 2021
线线垂直．
例3 如 图 所 示 ， 已 知 平 行 六 面 体 ABCD － A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧 棱AA1的长为b，∠A1AB＝∠A1AD＝120°， (1)求AC1的长； (2)证明：AC1⊥BD.
【解】 (1)∵A→C12＝(A→C＋C→C1)2
＝(A→B＋A→D＋A→A1)2
考点突破 空间向量的加减运算
(1)计算两个空间向量的和或差时，与平面向量 完全相同．运算中掌握好三角形法则和平行四 边形法则是关键． (2)计算三个或多个空间向量的和或差时，要注 意以下几点：
①三角形法则和平行四边形法则； ②正确使用运算律； ③有限个向量顺次首尾相连，则从第一个向量的 起点指向最后一个向量的终点的向量即表示这有 限个向量的和向量．
＝E→F.(说明：表示方法不唯一)
(2)连接 BD，依题意知 M 为 BD 的中点，则M→N ＝M→B＋B→N ＝12D→B＋34B→ C′＝12(D→A＋A→B)＋34(B→C＋C→ C′) ＝12(－A→D＋A→B)＋34(A→D＋A→ A′) ＝12A→B＋14A→D＋34AA→′.
∴α＝12，β＝14，γ＝34.
→ 得出结论
【解】 (1)A→ A′－C→B＝AA→′－D→A
＝A→ A′＋A→D＝AD→′.
(2)A→ A′＋A→B＋B′→C′ ＝(A→ A′＋A→B)＋B′→C′ ＝A→ B′＋B′→C′＝A→C′.
向量AD→′、AC→′如图所示．
【名师点评】 化简向量表达式主要是利用平行 四边形法则或三角形法则．在化简过程中遇到减 法时可灵活应用相反向量转化成加法，也可按减 法法则进行运算，加、减法之间可相互转化．
知新益能
1．空间向量 (1)空间向量的定义 在空间，把具有_大__小___和__方__向__的量叫作空间向 量，向量的__大__小___叫作向量的长度或模．
(2)空间向量及其模的表示方法 空间向量用有向线段表示，有向线段的_长__度___ 表示向量的模．如图，a 的起点是 A，终点是 B，
则 a 也可记作__A→_B__，其模记作|A→B|或|a|.
＝c＋13(a＋b－2c)＝13(a＋b＋c)．
【名师点评】 (1)有限多个空间向量 a1，a2，
a3，…，an 相加，可以从某点 O 出发，逐一引向
→ 量O→A1＝a1，A→1A2＝a2，…，An－1An ＝an.如图，
于是以所得折线 OA1A2…An 的起点 O 为起点，终
点 An 为终点的向量O→An就是 a1，a2，…，an 的和，
考点二
空间向量的线性运算
空间向量加法、减法、数乘向量的意义及运算 律与平面向量类似．
例2 如图所示，已知空间四边形 ABCD 中，向量 A→B＝a，A→C＝b，A→D＝c，若 M 为 BC 中点，G 为 △BCD 的重心，试用 a、b、c 表示下列向量： (1)D→M；(2)G→M；(3)A→G.
2．空间向量的加减法 从任意一点 O 出发作O→A＝a，O→B＝b.并且从 A
出发作A→C＝b(如图所示)，则 a＋b＝_O→_C__，a－b ＝___B_→_A_.
思考感悟 1．空间两向量的加减法与平面内两向量的加减 法完全一样吗？ 提示：一样．因为空间中任意两个向量均可平 移到同一个平面内，所以空间向量与平面向量 加减法均可以用三角形或平行四边形法则，是 一样的．
＝
→ (AB
＋A→D
＋
→ AA1
→ )·(AD
－
→ AB)
＝
→ AB
→ ·AD
＋
→ AD
2
＋
→ AA1
→ ·AD
－
→ AB
2
－
→ AD
→ ·AB
－
→ AA1
·A→B＝A→A1
·A→D－A→A1·A→B
＝bacos120°－bacos120°＝0.
∴A→C1⊥B→D，即 AC1⊥BD.
【名师点评】 (1)求两点间的距离或某条线段 的长度的方法：将此线段用向量表示后，利用|a| ＝ |a|2＝ a·a求解． (2)证明两直线垂直可转化为证明两直线的方向
→ 即O→An
＝
→ OA1
＋
→ A1A2
＋
…
＋
An－1An
＝a1＋a2＋…
ห้องสมุดไป่ตู้
＋an.此即为空间向量的多边形法则．
(2)用折线作向量的和时，若折线的终点与起点重
合，则和向量为零向量．
自我挑战 1 已知 ABCD－A′B′C′D′是平 行六面体． (1)化简12AA→′＋B→C＋23A→B，并在图中标出其结 果； (2)设 M 是 底 面 ABCD 的 中 心 ， N 在 侧 面 BCC′B′的对角线 BC′上，且 BN＝3NC′，
λ<0
方向关系
模的关系
方向相同 λa＝0，其方向是任意
的 方向相反
λa的模是 a的模的
|λ|倍
(3)空间向量的数乘运算律 设 λ、μ 是实数，则有①分配律：λ(a＋b)＝ ___λ_a_＋__λ_b_____. ②结合律：λ(μ a)＝(λμ)a. 5．空间向量的数量积 (1)定义：从空间任意一点 O 出发作O→A＝a，O→B ＝b，则 θ＝__∠_A_O__B___就是 a，b 所成的角，a， b 的数量积 a·b＝|a||b|cosθ.
设M→N＝αA→B＋βA→D＋γA→ A′，试求 α、β、γ 的
值．
解：(1)如图所示，取 AA′的中点为 E，则12A→ A′
＝E→ A′. 又B→C＝A′→D′， A→B＝D′→C′，
取
F
为
D′C′
的
一
个
三
等
分
点
( D→′F
＝
2 3
D′→C′)，
则D→′F＝23A→B.
∴12A→ A′＋B→C＋23A→B＝E→ A′＋A′→D′＋D→′F
【思路点拨】 连接AM得 到△ADM，利用线段中点 的向量表示和三角形的重心 的意义，在△ADM中开始 进行向量运算．
【解】(1)连接 AM，在△ADM 中，D→M＝D→A＋ A→M， 由线段中点的向量表示知
A→M＝12(A→B＋A→C)＝12(a＋b)， 由相反向量的概念知D→A＝－A→D＝－c，
•
16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/3/52021/3/5Marc h 5, 2021
•
17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2021/3/52021/3/52021/3/52021/3/5
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
3．1 空间中向量的概念和运算
学习目标
课前自主学案 3.1
课堂互动讲练
知能优化训练
学习目标
1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示 方法和字母表示方法． 2．掌握空间向量的线性运算，数量积． 3．能运用运算法则及运算律解决一些简单几何问 题．
课前自主学案
温故夯基
1．平面上有_大__小___和_方__向___的量叫作向量，方向 相同且模_相__等__的向量称为相等向量． 2．向量可以进行加减和数乘运算，向量加法满足 __交__换___律和_结__合___律．
向量垂直，即证明两向量的数量积为零．
自我挑战2 在三棱锥SABC中，SA⊥BC， SB⊥AC，求证：SC⊥AB.
证明：如图， S→C＝S→A＋A→C，A→B＝A→S＋S→B， 则S→C·A→B＝(S→A＋A→C)·(A→S＋S→B) ＝－S→A2＋S→A·S→B＋A→C·A→S＋A→C·S→B ＝S→A·(S→B－S→A－A→C)＋0 ＝S→A·(A→B－A→C)＝S→A·C→B＝0.
考点三
向量的数量积及应用
(1)对向量的数量积的运算律应注意以下几点： ①要准确区分两向量数量积的运算性质与数乘 向量实数与实数之积之间的差异．
②数量积运算不满足消去律．
若a、b、c(b≠0)为实数，ab＝bc⇒a＝c；但对于 向量，就不正确，即a·b＝b·c a＝c.由图可 以看出．
(2)由空间向量数量积得到的几个结论的应用： ①应用结论|a|＝ a·a可以求向量的模或空间图 形中的线段长度，用已知的线段对应向量表示 待求线段对应的向量，转化求解． ②应用结论 a⊥b⇔a·b＝0，可以证明空间中的
•
13、知人者智，自知者明。胜人者有 力，自 胜者强 。2021/3/52021/3/52021/3/52021/3/53/5/2021
•
14、意志坚强的人能把世界放在手中 像泥块 一样任 意揉捏 。2021年3月5日星期 五2021/3/52021/3/52021/3/5
•
15、最具挑战性的挑战莫过于提升自 我。。2021年3月2021/3/52021/3/52021/3/53/5/2021
•
10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/3/52021/3/52021/3/53/5/2021 8:32:42 AM
•
11、越是没有本领的就越加自命不凡 。2021/3/52021/3/52021/3/5M ar-215- Mar-21
•
12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人 的错儿 。2021/3/52021/3/52021/3/5Fr iday, March 05, 2021
＝
→ AB
2
＋
→ AD
2
＋
→ AA1
2
＋
2
→ AB
→ ·AD
＋
2
→ AB
→ ·AA1
＋
→→ 2AD·AA1
＝ a2 ＋ a2 ＋ b2 ＋ 2a·acos90°＋ 2abcos120°＋
2abcos120° ＝2a2＋b2－2ab.
∴|A→C1|＝ 2a2＋b2－2ab.
(2)证
明：
∵A→C1
→ ·BD