一般的一元二次方程的解法—知识讲解
一元二次方程解法知识整理
知识点 3 用判别式判断一元二次方程的根
对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0) •b2 - 4ac > 0时,方程有两个不相等的实数根. •b2 - 4ac = 0时,方程有两个相等的实数根. •b2 - 4ac < 0时,方程没有实数根. 我们把 b2 - 4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx +c = 0(a≠0), 的根的判别式，用符号“Δ”来表示.
有两个不等的实数根x1＝ p ，x2＝- p； (2) 当p＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝0； (3) 当p<0时，因为对任意实数x，都有x2≥0，
所以方程无实数根．
知识点 1 直接开平方法
知识点 1 直接开平方法 用直接开平方法解一元二次方程的步骤（三步法）：
变形
将方程化为“含未知数的完全平方式=非负常数” 的形式
若方程的右边为非负数，则两边开平方求得方程 的根
知识点 3 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
字母表述：用配方法解形如x2 + px + q = 0的一元二次方程
①将常数项移到方程的右边.（注意：移项变号）
x2 + px = -q
②两边都加上一次项系数一半的平方.（注意：两边都加）
x2 + px + （ p ）2 = （ p ）2 - q
列方程（一般找出能够表达应用题主干含义的一个相等关系，
列
列代数式表示相等关系中的各个量，即方程）
解 求出所列方程的解
验 检验方程的解是否正确，能否保证实际问题有意义
答 根据题意，选择合理的答案作答
知识点 2 面积问题
解决面积问题可应用“等积变形”，若图形不规则应割或补成规 则图形，分散的图形应通过平移使之成为一个图形，以便求解
一元二次方程的解法(二)配方法—知识讲解(基础
一元二次方程的解法（二）配方法—知识讲解（基础）【学习目标】1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力.【要点梳理】知识点一、一元二次方程的解法---配方法1．配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±．知识点二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．【典型例题】类型一、用配方法解一元二次方程1.用配方法解方程x2-7x-1=0．【思路点拨】此题可以先将常数项右移，方程的两边都加“一次项系数一半的平方”，使方程左边配成完全平方式，右边是非负数，再用直接开平方法就能解答此题．【答案与解析】将方程变形为x2-7x=1，两边加一次项的系数的一半的平方，得x2-7x+=1+，所以有=1+．直接开平方，得x-=或x-=-．所以原方程的根为x=+或x=-．【点评】一般地，用先配方，再开平方的方法解一元二次方程，应按以下步骤进行：(1)把形如ax2+bx+c=0(a≠0)的方程中二次项的系数化为1；(2)把常数项移到方程的右边；(3)方程的两边都加“一次项系数一半的平方”，配方得形如(x+m)2=n(n≥0)的方程；(4)用直接开平方的方法解此题．举一反三：【变式】用配方法解方程.(1)x2-4x-2=0； (2)x2+6x+8=0.【答案】(1)方程变形为x2-4x=2．两边都加4，得x2-4x+4=2+4．利用完全平方公式，就得到形如(x+m)2=n的方程，即有(x-2)2=6．解这个方程，得x-2=或x-2=-．于是，原方程的根为x=2+或x=2-．(2)将常数项移到方程右边x2+6x=-8．两边都加“一次项系数一半的平方”=32，得 x2+6x+32=-8+32，∴ (x+3)2=1．用直接开平方法，得x+3=±1，∴ x=-2或x=-4．类型二、配方法在代数中的应用2．若代数式221078M a b a =+-+，2251N a b a =+++，则M N -的值（ ）Ａ．一定是负数 Ｂ．一定是正数 Ｃ．一定不是负数 Ｄ．一定不是正数【答案】B ；【解析】（作差法）22221078(51)M N a b a a b a -=+-+-+++2222107851a b a a b a =+-+----29127a a =-+291243a a =-++2(32)30a =-+>．故选Ｂ．【点评】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.【高清ID 号：388499关联的位置名称（播放点名称）：配方法与代数式的最值—例4】3．用配方法说明： 代数式 x 2+8x+17的值总大于0. 【答案与解析】x 2+8x+17= x 2+8x+42-42+17=（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴（x+4）2+1＞0，故无论x 取何实数，代数式 x 2+8x+17的值总大于0.【点评】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值得符号.举一反三：【高清ID 号：388499关联的位置名称（播放点名称）：配方法与代数式的最值—例4变式1】【变式】求代数式 x 2+8x+17的最小值【答案】x 2+8x+17= x 2+8x+42-42+17=（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴当（x+4）2=0时，代数式 x 2+8x+17的最小值是1.4．已知223730216b a a b -+-+=，求4a b -的值． 【思路点拨】 解此题关键是把3716拆成91416+ ，可配成两个完全平方式． 【答案与解析】将原式进行配方，得2291304216b a a b ⎛⎫⎛⎫-++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即2231024a b ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴32a-=且14b-=，∴32a=，14b=．∴3131 4422422a b-=-=-=-．【点评】本题可将原式用配方法转化成平方和等于0的形式，进而求出a．b的值．。
一元二次方程的解法—知识讲解
一元二次方程及其解法（一）直接开平方法—知识讲解（提高）【学习目标】1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式；2．掌握直接开平方法解方程，会应用此判定方法解决有关问题；3．理解解法中的降次思想，直接开平方法中的分类讨论与换元思想.【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1．一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．要点诠释：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2．一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．要点诠释：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4.一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.要点二、一元二次方程的解法1．直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.要点诠释：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.【典型例题】类型一、关于一元二次方程的判定1．判定下列方程是否关于x的一元二次方程：(1)a2(x2-1)+x(2x+a)=3x+a；(2)m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1．【答案与解析】(1)经整理，得它的一般形式(a2+2)x2+(a-3)x-a(a+1)=0，其中，由于对任何实数a都有a2≥0，于是都有a2+2＞0，由此可知a2+2≠0，所以可以判定：对任何实数a，它都是一个一元二次方程．(2)经整理，得它的一般形式(m2-1)x2+(2-2m)x+(m3+1)=0，其中，当m≠1且m≠-1时，有m2-1≠0，它是一个一元二次方程；当m=1时方程不存在，当m=-1时，方程化为4x=0，它们都不是一元二次方程．【总结升华】对于含有参数的一元二次方程，要十分注意二次项系数的取值范围，在作为一元二次方程进行研究讨论时，必须确定对参数的限制条件．如在第(2)题，对参数的限定条件是m≠±1．例如，一个关于x的方程，若整理为(m-4)x2+mx-3=0的形式，仅当m-4≠0，即m≠4时，才是一元二次方程(显然，当m=4时，它只是一个一元一次方程4x-3=0)．又如，当我们说：“关于x的一元二次方程(a-1)x2+(2a+1)x+a2-1=0……”时，实际上就给出了条件“a-1≠0”，也就是存在一个条件“a≠1”．由于这个条件没有直接注明，而是隐含在其他的条件之中，所以称它为“隐含条件”．类型二、一元二次方程的一般形式、各项系数的确定2. 已知关于y的一元二次方程m2(y2+m)-3my=y(8y-1)+1，求出它各项的系数，并指出参数m的取值范围．【答案与解析】将原方程整理为一般形式，得(m2-8)y2-(3m-1)y+m3-1=0，由于已知条件已指出它是一个一元二次方程，所以存在一个隐含条件m2-8≠0，即 m≠±．可知它的各项系数分别是a=m2-8(m≠±)，b=-(3m-1)，c=m3-1．参数m的取值范围是不等于±的一切实数．【总结升华】在含参数的方程中，要认定哪个字母表示未知数，哪个字母是参数，才能正确处理有关的问题．举一反三：【变式】关于x的方程的一次项系数是-1，则a .【答案】原方程化简为x2-ax+1=0,则-a=-1,a=1.类型三、一元二次方程的解（根）3. （2016•大庆）若x0是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，设M=1﹣ac，N=（ax0+1）2，则M与N的大小关系正确的为（）A．M＞N B．M=N C．M＜N D．不确定【思路点拨】把x0代入方程ax2+2x+c=0得ax02+2x0=﹣c，作差法比较可得．【答案】B；【解析】解：∵x0是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，∴ax02+2x0+c=0，即ax02+2x0=﹣c，则N﹣M=（ax0+1）2﹣（1﹣ac）=a2x02+2ax0+1﹣1+ac=a（ax02+2x0）+ac=﹣ac+ac=0，∴M=N，故选：B．【总结升华】本题主要考查一元二次方程的解得概念及作差法比较大小，熟练掌握能使方程成立的未知数的值叫做方程的解是根本，利用作差法比较大小是解题的关键． 举一反三： 【变式】（1）x=1是的根，则a= .（2）已知关于x 的一元二次方程 22(1)210m x x m -++-=有一个根是0，求m 的值.【答案】（1）当x=1时，1-a+7=0,解得a=8. （2）由题意得类型四、用直接开平方法解一元二次方程4.解方程(x-3)2=49．【答案与解析】把x-3看作一个整体，直接开平方，得 x-3=7或x-3=-7． 由x-3=7，得 x=10． 由x-3=-7，得 x=-4．所以原方程的根为x=10或x=-4．【总结升华】应当注意，如果把x+m 看作一个整体，那么形如(x+m)2=n(n ≥0)的方程就可看作形如x 2=k 的方程，也就是可用直接开平方法求解的方程；这就是说，一个方程如果可以变形为这个形式，就可用直接开平方法求出这个方程的根．所以，(x+m)2=n 可成为任何一元二次方程变形的目标．举一反三：【变式】解方程： (1) （2014秋•宝安区期末）（3x+2）2=4（x ﹣1）2；(2) （2014•锡山区期中） （x-2）2=25.【答案】解：(1) 3x+2=±2（x ﹣1），∴3x+2=2x ﹣2或3x+2=﹣2x+2， ∴x 1=﹣4；x 2=0．(2) (x-2)=±5∴x-2=5或x-2=-5 ∴x 1=7,x 2=-3.一元二次方程的解法（二）配方法—知识讲解（提高）【学习目标】1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程； 2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力。
一元二次方程的解法详细解析
一元二次方程的解法详细解析
说明：公式法可以用于解任何一元二次方程，在找不到简单方法时，即考虑化为一般形式后使用公式法。
但在应用时要先明确公式中字母在题中所表示的量，再求出判别式的值，解得的根要进行化简。
例5：用分解因式法解下列方程。
（1）；（2）分析：分解因式法是把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。
第（1）题已经是一般式，可直接对左边分解因式；第（2）题必须先化简变为一般式后再进行分解因式。
一般的一元二次方程的解法(直接开平方法,因式分解法)知识讲解
一般的一元二次方程的解法（直接开平方法，因式分解法）知识讲解1．直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：要点诠释：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.2.因式分解法解一元二次方程（1）用因式分解法解一元二次方程的步骤①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次式的积；③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.（2）常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、用直接开平方法解一元二次方程【总结升华】应当注意，如果把x+m看作一个整体，那么形如(x+m)2=n(n≥0)的方程就可看作形如x2=k的方程，也就是可用直接开平方法求解的方程；这就是说，一个方程如果可以变形为这个形式，就可用直接开平方法求出这个方程的根．所以，(x+m)2=n可成为任何一元二次方程变形的目标．举一反三：类型二、因式分解法解一元二次方程【总结升华】若把各项展开，整理为一元二次方程的一般形式，过程太烦琐．观察题目结构，可将x+1看作m，将(2-x)看作n，则原方程左端恰好为完全平方式，于是此方程利用分解因式法可解．举一反三：【变式】方程(x-1)(x+2)＝2(x+2)的根是________．【答案】将(x+2)看作一个整体，右边的2(x+2)移到方程的左边也可用提取公因式法因式分解．即(x-1)(x+2)-2(x+2)＝0，(x+2)[(x-1)-2]＝0．∴ (x+2)(x-3)＝0，∴ x+2＝0或x-3＝0．∴ x1＝-2 x2＝3．【总结升华】如果把视为一个整体，则已知条件可以转化成一个一元二次方程的形式，用因式分解法可以解这个一元二次方程．此题看似求x、y 的值，然后计算，但实际上如果把看成一个整体，那么原方程便可化简求解。
一元二次方程解法讲义(全4讲)
一元二次方程解法讲义（全四讲）第一讲 直接开平一、学习目标了解形如()()20x h k k +=≥的一元二次方程的解法——直接开平方法；能够熟练而准确的运用开平方法求一元二次方程的解．二、知识回顾1．什么叫做平方根?平方根有哪些性质？平方根的定义：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根．用式子表示：若x 2=a ，则x 叫做a 的平方根．记作x=如：9的平方根是3±；425的平方根是25±．平方根的性质：（1）一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数的； （2）0的平方根是0； （3）负数没有平方根．2．x 2=4，则x=±2.想一想：求x 2=4的解的过程，就相当于求什么的过程？三、新知讲解四、典例探究1．用直接开平方法求一元二次方程的解【例1】解方程：（1）2x 2﹣8=0；（2）（2x ﹣3）2=25．分析：（1）先变形得到x 2=4，然后利用直接开平方法求解；（2）首先两边直接开平方可得2x ﹣3=±5，再解一元一次方程即可．解答：解：（1）x 2=4，两边直接开平方，得x1=2，x2=﹣2．（2）两边直接开平方，得2x﹣3=±5，则2x﹣3=5，2x﹣3=﹣5，所以x=4，x=﹣1．点评：本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法求解．总结：运用直接开平方法解一元二次方程，首先要将一元二次方程的左边化为含有未知数的完全平方式，右边化为非负数的形式，然后直接用开平方的方法求解．练1．（2015•东西湖区校级模拟）解方程：（2x+3）2﹣25=0分析：先移项，写成（x+a）2=b的形式，然后利用数的开方解答．解答：解：移项得，（2x+3）2=25，开方得，2x+3=±5，解得x1=1，x2=﹣4．点评：（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体．（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．练2．（2014秋•昆明校级期中）解方程：9（x+1）2=4（x﹣2）2．分析：两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．解答：解：两边开方得：3（x+1）=±2（x﹣2），即3（x+1）=2（x﹣2），3（x+1）=﹣2（x﹣2），解得：x1=﹣7，x2=．点评：本题考查了解一元二次方程和解一元一次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．2．用直接开平方法判断方程中字母参数的取值范围【例2】（2015春•南长区期末）若关于x的一元二次方程x2﹣k=0有实数根，则（）A．k＜0 B．k＞0 C．k≥0 D．k≤0分析：根据直接开平方法的步骤得出x2=k，再根据非负数的性质得出k≥0即可．解答：解：∵x2﹣k=0，∴x2=k，∵一元二次方程x2﹣k=0有实数根，∴k≥0，故选：C．．点评：此题考查了直接开平方法解一元二次方程，用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a （a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”总结：先把方程化为“左平方，右常数”的形式，且把系数化为1，再根据一元二次方程有无解来求方程中字母参数的取值范围.练3．（2015春•利辛县校级月考）已知一元二次方程mx2+n=0（m≠0，n≠0），若方程有解，则必须（）A．n=0 B．m，n同号 C．n是m的整数倍 D．m，n异号分析：首先求出x2的值为﹣，再根据x2≥0确定m、n的符号即可．解答：解：mx2+n=0，x2=﹣，∵x2≥0，∴﹣≥0，∴≤0，∵n≠0，∴mn异号，故选：D．点评：此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是表示出x2的值，根据x2的取值范围确定m、n的符号．练4．（2015•岳阳模拟）如果关于x的方程mx2=3有两个实数根，那么m的取值范围是．解：∵关于x的方程mx2=3有两个实数根，∴m＞0．故答案为：m＞0．五、课后小测一、选择题1．（2015•石城县模拟）方程x2﹣9=0的解是（）A．x=3 B．x=9 C．x=±3 D．x=±92．（2015•河北模拟）已知一元二次方程x2﹣4=0，则该方程的解为（）A．x1=x2=2 B．x1=x2=﹣2 C．x1=﹣4，x2=4 D．x1=﹣2，x2=23．（2015•杭州模拟）关于x的方程a（x+m）2+n=0（a，m，n均为常数，m≠0）的解是x1=﹣2，x2=3，则方程a（x+m﹣5）2+n=0的解是（）A．x1=﹣2，x2=3 B．x1=﹣7，x2=﹣2 C．x1=3，x2=﹣2 D．x1=3，x2=84．（2015•江岸区校级模拟）如果x=﹣3是一元二次方程ax2=c的一个根，那么该方程的另一个根是（）A．3 B．﹣3 C．0 D．15．（2014•枣庄）x1、x2是一元二次方程3（x﹣1）2=15的两个解，且x1＜x2，下列说法正确的是（）A．x1小于﹣1，x2大于3 B．x1小于﹣2，x2大于3C．x1，x2在﹣1和3之间 D．x1，x2都小于36．（2014春•淮阴区校级月考）方程（1﹣x）2=2的根是（）A．﹣1，3 B．1，﹣3 C．， D．，7．（2012秋•内江期末）已知a2﹣2ab+b2=6，则a﹣b的值是（）A． B．或 C．3 D．8．方程x2=0的实数根有（）A．1个 B．2个 C．无数个 D．0个9．方程5y2﹣3=y2+3的实数根的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个二、填空题10．（2015•泉州）方程x2=2的解是．11．（2014•怀化模拟）方程8x2﹣72=0解为．三、解答题12．（2014•祁阳县校级模拟）解方程：（x ﹣2）2﹣16=0．13．（2014秋•青海校级月考）解方程：．14．已知一元二次方程x 2﹣4x+1+m=5请你选取一个适当的m 的值，使方程能用直接开平方法求解，并解这个方程．（1）你选的m 的值是 ；（2）解这个方程．第二讲 配方法一、 学习目标1.掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤； 2．学会利用配方法解一元二次方程. 二、知识回顾1．形如2()x m n +=(n ≥0)的一元二次方程，利用求平方根的方法，立即可得而解出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫“直接开平方法”.2．如果方程能化成x 2＝p 或(mx ＋n )2＝p (p ≥0)的形式,那么利用直接开平方法可得xmx＋n三、新知讲解 1．配方法的依据配方法解一元二次方程的依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±及直接开平方法．2．配方法的步骤（1）化—— 化二次项系数为1如果一元二次方程的二次项系数不是1，那么在方程的两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为1. （2）移——移项通过移项使方程左边为 二次项 和 一次项 ，右边为 常数项 . （3）配——配方1．形如2()x m n +=(n ≥0)的一元二次方程，利用求平方根的方法，立即可得而解出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫“直接开平方法”.在方程两边都加上 一次项系数一半的平方 ，根据完全平方公式把原方程变为2()x m n +=(n ≥0)的形式．（4）解——用直接开平方法解方程. 四、典例探究1．配方法解一元二次方程 【例1】（2015•科左中旗校级一模）用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A ．x 2﹣2x ﹣99=0化为（x ﹣1）2=100B ．x 2+8x+9=0化为（x+4）2=25 C ．2t 2﹣7t ﹣4=0化为（t﹣）2=D ．3x 2﹣4x ﹣2=0化为（x ﹣）2=【解析】配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．根据以上步骤进行变形即可．解：A 、∵x 2﹣2x ﹣99=0，∴x 2﹣2x=99，∴x 2﹣2x+1=99+1，∴（x ﹣1）2=100，故A 选项正确．B 、∵x 2+8x+9=0，∴x 2+8x=﹣9，∴x 2+8x+16=﹣9+16，∴（x+4）2=7，故B 选项错误． C 、∵2t 2﹣7t ﹣4=0，∴2t 2﹣7t=4，∴t 2﹣t=2，∴t 2﹣t+=2+，∴（t ﹣）2=，故C 选项正确． D 、∵3x 2﹣4x ﹣2=0，∴3x 2﹣4x=2，∴x 2﹣x=，∴x 2﹣x+=+，∴（x ﹣）2=．故D 选项正确．故选：B ．点评：此题考查了配方法解一元二次方程，选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．练1用配方法解方程： x 2﹣2x ﹣24=0；（2）3x 2+8x-3=0；（3）x （x+2）=120.【解析】（1）移项，得x 2﹣2x=24，配方，得：x 2﹣2x+1=24+1，即：（x ﹣1）2=25， 开方，得：x ﹣1=±5， ∴x 1=6，x 2=﹣4．（2）两边除以3，得： 28103x x +-=, 移项，得：2813x x +=， 配方，得：222844()1()333x x ++=+，即：2245(x )()33+=，开方，得：4533x +=± ∴121,33x x ==- （3）整理，得：22120x x +=， 配方，得：2211201x x ++=+，即：2(1)121x +=，开方，得：111x +=±∴1210,12x x ==-点评：本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．2．用配方法求多项式的最值【例2】（2015春•龙泉驿区校级月考）当x ，y 取何值时，多项式x 2+4x+4y 2﹣4y+1取得最小值，并求出最小值． 【解析】把所给代数式整理为两个完全平方式子与一个常数的和，最小值应为那个常数，从而确定最小值．解：x 2+4x+4y 2﹣4y+1=x 2+4x+4+4y 2﹣4y+1﹣4=（x+2）2+（2y ﹣1）2﹣4，又∵（x+2）2+（2y ﹣1）2的最小值是0，∴x 2+4x+4y 2﹣4y+1的最小值为﹣4． ∴当x=﹣2，y=时有最小值为﹣4．点评：本题考查配方法的应用；根据﹣4y ，4x 把所给代数式整理为两个完全平方式子的和是解决本题的关键．总结：配方法是求代数式的最值问题中最常用的方法.基本思路是：把代数式配方成完全平方式与常数项的和，根据完全平方式的非负性求代数式的最值.练2（2014•甘肃模拟）用配方法证明：二次三项式﹣8x 2+12x ﹣5的值一定小于0．【解析】将﹣8x 2+12x ﹣5配方，先把二次项系数化为1，然后再加上一次项系数一半的平方，然后根据配方后的形式，再根据a 2≥0这一性质即可证得．解：﹣8x 2+12x ﹣5=﹣8（x 2﹣x ）﹣5=﹣8[x 2﹣x+（）2]﹣5+8×（）2=﹣8（x ﹣）2﹣， ∵（x ﹣）2≥0， ∴﹣8（x ﹣）2≤0， ∴﹣8（x ﹣）2﹣＜0，即﹣8x 2+12﹣5的值一定小于0． 点评：此题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．练3（2014秋•崇州市期末）已知a 、b 、c 为△ABC 三边的长．（1）求证：a2﹣b2+c2﹣2ac＜0．（2）当a2+2b2+c2=2b（a+c）时，试判断△ABC的形状．【解析】（1）将不等式的左边因式分解后根据三角形三边关系判断代数式的符号即可；（2）将等式右边的项移至左边，然后配方即可．解：（1）a2﹣b2+c2﹣2ac=（a﹣c）2﹣b2=（a﹣c+b）（a﹣c﹣b）∵a、b、c为△ABC三边的长，∴（a﹣c+b）＞0，（a﹣c﹣b）＜0，∴a2﹣b2+c2﹣2ac＜0．（2）由a2+2b2+c2=2b（a+c）得：a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2=0配方得：（a﹣b）2+（b﹣c）2=0∴a=b=c∴△ABC为等边三角形．点评：本题考查了配方法的应用，解题的关键是对原式正确的配方．五、课后小测一、选择题1．（2015•延庆县一模）若把代数式x2﹣2x+3化为（x﹣m）2+k形式，其中m，k为常数，结果为（）A．（x+1）2+4 B．（x﹣1）2+2C．（x﹣1）2+4 D．（x+1）2+22．（2015•东西湖区校级模拟）一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后为（）A．（x﹣4）2=17 B．（x+4）2=15C．（x+4）2=17 D．（x﹣4）2=17或（x+4）2=17二、填空题3．（2015春•盐城校级期中）一元二次方程x2﹣6x+a=0，配方后为（x﹣3）2=1，则a= ．4．（2014秋•营山县校级月考）当x= 时，代数式3x2﹣6x的值等于12．三、解答题5．（2015•东西湖区校级模拟）用配方法解方程：x2﹣2x﹣4=0．6．（2013秋•安龙县校级期末）试说明：不论x，y取何值，代数式x2+4y2﹣2x+4y+5的值总是正数．你能求出当x，y取何值时，这个代数式的值最小吗？7．（2014秋•蓟县期末）阅读下面的材料并解答后面的问题：小李：能求出x2+4x﹣3的最小值吗？如果能，其最小值是多少？小华：能．求解过程如下：因为x2+4x﹣3=x2+4x+4﹣4﹣3=（x2+4x+4）﹣（4+3）=（x+2）2﹣7而（x+2）2≥0，所以x2+4x﹣3的最小值是﹣7．问题：（1）小华的求解过程正确吗？（2）你能否求出x2﹣3x+4的最小值？如果能，写出你的求解过程．8．（2014秋•安陆市期末）阅读下面的解答过程，求y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8=y2+4y+4+4﹣（y+2）2+4∵（y+2）2≥0∴（y+2）2+4≥4∴y2+4y+8的最小值为4仿照上面的解答过程，求m2+m+4的最小值和4﹣2x﹣x2的最大值．9．（2014春•乳山市期末）已知代数式x2﹣2mx﹣m2+5m﹣5的最小值是﹣23，求m的值．10．（2014秋•江阴市期中）配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为3a2≥0，所以3a2+1≥1，即：3a2+1有最小值1，此时a=0；同样，因为﹣3（a+1）2≤0，所以﹣3（a+1）2+6≤6，即﹣3（a+1）2+6有最大值6，此时 a=﹣1．①当x= 时，代数式﹣2（x﹣1）2+3有最（填写大或小）值为．②当x= 时，代数式﹣x2+4x+3有最（填写大或小）值为．③矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是16m，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？第三讲公式法一、学习目标了解掌握一元二次方程根的判别式，不解方程能判定一元二次方程根的情况；理解一元二次方程求根公式的推导过程；掌握公式结构，知道使用公式前先将方程化为一般形式，通过判别式判断根的情况；学会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程．二、知识回顾1．什么是配方法?配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？配方法：通过配方，先把方程的左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负数，然后运用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法．配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）移常数项到方程右边； （2）化二次项系数为1；（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方； （4）化方程左边为完全平方式；（5）若方程右边为非负数，则利用直接开平方法解得方程的根．2．怎样用配方法解形如一般形式ax 2+bx +c =0(a ≠0)的一元二次方程？ 解：移项，得2,ax bx c +=-二次项系数化为1，得2,b c x x a a +=-配方，得222()(),22b b c bx x a a a a++=-+ 即：222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 因为0,a ≠所以当240b ac ->时，2b x a-=；当240;2b b ac a -==-12时，x =x240b ac -=当时，原方程无解.三、新知讲解一元二次方程根的判别式24b ac -叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)根的判别式，通常用希腊字母∆表示它，即24b ac ∆=-．一元二次方程根的情况与判别式的关系（1）240b ac ∆=->⇔方程有两个不相等的实数根； （2）240b ac ∆=-=⇔方程有两个相等的实数根； （3）240b ac ∆=-<⇔方程没有实数根． 公式法解一元二次方程一般地，对于一般形式的一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)，当240b ac -≥时，它的两个根分别是1x =，2x =，这里，()2402b x b ac a-±=-≥叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法．公式法解一元二次方程的一般步骤把方程化成一般形式：ax 2+bx +c =0(a ≠0)；确定a ，b ，c 的值；求出24b ac -的值，并判断方程根的情况：当240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根； 当240b ac -=时，方程有两个相等的实数根； 当240b ac -<时，方程没有实数根．当240b ac -≥时，将a ，b ，c 和24b ac -的值代入公式2b x a-=（注意符号）．四、典例探究1．根据根的判别式判断一元二次方程根的情况【例1】（2015•重庆）已知一元二次方程2x 2﹣5x+3=0，则该方程根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 两个根都是自然数 D ．无实数根分析：判断方程的根的情况，只要看根的判别式△=b 2﹣4ac 的值的符号就可以了． 解答：解：∵a=2，b=﹣5，c=3，∴△=b 2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×2×3=1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A ．点评：此题主要考查了一元二次方程根的判别式，要熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．总结：求根的判别式时，应该先将方程化为一般形式，正确找出a ，b ，c 的值.根的判别式与一元二次方程根的情况的关系如下：当240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根；当240b ac -=时，方程有两个相等的实数根；当240b ac -<时，方程没有实数根．练1．（2015•铜仁市）已知关于x 的一元二次方程3x 2+4x ﹣5=0，下列说法不正确的是（ ） A ．方程有两个相等的实数根 B ．方程有两个不相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法确定 分析：先求出△的值，再判断出其符号即可．解答：解：∵△=42﹣4×3×（﹣5）=76＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选B ．点评：本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△的关系是解答此题的关键．练2．（2015•泰州）已知：关于x 的方程x 2+2mx+m 2﹣1=0 （1）不解方程，判别方程根的情况； （2）若方程有一个根为3，求m 的值． 分析：（1）找出方程a ，b 及c 的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作出判断； （2）将x=3代入已知方程中，列出关于系数m 的新方程，通过解新方程即可求得m 的值．解答：解：（1）∵a=1，b=2m ，c=m 2﹣1，∵△=b 2﹣4ac=（2m ）2﹣4×1×（m 2﹣1）=4＞0，∴方程x2+2mx+m2﹣1=0有两个不相等的实数根；（2）∵x2+2mx+m2﹣1=0有一个根是3，∴32+2m×3+m2﹣1=0，解得，m=﹣4或m=﹣2．点评：此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．2．根据一元二次方程根的情况求参数的值或取值范围【例2】（2015•温州）若关于x的一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数根，则c的值是（）A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4分析：根据方程根的情况与判别式的关系知△=42﹣4×4c=0，然后解一次方程即可．解答：解：∵一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数根，∴△=42﹣4×4c=0，∴c=1，故选B．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．总结：已知方程根的情况求字母的值或取值范围时：先计算根的判别式；再根据方程根的情况列出关于根的判别式的等式或不等式求解；若二次项系数出现了字母，应注意“二次项系数不为0”．练3．（2015•凉山州）关于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≤3 B．m＜3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2分析：根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac的意义得到m-2≠0且△≥0，即22-4×（m-2）×1≥0，然后解不等式组即可得到m的取值范围．解答：解：∵关于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+1=0有实数根，∴m-2≠0且△≥0，即22-4×（m-2）×1≥0，解得m≤3，∴m的取值范围是 m≤3且m≠2．故选：D．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．3．用公式法解一元二次方程【例3】用公式法解下列方程：（1）x2+2x﹣2=0；（2）y2﹣3y+1=0；（3）x2+3=2x．分析：（1）求出b2﹣4ac的值，代入公式x=求出即可；（2）求出b2﹣4ac的值，代入公式y=求出即可；（3）求出b2﹣4ac的值是负数，即可得出原方程无解．解答：解：（1）这里a=1，b=2，c=﹣2，∵b2﹣4ac=22﹣4×1×（﹣2）=12＞0，∴x==﹣1，∴x1=﹣1+，x2=﹣1﹣；（2）这里a=1，b=﹣3，c=1．∵b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×1=5＞0，y=，∴y1=，y2=；（3）移项，得x2﹣2x+3=0，这里a=1，b=﹣2，c=3．∵b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×3=﹣4＜0．∴原方程没有实数根．点评：本题主要考查学生运用公式法正确解方程的能力，前提是先判断判别式的符号，再根据情况代入求根公式求解．总结：公式法的实质是配方法，只不过省去了配方的过程，而直接利用了配方的结论；运用公式法求解一元二次方程要注意两个前提：（1）先将一元二次方程化为一般形式，即确定a，b，c的值；（2）必须保证b2-4ac≥0．练4．（2014•锦江区模拟）解方程：x（x﹣2）=3x+1．分析：整理后求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．解答：解：x（x﹣2）=3x+1，整理得：x2﹣5x﹣1=0，b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）=29，x=，x1=，x2=．点评：本题考查了解一元二次方程的应用，能正确运用公式法解一元二次方程是解此题的关键，难度适中．练5．当x是何值时，3x2+4x﹣8的值和2x2﹣1的值相等？分析：根据3x2+4x﹣8的值和2x2﹣1的值相等，即可列出方程，然后利用公式法即可求解．解答：解：根据题意得：3x2+4x﹣8=2x2﹣1，即x2+4x﹣7=0，a=1，b=4，c=﹣7，△=b2﹣4ac=16+28=44＞0，则x==﹣2．点评：本题考查了公式法解一元二次方程，注意公式运用的条件：判别式△≥0．五、课后小测一、选择题1．（2015•云南）下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．4x2﹣5x+2=0 B．x2﹣6x+9=0 C．5x2﹣4x﹣1=0 D．3x2﹣4x+1=02．（2015•贵港）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有实数根，则整数a的最大值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．23．（2015•烟台）等腰直角三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，则n的值为（）A．9 B．10 C．9或10 D．8或104．（2015•株洲）有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a•c≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是（）A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=15．（2013•日照）已知一元二次方程x2﹣x﹣3=0的较小根为x1，则下面对x1的估计正确的是（）A．﹣2＜x1＜﹣1 B．﹣3＜x1＜﹣2 C．2＜x1＜3 D．﹣1＜x1＜0二、填空题6．（2011秋•册亨县校级月考）用公式法解方程2x2﹣7x+1=0，其中b2﹣4ac= ，x1= ，x2= ．三、解答题7．（2014秋•通山县期中）用公式法解方程：2x2﹣4x=5．8．（2014秋•金溪县校级月考）解方程：2x2﹣2x﹣5=0．9．（2013春•石景山区期末）用公式法解方程：x（x）=4．10．（2015•梅州）已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．11．（2015•咸宁）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．12．（2015•昆山市一模）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0．（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）若x1、x2是原方程的两根，且|x1﹣x2|=2，求m的值．13．（2015•南充一模）已知关于x的一元二次方程kx2﹣2（k﹣1）x+k﹣2=0（k≠0）（1）小明考查后说，它总有两个不相等的实数根．（2）小华补充说，其中一个根与k无关．请你说说其中的道理．第四讲因式分解法一、学习目标1．会用因式分解法解一元二次方程；2．会用换元法解一元二次方程；3．灵活选用简便的方法解一元二次方程.二、知识回顾1.分解因式的常用方法有哪些？（1）提取公因式法：am+bm+cm= m(a+b+c)（2）公式法：22()()-2(-)++=+222a ab b a b+=，a b a b a ba ab b a b-=+-，2222()（3）十字相乘法：2()()()+++=++x a b x ab x a x b三、新知讲解1．因式分解法把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做分解因式.当一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们可以使两个一次式分别等于0，从而实现降次. 这种解一元二次方程的方法称为因式分解法.2．因式分解法解一元二次方程的步骤：①把方程的右边化为0；②用提公因式法、公式法（这里指因式分解中的公式法）或十字相乘法把方程左边化成两个一次因式乘积的形式；③令每一个因式分别等于0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.3．因式分解法的条件、理论依据因式分解法解一元二次方程的条件是：方程右边等于0，而左边易于分解；理论依据是：如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零.四、典例探究1．用因式分解法解一元二次方程【例1】用因式分解法解方程：（1）2(2x －1)2=(1－2x )；（2）4(y ＋2)2=(y －3)2. 【解析】（1）移项，提取公因式；（2）移项并利用平方差公式分解因式求解.解：（1）2(2x －1)2=(1－2x )移项，得2(2x －1)2－(1－2x )=0，即：2(2x －1)2+(2x －1)=0，因式分解，得（2x-1）[2(2x-1)+1]=0， 整理，得(2x-1)(4x-1)=0， 解得x 1=12，x 2=14；（2）4(y ＋2)2=(y －3)2移项，得4(y ＋2)2-(y －3)2=0因式分解，得[2（y+2）+(y-3)][2(y+2)-(y-3)]=0 整理，得(3y+1)(y+7)=0 解得y 1=－13，y 2=－7.总结：用因式分解法解一元二次方程，是利用了“当ab=0时，必有a=0或者b=0”的结论. 因式分解法解一元二次方程的步骤： （1）把方程的右边化为0；（2）用提公因式法、公式法（这里指因式分解中的公式法）或十字相乘法把方程左边化成两个一次因式乘积的形式；（3）令每一个因式分别等于0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.练1（2014秋•赵县期末）用因式分解法解方程：x 2﹣6x+9=（5﹣2x ）2解：x 2﹣6x+9=（5﹣2x ）2，（x ﹣3）2﹣（5﹣2x ）2=0， 因式分解得：（x ﹣3+5﹣2x ）（x ﹣3﹣5+2x ）=0， 整理得：（2﹣x ）（3x ﹣8）=0， 解得：x 1=2，x 2=.点评：此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正确分解因式是解题关键．2．用换元法解一元二次方程【例2】（2014•山西校级模拟）解方程（x ﹣1）2﹣5（x ﹣1）+4=0时，我们可以将x ﹣1看成一个整体，设x ﹣1=y ，则原方程可化为y 2﹣5y+4=0，解得y 1=1，y 2=4．当y=1时，即x ﹣1=1，解得x=2；当y=4时，即x ﹣1=4，解得x=5，所以原方程的解为x 1=2，x 2=5．利用这种方法求方程（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0的解．【解析】先设2x+5=y ，则方程即可变形为y 2﹣4y+3=0，解方程即可求得y （即2x+5）的值，进一步可求出x 的值．解：设x ﹣1=y ，则原方程可化为y 2﹣4y+3=0， 所以（y ﹣1）（y ﹣3）=0 解得y 1=1，y 2=3．当y=1时，即2x+5=1， 解得x=﹣2；当y=3时，即2x+5=3， 解得x=﹣1，所以原方程的解为：x1=﹣2，x2=﹣1．点评：本题运用换元法解一元二次方程．总结：换元法在解特殊一元二次方程的时候用的较多，运用了整体思想.在一元二次方程中，某个代数式几次出现，用一个字母来代替它可以简化问题时，我们可以考虑用换元法来解.解高次方程时，通过换元的方法达到降次的目的．练2（2015•呼和浩特）若实数a、b满足（4a+4b）（4a+4b﹣2）﹣8=0，则a+b=_______．【解析】设a+b=x，则原方程转化为关于x的一元二次方程，通过解该一元二次方程来求x（即a+b）的值．解：设a+b=x，则由原方程，得4x（4x﹣2）﹣8=0，整理，得（2x+1）（x﹣1）=0，解得x1=﹣，x2=1．则a+b 的值是﹣或1．故答案是：﹣或1．点评：本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．练3解方程：（x2-3）2-5(3-x2)+4=0.【解析】设x2-3=y，则原方程转化为关于y的一元二次方程，通过解该一元二次方程来求y（即x2-3）的值．解：设x2-3=y，则原方程可化为y2-5(-y)+4=0，即：y2+5y+4=0，因式分解得：（y+1）(y+4)=0,解得y1=-1，y2=-4.当y1=-1时，x2-3=-1，即x2=2，解得x=当y2=-4时，x2-3=-4，即x2-3=-1，方程无实数根.综上，x=3．灵活选用方法解一元二次方程【例3】（2014秋•漳县校级期中）选择适当方法解下列方程：（1）x2﹣5x+1=0；（2）3（x﹣2）2=x（x﹣2）；（3）2x2﹣2x﹣5=0；（4）（y+2）2=（3y﹣1）2．【解析】（1）利用配方法得到（x ﹣）2=，然后根据直接开平方法求解；（2）先变形得到3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）=0，然后利用因式分解法解方程；（3）先计算判别式的值，然后利用求根公式法求解；（4）先变形得到（y+2）2﹣（3y﹣1）2=0，然后利用因式分解法解方程．解：（1）x2﹣5x=﹣1，x2﹣5x+（）2=﹣1+（）2，（x﹣）2=，x﹣=±，所以x1=，x2=；（2）3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）=0，（x﹣2）（3x﹣6﹣x）=0，所以x1=2，x2=3；（3）△=（﹣2）2﹣4×2×（﹣5）=48x===，所以x1=，x2=；（4）（y+2）2﹣（3y﹣1）2=0，（y+2+3y﹣1）（y+2﹣3y+1）=0，y+2+3y﹣1=0或y+2﹣3y+1=0，所以y1=﹣，y2=．点评：本题考查了一元二次方程的四种常见解法．总结：解一元二次方程常用的方法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法，根据一元二次方程的特征，灵活选用解方程的方法，可以起到事半功倍的作用.（1）一般地，当一元二次方程一次项系数为0时，即形如ax2+c=0形式的一元二次方程，应选用直接开平方法.（2）若常数项为0，即形如ax2+bx=0的形式，应选用因式分解法.（3）若一次项系数和常数项都不为0，即形如ax2+bx+c=0的形式，看左边的整式是否能够因式分解，如果能，则宜选用因式分解法；不然选用公式法；不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.（4）公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的. 因此在解方程时，我们首先考虑能否应用直接开平方法、因式分解法等简单方法，若不行，则再考虑公式法（适当也可考虑配方法）.练4（2015春•无锡校级期中）选择合适的方法解下列方程.（1）x2﹣5x﹣6=0；（2）3x2﹣4x﹣1=0；（3）x（x﹣1）=3﹣3x；【解析】（1）根据因式分解法，可得方程的解；（2）根据公式法，可得方程的解；（3）根据因式分解法，可得方程的解；（4）根据公式法，可得方程的解．解：（1）因式分解，得 （x ﹣1）（x ﹣6）=0，解得x 1=6，x 2=﹣1； （2）a=3，b=﹣4，c=﹣1，x 1=，x 2=；（3）方程化简得x 2+2x ﹣3=0， 因式分解，得（x+3）（x ﹣1）=0， 解得x 1=1，x 2=﹣3；（4）a=1，b=﹣2，c=1，x 1=1+，x 2=﹣1+．点评：本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点选择适当的方法是解题关键．五、课后小测 一、选择题1．方程（x-16）(x+8)=0的根是（ ）A. x 1=-16，x 2=8B. x 1=16，x 2=-8C. x 1=16，x 2=8D. x 1=-16，x 2=-8 2. 方程5x(x+3)=3(x+3)的解为（ ） A.123,35x x == B.35x = C.123,35x x =-=- D.123,35x x ==-3.（2015•滕州市校级模拟）方程x 2﹣2x=3可以化简为（ ）A ．（x ﹣3）（x+1）=0B ．（x+3）（x ﹣1）=0C ．（x ﹣1）2=2D ．（x ﹣1）2+4=0 二、填空题4．（2015•丽水）解一元二次方程x 2+2x ﹣3=0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程 ． 5．（2014•杭州模拟）方程x （x+1）=2（x+1）的解是 ．6．（2013秋•苏州期末）已知（x 2+y 2+1）（x 2+y 2+2）=6，则x 2+y 2的值为 ． 三、解答题 7．（2014秋•静宁县期末）解下列方程：（1）x 2﹣2x+1=0（2）x 2﹣2x ﹣2=0（3）（x ﹣3）2+2（x ﹣3）=0． 8．（2014秋•沧浪区校级期末）解下列方程：（1）x 2﹣4x ﹣3=0（2）（x ﹣2）2=3（x ﹣2） （3）2（﹣x ）2﹣（x ﹣）﹣1=0．9．（2014秋•宛城区校级期中）为了解方程（x 2﹣1）2﹣5（x 2﹣1）+4=0，我们可以将x 2﹣1看作一个整体，然后设x 2﹣1=y ，则（x 2﹣1）2=y 2，那么原方程可化为y 2﹣5y+4=0，解得y 1=1，y 2=4．当y=1时，x 2﹣1=1，x 2=2，x=±．。
一元二次方程的解法因式分解法知识点总结
一元二次方程的解法--公式法，因式分解法—知识讲解（基础）【学习目标】1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；2.正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；3.通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．【要点梳理】要点一、公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.（2）一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+=.①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：21,242b b acx a -±-=.②当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a =-.③当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根.要点二、因式分解法解一元二次方程 1.用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 【典型例题】类型一、公式法解一元二次方程1.用公式法解下列方程．(1)x 2+3x+1=0；(2)2241x x =-； (3)2x 2+3x-1=0．【答案与解析】(1)a=1，b=3，c=1∴x==．∴x 1=，x 2=．(2)原方程化为一般形式，得22410x x -+=．∵2a =，4b =-，1c =，∴224(4)42180b ac -=--⨯⨯=>．∴42221222x ±==±⨯，即1212x =+，2212x =-．(3)∵a=2，b=3，c=﹣1∴b 2﹣4ac=17＞0∴x=∴x 1=，x 2=．【总结升华】用公式法解一元二次方程的关键是对a 、b 、c 的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定a ，b ，c 的值并计算24b ac -的值；(3)若24b ac -是非负数，用公式法求解． 举一反三：【变式】用公式法解方程：（2014•武汉模拟）x 2﹣3x ﹣2=0．【答案】解：∵a=1，b=﹣3，c=﹣2；∴b 2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）=9+8=17；∴x==， ∴x 1=，x 2=．2．用公式法解下列方程： (1)（2014•武汉模拟）2x 2+x=2；(2)（2014秋•开县期末）3x 2﹣6x ﹣2=0 ；（3）（2015•黄陂区校级模拟）x 2﹣3x ﹣7=0．【思路点拨】针对具体的试题具体分析，不是一般式的先化成一般式，再写出a,b,c 的值，代入求值即可.【答案与解析】解：(1)∵2x 2+x ﹣2=0，∴a=2，b=1，c=﹣2，∴x===，∴x 1=，x 2=．(2)∵a=3，b=﹣6，c=﹣2，∴b 2﹣4ac=36+24=60＞0，∴x=， ∴x 1=，x 2=（3）∵a=1，b=﹣3，b=﹣7．∴b 2﹣4ac=9+28=37.x==，解得 x 1=，x 2=．【总结升华】首先把每个方程化成一般形式，确定出a 、b 、c 的值，在240b ac -≥的前提下，代入求根公式可求出方程的根． 举一反三：【变式】用公式法解下列方程： 2221x x +=； 【答案】解：移项，得22210x x +-=．∵ 2a =，2b =，1c =-，224242(1)120b ac -=-⨯⨯-=>，∴ 21213222x -±-±==⨯， ∴ 1132x --=，2132x -+=．类型二、因式分解法解一元二次方程3．用因式分解法解下列方程：(1)3(x+2)2＝2(x+2)； (2)(2x+3)2-25＝0； （3）x （2x+1）=8x ﹣3．【思路点拨】 用因式分解法解方程，一定要注意第1小题，等号的两边都含有（x+2）这一项，切不可在方程的两边同除以（x+2）,化简成3（x+2）=2,因为你不知道（x-2）是否等于零.第2小题，运用平方差公式可以，用直接开方也可以.第3小题化成一般式之后，再运用分解因式法解方程. 【答案与解析】(1)移项．得3(x+2)2-2(x+2)＝0，(x+2)(3x+6-2)＝0．∴ x+2＝0或3x+4＝0，∴ x 1＝-2，243x =-． (2)(2x+3-5)(2x+3+5)＝0，∴ 2x-2＝0或2x+8＝0， ∴ x 1＝1，x 2＝-4．（3）去括号，得：2x 2+x=8x ﹣3，移项，得：2x 2+x ﹣8x+3=0合并同类项，得：2x 2﹣7x+3=0， ∴（2x ﹣1）（x ﹣3）=0， ∴2x﹣1=0或 x ﹣3=0，∴，x 2=3．【总结升华】(1)中方程求解时，不能两边同时除以(x+2)，否则要漏解．用因式分解法解一元二次方程必须将方程右边化为零，左边用多项式因式分解的方法进行因式分解．因式分解的方法有提公因式法、公式法、二次三项式法及分组分解法．(2)可用平方差公式分解．4．解下列一元二次方程： (1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0； (2)(31)(1)(41)(1)x x x x --=+-．【答案与解析】(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0，(2x+1+2)2＝0．即2(23)0x +=， ∴ 1232x x ==-． (2)移项，得(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)＝0，即(x-1)(x+2)＝0，所以11x =，22x =-．【总结升华】解一元二次方程时，一定要先从整体上分析，选择适当的解法．如 (1)可以用完全平方公式．用含未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程丢根，（2）容易丢掉x ＝1这个根． 举一反三：【变式】（1）（x+8）2-5(x+8)+6=0 （2）3(21)42x x x +=+【答案】（1）（x+8-2）(x+8-3)=0(x+6)(x+5)=0 X 1=-6,x 2=-5. (2)3x(2x+1)-2(2x+1)=0(2x+1)(3x-2)=01212,23x x =-=.5．探究下表中的奥秘，并完成填空：一元二次方程 两个根 二次三项式因式分解 x 2﹣2x+1=0 x 1=1，x 2=1 x 2﹣2x+1=（x ﹣1）（x ﹣1） x 2﹣3x+2=0 x 1=1，x 2=2 x 2﹣3x+2=（x ﹣1）（x ﹣2） 3x 2+x ﹣2=0 x 1=，x 2=﹣1 3x 2+x ﹣2=3（x ﹣）（x+1） 2x 2+5x+2=0x 1=﹣，x 2=﹣2 2x 2+5x+2=2（x+）（x+2）4x 2+13x+3=0 x 1= ，x 2= 4x 2+13x+3=4（x+ ）（x+ ）将你发现的结论一般化，并写出来．【思路点拨】利用因式分解法，分别求出表中方程的解，总结规律，得出结论． 【答案与解析】填空：﹣，﹣3；4x 2+13x+3=4（x+）（x+3）．发现的一般结论为：若一元二次方程 ax 2+bx+c=0的两个根为x 1、x 2，则 ax 2+bx+c=a （x ﹣x 1）（x ﹣x 2）．【总结升华】考查学生综合分析能力，要根据求解的过程，得出一般的结论，解一元二次方程——因式分解法．一元二次方程的解法--公式法，因式分解法—巩固练习（基础）【巩固练习】 一、选择题 1．（2014•泗县校级模拟）下列方程适合用因式方程解法解的是（ ） A ．x 2﹣3x+2=0 B ．2x 2=x+4 C ．（x ﹣1）（x+2）=72 D ．x 2﹣11x ﹣10=02．方程(1)2x x -=的解是( )A ．1x =-B ．2x =-C ．11x =-，22x =D ．11x =，22x =-3．一元二次方程2340x x +-=的解是( ) A ．11x =；24x =- B ．11x =-；24x = C ．11x =-；24x =- D ．11x =；24x =4.方程x 2-5x-6＝0的两根为( )A ．6和1B ．6和-1C ．2和3D ．-2和3 5．方程(x-5)(x-6)＝x-5的解是 ( )A ．x ＝5B ．x ＝5或x ＝6C ．x ＝7D ．x ＝5或x ＝7 6．已知210x x --=，则3222012x x -++的值为 ( )A ． 2011B ．2012C ． 2013D ．2014 二、填空题7．（2015•厦门）方程x 2+x ＝0的解是___ _____； 8．方程(x-1)(x+2)(x-3)＝0的根是_____ ___．9．请写一个两根分别是1和2的一元二次方程___ _____．10．若方程x 2-m ＝0的根为整数，则m 的值可以是_____ ___．(只填符合条件的一个即可) 11．已知实数x 、y 满足2222()(1)2x y x y ++-=，则22x y +=________．12．已知y ＝(x-5)(x+2)．(1)当x 为 值时，y 的值为0； (2)当x 为 值时，y 的值为5.三、解答题 13．（2014秋•宝坻区校级期末）解方程 （1）2（x ﹣3）2=8（直接开平方法）（2）4x 2﹣6x ﹣3=0（运用公式法）（3）（2x ﹣3）2=5（2x ﹣3）（运用分解因式法） （4）（x+8）（x+1）=﹣12（运用适当的方法）14.用因式分解法解方程（1）x 2-6x-16＝0．（2）(2x+1)2+3(2x+1)+2＝0．15(2)请观察上表，结合24b ac -的符号，归纳出一元二次方程的根的情况． (3)利用上面的结论解答下题．当m 取什么值时，关于x 的一元二次方程(m-2)x 2+(2m+1)x+m-2＝0， ①有两个不相等的实数根； ②有两个相等的实数根； ③没有实数根．【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】C ；【解析】解：根据分析可知A 、B 、D 适用公式法．而C 可化简为x 2+x ﹣72=0，即（x+9）（x ﹣8）=0， 所以C 适合用因式分解法来解题．故选C ．2.【答案】C ；【解析】整理得x 2-x-2＝0，∴ (x-2)(x+1)＝0.3.【答案】A ；【解析】可分解为(x-1)(x+4)＝04.【答案】B ；【解析】要设法找到两个数a ，b ，使它们的和a+b ＝-5，积ab ＝-6，∴ (x+1)(x-6)＝0，∴ x+1＝0或x-6＝0． ∴ x 1＝-1，x 2＝6． 5.【答案】D ；【解析】此方程左右两边含有相同的因式(x-5)，应移项后用因式分解法求解．即(x-5)(x-6)-(x-5)0．∴ (x-5)(x-6-1)＝0，∴ 15x =，27x =6.【答案】C ；【解析】由已知得x 2-x ＝1，∴ 322222012()20122012120122013x x x x x x x x 2-++=--++=-++=+=．二、填空题 7．【答案】x 1＝0，x 2＝-1．【解析】可提公因式x ，得x(x+1)＝0．∴ x ＝0或x+1＝0，∴ x 1＝0，x 2＝-1． 8．【答案】x 1＝1，x 2＝-2，x 3＝3.【解析】由x-1＝0或x+2＝0或x-3＝0求解． 9．【答案】2320x x -+=；【解析】逆用因式分解解方程的方法，两根为1、2的方程就是(x-1)(x-2)＝0，然后整理可得答案． 10．【答案】4；【解析】 m 应是一个整数的平方，此题可填的数字很多． 11．【答案】2；【解析】由(x 2+y 2)2-(x 2+y 2)-2＝0得(x 2+y 2+1)(x 2+y 2-2)＝0又由x ，y 为实数，∴ x 2+y 2＞0，∴ x 2+y 2＝2． 12．【答案】 (1) x ＝5或x ＝-2；(2) 3692x +=或3692x -=． 【解析】(1)当y ＝0时(x-5)(x+2)＝0，∴ x-5＝0或x+2＝0，∴ x ＝5或x ＝-2．(2)当y ＝5时(x-5)(x+2)＝5，∴ 23150x x --=，3941(15)369212x ±-⨯⨯-±==⨯，∴ 3692x +=或3692x -=． 三、解答题13.【解析】解：（1）（x ﹣3）2=4x ﹣3=2或x ﹣3=﹣2， 解得，x 1=1或x 2=5； （2）a=4，b=﹣6，c=﹣3，b 2﹣4ac=（﹣6）2﹣4×4×（﹣3）=84，x==，，；（3）移项得，（2x ﹣3）2﹣5（2x ﹣3）=0，因式分解得，（2x ﹣3）（2x ﹣3﹣5）=0，，x 2=4；（4）化简得，x 2+9x+20=0，（x+4）（x+5）=0，解得，x 1=﹣4，x 2=﹣5．14.【解析】（1）(x-8)(x+2)＝0，∴ x-8＝0或x+2＝0，∴ 18x =，22x =-．（2）设y ＝2x+1，则原方程化为y2+3y+2＝0，∴ (y+1)(y+2)＝0，∴ y+1＝0或y+2＝0， ∴ y ＝-1或y ＝-2．当1y =-时，211x +=-，1x =-；当2y =-时，212x +=-，32x =-． ∴ 原方程的解为11x =-，232x =-．15.【解析】(2)①当240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根； ②当240b ac -=时，方程有两个相等的实数根；③当240b ac -<时，方程没有实数根． (3)242015b ac m -=-，①当原方程有两个不相等的实数根时，2420150b ac m -=->，即34m >且m ≠2； ②当原方程有两个相等的实数根时，b 2 -4ac =20m -15=0，即34m =； ③当原方程没有实数根时， 2420150b ac m -=-<，即34m <．一元二次方程的解法--公式法，因式分解法—知识讲解（提高）【学习目标】1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；2.正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；3.通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．【要点梳理】要点一、公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用.（2）一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+= ①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：21,242b b acx a--=②当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a=-③当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根. 要点二、因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、公式法解一元二次方程1．解关于x 的方程2()(42)50m n x m n x n m ++-+-=．【答案与解析】(1)当m+n ＝0且m ≠0，n ≠0时，原方程可化为(42)50m m x m m +--=．∵ m ≠0，解得x ＝1．(2)当m+n ≠0时，∵ a m n =+，42b m n =-，5c n m =-，∴ 2224(42)4()(5)360b ac m n m n n m m -=--+-=≥，∴ 2243624|6|2()2()n m m n m m x m n m n -±-±==++， ∴ 11x =，25n m x m n-=+． 【总结升华】解关于字母系数的方程时，应该对各种可能出现的情况进行讨论．举一反三：【高清ID 号：388515关联的位置名称（播放点名称）：用公式法解含有字母系数的一元二次方程---例2练习】【变式】解关于x 的方程2223(1)x mx mx x m ++=+≠；【答案】原方程可化为2(1)(3)20,m x m x -+-+= ∵1,3,2,a m b m c =-=-=∴ 2224(3)8(1)(1)0b ac m m m -=---=+≥，∴ 23(1)3(1),2(1)2(1)m m m m x m m -±+-±+==-- ∴ 122, 1.1x x m==- 2． 用公式法解下列方程： (m-7)(m+3)+(m-1)(m+5)＝4m ；【答案与解析】方程整理为224214540m m m m m --++--=，∴ 22130m m --=，∴ a ＝1，b ＝-2，c ＝-13，∴ 224(2)41(13)56b ac -=--⨯⨯-=，∴ 24(2)56221b b ac m a -±---±==⨯22141142±==±， ∴ 1114m =+，2114m =-．【总结升华】先将原方程化为一般式，再按照公式法的步骤去解.举一反三：【高清ID 号：388515关联的位置名称（播放点名称）：用因式分解法解含字母系数的一元二次方程---例5（3）】【变式】用公式法解下列方程：【答案】∵21,3,2,a b m c m ==-= ∴22224(3)4120b ac m m m -=--⨯⨯=≥ ∴23322m m m m x ±±== ∴122,.x m x m ==类型二、因式分解法解一元二次方程3．（2015•东西湖区校级模拟）解方程：x 2﹣1=2（x+1）．【答案与解析】解：∵x 2﹣1=2（x+1），∴（x+1）（x ﹣1）=2（x+1），∴（x+1）（x ﹣3）=0，∴x 1=﹣1，x 2=3．【总结升华】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，左边先平方差公式分解，然后提取公因式（x+1），注意不要两边同除（x+1），这样会漏解.举一反三：【变式】解方程（2015·茂名校级一模）（1）x 2-2x-3=0； （2）（x-1）2+2x(x-1)=0．【答案】解：（1）分解因式得：（x-3）（x+1）=0∴x-3=0，x+1=0∴x 1=3,x 2=-1.（2）分解因式得：（x-1）（x-1+2x ）=0∴x-1=0，3x-1=0∴x 1=1,x 2=13.4．如果2222()(2)3x y x y ++-=，请你求出22x y +的值．【答案与解析】设22x y z +=，∴ z(z-2)＝3．整理得：2230z z --=，∴ (z-3)(z+1)＝0．∴ z 1＝3，z 2＝-1．∵ 220z x y =+>，∴ z ＝-1(不合题意，舍去)∴ z ＝3．即22x y +的值为3．【总结升华】如果把22x y +视为一个整体，则已知条件可以转化成一个一元二次方程的形式，用因式分解法可以解这个一元二次方程．此题看似求x 、y 的值，然后计算22x y +，但实际上如果把22x y +看成一个整体，那么原方程便可化简求解。
一元二次方程的解法详细解析
一元二次方程的解法详细解析只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
标准形式:ax²+bx+c=0(a≠0)一元二次方程有4种解法，即直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。
下面小编和你具体讲解一元二次方程的四种解法例析。
一元二次方程的解法例析【一元二次方程要点综述】：【要点综述】：一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是学生今后学习数学的基础。
在没讲一元二次方程的解法之前，先说明一下它与一元一次方程区别。
根据定义可知，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，一般式为：。
一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程。
因此判断一个方程是否为一元二次方程，要先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理，如能整理为的形式，那么这个方程就是一元二次方程。
下面再讲一元二次方程的解法。
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”，将它化为两个一元一次方程。
一元二次方程的基本解法有四种：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
如下表：方法适合方程类型注意事项直接开平方法≥0时有解，＜0时无解。
配方法二次项系数若不为1，必须先把系数化为1，再进行配方。
公式法≥0时，方程有解；＜0时，方程无解。
先化为一般形式再用公式。
因式分解法方程的一边为0，另一边分解成两个一次因式的积。
方程的一边必须是0，另一边可用任何方法分解因式。
【举例解析】例1：已知，解关于的方程。
分析：注意满足的的值将使原方程成为哪一类方程。
解：由得：或，当时，原方程为，即，解得. 当时，原方程为，即，解得，. 说明：由本题可见，只有项系数不为0，且为最高次项时，方程才是一元二次方程，才能使用一元二次方程的解法，题中对一元二次方程的描述是不完整的，应该说明最高次项系数不为0。
通常用一般形式描述的一元二次方程更为简明，即形如的方程叫作关于的一元二次方程。
初三数学-一元二次方程知识点
初三数学一元二次方程1. 一元二次方程的定义及一般形式：（1） 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
（2） 一元二次方程的一般形式： 20(0)ax bx c a ++=≠。
其中a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2；③是整式方程。
2. 一元二次方程的解法（1）直接开平方法：形如2()(0)x a b b +=≥的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得x a +=或者x a +=∴x a =-±注意：若b<0，方程无解（2）因式分解法：一般步骤如下： ①将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0；②将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。
（3） 配方法:用配方法解一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的一般步骤①二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；②移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；③配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为2()(0)x m n n +=≥的形式；④用直接开平方法解变形后的方程。
注意：当0n <时，方程无解（4） 公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠ 根的判别式：24b ac ∆=-0∆>⇔方程有两个不相等的实根:2b x a-±=240b ac -≥）⇔()f x 的图像与x 轴有两个交点0∆=⇔方程有两个相等的实根⇔()f x 的图像与x 轴有一个交点0∆<⇔方程无实根⇔()f x 的图像与x 轴没有交点3. 韦达定理（根与系数关系）我们将一元二次方程化成一般式ax 2+bx+c ＝0之后，设它的两个根是1x 和2x ，则1x 和2x 与方程的系数a ，b ，c 之间有如下关系： 1x +2x ＝b a -； 1x •2x ＝c a4.一元二次方程的应用列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似①“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系； ②“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；③“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。
一元二次方程一般解法
一元二次方程一般解法一元二次方程是一个二次方程，它的一般形式为ax²+ bx + c = 0，其中a、b 和c是系数，且a ≠0。
这是一个非常基础的二次方程形式，它可以用于描述许多实际问题，例如物体运动、投资回报等。
在解一元二次方程时，我们通常使用以下三种方法：1. 公式法对于任何一元二次方程，我们都可以使用公式法来求解。
公式法基于二次方程的根的判别式Δ= b²- 4ac。
如果Δ> 0，方程有两个实根；如果Δ= 0，方程有一个实根；如果Δ< 0，方程没有实根。
实根的公式是x = [-b ±sqrt(Δ)] / 2a。
通过将方程的系数代入这个公式，我们可以找到方程的解。
2. 因式分解法因式分解法是将二次方程转化为两个一次方程，然后解一次方程的方法。
通过将方程的左边分解为两个因式，我们可以找到这两个因式的根，从而得到原方程的解。
例如，对于方程x²- 2x - 3 = 0，我们可以将其转化为(x - 3)(x + 1) = 0的形式，从而得到x = 3或x = -1。
3. 图解法图解法是通过绘制二次方程的图形来找到解的方法。
在坐标系中，我们将二次方程的左边看作一个抛物线，然后找到这个抛物线的顶点或与x轴的交点，这些点就是方程的解。
例如，对于方程x²- 2x - 3 = 0，我们可以将其看作y = x²- 2x - 3在坐标系中的图形，找到抛物线的顶点或与x轴的交点，从而得到方程的解。
在解一元二次方程时，我们可以根据实际情况选择合适的方法。
公式法适用于任何情况，但计算可能比较复杂；因式分解法适用于能够分解因式的情况；图解法适用于能够绘制图形的情况。
通过选择合适的方法，我们可以方便地解决实际问题。
解一元二次方程(知识点考点)九年级数学上册知识点考点(解析版)
解一元二次方程（知识点考点一站到底）知识点☀笔记一元二次方程的解法一元二次方程的四种解法：（1） 直接开平方法：如果()20x k k =≥，则x k =（2） 配方法：要先把二次项系数化为1，然后方程两变同时加上一次项系数一半的平方，配成左边是完全平方式，右边是非负常数的形式，然后用直接开平方法求解；（3） 公式法：一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的求根公式是24b b ac x -±-=()240b ac -≥； （4） 因式分解法：如果()()0x a x b --=则12,x a x b ==。
温馨提示：一元二次方程四种解法都很重要，尤其是因式分解法，它使用的频率最高，在具体应用时，要注意选择最恰当的方法解。
根的判别式 定义：运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b ac x a a-+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：22424b b ac x a a -+= 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实数根）由24b ac ∆=-确定．设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,24b b ac x -±-=． ②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a==-． ③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根． 考点☀梳理解题指导：① 形如（x ＋m ）2＝n （n ≥0）的方程可用直接开平方法；② 当方程二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，可用配方法；③ 若方程移项后一边为0，另一边能分解成两个一次因式的积，可用因式分解法；④ 如果方程不能用直接开平方法和因式分解法求解，则用公式法.⑤ 十字相乘法例如：解方程：x 2＋3x －4＝0.第1种拆法：4x －x ＝3x （正确），第2种拆法：2x －2x ＝0（错误），所以x 2＋3x －4＝（x ＋4）（x －1）＝0，即x ＋4＝0或x －1＝0，所以x 1＝－4，x 2＝1.⑥ 换元法在已知或者未知条件中，某个代数式几次出现，可用一个字母来代替它从而简化问题，这就是换元法，当然有时候要通过变形才能换元.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的.考点1：直接开方法解一元二次方程必备知识点：①直接开平方法：如果()20x k k =≥，则x k =题型1 直接开方法解一元二次方程例1．（2022·新疆·沙雅县第五中学七年级期中）解方程：()216125x +=． 【答案】114x =，294x =- 【分析】方程两边同时除以16，再开平方来求解．【详解】解：方程两边同时除以16得()225116x +=， 开平方得514x +=±， 解得114x =，294x =-． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，理解直接开平方法是解答关键．例2．（2022·陕西安康·九年级期末）解方程：1250x --=． 【答案】16x =，24x =-【分析】由()21250x --=，得出2125x ，开方得15x -=±，即可解出【详解】∵()21250x --=，∵2125x ，∵15x -=或15x -=-，则16x =，24x =-．【点睛】本题考查直接开方法求解一元二次方程，将题给式子移项，化为2x a =的形式，再利用数的开放直接求解．练习1．（2022·广东·可园中学七年级期中）解方程：24(3)250x --=．【答案】1112x =，212x =【分析】利用直接开平方法求解即可．【详解】解：24(3)250x --=，24(3)25x -=，225(3)4x -=， 532x ∴-=±， 1112x ∴=，212x =． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．【答案】x 1＝16，x 2＝﹣14【分析】根据直接开平方法进行求解即可．【详解】解：∵（x ﹣1）2＝225，∵x ﹣1＝±15，解得x 1＝16，x 2＝﹣14．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．练习3．（2022·江苏·九年级专题练习）解方程：2x 2＝6 【答案】x 13=，x 23=-【分析】直接开平方即可一元二次方程．【详解】解：226x =，23x =，3x ∴=±，13x ∴=，23x =-．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．练习4．（2022·北京·通州区运河中学八年级阶段练习）用开平方法解方程：316m =． 【答案】134m =+，234m =-【分析】根据开平方法解一元二次方程即可求解．【详解】解：()2316m -=，34m -=±，34m =±， ∴134m =+，234m =-．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．考点2：配方法解一元二次方程必备知识点：①当方程二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，可用配方法；题型2 配方法解一元二次方程例1．（2022·安徽合肥·八年级期末）用配方法解方程：21090x x -+= 【答案】19x =，21x =【分析】利用解一元二次方程-配方法：先把二次项系数化为1，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，进行计算即可．【详解】解：21090x x -+=，2109x x -=-，21025925x x -+=-+，2(5)16x -=，54x -=±，54x -=或54x -=-，19x =，21x =．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程-配方法的步骤． 例2．（2021·河南南阳·九年级期中）用配方法解方程23210x x +-=． 【答案】11x =-，213x = 【分析】先将原方程配方，然后再整体运用直接开平方法，最后求出x 即可．【详解】解：原方程可化为：22133x x += 22221113333x x ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 21439x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 1233x +=±， 11x =-，213x =． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用配方法解一元二次方程是解答本题的关键．【答案】x 1＝32，x 2＝﹣4 【分析】移项，方程两边都除以2，再配方，开方，即可得出两个方程，再求出方程的解即可．【详解】解：2x 2+5x ﹣12＝0，移项，得2x 2+5x ＝12，x 2+52x ＝6， 配方，得x 2+52x +2516＝6+2516，即（x +54）2＝12116， 开方，得x +54＝±114， 解得：x 1＝32，x 2＝﹣4． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．【答案】11x =，23x =【分析】利用配方法解答，即可求解．【详解】解：2430x x -+=，配方得∵()221x -=，解得∵21x -=±，即11x =，23x =．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法——直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法是解题的关键． 练习3．（2022·安徽合肥·八年级期末）解方程：x 2-6x =8 【答案】12317,317x x =+=-【分析】利用配方法解一元二次方程即可得．【详解】解：268x x -=，26989x x -+=+，2(3)17x -=，317x -=±，317x =±，即方程的解为12317,317x x =+=-．【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法（如直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法等）是解题关键．【答案】x 1＝162+，x 2＝162- 【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方．【详解】解：2x 2﹣4x ﹣1＝0x 2﹣2x 12-=0 x 2﹣2x +112=+1 （x ﹣1）232=∵x 1＝162+，x 2＝162-． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．例1．（2022·广西贺州·八年级期中）请阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式的223x x +-最小值．()22222232111314x x x x x +-=+⋅+--=+- ()210x +≥∴当x =－1时，223x x +-有最小值－4请根据上述方法，解答下列问题：(1)(()2222352332x x x x x a b ++=+++=++，则a ＝__________，b ＝__________； (2)若代数式227x kx -+的最小值为3，求k 的值． 【答案】(1)3，2(2)2k =±【分析】（1）根据配方法直接作答即可；（2）根据题中材料告知的方法，先配方，再根据平方的非负性求解即可．（1）解：2235x x ++()222332x x =+⨯++ ()232x =++，3,2a b ∴==，故答案为：3，2；（2）解：227x kx -+22227x kx k k =-+-+()227x k k =--+， ∵2)0x k -≥（， ∵()227x k k --+的最小值是27k -+，∵代数式227x kx -+有最小值3，∵273k -+=，即24k =，∵2k =±．【点睛】此题考查了配方法的应用，以及平方的非负性，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．练习1．（2022·山东泰安·八年级期中）在学了乘法公式“222()2a b a ab b ±=±+”的应用后，王老师提出问题：求代数式245x x ++的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答．同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法；解：22222454225(2)1x x x x x ++=++-+=++，∵2(2)0x +≥，∵2(2)11x ++≥．当2(2)0x +=时，2(2)1x ++的值最小，最小值是1．∵245x x ++的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题：(1)直接写出2(1)3x -+的最小值为_____．(2)求代数式21032x x ++的最小值． (3)你认为代数式21253x x -++有最大值还是有最小值？求出该最大值或最小值． (4)若27110x x y -+-=，求x ＋y 的最小值．【答案】(1)3(2)21032x x ++的最小值是7；(3)21253x x -++有最大值，最大值是8； (4)x +y 的最小值是2．【分析】（1）根据偶次方的非负性可求得；（2）根据题意用配方法和偶次方的非负性可直接求得；（3）根据题意用配方法和偶次方的非负性可直接求得；（4）根据7x －x 2+y －11=0，用x 表示出y ，写出x +y ，先根据题意用配方法和偶次方的非负性可求． （1）解：()213x -+，当x ＝1时，2(1)3x -+有最小值，是3；故答案为：3；（2）解：222221032105532(5)7x x x x x ++=++-+=++．∵2(05)x +≥，∵2(5)77x ++≥，当2(5)0x +=时，2(5)7x ++的值最小，最小值是7．∵21032x x ++的最小值是7；（3）解：21253x x -++有最大值，理由如下： ∵21253x x -++ 21(6)53x x =--+ =21(699)53x x --+-+ 21(69)353x x =--+++ 2133()8x =-++． 当21(3)03x -+=时，21(3)83x -++有最大值，最大值是8， ∵21253x x -++有最大值，最大值是8； （4）解：∵27110x x y -+-=，∵2711y x x =-++，∵22222271161163311(3)2x y x x x x x x x x +=-++=-+=-+-+=-+，∵2(3)0x -≥，∵2(3)22x -+≥，当2(3)0x -=时，2(3)2x -+的值最小，最小值是2．∵x +y 的最小值是2．【点睛】本题考查了配方法的应用和偶次方为非负数，解题的关键是能够将代数式配成完全平方式的形式．265x x ++22223335x x =+⋅⋅+-+2(3)4x =+-∵ ()230x +≥，∵ 当x =-3时，代数式265x x ++的最小值为-4．请根据上述的方法，解答下列问题：(1) 2261()x x x m n +-=++，则mn 的值为_______．(2)求代数式2265x x --+的最大值．(3)若代数式226x kx ++的最小值为2，求k 的值． 【答案】(1)-30(2)最大值为11(3)k =42±【分析】（1）利用配方法根据一次项的系数求出m 与n 的值，再相乘即可；（2）先提出代数式的负号，再进行配方，最后根据偶次方的非负性求出代数式的最大值即可； （3）先将代数式中的二次线系数提出来化为1，再进行配方，根据最小值为2求出k 的值即可．(1)解：261x x +-22223331x x =+⋅⋅+--2(3)10x =+-2()x m n =++ 解得m =3，n =-10，∵mn =-30．(2)解： 2265x x --+2(26)7x x =-++222(26(6)(6)5x x ⎡⎤=-+⋅⋅+-+⎣⎦2(6)11x =-++∵2(6)0x +≥，∵2(6)0x -+≤，∵代数式2265x x --+的最大值为11．解：226x kx ++22()62k x x =++ 22222()()6444k k k x x ⎡⎤=+⋅⋅+-+⎢⎥⎣⎦ 222()648k k x =+-+ ∵2()04k x +≥， ∵代数式226x kx ++有最小值为268k -． ∵代数式226x kx ++的最小值为2，∵2628k -=． 解得：k =42±．【点睛】本题考查的是将多项式进行配方化为完全平方式的形式，再利用偶次方的非负性求代数式的最大或最小值，准确的进行配方是解题的关键．已知2226100m m n n ++-+=，求m 和n 的值．解：将左边分组配方：()()2221690m m n n +++-+=．即()()22130m n ++-=． ∵()210m +≥，()230n -≥，且和为0， ∵()210m +=且()230n -=，∵m ＝－1，n ＝－3．利用以上解法，解下列问题：(1)已知：224250x x y y ++-+=，求x 和y 的值．(2)已知a ，b ，c 是ABC 的三边长，满足228625a b a b +=+-且ABC 为直角三角形，求c ． 【答案】(1)x ＝－2，y ＝1(2)5或7【分析】（1）先将等式左边化为两个完全平方式，根据非负数的和为零可得x 和y 的值；（2）同理可得a 和b 的值，再分类讨论，由勾股定理可得c 的值．（1）解：∵224250x x y y ++-+=∵()()22210x y ++-=∵x ＋2＝0，y －1＝0∵x ＝－2，y ＝1．（2）∵228625a b a b +=+-∵2286250a b a b +--+=∵()()22430a b -+-=∵a －4＝0，b －3＝0∵a ＝4，b ＝3∵ABC 是直角三角形∵22345c =+=或22437c =-=∵c 的值为5或7．【点睛】此题考查配方法的应用和非负数的性质，解题的关键是要学会拼凑出完全平方式． 练习4．（2022·江西上饶·八年级期末）在理解例题的基础上，完成下列两个问题： 例题：若2222440m mn n n ++-+=，求m 和n 的值；解：由题意得：()()2222440m mn n n n +++-+=，∵22()(2)0m n n ++-=，∵020m n n +=⎧⎨-=⎩，解得22m n =-⎧⎨=⎩． (1)若22228160x xy y y ++++=，求2x y -（）的值；(2)若22126450a b a b +-++=，求32a b -的值． 【答案】(1)64 (2)24【分析】（1）已知等式整理后，利用完全平方公式配方，再利用非负数的性质求出x 与y 的值，代入原式计算即可得到结果；（2）已知等式整理后，利用完全平方公式配方，再利用非负数的性质求出a 与b 的值，代入原式计算即可得到结果． (1)由题意得：22228160x xy y y y +++++= ∵()()2240x y y +++=∵040x y y +=⎧⎨+=⎩解得：44x y =⎧⎨=-⎩∵()()224464x y -=+=． (2)由题意得：221236690a a b b -++++= ∵()()22630a b -++=∵6030a b -=⎧⎨+=⎩解得：63a b =⎧⎨=-⎩∵33322262162439a ab b -====-（）．【点睛】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及负整数指数幂，熟练掌握完全平方公式及运算法则是解本题的关键．考点3：公式法解一元二次方程必备知识点：①如果方程不能用直接开平方法和因式分解法求解，则用公式法. 题型3 公式法解一元二次方程例1．（2022·北京·通州区运河中学八年级阶段练习）用开平方法解方程：(2316m =．【答案】134m =+，234m =-【分析】根据开平方法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：()2316m -=，34m -=±， 34m =±，∴134m =+，234m =-．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【答案】11193x +=，21193x -=【分析】先找出a ，b ，c ，再求出24b ac ∆=-的值，根据求根公式即可求出答案． 【详解】解：∵23260x x --=， ∵3a =，2b =-，6c =-，∵()()224243676b ac ∆=-=--⨯⨯-=，∵()()22224364223b b ac x a±--⨯⨯--±-==⨯22196±=1193±=∵11193x +=，21193x -=【点睛】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有提公因式法、公式法，因式分解法等，根据方程的系数特点灵活选择恰当的方法进行求解是解题的关键．练习1．（2021·上海市南汇第四中学八年级期末）解方程：x 2﹣25x ﹣4＝0． 【答案】x 1＝5+3，x 2＝5﹣3【分析】先找出各项系数，求出判别式，根据一元二次方程的求根公式计算即可． 【详解】解：a ＝1，b ＝﹣25，c ＝﹣4， Δ＝b 2﹣4ac ＝（﹣25）2﹣4×1×（﹣4）＝36＞0， 方程有两个不等的实数根，x ＝24253653221b b ac a -±-±==±⨯，即x 1＝5+3，x 2＝5﹣3．【点睛】本题考查用公式法求解一元二次方程，熟练掌握根据方程的特点，选择恰当解法是解题的关键． 390x x --=【答案】13352x +=，23352x -=【分析】根据公式法即可求解． 【详解】解：∵1a =，3b =-，9b =-， ∵93645∆=+=>0，∵243453352212b b ac x a -±-±±===⨯， ∵13352x +=，23352x -=． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，掌握解方程的方法是解题的关键． (1)5x 2－6x ＋1=0（公式法） (2)x 2＋8x －2=0（公式法） 【答案】(1)121,15x x ==(2)12432,432x x =+=-【分析】（1）根据题意，用公式法解一元二次方程； （2）根据题意，用配方法解一元二次方程即可求解．（1）解：5x 2－6x ＋1=0中，5,6,1a b c ==-=，24362016b ac ∴∆=-=-=，2464210b b ac x a -±-±∴==，解得：121,15x x ==；（2）x 2＋8x －2=0，28=2x x +，281618x x ++=，()2418x +=，432x +=±，解得：12432,432x x =+=-． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． (1)2219x x -+= ; (2)22310x x -+=． 【答案】(1)124,2x x ==- (2)1211,2x x ==【分析】（1）用直角开平方法解答即可； （2）用求根公式解答即可．（1）解：2219x x -+=，原方程可化为2(1)9x -=，直接开平方，得13x -=±，∵124,2x x ==-． （2）22310x x -+=，∵981∆=-=>0，∵方程有两个不相等的实数根，12314x ±=，，1211,2x x ==． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题关键是能够正确地选择恰当的解题方法．必备知识点：①若方程移项后一边为0，另一边能分解成两个一次因式的积，可用因式分解法； 题型4 因式分解法解一元二次方程例1．（2022·安徽合肥·八年级期末）解方程：23543x x x【答案】121,4x x =-=【分析】先整理可得2340x x --=，再利用因式分解法解答，即可求解． 【详解】解：23543xx x∵239120x x ，即2340x x --=， ∵()()140x x +-=， 解得：121,4x x =-=【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法——直接开平方法，因式分解法，公式法，配方法是解题的关键．例2．（2022·安徽安庆·八年级期末）解方程：2212x x x -=-． 【答案】12x =或1x =- 【分析】用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：2x 2-x =1-2x ， ∵2x 2+x -1=0，∵（2x -1）（x +1）=0， 2x -1=0或x +1=0， ∵12x =或1x =-． 【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程的方法是解题的关键． 练习1．（2022·安徽合肥·八年级期末）解一元二次方程：()()323x x -=-． 【答案】x 1=3，x 2=5【分析】通过移项，因式分解再求方程的解即可． 【详解】解：（x -3）2=2（x -3） 移项得（x -3）2-2（x -3）=0，因式分解得（x -3）（x -3-2）=0， （x -3）（x -5）=0， ∵x 1=3，x 2=5．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，关键是运用因式分解使解方程变得更简洁． 练习2．（2022·上海市罗星中学八年级期末）解方程：24830x x -+=【答案】1231,22x x ==【分析】利用因式分解法解方程即可． 【详解】24830x x -+= (23)(21)0x x --=∵230x -=或210x -=1231,22x x ==【点睛】本题考查解一元二次方程，选择合适的方法是解题的关键． (1)()()22311-=-x x (2)()3122x x x -=- 【答案】(1)10x =，212x = (2)123x =，21x =【分析】（1）利用平方差公式分解因式后求解； （2）利用提公因式分解因式后求解． （1）解：()()22311-=-x x()()223110x x ---=()()3113110x x x x -+---+=()2420x x -=10x =，212x =． （2）()3122x x x -=-()()31210x x x ---=()()3210x x --=∵320x -=或10x -=， 解得，123x =，21x =．【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． (1)2x x = (2)21090x x ++=【答案】(1)10x =，21x =； (2)11x =-，29x =-【分析】（1）利用移项，提公因式求解即可； （2）利用因式分解法求解即可．（1）解：∵2x x =，∵20x x -=，∵x (x -1)=0，∵x =0或x -1=0，∵10x =，21x =； （2）∵21090x x ++=，∵(x +1)(x +9)=0，∵x +1=0或x +9=0，∵11x =-，29x =-【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．考点5：换元法解一元二次方程必备知识点：①在已知或者未知条件中，某个代数式几次出现，可用一个字母来代替它从而简化问题，这就是换元法，当然有时候要通过变形才能换元.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的.题型5 换元法解一元二次方程例1．（2022·全国·九年级专题练习）解方程：()()2226x x x x +++=．【答案】122,1x x ==-【分析】利用换元法可将原方程降次求解，再根据分类讨论思想对一元二次方程求解即可． 【详解】解：设x 2＋x ＝y ，则原方程变形为y 2＋y －6＝0， 解得：y 1＝－3，y 2＝2．①当y ＝2时，x 2＋x ＝2，即x 2＋x －2＝0， 解得：x 1＝－2，x 2＝1；②当y ＝－3时，x 2＋x ＝－3，即x 2＋x ＋3＝0， ∵∵＝12－4×1×3＝1－12＝－11＜0， ∵此方程无解；∵原方程的解为x 1＝－2，x 2＝1．【点睛】本题考查了因式分解法，公式法解一元二次方程，能够掌握换元法将原方程降次，熟练运用公式法，因式分解法解一元二次方程是解决本题的关键．例2．（2022·江苏·九年级课时练习）转化是数学解题的一种极其重要的数学思想，实质是把新知识转化为旧知识，把未知转化为已知，把复杂的问题转化为简单的问题．例如，解方程x 4－3x 2－4＝0时，我们就可以通过换元法，设x 2＝y ，将原方程转化为y 2－3y －4＝0，解方程得到y 1＝－1，y 2＝4，因为x 2＝y ≥0，所以y ＝－1舍去，所以得到x 2＝4，所以x 1＝2，x 2＝－2．请参考例题解法，解方程：223320x x x x ＋－+=． 【答案】x 1＝1，x 2＝－4【分析】利用题中给出的方法设23x x +=y ，把方程转化为含y 的一元二次方程，求出y 的值，再求解无理方程，求出x 的值．【详解】解：设23x x +＝y ，则x 2＋3x =y 2， 原方程可化为：y 2－y －2＝0， ∵y 1＝－1，y 2＝2 ， ∵23x x +＝y ≥0， ∵y 1＝－1舍去 ， ∵23x x +＝2， ∵x 2＋3x ＝4， ∵x 2＋3x －4＝0， ∵x 1＝1，x 2＝－4．【点睛】本题考查了解一元二次方程及换元法，掌握换元法的一般步骤是解决本题的关键，换元法的一般步骤：设元(未知数)，换元，解元，还原四步．解方程42540x x -+=，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设2x y =，那么42x y =，于是原方程可变为2540y y -+=①，解得11y =，24y =． 当1y =时，21x =，1x ∴=±；当4y =时，24x =，2x ∴=±； ∴原方程有四个根：11x =，21x =-，32x =，42x =-．仿照上面方法，解方程：222(3)4(3)30x x x x +++=+． 【答案】1352x -+=，2352x --=．【分析】设x 2+3x =y ，则原方程变为y 2+4y +3=0，求出y =-1，或y =-3，再分别解方程即可． 【详解】解：设x 2+3x =y ，则原方程变为y 2+4y +3=0， ∵（y +1）（y +3）=0， 解得y =-1，或y =-3，当y =-1时，x 2+3x =-1，即x 2+3x +1=0，解得x =12353522x x -+--==，，当y =-3时，x 2+3x =-3，即x 2+3x +3=0，因为∆=32-4×3<0，所以方程没有实数根，舍去； ∵原方程有两个根：1352x -+=，2352x --=．【点睛】此题考查了换元法解一元二次方程，正确理解已知中的解题方法并仿照解题是解题的关键． (1)2x -2x =99(2)2(21)x -+3（2x -1）=0 (3)22()x x --5（2x -x ）+6=0． 【答案】(1)111x =，29x =- (2)112x =，21x =- (3)12x =，21x =-，31132x +=，41132x -=【分析】（1）根据配方法求解即可； （2）根据因式分解求解即可；（3）先令x 2-x =y ，得到关于y 的一元二次方程，然后根据因式分解法求出y ，再把y 的值代入x 2-x =y 求解即可． (1)解：2x -2x =99， ∵2x -2x +1=99+1 ∵2(1)100x -=， ∵110x -=±， ∵111x =，29x =-； (2)解：2(21)x -+3（2x -1）=0，∵(21)[(21)3]0x x --+=，即(21)(22)0x x -+=， ∵210x -=或220x +=， ∵112x =，21x =-； (3)解：22()x x --5（2x -x ）+6=0， 令2x x y -=，则原方程为2560y y -+=∵(2)(3)0y y --=， ∵20y -=或30y -=， ∵y =2或3当y =2时，22x x -=， ∵220x x --= ∵(2)(1)0x x -+=， ∵x -2=0或x +1=0， ∵12x =，21x =-； 当y =3时，23-=x x ， ∵230x x --=， ∵1141(3)11322x ±-⨯⨯-±==， ∵31132x +=，41132x -=． 综上所述，12x =，21x =-，31132x +=，41132x -=．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键． 阅读材料：像13x x -=这样，根号内含有未知数的方程，我们称之为无理方程． 13;x x --；两边平方：x ﹣1＝9﹣6x ＋x 2. 解这个一元二次方程：x 1＝2，x 2＝5检验所得到的两个根，只有 是原无理方程的根． 理解应用：解无理方程1122x x +=． 【答案】2x ＝；x ＝3【分析】阅读材料：通过检验可确定原方程的解； 理解应用：先移项得到1212x x -=+，再两边平方得到一个一元二次方程，然后解这个一元二次方程，然后进行检验确定原无理方程的根． 【详解】解：阅读材料： 经检验2x ＝是原方程的解； 故答案为：2x ＝； 理解应用：移项：1212x x -=+， 两边平方：()214414x x x -+=+，解得154x =，23x =， 经检验原无理方程的根为3x ＝．【点睛】本题考查了无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根． 必备知识点：①根的判别式：运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b ac x a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：22424b b acx a a -+=±也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实数根）由24b ac ∆=-确定．设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,24b b acx -±-=． ②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a==-． ③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．题型6 根的判别式的应用例1．（2022·江苏扬州·八年级期末）已知关于x 的一元二次方程2312200kx k x k k ．(1)求证：无论x 取何值，此方程总有两个实数根； (2)若该方程的两根都是整数，求整数k 的值． 【答案】(1)见解析 (2)±1【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解；（2）用公式法求出方程的两根，1211,2x x k=-=-，再由该方程的两根都是整数，且k 为整数，可得11k -为整数，即可求解． （1）解：根据题意得：231422k k k2296188k k k k =++--221k k =-+()210k =-≥∵无论x 取何值，此方程总有两个实数根；（2）解：2312200kxk x k k ， ∵()()3112k k x k-+±-=， ∵1211,2x x k=-=-， ∵该方程的两根都是整数，且k 为整数，∵11k-为整数， ∵整数k 为±1．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程()200++=≠ax bx c a ，当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根；当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根；当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根是解题的关键．例2．（2022·安徽滁州·八年级期末）已知关于x 的方程()．(1)小明同学说：“无论m 为何实数，方程总有两个不相等的实数根．”你认为他说的有道理吗？请说明理由．(2)若方程的一个根是－2，求另一个根及m 的值． 【答案】(1)有道理，理由见解析(2)另一个根为2，5m =-【分析】（1）根据Δ=b 2-4ac ＞0，即可得证；（2）将x =-2代入方程，求出m 的值，再将m =-5代入方程，解方程即可确定方程的另一个根．（1）解：有道理，理由如下：∵()()()222245416213120b ac m m m m m ∆=-=+-+=++=++>∵无论m 为何实数，方程总有两个不相等的实数根．（2）解：将2x =-代入方程得()42510m m -+++=解得5m =-∵原方程为240x -=∵2x =±∵另一个根为2，5m =-．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．练习1．（2022·江苏南京·八年级期末）已知关于x 的一元二次方程2x 2﹣3mx +m 2+m ﹣3＝0（m 为常数）．(1)求证：无论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根：(2)若x ＝2是方程的根，则m 的值为_____． 【答案】(1)见解析(2)552m +=或552-【分析】（1）先计算判别式的值得到∆=（m -2）2+8>0，然后根据判别式的意义得到结论；（2）将x =2代入方程，解方程即可．（1）解：∵∆=9m 2-4×2（m 2+m -3）=（m -2）2+8>0，∵无论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）将x =2代入方程，得8-6m +m 2+m ﹣3＝0，整理得，m 2-5m +5＝0，解得552m +=或552-， 故答案为：552m +=或552-． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式∆=b 2-4ac ：当∆＞0，方程有两个不相等的实数根；当∆=0，方程有两个相等的实数根；当∆＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程． 210x kx k ++-=方程总有两个不相等的实数根．【答案】见解析【分析】根据Δ=2224(2)41(1)40b ac k k -=-⨯⨯-=＞判断即可．【详解】∵关于x 的方程22210x kx k ++-=，a =1，b =2k ，c =21k -，∵Δ=2224(2)41(1)40b ac k k -=-⨯⨯-=＞，∵无论k 取何值时，方程总有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 练习3．（2022·山东青岛·八年级期中）已知关于x 的一元二次方程250x mx m -+-=．(1)求证：无论m 取何值，方程一定有两个不相等的实数根；(2)若方程有一根为25m 的值．【答案】(1)见解析(2)4m =【分析】（1）根据根的判别式求出∆的值，即可得到结论；（2）把x =25+代入方程，得出关于m 的方程，解之可得．（1）证明：24(5)m m ∆=--2420m m =-+24416m m =-++2(2)16m =-+∵2(2)160m ∆=-+>∵方程一定有两个不相等的实数根．（2）将25x =+代入原方程，得2(25)(25)50m m +-++-=(15)445m +=+∵4m =【点睛】此题考查了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式Δ＝b 2−4ac ：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．练习4．（2021·河南南阳·九年级期中）已知关于x 的方程220x k x k -++=(1)求证：无论k 取何值，该方程总有实数根；(2)若等腰ABC 的一边长1a =，另两边b 、c 恰好是该方程的两个根，求三角形另外两边的长．【答案】(1)见解析(2)三角形另外两边长为2，2【分析】（1）检验根的判别式的正负情况即可得证．（2）∵ABC 是等腰三角形，若b =c ，即∆=0，解出k 后代入方程，解方程可得另外两边长；若a 是腰，则a ＝1是方程的根，把1代入方程解出k 后，再解出方程另一个解，检验是否符合三角形三边关系即可． （1）证明：2(2)42k k ∆=+-⨯2448k k k =++-2(2)0k =-≥所以此方程总有实根．（2）解：①若b c =，则此方程有两个相等实根此时20k -=，则2k =，原方程为：2440x x -+=，122x x ==，∵另外两边长为2和2，②若a c =，则1a =是方程2(2)20x k x k -++=的根，∵21(2)20k k -++=，∵1k =，原方程为2320x x -+=，解得：11x =，22x =，而1、1、2为边不能构成三角形．所以，三角形另外两边长为2，2．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程、等腰三角形存在性、三角形三边关系等知识点，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．。
学生版一元二次方程的解法(二)配方法—知识讲解(基础
一元二次方程的解法（二）配方法—知识讲解（基础）【学习目标】1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力.【要点梳理】 知识点一、一元二次方程的解法---配方法1．配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±．知识点二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．【典型例题】类型一、用配方法解一元二次方程1. （•淄博）解方程：x 2+4x ﹣1=0．举一反三：【变式】用配方法解方程.(1)x 2-4x-2=0； (2)x 2+6x+8=0.类型二、配方法在代数中的应用2．若代数式221078Ma b a =+-+，2251N a b a =+++，则M N -的值（ ） Ａ．一定是负数 Ｂ．一定是正数 Ｃ．一定不是负数 Ｄ．一定不是正数3．用配方法证明：二次三项式﹣8x 2+12x ﹣5的值一定小于0．举一反三：【变式】求代数式 x 2+8x+17的最小值4．已知223730216b a a b -+-+=，求4a b -的值．一元二次方程的解法（二）配方法—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题 1. （贵州）用配方法解一元二次方程x 2+4x ﹣3=0时，原方程可变形为（ ） A ．（x +2）2=1 B ．（x +2）2=7 C ．（x +2）2=13 D ．（x +2）2=192．下列各式是完全平方式的是（ ）A ．277x x ++B ．244m m --C ．211216n n ++ D ．222y x -+ 3．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（ ）A ．3B ．-3C ．3±D ．以上都不对4．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（ ）A ．（a-2）2+1B ．（a+2）2-1C ．（a+2）2+1D ．（a-2）2-15．把方程x 2+3=4x 配方，得（ ）A ．（x-2）2=7B ．（x+2）2=21C ．（x-2）2=1D ．（x+2）2=26．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（ ）A ．2±10B ．-2±14C ．-2+10D ．2-10二、填空题7．（1）x 2+4x+ =（x+ ）2；（2）x 2-6x+ =（x- ）2；（3）x 2+8x+ =（x+ ）2.8．（长兴县月考）用配方法将方程x 2-6x+7=0化为（x +m ）2=n 的形式为 ．9．若226x x m ++是一个完全平方式，则m 的值是________．10．求代数式2x 2-7x+2的最小值为 .11．当x= 时，代数式﹣x 2﹣2x 有最大值，其最大值为 ．12．已知a 2+b 2-10a-6b+34=0，则的值为 ． 三、解答题13. 用配方法解方程（1） （2）221233x x +=14.已知a 2+b 2﹣4a+6b+13=0，求a+b 的值．15．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边，且2226810500a b c a b c ++---+=．(1)求a ，b ，c 的值；(2)判断三角形的形状．。
一元二次方程知识归纳总结
一元二次方程知识归纳总结一元二次方程是高中数学中的重要内容，也是解决实际问题的重要工具。
它的一般形式为：ax² + bx+ c= 0，其中a、b、c是已知实数，a≠ 0。
在本文中，我们将对一元二次方程的基本概念、性质以及解法进行归纳总结。
一、一元二次方程的基本概念一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程。
其中，a、b、c分别表示二次项系数、一次项系数和常数项。
二、一元二次方程的性质1. 解的存在性：一元二次方程必有两个解，或者一个解（二重解），或者无解。
2. 判别式：判别式Δ = b² - 4ac对于一元二次方程起到重要作用，它可以判断方程的解的情况。
- 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数解。
- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数解。
- 当Δ < 0时，方程无实数解。
3. 顶点坐标：一元二次方程的图像是一个抛物线，其中顶点坐标可以通过公式h = -b/2a 和 k = -Δ/4a求得。
三、一元二次方程的解法1. 因式分解法：对于可以因式分解的一元二次方程，我们可以通过将方程的左、右两边同时因式分解，然后利用“零乘法”将方程等号两边置零，得到方程的解。
2. 公式法：对于一般形式的一元二次方程ax² + bx + c = 0，我们可以利用求根公式x = (-b ± √Δ) / 2a求得方程的解。
- 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数解。
- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数解。
- 当Δ < 0时，方程无实数解。
3. 完全平方式：对于特殊的一元二次方程，可以通过将未知数的平方项转化为完全平方式，然后利用公式求解。
4. 图像法：通过观察和分析一元二次方程的抛物线图像，可以大致推测出方程的解的情况。
四、一元二次方程的应用一元二次方程不仅仅是一种数学形式，还具有广泛的应用。
它可以用来解决各种实际问题，例如物体的运动轨迹、汽车的行驶距离等。
一元二次方程知识点及考点精析
一元二次方程知识点及考点精析一、知识结构： 一元二次方程⎪⎩⎪⎨⎧*⇒韦达定理根的判别解与解法二、考点精析(1)定义：只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。
(2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax 其中2ax 是二次项，a 叫二次项系数；bx 是一次项，b 叫一次项系数，c 是常数项。
二次项系数、一次项系数及常数项都是方程在一般形式下定义的，所以求一元二次方程的各项系数时，必须先将方程化为一般形式。
①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”；③若存有某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
典型例题：例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ()()12132+=+x xB 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。
★1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。
★2、若方程()021=--m xm 是关于x 的一元一次方程，⑴求m 的值；⑵写出关于x 的一元一次方程。
★★3、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。
★★★4、若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ）B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用：利用根的概念求代数式的值；例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。
例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。
例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。
一元二次方程知识点归纳
②销售问题;利润问题,利润=售价-成本；利润率=利润/成本×100%；
③比赛问题：
④面积问题：a.直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运用面积之间的关系列方程.
解一元二次方程时注意观先特殊后一般即先考虑能否用直接开平方法和因式分解法不能用这两种方法解时再用公式法
一元二次方程知识点
一、知识清单梳理
知识点一：一元二次方程及其解法
关键点拨及对应举例
1.一元二次方程的相关概念
(1)定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程．
(2)一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项、常数项，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项．
（2）解题策略：已知一元二次方程，求关于方程两根的代数式的值时，先把所求代数式变形为含有x1+x2、x1x2的式子，再运用根与系数的关系求解.
与一元二次方程两根相关代数式的常见变形：x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2,
(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1,
等.
失分点警示
在运用根与系数关系解题时，注意前提条件时△=b2-4ac≥0.a≠0
(4)配方法：当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，也可以考虑用配方法．
解一元二次方程时，注意观察，先特殊后一般，即先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，不能用这两种方法解时，再用公式法.
例：把方程x2+6x+3=0变形为(x+h)2=k的形式后，h=-3,k=6.
17.2一元二次方程的解法(第1课时)讲解与例题
5．二次多项式的配方
(1)基本思路：二次多项式的配方与解方程中的配方略有不同，二次多项式的配方是恒等变形，为了使二次项系数化为1，各项需提出二次项系数，配方时加上一次项系数一半的平方，同时再减去同样的数，使代数式的值保持不变．
(2)主要步骤
①将二次项系数化为1.
②加上一次项系数一半的平方，同时为保证原式的值不变，再减去所加上的数．
所以x－2＝±.
所以x－2＝或x－2＝－.
所以x1＝，x2＝.
(3)移项，得(3y－1)2＝8，(3y－1)2＝16，
所以3y－1＝±4.
所以3y－1＝4或3y－1＝－4.
所以y1＝，y2＝－1.
点拨：用直接开平方法解题时，应根据式子的特征，将左边化成完全平方式，右边化为非负数的形式，再开平方，从而得其解，同时注意开平方后各系数符号的变化．
3．用直接开平方法解两边都是含有未知数的代数式的平方的一元二次方程
当一元二次方程两边都是含有未知数的代数式的平方的形式时，也可用直接开平方法．
例如，关于x的方程(ax＋b)2＝(cx＋d)2，直接开平方，得ax＋b＝±(cx＋d)，然后可化为两个一元一次方程进行求解．
【例3】解方程：x2－6x＋9＝(5－2x)2.
(3)用直接开平方法解一元二次方程的基本步骤是：
①将方程转化成(x＋m)2＝n的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数；
②当n≥0时，两边开平方便可求出它的根；当n＜0时，方程无实数根．
直接开平方法实际是求一个数平方根的运算．特别注意方程两边开平方时，一边取“±”号，以防漏解．
【例1】用直接开平方法解下列方程：
例如，求方程x2＋6x－16＝0的解，可按以下流程进行．
完整版一元二次方程知识点总结和例题复习
知识框架 知识点总结：一兀二次方程4. 一元二次方程的解法(1) 直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如 (X 可知，X a 是b 的平方根，当 b<0时，方程没有实数根。
(2) 配方法 配方法是一种重要的数学方法，2a) b 的一元二次方程。
根据平方根的定义b 0 时，X a4b , X a J b ，当它不仅在解一元二次方程上有所应用,而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
配方法的理论根据是完全平方公式2 2 2a 2ab b (a b)，把公式中的a 看做未知数x ，并用x X 2 2bx b 2(x b)2。
配方法解一元二次方程的一般步骤： 现将已知方程化为一般形式；代替，则有 化二次项系知识点、概念总结 1. 一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数(一元) ，并且未知 数的最高次数是 2 (二次)的方程，叫做一元二次方程。
2. 一元二次方程有四个特点：(1) 含有一个未知数； (2) 且未知数次数最高次数是 2; (3) 是整式方程。
要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整 式方程，若是，再对它进行整理。
如果能整理为 ax 2+bx+c=0(a 丰0)的形 式，则这个方程就为一元二次方程。
(4 )将方程化为一般形式： 3. 一元二次方程的一般形式 过整理，？都能化成如下形式 一个一元二次方程经过整理化成 是二次项系数；bx 是一次项， 2ax +bx+c=0时，应满足( :一般地，任何一个关于 X 2ax +bx+c=0 (aM 0)。
2ax +bx+c=0 (a 丰 0)后，b 是一次项系数；a 丰0) 的一元二次方程，经其中ax 2是二次项,c 是常数项。
数为1;常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边 配成一个完全平方式；变形为 (X+P) 2=q 的形式，如果q > 0，方程的根是x=-p ±V q ;如果qv 0,方程无实根.(3) 公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法， 方法。
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一元二次方程的解法（二）一般的一元二次方程的解法—知识讲解（提高）【学习目标】1．了解配方法和公式法的概念、一元二次方程求根公式的推导过程，会用配方法和公式法解一元二次方程；2．掌握运用配方法和公式法解一元二次方程的基本步骤；3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，通过求根公式的推导，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力. 培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．【要点梳理】要点一、一元二次方程的解法---配方法1．配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式222±+=±．a ab b a b2()要点二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．要点三、公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用.（2）一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+= ①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：21,24b b acx -±-=② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a=-③当240b ac∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根.【典型例题】类型一、用配方法解一元二次方程1. 用配方法解方程：(1)2410x x--=；(2)22730x x++=．【答案与解析】(1)移项，得241x x-=．配方，得224214x x-+=+．即2(2)5x-=．直接开平方，得25x-=∴125x=225x= (2)移项，得2273x x+=-，方程两边同除以2，得273 22x x+=-，配方，得22277372424x x⎛⎫⎛⎫++=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2725416x⎛⎫+=⎪⎝⎭，直接开平方，得7544x+=±．∴11 2x=-，23x=-．【总结升华】方程(1)的二次项系数是1，方程(2)的二次项系数不是1，必须先化成1，才能配方，这是关键的一步．配方时，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，目的是把方程化为2()(0)mx n P P+=≥的形式，然后用直接开平方法求解．同时要注意一次项的符号决定了左边的完全平方式中是两数和的平方还是两数差的平方．举一反三：【变式】用配方法解方程（1）（2）20x px q ++=【答案】（1）2235x x +=2253x x -=-25322x x -=- 2225535()()2424x x -+=-+251()416x -=5144x -=±123,12x x ==.（2）20x px q ++=222()()22p px px q ++=-+224()24p p qx -+=①当240p q -≥时，此方程有实数解，221244,p p q p p qx x -+----==； ②当240p q -＜时，此方程无实数解.类型二、配方法在代数中的应用2. 用配方法证明21074x x -+-的值小于0．【答案与解析】22271074(107)410410x x x x x x ⎛⎫-+-=-+-=--- ⎪⎝⎭g 27494910410400400x x ⎛⎫=--+-- ⎪⎝⎭274910420400x ⎡⎤⎛⎫=----⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦2274971111041020402040x x ⎛⎫⎛⎫=--+-=---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ∵ 2710020x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，∴ 271111002040x ⎛⎫---< ⎪⎝⎭， 即210740x x -+-<．故21074x x -+-的值恒小于0．【总结升华】证明一个代数式大于零或小于零，常用方法就是利用配方法得到一个含完全平方式和一个常数的式子来证明．本题不是用配方法解一元二次方程，但所用的配方法思想与自己学的配方法大同小异，即思路一致．举一反三：【变式】试用配方法证明：代数式223x x -+的值不小于238． 【答案】 22123232x x x x ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭22211123244x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦21123416x ⎡⎤⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦2112348x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭2123248x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．∵ 1204x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，∴2123232488x ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭．即代数式223x x -+的值不小于238．3. 若实数x y ，满足224250x y x y +--+=32x y y x+-的值是（ ）Ａ．1Ｂ．322Ｃ．322+Ｄ．322-【答案】C ；【解析】对已知等式配方，得2210x y -+-=2（）（），∴21x y ==，． ∴32x y y x+-22121213222132221+++====+---（）．故选Ｃ． 【总结升华】本例是配方法在求值中的应用，将原等式左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 举一反三： 【变式】（1）的最小值是 ；（2）的最大值是 .【答案】（1）222222333152632(3)323()()32()2222x x x x x x x ⎡⎤+-=+-=++--=+-⎢⎥⎣⎦；所以的最小值是152-（2）22222245(4)5(422)5(2)9x x x x x x x -++=--+=--+-+=--+所以的最大值是9.4. 分解因式：42221x x ax a +++-． 【答案与解析】42221x x ax a +++-4222221x x x ax a =+-++-4222212x x x ax a =++--+（）（）2221x x a =+--（）（）22(1)(1)x x a x x a =++-+-+．【总结升华】这是配方法在因式分解中的应用，通过添项、配成完全平方式，进而运用平方差公式分解因式．类型三、公式法解一元二次方程5．解关于x 的方程2()(42)50m n x m n x n m ++-+-=． 【答案与解析】(1)当m+n ＝0且m ≠0，n ≠0时，原方程可化为(42)50m m x m m +--=． ∵ m ≠0，解得x ＝1． (2)当m+n ≠0时，∵ a m n =+，42b m n =-，5c n m =-，∴ 2224(42)4()(5)360b ac m n m n n m m -=--+-=≥，∴ 2243624|6|2()2()n m m n m m x m n m n -±-±==++， ∴ 11x =，25n mx m n-=+． 【总结升华】解关于字母系数的方程时，应该对各种可能出现的情况进行讨论．举一反三：【变式】解关于x 的方程2223(1)x mx mx x m ++=+≠； 【答案】原方程可化为2(1)(3)20,m x m x -+-+= ∵1,3,2,a m b m c =-=-=∴ 2224(3)8(1)(1)0b ac m m m -=---=+≥，∴ 23(1)3(1),2(1)2(1)m m m m x m m -±+-±+==--∴ 122, 1.1x x m==- 6． 用公式法解下列方程： (m-7)(m+3)+(m-1)(m+5)＝4m ； 【答案与解析】方程整理为224214540m m m m m --++--=， ∴ 22130m m --=，∴ a ＝1，b ＝-2，c ＝-13， ∴ 224(2)41(13)56b ac -=--⨯⨯-=，∴ 24(2)56221b b ac m a -±---±==⨯22141142±==±， ∴ 1114m =+，2114m =-．【总结升华】先将原方程化为一般式，再按照公式法的步骤去解.举一反三：【变式】用公式法解下列方程：【答案】∵21,3,2,a b m c m ==-=∴22224(3)4120b ac m m m -=--⨯⨯=≥∴32m mx ±== ∴122,.x m x m ==[此文档可自行编辑修改，如有侵权请告知删除，感谢您的支持，我们会努力把内容做得更好]。