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第二十二章 二次函数
第12课时 《二次函数》单元 复习
知识要点
知识点一：二次函数的相关概念 (1)二次函数的概念； (2)函数自变量的取值范围．
对点训练
1.(1)下列函数中，属于二次函数的是( D )
A．y＝x2－8 1
B．y＝－x＋1
C．y＝x8
D．y＝x2＋1
(2)函数 y＝ xx＋2的自变量的取值范围是 x≥－2且x≠0 .
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(3)如图2，过点E作x轴的垂线，交BC于点F， 设点 E 的坐标为(x，x2－x－6)， 则点 F(x,2x－6)， ∴S△ BCE＝12EF·xB ＝12(2x－6－x2＋x＋6)×3 ＝－23x－322＋287，
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9.(2019齐齐哈尔)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B 两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC.
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知识点二：二次函数的图象与性质 (1)抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)用配方法将抛物线的一般式 y＝ax2＋bx＋c 化成顶点式 y＝ a(x－h)2＋k； (3)抛物线的平移； (4)二次函数图象的画法； (5)用公式法求抛物线的对称轴与顶点坐标．
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知识点四：二次函数与一元二次方程 (1)抛物线与 x 轴的交点个数的判别； (2)求抛物线与坐标轴的交点坐标； (3)根据图象确定 x 取何值时，y＞0 或 y＝0 或 y＜0.
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4.已知抛物线 y＝x2－5x－6， (1)与 x 轴的交点坐标为 (－1,0)，(6,0) ； (2)与 y 轴的交点坐标为 (0，－6) ； (3)对称轴为 直线 x＝25 ； (4)当 x 满足 －1＜x＜6时，y＜0.
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图2
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∴当点B，D，C在同一直线上时，如图1，
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图1
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3.抛物线的顶点坐标为(3,2)，点(0,3)也在图象上，求这个函数 的解析式． y＝19(x－3)2＋2
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(1)求抛物线的解析式；
(2)点 D 在抛物线的对称轴上，当△ACD 的周长最小时，点 D
的坐标为
；
(3)点 E 是第四象限内抛物线上的动点，连接 CE 和 BE，求
△BCE 面积的最大值及此时点 E 的坐标．
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∵－23＜0，
∴当 x＝23时，△ BCE 面积有最大值，最大值为287，
此时点 E 的坐标为32，－241.
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解：(1)∵OA＝2，OC＝6，∴A(－2,0)，C(0，－6)． ∵抛物线y＝x2＋bx＋c过点A，C， ∴4c＝－－2b6＋c＝0 ， 解得cb＝＝－－61 ，∴抛物线的解析式为y＝x2－x－6.
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(3)画出二次函数 y＝－x2＋2x＋1 的图象．
画图略
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知识点三：求抛物线的解析式 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c； (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k； (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2).
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知识点五：二次函数与实际问题 (1)二次函数的最值问题； (2)建立二次函数模型解决抛物线问题； (3)数形结合解决抛物线中的几何问题.
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5.矩形的周长为 20 cm，它的一边长为 x(cm)，它的面积为 y(cm2)． (1)y 与 x 之间的函数关系式为 y＝x(10－x) ； (2)当 x ＝5 cm 时，y 的最大值是 25 cm2.
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图2
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设点P的横坐标为m，点F的横坐标为2，其中点坐标为 m＋2 2，即m＋2 2＝2，解得m＝2，故点P(2，－1)． 综上，点P的坐标为(4,3)或(0,3)或(2，－1)．
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7.【例2】(2019甘肃)如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图 象与x轴交于点A(1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C.
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(1)求二次函数的解析式； (2)若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点 A，B，P，F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标； (3)点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂 线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时 点E的坐标．
(3)易得直线BC的解析式为y＝－x＋3，如图3，设点E的坐标 为(x，x2－4x＋3)，则点D(x，－x＋3)，
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图3
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∴S四边形AEBD＝12AB(yD－yE)＝12×2(－x＋3－x2＋4x－3)＝－x2 ＋3x， ∵－1<0，∴四边形AEBD的面积有最大值， 当x＝32时，面积有最大值，最大值为49， 此时点E的坐标为32，－34. 小结：数形结合解决抛物线中的动点问题，关键是用代数 式表示其中的量.
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解：(1)由交点式函数表达式得
y＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3，
∴二次函数的解析式为y＝x2－4x＋3.
(2)①当AB为平行四边形一条边时，
如图1，则AB＝PF＝2，则点P坐标为(4,3)，
图1
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当点P在对称轴左侧时，即点C的位置时，点A，B，P，F为 顶点的四边形为平行四边形，故点P(4,3)或(0,3)； ②当AB是平行四边形的对角线时，如图2，AB中点坐标为 (2,0)，
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变式练习
8．如图，直线 y＝x＋m 和抛物线 y＝ax2＋bx＋c 都经过点 A(1,0) 和 B(3,2)，不等式 ax2＋bx＋c>x＋m 的解集为 x＜1或x＞.3
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2.(1)已知抛物线 y＝3(x＋2)2＋1， ①开口方向为 向上； ②顶点坐标为 (－2,1) ； ③对称轴为 直线x＝－；2 (2)将抛物线 y＝5x2 向上平移 3 个单位长度，再向左平移 2 个 单位长度，那么得到的抛物线的解析式为 y＝5(x＋2)2＋.3
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精典范例
6．【例 1】如图，直线 y＝mx＋n 与抛物线 y＝ax2＋bx＋c 交 于 A(－1，p)，B(4，q)两点，则关于 x 的不等式 mx＋n＞ax2 ＋bx＋c 的解集是 x＜－1或x＞4. 小结：以交点为界分析问题，此题解集 的实质就是求抛物线在直线下方部分对 应的自变量 x 的取值范围.
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(2)∵当 y＝0 时，x2－x－6＝0，解得 x1＝－2，x2＝3， ∴B(3,0)，抛物线对称轴为直线 x＝－22＋3＝21. ∵点 D 在直线 x＝12上，Hale Waihona Puke Baidu A，B 关于直线 x＝21对称， ∴xD＝12，AD＝BD，
C△ ACD＝AC＋AD＋CD＝AC＋BD＋CD＝AC＋BC最小， 设直线BC的解析式为y＝kx－6，代入(3,0)，得3k－6＝0，解 得k＝2， ∴直线BC的解析式为y＝2x－6， ∴yD＝2×12－6＝－5，∴D12，－5.
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知识要点
知识点一：二次函数的相关概念 (1)二次函数的概念； (2)函数自变量的取值范围．
对点训练
1.(1)下列函数中，属于二次函数的是( D )
A．y＝x2－8 1
B．y＝－x＋1
C．y＝x8
D．y＝x2＋1
(2)函数 y＝ xx＋2的自变量的取值范围是 x≥－2且x≠0 .
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(3)如图2，过点E作x轴的垂线，交BC于点F， 设点 E 的坐标为(x，x2－x－6)， 则点 F(x,2x－6)， ∴S△ BCE＝12EF·xB ＝12(2x－6－x2＋x＋6)×3 ＝－23x－322＋287，
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9.(2019齐齐哈尔)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B 两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC.
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知识点二：二次函数的图象与性质 (1)抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)用配方法将抛物线的一般式 y＝ax2＋bx＋c 化成顶点式 y＝ a(x－h)2＋k； (3)抛物线的平移； (4)二次函数图象的画法； (5)用公式法求抛物线的对称轴与顶点坐标．
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知识点四：二次函数与一元二次方程 (1)抛物线与 x 轴的交点个数的判别； (2)求抛物线与坐标轴的交点坐标； (3)根据图象确定 x 取何值时，y＞0 或 y＝0 或 y＜0.
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4.已知抛物线 y＝x2－5x－6， (1)与 x 轴的交点坐标为 (－1,0)，(6,0) ； (2)与 y 轴的交点坐标为 (0，－6) ； (3)对称轴为 直线 x＝25 ； (4)当 x 满足 －1＜x＜6时，y＜0.
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图2
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∴当点B，D，C在同一直线上时，如图1，
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图1
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3.抛物线的顶点坐标为(3,2)，点(0,3)也在图象上，求这个函数 的解析式． y＝19(x－3)2＋2
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(1)求抛物线的解析式；
(2)点 D 在抛物线的对称轴上，当△ACD 的周长最小时，点 D
的坐标为
；
(3)点 E 是第四象限内抛物线上的动点，连接 CE 和 BE，求
△BCE 面积的最大值及此时点 E 的坐标．
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∵－23＜0，
∴当 x＝23时，△ BCE 面积有最大值，最大值为287，
此时点 E 的坐标为32，－241.
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解：(1)∵OA＝2，OC＝6，∴A(－2,0)，C(0，－6)． ∵抛物线y＝x2＋bx＋c过点A，C， ∴4c＝－－2b6＋c＝0 ， 解得cb＝＝－－61 ，∴抛物线的解析式为y＝x2－x－6.
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(3)画出二次函数 y＝－x2＋2x＋1 的图象．
画图略
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知识点三：求抛物线的解析式 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c； (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k； (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2).
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知识点五：二次函数与实际问题 (1)二次函数的最值问题； (2)建立二次函数模型解决抛物线问题； (3)数形结合解决抛物线中的几何问题.
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5.矩形的周长为 20 cm，它的一边长为 x(cm)，它的面积为 y(cm2)． (1)y 与 x 之间的函数关系式为 y＝x(10－x) ； (2)当 x ＝5 cm 时，y 的最大值是 25 cm2.
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图2
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设点P的横坐标为m，点F的横坐标为2，其中点坐标为 m＋2 2，即m＋2 2＝2，解得m＝2，故点P(2，－1)． 综上，点P的坐标为(4,3)或(0,3)或(2，－1)．
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7.【例2】(2019甘肃)如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图 象与x轴交于点A(1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C.
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(1)求二次函数的解析式； (2)若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点 A，B，P，F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标； (3)点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂 线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时 点E的坐标．
(3)易得直线BC的解析式为y＝－x＋3，如图3，设点E的坐标 为(x，x2－4x＋3)，则点D(x，－x＋3)，
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图3
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∴S四边形AEBD＝12AB(yD－yE)＝12×2(－x＋3－x2＋4x－3)＝－x2 ＋3x， ∵－1<0，∴四边形AEBD的面积有最大值， 当x＝32时，面积有最大值，最大值为49， 此时点E的坐标为32，－34. 小结：数形结合解决抛物线中的动点问题，关键是用代数 式表示其中的量.
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解：(1)由交点式函数表达式得
y＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3，
∴二次函数的解析式为y＝x2－4x＋3.
(2)①当AB为平行四边形一条边时，
如图1，则AB＝PF＝2，则点P坐标为(4,3)，
图1
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当点P在对称轴左侧时，即点C的位置时，点A，B，P，F为 顶点的四边形为平行四边形，故点P(4,3)或(0,3)； ②当AB是平行四边形的对角线时，如图2，AB中点坐标为 (2,0)，
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变式练习
8．如图，直线 y＝x＋m 和抛物线 y＝ax2＋bx＋c 都经过点 A(1,0) 和 B(3,2)，不等式 ax2＋bx＋c>x＋m 的解集为 x＜1或x＞.3
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2.(1)已知抛物线 y＝3(x＋2)2＋1， ①开口方向为 向上； ②顶点坐标为 (－2,1) ； ③对称轴为 直线x＝－；2 (2)将抛物线 y＝5x2 向上平移 3 个单位长度，再向左平移 2 个 单位长度，那么得到的抛物线的解析式为 y＝5(x＋2)2＋.3
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精典范例
6．【例 1】如图，直线 y＝mx＋n 与抛物线 y＝ax2＋bx＋c 交 于 A(－1，p)，B(4，q)两点，则关于 x 的不等式 mx＋n＞ax2 ＋bx＋c 的解集是 x＜－1或x＞4. 小结：以交点为界分析问题，此题解集 的实质就是求抛物线在直线下方部分对 应的自变量 x 的取值范围.
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(2)∵当 y＝0 时，x2－x－6＝0，解得 x1＝－2，x2＝3， ∴B(3,0)，抛物线对称轴为直线 x＝－22＋3＝21. ∵点 D 在直线 x＝12上，Hale Waihona Puke Baidu A，B 关于直线 x＝21对称， ∴xD＝12，AD＝BD，
C△ ACD＝AC＋AD＋CD＝AC＋BD＋CD＝AC＋BC最小， 设直线BC的解析式为y＝kx－6，代入(3,0)，得3k－6＝0，解 得k＝2， ∴直线BC的解析式为y＝2x－6， ∴yD＝2×12－6＝－5，∴D12，－5.
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