第七章 平板弯曲问题的有限元分析

看出，在平板中面各点u = v = 0，它不产生平面方向的位移，也就是中 面不伸长。同时，平板中面的挠度w可以表示板内各点的挠度，因为它 和坐标z无关。
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利用几何方程，可以得到板内各点的应变分量是
u x x v y y xy u v y x
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几何方程
u x x v y y u v xy y x
2w x z 2 x 2w y z 2 y
记
xy
w 2 z xy
κ
2
则有
ε zκ
2w 2 x 2w κ 2 y 2w 2 xy
1 ( a2 2a4 a5 3a7 2 2a8 a9 2 3a11 2 a12 3 ) a
(7-11)
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将矩形单元的四个结点坐标
i , i 分别代入 (7-10)式和(7-11)式，就可
以得到用十二个参数表示结点位移分量的联立方程组，求解这十二个方程，从 中解出a1至a12再代入(7-10)式，经归并整理后就可以改写成如下形式
从(7-3)式和(7-4)式可以看出，应变和应力是有挠度w的二阶偏
导数所决定。因此，如果要得到一个协调的单元还要求在单元的交界面
上有斜率的连续性(即C1连续性，n-1阶），这个要求经常使问题复杂化。
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由(7-12)和(7-14)式可以看出，在单元边界上挠度和挠度沿切线边界方向的
偏导数，可以通过边界上的结点位移所唯一地决定，但是挠度沿边界法线方向 的偏导数则不然，也就是说，w和 于
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下面开始讲述平板弯曲的有限单元法。 1．矩形单元的位移模式
将平板中面用一系列矩形单元划分，得到一个离散的系统以代替原来的平
板，欲使各单元至少在结点上有挠度及其斜率的连续性，必须把挠度及其在x和 y方向的一阶偏导数指定为结点位移（或称广义位移）。通常将结点i的位移列阵 写成
z
w yi
x
y
Mx M M y M xy
z dz

(7-36)
h 2 h 2
2w 2 x 2 3 h w D 2 12 y 2w 2 xy
式中h是平板厚度。内力矩的正方向如图。
2 2 3 3 3
(7-10)
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最后两项的选取是使在单元边界有三次式的形式。按照上式可以算出转 角为
x
w w y b
1 ( a3 a5 2a6 a8 2 2a9 3a10 2 a11 3 3a12 2 ) b
y
w w x a
wi , w j , y i
w w a , y j a i
j
将这4个条件代入
边界 y c 是两相邻单元的公共边界，则两个单元分别按上述4 个条件所确 定的常数c1,c2,c3,c4也一定相同，即两相邻单元的公共边界、上有相同的挠 度w。这表明，所选取的位移模式w满足了相邻单元的挠度在公共边界上 的连续条件。
式中f 1
( x, y) 和 f 2 ( x , y ) 是x，y的任意函数。
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根据假设中面部产生应变的假定)，可得
u z 0 0 , v z 0 0
(7-1)
w w u z , v z x y
而
w=w(x,y)
(7-2)
式中u，v和w是板内某点对于坐标轴方向的位移分量。从上面二式可以
w
( N w
i i 1
4
i
N xi xi N yi yi )
N
i i i 1
4
或者写成标准形式
w N

T 4
e
(7-12)
其中
N N 1 N 2 N 3 N 4

e


T 1

工程中存在广泛的板壳结构,在几何上一个方向 的尺寸远小于其他两个方向的尺寸,这类问题可 以简化二维问题. 基于保持Kirchhoff板（薄板）理论---直法线 假定，即原垂直与中面的直线在变形后仍垂直 与变形后的中面，且长度不变； 基于考虑横向剪切变形的Mindlin平板（中厚） 理论----此理论认为原来保持垂直与板中面的 直线在变形后仍保持为直线，但因为横向剪切 变形的结果，不一定在垂直与变形后的中面。
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κ 中各个分量分别代表薄板弯曲在x方向和y方向的曲率，以及x和
yБайду номын сангаас向的扭率
物理方程（对于各向同性材料）
σ DPε zDPκ
ε zκ
平面应力问题的弹性矩阵
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3 Mindlin板理论 (考虑剪切变形的影响)
z
xz
y
w ( y ) x
法线保持直 线，但不再 垂直中面。
Wi Ri M xi M yi
；对于转角 x , y 和与之对应的结点力矩 M x , M y 方向一致为正
(7-9)
它们的符号规定：对于挠度w和与之对应的结点力W以沿z轴的正方向为正
则按右手定则标出的矢量沿坐标轴正方向为正。图7-1中标出的位移和力的
2w 2 x 2 w z 2 y 2w 2 xy

(7-3)
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根据薄板的简化假定，我们可以把 z 略去不计，于是板内各点的应力可以用 挠度表示为
2w 2 x x 2 w y D z D 2 y xy 2w 2 xy
yz xz 0
w v yz 0, y z w u xz 0 x z
图 7-1
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得
u w , z x
v w z y
w w , ，即与z无关，得 上面两式分别对z积分，并注意 x y
w w u z f1 ( x , y ) , v z f2 ( x, y ) x y
(7-14)
0 和0 分别是 0 其中记号
i ， 0 i。
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由(7-12)式可以看到，整个薄板的位移完全由平面在z方向的挠度 w所决定，而在中面各点不产生x和y方向位移。因此薄板所可能产生的刚 性位移就只有沿z方向的平动以及绕x和y轴的转动，而对于z轴方向的旋 转是没有的。位移模式(7-10)式中是前三项反映了薄板单元的这三个刚 体位移。再由(7-3)式看到，板内各点的应变完全由挠度w的三个二阶导 数所决定。如果这三个二阶导数不随坐标而变化，则描述平板单元的一个 常应变状态，(7-10)式中的第四、五、六三个二次项反映了这个常应变 状态（或称常曲率状态）。因此，我们总是能够保证存在一组结点位移， 可以反映单元的刚体位移和常应变状态，因此，这个矩形单元是完备的。
xi w
y
x
wi wi w i xi y i yi w x i
(7-9)
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与之相对应的结点力列阵可以表示为
w 的值在单元交界线之间是连续的，而对 s
w 却不连续；s表示交界线切线方向而n表示交界线法线方向。因此我们 n
现在所讨论的单元是非协调元，或称为不完全协调单元。
以 1 的ij边界为例说明
s i
n1
w c c1 c2 c3 2 c4 3
n2 j s
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该边界上两端点i , j共有4个已知条件：
z 0
z 0
且直法线保 持长度不变
•中面无横向变形 u( x, y, z 0) v( x, y, z 0) 0
进一步结合直法线假定，可以推论出：
u ( x, y, z ) z y z w x w v( x, y, z ) z x z y
第七章
平板弯曲问题的有限元分析
1
四 教学基本内容
第七章 平板弯曲问题的有限元分析
第一节 引言 第二节 基于薄板理论的非协调板单元 第三节 考虑横向剪切变形影响的平板弯曲单元 第四节 坐标变换
第五节
第六节 第七节
总体刚度列阵和荷载列阵形成
总体刚度修正 求解节点位移分量、计算单元内力和应力
2
7.1
引言
式中

(7-4)
1 E D 2 1 0
0 1 0 1 0 2
(7-5)
是平板的弹性矩阵，它和平面应力问题中的弹性矩阵完全相同。
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从平板理论知道，若取微元hdxdy，那么在微元上作用着弯矩Mx，My和扭矩 x , y 和剪应力 xy 在板截面上的合力矩。如果Mx，My和Mxy Mxy；它是由正应力 表示单位宽度上的内力矩，于是有
T 2

T 3


T
(7-13)
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如果把形函数写成通式
N i Ni
于是
Nxi
Nyi

(i 1,2,3,4)
(c)
N i (1 0 ) (1 0 ) ( 2 0 0 2 2 ) / 8 N x i b i (1 0 ) (1 0 ) (1 2 ) / 8 N y i a i (1 0 ) (1 0 ) (1 2 ) / 8
w
x
挠度w和转角 x , y 是各自独立的场函数且它们 三者之间应满足位移协调条件。。
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7.2 基于薄板理论的非协调板单元（直法线假设） 一 矩形单元
如图所示的薄板，取右手坐标系oxyz，使坐标平面oxy位于板的中 面，根据假设知：
w z 0 z
w仅为x、y的函数，而与z无关，即w = w ( x , y ) 同时根据假定有
3
1
板壳结构的内力定义
单位长度上的 弯矩、扭矩、 剪力满足： 特别注意：弯矩 M x , M y 使板的横截面 z 0 的一侧产生正号 的正应力 x , y 时为正；正号扭矩使板的横截面上 z 0 的 一侧产生正号的剪应力时为正，横向剪力是使板的横截面产 生正号的剪应力为正。上图中符号都为正。注意 M x , M y 指向。
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2 Kirchhoff薄板理论（不考虑剪切变形）
z
w x y
z
w y x
w
y
w
x
中面法线绕x轴的转动： 中面法线绕y轴的转动： 薄板中面的挠度：
w y w y x
x
w w( x, y) w( x, y, z 0)
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基本假定和特征
•直法线假定 xz yz 0 •忽略厚度方向的应力
方向均为正。
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对于矩形单元，如平面问题中引入一个自然坐标系
o 来研究单元特性。
由于矩形单元的每个结点有三个位移分量，一个单元有四个结点共有十二个 结点位移分量，因此我们选取含有十二个参数的多项式作为位移模式，即
w a1 a2 a3 a4 2 a5 a6 2 a7 3 a8 a9 a10 a11 a12
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比较(7-4)式和(7-6)式，可以得到用内力矩表示的平板应力
12 z 3 M h


(7-7)
特别是在平板的上下表面处应力为最大，它是
z h
2
6 2 M h
(7-8)
由以上各式可以看到，平板中面挠度w可以作为基本未知量。如果挠度w 为已知，则板中位移、内力和应力均可按照上述公式计算。