最新高二数学暑假预科讲义 第十一讲 导数初步 中等学生版

目录

第十一讲 导数的概念与运算 (2)

考点1：导数的定义 (2)

题型一：求平均变化与瞬时变化率 (2)

考点2：导数的运算 (5)

题型二：导数运算 (5)

题型三：()f a '实际是一个数 (8)

课后综合巩固练习 (9)

第十一讲 导数的概念与运算

考点1：导数的定义

１．函数的平均变化率：

一般地，已知函数()y f x =，0x ，1x 是其定义域内不同的两点，记10x x x ∆=-， 10y y y ∆=-10()()f x f x =-00()()f x x f x =+∆-，

则当0x ∆≠时，商

00()()f x x f x y

+∆-∆=

称作函数()y f x =在区间[,]x x x +∆（或00[,]x x x +∆）上的平均变化率．

2．函数的瞬时变化率、函数的导数：

设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ∆时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ∆=+∆-． 如果当x ∆趋近于0时，平均变化率

00()()

f x x f x y x x

+∆-∆=

∆∆趋近于一个常数，那么常数称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率． “当x ∆趋近于零时，00()()

f x x f x x

+∆-∆趋近于常数l ”可以用符号“→”记作：

“当0x ∆→时，

00()()f x x f x l x +∆-→∆”，或记作“000()()

lim x f x x f x l x

∆→+∆-=∆”，符号

“→”读作“趋近于”．

函数在0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作0()f x '． 这时又称()f x 在0x x =处是可导的．于是上述变化过程，可以记作 “当0x ∆→时，000()()()f x x f x f x x +∆-'→∆”或“0000()()

lim ()x f x x f x f x x

∆→+∆-'=∆”．

题型一：求平均变化与瞬时变化率

例1.（1）（2018春•道里区校级月考）已知一质点的运动方程为22s t =-，则该质点在一段时间[0，2]内的平均速度为 ．

（2）（2019春•武昌区校级期中）函数2()3f x x =在[2，6]内的平均变化率为 ．

（3）（2019春•思南县校级月考）一物体作直线运动，其运动方程为2()2s t t t =-+，则

1t =时其速度为 ．

（4）（2018秋•广陵区校级期中）若某物体运动规律是3265(0)S t t t =-+>，则在t = 时的瞬时速度为0．

例2.（1）求下列函数在区间00[]x x x +∆，上的平均变化率．

① ()f x x = ② 2()f x x = ③ 3()f x x = ④1

()f x x

= ⑤()f x =

（2）求下列函数分别在1x =，2x =和3x =处的瞬时变化率．

① ()f x x = ② 2()f x x = ③ 3()f x x = ④ 1

()f x x

= ⑤ ()f x =

例3.已知()()40f x kx k =+≠，且()f x 在区间[]12-，上的平均变化率是4，则k =＿＿＿＿．

例4.（1）（2017春•揭东区校级月考）已知1()f x x =，则0lim x → (2)(2)

f x f x

+-的值

是 ．

（2）（2018春•西城区校级期中）已知函数2()f x x =，则0

(1)(1)

lim x f x f x

→+-= ．

（3）（2018春•孝感期末）已知()f x xlnx =，求0

(32)(3)

lim x f x f x

→+-=

（4）（2017秋•临夏市校级期末）设函数()f x 在1x =处存在导数为2，则

(1)(1)

lim 3x f x f x

→+-= ．

（5）（2017春•永昌县校级月考）设函数()f x 可导，f '（1）1=则

(1)(1)

lim 3x f x f x

→+-= ．

（6）（2018春•咸阳期末）若()y f x =在(,)-∞+∞上可导，且0

(2)()

lim 13x f a x f a x

→+-=，

则f '（a ）= ．

考点2：导数的运算

1．可导与导函数：

如果()f x 在开区间(,)a b 内每一点都是可导的，则称()f x 在区间(,)a b 可导．这样，对开区间(,)a b 内每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '．于是，在区间(,)a b 内，()f x '构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数()y f x =的导函数．记为()f x '或y '（或x y '）． 导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数．

2．基本初等函数的导数公式

（1）若()f x C =（C 为常数），则()0f x '=； （2）若()()f x x αα*=∈Q ，则()1f x x αα-'=；

（3）若()x f x a =，则()ln x f x a a '=；特别地， 若()e x f x =，则()e x f x '=； （4）若()log a f x x =，则()1ln f x x a '=

；特别地，若()ln f x x =，则()1

f x x

'=； （5）若()sin f x x =，则()cos f x x '=； （6）若()cos f x x =，则()sin f x x '=-．

3.导数的四则运算法则：其中()()f x g x ，

都是可导函数，C 为常数： (()())()()f x g x f x g x '''±=±；[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+； [()]()Cf x Cf x ''=；2

()()()()()

()()f x f x g x f x g x g x g x '''⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦

（()0g x ≠）．

题型二：导数运算

例5.（1） 求下列函数的导数

①2012y x = ②2x y = ③e x y = ④ln y x =

（2）求下列函数的导数

①3cos y x x =+ ②()

231e x y x x =-+ ③e sin x y x = ④ln x

y x

=

⑤()tan f x x =