专题四 平行线模型归纳
平行线知识点四大模型
平行线四大模型平行线的判定与性质l、平行线的判定根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行．判定方法l：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线平行，判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行，如上图：若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；若已知∠1+ ∠4= 180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．2、平行线的性质利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质．性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简称：两直线平行，内错角相等性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补本讲进阶平行线四大模型点P在EF右侧，在AB、CD内部“铅笔”模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.模型二“猪蹄”模型（M模型）点P在EF左侧，在AB、CD内部“猪蹄”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.模型三“臭脚”模型点P在EF右侧，在AB、CD外部“臭脚”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.模型四“骨折”模型·点P在EF左侧，在AB、CD外部“骨折”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.巩固练习平行线四大模型证明（1）已知AE // CF ,求证∠P +∠AEP +∠PFC = 360°. （2）已知∠P=∠AEP+∠CFP，求证AE∥CF．（3）已知AE∥CF，求证∠P=∠AEP-∠CFP.（4）已知∠P= ∠CFP -∠AEP ,求证AE //CF .模块一平行线四大模型应用例1（1）如图，a∥b,M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠l+∠2+∠3= ．(2)如图，AB∥CD，且∠A=25°，∠C=45°，则∠E的度数是．(3)如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE =140°，则∠BCD= .(4) 如图，射线AC∥BD，∠A= 70°，∠B= 40°，则∠P= ．.练(1)如图所示，AB∥CD，∠E=37°，∠C= 20°，则∠EAB的度数为．(2) 如图，AB∥CD，∠B=30°，∠O=∠C．则∠C= ..例2如图，已知AB∥DE，BF、DF分别平分∠ABC、∠CDE，求∠C、∠F的关系.练如图，已知AB ∥DE ，∠FBC =n 1∠ABF ，∠FDC =n1∠FDE . (1)若n =2,直接写出∠C 、∠F 的关系 ； (2)若n =3，试探宄∠C 、∠F 的关系；(3)直接写出∠C 、∠F 的关系 （用含n 的等式表示）.例3如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．求证：∠E= 2 (∠A+∠C) .练如图，己知AB∥DE，BF、DF分别平分∠ABC、∠CDE，求∠C、∠F的关系.例4如图，∠3==∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D= 180°．练（武昌七校2015-2016 七下期中）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠l+∠2= 90°，M、N分别是BA、CD的延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线相交于点F则∠F的度数为（）．A. 120°B. 135°C. 145°D. 150°模块二平行线四大模型构造例5如图，直线AB∥CD，∠EFA= 30°，∠FGH= 90°，∠HMN=30°，∠CNP= 50°，则∠GHM= .练如图，直线AB∥CD，∠EFG =100°，∠FGH =140°，则∠AEF+ ∠CHG= .例6 已知∠B =25°，∠BCD=45°，∠CDE =30°，∠E=l0°，求证：AB∥EF．练已知AB∥EF，求∠l-∠2+∠3+∠4的度数.(1)如图(l)，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n，∠B1、∠B2…∠B n-1之间的关系．(2)如图(2)，己知MA1∥NA4，探索∠A1、∠A2、∠A3、∠A4，∠B1、∠B2之间的关系．(3)如图(3)，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n之间的关系．如图所示，两直线AB∥CD平行，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．。
七年级数学培优-平行线四大模型
平行线四大【2 】模子平行线的剖断与性质l.平行线的剖断依据平行线的界说,假如平面内的两条直线不订交,就可以断定这两条直线平行,但是,因为直线无穷延长,磨练它们是否订交有艰苦,所以难以直接依据界说来断定两条直线是否平行,这就须要更简略易行的剖断办法来剖断两直线平行．剖断办法l：两条直线被第三条直线所截,假如同位角相等,那么这两条直线平行．简称：同位角相等,两直线平行．剖断办法2：两条直线被第三条直线所截,假如内错角相等,那么这两条直线平行．简称：内错角相等,两直线平行,剖断办法3：两条直线被第三条直线所截,假如同旁内角互补,那么这两条直线平行．简称：同旁内角互补,两直线平行,如上图：若已知∠1=∠2,则AB∥CD（同位角相等,两直线平行）;若已知∠1=∠3,则AB∥CD（内错角相等,两直线平行）;若已知∠1+ ∠4= 180°,则AB∥CD（同旁内角互补,两直线平行）．尚有平行正义推论也能证实两直线平行：平行正义推论：假如两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行．2. 平行线的性质运用同位角相等,或者内错角相等,或者同旁内角互补,可以剖断两条直线平行．反过来,假如已知两条直线平行,当它们被第三条直线所截,得到的同位角.内错角.同旁内角也有响应的数目关系,这就是平行线的性质．性质1：两条平行线被第三条直线所截,同位角相等．简称：两直线平行,同位角相等性质2：两条平行线被第三条直线所截,内错角相等.简称：两直线平行,内错角相等性质3：两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补．简称：两直线平行,同旁内角互补本讲进阶平行线四大模子模子一“铅笔”模子点P在EF右侧,在AB.CD内部“铅笔”模子结论1：若AB∥CD,则∠P+∠AEP+∠PFC=360°;结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°,则AB∥CD.模子二“猪蹄”模子（M模子）点P在EF左侧,在AB.CD内部“猪蹄”模子结论1：若AB∥CD,则∠P=∠AEP+∠CFP;结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP,则AB∥CD.模子三“臭脚”模子点P在EF右侧,在AB.CD外部“臭脚”模子结论1：若AB∥CD,则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP;结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP,则AB∥CD.模子四“骨折”模子点P在EF左侧,在AB.CD外部·“骨折”模子结论1：若AB∥CD,则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP;结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP,则AB∥CD.巩固演习平行线四大模子证实（1）已知AE // CF ,求证∠P +∠AEP +∠PFC = 360°.（2）已知∠P=∠AEP+∠CFP,求证AE∥CF．（3）已知AE∥CF,求证∠P=∠AEP-∠CFP.（4）已知∠P= ∠CFP -∠AEP,求证AE //CF.模块一平行线四大模子运用例1（1）如图,a∥b,M.N分离在a.b上,P为两平行线间一点,那么∠l+∠2+∠3= ．(2)如图,AB∥CD,且∠A=25°,∠C=45°,则∠E的度数是．(3)如图,已知AB∥DE,∠ABC=80°,∠CDE =140°,则∠BCD= .(4) 如图,射线AC∥BD,∠A= 70°,∠B= 40°,则∠P=．练(1)如图所示,AB∥CD,∠E=37°,∠C= 20°,则∠EAB的度数为．(2) 如图,AB∥CD,∠B=30°,∠O=∠C．则∠C=.例2如图,已知AB ∥DE ,BF .DF 分离等分∠ABC .∠CDE ,求∠C .∠F 的关系.练如图,已知AB ∥DE ,∠FBC =n 1∠ABF ,∠FDC =n 1∠FDE . (1)若n =2,直接写出∠C .∠F 的关系; (2)若n =3,试探宄∠C .∠F 的关系;(3)直接写出∠C .∠F 的关系 （用含n 的等式表示）.例3如图,已知AB ∥CD ,BE 等分∠ABC ,DE 等分∠ADC ．求证：∠E = 2 (∠A +∠C ) .练如图,己知AB ∥DE ,BF .DF 分离等分∠ABC .∠CDE ,求∠C .∠F 的关系.例4如图,∠3==∠1+∠2,求证：∠A +∠B +∠C +∠D = 180°．练（武昌七校2015-2016七下期中）如图,AB⊥BC,AE等分∠BAD交BC于E,AE⊥DE,∠l+∠2= 90°,M.N分离是BA.CD的延长线上的点,∠EAM和∠EDN的等分线订交于点F则∠F的度数为（）．A. 120°B. 135°C. 145°D. 150°模块二平行线四大模子结构例5如图,直线AB∥CD,∠EFA= 30°,∠FGH= 90°,∠HMN=30°,∠CNP= 50°,则∠GHM=.练如图,直线AB∥CD,∠EFG =100°,∠FGH =140°,则∠AEF+ ∠CHG=.例6 已知∠B =25°,∠BCD=45°,∠CDE =30°,∠E=l0°,求证：AB∥EF．练已知AB∥EF,求∠l-∠2+∠3+∠4的度数.(1)如图(l),已知MA1∥NA n,摸索∠A1.∠A2.….∠A n,∠B1.∠B2…∠B n-1之间的关系．(2)如图(2),己知MA1∥NA4,摸索∠A1.∠A2.∠A3.∠A4,∠B1.∠B2之间的关系．(3)如图(3),已知MA1∥NA n,摸索∠A1.∠A2.….∠A n之间的关系．如图所示,两直线AB∥CD平行,求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．。
平行线的判定模型
平行线的判定模型
1.同位角判定法：如果两条直线被一条横线（称为横截线）所截，且同位角相等，则这两条直线是平行的。
2.内错角判定法：如果两条直线被一条横线所截，且内错角互补（和为180度），则这两条直线是平行的。
3.副交角判定法：如果两条直线被一对平行线所截，副交角相等，则这两条直线是平行的。
4.斜率判定法：如果两条直线的斜率相等，则这两条直线是平行的。
注意，这个判定法只适用于不垂直的直线，对于垂直的直线则斜率不存在。
其中，同位角判定法和内错角判定法基于直线与横截线的相交关系，而副交角判定法基于直线与平行线的相交关系。
这些判定模型是基于几何性质和角度的推理，可以用于判断平行关系的成立或者非成立。
需要注意的是，这些判定模型只适用于二维空间中的直线和平行线判定，而对于三维空间中的直线和平行线，还需要借助向量的概念和性质进行判断。
同时，这些判定模型是根据平行线的定义和性质推导出来的，可以作为判断平行关系的依据，但并非绝对准确，必须根据具体问题和情境进行判断和验证。
(完整版)七年级数学培优-平行线四大模型
平行线四大模型平行线的判定与性质l、平行线的判定根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行．判定方法l：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线平行，判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行，如上图：若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；若已知∠1+ ∠4= 180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．另有平行公理推论也能证明两直线平行：平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．2、平行线的性质利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质．性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简称：两直线平行，内错角相等性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补本讲进阶平行线四大模型模型一“铅笔”模型点P在EF右侧，在AB、CD内部“铅笔”模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.模型二“猪蹄”模型（M模型）点P在EF左侧，在AB、CD内部“猪蹄”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.模型三“臭脚”模型点P在EF右侧，在AB、CD外部“臭脚”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.模型四“骨折”模型·点P在EF左侧，在AB、CD外部“骨折”模型结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.巩固练习平行线四大模型证明（1）已知AE // CF ,求证∠P +∠AEP +∠PFC = 360°.（2）已知∠P=∠AEP+∠CFP，求证AE∥CF．（3）已知AE∥CF，求证∠P=∠AEP-∠CFP.（4）已知∠P= ∠CFP -∠AEP,求证AE //CF.模块一平行线四大模型应用例1（1）如图，a∥b,M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠l+∠2+∠3= ．(2)如图，AB∥CD，且∠A=25°，∠C=45°，则∠E的度数是．(3)如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE =140°，则∠BCD= .(4) 如图，射线AC∥BD，∠A= 70°，∠B= 40°，则∠P= ．练(1)如图所示，AB∥CD，∠E=37°，∠C= 20°，则∠EAB的度数为．(2) 如图，AB∥CD，∠B=30°，∠O=∠C．则∠C= .例2如图，已知AB ∥DE ，BF 、 DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、 ∠F 的关系.练如图，已知AB ∥DE ，∠FBC =n 1∠ABF ，∠FDC =n1∠FDE . (1)若n =2,直接写出∠C 、∠F 的关系 ； (2)若n =3，试探宄∠C 、∠F 的关系；(3)直接写出∠C 、∠F 的关系 （用含n 的等式表示）.例3如图，已知AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ．求证：∠E = 2 (∠A +∠C ) .练如图，己知AB ∥DE ，BF 、DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、∠F 的关系.例4如图，∠3==∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D= 180°．练（武昌七校2015-2016 七下期中）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠l+∠2= 90°，M、N分别是BA、CD的延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线相交于点F则∠F的度数为（）．A. 120°B. 135°C. 145°D. 150°模块二平行线四大模型构造例5如图，直线AB∥CD，∠EF A= 30°，∠FGH= 90°，∠HMN=30°，∠CNP= 50°，则∠GHM= .练如图，直线AB∥CD，∠EFG =100°，∠FGH =140°，则∠AEF+ ∠CHG= .例6 已知∠B =25°，∠BCD=45°，∠CDE =30°，∠E=l0°，求证：AB∥EF．练已知AB∥EF，求∠l-∠2+∠3+∠4的度数.(1)如图(l)，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n，∠B1、∠B2…∠B n-1之间的关系．(2)如图(2)，己知MA1∥NA4，探索∠A1、∠A2、∠A3、∠A4，∠B1、∠B2之间的关系．(3)如图(3)，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n之间的关系．如图所示，两直线AB∥CD平行，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．。
平行线四大模型
初中数学微专题：平行线四大模型点P在EF右侧，在AB、CD内部“铅笔”模型结论1：若AB∥CD，则∥P+∥AEP+∥PFC=360°；“猪蹄”模型点P在EF左侧，在AB、CD内部结论1：若AB∥CD，则∥P=∥AEP+∥CFP；“臭脚”模型点P在EF右侧，在AB、CD外部结论1：若AB∥CD，则∥P=∥AEP-∥CFP或∥P=∥CFP-∥AEP；点P在EF左侧，在AB、CD外部“骨折”模型结论1：若AB∥CD，则∥P=∥CFP-∥AEP或∥P=∥AEP-∥CFP；一、平行线四大模型结论证明（1）已知AE // CF，求证∥P +∥AEP +∥PFC = 360°.（2）已知∥P=∥AEP+∥CFP，求证AE∥CF．（3）已知AE∥CF，求证∥P=∥AEP-∥CFP.（4）已知∥P= ∥CFP-∥AEP，求证AE //CF .二、例题讲解（2019春•彭泽县期中）如图，已知：∠ABE+∠DEB＝180°，∠1＝∠2，则∠F与∠G的大小关系如何？请说明理由【答案】解：∠F＝∠G，理由是：∵∠ABE+∠DEB＝180°，∴AC∥ED，∴∠CBE＝∠DEB，∵∠1＝∠2，∴∠CBE﹣∠1＝∠DEB﹣∠2，即∠FBE＝∠GEB，∴BF∥EG，∴∠F＝∠G．【例10】（2019春•普宁市期中）已知AB∥CD，点P为平面内一点，连接AP、CP．（1）探究：如图（1）∠P AB＝145°，∠PCD＝135°，则∠APC的度数是；如图（2）∠P AB＝45°，∠PCD＝60°，则∠APC的度数是．（2）在图2中试探究∠APC，∠P AB，∠PCD之间的数量关系，并说明理由．（3）拓展探究：当点P在直线AB，CD外，如图（3）、（4）所示的位置时，请分别直接写出∠APC，∠P AB，∠PCD之间的数量关系．【答案】解：（1）如图1，过P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥CD，∴∠APE+∠P AB＝180°，∠CPE+∠PCD＝180°，∵∠P AB＝145°，∠PCD＝135°，∴∠APC＝360°﹣145°﹣135°＝80°，如图2，过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥CD，∴∠APE＝∠P AB，∠CPE＝∠PCD，∵∠APC＝∠APE+∠CPE，∴∠APC＝∠P AB+∠PCD＝105°；故答案为：80°；105°．（2）∠APC＝∠P AB+∠PCD．理由：如图2，过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴∠APE＝∠P AB，∠CPE＝∠PCD，∵∠APC＝∠APE+∠CPE，∴∠APC＝∠P AB+∠PCD；（3）如图3．∠APC＝∠PCD﹣∠P AB，如图4．∠APC＝∠P AB﹣∠PCD．（2019春•桂平市期末）（1）如图①，∠CEF＝90°，点B在射线EF上，AB∥CD，若∠ABE＝130°，求∠C的度数；（2）如图②，把“∠CEF＝90°”改为“∠CEF＝120°”，点B在射线EF上，AB∥CD．猜想∠ABE 与∠C的数量关系，并说明理由．【答案】解：（1）如图①，过E作EK∥AB，则∠ABE+∠1＝180°，∴∠1＝180°﹣∠ABE＝50°，∵∠CEF＝90°，∴∠2＝90°﹣∠1＝40°，∵AB∥CD，EK∥AB，∴∠C＝∠2＝40°；（2）∠ABE﹣∠C＝60°，理由：如图②，过E作EK∥AB，则∠ABE+∠1＝180°，∴∠1＝180°﹣∠ABE，∵AB∥CD，EK∥AB，∴EK∥CD，∴∠C＝∠2，∵∠CEF＝∠1+∠2＝120°，即180°﹣∠ABE+∠C＝120°，∴∠ABE﹣∠C＝180°﹣120°＝60°．（2019春•费县期中）如图1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；（1）若∠E＝60°，则∠F＝；（2）请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由；（3）如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数．【答案】解：（1）如图1，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，∴EM∥AB∥FN，∴∠B＝∠BEM＝30°，∠MEF＝∠EFN，又∵AB∥CD，AB∥FN，∴CD∥FN，∴∠D+∠DFN＝180°，又∵∠D＝120°，∴∠DFN＝60°，∴∠BEF＝∠MEF+30°，∠EFD＝∠EFN+60°，∴∠EFD＝∠MEF+60°∴∠EFD＝∠BEF+30°＝90°；故答案为：90°；（2）如图1，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，∴EM∥AB∥FN，∴∠B＝∠BEM＝30°，∠MEF＝∠EFN，又∵AB∥CD，AB∥FN，∴CD∥FN，∴∠D+∠DFN＝180°，又∵∠D＝120°，∴∠DFN＝60°，∴∠BEF＝∠MEF+30°，∠EFD＝∠EFN+60°，∴∠EFD＝∠MEF+60°，∴∠EFD＝∠BEF+30°；（3）如图2，过点F作FH∥EP，由（2）知，∠EFD＝∠BEF+30°，设∠BEF＝2x°，则∠EFD＝（2x+30）°，∵EP平分∠BEF，GF平分∠EFD，∴∠PEF＝∠BEF＝x°，∠EFG＝∠EFD＝（x+15）°，∵FH∥EP，∴∠PEF＝∠EFH＝x°，∠P＝∠HFG，∵∠HFG＝∠EFG﹣∠EFH＝15°，∴∠P＝15°．三、练习巩固：1.如图，AB // CD // EF ， EH ∥CD 于H ，则∥BAC +∥ACE +∥CEH 等于( ) A . 180° B . 270° C . 360° D . 450°2．若AB ∥CD ，∥CDF =32∥CDE ，∥ABF =32∥ABE ，则∥E ：∥F =( ) A ．2:1 B ．3:1 C ．4:3 D ．3:23.如图，己知AE ∥BD ，∥1=130°，∥2=30°，则∥C = .4.如图，已知直线AB ∥CD ，∥C =115°，∥A = 25°，则∥E = ．5．如阁所示，AB ∥CD ，∥l =l l 0°，∥2=120°，则∥α= .6．如图所示，AB ∥DF ，∥D =116°，∥DCB =93°，则∥B = .7．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b.∥1=50°，∥2 =60°，则∥3的度数为.8.如图，AB∥CD，EP∥FP，已知∥1=30°，∥2=20°．则∥F的度数为．9.如图，若AB∥CD，∥BEF=70°，求∥B+∥F+∥C的度数.10．已知，直线AB∥CD．(1)如图l，∥A、∥C、∥AEC之间有什么关系？请说明理由；(2)如图2，∥AEF、∥EFC、∥FCD之间有什么关系？请说明理由；(3)如图3，∥A、∥E、∥F、∥G、∥H、∥O、∥C之间的关是.。
平行线四大模型(归纳总结)
点 P 在 EF 左侧，在 AB、 CD 外部
“骨折”模型
结论 1：若 AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP 或∠P=∠AEP-∠CFP；
结论 2：若∠P=∠CFP-∠AEP 或∠P=∠AEP-∠CFP，则 AB∥CD.
【发散思维】
图 1： 180
图 2： 180
图 3： 180
“猪蹄”模型
模型三“臭脚”模型（“鸡翅”模型）
点 P 在 EF 右侧，在 AB、 CD 外部
“臭脚”模型
结论 1：若 AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP 或∠P=∠CFP-∠AEP；
结论 2：若∠P=∠AEP-∠CFP 或∠P=∠CFP-∠AEP，则 AB∥CD.
模型四“骨折”模型（“鹰嘴”模型）
图 4： 180
图 5： 180 图 6： 180
【探索发现】
思考 1：
1 +2 ++ n 与 1+2 ++ n1 的关系?
思考 2：
1+2 ++ n =
.
平行线四大模型 模、 CD 内部 结论 1：若 AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°； 结论 2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则 AB∥CD.
“铅笔”模型
模型二“猪蹄”模型（M 模型）
点 P 在 EF 左侧，在 AB、 CD 内部 结论 1：若 AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP； 结论 2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则 AB∥CD.
平行线四大模型
平行线四大模型1、平行线的判定根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行．判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线平行，判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行，如上图：若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；若已知∠1+∠4=180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．另有平行公理推论也能证明两直线平行：平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．2、平行线的性质利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质．性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简称：两直线平行，内错角相等性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补平移3.平移是指在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移（translation），简称平移。
4.平移的性质经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等；平移变换不改变图形的形状、大小和方向(平移前后的两个图形是全等形)。
（1）图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化;（2）图形平移后，对应点连成的线段平行且相等（或在同一直线上）（3）多次平移相当于一次平移。
平行线中的核心模型
平行线中核心模型【知识要点】模型一“铅笔”模型点P在EF右侧，在AB、CD内部“铅笔”模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；模型二“猪蹄”模型（M模型）点P在EF左侧，在AB、CD内部“猪蹄”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；模型三“臭脚”模型点P在EF右侧，在AB、CD外部“臭脚”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.点P在EF左侧，在AB、CD外部“骨折”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.【典例精析】（一）平行线四大模型证明（1）已知AE // CF ,求证∠P +∠AEP +∠PFC = 360°.（2）已知∠P=∠AEP+∠CFP，求证AE∥CF．（3）已知AE∥CF，求证∠P=∠AEP-∠CFP.（4）已知∠P= ∠CFP -∠AEP ,求证AE //CF .（二）平行线四大模型应用例1：（1）如图，a∥b,M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠l+∠2+∠3= ．(2)如图，AB∥CD，且∠A=25°，∠C=45°，则∠E的度数是．(3)如图，已知AB ∥DE ，∠ABC =80°，∠CDE =140°，则∠BCD = .(4) 如图，射线AC ∥BD ，∠A = 70°，∠B = 40°，则∠P = ．练习：(1)如图所示，AB ∥CD ，∠E =37°，∠C = 20°，则∠EAB 的度数为 ．(2) 如图，AB ∥CD ，∠B =30°，∠O =∠C ．则∠C = .例2：如图，已知AB ∥DE ，BF 、 DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、 ∠F 的关系.练习：如图，已知AB ∥DE ，∠FBC =n 1∠ABF ，∠FDC =n1∠FDE . (1)若n =2,直接写出∠C 、∠F 的关系 ； (2)若n =3，试探宄∠C 、∠F 的关系；(3)直接写出∠C 、∠F 的关系 （用含n 的等式表示）.例3：如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．求证：∠E= 2 (∠A+∠C) .练习：如图，己知AB∥DE，BF、DF分别平分∠ABC、∠CDE，求∠C、∠F的关系.例4：如图，∠3==∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D= 180°．练习：如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠l+∠2= 90°，M、N分别是BA、CD的延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线相交于点F则∠F的度数为（）．A. 120°B. 135°C. 145°D. 150°（三）平行线四大模型构造例5：如图，直线AB∥CD，∠EFA= 30°，∠FGH= 90°，∠HMN=30°，∠CNP= 50°，则∠GHM= .练习：如图，直线AB∥CD，∠EFG =100°，∠FGH =140°，则∠AEF+ ∠CHG= .例6：已知∠B =25°，∠BCD=45°，∠CDE =30°，∠E=l0°，求证：AB∥EF．练习：(1)已知AB∥EF，求∠l-∠2+∠3+∠4的度数.(2)如图(1)，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n，∠B1、∠B2…∠B n-1之间的关系．如图(2)，己知MA1∥NA4，探索∠A1、∠A2、∠A3、∠A4，∠B1、∠B2之间的关系．如图(3)，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n之间的关系．(3)如图所示，两直线AB∥CD平行，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．课后作业1.如图，AB // CD // EF , EH ⊥CD 于H ,则∠BAC +∠ACE +∠CEH 等于( ).A . 180°B . 270°C . 360°D . 450° 2．（武昌七校2015-2016七下期中） 若AB ∥CD ，∠CDF =32∠CDE ，∠ABF =32∠ABE ，则∠E ：∠F =( )．A ．2:1B ．3:1C ．4:3D ．3:23.如图3，己知AE ∥BD ，∠1=130°，∠2=30°，则∠C = .4.如图，已知直线AB ∥CD ，∠C =115°，∠A = 25°，则∠E = ．5．如阁所示，AB ∥CD ，∠l =l l 0°，∠2=120°，则∠α= .6．如图所示，AB ∥DF ，∠D =116°，∠DCB =93°，则∠B = .7．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b.∠1=50°，∠2 =60°，则∠3的度数为 .8．如图，AB∥CD，EP⊥FP, 已知∠1=30°，∠2=20°．则∠F的度数为．9.如图，若AB∥CD，∠BEF=70°，求∠B+∠F+∠C的度数.10．已知，直线AB∥CD．(1)如图l，∠A、∠C、∠AEC之间有什么关系？请说明理由；（2）如图2，∠AEF、∠EFC、∠FCD之间有什么关系？请说明理由；(3)如图3，∠A 、∠E 、∠F 、∠G 、∠H 、∠O 、∠C 之间的关是 .挑战压轴题如图1，直线AB ∥CD ，P 是截线MN 上的一点，MN 与CD 、AB 分别交于E 、F ． (1) 若∠EFB =55°，∠EDP = 30°，求∠MPD 的度数；(2) 当点P 在线段EF 上运动时，∠CPD 与∠ABP 的平分线交于Q ,问：DPBQ∠∠是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围；(3) 当点P 在线段EF 的延长线上运动时，∠CDP 与∠ABP 的平分线交于Q ，问DPBQ∠∠的值足否定值，请在图2中将图形补充完整并说明理由．。
平行线模型归纳：矩形模型归纳
平行线模型归纳：矩形模型归纳平行线模型是一种几何模型，它描述了两条或多条平行线之间的关系。
其中之一的经典例子是矩形模型，它是一种特殊的平行线模型。
本文将对平行线模型进行归纳，并详细讨论矩形模型的特点。
平行线模型归纳平行线模型通常用于解决几何问题，特别是在平面几何中。
它们可以帮助我们理解直线与直线之间的关系，以及与之相关的角度、长度和形状的属性。
平行线模型的基本特点如下：- 平行线：模型中的线段永远永不相交，它们具有相同的斜率。
- 距离：平行线的距离是恒定的，这意味着两条平行线之间的任意两点之间的距离保持一致。
- 角度：平行线之间的角度是恒定的，也就是说，由平行线切割出来的交线上的对应角是相等的。
- 直角：如果一条与平行线相交的第三条线与这两条平行线的角度为90度，则该线被称为垂直线。
平行线模型在许多几何问题的解决中起着重要的作用。
例如，在计算矩形的属性时，我们可以利用平行线模型。
矩形模型的特点矩形是一种特殊的平行线模型。
它是由四条相互垂直的线段组成的四边形，其中两对相对的边平行。
矩形具有以下特点：- 平行线：矩形的两对相对边是平行线。
- 直角：矩形的四个角都是直角。
- 对角线：矩形的对角线相等且相交于中点。
- 面积：矩形的面积等于两个相邻边的长度乘积。
矩形模型在几何中经常用于计算面积、周长和其他属性。
由于其特殊的性质，矩形也在很多实际问题中应用广泛。
例如，在建筑设计中，矩形模型可以用来计算房屋的外墙面积，为材料采购提供参考。
总结起来，平行线模型是解决几何问题的有用工具，而矩形模型则是平行线模型的一种特殊情况。
熟练掌握平行线模型和矩形模型的特点和应用，有助于我们更好地理解几何学和解决相关问题。
人教版数学第5章平行线的性质与判定及辅助线模型
平行线判定和性质以及四大模型汇总第一部分平行线的判定判定方法l：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线平行，判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行，如上图：若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；若已知∠1+ ∠4= 180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．另有平行公理推论也能证明两直线平行：平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．第二部分平行线的性质性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简称：两直线平行，内错角相等性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补第三部分平行线的四大模型模型一“铅笔”模型点P在EF右侧，在AB、CD内部“铅笔”模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.模型二“猪蹄”模型（M模型）点P在EF左侧，在AB、CD内部“猪蹄”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.模型三“臭脚”模型点P在EF右侧，在AB、CD外部“臭脚”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.模型四“骨折”模型点P在EF左侧，在AB、CD外部“骨折”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.第四部分平行线的四大模型证明（1）已知AE // CF ,求证∠P +∠AEP +∠PFC = 360°.（2）已知∠P=∠AEP+∠CFP，求证AE∥CF．（3）已知AE∥CF，求证∠P=∠AEP-∠CFP.（4）已知∠P= ∠CFP -∠AEP,求证AE //CF.第五部分平行线的四大模型的应用案例1如图，a∥b,M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠l+∠2+∠3= ．2如图，AB∥CD，且∠A=25°，∠C=45°，则∠E的度数是．3如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE =140°，则∠BCD= .4如图，射线AC∥BD，∠A= 70°，∠B= 40°，则∠P= ．5如图所示，AB ∥CD ，∠E =37°，∠C = 20°，则∠EAB 的度数为 ．6 如图，AB ∥CD ，∠B =30°，∠O =∠C ．则∠C = .7如图，已知AB ∥DE ，BF 、 DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、 ∠F 的关系.8如图，已知AB ∥DE ，∠FBC =n 1∠ABF ，∠FDC =n1∠FDE . (1)若n =2,直接写出∠C 、∠F 的关系 ； (2)若n =3，试探宄∠C 、∠F 的关系；(3)直接写出∠C 、∠F 的关系 （用含n 的等式表示）.9如图，已知AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ．求证：∠E = 2 (∠A +∠C ) .10如图，己知AB∥DE，BF、DF分别平分∠ABC、∠CDE，求∠C、∠F的关系.11如图，∠3==∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D= 180°．12如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠l+∠2= 90°，M、N分别是BA、CD的延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线相交于点F则∠F的度数为（）．A. 120°B. 135°C. 145°D. 150°133如图，直线AB∥CD，∠EF A= 30°，∠FGH= 90°，∠HMN=30°，∠CNP= 50°，则∠GHM= .14如图，直线AB∥CD，∠EFG =100°，∠FGH =140°，则∠AEF+ ∠CHG= .15 已知∠B =25°，∠BCD=45°，∠CDE =30°，∠E=l0°，求证：AB∥EF．16已知AB∥EF，求∠l-∠2+∠3+∠4的度数.17如图(l )，已知MA 1∥NA n ，探索∠A 1、∠A 2、…、∠A n ，∠B 1、∠B 2…∠B n -1之间的 关系．(2)如图(2)，己知MA 1∥NA 4，探索∠A 1、∠A 2、∠A 3、∠A 4，∠B 1、∠B 2之间的关系． (3)如图(3)，已知MA 1∥NA n ，探索∠A 1、∠A 2、…、∠A n 之间的关系．如图所示，两直线AB ∥CD 平行，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．18如图1，直线AB ∥CD ，P 是截线MN 上的一点，MN 与CD 、AB 分别交于E 、F ． (1) 若∠EFB =55°，∠EDP = 30°，求∠MPD 的度数；(2) 当点P 在线段EF 上运动时，∠CPD 与∠ABP 的平分线交于Q ,问：DPBQ∠∠是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围；(3) 当点P 在线段EF 的延长线上运动时，∠CDP 与∠ABP 的平分线交于Q ，问DPBQ∠∠的值足否定值，请在图2中将图形补充完整并说明理由．第六部分 平行线的四大模型实战演练1.如图，AB // CD // EF , EH ⊥CD 于H ,则∠BAC +∠ACE +∠CEH 等于( ).A . 180°B . 270°C . 360°D . 450° 2 若AB ∥CD ，∠CDF =32∠CDE ，∠ABF =32∠ABE ，则∠E ：∠F =( )．A ．2:1B ．3:1C ．4:3D ．3:23.如图3，己知AE ∥BD ，∠1=130°，∠2=30°，则∠C = .4.如图，已知直线AB ∥CD ，∠C =115°，∠A = 25°，则∠E = ．5． 6． 7．8．如阁所示，AB∥CD，∠l=l l0°，∠2=120°，则∠α= .9．如图所示，AB∥DF，∠D =116°，∠DCB=93°，则∠B= .10．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b.∠1=50°，∠2 =60°，则∠3的度数为 .11．如图，AB∥CD，EP⊥FP, 已知∠1=30°，∠2=20°．则∠F的度数为．9.如图，若AB∥CD，∠BEF=70°，求∠B+∠F+∠C的度数.10．已知，直线AB∥CD．(1)如图l，∠A、∠C、∠AEC之间有什么关系？请说明理由；（2）如图2，∠AEF、∠EFC、∠FCD之间有什么关系？请说明理由；(3)如图3，∠A、∠E、∠F、∠G、∠H、∠O、∠C之间的关是.第七部分平行线的性质和判定综合应用1．如图，直线AB∥EF，点C是直线AB上一点，点D是直线AB外一点，若∠BCD ＝95°，∠CDE＝25°，则∠DEF的度数是（）A．110°B．115°C．120°D．125°2．如图，将一副直角三角板按图中所示位置摆放，保持两条斜边互相平行，则∠1＝（）A．30°B．25°C．20°D．15°3．如图，AE∥BF，∠1＝110°，∠2＝130°，求∠3的度数为（）4．如图，∠B+∠C＝180°，∠A＝50°，∠D＝40°，则∠AED＝．5．如图，如果∠C＝70°，∠B＝135°，∠D＝110°，那么∠1+∠2＝6．如图，AB∥CD，求∠1+∠2+∠3+∠4＝7．如图，AB∥CD，试找出∠B、∠C、∠BEC三者之间的数量关系．8．如图，三角形ABC中，点E为BC上一点（1）作图：过点E作EM∥AC交AB于M，过点E作EN∥AB交AC于N；（2）求∠A+∠B+∠C的度数，写出推理过程．9．如图，AB∥CD，BE平分∠ABF，DE平分∠CDF，∠BFD＝120°，求∠BED．10．如图，AC∥BD．（1）作图，过点B作BM∥AP交AC于M；（2）求证：∠PBD﹣∠P AC＝∠P．11．如图，AB∥CD，∠B＝∠C，求证：BE∥CF．12．如图①，木杆EB与FC平行，木杆的两端B，C用一橡皮筋连接，现将图①中的橡皮筋拉成下列各图②③的形状，请问∠A、∠B、∠C之间的数量关系?。
(完整版)平行线知识点+四大模型
平行线四大模型平行线的判定与性质l、平行线的判定根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行．判定方法l：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线平行，判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行，如上图：若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；若已知∠1+ ∠4= 180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．另有平行公理推论也能证明两直线平行：平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．2、平行线的性质利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质．性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简称：两直线平行，内错角相等性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补本讲进阶平行线四大模型模型一“铅笔”模型点P在EF右侧，在AB、CD内部“铅笔”模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.模型二“猪蹄”模型（M模型）点P在EF左侧，在AB、CD内部“猪蹄”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.模型三“臭脚”模型点P在EF右侧，在AB、CD外部“臭脚”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.模型四“骨折”模型·点P在EF左侧，在AB、CD外部“骨折”模型结论结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.巩固练习平行线四大模型证明（1）已知AE // CF ,求证∠P +∠AEP +∠PFC = 360°. （2）已知∠P=∠AEP+∠CFP，求证AE∥CF．（3）已知AE∥CF，求证∠P=∠AEP-∠CFP.（4）已知∠P= ∠CFP -∠AEP,求证AE //CF.模块一平行线四大模型应用例1（1）如图，a∥b,M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠l+∠2+∠3= ．(2)如图，AB∥CD，且∠A=25°，∠C=45°，则∠E的度数是．(3)如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE =140°，则∠BCD= .(4) 如图，射线AC∥BD，∠A= 70°，∠B= 40°，则∠P= ．练(1)如图所示，AB∥CD，∠E=37°，∠C= 20°，则∠EAB的度数为．(2) 如图，AB∥CD，∠B=30°，∠O=∠C．则∠C= .例2如图，已知AB ∥DE ，BF 、 DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、 ∠F 的关系.练如图，已知AB ∥DE ，∠FBC =n 1∠ABF ，∠FDC =n1∠FDE . (1)若n =2,直接写出∠C 、∠F 的关系 ； (2)若n =3，试探宄∠C 、∠F 的关系；(3)直接写出∠C 、∠F 的关系 （用含n 的等式表示）.例3如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．求证：∠E= 2 (∠A+∠C) .练如图，己知AB∥DE，BF、DF分别平分∠ABC、∠CDE，求∠C、∠F的关系.例4如图，∠3==∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D= 180°．练（武昌七校2015-2016 七下期中）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠l+∠2= 90°，M、N分别是BA、CD的延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线相交于点F则∠F的度数为（）．A. 120°B. 135°C. 145°D. 150°模块二平行线四大模型构造例5如图，直线AB∥CD，∠EF A= 30°，∠FGH= 90°，∠HMN=30°，∠CNP= 50°，则∠GHM= .练如图，直线AB∥CD，∠EFG=100°，∠FGH=140°，则∠AEF+ ∠CHG= .例6 已知∠B =25°，∠BCD=45°，∠CDE =30°，∠E=l0°，求证：AB∥EF．练已知AB∥EF，求∠l-∠2+∠3+∠4的度数.(1)如图(l)，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n，∠B1、∠B2…∠B n-1之间的关系．(2)如图(2)，己知MA1∥NA4，探索∠A1、∠A2、∠A3、∠A4，∠B1、∠B2之间的关系．(3)如图(3)，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n之间的关系．如图所示，两直线AB∥CD平行，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．。
平行线模型
平行线模型一、猪蹄型（在拐点作平行线，利用内错角倒角）已知：AB//CD，求证：∠B+∠D=∠E.证明：过点E作MN//AB.∠MN//AB（辅助线）.∠∠B=∠1（两直线平行，内错角相等）.∠MN//AB（辅助线），AB//CD（已知）∠MN//CD（平行于同一直线的两直线互相平行）∠∠2=∠D（两直线平行，内错角相等）∠∠1+∠2=∠BED（等式性质）∠∠B+∠D=∠BED（等量代换）结论：朝左的角之和=朝右的角之和二、铅笔型（在拐点作平行线，利用同旁内角倒角）解：（1）∵AB∥CD（已知）∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）（2）过点E作一条直线EF平行于AB，∵AB∥EF，AB∥CD（已知）∴CD∥EF（平行于同一条直线的两条直线平行）∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠AEF+∠FEC=∠AEC，∠1+∠AEF+∠FEC+∠3=360°（等式性质）∴∠1+∠2+∠3=360°（等量代换）（3）过点E、F作EG、FH平行于AB，∵AB∥CD（已知）∴AB∥EG∥FH∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行）∴∠1+∠AEG=180°，∠GEF+∠EFH=180°，∠HFC+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠AEG+∠GEF=∠AEF，∠EFH+∠HFC=∠EFC，∠1+∠AEG+∠GEF+∠EFH+∠HFC+∠4=540°（等式性质）∴∠1+∠2+∠3+∠4=540°（等量代换）（4）根据上述规律，显然作（n-2）条辅助线，运用（n-1）次两条直线平行，同旁内角互补．即可得到n组同旁内角，n个角的和是180（n-1）°．三、前扬角型（在拐点作平行线，利用内错角倒角）∠B=∠E+∠C过点E作GF//AB∵AB∥CD（已知）∴GF∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行）∴∠B=∠BEF，∠C=∠CEF（两直线平行，内错角相等）.∵∠BEF=∠BEC+∠CEF（等式性质）∴∠B=∠BEC+∠C（等量代换）四、后翻角型（在拐点作平行线，利用内错角倒角）∠C=∠E+∠B过点E作GF//AB∵AB∥CD（已知）∴GF∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行）∴∠B=∠BEF，∠C=∠CEF（两直线平行，内错角相等）.∵∠CEF=∠BEF+∠CEB（等式性质）∴∠C=∠B+∠CEB（等量代换）五、综合型（在拐点作平行线，利用平行性质倒角）∠B+∠E-∠D=180°CD//EF，AB//GF→∠1+∠2=∠ABC。
七年级数学培优-平行线四大模型
平行线四大模子之袁州冬雪创作平行线的断定与性质l、平行线的断定根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，便可以断定这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有坚苦，所以难以直接根据定义来断定两条直线是否平行，这就需要更简单易行的断定方法来断定两直线平行．断定方法l：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那末这两条直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．断定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那末这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线平行，断定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那末这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行，如上图：若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；若已知∠1+ ∠4= 180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．还有平行公理推论也能证明两直线平行：平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那末这两条直线也互相平行．2、平行线的性质操纵同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以断定两条直线平行．反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质．性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简称：两直线平行，内错角相等性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补本讲进阶平行线四大模子模子一“铅笔”模子点P在EF右侧，在AB、CD外部“铅笔”模子结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=360°；结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.模子二“猪蹄”模子（M模子）点P在EF左侧，在AB、CD外部“猪蹄”模子结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.模子三“臭脚”模子点P在EF右侧，在AB、CD外部“臭脚”模子结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.模子四“骨折”模子点P在EF左侧，在AB、CD外部·“骨折”模子结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.巩固操练平行线四大模子证明（1）已知AE // CF ,求证∠P +∠AEP +∠PFC = 360°.（2） 已知∠P =∠AEP +∠CFP ，求证AE ∥CF ．（3） 已知AE ∥CF ，求证∠P =∠AEP -∠CFP .（4） 已知∠P = ∠CFP -∠AEP ,求证AE //CF .模块一 平行线四大模子应用例1（1）如图，a ∥b ,M 、N 分别在a 、b 上，P 为两平行线间一点，那末∠l +∠2+∠3= ．(2)如图，AB ∥CD ，且∠A =25°，∠C =45°，则∠E的度数是． (3)如图，已知AB ∥DE ，∠ABC =80°，∠CDE =140°，则∠BCD = .(4) 如图，射线AC ∥BD ，∠A = 70°，∠B = 40°，则∠P =． 练(1)如图所示，AB ∥CD ，∠E =37°，∠C = 20°，则∠EAB 的度数为．(2) 如图，AB ∥CD ，∠B =30°，∠O =∠C ．则∠C =.例2如图，已知AB ∥DE ，BF 、DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、∠F 的关系.练如图，已知AB ∥DE ，∠FBC =n 1∠ABF ，∠FDC =n 1∠FDE . (1)若n =2,直接写出∠C 、∠F 的关系； (2)若n =3，试探宄∠C 、∠F 的关系；(3)直接写出∠C、∠F的关系（用含n的等式暗示）.例3如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．求证：∠E= 2 (∠A+∠C) .练如图，己知AB∥DE，BF、DF分别平分∠ABC、∠CDE，求∠C、∠F的关系.例4如图，∠3==∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D= 180°．练（武昌七校2015-2016七下期中）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠l+∠2= 90°，M、N分别是BA、CD的延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线相交于点F则∠F的度数为（）．A. 120°B. 135°C. 145°D. 150°模块二平行线四大模子构造例5如图，直线AB∥CD，∠EFA= 30°，∠FGH= 90°，∠HMN=30°，∠CNP= 50°，则∠GHM=.练如图，直线AB∥CD，∠EFG =100°，∠FGH =140°，则∠AEF+ ∠CHG=.例 6 已知∠B =25°，∠BCD=45°，∠CDE =30°，∠E=l0°，求证：AB∥EF．练已知AB∥EF，求∠l-∠2+∠3+∠4的度数.(1)如图(l)，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n，∠B1、∠B2…∠B n-1之间的关系．(2)如图(2)，己知MA1∥NA4，探索∠A1、∠A2、∠A3、∠A4，∠B1、∠B2之间的关系．(3)如图(3)，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n之间的关系．如图所示，两直线AB∥CD平行，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．。
七年级数学培优-平行线四大模型
平行线四大模型本讲进阶平行线四大模型模型一“铅笔”模型点P在EF右侧，在AB、CD内部“铅笔”模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.模型二“猪蹄”模型（M模型）点P在EF左侧，在AB、CD内部“猪蹄”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.模型三“臭脚”模型点P在EF右侧，在AB、CD外部“臭脚”模型结论结论模型四“骨折”模型·点P在EF左侧，在AB、CD外部“骨折”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.巩固练习平行线四大模型证明（1）已知AE // CF ,求证∠P +∠AEP +∠PFC = 360°.（2）已知∠P=∠AEP+∠CFP，求证AE∥CF．（3）已知AE∥CF，求证∠P=∠AEP-∠CFP.（4）已知∠P= ∠CFP -∠AEP,求证AE //CF.模块一平行线四大模型应用例1（1）如图，a∥b,M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠l+∠2+∠3= ．(2)如图，AB∥CD，且∠A=25°，∠C=45°，则∠E的度数是．(3)如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE =140°，则∠BCD= .(4) 如图，射线AC∥BD，∠A= 70°，∠B= 40°，则∠P= ．练(1)如图所示，AB∥CD，∠E=37°，∠C= 20°，则∠EAB的度数为．(2) 如图，AB∥CD，∠B=30°，∠O=∠C．则∠C= .例2如图，已知AB∥DE，BF、DF分别平分∠ABC、∠CDE，求∠C、∠F的关系.如图，已知AB ∥DE ，∠FBC =n 1∠ABF ，∠FDC =n1∠FDE . (1)若n =2,直接写出∠C 、∠F 的关系 ； (2)若n =3，试探宄∠C 、∠F 的关系；(3)直接写出∠C 、∠F 的关系 （用含n 的等式表示）.例3如图，已知AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ．求证：∠E = 2 (∠A +∠C ) .练如图，己知AB ∥DE ，BF 、DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、∠F 的关系.例4如图，∠3==∠1+∠2，求证：∠A +∠B +∠C +∠D = 180°．（武昌七校2015-2016 七下期中）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠l+∠2= 90°，M、N分别是BA、CD的延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线相交于点F则∠F的度数为（）．A. 120°B. 135°C. 145°D. 150°模块二平行线四大模型构造例5如图，直线AB∥CD，∠EF A= 30°，∠FGH= 90°，∠HMN=30°，∠CNP= 50°，则∠GHM= .练如图，直线AB∥CD，∠EFG=100°，∠FGH=140°，则∠AEF+ ∠CHG= .例6 已知∠B =25°，∠BCD=45°，∠CDE =30°，∠E=l0°，求证：AB∥EF．练已知AB∥EF，求∠l-∠2+∠3+∠4的度数.(1)如图(l)，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n，∠B1、∠B2…∠B n-1之间的关系．(2)如图(2)，己知MA1∥NA4，探索∠A1、∠A2、∠A3、∠A4，∠B1、∠B2之间的关系．(3)如图(3)，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n之间的关系．如图所示，两直线AB∥CD平行，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．。
平行线模型归纳：五边形模型归纳
平行线模型归纳：五边形模型归纳1. 介绍平行线模型和五边形模型是组织管理领域中常被使用的两种模型。
通过对这两个模型的归纳，我们可以更好地理解组织内部的运作机制和决策过程。
2. 平行线模型2.1 定义平行线模型是指组织内权力和责任的分配呈现出平行关系的管理模型。
在这种模型中，不同的职能部门或等级之间拥有相对独立的权威，并各自负责自己的职责范围。
2.2 特点- 平行线模型的优势在于简单明确，能够提高工作效率和决策的灵活性。
- 不同职能部门或等级之间的权力和责任划分清晰，各自独立负责自己的领域。
- 平行线模型也存在一些缺点，如沟通不畅、协调困难等问题。
3. 五边形模型3.1 定义五边形模型是一种组织结构模型，将组织内部的职能部门划分为五个核心领域，包括战略计划、人力资源、运营管理、市场营销和财务控制。
3.2 特点- 五边形模型的优势在于促进各个核心领域之间的协作和沟通，使得组织能够更加高效地运作。
- 不同核心领域之间存在一定的交叉和相互依赖关系，能够实现资源的共享和协同。
- 五边形模型也需要良好的沟通和协调机制，以确保核心领域之间的正常运作。
4. 归纳总结平行线模型和五边形模型都是在组织管理中常被使用的模型。
平行线模型强调部门或等级之间的独立性，适用于简单明确的组织结构。
而五边形模型则更加注重不同核心领域之间的协作和沟通，适用于较为复杂的组织结构。
根据组织的特点和需要，可以选择适合的模型来优化组织内部的运作。
参考文献：- [参考文献1] - [参考文献2] - [参考文献3]。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专题四平行线模型归纳基本模型归纳：
基本模型的运用：
基础过关：
1.将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸
片的一边上，求∠1+∠2的度数。
2. 如图，直线a//b ，求∠A 的度数。
3. 如图，已知AB//CD,∠1=100°，∠2=120°，求∠3的度数。
4. 如图，已知AB//CD,∠ABC=80°，∠CDE=140°，求∠BCD 的度数。
5. 如图，已知l//m ，∠1=115°，∠2=95°，求∠3的度数。
6. 如图，已知直线AB//CD ，∠C=115°，∠A=25°，求∠E 的度数。
7. 如图，已知FC//AB//DE ，∠1：∠D:∠B=2：3：4，求∠1，∠D ，∠B 的度数。
E
A
D
B
8. 如图，已知∠BFM=∠1+∠2，求证：AB//CD 。
能力提升
1.已知AB//CD,∠AEC=90°。
（1）如图1，当CE 平分∠ACD 时，求证：AE 平分∠BAC
（2）如图2，移动直角顶点E ，使∠MCE=∠ECD,求证：2∠BAE=∠MCG
G
A
B A
2.如图，已知CD//EF ，∠
1+∠2=∠ABC ，求证：AB//GF 。
F
A
3.如图已知AB//CD ，∠ABE 和∠CDE 的平分线相交于F ，∠E=140°，求∠BFD 的度数。
E
D
C E
B
4.如图，直线AB//CD,∠1=30°，∠2=90°，∠3=30°，∠4=50°求∠5的度数。
4
3
521D
C
B
A
5.如图，已知AD//CE ，∠BCF=∠BCG ，CF 与∠BAH 的平分线交于点F ，若∠F 的余角等于2∠B 的补角，求∠BAH 的度数。
D
A
H
F B
C
E
G
6.如图，直线AC ∥BD ，连接AB ，直线AC 、BD 及线段AB 把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P 落在某个部分时，连接PA 、PB ，构成∠PAC 、∠APB 、∠PBD 三个角． （提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°） （1）当动点P 落在第①部分时，有∠APB=∠PAC+∠PBD ，请说明理由； （2）当动点P 落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD 是否成立？若不成立，试写出∠PAC 、∠APB 、∠PBD 三个角的等量关系（无需说明理由）；
（3）当动点P 在第③④部分时，探究∠PAC 、∠APB 、∠PBD 之间的关系，写出你发现的结论并加以说明．。