离散数学深刻复知识题(全)

离散数学复习资料

一、填空

1. 命题“对于任意给定的正实数，都存在比它大的实数”令F(x)：x 为实数，y

x y x L >:),(则命题的逻辑谓词公式为 。

2. 设p ：王大力是100米冠军，q ：王大力是500米冠军，在命题逻辑中，命题“王大力不

但是100米冠军，而且是500米冠军”的符号化形式为 。命题“存在一个人不但是100米冠军，而且是500米冠军”的符号化形式为____。

3. 选择合适的论域和谓词表达集合A=“直角坐标系中，单位元（不包括单位圆周）的点集”

则A= 。

4. 设 P （x ）：x 是素数， E(x)：x 是偶数，O(x)：x 是奇数 N (x,y)：x 可以整数y 。则谓词

(()(()(,)))x P x y O y N y x ∀→∃∧ 的自然语言是 对于任意一个素数都存在一个奇数使

该素数都能被整除 。

5. 设个体域是{a,b}，谓词公式()()()()x P x x P x ∀⌝∨∀写成不含量词的形式是 。

6. 谓词(((,)(,))(,,))x y z P x z P y z uQ x y u ∀∀∃∧→∃的前束范式为 。

7. 命题公式)))(((R Q Q P P A →⌝∧→⌝∨⇔的主合取范式为 ，其编码表示为 。 8. 设E 为全集， ，称为A 的绝对补，记作～A ，且～（～A ）= ，～E = ，

～Φ= 。

9. 设={256},{234},{134}A B C ==，

，，，，，，则A-B= ，A ⊕B = ，A ×C = 。 10. 设},,{c b a A =考虑下列子集}},{},,{{1c b b a S =，}},{},,{},{{2c a b a a S =，

}},{},{{3c b a S =，}},,{{4c b a S =，}}{},{},{{5c b a S =，}},{},{{6c a a S =

则A 的覆盖有 ，A 的划分有 。

11. 设}2,121{Z x x x x M ∈≤≤=整除，被，}3,121{Z x x x x N ∈≤≤=整除，被，则

=⋂N M ，=-N M 。

12. 设A={<1,2>,<2 , 4 >,<3 , 3 >} , B={<1,3>,<2,4>,<4,2>},则B A ⋃= ，

B A = 。

13. A={1，2，3，4，5，6}，A 上二元关系}|,{是素数y x y x T ÷><=，则用列举法 T= ；

T 的关系图为 ，T 具有 性质。

14. 偏序集><≤R A ,的哈斯图为

，则≤R = 。

15. 设},2|{N n x x A n

∈==，定义A 上的二元运算为普通乘法、除法和加法，则代数系统

中运算*关于 运算具有封闭性。 16. A ，B ，C 表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为 。

17. 设图G = < V ，E >，},,,{4321v v v v V =的邻接矩阵⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝

⎛=00

010*******

1010A ，则1v 的入度 A B

C

)(deg 1v -= ，4v 的出度)(deg 4v += ，从2v 到4v 的长度为2的路径有 条。

18. 结点数n （3≥n ）的简单连通平面图的边数为m ，则m 与n 的关系为 m<=3n-6 。 19. 设 f ，g 是自然数集N 上的函数x x g x x f N x 2)(,1)(,

=+=∈∀，

则=)(x g f 。 20. 设I 是整数集合，Z 3是由模3的同余类组成的同余类集，在Z 3上定义+3如下：

]3m od )[(][][3j i j i +=+，则+3的运算表为 ；是否构成群 。

21. 集合S={α，β，γ，δ}上的二元运算*为

那么，代数系统中的幺元是 ，α的逆元是

。 22. 设< {a,b,c}, * >为代数系统，* 运算如下：

则它的幺元为 ；零元为 。

23. 设A={a ，b ，c}，A 上二元关系R={< a, a > , < a, b >,< a, c >, < c, c>} , 则s （R ）= 。 24. 设A={<1,2>,<2 , 4 >,<3 , 3 >} , B={<1,3>,<2,4>,<4,2>},则B A ⋃= ，

B A = 。

25. 设集合X={1,2,3}，下列关系中 不是等价的。 A= {<1,1>,<2 , 2 >,<3 , 3 >}

B= {<1,1>,<2 , 2 >,<3 , 3 >,<3,2>,<2 ,3 >} C= {<1,1>,<2 , 2 >,<3 , 3 >,<1,4>}

D= {<1,1>,<2 , 2 >,<1 , 2 >,<2,1>,<1 ,3 >,<3,1>,<3 , 3 >,<2 , 3 >,<3,2>}

26. 设{1,2,3,4},{1,2,2,43,3}X R ==<><><>，

，则r (R)= ；s (R)= ；t (R) = 。

27. 设G 是n 阶完全图，则G 的边数m= 。

28. 设A={a ，b ，c ，d}，其上偏序关系R 的哈斯图如右图所示：则

R= 。

29. n 阶完全图Kn 的边数为 。

30. 结点数n （3≥n ）的简单连通平面图的边数为m ，则m 与n 的关系为 。

31. 图的补图为 。

32. 有向图 中从v 1到v 2长度为2的通路有 条。

33. 设G 为9阶无向图，每个结点度数不是5就是6，则G 中至少有 个5度结点。 34. n 阶完全图结点v 的度数d(v) = n-1 。 二、证明

1. 不构造真值表证明蕴涵式

Q R P P R R P P Q →⇒⌝∧→→→⌝∧→)))((())((

2. 证明,A B C D D E F A F ∨→∧∨→⇒→

3. 证明(P ∧Q)∨(P ∧⌝Q) ⇔ P

4. 证明(())()P Q R P Q R →∨⇔∧⌝→

5. 证明)()())()((x xQ x xP x Q x P x ∀→∀⇒→∀

6. 证明(()())()()x P x Q x xP x xQ x ∀∨⇒∀∨∃

7. 用推理规则证明下式：

前提: )()(,)()(,))())()((()()(x Q x x P x x R x Q x P x x P x ∃∃→∨∀→∃ 结论：))()()()((y R x P y x ∧∃∃

8. 设论域D={a , b , c}，求证：))()(()()(x B x A x x xB x xA ∨∀⇒∀∨∀。 9. 设f g 是复合函数，如果f g 满射，则g 也是满射。