斐波那契数列与黄金分割

合集下载

斐波那契数列和黄金分割教案

斐波那契数列和黄金分割教案一、引言教学目标：了解斐波那契数列和黄金分割的概念及其在自然界和艺术中的应用，并掌握解题方法。

教学重点：斐波那契数列的特点、黄金分割的原理及应用。

教学难点：黄金分割的原理及应用的深入理解。

二、斐波那契数列斐波那契数列是指从1、1开始，后续的数都是前两个数的和。

数列的前几项是：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …1. 斐波那契数列的特点斐波那契数列具有许多独特的特点，如数列中的每个数等于它前面两个数的和，数列逐渐增长，并且随着项数的增加，相邻两项的比例逐渐趋近于黄金分割比例。

2. 斐波那契数列的应用在自然界中，斐波那契数列的规律被广泛应用。

例如，植物的叶子排列、猪身上的螺旋形状、蜂窝的排列等都呈现出斐波那契数列的规律。

此外，在金融、计算机科学、艺术等领域中也有斐波那契数列的应用。

三、黄金分割黄金分割是指将一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。

这个比例约等于1.618。

1. 黄金分割的原理黄金分割的原理是基于斐波那契数列的特性推导出来的。

当数列的项数趋近无穷大时，相邻两项的比例趋近于黄金分割比例。

2. 黄金分割的应用黄金分割在艺术中有着广泛的应用，例如建筑、绘画、摄影等。

黄金分割比例被认为是最美的比例之一，能够使作品达到和谐、平衡、美感的效果。

四、教学设计1. 导入活动通过展示自然界中斐波那契数列和黄金分割的应用实例，引起学生兴趣，激发他们的思考。

2. 知识讲解简要介绍斐波那契数列和黄金分割的定义、特点和应用。

通过图表和实例，帮助学生理解数列和黄金分割的概念。

3. 解题方法演示以解斐波那契数列和黄金分割相关问题为例，演示解题方法。

引导学生观察问题中的规律，并利用斐波那契数列和黄金分割的特性进行解答。

4. 练习与讨论提供一些练习题目，让学生进行个人或小组讨论解题过程。

通过学生间的合作讨论，加深对斐波那契数列和黄金分割的理解。

黄金分割与斐波那契数列

第八讲黄金分割与斐波那契数列一、黄金分割1. 黄金分割的概念把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。

其比值是（√5-1）：2，取其小数点后三位的近似值是0.618。

由于按此比例设计的造型十分美丽柔和，因此称为黄金分割，也称为中外比。

这是一个十分有趣的数字。

德国天文学家开普勒（J.Kepler ）曾说“几何学有两大宝藏，其一为毕氏定理，其二为将一线段分成外内比。

前者如黄金，后者如珍珠。

”所谓将一线段分成“中外比（或称中末比或外内比）”，这是欧几里得在《几何原本》（公元前三世纪前后）里的说法：A straight line is said to have been cut in extreme and mean radio when, as the whole line is to the greater segment, so is the greater to the less.分一线段为二线段，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比。

关于黄金分割的历史，可以追溯到公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们已经研究过正五边形和正十边形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。

公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。

而《几何原本》是吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著。

中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数学帕乔利称之为神圣比例，并专门为此著书立说。

德国天文学家开普勒称之为神圣分割。

当时，人们都还是称之为“中外比”，直到19世纪初，黄金分割这个名称才出现。

黄金分割在文艺复兴前后，经过阿拉伯人传入欧洲，受到了欧洲人的欢迎，他们称之为“金法”，17世纪欧洲的一位数学家，甚至称它为“各种算法中最可宝贵的算法”。

这种算法在印度称之为“三率法”或“三数法则”，也就是我们常说的比例方法。

数学文化之旅------神奇的斐波那契数列与黄金分割

神奇的斐波那契数列与黄金分割石家庄二中南校区孟柳比萨的列奥纳多，又称斐波那契(Leonardo Pisano ,Fibonacci, Leonardo Bigollo，1175年-1250年)，中世纪意大利数学家，是西方第一个研究斐波那契数的人，并将现代书写数和乘数的位值表示法系统引入欧洲。

列奥纳多的父亲Guilielmo(威廉)，外号Bonacci.因此列奥纳多就得到了外号斐波那契(Fibonacci，意即filius Bonacci，Bonacci之子)。

1202年，他撰写了《算盘全书》（Liber Abacci）一书。

他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。

他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，当时仍是小伙子的列奥纳多已经开始协助父亲工作,因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。

他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯等地研究数学。

于是他就学会了阿拉伯数字。

他是西方第一个研究斐波那契数的人，并将现代书写数和乘数的位值表示法系统引入欧洲。

主要著作有《算盘书》《几何实践》《花朵》《平方数书》斐波那契在《算盘书》中提出了一个有趣的兔子问题：一般而言，兔子在出生两个月后就具有了繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对兔子，如果兔子都不死，那么一年后能有多少对兔子？拿新出生的一对兔子研究：第一个月兔子没有繁殖能力，两个月后生下一对小兔总数共有两对；三个月后，老兔子生下又一对，因为上一轮的小兔没有繁殖能力，所以总数是三对；…………..1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……依次类推下去，你会发现，它后一个数等于前面两个数的和。

在这个数列中的数字，就被称为斐波那契数。

2是第3个斐波那契数。

斐波那契数列还满足一下特点：1.任一项的平方数都等于与它相邻的两项乘积相差12.相邻的4个数，内积与外积相差13.前一项与后一项的比大约是0.6184.后一项比前一项大约是1.618经研究发现，相邻两个斐波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的。

斐波那契数列与黄金分割教学设计

斐波那契数列与黄金分割教学设计教学设计：斐波那契数列与黄金分割一、教学目标1. 理解斐波那契数列和黄金分割的基本概念。

2. 掌握斐波那契数列的生成规律以及黄金分割的运用。

3. 通过实例分析，提高数学在实际生活中的应用能力。

4. 培养对数学的兴趣，感受数学之美。

二、教学内容1. 斐波那契数列的起源与定义2. 斐波那契数列的生成规律与特性3. 黄金分割的定义与特性4. 斐波那契数列与黄金分割在实际生活中的应用三、教学难点与重点难点：理解斐波那契数列的生成规律，掌握黄金分割的应用。

重点：斐波那契数列与黄金分割的实际应用，感受数学之美。

四、教具和多媒体资源1. 投影仪与PPT课件2. 教学软件：几何画板3. 实例图片与视频五、教学方法1. 激活学生的前知：回顾数列与分数的相关知识。

2. 教学策略：采用讲解、示范、小组讨论与实例分析相结合的方法。

3. 学生活动：小组讨论、实例分析、数学建模。

六、教学过程1. 导入：故事导入——讲述斐波那契与黄金分割的神奇故事，引起学生的兴趣。

2. 讲授新课：首先介绍斐波那契数列的起源、定义与生成规律，然后介绍黄金分割的定义与应用，最后讲解两者之间的关系及其在实际生活中的应用。

3. 巩固练习：提供几个实例，让学生运用所学知识进行分析，提高应用能力。

4. 归纳小结：总结本节课的主要内容，强调重点与难点。

七、评价与反馈1. 设计评价策略：进行小测试或小组报告，了解学生对斐波那契数列与黄金分割的理解程度。

2. 为学生提供反馈：根据评价结果，为学生提供针对性的指导与建议，帮助他们更好地掌握知识。

八、作业布置1. 寻找生活中的斐波那契数列与黄金分割的实例，并进行分析。

2. 设计一个运用斐波那契数列与黄金分割的作品，可以是绘画、摄影或其他形式。

3. 写一篇关于斐波那契数列与黄金分割的小论文，谈谈自己的感想与认识。

黄金分割比和斐波那契数列

黄金分割比和斐波那契数列1. 黄金分割比：自然中的奇妙比例1.1 什么是黄金分割比好啦，先聊聊黄金分割比吧。

这个比率听起来像个高深的数学名词，但实际上，它非常简单：黄金分割比大约是1.618。

这是什么意思呢？假如你有一条线段，把它分成两部分，其中一部分和整条线段的比例，等于另一部分和较长部分的比例。

这种比例就是黄金分割比。

有没有觉得很神奇？就像大自然中的秘密一样，几乎无处不在。

1.2 黄金分割比在生活中的应用你可能没注意到，但黄金分割比在生活中随处可见。

比如，我们的脸部比例、一些著名建筑的设计，甚至你最喜欢的艺术作品中，都有这个比率的影子。

它就像是一种神秘的美学标准，让一切看起来更加和谐自然。

就连《蒙娜丽莎》这样的经典画作也都蕴含了这个比例。

2. 斐波那契数列：数学中的魔法2.1 什么是斐波那契数列接下来，咱们聊聊斐波那契数列。

这是一串非常特别的数字序列，开头的两个数字是0和1，从第三个数字开始，每个数字都是前两个数字的和。

例如，0，1，1，2，3，5，8，13……以此类推。

听起来是不是有点像魔法？这种数列不仅在数学中有趣，而且在自然界里也经常出现。

2.2 斐波那契数列与黄金分割比的关系现在，你可能会好奇，斐波那契数列和黄金分割比到底有啥关系。

其实，它们之间有着密不可分的联系。

随着斐波那契数列不断增长，数列中的数字比值会越来越接近黄金分割比。

这就像数学中的一个小秘密，揭示了自然界和艺术作品的深层美学。

3. 黄金分割比和斐波那契数列的奇妙结合。

3.1 自然界中的应用大自然里可真是黄金分割比和斐波那契数列的“大舞台”。

比如，向日葵的种子排布、松果的鳞片、甚至某些贝壳的螺旋形状，都是按照这些数学法则排列的。

试着观察一下，你会发现这些自然界的奇迹，竟然都遵循着这样一种神秘的规律。

3.2 艺术和建筑中的体现不仅在自然界，黄金分割比和斐波那契数列在艺术和建筑中也有广泛应用。

古希腊的帕台农神庙、文艺复兴时期的画作，甚至现代建筑设计中，都可以找到它们的身影。

奇妙的裴波那契数列和黄金分割

奇妙的裴波那契数列和黄金分割“斐波那契数列”的发明者，是意大利数学家列昂纳多斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年。

籍贯大概是比萨）。

他被人称作“比萨的列昂纳多”。

1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abaci)一书。

他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。

他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。

他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。

斐波那契数列指的是这样一个数列：0，1，1，2，3，5，8，13，21这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。

它的通项公式为：(1/ 5)*{[(1+ 5)/2]^n - [(1- 5)/2]^n}（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。

）【 5表示根号5】很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。

【该数列有很多奇妙的属性】比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割还有一项性质，从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积少（请自己验证后自己确定）1，每个偶数项的平方都比前后两项之积多（请自己验证后自己确定）1。

如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故作惊讶地问你：为什么64＝65？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。

如果任意挑两个数为起始，比如5、，然后两项两项地相加下去，形成5、、、、、3、、、等，你将发现随着数列的发展，前后两项之比也越来越逼近黄金分割，且某一项的平方与前后两项之积的差值也交替相差某个值。

如果所有的数都要求是自然数，能找出被任意正整数整除的项的此类数列，必然是斐波那契数列的某项开始每一项的倍数，如4,6,10,16,26 （从2开始每个数的两倍）。

斐波那契数列与黄金分割

我们可以在鹦鹉螺的外壳发现这样的螺线
所谓黄金三角形是一个等腰三角形其底与腰的长度比为黄金比值。我们若以底边为一腰作一等腰三角形则此三角形亦为一黄金三角形，如下图。图中三种不同长度的线段，其中次长的线段（蓝色）与最长的线段（红色）比是黄金比例，最短的线段（绿色）与次长线段（蓝色）也是黄金比例。
1 5 ，其正根为 x 2
5 1 x 0.6180339 0.618 2 A B
小段大段
3．黄金矩形
定义：一个矩形，如果从中裁去一个最大的正方形，剩下的矩形的宽与长之比，与原矩形的一样（即剩下的矩形与原矩形相似），则称具有这种宽与长之比的矩形为黄金矩形。黄金矩形可以用上述方法无限地分割下去。
Fn Fn1 Fn2 , n 2.
每月大兔对数 Fn 排成数列为： 0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，
•••
4
定义：若一个数列,前两项均等于1,而从第三项起每一项是其前两项之和,则称该数列
为斐波那契数列。即：
1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , … …
（1）人体各部分的比Fra bibliotek肚脐：
印堂穴：
（头—脚）
（口—头顶）
肘关节：（肩—中指尖）膝盖：（髋关节—足尖）
（2）著名建筑物中各部分的比
如埃及的金字塔，高（137米）与底边长（227米）之比为0.629
雅典的帕德侬神庙 (Parthenon at Athens) 庄严、宏伟，被认为是古希腊最伟大的建筑之一。有人认为它之所以显得那么和谐，是因为这个建筑符合黄金比。
Field daisies have 34 petals

斐波那契数列与黄金分割

称这样的分数为“连分数”。
24
上述连分数可以看作是 x 1
1 x
中，把 x
的表达式反复代入等号右端得到的；例如，
第一次代入得到的是
x 1 11 1 x
反复迭代，就得到Βιβλιοθήκη 述连分数。25x1
1
1 1
1
1
1
1
上述这一全部由1构成的连分数，是最简单的一个连分数。
26
通常，求连分数的值，如同求无理数的值一样，我们常常需要求它的近似值。
5 1 2
1 2
1 1 2( 5 1) 5 1
5 1 51
2
1
1 5 1 1
1 1
2
1 5 1
2
1 5 1 2
2
33
反复迭代，得
5 1 2
1
1
1 1
1
1
1
1
34
它竟然与我们在上段中研究的连分数
一样！因此，黄金比的近似值写成分数表
达的数列，也是，1, 1 , 2 , 3 , 5 ,
12 3 58
解答
11
1月 1对 2月 1对 3月 2对 4月 3对 5月 5对
解答
12
1月 1对 2月 1对 3月 2对 4月 3对 5月 5对 6月 8对
解答
13
解答
1月 1对 2月 1对 3月 2对 4月 3对 5月 5对 6月 8对 7 月 13 对
14
解答
可以将结果以列表形式给出：
1月 2月 3月 4月 5月 6月 112358
1，则大段= x ，小段= 1 x 。
故有 x 1 x ， x2 x 1 0
1x
解得 x 1 5 ，其正根为

波浪理论数学结构——斐波那契数列与黄金分割率

波浪理论数学结构——斐波那契数列与黄金分割率斐波那契数列(Fibonacci sequence)，又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契(Leonardoda Fibonacci)以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递推的方法定义：F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n>=3，n∈N*)在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963年起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。

黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618。

这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割。

1、波浪理论的推动浪，浪形为5(1、2、3、4、5)，调整浪的浪型为3(a\b\c)，合起来为8。

若把波浪细化，大的推动浪又可分为1、3、5浪为推动，2、4为调整。

a、c为推动，b为调整。

这样大的推动浪为5+3+5+3+5=21，调整浪为5+3+5=13，合起来为34。

若再进行更详细的浪形划分，大的推动浪为21+13+21+13+21=89，调整浪为21+13+21=55，合起来为144。

所以，波浪理论怎么细分，都精确在这个数列上：1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、2332、这个数列就是斐波那契数列。

它满足如下特性：每两个相连数字相加等于其后第一个数字;前一个数字大约是后一个数字的0.618倍;前一个数字约是其后第二个数字的0.382倍;后一个数字约是前一个数字的1.618倍;后一个数字约是前面第二个数字的2.618倍;3、由此计算出常见的黄金分割率为(0.5和1.5外)：0.191、0.236、0.382、0.618、0.809、1.236、1.382、1.618、1.764、1.809 4、黄金分割比率对于股票市场运行的时间周期和价格幅度模型具有重要启示及应用价值。

漫谈斐波那契数列与黄金分割比

漫谈斐波那契数列与黄金分割比（一）奇妙的斐波那契数列：斐波那契数列的由来是“兔子问题”。

从中总结的规律就是：（1）每个月小兔子数 = 上个月的大兔子数；（2）每个月的大兔子数 = 上个月的大兔子数 + 上个月的小兔子数；（3）每个月的大兔子数 = 上个月的大兔子数 + 上上个月的大兔子数。

1， 1， 2， 3， 5， 8， 13， 21， 34， 55，89，,144......即前两项是1， 1，后面的每一项是前面两项的和，这就是斐波那契数列。

提到数列，作为大学生，学过高等数学，很自然想到求极限。

所以，这里斐波那契数列后一项与前一项比值的极限就是二分之根号五减一，约等于0.618.这就是后面要说的黄金分割比。

递推公式为：发现斐波纳契数&&寻找斐波那契数列：1.自然中的斐波那契数：花基数（花瓣的数目），树杈的生长，菜花，松子，向日葵：顺时针方向的对数螺线，逆时针方向的对数螺线都是斐波纳契数。

更为惊人的是，顺时针方向的对数螺线和逆时针方向的对数螺线是两个相继斐波纳契数。

还曾经发现过一个更大的向日葵，顺时针对数螺线144条，逆时针对数螺线233条。

如下图：叶子的生长方式也是如此，对于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360度之比是黄金分割数0.618033989……的倒数，而这种生长方式就决定了斐波那契螺旋的产生。

向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时能达到89，甚至144条。

这就是神秘的大自然！这些现象是植物生长动力学特性造成的。

相邻器官原基之间的夹角是一个特殊角，这使种子的堆积效率达到最高。

2.斐波那契数列的推广：首先，思考一下，斐波那契数列的前两项是1， 1，那可不可以是1，2呢？如果是1,2 的话，这就成了缺少第一项的斐波那契数列，即1， 2，3 ，5， 8，......,这不算是本质的推广。

斐波那契数列与黄金分割

斐波那契数列斐波那契数列斐波纳契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F0=0，F1=1，Fn=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1960年代起出版了《斐波纳契数列》季刊，专门刊载这方面的研究成果。

定义斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34……这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。

斐波那契数列的发明者，是意大利数学家列昂纳多〃斐波那契（Leonardo Fibonacci），自然中的斐波那契数列生于公元1170年，卒于1240年，籍贯是比萨。

他被人称作“比萨的列昂纳多”。

1202年，他撰写了《珠算原理》（Liber Abacci）一书。

他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。

他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。

他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。

通项公式递推公式斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……如果设F(n）为该数列的第n项（n∈N+）。

那么这句话可以写成如下形式：F(1) = 1，F(2)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)，显然这是一个线性递推数列。

通项公式斐波那契数列通项公式（见上图）（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。

）注：此时a1=1，a2=1，an=a(n-1)+a(n-2)（n>=3,n∈N*）通项公式的推导方法一：利用特征方程（线性代数解法）线性递推数列的特征方程为：X^2=X+1解得X1=(1+√5)/2,，X2=(1-√5)/2。

则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n。