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例谈存在型问题的解法

随着新课程改革的不断深入，近年来的竞赛、中考数学试题出现了大量的、内容丰富的、形式多样的能力型试题。其中存在型问题就像一颗颗璀璨的“明珠”,常考常新,备受命题者的青睐。

"是否存在型"探索性问题是指具有某种性质的数学对象是否存在，或数学对象是否具有某种性质. "是否存在型"探索性问题,由于存在与否是未知的,往往难以入手,解这类问题的一般的求解方法是：假设结论存在，然后根据题意列出满足条件的等式（方程或方程组）或不等式（组），如果求出的结论符合已知条件则结论存在；如果求出结论不符合已知条件或与定理、公理等相矛盾，则结论不存在。

例1．已知数列{}n a 中，11=a ，且对于任意自然数n ，总有2

1-=

+n n

n a a a ，是否存在实数b a ,，使得n

n b a a ⎪⎭⎫

⎝⎛--=32对于任意自然数n 恒成立？证明你的结

论．

解：n

n b a a ⎪⎭⎫

⎝⎛--=32是一个一般性的结论，为了探求b a ,是否存在，我们可

从特殊的n 出发，求出b a ,的值，再检验是否满足一般的条件．

由11=a ，12112a a a ==--，代入n

n b a a ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=32，可解得1595a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=

⎪⎩

．

代入检验，可知当4n =时，一方面由2

1-=

+n n n a a a 得41

5a =-，另一方面，由

n

n b a a ⎪⎭

⎫

⎝⎛--=32得4116545a =--，矛盾．

所以，这样的实数b a ,不存在．

例2.如图所示，已知A(1,0)、B （31，

12

5

2）为直角坐标系内两点，点C 在x 轴负半轴上，且OC=2OA ，以A 点为圆心、OA 为半径作⊙A 。直线CD 切⊙A 于D 点，连结OD 。

（1）求点D 的坐标；

（2）求经过O 、B 、D 三点的抛物线的解析式；

（3）判断在（2）中所得的抛物线上是否存在一点P ，使ΔDCP ∽ΔOCD ？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由。

分析：本例是是否存在性探索型题目。欲判断上是否存在一点P ，使ΔDCP ∽ΔOCD ，可从代数、几何两个方面入手去考虑。从代数入手，可先求抛物线与x 轴的交点坐标，然后证明该点在⊙A 上，进而证明该点满足条件ΔDCP ∽ΔOCD 。从几何入手，可先假设存在这样的点P(m ,n),使得ΔDCP ∽ΔOCD,通过计算进而求出P 点的坐标。 解：（1）连结AD ，则AD ⊥CD 于D,作DE ⊥OA 于E 。 ∵ 点A 坐标为（1，0），且OC=2OA ，∴AC=3，

∵ sin ∠ACD= AC AD = 31, ∴sin ∠ADE=AD AE = 3

1,

∴ AE=

31,因而OE=1－31=3

2

， ∴ DE=2

2

AE AD -=

3

2

2，

∴ D 点坐标为（

32，3

22）。

（2）设抛物线y=ax 2

+bx+c 经过O(0,0)、B （31，1252）、D （32，

3

2

2）,

则C=0，且

212

5 =a 91+b 31

322=a 94+b 3

2

解得： a=24

3

-

b= 22

3

∴ 所求的抛物线的解析式为y =-

4

32x 2

+

2

32x

（3）设⊙A 与x 轴的另一个交点为F(2,0)，连结DF ， ∵ CD 切⊙A 于D ，∴∠CDO=∠CFD ， 又∠DCO=∠FCD ，∴ΔOCD ∽ΔDCF ，

{

{

将x=2代入y =-

4

32x 2

+

2

32x 中，得y=0，

∴ F （2，0）在抛物线上， ∴点F 即为所求的P 点， ∴ 抛物线y =-

4

32x 2

+

2

32x 上存在一点P ，使ΔPCD ∽ΔDCO 。

例3.设P 是任一奇质数，试证：一定存在着整数x 、y 使得二次三项式5x 2+11y 2-1是P 的倍数。

分析：此题中P 是任意奇质数，导致确定x,y 这两个变数非常困难，但是假设x=y 时，这样的问题就变二元为一元，从而问题简单化了。 证明：假设x ＝y ，则5x 2+11y 2－1＝16x 2－1＝4x ＋1）（4x －1）

已知Ｐ为奇质数，不妨设P ＝2n ＋1（ｎ为正整数）， 显然，若取x ＝n 2，则4x －1＝4n 2－１=（2n ＋1）（2n －1）

＝P （2n －1）．

此时16x 2－1＝P （2n －1）（4n 2＋1）

因此二次三项式5x 2+11y 2

-1是P 的倍数。

存在型问题由于选择范围广,覆盖知识面大,具有较强的综合性,对所使用的解题方法也有较高的要求,并且须有一定的预见性和灵活性,因此,是训练和考查学生的思维能力、分析能力和解决问题能力的好题型,在十分重视素质教育的今天,更应予以重视.