最新北师大版数学七年级上册 有理数(提升篇)(Word版 含解析)
2024北师大数学七年级上册
2024北师大数学七年级上册一、有理数。
1. 有理数的概念。
- 整数和分数统称为有理数。
整数包括正整数、0、负整数；分数包括有限小数和无限循环小数。
- 例如：2， -3，0，0.5（可化为(1)/(2)），-(3)/(4)等都是有理数。
2. 数轴。
- 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
- 数轴上的点与有理数一一对应。
右边的数总比左边的数大。
- 例如：在数轴上表示 -2和3， -2在原点左边2个单位长度处，3在原点右边3个单位长度处。
3. 相反数与绝对值。
- 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数。
0的相反数是0。
例如：3和 -3互为相反数。
- 绝对值：一个数在数轴上所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值。
正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
例如：| -5| = 5，| 4| = 4。
4. 有理数的运算。
- 加法：- 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
例如：3 + 5=8，(-2)+(-3)= - 5。
- 异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
例如：3+(-2)=1，-5 + 3=-2。
- 减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。
例如：5 - 3 = 5+(-3)=2。
- 乘法：- 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
例如：3×5 = 15，(-2)×(-3)=6，3×(-4)= - 12。
- 任何数与0相乘都得0。
- 除法：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。
例如：6÷3 =6×(1)/(3)=2，(-8)÷(-2)=(-8)×(-(1)/(2)) = 4。
- 乘方：求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
a^n中，a 叫做底数，n叫做指数。
例如：2^3 = 2×2×2 = 8，(-3)^2=(-3)×(-3)=9。
最新七年级数学上册有理数(提升篇)(Word版 含解析)
一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）1．如图，已知数轴上有A、B两点(点A在点B的左侧)，且两点距离为8个单位长度，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t(t＞0)秒.（1）图中如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点A表示的数是________；（2）当t＝3秒时，点A与点P之间的距离是________个长度单位；（3）当点A表示的数是－3时，用含t的代数式表示点P表示的数；（4）若点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍，请直接写出t的值.【答案】（1）-4（2）6（3）解：当点A为-3时，点P表示的数是-3+2t；（4）解：当点P在线段AB上时，AP＝2PB，即2t＝2（8−2t），解得，t＝，当点P在线段AB的延长线上时，AP＝2PB，即2t＝2（2t−8），解得，t＝8，∴当t＝或8秒时，点P到A的距离是点P到B的距离的2倍.【解析】【解答】解：（1）设点A表示的数是a，点B表示的数是b，则|a|＋|b|＝8，又|a|＝|b|，∴|a|＝4，∴a＝−4，则点A表示的数是−4；（ 2 ）∵P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，∴当t＝3秒时，点A与点P之间的距离为6个单位长度；【分析】（1）设点A表示的数是a，点B表示的数是b，两点间的距离是8及互为相反数的两个数分别位于原点的两侧，到原点的距离相等即可判断得出答案；（2）根据路程等于速度乘以时间即可得出答案；（3）由点A表示的数结合AP的长度，即可得出点P表示的数；（4）分当点P在线段AB上时，AP=2t，BP=（8-2t），根据AP＝2PB 列出方程，求解即可；当点P在线段AB的延长线上时，AP=2t，BP=（2t-8），根据 AP＝2PB 列出方程，求解即可，综上所述即可得出答案.2．【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等.类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”.（1）（【初步探究】直接写出计算结果：2③=________，（- ）⑤=________；（2）【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？Ⅰ.试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式.（﹣3）④=________；5⑥=________；(- ) ⑩=________.Ⅱ.想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于________；Ⅲ.算一算：12²÷(- )④×(-2)⑤－(- )⑥÷3³.________【答案】（1）；-8（2）；；；；解：【解析】【解答】解：（1）【初步探究】，故答案为：，-8；（ 2 ）【深入思考】Ⅰ.；；故答案为：；；；Ⅱ.【分析】（1）①按除方法则进行计算即可；②按除方法则进行计算即可；（2）①把除法化为乘法，第一个数不变，从第二个数开始依次变为倒数，由此分别得出结果；②结果前两个数相除为1，第三个数及后面的数变为，则aⓝ＝a×(）n−1= ；③将第二问的规律代入计算，注意运算顺序．3．在学习绝对值后，我们知道，|a|表示数a在数轴上的对应点与原点的距离．如：|5|表示5在数轴上的对应点到原点的距离．而|5|=|5﹣0|，即|5﹣0|表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离．类似的，有：|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|=|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a﹣b|．请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题：（1）画一条数轴，并在数轴上分别用A、B表示出1和3的两点（2）数轴上表示1和3的两点之间的距离是________；（3）点A、B、C在数轴上分别表示有理数1、3、x，那么C到A的距离与C到B的距离之和可表示为________（用含绝对值的式子表示）（4）若将数轴折叠，使得表示1和3的两点重合，则原点与表示数________的点重合【答案】（1）解：如图所示，（2）2（3）（4）4【解析】【解答】解：（2）数轴上表示1和3的两点之间的距离=，故答案为2；（3）由题意得，C到A的距离与C到B的距离之和可表示为：，故答案为：；（4）在数轴上，1和3中点的数为：，设与原点重合的点的数为x，由题意得：, ∴x-2=±2，解得x=0或4，∴则原点与表示数4的点重合，故答案为：4.【分析】（1）画出数轴，在数轴上找出1、3点，分别用A、B表示即可；（2）根据题意，计算数轴上表示1和3的两点之间的距离即可；（3）根据题意，把C到A的距离与C到B的距离之和表示出来即可；（4）首先求出1和3中点表示的数，再设与原点重合的点的数为x，根据题意列式求出x 即可.4．同学们都知道，|3-（-1）∣表示3与-1的差的绝对值，其结果为4，实际上也可以理解为3与-1两数在数轴上所对应的两点之间的距离，其距离同样是4；同理，∣x-5|也可以理解为x与5两数在数轴上所应的两点之间的距离，试利用数轴探索：（1）试用“| |”符号表示：4与-2在数轴上对应的两点之间的距离，并求出其结果；（2）若|x-2|=4，求x的值；（3）同理，|x-3|+|x+2|表示数轴上有理数x所对应的点到3和-2所对应的两点距离之和，请你直接写出所有符合条件的整数x，使得|x-3|+|x+2|=5；试求代数式|x-3|+|x+2|的最小值.【答案】（1）解：|4-（-2）|=6（2）解：x与2的距离是4，在数轴上可以找到x=-2或6（3）解：当-2≤x≤3时，x所对应的点到3和-2所对应的两点距离之和是5，∴符合条件的整数x=-2，-1，0，1，2，3；当x<-2或x>3时，x所对应的点到3和-2所对应的两点距离之和大于5，∴|x-3|+|x+2|的最小值是5【解析】【分析】（1）根据已知列式求解即可；（2）按照已知去绝对值符号即可求解.（3）当-2≤x≤3时，x所对应的点到3和-2所对应的两点距离之和是5；当x<-2或x>3时，x所对应的点到3和-2所对应的两点距离之和大于5，由此即可得出结论.5．如图，数轴的单位长度为1.（1）如果点B，D表示的数互为相反数，那么图中点A、点D表示的数分别是________、________；（2）当点B为原点时，在数轴上是否存在点M，使得点M到点A的距离是点M到点D 的距离的2倍，若存在，请求出此时点M所表示的数；若不存在，说明理由；（3）在（2）的条件下，点A、点C分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度同时向右运动，同时点P从原点出发以3个单位长度/秒的速度向左运动，当点A与点C之间的距离为3个单位长度时，求点P所对应的数是多少？【答案】（1）-4；2（2）解：存在，如图：当点M在A，D之间时，设M表示的数为x，则x﹣（﹣2）=2（4﹣x）解得：x=2，当点M在A，D右侧时，则x﹣（﹣2）=2（x﹣4），解得：x=10，所以点M 所表示的数为2或10（3）解：设当点A与点C之间的距离为3个单位长度时，运动时间为t，A点运动到：﹣2+2t，C点运动到：3+0.5t，①﹣2+2t﹣（3+0.5t）=3，解得：t=6，所以P点对应运动的单位长度为：3×6=18，所以点P表示的数为﹣18.②3+0.5t﹣（﹣2+2t）=3，解得：t= ，所以P点对应运动的单位长度为：3× =4，所以点P表示的数为﹣4.答：点P表示的数为﹣18或﹣4.【解析】【解答】解：（1）∵点B，D表示的数互为相反数，∴点B为﹣2，D为2，∴点A为﹣4，故答案为：﹣4，2；【分析】（1）由数轴上表示的互为相反数的两个数，分别位于原点的两侧，并且到原点的距离相等得出BD的中点就是原点，进而即可得出点A,C所表示的数；（2）存在，如图：分类讨论：当点M在A，D之间时，设M表示的数为x ，则AM=x-（-2），DM=4-x，根据AM=2DM列出方程，求解即可；当点M在A，D右侧时，AM=x-（-2），DM=x-4，根据AM=2DM列出方程，求解即可；（3）设当点A与点C之间的距离为3个单位长度时，运动时间为t，A点运动到：﹣2+2t，C点运动到：3+0.5t，① 追击前根据两点间的距离公式列出方程3+0.5t﹣（﹣2+2t）=3 求解算出t的值，进而根据即可算出点P所表示的数；② 追击后根据两点间的距离公式列出方程﹣2+2t﹣（3+0.5t）=3求解算出t的值，进而根据即可算出点P所表示的数，综上所述即可得出答案。
最新北师大版七年级上册数学 有理数(提升篇)(Word版 含解析)
一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）1．如图，在数轴上，点A表示﹣5，点B表示10．动点P从点A出发，沿数轴正方向以每秒1个单位的速度匀速运动；同时，动点Q从点B出发，沿数轴负方向以每秒2个单位的速度匀速运动，设运动时间为t秒：（1）当t为________秒时，P、Q两点相遇，求出相遇点所对应的数________；（2）当t为何值时，P、Q两点的距离为3个单位长度，并求出此时点P对应的数．【答案】（1）5；0（2）解：若P、Q两点相遇前距离为3，则有t+2t+3=10-(-5)，解得：t=4，此时P点对应的数为：-5+t=-5+4=-1；若P、Q两点相遇后距离为3，则有t+2t-3=10-(-5)，解得：t=6，此时P点对应的数为：-5+t=-5+6=1；综上可知，当t为4或6时，P，Q两点的距离为3个单位长度，此时点P对应的数分别为-1或1.【解析】【解答】（1）解：由题意可知运动t秒时P点表示的数为-5+t，Q点表示的数为10-2t；若P，Q两点相遇，则有-5+t=10-2t，解得：t=5，-5+t=-5+5=0，即相遇点所对应的数为0，故答案为5；相遇点所对应的数为0；【分析】（1）由题意可知运动t秒时P点表示的数为-5+t，Q点表示的数为10-2t，若P、Q相遇，则P、Q两点表示的数相等，由此可得关于t的方程，解方程即可求得答案；（2）分相遇前相距3个单位长度与相遇后相距3个单位长度两种情况分别求解即可得.2．阅读材料，并回答问题如图，有一根木棒MN放置在数轴上，它的两端M、N分别落在点A、B．将木棒在数轴上水平移动，当点M移动到点B时，点N所对应的数为20，当点N移动到点A时，点M所对应的数为5．（单位：cm）由此可得，木棒长为__________cm．借助上述方法解决问题：一天，美羊羊去问村长爷爷的年龄，村长爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，116岁了，哈哈！”美羊羊纳闷，村长爷爷到底是多少岁？（1）请你画出示意图，求出村长爷爷和美羊羊现在的年龄．（2）若羊村中的小羊均与美羊羊同岁，老羊均与村长爷爷同岁。
北师大版七年级上册数学[《有理数及其运算》全章复习与巩固(提高版)知识点整理及重点题型梳理]
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北师大版七年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《有理数及其运算》全章复习与巩固（提高）【学习目标】1．理解有理数及其运算的意义，提高运算能力．2．能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小；借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值．3．体会转化、归纳等思想；掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算并能解决简单的实际问题．4．会用科学记数法表示数．【知识网络】【要点梳理】要点一、有理数的相关概念1．有理数的分类：（1）按定义分类：（2）按性质分类：要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量；作用 举例表示数的性质 0是自然数、是有理数表示没有 3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示表示某种状态 00C 表示冰点表示正数与负数的界点0非正非负，是一个中性数2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线． 要点诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如π．（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．要点诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“-”号即可． （3）多重符号的化简：数字前面“-”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负． 4．绝对值：（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a 的绝对值记作a ．（2)几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离． 要点二、有理数的运算 1 ．法则：（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ．（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a ÷b=a ·1b(b ≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用：（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3．（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36． （3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： 2(3)9-=， 3(3)27-=-．2．运算律：（1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a ； ②乘法交换律:ab=ba ； （2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab ）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 要点三、有理数的大小比较比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法． 要点四、科学记数法把一个大于10的数表示成10na ⨯的形式（其中1≤10a <，n 是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=5210⨯． 【典型例题】类型一、有理数相关概念1．已知x 与y 互为相反数，m 与n 互为倒数，|x+y |+（a-1）2＝0，求a 2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010的值．【思路点拨】 (1)若有理数x 与y 互为相反数，则x+y ＝0，反过来也成立． (2)若有理数m 与n 互为倒数，则mn ＝1，反过来也成立． 【答案与解析】解：因为x 与y 互为相反数，m 与n 互为倒数，（a-1）2≥0， 所以x+y ＝0，mn ＝1，a ＝1，所以a 2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010＝a 2-(0+1)a+02009+(-1)2010＝a 2-a+1．∵a ＝1，∴原式＝12-1+1＝1【总结升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念． 举一反三：【变式1】选择题（1）已知四种说法：①|a|=a时，a>0； |a|=-a时， a<0．②|a|就是a与-a中较大的数．③|a|就是数轴上a到原点的距离．④对于任意有理数，-|a|≤a≤|a|．其中说法正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4（2）有四个说法：①有最小的有理数②有绝对值最小的有理数③有最小的正有理数④没有最大的负有理数上述说法正确的是（）A．①② B．③④ C．②④ D．①②（3）已知(-ab)3>0，则（）A．ab<0 B．ab>0 C．a>0且b<0 D．a<0且b<0（4）若|x-1|+|y+3|+|z-5|=0，则(x+1)(y-3)(z+5)的值是（）A．120 B．-15 C．0 D．-120（5）下列各对算式中，结果相等的是（）A．-a6与(-a)6 B．-a3与|-a|3 C．[(-a)2]3与(-a3)2 D．(ab)3与ab3【答案】（1）C；（2）C；（3）A；（4）D；(5)C【变式2】（2015•甘南州）在“百度”搜索引擎中输入“姚明”，能搜索到与之相关的网页约27000000个，将这个数用科学记数法表示为（）A．2.7×105B．2.7×106C．2.7×107D．2.7×108【答案】C．2．（2016•江西校级模拟）如果m，n互为相反数，那么|m+n﹣2016|=________．【思路点拨】先用相反数的意义确定出m+n=0，从而求出|m+n﹣2016|.【答案】 2016.【解析】解：∵m，n互为相反数，∴m+n=0，∴|m+n﹣2016|=|﹣2016|=2016；故答案为2016．【总结升华】此题是绝对值题，主要考查了绝对值的意义，相反数的性质，熟知相反数的意义是解本题的关键．类型二、有理数的运算3．(1)211143623324⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----+-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)5153 ()( 1.5)() 1244 -÷⨯-÷-()()23541(3)24121522⎛⎫-÷-⨯-⨯-+ ⎪⎝⎭(4)137775111 2.534812863⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--÷--÷⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦(5)()1003221511221132⎛⎫----÷- ⎪⎝⎭+--⨯【答案与解析】解：（1）原式21111143622332412=-++-= （2）原式543421215239=-⨯⨯⨯=-（3）原式3132(4)12(1516)104=-÷-⨯-⨯-+=-（4）原式12561[1(2)1]()233253=+-++-⨯⨯-=（5）1125112()41192---÷-=+--⨯原式 3.9=-【总结升华】有理数的混合运算有很多技巧，如：正、负数分别相加；分数中，同分母或分母有倍数关系的分数结合相加；除法转化为乘法、正向应用乘法分配律：a(b+c)＝ab+ac ；逆向应用分配律：ab+ac ＝a(b+c)等． 举一反三： 【变式】（1）225117832[()10.25]199[()2]7148923-÷⨯-⨯-⨯--（2）23155115(1)()()(2)()299229-⨯---⨯-+-⨯【答案】解：（1）225117832[()10.25]199[()2]7148923-÷⨯-⨯-⨯--251471834()199(2)492584929=⨯⨯-⨯-⨯- 118343()199(2)449292=-⨯-⨯-⨯20(3)3=--2033=-+123= （2）23155115(1)()()(2)()299229-⨯---⨯-+-⨯955515()()()()499289=⨯---⨯-+-⨯5951()()942817224=-⨯++=-4．（2015•铜仁市）定义一种新运算：x*y=，如2*1==2，则（4*2）*（﹣1）= ．【答案】0． 【解析】 解：4*2==2，2*（﹣1）==0．故（4*2）*（﹣1）=0．【总结升华】本题考查了有理数混合运算：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 举一反三：【变式】用简单方法计算：120180148124181++++ 【答案】解：原式=1111111111115(...)244668810101222446101224++++=-+-++-=⨯⨯⨯⨯⨯ 类型三、数学思想在本章中的应用5．（1）数形结合思想：已知有理数a 、b 在数轴上对应点的位置如图所示，且|a|＞|b|，求|a|-|a+b|-|b-a|的值．A ．2b+aB ．2b-aC ．aD ．b（2）分类讨论思想：已知a 是任一有理数，试比较|a|与-2a 的大小． （3）转化思想：1(999)35⎛⎫-÷-⎪⎝⎭．【答案与解析】解：（1）从数轴上a、b两点的位置可以看出a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，所以|a|-|a+b|-|b-a|＝-a+a+b-b+a＝a．（2）a可能是正数，0或负数，这就需要分类讨论：当a＞0时，|a|＝a＞0，-2a＜0，所以|a|＞-2a；当a＝0时，|a|＝0，-2a＝0，所以|a|＝-2a；当a＜0时，|a|＝-a>0，-2a＞0，又-a＜-2a，所以|a|＜-2a．综上所述：当a≥0时， |a|≥-2a；当a＜0时，|a|＜-2a．（3）1(999)(10001)(35)35⎛⎫-÷-=-+⨯-⎪⎝⎭(1000)(35)1(35)34965=-⨯-+⨯-=．【总结升华】在解题中合理利用数学思想，是解决问题的有效手段．数形结合——“以形助数”或“以数解形”使问题简单化，具体化；分类讨论中注意分类的两条原则：分类标准要统一，而且分类要做到不重不漏；转化思想就是把“新知识”转化为“旧知识”，将“未知”转化为“已知”．类型四、规律探索6．下面两个多位数1248624…，6248624…都是按照如下方法得到的：将第1位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位；若积为两位数，则将其个位数字写在第2位．对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是( )．A．495 B．497 C．501 D．503【思路点拨】多位数1248624…是怎么来的？当第1个数字是1时，将第1位数字乘以2得2，将2写在第2位上，再将第2位数字2乘以2得4，将其写在第3位上，将第3位数字4乘以2的8，将8写在第4位上，将第4位数字8乘以2得16，将16的个位数字6写在第5位上，将第5位数字6乘以2得12，将12的个位数字2写在第6位上，再将第6位数字2乘以2得4，将其写在第7位上，以此类推．根据此方法可得到第一位是3的多位数后再求和．【答案】A【解析】按照法则可以看出此数为362 486 248…，后面6248循环，所以前100位的所有数字之和是3+(6+2+4+8)×24+6+2+4＝495，所以选A．【总结升华】特例助思，探究规律，这类题主要是通过观察分析，从特殊到一般来总结发现规律，并表示出来．举一反三：【变式】世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示，则排在第10行从左边数第3个位置上的数是（）A ．1 B ．1 C ．1 D ．1 【答案】B 提示：观察发现：分子总是1，第n 行的第一个数的分母就是n ，第二个数的分母是第一个数的（n-1）倍，第三个数的分母是第二个数的分母的(1)2n-倍．根据图表的规律，则第10行从左边数第3个位置上的数是111094360=⨯⨯．。
北师大版七年级上册数学 有理数专题练习(word版
一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）1．数轴上两点间的距离等于这两个点所对应的数的差的绝对值.例：点A、B在数轴上对应的数分别为a、b，则A、B两点间的距离表示为AB＝|a﹣b|.根据以上知识解题：（1）点A在数轴上表示3，点B在数轴上表示2，那么AB＝________.（2）在数轴上表示数a的点与﹣2的距离是3，那么a＝________.（3）如果数轴上表示数a的点位于﹣4和2之间，那么|a+4|+|a﹣2|＝________.（4）对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，直接写出最小值.如果没有.请说明理由.【答案】（1）1（2）1或-5（3）6（4）解：∵|a-3|+|a﹣6|表示a到3与a到6的距离的和，∴当3≤a≤6时，|a-3|+|a-6|= =3，当a>6或a<3时，|a-3|+|a﹣6|>3，∴|a-3|+|a﹣6|有最小值，最小值为3.【解析】【解答】（1）AB= =1，故答案为：1（ 2 ）∵数轴上表示数a的点与﹣2的距离是3，∴ =3，∴-2-a=3或-2-a=-3，解得：a=1或a=-5，故答案为：1或-5（ 3 ）数a位于﹣4与2之间，|a+4|+|a﹣2|表示a到-4与a到2的距离的和，∴|a+4|+|a﹣2|= =6，故答案为：6【分析】（1）根据数轴上两点间的距离等于这两个点所对应的数的差的绝对值即可算出答案；（2）根据数轴上两点间的距离等于这两个点所对应的数的差的绝对值列出方程，求解即可；（3）根据题意可知：此题其实质就是求数轴上表示数a的点到表示数字-4的点的距离与数轴上表示数a的点到表示数字2的点的距离的和，又数轴上表示数a的点位于-4与2之间，故该距离等于数轴上表示数字-4与表示数字2的点之间的距离，从而即可得出答案；（4）此题其实质就是求数轴上表示数a的点到表示数字3的点的距离与数轴上表示数a 的点到表示数字6的点的距离的和，从而分当3≤a≤6时，当a>6或a<3时三种情况考虑即可得出答案.2．已知数轴上A，B两点对应数分别为-2和5，P为数轴上一点，对应数为x.（1）若P为线段AB的三等分点（把一条线段平均分成相等的三部分的两个点），求P点对应的数.（2）数轴上是否存在点P，使P点到A点，B点距离和为10？若存在，求出x值；若不存在，请说明理由.（3）若点A，点B和点P（P点在原点）同时向左运动，它们的速度分别为1，6，3个长度单位/分，则第几分钟时，A，B，P三点中，其中一点是另外两点连成的线段的中点？【答案】（1）解：因数轴上A、B两点对应的数分别是﹣2和5，所以AB=7，又因P为线段AB的三等分点，所以 AP=7÷3= 或AP=7÷3×2= ，所以P点对应的数为或（2）解：若P在A点左侧，则﹣2﹣x+5﹣x=10，解得：x=﹣；若P在A点、B中间.∵AB=7，∴不存在这样的点P；若P在B点右侧，则x﹣5+x+2=10，解得：x=（3）解：设第x分钟时，点A的位置为：﹣2﹣x，点B的位置为：5﹣6x，点P的位置为：﹣3x，①当P为AB的中点，则5﹣6x+（﹣2﹣x）=2×（﹣3x），解得：x=3；②当A为BP中点时，则2×（﹣2﹣x）=5﹣6x﹣3x，解得：x= ；③当B为AP中点时，则2×（5﹣6x）=﹣2﹣x﹣3x，解得：x= .答：第分钟时，A为BP的中点；第分钟时，B为AP的中点；第3分钟时，P为AB的中点.【解析】【分析】（1）根据两点间的距离公式得出AB=7，又因P为线段AB的三等分点，所以 AP 或，进而再根据数轴上两点间的距离公式即可求出点P所表示的数；（2）分类讨论：若P在A点左侧，根据两点间的距离公式由PA+PB=10列出方程，求解算出x的值；若P在A点、B中间，由于PA+PB=AB=7,故不存在这样的点P；若P在B点右侧，根据两点间的距离公式由PA+PB=10列出方程，求解算出x的值，综上所述即可得出答案；（3）设第x分钟时，点A的位置为：﹣2﹣x，点B的位置为：5﹣6x，点P的位置为：﹣3x ，然后分类讨论：①当P为AB的中点，②当A为BP中点时，③当B为AP中点时三种情况根据线段的中点性质列出方程，求解即可。
2.1有理数(教案)2021-2022学年北师大版数学七年级上册
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与有理数相关的实际问题，如温度变化、购物找零等。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的数轴实验操作。这个操作将演示有理数的大小比较和加减运算的基本原理。
3.有理数的性质：理解有理数的性质，包括但不限于：有理数的加法、减法、乘法、除法的运算规律，以及有理数的比较大小。
4.有理数的运算：掌握有理数的加减乘除运算方法，能够熟练进行计算，并解决实际问题。
5.有理数的应用：通过实际问题的引入，让学生了解有理数在生活中的应用，提高学生解决问题的能力。
二、核心素养目标
（3）难点应用：设计实际问题，如“小华向东走了3公里，然后又向西走了2公里，他现在离出发点有多远？”让学生应用有理数的加减运算解决问题。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《有理数》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过温度变化、购物找零等情况？”这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索有理数的奥秘。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了有理数的基本源自念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对有理数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
【精选】北师大版数学七年级上册有理数(提升篇)(Word版含解析)
一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）1.列方程解应用题如图，在数轴上的点A表示-佥点B表示5,若有两只电子蜗牛甲、乙分别从A、B两点同时出发，保持匀速运动，甲的平均速度为2单位长度/秒，乙的平均速度为1单位长度/秒.请问：I --- 1 ---- 1 -- ----- 1 ---- 1 --- 1 --- 1 --- 1 --- 1 ---- 1 --- 1_& ------ L>.-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6（1）_____________________________ 两只蜗牛相向而行，经过_____________ 秒相遇，此时对应点上的数是_____________________ •（2）两只蜗牛都向正方向而行，经过多少秒后蜗牛甲能追上蜗牛乙？【答案】（1）3； 2（2）解：设两只蜗牛都向正方向而行，经过y秒后蜗牛甲能追上蜗牛乙，依题意有（2 - /?y = 5 - （- 4）,解得y = J.答：两只蜗牛都向正方向而行，经过9秒后蜗牛甲能追上蜗牛乙【解析】【解答】解：（1）设两只蜗牛相向而行，经过X秒相遇，依题意有（2 ≠ Ih = 5 - （ _ 4）,解得X =S.-4+2X3= - 4 + 6=2.答：两只蜗牛相向而行，经过3秒相遇，此时对应点上的数是2.【分析】（1）可设两只蜗牛相向而行，经过X秒相遇，根据等呈:关系：两只蜗牛的速度和X时间=5 -- 4）,列出方程求解即可；（2）可设两只蜗牛都向正方向而行，经过y秒后蜗牛甲能追上蜗牛乙，根据等量关系：两只蜗牛的速度差 X时间=5 - （ _ 4）,列岀方程求解即可.2.数轴上从左到右有A, B, C三个点，点C对应的数是10, AB = BC = 20.（1）_____________________ 点A对应的数是____________ ,点B对应的数是.（2）动点P从A岀发，以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，同时，动点Q从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，设移动时间为t秒.①用含t的代数式表示点P对应的数是________ ,点Q对应的数是__________ :②当点P和点Q间的距离为8个单位长度时，求t的值.【答案】（1）- 30： - 1028（2） 4t-30, t - 10； t 的值为 4 或3【解析】【解答】解：（1） T AB=BC=20,点C对应的数是10,点A在点B左侧，点B 在点C 左侧，.∙.点B对应的数为10 - 20= - 10,点A对应的数为-10 - 20= - 30.故答案为：-30：・10・(2)①当运动时间为t秒时，点P对应的数是4t-30,点Q对应的数是t - 10.故答案为：4t - 30： t - 10・②依题意，得:It-IO- (4t-30) I=&・•・ 20∙3t = 8 或 3t-20=8,28解得：t=4或t= 3 .28.∙.t的值为4或三.【分析】(1)由AB, BC的长度结合点C对应的数及点A, B, C的位置关系，可得出点 A, B对应的数：(2)①由点P, Q的岀发点、运动方向及速度，可得出运动时间为t秒时点P，Q对应的数：②由①结合PQ=8,可得出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论・3.如图，点A. B都在数轴上，0为原点.B 0八-5 -4 -3 -2 -I 6I 2 3(1)点B表示的数是________ :(2)若点B以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，则2秒后点B表示的数是(3〉若点A、B分別以每秒1个单位长度、3个单位长度的速度沿数轴向右运动，而点0 不动，t秒后，A、B、0三个点中有一个点是另外两个点为端点的线段的中点，求t的值.【答案】(1)-4(2) 0(3)解：①当点0是线段AB的中点时，OB=OA4—3t=2+tt=0.5②当点B是线段OA的中点时，OA = 2 OB2+t=2(3t-4)t=2③当点A是线段OB的中点时，OB = 2 OA3t--4=2(2+t)t=8综上所述，符合条件的t的值是0.5, 2或8.【解析】【解答】(1)点B表示的数是-4：(2) 2秒后点B表示的数是0 :【分析】(1)根据数轴上所表示的数的特点即可直接得岀答案；(2)用点B开始所表示的数+点B运动的路程=经过t秒后点B表示的数，即可得出结论：(3)找出t秒后点A、B表示的数，分①点0为线段AB的中点，②当点B是线段OA的中点，③点A是线段OB的中点，根据线段中点的数学语言列出方程，求解即可求出此时的t值，综上即可得岀结论。
北师大版七年级(上)数学第二章有理数及其运算教案：有理数讲义(含答案)
北师大版七年级（上）数学第二章有理数及其运算教案：有理数讲义（含答案）1、了解有理数的分类。
2、掌握数轴的定义和性质以及它的作用。
3、掌握有关有理数和数轴的典型标题的解题方法。
有理数1、有理数的概念⑴______、______、______统称为整数〔0和正整数统称为______自然数〕⑵______和______统称为分数⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的方式，这样的数称为有理数。
了解：只要能化成分数的数才是有理数。
①π是有限不循环小数，不能写成分数方式，不是有理数。
②有限小数和有限循环小数都可化成分数，都是有理数。
留意：引入正数以后，奇数和偶数的范围也扩展了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。
2、有理数的分类总结：①正整数、0统称为______〔也叫自然数〕②负整数、0统称为______③正有理数、0统称为______④负有理数、0统称为______数轴3、数轴的概念规则了______，______，______的直线叫做数轴。
留意：⑴数轴是一条向两端有限延伸的______；⑵______、______、______是数轴的三要素，三者缺一不可；⑶同一数轴上的单位长度要______；⑷数轴的三要素都是依据实践需求规则的。
4、数轴上的点与有理数的关系⑴一切的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点左边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。
⑵一切的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是______关系。
〔如，数轴上的点π不是有理数〕5、应用数轴表示两数大小⑴在数轴上数的大小比拟，左边的数总比左边的数______；⑵正数都______0，正数都______0，正数______正数；⑶两个正数比拟，距离原点______的数比距离原点______的数小。
6、数轴上特殊的最大〔小〕数⑴最小的自然数是______，无最大的自然数；⑵最小的正整数是______，无最大的正整数；⑶最大的负整数是______，无最小的负整数7、a可以表示什么数⑴a>0表示a是正数；反之，a是正数，那么a>0；⑵a<0表示a是正数；反之，a是正数，那么a<0⑶a=0表示a是0；反之，a是0,，那么a=08、数轴上点的移动规律依据点的移动，向左移动几个单位长度那么减去几，向右移动几个单位长度那么加上几，从而失掉所需的点的位置。
北师大版数学七年级上册 有理数单元检测(基础+提高,Word版 含解析)
一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）1．如图，数轴上一动点从原点出发，在数轴上进行往返运动，运动情况如下表（注：表格中的表示2到4之间的数）.运动次数运动方向运动路程数轴上对应的数第1次____①_____3-3第2次左____②_____第3次____③_________④_____（1）完成表格；①________；②________；③________；④________.（2）已知第4次运动的路程为 .①此时数轴上对应的数是________；②若第4次运动后点恰好回到原点，则这4次运动的总路程是多少？________【答案】（1）左；；右； .（2）或；解：当时，或-0.5，不符合题意；当时，，，所以这4次运动的总路程是32.【解析】【解答】解：（1）动点从原点运动到点-3，所以是向左运动；再从点-3向左运动，故终点数字是；∵，∴，∴第三次点是向右运动，运动路程是，故答案为：左，，右， .（ 2 ）①向右运动时，；向左运动时，，故答案为或；【分析】（1）根据始点与终点的数字符号确定第一次运动方向；第一次终点数字与第二次运动路程的差即第二次终点数字；根据第三次终点数字与第二次终点数字的差的符号确定运动方向和运动路程.（2）①分向左或向右两种可能，根据确定第四次移动后最终在数轴上的对应数字；②根据第四次运动后的对应数字确定的值，再计算总路程.2．如图，点A、B都在数轴上，O为原点.（1）点B表示的数是________；（2）若点B以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，则2秒后点B表示的数是________；（3）若点A、B分别以每秒1个单位长度、3个单位长度的速度沿数轴向右运动，而点O 不动，t秒后，A、B、O三个点中有一个点是另外两个点为端点的线段的中点，求t的值. 【答案】（1）-4（2）0（3）解：① 当点O是线段AB的中点时，OB=OA4－3t=2+tt=0.5② 当点B是线段OA的中点时， OA = 2 OB2+t=2(3t-4)t=2③ 当点A是线段OB的中点时， OB = 2 OA3t－-4=2(2+t)t=8综上所述，符合条件的t的值是0.5，2或8.【解析】【解答】（1）点B表示的数是-4；（2）2秒后点B表示的数是 0 ；【分析】（1）根据数轴上所表示的数的特点即可直接得出答案；（2）用点B开始所表示的数＋点B运动的路程＝经过t秒后点B表示的数，即可得出结论；（3）找出t秒后点A、B表示的数，分①点O为线段AB的中点，②当点B是线段OA的中点，③点A是线段OB的中点，根据线段中点的数学语言列出方程，求解即可求出此时的t值，综上即可得出结论。
最新北师大版数学七年级上册 有理数单元检测(基础+提高,Word版 含解析)
一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）1．同学们，我们都知道：|5-2|表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|表示5与-2的差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索：（1）|﹣4+6|=________；|﹣2﹣4|=________；（2）找出所有符合条件的整数x，使|x+2|+|x-1|=3成立；（3）若数轴上表示数a的点位于﹣4与6之间，求|a+4|+|a﹣6|的值；（4）当a=________时，|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|的值最小，最小值是________；（5）当a=________时，|a﹣1|+|a+2|+|a﹣3|+|a+4|+|a﹣5|+…+|a+2n|+|a﹣(2n+1)|的值最小，最小值是________.【答案】（1）2；6（2）解：此题可以理解为数轴上一点到-2,1的距离的和是3，由于1到-2 的距离就是3,，故当-2≤x≤1的时候即可满足条件，又因为x是整数，所以x的值可以为：-2，-1,0,1.（3）解：∵数轴上表示数a的点位于﹣4与6之间，∴a+4＞0，a﹣6＜0，∴|a+4|+|a﹣6|=a+4-a+6=10;（4）1；9（5）1；2n2+3n【解析】【解答】（1）|﹣4+6|=|2|=2，|﹣2﹣4|=|-6|=6；（4）此题可以理解为数轴上一点到1，-5,4的距离的和最小，根据两点之间线段最短，故当a表示的数是1的时候，|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|的值最小，当a=1的时候，|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|=|1﹣1|+|1+5|+|1﹣4|=9；(5)|a-1|+|a+2|+|a-3|+|a+4|+|a-5|+…+|a+2n|+|a-（2n+1）|的值最小，则a=1当a=1时原式=3+2+5+4+……+（2n+1）+2n=2+3+4+5+……+2n+（2n+1）== 2n2+3n故：答案为1， 2n2+3n ．【分析】（1）由于绝对值符号具有括号的作用，先按有理数的加减法法则算出绝对值符号里面的，再根据绝对值的意义去掉绝对值符号即可；（2）此题可以理解为数轴上一点到-2,1的距离的和是3，由于1到-2 的距离就是3,，从而找出1到-2 的整数即可；（3）根据有理数的加减法法则，首先判断出a+4＞0，a﹣6＜0，再根据绝对值的意义去掉绝对值符号合并同类项即可；（4）此题可以理解为数轴上一点到1，-5,4的距离的和最小，根据两点之间线段最短，故当a表示的数是介于4和-5之间的数1的时候，即可使其值最小，然后将a=1代入再根据绝对值的意义化简即可；（5）|a-1|+|a+2|+|a-3|+|a+4|+|a-5|+…+|a+2n|+|a-（2n+1）| 表示的是a到1，-2，3，-4，5，……-2n,2n+1的距离和，故要使，|a-1|+|a+2|+|a-3|+|a+4|+|a-5|+…+|a+2n|+|a-（2n+1）|的值最小，则a=1，把a=1代入根据绝对值的意义即可求出答案。
最新北师大版七年级上册数学 有理数(培优篇)(Word版 含解析)
最新北师大版七年级上册数学有理数(培优篇)(Word版含解析)一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）1.阅读下面的材料：在数轴上，点A表示的数为a，点B表示的数为b，则点A到点B的距离记为AB，线段AB的长度可以用右边的数减去左边的数表示，即AB=b-a。
请根据这些知识回答以下问题：如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动1cm到达A点，再向左移动2cm到达B点，然后向右移动7cm到达C点，用1个单位长度表示1cm。
1）请在数轴上标出A、B、C三点的位置。
2）点C到点A的距离CA=________cm；如果数轴上有一点D，且AD=4，则点D表示的数为________；3）如果将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为________；（请用代数式表示）4）如果点B以每秒2cm的速度向左移动，同时A、C点分别以每秒1cm、4cm的速度向右移动。
设移动时间为t秒，试探索：CA-AB的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由。
答案】1）解：如图所示：2）5；-5或33）-1+x4）解：CA-AB的值不会随着t的变化而变化，理由如下：根据题意得：CA=(4+4t)-(-1+t)=5+3t，AB=(-1+t)-(-3-2t)=2+3t。
CA-AB=(5+3t)-(2+3t)=3。
CA-AB的值不会随着t的变化而变化。
解析】【解答】2）CA=4-(-1)=4+1=5（cm）；设D表示的数为a。
AD=4。
1)-a|=4。
解得：a=-5或3。
___表示的数为-5或3；故答案为5，-5或3；3）将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为-1+x；故答案为-1+x；分析】1）根据题意容易画出图形；2）由题意容易得出CA的长度；设D表示的数为a，由绝对值的意义容易得出结果；3）将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为-1+x；4）表示出CA和AB，再相减即可得出结论。
2.【新知理解】如图①，点C在线段AB上，若BC=πAC，则称点C是线段AB的圆周率点，线段AC、BC称作互为圆周率伴侣线段。
北师大数学七年级上册第二章有理数的乘除(提高)
有理数的乘除（提高）【学习目标】1．会根据有理数的乘法法则进行乘法运算，并运用相关运算律进行简算；2.理解乘法与除法的逆运算关系，会进行有理数除法运算；3. 巩固倒数的概念，能进行简单有理数的加、减、乘、除混合运算；4. 培养观察、分析、归纳及运算能力.【要点梳理】要点一、有理数的乘法1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（2）任何数同0相乘，都得0．要点诠释： (1) 不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘．（2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-2×-3．2. 有理数的乘法法则的推广：（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正；（2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．要点诠释：（1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数．(2)几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘．(3)几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0．3. 有理数的乘法运算律：（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba．（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)．（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac．要点诠释：（1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换．（2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad．（3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”．要点二、有理数的除法1.倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数．要点诠释：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是12-，-2和12-是互相依存的；(2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；(3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；(4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．2. 有理数除法法则：法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即1(0)a b ab b÷=≠. 法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0. 要点诠释：（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些． （2）因为0没有倒数，所以0不能当除数．（3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值． 要点三、有理数的乘除混合运算由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果．要点四、有理数的加减乘除混合运算有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的． 【典型例题】类型一、有理数的乘法运算1．计算：(1)54(3)1(0.25)65⎛⎫-⨯⨯-⨯- ⎪⎝⎭；(2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)； (3)(-5)×××0．【答案与解析】几个不等于零的数相乘，首先确定积的符号，然后把绝对值相乘．因数是小数的要化为分数，是带分数的通常化为假分数，以便能约分．几个数相乘，有一个因数为零，积就为零．(1)54(3)1(0.25)65⎛⎫-⨯⨯-⨯- ⎪⎝⎭591936548=-⨯⨯⨯=-；(2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)19-(1)(1)(1)(1)1=-⨯-⨯-⨯⋅⋅⋅⨯-=-个（1）相乘；(3)(-5)×××0＝0．【总结升华】几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数确定，与正因数的个数无关．当因数中有一个数为0时，积为0．但注意第一个负因数可以不用括号，但是后面的负因子必须加括号.2.（2015秋•碑林区期中）简便计算： （1）（﹣48）×+48×（2）（）×（﹣36）【思路点拨】（1）利用乘法的分配律先提取48，再进行计算即可得出答案；（2）运用乘法分配律进行计算即．【答案与解析】解：（1）（﹣48）×+48×=48×（﹣+﹣）=48×0 =0； （2）（）×（﹣36）=﹣20+27﹣2=5．【总结升华】此题考查了有理数的乘法，用到的知识点是乘法的分配律，解题的关键是运用乘法分配律进行计算． 举一反三：【变式】用简便方法计算： (1)2215130.34(13)0.343737-⨯-⨯+⨯--⨯； (2) 3.1435.2 6.28(23.3) 1.5736.4-⨯+⨯--⨯． 【答案】（1）原式2125(13)(13)0.340.343377⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+⨯-+⨯- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦2125(13)0.343377⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯++⨯-- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦(13)10.34(1)130.3413.34=-⨯+⨯-=--=-．(2) 3.1435.2 6.28(23.3) 1.5736.4-⨯+⨯--⨯＝×+×2×+×＝×++ ＝×100 ＝-314．类型二、有理数的除法运算3．计算： 17(49)2(3)33⎛⎫-÷-÷÷- ⎪⎝⎭【思路点拨】对于乘除混合运算，首先由负数的个数确定结果的符号，同时应将小数化成分数，带分数化成假分数，算式化成连乘积的形式，再进行约分．但要注意除法没有分配律． 【答案与解析】 解：17(49)2(3)33⎛⎫-÷-÷÷- ⎪⎝⎭ 331(49)773⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭331493773⎛⎫=-⨯⨯⨯=- ⎪⎝⎭【总结升华】进行乘除混合运算时，往往先将除法转化为乘法，再确定积的符号，最后求出结果． 举一反三：【变式】计算：111(3)(2)(1)335-÷-÷-【答案】原式103525()()()37621=-⨯-⨯-=- 类型三、有理数的乘除混合运算4.计算：9481(16)49-÷⨯÷- 【答案与解析】在有理数的乘除运算中，应按从左到右的运算顺序进行运算.9444181(16)811499916⎛⎫-÷⨯÷-=-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭【总结升华】在有理数的乘除运算中，可先将除法运算转化为乘法运算．乘除运算是同一级运算，再应按从左到右的顺序进行． 举一反三：【变式】计算：14410(2)893-÷⨯÷- 【答案】 14410(2)893-÷⨯÷-194181941243108432843216⎛⎫=-⨯⨯⨯-=⨯⨯⨯=⎪⎝⎭ 类型四、有理数的加减乘除混合运算5. 计算：121123031065⎛⎫⎛⎫-÷-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案与解析】 方法1：121123031065⎛⎫⎛⎫-÷-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12035121303010-+-⎛⎫⎛⎫=-÷=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 方法2：211213106530⎛⎫⎛⎫-+-÷-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2112(30)1031065⎛⎫=-+-⨯-=- ⎪⎝⎭ 所以121121303106510⎛⎫⎛⎫-÷-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【总结升华】除法没有分配律，在进行有理数的除法运算时，若除数是和的形式，一般先算括号内的，然后再进行除法运算，也可以仿照方法2利用倒数关系巧妙解决，如果按a ÷(b+c) ＝a ÷b+a ÷c 进行分配就错了． 举一反三：【变式】（2014•沐川县二模）观察下列等式（式子中的“！”是一种数学运算符号） 1!=1，2!=2×1，3!=3×2×1，4!=4×3×2×1，…， 那么计算：= ．【答案】解：==．类型五、含绝对值的化简6. 已知a 、b 、c 为不等于零的有理数，你能求出||||||a b c a b c++的值吗?【思路点拨】先分别确定a 、b 、c 的取值，再代入求值． 【答案与解析】 解：分四种情况：(1)当a 、b 、c 三个数都为正数时，||||||1113a b c a b c a b c a b c++=++=++=； (2)当a 、b 、c 三个数中有两个为正数，一个为负数时，不妨设a 为负数，b 、c 为正数，||||||1111a b c a b ca b c a b c-++=++=-++=； (3)当a 、b 、c 三个数中有一个为正数，两个为负数时，不妨设a 为正数，b 、c 为负数，||||||1111a b c a b c a b c a b c--++=++=--=-； (4)当a 、b 、c 三个数都为负数时，||||||(1)(1)(1)3a b c a b ca b c a b c---++=++=-+-+-=-综上，||||||a b c a b c++的值为：3,3,1,1-- 【总结升华】在含有绝对值的式子中，当不知道绝对值里面的数的正负时，需分类讨论. 举一反三： 【变式】计算a ba b+的取值.【答案】(1)当a ＞0、b ＞0时，112a ba b =+=+=原式； (2)当a ＜0、b ＜0时，112a ba b -=+=--=--原式；(3)当a ＞0，b ＜0时，110a ba b =+=-=-原式； (4)当a ＜0，b ＞0时，110a ba b-=+=-+=原式． 综上，a ba b+的值为：2,2,0- 【巩固练习】一、选择题1．（2015•自贡）的倒数是（ ） A ．﹣2B ． 2C ．D ．2. 若|x-1|+|y+2|+|z-3|＝0，则(x+1)(y-2)(z+3)的值为( )． A ．48 B ．-48 C ．0 D ．xyz3．已知a ＜0，-1＜b ＜0，则a ，ab ，ab 2由小到大的排列顺序是( )．A ．a ＜ab ＜ab 2B ．ab 2＜ab ＜aC ．a ＜ab 2＜abD ．ab ＜a ＜ab 24. 若“!”是一种数学运算符号，并且1!＝1，2!＝2×1!，3!＝3×2×1，4!＝4×3×2×1，……，则100!98!的值是为（ ） A ．5040B ．99!C ．9900D ．2! 5.下列计算：①0-(-5)＝-5；②(3)(9)12-+-=-；③293342⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭；④(36)(9)4-÷-=-；⑤若(2)3x =-⨯，则x 的倒数是6．其中正确的个数是（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．46.一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是（ ） （A ）2010（B ）2011（C ）2012（D ）20137.（2016•台湾）算式÷[（﹣1）×（2+）]之值为何（ ） A.﹣ B.﹣C.﹣25二、填空题8．（2015秋•岱岳区期末）计算﹣（﹣）的结果是 ．9．已知||4x =，1||2y =，且0xy <，则x y 的值是________．10.如果0y x <<，则化简x xyx xy+= . 11.某商场销售一款服装，每件标价150元，若以八折销售，仍可获利30元，则这款服装每件的进价为_____元．… …红 黄 绿 蓝 紫 红 黄 绿 黄 绿 蓝 紫12.在3.5与它的倒数之间有a 个整数，在3.5与它的相反数之间有b 个整数，则()()2a b a b +÷-⨯= .13.如果有理数,,,a b c d 都不为0，且它们的积的绝对值等于它们积得相反数，则,,,a b c d 中最少有 个负数，最多有 个负数.14. 已知，则____________．三、解答题15.计算：（1）计算：117313()(48)126424-+-⨯-（2）11(370)0.2524.5(25%)542⎛⎫⎛⎫-⨯-+⨯+-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）15(3)3(811)236⎛⎫-÷-÷---⨯ ⎪⎝⎭（4）(-9)÷(-4)÷(-2)(5))200411)(120031()151)(411)(131)(211(--⋯---- （6）2004×-2003×16.已知：a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的倒数等于它本身，则()||cda b m m m++-的结果是多少？ 17．（2014秋•泗阳县校级期末）若“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1，3！=3×2×1，4！=4×3×2×1…． 求的值．18.用计算器计算下列各式，将结果写在横线上：99921_________⨯=；99922_________⨯=；99923_________⨯=；99924_________⨯=（1）你发现了什么规律，请用字母n （n 为正整数）表示. （2）不用计算器，直接写出结果99929_________⨯= 【答案与解析】一、选择题 1.【答案】A. 2.【答案】B【解析】由|x-1|+|y+2|+|z-3|＝0可求得x ＝1，y ＝-2，z ＝3， 所以(x+1)(y-2)(z+3)＝2×(-4)×6＝-48． 3.【答案】C【解析】利用特殊值法，取a ＝-2，b ＝12-，则ab ＝-2×12⎛⎫- ⎪⎝⎭1=，212ab =-，易比较得到．4.【答案】C【解析】这类问题需根据题中所给的运算法则计算即可．100!=100×99×98×…×2×1，98 !＝98×97×…×2×1，故原式＝100×99＝9900 5.【答案】B【解析】②③正确． 6.【答案】D【解析】从图可得，截下的部分应该为：蓝 紫 红 黄 绿 |蓝 紫 红 黄 绿|，…，|蓝 紫 红 黄 绿|蓝 紫 红，每5个一个循环，总个数应该是被5除余3的数，所以答案应为：2013 7．【答案】A【解析】解：÷[（﹣1）×（2+）]=÷[（﹣）×] =÷（﹣2） =﹣．故选：A ． 二、填空题 8.【答案】3. 【解析】解：原式==3，故答案为：3．9.【答案】-8【解析】因为|x|＝4，所以x ＝4或-4．同理，12y =或12-．又因为0xy <，所以x 、y 异号．所以8xy=-． 10.【答案】0【解析】0,1xx x>=；0,0,1xy x y xy ><=-，所以和为0. 11.【答案】90【解析】依题意列式为：150×＝90． 12.【答案】-5【解析】由题意可得：3,7a b ==，代入计算得：-5 13. 【答案】1； 3【解析】,,,a b c d 四个数的积的绝对值等于它们积得相反数，可得这四个数的积为负数，所以负因子的个数为奇数个，从而可得最少有1个，最多有3个.14. 【答案】-1 三、解答题 15. 【解析】（1）117313()(48)126424-+-⨯-117313(48)(48)(48)(48)126424=⨯--⨯-+⨯--⨯- 445636262=-+-+=（2）因为10.2525%4==．从而加数中都含有14，所以逆用乘法分配律，可使运算简便．原式1111137024.54424=⨯+⨯+⨯11137024.524⎛⎫=++⨯ ⎪⎝⎭14001004=⨯=（3）原式=6183-33+3(3)296555⨯⨯--⨯=-++= (4)原式＝-9÷4÷2＝1199428-⨯⨯=-(5) 原式=20042003)20032002()54(43)32(21⨯-⨯⋯⨯-⨯⨯-⨯=-200420032003200254433221⨯⨯⋯⨯⨯⨯⨯=-20041（6）原式= 2004×2003×10001-2003×2004×10001=0.16.【解析】由题意得a+b ＝0，cd ＝1，m ＝1或m ＝-1． 当m ＝1时，原式101|1|01=+⨯-=； 当m ＝-1时，原式10(1)|1|21=+⨯---=--． 综合可知：()||cda b m m m++-的结果是0或-2． 17.【解析】解：∵1！=1，2！=2×1，3！=3×2×1，4！=4×3×2×1…， ∴==9900．18.【解析】20979，21978，22977，23976（1）_____________________________99922(1)97(10)n n n ⨯=--，其中____ab 表示10a b +； （2）28971。
北师大版七年级(上)数学第二章有理数及其运算教案：有理数讲义(含答案)
有理数讲义1、了解有理数的分类。
2、掌握数轴的定义和性质以及它的作用。
3、掌握有关有理数和数轴的典型题目的解题方法。
有理数1、有理数的概念⑴______、______、______统称为整数（0和正整数统称为______自然数）⑵______和______统称为分数⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。
理解：只有能化成分数的数才是有理数。
①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。
②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。
注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。
2、有理数的分类总结：①正整数、0统称为______（也叫自然数）②负整数、0统称为______③正有理数、0统称为______④负有理数、0统称为______数轴3、数轴的概念规定了______，______，______的直线叫做数轴。
注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的______；⑵______、______、______是数轴的三要素，三者缺一不可；⑶同一数轴上的单位长度要______；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。
4、数轴上的点与有理数的关系⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。
⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是______关系。
（如，数轴上的点π不是有理数）5、利用数轴表示两数大小⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数______；⑵正数都______0，负数都______0，正数______负数；⑶两个负数比较，距离原点______的数比距离原点______的数小。
6、数轴上特殊的最大（小）数⑴最小的自然数是______，无最大的自然数；⑵最小的正整数是______，无最大的正整数；⑶最大的负整数是______，无最小的负整数7、a可以表示什么数⑴a>0表示a是正数；反之，a是正数，则a>0；⑵a<0表示a是负数；反之，a是负数，则a<0⑶a=0表示a是0；反之，a是0,，则a=08、数轴上点的移动规律根据点的移动，向左移动几个单位长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几，从而得到所需的点的位置。
秋七年级数学上册 第二章 有理数及其运算整合提升密码 (新版)北师大版-(新版)北师大版初中七年级上
有理数及其运算 专训一：有理数的比较大小的方法名师点金：有理数大小的比较需要根据有理数的特征灵活地选择适当的方法，除了常规的比较大小的方法外，还有几种特殊的方法：作差法、作商法、找中间量法、倒数法、变形法、数轴法、特殊值法、分类讨论法等.利用作差法比较大小1731和5293的大小.利用作商法比较大小2.比较－172 016和－344 071的大小.找中间量比较大小1 0072 016与1 0092 017的大小.利用倒数法比较大小1111 111和1 11111 111的大小.利用变形法比较大小5.比较－2 0142 015，－1415，－2 0152 016，－1516的大小.6.比较－623，－417，－311，－1247的大小.利用数轴比较大小7.已知a ＞0，b ＜0，且|b|＜a ，试比较a ，－a ，b ，－b 的大小.运用特殊值法比较大小8.已知a ，b 是有理数，且a ，b 异号，则|a ＋b|，|a －b|，|a|＋|b|的大小关系为________________________________________________________________________.利用分类讨论法比较大小a 3的大小.专训二：有理数中的六种易错类型对有理数有关概念理解不清造成错误1.下列说法正确的是（ ）A .最小的正整数是0B .－a 是负数C .符号不同的两个数互为相反数D .－a 的相反数是a2.已知|a|＝7，则a ＝Ｗ.误认为|a|＝a ，忽略对字母a 分情况讨论3.如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数一定是（）A .负数B .负数或零C .正数或零D .正数4.已知a ＝8，|a|＝|b|，则b 的值等于（ ）A .8B .－8C .0D .±8对括号使用不当导致错误5.计算：－7－5.6.计算：2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－15＋14－12.忽略或不清楚运算顺序7.计算：3×42＋43÷2.8.计算：－81÷94×49÷（－16）.混淆－a n 与（－a ）n的意义9.计算－24正确的是（ ） A .8 B .－8 C .16 D .－1610.计算：－24÷（－2）2＋2×（－2）3.乘法运算中确定符号与加法运算中的符号规律相混淆 11.计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫－214×⎝ ⎛⎭⎪⎫－345.12.计算：－36×⎝ ⎛⎭⎪⎫712－56－1.除法没有分配律13.计算：24÷⎝ ⎛⎭⎪⎫13－18－16.专训三：有理数中的几种热门考点名师点金：本章主要学习了有理数的定义及其相关概念，有理数的运算，科学记数法与近似数等.本章内容是中考的基本考查内容之一，命题形式多以选择题和简单的计算题为主，注重对基础知识和基本技能的考查.有理数的定义、分类 1.在下列各数中：＋6，－8.25，－0.49，－23，－18，负有理数有（ ） A .1个 B .2个 C .3个 D .4个相反数、倒数、绝对值2.（1）化简下列各式：⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＝；|＋（－3）|＝；－⎪⎪⎪⎪⎪⎪－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝Ｗ. （2）－5的相反数是；－13的绝对值是；54的倒数是Ｗ. 3.式子|m －3|＋5的值随m 的变化而变化，当m ＝时，|m －3|＋5有最小值，最小值是Ｗ.4.已知a ，b 分别是两个不同的点A ，B 所表示的有理数，且|a|＝5，|b|＝2，它们在数轴上的位置如图所示.（1）试确定数a ，b.（2）表示a ，b 两数的点相距多远？（3）若C 点在数轴上，C 点到B 点的距离是C 点到A 点距离的13，求C 点表示的数.（第4题）有理数的大小比较5.（中考·莱芜）在－12，－13，－2，－1这四个数中，最大的数是（ ） A .－12B .－13C .－2 D .－16.如图，数轴上A ，B 两点分别对应有理数a ，b ，则下列结论正确的是（）（第6题）A .a ＜bB .a ＋b ＜0C .a －b ＞0D .ab ＞0有理数的运算7.下列等式成立的是（ ）A .|－2|＝2B .－（－1）＝－1C .1÷（－3）＝13D .－2×3＝614是3，其中三个数分别是－10，＋8，－6，则第四个数是（ ）A .＋8B .－8C .＋20D .＋119.计算下列各题：（1）17－23÷（－2）×3；（2）2×（－5）＋23－3÷12；（3）10＋8÷（－2）2－（－4）×（－3）；（4）（－24）÷⎝ ⎛⎭⎪⎫2232＋512×⎝ ⎛⎭⎪⎫－16－（0.5）2.非负数性质的应用10.当a 为有理数，下列说法中正确的是（ ）A .⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12 0162为正数 B .－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12 0162为负数 C .a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12 0162为正数 D .a 2＋12 016为正数 11.若|a ＋1|＋（b －2）2＝0，求（a ＋b ）9＋a 6的值.科学记数法的应用12.（2015·某某）今年5月，在某某举行的世界机场城市大会上，某某新机场规划蓝图首次亮相.新机场建成后，某某将成为继、某某之后，国内第三个拥有双机场的城市，按照远期规划，新机场将建的4个航站楼的总面积约为126万m 2.用科学记数法表示126万为（ ） A .126×104B .1.26×105C .1.26×106D .1.26×10713.若一个数等于5.8×1021，则这个数的整数位数是（ ） A .20 B .21 C .22 D .23 14.把390 000用科学记数法表示为，用科学记数法表示的数5.16×104的原数是Ｗ.15.（2015·资阳）太阳的半径约为696 000 km ，用科学记数法表示为Ｗ.数学思想方法的应用类型1 数形结合思想16.如图，数轴上的A ，B ，C 三点所表示的数分别为a ，b ，c.根据图中各点位置，下列式子正确的是（ ）（第16题）A .（a －1）（b －1）＞0B .（b －1）（c －1）＞0C .（a ＋1）（b ＋1）＜0D .（b ＋1）（c ＋1）＜0类型2 转化思想17.下列各式可以写成a －b ＋c 的是（ ）A .a －（＋b ）－（＋c ）B .a －（＋b ）－（－c ）C .a ＋（－b ）＋（－c ）D .a ＋（－b ）－（＋c ）18.计算：⎣⎢⎡⎦⎥⎤113－⎝ ⎛⎭⎪⎫－234÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－712.类型3 分类讨论思想19.比较2a 与－2a 的大小.有理数中的探究与创新20.（2015·某某）一组数1，1，2，x ，5，y ，…，满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中y 表示的数为（ ）A .8B .9C .13D .1521.（2015·某某）按一定规律排列的一列数：21，22，23，25，28，213，…，若x ，y ，z 表示这列数中的连续三个数，猜测x ，y ，z 满足的关系式是Ｗ.22.（2015·某某）观察下列一组数：13，25，37，49，511，…，根据该组数的排列规律，可推出第10个数是Ｗ.23.（2015·某某）填在下面各正方形（如图）中的四个数之间都有一定的规律，据此规律得出a ＋b ＋c ＝Ｗ. （第23题）24.如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过30 min 便由1个分裂成2个.（第24题）根据此规律求：（1）这样的一个细胞经过第四个30 min 后可分裂成多少个细胞？（2）这样的一个细胞经过3 h 后可分裂成多少个细胞？（3）这样的一个细胞经过n （n 为正整数）h 后可分裂成多少个细胞？答案专训一1．解：因为5293－1731＝5293－5193＝193＞0，所以5293＞1731. 点拨：当比较的两个数的大小非常接近，无法直接比较大小时，作差法是常采用的方法．2．解：因为172 016÷344 071＝172 016×4 07134＝1 3571 344＞1，所以172 016＞344 071，所以－172 016＜－344 071. 点拨：(1)作商法是比较两个数大小的常用方法，当比较的两个正分数作商易约分时，作商比较往往能起到事半功倍的效果．(2)当这两个数是负数时，可先分别求出它们的绝对值，再作商比较它们绝对值的大小，最后根据绝对值大的反而小下结论．3．解：因为1 0072 016＜12，1 0092 017＞12， 所以1 0072 016＜1 0092 017. 点拨：对于类似的两数的大小比较，我们可以引入一个中间量，分别比较它们与中间量的大小，从而得出问题的答案．4．解：1111 111的倒数是101111，1 11111 111的倒数是1011 111，因为101111＞1011 111，所以1111 111＜1 11111 111. 点拨：利用倒数法比较两个正数的大小时，需先求出其倒数，再根据倒数大的反而小，从而确定这两个数的大小．5．解：每个分数都加1，分别得12 015，115，12 016，116. 因为12 016＜12 015＜116＜115， 所以－2 0152 016＜－2 0142 015＜－1516＜－1415. 点拨：本题直接比较很困难，但通过把这些数适当变形，再进行比较就简单多了．6．解：因为－623＝－1246，－417＝－1251，－311＝－1244，－1244＜－1246＜－1247＜－1251，所以－311＜－623＜－1247＜－417. 点拨：此题如果通分，计算量太大，可以把分子变为相同的，再进行比较．7．解：把a ，－a ，b ，－b 在数轴上表示出来，如图所示，根据数轴可得－a ＜b ＜－b ＜a.(第7题)点拨：本题运用了数轴法比较有理数的大小，在数轴上找出这几个数对应的点的大致位置，即可作出判断．8．|a ＋b|＜|a －b|＝|a|＋|b|点拨：已知a ，b 异号，不妨取a ＝2，b ＝－1或a ＝－1，b ＝2.当a ＝2，b ＝－1时，|a ＋b|＝|2＋(－1)|＝1，|a －b|＝|2－(－1)|＝3，|a|＋|b|＝|2|＋|－1|＝3；当a ＝－1，b ＝2时，|a ＋b|＝|(－1)＋2|＝1，|a －b|＝|－1－2|＝3，|a|＋|b|＝|－1|＋|2|＝3.所以|a ＋b|＜|a －b|＝|a|＋|b|.方法总结：本题运用特殊值法解题，取特殊值时要注意所取的值既要符合题目条件又要考虑可能出现的多种情况，以本题为例，可以分为a 正、b 负和a 负、b 正两种情况．9．解：分三种情况讨论：①当a ＞0时，a ＞a 3； ②当a ＝0时，a ＝a 3； ③当a ＜0时，|a|＞|a 3|，则a ＜a 3.专训二1．D 2.±7 3.C4．D 点拨：因为|a|＝|b|＝8，所以b ＝±8.5．解：原式＝－7＋(－5)＝－12.6．解：原式＝2＋15－14＋12＝2920. 7．解：原式＝3×16＋64÷2＝48＋32＝80.8．解：原式＝－81×49×49×(－116)＝1. 点拨：本题易出现“原式＝－81÷1÷(－16)＝8116”的错误． 9．D10．解：原式＝－16÷4＋2×(－8)＝－20.11．解：原式＝(－94)×(－195)＝17120. 点拨：解本题时常常会出现乘法运算中积的符号的确定与加法运算中和的符号的确定相混淆的错误．如：(－214)×(－345)＝－(94×195)＝－17120. 12．解：原式＝－36×712－(－36)×56－(－36)×1 ＝－21＋30＋36＝45.13．解：原式＝24÷⎝⎛⎭⎪⎫824－324－424 ＝24÷124＝576.点拨：解本题时往往会出现将乘法分配律运用到除法运算中，从而出现“原式＝24÷13－24÷18－24÷16＝72－192－144＝－264”这样的错误．专训三1．D2．(1)12；3；－35 (2)5；13；453．3；54．解：(1)因为|a|＝5，|b|＝2，所以a ＝±5，b ＝±2.由数轴可知a ＜b ＜0，所以a ＝－5，b ＝－2.(2)相距3.(3)C 点表示的数为－12或－234. 5．B 6.C 7.A 8.C9．解：(1)原式＝17－8÷(－2)×3＝17－(－12)＝29.(2)原式＝－10＋8－6＝－8.(3)原式＝10＋8÷4－12＝0.(4)原式＝(－16)×964＋112×(－16)－14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－94＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1112－14＝－4112. 10．D11．解：由题意得a ＋1＝0，b －2＝0，所以a ＝－1，b ＝2.所以(a ＋b)9＋a 6＝[(－1)＋2]9＋(－1)6＝2.12．C 13.C14．3.9×105；51 60015．6.96×105km16．D 17.B 18．解：原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤113－⎝ ⎛⎭⎪⎫－234×⎝ ⎛⎭⎪⎫－127＝43×⎝ ⎛⎭⎪⎫－127－⎝ ⎛⎭⎪⎫－114×⎝ ⎛⎭⎪⎫－127＝－167－337＝－7.19．解：当a ＜0时，2a ＜－2a ；当a ＝0时，2a ＝－2a ；当a ＞0时，2a ＞－2a.20．A 点拨：根据从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和，可得x ＝1＋2＝3，y ＝x ＋5＝3＋5＝8，故选A .21．xy ＝z 点拨：由规律可得连续的三个数2a ，2b ，2c 应满足2a ·2b ＝2c，故xy ＝z.22.1021点拨：从这组数可以看出，这组数的分子是从1开始，逐次增加1的自然数，分母是分子的2倍加1，即第n 个数是n 2n ＋1，所以第10个数是102×10＋1＝1021. 23．110 点拨：根据前三个正方形中的数字规律可知：c 所处的位置上的数是连续的奇数，所以c ＝9，而a 所处的位置上的数是连续的偶数，所以a ＝10，而b ＝ac ＋1＝10×9＋1＝91，所以a ＋b ＋c ＝10＋91＋9＝110.24．解：(1)一个细胞经过第四个30 min 后可分裂成16个细胞．(2)一个细胞经过3 h 后可分裂成64个细胞．(3)一个细胞经过n(n 为正整数) h 后可分裂成22n 个细胞．。
北师大版数学七年级上册 有理数(基础篇)(Word版 含解析)
一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）1．点在数轴上分别表示有理数，两点间的距离表示为 .且 .（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是________，数轴上表示−2和−5的两点之间的距离是________，数轴上表示1和−3的两点之间的距离是________；（2）数轴上表示x和−1的两点A和B之间的距离是________，如果|AB|=2，那么x=________；（3）当代数式|x+1|+|x−2|取最小值时，相应x的取值范围是________.【答案】（1）3；3；4（2）1；-3（3）−1⩽x⩽2【解析】【解答】解：(1)、|2−5|=|−3|=3；|−2−(−5)|=|−2+5|=3；|1−(−3)|=|4|=4；( 2 )、|x−(−1)|=|x+1|，由|x+1|=2，得x+1=2或x+1=−2，所以x=1或x=−3；( 3 )、数形结合，若|x+1|+|x−2|取最小值，那么表示x的点在−1和2之间的线段上，所以−1⩽x⩽2.【分析】（1）根据数轴上任意两点间的距离等于这两点所表示的数的差的绝对值即可算出答案；（2）根据数轴上任意两点间的距离等于这两点所表示的数的差的绝对值得出AB=,又 |AB|=2 ，从而列出方程，求解即可；（3）|x+1|+|x−2| 表示数x的点到-1的点距离与表示x的点到2的点距离和，根据两点之间线段最短得出当表示x的点在-1与2之间的时候，代数式|x+1|+|x−2|有最小值，从而得出x的取值范围.2．如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上位于点左侧一点，且AB=20，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间t(t>0)秒．（1）写出数轴上点表示的数________；点表示的数________（用含的代数式表示）（2）动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点、同时出发，问多少秒时、之间的距离恰好等于？（3）动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，问多少秒时、之间的距离恰好又等于？（4）若为的中点，为的中点，在点运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请画出图形，并求出线段的长．【答案】（1）；（2）解：若点P、Q同时出发，设t秒时P、Q之间的距离恰好等于2．分两种情况：①点P、Q相遇之前，由题意得3t+2+5t=20，解得t=2.25；②点P、Q相遇之后，由题意得3t-2+5t=20，解得t=2.75．答：若点P、Q同时出发，2.25或2.75秒时P、Q之间的距离恰好等于2（3）解：设点P运动x秒时，P、Q之间的距离恰好等于2．分两种情况：①点P、Q相遇之前，则5x-3x=20-2，解得：x=9；②点P、Q相遇之后，则5x-3x=20+2解得：x=11．答：若点P、Q同时出发，9或11秒时P、Q之间的距离恰好又等于2（4）解：线段MN的长度不发生变化，都等于10；理由如下：①当点P在点A、B两点之间运动时：MN=MP+NP= AP+ BP= （AP+BP）= AB= ×20=10，②当点P运动到点B的左侧时：MN=MP-NP= AP- BP= （AP-BP） AB=10，则线段MN的长度不发生变化，其值为10【解析】【解答】（1）∵点A表示的数为8，B在A点左边，AB=20，∴点B表示的数是8-20=-12，∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t （t＞0）秒，∴点P表示的数是8-5t．故答案为-12，8-5t；【分析】（1）根据已知可得B点表示的数为8-20；点P表示的数为8-5t；（2）设t秒时P、Q之间的距离恰好等于2．分两种情况：①点P、Q相遇之前，②点P、Q相遇之后，列出方程求解即可；（3）设点P运动x秒时，P、Q之间的距离恰好等于2．分两种情况：①点P、Q相遇之前，②点P、Q相遇之后，列出方程求解即可；（4）分①当点P在点A、B两点之间运动时，②当点P运动到点B的左侧时，利用中点的定义和线段的和差求出MN的长即可．3．【新知理解】如图①，点C在线段AB上，若BC=πAC，则称点C是线段AB的圆周率点，线段AC、BC 称作互为圆周率伴侣线段．（1）若AC=3，则AB=________；（2）若点D也是图①中线段AB的圆周率点（不同于点C），则AC________BD；（填“=”或“≠”）（3）【解决问题】如图②，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点C的位置．若点M、N是线段OC的圆周率点，求MN的长；（4）图②中，若点D在射线OC上，且线段CD与以O、C、D中某两个点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，请直接写出点D所表示的数．【答案】（1）3+3（2）=（3）解：∵d=1，∴c=d=，∴C点表示的数为：+1，∵M、N都是线段OC的圆周率点，设点M离O点近，且OM=x，则CM=x，∵OC=OM+ MC，∴+1=x+x，解得：x=1，∴OM=CN=1，∴MN=OC-OM-CN=+1-1-1=-1.（4）解：设点D表示的数为x，则OD=x，①若CD=OD，如图1，∵OC=OD+CD，∴+1=x+x，解得：x=1，∴点D表示的数为1；②若OD=CD，如图2，∵OC=OD+CD，∴+1=x+，解得：x=，∴点D表示的数为；③若OC=CD，如图3，∵CD=OD-OC=x--1，∴+1=（x--1），解得：x=++1，∴点D表示的数为++1；④若CD=OC，如图4，∵CD=OD-OC=x--1，∴x--1=（+1），解得：x=2+2+1，∴点D表示的数为2+2+1；综上所述：点D表示的数为：1、、++1、2+2+1.【解析】【解答】解：（1）∵AC=3，BC=AC，∴BC=3∴AB=AC+CB=3+3.故答案为：3+3.（2）∵点D、C都是线段AB的圆周率点且不重合，∴BC=AC，AD=BD，设AC=x，BD=y，则BC=x，AD=y，∵AB=AC+CB=AD+DB，∴x+x=y+y，∴x=y，∴AC=BD.故答案为：=.【分析】（1）由已知条件求得BC长，再由AB=AC+CB即可求得答案.（2）根据题意可得BC=AC，AD=BD，由此设AC=x，BD=y，则BC=x，AD=y，由AB=AC+CB=AD+DB即可得AC=BD.（3）根据题意可得C点表示的数为+1，根据M、N都是线段OC的圆周率点，设点M 离O点近，且OM=x，则CM=x，由OC=OM+ MC列出方程+1=x+x，解之可得OM=CN=1，由MN=OC-OM-CN即可求得.（4）设点D表示的数为x，则OD=x，根据题意分情况讨论：①若CD=OD，②若OD=CD，③若OC=CD，④若CD=OC，根据题中定义分别列出方程，解之即可得出答案.4．快递员小王下午骑摩托车从总部出发，在一条东西走向的街道上来回收送包裹.他行驶的情况记录如下（向东记为“ ”，向西记为“ ”，单位：千米）：，，，，，，（1）小王最后是否回到了总部？（2）小王离总部最远是多少米？在总部的什么方向？（3）如果小王每走米耗油毫升，那么小王下午骑摩托车一共耗油多少毫升？【答案】（1）解：+2-3.5+3-4-2+2.5+2=0，∴小王最后回到了总部（2）解：第一次离总部2=2千米；第二次：2-3.5=-1.5千米；第三次：-1.5+3=1.5千米；第四次：1.5-4=-2.5千米；第五次：-2.5-2=-4.5千米；第六次：-4.5+2.5=-2千米；第七次：-2+2=0千米.所以离总部最远是4.5千米，在总部的西方向（3）解：|+2|+|-3.5|+|+3|+|-4|+|-2|+|+2.5|+|+2|=2+3.5+3+4+2+2.5+2=19千米又∵摩托车每行驶1千米耗油30毫升，∴19×30=570（毫升）∴这一天下午共耗油570毫升.【解析】【分析】（1）根据有理数的加减法，再根据正负数即可；（2）根据有理数的加减法，再根据正负数即可；（3）根据绝对值的性质，再根据正负数即可；5．操作探究：小聪在一张长条形的纸面上画了一条数轴(如图所示)，（1）操作一：折叠纸面，使1表示的点与−1的点重合，则−3的点与________表示的点重合；（2）操作二：折叠纸面，使−2表示的点与6表示的点重合，请你回答以下问题：① −5表示的点与数（）表示的点重合；② 若数轴上A、B两点之间距离为20，其中A在B的左侧，且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数各是多少③ 已知在数轴上点M表示的数是m，点M到第②题中的A、B两点的距离之和为30，求m的值。
新北师大数学七年级上册：有理数
2.1 有理数学习目标：1．在具体情境中，进一步认识负数，理解有理数的意义。
2．会用正负数表示具有相反意义的量3．会判断一个数是正数还是负数，能对有理数进行分类4．体验数学发展是生活实际的需要，激发学习数学的兴趣学习重难点：1．用正负数区分相反意义的量2．能按一定标准对有理数分类3．一、学前准备：1．知识链接：小学里学过哪些数？这些数在生活中有哪些有用？2．预学教材：阅读课本P23和P24页（边阅读边思考）再回答上面的问题。
你有什么疑难问题：预学检测：(1)“加分与扣分”“上涨量与下跌量”等都是具有相反意义的量。
为了表示相反意义的量，我们把其中一个量规定用正数表示，而把与这个量 ，用负数表示。
(2) 和 统称为有理数。
(3) 既不是正数，也不是负数。
二、课堂导学：探究活动（一）：正、负数表示具有相反意义的量1．检查预习情况①P23表格内容②对教材“议一议”，小组同学交流，小组代表班上交流：你的例子： ③同组同学交流P24例1内容，小组代表班上交流。
教师做适当的指导。
2．变式训练：①如果收入30元记作+30元，那么支出20元记作 ，-100表示 。
②气温上升6︒C 记作+6︒C ，那么气温下降5︒C 记作 。
③若把比海平面高规定为正，则+25m 表示 ，0m 表示 。
④前进-3米的实际意义是 。
3．完成教材P25随堂练习1探究活动（二）：有理数的分类1．检查预学P24“做一做”情况，将自己的所得与同学交流，小组代表班上交流： 有理数按定义可分为⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧：：：：：如如如如如 有理数按正负性分为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧：：：如如如2．变式训练：①把下列各数填入相应的集合内：5，-2，13，0，1.5，722，-3.14正数集合：{ …}负数集合：{ …}整数集合：{ …}分数集合：{ …}正整数集合：{ …}负分数集合：{ …}3、完成教材P25随堂练习2三、学习评价：当堂检测：1．零上13︒C记为+13︒C，零下2︒C记作（）A．2 B．-2 C．2︒C D．-2︒C2．下列说法中正确的是（）A．一个数不是正数就是负数B．0不是自然数C．0是整数D．整数又叫自然数3．-2011符合①有理数；②整数；③正数；④负数中的（）A．①③B．①②③C．①②④D．①②③④4．如果某人向东走10米，又向西走10米，那么这个人共走了米，他的位置在自我评价：1．学习感受：你完成本课时学习的情况为：（）A.很好B.较好C.一般D.较差。
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一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）1．如图，AB=12cm，点C在线段AB上，AC=3BC，动点P从点A出发，以4cm/s的速度向右运动，到达点B之后立即返回，以4cm/s的速度向左运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度向右运动，到达点B之后立即返回，以1cm/s的速度向左运动．设它们同时出发，运动时间为t秒，当第二次重合时，P、Q两点停止运动．（1）AC=________cm，BC=________cm；（2）当t=________秒时，点P与点Q第一次重合；当t=________秒时，点P与点Q第二次重合；（3）当t为何值时，AP=PQ？【答案】（1）9；3（2）3；（3）解：在点P和点Q运动过程中，当AP=PQ时，存在以下三种情况：①点P与点Q第一次重合之前，可得：2×4t=9+t，解得t= ；②点P与点Q第一次重合后，P、Q由点B向点A运动过程中，可得：2×[12-（4t-12）]=12-（t-3），解得t= ；③当点P运动到点A，继续由点A向点B运动，点P与点Q第二次重合之前，可得：2×（4t-24）=12-（t-3），解得t=7．故当t为秒、秒或7秒时，AP=PQ．【解析】【解答】（1）∵AB=12cm，AC=3BC∴AC= AB=9，BC=12-9=3．故答案为：9；3．（2）设运动时间为t，则AP=4t，CQ=t，由题意，点P与点Q第一次重合于点B，则有4t-t=9，解得t=3；当点P与点Q第二次重合时有：4t+t=12+3+24，解得t= ．故当t=3秒时，点P与点Q第一次重合；当t= 秒时，点P与点Q第二次重合．故答案为：3；．【分析】（1）由题目中AB=12cm，点C在线段AB上，AB=3BC，可直接求得；（2）根据运动过程，两点重合时他们走过距离之间的关系列方程即可求得；（3）满足AP=PQ，则2AP=AQ，在整个运动过程中正确的位置存在三处，依次分析列出方程即可求得．2．阅读材料，并回答问题如图，有一根木棒MN放置在数轴上，它的两端M、N分别落在点A、B．将木棒在数轴上水平移动，当点M移动到点B时，点N所对应的数为20，当点N移动到点A时，点M所对应的数为5．（单位：cm）由此可得，木棒长为__________cm．借助上述方法解决问题：一天，美羊羊去问村长爷爷的年龄，村长爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，116岁了，哈哈！”美羊羊纳闷，村长爷爷到底是多少岁？（1）请你画出示意图，求出村长爷爷和美羊羊现在的年龄．（2）若羊村中的小羊均与美羊羊同岁，老羊均与村长爷爷同岁。
灰太狼计划为全家抓5只羊，综合考虑口感和生长周期等因素，决定所抓羊的年龄之和不超过112岁且高于34岁。
请问灰太狼有几种抓羊方案？【答案】（1）解：如图：点A表示美羊羊现在的年龄，点B表示村长爷爷现在的年龄，木棒MN的两端分别落在点A、B．由题意可知，当点N移动到点A时，点M所对应的数为-40，当点M移动到点B时，点N 所对应的数为116．可求MN=52．所以点A所对应的数为12，点B所对应的数为64．即美羊羊今年12岁，村长爷爷今年64岁．（2）解：设抓小羊x只，则老羊为(5-x)只，依题意得：解得：，则x=4,或x=5,即抓四只小羊一只老羊或抓五只小羊【解析】【分析】（1）由数轴观察知三根木棒长是20-5=15（cm），则此木棒长为5cm；（2）在求村长爷爷年龄时，借助数轴，把美羊羊与村长爷爷的年龄差看做木棒MN，类似村长爷爷比美羊羊大时看做当N点移动到A点时，此时M点所对应的数为-40，美羊羊比村长爷爷大时看做当M点移动到B点时，此时N点所对应的数为116，所以可知爷爷比美羊羊大[116-（-40）]÷3=52，可知爷爷的年龄.（3）设抓小羊x只，则老羊为(5-x)只，根据“ 所抓羊的年龄之和不超过112岁且高于34岁”列不等式组，求解.3．（1）观察发现，，，……，．＝1﹣＝．＝1﹣＝．＝________．（2）构建模型＝________．(n为正整数)（3）拓展应用：① ＝________．② ＝________．③一个数的八分之一，二十四分之一，四十八分之一，八十分之一的和比这个数的四分之一小1，这个数是________．【答案】（1）（2）（3）；；20.【解析】【解答】(1) ＝=1﹣＝，故答案为：；(2) ＝＝1﹣＝，故答案为：；(3)①原式＝＝1﹣＝，故答案为：；②原式＝＝＝1﹣＝，故答案为：；③设这个数为x，根据题意得：( )x＝ x﹣1，整理得： x＝ x﹣1，去分母得：( )x＝x﹣4，即(1﹣ )x＝x﹣4，整理得： x＝x﹣4，解得：x＝20，答：这个数是20.【分析】（1）各项拆项后，计算即可求出值；（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；（3）①原式拆项后，计算即可求出值；②原式变形后拆项，计算即可求出值；③设这个数为x，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．4．点A、B在数轴上表示的数如图所示，动点P从点A出发，沿数轴向右以每秒1个单位长度的速度向点B运动到点B停止运动；同时，动点Q从点B出发，沿数轴向左以每秒2个单位长度的速度向点A运动，到点A停止运动设点P运动的时间为t秒，P、Q两点的距离为d（d≥0）个单位长度．（1）当t＝1时，d＝________；（2）当P、Q两点中有一个点恰好运动到线段AB的中点时，求d的值；（3）当点P运动到线段AB的3等分点时，直接写出d的值；（4）当d＝5时，直接写出t的值．【答案】（1）3（2）解：线段AB的中点表示的数是：＝1．①如果P点恰好运动到线段AB的中点，那么AP＝AB＝3，t＝＝3，BQ＝2×3＝6，即Q运动到A点，此时d＝PQ＝PA＝3；②如果Q点恰好运动到线段AB的中点，那么BQ＝AB＝3，t＝，AP＝1× ＝，则d＝PQ＝AB﹣AP﹣BQ＝6﹣﹣3＝．故d的值为3或（3）解：当点P运动到线段AB的3等分点时，分两种情况：①如果AP＝AB＝2，那么t＝＝2，此时BQ＝2×2＝4，P、Q重合于原点，则d＝PQ＝0；②如果AP＝AB＝4，那么t＝＝4，∵动点Q从点B出发，沿数轴向左以每秒2个单位长度的速度向点A运动，到点A停止运动，∴此时BQ＝6，即Q运动到A点，∴d＝PQ＝AP＝4．故所求d的值为0或4（4）解：当d＝5时，分两种情况：①P与Q相遇之前，∵PQ＝AB﹣AP﹣BQ，∴6﹣t﹣2t＝5，解得t＝；②P与Q相遇之后，∵P点运动到线段AB的中点时，t＝3，此时Q运动到A点，停止运动，∴d＝AP＝t＝5．故所求t的值为或5．【解析】【分析】（1）当t＝1时，求出AP＝1，BQ＝2，根据PQ＝AB﹣AP﹣BQ即可求解；（2）分①P点恰好运动到线段AB的中点；②Q点恰好运动到线段AB的中点两种情况进行讨论；（3）当点P运动到线段AB的3等分点时，分①AP＝AB；②AP＝AB两种情况进行讨论；（4）当d＝5时，分①P与Q相遇之前；②P与Q相遇之后两种情况进行讨论．5．【新知理解】如图①，点C在线段AB上，若BC=πAC，则称点C是线段AB的圆周率点，线段AC、BC 称作互为圆周率伴侣线段．（1）若AC=3，则AB=________；（2）若点D也是图①中线段AB的圆周率点（不同于点C），则AC________BD；（填“=”或“≠”）（3）【解决问题】如图②，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点C的位置．若点M、N是线段OC的圆周率点，求MN的长；（4）图②中，若点D在射线OC上，且线段CD与以O、C、D中某两个点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，请直接写出点D所表示的数．【答案】（1）3+3（2）=（3）解：∵d=1，∴c=d=，∴C点表示的数为：+1，∵M、N都是线段OC的圆周率点，设点M离O点近，且OM=x，则CM=x，∵OC=OM+ MC，∴+1=x+x，解得：x=1，∴OM=CN=1，∴MN=OC-OM-CN=+1-1-1=-1.（4）解：设点D表示的数为x，则OD=x，①若CD=OD，如图1，∵OC=OD+CD，∴+1=x+x，解得：x=1，∴点D表示的数为1；②若OD=CD，如图2，∵OC=OD+CD，∴+1=x+，解得：x=，∴点D表示的数为；③若OC=CD，如图3，∵CD=OD-OC=x--1，∴+1=（x--1），解得：x=++1，∴点D表示的数为++1；④若CD=OC，如图4，∵CD=OD-OC=x--1，∴x--1=（+1），解得：x=2+2+1，∴点D表示的数为2+2+1；综上所述：点D表示的数为：1、、++1、2+2+1.【解析】【解答】解：（1）∵AC=3，BC=AC，∴BC=3∴AB=AC+CB=3+3.故答案为：3+3.（2）∵点D、C都是线段AB的圆周率点且不重合，∴BC=AC，AD=BD，设AC=x，BD=y，则BC=x，AD=y，∵AB=AC+CB=AD+DB，∴x+x=y+y，∴x=y，∴AC=BD.故答案为：=.【分析】（1）由已知条件求得BC长，再由AB=AC+CB即可求得答案.（2）根据题意可得BC=AC，AD=BD，由此设AC=x，BD=y，则BC=x，AD=y，由AB=AC+CB=AD+DB即可得AC=BD.（3）根据题意可得C点表示的数为+1，根据M、N都是线段OC的圆周率点，设点M 离O点近，且OM=x，则CM=x，由OC=OM+ MC列出方程+1=x+x，解之可得OM=CN=1，由MN=OC-OM-CN即可求得.（4）设点D表示的数为x，则OD=x，根据题意分情况讨论：①若CD=OD，②若OD=CD，③若OC=CD，④若CD=OC，根据题中定义分别列出方程，解之即可得出答案.6．已知数轴上A，B两点对应数分别为-2和5，P为数轴上一点，对应数为x.（1）若P为线段AB的三等分点（把一条线段平均分成相等的三部分的两个点），求P点对应的数.（2）数轴上是否存在点P，使P点到A点，B点距离和为10？若存在，求出x值；若不存在，请说明理由.（3）若点A，点B和点P（P点在原点）同时向左运动，它们的速度分别为1，6，3个长度单位/分，则第几分钟时，A，B，P三点中，其中一点是另外两点连成的线段的中点？【答案】（1）解：因数轴上A、B两点对应的数分别是﹣2和5，所以AB=7，又因P为线段AB的三等分点，所以 AP=7÷3= 或AP=7÷3×2= ，所以P点对应的数为或（2）解：若P在A点左侧，则﹣2﹣x+5﹣x=10，解得：x=﹣；若P在A点、B中间.∵AB=7，∴不存在这样的点P；若P在B点右侧，则x﹣5+x+2=10，解得：x=（3）解：设第x分钟时，点A的位置为：﹣2﹣x，点B的位置为：5﹣6x，点P的位置为：﹣3x，①当P为AB的中点，则5﹣6x+（﹣2﹣x）=2×（﹣3x），解得：x=3；②当A为BP中点时，则2×（﹣2﹣x）=5﹣6x﹣3x，解得：x= ；③当B为AP中点时，则2×（5﹣6x）=﹣2﹣x﹣3x，解得：x= .答：第分钟时，A为BP的中点；第分钟时，B为AP的中点；第3分钟时，P为AB的中点.【解析】【分析】（1）根据两点间的距离公式得出AB=7，又因P为线段AB的三等分点，所以 AP 或，进而再根据数轴上两点间的距离公式即可求出点P所表示的数；（2）分类讨论：若P在A点左侧，根据两点间的距离公式由PA+PB=10列出方程，求解算出x的值；若P在A点、B中间，由于PA+PB=AB=7,故不存在这样的点P；若P在B点右侧，根据两点间的距离公式由PA+PB=10列出方程，求解算出x的值，综上所述即可得出答案；（3）设第x分钟时，点A的位置为：﹣2﹣x，点B的位置为：5﹣6x，点P的位置为：﹣3x ，然后分类讨论：①当P为AB的中点，②当A为BP中点时，③当B为AP中点时三种情况根据线段的中点性质列出方程，求解即可。