勾股定理的验证--参赛
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2 2 2
总统伽菲尔德就由这个图得出：c = a + b 证明勾股定理的。 有的学生 他的证法在数学史上被传为佳话。他是这样分析的， 会盲目动手， 如沿正方形 对角线分割 等.让学生自 如 图 所 示 ： 己思考、总 结、更正，在 不断的摸索 中找到解决 问题的正确 证明方法三探索： 把火柴盒放倒，在这个过程中也能验证勾股 方法. 鼓励学生 定理。你能利用下图验证勾股定理吗？
归纳其共有的证明思路：利用图形的割补，借助前后的面积 相等形成关于三边的数量关系。
a a c c
a c b b a
b a
c
b
c
b
a
b
活动二： 课前让学生通过网络得到一些著名的勾股定理证明方法,让学 生自己展示图片,让其他同学来证明 证明方法一: 早在公元 3 世纪， 我国数学家赵爽就用 4 个全等的直角三 角形拼成如下图的图形， 证明了勾股定理。 这个图形被称为 “弦 图” 教师指导 学生， 了解赵
于”“小于”或“等于” 、 ）图③中小正方形的面积，用关系式 表示为________ .（2）拼图二：用 4 张直角三角形纸片
拼成如图④的形状， 观察图形可以发现， 图中共有__________ 个正方形，它们的面积之间的关系是________ 式表示为_____ ，用关系
.（3）拼图三：用 8 个直角三角形纸片
A D a Ca B b E c
(1 二、合作探究： 合作探究： （一）思索、交流： 拼图填空：剪裁出若干个大小、形状完全相同的直角பைடு நூலகம்角
代表作示范 演示， 展示分 割、 拼接的过 程.
b c
形，三边长分别记为 a、b、c，如图①.（1）拼图一：分别用 4 张直角三角形纸片，拼成如图②③的形状，观察图②③可发 现， 图②中两个小正方形的面积之和__________ （填 “大
板书设计： 勾勒出教 18.1 勾股定理 学的主线， 呈 一、了解历史 ：赵爽弦图 二、图形探究→猜想→证明 三、勾股定理： 如果直角三角形两直角边长 信息的强度， 分别是 a,b,斜边是 c,那么 a2 + b2 =c2 五、 ：作业 突出重点. 四、小结 现完整知识 1. 结构体系.并 2. 用彩色增加
课题
勾股定理二
选自 :苏科版八年级数学上 第二章第一节第二课时
主备 教案背景
潘建琴
江苏省宜兴市徐舍中学
勾股定理是人类文明的成果,几乎所有拥有古代 文化的民族和国家都对勾股定理有所研究,古今 中外许多人都孜孜不倦的寻找他的证明方法,至 今已有了 400 多种证法.
教材分析
本课勾股定理的证明,是苏科版八年级数学 上册第二章第一节的知识,是在第一课时学习了 勾股定理以后的继续, 也是后续学习“解直角三 角形”的基础.它紧密联系了数学中两个最基本 的量——数与形，能够把形的特征（三角形中一 个角是直角）转化成数量关系（三边之间满足 a2 + b2 = c2 ）堪称数形结合的典范，在理 论上占有重要地位. 八年级学生已具备一定的分析与归纳能力， 初步掌握了探索图形性质的基本方法 . 但是学 生对用割补方法和面积计算证明几何命题的意 识和能力存在障碍，对于如何将图形与数有机的 结合起来还很陌生.所以这节课的目的在于锻炼 学生的几何命题的证明意识.,
教学重点
1．通过综合运用已有知识解决问题的过程，加深对数形结合的 思想的认识。 2．通过拼图验证勾股定理的过程，使学习获得一些研究问题与 合作交流的方法与经验。
教学难点
通过综合运用已有知识解决问题的过程，加深对 数形结合的思想的认识。
教学方法
合作探究 \教学过程 设计意图
一、情景设置： 通过初一一年的学习， 我们已知道的关于验证公式的拼图 温故而知 方法有哪些？（教师在此给予学生独立思考和讨论的时间，让 学生回想前面拼图。 ） 新,由熟悉的 公式提高学 例如： 习兴趣以及
拼成如图⑤的形状，图中 3 个正方形的面积之间的关系是 _____ _______ . _____ ， 用 关 系 式 表 示 ________
c b a
① ② ③ ④ ⑤
上网查阅下列网址： http://www.mmit.stc.sh.cn/telecenter/CnHisScience/ggd l.htm 了解勾股定理的发现和证明，并写一篇关于关于它的小 论文.
用 4 个全等的直角三角形拼成一个图形， 你能通过计算所 爽 是 如 何 利 拼图形的面积验证勾股定理吗？ 用拼图的方 法来证明命 题.
学生在弦 图验证的基
2 2
4×0.5ab+(b-a) =c 础上，，以小 所以，a2+b2=c2
证明方法二 组为单位， 合 勾股定理是数学上有证明方法最多的定理， 美国第二十任 作探究.
教学目标
1、
通过网络搜索不同的验证方法,经历不同
的拼图方法验证勾股定理的过程 2、通过验证过程中数与形的结合，体会数形结 合的思想以及数学知识之间内在联系，每一部分 知识并不是孤立的。 3、通过丰富有趣的拼图活动，经历观察、比较、 拼图、计算、推理交流等过程，发展空间观念和 有条理地思考和表达的能力，获得一些研究问题 与合作交流方法与经验，增强对数学学习的兴 趣。
教学反思
荷兰数学教育家赖登塔尔认为，学习数学唯一正确的方法是实现再 创造.也就是由学生本人把要学习的东西自己去发现或创造出来， 教师的 任务是引导和帮助学生去进行这种再创造的工作，而不是把现成的知识 灌输给学生. 本节课正是基于这样的理念，根据教材的特点，把学生的 探索和验证活动放在首位，一方面要求学生在教师引导下自主探索，合 作交流，另一方面要求学生对探究过程中用到的数学思想方法有一定的 领悟和认识.从而教给学生探求知识的方法，教会学生获取知识的本领. 在教师的启发引导下，学生独立思考、自主探究、获取知识，掌握 方法， 真正成为学习的主体.在授课过程中， 根据学生对课堂提问及习题 的解答情况，及时调节课堂节奏，并通过课后批改作业以及与学生谈话 等方式来了解学生对知识掌握的情况。
a（b +c +d）= ab +ac +ad
减少学生证 （ （a+b） c+d）=ac+ad+bc+bd
（a+b） c-d）=a2 - b2（a-b）2 =a2 -2ab+b2 （ 明命题的畏
2 2 2
（a+b） =a +2ab+b 难情绪 二、新课讲解： 勾股定理是数学中一个重要的定理。 几乎所有拥有古代文 化的民族和国家都对它进行了大量的研究， 找到了许多验证的 方法，这些方法不仅验证了勾股定理，而且丰富了人们研究数 教师展示图 学问题的方法和策略，促进了数学的发展。 片，提出问 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的称为 题. 股，斜边称为弦。图（1）称为“弦图” ，最早是由三国时期的 学生察图形 数学家赵爽在为《周髀算经》作法时给出的。图（2）是在北 可得： a2 + 京召开的 2002 年国际数学家大会（TCM－2002）的会标，其图 b 案正是“弦图” ，它标志着中国古代的数学成就. 你能用不同 2 ＝
c2 ， 即验证
方法表示大正方形的面积吗? 了命题
2、剪四个完全相同的直角三角形，然后将它们拼成如图所示 的图形。大正方形的面积可以表示为_______,又可以表示为 ____________.对比两种表示方法，看看能不能得到勾股定理 的结论。用上面得到的完全相同的四个直角三角形，还可以 拼成如下图所示的图形，与上面的方法类似，也能说明勾股 定理是正确的方法（请逐一说明） 。
总统伽菲尔德就由这个图得出：c = a + b 证明勾股定理的。 有的学生 他的证法在数学史上被传为佳话。他是这样分析的， 会盲目动手， 如沿正方形 对角线分割 等.让学生自 如 图 所 示 ： 己思考、总 结、更正，在 不断的摸索 中找到解决 问题的正确 证明方法三探索： 把火柴盒放倒，在这个过程中也能验证勾股 方法. 鼓励学生 定理。你能利用下图验证勾股定理吗？
归纳其共有的证明思路：利用图形的割补，借助前后的面积 相等形成关于三边的数量关系。
a a c c
a c b b a
b a
c
b
c
b
a
b
活动二： 课前让学生通过网络得到一些著名的勾股定理证明方法,让学 生自己展示图片,让其他同学来证明 证明方法一: 早在公元 3 世纪， 我国数学家赵爽就用 4 个全等的直角三 角形拼成如下图的图形， 证明了勾股定理。 这个图形被称为 “弦 图” 教师指导 学生， 了解赵
于”“小于”或“等于” 、 ）图③中小正方形的面积，用关系式 表示为________ .（2）拼图二：用 4 张直角三角形纸片
拼成如图④的形状， 观察图形可以发现， 图中共有__________ 个正方形，它们的面积之间的关系是________ 式表示为_____ ，用关系
.（3）拼图三：用 8 个直角三角形纸片
A D a Ca B b E c
(1 二、合作探究： 合作探究： （一）思索、交流： 拼图填空：剪裁出若干个大小、形状完全相同的直角பைடு நூலகம்角
代表作示范 演示， 展示分 割、 拼接的过 程.
b c
形，三边长分别记为 a、b、c，如图①.（1）拼图一：分别用 4 张直角三角形纸片，拼成如图②③的形状，观察图②③可发 现， 图②中两个小正方形的面积之和__________ （填 “大
板书设计： 勾勒出教 18.1 勾股定理 学的主线， 呈 一、了解历史 ：赵爽弦图 二、图形探究→猜想→证明 三、勾股定理： 如果直角三角形两直角边长 信息的强度， 分别是 a,b,斜边是 c,那么 a2 + b2 =c2 五、 ：作业 突出重点. 四、小结 现完整知识 1. 结构体系.并 2. 用彩色增加
课题
勾股定理二
选自 :苏科版八年级数学上 第二章第一节第二课时
主备 教案背景
潘建琴
江苏省宜兴市徐舍中学
勾股定理是人类文明的成果,几乎所有拥有古代 文化的民族和国家都对勾股定理有所研究,古今 中外许多人都孜孜不倦的寻找他的证明方法,至 今已有了 400 多种证法.
教材分析
本课勾股定理的证明,是苏科版八年级数学 上册第二章第一节的知识,是在第一课时学习了 勾股定理以后的继续, 也是后续学习“解直角三 角形”的基础.它紧密联系了数学中两个最基本 的量——数与形，能够把形的特征（三角形中一 个角是直角）转化成数量关系（三边之间满足 a2 + b2 = c2 ）堪称数形结合的典范，在理 论上占有重要地位. 八年级学生已具备一定的分析与归纳能力， 初步掌握了探索图形性质的基本方法 . 但是学 生对用割补方法和面积计算证明几何命题的意 识和能力存在障碍，对于如何将图形与数有机的 结合起来还很陌生.所以这节课的目的在于锻炼 学生的几何命题的证明意识.,
教学重点
1．通过综合运用已有知识解决问题的过程，加深对数形结合的 思想的认识。 2．通过拼图验证勾股定理的过程，使学习获得一些研究问题与 合作交流的方法与经验。
教学难点
通过综合运用已有知识解决问题的过程，加深对 数形结合的思想的认识。
教学方法
合作探究 \教学过程 设计意图
一、情景设置： 通过初一一年的学习， 我们已知道的关于验证公式的拼图 温故而知 方法有哪些？（教师在此给予学生独立思考和讨论的时间，让 学生回想前面拼图。 ） 新,由熟悉的 公式提高学 例如： 习兴趣以及
拼成如图⑤的形状，图中 3 个正方形的面积之间的关系是 _____ _______ . _____ ， 用 关 系 式 表 示 ________
c b a
① ② ③ ④ ⑤
上网查阅下列网址： http://www.mmit.stc.sh.cn/telecenter/CnHisScience/ggd l.htm 了解勾股定理的发现和证明，并写一篇关于关于它的小 论文.
用 4 个全等的直角三角形拼成一个图形， 你能通过计算所 爽 是 如 何 利 拼图形的面积验证勾股定理吗？ 用拼图的方 法来证明命 题.
学生在弦 图验证的基
2 2
4×0.5ab+(b-a) =c 础上，，以小 所以，a2+b2=c2
证明方法二 组为单位， 合 勾股定理是数学上有证明方法最多的定理， 美国第二十任 作探究.
教学目标
1、
通过网络搜索不同的验证方法,经历不同
的拼图方法验证勾股定理的过程 2、通过验证过程中数与形的结合，体会数形结 合的思想以及数学知识之间内在联系，每一部分 知识并不是孤立的。 3、通过丰富有趣的拼图活动，经历观察、比较、 拼图、计算、推理交流等过程，发展空间观念和 有条理地思考和表达的能力，获得一些研究问题 与合作交流方法与经验，增强对数学学习的兴 趣。
教学反思
荷兰数学教育家赖登塔尔认为，学习数学唯一正确的方法是实现再 创造.也就是由学生本人把要学习的东西自己去发现或创造出来， 教师的 任务是引导和帮助学生去进行这种再创造的工作，而不是把现成的知识 灌输给学生. 本节课正是基于这样的理念，根据教材的特点，把学生的 探索和验证活动放在首位，一方面要求学生在教师引导下自主探索，合 作交流，另一方面要求学生对探究过程中用到的数学思想方法有一定的 领悟和认识.从而教给学生探求知识的方法，教会学生获取知识的本领. 在教师的启发引导下，学生独立思考、自主探究、获取知识，掌握 方法， 真正成为学习的主体.在授课过程中， 根据学生对课堂提问及习题 的解答情况，及时调节课堂节奏，并通过课后批改作业以及与学生谈话 等方式来了解学生对知识掌握的情况。
a（b +c +d）= ab +ac +ad
减少学生证 （ （a+b） c+d）=ac+ad+bc+bd
（a+b） c-d）=a2 - b2（a-b）2 =a2 -2ab+b2 （ 明命题的畏
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（a+b） =a +2ab+b 难情绪 二、新课讲解： 勾股定理是数学中一个重要的定理。 几乎所有拥有古代文 化的民族和国家都对它进行了大量的研究， 找到了许多验证的 方法，这些方法不仅验证了勾股定理，而且丰富了人们研究数 教师展示图 学问题的方法和策略，促进了数学的发展。 片，提出问 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的称为 题. 股，斜边称为弦。图（1）称为“弦图” ，最早是由三国时期的 学生察图形 数学家赵爽在为《周髀算经》作法时给出的。图（2）是在北 可得： a2 + 京召开的 2002 年国际数学家大会（TCM－2002）的会标，其图 b 案正是“弦图” ，它标志着中国古代的数学成就. 你能用不同 2 ＝
c2 ， 即验证
方法表示大正方形的面积吗? 了命题
2、剪四个完全相同的直角三角形，然后将它们拼成如图所示 的图形。大正方形的面积可以表示为_______,又可以表示为 ____________.对比两种表示方法，看看能不能得到勾股定理 的结论。用上面得到的完全相同的四个直角三角形，还可以 拼成如下图所示的图形，与上面的方法类似，也能说明勾股 定理是正确的方法（请逐一说明） 。