专题1由面积产生的函数关系问题答案

专题1： 由面积产生的函数关系问题
1 2013年菏泽市中考第21题
如图1， △ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，点A 、C 分别是一次函数334y x =-
+的图像与y 轴、x 轴的交点，点B 在二次函数218
y x bx c =++的图像上，且该二次函数图像上存在一点D 使四边形ABCD 能构成平行四边形．
（1）试求b 、c 的值，并写出该二次函数的解析式；
（2）动点P 从A 到D ，同时动点Q 从C 到A 都以每秒1个单位的速度运动，问： ①当P 运动到何处时，由PQ ⊥AC ？
②当P 运动到何处时，四边形PDCQ 的面积最小？此时四边形PDCQ 的面积是多少？
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“13菏泽21”，拖动点P 由A 向D 运动，观察S 随P 变化的图像，可以体验到，当S 最小时，点Q 恰好是AC 的中点．
请打开超级画板文件名“13菏泽21”，拖动点P 由A 向D 运动，观察S 随P 变化的图像，可以体验到，当S 最小时，点Q 恰好是AC 的中点．
思路点拨
1．求抛物线的解析式需要代入B 、D 两点的坐标，点B 的坐标由点C 的坐标得到，点D 的坐标由AD ＝BC 可以得到．
2．设点P 、Q 运动的时间为t ，用含有t 的式子把线段AP 、CQ 、AQ 的长表示出来．
3．四边形PDCQ 的面积最小，就是△APQ 的面积最大．
满分解答
（1）由334
y x =-+，得A (0,3)，C (4,0)． 由于B 、C 关于OA 对称，所以B (－4,0)，BC ＝8．
因为AD //BC ，AD ＝BC ，所以D (8,3)．
将B (－4,0)、D (8,3)分别代入218y x bx c =++，得240,88 3.b c b c -+=⎧⎨++=⎩ 解得14b =-，c ＝－3．所以该二次函数的解析式为211384
y x x =--． （2）①设点P 、Q 运动的时间为t ． 如图2，在△APQ 中，AP ＝t ，AQ ＝AC －CQ ＝5－t ，cos ∠P AQ ＝cos ∠ACO ＝
45． 当PQ ⊥AC 时，45AQ AP =．所以545t t -=．解得259
AP t ==．
图2 图3
②如图3，过点Q 作QH ⊥AD ，垂足为H ．
由于S △APQ ＝
2111333sin (5)2225102
AP QH AP AQ PAQ t t t t ⋅=⋅∠=-⨯=-+， S △ACD ＝11831222
AD OA ⋅=⨯⨯=， 所以S 四边形PDCQ ＝S △ACD －S △APQ ＝2233358112()()1021028
t t t --+=-+． 所以当AP ＝52时，四边形PDCQ 的最小值是818． 考点伸展
如果把第（2）①题改为“当P 运动到何处时，△APQ 是直角三角形？”
除了PQ ⊥AC 这种情况，还有QP ⊥AD 的情况．
这时45AP AQ =，所以455t t =-．解得209
t =（如图4所示）．
图4
2 2012年广东省中考第22题
如图1，抛物线213
922
y x x =
--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，联结BC 、AC ． （1）求AB 和OC 的长；
（2）点E 从点A 出发，沿x 轴向点B 运动（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作BC 的平行线交AC 于点D ．设AE 的长为m ，△ADE 的面积为s ，求s 关于m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，联结CE ，求△CDE 面积的最大值；此时，求出以点E 为圆心，与BC 相切的圆的面积（结果保留π）．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12广东22”，拖动点E 由A 向B 运动，观察图象，可以体验到，△ADE 的面积随m 的增大而增大，△CDE 的面积随m 变化的图象是开口向下的抛物线的一部分，E 在AB 的中点时，△CDE 的面积最大．
思路点拨
1．△ADE 与△ACB 相似，面积比等于对应边的比的平方． 2．△CDE 与△ADE 是同高三角形，面积比等于对应底边的比．
满分解答
（1）由21319(3)(6)222
y x x x x =
--=+-，得A (－3,0)、B (6,0)、C (0,－9)． 所以AB ＝9，OC ＝9．
（2）如图2，因为DE //CB ，所以△ADE ∽△ACB ．
所以2()ADE ACB S AE S AB ∆∆=． 而18122
ACB S AB OC ∆=⋅=，AE ＝m ，
所以222
811(
)()922
ADE ACB AE m s S S m AB ∆∆==⨯=⨯=． m 的取值范围是0＜m ＜9．
图2 图3
（3）如图2，因为DE //CB ，所以9CD BE m AD AE m
-==． 因为△CDE 与△ADE 是同高三角形，所以9CDE ADE S CD m S AD m ∆∆-==． 所以22291191981()222228CDE m S m m m m m ∆-=
⨯=-+=--+． 当92m =时，△CDE 的面积最大，最大值为818
． 此时E 是AB 的中点，92
BE =． 如图3，作EH ⊥CB ，垂足为H ． 在Rt △BOC 中，OB ＝6，OC ＝9，所以313sin 13
B == 在Rt △BEH 中，93132713sin 2EH BE B =⋅=
=． 当⊙E 与BC 相切时，r EH =．所以272952
S r ππ==． 考点伸展
在本题中，△CDE 与△BEC 能否相似？
如图2，虽然∠CED ＝∠BCE ，但是∠B ＞∠BCA ≥∠ECD ，所以△CDE 与△BEC 不能相似．
3 2012年河北省中考第26题
如图1，图2，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，
5 cos
13
ABC
∠=．
探究如图1，AH⊥BC于点H，则AH＝_____，AC＝______，△ABC的面积S△ABC＝________．
拓展如图2，点D在AC上（可与点A、C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E、F．设BD＝x，AE＝m，CF＝n．（当点D与点A重合时，我们认为S△ABD＝0）（1）用含x，m或n的代数式表示S△ABD及S△CBD；
（2）求(m＋n)与x的函数关系式，并求(m＋n)的最大值和最小值；
（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围．
发现请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．
图1 图2
动感体验
请打开几何画板文件名“12河北26”，拖动点D由A向C运动，观察(m＋n)随x变化的图象，可以体验到，D到达G之前，(m＋n)的值越来越大；D经过G之后，(m＋n)的值越来越小．观察圆与线段AC的交点情况，可以体验到，当D运动到G时（如图3），或者点A在圆的内部时（如图4），圆与线段AC只有唯一的交点D．
图3 图4
答案探究AH＝12，AC＝15，S△ABC＝84．
拓展（1）S△ABD＝1
2mx，S△CBD＝
1
2
nx．
（2）由S △ABC ＝S △ABD ＋S △CBD ，得118422mx nx +=．所以168m n x
+=． 由于AC 边上的高565BG =，所以x 的取值范围是565
≤x ≤14． 所以(m ＋n )的最大值为15，最小值为12．
（3）x 的取值范围是x ＝565
或13＜x ≤14． 发现 A 、B 、C 三点到直线AC 的距离之和最小，最小值为
565．
4 2011年淮安市中考第28题
如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点P 在AB 上，AP ＝2．点E 、F 同时从点P 出发，分别沿P A 、PB 以每秒1个单位长度的速度向点A 、B 匀速运动，点E 到达点A 后立刻以原速度沿AB 向点B 运动，点F 运动到点B 时停止，点E 也随之停止．在点E 、F 运动过程中，以EF 为边作正方形EFGH ，使它与△ABC 在线段AB 的同侧．设E 、F 运动的时间为t 秒(t ＞0)，正方形EFGH 与△ABC 重叠部分的面积为S ．
（1）当t ＝1时，正方形EFGH 的边长是________；当t ＝3时，正方形EFGH 的边长是________；
（2）当1＜t ≤2时，求S 与t 的函数关系式；
（3）直接答出：在整个运动过程中，当t 为何值时，S 最大？最大面积是多少？
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“11淮安28”，拖动点F 由P 向B 运动，可以体验到，点E 在向A 运动时，正方形EFGH 越来越大，重叠部分的形状依次为正方形、五边形、直角梯形；点E 折返以后，正方形EFGH 的边长为定值4，重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、六边形、五边形．在整个运动过程中，S 的最大值在六边形这个时段．
请打开超级画板文件名“11淮安28”，拖动点F 由P 向B 运动，可以体验到，点E 在向A 运动时，正方形EFGH 越来越大，重叠部分的形状依次为正方形、五边形、直角梯形；点E 折返以后，正方形EFGH 的边长为定值4，重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、六边形、
五边形．在整个运动过程中，S 的最大值在六边形这个时段．
思路点拨
1．全程运动时间为8秒，最好的建议就是在每秒钟选择一个位置画8个图形，这叫做磨刀不误砍柴工．
2．这道题目的运算太繁琐了，如果你的思路是对的，就坚定地、仔细地运算，否则放弃也是一种好的选择．
满分解答
（1）当t ＝1时，EF ＝2；当t ＝3时，EF ＝4．
（2）①如图1，当6011t ＜≤时，2EF t =．所以24S t =． ②如图2，当66115t ＜≤时，2EF EH t ==，2AE t =-，33(2)44
NE AE t ==-． 于是31132(2)442
NH EH NE t t t =-=--=-， 211422233NHQ S NH QH NH NH NH =⨯=⨯=△22113342t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
． 所以2
2221132511343422422
S t t t t ⎛⎫=--=-+- ⎪⎝⎭． ③如图3，当625
t ＜≤时，4EF =，2AE t =-，2AF t =+． 所以2233388
AFM AEN S S S AF AE t =-=-=△△．
图2 图3 图4
（3）如图4，图5，图6，图7，重叠部分的最大面积是图6所示的六边形EFNDQN ，S 的最大值为110275，此时14625
t =．
图5 图6 图7 考点伸展
第（2）题中t的临界时刻是这样求的：
如图8，当H落在AC上时，2
AE t
=-，2
EH EF t
==，由
23
24
t
t
=
-
，得
6
11
t=．
如图9，当G落在AC上时，2
AF t
=+，2
GF EF t
==，由
23
24
t
t
=
+
，得
6
5
t=．
图8 图9
5 2011年山西省中考第26题
如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形．直线l经过O、C两点，点A的坐标为(8，0)，点B的坐标为(11，4)，动点P在线段OA上从O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A→B→C的方向向点C 运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O—C—B相交于点M．当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒（t＞0），△MPQ的面积为S．（1）点C的坐标为____________，直线l的解析式为____________；
（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．
（3）试求题（2）中当t为何值时，S的值最大？最大值是多少？
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“11山西26”，拖动点P 由O 向A 运动，可以体验到，点Q 先到达终点．从S 随t 变化的跟踪轨迹可以看到，整个运动过程中，S 随t 变化的图象是“N ”字型，由四段组成．
请打开超级画板文件名“11山西26”，拖动点P 由O 向A 运动，可以体验到，点Q 先到达终点．点击按钮“函数表达式”， S 随t 先增大后减少。

当t=2.67时，S=14.22. 思路点拨
1．用含有t 的式子表示线段的长，是解题的关键．
2．第（2）题求S 与t 的函数关系式，容易忽略M 在OC 上、Q 在BC 上的情况．
3．第（2）题建立在第（2）题的基础上，应用性质判断图象的最高点，运算比较繁琐． 满分解答
（1）点C 的坐标为(3，4)，直线l 的解析式为43
y x =． （2）①当M 在OC 上，Q 在AB 上时，502
t ＜≤． 在Rt △OPM 中，OP ＝t ，4tan 3OMP ∠=，所以43
PM t =． 在Rt △AQE 中，AQ ＝2t ，3cos 5QAE ∠=，所以65
AE t =． 于是618855PE t t t =+-=+．因此212162153
S PE PM t t =⋅=+． ②当M 在OC 上，Q 在BC 上时，532
t ＜≤． 因为25BQ t =-，所以11(25)163PF t t t =---=-． 因此2132223
S PF PM t t =⋅=-+． ③当M 、Q 相遇时，根据P 、Q 的路程和2115t t +=+，解得163t =
． 因此当M 、Q 都在BC 上，相遇前，1633t ＜≤
，PM ＝4，162163MQ t t t =--=-． 所以16322
S MQ PM t =⋅=-+．
图2 图3 图4
（3）①当
5
2
t
＜≤时，22
2162160
(20)
153153
S t t t
=+=+-．
因为抛物线开口向上，在对称轴右侧，S随t的增大而增大，
所以当
5
2
t=时，S最大，最大值为
85
6
．
②当5
3
2
t
＜≤时，22
328128
22()
339
S t t t
=-+=--+．
因为抛物线开口向下，所以当
8
3
t=时，S最大，最大值为
128
9
．
③当
16
3
3
t
＜≤时，
1
632
2
S MQ PM t
=⋅=-+．
因为S随t的增大而减小，所以当3
t=时，S最大，最大值为14．
综上所述，当
8
3
t=时，S最大，最大值为
128
9
．
考点伸展
第（2）题中，M、Q从相遇到运动结束，S关于t的函数关系式是怎样的？
此时1613
32
t
＜≤，216316
MQ t t t
=+-=-．因此
1
632
2
S MQ PM t
=⋅=-．
图5
6 2011年重庆市中考第26题
如图1，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝23点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，
且BP＝3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线P A匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线P A的同侧．设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；
（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD
重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系
式和相应的自变量t的取值范围；
（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，
是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存在，求
出对应的t的值；若不存在，请说明理由．图1
动感体验
请打开几何画板文件名“11重庆26”，拖动点A由P向A运动，可以体验到，重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、等腰梯形和等边三角形，S随t变化的图象分为四段；观察△AOH 的形状，可以体验到，△AOH有5个时刻成为等腰三角形．
请打开超级画板文件名“11重庆26”，拖动点t，当t＝1时，FG恰好经过点C。

重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、等腰梯形和等边三角形，这说明S随t变化的图象需要分四段进行分析；观察△AOH的形状，可以体验到，△AOH有5个时刻成为等腰三角形．
思路点拨
1．运动全程6秒钟，每秒钟选择一个点F画对应的等边三角形EFG，思路和思想以及分类的标准尽在图形中．
2．用t表示OE、AE、EF、AH的长，都和点E折返前后相关，分两种情况．
3．探求等腰三角形AOH，先按顶点分三种情况，再按点E折返前后分两种情况．
4．本题运算量很大，多用到1∶2∶3，注意对应关系不要错乱．
满分解答
（1）在Rt△ABC中，
233 tan
63
BC
BAC
AB
∠===，
所以∠BAC＝30°．
如图2，当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，
在Rt△BCF中，∠BFC＝60°，BC=23，
所以BF＝2．因此PF＝3－2＝1，运动时间t＝1．图2
（2）①如图3，当0≤t ＜1时，重叠部分为直角梯形BCNE ，2343S t =+． ②如图4，当1≤t ＜3时，重叠部分为五边形BQMNE ，23733232++-=t t s ． ③如图5，当3≤t ＜4时，重叠部分为梯形FMNE ，43203S t =-+． ④如图6，当4≤t ＜6时，重叠部分为等边三角形EFG ，23(6)S t =-．
图3 图4 图5
（3）等腰△AOH 分三种情况：①AO ＝AH ，②OA ＝OH ，③HA ＝HO ．
在△AOH 中，∠A ＝30°为定值，AO ＝3为定值，AH 是变化的．
△AEH 的形状保持不变，AH ＝3AE ．当E 由O 向A 运动时，AE ＝3－t ；当E 经A 折返后，AE ＝t －3．
图6 图7 图8
①当AO ＝AH 3(3)3t -=，得33t =-（如图7）；
3(3)3t -=，得33t =+（如图8）．
②当OA ＝OH 时，∠AOH ＝120°，点O 与点E 重合，t ＝0（如图9）．
③当HA ＝HO 时，H 在AE 的垂直平分线上，AO 3＝3AE ．
解3(3)3t -=，得t ＝2（如图10）；解3(3)3t -=，得t ＝4（如图11）．
图9 图10 图11
考点伸展
图3，图4中，点E向A运动，EF＝6；图5，图6中，点E折返，EF＝12－2t．。