高中数学重要公式、定理与结论(精品)

高中数学重要公式、定理与结论

第一章 集合与常用逻辑用语

1.集合 对A x ∈∀，都有B x ∈，则

B A ⊆.

2.①如果“若p ，则q ”，那么p 是q 成立的充分条件； ②如果“若q ，则p ”，那么p 是q 成立的必要条件.

3.①命题的否命题：“若p ，则q ” 的否命题为“若p ⌝，则q ⌝” ②命题的否定：“若p ，则q ” 的否定为“若p ，则q ⌝” ③命题的否定：∀的否定为∃，∃的否定为∀，≤的否定为>

第二章 函数

1.增函数 对⊆∈∀D x x 2

1,定义域I

，当21x x <时，都有⇔<)()(21x f x f )(x f 为增函数

0)(0)

()(1

212>'⇔>--⇔

x f x x x f x f

2.奇偶性 ①设)(x f 定义域D 关于原点对称，若D x ∈∀，

有

⇔-=-)()(x f x f )(x f 为奇函数；又有⇔==-|)(|)()(x f x f x f )(x f 为偶函数

②x

x

y -+=11lg

，)1(log 2

x x y a -+=，|

2|212

+--=x x y 均为奇函数

③奇函数的图象关于原点对称；奇函数的偶次项系数为0

④偶函数的图象关于

y 轴对称；偶函数的奇次项系数为0

⑤奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇⨯偶=奇

3.对称性 ①点),(y x P 关于x 轴、y 轴、原点对称的点分别为),(y x Q -、),(y x R -、),(y x S --

②点)3,2(A 关于1-=x y 的对称点是)1,4(B 点)3,2(A 关于1--=x y 的对称点是)3,4(--C

③

)(x f 关于a x =对称⇔)()(x a f x a f +=-⇔)()2(x f x a f =-（2014山东文科9题）

)(x f 关于)0,(a A 对称⇔)()(x a f x a f +-=-⇔)()2(x f x a f -=-

4.周期性 ①对

)(x f ，若∃常数0≠T ，对∈∀x 定义域D ，都有)()(x f T x f =+⇔)(x f 的周期为T ②若

)()1(x f x f -=+，则2=T 若)

(1

)2(x f x f =

+，则4=T 证明： ③若

)

(1

)3(x f x f -

=+，则6=T 若)5()4(-=+x f x f ，则9=T

证明：

④函数的对称性与周期性的关系： 对+对=周 5.指、对数函数 ①当0>a

，1≠a 时，N x N a a x log =⇔=.)0(>N

②101log 0

=⇔=a a ，a a a a =⇔=1

1log ，对数恒等式

N a

N

a =log

③若0>a

，1≠a ，0>M ，0>N ，则N M N M a a a log log )(log +=⋅，

N M N

M

a a a

log log log -=， M

n M a n a

log log =， M n

M a n

a

log 1

log =

④对数换底公式 若0>a ，1≠a ，0>c ，1≠c ，0>b ，1≠b 则a

b

b c c a log log log =；

1log log log 1

log =⋅⇔=

a b a

b b a b a

⑤

b m

n

b a n

a m

log log =，b b b a

a a log log log 22==

6.幂函数α

x y =，1,2

1

,3,2,1-=α. 7.函数与方程 ①方程

0)(=x f 有实根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点

②如果函数

)(x f y =在区间],[b a 上图象是连续的一条曲线，并且有0)()(<⋅b f a f ，那么，函数

)(x f y =在区间),(b a 内有零点，即),(b a c ∈∃，使得0)(=c f ，这个c 就是方程0)(=x f 的根.

第三章 导数及其应用

1.切点),(00y x P 、切线、曲线)(x f y =三句话： ①切点),(00y x P 在切线上；

②切点),(00y x P 在曲线)(x f y =上；

③导函数

)(x f '在切点),(00y x P 横坐标0x 处的值=')(0x f 切线的斜率.

2.

x a y =的导函数为a a y x ln ='；x y a log =的导函数为e x

y a log 1

=

'. 第四章 三角函数

一、任意角与弧度制 1.正、负、零角. 2.与角α终边相同的角 }360|{Z k k S ∈⋅+==，终 αββ

3.轴线角}90|{Z k k S ∈⋅==，轴 αα },36090360|{1Z k k k S ∈⋅+<<⋅= αα

4.象限角

),36018036090|(2Z k k k S ∈⋅+<<⋅+= αα

5弧度制 （1）把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度角

π2360=

（2）弧长与扇形面积公式

R R

n l ⋅==||180

απ，lR R n S 213602==

π扇形 二、任意角的三角函数及正弦、余弦的诱导公式 1.设α是一个任意角，),(y x P 在α

的终边上，

0||22>+==y x PO r ，则

αsin =r y ，αcos =r x ，αtan =x

y

，α

cot =y x .

2.三角函数线 MP =αsin ，OM =αcos ，AT =αtan .

设2

πα<

<，证明：ααα

tan sin <<.

证明：

3.三角函数的符号 一、全为正；二、正弦正；三、正（余）切正；四、余弦正.

4.同角关系式及正弦、余弦的诱导公式 奇变偶不变，符号看象限

1829=⨯个公式

1cos sin 22=+αα，

αααtan cos sin =，1cot tan =αα，α

α22tan 11

cos +=

三、正弦函数、余弦函数的图象和性质 1.

x y sin =的关键五点：)0,0(，)1,2(π，)0,(π，)1,2

3(-π

，)0,2(π.

x y cos =的关键五点：)1,0(，)0,2

(π

，)1,(-π，)0,23(π，)1,2(π.

2.主要性质（1）定义域均为R ，（2）值域均为]1,1[-，（3）最大、最小值为

x y sin =当且仅当Z k k x ∈+=

,22

ππ

时，1max =y ，

x y sin =当且仅当Z k k x ∈+-

=,22

ππ

时，1min -=y .

x y cos =当且仅当Z

k k x ∈=,2π时，

1max =y ，

x y cos =当且仅当Z k k x ∈+=,2ππ时，1min -=y .

（4）对称性

x y sin =的对称轴方程为Z k k x ∈+=

,2

ππ

，对称中心为)0,(πk A )(Z k ∈.

x y cos =的对称轴方程为Z k k x ∈=,π，对称中心为)0,2

(π

π+

k B )(Z k ∈.