专题十数列极限与函数极限

专题十 数列极限与函数极限

一、选择题

1．（2008年高考·湖北卷）已知m ∈N *

, a 、b ∈R ，若0n lim →b x

a x)(1m =++，则a ·b=（ ） A ．-m B ．m C ．-1 D ．1 2．∞→n lim )2n

8641864164141(+++++++++++ 的值为（ ） A ．1 B ．411 C ．1811 D ．2411 3．若函数⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+-=1)(x 1

3x 15a 1)(x a 2x x f(x)23在点x=1处连续，则实数a=（ ） A ．4 B ．-41 C ．4或-41 D ．4

1或-4 4．下列命题：①发果f(x)=x

1，那么∞→x lim f(x)=0；②如果f(x)=1x -，那么f(x)=0；③如果f(x)=2x 2x x 2++，那么2x lim -→f(x)不存在；④如果⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=0

x 1,x 0x ,x f(x)，那么0lim →x f(x)=0，其中真命题是（ ）

A ．①②

B ．①②③

C ．③④

D ．①②④

5．设abc ≠0，∞→x lim 31b ax a cx =++，∞→x lim 43c bx bx ax 22=-+，则∞→x lim a

cx bx c bx cx 233+--+的值等于（ ） A ．4 B ．94 C ．41 D ．4

9 6．设正数a, b 满足2x lim →(x 2+ax-b)=4，则n

1n 1n 1n n 2b a ab a lim ++--+∞→等于（ ） A ．0 B ．41 C ．21 D ．1

7．把1+(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n 展开成关于x 的多项式，其各项系数和为a n ，则1a 12a lim n

n n +-∞→等于（ ） A ．4

1 B ．21 C ．1 D ．2

二、填空题 8．已知数列的通项a n =-5n+2，其前n 项和为S n ，则2n n n S lim

∞→=________． 9．2x lim →)2

x 14x 4(2---=________．

10．（2008年高考·安徽卷）在数列{a n }中，a n =4n-25, a 1+a 2+…+a n =an 2+bn, n ∈N *，其中a, b 为常数，则n

n n

n n b a b a lim +-∞→的值为__________． 11．关于函数⎩

⎨⎧>≤-=-0)(x 2ax,0)(x 1,e f(x)x (a 是常数且a>0)．下列表述正确的是_________．（将你认为正确的答案的序号都填上）

①它的最小值是0

②它在每一点处都连续

③它在每一点处都可导

④它在R 上是增函数

⑤它具有反函数

12．如图所示，如果一个凸多面体是n 棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有_______条．这些直线中共有f(n)对异面直线，则f(4)=_______; f(n)=_______．（答案用数字或n 的解析式表示）

三、解答题

13．已知⎪⎩

⎪⎨⎧≥+<--=0).bx(x a 0),(x x x 11f(x)

（1）求f(-x)； （2）求常数a 的值，使f(x)在区间(-∞, +∞)内处处连续．

14．已知{a n }, {b n }都是公差不为0的等差数列，且2b a lim n

n n =∞→，求2n n 21n nb a a a lim +++∞→ 的值． 15．已知数列{a n }中a 1=2, a n+1=(2-1)(a n +2), n=1, 2, 3, …．

（1）求{a n }的通项公式；

（2）若数列{b n }中b 1=2, b n+1=32b 43b n n ++, n=1, 2, 3, …．证明：2