C1.3三角函数的诱导公式(一)

合集下载

1.3-1三角函数的诱导公式(1)

x
计算：（1）sin1200
你能概括一下这四组公式的共同特点和规律吗?
公式 cos( ＋k· 3600) =cos cos(1800＋)=－cos 一
sin( ＋k· 3600) =sin
sin( 1800＋ )=－sin
公式二
tan( ＋k· 3600) =tan tan(1800＋) =tan
计算：（1）cos2100
（2）tan2400
二、－与－的终边与角的终边有何关系? sin = y sin(－ )=－y cos = x cos(－) =x y tan α x y tan( α ) x y

P(x,y) y
O
x
x
-y
P (x,-y)
0 π－ cos(180 －)=－cos 0 tan(180 π－－) =－tan
tan(－) =－tan
公式四
应用例1 求cos(-20400)的值：解: cos(-20400)＝cos20400 =cos(5×3600+2400) =cos2400=cos(1800+600)
三、1800－与角 1800－的终边与角的 y 终边有何关系? 1800－ sin = y P(x,y) P (-x,y) sin( 1800－ )=y y y cos = x cos(1800－)=－x x y -x O x tan α y x 0 tan(180 －)
x
三、1800－与角 1800－的终边与角的终边有何关系? sin = y sin( 1800－ )=y cos = x cos(1800－)=－x y tan α x y 0 tan(180 －) sin(1800－ )=sin cos(1800－ )=－cos tan(1800－ )=－tan （2）tan1500

1.3三角函数的诱导公式(一)

课题：1.3 三角函数的诱导公式(一)教学目的：1．通过本节内容的教学，使学生掌握180o+ ，- ，180o- ，360o－角的正弦、余弦的诱导公式及其探求思路，并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦值的求解、简单三角函数式的化简与三角恒等式的证明；2．通过公式的应用，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力；3．通过公式二、三、四、五的探求，培养学生思维的严密性与科学性等思维品质以及孜孜以求的探索精神等良好的个性品质．教学重点：诱导公式教学难点：诱导公式的灵活应用授课类型：新授课课时安排：1 课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：诱导公式沟通了任意角三角函数值与锐角三角函数值以及终边有特殊位置关系的角的三角函数值之间的联系．在求任意角的三角函数值，解决有关的三角变换等方面有重要的作用．由角的终边的某种对称性，导致终边与单位圆的交点也具有相应的对称性，这样就产生了“ ”、“ 2 ”、“ ”等诱导公式，我们知道，角的终边与角的终边关于y 轴对称；角的终边与角的终边关于原点对称，，2 角的终边与角的终边关于x 轴对称，所以、、、2 各角的三角函数值与角的三角函数值的绝对值相同，符号由各角所在象限的原三角函数的符号来确定，诱导公式看起来很多，但是抓住终边的对称性及三角函数定义，明白公式的来龙去脉也就不难记忆了．诱导公式可以帮助我们把任意角的三角函数化为锐角三角函数，在求任意角的三角函数值时起很大作用，但是随着函数计算器的普及，诱导公式更多地运用在三角变换中，特别是诱导公式中的角可以是任意角，即R ，它在终边具有某种对称性的角的三角函数变换中，应用广泛，如后续课中，画余弦曲线就是利用诱导公式把正弦曲线向左平移个长2度单位而得到的．在教学中，提供给学生的记忆方法一定要重在理解、重在逻辑、重在思考，以达到优化思维品质的功效．用一句话归纳概括诱导公式一、二、三、四、五并能正确理解这句话中每一词语的含义，是本节教材的难点．讲清每一组公式的意义及其中符号语言的特征，并把公式与相应图形对应起来，是突破这个难点的关键．教学过程：一、复习引入：诱导公式一: sin( k 360 ) sincos( k 360 ) costan( k 360 ) tan (其中k Z )用弧度制可写成sin( 2k ) sin cos( 2k ) costan( 2k ) tan (其中 k Z ) 诱导公式(一)的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为0o ― 360o 之间角的正弦、余弦、正切，其方法是先在 0o ― 360o 内找出与角终边相同的角，再把它写成诱导公式 (一) 的形式，然后得出结果这组公式可以统一概括为 f ( 2k ) f ( )(k Z ) 的形式，其特征是：等号两边是同名函数，且符号都为正由这组公式还可以看出，三角函数是“多对一”的单值对应关系，明确了这一点，为今后学习函数的周期性打下基础3．运用公式时，注意“ 弧度”与“度”两种度量制不要混用，如写成sin(80 2k ) sin80 ，cos( k 360 ) cos 是不对的． 3二、讲解新课：公式二：用弧度制可表示如下：sin(180 ) cos(180 ) tan(180 ) 它刻画了角 180o+ 与角的关系，这个关系是：以角的角的正弦值 (或余弦值) 是一对相反数．这是因为若设线，即 180o+ 角的终边与单位圆的交点必为P ′(-x ，-y) 弦函数的定义，即可得 sin =y ， cos =x, sin(180 o+ )=-y, 所以 :sin(180 o+ 公式三： sin( ) cos( ) tan( )-sin-cos tan 与角的正弦值 (或余弦值) 的终边与单位圆交于点sin =y ， cos(180 o+ )=-x,)=-sin ，cos(180 o+ )=-cos-sincosP( x ， y) ，则角终边的反向延长如图 4-5-1 )．由正弦函数、余tan 它说明角 - 与角的正弦值互为相反数，而它们的余弦值相等．这是因为，若没的终边与单位圆交于点 P(x ，y) ，则角- 的终边与单位圆的交点必为 P ′(x ，-y) (如图 4-5-2 )．由正弦函数、余弦函数的定义，即可得 sin =y ， cos =x, sin(- )=-y, cos(- )=x, 所以： sin(- )= -sin ,cos(- )= cos α 公式二、三的获得主要借助于单位圆及正弦函数、余弦函数的定义．确定点 P ′的坐标是关键，这里充分利用了对称的性质．事实上，在图根据点 P 的坐标准确地1 中，点 P ′与点P 关P ′公式四：用弧度制可表示如下：sin( ) -sin cos( ) -cos tan( ) tan 的正弦值(或余弦值)之间终边的反向延长线为终边 P(x,y)P ′ (，x-y)(4-5-2)于原点对称，而在图 2中，点 P ′与点P 关于 x 轴对称．直观的对称形象为我们准确写出的坐标铺平了道路，体现了数形结合这一数学思想的优越性．sin(180 ) sin sin( ) sin cos(180 ) -cos cos( ) -cos tan(180 ) tantan( ) tan 公式五：sin(360 ) -sin sin(2 ) -sin cos(360 ) cos cos(2 ) cos tan( 360 ) tantan(2 ) tan这两组公式均可由前面学过的诱导公式直接推出（公式四可由公式二、三推出，公式五可由公式一、三推出），体现了把未知问题化为已知问题处理这一化归的数学思想．公式的推导并不难，然而推导中的化归意识和策略是值得我们关注的．五组诱导公式可概括为： +k ·360o （k ∈ Z ）， - ，180o ± ， 360o- 的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号．这里的“同名三角函数值”是指等号两边的三角函数名称相同；“把指原本是任意角，这里只是把它视为锐角处理；“前面加上一个⋯⋯符号”是指名函数值未必就是最后结果，前面还应添上一个符号（正号或负号，主要是负号，略），而这个符号是把任意角中每一词语的含义，特别要讲清为什么要把任意角三、讲解范例：（2）sin4 分析：本题是诱导公式二的巩固性练习题．求解时，只须设法将所给角分解成 180o+ 或（ π + ），为锐角即可．3解：( 1) cos210 o=cos(180 o+30o)= － cos30o=－；2 41） sin （－）；（2）cos （－60o ）－sin （－210o ）3分析：本题是诱导公式二、三的巩固性练习题．求解时一般先用诱导公式三把负角的正弦、余弦化为正角的正弦、余弦，然后再用诱导公式二把它们化为锐角的正弦、余弦来求．43解：( 1) sin( －)= － sin( )=sin = ；3 3 3 22)原式 =cos60 o+sin(180 o+30o)=cos60 o － sin30例3．化简 sin(1440 ) cos( 1080 ) cos( 180 )sin( 180 )分析：这是诱导公式一、二、三的综合应用．适当地改变角的结构，使之符合诱导公式中角的形式，是看成锐角”是的同正号可省视为锐角情况下的原角原函数的符号．应注意讲清这句话 α看成锐角．建议通过实例分析说明．例 1．下列三角函数值：1) cos210 o ； 2) sin 5 =sin(424)= －sin 4=－ 22例 2．求下列各式的值：o=1－ 1=022解决问题的关键．分析：通过本题的求解，可进一步熟练诱导公式一、二、三的运用．求解时先用诱导公式二把已知条件式化简，然后利用诱导公式一和三把 sin （2 π－）化成－ sin , 再用同角三角函数的平方关系即可．1事实上，已知条件即 cos = ，于是2因此选 A四、课堂练习1．求下式的值： 2sin( －1110o) －sin960 o+ 2cos( 225 ) cos( 210 )答案：－ 2提示：原式 =2sin( －30o)+sin60 o － 2 cos45 cos30 =－2选题目的：通过本题练习，使学生熟练诱导公式一、二、三的运用．使用方法：供课堂练习用．评估：求解本题时，在灵活地进行角的配凑，使之符合诱导公式中角的结构特点方面有着较高的要求．若只计算一次便获得准确结果，表明在利用诱导公式一、二、三求解三角函数式的值方面已达到了较熟练的程度．2．化简 sin （－2）+cos （－2－π） ·tan （2 － 4π ）所得的结果是（）（A ）2sin2（B ）0 （C ）－2sin2 （D ）－1答案： C 选题目的：熟练掌握诱导公式一、二、三及同角三角函数关系中商数关系的灵活运用．使用方法：供课堂练习用．评估：本题不仅涉及了诱导公式一、二、三，而且还涉及了同角三角函数的关系，此外还出现了如 “sin （－2） ”这样的学生较为陌生的三角函数值，求解时若只计算一次便获得准确结果，表明在新知识的运用和旧知识的记忆方面都达到了较好的程度．五、小结通过本节课的教学，我们获得了诱导公式．值得注意的是公式右端符号的确定．在运用诱导公式进行三角函数的求值或化简中，我们又一次使用了转化的数学思想．通过进行角的适当配凑，使之符合诱导公式中角的结构特征，培养了我们思维的灵活性．六、布置作业：1．求下列三角函数值：5 19（1） sin；（2） cos ；（3） sin （ 240 ）；（4） cos （ 1665 ）462．化简：sin 3( ) cos(5 ) tan(2 ) cos 3( 2 )sin(3 )tan 3(4 )例4．已知 cos( π + )= －1， 33< <2π，则2 2nqin （2 π－）的值是（）（A ）3 13(B)(C) －22 2(D) ± 32sin(2 解π－ )= －sin53)324) 222．提示：原式 = sin 3( cos )tansin sin 23． 2 2 ．提示：原式 ==－sin cos cos 时，原式 =－ 2 =2 2 45cos4补充题：sin 915 cos( 225 ) sin10651．已知 sin( ) 13 ，，则 cos( 2 ) 的值是2 2cos 2 cos2 2cos 2cos3．当时， 4sin[ (2k 1) ] sin[ (2k 1) ]sin( 2k )cos( 2k ) (k z) 的值是作业的答案与提示：．化简：2sin ( ) cos( )costan(2 )cos 3( )４．设 f (θ)= 2cos 3 sin 2(2 ) 2cos( ) 1，求 f ( ) 的值．23 2 2 cos 2 (7 ) cos( ) 补充题的答案与提示： 2 提示：原式 = sin15 cos45 sin15 =－2２． sin α 提示：原式 = sin2 ( cos )3 cos ＝sin tan ( cos 3 ) ３． 2 2 1232 提示：已知条件即 sin 13，故 cos( 2 ) cos( ) cos 1 sin 222 3４． 1 提示： f ( ) 2cos 3 sin 22 2cos 1 2 2 2cos 2 cos 2cos 3(1 cos 2) 2cos 1 2cos 3 cos22cos1．( 1)－ 222)－ 32=1cos 3 sin tan 3．求值：2cos (2cos2cos 2)cos22cos cos 2七、板书设计 (略)八、课后记：。

三角函数的诱导公式(一)

1.3 三角函数的诱导公式一、教材分析（一）教材的地位与作用：1、本节课教学内容“诱导公式（二）、（三）、（四）”是人教版数学4，第一章1、3节内容，是学生已学习过的三角函数定义、同角三角函数基本关系式及诱导公式（一）等知识的延续和拓展，又是推导诱导公式（五）的理论依据。

2、求三角函数值是三角函数中的重要问题之一。

诱导公式是求三角函数值的基本方法。

诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～90°角的三角函数值问题。

诱导公式的推导过程，体现了数学的数形结合和归纳转化思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维形式。

这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有重大的意义。

（二）教学重点与难点：1、教学重点：诱导公式的推导及应用。

2、教学难点：相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识。

二、教学目标1、知识与技能（1）识记诱导公式．（2）理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简和证明．2、过程与方法（1）通过诱导公式的推导，培养学生的观察力、分析归纳能力，领会数学的归纳转化思想方法．（2）通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式．（3）通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力．3、情感态度和价值观（1）通过诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识和创新精神．（2）通过归纳思维的训练，培养学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想．三、教学设想三角函数的诱导公式（一）（一）创设问题情景，引导学生观察、联想，导入课题I 重现已有相关知识，为学习新知识作铺垫。

1、提问：试叙述三角函数定义2、提问：试写出诱导公式（一）3、提问：试说出诱导公式的结构特征4、板书诱导公式（一）及结构特征：诱导公式（一）结构特征：①终边相同的角的同一三角函数值相等②把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～360°角的三角函数值问题。

1.3三角函数的诱导公式(1)解读

1. 3 三角函数的诱导公式（1）一、教学目标（1）理解三角函数诱导公式一～四的推导过程，在探究的过程中体验数学知识的“发现”过程；（2）掌握三角函数诱导公式一～四的应用，能正确运用诱导公式求任意角的三角函数值；（3）培养学生借助图形直观进行观察、感知、探究、发现的能力，进一步掌握数形结合思想方法，通过诱导公式的证明，培养学生逻辑思维能力。

二、教学重点用联系的观点，发现、证明及运用诱导公式，体会数形结合思想、渗透转化思想在解决数学问题中的指导作用。

三、教学难点如何引导学生从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中，发现终边分别与的终边相同以及关于原点、x 轴、y 轴对称的角与α之间的数量关系，并提出研究方法。

四、教学过程 1、提出问题：?313sin=π ?)3sin(=-π ?120sin = ?34sin =π2、学生猜想3313ππ与 33ππ与- 60120与 334ππ与之间的关系，利用三角函数线初步判断出函数值之间的关系3、观察图像探索终边之间的关系4、小组合作探究：给定一个角α（1）终边与角α的终边相同的角与α有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？（2）终边与角α的终边关于x 轴对称对称的角与α有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？（3）终边与角α的终边关于原点的角与α有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？（4）终边与角α的终边关于y 轴对称的角与α有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？师生：先让学生回答探究思路及结果，教师评价，然后教师画图，数形结合，给出探求思路方法，指出探求的关键是画出各个角的终边，正确作出三角函数线，共同得到诱导公式一～四（板书）及时总结：提出问题：你能概括一下探究公式一～四的思想方法吗? 师生活动：教师引导学生概括得出公式的记忆方法：函数名不变，符号看象限。

2、诱导公式一～四的应用举例例1 利用公式求下列三角函数值： (1) ︒225cos ; (2) 311sinπ ; (3) )316sin(π-; (4) )2040cos(︒- 归纳：利用公式一～四把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行：三角函数的简化过程口诀：负化正，正化小，化到锐角就行了.学生：课堂练习P27 练习第1、2、4、5、6题。

1.3诱导公式精讲精练

991.3三角函数的诱导公式考点一：诱导公式诱导公式（一）: tan )360tan(cos )360(cos sin )360sin(αααααα=+︒=+︒=+︒k k k诱导公式（二）: tan )180tan(cos )180cos( sin )180sin(αααααα=+︒-=+︒-=+︒ 诱导公式（三）: tan )tan(cos )cos( sin )sin(αααααα-=-=--=- 诱导公式（四）:sin(π－α)=sin α cos(π－α)=－cos α tan (π－α)=－tan α诱导公式(五): sin )2cos( cos )2sin(ααπααπ=-=-诱导公式（六）: sin )2cos( cos )2sin(ααπααπ-=+=+ 例1：将下列三角函数转化为锐角三角函数： ).317sin()4( ,519cos )3( ,3631sin )2( ,53tan)1(πππ-︒变式1：①求下列函数值：).580tan )4( ,670sin )3( ),431sin()2( ,665cos)1(︒︒-ππ②求下列函数值：(1))1200sin(︒- (2))945cos(︒- (3)647cos π (4))317sin(π- (5)︒945tan (6))317cot(π-③求值:(1))643sin()1290cos(90sin π-︒-⋅︒; (2).945tan )1050sin()1020cos(1290cos )1200sin(︒+︒-⋅︒-+︒⋅︒-100考点二：利用诱导公式化简求值例2：化简求值：)629cos()945sin(-+︒-；变式2：化简：①)660cos()690sin(330cos 420sin ︒-︒-+︒︒；②︒︒-610cos 290sin 21； ③︒+︒︒︒+790cos 250sin 430cos 290sin 21； ④︒-460sin 12；⑤))(6cos()3sin(z k k k ∈-++ππππ； ⑥为第三象限角）ααπαπ()cos()sin(21+--考点三：利用诱导公式求三角函数式的值例3：①设,)78tan(m =+πα求)722cos()720sin()713cos(3)715sin(πααππααπ+---++的值。

1.3 三角函数的诱导公式

1.3 三角函数的诱导公式
诱导公式（一）
sin( k 360 ) sin

sin( 2k ) sin
cos( k 360 ) cos cos( 2k ) cos tan( k 360 ) tan tan( 2k ) tan 其中 k Z
公式四
公式一～公式六叫做诱导公式
诱导公式记忆口诀：
奇变偶不变，符号看象限．
说明：
奇偶指的是k 中k的奇偶性； 2 符号指的是化简后三角函数的符号(由已知角的象限决定)

作用： k Z）的三角函数值 k （
2 1 ）当k为偶数时ห้องสมุดไป่ตู้等于的同名三角函数值，前面加上一个把看作锐角时原三角函数值的符号； 2）当k为奇数时，等于的异名三角函数值，前面加上一个把看作锐角时原三角函数值的符号；
3
小结
三角函数的诱导公式
sin(π+α)=－sinα cos(π+α)=－cosα tan(π+α)=tanα sin(－α)=－sinα cos(－α)=cosα tan(－α)=－tanα sin(π-α)=sinα cos(π-α)=－cosα tan(π-α)=－tanα
sin cos , 2 cos sin . 2
cos 2
sin
例4 化简
11 sin 2 cos cos cos 2 2 . 9 cos sin 3 sin sin 2
其中 k Z
实质：终边相同，三角函数值相等

三角函数的诱导公式

作用:是把求任意角的三角函数值转化为0到 2
角的三角函数值.
思考: 给定一个角α. （1）角π-α、π+α的终边与角α的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？（2）角-α的的终边与角α的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？
－的终边
＋的终边
y
r =1
α O
α的终边
P1(x, y)
cos180 cos 180
cos180 cos,
所以
原式
cos sin
sin cos
1.
讨论:你能归纳一下把任意角的三角函数转化成锐角三角函数的步骤吗？
任意负角的三角函数
用公式三或一
任意正角的三角函数
用公式一
锐角的三角函数
用公式二或四
0～2 的角的
三角函数
1. 三角函数诱导公式的推导过程,理解 “函数名不变，符号看象限”
【思路分析】由题目可获取以下主要信息：
①已知的都是含有角 α 加上一个常量的函数值；
②待求的是含有角α加上一个常量的函数值．
解答本题中的(1)可先利用诱导公式化简角求值．
π (2)注意 3 ＋α
与
α－53π之间的关系．
π (3)关注 6 ＋α
与76π＋α
之间的关系．
题型三化简例 4 化简： (1)sin(－α)cos(－α－π)tan(2π＋α)；
＝－sin4π3 ＝－sinπ＋π3 ＝sinπ3 ＝
3 2.
(2)cos269π＝cos4π＋5π6 ＝cos5π6 ＝cosπ－π6
π ＝－cos 6 ＝－
3 2.
(3)tan(－855°)＝－tan855°＝－tan(2×360°＋135°)

1_3三角函数的诱导公式

第一章三角函数1.3 三角函数的诱导公式（1）[教学目标] 一、知识与水平：（1）理解三角函数诱导公式二～四的推导过程，在探究的过程中体验数学知识的“发现”过程；（2）掌握三角函数诱导公式一～四的应用，能准确使用诱导公式求任意角的三角函数值；（3）培养学生借助图形直观实行观察、感知、探究、发现的水平，进一步掌握数形结合思想方法，通过诱导公式的证明，培养学生逻辑思维水平.二、过程与方法：借助单位圆推导诱导公式，特别是学习从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中，发现问题（任意角α的三角函数值与-α ，απ- ，απ+ 的三角函数值之间有内在联系），提出研究方法（利用三角函数线得出相对应的关系式）；三、情感、态度与价值观：通过本节的学习，让学生感受数学探索的成功感，从而激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣，增强他们学习数学的信心.[教学重点]用联系的观点，发现、证明及使用诱导公式，体会数形结合思想、渗透转化思想在解决数学问题中的指导作用.[教学难点]如何引导学生从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中，发现终边分别与的终边相同以及关于原点、x 轴、y 轴对称的角与α之间的数量关系，并提出研究方法.[教学方法]创设情境—主体探究—合作交流—应用提升． [教学过程]一、创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容（一）复习：(1)利用单位圆表示任意角α的正弦值和余弦值：(,)P x y 为角α的终边与单位圆的交点，则sin y α=，cos x α=；(2)由三角函数定义能够知道：终边相同的角的同一三角函数值相等．即有：sin(2)sin (),cos(2)cos (),(tan(2)tan (),k k Z k k Z k k Z απααπααπα+=∈+=∈+=∈公式一）（二）引入新课先让同学们思考单位圆的对称性并举出一些特殊的对称轴和对称中心，如x 轴，y 轴，y x =，原点．这些对称性对三角函数的性质有什么影响呢？先思考阅读教科书第23页的“探究”．1、角的对称关系：给定一个角α，发现：1）终边与角α的终边关于原点对称的角能够表示为π+α；同样，让学生探究问题(2) ，(3)不难发现．2）终边与角α的终边关于x 轴对称的角能够表示为α-（或2π-α）； 3）终边与角α的终边关于y 轴对称的角能够表示为：π-α； 4）终边与角α的终边关于直线y =x 对称的角能够表示为π2α-． 2、三角函数的关系诱导公式二：以问题（1）为例，引导学生去思考，角的对称关系怎样得出三角函数的关系？角α————角π+α终边与单位圆交点(,)P x y ————(,)P x y '-sin y α= ————sin(π+)=-y α∴sin(π+)=-sin αα同理，cos(π+)x α=-， cos x α=，cos(π+)α=tan(π+)=tan yxαα=∴tan(π+)=tan αα即诱导公式二：sin(π)sin αα+=- cos(π+)cos αα=- tan(π)tan αα+= 请同学们自己完成公式三、四的推导：诱导公式三：sin()sin αα-=- cos()cos αα-= tan()tan αα-=-诱导公式四：sin(π)sin αα-=cos(π)cos αα-=- tan(π)tan αα-=-让学生把探究诱导公式二、三、四的思想方法总结概括，引导学生得出：圆的对称性——————角的终边的对称性对称点的数量关系角的数量关系三角函数关系即诱导公式总结规律，引导学生记忆学过的四组公式，即：22πk α+(Z)k ∈ ， α-， πα±的三角函数值，等于α角的同名三角函数值，前面加上一个把α角看成锐角时的原函数的符号．二、巩固探究例1．求以下三角函数值：（1）sin 960；（2）43cos()6π-；（3）tan(1560)-．分析：先将不是)0,360⎡⎣范围内角的三角函数，转化为)0,360⎡⎣范围内的角的三角函数（利用诱导公式一）或先将负角转化为正角然后再用诱导公式化到0,90⎡⎤⎣⎦范围内角的三角函数的值.解析：（1）sin 960sin(960720)sin 240=-=（诱导公式一）sin(18060)sin 60=+=-（诱导公式四）2=-．（2）4343cos()cos66ππ-=（诱导公式二） 77cos(6)cos 66πππ=+=（诱导公式一）cos()cos 66πππ=+=-（诱导公式四）=．（3）tan(1560)tan1560(tan(4360120)-=-=-⨯+公式二）tan120(tan(18060)tan 60(=-=--==公式一）公式三）小结：用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般步骤是：①化负角的三角函数为正角的三角函数； ②化大于360的正角的三角函数为)0,360⎡⎣内的三角函数；③化)0,360⎡⎣内的三角函数为锐角的三角函数．可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）．例2 ：化简23cot cos()sin (3)tan cos ()απαπααπα⋅+⋅+⋅--．解析：原式23cot (cos )sin ()tan cos ()ααπααπα⋅-⋅+=⋅+ 23cot (cos )(sin )tan (cos )ααααα⋅-⋅-=⋅-23cot (cos )sin tan (cos )ααααα⋅-⋅=⋅-2222cos sin 1sin cos αααα=⋅=．总结：（1）要化的角的形式为180k α⋅±（k 为常整数）；（2）记忆方法：“函数名不变，符号看象限”；（3）利用四组诱导公式就能够将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数. 其化简方向仍为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”。

1.3三角函数的诱导公式(1)

cos 210 cos(180 30 ) cos30
3 2
练
求下列各三角函数：
习
13 （1） cos 1665 ；（2） sin ． 4

16 16 ） sin(); ） sin(- （3 ); 3 3
o （ 4 ） cos （4）cos -2040 -2040
例
例2 求下列三角函数值：（1） sin 225 ；
题
（2）cos 1290

；
2 解： (1)sin 225 sin(180 45 ) sin45 2
(2)cos( 1290 ) cos1290 cos(210 3 360 )

3 5 tan 4
11 6sin 6
例

题

例3
cos180 sin 360 化简：． sin 180 cos 180
练习反馈
1 （1）已知 cos ，求 tan 9 的值． 2
负角→正角
记忆方法：利用图形
公式一：
公式二：
sin( 2k ) sin
sin( ) sin cos( 2k ) cos (k Z ) cos( ) cos tan( ) tan tan( 2k ) tan

？
~ 2的角 0 ~ 的角
公式四
角度 0 弧度 10
30 45 60 90 120 135 150 180
1 1 1 1
sin 10
cos 11
tan 0

1.3三角函数的诱导公式(1)

1. 3三角函数的诱导公式<第一课时>班级姓名学习目标：1、利用单位圆探究得到诱导公式二，三，四，并且概括得到诱导公式的特点。

2、理解求任意角三角函数值所体现出来的化归思想。

3、能初步运用诱导公式进行求值与化简。

教学重点：诱导公式的探究，运用诱导公式进行求值与化简，提高对单位圆与三角函数关系的认识。

教学难点：诱导公式的灵活应用教学过程：一、复习引入：1、诱导公式一:（角度制表示）（）（弧度制表示）（）2、诱导公式（一）的作用：其方法是先在0º―360º内找出与角α终边相同的角，再把它写成诱导公式（一）的形式，然后得出结果。

二、讲解新课：由正弦函数、余弦函数的定义，即可得sinα=y，cosα=x,sin(180º+α)=-y, cos(180º+α)=-x, Array所以:sin(180º+α)=-sinα，cos(180º+α)=-cosα诱导公式二：用弧度制可表示如下：类比公式二的得来，得：诱导公式三：类比公式二,三的得来，得：诱导公式四：用弧度制可表示如下：对诱导公式一，二，三，四用语言概括为：α+k ·2π（k ∈Z ），—α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．（函数名不变，符号看象限。

）三、例题讲解例1．将下列三角函数转化为锐角三角函数。

（1）cos π913(2)sin(1+π) (3)sin(5π-) (4)cos(π513-)例2．求下列三角函数值：（1）cos210º； (2)sin （—45π）变式练习 1、求下列三角函数值：（1）11sin 6π；（2）17sin()3π-．（3）sin(－34π)； (4)cos(－60º)－sin(－210º)2、求下列三角函数值： (1)cos （—420º）（2）sin(π67-) (3)sin(—1305º) (4)cos(π679-)例3.化简)180sin()180cos()1080cos()1440sin(︒--⋅-︒-︒-⋅+︒αααα变式练习 1、已知cos(π+α)=－21，23π<α<2π，则sin(2π－α)的值是（）．（A ）23(B)21 (C)－23 (D)±232、化简：（1）sin(α+180º)cos(—α)sin(—α—180º)（2）sin 3(—α)cos(2π+α)tan(—α—π)四、回顾小结应用诱导公式化简三角函数的一般步骤：1︒用“- α”公式化为正角的三角函数；2︒用“2k π + α”公式化为[0，2π]角的三角函数；3︒用“π±α”公式化为锐角的三角函数即利用公式一—四把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数,一般可按下列步骤进行:五、作业布置1．求下列三角函数值：（1）45sin π； (2)619cos π；(3))240sin(︒-；(4))1665cos(︒-2．化简：)4(tan )3sin()2(cos )2tan()5cos()(sin 333παπαπααπαπα-----++-3..习题1.3A 组第4题。

1.3三角函数的诱导公式(1)

1.3三角函数的诱导公式（1）班别:＿＿＿＿组别：＿＿＿＿姓名：＿＿＿＿评价：＿＿＿＿【学习目标】（1）识记诱导公式；（2）理解和掌握公式的内涵及结构，会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单的化简和证明．【知识要点】（阅读课文23—26页，完成导学案）1、（1）απ+的终边与角α的终边关于对称 απ-的终边与角α的终边关于对称（2）α-的终边与角α的终边关于对称（3）απ-2的终边与角α的终边关于对称2、（1）任意角α与角απ+的三角函数值之间的关系因为r=1，所以我们得到：所以：()()()sin __________cos __________tan __________παπαπα+=+=+= ……………（公式二）（2）角α与 α- 的三角函数值之间的关系所以：()()()sin __________cos __________tan __________ααα-=-=-= ………….（公式三）（3）任意角α与角απ-的三角函数值之间的关系所以：()()()sin ___________cos ___________tan ___________παπαπα-=-=-= ……….（公式四）【预习自测】1、求下列各三角函数式的值：(1)sin1320°= ； (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-631cos π= ；(3)tan(－945°)= ；【典型例题】例1．利用公式求下列各三角函数值：（1） 225cos （2）311sinπ （3）)316sin(π- （4）)2040cos( -例2．化简;)180cos()180sin()360sin()180cos()1(0000αααα--⋅--+⋅+【基础训练】——把最简单的题做好就叫不简单！1、1－sin 260°等于( ) A ．±32 B ．±12 C ．－32 D.122、sin(－1920°)的值是( ) A.12 B ．－12 C ．－32 D.323、已知sin α＝45，并且α是第二象限的角，那么tan α等于( ) A ．－43 B ．－34 C.34 D.434、已知sin(π＋α)＝45，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是( ) A ．－35 B.35 C ．±35 D.455、式子sin 4θ＋cos 2θ＋sin 2θcos 2θ的结果为( ) A.14 B.12 C.32D ．1 【能力训练】——挑战高手，我能行！1、已知cos(π＋α)＝21-，求sin(2π－α)的值．2、已知的值求)2sin()cos(4)sin(3)cos(2,3tan απααπαπα-+-+--=【课后反思】学完本节课，你在知识、方法等方面有什么收获和感受？请写下来！1.3三角函数的诱导公式（1）答案【知识要点】1、（1）απ+的终边与角α的终边关于原点对称απ-的终边与角α的终边关于 y 轴对称（2）α-的终边与角α的终边关于 x 轴对称（3）απ-2的终边与角α的终边关于直线y=x 对称 2、（1）（2）（3）【预习自测】1、（1）23- （2）23- （3）-1 【典型例题】【例题1】课本125页例1【例题2】课本125页例2【基础训练】1、解析：选D.1－sin 260°＝cos 260°＝|cos60°|＝12. 2、解析：选C.sin(－1920°)＝sin(－6×360°＋240°)＝sin240°＝sin(360°－120°)＝－sin120°＝－32.3、解析：选A.cos α＝－1－sin 2α＝－1－ 45 2＝－35， ∴tan α＝－43. 4、解析：选B.由sin(π＋α)＝45，得sin α＝－45，而cos(α－2π)＝cos α，且α是第四象限角，所以cos α＝35.5、解析：选D.原式＝sin 2θ(sin 2θ＋cos 2θ)＋cos 2θ＝sin 2θ＋cos 2θ＝1，故选D.【能力训练】1、2、。

1.3(1)三角函数的诱导公式(一)

东风高级中学高一数学限时训练1.3（1）三角函数的诱导公式(一)一、选择题(每小题4分,共12分)1.sin的值是( )A. B.- C.- D.【解析】选B.sin=sin=sin=-sin=-.2.记cos(-80°)=k,那么tan100°等于( )A. B.-C. D.-【解题指南】先利用诱导公式化简,再利用同角三角函数基本关系式求值. 【解析】选B.因为cos(-80°)=cos80°=k,所以sin80°=,所以tan80°=,所以tan100°=-tan80°=-.3、(2013²长春高一检测)已知sin20°=a,则cos160°=( )A.aB.C.±D.-【解析】选D.cos160°=cos(180°-20°)=-cos20°=-=-.4.(2014²合肥高一检测)计算sin2150°+sin2135°+2sin210°+cos2225°的值是( )A. B. C. D.【解析】选A.原式=sin230°+sin245°-2sin30°+cos245°=+-1+=.5.(2014²桂林高一检测)已知sin(θ+π)<0,cos(θ-π)>0,则θ是第象限角( )A.一B.二C.三D.四【解析】选B.由sin(θ+π)=-sinθ<0⇒sinθ>0,cos(θ-π)=-cosθ>0⇒cosθ<0,由可知θ是第二象限角,故选B.6.在△ABC中,若sin(A+B-C)=sin(A-B+C),则△ABC必是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰或直角三角形D.等腰直角三角形【解析】选C.因为sin(A+B-C)=sin(A-B+C),所以sin(π-2C)=sin(π-2B),即sin2C=sin2B,所以2C=2B或2C=π-2B,即C=B或C+B=,所以△ABC是等腰或直角三角形.【误区警示】本题易错选A,错选的原因是由sin2C=sin2B时,只得出2C=2B,而忽略了2C=π-2B,主要是对诱导公式不熟练造成的.二、填空题(每小题4分,共8分)7.(2014²泰安高一检测)下列三角函数,其中n∈Z:①sin;②cos;③sin;④cos,其中与sin的值相同的是(填序号).【解析】sin=cos=cos=sin;sin=sin;cos=cos,所以应填②③.答案:②③【误区警示】本题在求①的值时易忽视对n分奇数、偶数进行讨论而致错.8.(2014²徐州高一检测)已知sin(125°-α)=,则sin(55°+α)的值为.【解析】因为(125°-α)+(55°+α)=180°,所以sin(55°+α)=sin[180°-(125°-α)]=sin(125°-α)=.答案:9.(2014²青岛高一检测)已知cos(α-75°)=-,且α为第四象限角,则sin(105°+α)= .【解析】sin(105°+α)=sin[180°-(75°-α)]=sin(75°-α),cos(α-75°)=cos(75°-α)=-.又因为α为第四象限角,所以105°+α为第一或第二象限角,所以sin(105°+α)==.答案:10、若sin=,则sin= .【解析】sin=sinπ+=-sin=-.答案:-11.(2014²会宁高一检测)已知sin α=,cos(α+β)=-1,则sin(2α+β)= .【解析】由cos(α+β)=-1,得α+β=2k π+π,k ∈Z, 则2α+β=α+(α+β)=α+2k π+π,k ∈Z, 所以sin(2α+β)=sin(α+2k π+π) =sin(α+π)=-sin α=-. 答案:-三、解答题(每小题10分,共20分) 12．计算下列各式的值：(1)cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5；(2)sin 420°cos 330°＋sin(－690°)cos(－660°)； (3)1＋2sin 280·cos 440°sin 260°＋cos 800°.解析： (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π5＋cos 45π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 25π＋cos 35π＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos π5＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π5＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 2π5＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－2π5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π5－cos π5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π5－cos 2π5＝0； (2)原式＝sin(360°＋60°)cos(360°－30°)＋sin(－2³360°＋30°)cos(－2³360°＋60°)＝sin 60°cos 30°＋sin 30°cos 60°＝32³32＋12³12＝1. (3)原式＝1＋2sin (360°－80°)·cos (360°＋80°)sin (180°＋80°)＋cos (720°＋80°)＝1－2sin 80°·cos 80°－sin 80°＋cos 80°＝sin 280°＋cos 280°－2sin 80°·cos 80°－sin 80°＋cos 80°＝(sin 80°－cos 80°)2－sin 80°＋cos 80° ＝|cos 80°－sin 80°|cos 80°－sin 80°＝sin 80°－cos 80°cos 80°－sin 80°＝－1. 13.已知cos =,求cos 的值. 【解析】cos =cos=cos =.14.求证：tan(2)sin(2)cos(6)cos()sin(5)π-α-π-απ-αα-ππ+α=tan α.【证明】左边= tan()sin()cos()cos()sin()-α-α-απ-απ+α=tan sin cos cos sin ααααα=tan α=右边.∴原等式成立.15.(2013²郑州高一检测)设f(θ)=.(1)化简f(θ).(2)若θ=660°,求f(θ)的值.【解析】(1)原式===-cos θ.(2)因为θ=660°,所以f(θ)=f(660°)=-cos660°=-cos(720°-60°)=-cos(-60°)=-cos60° =-. 16.已知1tan(720)31tan(360)+θ+︒=+-θ-︒求:［cos 2(π-θ)+sin(π+θ)²cos(π-θ)+2sin 2(θ-π)］²21c o s 2-θ-π（）的值.【解析】由1tan(720)31tan(360)+θ+︒=+-θ-︒(4+2θ所以tan2θ== 故［cos 2(π-θ)+sin(π+θ)·cos(π-θ)+2sin 2(θ-π)］·21c o s (2)-θ-π=［cos 2θ+sin θcos θ+2sin 2θ］·21co s θ=1+tan θ+2tan 2θ=1+2 +2·(2)2=2+2. 17.在△ABC 中,已知sin(2π-A)=-sin(π-B),cosA=-cos(π-B),求△ABC 的三个内角. 【解析】由已知得sinA=sinB,cosA=cosB,上式两端分别平方,再相加得2cos 2A=1, 所以cosA=〒.若cosA=-,则cosB=-, 此时A,B 均为钝角,不符合题意. 所以cosA=,所以cosB=cosA=.所以A=,B=,C=π-(A+B)=. 复习回顾。

高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式一导4_4

1.3 三角函数的诱导公式（一）学习目标 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.设角α的终边与单位圆的交点为P，由三角函数定义知P点坐标为(cos α，sin α).知识点一诱导公式二思考角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？角π＋α的终边与单位圆的交点P1(cos(π＋α)，sin(π＋α))与点P(cos α，sin α)呢？它们的三角函数之间有什么关系？答案角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，P1与P也关于原点对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式二知识点二诱导公式三思考角－α的终边与角α的终边有什么关系？角－α的终边与单位圆的交点P2(cos(－α)，sin(－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？它们的三角函数之间有什么关系？答案角－α的终边与角α的终边关于x轴对称，P2与P也关于x轴对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式三思考角π－α的终边与角α的终边有什么关系？角π－α的终边与单位圆的交点P3(cos(π－α)，sin(π－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？它们的三角函之间有什么关系？答案角π－α的终边与角α的终边关于y 轴对称，P 3与P 也关于y 轴对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式四梳理公式一～四都叫做诱导公式，它们分别反映了2k π＋α(k ∈Z )，π＋α，－α，π－α的三角函数与α的三角函数之间的关系，这四组公式的共同特点是：2k π＋α(k ∈Z )，π＋α，－α，π－α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.简记为“函数名不变，符号看象限”.类型一利用诱导公式求值命题角度1 给角求值问题例1 求下列各三角函数式的值.(1)cos 210°； (2)sin 11π4；(3)sin(－43π6)； (4)cos(－1 920°).解 (1)cos 210°＝cos(180°＋30°) ＝－cos 30°＝－32. (2)sin 11π4＝sin(2π＋3π4)＝sin 3π4＝sin(π－π4)＝sin π4＝22.(3)sin(－43π6)＝－sin(6π＋7π6)＝－sin 7π6＝－sin(π＋π6)＝sin π6＝12.(4)cos(－1 920°)＝cos 1 920°＝cos(5×360°＋120°)＝cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－12.反思与感悟利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤： (1)“负化正”：用公式一或三来转化.(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角. (3)“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角. (4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值. 跟踪训练1 求下列各三角函数式的值.(1)sin 1 320°； (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π6； (3)tan(－945°).解 (1)方法一 sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°) ＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. 方法二 sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°) ＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－32. (2)方法一 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π6＝cos 31π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋7π6＝cos(π＋π6)＝－cos π6＝－32.方法二 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π＋5π6＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π6＝－cos π6＝－32.(3)tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°) ＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1. 命题角度2 给值求角问题例2 已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( )A.－π6B.－π3C.π6D.π3答案 D解析由sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，可得－sin θ＝－3cos θ，|θ|<π2，即tan θ＝3，|θ|<π2，∴θ＝π3.反思与感悟对于给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角.跟踪训练 2 已知sin(π－α)＝－2sin(π＋β)，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)，0<α<π，0<β<π，求α，β.解由题意，得⎩⎨⎧sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β. ②①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2，即sin 2α＋3(1－sin 2α)＝2， ∴sin 2α＝12，∴sin α＝±22.∵0<α<π，∴sin α＝22， ∴α＝π4或α＝34π.把α＝π4，α＝34π分别代入②，得cos β＝32或cos β＝－32.又∵0<β<π，∴β＝π6或β＝56π.∴α＝π4，β＝π6或α＝34π，β＝56π.类型二利用诱导公式化简例3 化简下列各式.(1)tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)cos (α－π)sin (5π－α)；(2)1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°.解 (1)原式＝sin (2π－α)cos (2π－α)·s in (－α)cos (－α)cos (π－α)sin (π－α)＝－sin α(－sin α)cos αcos α(－cos α)sin α＝－sin αcos α＝－tan α.＝1－2sin 70°cos 70°－sin 70°＋cos 70°＝|cos 70°－si n 70°|cos 70°－sin 70°＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70°＝－1.引申探究若本例(1)改为：tan (n π－α)sin (n π－α)cos (n π－α)cos[α－(n ＋1)π]·sin[(n ＋1)π－α](n ∈Z )，请化简.解当n ＝2k 时，原式＝－tan α·(－sin α)·cos α－cos α·sin α＝－tan α；当n ＝2k ＋1时，原式＝－tan α·sin α·(－cos α)cos α·(－sin α)＝－tan α.反思与感悟三角函数式的化简方法(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数. (2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数. (3)注意“1”的变式应用：如1＝sin 2α＋cos 2α＝tan π4.跟踪训练3 化简下列各式. (1)cos (π＋α)·sin (2π＋α)sin (－α－π)·cos (－π－α)； (2)cos 190°·sin (－210°)cos (－350°)·tan (－585°). 解 (1)原式＝－cos α·sin α－sin (π＋α)·cos (π＋α)＝cos α·sin αsin α·cos α＝1.(2)原式＝cos (180°＋10°)·[－sin (180°＋30°)]cos (－360°＋10°)·[－tan (360°＋225°)]＝－cos 10°·sin 30°cos 10°·[－tan (180°＋45°)]＝－sin 30°－tan 45°＝12.1.sin 585°的值为( ) A.－22 B.22 C.－32 D.32答案 A解析 sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin(180°＋45°) ＝－sin 45°＝－22. 2.cos(－16π3)＋sin(－16π3)的值为( )A.－1＋32B.1－32 C.3－12D.3＋12答案 C解析原式＝cos 16π3－sin 16π3＝cos 4π3－sin 4π3＝－cos π3＋sin π3＝3－12.3.已知cos(π－α)＝32(π2<α<π)，则tan(π＋α)等于( ) A.12 B.33 C.－ 3 D.－33 答案 D解析方法一 cos(π－α)＝－cos α＝32， ∴cos α＝－32. ∵π2<α<π，∴sin α>0. ∴sin α＝1－cos 2α＝1－34＝12， ∴tan(π＋α)＝tan α＝sin αcos α＝－33.方法二由cos α＝－32，π2<α<π，得α＝56π，4.sin 750°＝ . 答案 12解析 ∵sin θ＝sin(k ·360°＋θ)，k ∈Z ， ∴sin 750°＝sin(2×360°＋30°) ＝sin 30°＝12.5.化简：cos (α－π)sin (5π＋α)·sin(α－2π)·cos(2π－α).解原式＝cos (π－α)sin (π＋α)·[－sin(2π－α)]·cos(2π－α)＝－cos α－sin α·sin α·cos α＝cos 2α.1.明确各诱导公式的作用2.诱导公式的记忆这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号，α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.3.已知角求值问题，一般要利用诱导公式三和公式一，将负角化为正角，将大角化为0～2π之间的角，然后利用特殊角的三角函数求解.必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”课时作业一、选择题1.cos 600°的值为( ) A.32 B.12 C.－32D.－12答案 D解析 cos 600°＝cos(360°＋240°)＝cos 240° ＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12.2.若cos(π＋α)＝－12，32π<α<2π，则sin(α－2π)等于( )A.12B.±32C.32D.－32答案 D解析由cos(π＋α)＝－12，得cos α＝12，故sin(α－2π)＝sin α＝－1－cos 2α ＝－1－(12)2＝－32(α为第四象限角). 3.记cos(－80°)＝k ，那么tan 100°等于( ) A.1－k2k B.－1－k2k C.k1－k2D.－k1－k2答案 B解析 ∵cos(－80°)＝k ，∴cos 80°＝k ， ∴sin 80°＝1－k 2，则tan 80°＝1－k2k.∴tan 100°＝－tan 80°＝－1－k2k.4.已知n 为整数，化简sin (n π＋α)cos (n π＋α)所得的结果是( )A.tan n αB.－tan n αC.tan αD.－tan α答案 C解析当n ＝2k ，k ∈Z 时，sin (n π＋α)cos (n π＋α)＝sin (2k π＋α)cos (2k π＋α)＝sin αcos α＝tan α；当n ＝2k ＋1，k ∈Z 时，sin (n π＋α)cos (n π＋α)＝sin (2k π＋π＋α)cos (2k π＋π＋α)＝sin (π＋α)cos (π＋α)＝－sin α－cos α＝tan α.故选C.5.tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为( )A.m ＋1m －1B.m －1m ＋1C.－1D.1答案 A解析 ∵tan(5π＋α)＝tan α＝m ，∴原式＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1.6.若sin(π－α)＝log 8 14，且α∈(－π2，0)，则cos(π＋α)的值为( )A.53 B.－53C.±53D.以上都不对答案 B解析 ∵sin(π－α)＝sin α＝log 32 2－2＝－23，∴cos(π＋α)＝－cos α＝－1－sin 2α ＝－1－49＝－53. 二、填空题 7.cos (－585°)sin 495°＋sin (－570°)的值是 .答案2－2解析原式＝cos (360°＋225°)sin (360°＋135°)－sin (210°＋360°)＝cos 225°sin 135°－sin 210°＝cos (180°＋45°)sin (180°－45°)－sin (180°＋30°)＝－cos 45°sin 45°＋sin 30°＝－2222＋12＝2－2.8.已知a ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π6，b ＝cos 23π4，c ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33π4，则a ，b ，c 的大小关系是 .并比较值的大小答案 b ＞a ＞c解析 ∵a ＝－tan 7π6＝－tan π6＝－33，b ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫6π－π4＝cos π4＝22， c ＝－sin33π4＝－sin π4＝－22， ∴b ＞a ＞c .9.已知cos(π＋α)＝－35，π<α<2π，则sin(α－3π)＋cos(α－π)＝ .答案 15解析 ∵cos(π＋α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝35，又∵π<α<2π，∴3π2<α<2π，∴sin α＝－45.∴sin(α－3π)＋cos(α－π)＝－sin(3π－α)＋cos(π－α) ＝－sin(π－α)＋(－cos α)＝－sin α－cos α＝－(sin α＋cos α)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋35＝15. 10.已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 017)的值为 .答案－3解析 ∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β)＝a sin α＋b cos β＝3，∴f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β)＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＝－a sin α－b cos β＝－3.11.已知sin(π－α)＝log 814，且α∈(－π2，0)，则tan(2π－α)的值为 . 答案 25512.已知cos(508°－α)＝1213，则cos(212°＋α)＝ . 答案 1213三、解答题13.化简下列各式.(1)sin(－193π)cos 76π； (2)sin(－960°)cos 1 470°－cos(－240°)sin(－210°).解 (1)sin(－193π)cos 76π ＝－sin(6π＋π3)cos(π＋π6)＝sin π3cos π6＝34. (2)sin(－960°)cos 1 470°－cos 240°sin(－210°)＝－sin(180°＋60°＋2×360°)cos(30°＋4×360°)＋cos(180°＋60°)sin(180°＋30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝1.四、探究与拓展14.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ sin πx ，x <0，f (x －1)－1，x >0，则f (－116)＋f (116)的值为 .答案－2解析因为f (－116)＝sin(－11π6) ＝sin(－2π＋π6)＝sin π6＝12； f (116)＝f (56)－1＝f (－16)－2＝sin(－π6)－2＝－12－2＝－52，所以f (－116)＋f (116)＝－2. 15.已知f (α)＝sin (π＋α)cos (2π－α)tan (－α)tan (－π－α)sin (－π－α). (1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且sin(α－π)＝15，求f (α)的值； (3)若α＝－31π3，求f (α)的值. 解 (1)f (α)＝－sin αcos α(－tan α)(－tan α)sin α＝－cos α. (2)∵sin(α－π)＝－sin α＝15， ∴sin α＝－15.又α是第三象限角， ∴cos α＝－265.∴f (α)＝265. (3)∵－31π3＝－6×2π＋5π3， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3 ＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12.。

1.3 三角函数的诱导公式(一)

2
鸡西市第十九中学高一数学组
sin(π－α)＝sin[π＋(－α)]＝－sin(－α)＝sin α， cos(π－α)＝＝＝ . tan(π－α)＝＝＝ . 即 sin(π－α)＝，cos(π－α)＝，tan(π－α)＝
.
【公式作用】将第二象限角的三角函数转化为第一象限角的三角函数．例如，sin 480° ＝，cos 150° ＝，tan 135° ＝ . 诱导公式作用公式一将角转化为 0～2π 之间的角求值公式二将 0～2π 内的角转化为 0～π 之间的角求值公式三将负角转化为正角求值 π 公式四将角转化为 0～之间的角求值 2 诱导公式的记忆这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将 α 看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号． α 看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上 α 可以是任意角. 例 1 求下列三角函数的值． 19 47 (1) sin (2)cos 960° ； (3)tan π. － 4 π； 6
【公式作用】将负角的三角函数转化为正角的三角函数． π 5 例如，sin(－390°)＝，cos－ 3 ＝，tan－ π＝ . 4 【诱导公式（四）】 π π π π (1)角的终边与单位圆的交点坐标为______，所以 sin ＝___，cos ＝___，tan ＝___； 3 3 3 3 (2)角 2π 的终边与单位圆的交点坐标为_______________， 3 2π 2π 2π ＝____，cos ＝____，tan ＝______. 3 3 3
小结
利用诱导公式求三角函数值时，先将不是[0,2π)内的角的三角函数，转化为
π [0,2π)内的角的三角函数，或先将负角转化为正角后再用诱导公式转化到 0，范围 2

1.3 三角函数的诱导公式(一)

19 π； 6
2 2 n ＋ 1 π － π (3)tan(－855° )；(4)sin . 3
【思路探究】可利用诱导公式将负角、大角的三角函数转化为锐角的三角函数后求值．
【解析】
8 2 8 (1)sin－3π＝－sin π＝－sin2π＋3π 3
(4)cos 2 040 cos2 040 cos 6 360120 cos120
1 cos 180 60 cos 60 . 2
【变式练习】
求下列各三角函数值．
8 (1)sin－3π ；(2)cos
提升总结：
sin( 2k) sin (k Z)， sin( ) sin ， cos( 2k) cos (k Z)， cos( ) cos ， tan( ) tan . tan( 2k) tan (k Z).
y

P 1 ( x, y)

诱导公式（三）
O

x
P 3 ( x,- y )
sin( ) sin , cos( ) cos , tan( ) tan .
诱导公式（四）

P4 ( x, y)
y

P 1 ( x, y)
O
x
sin( ) sin , cos( ) cos , tan( ) tan .
2 2 (4)sin2n＋1π－3π＝sin2nπ＋π－3π
π 3 ＝sin ＝ . 3 2
【方法规律】对于负角的三角函数求值，可先利用诱导公式三化为正角的三角函数，若化了以后的正角大于 360°，再利用诱导公式一，化为 0°到 360°间的角的三角函数．若这时角是 90°到 180°间的角，再利用 180°－α 的诱导公式化为 0°～90°间的角的三角函数；若这时角是 180°～270°间的角，则用 180°＋α 的诱导公式化为 0°～90°间的角的三角函数；若这时角是 270°～360°间的角，则利用 360°－α 的诱导公式化为 0°～90°间的角的三角函数．

1.3三角函数的诱导公式(一)

(2 )公式二：任意角α与－α的三角函数之间的关系，
sin（－α）＝______cos（－α）＝______tan（－α）＝________
(3）公式四：
sin（）＝______
cos（）＝______
tan（）＝______
三、合作探究
探究一：给定一个角
（1）角、的终边与角的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？
化简：
（1）sin( )sin(- )cos(- - )
（2）
达标测试
1、求下列三角函数值：用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般骤
可概括为：“负化正，大化小，小化锐”（有时也直接化到锐角求值）．
(1)cos225°（2）cos（－240°）
(3) （4）
（5）sin(－)（6）s in( )；
（7）tan( )．
2、化简：
※归纳总结※
这节课我们主要学习那些内容：
课后作业※
习题1.3（做在课本上或用你最熟练的方式完成）
1.3三角函数的诱导公式（一）
学习目标：
1巩固理解三角函数的定义，并能用三角函数定义推导诱导公式；
2能正确运用诱导公式求出任意角的三角函数值；
重点难点：运用诱导公式求出任意角的三角函数值：
学法指导：小组一起讨论学习P23-24
※学习过程※
一、知识链接
(一)利用单位圆表示任意角的正弦值和余弦值：
为角的终边与单位圆的交点点则
；； .
(二）公式一：由三角函数定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值．
பைடு நூலகம்公式一:
sin（＋α）＝_______cos（＋α）＝_____

1.3三角函数诱导公式(第1课时)

(
(
) ( ) (
)
)
小
1.诱导公式 1.诱导公式（1）结合图形推导
结
（2）函数名不变，符号看象限函数名不变， 2.做题规律 2.做题规律负角
（公式三） − α
（公式四） π −α
正角
（公式一） α + k i 2π
0~2π
Hale Waihona Puke （公式二） π +α
0~π
锐角
作业
P29 A组1题、2 题（1）（）（）组题）（2）（）（）（6）
sin α = y , cos α = x , tan α =
因此
y x
sin(π + α ) = − y, cos(π + α ) = − x, tan(π + α ) =
y x
公式二的终边与π-a的终边有什么关系？的终边有什么关系？角a的终边与的终边与的终边有什么关系 p点与点坐标呢？点与p’点坐标呢点与点坐标呢？
r =1 sin α = y
cos α = x
α
y −α tan α = x sin( −α ) = − y 公式三 cos( −α ) = x sin( −α ) = − sin α y −y cos( − α ) = cos α tan( −α ) = =−
x x
tan( −α ) = − tan α
r =1 sin α = y y cos α = x tan α = x sin(π + α ) = − y
−y y tan(π + α ) = = −x x
π +α
α
cos(π + α ) = − x