中考数学复习二次函数与三角形的面积问题

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二次函数-面积问题备战2023年中考数学考点微专题

考向3.10 二次函数-面积问题例1、（2021·四川雅安·中考真题）已知二次函数223y x bx b =+-．（1）当该二次函数的图象经过点1,0A 时，求该二次函数的表达式；（2）在(1) 的条件下，二次函数图象与x 轴的另一个交点为点B ，与y 轴的交点为点C ,点P 从点A 出发在线段AB 上以每秒2个单位长度的速度向点B 运动，同时点Q 从点B 出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求△BPQ 面积的最大值;（3）若对满足1≥x 的任意实数x ，都使得0y ≥成立，求实数b 的取值范围．解：（1）把1,0A 代入223y x bx b =+-，得：20123b b =+-，解得：b =1，∴该二次函数的表达式为：223y x x =+-；（2）令y =0代入223y x x =+-，得：2023x x =+-，解得：11x =或23x =-，令x =0代入223y x x =+-得：y =-3， ∴A (1，0)，B (-3，0)，C (0，-3)，设运动时间为t ，则AP =2t ，BQ =t ， ∴BP =4-2t ，过点M 作MQ ⊥x 轴， ∵OB =OC =3， ∴∠OBC =45°，∴BMQ 是等腰直角三角形，∴MQ =22BQ =22t ， ∴△BPQ 的面积=()11222242BP MQ t t -⋅=⋅=()222122t --+，∴当t =1时，△BPQ 面积的最大值=22；（3）抛物线223y x bx b =+-的对称轴为：直线x =-b ，开口向上，设2()23y f x x bx b ==+-，∵对1≥x 的任意实数x ，都使得0y ≥成立，∴()110b f -≤⎧⎨≥⎩或()10b f b ->⎧⎨-≥⎩，∴-1≤b ≤1或-3≤b ＜-1， ∴-3≤b ≤1．1、二次函数面积问题的几种形式（1）直接用面积公式；（2）三角形的面积等于铅直高度与水平宽度积的一半；(3)平行线等面积法（通过做平行线辅助线完成）。

中考数学二次函数问题中三角形面积最值问题解题策略

中考数学二次函数问题中三角形面积最值问题解题策略考点分析：二次函数与三角形的综合解答题一般涉及到这样几个方面：1.三角形面积最值问题2.特殊三角形的存在问题包括等腰等边和直角三角形。

这类题目一般出现在压轴题最后两道上，对知识的综合运用要求比较高。

解决此类题目的基本步骤与思路:1.抓住目标三角形，根据动点设点坐标2.根据所设未知数去表示三角形的底和高，一般常用割补法去求解三角形的面积从而得出面积的关系式3. 根据二次函数性质求出最大值.4.特殊三角形问题首先要画出三角形的大概形状，分类讨论的去研究。

例如等腰三角形要弄清楚以哪两条边为要，直角三角形需要搞清楚哪个角作为直角都需要我们去分类讨论。

注意事项：1.简单的直角三角形可以直接利用底乘高进行面积的表示2.复杂的利用“补”的方法构造矩形或者大三角形，整体减去部分的思想.3.利用“割”的方法时，一般选用横割或者竖割，也就是做坐标轴的垂线。

4.利用点坐标表示线段长度时注意要用大的减去小的。

5.围绕不同的直角进行分类讨论，注意检验答案是否符合要求。

6.在勾股定理计算复杂的情况下，灵活的构造K字形相似去处理。

原题：在（1）中的抛物线上的第二象限是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出P点的坐标及△PBC的面积最大值，若没有，请说明理由。

考试题型，大多类似于此。

求面积最大值的动点坐标，并求出面积最大值。

一般解题思路和步骤是，设动点P的坐标，然后用代数式表达各线段的长。

通过公式计算，得出二次函数顶点式，则坐标和最值，即出。

解法一：补形，割形法。

方法要点是，把所求图像的面积适当的割补，转化成有利于面积表达的常规几何图形。

请看解题步骤。

解法二：铅锤定理，面积=铅锤高度×水平宽度÷2。

这是三角形面积表达方法的一种非常重要的定理。

铅锤定理，在教材上没有，但是大多数数学老师都会作为重点，在课堂上讲解。

因为，铅锤定理，在很多地方都用的到。

这里，也有铅锤定理的简单推导，建议大家认真体会。

2023年中考数学专题复习：二次函数综合题(面积问题)

2023年中考数学专题复习：二次函数综合题（面积问题）1．如图所示，二次函数22y x x m =-++的图像与x 轴的一个交点为A （3，0），另一个交点为B ，且与y 轴交于点C ．(1)求二次函数的解析式；(2)求点B 、点C 的坐标；(3)若抛物线的顶点是M ，求△ACM 的面积．2．如图，抛物线2y x bx c =++经过()1,0A -、()4,5B 两点，点E 是线段AB 上一动点，过点E 作x 轴的垂线，交抛物线于点F ．(1)求抛物线的解析式；(2)求线段EF 的最大值；(3)抛物线与x 轴的另一个交点为点C ，在抛物线上是否存在一个动点P ，使得25ACP ABC S S ∆∆=？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，二次函数23y ax bx=++的图像与x正半轴相交于点B，负半轴相交于点A，其中A点坐标是（－1，0），B点坐标是（3，0）．(1)求此二次函数的解析式；(2)如图1，点P在第一象限的抛物线上运动，过点P作PD x⊥轴于点D，交线段BC于点E，线段BC把△CPD 分割成两个三角形的面积比为1∶2，求P点坐标；(3)如图2，若点H在抛物线上，点F在x轴上，当以B、C、H、F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F的坐标．4．如图，已知直线y＝43x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．(1)求抛物线的表达式；(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；(3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-12x2+bx+c经过点A（-2，0）．与点C（0，4）．与x轴的正半轴交于点B．(1)求抛物线的表达式；(2)如果D是抛物线上一点，AD与线段BC相交于点E，且AD将四边形ABDC分成面积相等的两部分，求DE AE的值；(3)如果P是x轴上一点，∠PCB=∠ACO，求∠PCO的正切值．6．如图，抛物线23y ax bx =+-交x 轴于()30A -,，()10B ,两点，与y 轴交于点.C 连接AC ，BC ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点P 为抛物线在第三象限的一个动点，PM x ⊥轴于点M ，交AC 于点G ，PE AC ⊥于点E ，当PGE 的面积为1时，求点P 的坐标；(3)如图2，若Q 为抛物线上一点，直线OQ 与线段AC 交于点N ，是否存在这样的点Q ，使得以A ，O ，N 为顶点的三角形与ABC 相似．若存在，请求出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．7．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A （－4，0），B （0，－4），C （2，0）三点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．(3)若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y ＝－x 上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．8．如图，二次函数23y ax bx =++的图象经过点A （-1，0），B （3，0），与y 轴交于点C ．(1)求二次函数的解析式；(2)第一象限内的二次函数23y ax bx =++图象上有一动点P ，x 轴正半轴上有一点D ，且OD =2，当S △PCD =3时，求出点P 的坐标；(3)若点M 在第一象限内二次函数图象上，是否存在以CD 为直角边的Rt MCD ，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．9．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y =ax 2+4x +c 与直线AB 相交于点A (0，1)和点B (3，4)．(1)求该抛物线的解析式；(2)设C 为直线AB 上方的抛物线上一点，连接AC ，BC ，以AC ，BC 为邻边作平行四边形ACBP ，求四边形ACBP 面积的最大值；(3)将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线y =a 1x 2+b 1x +c 1（a 1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D ，是否存在点E 使得△ADE 是以AD 为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出．．．．点E 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴的交点为C ()0,3-，顶点为()1,4D -．(1)求抛物线的表达式；(2)若平行于x轴的直线与抛物线交于M，N两点，与抛物线的对称轴交于点H，若点H到x轴的距离是线，求线段MN的长；段MN长的12(3)若经过C，D两点的直线与x轴相交于点E，F是y轴上一点，且AF∥CD，在抛物线上是否存在点P，使直线PB恰好将四边形AECF的周长和面积同时平分？如果存在, 求出点P的坐标；如果不存在，请说明理．11．如图，已知抛物线y＝ax2+4x+c经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点，其对称轴与x轴交于点C．(1)求该抛物线和直线BC的解析式；(2)设抛物线与直线BC相交于点D，求△ABD的面积；(3)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAB的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣2，0）、B （6，0）两点，与y 轴交于点 C ．直线l 与抛物线交于A 、D 两点，与y 轴交于点E ，点D 的坐标为（4，3）．(1)求抛物线的解析式与直线l 的解析式；(2)若点P 是抛物线上的点且在直线l 上方，连接P A 、PD ，求△P AD 面积最大值；(3)由（2）并求出点 P 的坐标．13．已知抛物线2y ax c =+过点()2,0A -和()1,3D -两点，交x 轴于另一点B ．(1)求抛物线解析式；(2)如图1，点P 是BD 上方抛物线上一点，连接AD ，BD ，PD ，当BD 平分ADP 时，求P 点坐标；(3)将抛物线图象绕原点O 顺时针旋转90°形成如图2的“心形”图案，其中点M ，N 分别是旋转前后抛物线的顶点，点E 、F 是旋转前后抛物线的交点．①直线EF 的解析式是______；②点G 、H 是“心形”图案上两点且关于EF 对称，则线段GH 的最大值是______．14．如图，抛物线2142y x x =-++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．(1)求A ，B ，C 三点的坐标，并直接写出直线AC 的函数表达式；(2)若D 是第一象限内抛物线上一动点，且△BCD 的面积等于△AOC 的面积，求点D 的坐标；(3)在（2）的条件下，连接AD ，试判断在抛物线上是否存在点M ，使∠MDA ＝∠ACO ？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．15．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，直线y x b =+与x 轴交于点()4,0A ，与y 轴交于点B ，过A ，B 两点的抛物线交x 轴于另一点C ，且2OA OC =，点F 是直线AB 下方抛物线上的动点，连接F A ，FB ．(1)求抛物线解析式；(2)当点F 与抛物线的顶点重合时，ABF 的面积为______；．(3)求四边形F AOB 面积的最大值及此时点F 的坐标．(4)在（3）的条件下，点Q 为平面内y 轴右侧的一点，是否存在点Q 及平面内另一点M ，使得以A ，F ，Q ，M 为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．16．抛物线224y ax ax =--交x 轴于(2,0)A -、B 两点，交y 轴于C ；直线AD 交抛物线于第一象限内点D ，且D 的横坐标为5，(1)求抛物线解析式；(2)点E 为直线AD 下方抛物线上一动点，且21ADE S =，求点E 的坐标；(3)抛物线上是否存在点P ，使PCO DAO CBO ∠+∠=∠，若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OA ，OC 分别在x 轴和y 轴上，3OA =，4OC =，抛物线24y ax bx =++经过点B ，且与x 轴交于点()1,0D -和点E ．(1)求抛物线的表达式：(2)若P 是第一象限抛物线上的一个动点，连接CP ，PE ，当四边形OCPE 的面积最大时，求点P 的坐标，此时四边形OCPE 的最大面积是多少；(3)若N 是抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在一点M ，使以点C ，D ，M ，N 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，说明理由．18．如图，抛物线与x 轴交于点()2,0B -、()4,0C 两点，与y 轴交于点()0,2A ；(1)求出此抛物线的解析式；(2)如图1，在直线AC 上方的抛物线上有一点M ，求AMC S △的最大值；(3)如图2，将线段OA 绕x 轴上的动点(),0P m 顺时针旋转90°得到线段O A ''，若线段O A ''与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m 的取值范围；19．如图，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，OA =OC =3．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点P 为直线AC 下方抛物线上一点，连接BP 并交AC 于点Q ，若AC 分ABP △的面积为1：2两部分，请求出点P 的坐标；(3)在y 轴上是否存在一点N ，使得45BCO BNO ∠+∠=︒，若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．20．已知二次函数2(0)y x bx c a =++≠的图像与x 轴的交于A 、(1,0)B 两点，与y 轴交于点(0,3)C -．(1)求二次函数的表达式及A 点坐标；(2)D 是二次函数图像上位于第三象限内的点，求点D 到直线AC 的距离取得最大值时点D 的坐标；(3)M 是二次函数图像对称轴上的点，在二次函数图像上是否存在点N ．使以M 、N 、B 、O 为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N 的坐标（不写求解过程）．答案1．(1)2y x 2x 3=-++(2)()0,3C 、()1,0B -(3)32．(1)223y x x =-- (2)254(3)存在，点P 的坐标为(12)或(12)+或()12-或(12)-3．(1)2y x 2x 3=-++(2)P 点坐标115(,)24或(2,3)(3)F 点坐标为：(1,0)、(5,0)、)2,0、()2-4．(1)y ＝﹣43x 2﹣83x +4 (2)S 最大＝252，D （﹣32，5） (3)存在，Q （﹣2，198）5．(1)抛物线解析式为y =-12x 2+x +4； (2)14DE AE =； (3)∠PCO 的正切值13或3．6．(1)223y x x =+-(2)()14P --，或()23--，(3)存在，坐标为⎝⎭或⎝⎭或或(-7．(1)2142y x x =+- (2)24=--S m m ，4(3)()4,4Q -或(2-+-或(2--+或()4,4-8．(1)2+23y x x =-+(2)P 1（32，154），P 2（2，3）(3)存在点M 其坐标为1M 43539（，）或2M9．(1)241y x x =-++ (2)274(3)存在，E （4，3）或（-2，5）或（-3，2）或（3，0）．10．(1)223y x x =--(2)1或1-(3)在抛物线上存在点3(4P -，15)16-，使直线PB 恰好将四边形AECF 的周长和面积同时平分11．(1)y ＝﹣12x 2+4x ﹣6，y ＝32x ﹣6 (2)152(3)存在，点Q 的坐标为（4，﹣2）12．(1)（1）y =-14x 2+x +3，y =12x +1 (2)274(3)(1,154)(2)232,39P ⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)①y x =； 14．(1)A (－2，0)，B (4，0)，C (0，4)，24y x =+(2)(2，4)(3)存在，(－23，289)或(－6，－20)15．(1)2142y x x =-- (2)3(3)FAOB S 四边形有最大值12，此时点F 的坐标为()2,4-(4)存在，点Q 的坐标()18,2Q -，()26,6Q -，()35,3Q -，()41,1Q -16．(1)2142y x x =-- (2)191,2E ⎛⎫- ⎪⎝⎭；E 2（2，-4） (3)存在，（8，20）17．(1)y ＝－x 2＋3x ＋4(2)P （2，6）；四边形OCPE 的面积最大为16(3)存在； M 113,28⎛⎫- ⎪⎝⎭或M 252728,⎛⎫ ⎪⎝⎭或M 355,22⎛⎫- ⎪⎝⎭或M 453,22⎛⎫- ⎪⎝⎭18．(1)211242y x x =-++ (2)2(3)34m -≤-或32m -≤(2)（-2，-3）或（-1，-4）(3)（0，2）或（0，-2）20．(1)223y x x =+-，(3,0)A - (2)315,24D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭(3)存在，(2,3)--或(0,3)-或(2,5)。

二次函数与三角形的综合-中考数学函数考点全突破

二次函数与三角形的综合-中考数学函数考点全突破一、考点分析：二次函数与三角形的综合解答题一般涉及到这样几个方面：1.三角形面积最值问题2.特殊三角形的存在问题包括等腰等边和直角三角形。

这类题目一般出现在压轴题最后两道上，对知识的综合运用要求比较高。

一解决此类题目的基本步骤与思路1.抓住目标三角形，根据动点设点坐标2.根据所设未知数去表示三角形的底和高，一般常用割补法去求解三角形的面积从而得出面积的关系式3.根据二次函数性质求出最大值.4.特殊三角形问题首先要画出三角形的大概形状，分类讨论的去研究。

例如等腰三角形要弄清楚以哪两条边为要，直角三角形需要搞清楚哪个角作为直角都需要我们去分类讨论。

注意事项：1.简单的直角三角形可以直接利用底乘高进行面积的表示2.复杂的利用“补”的方法构造矩形或者大三角形，整体减去部分的思想3.利用“割”的方法时，一般选用横割或者竖割，也就是做坐标轴的垂线。

4.利用点坐标表示线段长度时注意要用大的减去小的。

5.围绕不同的直角进行分类讨论，注意检验答案是否符合要求。

6.在勾股定理计算复杂的情况下，灵活的构造K字形相似去处理。

二、二次函数问题中三角形面积最值问题（一）例题演示1.如图，已知抛物线(a为常数，且a＞0)与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线与抛物线的另一交点为D，且点D的横坐标为﹣5．(1)求抛物线的函数表达式；(2)P为直线BD下方的抛物线上的一点，连接PD、PB,求△PBD面积的最大值．DBOAyxC解答：(1)抛物线令y＝0，解得x＝－2或x＝4，∴A(－2，0)，B(4，0)．∵直线经过点B(4，0)，∴，解得，∴直线BD解析式为：当x＝－5时，y＝3，∴D(－5，3)∵点D(－5，)在抛物线上，∴，∴．∴抛物线的函数表达式为：．(2)设P(m,)∴∴△BPD面积的最大值为．【试题精炼】2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），经过点A的直线l：与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且．（1）直接写出点A的坐标，并用含a的式子表示直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）.（2）点E为直线l下方抛物线上一点，当△ADE的面积的最大值为时，求抛物线的函数表达式；HF解答：1）A（－1，0）∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为4∴，∴.∴直线l的函数表达式为y＝ax＋a（2）过点E作EH∥y轴，交直线l于点H设E（x，ax2－2ax－3a），则H（x，ax＋a）.∴∴.∴△ADE的面积的最大值为，∴，解得.∴抛物线的函数表达式为.【中考链接】3.如图，直线l：y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；解答：（1）令x=0代入y=﹣3x+3，∴y=3，∴B（0，3），把B （0，3）代入y=ax2﹣2ax+a+4，∴3=a+4，∴a=﹣1，∴二次函数解析式为：y=﹣x2+2x+3；（2）令y=0代入y=﹣x2+2x+3，∴0=﹣x2+2x+3，∴x=﹣1或3，∴抛物线与x轴的交点横坐标为﹣1和3，∴S=DM•BE+DM•OE=DM（BE+OE）=DM•OB=××3==（m﹣）2+∵0＜m＜3，∴当m=时，S有最大值，最大值为；二、二次函数问题中直角三角形问题（一）例题演示如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）设点P为抛物线的对称轴x=1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．解答：（1）依题意得：，解得，∴抛物线解析式为.把B（，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n，得，解得，∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3；（2）设P（，t），又∵B（－3，0），C（0，3），∴BC2=18，PB2=（+3）2+t2=4+t2，PC2=（）2+（t－3）2=t26t+10，①若点B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2即：18+4+t2=t2－6t+10解得：t=；②若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2即：18+t2－6t+10=4+t2解得：t=4，③若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2即：4+t2+t2－6t+10=18解得：，.综上所述P的坐标为（，）或（，4）或（，）或（，）．【试题精炼】如图，二次函数（其中a，m是常数，且a>0，m>0）的图象与x轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0，－3)，点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD．过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．（1）用含m的代数式表示a；（2）)求证：为定值；（3）设该二次函数图象的顶点为F．探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接CF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）以线段GF、AD、AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时点G的横坐标为－3m.【解析】试题分析：（1）将C点代入函数解析式即可求得.（2）令y=0求A、B的坐标，再根据，CD∥AB，求点D的坐标，由△ADM∽△AEN,对应边成比例，将求的比转化成求比，结果不含m即为定值.（3）连接FC并延长，与x轴负半轴的交点即为所求点G..过点F作FH⊥x轴于点H，在Rt△CGO和Rt△FGH中根据同角的同一个三角函数相等，可求OG（用m表示），然后利用勾股定理求GF和AD（用m表示），并求其比值，由（2）是定值，所以可得AD∶GF∶AE=3∶4∶5，由此可根据勾股定理逆定理判断以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，直接得点G的横坐标.试题解析：解：（1）将C （0，-3）代入函数表达式得，∴.（2）证明：如答图1，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N.由解得x1=－m，x2=3m．∴A(－m，0)，B(3m，0).∵CD∥AB，∴点D的坐标为（2m，－3）．∵AB平分∠DAE．∴∠DAM=∠EAN．∵∠DMA=∠ENA=900，∴△ADM∽△AEN,∴.设点E的坐标为（x,）,∴,∴x=4m.∴为定值.（3）存在，如答图2，连接FC并延长，与x轴负半轴的交点即为所求点G.由题意得：二次函数图像顶点F的坐标为（m，-4），过点F作FH⊥x轴于点H，在Rt△CGO和Rt△FGH 中,∵tan∠CGO＝,tan∠FGH＝,∴=．∴OG=“3m,“由勾股定理得，GF=，AD=∴.由（2）得，∴AD∶GF∶AE=3∶4∶5．∴以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时点G的横坐标为－3m.考点：1.二次函数综合题；2.定值和直角三角形存在性问题；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.二次函数的性质；5.勾股定理和逆定理；6相似三角形的判定和性质；7.锐角三角函数定义.【中考链接】如图所示，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC斜靠在两坐标轴上放在第二象限，点C的坐标为（－1，0）．B点在抛物线y＝x2＋x－2的图像上，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，且B点的横坐标为－3．(1)求BC所在直线的函数关系式．(2)抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解答：（1）∵C点坐标为（-1,0），∴BD=CO=1．∵B点的横坐标为-3，∴B点坐标为（-3,1）设BC所在直线的函数关系式为y=kx+b，则有，解得∴BC所在直线的函数关系式为y=x．（2）①若以为AC直角边，点C为直角顶点，如图所示，作CP1⊥AC，因为BC⊥AC，所以点P1为直线BC与对称轴直线的交点，即点P1的横坐标为-。

中考数学压轴题：二次函数中的面积问题(含答案)

学生/课程年级日期学科时段课型数学授课教师核心内容二次函数中求面积最值，图形平移或折叠面积问题1.会利用函数的图象性质来研究几何图形的面积最值问题；教学目标重、难点2.掌握几种求图形面积的常见解题方法与技巧，如：割补法、平行等积变换法等。

3.掌握图形平移或折叠变换过程中找等量关系列函数解析式求图形面积问题的一般方法．割补法求三角形面积，动态问题一般解题思路。

了解学生的学习情况S△ = a h或S△ = a d (d表示已知点到直线的距离)以动点作垂直(平行)x轴的直线，即铅垂高，再分别过点A,C作PF的高，即和为水平宽。

S△ = ×水平宽×铅垂高如下图：①等底等高的两个三角形面积相等．②底在同一条直线上并且相等，该底所对角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等．如图，AD∥BC中，AC与BD交点O，则S△ABC = S△DBC，S△AOB = S△COD2如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝mx －8mx＋4m＋2（m＞0）与y轴的交点为A，与x轴的交点分别为B（x ，10），C（x ，0），且x －x ＝4，直线AD∥x轴，在x轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线，直线AD2 2 1的交点分别为P，Q．（1）求抛物线的解析式；（2）当0＜t≤8时，求△APC面积的最大值．图形面积的求法常见有三种，分别是：(1)_______________________________(2)_______________________________(3)_______________________________[学有所获答案] (1)直接公式求法割补法平行线等积变换法(2)(3) 2 如图，已知抛物线y ＝x ＋bx ＋c 与轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）与轴交于点C （0，－3），对称轴是直线x＝1，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D ，点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交抛物线于P ，Q 两点（点P 在第三象限）（1）求抛物线的函数表达式和直线BC 的函数表达式；（2）当△CDE 是直角三角形，且∠CDE ＝90°时，求出点P 的坐标；（3）当△PBC 的面积为时，求点E 的坐标．2 如图，已知抛物线y ＝ x ＋ax ＋4a 与x 轴交于点A ，B ，与y 轴负半轴交于点C 且OB ＝OC ，点P 为抛物线上的一个动点，且点P 位于x 轴下方，点P 与点C 不重合．（1）求该抛物线的解析式；（2）若△PAC 的面积为，求点P 的坐标；（3）若以A ，B ，C ，P 为顶点的四边形面积记作S ，则S 取何值时，对应的点P 有且只有2个?将（）的图像如何平移到的图像。

2020年初三数学下册中考专题复习二次函数面积最值问题(含答案)

2020年初三数学下册中考专题复习二次函数面积最值问题1．如图，关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N 从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．2．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°得到平行四边形A′B′OC′．抛物线y＝﹣x2+2x+3经过点A、C、A′三点．（1）求A、A′、C三点的坐标；（2）求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′OC′重叠部分△C′OD的面积；（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并写出此时M的坐标．3．如图，直线AB和抛物线的交点是A（0，﹣3），B（5，9），已知抛物线的顶点D的横坐标是2．（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）在x轴上是否存在一点C，与A，B组成等腰三角形？若存在，求出点C的坐标，若不在，请说明理由；（3）在直线AB的下方抛物线上找一点P，连接PA，PB使得△PAB的面积最大，并求出这个最大值．4．如图，抛物线C1：y＝x2﹣2x与抛物线C2：y＝ax2+bx开口大小相同、方向相反，它们相交于O，C两点，且分别与x轴的正半轴交于点B，点A，OA＝2OB．（1）求抛物线C2的解析式；（2）在抛物线C2的对称轴上是否存在点P，使PA+PC的值最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由；（3）M是直线OC上方抛物线C2上的一个动点，连接MO，MC，M运动到什么位置时，△MOC面积最大？并求出最大面积．5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．6．如图，二次函数y＝﹣x2+3x+m的图象与x轴的一个交点为B（4，0），另一个交点为A，且与y轴相交于C点（1）求m的值及C点坐标；（2）在直线BC上方的抛物线上是否存在一点M，使得它与B，C两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时M点坐标；若不存在，请简要说明理由（3）P为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；②点P的横坐标为t（0＜t＜4），当t为何值时，四边形PBQC的面积最大，请说明理由．7．如图，抛物线y＝ax2+bx+与直线AB交于点A（﹣1，0），B（4，），点D是抛物线A、B两点间部分上的一个动点（不与点A、B重合），直线CD与y轴平行，交直线AB于点C，连接AD，BD．（1）求抛物线的表达式；（2）设点D的横坐标为m，△ADB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出当S 取最大值时的点C的坐标．8．如图A（0，3），B（3，0），C（1，0）分别是抛物线：y＝ax2+bx+c（a≠0）上的三点，点P为抛物线上一动点．（1）求此抛物线的解析式．（2）当△PAB是以AB为一直角边的直角三角形时，求此时点P的坐标．（3）若点P在抛物线上A、B两点之间移动时，是否存在一个位置，使△PAB的面积最大？若存在，请求此时点P的坐标．若不存在，请说明理由．9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（0，3）、B（﹣1，0）、D（2，3），抛物线与x轴的另一交点为E．点P为直线AE上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）当t为何值时，△PAE的面积最大？并求出最大面积；（3）是否存在点P使△PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C （0，﹣3）（1）求出该抛物线的函数关系式及对称轴（2）点P是抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t（0＜t＜3）．当△PCB的面积的最大值时，求点P的坐标（3）在（1）的条件下，点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上，若以BC为边，以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求P点的坐标．11．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于C（0，3），直线y＝+m经过点C，与抛物线的另一交点为点D，点P是直线CD上方抛物线上的一个动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E，设点P的横坐标为m．（1）求抛物线解析式并求出点D的坐标；（2）连接PD，△CDP的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△CPE是等腰三角形时，请直接写出m的值．12．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为﹣8．点P是直线AB上方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为E，交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D，交x轴于点F．（1）求该抛物线的解析式；（2）求sin∠ACE的值；（3）连接PA、PB（如图2所示），设△PAB的面积为S，点P的横坐标为x，求S关于x的函数关系式，并求出S的最大值．13．如图，⊙M的圆心M（﹣1，2），⊙M经过坐标原点O，与y轴交于点A．经过点A的一条直线l解析式为：y＝﹣x+4与x轴交于点B，以M为顶点的抛物线经过x轴上点D（2，0）和点C（﹣4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：直线l是⊙M的切线；（3）点P为抛物线上一动点，且PE与直线l垂直，垂足为E；PF∥y轴，交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PEF的面积最小．若存在，请求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小值；若不存在，请说明理由．14．如图，已知抛物线y＝ax2﹣x+c与x轴相交于A、B两点，并与直线y＝x﹣2交于B、C两点，其中点C是直线y＝x﹣2与y轴的交点，连接AC．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：△ABC为直角三角形；（3）△ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFG？（顶点D、E、F、G在△ABC各边上）若能，求出最大面积；若不能，请说明理由．15．如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E （0，4）．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴x＝1交x轴于点B．连接EC，AC．点P，Q为动点，设运动时间为t秒．（1）填空：点A坐标为；抛物线的解析式为．（2）在图①中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当t为何值时，△PCQ为直角三角形？（3）在图②中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动，过点P做PF⊥AB，交AC于点F，过点F作FG⊥AD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ．当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？16．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为x＝﹣1，P为抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）当点P的纵坐标为2时，求点P的横坐标；（3）当点P在运动过程中，求四边形PABC面积最大时的值及此时点P的坐标．17．如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，﹣1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积．18．如图，已知抛物线y＝﹣+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知B点的坐标为B（8，0）．（1）求抛物线的解析式及其对称轴方程．（2）连接AC、BC，试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由．（3）在抛物线上BC之间是否存在一点D，使得△DBC的面积最大？若存在请求出点D 的坐标和△DBC的面积；若不存在，请说明理由．19．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣4，0）、B（1，0）两点，与y轴交于C点，对称轴x＝﹣，点N（n，0）是线段AB上的一个动点（N与A、B两点不重合），请回答下列问题：（1）求出抛物线的解析式，并写出C点的坐标；（2）试求出当n为何值时，△ANC恰能构成是等腰三角形．（3）如图2，过N作NF∥BC，与AC相交于D点，连结CN，请问在N点的运动过程中，△CDN的面积是否存在最大值；若存在，试求出该最大面积，若不存在，请说明理由．20．抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（5，0），与y轴交于点C（0，3）．该抛物线与直线相交于C，D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M，N．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）连结PC，PD，如图1，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；（3）连结PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△CNQ 与△PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．详细答案一．解答题（共20小题）1．【解答】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y＝x2+bx+c，解得：b＝﹣4，c＝3，∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣4x+3；（2）令y＝0，则x2﹣4x+3＝0，解得：x＝1或x＝3，∴B（3，0），∴BC＝3，点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，①当CP＝CB时，PC＝3，∴OP＝OC+PC＝3+3或OP＝PC﹣OC＝3﹣3∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）；②当BP＝BC时，OP＝OB＝3，∴P3（0，﹣3）；③当PB＝PC时，∵OC＝OB＝3∴此时P与O重合，∴P4（0，0）；综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，﹣3）或（0，0）；（3）如图2，设A运动时间为t，由AB＝2，得BM＝2﹣t，则DN＝2t，∴S△MNB＝×（2﹣t）×2t＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣1）2+1，即当M（2，0）、N（2，2）或（2，﹣2）时△MNB面积最大，最大面积是1．2．【解答】解：（1）当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝3，x2＝﹣1，则C（﹣1，0），A ′（3，0）；当x＝0时，y＝3，则A（0，3）；（2）∵四边形ABOC为平行四边形，∴AB∥OC，AB＝OC，而C（﹣1，0），A（0，3），∴B（1，3）＝×3×1＝，∴OB＝＝，S△AOB又∵平行四边形ABOC旋转90°得平行四边形A′B′OC′，∴∠ACO＝∠OC′D，OC′＝OC＝1，又∵∠ACO＝∠ABO，∴∠ABO＝∠OC′D．又∵∠C′OD＝∠AOB，∴△C′OD∽△BOA，∴＝（）2＝（）2＝，＝×＝；∴S△C′OD（3）设M点的坐标为（m，﹣m2+2m+3），0＜m＜3，作MN∥y轴交直线AA′于N，易得直线AA′的解析式为y＝﹣x+3，则N（m，﹣m+3），∵MN＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，∴S△AMA′＝S△ANM+S△MNA′＝MN•3＝（﹣m2+3m）＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，∴当m＝时，S△AMA'的值最大，最大值为，此时M点坐标为（）．3．【解答】解：（1）抛物线的顶点D的横坐标是2，则x＝﹣＝2…①，抛物线过是A（0，﹣3），则：函数的表达式为：y＝ax2+bx﹣3，把B点坐标代入上式得：9＝25a+5b﹣3…②，联立①、②解得：a＝，b＝﹣，c＝﹣3，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣3，当x＝2时，y＝﹣，即顶点D的坐标为（2，﹣）；（2）A（0，﹣3），B（5，9），则AB＝13，①当AB＝AC时，设点C坐标（m，0），则：（m）2+（﹣3）2＝132，解得：m＝±4，即点C坐标为：（4，0）或（﹣4，0）；②当AB＝BC时，设点C坐标（m，0），则：（5﹣m）2+92＝132，解得：m＝5，即：点C坐标为（5，0）或（5﹣2，0），③当AC＝BC时，设点C坐标（m，0），则：点C为AB的垂直平分线于x轴的交点，则点C坐标为（，0），故：存在，点C的坐标为：（4，0）或（﹣4，0）或（5，0）或（5﹣2，0）或（，0）；（3）过点P作y轴的平行线交AB于点H，设：AB所在的直线过点A（0，﹣3），则设直线AB的表达式为y＝kx﹣3，把点B坐标代入上式，9＝5k﹣3，则k＝，故函数的表达式为：y＝x﹣3，设：点P坐标为（m，m2﹣m﹣3），则点H坐标为（m，m﹣3），S△P AB＝•PH•x B＝（﹣m2+12m），取得最大值为：，当m＝2.5时，S△P AB答：△PAB的面积最大值为．4．【解答】解：（1）令：y＝x2﹣2x＝0，则x＝0或2，即点B（2，0），∵C1、C2：y＝ax2+bx开口大小相同、方向相反，则a＝﹣1，则点A（4，0），将点A的坐标代入C2的表达式得：0＝﹣16+4b，解得：b＝4，故抛物线C2的解析式为：y＝﹣x2+4x；（2）联立C1、C2表达式并解得：x＝0或3，故点C（3，3），作点C关于C2对称轴的对称点C′（1，3），连接AC′交函数C2的对称轴与点P，此时PA+PC的值最小为：线段AC′的长度＝3，此时点P（2，2）；（3）直线OC的表达式为：y＝x，过点M作y轴的平行线交OC于点H，设点M（x，﹣x2+4x），则点H（x，x），＝MH×x C＝（﹣x2+4x﹣x）＝﹣x2+x，则S△MOC∵﹣＜0，故x＝，最大值为．故当点M（，）时，S△MOC5．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，把A、B、C三点坐标代入可得，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣3x﹣4；（2）作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，如图1，∴PO＝PC，此时P点即为满足条件的点，∵C（0，﹣4），∴D（0，﹣2），∴P点纵坐标为﹣2，代入抛物线解析式可得x2﹣3x﹣4＝﹣2，解得x＝（小于0，舍去）或x＝，∴存在满足条件的P点，其坐标为（，﹣2）；（3）∵点P在抛物线上，∴可设P（t，t2﹣3t﹣4），过P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，如图2，∵B（4，0），C（0，﹣4），∴直线BC解析式为y＝x﹣4，∴F（t，t﹣4），∴PF＝（t﹣4）﹣（t2﹣3t﹣4）＝﹣t2+4t，＝S△PFC+S△PFB＝PF•OE+PF•BE＝PF•（OE+BE）＝PF•OB＝（﹣t2+4t）∴S△PBC×4＝﹣2（t﹣2）2+8，最大值为8，此时t2﹣3t﹣4＝﹣6，∴当t＝2时，S△PBC∴当P点坐标为（2，﹣6）时，△PBC的最大面积为8．6．【解答】解：（1）将B（4，0）代入y＝﹣x2+3x+m，解得，m＝4，∴二次函数解析式为y＝﹣x2+3x+4，令x＝0，得y＝4，∴C（0，4），（2）存在，理由：∵B（4，0），C（0，4），∴直线BC解析式为y＝﹣x+4，当直线BC向上平移b单位后和抛物线只有一个公共点时，△MBC面积最大，∴，∴x2﹣4x+b＝0，∴△＝16﹣4b＝0，∴b＝4，∴，∴M（2，6），（3）①如图，∵点P在抛物线上，∴设P（m，﹣m2+3m+4），当四边形PBQC是菱形时，点P在线段BC的垂直平分线上，∵B（4，0），C（0，4）∴线段BC的垂直平分线的解析式为y＝x，∴m＝﹣m2+3m+4，∴m＝1±，∴P（1+，1+）或P（1﹣，1﹣），②如图，设点P（t，﹣t2+3t+4），过点P作y轴的平行线l，过点C作l的垂线，∵点D在直线BC上，∴D（t，﹣t+4），∵PD＝﹣t2+3t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+4t，BE+CF＝4，＝2S△PCB＝2（S△PCD+S△PBD）＝2（PD×CF+PD×BE）＝4PD＝﹣4t2+16t，∴S四边形PBQC∵0＜t＜4，＝16∴当t＝2时，S四边形PBQC最大7．【解答】解：（1）∵由题意得解得：，∴y＝﹣x2+2x+．（2）设直线AB为：y＝kx+b．则，解得直线AB的解析式为y＝+．如图所示：记CD与x轴的交点坐标为E．过点B作BF⊥DC，垂足为F．设D（m，﹣m2+2m+）则C（m，m+）．∵CD＝（﹣m2+2m+）﹣（m+）＝m2+m+2，∴S＝AE•DC+CD•BF＝CD（AE+BF）＝DC＝m2+m+5．∴S＝m2+m+5．∵﹣＜0，∴当m＝时，S有最大值．∴当m＝时，m+＝×+＝．∴点C（，）．8．【解答】解：（1）将A（0，3），B（3，0），C（1，0）代入y＝ax2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3．（2）设点P的坐标为（m，m2﹣4m+3）．∵点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（3，0），∴AP2＝（m﹣0）2+（m2﹣4m+3﹣3）2＝m4﹣8m3+17m2，BP2＝（m﹣3）2+（m2﹣4m+3）2＝m4﹣8m3+23m2﹣30m+18，AB2＝（3﹣0）2+（0﹣3）2＝18．分两种情况考虑：①当∠BAP＝90°时，AB2+AP2＝BP2，即18+m4﹣8m3+17m2＝m4﹣8m3+23m2﹣30m+18，整理，得：m2﹣5m＝0，解得：m1＝0（舍去），m2＝5，∴点P的坐标为（5，8）；②当∠ABP＝90°时，AB2+BP2＝AP2，即18+m4﹣8m3+23m2﹣30m+18＝m4﹣8m3+17m2，整理，得：m2﹣5m+6＝0，解得：m3＝2，m3＝3（舍去），∴点P的坐标为（2，﹣1）．综上所述：当△PAB是以AB为一直角边的直角三角形时，点P的坐标为（5，8）或（2，﹣1）．（3）存在，如图过点P作PD∥y轴交直线AB于点D．设直线AB的解析式为y＝kx+d（k≠0），将A（0，3），B（3，0）代入y＝kx+d，得：，解得：，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3．设点P的坐标为（n，n2﹣4n+3）（0＜n＜3），则点D的坐标为（n，﹣n+3），∴PD＝（﹣n+3）﹣（n2﹣4n+3）＝﹣n2+3n，＝OB•PD＝﹣n2+n＝﹣（n﹣）2+．∴S△P AB∵﹣＜0，取得最大值，此时最大值为，∴当n＝时，S△P AB∴当△PAB的面积取最大值时，点P的坐标为（，﹣）．9．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）∵A（0，3），D（2，3），∴抛物线对称轴为x＝1，∴E（3，0），设直线AE的解析式为y＝kx+3，∴3k+3＝0，解得，k＝﹣1，∴直线AE的解析式为y＝﹣x+3，如图1，作PM∥y轴，交直线AE于点M，设P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+3），∴PM＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t，∴＝＝，∴t＝时，△PAE的面积最大，最大值是．（3）由图可知∠PEA≠90°，∴只能有∠PAE＝90°或∠APE＝90°，①当∠PAE＝90°时，如图2，作PG⊥y轴，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA＝45°，∴∠PAG＝∠APG＝45°，∴PG＝AG，∴t＝﹣t2+2t+3﹣3，即﹣t2+t＝0，解得t＝1或t＝0（舍去），②当∠APE＝90°时，如图3，作PK⊥x轴，AQ⊥PK，则PK＝﹣t2+2t+3，AQ＝t，KE＝3﹣t，PQ＝﹣t2+2t+3﹣3＝﹣t2+2t，∵∠APQ+∠KPE＝∠APQ+∠PAQ＝90°，∴∠PAQ＝∠KPE，且∠PKE＝∠PQA，∴△PKE∽△AQP，∴，∴，即t2﹣t﹣1＝0，解得：t＝或t＝＜0（舍去），综上可知存在满足条件的点P，t的值为1或．10．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），∵抛物线与y轴交于点C（0，﹣3），∴﹣3＝a（0+1）（0﹣3），∴a＝1∴设抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3，对称轴为直线x＝1；（2）设P（t，t2﹣2t﹣3），S△PCB＝S△POC+S△POB﹣S△BOC＝×3t+×3×|t2﹣2t﹣3|﹣＝∵a＝＜0，∴函数有最大值，当t＝时，面积最大，∴P（）（3）设Q（1，n）），①当PQ、PC为平行四边形的对角线时，P（4，n+3），∴42﹣2×4﹣3＝n+3，n＝2，∴P（4，5）；②当CQ、BP为平行四边形的对角线时，P（﹣2，n﹣3），∴（﹣2）2﹣2×（﹣2）﹣3＝n﹣3，n＝8，∴P（﹣2，5）；综上所述，以BC为边，以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，P点的坐标（4，5），（﹣2，5）．11．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），C（0，3）分别代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；把C（0，3）代入y＝﹣x+m，解得m＝3，∴直线CD的解析式为y＝﹣x+3，解方程组，解得或，∴D点坐标为（，）；（2）存在．设P（m，﹣m2+2m+3），则E（m，﹣m+3），∴PE＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+m，＝••（﹣m2+m）＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，∴S△PCD当m＝时，△CDP的面积存在最大值，最大值为；（3）当PC＝PE时，m2+（﹣m2+2m+3﹣3）2＝（﹣m2+m）2，解得m＝0（舍去）或m＝；当CP＝CE时，m2+（﹣m2+2m+3﹣3）2＝m2+（﹣m+3﹣3）2，解得m＝0（舍去）或m＝（舍去）或m＝；当EC＝EP时，m2+（﹣m+3﹣3）2＝（﹣m2+m）2，解得m＝（舍去）或m ＝，综上所述，m的值为或或．12．【解答】解：（1）当x＝﹣8时，y＝x﹣＝﹣，则B（﹣8，﹣），当y＝0时，x﹣＝0，解得x＝2，则A（2，0），把B（﹣8，﹣），A（2，0）代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，∴抛物线的解析式y＝﹣x2﹣x+；（2）当x＝0时，y＝x﹣＝﹣，则G（0，﹣），在Rt△AOG中，∵OG＝，OA＝2，∴AG＝＝，∴sin∠AGO＝＝＝，∵PC⊥x轴，∴PC∥OG，∴∠ACE＝∠AGO，∴sin∠ACE＝；（3）设P（x，﹣x2﹣x+），则C（x，x﹣），∴PC＝﹣x2﹣x+﹣（x﹣）＝﹣x2﹣x+4，∴S＝•（2+8）•（﹣x2﹣x+4）＝﹣x2﹣x+20＝﹣（x+3）2+，当x＝﹣3时，S的最大值为．13．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）（x+4），将点M的坐标代入得：﹣9a＝2，解得：a＝﹣．∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+．（2）连接AM，过点M作MG⊥AD，垂足为G．把x＝0代入y＝﹣x+4得：y＝4，∴A（0，4）．将y＝0代入得：0＝﹣x+4，解得x＝8，∴B（8，0）．∴OA＝4，OB＝8．∵M（﹣1，2），A（0，4），∴MG＝1，AG＝2．∴tan∠MAG＝tan∠ABO＝．∴∠MAG＝∠ABO．∵∠OAB+∠ABO＝90°，∴∠MAG+∠OAB＝90°，即∠MAB＝90°．∴l是⊙M的切线．（3）∵∠PFE+∠FPE＝90°，∠FBD+∠PFE＝90°，∴∠FPE＝∠FBD．∴tan∠FPE＝．∴PF：PE：EF＝：2：1．∴△PEF的面积＝PE•EF＝×PF•PF＝PF2．∴当PF最小时，△PEF的面积最小．设点P的坐标为（x，﹣x2﹣x+），则F（x，﹣x+4）．∴PF＝（﹣x+4）﹣（﹣x2﹣x+）＝﹣x+4+x2+x﹣＝x2﹣x+＝（x﹣）2+．∴当x＝时，PF有最小值，PF的最小值为．∴P（，）．∴△PEF的面积的最小值为＝×（）2＝．14．【解答】（1）解：∵直线y＝x﹣2交x轴、y轴于B、C两点，∴B（4，0），C（0，﹣2），∵y＝ax2﹣x+c过B、C两点，∴，解得，∴y＝x2﹣x﹣2．（2）证明：如图1，连接AC，∵y＝x2﹣x﹣2与x负半轴交于A点，∴A（﹣1，0），在Rt△AOC中，∵AO＝1，OC＝2，∴AC＝，在Rt△BOC中，∵BO＝4，OC＝2，∴BC＝2，∵AB＝AO+BO＝1+4＝5，∴AB2＝AC2+BC2，∴△ABC为直角三角形．（3）解：△ABC内部可截出面积最大的矩形DEFG，面积为，理由如下：①一点为C，AB、AC、BC边上各有一点，如图2，此时△AGF∽△ACB∽△FEB．设GC＝x，AG＝﹣x，∵，∴，∴GF＝2﹣2x，∴S＝GC•GF＝x•（2）＝﹣2x2+2x＝﹣2[（x﹣）2﹣]＝﹣2（x﹣）2+，即当x＝时，S最大，为．②AB边上有两点，AC、BC边上各有一点，如图3，此时△CDE∽△CAB∽△GAD，设GD＝x，∵，∴，∴AD＝x，∴CD＝CA﹣AD＝﹣x，∵，∴，∴DE＝5﹣x，∴S＝GD•DE＝x•（5﹣x）＝﹣x2+5x＝﹣[（x﹣1）2﹣1]＝﹣（x﹣1）2+，即x＝1时，S最大，为．综上所述，△ABC内部可截出面积最大的矩形DEFG，面积为．15．【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为x＝1，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4），点A在DE上，∴点A坐标为（1，4），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，把C（3，0）代入抛物线的解析式，可得a（3﹣1）2+4＝0，解得a＝﹣1．故抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，即y＝﹣x2+2x+3；（2）依题意有：OC＝3，OE＝4，∴CE＝＝＝5，当∠QPC＝90°时，∵cos∠QCP＝＝，∴＝，解得t＝；当∠PQC＝90°时，∵cos∠QCP＝＝，∴＝，解得t＝．∴当t＝或t＝时，△PCQ为直角三角形；（3）∵A（1，4），C（3，0），设直线AC的解析式为y＝kx+b，则，解得．故直线AC的解析式为y＝﹣2x+6．∵P（1，4﹣t），将y＝4﹣t代入y＝﹣2x+6中，得x＝1+，∴Q点的横坐标为1+，将x＝1+代入y＝﹣（x﹣1）2+4中，得y＝4﹣．∴Q点的纵坐标为4﹣，∴QF＝（4﹣）﹣（4﹣t）＝t﹣，＝S△AFQ+S△CFQ∴S△ACQ＝FQ•AG+FQ•DG＝FQ（AG+DG）＝FQ•AD＝×2（t﹣）＝﹣+t＝﹣（t2+4﹣4t﹣4）＝﹣（t﹣2）2+1，∴当t＝2时，△ACQ的面积最大，最大值是1．16．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A和点B（1，0），与y 轴交于点C（0，3），其对称轴l为x＝﹣1，∴A（﹣3，0），∴解得：，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴顶点坐标为（﹣1，4）．（2）设点P（x，2）即y＝﹣x2﹣2x+3＝2，解得x1＝﹣1或x2＝﹣﹣1，∴点P（﹣1，2）或（﹣﹣1，2）．（3）设点P（x，y），则y＝﹣x2﹣2x+3，＝S△OBC+S△OAP+S△OPC，∵S四边形BCP A∴＝，∵﹣＜0，∴当x＝﹣时，四边形PABC的面积有最大值，所以点P（﹣，）．17．【解答】解：（1）设抛物线为y＝a（x﹣4）2﹣1，∵抛物线经过点A（0，3），∴3＝a（0﹣4）2﹣1，；∴抛物线为；（2）相交．证明：连接CE，则CE⊥BD，当时，x1＝2，x2＝6．A（0，3），B（2，0），C（6，0），对称轴x＝4，∴OB＝2，AB＝＝，BC＝4，∵AB⊥BD，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∠OBA+∠EBC＝90°，∴△AOB∽△BEC，∴＝，即＝，解得CE＝，∵＞2，故抛物线的对称轴l与⊙C相交．（3）如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q；可求出AC的解析式为；设P点的坐标为（m，），则Q点的坐标为（m，）；∴PQ＝﹣m+3﹣（m2﹣2m+3）＝﹣m2+m．＝S△P AQ+S△PCQ＝×（﹣m2+m）×6∵S△P AC＝﹣（m﹣3）2+；∴当m＝3时，△PAC的面积最大为；此时，P点的坐标为（3，）．18．【解答】解：（1）∵B点的坐标为B（8，0），∴﹣16+8b+4＝0，解得b＝，∴抛物线的解析式为y═﹣+x+4，对称轴方程为x＝﹣＝3；（2）∵由（1）知，抛物线的对称轴方程为x＝3，B（8，0）∴A（﹣2，0），C（0，4），∴OA＝2，OC＝4，OB＝8，∴tan∠ACO＝tan∠CBO＝，∴∠ACO＝∠CBO．∵∠AOC＝∠COB＝90°，∴△AOC∽△COB．（3）设BC解析式为y＝kx+b，把（8，0），（0，4）分别代入解析式得，，解得，解得y＝﹣x+4，作DH⊥x轴，交BC于H．设D（t，﹣t2+t+4），H（t，﹣t+4），S△BCD＝DH•OB＝×（﹣t2+t+4+t﹣4）×8＝﹣t2+8t＝﹣（t2﹣8t+42﹣16）＝﹣（t﹣4）2+16，当t＝4时，△DBC的最大面积为16，此时D点坐标为（4，6）．19．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣4，0）、B（1，0）两点，不妨设抛物线的解析式为y＝﹣（x+4）（x﹣1），即y＝﹣x2﹣x+2．∴C（0，2）．（2）分两种情形：①当AN＝AC时，如图1中，∵AC＝＝2，∴n﹣（﹣4）＝2，∴n＝2﹣4．②当NA＝NC时，如图2中，在Rt△NOC中，OC＝2，∵NC＝NA＝n﹣（﹣4）＝n+4，ON＝n，∴n2+22＝（n+）2，解得n＝﹣．综上所述，当n＝2﹣4或﹣时，△ANC是等腰三角形．（3）如图3中，由题意可知：直线BC的解析式为y＝﹣2x+2，直线AC的解析式为y＝x+2，设N（n，0），易知N在线段OB上时，△CDN的面积较小，不妨设n＜0，∵ND∥BC，设ND的解析式为y＝﹣2x+b，代入（n，0）可得b＝2n，∴ND的解析式为y＝﹣2x+2n，由，可得点D的纵坐标：y D＝（8+2n），＝S△AOC﹣S△ADN﹣S△CON∴S△CDN＝[2×4﹣2|n|﹣（8+2n）（n+4）＝﹣（n+）2+，∵﹣＜0，∴当n＝﹣时，△DCN的面积最大，最大值为．20．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（1，0）、点B（5，0）和点C（0，3），因为与y轴相较于点C，所以c＝3．∴，解得，∴该抛物线对应的函数解析式为y＝x2﹣x+3；（2）∵点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，∴可设P（t，t2﹣t+3）（1＜t＜5），∵直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N，∴M（t，0），N（t，t+3），∴PN＝t+3﹣（t2﹣t+3）＝﹣（t﹣）2+直线CD与抛物线解析式可得，解得或，∴C（0，3），D（7，），分别过C、D作直线PN的垂线，垂足分别为E、F，如图1，则CE＝t，DF＝7﹣t，＝S△PCN+S△PDN＝PN•CE+PN•DF＝PN＝[﹣（t﹣）2+]＝﹣（t ∴S△PCD﹣）2+，∴当t＝时，△PCD的面积有最大值，最大值为；（3）存在．∵∠CQN＝∠PMB＝90°，∴当△CNQ与△PBM相似时，有或两种情况，∵CQ⊥PM，垂足为Q，∴Q（t，3），且C（0，3），N（t，t+3），∴CQ＝t，NQ＝t+3﹣3＝t，∴，∵P（t，t2﹣t+3），M（t，0），B（5，0），∴BM＝5﹣t，PM＝0﹣（t2﹣t+3）＝﹣t2+t﹣3，当时，则PM＝BM，即﹣t2+t﹣3＝（5﹣t），解得t＝2或t＝5（舍去），此时P（2，﹣）；当时，则BM＝PM，即5﹣t＝（﹣t2+t﹣3），解得t＝或t＝5（舍去），此时P（，﹣）；综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（2，﹣）或（，﹣）．。

2022年中考数学复习之二次函数压轴题40个问题

中考复习之二次函数压轴40个问题主要题型：1.二次函数之面积问题2.二次函数之特殊三角形的存在性问题3.二次函数之特殊四边形的存在性问题4.二次函数之线段最值问题5.二次函数之角度问题题目：如图,抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝OC＝３，OA＝１，顶点为D第1问.如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D.求二次函数的解析式；解:设:设二次函数解为y=a(x+1)(x-3)将(0,3)代入得a=-1,故二次函数解析式为y=-x2+2x +3第2问.如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,OB=OC=3,OA=1.顶点为D1.判断∆BCD的形状；解:D(1,4),B(3,0),C(0,3),方法一:BC=32,CD=2,BD=25,BC2+CD2=BD2,故∆BCD是直角三角形；方法二:KCD =1,KBC=-1,KCD∙KBC=-1,故CD⊥CB,所以∆BCD是直角三角形；yxBCAODyxBCAODyxBCAODyxBCAOD第3问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OB=OC=3,OA=1.顶点为D, 2. 四边形ABDC 的面积解:BC:y =-x +3,铅垂法:E(1,2)DE=2,S BCD ∆=21∙2∙3=3 S ABDC 四=21∙4∙3+3=9第4问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D, 1. P 为直线BC 上方抛物线上一点,求∆PBC 面积最大值及P 点坐标；解:方法一:设P(m,-m+2m+3)S PBC ∆=21∙3∙[-m 2+2m+3-(m+3)] =23(-m 2+3m),当m=23时,S 有最大值,此时P(23,415)S m ax =827 方法二:平移BC 至抛物线相切时,面积可取最大值设切线为y =-x +n,与抛物线y =-x 2+2x+3联立得x2-3x +n -3=0,∆=0,n=23,y =415,故P(23,415)S m ax =827y xBCAODy xBCAODEy xBCAOD第5问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D5点M 为BC 上方抛物线上一点,过点M 作y 轴的平行线交BC 于点N,求MN 的最大值；解:设点M(m,-m 2+2m+3),BC:y =-x +3,则点N(m,-m+3)MN=-m 2+2m+3-(-m+3)=-m 2+3m 当m=23时,MN m ax =49第6问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OC=3,OA=1,顶点为D, 6. 在对称轴上找一点P,使∆ACP 的周长最小,并求出最小值解:点A 、B 关于对称轴对称,连接BP,则BP=AP,PA+PC=PB+PC,当点B 、P 、C 三点共线时,可取最小值,此时P(1,2),∆ACP 周长的最小值为10+32第7问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1. 在y 轴上找一点E,使∆BDE 为直角三角形,求出E 点坐标, 方法一:y xBCAOPDy xBCAODy xNBCAODMy xBCAOD P1.DE ⊥BE 时,设E(0,m)易知∆DEF~∆EBO,OE DF =BO EF ,即m 1=34m-,m=3或1,故E 1(0,1)、E 2(0,3)2. DE ⊥DB 时,设E(0,m)易知∆DEN~∆BDM,BM DN =DM EN ,即m 1=34m -,m=27故E ；(0,27)3. DB ⊥BE 时,设E(0,m),易知∆DBF~∆BEG,BG DF =EG BF ,即m -2=34,m=-23,故E 4(0,-23)第8问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1. 在y 轴上找一点F,使∆BDF 为等腰三角形,求出F 点坐标；2. BD=DF,设F(0,m),22)4()01(m -+-=25,m=4+9 或4-19,F 1(0,4+19);F 2(0,4-19)yxFBCAODExyN MBCAODExy GFEBCAODxy BCAODF2.BD=BF,设F(0,m),22)0()03(m -+-=25,m=±11,F 1(0,11),F 2(0,-11)3.DF=BF,设F(0,m),22)0()03(m -+-=22)4()01(m -+-,m=1,F 4(0,1)第9问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1. 求抛物线上一点N,使S ABN ∆=S ABC ∆；解:设N 点的坐标(m,n),则∆ABC 与∆ABN 底相同,故n=±3,-m 2+2m+3=3或者-m 2+2m+3=3得m 1=0,m 2=2,m 3=1-7,m 4=1+7,N(0,3),(2,3),(1-7,-3),(1+7,-3)第10问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D, 1. 在抛物线上找一点Q,使S BDQ ∆=S AOC ∆解:设Q(m,-m 2+2m+3),S AOC ∆=23,BD ：y =-2x +6,铅垂高QS=|-m 2+2m+3-(-2m+6)| S BDQ ∆=|-m 2+2m+3-(-2m+6)|∙21∙1=23得m=0或4Q(0,3),(4,-5),xBCAODFBCAOD FBCAODFBCAODN第11问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.在抛物线上找一点E,使BE 平分∆ABC 的面积；解:BE 平分∆ABC 的面积,故BE 经过AC 的中点,AC 中点(-21,23),BE:y =-73x +79; 与抛物线联立得-x 2+2x +3=-73+79x =-74或722,E(-74;4919)或(722；491849)第12问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA =1,顶点为D 1.在对称轴上找一点M,使|MB -MC|取最大值,并求出最大值；解:点B 关于对称轴对称的点A,连接MA,则MB=MA,MA -MC<AC, 当点A 、C 、M 共线时,|MB -MA|m ax =AC=10, AC:y =3x x +3,M(1,6)第13问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.M 、N 为对称轴上的两点(M 在N 点上方),且MN=1,求四边形ACNM 周长的最小值；解:A 关于对称轴对称的点B,连接BN,则BN=AN,将点向下平移1个单位得C’、N,则C’N=CM, 故CM+BN=C’N+BN,当C’、N 、B 共线时,取最小值(CM+BN)m in =13,故ACNM 周长得最小值为1+10+13BCAODQABCODEABCODM第14问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.E 在抛物线对称轴上,在抛物线上找一点F,使得点四边形ACFE 为平行四边形；解:设E(1,m)F(n,-n 2+2n+3),A(-1,0),C(0,3),A 平行至点C 与E 平移至点F, n=1+1=2,m+3=-n 2+2n+3,m=0,故E(1,0)F(2,3)第15问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.M 为y 轴上一点,在坐标平面内找一点N,使A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为菱形；解:当 ACM 为等腰三角形时,问题转化为等腰三角形问题 1.ACNM 为菱形时,M(0,3),N(1,0),2.AMCN 为菱形时,M(0,34),N(-1,35),3.ACMN 为菱形时,M(0,3+10),N(-1,10)ABCODMNABCODM NC'ABCODEFABCODMN ABCONDM4.ACMN 为菱形时,M(0,3-10),N(-1,-10)第16问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.E 为x 轴上一点,以BE 为边的正方形BEFG ；另一点G 在抛物线上,求点F 坐标；设E(m,0)则EF=|-m 2+2m+3|由EF=EB 得3-m=|-m 2+2m+3|,m=0或m=-2故F(0,3)或F(-2,-5)第17问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.P 是抛物线上任意一点,过点P 作PE ⊥y 轴于点E,交直线BC 于点G ；过点G 作GF ⊥x 轴,连接EF,求EF 的最小值；连接OG,则OG=EF,当OG ⊥BC 时,OG 最小,即EF 最小,故EF m in =233x C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D1.M 在抛物线上CB 上方一点过点M 作y 轴的平行线,交BC 于点E,则ME 的最大值是多少? 解:设M(m,-m 2+2m+3),BC :y =-x +3,E(m,3-m),ME=-m 2+2m+3-(3-m)=-m 2+3m,当m=23ABCONDMABCNODMGCABO EFF CABOE GFEGCABOPFEGCABOP时,ME m ax =49第19问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.求一点P,使∠POC=∠PCO ；解:点P 在OC 得垂直平分线上,-x2+2x +3=23,x =1±210P 1(1-210,23)P 2(1+210,23)第20问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D1.E(2,-2),M 为x 轴上一点,且∠EMO=∠CMO ； 1.M 在右侧时,易知∆CMO~∆EMG,设M(m,0)则有2-m m =23,m=6 2.M 在左侧时,同理易知∆CMO~∆EMG ,m m --2=23,m=6(舍) 第21问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.P 是直线y =x 上的动点,当直接y =x 平分∠APB 时,求点P 的坐标；如图,∆PAO ≅∆PEO,此时OE=OA=1,故E(0,-1),EB ：y =31x -1,与y =x 得x =-23,P(-23,-23) ECABOMPPCABOCABOEMG第22问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.点P 在抛物线上,且∠ABP=∠CBD,求P 坐标；解:C(0,3)D(1,4)B(3,0)tan ∠CBD=31,故tan ∠PBO=31,OE=1或者OF=1,PB ：y =-31x +1或y 且=31x -1,联立可得P 1(-32,911)P 2(-23,-23)第23问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D1.在抛物线上找一点P,使∠ACP=450；方法1:∠OCB=∠ACP=450,得∠ACO=∠ECB,故tan ∠ECB=31,作EH ⊥BC,设BH=m,则EH=m;CH=3m,故4m=32,m=423,E(23,0)故CE:y =-2x +3,联立得P(4,-5) 方法2:由12345模型得tan ∠ECO=21得E(23,0)第24问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.P 在抛物线上,∠DBP=450；由tan ∠CBD=31,∠CBD+∠CBP=450,而∠PBO+∠CBP=450,故tan ∠PBO=31,BP:y =-31x +1,P(-32,911) ECABOPPEFCABODPPHECABOPDP第25问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.点P 在抛物线上,∠PCB=150,求点P 的坐标；解:由∠BCO=450得∠PCO=30或∠PCO=600,故PC:y =-3x +3或y =-33x +3联立得P(2+3,-23)P(2+33,3328-)第26问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D1.直线y =31x -1与y 轴交于点E,求∠EBC -∠CBD ；由tan ∠DBC=tan ∠EBO=31,故∠EBC -∠CBD=450第27问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.过点P(3,0)作直线与抛物线交于F 、G 、FM 、GN 分别垂直于x 轴,求PM,PN ；设F(1x ,1y )G(2x ,2y ),直线y =k (x +3)与抛物线y =-2x +2x +3联立得2x +(k -2)x +3k -3=0;1x +2x =2-k ,1x •2x =3k -3,PM •PN=(1x +3)(2x +3)=1x •2x +3(1x +2x )+9=12CABOPDPPF CABODPEECABODENMGFCABOPD第28问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为DP 是第一象限抛物线上,PE ⊥AB,求BEAE的值,若PE 2=AE •BE,求P 点坐标设P(m,-m 2+2m+3),AE=m+1,BE=3-m,BE AE =mm -+31,(m+1)(3-m)=(-m 2+2m+3)2得m=1+3,P(1+3,1)第29问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D M 为直线y =33x 3上的点,N(0,-1),求23BM+MN 的最小值, 过点B 作I ⊥x 轴,MH ⊥I,∠MBH=600,MH=23BM,23BM+MN=MH+MN,当N 、M 、H 共线且垂直于I 时取最值(23BM+MN)min=3第30问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D M 为直线y =33x 3上的点,求21BM+OM 的最小值过点B 作I:y =3x -33,MH ⊥I,∠MBH=300,MH=21BH,21BH+OM=MH+OM,当Q 、M 、H共线且垂直于I 时取最值(21BM+MN )min=233xy EBCAOPxy BCA O MN H第31问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D M 为直线y =33x 3上的点,求22BM+OM 的最小值过点B 作I,I 与直线MN 夹角450,MH ⊥I,∠MBH=450,MH=22BM,22BM+OM=MH+OM,当Q 、M 、H 共线且垂直于I 时取最值两着色三角形相似,得cos150=426,(21BM +MN)min=423-63第32问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D在AB 上是否存在点M,使CM+21BM 取最小值. 过点B 作I,I 与x 轴夹角为300,MH=21BM,21BM+CM=MH+CM,当C 、M 、H 共线且垂直于I 时取最值(21BM+CM)min=2333+第33问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为Dxy BCAMO Hxy BCAMOHxy BCAO M EHM 是抛物线上一点,作MH ⊥x 轴,交BC 于点E,当ME:EH=3:2时,求M 点的横坐标, 设M(m,-m 2+2m+3),则E(m,3-m),ME=-m 2+2m+3-(3-m),EH=3-m,ME:EH=3：2 即有-m 2+2m+3-(3-m)=23(3-m) m=23第34问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于顶点为D P 是抛物线上一点,且∠PAB=2CBD,求P 点坐标. tan ∠CBD=31,tan ∠PAB=tan2∠CBD=43(12345模型) 设P(m,-m 2+2m+3)(1)tan ∠PAB=1322+++-m m m =43,m=49,P(49,1639)(2)tan ∠PAB=1322+--m m m =43,m=415,P(415,1657)第35问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为DF(1,415)直线y =417,(1)证明:M 上任意一点到直线y =417距离等于到F 点的距离, M(m,-m 2+2m+3),MH=417-(-m 2+2m+3)=m 2-2m+45MF=222)41532()1(-++-+-m m m =m 2-2m+45,故MH=MF xyEBCAOMHxy BCAODPP第36问:如图,抛物线与x 轴交于、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为DF(1,415)直线y =417,(2)证明:N(2,-1)M 为抛物线上一点,求NM+MF 的最小值由(1)可知MF=MH,故NM+MF=MN+MH,(NM+MF)min=421第37问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D ∠BAC 的角平分线交y 轴于点M,绕点M 作直线I,与x 轴交于点E,与A 交于点F,求证:AE 1+AF 1为定值过点M 、F 、C 作x 轴的平行线,交AC 于点G,交AM 于点H 、I ，易知:∆AEM~∆HFM,∆AFH~∆ACI,AO GM =AC CG ,CI GM =AC AG ,相加得AO GM +CI GM =AC CG +ACAG=1 即有AO 1+AC 1=GM 1,同理可得AE 1+AF 1=GM1=1+1010第38问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D P 为第四象限抛物线上一点,且tan ∠APC=21,求出点P 的坐标；过点C 作CE ⊥AC,取一点E 使CE=2AC,过点C 作MN||x 轴,作A M ⊥MN 、EN ⊥MN,易知∆ACM~∆CEN,CN=6,EN=2,E(6,1),P 为以AE 为直径的圆与抛物线的交点AE 的中点F,F(25,21) xy BCOFMHxy BCNOFMHA过点易知AE HF AFACGM AO =CG AC ，GM CI =AGAC，GM AO +GM CI =CG AC +AGAC =1即有1AO +1AC =1GM，同1AE +1AF =1GM =11010xy H G FEMBCOIPF=225,设P(m,-m 2+2m+3),PF 2=(m -25)2+(-m 2+2m+325)2=225m=255,y =2531--,P(255,2531--)第39问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 直线y =x -3与抛物线交于点P,在x 轴正半轴上找一点E,使tan(∠PBO+∠PEO)=25 在x 轴上找一点F,使tan ∠HPF=25,∠HPF=450+∠BPH=∠PBO+∠PEO=450+∠PEO, 故∠BPF=∠PEO,故∆BEP~∆BPF,BP BE =BF BP ,即253-m =21525,m -3=320,m=329故E(329,0)第40问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 对称轴与BC 交于点E,在直线BC 上找一点P,使∆ABP 与∆DEB 相似,∠BED=1350=∠ABP,故P 在CB 的延长线上,DE=2,BE=22,AB=3,1.当∆EDB~∆BAP,AB DE =BP EB ,即42=BP22,BP=42,P(7,-4) 2.∆EDB~∆BPA 时,BP=22,P(5,-2)AxyN MPFEBCOAH PE FAxyIHEBCODP 1P 2。

2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题(面积问题)(含简单答案)

2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题（面积问题）1．如图，二次函数25y ax bx =++的图象经过点(1,8)，且与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点(1,0)A -，M 为抛物线的顶点．(1)求二次函数的解析式； (2)求MCB △的面积；(3)在坐标轴上是否存在点N ，使得BCN △为直角三角形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线212y x bx c =-++（b 、c 为常数）经过()4,0A 和()0,4B 两点，其顶点为C ．(1)求该抛物线的表达式及其顶点坐标；(2)若点M 是拋物线上第一象限的一个动点．设ABM 的面积为S ，试求S 的最大值； (3)若抛物线222y mx mx m =-++与线段AB 有两个交点，直接写出m 的取值范围． 3．如图，抛物线22(0)y ax ax c a =-+>与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 左侧．点A 的坐标为(1,0),3OC OA -=．(1)求抛物线的解析式；(2)在直线BC 下方的抛物线上是否存在一点P ，使得PBC 的面积等于ABC 面积的三分之二？若存在，求出此时OP 的长；若不存在，请说明理由．(3)将直线AC 绕着点C 旋转45︒得到直线l ，直线l 与抛物线的交点为M （异于点C ），求M 点坐标．4．如图1，抛物线24y ax bx a =+-经过()10A -，，()04C ，两点，与x 轴交于另一点B ．(1)求抛物线和直线BC 的解析式；(2)如图2，点P 为第一象限抛物线上一点，是否存在使四边形PBOC 面积最大的点P ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图3，若抛物线的对称轴EF （E 为抛物线顶点）与直线BC 相交于点F ，M 为直线BC 上的任意一点，过点M 作MN EF ∥交抛物线于点N ，以E ，F ，M ，N 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出点N 的坐标；若不能，请说明理由． 5．如图，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于点()2,0A -，()4,0B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ．(1)求抛物线的解析式和顶点D 的坐标；(2)动点P ，Q 以相同的速度从点O 同时出发，分别在线段,OB OC 上向点B ，C 方向运动，过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点E ． ①当四边形OQEP 为矩形时，求点E 的坐标；①过点E 作EM BC ⊥于点M ，连接,PM QM ，设BPM △的面积为1S ，CQM 的面积为2S ，当PE 将BCE 的面积分成1:3两部分时，请直接写出12S S 的值． 6．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴相交于A ，B 两点，抛物线的对称轴为直线=1x -，其中点A 的坐标为(3,0)-．(1)求点B 的坐标；(2)已知1a =，C 为抛物线与y 轴的交点，求抛物线的解析式； (3)若点P 在抛物线上，且4POCBOCSS=，求点P 的坐标；(4)设点Q 是线段AC 上的动点，过点Q 作QD y 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值．7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数22y ax bx =++的图象与x 轴交于()30A -,，()10B ,两点，与y 轴交于点C ．(1)求二次函数的解析式；(2)点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，当ACP △的面积最大时，求点P 的坐标；(3)Q 是x 轴上一动点，M 是第二象限内抛物线上一点，若以A ，C ，M ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点Q 的坐标．8．如图，直线132y x =-+交y 轴于点A ，交x 轴于点C ，抛物线214y x bx c =-++经过点A ，点C ，且交x 轴于另一点B ．(1)直接写出点A ，点B ，点C 的坐标及抛物线的解析式；(2)在直线AC 上方的抛物线上有一点M ，求四边形ABCM 面积的最大值及此时点M 的坐标；(3)将线段OA 绕x 轴上的动点(),0P m 顺时针旋转90°得到线段O A ''，若线段O A ''与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m 的取值范围．9．如图，已知抛物线与x 轴交于()1,0A - 、()4,0B 两点，与y 轴交于点()0,3C ．(1)求抛物线的解析式； (2)求直线BC 的函数解析式；(3)在抛物线上，是否存在一点P ，使PAB 的面积等于ABC 的面积？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线26y ax bx =++与x 轴交于点()6,0B ，()2,0C -，与y 轴交于点A ，点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 运动到什么位置时，PAB 的面积最大？(3)过点P 作x 轴的垂线，交线段AB 于点D ，再过点P 作PE x ∥轴交抛物线于点E ，连接DE ．是否存在点P ，使PDE △为等腰直角三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，直线l ：112y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点B ，C ，经过B ，C 两点的抛物线2y x bx c =++与x 轴的另一个交点为A ．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P 在直线l 下方的抛物线上，过点P 作PD ①x 轴交l 于点D ，PE ①y 轴交l 于点E ，求PD PE +的最大值；(3)若点P 在直线l 下方的抛物线上，F 为直线l 上的点，以A ，B ，P ，F 为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，直接写出点F 的坐标；若不能，请说明理由． 12．已知顶点为()1,5A 的抛物线2y ax bx c =++经过点()5,1B ，(1)求抛物线的解析式；(2)设C ，D 分别是x 轴、y 轴上的两个动点．①当四边形ABCD 的周长最小时，在图1中作直线CD ，保留作图痕迹并直接写出直线CD 的解析式；①点()(),>0P m n m 是直线y x =上的一个动点，Q 是OP 的中点，以PQ 为斜边按图2所示构造等腰Rt PQR △．在①的条件下，记PQR 与COD △的公共部分的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并求S 的最大值．13．抛物线24y x x =-与直线y x =交于原点O 和点B ，与x 轴交于另一点A ，顶点为D ．(1)填空：点B 的坐标为___________，点D 的坐标为___________．(2)如图1 ，连结OD P ，为x 轴上的动点，当以O D P ，，为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出点P 的坐标；(3)如图2， M 是点B 关于拋物线对称轴的对称点， Q 是拋物线上的动点，它的横坐标为 (05)m m <<，连结MQ BQ MQ ，，与直线OB 交于点E ．设BEQ 和BEM △的面积分别为1S 和2S ，设12S t s =，试求t 关于m 的函数解析式并求出t 的最值． 14．如图，二次函数的图象经过点()10A -，，()30B ，，()03C -，，直线22y x =-与x 轴、y 轴交于点D ，E ．(1)求该二次函数的解析式(2)点M 为该二次函数图象上一动点．①若点M 在图象上的B ，C 两点之间，求DME 的面积的最大值． ①若MED EDB ∠∠=，求点M 的坐标．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于()2,0A -，B 两点，其对称轴直线2x =与x 轴交于点D ．(1)求该抛物线的函数表达式为______；(2)如图1，点P 为抛物线上第四象限内的一动点，连接CD ，PB ，PC ，求四边形BDCP 面积最大值和点P 此时的坐标；(3)如图2，将该抛物线向左平移得到抛物线y '，当抛物线y '经过原点时，与原抛物线的对称轴相交于点E ，点F 为抛物线y '对称轴上的一点，点M 是平面内一点，若以点A ，E ，F ，M 为顶点的四边形是以AE 为边的菱形，请直接写出满足条件的点M 的坐标______．16．如图，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点()21,0A m -和点()2,0B m +，与y 轴交于点C ，对称轴轴为直线=1x -．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是直线AC 上一动点，过点P 作PQ y ∥轴，交抛物线于点Q ，以P 为圆心，PQ 为半径作P ，当P 与坐标轴相切时，求P 的半径；(3)直线()340y kx k k =++≠与抛物线交于M ，N 两点，求AMN 面积的最小值．17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于两点()1,0A -和()3,0B ，与y 轴交于点C ，抛物线上有一动点P ，抛物线的对称轴交x 轴于点E ，连接EC ，作直线BC ．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 为直线BC 上方抛物线上一动点时，连接,PB PC ，当23EBC PBC S S =△△时，求点P 坐标；(3)如果抛物线的对称轴上有一动点Q ，x 轴上有一动点N ，是否存在四边形PQCN 是矩形？若存在，在横线上直接写出点N 的坐标，若不存在，请说明理由． 18．如图，直线122y x =-+交y 轴于点A ，交x 轴于点C ，抛物线214y x bx c=-++经过点A ，点C ，且交x 轴于另一点B ．(1)直接写出点A ，点B ，点C 的坐标及抛物线的解析式；(2)在直线AC 上方的抛物线上有一点M ，求三角形ACM 面积的最大值及此时点M 的坐标；(3)将线段OA 绕x 轴上的动点(),0P m 顺时针旋转90︒得到线段O A ''，若线段O A ''与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m 的取值范围（直接写出结果即可）．参考答案：1．(1)245y x x =-++； (2)15(3)存在，点N 的坐标为(5,0)-或(0,5)-或(0,0)．2．(1)2142y x x =-++，91,2⎛⎫⎪⎝⎭(2)S 的最大值为4 (3)2m ≥或1249m -<≤-3．(1)抛物线的解析式为2=23y x x -- (2)不存在这样的点P ， (3)M 点坐标是(45)，或315()24-，4．(1)抛物线的解析式：234y x x =-++；直线BC 的解析式为4y x =-+；(2)当()26P ，时，四边形PBOC 面积最大； (3)能，点N 的坐标为52124⎛⎫ ⎪⎝⎭，或724⎛- ⎝或724⎛- ⎝．5．(1)2142y x x =--，91,2D ⎛⎫- ⎪⎝⎭．(2)①(-；①1215S S =或1279S S =6．(1)(1,0) (2)223y x x =+- (3)(4,21)或()4,5- (4)947．(1)224233y x x =--+(2)3(2P -，5)2(3)(5,0)-或(1,0)-8．(1)03A （，），20B -（，），60C （，），抛物线解析式为：2134y x x =-++； (2)3a =时，四边形ABCM 面积最大，其最大值为754，此时M 的坐标为153,4⎛⎫⎪⎝⎭；(3)当3m -≤≤-33m ≤≤时，线段O A ''与抛物线只有一个公共点．9．(1)239344y x x =-++(2)334y x =-+(3)存在，点P 的坐标为：()13,3P ，23P ⎫-⎪⎪⎝⎭，33P ⎫-⎪⎪⎝⎭10．(1)21262y x x =-++(2)153,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)点P 坐标为()46，或()55．11．(1)2512y x x =-+ (2)3(3)13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或1(1,)212．(1)21119424y x x =-++(2)①4y x =-+；①当02m <≤时，218PQRSm =；当823m <≤时，27448S m m =-+-；当843m ≤≤时，21244S m m =-+；S 的最大值为：47答案第3页，共3页 13．(1)()5,5；()2,4-；(2)点P的坐标为()或()-或()4,0或()5,0； (3)()2150566t m m m =-+<<，当52m =时，t 的最大值为2524．14．(1)该二次函数的解析式是()()21323y x x x x =+-=--；(2)①DME 的面积的最大值为52；①点M的坐标为⎝⎭或()12--．15．(1)214433y x x =-- (2)PBDC S 四边形的最大值为17，此时点P 的坐标为()3,5-(3)⎛ ⎝⎭或⎛ ⎝⎭或⎛- ⎝⎭或8,⎛- ⎝⎭16．(1)223y x x =+-(2)2或4(3)817．(1)2=23y x x --(2)⎝⎭或⎝⎭ (3)存在，⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭18．(1)()0,2A ，()2,0B -，()4,0C ，211242y x x =-++ (2)2，()2,2(3)34m -≤≤-或32m -+≤。

中考数学二次函数与三角形面积专项复习训练测试题(附答案解析)

中考数学二次函数与三角形面积专项复习训练测试题（附答案解析）1、(12分)已知抛物线y＝ax2＋bx－3经过(－1，0)，(3，0)两点，与y轴交于点C，直线y＝kx与抛物线交于A，B两点．(1)写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式；(2)当原点O为线段AB的中点时，求k的值及A，B两点的坐标；(3)是否存在实数k使得△ABC的面积为3102若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．第1题图2、如图所示，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB.(1)求该抛物线的解析式；(2)在(1)中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得△BCD的面积最大？若存在，求出D点坐标及△BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由；(3)在(1)中的抛物线上是否存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．第2题图3、如图所示，已知抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 与坐标轴分别交于点A (0，8)、B (8，0)和点E ，动点C 从原点O 开始沿OA 方向以每秒1个单位长度移动，动点D 从点B 开始沿BO 方向以每秒1个单位长度移动，动点C 、D 同时出发，当动点D 到达原点O 时，点C 、D 停止运动．(1)直接写出抛物线的解析式：____________________；(2)求△CED 的面积S 与D 点运动时间t 的函数解析式；当t 为何值时，△CED 的面积最大？最大面积是多少？(3)当△CED 的面积最大时，在抛物线上是否存在点P (点E 除外)，使△PCD 的面积等于△CED 的最大面积，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．第3题图4、(10分)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝x 与二次函数y ＝x 2＋bx 的图象相交于O 、A 两点，点A (3，3)，点M 为抛物线的顶点． (1)求二次函数的表达式；(2)长度为22的线段PQ 在线段OA (不包括端点)上滑动，分别过点P 、Q 作x 轴的垂线交抛物线于点P 1、Q 1，求四边形PQQ 1P 1面积的最大值；(3)直线OA 上是否存在点E ，使得点E 关于直线MA 的对称点F 满足S △AOF ＝S △AOM ？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．第4题图中考数学二次函数与三角形面积专项复习训练测试题（附答案解析） 1．解：(1)令x ＝0，得y ＝－3， ∴C (0，－3)，把(－1，0)和(3，0)代入y ＝ax 2＋bx －3中，得309330a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3；…………………………(3分)(2)联立方程组223y x x y kx⎧=--⎪⎨=⎪⎩，解得11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∵O 是AB 的中点，∴x 1＋x 2＝0，即22022k k +++-+= 解得k ＝－2，∴11x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩或22x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩， ∴A (－3，23)，B (3，－23)；…………………………(7分)； (3)不存在实数k 使得△ABC 的面积为3102.理由如下：假设存在实数k 使得△ABC 的面积为3102，联立方程组223y x x y kx⎧=--⎪⎨=⎪⎩，解得1212222k x k k y ⎧++=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，2222222k x k k y ⎧+-=⎪⎪⎨+-⎪=⎪⎩，则A(222,22k k k +-+-)， B(222,22k k k ++++)， ∴S △ABC ＝12OC (x B －x A )＝3102， ∴12×3×＝3102， ∴k 2＋4k ＋16＝10，即k 2＋4k ＋6＝0， ∵b 2－4ac ＝16－24<0， ∴此方程无解，∴不存在实数k 使得△ABC 的面积为3102.………………(12分)2．解：(1)把点A (－1，0)，B (3，0)代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得10930b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩，∴y ＝－x 2＋2x ＋3；【一题多解】由题意可知点A (－1，0)，点B (3，0)是抛物线与x 轴的两个交点，∴抛物线解析式为y ＝－(x ＋1)(x －3)＝－x 2＋2x ＋3. (2)存在点D ，使得△BCD 的面积最大．设D (t ，－t 2＋2t ＋3)，如解图①，作DH ⊥x 轴于点H ，C 点坐标为(0，3)，第2题解图①则S △BCD ＝S 四边形DCOH ＋S △BDH －S △BOC ＝12t (－t 2＋2t ＋3＋3)＋12(3－t )(－t 2＋2t ＋3)－12×3×3＝－32t 2＋92t ，∵－32＜0，即抛物线开口向下，在对称轴处取得最大值， ∴当t ＝－922×（－32）＝32时，S △BCD ＝－32×(32)2＋92×32＝278，即点D 的坐标为(32，154)时，S △BCD 有最大值，且最大面积为278； (3)存在点Q ，使得△QMB 与△PMB 的面积相等．如解图②，∵P (1，4)，过点P 且与BC 平行的直线与抛物线的交点即为所求Q 点之一，第2题解图②∵直线BC 为y ＝－x ＋3，∴过点P 作BC 的平行直线l 1，设l 1为y ＝－x ＋b ，将P (1，4)代入即可得到直线l 1的解析式为y ＝－x ＋5，联立方程组2523y x y x x =-+⎧⎪⎨=-++⎪⎩，解得1123x y =⎧⎨=⎩， 2214x y =⎧⎨=⎩， ∴Q 1(2，3)；∵直线PM 为x ＝1，直线BC 为y ＝－x ＋3， ∴M (1，2)，设PM 与x 轴交于点E ， ∵PM ＝EM ＝2，∴过点E 作BC 的平行直线l 2，则过点E 且与BC 平行的直线l 2与抛物线的交点也为所求Q 点之一，即将直线BC 向下平移2个单位得到直线l 2，解析式为y ＝－x ＋1，联立方程组2123y x y x x =-+⎧⎪⎨=-++⎪⎩，解得11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴Q 2(3122++-)，Q 3(3122---)， ∴满足条件的Q 点为Q 1(2，3)，Q 2()，Q 3()． 3．解：(1)y ＝－12x 2＋3x ＋8；【解法提示】把点A (0，8)、B (8，0)代入y ＝－12x 2＋bx ＋c 可得，83280c b c =⎧⎨-++=⎩，解得38b c =⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为y ＝－12x 2＋3x ＋8.(2)在y ＝－12x 2＋3x ＋8中，当y ＝0时，－12x 2＋3x ＋8＝0，解得x 1＝－2，x 2＝8， ∴E (－2，0)，∴BE ＝10，∵S △CED ＝12DE ·OC ， ∴S ＝12t (10－t )＝－12t 2＋5t ，∴S 与t 的函数关系式为：S ＝－12t 2＋5t ， ∵S ＝－12t 2＋5t ＝－12(t －5)2＋252，∴当t ＝5时，△CED 的面积最大，最大面积为252；(3)存在，当△CED 的面积最大时，t ＝5，即BD ＝DE ＝5，此时，要使S △PCD ＝S △CED ，CD 为公共边，故只需求出过点B 、E 且平行于CD 的直线即可，如解图．第3题解图设直线CD 的解析式为y ＝kx ＋b ，由(2)可知OC ＝5，OD ＝3， ∴C (0，5)，D (3，0)，把C (0，5)、D (3，0)代入y ＝kx ＋b ，得530b k b =⎧⎨+=⎩，解得535k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线CD 的解析式为y ＝－53x ＋5， ∵DE ＝DB ＝5，∴过点B 且平行于CD 的直线解析式为y ＝－53(x －5)＋5，过点E 且平行于CD 的直线解析式为y ＝－53(x ＋5)＋5，分别与抛物线解析式联立得：方程①：－12x 2＋3x ＋8＝－53(x －5)＋5，解得x 1＝8，x 2＝43，方程②：－12x 2＋3x ＋8＝－53(x ＋5)＋5，解得x 3＝343，x 4＝－2(舍去)，分别将x 值代入抛物线解析式，得y 1＝0，y 2＝1009，y 3＝－2009，又∵P 点不与E 点重合，∴满足题意的P 点坐标有3个，分别是P 1(8，0)，P 2(43，1009)，P 3(343，－2009)． 4．解：(1)由题意知，A (3，3)在二次函数y ＝x 2＋bx 的图象上，将x ＝3，y ＝3代入得9＋3b ＝3，解得b ＝－2，∴二次函数表达式为y ＝x 2－2x ；……………………………(2分) (2)如解图①所示，过点P 作PB ⊥QQ 1于点B ，第4题解图①∵PQ ＝22，且在直线y ＝x 上，∴PB ＝QB ＝2 ，………………………………………………(3分) 设P (a ，a )，则Q (a ＋2，a ＋2)，P 1(a ，a 2－2a )，Q 1(a ＋2，(a ＋2)2－2(a ＋2))，即Q 1(a ＋2，a 2＋2a )， ∴四边形PQQ 1P 1的面积为：22(2)(22)22a a a a a a S -+++--=⨯＝－2a 2＋2a ＋2＝－2(a －12)2＋52，…………………………(4分) 当Q 运动到点A 时，OP ＝OQ －PQ ＝2，a ＝1， ∴a 的取值范围为0＜a ＜1，∴当a ＝12时，四边形PQQ 1P 1的面积最大，最大值为52；…(5分) (3)存在，点E 的坐标为E 1(43，43)，E 2(143，143)，如解图②所示，连接OM ，第4题解图②∵点M 为抛物线顶点， ∴M (1，－1)，又∵OA 所在直线为y ＝x ， ∴OM ⊥OA ，即∠AOM ＝90°，在△AOF 和△AOM 中，以OA 为底，当面积相等时，则两三角形OA 边上的高相等，又∵OM ⊥OA ，且OM ＝2，∴可作两条与OA 互相平行且距离为2的直线，…………(6分)如解图②所示，在直线HD 、MC 上的点F 均满足S △AOF ＝S △AOM ，∴只需满足E 点的对称点F 在这两条直线上即可．如解图②，过点A 作AC ⊥MC 于点C ，易得四边形OACM 为矩形，AM 为该矩形的一条对角线，取AM 中点O ′，过O ′作AM 垂线，交OA 于点E 1，交MC 于点F 1，OA ＝32，∴AM ===，∴AO ′＝5，∵△AO′E 1∽△AOM ，…………………………………………(7分)∴11AE AO OE AO AO AM AM '-==，∴=，解得OE 1＝423， ∵点E 1在y ＝x 上，∴E 1(43，43)，……………………………………………………(8分) 同理可得HF 2＝GE 2＝423，又∵OG ＝2OA ＝62，∴OE 2＝62－423＝1423，∴E 2(143，143)．综上所述，符合条件的E 点的坐标为：E 1(43，43)、 E 2(143，143)．…(10分)。

最新九年级数学中考复习：二次函数综合压轴题题(面积问题)含答案

(1)求抛物线的表达式；
(2)点是线段上的动点（除、外），过点作轴的垂线交抛物线于点．
①当点的横坐标为2时，求四边形的面积；
②如图2，直线，分别与抛物线对称轴交于、两点．试问，是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
20．如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A（﹣4，0），交y轴于点B，抛物线经过A，B两点，其对称轴交x轴于点M．P是线段AM上的一动点，过点P作PC⊥x轴交直线AB于点C，交抛物线于点D．
(2)如图，点在轴的负半轴上，且，连接，并延长交抛物线于点，点为直线上方抛物线上一动点，连接，，当的面积最大时，请求出的最大值及点的坐标；
(3)如图，将抛物线沿射线方向平移个单位到新抛物线，此时新抛物线顶点记为，为新抛物线上一点，若是以为直角边的直角三角形，请直接写出满足条件的点的横坐标．
(3)平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标．
(4)探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P，C，A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．
18．已知抛物线与轴交于点和点，直线交轴于点和轴于点．
①连接，当的面积最大时，求此时点F的坐标；
②探究是否存在点D使得为直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由．
8．如图，抛物线：与轴交于，两点，且顶点为，直线经过，两点．
(1)求直线的表达式与抛物线的表达式；
(2)如图，将抛物线沿射线方向平移一定距离后，得到抛物线为，其顶点为，抛物线与直线的另一交点为，与轴交于，两点点在点右边，若，求点的坐标；

二次函数压轴题专题突破练专题04 二次函数背景下的图形面积的探究(学生版)

备战2019年中考数学压轴题之二次函数专题04 二次函数背景下的图形面积的探究【方法综述】面积问题中，以三角形的面积的情况居多，通常三角形的面积探究方法如下：方法一：应用相似三角形性质，面积比等于相似比平方处理面积；方法二：同底等高类的三角形面积：当两个三角形同底（高）等高（底）时，两个三角形的面积相等，同底（高）且高（底）不等的两个三角形面积之比等于高（底）之比方法三：割补法，一些情况下，三角形和四边形的面积可以采用割补法解决；坐标系中的三角形面积可以采用平行线相切法例如：求抛物线在直线AC 上方一点，使得△PAC 面积最大，当把直线AC 向上平移时，与抛物线的切点即为满足条件的P 点，因此，若直线AC 斜率为k ，则可以设一条直线解析式为y=kx+b ，该直线与抛物线联立的方程有两个相等实数根时，可求得b ，进而求得P 点坐标。

另外，用铅垂高法解决面积最值问题基本模型如下：S △PAB ＝12·PQ·||x B －x A .根据二次函数解析式设出点P 的坐标，结合一次函数解析式从而得到点Q 的坐标，从而转化为S 与点P 横坐标之间的二次函数解析式，再根据二次函数增减性求最值.一般情况下，当铅P垂线段PQ最大时，S△PAB取得最大值，此时点Q为线段AB的中点.【典例示范】类型一实际问题的面积探究例1：用一段长32m的篱笆和长8m的墙，围成一个矩形的菜园．（1）如图1，如果矩形菜园的一边靠墙AB，另三边由篱笆CDEF围成①设DE等于xm，直接写出菜园面积y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；②菜园的面积能不能等于110m2？若能，求出此时x的值；若不能，请说明理由；（2）如图2，如果矩形菜园的一边由墙AB和一节篱笆BF构成，另三边由篱笆ADEF围成，求菜园面积的最大值．针对训练1.如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的长方形菜园ABCD，设与墙平行的篱笆AB的长为xm，菜园的面积为ym2．（1）试写出y与x之间的关系式；（2）当AB的长为10m，菜园的面积是多少？2.问题情境:有一堵长为的墙，利用这堵墙和长为的篱笆围成一个矩形养鸡场，怎样围面积最大？最大面积是多少？题意理解:根据题意，有两种设计方案：一边靠墙（如图①）和一边“包含”墙（如图②）．特例分析:（1）当时，若按图①的方案设计，则该方案中养鸡场的最大面积是；若按图②的方案设计，则该方案中养鸡场的最大面积是．（2）当时，解决“问题情境”中的问题．解决问题:（3）直接写出“问题情境”中的问题的答案．3晨光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．(1)若平行于墙的一边长为y米，直接写出y与x的函数关系式及其自变量x的取值范围；(2)设这个苗圃园的面积为S，求S与x之间的函数关系．4.2018年，汶上县县委、县政府启动创建全国卫生县城和全国文明县城工作，各单位都积极投身创城工作某单位为进一步美化我县环境，在临街的围墙外靠墙摆设一长方形花圃景观，花圃一边靠墙，墙长18m，外围用40m的栅栏围成，如图所示，若设花圃的BC边长为x(m)，花圃的面积为y(m2)．(1)求出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)利用所学知识试着求出花圃的最大面积．5．某小区业主委员会决定把一块长50m，宽30m的矩形空地建成健身广场，设计方案如图所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区为全等的矩形），空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，其宽度不小于14m，不大于26m，设绿化区较长边为xm，活动区的面积为ym2（1）直接写出：①用x的式子表示出口的宽度为；②y与x的函数关系式及x的取值范围；（2）求活动区的面积y的最大面积；（3）预计活动区造价为50元/m2，绿化区造价为40元/m2，如果业主委员会投资不得超过72000元来参与建造，当x为整数时，共有几种建造方案？类型二面积计算例2．已知直线l：y＝kx＋1与抛物线y＝x2－4x.(1)求证：直线l与该抛物线总有两个交点；(2)设直线l与该抛物线的两交点为A，B，O为原点，当k＝－2时，求△OAB的面积．针对训练1.如图，直线与轴交于点，与轴交于点,抛物线经过点.(1)求抛物线的解析式，(2)已知点是抛物线上的一个动点，并且点在第二象限内，过动点作轴于点，交线段于点.①如图1，过作轴于点，交抛物线于两点(点位于点的左侧)，连接，当线段的长度最短时，求点的坐标，②如图2，连接，若以为顶点的三角形与相似，求的面积.2.如图，已知抛物线与轴、轴分别相交于点A（－1，0）和B（0，3），其顶点为D．（1）求这条抛物线的解析式；（2）若抛物线与轴的另一个交点为E，求△ODE的面积；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P使得△PAB的周长最短．若存在请求出点P的坐标，若不存在说明理由．3.如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线W的函数表达式为y=﹣x2+x+4．抛物线W与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧，与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点D，直线l经过C、D两点．(1)求A、B两点的坐标及直线l的函数表达式．(2)将抛物线W沿x轴向右平移得到抛物线W′，设抛物线W′的对称轴与直线l交于点F，当△ACF为直角三角形时，求点F的坐标，并直接写出此时抛物线W′的函数表达式．(3)如图2，连接AC，CB，将△ACD沿x轴向右平移m个单位（0＜m≤5），得到△A′C′D′．设A′C交直线l 于点M，C′D′交CB于点N，连接CC′，MN．求四边形CMNC′的面积（用含m的代数式表示）．4.抛物线经过点A(3,0) 和点B（0,3）,且这个抛物线的对称轴为直线l，顶点为C.（1）求抛物线的解析式；（2）连接AB、AC、BC，求△ABC的面积.5.如图1，抛物线的顶点A的坐标为（1，4），抛物线与x轴相交于B、C两点，与y轴交于点E（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）已知点F（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG+FG最小，如果存在，求出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）如图2，连接AB，若点P是线段OE上的一动点，过点P作线段AB的垂线，分别与线段AB、抛物线相交于点M、N（点M、N都在抛物线对称轴的右侧），当MN最大时，求△PON的面积．6．已知：m，n是方程x2﹣6x+5＝0的两个实数根，且m＜n，抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n）．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标和△BCD的面积．7.已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（b，c均为常数）的图象经过两点A（2，0），B（0，﹣6）．（1）求这个二次函数的解析式；（2）若点C（m，0）（m＞2）在这个二次函数的图象上，连接AB，BC，求△ABC的面积．9.如图，二次函数与一次函数交于顶点和点两点，一次函数与轴交于点.（1）求二次函数和一次函数的解析式；（2）轴上存在点使的面积为9，求点的坐标.类型三三角形面积的最值问题例3．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°得到平行四边形A′B′OC′．抛物线y＝﹣x2+2x+3经过点A、C、A′三点．（1）求A、A′、C三点的坐标；（2）求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′OC′重叠部分△C′OD的面积；（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并写出此时M的坐标．针对训练1.如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．2.如图1，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（-1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2），点P是抛物线上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，交直线BC于点D．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标；（3）如图2，当点P位于直线BC上方的抛物线上时，过点P作PE⊥BC于点E，设△PDE的面积为S，求当S取得最大值时点P的坐标，并求S的最大值．3.已知：抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，直线y＝﹣x+3经过B、C两点（1）填空：b＝（用含有a的代数式表示）；（2）若a＝﹣1①点P为抛物线上一动点，过点P作PM∥y轴交直线y＝﹣x+3于点M，当点P在第一象限内时，是否存在一点P，使△PCB面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．②当m≤x≤m+3时，y的取值范围是2m≤y≤4，求m的值．4．如图，直线AB和抛物线的交点是A(0，﹣3)，B(5，9)，已知抛物线的顶点D的横坐标是2．(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；(2)在x轴上是否存在一点C，与A，B组成等腰三角形？若存在，求出点C的坐标，若不在，请说明理由；(3)在直线AB的下方抛物线上找一点P，连接PA，PB使得△PAB的面积最大，并求出这个最大值．5.如图，已知，二次函数的图像交轴正半轴于点，顶点为，一次函数的图像交轴于点，交轴于点，的正切值为.（1）求二次函数的解析式与顶点坐标；（2）将二次函数图像向下平移个单位，设平移后抛物线顶点为，若，求的值.6.如图，已知抛物线的对称轴是直线x=3，且与x轴相交于A，B两点（B点在A点右侧）与y轴交于C点．（1）求抛物线的解析式和A、B两点的坐标；（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由；（3）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN=3时，求M点的坐标．7.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（-1，0），C（0，3）．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BCD的面积最大时，求点P 的坐标；(3)如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，N是线段EF上一动点，M（m，0）是x轴上一动点，若∠MNC=90°，直接写出实数m的取值范围．8.已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣3（m是常数）．（1）证明：无论m取什么实数，该抛物线与x轴都有两个交点；（2）设抛物线的顶点为A，与x轴两个交点分别为B，D，B在D的右侧，与y轴的交点为C．①求证：当m取不同值时，△ABD都是等边三角形；②当|m|≤，m≠0时，△ABC的面积是否有最大值，如果有，请求出最大值，如果没有，请说明理由．9.如图，抛物线与x轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点.⑴求该抛物线的解析式；⑵设⑴中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.⑶在抛物线上BC段是否存在点P，使得△PBC面积最大，若存在，求P点坐标；若不存在，说明理由.10.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于A(－4，0)、B(－1，0)两点，与y轴交于点C，点D是第三象限的抛物线上一动点．(1)求抛物线的表达式；(2)设点D的横坐标为m，△ACD的面积为S，求出S与m的函数关系式，并确定m为何值时S有最大值，最大值是多少？11．如图，已知抛物线过点A（4，0），B（﹣2，0），C（0，﹣4）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点M是抛物线AC段上的一个动点，当图中阴影部分的面积最小值时，求点M的坐标．类型四以面积为条件的问题计算例4：如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与直线y＝x﹣3交于点A（3，0）和点B（﹣2，n），与y轴交于点C．（1）求出抛物线的函数表达式；（2）在图1中，平移线段AC，点A、C的对应点分别为M、N，当N点落在线段AB上时，M点也恰好在抛物线上，求此时点M的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点P（不与点A重合），使△PMC的面积与△AMC的面积相等？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．针对训练1.如图，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，顶点为，，求：抛物线的解析式；若抛物线上有一点，使得直线将的面积分成相等的两部分，求点的坐标．2.如图，在直角坐标系中，O是坐标原点，直线AB交x轴于点A（﹣4，0），交y轴于点B，抛物线y=ax2+2ax+3（a≠0）经过A，B两点．P是线段AO上的一动点，过点P作PC⊥x轴交直线AB于点C，交抛物线于点D．（1）求a及AB的长．（2）连结PB，若tan∠ABP=，求点P的坐标．（3）连结BD，以BD为边作正方形BDEF，是否存在点P使点E恰好落在抛物线的对称轴上？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（4）连结OC，若S△BDC：S△OBC=1：2，将线段BD绕点D按顺时针方向旋转，得到DB′．则在旋转的过程中，当点A，B到直线DB′的距离和最大时，请直接写出点B′的坐标．3.如图，对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．（1）求点B的坐标；（2）已知a＝1，C为抛物线与y轴的交点，若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC．求点P的坐标．4．在平面直角坐标系中，抛物线与轴的两个交点分别为A（-3，0）、B（1，0），与y轴交于点D(0，3)，过顶点C作CH⊥x轴于点H.（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；（2）连结AD、CD，若点E为抛物线上一动点（点E与顶点C不重合），当△ADE与△ACD面积相等时，求点E的坐标；（3）若点P为抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），过点P向CD所在的直线作垂线，垂足为点Q，以P、C、Q为顶点的三角形与△ACH相似时，求点P的坐标.5.如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A，D两点，并经过B点，对称轴交x轴于点C，连接BD，BC，已知A点坐标是（2，0），B点的坐标是（8，6）（1）求二次函数的解析式．（2）求该函数图象的顶点坐标及D点的坐标．（3）抛物线上有一个动点P，与A，D两点构成△ADP，是否存在S△ADP=S△BCD？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在．请说明理由．6.如图，已知二次函数的图象经过点A(4,0)，与y轴交于点B．在x轴上有一动点C(m,0)(0<m<4)，过点C作x轴的垂线交直线AB于点E，交该二次函数图象于点D．（1）求a的值和直线AB的解析式；（2）过点D作DF⊥AB于点F，设△ACE，△DEF的面积分别为S1，S2，若S1=4S2，求m的值；（3）点H是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点G是线段AB上的动点，当四边形DEGH是平行四边形，且周长取最大值时，求点G的坐标．7.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象对称轴为x=，图象交x轴于A，B，交y轴于C（0，-3），且AB=5，直线y=kx+b（k＞0）与二次函数图象交于M，N（M在N的右边），交y轴于P．（1）求二次函数图象的解析式；（2）若b=-5，且△CMN的面积为3，求k的值；（3）若b=-3k，直线AN交y轴于Q，求的值或取值范围．8.已知抛物线y＝﹣x2﹣（m+3）x+m2﹣12与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1＜0，x2＞0，抛物线与y轴交于点C，OB＝2OA．（1）求抛物线解析式；（2）已知直线y＝x+2与抛物线相交于M、N两点，分别过M、N作x轴的垂线，垂足为M1、N1，是否存在点P，同时满足如下两个条件：①P为抛物线上的点，且在直线MN上方；②:＝6：35若存在，则求点P横坐标t，若不存在，说明理由．9.如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0）（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△P AB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）该抛物线有一点D（x，y），使得S△ABC＝S△DBC，求点D的坐标．10.如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（2，0），B（0，2），与x轴交于另一点C．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）点P是抛物线y＝﹣x2+bx+c在第一象限上的点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为D，E，求四边形ODPE的周长的最大值；（3）如图2，点P是抛物线y＝﹣x2+bx+c在第一象限上的点，过点P作PN⊥x轴，垂足为N，交AB于M，连接PB，P A．设点P的横坐标为t，当△ABP的面积等于△ABC面积的时，求t的值．。

二次函数背景下三角形面积最值问题的几种解法

数学篇纵观近年来各地中考数学试题，一类以二次函数为载体，探讨图形面积的最值问题频频出现.这类试题整合了代数和几何的部分重要知识，并融合了许多数学方法，难度颇高.如何根据题目提供的信息，依据图形的变化特征，抓住解答问题的关键，从而化难为易，正确解题呢？对此，笔者介绍四种常用方法，希望能给同学们攻破难题带来帮助.一、割补法在平面直角坐标系中，当三角形任意一边均不在坐标轴上，或者不与坐标轴平行时，一般采用割补法求解.割补法分为两部分，割是指将图形分解成几部分分别求解；补是指将所求图形填上一部分，然后用补后的图形面积减去所补部分的面积.两种方法的实质都是将二次函数中图形面积的最值问题通过“转化”思想，化为“线段（和）”最值问题，间接地求出图形面积的最值.例1如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2+2x -3交x 轴于点A ，B ，在y 轴上有一点E （0，1），连接AE ．（1）求直线AE 的解析式；（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴下方的一个动点，求△ADE面积的最大值．图1解：（1）∵y =x 2+2x -3=(x +3)(x -1)，∴当y =0时，x 1=-3，x 2=1，∴点A 的坐标为（-3，0），设直线AE 的解析式为y =kx +b ，∵过点A （-3，0），E （0，1），∴ìíî-3k +b =0,b =1,解得：ìíîïïk =13,b =1,∴直线AE 的解析式为y =13x +1；（2）如图1，过点D 作DG ⊥x 轴于点G ，延长DG 交AE 于点F ，设D (m ,m 2+2m -3)，则F (m ,13m +1)，∴DF =-m 2-2m +3+13m +1=-m 2-53m +4，∴S △ADE =S △ADF +S △DEF=12×DF ×AG +12DF ×OG =12×3×DF =32(-m 2-53m +4)=-32(m +56)2+16924，∴当m =-56时，△ADE 的面积取得最大值为16924．二、铅垂法如图2，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”(h )．我们可以得出一种计算三角形面积的新方法：即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.这种方法我们称之为铅垂法.求二次函数中三角形面积的最值，往往可以转化为求铅垂高的最值，当铅垂高取得最大值时，三角形的面积最大.二次函数背景下三角形面积最值问题的几种解法四川绵阳陈霖数苑纵横23数学篇例2已知：如图3，抛物线y＝ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（-2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？图3解：（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（-2，0），∴设抛物线解析式为y=a(x-6)(x+2)，将点A（0，6）代入，得：-12a=6，解得：a=-12，所以抛物线的解析式为y=-12(x-6)(x+2)=-12x2+2x+6；（2）如图3，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，设直线AB解析式为y=kx+b，将点A（0，6）、B（6，0）代入，得：ìíîb=6,6k+b=0,解得：ìíîk=-1,b=6,则直线AB的解析式为y=-x+6，设P(t,-12t2+2t+6)，其中0＜t＜6，则N(t,-t+6)，所以PN=PM-MN=-12t2+2t+6-(-t+6)=-12t2+3t，所以S△PAB=S△PAN+S△PBN=12PN⋅AG+12PN⋅BM=12PN(AG+BM)=12PN⋅OB=12×(-12t2+3t)×6=-32(t-3)2+272，所以当t=3，P位于（3，152）时，△PAB三、切线法切线法体现了数学中最为常见的数形结合思想，将三角形的一边作为三角形的底，只要求出高的最大值就可以求出面积的最值．将底边所在的直线平移，与抛物线只有一个交点，即相切时，两直线的距离即高的长度最大，然后将直线与抛物线的解析式联立方程组，求出切点的坐标，此时不用求出三角形面积的解析式就可直接运用三角形的面积公式求出最值．例3如图4，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x-4与x轴，y轴分别交于点A和点B.抛物线y=ax2+bx+c经过A，B两点，且对称轴为直线x=-1，抛物线与x轴的另一交点为点C.（1）求抛物线的函数表达式；（2）设点E是抛物线上一动点，且点E在直线AB下方.当△ABE的面积最大时，求点E的坐标，及△ABE面积的最大值S.图4解：（1）在y=-x-4中分别令x=0，y=0，可得点A（-4，0），B（0，-4），根据A，B坐标及对称轴为直线x=-1，可得方程组ìíîïïïï-b2a=-1,16a-4b+c=0,c=-4,解方程组可得：ìíîïïïïa=12,b=1,c=-4,∴抛物线的函数表达式为y=12x2+x-4；（2）设点E的坐标为(m，12m2数苑纵横数学篇上且距AB 最远，此时E 点所在直线与AB 平行，且与抛物线相切，只有一个交点，设点E 所在直线为l ：y =-x +b ，联立得方程组：ìíîïïy =-x +b ,y =12x 2+x -4,消去y ，得：12x 2+2x -4-b ＝0，据题意得Δ=22-4×12(-4-b )=0，解得b =-6，∴直线l 的解析式为y =-x -6，联立方程，得ìíîïïy =-x -6,y =12x 2+x -4,解得：ìíîx =-2,y =-4,∴点E (-2,-4)，过点E 作y 轴的平行线交直线AB 于H ，此时点N （-2，-2），EN =-2-（-4）=2，∴S △ABE =12EN ×AO =12×2×4=4，△ABE 面积的最大值为4.四、三角函数法对于三角形问题，三角函数的引入可以为求线段长度提供新的解题思路.在直角三角形中，只需要知道一边的长度和除直角外任意一个角的度数，就可以用三角函数式表示出其余的边长或高.然后将三角函数式带入三角形面积公式，求出三角形面积的解析式，利用二次函数的性质即可求得面积最值.例4如图5，已知抛物线y =-x 2+bx +c 经过点A （-1，0），B （3，0）两点，且与y 轴交于点C .（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线交y 轴于点C ，在抛物线上的第一象限上是否存在一点P ，使△PAC 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标及△PAC 面积的最大值；若不存在，请说明理由.图5解：（1）把A （-1，0），B （3，0）代入y =-x 2+bx +c ，可得，{-1+b +c =0，-9-3b +c =0，解得{b =-2，c =3，∴抛物线的解析式为：y =-x 2-2x +3.（2）如图5，作PE ⊥x 轴于点E ，交AC 于点F ，作PM ⊥AC 于点M .设直线AC 的解析式为y =mx +n ，把B （-3，0）、C （0，3），代入得{-3m +n =0，n =3，解得{m =1，n =3，故直线BC 的解析式为y =x +3.设点P 的坐标为（x ，-x 2-2x +3）（-3＜x ＜0），则点F 的坐标为（x ，x +3）.由A 、C 坐标可知，AC =32，S ΔPAC =12AC ∙PM=12×32PF ∙sin ∠PFM =]()-x 2-2x +3-()x +3∙sin ∠ACO =32()-x 2-3x =-32æèöøx +322+278,当x =-32时，-x 2-2x +3=154，即P (-32,154).所以存在一点P ，使△PAC 的面积最大，最大值为278，P 点坐标为(-32,154).通过对以上四种方法的分析介绍，相信同学们对二次函数背景下三角形面积的最值问题的解法有了一定的了解.同学们只要掌握好了这四种方法，在二次函数的综合题中，再出现求图形面积的最值问题，就能轻松应对了.数苑纵横25。

二次函数与面积最值定值问题(六大类型)-2023年中考数学压轴题(解析版)

二次函数与面积最值定值问题(六大类型)1.考向分析题型一:二次函数与三角形面积最值问题1如图，已知抛物线y =12x 2+bx 过点A (-4，0)、顶点为B ，一次函数y =12x +2的图象交y 轴于M ，对称轴与x 轴交于点H ．(1)求抛物线的表达式；(2)已知P 是抛物线上一动点，点M 关于AP 的对称点为N ．①若点N 恰好落在抛物线的对称轴上，求点N 的坐标；②请直接写出△MHN 面积的最大值．【解析】解：(1)∵抛物线y =12x 2+bx 过点A (-4，0)，∴12×(-4)2-4b =0，解得：b =2，∴该抛物线的表达式为y =12x 2+2x ；(2)①∵y =12x 2+2x ，∴抛物线对称轴为直线x =-22×12=-2，∵对称轴与x 轴交于点H ，∴H (-2，0)，∵A (-4，0)，∴AH =2，∵直线y =12x +2交y 轴于M ，∴M (0，2)，∴AM 2=OA 2+OM 2=42+22=20，设N (-2，n )，则NH =|n |，如图1、图2，∵M 、N 关于直线AP 对称，∴AN =AM ，即AN 2=AM 2，∴22+n 2=20，∴n =±4，∴点N 的坐标为(-2，-4)或(-2，4)；②如图，连接MH ，以点A 为圆心，AM 为半径作⊙A ，过点A 作AN ⊥MH 于点F ，交⊙A 于点N ，则AN =AM ，在Rt △AMO 中，OM =2，OA =4，∴AM =OA 2+OM 2=42+22=25，∴AN =25，∵OH =OM =2，∠HOM =90°，∴△HOM 是等腰直角三角形，∠MHO =45°，MH =22，∴∠AHF =∠MHO =45°，在Rt △AFH 中，AH =OA -OH =4-2=2，∴AF =AH ×sin45°=2×22=2，∴NF =AN +AF =25+2，∴S △MHN =12MH •NF =12×22×(25+2)=210+2，故△MHN 面积的最大值为210+2．题型二:二次函数与三角形面积等积问题2如图，等腰直角三角形OAB 的直角顶点O 在坐标原点，直角边OA ，OB 分别在y 轴和x 轴上，点C 的坐标为(3，4)，且AC 平行于x 轴．(1)求直线AB 的解析式；(2)求过B ，C 两点的抛物线y =-x 2+bx +c 的解析式；(3)抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴的另一个交点为D ，试判定OC 与BD 的大小关系；(4)若点M 是抛物线上的动点，当△ABM 的面积与△ABC 的面积相等时，求点M 的坐标．【解析】解：(1)∵点C 的坐标为(3，4)，且AC 平行于x 轴，∴点A 的坐标为(0，4)且OA =4，∵△OAB 是等腰直角三角形，∠AOB =90°，∴OB =OA =4，∵点B 的坐标为(4，0)，设直线AB的解析式为：y=mx+n，由题意得4m+n=0n=4，解得：m=-1n=4，∴直线AB的解析式为：y=-x+4；(2)∵抛物线y=-x2+bx+c过B，C两点，∴-16+4b+c=0-9+3b+c=4，解得：b=3c=4，∴抛物线的解析式为：y=-x2+3x+4；(3)BD=OC；理由：∵抛物线的解析式为y=-x2+3x+4=-x-322+52，∴抛物线的对称轴直线为x=32，∵点B的坐标为(4，0)，点B与点D关于对称轴对称，∴点D的坐标为(-1，0)，∴BD=4-(-1)=5，∵点C的坐标为(3，4)，∴OC=32+42=5，∴BD=OC；(4)∵点C的坐标为(3，4)，且AC平行于x轴，∴AC=3，∴S△ABC=12AC•y C=12×3×4=6，当点M在直线AB的上方时，如图所示，过点M作MN∥y轴，交直线AB于点N，设M的坐标为(t，-t2+3t+4)，则N的坐标为(t，-t+4)，∴MN=-t2+3t+4-(-t+4)=-t2+4t，∴S△AMB=12MN•x B=12×(-t2+4t)×4=-2t2+8t，∵△ABM的面积与△ABC的面积相等，∴-2t2+8t=6，解得：t=1或t=3(舍，该点为点C)，此时M的坐标为(1，6)或(3，4)；当点M在直线AB的下方时，如图所示，过点M作MN∥x轴，交直线AB于点N，设M的坐标为(t，-t2+3t+4)，则N的坐标为(t2-3t，-t2+3t+4)，∴MN=t2-3t-t=t2-4t，∴S△ABM=12MN•y A=12×(t2-4t)×4=2t2-8t，∵△ABM的面积与△ABC的面积相等，∴2t2-8t=6，解得：t=2±7，此时M的坐标为(2+7，-1-7)或(2-7，7-1)；综上可得，M的坐标为(2+7，-1-7)或(2-7，7-1)或(1，6)．题型三:二次函数与四边形面积最值问题3如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．已知A(3，0)，该抛物线的对称轴为直线x=1．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)求点B、C的坐标；(3)将线段BC平移，使得平移后线段的一个端点在这条抛物线上，另一个端点在x轴上，若将点B、C平移后的对应点分别记为点D、E，求以B、C、D、E为顶点的四边形面积的最大值．【解析】解：(1)∵抛物线对称轴为直线x=-b-2=1，∴b=2，∴y=-x2+2x+c，将(3，0)代入y=-x2+2x+c得0=-9+6+c，解得c=3，∴y=-x2+2x+3．(2)∵抛物线对称轴为直线x=1，点A坐标为(3，0)，∴由抛物线对称性可得点B坐标为(-1，0)，将x=0代入y=-x2+2x+3得y=3，∴点C坐标为(0，3)．(3)如图，可得图2中四边形面积最大，∵BC∥DE且BC=DE，图1图2图3∵y C-y B=y E-y D，∴y D=-3，将y=-3代入y=-x2+2x+3得-3=-x2+2x+3，解得x1=1-7(舍)，x2=1+7，∴点E横坐标为1+7+1=2+7，∴BE=2+7+1=3+7，∴S四边形BDEC =12BE•y C+12BE•|y D|=12×(3+7)×3+12×(3+7)×3=9+37．题型四:二次函数与面积分割问题4已知抛物线y=x2+4mx+4m2-4m-3的顶点C在定直线l上．(1)求C点的坐标(用含m的式子表示)；(2)求证：不论m为何值，抛物线与定直线l的两交点间的距离d恒为定值；(3)当抛物线的顶点C在y轴上，且与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)时，是否存在直线n满足以下三个条件：①n与抛物线相交于点M，N(点M在点N的左侧)，且与线段AC交于点P；②∠APN=2∠ACO；③n将△ABC的面积分成1：2的两部分．若存在，求出直线n的解析式；若不存在，请说明理由．【解析】(1)解：∵y=x2+4mx+4m2-4m-3=(x+2m)2-4m-3，∴顶点C(-2m，-4m-3)；(2)证明：∵C(-2m，-4m-3)，∴C点在直线y=2x-3上，∴定直线l为y=2x-3，联立方程组y=2x-3y=x2+4mx+4m2-4m-3 ，解得x=-2my=-4m-3或x=2-2my=-4m+1，∴两个交点分别为(-2m，-4m-3)，(2-2m，-4m+1)，∴d=(2-2m+2m)2+(-4m+1+4m+3)2=25，∴抛物线与定直线l的两交点间的距离d恒为定值；(3)解：存在直线n，理由如下：∵顶点C在y轴上，∴m=0，∴y=x2-3，令y=0，则x2-3=0，解得x=3或x=-3，∴A(-3，0)，B(3，0)，∴AB=23，∵抛物线关于y轴对称，∴∠ACO=∠BCO，∵∠APN=2∠ACO，∴∠APN=∠ACB，∴MN ∥BC ，设直线BC 的解析式为y =kx +b ，∴b =-33k +b =0 ，解得k =3b =-3 ，∴y =3x -3，设直线MN 的解析式为y =3x +t ，直线MN 与x 轴的交点为H ，∵直线MN 将△ABC 的面积分成1：2，∴S △PAH =13S △ACB 或S △PAH =23S △ACB ，∴AH AB2=13或AH AB 2=23，∴AH 23=33或AH 23=63，解得AH =2或AH =22，∴H (2-3，0)或(22-3，0)，∴直线MN 的解析式为y =3x +3-23或y =3x +3-26．题型五:二次函数与面积比问题5如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y =23x 2+bx -2的图象与x 轴交于点A (3，0)，B (点B 在点A 左侧)，与y 轴交于点C ，点D 与点C 关于x 轴对称，作直线AD ．(1)填空：b =　-43　；(2)将△AOC 平移到△EFG (点E ，F ，G 依次与A ，O ，C 对应)，若点E 落在抛物线上且点G 落在直线AD 上，求点E 的坐标；(3)设点P 是第四象限抛物线上一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为H ，交AC 于点T ．若∠CPT +∠DAC =180°，求△AHT 与△CPT 的面积之比．【解析】解：(1)把A (3，0)代入y =23x 2+bx -2，得23×9+3b -2=0，解得b =-43；故答案为：-43；(2)如图所示：由(1)得y =23x 2-43x -2，令x =0，y =-2，∴C (0，-2)，∵点D 与点C 关于x 轴对称，∴D (0，2)，设直线AD ：y =kx +2，把A (3，0)代入y =kx +2，得3k +2=0，解得k =-23，∴直线AD 解析式：y =-23x +2，∵将△AOC 平移到△EFG ，∴OA =EF =3，FG =OC =2，设E m ，23m 2-43m -2 ，则G m -3，-23(m -3)+2 ，F m -3，-23(m -3)+4 ，∵EF ∥x 轴，∴23m 2-43m -2=-23(m -3)2+4，解得m =-3或m =4，∴E (-3，8)或4，103；(3)如图所示：过C 作CK ⊥AD ，CQ ⊥HP ，∵OD =2，OA =3∴AD =13，∵CK ⊥AD∴CD •AO =AD •CK ，∴CK =121313，DK =81313，AK =51313，∴tan ∠CAK =CK AK=125，∵CQ ⊥HP ，∴∠CPQ +∠CPT =180°，∵∠CPT +∠DAC =180°，∴∠CPQ =∠CAK ，∴tan ∠CPQ =tan ∠CAK =125，∴CQ PQ =125，设P n ，23n 2-43n -2 ，∴PQ =23n 2-43n ，CQ =n ，∴n 23n 2-43n =125，解得n =218，∴P 218，-2932，∴CQ =218，AH =3-218=38，∵tan ∠OAC =TH AH =OC OA =23，∴TH =23AH =23×38=14，∴TP =2132，∴S △ATH S △CPT =12×AH ×TH 12×TP ×CQ =8147，即△AHT 与△CPT 的面积之比为8：147．题型六:函数关系与面积问题6平面直角坐标系中，已知抛物线y =-x 2+(1+m )x -m (m 为常数，m ≠±1)与轴交于定点A 及另一点B ，与y 轴交于点C ．(1)当点(2，2)在抛物线上时，求抛物线解析式及点A ，B ，C 的坐标；(2)如图1，在(1)的条件下，D 为抛物线x 轴上方一点，连接BD ，若∠DBA +∠ACB =90°，求点D 的坐标；(3)若点P 是抛物线的顶点，令△ACP 的面积为S ，①直接写出S 关于m 的解析式及m 的取值范围；②当58≤S ≤158时，直接写出m 的取值范围．【解析】(1)将点(2，2)代入y =-x 2+(1+m )x -m ，求出m 即可确定函数的解析式；(2)过D 点作DE ⊥x 轴交于E ，过A 点作AF ⊥BC 交于F ，由题意可知∠ACB =∠BDE ，求出tan ∠ACF =tan ∠BDE =BE DE=35，设D (t ，-t 2+5t -4)(0<t <4)，求出t 的值即可求D 点坐标；(3)①求出P 1+m 2，(1-m )24，C (0，-m )，定点A (1，0)，B (m ，0)，AC 的解析式为y =kx +b ，y =mx -m ，再画出函数图象结合函数图象分类讨即可；②对①中求出的解析式分别进行求解即可．【解答】解：(1)将点(2，2)代入y =-x 2+(1+m )x -m ，∴m =4，∴y =-x 2+5x -4，令x =0，则y =-4，∴C (0，-4)，令y =0，则-x 2+5x -4=0，∴x =1或x =4，∴A (1，0)，B (4，0)；(2)如图1，过D 点作DE ⊥x 轴交于E ，过A 点作AF ⊥BC 交于F ，∵∠DBA +∠ACB =90°，∠DBA +∠BDE =90°，∴∠ACB =∠BDE ，∵B (4，0)，C (0，-4)，∴OB =OC =4，∴∠OBC =45°，∵BA =3，∴AF =322，∵A (1，0)，∴AC =17，∴CF =522，∴tan ∠ACF =AF CF =35，∴tan ∠BDE =BE DE=35，设D (t ，-t 2+5t -4)(0<t <4)，∴4-t -t 2+5t -4=35，解得x =4(舍)或x =83，∴D 83，209；(3)①∵y =-x 2+(1+m )x -m =-x -1+m 2 2+(1-m )24，∴P 1+m 2，(1-m )24，令x =0，则y =-m ，∴C (0，-m )，令y =0，则-x 2+(1+m )x -m =0，解得x =1或x =m ，∴定点A (1，0)，B (m ，0)，设AC 的解析式为y =kx +b ，∴k +b =0b =-m，解得k =m b =-m ，∴y =mx -m ，如图2，当m <-1时，S =S 梯形PNOC +S △OCA -S △PAN =12×(1-m )24-m×1+m 2+12×1×(-m )-12×1-1+m 2 ×(1-m )24=18m 2-18；如图3，当-1<m <0时，S =S 梯形PNOC +S △PNA -S △AOC =12×(1-m )24-m ×1+m 2+12×1-1+m 2 ×(1-m )24-12×1×(-m )=-18m 2+18；如图4，当0≤m <1时，设对称轴与直线AC 交于点M ，∴M 1+m 2，m 2-m 2，∴PM =-14m 2+14，∴S =12×-14m 2+14 ×1=-18m 2+18；如图5，当m >1时，过点C 作CM ⊥PN 交于点M ，∴M 1+m 2，-m ，∴S =S 矩形OCMN +S △APN -S △OCA -S △CMP =1+m 2×m +12×1+m 2-1 ×(1-m )24-12×1×m -12×1+m 2×(1-m )24+m =18m 2-18；综上所述：当m <-1时，S =18m 2-18；当-1<m <1，S =-18m 2+18；当m >1时，S =18m 2-18；②当m <-1时，58≤18m 2-18≤158，解得-4≤m ≤-6；当-1<m <0，58≤-18m 2+18≤158，此时m 无解；当0≤m <1时，58≤-18m 2+18≤158，此时m 无解；当m >1时，58≤18m 2-18≤158，解得6≤m ≤4；综上所述：当58≤S ≤158时，-4≤m ≤-6或6≤m ≤4．2.压轴题速练1一、解答题1(2023春·全国·九年级专题练习)已知：如图，抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)与坐标轴分别交于点A (0,6)，B (6,0)，C (-2,0)，点P 是线段AB上方抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 运动到什么位置时，△PAB 的面积有最大值，面积最大值是多少？【答案】(1)y =-12x 2+2x +6(2)当P 3,152 时，△PAB 的面积有最大值，最大值是272．【解析】(1)由题意得：36a +6b +c =04a -2b +c =0c =6，解得：a =-12b =2c =6，∴抛物线的表达式为：y =-12x 2+2x +6；(2)∵A (0,6)∴直线AB 的表达式为：y =kx +6，将点B 的坐标代入上式得：0=6k +6，解得：k =-1，∴直线AB 的表达式为：y =-x +6，点P 的横坐标为m ，则P m ,-12m 2+2m +6 ，过点P 作x 轴的垂线，交线段AB 于点D ，则D (m ,-m +6)，∴S =12×OB ×PD =12×6×-12m 2+2m +6+m -6 =-32(m -3)2+272，∴当m =3时，S 的值取最大，此时P 3,152；2(2023春·全国·九年级专题练习)如图，抛物线y =ax 2+bx +6(a ≠0)与x 轴交于A (-1，0)，B (6，0)，与y 轴交于点C ，点P 为第一象限内抛物线上一动点，过点P 作x 轴的垂线，交直线BC 于点D ，交x 轴于点E ，连接 PB ．(1)求该抛物线的解析式；(2)当△PBD 与△BDE 的面积之比为1：2时，求点P 的坐标；【答案】【答案】(1)y =-x 2+5x +6(2)P 12,334【解析】(1)∵抛物线y =ax 2+bx +6(a ≠0)与x 轴交于A -1,0 ,B 6,0∴a -b +6=036a +6b +6=0，∴a =-1b =5 ，∴抛物线的解析式为y =-x 2+5x +6；(2)∵抛物线y =-x 2+5x +6过点C ，∴C (0，6)，设直线BC 的解析式为 y =kx +n ，∴6k +n =0n =6，∴k =-1n =6 ，∴直线BC 的解析式为y =-x +6，设P m ,-m 2+5m +6 ，则D m ,-m +6 ，∴PE =-m 2+5m +6，DE =-m +6，∵△PBD 与△BDE 的面积之比为1：2，∴PD ：DE =1：2，∴PE ：DE =3：2，∴3-m +6 =2-m 2+5m +6 ，解得m 1=12，m 2=6(舍去)，∴P 12,334；3(2023春·全国·九年级专题练习)如图，抛物线y =-x 2+bx +c 过点A 、B ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，直线y =-x +3与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，且OA =13OB ．(1)求抛物线的解析式；(2)点M t ,0 是x 轴上的一个动点，点N 是抛物线对称轴上的一个动点，当DN =2t ，△MNB 的面积为154时，求出点M 与点N 的坐标；【答案】【答案】(1)y =-x 2+2x +3(2)3+262,0 ,1,3+26 【解析】(1)解：对于直线y =-x +3，令y =0，即-x +3=0，解得：x =3，令x =0，得y =3，∴B 3,0 ,C 0,3 ，∵A 为x 轴负半轴上一点，且OA =13OB ，∴A -1,0 ．将点A 、B 的坐标分别代入y =-x 2+bx +c 中，得-1-b +c =0-9+3b +c =0 ，解得b =2c =3 ，∴抛物线的解析式为y =-x 2+2x +3；(2)解：由(1)知：A -1,0 ，B 3,0 ，抛物线解析式为y =-x 2+2x +3，∴对称轴x =-b 2a =-22×-1=1，∴D 点坐标为D 1,0 ，∵M t ,0∴BM =3-t ，∵S △MNB =12×BM ×DN =154，即12×3-t ×2t =154，当t <3时，12×3-t ×2t =154，化简得：4t 2-12t +15=0，∵Δ=b 2-4ac <0，∴方程无解；当t >3时，12×t -3 ×2t =154，解得t1=3+262,t2=3-262(舍)，∴DN=2t=3+26，∴点M的坐标为3+262,0，点N的坐标为1,3+262；4(2023·广西贵港·统考一模)在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx经过A(4，0)，B(1，3)两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．(1)求抛物线的表达式；(2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；(3)如图，OP交AB于点C，PD∥BO交AB于点D．记△CPB，△BCO的面积分别为S1，S2，判断S1S2是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．【答案】【答案】(1)y=-x2+4x(2)P(2，4)或(3,3)(3)见解析【解析】(1)解：将A(4，0)，B(1，3)代入y=ax2+bx得16a+4b=0a+b=3，解得：a=-1b=4，∴抛物线的解析式为：y=-x2+4x；(2)解：设直线AB的解析式为：y=kx+t，将A4，0，B1，3代入y=kx+t得4k+t=0 k+t=3 ，解得：k=-1 t=4，∴直线AB的解析式为：y=-x+4，∵A4，0，B1，3，∴S△OAB=12×4×3=6，∴S△OAB=2S△PAB=6，即S△PAB=3，过点P作PM⊥x轴于点M，PM与AB交于点N，过点B作BE⊥PM于点E，如图，∴S△PAB=S△PNB+S△PNA=12PN×BE+12PN×AM=32PN=3，∴PN=2，设点P 的横坐标为m ，∴P (m ,-m 2+4m )(1<m <4)，N (m ,-m +4)，∴PN =-m 2+4m -(-m +4)=2，解得：m =2或m =3；∴P (2,4)或(3，3)；(3)解：S 1S 2存在最大值．理由如下：∵PD ∥OB ，∴∠DPC =∠BOC ，∠PDC =∠OBC ，∴△DPC ∽△BOC ，∴CP :CO =CD :CB =PD :OB ，∵S 1S 2=CD CB =PD OB，设直线AB 交y 轴于点F ，则F (0，4)，过点P 作PH ⊥x 轴，垂足为H ，PH 交AB 于点G ，如图，∵∠PDC =∠OBC ，∴∠PDG =∠OBF ，∵PG ∥OF ，∴∠PGD =∠OFB ，∴PD ：OB =PG ：OF ，∴△PDG ∽△OBF ，∴PD ：OB =PG ：OF ，设P (n ,-n 2+4n )1<n <4 由(2)可知，PG =-n 2+4n --n +4 =-n 2+5n -4，∴S 1S 2=PD BO =PG OF=14PG =-14n -52 2+916，∵1<n <4，∴当n =52时，S 1S 2的最大值为916．5(2023·新疆克孜勒苏·统考一模)如图所示，抛物线y =-x 2+2x +3的图像与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，连结BC ．(1)求抛物线顶点D 的坐标；(2)在直线BC 上方的抛物线上有一点M ，使得四边形ABMC 的面积最大，求点M 的坐标及四边形ABMC 面积的最大值；(3)点E 在抛物线上，当∠EBC =∠ACO 时，直接写出点E 的坐标．【答案】【答案】(1)(1,4)(2)当点M 32,154 时，四边形ABMC 面积最大，最大值为758(3)(1,4)或-12,74【解析】(1)∵y =-x 2+2x +3=-x -1 2+4．∴抛物线顶点D 的坐标为(1,4)；(2)令y =0，则x 2-2x -3=0，解得x 1=-1,x 2=3，∴点A -1,0 ,B 3,0 ，令x =0，则y =-3，∴点C 的坐标为(0,3)∴AB =3--1 =4,OC =3，∴S ΔABC =12AB ⋅OC =6∴△BCM 的面积最大时四边形ABMC 面积最大．设直线BC 的解析式为y =kx +b ，则3k +b =0b =3，∴b =3k =-1 ，∴y =-x +3．设过点M 与y 轴平行的直线交BC 于点N ，M x ,-x 2+2x +3 ，N x ,-x +3 ，则MN =-x 2+2x +3 --x +3 =-x 2+3x ，S △BCM =12-x 2+3x ×3=-12x -32 2+278，∴当x =32时，△BCM 的面积最大，最大值为278，此时，y =-32 2+2×32+3=154，所以，当点M 32,154 时，四边形ABMC 面积最大，最大值为6+278=758(3)①连接CD ,BD ，作DM ⊥OC 于点M ．∵C (0,3),D (1,4)，∴CM =DM =1，∴△CDM 是等腰直角三角形，∴∠DCE =45°．∵B (3,0),C (0,3)，∴△BOC 是等腰直角三角形，∴∠BCO =45°，∴∠BCD =90°，∵BC =32+32=32，CD =12+(-3+4)2=2，∴.tan ∠CBD =232=13，∴∠DBC =∠ACO ，∴点E 与点D 重合，∴点E 的坐标为(1,-4)，②作点D 关于BC 的对称点D ，作DN ⊥OC 于点N ，∵∠DMC =∠D NC =90°，∠DCM =D CN ，DC =D C ，∴△DCM ≌△D CN ，∴D N =DM =1,CM =CN =1，∴ON =3-1=2，∴D (-1,2)，设直线BD 的解析式为y =mx +n ,，则3m +n =0-m +n =2，解得m =-12n =32，所以，直线BD ′的解析式为y =-12x +32，联立y =-x 2+2x +3y =-12x +32，解得x 1=3y 1=0 (为点B 坐标，舍去)，x 2=-12y 2=74，所以，点H 的坐标为-12,74 ，综上所述，点E 的坐标为1,4 或-12,74时，∠EBC =∠ACO ．6(2023·广东珠海·统考一模)如图，抛物线与x 轴交于点A -1,0 、B 4,0 ，与y 轴交于点C 0,2 ．点D 为抛物线第四象限一动点，连接AC 、BC 、BD 、AD ．(1)求抛物线的解析式；(2)当S △BCD =S △ABC 时，求此时点D 的坐标；(3)在第(2)问的条件下，延长线段AC 、DB 交于点E ．请判断△ADE 的形状，并说明理由．【答案】(1)y =-x 2+32x +2(2)D 5,-3(3)△ADE 是等腰直角三角形，理由见详解【解析】(1)设抛物线的解析式为y =ax 2+bx +c ，∵抛物线与x 轴交于点A -1,0 、B 4,0 ，与y 轴交于点C 0,2 ，∴a -b +c =016a +4b +c =0c =2，解得：a =-12b =32c =2 ，∴抛物线的解析式为y =-x 2+32x +2；(2)连接OD ，，∵A -1,0 ，B 4,0 ，C 0,2 ，∴AB =5，OC =2，∴S △ABC =12AB ⋅OC =5，设D m ,-12m 2+32m +2 m >4 ，∵S △BCD =S △OBD +S △OBC -S △OCD =S △ABC ，∴12×4×12m 2-32m -2 +12×4×2-12×2×m =5，整理，得m 2-4m -5=0，解得：m 1=5，m 2=-1(舍去)，∴D 5,-3 ；(3)△ADE 是等腰直角三角形，理由如下：设直线AC 的解析式为y =k 1x +b 1，把A -1,0 ，C 0,2 代入，得-k 1+b 1=0b 1=2 ，解得：k 1=2b 1=2∴y =2x +2，设直线BD 的解析式为y =k 2x +b 2，把B 4,0 ，D 5,-3 代入，得4k 2+b 2=05k 2+b 2=-3 ，解得：k 2=-3b 2=12∴y =-3x +12，联立y =2x +2和y =-3x +12得，y =2x +2y =-3x +12 ，解得：x =2y =6 ，∴E 2,6 ，又∵A -1,0 ，D 5,-3 ，∴AE =-1-2 2+0-6 2=35，AD =-1-5 2+0+3 2=35，DE =5-2 2+-3-6 2=310，∴AE =AD ，AE 2+AD 2=DE 2，∴△ADE 是等腰直角三角形．7(2023春·上海·八年级专题练习)在边长为4的正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，P 是对角线AC 上一动点，过点P 作PF ⊥CD 于点F ，作PE ⊥PB 交直线CD 于点E ，设PA =x ，S △PCE =y ．(1)求证：DF =EF ；(2)当点P 在线段AO 上时，求y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；(3)点P 在运动过程中能否使△PEC 为等腰三角形？如果能，请直接写出PA 的长；如果不能，请简单说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)y =12x 2-32x +8，0≤x ≤22 (3)能使△PEC 为等腰三角形，PA =0或PA =4【解析】(1)证明：延长FP 交AB 于点G ，∵正方形ABCD 中，PF ⊥CD 于点F ，∴四边形AGFD 是矩形，∴DF =AG ，∠AGF =90°，∵正方形ABCD ，∴∠BAC =45°，∵∠AGF =90°，∴AG =GP ，∴DF =GP ，同理可得：CF =PF =BG ，∵PE ⊥PB ，∠AGF =90°，∴∠GBP +∠GPB =∠FPE +∠GPB =90°,∴∠GBP =∠FPE ，在△GBP 和△FPE 中，∵∠GBP =∠FPEPF =BG ∠BGP =∠PFE，∴△GBP ≌△FPE (ASA )，∴GP =EF ，∵DF =GP ，∴DF =EF ；(2)∵PA =x ，∴AG =GP =22x ，DF =EF =22x ，则DE =2x ，∴CE =4-2x ，∵PF =4-22x ，∴y =124-2x 4-22x =12x 2-32x +80≤x ≤22 ；(3)点P 在运动过程中能使△PEC 为等腰三角形；当点E 在CD 边上时，∵∠CEP ≥90°，若△PEC 为等腰三角形，只能是∠CPE =∠ECP =45°，则PE ⊥CE ，∵PE ⊥PB ，∴PB ∥CD ，∴PB ∥AB ，于是点P 在AB 上，又∵点P 在AC 上，∴A 与P 重合，此时PA =0；当点E 在DC 延长线上时，如图，若△PEC 为等腰三角形，只能是PC =CE ，设PA =x ，则PC =42-x ，EF =DF =AG =GP =22x ，PF =CF =BG =4-22x ，∴CE =EF -CF =22x -4-22x=2x -4，∵PC =CE ，∴42-x =2x -4，∴x =4，∴即PA =4；综上所述，当PA =0或PA =4时，△PEC 为等腰三角形．【点睛】本题主要考查正方形的性质的综合运用，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，综合运用这些性质进行推理，同时注意对等腰的分类讨论是解题的关键．8(2023春·江苏无锡·九年级统考期中)在平面直角坐标系中xOy 中，二次函数y =ax 2+bx +2a <0 的图像与x 轴交于点A (-1,0)、B (2,0)，与y 轴交于点C ．(1)求二次函数的表达式；(2)若点P 是二次函数图像上位于线段BC 上方的一个动点．①如图，连接AC ，CP ，AP ，AP 交BC 于点E ，过点P 作AC 的平行线交BC 于点Q ，将△PEQ 与△PCE的面积比S △PEQ S △PCE 记为a ，将△PCE 与△ACE 的面积比S △PCE S △ACE记为b ，当a +22b 有最大值时，求点P 的坐标；②已知点N 是y 轴上一点，若点N 、P 关于直线AC 对称，求CN 的长．【答案】(1)y =-x 2+x +2(2)①当点P 的坐标为1,1 时，a +22b 有最大值；②CN =516【解析】(1)解：将A (-1,0)、B (2,0)，代入y =ax 2+bx +2中可得：a -b +2=04a +2b +2=0 ，解得：a =-1b =1 ，∴二次函数的表达式为：y =-x 2+x +2；(2)①当x =0时，y =2，则C 0,2 ，设BC 的解析式为：y =kx +b ，将B (2,0)，C 0,2 ，代入可得：2k +b =0b =2 ，解得：k =-1b =2 ，∴BC 的解析式为：y =-x +2，由题意可知，OB =OC =2，则△BOC 是等腰直角三角形，∴∠BCO =45°，∵A (-1,0)，则OA =1，∴AC =OA 2+OC 2=5，∴sin ∠ACO =55，cos ∠ACO =255，过点P 作PN ∥y 轴，QM ⊥PN ，设AP 与y 轴交于点D ，则∠ADO =∠APN ，∠QNM =∠BCO =45°，即：△MQN 为等腰直角三角形，∴QM =MN ，∵AC ∥PQ ，∴∠CAP =∠APQ ，△AEC ∽△PEQ ，则EQ CE =EP AE =PQ AC，又∵∠ADO =∠ACP +∠ACO ，∠APN =∠APQ +∠QPM ，∴∠ACO =∠QPM ，则：PM =PQ ⋅cos ∠QPN =PQ ⋅cos ∠ACO =255PQ ，QM =MN =PQ ⋅sin ∠QPN =PQ ⋅sin ∠ACO =55PQ ，则PN =PM +MN =355PQ ，即：PQ =53PN ，∵S △PEQ S △PCE =EQ CE ，S △PCE S △ACE =EP AE ，EQ CE =EP AE =PQ AC，∴a =b =EQ CE =EP AE =PQ AC =PQ 5=13PN ，∴a +22b =1+22 ×13PN ，则当PN 取最大值时，a +22b 有最大值，设P t ,-t 2+t +2 ，0<t <2，则N t ,-t +2 ，∴PN =-t 2+t +2 --t +2 =-t 2+2t =-t -1 2+1，即：当t =1时，PN 取最大值，此时点P 的纵坐标为1，即：当点P 的坐标为1,1 时，a +22b 有最大值；②由题意可知，点N 在点C 下方时，点N 关于直线AC 的对称点在AC 的左侧，不符合题意，点N 在点C 上方时，连接PN ，交AC 于H ，作PF ⊥y 轴，由对称可知，NH =PH =12PN ，CH ⊥PN ，则∠NHC =∠PFN =90°，∴∠NCH +∠CNP =∠CNP +∠FPN ，∴∠NCH =∠FPN∵∠ACO =∠NCH ，sin ∠ACO =55，cos ∠ACO =255，∴∠ACO =∠NCH =∠FPN ，设CN =m ，则NH =CN ⋅sin ∠NCH =55m ，∴PN =2NH =255m ，则PF =PN ⋅cos ∠FPN =45m ，NF =PN ⋅sin ∠FPN =25m ∴CF =CN -NF =35m ，则OF =OC +CF =2+35m ，∴点P 的坐标为：45m ,2+35m ，0<45m <2，即0<m <52，∵点P 在二次函数图象上，∴-45m 2+45m +2=2+35m ，解得：m 1=0(舍去)，m 2=516，∴CN =516．9(2023·黑龙江哈尔滨·统考一模)如图，在平面直角坐标系中，直线BC 的解析式为y =-x +6，直线BC 交x 轴和y 轴分别于点B 和点C ，抛物线y =-29x 2+bx +c 交x 轴于点A 和点B ，交y 轴于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是第二象限抛物线上的点，连接PB 、PC ，设点P 的横坐标为t ，△PBC 的面积为S ．求S 与t 的函数关系式(不要求写出t 的取值范围)；(3)在(2)的条件下，点D 在线段OB 上，连接PD 、CD ，∠PDC =45°，点F 在线段BC 上，EF ⊥BC ，FE 的延长线交x 轴于点G ，交PD 于点E ，连接CE ，若∠GED +∠DCE =180°，DC >DE ，S △CDE =15，求点P 的横出标．【答案】(1)y =-29x 2+13x +6(2)S =23t 2-4t (3)3-3112【解析】(1)解：直线y=-x+6交x轴和y轴于点B和点C 令x=0时，y=6，即C0,6，令y=0时，x=6，即B6,0，∵点B、C在抛物线上，∴代入解析式可得：c=6-29×62+13×6+6=0，解得：c=6b=-13，∴解析式为y=-29x2+13x+6；(2)过点P作x轴的垂线交BC延长线于点M，交x轴于点N，过点C作CR⊥MN于R ∵P在抛物线上，P横坐标为t∴P t,-29t2+13t+6，∵M在直线BC上，∴M t,-t+6，∴MP=-t+6--29t2+13t+6=29t2-43t，S△PBC=S△MPB-S△MPC=12MP⋅OB=1229t2-43t×6=23t2-4t，即S=23t2-4t；(3)由(1)得，OB=OC=6，∴∠OBC=∠OCB=45°又EF⊥BC交x轴于点G，∴∠GFB=90°∴∠FGB=90°-∠FBG=45°即∠FGB=∠FBG=45°∴FG=FB又∠PDC=45°设∠PDA=α，∴∠CDA=45°+α=∠CBD+∠BCD=45°+∠BCD∴∠BCD=α=∠PDA又∠GED+∠DCE=180°(已知)∠GED+∠FED=180°(平角定义)∴∠DCE=∠FED，又∠FED=∠FGE+∠PDG=45°+a∴∠FED=∠CDA，∴∠DCE=∠CDA，过点D作DR⊥CE于R，如图所示∴在Rt△CRD中，∠CDR=90°-∠RCD=45°-α，∴∠RDE=∠CDE-∠CDR=α，，∴∠RDE=∠EDA=α，∵∠CRD=∠DOC=90°，∠DCE=∠CDA，CD=CD，∴△RCD≌△ODC(AAS)，∴RD=CO=6，CR=OD，∠CDR=∠DCO，又∵S△DCE=15，∴12CE×DR=15∴CE=5作EM⊥x轴于M，CN⊥EM于N，DT⊥CN于T，如图所示∵∠RDE=∠EDA，∠ERD=∠EMD=90°，DE=DE，∴△RED ≌△MED (AAS )，∴RE =EM ，RD =MD ，∵EM ⊥x ，CN ⊥EM ，DT ⊥CN ，∴四边形NTDM 为矩形，∴∠MDT =90°，∴∠CDT =∠MDT -∠CDE -∠EDA =45°-α=∠CDR ，∴△DCR ≌△DCT (AAS )，∴DR =DT ，∴DM =DT ，∴四边形NMDT 是正方形∴DM =MN =NT =DT =OC =6，设EM =ER =m ，则CR =5-m =CT ，如图所示：∴NE =6-m ，NC =NT -TC =m +1在Rt △NEC 中，6-m 2+m +1 2=52解得：m 1=2，m 2=3，∵CD >DE ，∴m <5-m ，即m <2.5，∴m =3不符合题意，应舍去；当m =2时，CT =OD =3=MO ，∴E -3,2 ，又点D 3,0 ，设直线ED 的解析式为y =kx +b ，则-3k +b =23k +b =0 ，解得：k =-13b =1 ，∴直线ED 的解析式为：y =-13x +1，y =-13x +1y =-29x 2+13x +6 ，∴x =3-3112或3+3112(舍)，∴P 的横坐标是3-311210(2023春·江苏宿迁·九年级统考阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx +c a <0 与x 轴交于A -2,0 、B 4,0 两点，与y 轴交于点C ，且OC =2OA ．(1)试求抛物线的解析式；(2)直线y =kx +1k >0 与y 轴交于点D ，与抛物线在第一象限交于点P ，与直线BC 交于点M ，记m =S △CPM S △CDM，试求m 的最大值及此时点P 的坐标；(3)在(2)的条件下，m 取最大值时，点Q 是x 轴上的一个动点，点N 是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q 、N ，使得以P 、D 、Q 、N 四点组成的四边形是矩形？请直接写出满足条件的N 点的坐标．【答案】(1)y =-12x 2+x +4(2)m 取得最大值23，此时点P 的坐标为2,4 (3)存在，满足条件的N 的坐标为72,3 或6,-3 【解析】(1)解：∵A -2,0 ，∴OA =2，∵OC =2OA ，∴OC =4，∴C 0,4 ，∵抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A -2,0 ，B 4,0 ，C 0,4 ，∴4a -2b +c =016a +4b +c =0c =4，解得：a =-12b =1c =4，∴该抛物线的解析式为y =-12x 2+x +4；(2)解：如图1，过点P 作PE ∥y 轴交直线BC 于E ，连接CP ，设直线BC 的解析式为y =kx +d ，∵B 4,0 ，C 0,4 ，∴4k +d =0d =4 ，解得：k =-1d =4 ，∴直线BC 的解析式为y =-x +4，设P t ,-12t 2+t +4 ，则E t ,-t +4 ，∴PE =-12t 2+t +4-(-t +4)=-12t 2+2t ，∵直线y =kx +1k >0 与y 轴交于点D ，∴D 0,1 ，∴CD =4-1=3，∵PE ∥y 轴，即PE ∥CD ，∴△EMP ∽△CMD ，∴PM DM =PE CD =-12t 2+2t 3=-16t 2+23t ，∵m =S △CPM S △CDM =PM DM，∴m =-16t 2+23t =-16t -2 2+23，∵-16<0，∴当t =2时，m 取得最大值23，此时点P 的坐标为2,4 ；(3)解：存在这样的点Q 、N ，使得以P 、D 、Q 、N 四点组成的四边形是矩形．①当DP 是矩形的边时，有两种情形，a 、如图2-1中，四边形DQNP 是矩形时，由(2)可知P 2，4 ，代入y =kx +1中，得到k =32，∴直线DP 的解析式为y =32x +1，可得D 0,1 ，E -23,0 ，由△DOE ∽△QOD 可得OD OQ =OE OD，∴OD 2=OE ⋅OQ ,∴1=23⋅OQ ，∴OQ =32，∴Q 32,0 ．根据矩形的性质，将点P 向右平移32个单位，向下平移1个单位得到点N ，∴N 2+32,4-1 ，即N 72,3 ，b 、如图2-2中，四边形PDNQ 是矩形时，∵直线PD 的解析式为y =32x +1，PQ ⊥PD ，∴直线PQ 的解析式为y =-23x +163，∴Q 8,0 ，根据矩形的性质可知，将点D 向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N ，∴N 0+6,1-4 ，即N 6,-3 ．②当DP 是对角线时，设Q x ,0 ，则QD 2=x 2+1，QP 2=x -2 2+42，PD 2=13，∵Q 是直角顶点，∴QD 2+QP 2=PD 2，∴x 2+1+x -2 2+42=13，整理得x 2-2x +4=0，方程无解，此种情形不存在，综上所述，满足条件的N 的坐标为72,3 或6,-3 ．11(2023·山东济宁·统考一模)如图，抛物线y =ax 2+bx +3与坐标轴分别交于A ，B ，C 三点，其中A (-4,0)、B (1，0)，M 是第二象限内抛物线上的一动点且横坐标为m ，(1)求抛物线的解析式；(2)连接BM ，交线段AC 于点D ，求S ΔADM S ΔADB的最大值(其中符号S 表示面积)；(3)连接CM ，是否存在点M ，使得∠ACO +2∠ACM =90°，若存在，求m 的值，若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =-34x 2-94x +3(2)S ΔADM S ΔADB 的最大值为45(3)存在，m =-319【解析】(1)解：(1)分别代入A (-4，0)、B (1，0)到抛物线解析式，解得：y =-34x 2-94x +3；故答案为：y =-34x 2-94x +3．(2)设直线AC 的解析式为y =kx +b ，将点A (-4，0)和点C (0，3)代入y =kx +b 中，-4k +b =0b =3 ，解得：k =34b =3，∴直线AC 的解析式为y =34x +3，如图所示，过点M 作MG ∥x 轴交于AC 于点G ，过点A 作AF ⊥MB 交MB 与点F ，∴G 点的纵坐标与M 点的纵坐标相同，∵M 为抛物线y =-34x 2-94x +3上的一点，设M m ，-34m 2-94m +3 ，又∵G 点在直线AC 上，直线AC 的解析式为y =34x +3，∴G -m 2-3m ,-34m 2-94m +3 ，∴MG =-m 2-4m ，又∵MG ∥AB ，∴MD DB =MG AB =-m 2-4m 5，∵S ΔADM =12MD ⋅AF ,S ΔADB =12DB ⋅AF ，∴S ΔADM S ΔADB =DM DB，∴S ΔADB S ΔADB =DM DB =MG AB=-m 2-4m 5=-m 2+4m 5=-15m +2 2+45，∴S ΔADM S ΔADB 的最大值为45．故答案为：45．(3)过点C 作CP ∥x 轴，延长CM 交x 轴于点T ．∴∠MCO =90°,∠MCP =∠MTA ，∵∠ACO +2∠ACM =90°∠ACO +∠PCM +∠MCA =90°，∴∠MCP =∠MCA ，∴∠MCA =∠MTA ，∴△ACT 为等腰三角形，∴AC =AT ．在Rt △ACO 中，AC =AO 2+OC 2=42+32=5，∴AC =AT =5，∴OT =AT +OA =5+4=9，∴T (-9，0)，设直线CT 的解析式为y =kx +b ，将点T (-9，0)和点C (0，3)代入y =kx +b 中，解得：k =13b =3 ，∴直线CT 的解析式为y =13x +3，∵M 是直线CT 和抛物线y =-34x 2-94x +3的交点，-4<m <0，∴令-34m 2-94m +3=13m +3，∴9m 2+27m +4m =0，∴9m 2+31m =0，∴m 9m +31 =0，解得m =0(舍去)或m =-319故答案为：m =-319．12(2023·海南海口·海口市第九中学校考二模)如图①，已知抛物线L :y =x 2+bx +c 的图象经过点A 0,3 ，B 1,0 ．过点A 作AC ∥x 轴交抛物线于点C ，∠AOB 的平分线交线段AC 于点E ，连结OE ．(1)求抛物线的关系式并写出点E的坐标；(2)若动点P在x轴下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出此时P点横坐标；(3)若将抛物线向上平移h个单位，且其顶点始终落在△OAE的内部或边上，写出h的取值范围；(4)如图②，F是抛物线的对称轴上l的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=x2-4x+3；E(3,3)(2)P的横坐标为52；(3)3≤h≤4；(4)存在，点P的坐标是：5-52,1-52或3-52,5+12或3+52,1-52或5+5 2,5+12【解析】(1)解：∵抛物线L：y=x2+bx+c的图象经过点A(0,3)，B(1,0)，∴1+b+c=0c=3，解得b=-4c=3，∴抛物线的解析式为：y=x2-4x+3；∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，∴∠AOE=45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE=OA=3，∴E(3,3)，(2)如图1，过P作PG∥y轴，交OE于点G，设P(m，m2-4m+3)，设直线OE的解析式为y=kx，把点E(3，3)代入得，3=3k，解得k=1，∴直线OE的解析式为：y=x，∴G(m，m)，∴PG=m-(m2-4m+3)=-m2+5m-3，∴S△OPE=S△OPG+S△EPG=12PG×AE=12×3×(-m 2+5m -3)=-32(m 2-5m +3)=-32m -52 2+398，∵-32<0，∴当m =52时，△OPE 面积最大，∴P 的横坐标为52(3)由y =x 2-4x +3=(x -2)2-1，得抛物线l 的对称轴为直线x =2，顶点为(2，-1)，抛物线L 向上平移h 个单位长度后顶点为F (2，-1+h )．设直线x =2交OE 于点M ，交AE 于点N ，则N (2，3)，如图2，∵直线OE 的解析式为：y =x ，∴M (2，2)，∵点F 在△OAE 内(包括△OAE 的边界)，∴2≤-1+h ≤3，解得3≤h ≤4；(4)设P (m ，m 2-4m +3)，分四种情况：①当P 在对称轴的左边，且在x 轴下方时，如图3，过P 作MN ⊥y 轴，交y轴于M ，交l 于N ，∴∠OMP =∠PNF =90°，∵△OPF 是等腰直角三角形，∴OP =PF ，∠OPF =90°，∴∠OPM +∠NPF =∠PFN +∠NPF =90°，∴∠OPM =∠PFN ，∴△OMP ≌△PNF (AAS )，∴OM =PN ，∵P (m ，m 2-4m +3)，则-m 2+4m -3=2-m ，解得：m =5+52或5-52，∵m =5+52>2，不合题意，舍去，∴m =5-52，此时m 2-4m +3=1-52，∴P 的坐标为5-52,1-52；②当P 在对称轴的左边，且在x 轴上方时，同理得：2-m =m 2-4m +3，解得：m 1=3+52或m 2=3-52，∵3+52>2，不合题意，舍去，∴m =3-52，此时m 2-4m +3=5+12，∴P 的坐标为3-52,5+12；③当P 在对称轴的右边，且在x 轴下方时，如图4，过P 作MN ⊥x 轴于N ，过F 作FM ⊥MN 于M ，同理得△ONP ≌△PMF ，∴PN =FM ，则-m 2+4m -3=m -2，解得：m 1=3+52或m 2=3-52，∵3-52<2，不合题意，舍去，∴m =3+52，此时m 2-4m +3=1-52，P 的坐标为3+52,1-52；④当P 在对称轴的右边，且在x 轴上方时，如图5，同理得m 2-4m +3=m -2，解得：m =5+52或5-52(舍)，P 的坐标为：5+52,5+12；综上所述，点P 的坐标是：5-52,1-52 或3-52,5+12或3+52,1-52 或5+52,5+12．13(2023·广东珠海·校考一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =-12x 2+bx +c 与x 轴交于点A ，B ，其中点B 的坐标为(4,0)，与y 轴交于点C (0,2)．(1)求抛物线y =-12x 2+bx +c 和直线BC 的函数表达式；(2)点P 是直线BC 上方的抛物线上一个动点，当△PBC 面积最大时，求点P 的坐标；(3)连接B 和(2)中求出点P ，点Q 为抛物线上的一点，直线BP 下方是否存在点Q 使得∠PBQ =45°？若存在，求出点Q 的坐标．【答案】(1)y =-12x 2+32x +2，y =-12x +2(2)(2,3)(3)存在，-35，2325【解析】(1)把B (4,0)，C (0,2)代入y =-12x 2+bx +c 得：-8+4b +c =0c =2 ，解得b =32c =2，∴抛物线的函数表达式为y =-12x 2+32x +2；设直线BC 的函数表达式为y =mx +2，把B (4,0)代入得：4m +2=0，解得m =-12，∴直线BC 的函数表达式为y =-12x +2；(2)过P 作PH ∥y 轴交BC 于H ，如图：设P t ,-12t 2+32t +2 ，则H t ,-12t +2 ，∴PH =-12t 2+32t +2--12t +2 =-12t 2+2t ，∴S ΔPBC =12PH ⋅OB =12×-12t 2+2t ×4=-t 2+4t =-(t -2)2+4，∵-1<0，∴当t =2时，S ΔPBC 取最大值4，此时P 的坐标为(2,3)；(3)直线BP 下方存在点Q ，使得∠PBQ =45°，理由如下：过P 作PM ⊥PB 交BQ 的延长线于M ，过P 作TK ∥x 轴，过B 作BK ⊥TK 于K ，过M 作MT ⊥TK 于T ，如图：由(2)知P (2,3)，∵B (4,0)，∴PK =2，BK =3，∵∠PBQ =45°，∴ΔPBM 是等腰直角三角形，∴∠MPB =90°，PB =PM ，∴∠KPB =90°-∠TPM =∠TMP ，∵∠K =∠T =90°，∴ΔBPK ≅ΔPMT (AAS )，∴PK =MT =2，BK =PT =3，∴M (-1,1)，由M (-1,1)，B (4,0)得直线BM 函数表达式为y =-15x +45，联立y =-15x +45y =-12x 2+32x +2 ，解得x =4y =0 或x =-35y =2325，∴Q 的坐标为-35，2325 ．14(2023·广西梧州·统考一模)如图1，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A -6，0 ，B 0，8 ，C 8，0，点P 为线段AC 上的一动点(点P 与点A ，C 不重合)，过点P 作PQ ∥BC 交AB 于点Q ，将△APQ 沿PQ 翻折，点A 的对应点为点D ，连接PD ，QD ，BD ．设点P 的坐标为t ，0(1)当点D 恰好落在BC 上时，求点P 的坐标；(2)若△PDQ 与△ABC 重叠部分面积S 与点P 横坐标t 之间的函数解析式为S =a (t +6)2(-6<t ≤1)-67t 2+bt +647(1<t <8) ，其图象如图2所示，求a 、b 的值；(3)是否存在点P ，使得∠BDQ 为直角？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)1，0(2)a =27，b =247(3)67，0【解析】(1)解：∵A -6，0 ，B 0，8 ，C 8，0 ，∴OB =OC =8，∴∠C =45°．∵PQ ∥BC ，∴∠APQ =∠C =45°．由折叠的性质可得AP =PD ，∠APQ =∠DPQ =45°，∴∠DPA =90°．∵B 0，8 ，C 8，0 ，∴直线BC 的解析式为y =-x +8，∵P t ，0 ，∴PA =t --6 =t +6．∵点D 恰好落在BC 上，∴D (t ，-t +8)，∴PD =-t +8，∴t +6=-t +8，解得：t =1，∴点P 的坐标为1，0 ；(2)解：∵PQ ∥BC ，∴可设直线PQ 的解析式为y =-x +m ，∴0=-t +m ，解得：t =m ，直线PQ 的解析式为y =-x +t ．∵A -6，0 ，B 0，8 ，∴直线AB 的解析式为：y =43x +8．　联立y =-x +t y =43x +8 ，解得：x =3t -247y =4t +247，∴Q 3t -247，4t +247．当-6<t ≤1时，点D 在△ABC 内部，此时重叠部分面积为△PDQ 的面积，由折叠可知S △PDQ =S △APQ =12AP ⋅y Q =12×t +6 ×4t +247=27t +6 2，∴a =27；当1<t <8时，点D 在△ABC 外部，由图象可得当t =4时，S =1287，∴-67×42+4b +647=1287，解得：b =247；(3)解：如图，过点Q 和点B 分别作PD 的垂线，交PD 于点M 和PD 延长线于点N ，∵∠BDQ 为直角，∴∠BDN +∠MDQ =90°∵∠BDN +∠DBN =90°，∴∠MDQ =∠DBN ，∴tan ∠MDQ =tan ∠DBN ，即QM DM =DN BN ．∵Q 3t -247，4t +247 ，M t ，4t +247，D t ，t +6 ，N t ，8 ，B 0，8 ，∴QM =t -3t -247=4t +247，DM =t +6-4t +247=3t +187，DN =8-(t +6)=2-t ，BN =t ，∴4t +2473t +187=2-t t，解得：t 1=67，t 2=-6(舍)．∴存在，点P 的坐标为67，0 ．15(2023·吉林长春·统考一模)在平面直角坐标系中，抛物线y =-x 2+ax +1(a 为常数)，经过点P 2,-7 ，点Q 在抛物线上，其横坐标为m ，将此抛物线上P 、Q 两点间的部分(包括P 、Q 两点)记为图像G ．。

二次函数面积最值问题的4种解法

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解法二：铅锤定理，在求二次函数三角形面积最值问题，运用非常多。设动点 P 的坐标，然后用代数式分别表达出铅锤高度和水平宽度，然后利用铅锤定理的计算公式，得出二次函数，必有最大值。
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原题：在（ 1）中的抛物线上的第二象限是否存在一点 P，使 △PBC 的面积最大？若存在，求出 P 点的坐标及△PBC 的面积最大值，若没有，请说明理由。考试题型，大多类似于此。求面积最大值的动点坐标，并求出面积最大值。一般解题思路和步骤是，设动点 P 的坐标，然后用代数式表达各线段的长。通过公式计算，得出二次函数顶点式，则坐标和最值，即出。
解法一：补形，割形法。方法要点是，把所求图像的面积适当的割补，转化成有利于面积表达的常规几何图形。请看解题步骤。
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解法二：铅锤定理，面积 =铅锤高度 ×水平宽度 ÷2。这是三角形面积表达方法的一种非常重要的定理。铅锤定理，在教材上没有，但是大多数数学老师都会作为重点，在课堂上讲解。因为，铅锤定理，在很多地方都用的到。这里，也有铅锤定理的简单推导，建议大家认真体会。
解法四：三角函数法。请大家认真看上面的解题步骤。总之，从以上的四种解法可以得出一个规律。过点 P 做辅助线，然后利用相关性质，找出各元素之间的关系。设动点 P 的坐标，然后找出各线段的代数式，再通过面积计算公式，得出二次函数顶点式，求出三角形面积的最大值。对于同学们中考数学来说，只要你熟练掌握解法一和解法二，那么二次函数几何综合题中，求三角形面积最大值问题，就非常简单了。

专题二次函数与面积有关的问题(知识解读)-中考数学(全国通用)

专题03 二次函数与面积有关的问题（知识解读）【专题说明】二次函数是初中数学的一个重点，一个难点，也是中考数学必考的一个知识点。

特别是在压轴题中，二次函数和几何综合出现的题型，才是最大的区分度。

与面积有关的问题，更是常见。

本节介绍二次函数考试题型种，与面积问题的常用解法。

同学们，只要熟练运用解法，炉火纯青，在考试答题的时候，能够轻松答题。

【知识点梳理】类型一：面积等量关系类型二：面积平分方法一：利用割补将图形割（补）成三角形或梯形面积的和差，其中需使三角形的底边在坐标轴上或平行于坐标轴；（例如以下4、5两图中，连结BD解法不简便。

）方法二：铅锤法铅锤高水平宽⨯=21S方法三：其他面积方法如图1，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等．如图2，同底三角形的面积比等于高的比．如图3，同高三角形的面积比等于底的比．如图1 如图2 如图3【典例分析】【类型一：面积等量关系】【典例21】（2022•盘锦）如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B （4，0）两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C （0，﹣4）．点P 在抛物线上，连接BC ，BP ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P 在第四象限，点D 在线段BC 上，连接PD 并延长交x 轴于点E ，连接CE，记△DCE的面积为S1，△DBP的面积为S2，当S1＝S2时，求点P的坐标；【变式1】（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+x+c经过A （﹣2，0），B（0，4）两点，直线x＝3与x轴交于点C．（1）求a，c的值；（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【类型二：面积平分】【典例2】（2022•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点B（6，0）和点D（4，﹣3），与x轴的另一个交点为A，与y轴交于点C，作直线AD．（1）①求抛物线的函数表达式；②直接写出直线AD的函数表达式；（2）点E是直线AD下方的抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE，△BDF的面积记为S1，△DEF的面积记为S2，当S1＝2S2时，求点E的坐标；【变式2】（2022•内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．（1）求这条抛物线所对应的函数的表达式；（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的最大值及此时点D的坐标；（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为1：5两部分，求点P的坐标．【典例3】（深圳）如图抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB ＝OC．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．【变式3】（2021秋•合川区）如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（6，0），与y轴交于点C，点P为第一象限内抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点D，交x轴于点E，连接PB．（1）求该抛物线的解析式；（2）当△PBD与△BDE的面积之比为1：2时，求点P的坐标；专题03 二次函数与面积有关的问题（知识解读）【专题说明】二次函数是初中数学的一个重点，一个难点，也是中考数学必考的一个知识点。

中考数学专题复习教案二次函数中的面积问题

教学目标1.掌握利用二次函数的解析式求出相关点的坐标,从而得出相关线段的长,利用割补法求图形的面积,会将非轴边图形转化为轴边图形.2.通过解决二次函数背景下的三角形面积问题,体会数形结合思想和转化思想的应用.3.通过解决已知三角形的面积关系得出相关线段的长,从而求出点的坐标的问题,体会分类讨论思想和数形结合思想的应用.教学重点解决二次函数背景下的三角形面积问题，体会分类讨论思想、转化思想的运用.教学难点由已知面积问题,转化为点线距问题,通过作平行线,得出等面积,体会平行条件下的等积变形.问题情境师生活动设计意图活动一活动一.已知抛物线223y x x=+-与x轴交于A、B两点，其中A点位于B点的左侧，与y轴交于C点，顶点为P.(1)写出下列点的坐标:A____,B___,C____,P____.(2)求出下列线段的长:AO=____,CO=___,AB=___.(3)写出下列三角形的面积S△AOC=____,S△PAB=____,S△COP=____.(4)求出△APC的面积.师:本节课我们进行一个专题学习：二次函数中的面积问题－－－－－三角形面积.教师板书课题.学生独立完成第(1)(2)(3)小题,并口答.教师板书知识框图.师生得出第(3)小题中的三角形的共同特征, 总结求轴边三角形面积的方法.第（4）小题学生独立进行求解，教师巡视，了解学生采用的不同方法，然后让学生讲解思路.师生共同总结:利用割补法,将非轴边图形转化为轴边图形求面积.并观察特征，发现它是直角三角形，可直接求解.体会通法与特法.通过活动一的学习,学生掌握已知二次函数的解析式,求出相关点的坐标,得出线段的长,研究三角形的面积的问题,总结利用割补法将非轴边图形转化为轴边图形求解.课题二次函数中的面积问题－－－－三角形面积第1页共3页第2页共3页（请尝试用不同的方法求解）活动二活动二.已知抛物线的顶点P 的坐标为（1，4），交y 轴于点C （0,3）．(1) 求抛物线的解析式，并求出抛物线与x 轴的交点A 、B 的坐标（Ａ点在Ｂ点的左侧）.(2)抛物线上是否存在一点D ,使△ABD 的面积等于△ABC 的面积,如果存在,求出点D 的坐标;若不存在,请说明理由. (3)抛物线上是否存在一点E ，使△ECB的面积等于△PCB 的面积，如果存在，求出点E 的坐标，若不存在，请说明理由.学生独立完成第(1)小题,并回答.学生独立思考第(2)小题,然后由学生来讲解解题思路.教师关注由线段的长转化为点的坐标时,是否进行了分类讨论.利用平行线间的距离处处相等,体会平行条件下的等积变形,得出“过已知点作已知线段的平行线”的方法，并根据位置进行分类讨论，得出另一条平行线,突破本题的难点. 学生先独立思考第（3）小题,教师了解情况,及时进行引导,仍然运用“平行线间距离处处相等”的性质，得出过已知点作已知线段的平行线的方法，然后根据图形位置，进行分类讨论.活动二已知三角形的面积关系，得出线段的长,利用平行线间的距离处处相等，得出作平行线的方法,体会平行条件下的等面积问题.运用分类讨论思想，求出符合条件的所有点的坐标.活动三小结:由学生总结本节课的收获.学生结合框图和例题进行总结, 教师强调:由线段的长到点的坐标需进行分类讨论,体会数形结合思想、转化思想、分类讨论思想的应用.总结本节课的内容板书设计：二次函数中的面积问题－－－－－三角形的面积绝对值第3页共3页例2．（2）解：（3）点的坐标分类讨论非轴边图形线段的长图形面积轴边图形转化割补二次函数解析式（及其它函数点线距点点距。

2023年中考数学总复习专题2二次函数与直角三角形问题(学生版)

专题2二次函数与直角三角形问题解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程．有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．我们先看三个问题：1．已知线段AB，以线段AB为直角边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？2．已知线段AB，以线段AB为斜边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？3．已知点A(4,0)，如果△OAB是等腰直角三角形，求符合条件的点B的坐标．图1 图2 图3如图1，点C在垂线上，垂足除外．如图2，点C在以AB为直径的圆上，A、B两点除外．如图3，以OA为边画两个正方形，除了O、A两点以外的顶点和正方形对角线的交点，都是符合题意的点B，共6个．如图4，已知A(3, 0)，B(1,－4)，如果直角三角形ABC的顶点C在y轴上，求点C的坐标．我们可以用几何的方法，作AB为直径的圆，快速找到两个符合条件的点C．如果作BD⊥y轴于D，那么△AOC∽△CDB．设OC＝m，那么341m m-=．这个方程有两个解，分别对应图中圆与y轴的两个交点．对于代数法，可以采用两条直线的斜率之积来解决.【例1】（2022•滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC、BC．（1）求线段AC的长；（2）若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当P A＝PC时，求点P的坐标；（3）若点M为该抛物线上的一个动点，当△BCM为直角三角形时，求点M的坐标．【例2】．（2022•辽宁）如图，抛物线y＝ax2﹣3x+c与x轴交于A（﹣4，0），B两点，与y轴交于点C（0，4），点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC于点E，将射线OD绕点O逆时针旋转45°得到射线OP，OP交直线AC于点F，连接DF．（1）求抛物线的解析式；（2）当点D在第二象限且＝时，求点D的坐标；（3）当△ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．【例3】．（2022•广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象与x轴交于A、C 两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，﹣4），点C坐标为（2，0）．（1）求此抛物线的函数解析式．（2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△P AB为直角三角形，请求出点P的坐标．【例4】．（2022•柳州）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C（0，5）．（1）求b，c，m的值；（2）如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG 的周长最大时，求点D的坐标；（3）如图2，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．1．（2022•公安县模拟）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，BC⊥x轴于点C，且点A（﹣1，0），C（2，0），AC＝BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点E是抛物线AB之间的一个动点（不与A，B重合），求S△ABE的最大值以及此时E点的坐标；（3）根据问题（2）的条件，判断是否存在点E使得△ABE为直角三角形，如果存在，求出E点的坐标，如果不存在，说明理由．2．（2022•高邮市模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过A（﹣1，0），与y轴交于点C，过点C作BC∥x 轴，交抛物线于点B，连接AC、AB，AB交y轴于点D，若．（1）求点B的坐标；（2）点P为抛物线对称轴上一点，且位于x轴上方，连接P A、PC，若△P AC是以AC为直角边的直角三角形，求点P的坐标．3．（2022•碑林区校级模拟）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点．（1）求b，c的值；（2）点E为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一点，且点E在x轴上方，连接BE，以点E为直角顶点，BE为直角边，作等直角△BED，使得点D恰好落在直线y＝x上，求出满足条件的所有点E的坐标．4．（2022•雁峰区校级模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝x+1与x轴交于点E，与y轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）P为抛物线上的点，连接OP交直线DE于Q，当Q是OP中点时，求点P的坐标；（3）M在直线DE上，当△CDM为直角三角形时，求出点M的坐标．5．（2022•平南县二模）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且A （﹣1，0），对称轴为直线x＝2．（1）求该抛物线的表达式；（2）直线l过点A与抛物线交于点P，当∠P AB＝45°时，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得△BCQ是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2022•太原一模）综合与实践如图，抛物线y＝x2+2x﹣8与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．点D在直线AC 下方的抛物线上运动，过点D作y轴的平行线交AC于点E．（1）求直线AC的函数表达式；（2）求线段DE的最大值；（3）当点F在抛物线的对称轴上运动，以点A，C，F为顶点的三角形是直角三角形时，直接写出点F 的坐标．7．（2022•桐梓县模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点D，直线L经过C，D两点，连接AC．（1）求A，B两点的坐标及直线L的函数表达式；（2）探索直线L上是否存在点E，使△ACE为直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由．8．（2022•沈阳模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式．（2）若点M是抛物线上B，C之间的一个动点，线段MA绕点M逆时针旋转90°得到MN，当点N恰好落在y轴上时，求点M，点N的坐标．（3）如图2，若点E坐标为（2，0），EF⊥x轴交直线BC于点F，将△BEF沿直线BC平移得到△B'E'F'，在△B'E'F'移动过程中，是否存在使△ACE'为直角三角形的情况？若存在，请直接写出所有符合条件的点E′的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2022•东坡区校级模拟）如图，抛物线y＝x2﹣（m+2）x+4的顶点C在x轴的正半轴上，直线y＝x+2与抛物线交于A，B两点，且点A在点B的左侧．（1）求m的值；（2）点P是抛物线y＝x2﹣（m+2）x+4上一点，当△P AB的面积是△ABC面积的2倍时，求点P的坐标；（3）将直线AB向下平移k（k＞0）个单位长度，平移后的直线与抛物线交于D，E两点（点D在点E 的左侧），当△DEC为直角三角形时，求k的值．10．（2022•海沧区二模）抛物线y1＝ax2﹣2ax+c（a＜2且a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B两点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，点M（m，n）在该抛物线上，点P是抛物线的最低点．（1）若m＝2，n＝﹣3，求a的值；（2）记△PMB面积为S，证明：当1＜m＜3时，S＜2；（3）将直线BP向上平移t个单位长度得直线y2＝kx+b（k≠0），与y轴交于点C，与抛物线交于点E，当x＜﹣1时，总有y1＞y2．当﹣1＜x＜1时，总有y1＜y2．是否存在t≥4，使得△CDE是直角三角形，若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．11．（2021•葫芦岛模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC，点A在y轴上，点C在x轴上，其中B （﹣2，3），已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A和点B．（1）求抛物线解析式；（2）如图1，点D（﹣2，﹣1）在直线BC上，点E为y轴右侧抛物线上一点，连接BE、AE，DE，若S△BDE＝4S△ABE，求E点坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，P为射线DB上一点，作PQ⊥直线DE于点Q，连接AP，AQ，PQ，若△APQ为直角三角形，请直接写出P点坐标．12．（2021•和平区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣，交y轴于点A，交x轴于B（﹣1，0），C（5，0）两点，抛物线的顶点为D，连接AC，CD．（1）求直线AC的函数表达式；（2）求抛物线的函数表达式及顶点D的坐标；（3）过点D作x轴的垂线交AC于点G，点H为线段CD上一动点，连接GH，将△DGH沿GH翻折到△GHR（点R，点G分别位于直线CD的两侧），GR交CD于点K，当△GHK为直角三角形时．①请直接写出线段HK的长为；②将此Rt△GHK绕点H逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到△MHN，若直线MN分别与直线CD，直线DG交于点P，Q，当△DPQ是以PQ为腰的等腰三角形时，请直接写出点P的纵坐标为﹣或﹣．13．（2021•莱芜区三模）二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣1，0）和点B（﹣3，0），交y轴于点C （0，﹣3）．（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，点E为抛物线的顶点，点T（0，t）为y轴负半轴上的一点，将抛物线绕点T旋转180°，得到新的抛物线，其中B，E旋转后的对应点分别记为B′，E′，当四边形BEB'E'的面积为12时，求t 的值；（3）如图2，过点C作CD∥x轴，交抛物线于另一点D．点M是直线CD上的一个动点，过点M作x 轴的垂线，交抛物线于点P．当以点B、C、P为顶点的三角形是直角三角形时，求所有满足条件的点M 的坐标．14．（2021•雁塔区校级模拟）已知二次函数y＝x2+bx+c经过A、B两点，BC垂直x轴于点C，且A（﹣1，0），C（4，0），AC＝BC．（1）求抛物线的解析式；（2）请画出抛物线的图象；（3）点P是抛物线对称轴上一个动点，是否存在这样的点P，使三角形ABP为直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．15．（2021•武汉模拟）如图，抛物线y＝x2+bx+12（b＜0）与x轴交于A，B两点（A点在B点左侧），且OB＝3OA．（1）请直接写出b＝﹣8，A点的坐标是（2，0），B点的坐标是（6，0）；（2）如图（1），D点从原点出发，向y轴正方向运动，速度为2个单位长度/秒，直线BD交抛物线于点E，若BE＝5DE，求D点运动时间；（3）如图（2），F点是抛物线顶点，过点F作x轴平行线MN，点C是对称轴右侧的抛物线上的一定点，P点在直线MN上运动．若恰好存在3个P点使得△P AC为直角三角形，请求出C点坐标，并直接写出P点的坐标．16．（2021•北碚区校级模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x+2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P为直线BC上方抛物线上一动点．（1）求直线BC的解析式；（2）过点A作AD∥BC交抛物线于D，连接CA，CD，PC，PB，记四边形ACPB的面积为S1，△BCD 的面积为S2，当S1﹣S2的值最大时，求P点的坐标和S1﹣S2的最大值；（3）如图2，将抛物线水平向右平移，使得平移后的抛物线经过点O，G为平移后的抛物线的对称轴直线l上一动点，将线段AC沿直线BC平移，平移过程中的线段记为A'C'（线段A'C'始终在直线l左侧），是否存在以A'，C'，G为顶点的等腰直角△A'C'G？若存在，请写出满足要求的所有点G的坐标并写出其中一种结果的求解过程，若不存在，请说明理由．17（2021•广东模拟）如图，直线y＝x﹣3与x轴，y轴分别交于B、C两点．抛物线y＝x2+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）设点P从点D出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动．设运动的时间为t秒．①点P在运动过程中，若∠CBP＝15°，求t的值；②当t为何值时，以P，A，C为顶点的三角形是直角三角形？求出所有符合条件的t值．18.（2021•巴中）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的表达式；（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的坐标及的最大值；（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．19.（2021•毕节市）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x＝2，顶点为D，点B的坐标为（3，0）．（1）填空：点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（2，﹣1），抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3；（2）当二次函数y＝x2+bx+c的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最小值为，求m的值；（3）P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使△P AC是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．20.（2021•兰溪市模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝a（x﹣m）2﹣m+4图象的顶点为C，其中m＞0，与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点D，点M的坐标为（0，4）．（1）当m＝2时，抛物线y＝a（x﹣m）2﹣m+4（m＞0）经过原点，求a的值；（2）当a＝﹣1时，①若点M，点D，点C三点组成的三角形是直角三角形，求此时点D的坐标．②设反比例函数y＝﹣（x＞0）与抛物线y＝a（x﹣m）2﹣m+4（m＞0）相交于点E（p，q）．当2＜p＜4时，求m的取值范围．。

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二次函数与三角形的面积问题
1.运用2
铅垂高
水平宽⨯=
s ；
2.运用y ；
3.将不规则的图形分割成规则图形，从而便于求出图形的总面积。

类型一：三角形的某一条边在坐标轴上或者与坐标轴平行
例1.已知：抛物线的顶点为D （1，-4），并经过点E （4，5），求: （1）抛物线解析式；
（2）抛物线与x 轴的交点A 、B ，与y 轴交点C ；（3）求下列图形的面积△ABD 、△ABC 、△ABE 、△OCD 、△OCE 。

解题思路：求出函数解析式________________；写出下列点的坐标：A______；B_______；C_______；求出下列线段的长：AO________；BO________；AB________；OC_________。

求出下列图形的面积△ABD 、△ABC 、△ABE 、△OCD 、△OCE 。

一般地，这类题目的做题步骤：1.求出二次函数的解析式；2.求出相关点的坐标；3.求出相关线段的长；4.选择合适
方法求出图形的面积。

训练1.如图所示，已知抛物线()02
≠++=a c bx ax y 与x 轴相交于两点A ()0,1x ， B ()0,2x ()21x x <，
与y 轴负半轴相交于点C ，若抛物线顶点P 的横坐标是1，A 、 B 两点间的距离为4，且△ABC 的面积为6。

（1）求点A 和B 的坐标；
（2）求此抛物线的解析式；（3）求四边形ACPB 的面积。

类型二：三角形三边均不与坐标轴轴平行，做三角形的铅垂高。

（歪歪三角形拦腰来一刀）
关于2
铅垂高
水平宽⨯=
∆S 的知识点：如图1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的
三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 2
1
=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.
想一想：在直角坐标系中，水平宽如何求？铅垂高如何求？
例2．如图2，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B .(1)求抛物线和直线AB 的解析式；(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结P A ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ∆；(3)是否存在一点P ，使S △P AB =
8
9S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.
解题思路：求出直线AB 的解析式是为了求出D ．点的纵坐标．．．．．D y ；
x A
B O
C
y
P
B
C
铅垂高
水平宽 h
a 图1
图-2
x
C
O
y A
B
D
1 1
(3)x
y A
B
C
P
E O
x
y A B
C
Q O 铅垂高D C y y CD -=，注意线段的长度非负性；分析P 点在直线AB 的上方还是下方
训练2.如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（－2，0），连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB .（1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△P AB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△P AB 的最大面积；若没有，请说明理由.
训练3.如图，抛物线c bx x y ++-=2
与x 轴交于A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上
是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，
请说明理由.
一般地，①所谓的铅垂高度，实际上就是横坐标相同的两个点的纵坐标差的绝对值，数学表达式为D
C
y y CD -=。

为了保证这个差值是正数，同学们可以用在铅垂线上靠上点的纵坐标减去靠下点的纵坐标.
因此，求出点D 的坐标，是求铅垂高度CD 的关键；
②所谓的水平宽，实际上就是，两个点的横坐标差的绝对值，数学表达式为
B
A x x A
B -=.为了保证这个
差值是正数，同学们可以用这两个靠右点的横坐标减去靠左点的横坐标.因此，求出点A 、B 的坐标，是求水平宽的关键.
③在解这类存在性问题时，通常先假设所要的点是存在的，然后利用给出的条件，认真加以推理求解.
练习
1．已知如图，矩形OABC 的长3OC=1，将△AOC 沿AC 翻折得△APC 。

（1）填空：∠PCB=____度，P 点坐标为（，）；（2）若P ，A 两点在抛物线y=－
43
x 2
+bx+c 上，求b ，c 的值，并说明点C 在此抛物线上；（3）在（2）中的抛物线CP 段（不包括C ，P 点）上，是否存在一点M ，使得四边形MCAP 的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时M 点的坐标；若不存在，请说明理由。

2．如图①，已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ．(1) 求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理
C
B
A O y
x
D
B A O y
x
P 第1题图
由．(3) 如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．
图① 图② 3. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数c bx x y ++=2
的图象与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于C （0，-3）点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点. （1）求这个二次函数的表达式．
（2）连结PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP /
C ，那么是否存在点P ，使四边形POP /
C 为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大并求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积.
4．如图，抛物线y = ax 2 + bx + 4与x 轴的两个交点分别为A （－4，0）、B （2，0），与y 轴交于点C ，顶点为D ．E （1，2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G ．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标；（2）在直线EF 上求一点H ，使△CDH 的周长最小，并求出最小周长；
（3）若点K 在x 轴上方的抛物线上运动，当K 运动到什么位置时，△EFK 的面积最大？并求出最大面积．
K N C
E D
G A
x
y O
B F C
E
D
G A
x
y O B F。