中考数学复习二次函数与三角形的面积问题

二次函数与三角形的面积问题

1.运用2

铅垂高

水平宽⨯=

s ；

2.运用y ；

3.将不规则的图形分割成规则图形，从而便于求出图形的总面积。

类型一：三角形的某一条边在坐标轴上或者与坐标轴平行

例1.已知：抛物线的顶点为D （1，-4），并经过点E （4，5），求: （1）抛物线解析式；

（2）抛物线与x 轴的交点A 、B ，与y 轴交点C ； （3）求下列图形的面积△ABD 、△ABC 、△ABE 、△OCD 、△OCE 。 解题思路：求出函数解析式________________；写出下列点的坐标：A______；B_______；C_______；求出下列线段的长：AO________；BO________；AB________；OC_________。求出下列图形的面积△ABD 、△ABC 、△ABE 、△OCD 、△OCE 。 一般地，这类题目的做题步骤：1.求出二次函数的解析式；2.求出相关点的坐标；3.求出相关线段的长；4.选择合适

方法求出图形的面积。

训练1.如图所示，已知抛物线()02

≠++=a c bx ax y 与x 轴相交于两点A ()0,1x ， B ()0,2x ()21x x <，

与y 轴负半轴相交于点C ，若抛物线顶点P 的横坐标是1，A 、 B 两点间的距离为4，且△ABC 的面积为6。

（1）求点A 和B 的坐标；

（2）求此抛物线的解析式； （3）求四边形ACPB 的面积。

类型二：三角形三边均不与坐标轴轴平行，做三角形的铅垂高。（歪歪三角形拦腰来一刀）

关于2

铅垂高

水平宽⨯=

∆S 的知识点：如图1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的

三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 2

1

=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.

想一想：在直角坐标系中，水平宽如何求？铅垂高如何求？

例2．如图2，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B .(1)求抛物线和直线AB 的解析式；(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结P A ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ∆；(3)是否存在一点P ，使S △P AB =

8

9S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.

解题思路：求出直线AB 的解析式是为了求出D ．点的纵坐标．．．．．D y ；

x A

B O

C

y

P

B

C

铅垂高

水平宽 h

a 图1

图-2

x

C

O

y A

B

D

1 1

(3)x

y A

B

C

P

E O

x

y A B

C

Q O 铅垂高D C y y CD -=，注意线段的长度非负性；分析P 点在直线AB 的上方还是下方

训练2.如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（－2，0），连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB .（1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△P AB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△P AB 的最大面积；若没有，请说明理由.

训练3.如图，抛物线c bx x y ++-=2

与x 轴交于A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上

是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，

请说明理由.

一般地，①所谓的铅垂高度，实际上就是横坐标相同的两个点的纵坐标差的绝对值，数学表达式为D

C

y y CD -=。为了保证这个差值是正数，同学们可以用在铅垂线上靠上点的纵坐标减去靠下点的纵坐标.

因此，求出点D 的坐标，是求铅垂高度CD 的关键；

②所谓的水平宽，实际上就是，两个点的横坐标差的绝对值，数学表达式为

B

A x x A

B -=.为了保证这个

差值是正数，同学们可以用这两个靠右点的横坐标减去靠左点的横坐标.因此，求出点A 、B 的坐标，是求水平宽的关键.

③在解这类存在性问题时，通常先假设所要的点是存在的，然后利用给出的条件，认真加以推理求解.

练习

1．已知如图，矩形OABC 的长3OC=1，将△AOC 沿AC 翻折得△APC 。 （1）填空：∠PCB=____度，P 点坐标为（ ， ）； （2）若P ，A 两点在抛物线y=－

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x 2

+bx+c 上，求b ，c 的值，并说明点C 在此抛物线上； （3）在（2）中的抛物线CP 段（不包括C ，P 点）上，是否存在一点M ，使得四边形MCAP 的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时M 点的坐标；若不存在，请说明理由。

2．如图①， 已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ．(1) 求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理

C

B

A O y

x

D

B A O y

x

P 第1题图