反函数与函数图像习题
大一反函数的经典例题（范文5篇）
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大一反函数的经典例题（1）［例1］若函数f (x ) 与g (x)的图象关于直线y =x 对称，且f (x )=(x -1) (x ≤1) ，求g (x ). 选题意图：本题考查互为反函数的函数的图象间的对称关系.解：f (x ) 与g (x ) 在定义域内互为反函数，f (x )=(x -1) 2(x ≤1) 的反函数是2y =1-x (x ≥0) ，∴g (x )=1-x (x ≥0).说明：互为反函数的图象关于y =x 对称，反之亦然，也是判断两个函数互为反函数的方法之一，本是f (x ) 与g (x )互为反函数，要求g (x ), 只须求f (x ) 在限定区间上的反函数即可.［例2］若点P (1，2) 在函数y=ax +b 的图象上，又在它的反函数的图象上，求a , b 的值.选题意图：本题考查反函数的概念，反函数的图象与原函数图象的对称关系的应用.解：由题意知P (1，2) 在其反函数的图象上，根据互为反函数的函数图象关于y =x 对称的性质，Ｐ′(2，1) 也在函数y =+b 的图象上，⎧⎪2=a +b 因此：⎨解得:a =-3,b =7. ⎪⎩1=2a +b说明：引导学生树立创造性思考问题的方式、方法，利用互为反函数的图象的对称关系. （１，２）在反函数图象上，则(2，1) 也在原函数图象上是解决该问题的关键所在，即f (2)=1,这是得到a , b 的另一个关系式的条件，这样两个条件两个未知数，就可解出a , b 的值.［例3］已知函数f (x )=(1+x 2-1) -2(x ≥-2) ，求方程f (x )=f (x ) 的2解集.选题意图：本题考查互为反函数的函数的图象关于y =x 对称的关系，灵活运用这一关系解决问题的能力.分析：若先求出f (x )=2x +2-2(x ≥-2), 再解方程(1+-1-1图2—8 x 2) -2=2x +2-2，整理得四2次方程，求解有困难，但我们可以利用y =f (x ) 与y =f (x ) 的图象的关系求解. 先画出y =f (x )=(1+x 2-1) -2的图象，如图，因为y =f (x ) 的图象和y =f (x ) 的图象关于直线y =x 对称，2-1可立即画出y =f (x ) 的图象，由图象可见两图象恰有两个交点，且交点在y =x 上，因此，由x 2⎧⎪y =(1+) -2方程组⎨联立即可解得. 2⎪⎩y =x解：由函数f (x )=(1+x 2) -2(x ≥-2) 画出图象，如图，由于函数f (x ) 的反函数的图象与2函数f (x ) 的图象关于y =x 对称，故可以画出其反函数图象(如图)，由图可知两图象恰有两x 2⎧y =(1+) -2⎪-1个交点且交点都在y =x 上. 因此，方程组⎨的解即为f (x )=f (x ) 的解，于是2⎪⎩y =x解方程组得x =-2或x =2,从而方程f (x )=f (x ) 的解集为｛-2,2｝.说明：解决本题的关键是，根据互为反函数的图象关于y =x 对称，若两个函数有交点，则交点必在直线y =x 上，由此，将要解的两个较复杂的方程组转化为直线y =x 与其中-1y =(1+x 2) -２一个方程组的解的问题. 2大一反函数的经典例题（2）［例1］下列各组函数中，不互为反函数的是( ) ．．．．．．1(x -3) 21B. f (x )=2x +3,g (y )= (y -3)2A. f (x )=2x +3,g (x )=C. f (x )=x , g (x )=x2D. f (x )=x (x ＜0) , g (x )=-x (x ＞0)2选题意图：本题主要考查函数的反函数的有关概念，判断互为反函数的两个函数必须满足的条件：即函数解析式之间的关系是互相能确定x 、y ，定义域与值域之间的关系，是否是一个函数的定义域和值域分别是另一个函数的值域和定义域.解析：由f (x )=x 的定义域为x ∈R ，而值域为y ≥0; g (x )= x 的定义域为x ≥0，而值域为y ≥0. 由反函数的概念知反函数的定义域和值域正是原函数的值域和定义域推得它们不能互为反函数.说明：注意例1是判断不互为反函数的命题，否定互为反函数的三条件之一即不是反函数.［例2］判断函数y =x -x 有无反函数? 如果有，求出其反函数.选题意图：加深函数有无反函数判断的理解以及熟悉求反函数的方法与步骤.解：判断函数y =f (x ) 有无反函数，根据反函数的概念，应该判断：对每个确定的y 的(可能取到) 值，是否有惟一确定的x 值与之相对应. 由y =x -x112-12-1，得∴(x ) -y ⋅x -1=0112212①.11y ±y 2+4y -y +4x =, , x 0, ∴x =舍去,22y +y 2+4y 2+y y 2+4∴x =, ∴x =+1∴每一个确定的y 值，对应着(即只能221求出) 一个x , ∴ｘ是y 的函数，即y =x -x1-1有反函数，，由上面过程，易见反函数为x 2+x x 2+4x 2+x x 2+4，值域为(0，y =+1, 且f (x ) =y =+1的定义域是(x ∈Ｒ）22＋∞).说明：上述过程包含着：对于任意实数y 的取值方程①必有根，因此x 2-x11-12可以取到任意实数即函数y =x -x 的值域为（－∞，＋∞），所以反函数的定义域为（－∞，x 2+x x 2+4＋∞），恰是函数y =+1的定义域，在这种情况下，可以不注明函数的定义2域，当然原函数y =x -x 的值域也可以用以下方法解：当x =1时，y =0，当0＜ｘ＜１时，0＜x ＜1，x112-12-1＞1, 则y ＜０，且当x →0时，x →0, x121-1→+∞, 这时y 可以取任12何负数. 当x ＞1时，x ＞1，0＜x12-12＜1, 则y ＞0，且当x →＋∞时，x →+∞, x-12-12→0.这时y 可以取任何正数，∴y =x -x 的值域为R ，即（－∞，＋∞）.［例3］已知一次函数y =f (x ) 的反函数仍是它自己，求f(x ). 选题意图：本题考查反函数的概念，利用反函数与原函数的关系分析问题解决问题的能力.解：设y =f (x )=ax +b (a ≠0) ，则f1bx -, a a 1bax +b =x -对于一切x 都成立，a a-1(x ) =1⎧a =⎪⎧a =1⎧a =-1⎪a ∴⎨∴⎨或⎨⎪-b =b , ⎩b =0. ⎩b ∈R, ⎪⎩a∴f (x )=x 或f (x )=-x +b (b ∈R).说明：利用互为反函数的条件判断或证明某个或某两个函数是互为反函数的基本方法，此题是一个特殊函数的反函数的证明，希望读者掌握这种证明方法和思路.大一反函数的经典例题（3）函数的性质、反函数函数的单调性例题例1-5-1 下列函数中，属于增函数的是[ ]解 D例1-5-2 若一次函数y=kx+b(k≠0) 在(-∞，+∞) 上是单调递减函数，则点(k，b) 在直角坐标平面的[ ]A ．上半平面B．下半平面C ．左半平面D．右半平面解 C 因为k ＜0，b ∈R ．例1-5-3 函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4) 上是减函数，则实数a 的取值范围是[ ]A ．a ≥3 B．a ≤-3C ．a ≤5 D．a=-3解 B 因抛物线开口向上，对称轴方程为x=1-a，所以1-a ≥4，即a ≤-3．例1-5-4 已知f(x)=8+2x-x2，如果g(x)=f(2-x2) ，那么g(x) [ ]A ．在区间(-1，0) 内是减函数B ．在区间(0，1) 内是减函数C ．在区间(-2，0) 内是增函数D ．在区间(0，2) 内是增函数解 A g(x)=-(x2-1) 2+9．画出草图可知g(x)在(-1，0) 上是减函数．+bx在(0，+∞) 上是______函数(选填“增”或“减”) ．解[-2，1]大一反函数的经典例题（4）反函数例题讲解例1．下列函数中，没有反函数的是(A) y = x 2－1（x 1）2( )(B) y = x 3+1（x ∈R ）(D) y =⎨⎧2x -2(x ≥2) ，-4x (x x（x ∈R ，x ≠1）x -1分析：一个函数是否具有反函数，完全由这个函数的性质决定．判断一个函数有没有反函数的依据是反函数的概念．从代数角度入手，可试解以y 表示x 的式子；从几何角度入手，可画出原函数图像，再作观察、分析．作为选择题还可用特例指出不存在反函数．本题应选（D ）．因为若y = 4，则由⎨⎧2x -2=4，得x = 3．x ≥2⎩由⎨⎧-4x =4，得x = －1．x ∴（D ）中函数没有反函数．如果作出y =⎨⎧2x -2(x ≥2) ，的图像（如图），依图-4x (x 更易判断它没有反函数．例2．求函数y =1--x 2（－1≤x ≤0）的反函数．解：由y =1--x 2，得：-x 2=1-y ．∴1－x 2 = (1－y ) 2，x 2 = 1－(1－y ) 2 = 2y －y 2 ．∵－1≤x ≤0，故x =-2y -y 2．又当－1≤x ≤0 时，0≤1－x 2≤1，∴0≤-x 2≤1，0≤1－-x 2≤1，即0≤y ≤1 ．∴所求的反函数为y =-2x -x 2（0≤x ≤1）．由此可见，对于用解析式表示的函数，求其反函数的主要步骤是：①把给出解析式中的自变量x 当作未知数，因变量y 当作系数，求出x = φ ( y )．②求给出函数的值域，并作为所得函数的定义域；③依习惯，把自变量以x 表示，因变量为y 表示，改换x = φ ( y ) 为y = φ ( x )．例3．已知函数 f ( x ) = x 2 + 2x + 2（x 分析：依据f －1 (2 )这一符号的意义，本题可由f ( x )先求得f －1 ( x )，再求f －1 (2 )的值（略）．依据函数与反函数的联系，设f －1 (2 ) = m ，则有f ( m ) = 2．据此求f －1(2 )的值会简捷些．令x 2 + 2x + 2 = 2，则得：x 2 + 2x = 0 ．∴x = 0 或x =－2 ．又x 的图像是（( )（B（（分析：作为选择题，当然不必由f ( x )求出f －1 ( x )，再作出f －1 ( x )图像，予以比较、判断．由f (x ) =+4x 2（x ≤0）易得函数f ( x )的定义域为(-∞, 0]，值域为[1, +∞)．于是有函数f－1( x )的定义域为[1, +∞)，值域为(-∞, 0]．依此对给出图像作检验，显然只有（D ）是正确的．因此本题应选（D ）．例5．给定实数a ，a ≠0，a ≠1，设函数y =x -11（x ∈R ，x ≠）．a ax -1求证：这个函数的图像关于直线y = x 成轴对称图形．分析：本题可用证明此函数与其反函数是同一个函数的思路．证明：先求给出函数的反函数：由y =∴x -11（x ∈R ，x ≠），得y ( ax －1) = x －1 ．a ax -1(ay －1) x = y －1 ．①若ay －1 = 0，则ay = 1 ．又a ≠0，故y =11．此时由①可有y = 1．于是=1，即a = 1， a a这与已知a ≠1是矛盾的，故ay －1 ≠ 0 ．则由①得x =∴函数y =≠）．由于函数f ( x )与f －1 ( x )的图像关于直线y = x 对称，故函数y =（x ∈R 且x ≠1）的图像关于直线y = x 成轴对称图形． a1ay -11（y ∈R ，y ≠）．ay -1ax -11x -1（x ∈R ，x ≠）的反函数还是y =（x ∈R ，xa ax -1ax -1x -1ax -1本题证明还可依轴对称的概念进行，即证明：若点P （x ，y ）是函数f ( x ) 图像上任一点，则点P 关于直线的对称点Q （y ，x ）也在函数f ( x )的图像上（过程略）．例题讲解（反函数）例1．求下列函数的反函数：(1) y =3x －1 (x ∈R ) ；(2) y =x 3＋1 (x ∈R ) ；(3)y =x +1 (x ≥0) ；(4)y =2x +3(x ∈R ，且x ≠1) ．x -1通过本例，使学生掌握求反函数的方法．求反函数时，要强调分三个步骤进行．第一步将y = f (x ) 看成方程，解出x = f －1 (y ) ，第二步将x ，y 互换，得到y = f －1 (x ) ，第三步求出原函数的值域，作为反函数的定义域．其中第三步容易被忽略，造成错误．如第(3)小题，由y =x +1解得x = (y －1) 2，再将x ，y 互换，得y = (x －1) 2．到此以为反函数即y = (x －1) 2，这就错了．必须根据原函数的定义域x ≥0，求得值域y ≥1，得到反函数的定义域，于是所求反函数为y = (x －1) 2 (x ≥1) ．例2．求下列函数的反函数：(1) y = x 2－2x －3 (x ≤0) ；⎧x -1(x ≤0) ，⎪(2) y =⎨1-1(x ＞0) ．⎪⎩x通过本例，使学生进一步掌握求反函数的方法，明确求解中三个步骤缺一不可．解：(1) 由y = x 2－2x －3，得y = (x －1) 2－4，即(x －1) 2 = y ＋4，因为x ≤0，所以x -1=-y +4，所以原函数的反函数是y =1-x +4 ( x≥－3) ．(2) 当x ≤0时，得x = y＋1且y ≤－1；当x ＞0时，得x =1且y ＞－1，y +1所以，原函数的反函数是：x ≤－1，x ＞－1．⎧x +1⎪y =⎨1⎪⎩x +1例题讲解(反函数）［例1］若函数f (x ) 与g (x)的图象关于直线y =x 对称，且f (x )=(x -1) 2(x ≤1) ，求g (x ).选题意图：本题考查互为反函数的函数的图象间的对称关系. 解：f (x ) 与g (x ) 在定义域内互为反函数，f (x )=(x -1) 2(x ≤1) 的反函数是y =1-x (x ≥0) ，∴g (x )=1-x (x ≥0).说明：互为反函数的图象关于y =x 对称，反之亦然，也是判断两个函数互为反函数的方法之一，本是f (x ) 与g (x ) 互为反函数，要求g (x ), 只须求f (x ) 在限定区间上的反函数即可.［例2］若点P (1，2) 在函数y=ax +b 的图象上，又在它的反函数的图象上，求a , b 的值. 选题意图：本题考查反函数的概念，反函数的图象与原函数图象的对称关系的应用. 解：由题意知P (1，2) 在其反函数的图象上，根据互为反函数的函数图象关于y =x 对称的性质，Ｐ′(2，1) 也在函数y =ax +b 的图象上，⎧⎪2=a +b因此：⎨解得:a =-3,b =7.⎪⎩1=2a +b说明：引导学生树立创造性思考问题的方式、方法，利用互为反函数的图象的对称关系. （１，２）在反函数图象上，则(2，1) 也在原函数图象上是解决该问题的关键所在，即f (2)=1,这是得到a , b 的另一个关系式的条件，这样两个条件两个未知数，就可解出a , b 的值.x［例3］已知函数f (x )=(1+) 2-2(x ≥-2) ，求方程2-1f (x )=f (x ) 的解集.选题意图：本题考查互为反函数的函数的图象关于y =x 对称的关系，灵活运图2—8 用这一关系解决问题的能力.x分析：若先求出 f -1(x )=2x +2-2(x ≥-2), 再解方程(1+) 2-2=2x +2-2，2整理得四次方程，求解有困难，但我们可以利用y =f (x ) 与y =f -1(x ) 的图象的关系x求解. 先画出y =f (x )=(1+) 2-2的图象，如图，因为y =f (x ) 的图象和y =f -1(x ) 的2图象关于直线y =x 对称，可立即画出y =f -1(x ) 的图象，由图象可见两图象恰有两x 2⎧y =(1+) -2⎪个交点，且交点在y =x 上，因此，由方程组⎨联立即可解得. 2⎪⎩y =xx 2) -2(x ≥-2) 画出图象，如图，由于函数f (x ) 的反函2数的图象与函数f (x ) 的图象关于y =x 对称，故可以画出其反函数图象(如图) ，解：由函数f (x )=(1+x 2⎧⎪y =(1+) -2由图可知两图象恰有两个交点且交点都在y =x 上. 因此，方程组⎨2⎪⎩y =x 的解即为f (x )=f -1(x ) 的解，于是解方程组得x =-2或x =2,从而方程f (x )=f -1(x )的解集为｛-2,2｝.说明：解决本题的关键是，根据互为反函数的图象关于y =x 对称，若两个函数有交点，则交点必在直线y =x 上，由此，将要解的两个较复杂的方程组转化为x 2直线y =x 与其中y =(1+) -２一个方程组的解的问题.2例题讲解（练习）例1．函数f (x )=x －x 是否存在反函数？说明理由点评：不存在，∵ f (0)=f (－1)=f (1)=0．例2．求下列函数的反函数．(1) f (x )=36x +5x -1(2) y =-x -1(3) f (x )=x －2x +3，x ∈(1，+∞) (4)f (x )=1--x 2(－1≤x ≤0)点评：(1) f-12(x )=2x +5(x ∈R 且x ≠6) x -6(2) f (x )=x +1 (x ≤0) (3) f (4) f-1－1(x )=(x )=-x -2+1 (x >2)-x -1 (0≤x ≤1)2-1⎧⎪x -1(x ≥1)例3．求函数y =⎨的反函数．⎪⎩--x (x 2 ⎧⎪x +1点评：反函数为y =⎨2⎪⎩1-x(x ≥0)．(x 例4．已知f (x )=3x +2－1，求f [f (x )]的值．x +1⎡点评：f ⎢f⎢⎣-1⎛2⎫⎤2⎪⎥=，注意f (x ) 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠－1}，值域为{y |y 2⎪2⎝⎭⎥⎦∈R 且y ≠－3}．例5．已知一次函数y =f (x ) 反函数仍是它自己，试求f (x ) 的表达式．分析：设y =f (x )=ax +b (a ≠0) ，则f (x )=－11(x －b ) ．a⎧1=a ⎪⎧a =-1⎧a =11⎪a由(x －b )=ax +b 得⎨或⎨⇒⎨a b b ∈R b =0⎩⎩⎪-=b ⎪⎩a∴ f (x )=x 或f (x )=－x+b (b ∈R )例6．若函数y =ax +1在其定义域内存在反函数．4x +3(1) 求a 的取值范围；(2) 求此函数的值域．解：(1)方法一：原式可化为4xy +3y =ax +1，(4y －a ) x =1－3y ，a ax +1a≠时，，即44x +344解得a ≠时原函数有反函数．3ax +1方法二：要使y =在其定义域内存在反函数，则需此函数为非常数函数，4x +3a 14ax +1即≠，所以a ≠时函数y =在其定义域内存在反函数．3434x +3当y ≠(2) 由y =ax +1-3y +1解得x =．4x +34y -aax +1-3x +1的反函数为y =．4x +34x -a -3x +1a ∵y =的定义域是{x |x ∈R 且x =}44x -aax +1a 故y =的值域是{y |y ∈R 且y ≠}．44x +3∴y =例7．设函数y =f (x ) 满足f (x －1)=x －2x +3(x ≤0) ，求f (x +1)．解：∵x ≤0，则x －1≤－1．∵ f (x －1)=(x －1) +2 (x ≤0) ∴ f (x )=x +2 (x ≤－1) ．由y =x +2 (x ≤1) 解得x =-y -2(y ≥3)2222－1∴ f 故f-1(x )=-x -2 (x ≥3) ．x -1 (x ≥2) ．－1－1-1(x +1)=-－1点评：f (x +1)表示以x +1代替反函数f (x ) 中的x ，所以要先求f (x ) ，再以x +1代x ，不能把f (x +1)理解成求f (x +1)的反函数．习题1．已知函数 f (x )=x －1 (x ≤－2) ，那么 f (4)=______________．2．函数y =－x +x －1 (x ≤22－1－11) 的反函数是_________________．22⎧1]⎪x -1，x ∈(0，3．函数y =⎨2的反函数为__________________．⎪⎩x ，x ∈[-1，0)4．函数y =5．已知y =x 2-2x +3 (x ≤1) 的反函数的定义域是_____________．11x +m 与y =nx -是互为反函数，则m =______和n =________．23答案1．-2．y =1--4x -3⎛⎝x ≤-3⎫24⎪⎭3．y =⎧⎪⎨x +1，x ∈(-1，0]，⎪⎩-x ，x ∈(0，1]4．2，+∞)5．16，2大一反函数的经典例题（5）反函数求值例1、设互为反函数，求有反函数的值．，且函数与分析：本题对概念要求较强，而且函数不具体，无法通过算出反函数求解，所以不妨试试“赋值法”，即给变量一些适当的值看看能得到什么后果．解：设在函数这样即有，则点的图象上，即，从而在函数的图象上，从而点．由反函数定义有．，小结：利用反函数的概念，在不同式子间建立联系，此题考查对反函数概念的理解，符号间关系的理解．两函数互为反函数, 确定两函数的解析式例2 若函数的值.与函数互为反函数，求分析：常规思路是根据已知条件布列关于布列？如果注意到g(x)的定义域、值域已知，又义域与值域互换，有如下解法：的三元方程组，关键是如何与g(x)互为反函数，其定解：∵g(x)的定义域为.且，的值域为又∵g(x) 的定义域就是∵g(x) 的值域为的值域, ∴,.由条件可知∴.的定义域是, ,∴.令, 则即点(3,1) 在的图象上.又∵与g(x) 互为反函数,的对称点(1,3) 必在g(x)的图象上.∴(3,1) 关于∴3=1+ , .故 .判断是否存在反函数例3、给出下列函数:(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) .其中不存在反函数的是__________________.分析:判断一个函数是否有反函数, 从概念上讲即看对函数值域内任意一个,依照这函数的对应法则, 自变量总有唯一确定的值与之对应, 由于这种判断难度较大, 故通常对给出的函数的图象进行观察, 断定是否具有反函数.解: (1) ,(2)都没有问题, 对于(3)当.对于(4)时,和时, 和,且.对于(5)当时, 和 .故(3),(4),(5)均不存在反函数.小结:从图象上观察, 只要看在相应的区间内是否单调即可.求复合函数的反函数例4、已知函数分析: 由于已知是找到解:令,由得. 于是有,再由,则,所求是求出, ,求的反函数.的反函数,因此应首先由的表达式, 再求反函数., ,.,由于,又,的反函数是. 的值域是, .小结:此题涉及对抽象函数符号的认识与理解, 特别是在换元过程中, 相应变量的取值范围也要随之发生改变, 这一点是学生经常忽略的问题.原来的函数与反函数解析式相同求系数例5、已知函数试指出与其反函数是同一个一次函数,的所有取值可能.的反函数的解析式,与分析:此题可以有两种求解思路:一是求解比较, 让对应系数相等, 列出关于的方程, 二是利用两个函数图象的对称性, 找对称点, 利用点的坐标满足解析式来列方程. 解：由上, 于是又于是知点在图象上, 则点定在的图象(1) 过点(2),则点也在的图象上,由(1)得当或,当.时, 代入(2),此时(2)恒成立即;代入(2)解得综上, 的所有取值可能有或 .小结:此题是反函数概念与方程思想的综合. 在这个题目中特殊点的选取一般是考虑计算简单方便, 而且这种取特殊点列方程的方法在其他地方也有应用, 故对此种方法要引起重视. 另外此题在最后作答时, 要求写出的所有取值可能即要把的取值与的取值搭配在一起, 所以解方程组时要特别小心这一点. 选题角度：反函数图象关系、将反函数问题转化为原函数、利用性质求解析式、两函数互为反函数，确定两函数的解析式判断是否存在反函数、求出反函数解析式解关于反函数的不等式、求复合函数的反函数、由原来函数运算关系证明反函数运算。
反函数例题解析
2．4 反函数·例题解析[例1]求下列函数的反函数：(1)y (x )(2)y x 2x 3x (0]2＝≠－．＝－＋，∈－∞，．352112x x -+(3)y (x 0)(4)y x +1(1x 0) (0x 1)＝≤．＝－≤≤－＜≤112x x +⎧⎨⎪⎩⎪ 解 (1)y (x )y y (2y 3)x y 5x y (x )∵＝≠－，∴≠，由＝得－＝－－，∴＝所求反函数为＝≠．35211232352153253232x x x x y y y y -+-++-+- 解(2)∵y ＝(x －1)2＋2，x ∈(－∞，0]其值域为y ∈[2，＋∞)，由＝－＋≤，得－＝－，即＝－∴反函数为＝－，≥．y (x 1)2(x 0)x 1x 1f (x)1(x 2)21y y x ----222解 (3)y (x 0)0y 1y x f (x)(0x 1)1∵＝≤，它的值域为＜≤，由＝得＝－，∴反函数为＝－＜≤．11111122x x y y x x++--- 解 (4)y (1x 0)0y 1f (x)x 1(0x 1)y (0x 1)12由＝－≤≤，得值域≤≤，反函数＝－≤≤．由＝－＜≤，x x +-1得值域－≤＜，反函数＝－≤＜，故所求反函数为＝－≤≤－≤＜．1y 0f (x)(1x 0)y x 1(0x 1) x (1x 0)1222-⎧⎨⎪⎩⎪x[例2]求出下列函数的反函数，并画出原函数和其反函数的图像．(1)y 1(2)y 3x 2(x 0)2＝－＝－－≤x -1解(1)∵已知函数的定义域是x ≥1，∴值域为y ≥－1，由＝－，得反函数＝＋＋≥－．函数＝－与它的反函数＝＋＋的图像如图．－所示．y 1y (x 1)1(x 1)y 1y (x 1)124122x x --11解(2)由y ＝－3x 2－2(x ≤0)得值域y ≤－2， 反函数＝－≤－．f (x)(x 2)1--+x 23它们的图像如图2．4－2所示．【例3】已知函数＝≠－，≠．f(x)(x a a )3113x x a ++ (1)求它的反函数；(2)求使f -1(x)＝f(x)的实数a 的值．解(1)y x a y(x a)3x 1(y 3)x 1ay y 3设＝，∴≠－，∵＋＝＋，－＝－，这里≠，31x x a ++若＝，则＝这与已知≠矛盾，∴＝，，即反函数＝．y 3a a x f (x)113131313-----ay y ax x (2)f(x)f (x)x 1若＝，即＝对定义域内一切的值恒成立，-++--3113x x a ax x 令x ＝0，∴a ＝－3．或解由f(x)＝f -1(x)，那么函数f(x)与f -1(x)的定义域和值域一样，定义域是{x|x ≠a ，x ∈R }，值域y ∈{y|y ≠3，y ∈R }，∴－a ＝3即a ＝－3． 【例4】已知函数＝＝中，、、、均不为零，y f(x)a b c d ax b cx d++ 试求a 、b 、c 、d 满足什么条件时，它的反函数仍是自身．解 f(x)bc ad 0f (x)x 1＝＋，∵常数函数没有反函数，∴－≠．又＝，要使＝，对定义域内一切值恒成立，a c bc ad c cx d dx b cx adx b cx a ax b cx d-+-+--+-++-()令x ＝0，得－a ＝d ，即a ＋d ＝0．事实上，当a ＋d ＝0时，必有f -1(x)＝f(x)，因此所求的条件是bc －ad ≠0，且a ＋d ＝0．[例5]设点M(1，2)既在函数f(x)＝ax 2＋b(x ≥0)的图像上，又在它的反函数图像上，(1)求f -1(x)，(2)证明f -1(x)在其定义域内是减函数．解证(1)2a b 14a b a b f(x)x (x 0)(2)y x (x 0)f (x)(x )221由＝＋＝＋得＝－＝，∴＝－＋≥由＝－＋≥得反函数＝≤．⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪--1373137313737373x 设＜≤，∴－＞－≥，∴＞，即＞，故在－∞，上是减函数．x x 73x 73x 0f (x )f (x )f (x)(]121211121737337312-----x x x【例6】解法一若函数＝，求的值．先求函数＝的反函数＝，于是＝＝－－．f(x)f (2)()f(x)f (x)f (2)532x x x x x x-+-++-+----121212112212111 解法(二) 由函数y ＝f(x)与其反函数y ＝f -1(x)之间的一一对应关 系，求的值，就是求＝时对应的的值，∴令＝，得＝－－，即＝－－．f (2)f(x)2x 2x 532f (2)53211---+x x 12 【例7】已知∈，且≠，≠．设函数＝∈且≠，证明＝的图像关于直线＝对称．a a 0a 1f(x)(x x )y f(x)y x R R x ax a --111证 y a 0a 1(ay 1)x y 1ay 10y a 1a 1由＝，≠，≠，得－＝－，如果－＝，则＝，∴＝得＝，这与已知≠矛盾，x ax aa x ax ----111111∴－≠，故＝，∴＝，即证得＝的反函数就是它本身．ay 10x f (x)f(x)1y ay x ax x ax -------111111因为原函数的图像与其反函数的图像关于直线y ＝x 对称， ∴函数y ＝f(x)的图像关于直线y ＝x 对称．。
第3讲 反函数图像的性质(竞赛)
第3讲函数图像的性质一、知识要点1． 掌握函数图象的作法；2． 图象变换：平移变换、对称变换、翻折变换、及伸缩变换； 3． 图象的应用——数形结合的摇篮；4． 不要混淆两个函数图象的对称变换与一个函数图象本身的对称。
5． 反函数的概念及图象特征，()()b fa a fb 1-=⇔=6． 反函数求法及性质：互为反函数的两个函数具有相同的奇偶性及单调性。
它们的图象若有交点，则交点必关于直线x y =对称。
二、例题选讲例1． 作函数122+-=x x y 的图象，并说明如何由x y =的图象经过变换而得到？例2．已知函数()x f 有反函数()x f1-，方程()02006=-+x x f 有唯一根1x ，方程()020061=-+-x x f 有唯一根2x ，则=+21x x 。
例3．若函数a x y -=3的图象与其反函数图象总有公共点，求实数a 的范围。
三、训练提升1． 若函数()x f y =的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛-21,21对称， 则()()()()()()()()=+++++-+-+-43210123f f f f f f f f 。
2． 已知函数()1---=a x xa x f 的反函数()x f1-的图象的对称中心为()3,1-，则=a 。
3． 若不等式0log 412<-+x x m 在⎪⎭⎫⎝⎛21,0上恒成立， 则实数m 的取值范围为。
4． 函数()x f 满足对0≠x 时都有()()33+-=-x f x f ，且()00=f ，()x f 在()∞+,3上是减函数，则不等式()0>x f 的解集为。
5． 设函数()x f 定义域为R ，下列命题中正确的是 。
①()x f y =为偶函数，则()2+=x f y 的图象关于y 轴对称； ②()2+=x f y 为偶函数，则()x f y =的图象关于直线2=x 对称； ③若()()x f x f -=-22，则()x f y =的图象关于直线2=x 对称； ④()2-=x f y 与()x f y -=2图象关于直线2=x 对称； ⑤函数()x a f y -=与()b x f y -=关于直线2ba l +=对称；6． 设函数()x f 对一切实数x 满足()()x f x f -=+33，且方程()0=x f 恰有6个不同实根，则这6个根之和为。
反函数与函数的图像变换
反函数与函数的图像变换一、反函数当一个函数是一个一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数。
比如，指数函数2x y =与对数函数2log x 互为反函数。
函数()y f x =的反函数用1()y f x -=表示。
设函数()y f x =()x A ∈的值域是C ，根据这个函数中,x y 的关系，我们可以用y 把x 表示出来，得到()x y ϕ=，若对于y 在C 中每一个值，都只有唯一的x A ∈与它对应，那么()x y ϕ=就表示以y 为自变量，x 为因变量的一个函数，这样的函数()x y ϕ=()y C ∈叫做函数()y f x =()x A ∈的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=。
1f -是对应法则，1()y f x -=是表示反函数的符号，是一个整体。
1f -表示的对应是f 的逆对应，11()()f x f x -≠。
()y f x =也是1()y f x -=的反函数，()y f x =、1()y f x -=互为反函数。
只有当()y f x =是一一映射时，()f x 才有反函数。
特例：2x y =，2log x y →=，2log y x →=，一般：()y f x =，1()x f y -→=，1()y f x -→=。
例1 求下列函数的反函数：（1）21xy -=+()0x >；（2）211,()11,x x f x x x ≤-⎧+=⎨>--+⎩。
二、互为反函数的两个函数的性质：指数函数2x y =与对数函数2log x 的图像关于直线y x =对称。
根据反函数的定义，如果点(),a b 在函数()y f x =上，则点(),b a 在函数1()y f x -=上，从而可知函数()y f x =的图像与函数1()y f x -=的图像关于直线y x =对称。
互为反函数的函数图像之间的关系及应用
mx 5 x 5 解法一：由 f ( x) 得反函数 y 2 x 1 2x m
x 5 练习5：已知函数 f ( x) 2x m 的图象关于直线y=x对称，求m的值.
x 5 mx 5 2x m 2x 1
由
令 x=0得
5 ∴m=-1 5 解法二：令x=0 则(0, m )在f(x)的图象上
-1 （x）
∴
a = －3
练习2：如果y=f（x）的图象过点（1，2），那么 y=f-1(x)–1的图象过点__________ (2,0)
分析：由y=f（x）的图象过点（1，2），知y=f (x)的 -1 -1 图像过点（2，1），而y=f (x)–1的图像是由y=f (x) -1 的图像向下平移1个单位得到的，故y=f (x)–1的图象 过点（2,0)
（1，3），且它的反函数f (x)的图像过点 （2，0），求f(x).
解： ∵f(x)的图像过点（1，3）
-1
∴a+b=3 ①
由f(x)的反函数f (x)的图像过点（2，0），可知 f(x)的图像过点（0，2） ∴1+b=2 ② 由②得b=1,将b=1代入①中得a=2
-1
f ( x) 2x 1
y x2 3
x y x y
0 -2 -2 0
0
2 3
x
0
2 3
问题：
互为反函数的两个函数的图象之间是否 具有某种对称关系? 回答：
它们的两个函数图象是以直线y=x为对 称轴的对称图形。 给出定理：
函数 y = f ( x ) 的图象与它的 反函数 y = f －1 ( x ) 的图象关于直 线 y = x 对称。
1
O
反函数习题课一、知识回顾1、反函数的求法2、反函数定义域(精)
练习： 已知函数f (x) y=g(x)图像与y=f(x)
的1图2x像2 (关x 于，直1)函线数y=x对称
当y2 x2(1 x 0)
x y2 (0 y 1)
反函数为：y x(0 x 1)
y
x 2
x
2
1 (0 x 1) 反函数为 (1 x 0)
y x 1(1 x 0
Y={ x(0 x 1)
x 2 y 1 反函数为: y 2 x 1(x 1)
3
y
x 2
x
2
1 (0 x 1) (1 x 0)
当 y x2 1(0 x 1) 1
x y1 1(1 y 0)
反函数为：y x 1(1 x 0)
则g ( x)的单调减区间为 A(,1） B(,1) 和 (1,)
C(1,) D(,)
Y x 1 x 1 2 2 1 x 1 x 1 x 1
单调减区间为：（ ，1） Y 单调减区间为：（1， ）
Y=1
O
X=1
X
思考 试问: 若函数y=f(x)图像与 y=f-1(x)图 像有交点；交点都在直线y=x上吗？
求
g( 2)
3
解：由
2 1 x2
2 ,得x2 3
4.又x
1,
互为反函数的函数图象间的关系
反函数与原函数的 三要素之间的关系
求反函数的方法步骤：
1. 求原函数的值域；即求出反函数的
定义域；
2. 由 y = f ( x ) 反解出 x = f －1 ( y )； 即把 x 用 y 表 示Байду номын сангаас来；
3. 将 x = f －1 ( y ) 改写成
y = f －1 ( x )，并写出反函数的 定义
yx
∴函数y=3x-2(x∈R) 的反函数为 x2 -2 y=
1 -1 -1 -2 1
y
x2 3
x
x∈R
3
例3.求函数y=x3(x∈R)的反函数，并画
出原来的函数和它的反函数的图象.
解： y x x 3 y
3
y
yx
1
3
yx
y x ( x R)
3
y x
3
1
x
重要结论:
3x+2 例. 求函数 y= 的值域. x-2 ax+b 例. 求函数 y= 的值域. cx+d
ax+b a 重要结论 : y= 的值域为 y . cx+d c
互为反函数的
函数图象间的关系
例2. 求函数y=3x-2的反函数,并画 出原函数和反函数的图象.
解 ∵y=3x-2
y2 ∴x= 3
y y=3x-2
函数y=f(x)的图象和它的反函数 y=f-1(x)的图象 关于直线y=x对称。
应用思路：
已知函数的图像利用对称性可以 画出它的反函数的图像。
y=3x-2
yx
y
· · · ·
-2 -1 B (2,0)-1 -2
2 (0, ) A 1 3
反函数的图像
并利用对称性画出反函数的图像。 解：
y
f 1 ( x)
y
2 1
1
0
x2 x 2
（-1≤x＜0 )
的反函数，
( 0≤x≤2 )
x （ 0＜x≤1 )
2 x (-1≤x≤0 )
1
2
yx
1
x f ( x)
注：求分段函数的反函数，即分别求出各段的反函数。
互为反函数的两个函数图像的性质定理注意 以下三点： 1. 若点 A(a, b) 在 y f ( x) 上，则点 A (b, a)
华油一中数学组 黄洁
1. 求反函数的步骤：
① 求出 f ( x )的值域，即反函数的定义域。 ② 将 y f ( x) 看作方程，解出 x f 1 ③ 将 x , y 互换，得到 y f ( x)
1
( y)
2. 点 M (a, b) 关于直线 y x 的对称点是
点 M ' (b, a) ___________
反函数的图像上，求 a , b 的值。
解：由题意知 P(1,2)在其反函数的图像上， 根据互为反函数的函数图像关于 y x对称的性质，
P ' (2,1) 也在函数 y
2 a b 因此 1 2a b
ax b 的图像上，
解得 a 3, b 7
3. 求函数 y
1
x
y
2 1
0
y
1
1
x 1 3
x 1 y 3
x
-1 2 0 1
2
x
例2. 求函数 y x3 ( x R) 的反函数，并画出原函数和 它的反函数的图象。 解：
y x3
对数函数图象及性质——图象反函数
（1）图象法：此类方法的关键是图象变换.
（2）形如y=logaf(x)的函数的单调区间的确定方法： 首先求满足f(x)>0的x的范围，即求函数的定义域.假设 f(x)在定义域的子区间I1上单调递增，在子区间I2上单 调递减，则 ①当a>1时，原函数与内层函数f(x)的单调区间相同， 即在I1上单调递增，在I2上单调递减. ②当0<a<1时，原函数与内层函数f(x)的单调区间不同， 原函数在I1上单调递减，在I2上单调递增.
-3 -2 -1 0 1 2 y =2 x
(x0,y0) (2,4)
3
x
新课讲解
思考：在指数函数y=2x中，x为自变量，y为因变量.
如果把y当成自变量，x当成因变量，那么x是y的函数 吗？如果是，那么对应关系是什么？如果不是，请说 明理由.
函数x log2 y( y (0, ))是函数y 2x ( x R)的反函数
新课讲解
指数函数和对数函数的关系
对数函数y log a x(a 0, 且a 1)和指数 函数y a x (a 0, 且a 1)互为反函数
在统一坐标系中作出下列函数的图象并思考它们
之间有什么关系？ （1） y 2x 和y log
x
（2）y 1 和y log x 1
【分析】应先由函数定义域判断图像的位置，再对底 数a进行讨论，最后选出正确选项.
【解析】解法一:首先,曲线y=ax 只可能在上半平面,y=loga(-x)只 可能在左半平面上,从而排除A,C. 其次,从单调性着眼,y=ax与 y=loga(-x)的增减性正好相反,又 可排除D. 故应选B.
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解法二:若0<a<1,则曲线y=ax下降且过点(0,1),而曲线 y=loga(-x)上升且过(-1,0),以上图象均不符合这些条件. 若a>1,则曲线y=ax上升且过(0,1),而曲线y=loga(-x)下降 且过(-1,0),只有B满足条件. 解法三:如果注意到y=loga(-x)的图象关于y轴的对称图 象为y=logax,又y=logax与y=ax互为反函数(图象关于直 线y=x对称),则可直接选定B. 【评析】要正确识别函数的图像，一是要熟悉各种基 本初等函数的图像，如一次函数、二次函数、反比例 函数、指数函数、对数函数的图像等；二是把握函数 图像的性质，根据图像的性质去判断，如过定点、定 义域、值域、单调性、奇偶性等.
《反函数》典型例题精析
《反函数》典型例题解析【例1】求下列函数的反函数：（1）3521x y x -=+（12x ≠-）； （2）223y x x =-+（(],0x ∈-∞）；（3）211y x =+（0x ≤）； （4）()()1001x y x -≤≤=<≤⎪⎩。
【解析】（1）∵3521x y x -=+()313213132221242x x x +-==-++， 当12x ≠-时，32y ≠； 由3521x y x -=+可得()235y x y -=--，即523y x y --=-； ∴所求反函数为523x y x --=-（32x ≠）。
（2）∵223y x x =-+()212x =-+， ∴函数在(],0-∞上单调递减，其值域为[)3,+∞；又由()212y x =-+（(],0x ∈-∞）可得1x -=1x = 所以反函数为()11fx -=[)3,x ∈+∞） （3）∵211y x =+（0x ≤），其值域为01y <≤， 由211y x =+得x = 所以反函数为()1fx -=01x <≤）。
（4）由y =10x -≤≤）得值域为01y ≤≤，又由y =21x y =-，所以反函数为()121f x x -=-（01x ≤≤）；由y =01x <≤）得值域为10y -≤<，且由y =2x y =，所以反函数为()12f x x -=（10x -≤<）；故所求反函数为()()()212,101,01x x f x x x -⎧-≤<⎪=⎨-≤≤⎪⎩。
注意：分段函数的反函数一定为分段函数（由各段的反函数合并而成）。
【例2】求出下列函数的反函数，并画出原函数和其反函数的图像．（1）1y =； （2）232y x =--（0x ≤）【解析】（1）∵已知函数的定义域是[)1,+∞，且函数1y =在定义域上单调递增， ∴值域为{}1y y ≥；又由1y =可得()211x y =++，所以函数1y =的反函数为()211y x =++（[)1,x ∈+∞）。
高三数学反函数试题
高三数学反函数试题1.函数的反函数为_______.【答案】【解析】由题意得，，所以反函数为.【考点】反函数.2.已知函数，则．【答案】1【解析】因为，所以因此【考点】反函数3.设点在曲线上，点Q在曲线上，则最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】函数与函数互为反函数，图象关于对称函数上的点到直线的距离为．设函数，由图象关于对称得：最小值为．4.已知，设函数的零点为，的零点为，则的最大值为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由得，函数的零点为，即的图象相交于点；由得，函数的零点为，即的图象相交于点因为互为反函数，所以，即且，由基本不等式得，当且仅当时“=”成立，所以的最大值为.故选.【考点】函数的零点，反函数的图象和性质，基本不等式.5.已知函数的反函数满足，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函数的反函数为又，所以且 , .【考点】反函数,对数运算,均值不等式6.．设的反函数的解析式是，【答案】【解析】解：因为，那么配凑变形可知的反函数的解析式是7.如果函数的图象与函数的图象关于直线对称，则的单调递减区间是A．B．C．D．【答案】D【解析】函数f(x)与g(x)互为反函数，所以,所以由,所以函数的单调递减区间为8.函数,则函数（）A．B．C．D．【答案】C【解析】此题考查函数解析式和反函数的求法、考查反函数性质；【解法一】利用反函数性质：即；设，所以选C【解法二】因为，选C9.函数的图像与图像关于直线对称，则函数的单调增区间是__________【答案】【解析】略10.已知函数，则的反函数是A．B．C．D．【答案】A【解析】本题考查反函数概念，能根据原函数求出反函数.由得：则的反函数为.故选A11.函数的反函数为A．B．C．D．【答案】B【解析】由得：则反函数为故选B12.(本小题满分12分) 设a > 1，函数．（1）求的反函数；（2）若在[0，1]上的最大值与最小值互为相反数，求a的值；（3）若的图象不经过第二象限，求a的取值范围．【答案】解：(1) 由∴∴··································································· 4分(2) ∵ a > 1 ∴在[0，1]上递增∴，∴即∴······························································································· 8分(3) 在y轴上的截距为要使的图象不过第二象限，只需∴∴因此，a的取值范围为····································································· 12分【解析】略13.已知的图象关于点对称且存在反函数，若，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】本题考查函数图像的对称性，反函数的概念，互为反函数的关系.若的反函数为则因为函数的图像关于点对称，所以则即则故选A14.（13分）已知的反函数为．（1）若函数在区间上单增，求实数的取值范围；（2）若关于的方程在内有两个不相等的实数根，求实数的取值范围．【答案】解：（1），因为，故题意在上单增且恒正，故必有于是且,解得；（2）方程，令，因为，故当时题意等价于方程即有两个不相等的正数根，故【解析】略15.已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】本题考查反函数的概念及互为反函数的图像性质及基本运算.因为指数函数与对数函数是互为反函数，互为反函数的函数图像关于直线对称；所以则故选A16.已知函数的反函数为(),则函数的图象必过定点（）A．（１，０）B．（０，１）C．（－１，０）D．（０，－１）【答案】A【解析】略17.已知函数f(x)＝()x，函数y＝f－1(x)是函数y＝f(x)的反函数．(1)若函数y＝f－1(mx2＋mx＋1)的定义域为R，求实数m的取值范围；(2)当x∈[－1,1]时，求函数y＝[f(x)]2－2af(x)＋3的最小值g(a)；(3)是否存在实数m＞n＞3，使得g(x)的定义域为[n，m]，值域为[n2，m2]？若存在，求出m、n 的值；若不存在，请说明理由【答案】(1)∵f－1(x)＝logx(x＞0)，∴f－1(mx2＋mx＋1)＝log(mx2＋mx＋1)，由题知，mx2＋mx＋1＞0恒成立，∴①当m＝0时，1＞0满足题意；②当m≠0时，应有⇒0＜m＜4，∴实数m的取值范围为0≤m＜4.(2)∵x∈[－1,1]，∴()x∈[，3]，y＝[f(x)]2－2af(x)＋3＝[()x]2－2a()x＋3＝[()x－a]2＋3－a2，当a＜时，＝g(a)＝－；ymin当≤a≤3时，＝g(a)＝3－a2；ymin当a＞3时，y＝g(a)min＝12－6a.∴g(a)＝(3)∵m＞n＞3，且g(x)＝12－6x在(3，＋∞)上是减函数．又g(x)的定义域为[n，m]，值域为[n2，m2]．∴②－①得：6(m－n)＝(m＋n)(m－n)∵m＞n＞3，∴m＋n＝6.但这与“m＞n＞3”矛盾．∴满足题意的m、n不存在．【解析】略18.已知函数的反函数是，则函数的图像必过定点（）A．B．C．D．【答案】D【解析】略19.函数的反函数是_______ ___.【答案】【解析】略20.若函数存在反函数，且函数的图像过点，则函数的图象一定过点（）A．B．C．D．【答案】D【解析】略21.已知函数的定义域为R，它的反函数为，如果与互为反函数，且，则的值为（）A．B．0C．D．【答案】B【解析】略22.【答案】f -1(x) = e2x（x∈R）【解析】略23.已知在区间上的反函数是其本身，则可以是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】略24.函数的反函数是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】略25.函数f(x)=的反函数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】略26.已知函数的反函数的对称中心为（－1，3），则实数a的值为。
(完整版)反函数基础练习含答案
反函数基础练习(一)选择题1．函数y ＝－x 2(x ≤0)的反函数是[ ]A y (x 0)B y (x 0)C y (x 0)D y |x|．＝－≥．＝≤．＝－≤．＝－x x x --2．函数y ＝－x(2＋x)(x ≥0)的反函数的定义域是 [ ]A ．[0，＋∞)B ．[－∞，1]C ．(0，1]D ．(－∞，0]3y 1(x 2)．函数＝＋≥的反函数是x -2[ ]A ．y ＝2－(x －1)2(x ≥2)B ．y ＝2＋(x －1)2(x ≥2)C ．y ＝2－(x －1)2(x ≥1)D ．y ＝2＋(x －1)2(x ≥1)4．下列各组函数中互为反函数的是[ ]A y y xB y y 2．＝和＝．＝和＝x x x11C y y (x 1)D y x (x 1)y (x 0)2．＝和＝≠．＝≥和＝≥3131311x x x x x +-+-5．如果y ＝f(x)的反函数是y ＝f -1(x)，则下列命题中一定正确的是[ ]A ．若y ＝f(x)在[1，2]上是增函数，则y ＝f -1(x)在[1，2]上也是增函数B ．若y ＝f(x)是奇函数，则y ＝f -1(x)也是奇函数C．若y＝f(x)是偶函数，则y＝f-1(x)也是偶函数D．若f(x)的图像与y轴有交点，则f-1(x)的图像与y轴也有交点6．如果两个函数的图像关于直线y＝x对称，而其中一个函数是x 1y＝－，那么另一个函数是[ ] A．y＝x2＋1(x≤0)B．y＝x2＋1(x≥1)C．y＝x2－1(x≤0)D．y＝x2－1(x≥1)7．设点(a，b)在函数y＝f(x)的图像上，那么y＝f-1(x)的图像上一定有点[ ] A．(a，f-1(a))B．(f-1(b)，b)C．(f-1(a)，a) D．(b，f-1(b))8．设函数y＝f(x)的反函数是y＝g(x)，则函数y＝f(－x)的反函数是[ ] A．y＝g(－x) B．y＝－g(x)C．y＝－g(－x) D．y＝－g-1(x)9．若f(x－1)＝x2－2x＋3(x≤1)，则函数f-1(x)的草图是[ ]10y g(x)．函数＝的反函数是，则13x[ ]A ．g(2)＞g(－1)＞g(－3)B ．g(2)＞g(－3)＞g(－1)C ．g(－1)＞g(－3)＞g(2)D ．g(－3)＞g(－1)＞g(2) (二)填空题1y 32y (x 0)y f(x)y x ．函数＝＋的反函数是．．函数＝＞与函数＝的图像关于直线＝对称，x x ++2121 解f(x)＝________．3．如果一次函数y ＝ax ＋3与y ＝4x －b 的图像关于直线y ＝x 对称，那a ＝________，b ＝________．4y (1x 0)．函数＝－＜＜的反函数是，反函数的定92-x义域是________．5．已知函数y ＝f(x)存在反函数，a 是它的定义域内的任意一个值，则f -1(f(a))＝________．6y 7y (x 1)(x 1)8f(x)(x 1)f ()1．函数＝的反函数的值域是．．函数＝≥－＜的反函数是：．．函数＝＜－，则－＝．121121232x x x x ---⎧⎨⎪⎩⎪--(三)解答题1y 12f(x)．求函数＝＋的反函数，并作出反函数的图像．．已知函数＝．x ax x +++252(1)求函数y ＝f(x)的反函数y ＝f -1(x)的值域；(2)若点P(1，2)是y ＝f -1(x)的图像上一点，求函数y ＝f(x)的值域．3．已知函数y ＝f(x)在其定义域内是增函数，且存在反函数，求证y ＝f(x)的反函数y ＝f -1(x)在它的定义域内也是增函数．4f(x)y g(x)y f (x 1)．设函数＝，函数＝的图像是＝＋的图像2311x x +-- 关于y ＝x 对称，求g(2)的值．参考答案(一)选择题1．(C)．解：函数y=－x 2(x ≤0)的值域是y ≤0，由y=－x 2得x=－－，∴反函数－－≤．y x f (x)=(x 0)1-2．(D)．解：∵y=－x 2－2x=－(x ＋1)2，x ≥0，∴函数值域y ≤0，即其反函数的定义域为x ≤0．3(D)y =x 21x 2y 1y =x 2．．解：∵－＋，≥，∴函数值域≥，由－＋1，得反函数f －1(x)=(x －1)2＋1，(x ≥1)．4．(B)．解：(A)错．∵y=x 2没有反函数．(B)中如两个函数互为反函数．中函数＋－≠的反函数是＋－≠而不是＋－．中函数≥的值域为≥．应是其反函数的定义域≥．但中的定义域≥，故中两函数不是互为反函数．(C)y =3x 1x (x 1)y =x 1x 3(x 3)y =3x 13x 1(D)y =x (x 1)y 1x 1y =x x 0(D)21 5．(B)．解：(A)中．∵y=f(x)在[1，2]上是增函数．∴其反函数y=f -1(x)在[f(1)，f(2)]上是增函数，∴(A)错．(B)对．(C)中如y=f(x)=x 2是偶函数但没有反函数．∴(C)错．(D)中如函数f(x)=x 2＋1(x ≥0)的图像与y 轴有交点，但其反函数－≥的图像与轴没有交点．∴错．f -(x)=x 1(x 1)y (D)1 6(A)y =y 0f (x)=x 12．．解：∵函数－－的值域≤；其反函数＋x 1-＋1(x ≤0)．选(A)．7．(D)．解：∵点(a ，b)在函数y=f(x)的图像上，∴点(b ，a)必在其反函数y=f -1(x)的图像上，而a=f -1(b)，故点(b ，f －1(b))在y=f -1(x)的图像上．选(D)．8．(B)．解：∵y=f(x)的反函数是y=f -1(x)即g(x)=f -1(x)，而y=f(－x)的反函数是y=－f -1(x)=－g(x)，∴选(B)．9．(C)．解：令t=x －1．∵x ≤1，∴t ≤0，f(t)=t 2＋2(t ≤0)，即f(x)=x 2＋2(x ≤0)，值域为f(x)≥2，∴反函数f -1(x)的定义域是x ≥2，值域y ≤0，故选(C)．10(B)g(x)=1x (0)33．．解：∵在－∞，上是减函数，又－＜－＜100g(3)g(1)g(2)=120g(2)g(3)g(1)3，∴＞－＞－而＞，∴＞－＞－．故选 (B)．(二)填空题1y =3y 3y =x 6x 2．解：∵函数＋＋的值域≥，其反函数－＋x 27(x ≥3)2y =12x 1(x 0)y 1f(x)=1x2x(x 1)．解：＋＞的值域＜，其反函数－＜． 3y =4x b y =14x x =ax ．解：函数－的反函数是＋，则＋＋，b b41443比较两边对应项系数得，．a =14b =12 4y =9x (1x 0)y (223)2．解：函数－－＜＜的值域∈，，反函数f -1 (x)=(223)－－．反函数的定义为，．92x5．a6．[0，2)∪(2，＋∞)7f (x)=x 1(x 1)1x(x 0)122．＋≥－＜-⎧⎨⎪⎩⎪8．－2(三)解答题1x 2y 1y =x 21=．解：∵≥－，得值域为≥．由＋＋得反函数f x -1()(x －1)2－2，(x ≥1)，其图像如右图．2．解(1)：∵y=f(x)的定义域是{x|x ≠1，x ∈R ，∴y=f -1(x)的值域是{y|y ≠1，y ∈R}．解(2)：∵点P(1，2)在，y=f -1(x)的图像上，点P(1，2)关于直线y=x的对称点为′，一定在的图像上，即由＋＋得－，∴－＋，其反函数－＋．∵的定义域为≠－，∈，∴的值域为≠－，∈．P (21)y =f(x)=1a =f(x)=10x 2x 4f -(x)=104x 2x 1f -(x){x|x x R}y =f(x){y|y y R}112522121212a3．证明略．4f(x)=2x 3x 1f -(x)=x 3f (x 1)=11．略解；＋－的反函数是＋－，∴＋x 2x 4x 1x 4x 1=2x =6g(2)=6＋－，由＋－得即．。
反函数 图像
1. 反函数定义：设函数f(x)是从其定义域A到值B上的一一映射f:A→B，则其逆映射f-1:B→A确定的函数叫做函数f(x)的反函数，记为y=f-1(x)，函数f(x)叫做原函数。
反函数f-1(x)的定义域和值域，分别是f(x)的值域B和定义域A。
①函数f(x)是从定义域到值域上的一一映射，是函数f(x)存在反函数的充要条件。
②定义域上的单调函数必存在反函数，存在反函数的函数不一定是定义域上的单调函数。
③求解反函数的步骤：(i)求原函数f(x)的值域；(ii)由y=f(x)反解x=f-1(y)；(iii)交换变量x、y，写出y=f-1(x)解析式；(iv)以f(x)的值域作为y=f-1(x)的定义域。
2.反函数定理：函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称。
①函数f(x)与f-1(x)图象关于y=x对称是f(x)与f-1(x)互为反函数的充要条件。
②函数f(x)是定义域上单调函数，则f-1(x)与f(x)具有相同的单调性。
③函数f(x)的图象关于直线y=x对称的充要条件是f(x)的反函数是其自身。
3. 正确、灵活的应用函数的单调性、奇偶性，求解函数的值域，确定函数解析式，求解函数不等式等应用。
[教学难点]1. 在求解反函数的过程中，先确定原函数f(x)的值域，以确保反解y=f(x)的运算有意义。
2. 若y=f(x)的反解结果不唯一时，由f(x)的定义域确定其唯一性。
3. 反函数y=f-1(x)的定义域不一定是各运算同时有意义的自变量取值集合，它必须由f(x)的值域确定。
4. 复合函数单调性的性质：设f(x)、g(x)是两个单调函数(1)若f(x)、g(x)是两个单调性相同(同为增函数或同为减函数)则复合函数f[g(x)]是其定义域上的增函数。
(2)若F(x)、g(x)单调性相反，(一个是增函数，一个是减函数)则复合函数f[g(x)]是其定义域上的减函数。
[教学例题]例1. 设函数f(x)=x2-4x-1，当，求f(x)的反函数。
反函数及其图像性质
这表明函数 y x 没有反函。
2
并非所有的函数都有反函数！
问：怎样的函数才具有反函数呢？
• 连续的单调函数一定有反函数
二、新授课
（一）例题讲解
例1. 求函数y=3x-2的反函数, 并画出原函数和反函数的图象.
解 ∵y=3x-2
y=3x-2
yx
y2 ∴x= 3
∴函数y=3x-2(x∈R） 的反函数为
设函数f ( x)的图象关于点(1, 2)对称, 且存在反函数f ( x), f (4) 0. 则f (4)
1 1
1- ax 1 1.若函数f ( x) ( x - )的图像 1 ax a 关于直线y x对称，则a .
2x 3 2.设y f ( x) , y g ( x)的图像与 x -1 -1 y f ( x 1)的图像关于直线y x对称. 则g (3) .
.)2 x且,R x (
x3 互换 x, y得反函数为： y x2
也就是说,反函数定义是一种生成性定 义，体现了反函数的获得的过程
y = f(x) (x∈A)
反解
用 y 把 x 表示出来
2.求反函数的步骤 概念表明
x= ( y ) (y∈C)
判断
x=f
1
如果…那么…
( y) (y∈C)
1 1
2
2
同样，在(2)中，也把新函数 x y 1 称为原函数
2
y g( x) x 1,
改写为：
x 的反函数，记为： g
1 2
1
( y ) y 1.
2
y g ( x) x 1( x 0).
反函数的一般定义参见课本P.60第二段。
反函数图像
B(-2,0)
A(0,-2)
图像关于直线 y=x对称
3 例2 求函数 y x ( x R )的反函数; 在同一坐标系中画出原 函数 和它的反函数的图像。
3 解： y x x
3
y
3
3 y x 的反函数为 y
x( x R)
结论： (1)函数 y f ( x )的图像和他的反函数 1 y f ( x )的图像关于直线 y x对称
结论（2 ）原函数的单调性与 其反函数的单调性相同 。
1 结论3：若y f ( x )有反函数y f ( x ) 1 则y f ( x )与y f （x）互为反函数。
y2 思考：函数 y 3 x 2与x 图像 3 关于直线y x对称吗？
答：重合；在同一坐标系 中横轴表示 自变量。 一 一对应
作业与练习：
(1)练习：已知函数f ( x ) kx b的图像 过点（ 1， 2 ），它的反函数的图像 过 点（ 4， 0 ）试求f ( x )的解析式。
（2） 作业：p64 4, 5. (3) 金版名卷：反函数A卷
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之后,其它の本源都会消散の..."她又感觉有些不对劲,仔细の闻了闻后,又发现了壹些特别之处."这种仙韵不够纯粹,也不属于人间の气味,还有壹丝魔韵,难道他身具三界气韵?"女道士越发觉得震惊无比,竟然有人身具三界气韵,这是难以想像の."出来吧..."就在这时,根汉却突然开口 了："何必躲在暗处呢,反正你是高手,咱应该伤不到你の...""呃..."女道士楞了楞,没想到自己竟然被发现了."咱想如果咱们动手の话,壹定会毁了这个酒楼の,不如咱们去外面谈如何?"根汉又说：
反函数和对数函数的图像和性质
精锐教育学科教师辅导讲义讲义编号_(2) 设函数)12lg()(2++=x ax x f ，若)(x f 的定义域域为R ，求实数a 的取值范围10、（1）求函数)32(log 221--=x x y 的单调区间，11、比较下列各数大小：(1)3.0log 7.0log 4.03.0与 (2) 120.6 3.41log 0.8log 0.73-⎛⎫⎪⎝⎭，和 (3) 1.0log 1.0log 2.03.0和12、函数2)1e ln()(xx f x-+=是（ ） A.奇函数而非偶函数 B. 偶函数而非奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既非奇函数又非偶函数13、图中的曲线是对数函数x y a log =的图象．已知a 取101,53,34,3四个值，则相应于4321,,,c c c c 的a 值依次为（ ） （A ）10153343，，， （B ）53101343，，，（C ）10153334，，， （D ）53101334，，，二、选择题（本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得 3分，否则一律得零分，满分16分）13、如果b a <<0，那么下列不等式中错误的是（ ）（A ）c b c a +<+ （B ）b a <（C ） 22bc ac < （D ）ba 11> 14、设函数268y kx x k =-++的定义域为R ，则k 的取值范围是（ ）A ．1k ≥或9k ≤-B ．1k ≥C ．91k -≤≤D ．01k <≤ 15、下列函数在定义域上，既是奇函数又是减函数的是（ ） （A ）x x x y --=1)1( （B ）1y x=（C ）3x y -= （D ）233xx y --=16．右图中的图象所表示的函数的解析式为 （ ）（A ）|1|2323--=x y (0≤x ≤2) （B ）|1|23-=x y (0≤x ≤2) （C ）3|1|2y x =-- (0≤x ≤2) （D ）|1|1--=x y (0≤x ≤2)三、解答题：（本题共有5题，共48分） 17、（本题满分8分）已知集合2{|0,},{|2|2,}3x A x x R B x x a x R x -=≥∈=-≤∈-， 若A B R =U ，求实数a 的取值范围。
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ABCD
110．已知定义在R上的函数 的图象关于点 成中心对称图形，且满足 ， , ，则 的值为（ ）
C.0
111．已知当 时，不等式 恒成立，则 的取值范围为．
112．定义在 上的偶函数 ，且对任意实数 都有 ，当 时， ，若在区间 内，函数 有6个零点，则实数 的取值范围为________．
A． B． C． D．
99．函数 在区间 上的最小值记为 ．
（Ⅰ）若 ，求函数 的解析式；
（Ⅱ）定义在 的函数 为偶函数，且当 时， ．若 ，求实数 的取值范围．
100．定义运算“ ”为： .若函数 ，则该函数的图象大致是（ ）．
101．如果我们定义一种运算：已知函数，那么函数y=的大致图象是（ ）
113．函数 的大致图象为
A B C D
114．函数 ，当 时， 恒成立，求 ．
115．函数 的大致图像为 （ ）
116．若函数 的大致图象如右图所示，则函数 的大致图象为（ ）
117．可作为函数 的图象的是
118．已知 是定义在 上的函数，且 的图像关于坐标原点对称；当 时， .若 ，则实数 的取值范围是（ ）
81．已知 是定义在 上的增函数，函数 的图象关于点（1,0）对称，若对任意的 ， ，等式 恒成立，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
82．函数 的部分图像如图所示，则 的解析式可以是（）
A． B． C． D．
83．已知函数 的周期为2，当 时 ，那么函数 的图象与函数 的图象的交点共有（ ）
按逆时针方向运动，设旋转的角度，向量在方向的投影
为y（O为坐标原点），则y关于x的函数的图像是( )．
77．已知函数的图象向右平移 个单位后关于对称，当时， ＜0恒成立，设 ， ， ，则的大小关系为（ ）
A．c＞a＞bB．c＞b＞aC．a＞c＞bD．b＞a＞c
78．曲线的部分图像是（ ）
79．函数 的图象可能是
123．函数 的反函数为 ，如果函数 的图像过点 ，那么函数 的图像一定过点.
96．设 （ ），若无论 为何值，函数 的图象总是一条直线，则 的值是______.
97．如图，在第一象限内，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别在函数y= 的图像上，且矩形的边分别平行两坐标轴，若A点的纵坐标是2，则D点的坐标是
98．已知函数 的图象如图所示，若函数 在区间 上有10个零点（互不相同），则实数 的取值范围是
62．函数 的图象是 （ ）．
63．下列四个图中，函数 的图象可能是（ ）
64．函数 的大致图象为（ ）
65．已知函数 的图象过点 ，且点 在函数 的图象上．
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，若数列 的前 项和为 ，求证： ．
66．函数 的图象大致为（ ）
67．已知函数 ，若方程 有四个不同的解 ， ， ， ，且 ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
119．设 ， ，能表示从集合 到集合 的函数关系的图象是（ ）
120．若 是 上的减函数，且 的图象经过点 和点 ，则当不等式 的解集为 时， 的值为（ ）
A． 0 B．－1 C． 1 D． 2
121．函数 与函数 在同一坐标系中的大致图象正确的是（ ）
122．已知函数，是函数y=f（x）的反函数，若的图象过点（2,4），则a的值为______________．
A． B． C． D．
68．函数 的图象大致为（ ）
69．现有四个函数：① ;② ;③ ; ④ 的图象（部分）如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是
A．④①②③ B．①④③② C．①④②③ D．③④②①
70．函数与 在同一平面直角坐标系内的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
（1）求函数 在R上的解析式；
（2）在直角坐标系中画出函数 的图象；
（3）若方程 －k＝0有四个解，求实数k的取值范围．
106．函数 的图像大致是（ ）
107．定义在①；②当时，,则函数 在区间 上的零点个数为__________个.
108．如图，动点 在正方体 的对角线 上，过点 作垂直于平面 的直线，与正方体表面相交于 ．设 ， ，函数 的图象大致是
36．如图，点 在边长为 的正方形 的边界上运动，设 是 边的中点，当点 沿着 匀速率运动时，点 经过的路程 为自变量，三角形 的面积为 ，则函数 图像的形状大致是
37．若函数 （其中 为常数）的图象如右图所示，则函数 的大致图象是
38．设 ,用二分法求方程 内近似解的过程中得 则据此可得该方程的有解区间是
反函数、函数图像
1．已知 的反函数图像的对称中心为 ，则 的值为（ ）
A. C.
2．函数 的反函数是（ ）
A. B. C. D.
3．若函数 是函数 ，且 的反函数，其图象经过点 ， ，则
A. B. C. D.
4．函数的图象为（ ）
已知函数 和函数 ，若 的反函数为 ，则 与 两图象交点的个数为（ ）
42．设函数 的图像关于点 对称，且存在反函数 ,若 ，则 （ ）
A．0B．4C． D．
43．已知定义在 上的单调函数 的图像经过点 、 ,若函数的反函数为 ,则不等式 的解集为．
44．若函数 是函数 的反函数，则 （ ）
A． B． C． D．
45．（本小题满分18分）已知函数 ；
（1）判断函数奇偶性，并说明理由；
A． B． C． D．不能确定
39．已知函数 ，函数 是函数 的反函数．
（1）求函数 的解析式，并写出定义域 ；
（2）设 ，若函数 在区间 内的图像是不间断的光滑曲线，求证：函数 在区间 内必有唯一的零点（假设为 ），且 ．
40．设函数
（1）画出函数的图像。
（2）若函数 与 有3个交点，求k的值；
41．已知函数 的图象关于 轴对称，且 ，求满足 的 的取值范围．
28．在同一坐标系中画出函数 的图象, 可能正确的是（ ）
29． |的图象是（ ）．
30．下列四个图像中，是函数图像的是 （ ）
A．（1） B．（1）、（3）、（4） C．（1）、（2）、（3） D．（3）、（4）
31．将函数的图像向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得的图像所对应的函数解析式为（ ）
25．下面的图象可表示函数y=f(x)的是（ ）
26．如图所示，点P在边长为1的正方形的边上运动，设M是CD边的中点，则当点P沿着A-B-C-M运动时，以点P经过的路程 为自变量，三角形APM的面积函数的图像形状大致是图中的（ ）
27．函数 的图像关于（ ）
A. 轴对称 B. 轴对称 C. 原点对称 D. 点（1，1）对称
55．已知函数 且 有两个零点 、 ，则有（ ）
A． B． C． D． 的范围不确定
56．将边长为2的等边 沿 轴正方向滚动，某时刻 与坐标原点重合（如图），设顶点 的轨迹方程是 ，关于函数 的有下列说法：
① 的值域为 ；② 是周期函数；③ ；
④ ，其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
（2）求函数 的反函数 ；
（3）若函数的定义域为[ ， ]，值域为 ， ，并且 在 ， 上为减函数．求 的取值范围；
46．函数 的反函数为
A． B． C． D．
47．函数 的反函数为.
48．函数的反函数是（ ）
（A）（B）（C）（D）
49．已知，且，则．
50．已知，且，则．
51．已知函数，是函数的反函数，若的图象过点，则的值为.
A． B． C． D．
7．已知命题 ：函数 的图象恒过定点 ；命题 ：若函数 为偶函数，则函数 的图象关于直线 对称，则下列命题为真命题的是（）
A．p∨﹁qB．p∧qC．﹁p∧qD.p∨q
8．函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
9．函数 的大致图象为
10．下列图象中，可能是函数 图象的是
11．函数 的图像大致是（ ）
71．函数 的图象大致是（ ）
73．已知定义在区间 上的函数 的图象如图所示，对于满足 的任意 ， ，给出下列结论：
① ；② ；③ ；④ ．
其中正确结论的序号是．（把所有正确结论的序号都填上）
74．设幂函数 的图象经过点 ，则 。
75．函数 的图像大致为（ ）
76．如图，正的中心位于点G，A，动点P从A点出发沿的边界
52．已知不等式 恒成立，则k的最大值为（ ）
A．eB． C． D．
53．如图，圆上一定点A(0，1),一动点M从A点开始逆时针绕圆运动一周，并记由射线OA按逆时针方向绕O点旋转到射线OM所形成的∠AOM为，直线AM与X轴交于点N（t,0）,则函数t =的图像大致为（ ）
54．如图，函数 的图象为折线 ，设 ， 则函数 的图象为（ ）
说明：“正方形PABC沿轴滚动”包括沿轴正方向和沿轴负方向滚动。沿轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续。类似地，正方形PABC可以沿轴负方向滚动。
95．某工厂从2000年开始，近八年以来生产某种产品的情况是：前四年年产量的增长速度越来越慢，后四年年产量的增长速度保持不变，则该厂八年来这种产品的年产量y可用图像表示的是（ ）.
A． B． C． D．
32．设点 是函数 图象上的任意一点，点 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
33．已知函数 的图象如下图所示，则函数 的图象为（ ）
34．函数 的图象如右图所示，其中 为常数，则下列结论正确的是（ ）
A、 B、 C、 D、
35．如图所示的图象对应的函数可能是（ ）
A、 B、 的反函数 C、 D、 的反函数