考研数学高等数学强化习题-极限(应用)

模块二极限（应用）

Ⅰ经典习题

一．连续、间断点以及间断点的分类

1、设，在连续，则

2、“在点连续”是在点处连续的（）条件

(A) 必要非充分(B) 充分非必要(C) 充要(D)既非充分又非必要

3、设函数在区间上连续，则是函数的( )

(A) 可去间断点(B) 跳跃间断点(C) 无穷间断点(D) 振荡间断点

4、函数在上的第一类间断点是

5、函数的间断点的个数为（）

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)4

6、设函数则( )

（A）都是的第一类间断点.

(B)都是的第二类间断点.

(C)是的第一类间断点，是的第二类间断点.

(D) 是的第二类间断点，是的第一类间断点.

7、求函数的间断点，并指出类型。

8、求函数所有间断点及其类型

二．可导与可微

1．对导数定义式的直接考查

9、则在处( )

(A) 极限不存在(B) 极限存在，但不连续(C) 连续但不可导(D)可导

10、在可导且为奇函数，则

11、设函数在内有定义且，则在处（）

（A）不连续（B）连续但不可导

（C）可导且（D）可导但

12、设连续，，且，求并讨论在处的连续性

13、设在的邻域内有定义，，且，则

在处( )

（A）可导，且（B）可导，且

（C）可导，且（D）不可导

14、设可导，则当时，是的（）

（A）高阶无穷小（B）等价无穷小

（C）同阶无穷小（D）低阶无穷小

15、设函数对任意均满足, 且, 其中为非零常数, 则（）

(A) 在处不可导（B）在处可导, 且

（C）在处可导, 且（D）在处可导,且

2．导数的定义与极限的计算

16、设一阶可导，且，则

17、设二阶连续可导，且则

18、在处可导，且，则

19、设函数在点处可导，且，则（）（A）（B）（C）（D）

20、设, 则

21、设可导, 则

22、设在处连续，且，则曲线在点

的切线方程为

23、已知函数在处可导，，求下列极限：

（1）（2）

（3）（4）

（5）（6）

3．函数可导的充要条件

24、判断下列命题是否与函数在点处可导等价

（1）极限存在

（2）极限存在

（3）极限存在

（4）极限存在

（5）极限存在

（6）极限存在

（7）极限存在

（8）极限存在

三．渐近线

25、曲线的渐近线有（）

(A)1条(B)2条 (C)3条(D)4条

26、曲线渐近线的条数为（）

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

27、求下列曲线所有的渐近线。

（1）

（2）

（3）

四．多元函数微分学的概念

28、讨论下列二重极限是否存在，如果存在求出极限值（1）（2）

（3）（4）

（5）（6）

29、讨论下列函数在点处是否连续，偏导数是否存在，是否可微。

（1）

（2）

（3）

（4）

30、连续函数满足，则________。

Ⅱ参考答案

一．连续、间断点以及间断点的分类

1、【答案】：.

【解析】：在连续

由于，，即.

2、【答案】：(B)

【解析】：在连续在连续（）

但在连续推不出在连续，

如，在连续，但在间断

3、【答案】：(A)

【解析】：在中，令

当时，当时，因此，

于是，按照间断点的分类，所以是的可去间断点

4、【答案】：.

【解析】：显然在区间内没有意义的点有：，

且，，根据间断点的定义知

为跳跃间断点即为第一类间断点

5、【答案】：(B)

【解析】：易得的表达式：

，由表达式得到的间断点为

6、【答案】：(D)

【解析】：因为，所以是的第二类间断点，再由，所以是的第一类间断点

7、【解析】：显然为的间断点，其余点处都连续。

，为可去间断点

所以为跳跃间断点。

8、【解析】：有间断点. 又

.

因为，所以为跳跃间断点.

又，所以为可去间断点，

且，所以为无穷间断点

二．可导与可微

1．对导数定义式的直接考查

9、【答案】：(C) 【解析】：

，所以

在

处不可导，又由存在可得

在

右

连续和左连续，既在

连续

10、【答案】：2(0)g '

【解析】：因()g x 在0x =处可导，所以()g x 在0x =处连续，又()g x 是奇函数，所以

(0)0g =，2

2

2001()0()(0)(0)lim lim x x x e x g x f x f x f x x

→→-+--'==

2

2

2220001()(0)1()(0)

lim lim[1]lim 2(0)x x x x x e x g x g e g x g g x x x x →→→-+---'=⋅=+⋅=

11、【答案】：（C ） 【解析】：显然

，且

所以

在

处连续，又由

得

，根据夹逼定理：

，即

12、【解析】：当0x ≠时，做变量代换u xt =得0

()()x

f u du x x

ϕ=

⎰

当0x =时，1

(0)(0)(0)f dt f ϕ=

=⎰

。由于()f x 连续，且0

()

lim

x f x A x

→=，可知(0)0f =。

故0

(),0()0,0

x f u du x x x

x ϕ⎧⎪≠=⎨⎪

=⎩⎰ 则当0x ≠时，'02

()()()x

xf x f u du

x x

ϕ-=

⎰；