考研数学高等数学强化习题-极限(应用)
考研数学复习教程答案详解高数部分
第一篇高等数学第一章函数、极限与连续强化训练（一）一、选择题1.2.提示：参照“例1.1.5”求解。
3.4.解因选项(D)中的 不能保证任意小，故选(D)5.6.7.8.9.10.二、填空题11.提示：由2cos 12sin 2xx =-可得。
12.13.提示：由1 未定式结果可得。
14.提示：分子有理化，再同除以n即可。
15.提示：分子、分母利用等价无穷小代换处理即可。
16.17.提示：先指数对数化，再利用洛必达法则。
18.19.解因()2000122(1cos )22cos 2lim lim lim lim lim 1x x x x x x x xx f x x xxx -----→→→→→⋅---=====- ()0lim lim xx x f x ae a --→→==， 而()0f a =，故由()f x 在 0x =处连续可知，1a =-。
20.提示：先求极限（1∞型）得到()f x 的表达式，再求函数的连续区间。
三、 解答题 21.(1)(2)提示：利用皮亚诺型余项泰勒公式处理12sin ,sin x x。
(3)(4)(5)提示：先指数对数化，再用洛必达法则。
(6)提示：请参照“例1.2.14（3）”求解。
22.23.解 由题设极限等式条件得21()ln(cos )201()lim ,limln(cos )1f x x xxx x f x e e x x x+→→=+=， 即 2201()1()limln(cos )lim ln(1cos 1)1x x f x f x x x x x x x→→+=+-+=， 利用等价无穷小代换，得201()lim(cos 1)1x f x x x x →-+=，即230cos 1()lim()1x x f x x x→-+=， 故 30()3lim 2x f x x →=。
24.提示：先指数对数化，再由导数定义可得。
25.26.28.提示：利用皮亚诺型余项泰勒公式求解。
考研数学二极限试题及答案
考研数学二极限试题及答案# 考研数学二极限试题及答案## 题目一：求极限题目描述：求极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
解答步骤：1. 首先，我们考虑极限的类型，这是一个0/0型的不定式。
2. 为了解决这个问题，我们可以使用洛必达法则（L'Hôpital's Rule）。
3. 应用洛必达法则，对分子和分母同时求导，得到：\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{\cos x}{1}\]4. 当 \(x \to 0\) 时，\(\cos x\) 趋向于 1。
5. 因此，极限的值为 1。
答案：\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\]## 题目二：函数极限题目描述：求极限 \(\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2}\)。
解答步骤：1. 观察极限表达式，这是一个无穷大的倒数。
2. 当 \(x\) 趋向于无穷大时，\(x^2\) 也趋向于无穷大。
3. 任何数除以一个趋向于无穷大的数，结果都趋向于 0。
答案：\[\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} = 0\]## 题目三：复合函数的极限题目描述：设函数 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\)，求极限 \(\lim_{x \to 2} f(x)\)。
解答步骤：1. 直接将 \(x = 2\) 代入函数 \(f(x)\) 中。
2. 计算得到 \(f(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2\)。
3. 简化得到 \(f(2) = 8 - 12 + 4\)。
4. 计算结果为 \(f(2) = 0\)。
答案：\[\lim_{x \to 2} f(x) = 0## 题目四：数列极限题目描述：考虑数列 \(a_n = \frac{1}{n}\)，求其极限。
数学极限练习题考研
数学极限练习题考研数学极限是考研数学中的一个重要的知识点，也是比较难以理解和掌握的内容之一。
掌握了数学极限的概念和运算方法，对于考生在考研数学中获得高分非常有帮助。
下面我将为大家列举一些数学极限的练习题，帮助大家更好地掌握和应用数学极限。
【练习题一】求极限1. $\lim_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x}$2. $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}$3. $\lim_{x \to 0}\frac{\tan x}{x}$4. $\lim_{x \to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$5. $\lim_{x \to 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\tan x}\right)$【解答】1. 根据极限的定义，可以得到：$$\lim_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{(e^x-1)'}{x'} = \lim_{x \to 0}\frac{e^x}{1} = 1$$2. 同样根据极限的定义，可以得到：$$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$$3. 根据极限的定义，可以得到：$$\lim_{x \to 0}\frac{\tan x}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x\cos x} = \lim_{x \to 0}\frac{1}{\cos x} = 1$$4. 这是一个经典的极限，可以用连续复利公式证明，答案为：$$\lim_{x \to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e$$5. 根据极限的定义，可以得到：$$\lim_{x \to 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\tan x}\right) = \lim_{x \to 0}\frac{1-\frac{x}{\sin x}}{x}$$利用洛必达法则：$$= \lim_{x \to 0}\frac{-\frac{1}{2}\sin x + \frac{x\cos x}{\sin^2 x}}{1} = -\frac{1}{2}$$通过解答以上练习题，我们可以发现，掌握数学极限的运算方法和技巧是非常重要的。
考研高数极限试题及答案
考研高数极限试题及答案模拟试题：一、选择题（每题3分，共15分）1. 极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\) 的值是多少？A. 0B. 1C. -1D. \(\frac{1}{2}\)2. 函数 \(f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}\) 在 \(x = 1\) 处的极限是多少？A. 2B. 1C. 0D. 不存在3. 极限 \(\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^x}\) 存在吗？A. 是B. 否4. 函数 \(g(x) = \begin{cases}x^2 & \text{if } x \neq 0 \\0 & \text{if } x = 0\end{cases}\) 在 \(x = 0\) 处的右极限是多少？A. 0B. 1C. \(\frac{1}{2}\)D. 不存在5. 极限 \(\lim_{x \to 1} (x^2 - 1)\) 等于多少？A. 0B. 1C. 2D. 3二、计算题（每题10分，共40分）6. 计算极限 \(\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}\)。
7. 计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x}\)。
8. 计算极限 \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin x}{x}\)。
9. 计算极限 \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} +\frac{1}{n^3}\)。
三、解答题（每题20分，共40分）10. 证明 \(\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0\)。
11. 已知 \(\lim_{x \to 2} f(x) = 3\)，证明 \(\lim_{x \to 2} [f(x)]^2 = 9\)。
有关极限考研试题及答案
有关极限考研试题及答案1. 计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
答案：根据洛必达法则，当分子分母同时趋向于0时，可以求导数来计算极限。
对于本题，我们有：\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{\cos x}{1} = 1\]2. 求函数 \(f(x) = x^3 - 3x\) 在 \(x = 1\) 处的左极限和右极限。
答案：- 左极限 \(\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1^3 - 3 \times 1 = -2\) - 右极限 \(\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1^3 - 3 \times 1 = -2\)由于左极限等于右极限，所以函数在 \(x = 1\) 处的极限存在，且为 \(-2\)。
3. 判断函数 \(g(x) = \frac{1}{x^2 + 1}\) 是否在 \(x = 0\) 处连续。
答案：函数 \(g(x)\) 在 \(x = 0\) 处的左极限和右极限都等于1，即：\[\lim_{x \to 0^-} g(x) = \lim_{x \to 0^+} g(x) = 1\]同时，\(g(0) = 1\)，因此函数在 \(x = 0\) 处连续。
4. 计算不定积分 \(\int \frac{1}{1 + x^2} \, dx\)。
答案：这是一个标准积分形式，其积分结果为：\[\int \frac{1}{1 + x^2} \, dx = \arctan(x) + C\]其中 \(C\) 为积分常数。
5. 求函数 \(h(x) = \ln(x)\) 在 \(x = e\) 处的导数。
答案：函数 \(h(x)\) 的导数为 \(h'(x) = \frac{1}{x}\)，因此在 \(x = e\) 处的导数为：\[h'(e) = \frac{1}{e}\]6. 判断级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\) 是否收敛。
高数考研题库 极限
高数考研题库极限高数考研题库极限高等数学是考研数学中的重要科目，而极限是高等数学中的基础概念，也是考研数学中的重点内容之一。
掌握好极限的理论和解题技巧对于考研数学的学习至关重要。
因此，熟悉高数考研题库中的极限题目，对于备考考研数学是非常有帮助的。
极限是数学中的一个重要概念，它描述了一个函数在某一点的趋近情况。
在高等数学中，我们经常会遇到求极限的问题，因此，掌握极限的概念和性质是非常重要的。
在高数考研题库中，极限题目的形式多种多样，涉及到函数的极限、数列的极限等。
下面我们就来看几个例子。
第一题：计算极限$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$$这是一个典型的极限题目，也是考研中经常出现的题型。
我们可以通过泰勒展开或利用极限的性质来求解。
根据泰勒展开，我们有$$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$$将上式代入原式，得到$$\lim_{x \to 0} \frac{x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} +\cdots}{x}$$化简可得$$\lim_{x \to 0} 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \cdots$$由于$$\lim_{x \to 0} x^n = 0, \quad (n > 0)$$因此，上式的极限为1。
所以，原式的极限为1。
第二题：求函数的极限$$\lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$$这是一个常见的求极限的题目，也是考研中常见的题型之一。
我们可以通过利用极限的性质来求解。
将上式化简为$$\lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = \lim_{x \to +\infty}\left(\frac{x+1}{x}\right)^x$$再将上式化简为$$\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{x+1}{x}\right)^x = \lim_{x \to +\infty} \left(1 +\frac{1}{x}\right)^x \cdot \lim_{x \to +\infty} \left(\frac{x}{x+1}\right)$$由于$$\lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$$$$\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{x}{x+1}\right) = 1$$因此，原式的极限为$e \cdot 1 = e$。
考研数学高等数学强化习题-极限(计算)
5、【答案】：.【解析】：6、【答案】：(C)【解析】：由得：，所以此时必有：，，故7、原式8、【答案】：.【解析】：9、【答案】：.【解析】：10、【答案】：.中公考研，让考研变得简单！查看更多【解析】：.11、【答案】：（D）【解析】：若存在，必得存在，从而应得存在，这与已知矛盾，故A、B不正确.对于（C），只需取反例说明即可例存在，不存在但是存在的，故（C）必不正确.12、【答案】：.【解析】：（1）（3）（4）有不可导点.二．洛必达法则13、（1）【解析】：（2）【解析】：中公考研，让考研变得简单！查看更多（3）【解析】：（4）【解析】：（5）【解析】：原式（6）【解析】：原式14、【答案】：0【解析】：由，知，，于是当时，.故.15、【解析】：中公考研，让考研变得简单！查看更多16、【解析】：17、（1）【解析】：（2）【解析】：.三．泰勒公式18、（1）【解析】：（2）【解析】：原式中公考研，让考研变得简单！查看更多（3）【解析】：（4）【解析】：（5）【解析】：（6）【解析】：故中公考研，让考研变得简单！查看更多（7）【解析】：（8）【解析】：19、【答案】：(B)【解析】：利用泰勒公式由题设20、【答案】：(C)【解析】：利用泰勒公式中公考研，让考研变得简单！查看更多代入可得，也即从而有，可知，故选(C).21、【解析】：由泰勒公式得代入可得.22、【答案】：(D)【解析】：利用泰勒公式从而有，可知，故选(D).23、【解析】：由泰勒公式得从而中公考研，让考研变得简单！查看更多24、【解析】：可知.四．幂指函数的处理25、（1）【解析】：原式，在此数列的极限可以转化为函数的极限问题，考虑极限，所以原式=（2）【解析】：中公考研，让考研变得简单！查看更多（3）【解析】：令，则.故.（4）【解析】：（5）【解析】：（6）【解析】：，故，（7）【解析】：（8）【解析】：中公考研，让考研变得简单！查看更多（9）【解析】：（10）【解析】：.26、【解析】：.由极限存在与无穷小量的关系知，上式可改写为，其中满足.由此解出.从而.五．夹逼定理27、【答案】：（A）【解析】：由得又由及夹逼定理得，因此，由此得，故应选（A）中公考研，让考研变得简单！查看更多28、（1）【解析】：，有界，故.（2）【解析】：，有界，故.29、【答案】：(B)【解析】：，由于且，按极限的夹逼定理得30、【答案】：【解析】：令，则故当，利用夹逼定理可得31、（1）【解析】：由于再由，则原式（2）【解析】：中公考研，让考研变得简单！查看更多（3）【解析】：，。
考研数学极限题真题解析
考研数学极限题真题解析考研数学极限题真题解析在考研数学中，极限题是一个非常重要的考点。
掌握好极限的概念和解题技巧，对于提高数学成绩至关重要。
本篇文章将通过对几道考研数学极限题的真题解析，帮助考生更好地理解和掌握极限的相关知识。
一、题目一已知数列${a_n}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=\sqrt{a_n+2}$，求$\lim_{n\to\infty}a_n$。
解析：首先，我们可以观察到数列${a_n}$是递推定义的，每一项都依赖于前一项。
我们可以尝试计算前几项的值，看是否能找到规律。
$a_1=1$，$a_2=\sqrt{1+2}=3$，$a_3=\sqrt{3+2}=\sqrt{5}$，$a_4=\sqrt{\sqrt{5}+2}=\sqrt[4]{5+2}$，依此类推。
我们可以发现，每一项都是前一项的平方根加上2的结果。
因此，我们可以猜测，当$n$趋近于无穷大时，数列${a_n}$的极限应该是一个常数。
设该极限为$L$，则有$L=\sqrt{L+2}$。
将方程两边平方，得到$L^2=L+2$。
移项整理，得到$L^2-L-2=0$。
解这个二次方程，我们得到$L=2$或$L=-1$。
但由于数列${a_n}$的每一项都是正数，所以$L$不能为负数。
因此，$\lim_{n\to\infty}a_n=2$。
二、题目二已知函数$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$，求$\lim_{x\to2}f(x)$。
解析：这是一个极限的函数题。
我们可以尝试直接代入$x=2$，看看是否能够得到一个有意义的结果。
当$x=2$时，分子和分母都为0，无法直接计算。
但我们可以对函数进行化简，看是否能够消去这个不确定性。
将分子进行因式分解，得到$f(x)=\frac{(x+2)(x-2)}{x-2}$。
我们可以看到，分子中的$(x-2)$与分母中的$(x-2)$可以相互约去。
化简后的函数为$f(x)=x+2$。
函数与数列的极限的强化练习题答案(含详细分析)
第一讲：函数与数列的极限的强化练习题答案一、单项选择题1．下面函数与y x=为同一函数的是（）2.A y=.B y=ln.xC y e=.ln xD y e=解：ln lnxy e x e x===，且定义域(),-∞+∞，∴选D2．已知ϕ是f的反函数，则()2f x的反函数是（）()1.2A y xϕ=().2B y xϕ=()1.22C y xϕ=().22D y xϕ=解:令()2,y f x=反解出x：()1,2x y=ϕ互换x，y位置得反函数()12y x=ϕ，选A3．设()f x在(),-∞+∞有定义，则下列函数为奇函数的是（）()().A y f x f x=+-()().B y x f x f x=--⎡⎤⎣⎦()32.C y x f x=()().D y f x f x=-⋅解：()32y x f x=的定义域(),-∞+∞且()()()()()3232y x x f x x f x y x-=-=-=-∴选C4．下列函数在(),-∞+∞内无界的是（）21.1A yx=+.arctanB y x=.sin cosC y x x=+.sinD y x x=解: 排除法：A21122xxx x≤=+有界，B arctan2xπ<有界，C sin cosx x+≤故选D5．数列{}n x有界是lim nnx→∞存在的（）A 必要条件B 充分条件C 充分必要条件D 无关条件解：{}n x收敛时，数列n x有界（即nx M≤），反之不成立，（如(){}11n--有界，但不收敛，选A6．当n→∞时，21sinn与1kn为等价无穷小，则k= （）A12B 1C 2D -2解：2211sinlim lim111n nk kn nn n→∞→∞==，2k=选C二、填空题（每小题4分，共24分）7．设()11f xx=+，则()f f x⎡⎤⎣⎦的定义域为解：∵()f f x⎡⎤⎣⎦()111111f xx==+++112x xx≠-+=+ ∴()f f x ⎡⎤⎣⎦定义域为(,2)(2,1)(1,)-∞-⋃--⋃-+∞8．设2(2)1,f x x +=+ 则(1)f x -=解：（1）令()22,45x t f t t t +==-+()245f x x x =-+（2）()221(1)4(1)5610f x x x x x -=---+=-+9．函数44log log 2y =的反函数是解：（1）4log y =，反解出x ：214y x -=（2）互换,x y 位置，得反函数214x y -=10．n =解：原式32n =有理化11．若105lim 1,knn e n --→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭则k =解：左式=5lim ()510n kn k ne e e →∞---==故2k =12．2352limsin 53n n n n→∞++= 解：当n →∞时，2sinn ～2n∴原式=2532lim 53n n n n →∞+⋅+= 65三、计算题（每小题8分，共64分）13．求函数21arcsinx y -=解：{21113471110x x x x x --≤≤-≤≤><-->⎧⎪⎨⎪⎩⇔或∴函数的定义域为[](3,1)1,4--⋃ 14．设sin1cos 2x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求()f x 解：22sin 2cos21sin 222x x x f⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()221f⎡⎤∴=-⎣⎦故()()221f x x =-15．设()f x ln x =，()g x 的反函数()()1211x g x x -+=-，求()()f g x解: （1） 求22():1x g x y x +=- ∴反解出x ：22xy y x -=+22x y y =+-互换,x y 位置得()22g x x x =+- (2)()()ln ln 22f g x g x x x ==⎡⎤⎣⎦+-16．判别()f x (ln x =的奇偶性。
高数强化考试题及答案
高数强化考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 极限的定义中，如果函数f(x)在x趋近于a时的极限存在，则以下哪个条件是正确的？A. f(x)在x=a处必须有定义B. f(x)在x=a处必须连续C. f(x)在x趋近于a时的左极限和右极限相等D. f(x)在x趋近于a时的值必须等于a答案：C2. 以下哪个函数是偶函数？A. f(x) = x^2 + xB. f(x) = x^3 - xC. f(x) = x^2 - 1D. f(x) = x^3 + 1答案：C3. 积分∫(0 to 1) x^2 dx的值是多少？A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：A4. 以下哪个级数是发散的？A. ∑(1/n^2) from n=1 to ∞B. ∑(1/n) from n=1 to ∞C. ∑((-1)^n/n) from n=1 to ∞D. ∑(1/2^n) from n=1 to ∞答案：B5. 函数y=e^x的导数是？A. e^(-x)B. e^xC. -e^xD. 1/e^x答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 函数f(x)=x^3-3x的导数是________。
答案：3x^2-32. 函数f(x)=sin(x)的不定积分是________。
答案：-cos(x)+C3. 函数f(x)=e^x的二阶导数是________。
答案：e^x4. 函数f(x)=ln(x)的定义域是________。
答案：(0, +∞)5. 函数f(x)=x^2+2x+1的极小值点是________。
答案：-1三、解答题（每题10分，共30分）1. 求函数f(x)=x^2-4x+3在区间[1,3]上的定积分，并说明其几何意义。
答案：∫(1 to 3) (x^2-4x+3) dx = (1/3x^3-2x^2+3x) | from 1 to 3 = 0，几何意义是曲线y=x^2-4x+3与x轴在区间[1,3]上的面积为0，因为曲线在该区间内全部位于x轴下方。
考研高数--巩固测试题 第一章极限习题附答案(包含全书考点)
第一章函数与极限答案解析一、选择题（本题共 15小题，每小题３分，满分 45 分）1、函数 x x x y sin cos + = 是【 】(A)偶函数 (B)奇函数(C)非奇非偶函数 (D)奇偶函数【答案】B2、函数 21arccos 1 + + - = x x y 的定义域是【 】(A) ] 1 , (-¥ (B) ]1 , 3 [ - - (C) )1 , 3 (- (D) ]1 , 3 [- 【答案】Ｄ【解析】 0 1 ³ -x 且 1 211 £ + £- x ，解得 1 3 £ £ - x 3、设 îíì > £ = 10 11) ( x x x f 则 ( ) [ ]{ } x f f f 等于【 】（A ）0 （B ）1(C) îíì > £ 1 0 1 1 x x (D) îíì > £ 1 1 1 0 x x 【答案】B4、当 +®0 x 时，与 x 等价是无穷小量的是【 】（A ） xe - 1 （B ） xx- + 1 1 ln（C ） 11 - + x （D ） xcos 1- 【答案】B【解析】 +®0 x 时， 等价 与 x 1 - - x e ， 等价 与x x 2 1 1 1 - + ， 等价 与 x x 21cos 1- 1 1 1lim 11 1 lim 1 1 ln lim 0 0 0 = - + = - - + - + +++® ® ® x x x x xx x x x x x 等价代换 ，等价 与 x xx - + \ 1 1 ln 5、设 tx tx t ee x xf + + = ® 1 lim ) ( 0 ，则 0 = x 是 ) (x f 的【 】（A ）连续点 （B ）第一类间断点 （C ）第二类间断点 （D ）不能判断连续性的点【答案】A【解析】 211 e lim 1 lim ) ( 0 00 0 + = + + = + + = ® ® x e x e e x x f t tx tx t 是R 上的连续函数， 0 = \x 是 ) (x f 的连续点 6、 n n x ¥® lim 存在是数列{ }n x 有界的【 】(A)必要而非充分条件 (B)充分而非必要条件(C)充要条件(D)既非充分又非必要条件【答案】B7、如果 ) ( lim 0x f x x + ® 与 ) ( lim 0x f x x -® 存在，则【 】（A） ) ( lim 0x f x x ® 存在且 )( ) ( lim 0 0x f x f x x = ® （B） ) ( lim 0x f x x ® 不存在（C） ) ( lim 0x f x x ® 存在但不一定有 )( ) ( lim 0 0x f x f x x = ® （D） ) ( lim 0x f x x ® 不一定存在【答案】D 8、设 xx x x x f 3 4 2 ) ( - + =，则 ) ( lim 0x f x ® 为【】（A ）12(B)1 3(C)1 4(D)不存在【答案】D9、如果 ) ( ), ( x g x f 都在 0 x 点处间断，那么【 】（A） ) ( ) ( x g x f + 在 0 x 点处间断 （B） ) ( ) ( x g x f - 在 0 x 点处间断 （C） ) ( ) ( x g x f + 在 0 x 点处连续 （D） ) ( ) ( x g x f + 在 0 x 点处可能连续【答案】D10、方程 0 1 4= - - x x 至少有一个根的区间是【 】（A） （0,1/2） （B） （1/2,1）（C） （2,3）（D） （1,2）【答案】D 11、设ï îïí ì = ¹ - + = 0 , 0 0 , 11 ) ( x x xx x f ，则 0 = x 是函数 ) (x f 的【 】 ‘（A）可去间断点（B）无穷间断点（C）连续点 （D）跳跃间断点【答案】A 12、已知 0 )( lim0 = ® xx f x ，且 1 ) 0 ( = f ，那么【】（A） ) (x f 在 0 = x 处不连续 （B） ) (x f 在 0 = x 处连续 （C） ) ( lim 0x f x ® 不存在（D） 1) ( lim 0= ® x f x 【答案】A13、已知当 0 ® x 时， 1 ) 1 312 - +ax （ 与 1 cos - x 是等价无穷小，则常数a 为【 】（A ）32 (B) 32 -(C)23 (D) 23 -【答案】D【解析】 2 31 32 21 3 1 lim 1 1 cos 1 ) 1 ( lim 22 0 31 2 0 -= Þ = - = - Þ = - - + ® ® a a x axx ax x x14、设 () f x 和 () g x 在(,) -¥+¥ 内有定义, () f x 为连续函数,且 ()0,() f x g x ¹ 有间断点, 则必有间断点的 函数是【】（Ａ） [()] g f x （Ｂ） 2 [()]g x （Ｃ） [()]f g x （Ｄ）()()g x f x 【答案】D【解析】 设 1 ) ( 2+ = x x f ， îí ì< - ³ = 0 , 1 0 x 1 ) ( x x g ， 则 ) (x f 为连续函数，且 ()0,() f x g x ¹ 有间断点 0= x 则 2 )] ( [ = x g f ， 1 ) 1 ( )] ( [ 2 = + = x g x f g ， 1 )] [( 2= x g 均为连续函数，所以 A,B,C 选项错 下面证明D 选项是对的，用反证法 假设()()g x f x 是连续函数，由于 () f x 是连续函数且 0 ) ( ¹ x f ) (x g Þ 也为连续函数，与假设矛盾 15、设数列 n x 与 n y 满足 0 lim = ¥® n n n y x ，则下列断言正确的是【】（A）若 n x 发散，则 n y 必发散 （B）若 n x 无界，则 n y 必有界（C）若 n x 有界，则 n y 必为无穷小 （D）若 nx 1为无穷小，则 n y 必为无穷小 【答案】D 【解析】 设 îí ì= 为奇数 ， 为偶数 n n n x n 0 , ， îíì= 为偶数 ， 为奇数 n n n y n 0 , ，满足 0 lim = ¥® n n n y x ，但 n x 和 n y 均无界，所以（B）选项错； 设 2 1 n x n = ， n y n = ，满足 0 1lim 1 lim lim 2 = = × = ¥ ® ¥ ® ¥ ® nn n y x n n n n n ， n x 有界，但 n y 为无穷大，所以（C）选项 错；0 1 lim0 lim = Þ = ¥ ® ¥® nnn n n n x y y x 极限存在， 若 n x 1 为无穷小， 则 n y 必为无穷小， 否则极限是不存在的， 所以 （D） 选项正确；二、 计算题（满分 105分）1.求下列极限（本题共 6 小题，每小题4 分，满分 24分） (1))1 ( lim 1- ¥® xx e x解： 等价 与 x1 1 , 0 ) 1 ( lim 1 1- \ = - ¥ ® xx x e e ， 1 1 lim 1 e lim 1= = - ¥ ® ¥ ® x x x x xx ） （ (2) )( lim x x x x x - - + +¥® 解： 11 1 1 1 2limx 2 lim= -+ + = - + + = +¥® +¥® xx xx x x x x 原式 (3) xxx x 2 sin sin tan lim3 0 - ® 解： 161 )2 ( 2 1 lim 2 sin sin tan lim3 30 3 0 = = - ® ® x xx x x x x (4) xx x 2 sin ln 5 sin ln lim 0+® 解： 1 5 sin 2 sin lim . 2 cos 2 5 cos 5 lim 2 cos 2 . 2 sin 1 5 cos 5 . 5 sin 1lim 2 sin ln 5 sin ln lim 0 0 0 0 = = = ++++® ® ® ® x x x x xxxx x x x x x x (5) xe x x x 1 ln 1 lim 0 - ® 解：方法一： 等价与 1 1 ) 1 1 1 ln( 1 ln - - - - + = - x e x e x e x x x Q 212 1 lim 1 . 1 lim ) 1 1 ( 1 lim 1 ln 1 lim 0 0 0 0 = - = - - = - - = - ® ® ® ® x e x x e x x e x x e x x x x x x x x x 方法二：洛必达法则21 2 lim 1 lim 1 1 lim 1lnlim 1 ln 1 lim 0 2 0 2 0 0 0 = = + - = + - × - = - = - ® ® ® ® ® x xe x e xe x e xe e x x x e x e x x x x x x x x x x x x x x (6) ) cos 1 ( cos 1 lim 0x x x x - - +® 解： 2 1cos 1 1 21 cos 1 lim cos 1 cos 12 1 . cos 1 lim )cos 1 ( cos 1 lim 2 0 0= + × - = + + × - = - - +++® ® ® x x x x x x x x x x x x x x 2.求下列极限（本题共 6 小题，每小题7 分，满分 42分）(1) () xx x 2 tan 4tan lim p®解：原式= )1 .(tan2 tan . 1tan 14)1 tan 1 ( lim - - ®- + x x x x x p1sin cos sin 2 lim cos 2 cos ) cos (sin 2 sin lim) 1 (tan 2 tan lim 444- = + - = - = - ®® ®x x xx x x x x x x x x x p p p1e- = \原式 (2) 21) 2 (cos lim xx x ® 解： 212 cos lim 12 cos .1 2 cos 1 012 0 22)1 2 cos 1 ( lim ) 2 (cos lim - - - - ® ® = = - + = ® eex x xx x x x x x x x (3) x x x 2tan 1)2 ( lim p- ® 解： xx x x x x x x x ex x 2tan ) 1 ( lim 2tan ) 1 ( 1 1 12tan 11 )1 1 ( lim )2 ( lim ppp- - - ® ® ® = - + = - p p p pp p p p p 2 2sin 2 2 cos ) 1 (2 2 sin lim2 cos 2 sin ) 1 ( lim 2 tan ) 1 ( lim 1 1 1 = - - + - = - = - ® ® ® xxx x x x x x x x x x p2e= \原式 (4) )33 ( lim 11 1 2+ ¥® - x x x x 解： 3ln 3 ln )1 ( 1lim ) 1 3( 3 lim ) 3 3 ( lim 2 111 1121112= + ×= - × = - ¥® + - + ¥® + ¥® x x x x x x x x x x x xx 其中 等价 与 )1 ( 11 3111 + - + - x x x x ， 13 lim 1 1= + ¥ ® x x (5) ) cos 1sin 1 (lim 2 2 2 0xx x x - ® 解： 42 22 0 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 0 sin cos lim cos sin sin cos lim ) cos 1 sin 1 ( lim x xx x x x x x x x x x x x x x - = - = - ® ® ® 32) 3 1 ( 2 3 sin lim 2 sin cos lim sin cos lim2 0 03 0 - = - × = - = + × - = ® ® ® x x x x x x x x x x x x x x (6) xx xx ) 1cos 2 (sin lim + ¥ ® 解：令 x t 1 = 则 ) cos 2 ln(sin 10 10 lim ) cos 2 (sin lim ) 1 cos 2 (sin lim t t t t t t x x et t xx + ® ® ¥ ® = + = +2 1 cos 2 sin lim ) cos 2 ln(sin lim0 0 = - + = + ® ® tt t t t t t t ， 2e= \原式 3. 2 2lim 2 2 2 = - - + + ® x x b ax x x ,求: b a , （本题满分 8 分） 解： b ax + + 2 x 和 2 x 2 - -x 均为多项式，它们都是连续函数且n 阶可导， 2 ® x 时 0 2 x 2 ® - - x 故一定符合洛必达法则的条件2 = \x 时 0 x 2 = + + b ax 即 02 4 = + + b a 2 234 1 2 2 lim 2 lim 2 2 2 2 = Þ = + = - + = - - + + \ ® ® a a x a x x x b ax x x x 8, 2 - = = \ b a 4.设 î íì > - £ = 1 , 1 1 , ) ( 2 x x x x x f ， ï îïí ì > + £ < - £ = 5 , 3 5 2 ), 1 ( 2 2 , ) ( x x x x x xx g , 考察 )] ( [ x g f 的连续性. （本题满分 11 分） 解： ï ï îïïíì > - - £ < - £ < - £ = îí ì > - £ = = 5 , 2 5 2 , 2 3 2 1 , 1 1 , 1 ) ( ), ( 1 1 ) ( ), ( )] ( [ ) ( 22 x x x x x x x x x g x g x g x g x g f x F 0 1 1 ) ( lim 1= - = + ® x F x ， 1 ) ( lim 1= - ® x F x ， ) (x F \ 在 1 = x 处不连续1 4 3 ) ( lim2 - = - = +® x F x ， 1 2 1 ) ( lim 2 - = - = -® x F x ， ) (x F \ 在 2 = x 处连续7 2 5 ) ( lim 5- = - - = + ® x F x ， 7 10 3 ) ( lim 5- = - = - ® x F x ， ) (x F \ 在 5 = x 处连续综上可得， )] ( [ x g f 在 ）， （ ） ， （ ¥ + È ¥ 1 1 上连续，在 1 = x 处间断， 1 = x 为其跳跃间断点。
高等数学考研辅导练习1-3极限、导数与微分中值定理
《高等数学》考研辅导练习1 函数与极限1． 设201()(),()02x x f x x x x x x ϕ<⎧=+=⎨≥⎩，求(()),(())f x f x ϕϕ。
2． 已知11()01x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，求((()))f f f x 。
3． 设()f x 是奇函数，除0x =外处处连续。
0x =为其第一类间断点，则()xf t dt ⎰是（A ）连续的奇函数； （B ）连续的偶函数；（C ）在0x =间断的奇函数； （D ）在0x =间断的偶函数。
4．计算121cos 0lim(1sin )xx x -→+。
5．计算lim x a+→（0a ≥）。
6．计算lim x →+∞。
7．计算3525lim (2cos 13sin )323x x x x x x x →∞-+⋅+-++。
8．计算3012cos lim (()1)3x x x x →+-。
9．设1032nn n n a x -+=⎰，求lim n n na →∞。
10．求n 11．求n （0x ≥）。
12．求22lim(arctan )n n n π→∞。
13．设1110,(1,2,)n x x n +=== ，试证数列{}n x 的极限存在，并求之。
14．设0a >，为求00x >，再考察0x 与ax 。
显0x 与0ax 之间，于是令1001()2a x x x =+依此进行下去，得到数列{}n x ：111()(1,2,)2n n n ax x n x --=+= 。
（即验证{}n x。
15．若30sin 6()lim0x x xf x x →+=，则206()lim x f x x →+= 。
16．设函数()f x 连续，且()0f x ≠，求 0()()lim()xx x x t f t dtx f x t dt→--⎰⎰。
（注意条件()f x 连续）17．设(1)0()(1)0x x x f x x x x -≥⎧=⎨+<⎩，判()f x 的奇偶性。
历年考研数学真题极限
历年考研数学真题极限历年考研数学真题极限数学是一门抽象而又实用的学科，而在考研数学中，极限是一个重要的概念。
历年考研数学真题中，极限题目占据了相当大的比重。
通过分析历年真题中的极限题目，我们可以发现一些规律和解题技巧，从而更好地备考考研数学。
首先，我们来看一道历年考研数学真题中的极限题目：已知数列${a_n}$满足$a_1=2$，$a_{n+1}=2a_n-1$，求$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{2^n}$。
这道题目是一道经典的数列极限题目。
我们可以通过数列的递推关系来求解。
首先，我们可以列出前几项：$a_1=2, a_2=3, a_3=5, a_4=9, a_5=17, \ldots$观察数列的前几项，我们可以猜测数列的通项公式为$a_n=2^n+1$。
我们可以通过数学归纳法来证明这个猜想。
首先，当$n=1$时，$a_1=2=2^1+1$，成立。
假设当$n=k$时，$a_k=2^k+1$成立，那么当$n=k+1$时，$a_{k+1}=2a_k-1=2(2^k+1)-1=2^{k+1}+1$也成立。
由数学归纳法可知，对于任意正整数$n$，$a_n=2^n+1$。
接下来，我们来求解$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{2^n}$。
根据数列的通项公式，我们可以得到：$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{2^n}=\lim_{n\to\infty}\frac{2^n+1}{2^n}=1+\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2^n}=1$。
因此，$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{2^n}=1$。
通过这道题目，我们可以看出在考研数学中，极限题目往往需要通过观察数列的规律来求解。
对于这类题目，我们可以通过列出数列的前几项，观察数列的特点，猜测数列的通项公式，然后通过数学归纳法来证明猜想的正确性。
最后，我们可以利用数列的通项公式来求解极限。
24高等数学极限考研题库
24高等数学极限考研题库24高等数学极限考研题库高等数学是考研数学的一门重要课程，而极限是高等数学中的基础概念之一。
掌握极限的理论和解题方法对于考研数学的学习至关重要。
为了帮助考生更好地备战考研，我们整理了一套24道高等数学极限考研题库，希望能够对考生的学习和复习有所帮助。
题目一：计算极限$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}$。
解析：这是一个常见的极限题。
我们可以利用泰勒展开或者洛必达法则来求解。
对于这道题，我们可以通过泰勒展开来求解。
根据泰勒展开，我们有$\cosx=1-\frac{x^2}{2}+O(x^4)$。
将其代入原式，得到$\lim_{x\to0}\frac{1-\cosx}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{1-(1-\frac{x^2}{2}+O(x^4))}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{x^2}{2}+O(x^4)}{x^2}=\frac{1}{2}$。
题目二：计算极限$\lim_{x\to+\infty}(1+\frac{1}{x})^x$。
解析：这是一个关于自然指数的极限题。
我们可以利用自然对数的性质来求解。
根据自然对数的定义，我们有$\lim_{x\to+\infty}\ln(1+\frac{1}{x})^x=\lim_{x\to+\infty}x\ln(1+\frac{1}{x})$。
对于这个极限，我们可以利用洛必达法则来求解。
对于函数$f(x)=x\ln(1+\frac{1}{x})$，我们有$f'(x)=\ln(1+\frac{1}{x})-\frac{1}{x+1}$。
当$x\to+\infty$时，$\ln(1+\frac{1}{x})\to0$，$\frac{1}{x+1}\to0$，因此$f'(x)\to0$。
根据洛必达法则，我们有$\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{f'(x)}{1/x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(1+\frac{1}{x})-\frac{1}{x+1}}{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to+\infty}\ln(1+\frac{1}{x})=0$。
(word完整版)考研专项练习高等数学--习题集
第一章 函数·极限·连续一. 填空题1. 已知,__________)(,1)]([,sin )(2=-==x x x f x x f ϕϕ则 定义域为___________.2．设⎰∞-∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛+a t ax x dt te x x 1lim , 则a = ________. 3.⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++∞→n n n n n n n n n 2222211lim =________.4. 已知函数⎩⎨⎧=01)(x f 1||1||>≤x x , 则f[f(x)] _______. 5.)3(lim n n n n n --+∞→=_______.6. 设当x bx ax e x f xx 为时++-=→11)(,0的3阶无穷小, 则.___________,==b a 7. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x x 1sin 1cot lim 0=______. 8. 已知A n n n kk n =--∞→)1(lim 1990(≠ 0 ≠ ∞), 则A = ______, k = _______.二. 选择题1. 设f (x )和ϕ(x )在(－∞, +∞)内有定义, f (x )为连续函数, 且f (x ) ≠ 0, ϕ(x )有间断点, 则(a) ϕ[f (x )]必有间断点 (b) [ ϕ(x )]2必有间断点 (c) f [ϕ(x )]必有间断点 (d) )()(x f x ϕ必有间断点 2. 设函数x e x x x f sin tan )(⋅⋅=, 则f(x)是(a) 偶函数 (b) 无界函数 (c) 周期函数 (d) 单调函数3. 函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界(a) (－1, 0) (b) (0, 1) (c ) (1, 2) (d) (2, 3)4. 当11211,1---→x e x x x 函数时的极限5. 极限⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+++⨯+⨯∞→222222)1(12325213lim n n n n 的值是 (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 不存在6. 设8)1()1()1(lim 502595=+++∞→x ax x x , 则a 的值为 (a) 1 (b) 2 (c)58 (d) 均不对7. 设βα=------∞→)23()5)(4)(3)(2)(1(lim x x x x x x x , 则α, β的数值为(a) α = 1, β =31 (b) α = 5, β = 31 (c) α = 5, β = 531 (d) 均不对8. 设232)(-+=x x x f , 则当x →0时(a) f(x)是x 的等价无穷小 (b) f(x)是x 的同阶但非等价无穷小(c) f(x)比x 较低价无穷小 (d) f(x)比x 较高价无穷小9. 设6)31)(21)(1(lim 0=++++→xa x x x x , 则a 的值为 (a) －1 (b) 1 (c) 2 (d) 310. 设02)1()21ln()cos 1(tan lim 2202≠+=-+--+-→c a e d x c x b x a x x ，其中, 则必有(a) b = 4d (b) b =－4d (c) a = 4c (d) a =－4c三. 计算题1. 求下列极限 (1)x x x e x 1)(lim ++∞→(2)x x xx )1cos 2(sin lim +∞→ (3)310sin 1tan 1lim x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛++→2. 求下列极限 (1) 23)11ln(lim -+x(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x 220cot 1lim 3. 求下列极限 (1))1(ln lim -∞→n n n nn (2)nx nxn e e --∞→+-11lim(3) n n n n b a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→2lim , 其中a > 0, b > 04. 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=⎰0cos 1010)cos 1(2)(022x dt t x x x x x x f x试讨论)(x f 在0=x 处的连续性与可导性.5. 求下列函数的间断点并判别类型 (1) 1212)(11+-=x x x f(2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=11sin cos 2)2()(2x x x x x f π 00>≤x x 6. 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧+=βαx e xx x f 1sin )( 00≤>x x 在x = 0处的连续性.7. 设f(x)在[a, b]上连续, 且 a < x 1 < x 2 < … < x n < b, c i (I = 1, 2, 3, …, n)为任意正数, 则在(a, b)内至少存在一个ξ, 使 n n c c c c x f c x f c f ++++++=212211)()()(ξ.8. 设f(x)在[a, b]上连续, 且f(a) < a, f(b) > b, 试证在(a, b)内至少存在一个ξ, 使f(ξ) = ξ.9. 设f(x)在[0, 1]上连续, 且0 ≤ f(x) ≤ 1, 试证在[0, 1]内至少存在一个ξ, 使f(ξ) = ξ.10. 设f(x), g(x)在[a, b]上连续, 且f(a) < g(a), f(b) > g(b), 试证在(a, b)内至少存在一个ξ, 使f(ξ) = g(ξ).11. 证明方程x 5－3x －2 = 0在(1, 2)内至少有一个实根.12. 设f(x)在x = 0的某领域内二阶可导, 且0)(3sin lim 230=⎪⎭⎫ ⎝⎛+→x x f xx x , 求)0(''),0('),0(f f f 及203)(lim x x f x +→.第二章 导数与微分一. 填空题1 . 设)('31)()(lim 0000x f x x f x k x f x =∆-∆+→∆, 则k = ________.2. 设函数y = y(x)由方程0)cos(=++xy ey x 确定, 则=dx dy ______.3. 已知f(－x) =－f(x), 且k x f =-)('0, 则=)('0x f ______.4. 设f(x)可导, 则=∆∆--∆+→∆x x n x f x m x f x )()(lim 000_______. 5.x x x f +-=11)(, 则)()(x f n = _______.6. 已知x x f dx d 112=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛, 则=⎪⎭⎫ ⎝⎛21'f _______.7. 设f 为可导函数,)]}([sin sin{x f f y =, 则=dx dy _______.8. 设y = f(x)由方程1)cos(2-=-+e xy ey x 所确定, 则曲线y = f(x)在点(0, 1)处的法线方程为_______.二. 选择题1. 已知函数f(x)具有任意阶导数, 且2)]([)('x f x f =, 则当n 为大于2的正整数时, f(x)的n 阶导数是 (a)1)]([!+n x f n (b) 1)]([+n x f n (c) n x f 2)]([ (d) n x f n 2)]([!2. 设函数对任意x 均满足f(1 + x) = af(x), 且=)0('f b, 其中a, b 为非零常数, 则(a) f(x)在x = 1处不可导 (b) f(x)在x = 1处可导, 且=)1('f a (c) f(x)在x = 1处可导, 且=)1('f b (d) f(x)在x = 1处可导, 且=)1('f ab3. 设||3)(23x x x x f +=, 则使)0()(n f 存在的最高阶导数n 为(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 34. 设函数y = f(x)在点x 0处可导, 当自变量x 由x 0增加到x 0 + ∆x 时, 记∆y 为f(x)的增量, dy 为f(x)的微分, x dy y x ∆-∆→∆0lim等于5. 设⎪⎩⎪⎨⎧+=bax x x x f 1sin )(2 00≤>x x 在x = 0处可导, 则 (a) a = 1, b = 0 (b) a = 0, b 为任意常数 (c) a = 0, b = 0 (d) a = 1, b 为任意常数三. 计算题1.')]310ln[cos(2y x y ，求+=2. 已知f(u)可导,')][ln(2y x a x f y ，求++=3. 已知200sin cos 22y tdt dt e x y t +=⎰⎰, 求'y .4. 设y 为x 的函数是由方程x y y x arctan ln22=+确定的, 求'y .四. 已知当x ≤ 0时, f (x )有定义且二阶可导, 问a, b, c 为何值时⎩⎨⎧++=c bx ax x f x F 2)()( 00>≤x x 二阶可导.五. 已知)0(1)()(22n f x x x f ，求-=.六. 设x x y ln =, 求)1()(n f .第三章 一元函数积分学(不定积分)一. 求下列不定积分: 1.⎰-+-dx x x x 11ln 1122. c x x x x d x x dx x x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+-+=-++⎰⎰2211arctan 2111arctan 11arctan 11arctan 11 3.⎰++⋅+++dx x x x x x cos 1sin 1)cos 1(1sin cos 2 4.⎰+)1(8x x dx 5．dx xx x x x x dx x x x ⎰⎰+++-+++=+++cos sin 121)cos (sin 21)cos sin 1(21cos sin 1sin 1二. 求下列不定积分: 1. ⎰+++22)1(22x x x dx 2. ⎰+241x x dx 3. ⎰++221)12(x xdx 4. ⎰-222x a dx x (a > 0) 5.⎰-dx x 32)1(6.⎰-dx x x 4217. ⎰-+dx x x x 1122三. 求下列不定积分: 1.⎰+-+dx e e e e x x x x 1243 2.⎰+)41(2x x dx四. 求下列不定积分: 1.⎰-dx x x 1005)2( 2. ⎰+41x x dx五. 求下列不定积分:1.⎰xdx x 2cos2.⎰xdx 3sec 3.⎰dx x x 23)(ln4.⎰dx x )cos(ln5. ⎰⎰⎰⎰---+-=-==dx x x x x xd dx x x x x dx x x x 2sin 812sin 812sin 812cos 2sin 2cos 81sin 2cos 22233434c x x x xd x x x +--=+-=---⎰2cot 412sin 8122sin 412sin 81222六. 求下列不定积分: 1.⎰-++dx x x x x 222)1()1ln(2. ⎰+dx x xx 21arctan3.⎰dx e e x x 2arctan七. 设⎩⎨⎧-+-+=-x e x x x x x f )32(3)1ln()(22 00<≥x x , 求⎰dx x f )(.八. 设x b x a e f x cos sin )('+=, (a, b 为不同时为零的常数), 求f(x).九. 求下列不定积分:1.⎰++dx x x x )32(332 2.⎰-+-dx x x x )13()523(232 3.dx x x x ⎰+++221)1ln( 4. ⎰+++++)11ln()11(222x x x xdx十. 求下列不定积分: 1. ⎰+dx x x x )1(arctan 22.⎰+dx x x 1arcsin 3.⎰-+⋅dx x x x x 22211arcsin4. dx x x x⎰+)1(arctan 22十一. 求下列不定积分: 1. ⎰-dx x x 234 2. ⎰-x a x 223. dx e e e x x x ⎰-+21)1(4. ⎰-dx x a xx 2 (a > 0)十二. 求下列不定积分: 1. ⎰+x x dxcos 1sin 2. ⎰+-dx x xcos 2sin 2 3. ⎰+dx x x xx cos sin cos sin十三. 求下列不定积分: 1. dx x x x⎰-1 2. ⎰+-dx e e x x 113. dxx x x ⎰--1arctan 1第三章 一元函数积分学(定积分)一．若f(x)在[a ，b]上连续, 证明: 对于任意选定的连续函数Φ(x), 均有0)()(=Φ⎰badx x x f , 则f(x) ≡ 0.二. 设λ为任意实数, 证明: ⎰+=20)(tan 11πλdx x I =4)(cot 1120ππλ=+⎰dx x .三．已知f(x)在[0，1]上连续, 对任意x, y 都有|f(x)－f(y)| < M |x －y|, 证明 n Mn k f n dx x f n k 21)(110≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑⎰=四. 设⎰=40tan πxdx I n n , n 为大于1的正整数, 证明:)1(21)1(21-<<+n I n n .五. 设f(x)在[0, 1]连续, 且单调减少, f(x) > 0, 证明: 对于满足0 < α < β < 1的任何 α, β, 有 ⎰⎰>βαααβdx x f dx x f )()(0六. 设f(x)在[a, b]上二阶可导, 且)(''x f < 0, 证明:⎪⎭⎫⎝⎛+-≤⎰2)()(b a f a b dx x f ba七. 设f(x)在[0, 1]上连续, 且单调不增, 证明: 任给α ∈ (0, 1), 有 ⎰⎰≥1)()(dx x f dx x f αα八. 设f(x)在[a, b]上连续,)('x f 在[a, b]内存在而且可积, f(a) = f(b) = 0, 试证: ⎰≤ba dx x f x f |)('|21|)(|, (a < x < b)九. 设f(x)在[0, 1]上具有二阶连续导数)(''x f , 且0)(0)1()0(≠==x f f f ，, 试证:4)()(''1>⎰dx x f x f十. 设f(x)在[0, 1]上有一阶连续导数, 且f(1)－f(0) = 1, 试证: 1)]('[12≥⎰dx x f十一. 设函数f(x)在[0, 2]上连续, 且⎰2)(dx x f = 0,⎰2)(dx x xf = a > 0. 证明: ∃ ξ ∈ [0, 2], 使|f(ξ)| ≥ a.第三章 一元函数积分学(广义积分)一. 计算下列广义积分: (1)⎰-231)1(dx e e xx(2) ⎰+∞++022)4)(1(1dx x x(3)⎰∞+∞-+232)1(x dx(4) ⎰1)sin(ln dx x(5)⎰---12211dx x x(6)dx x x ⎰+∞+0232)1(arctan第四章 微分中值定理一. 设函数f(x)在闭区间[0, 1]上可微, 对于[0, 1]上每一个x, 函数f(x)的值都在开区间(0, 1)内, 且1)('≠x f , 证明: 在(0, 1)内有且仅有一个x, 使f(x) = x.二. 设函数f(x)在[0, 1]上连续, (0, 1)内可导, 且)0()(3132f dx x f =⎰. 证明: 在(0, 1)内存在一个ξ, 使0)('=ξf .三．设函数f(x)在[1, 2]上有二阶导数, 且f(1) = f(2) = 0, 又F(x) =(x －1)2f(x), 证明: 在(1, 2)内至少存在一个ξ, 使 0)(''=ξF .四. 设f (x )在[0, x ](x > 0)上连续, 在(0, x )内可导, 且f (0) = 0, 试证: 在(0, x )内存在一个ξ, 使 )(')1ln()1()(ξξf x x f ++=.五. 设f (x )在[a , b ]上可导, 且ab > 0, 试证: 存在一个ξ ∈ (a , b ), 使 1)](')([)()(1-+=-n nn f nf b f a f a b a b ξξξξ六. 设函数f (x ), g (x ), h (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导, 证明:存在一个ξ ∈ (a , b ), 使0)(')(')(')()()()()()(=ξξξh g f b h b g b f a h a g a f七. 设f (x )在[x 1, x 2]上二阶可导, 且0 < x 1 < x 2, 证明:在(x 1, x 2)内至少存在一个ξ, 使 )(')()()(1212121ξξf f x f x f e e e e x xx x -=-八. 若x 1x 2 > 0, 证明: 存在一个ξ ∈ (x 1, x 2)或(x 2, x 1), 使 )()1(212112x x e e x e x x x --=-ξξ九. 设f (x ), g (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导, 且f (a ) = f (b ) = 0, g (x ) ≠ 0, 试证: 至少存在一个ξ ∈ (a , b ), 使)()(')()('ξξξξf g g f =十. 设f (x ) 在[a , b ]上连续)0(b a <<,在(a , b )内可导, 证明在(a , b ) 存在abf f )(')(',2ηηξηξ=使.第五章 一元微积分的应用一. 选择题1. 设f(x)在(－∞, +∞)内可导, 且对任意x 1, x 2, x 1 > x 2时, 都有f(x 1) > f(x 2), 则 (a) 对任意x,0)('>x f (b) 对任意x, 0)('≤-x f(c) 函数f(－x)单调增加 (d) 函数－f(－x)单调增加2. 曲线)2)(1(1arctan212-+++=x x x x ey x 的渐近线有 (a) 1条 (b) 2条 (c) 3条 (d) 4条3. 设f(x)在[－π, +π]上连续, 当a 为何值时, ⎰--=ππdx nx a x f a F 2]cos )([)(的值为极小值.(a) ⎰-ππnxdx x f cos )( (b)⎰-πππnxdx x f cos )(1(c) ⎰-πππnxdx x f cos )(2(d)⎰-πππnxdx x f cos )(214. 函数y = f (x )具有下列特征: f(0) = 1;0)0('=f , 当x ≠ 0时, 0)('>x f ; ⎩⎨⎧><00)(''x f 00><x x , 则其图形(a) (b) (c) (d)15. 设三次函数d cx bx ax x f y +++==23)(, 若两个极值点及其对应的两个极值均为相反数, 则这个函数的图形是(a) 关于y 轴对称 (b) 关于原点对称 (c) 关于直线y = x 轴对称 (d) 以上均错 6. 曲线)2)(1(x x x y --=与x 轴所围图形面积可表示为(a) ⎰---20)2)(1(dx x x x (b)⎰--10)2)(1(dx x x x ⎰---21)2)(1(dx x x x(c) ⎰---1)2)(1(dx x x x ⎰--+21)2)(1(dx x x x (d) ⎰--2)2)(1(dx x x x二. 填空题 1. 函数⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-=xdt t x F 112)( (x > 0)的单调减少区间______. 2. 曲线x x y -=3与其在1=x 处的切线所围成的部分被y 轴分成两部分, 这两部分面积之比是________.3. 二椭圆12222=+b y a x , 12222=+ay b x ( a > b > 0)之间的图形的面积______.4. x 2 + y 2 = a 2绕x =－b (b > a > 0)旋转所成旋转体体积_______.(5) 求心脏线ρ = 4(1+cos θ)和直线θ = 0, θ =2π围成图形绕极轴旋转所成旋转体体积_____.三. 证明题1. 设f(x)为连续正值函数, 证明当x ≥ 0时函数⎰⎰=x xdtt f dtt tf x 00)()()(φ单调增加.2. 设f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内0)(''>x f , 证明ax a f x f x --=)()()(φ在(a , b )内单增.3. 设f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导且0)('≤x f , 求证:⎰-=x adt t f a x x F )(1)( 在(a , b )内也0)('≤x F .4. 设f (x )在[a , b ]上连续, 且f (x ) > 0, 又⎰⎰+=xbx adt t f dt t f x F )(1)()(. 证明: i. ,2)('≥x F ii. F(x) = 0在(a , b )内有唯一实根.5. 证明方程x x -=1tan 在(0, 1)内有唯一实根.6. 设a 1, a 2, …, a n 为n 个实数, 并满足012)1(3121=--++--n a a a n n . 证明: 方程 0)12cos(3cos cos 21=-++x n a x a x a n 在(0, 2π)内至少有一实根.四. 计算题1. 在直线x －y + 1=0与抛物线542+-=x x y 的交点上引抛物线的法线, 试求由两法线及连接两交点的弦所围成的三角形的面积.2. 求通过点(1, 1)的直线y = f (x )中, 使得⎰-222)]([dx x f x为最小的直线方程.3. 求函数⎰--=2)2()(x t dt e t x f 的最大值与最小值.4. 已知圆(x －b )2 + y 2 = a 2, 其中b > a > 0, 求此圆绕y 轴旋转所构成的旋转体体积和表面积.第六章 多元函数微分学一. 考虑二元函数的下面4条性质 ( I ) ),(y x f 在点),(00y x 处连续; ( II ) ),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数连续; ( I II) ),(y x f 在点),(00y x 处可微; ( IV ) ),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数存在; 若用Q P ⇒表示可由性质P 推出性质Q, 则有( A ) )I ()III ()II (⇒⇒ ( B ) )I ()II ()III (⇒⇒ ( C ) )I ()IV ()III (⇒⇒ ( D ) )V I ()I ()III (⇒⇒二. 二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x yx xyy x f 在点(0, 0) 处( A ) 连续, 偏导数存在; ( B ) 连续, 偏导数不存在; ( C ) 不连续, 偏导数存在; ( D ) 不连续, 偏导数不存在.三. 设f , g 为连续可微函数, )(),(xy x g v xy x f u +==，, 求xv x u ∂∂⋅∂∂.四. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+y z y z x ϕ22, 其中ϕ为可微函数, 求y z ∂∂. 五. 设xuz x t t x y z y x f u ∂∂===，求，，又),(),(),,(ψϕ.六. 求下列方程所确定函数的全微分: 1. dz x z z y y x f ，求0),,(=+++;2. dz y z xz f z ，求，)(-=.七. 设),sin (22y x y e f z x+=, 其中f 具有二阶连续偏导数, 求yx z∂∂∂2.八. 已知''''),2(yy xx z z yxx f z ，，求=.九. 已知'','',''),ln (yy xy xx z z z y x y x f z ，求-=.十. 设⎩⎨⎧=+++=+++==00)()(322z z y x z z y x x z z x y y ，由，确定, 求dx dzdx dy ，.十一. 设22222222)()(y z y y x z xy x z x x y x y xf z ∂∂+∂∂∂+∂∂+=，求ϕ十二. 设)](,[2xy y x f z ϕ-=, 其中f (u , v )具有二阶连续偏导数, )(u ϕ二阶可导, 求yx z∂∂∂2.十三. 设)())(,())(,())(),(,(x z x y x Q x y x P x z x y x F +=, 其中出现的函数都是连续可微的, 试计算⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂z F dx d y F .第七章 二重积分一. 比较积分值的大小: 1. 设,41⎰⎰+=Ddxdy yx I ,42⎰⎰+=Ddxdy y x I ⎰⎰+=Ddxdy yx I 334其中}2)1()1(|),{(22≤-+-=y x y x D , 则下列结论正确的是 ( A ) 321I I I << ( B ) 132I I I << ( C ) 231I I I << ( D ) 123I I I <<2. 设32,1,)(22，==⎰⎰+-i dxdy e I iD y xi , 其中:}|),{(2221r y x y x D ≤+=,}2|),{(2222r y x y x D ≤+=,}||,|||),{(3r y r x y x D ≤≤=则下列结论正确的是( A ) 321I I I << ( B ) 132I I I << ( C ) 231I I I << ( D ) 123I I I <<3.设,cos 221⎰⎰+=Dy x I σ,)cos(222⎰⎰+=Dy x I σ⎰⎰+=Dy x I σ2223)cos(其中}1|),{(22≤+=y x y x D, 则下列结论正确的是 ( A ) 321I I I << ( B ) 132I I I << ( C ) 231I I I << ( D ) 123I I I <<二. 将二重积分⎰⎰=Dd y x f Iσ),(化为累次积分(两种形式), 其中D 给定如下:1. D: 由x y 82=与y x 82=所围之区域.2. D: 由x = 3, x = 5, x －2y + 1 = 0及x －2y + 7 = 0所围之区域.3. D: 由122≤+y x , y ≥ x 及x > 0所围之区域.4. D: 由|x| + |y| ≤ 1所围之区域.1.⎰⎰--ax a ax a dy y x f dx 022222),(2. ⎰⎰⎰⎰-+312301),(),(2x x dy y x f dx dy y x f dx3. ⎰⎰⎰⎰----+2221201),(),(x xx xdy y x f dx dy y x f dx四. 将二重积分⎰⎰=Dd y x f Iσ),(化为极坐标形式的累次积分, 其中:1. D: a 2 ≤ x 2 +y 2 ≤ b 2, y ≥ 0, (b > a > 0)2. D: x 2 +y 2 ≤y, x ≥ 03. D: 0 ≤ x +y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 1五. 求解下列二重积分: 1. ⎰⎰⎰⎰+422212sin2sinxxxdy yxdx dy yxdx ππ2. ⎰⎰-xy dy edx 021023.⎰⎰Ddxdy xy6, D: 由y = x 4－x 3的上凸弧段部分与x 轴所形成的曲边梯形 4.⎰⎰+Ddxdy yx xy22, D: y ≥ x 及1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 21. ⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Ddxdy b y a x 221, D: 12222≤+b y a x .2. ⎰⎰+Ddxdy y x)ln(22, D: 1222≤+≤y x ε, 并求上述二重积分当+→0ε时的极限.3.⎰⎰--xady y x x a y f dx 0))(()('4. ⎰⎰++--Ddxdy yx y x 222211, D: x 2 + y 2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0.七. 求证:⎰⎰⎰=21)(2ln )(du u f dxdy xy f D, 其中D 是由xy = 1, xy = 2, y = x 及y = 4x(x > 0, y > 0)所围成之区域.八. 求证:⎰⎰⎰-≤+-=+2221)(2)(22du u f u dxdy y x f y x九. 设f (t )是半径为t 的圆周长, 试证:⎰⎰⎰-≤++-=at a y x y x dt et f dy dx e22222222)(2121ππ十. 设m , n 均为正整数, 其中至少有一个是奇数, 证明0222=⎰⎰≤+dy dx y xa y x n m十一. 设平面区域}11,1|),{(3≤≤-≤≤=x y x y x D ,)(x f 是定义在)1(],[≥-a a a 上的任意连续函数试求:⎰⎰--++=Ddxdy x f x x f x y I )]()1()()1[(2第八章 无穷级数一. 填空题(1) 设有级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+121n nn x a , 若31lim1=+∞→n n n a a , 则该级数的收敛半径为______.(2) 幂级数∑∞=--+112)3(2n n nnx n 的收敛半径为______.(3) 幂级数∑∞=+11n nn x 的收敛区间为______.(4) 幂级数∑∞=-112n nn n x 的收敛区间为______.(5) 幂级数∑∞=-1)1(n nxn 的和函数为______.二. 单项选择题 (1) 设∑∞==>1),2,1(0n n na n a ，且 收敛, 常数)2,0(πλ∈, 则级数∑∞=-12)tan ()1(n nn a n n λ(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 收敛性与λ有关 (2) 设)11ln()1(nu n n+-=, 则 (A)∑∞=1n nu与∑∞=12n nu都收敛. (B)∑∞=1n nu与∑∞=12n nu都发散. (C)∑∞=1n nu收敛, 而∑∞=12n nu发散. (D)∑∞=1n nu发散,∑∞=12n nu收敛.(3) 下列各选项正确的是 (A) 若∑∞=12n nu与∑∞=12n nv都收敛, 则∑∞=+12)(n n nv u收敛(B) 若||1nn n vu ∑∞=收敛, 则∑∞=12n nu与∑∞=12n nv都收敛(C) 若正项级数∑∞=1n n u 发散,则nu n 1≥(D) 若级数∑∞nu收敛, 且),2,1( =≥n v u n n, 则级数∑∞nv 收敛.(4) 设α为常数, 则级数∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-121sin n n n n α(A) 绝对收敛. (B) 发散. (C) 条件收敛. (D) 敛散性与α取值有关.三. 判断下列级数的敛散性:(1)∑∞=+11sin )2ln(1n n n(2))0()1)()(1(11≠+++-+∑∞=a n a n a n a n(3)∑∞=1!3n n n n n(4)∑∞=+12)/1(n n n n n(5)∑∞=12)!2()!(n n n(6)∑∞=-1)ln 1(n nnn四. 判断下列级数的敛散性(1) ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-11312)1(n nn n n(2)∑∞=-+++-111)1(1)1(n nn n n(3)∑∞=+1)sin(n nn ππ(4)∑∞=--111tan)1(n n nn五. 求下列级数的收敛域:(1)∑∞=+++12)1()1(n n n n x x(2)∑∞=++-11212)1(n n nn x(3)∑∞=--112212n n nx n(4)∑∞=⋅-129)1(n n nn x六. 求下列级数的和:(1) ∑∞=----112112)1(n n n n x(2) ∑∞=+1)1(n nxn n(3) ∑∞=+12)1(n n n n x七. 把下列级数展成x 的幂级数:(1)x x x x f arctan 2111ln 21)(+-+=(2) ⎰+=xdx xx x f 0)1ln()(第九章 常微分方程及差分方程简介一. 填空题 1. 微分方程x x y y cos tan '=+的通解为_________.2. 微分方程0)4(2=-+dy x x ydx 的通解为________.3. 微分方程x y y 2''-=+的通解为________.4. 微分方程x e y y y =+-2'2''的通解为________.5. 已知曲线)(x f y =过点(0, 21-), 且其上任一点(x , y )处的切线斜率为)1ln(2x x +, 则)(x f =_______.二. 单项选择题 1. 若函数)(x f 满足关系式 ⎰+=xdt tf x f 202ln )2()(, 则)(x f 等于 (A) 2ln x e (B) 2ln 2x e (C) 2ln +x e (D) 2ln 2+x e2. 微分方程1''+=-x e y y 的一个特解应具有形式(式中a 、b 为常数)(A) b ae x + (B) b axe x + (C) bx ae x + (D) bx axe x +三. 解下列微分方程:1.⎪⎩⎪⎨⎧=+-==1)1()1(30|22x y y x dxdy2. 0)1()1(2=+-+ydy x x dx y3. 11+-=yx dx dy四. 解下列微分方程:1. xy e y xy +=' 2. dx y x ydx xdy 22+=-3. 0cos )cos (=-+dy xyx dx x y y x五. 解下列微分方程: 1. x e x y y sin cos '-=+2. xx ex y y x 122'-=-3. )1(ln ln '+=+x ax y x xy4. 0sin cos sin '3=--x y x x y六. 解下列微分方程:1. 0)0(sec tan '==-y x x y y ，2. 1)0(cos sin cos '==+y x x x y y ，3. 4)0(cos 2sin '22π==+-y y xe y x y x ，七. 解下列方程: 1. 02'22''=++y y y2. 03'2''=++y y y3. 03'2''=--y y y八. 解下列方程:1. xe x x y y y 223)1(4'4''+++=+-2. x y y y 2cos 2'3''=+-3. x xe y y y 5'2''=+-4. 123'2''22-+=++x x y y y5. 1'''2+=+x y y第十章 函数方程与不等式证明一. 证明不等式21111211ln )1(n a a a a n a nn n n <-<+++. (a > 1, n ≥ 1)二. 若a ≥ 0, b ≥ 0, 0 < p < 1, 证明 p p p b a b a +≤+)(三. 设函数f(x)在[0, 1]上有连续导数, 满足0)0(1)('0=<<f x f 且. 求证⎰⎰≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡103210)()(dx x f dx x f四. 求证 p p p p b a b a |)||(|2||||1+≤+-, (0 < p < 1).五. 求证: 若x + y + z = 6, 则12222≥++z y x , (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0).六. 证明: 1︒ 若f(x)在[a, b]上是增加的，且在其上0)(''>x f ，则2)()()()()()(b f a f a b dx x f a f a b ba +-<<-⎰ 2︒ 若f(x)在[a, b]上是增加的，且在其上0)(''<x f ，则2)()()()()()(b f a f a b dx x f b f a b b a +->>-⎰七. 证明: 1︒ n x x x n x x x nn 2222121+++≤+++2︒ n n nx x x n x x x 2121≥+++八. 设],[)(''b a c x f ∈, 且0)()(==b f a f , 求证 |)(''|max 12)()(3x f a b dx x f b x a b a ≤≤-≤⎰九. 若)('x f 在[0, 2π]上连续, 且)('x f ≥ 0, ∀n(正整数)有 nf f nxdx x f )]0()2([2sin )(20-≤⎰ππ十. 设在[a, b]上0)(''>x f , a < x 1 < x 2 < b, 0 < α < 1, 试证: ])1([)()1()(2121x x f x f x f αααα-+>-+第十一章 微积分在经济中的应用一．生产某产品的固定成本为10, 而当产量为x 时的边际成本函数为232040'x x C +-=, 边际收益为x R 1032'-=, 试求: ( 1 )总利润函数; ( 2 ) 使总利润最大的产量.二. 设某商品的需求量Q 是单价P(单位: 元)的函数: Q = 12000－80P; 商品的总成本C 是需求量Q 的函数: C = 25000 + 50Q; 每单位商品需要纳税2元, 试求使销售利润最大的商品单价和最大利润额.三. 一商家销售某种商品的价格满足关系 P = 7－0.2x(万元/吨), x 为销售量(单位:吨), 商品的成本函数13+=x C(万元). (1) 若每销售一吨商品政府要征税t (万元), 求该商家获最大利润时的销售量; (2) t 为何值时, 政府税收总额最大.四. 设某企业每月需要使用某种零件2400件, 每件成本为150元, 每年库存费为成本的6%, 每次订货费为100元, 试求每批订货量为多少时, 方使每月的库存费与订货费之和最少, 并求出这个最少费用(假设零件是均匀使用).。
考研高数强化试题及答案
考研高数强化试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^3-3x+1，则f'(x)等于：A. 3x^2-3B. x^3-3C. 3x^2-1D. 3x^2+3答案：A2. 极限lim(x→0) (sin x / x)的值为：A. 1B. 0C. -1D. 2答案：A3. 设函数f(x)=x^2-4x+c，若f(x)的图像与x轴有两个交点，则c的取值范围是：A. c>0B. c<0C. c>4D. c<4答案：D4. 已知函数f(x)=e^x，g(x)=ln x，则f(g(x))等于：A. e^(ln x)B. xC. ln xD. e^x答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^3+2x^2-5x+7，求f'(x)=______。
答案：3x^2+4x-52. 求不定积分∫(3x^2-2x+1)dx=______。
答案：x^3-x^2+x+C3. 设数列{a_n}是等差数列，且a_1=2，a_4=10，则公差d=______。
答案：24. 设函数f(x)=x^2-6x+8，求f(x)的最小值______。
答案：-2三、解答题（每题15分，共60分）1. 求极限lim(x→∞) (x^2-1) / (x^3+1)。
解：lim(x→∞) (x^2-1) / (x^3+1) = lim(x→∞) (1-1/x^2) / (x+1/x^3) = 1/x * lim(x→∞) (1-1/x^2) / (1+1/x^3) = 0。
2. 设函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f'(x)。
解：f'(x) = 3x^2 - 6x。
3. 求定积分∫(0到1) (2x-x^2)dx。
解：∫(0到1) (2x-x^2)dx = [x^2 - (1/3)x^3] (0到1) = (1 - 1/3) - (0 - 0) = 2/3。
考研数学高等数学强化习题-极限(应用)
考研数学高等数学强化习题-极限(应用)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN模块二极限（应用）Ⅰ经典习题一．连续、间断点以及间断点的分类1、设，在连续，则2、“在点连续”是在点处连续的（）条件(A) 必要非充分 (B) 充分非必要 (C) 充要 (D)既非充分又非必要3、设函数在区间上连续，则是函数的( )(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷间断点 (D) 振荡间断点4、函数在上的第一类间断点是5、函数的间断点的个数为（）(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)46、设函数则 ( )（A）都是的第一类间断点.(B)都是的第二类间断点.(C)是的第一类间断点，是的第二类间断点.(D) 是的第二类间断点，是的第一类间断点.7、求函数的间断点，并指出类型。
8、求函数所有间断点及其类型二．可导与可微1．对导数定义式的直接考查9、则在处( )(A) 极限不存在 (B) 极限存在，但不连续 (C) 连续但不可导 (D)可导10、在可导且为奇函数，则11、设函数在内有定义且，则在处（）（A）不连续（B）连续但不可导（C）可导且（D）可导但12、设连续，，且，求并讨论在处的连续性13、设在的邻域内有定义，，且，则在处( )（A）可导，且（B）可导，且（C）可导，且（D）不可导14、设可导，则当时，是的（）（A）高阶无穷小（B）等价无穷小（C）同阶无穷小（D）低阶无穷小15、设函数对任意均满足, 且, 其中为非零常数, 则（）(A) 在处不可导（B）在处可导, 且（C）在处可导, 且（D）在处可导,且2．导数的定义与极限的计算16、设一阶可导，且，则17、设二阶连续可导，且则18、在处可导，且，则19、设函数在点处可导，且，则（）（A）（B）（C）（D）20、设, 则21、设可导, 则22、设在处连续，且，则曲线在点的切线方程为23、已知函数在处可导，，求下列极限：（1）（2）（3）（4）（5）（6）3．函数可导的充要条件24、判断下列命题是否与函数在点处可导等价（1）极限存在（2）极限存在（3）极限存在（4）极限存在（5）极限存在（6）极限存在（7）极限存在（8）极限存在三．渐近线25、曲线的渐近线有（）(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条26、曲线渐近线的条数为（）(A)0 (B)1 (C)2 (D)327、求下列曲线所有的渐近线。
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模块二极限（应用）Ⅰ经典习题一．连续、间断点以及间断点的分类1、设，在连续，则2、“在点连续”是在点处连续的（）条件(A) 必要非充分(B) 充分非必要(C) 充要(D)既非充分又非必要3、设函数在区间上连续，则是函数的( )(A) 可去间断点(B) 跳跃间断点(C) 无穷间断点(D) 振荡间断点4、函数在上的第一类间断点是5、函数的间断点的个数为（）(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)46、设函数则( )（A）都是的第一类间断点.(B)都是的第二类间断点.(C)是的第一类间断点，是的第二类间断点.(D) 是的第二类间断点，是的第一类间断点.7、求函数的间断点，并指出类型。
8、求函数所有间断点及其类型二．可导与可微1．对导数定义式的直接考查9、则在处( )(A) 极限不存在(B) 极限存在，但不连续(C) 连续但不可导(D)可导10、在可导且为奇函数，则11、设函数在内有定义且，则在处（）（A）不连续（B）连续但不可导（C）可导且（D）可导但12、设连续，，且，求并讨论在处的连续性13、设在的邻域内有定义，，且，则在处( )（A）可导，且（B）可导，且（C）可导，且（D）不可导14、设可导，则当时，是的（）（A）高阶无穷小（B）等价无穷小（C）同阶无穷小（D）低阶无穷小15、设函数对任意均满足, 且, 其中为非零常数, 则（）(A) 在处不可导（B）在处可导, 且（C）在处可导, 且（D）在处可导,且2．导数的定义与极限的计算16、设一阶可导，且，则17、设二阶连续可导，且则18、在处可导，且，则19、设函数在点处可导，且，则（）（A）（B）（C）（D）20、设, 则21、设可导, 则22、设在处连续，且，则曲线在点的切线方程为23、已知函数在处可导，，求下列极限：（1）（2）（3）（4）（5）（6）3．函数可导的充要条件24、判断下列命题是否与函数在点处可导等价（1）极限存在（2）极限存在（3）极限存在（4）极限存在（5）极限存在（6）极限存在（7）极限存在（8）极限存在三．渐近线25、曲线的渐近线有（）(A)1条(B)2条 (C)3条(D)4条26、曲线渐近线的条数为（）(A)0 (B)1 (C)2 (D)327、求下列曲线所有的渐近线。
（1）（2）（3）四．多元函数微分学的概念28、讨论下列二重极限是否存在，如果存在求出极限值（1）（2）（3）（4）（5）（6）29、讨论下列函数在点处是否连续，偏导数是否存在，是否可微。
（1）（2）（3）（4）30、连续函数满足，则________。
Ⅱ参考答案一．连续、间断点以及间断点的分类1、【答案】：.【解析】：在连续由于，，即.2、【答案】：(B)【解析】：在连续在连续（）但在连续推不出在连续，如，在连续，但在间断3、【答案】：(A)【解析】：在中，令当时，当时，因此，于是，按照间断点的分类，所以是的可去间断点4、【答案】：.【解析】：显然在区间内没有意义的点有：，且，，根据间断点的定义知为跳跃间断点即为第一类间断点5、【答案】：(B)【解析】：易得的表达式：，由表达式得到的间断点为6、【答案】：(D)【解析】：因为，所以是的第二类间断点，再由，所以是的第一类间断点7、【解析】：显然为的间断点，其余点处都连续。
，为可去间断点所以为跳跃间断点。
8、【解析】：有间断点. 又.因为，所以为跳跃间断点.又，所以为可去间断点，且，所以为无穷间断点二．可导与可微1．对导数定义式的直接考查9、【答案】：(C) 【解析】：，所以在处不可导，又由存在可得在右连续和左连续，既在连续10、【答案】：2(0)g '【解析】：因()g x 在0x =处可导，所以()g x 在0x =处连续，又()g x 是奇函数，所以(0)0g =，222001()0()(0)(0)lim lim x x x e x g x f x f x f x x→→-+--'==222220001()(0)1()(0)lim lim[1]lim 2(0)x x x x x e x g x g e g x g g x x x x →→→-+---'=⋅=+⋅=11、【答案】：（C ） 【解析】：显然，且所以在处连续，又由得，根据夹逼定理：，即12、【解析】：当0x ≠时，做变量代换u xt =得0()()xf u du x xϕ=⎰当0x =时，1(0)(0)(0)f dt f ϕ==⎰。
由于()f x 连续，且0()limx f x A x→=，可知(0)0f =。
故0(),0()0,0x f u du x x xx ϕ⎧⎪≠=⎨⎪=⎩⎰ 则当0x ≠时，'02()()()xxf x f u dux xϕ-=⎰；当0x =时，'2()()(0)()(0)limlimlim22xx x x f u du x f x Axx x ϕϕϕ→→→-====⎰。
故02'()(),0(),02x xf x f u dux x x A x ϕ⎧-⎪≠⎪=⎨⎪=⎪⎩⎰下面再讨论'()x ϕ在0x =处的连续性：由于''0220000()()()()lim ()limlim lim (0)22xxx x x x xf x f u duf u du f x A A x A xx x ϕϕ→→→→-==-=-==⎰⎰ 可知'()x ϕ在0x =处连续 13、【答案】：（B ） 【解析】：而 所以14、【答案】：（A ） 【解析】：因为可导，所以可微分，即，所以是的高阶无穷小.15、【答案】：（D ） 【解析】：.,所以（注: 因为没有假设可导, 不能对于二边求导）.2．导数的定义与极限的计算16、【答案】：2【解析】：222000(1)1(1)1(1)1lim lim lim ln ()ln[1(()1)]()1x x x x x x f e f e f e f x f x f x →→→------==+--2220(1)(0)11lim 2()(0)1x x x x f e f e f x f e xx→---=⋅⋅=--17、【答案】：2e【解析】：由0()lim1,(0)0,(0)1x f x f f x→'=== 于是()()22001lim lim f x x f x xx x x e e e e x x -→→--=2000()()1()lim lim lim 222x x x f x x f x f x e x x →→→'''--==== 18、【答案】：()()f a f a e'【解析】：设()0f a >，原式可化为：1lim [ln ()ln ()]1()lim[]()x x f a f a x xx f a x e f a →∞+-→∞+=而101ln ()ln ()ln ()ln ()()()lim lim [ln ()]1()()x ax ax t xf a f a f a t f a f x f a x f x t f x f a x==→∞=→+-''+-'====于是所求极限为()()f a f a e'19、【答案】：（A ） 【解析】：因为故20、【答案】：31=k 【解析】：)('31)()(lim 0000x f x k x f x k x f k x =∆-∆+→∆, 所以)('31)('00x f x kf =所以31=k 21、【答案】：)(')(0x f n m +【解析】：解. xx n x f x f x f x m x f x ∆∆--+-∆+→∆)()()()(lim 00000=x m x f x m x f m x ∆-∆+→∆)()(lim 000+xn x f x n x f n x ∆--∆-→∆)()(lim 000=)(')(0x f n m +22、【答案】：【解析】：由极限的运算法则和相关公式易得。
从而，由于()f x 在0x 处连续，所以。
由得()f x 在点(0,(0))f 的切线方程为23、【解析】：（1） （2） （3） （4） （5） （6）3．函数可导的充要条件24、【解析】：（1）等价，（2）不等价，（3）等价，（4）不等价，（5）不等价，（6）不等价，（7）等价，（8）等价。
三．渐近线25、【答案】：(D)【解析】：水平渐近线，垂直渐近线，斜渐近线. 26、【答案】：(C)【解析】：垂直渐近线，斜渐近线.27、【解析】：（1）水平渐近线，斜渐近线；（2）垂直渐近线，斜渐近线；（3）垂直渐近线，斜渐近线。
四．多元函数微分学的概念28、【解析】：（1），由夹逼定理可得。
（2）由于无穷小量乘以有界量仍为无穷小量，所以。
（3）由重要极限可得。
（4）取特殊路径可知极限不存在。
（5），由夹逼定理可得。
（6）取特殊路径和可得极限不存在。
29、【解析】：（1）连续，偏导数存在（），但不可微。
（2）连续，偏导数存在（），但不可微。
（3）连续，存在，存在，不可微。
（4）连续，偏导数存在（），也可微。
29、【解析】：从极限式中凑出全微分的定义可知（资料素材和资料部分来自网络，供参考。
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