2023全国真题分类卷 第一部分 基础知识分点练 第十六讲锐角三角函数及其实际应用

第十六讲 锐角三角函数及其实际应用

命题点1 特殊角的三角函数值

1. (2022天津)tan 45°的值等于( ) A. 2 B. 1 C.

22 D. 3

3

命题点2 直角三角形的边角关系

2. (2022陕西)如图，AD 是△ABC 的高．若BD ＝2CD ＝6，tan C ＝2，则边AB 的长为( )

第2题图

A. 32

B. 35

C. 37

D. 62

3. (2021玉林)如图，△ABC 底边BC 上的高为h 1，△PQR 底边QR 上的高为h 2，则有( )

第3题图

A. h 1＝h 2

B. h 1

C. h 1>h 2

D. 以上都有可能

4. (2022乐山)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5 ，点D 是AC 上一点，连接B D.若tan A ＝1

2 ，tan

∠ABD ＝1

3 ，则CD 的长为( )

A. 25

B. 3

C. 5

D. 2

第4题图

5. (2022连云港)如图，在6×6正方形网格中，△ABC 的顶点A ，B ，C 都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则sin A ＝______．

第5题图

6. (2021上海)如图，已知△ABD 中，AC ⊥BD ，BC ＝8，CD ＝4，cos ∠ABC ＝4

5 ，BF 为AD 边上的中线．

(1)求AC 的长； (2)求tan ∠FBD 的值．

第6题图

命题点3 锐角三角函数的实际应用

类型一 解一个直角三角形

7. (2022福建)如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形 ABC ，其中 AB ＝AC ，∠ABC ＝27°，BC ＝44 cm ，则高 AD 约为(参考数据：sin 27°≈0.45，cos 27°≈0.89，tan 27°≈0.51)( ) A. 9.90 cm B. 11.22 cm C. 19.58 cm D. 22.44 cm

第7题图

8. (2022金华)一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知BC ＝6 m ，∠ABC ＝α，则房顶A 离地面EF 的高度为( )

第8题图

A. (4＋3sin α) m

B. (4＋3tan α) m

C. (4＋3sin α ) m

D. (4＋3

tan α

) m

9. (2022柳州)如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α，sin α＝3

5 ，堤坝高BC ＝30 m ，则迎水坡面AB

的长度为________m.

第9题图

10. (2022宁波)每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识．某消防大队进行了消防演习．如图①，架在消防车上的云梯AB 可伸缩(最长可伸至20 m )，且可绕点B 转动，其底部B 离地面的距离BC 为2 m ，当云梯顶端A 在建筑物EF 所在直线上时，底部B 到EF 的距离BD 为9 m .

(1)若∠ABD ＝53°，求此时云梯AB 的长；

(2)如图②，若在建筑物底部E 的正上方19 m 处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．(参考数据： sin 53°≈0.8，cos 53°≈0.6，tan 53°≈1.3)

第10题图

类型二背靠背型

11. (2022安徽)如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．求A，B两点间的距离．

参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75.

第11题图

12. (2022宿迁)如图，某学习小组在教学楼AB的顶部观测信号塔CD底部的俯角为30°，信号塔顶部的仰角为45°.已知教学楼AB的高度为20 m，求信号塔的高度(计算结果保留根号).

第12题图

13. (2021遂宁)小明周末与父母一起到遂宁湿地公园进行数学实践活动，在A处看到B，C处各有一棵被湖水隔开的银杏树，他在A处测得B在北偏西45°方向，C在北偏东30°方向，他从A处走了20米到达B处，

又在B处测得C在北偏东60°方向．

(1)求∠C的度数；

(2)求两棵银杏树B，C之间的距离(结果保留根号).

第13题图

类型三母子型

考向1同一个观测点观测两个位置点

14. (2022天津)如图，某座山AB的顶部有一座通讯塔BC，且点A，B，C在同一条直线上．从地面P处测得塔顶C的仰角为42°，测得塔底B的仰角为35°.已知通讯塔BC的高度为32 m，求这座山AB的高度(结果取整数).

参考数据：tan 35°≈0.70，tan 42°≈0.90.

第14题图

源自人教九下P76第1题

考向2两个观测点观测同一个位置点

15. (2022山西)随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60 m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24 m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC 的长(结果精确到1 m．参考数据：sin 70°≈0.94，cos 70°≈0.34，tan 70°≈2.75，3≈1.73).

第15题图

16. (2022甘肃省卷)灞陵桥位于甘肃省渭源县城南清源河(渭河上游)上，始建于明洪武初年，因“渭水绕长安，绕灞陵，为玉石栏杆灞陵桥”之语，得名灞陵桥(图①)，该桥为全国独一无二的纯木质叠梁拱桥．某综合实践研究小组开展了测量汛期某天“灞陵桥拱梁顶部到水面的距离”的实践活动，过程如下：

方案设计：如图②，点C为桥拱梁顶部(最高点)，在地面上选取A，B两处分别测得∠CAF和∠CBF的度数(A，B，D，F在同一条直线上)，河边D处测得地面AD到水面EG的距离DE(C，F，G在同一条直线上，DF∥EG，CG⊥AF，FG＝DE).

数据收集：实地测量地面上A，B两点的距离为8.8 m，地面到水面的距离DE＝1.5 m，∠CAF＝26.6°，∠CBF ＝35°.

问题解决：求灞陵桥拱梁顶部C到水面的距离CG(结果保留一位小数).

参考数据：sin 26.6°≈0.45，cos 26.6°≈0.89，tan 26.6°≈0.50，sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70.

根据上述方案及数据，请你完成求解过程．