2023全国真题分类卷 第一部分 基础知识分点练 第十六讲锐角三角函数及其实际应用
人教版2023高中数学三角函数知识点总结归纳完整版
(每日一练)人教版2023高中数学三角函数知识点总结归纳完整版单选题1、若tanθ=3，则sinθ−2cosθ3sinθ+cosθ=（ ）A ．110B ．−45C ．25D ．−310答案：A解析：根据题中条件，利用同角三角函数基本关系，将弦化切，即可得出结果.因为tanθ=3，所以sinθ−2cosθ3sinθ+cosθ=tanθ−23tanθ+1=110.故选：A.2、已知sinα=2√67，cos (α−β)=√105，且0<α<3π4，0<β<3π4，则sinβ=（ ） A ．9√1535B ．11√1035C ．√1535D ．√1035答案：A解析：易知sinβ=sin(α−(α−β))，利用角的范围和同角三角函数关系可求得cosα和sin (α−β)，分别在sin (α−β)=√155和−√155两种情况下，利用两角和差正弦公式求得sinβ，结合β的范围可确定最终结果. ∵sinα=2√67<√22且0<α<3π4，∴0<α<π4，∴cosα=√1−sin 2α=57.又0<β<3π4，∴−3π4<α−β<π4，∴sin (α−β)=±√1−cos 2(α−β)=±√155. 当sin (α−β)=√155时， sinβ=sin(α−(α−β))=sinαcos (α−β)−cosαsin (α−β) =2√67×√105−57×√155=−√1535， ∵0<β<3π4，∴sinβ>0，∴sinβ=−√1535不合题意，舍去； 当sin (α−β)=−√155，同理可求得sinβ=9√1535，符合题意.综上所述：sinβ=9√1535.故选：A .小提示：易错点睛：本题中求解cosα时，易忽略sinα的值所确定的α的更小的范围，从而误认为cosα的取值也有两种不同的可能性，造成求解错误.3、sin45°cos30°+cos45°sin30°=（ ）A ．√6+√24B ．√6−√24C ．−√6+√24D ．−√6−√24 答案：A解析：由特殊角的三角函数值即可求得答案.由题意，sin45°cos30°+cos45°sin30°=√22×√32+√22×12=√6+√24. 故选：A.填空题4、若角α的终边落在直线y ＝－x 上，则√1−sin 2α√1−cos 2αcosα的值等于________.答案：0解析：先求出α＝2kπ＋34π或2kπ＋74π，k∈Z，再分类讨论得解.因为角α的终边落在直线y＝－x上，所以α＝2kπ＋34π或2kπ＋74π，k∈Z，当α＝2kπ＋34π，k∈Z,即角α的终边在第二象限时，sinα＞0，cosα＜0；所以√1−sin2α√1−cos2αcosα=sinα|cosα|+|sinα|cosα=sinα−cosα+sinαcosα=0当α＝2kπ＋74π，k∈Z,即角α的终边在第四象限时，sinα＜0，cosα＞0.所以√1−sin2α√1−cos2αcosα=sinα|cosα|+|sinα|cosα=sinαcosα+−sinαcosα=0综合得√1−sin2α√1−cos2αcosα的值等于0.所以答案是：05、tan(3π−3)⋅tan(π2−3)=___________ 答案：−1解析：直接利用诱导公式计算可得；解：tan(3π−3)⋅tan(π2−3)=−tan3×1tan3=−1所以答案是：−1。
锐角三角函数的计算-特殊角的三角函数值(知识讲解)-2022-2023学年九年级数学下册基础知识讲练
专题1.4 锐角三角函数的计算——特殊角的三角函数值（知识讲解）【学习目标】1.会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值；2.会进行有关三角函数的计算应用【要点梳理】特殊角的三角函数值锐角30°45° 160°特别说明：(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：、、的值依次为12、22、32，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)；②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．【典型例题】类型一、特殊角三角函数计算1．计算：(1)sin230°+sin60°-sin245°+cos230°；(2)tan30tan45 tan60?tan45︒+︒︒︒.【答案】(1)32+12；(2)133+.【分析】（1）将特殊角的三角函数值代入求解；（2）将特殊角的三角函数值代入求解．特殊值：sin 30° =12；sin 60° = 32；sin 45° = 22；cos 30° = 32；tan 60° = 3；tan 45° = 1解：(1)原式=1342+-12+34=32 + 12； 3133?1+（2）原式= =133+. 【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．举一反三：【变式1】计算：222sin 60cos 60︒︒︒︒-﹣sin45°•tan45° 【答案】3232+ 【分析】把特殊角的三角函数值代入计算即可．解：222sin 60cos 60tan 604cos 45︒︒︒︒--﹣sin45°•tan45° ()22312222122342⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=-⨯-⨯ 122322=-- 23222=+-=3232+． 【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值及分母有理化、二次根式的化简，牢记特殊角的三角函数值，是解决本题的关键．【变式2】计算：2cos45°﹣tan60°+sin30°﹣12tan45°【答案】2-3【分析】将各特殊角的三角函数值代入即可得出答案．解：原式=2×22﹣3+12﹣12×1 =2-3【点拨】此题考查特殊角的三角函数值，属于基础题，熟练记忆一些特殊角的三角函数值是关键．类型二、特殊角三角函数计算2．计算：()2012sin 451220202π-︒⎛⎫----+- ⎪⎝⎭ 【答案】-2【分析】直接利用特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别代入化简即可．解：原式＝24121-+-+=-2【点拨】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．举一反三：【变式1】计算：0113tan 30(2014π)32()3-︒---． 【答案】-2试题分析：分别计算033tan3033=⨯，(2014-π)0=1，32-=2﹣11333-⎛⎫= ⎪⎝⎭，，再用实数的混合运算法则计算.解：原式=3×33﹣1+2﹣3﹣3=﹣2. 【变式2】计算：()()2(31)3tan3052522sin60+--++． 【答案】3试题分析：用完全平方公式、平方差公式去括号，计算出特殊角三角函数值，再进行乘法运算，最后进行加减运算即可.解：(3－1)2+3tan 30°－(5－2)( 5+2)+2sin 60°=4－23+3×33－(5－4)+2×32=4－23+3－1+3=3.【点拨】掌握二次根式的加减乘除运算法则.类型三、三角函数计算3． 已知A ∠为锐角，且24sin 30A -=，则A ∠=______． 【答案】60︒【分析】计算，并结合A ∠是个锐角，即可求解．解：∵24sin 30A -=，∵23sin 4A =， ∵3sin 2A =±， ∵A ∠为锐角，∵3sin 2A =， ∵60A ∠=︒故答案是：60°【点拨】本题主要考察计算和锐角三角函数与角度关系，属于基础的计算题，难度不大．解题的关键是结合角度范围确定三角函数值范围．举一反三：【变式1】已知矩形ABCD 的周长为()232cm ，对角线2cm AC =，求BAC ∠与DAC ∠的度数． 【答案】30BAC ∠=︒，60=︒∠DAC 或60BAC ∠=︒，30DAC ∠=︒．【分析】设AB=x,将BC 表示出来，再利用勾股定理可求出x=1或x=3,再利用三角函数求出一个角为30°，另一个角为60°.解：∵矩形ABCD 的周长为232+，∵AB+BC= 3+1,∵对角线AC=2,∵设AB=x,则BC=3+1-x,∵AB 2+BA 2=AC 2,∵x 2+(3+1-x)2=22,解得：x 1=1,x 2=3,∵当AB=1,则BC=3,∵tan∵BAC=3,∵∵BAC=60°,∵DAC=30°,当AB=3,则BC=1,∵tan∵BAC= 33, ∵∵BAC=30°,∵DAC=60°,故30BAC ∠=︒，60=︒∠DAC 或60BAC ∠=︒，30DAC ∠=︒． 【点拨】此题主要考查了勾股定理和特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握特殊角的三角函数值．【变式2】计算(1)23602cos 30tan 45︒-︒+︒(2)已知α是锐角，且()1sin 152α-︒=84cos α的值． 【答案】(1)1 (2)0【分析】（1）把特殊角的三角函数值代入代数式进行计算即可；（2）先利用锐角的正弦求解α的大小，再代入代数式进行计算即可．(1)解：23sin 602cos 30tan 45︒-︒+︒ 23332122331122(2) α是锐角，且()1sin 152α-︒=，1530,=45,∴ 84cos α-2224222220=-=【点拨】本题考查的是特殊角的三角函数值的混合运算，已知三角函数值求解锐角的大小，熟记特殊角的三角函数值是解本题的关键．类型四、三角函数计算4．（1）计算：21122cos453-⎛⎫--︒+-⎪⎝⎭．（2）如图，在△ABC中，∵ACB=90°，角平分线AE与高CD交于点F，求证：CE=CF．【答案】（1）8；（2）见分析【分析】（1）计算绝对值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂，再合并即可；（2）根据直角三角形两锐角互余求得∵B=∵ACD，然后根据三角形外角的性质求得∵CEF=∵CFE，根据等角对等边求得CE=CF．（1）解：21 122cos453-⎛⎫--︒+-⎪⎝⎭221292=--⨯+2129=--+=8；（2）证明：∵在△ABC中，∵ACB=90°，∵∵B+∵BAC=90°，∵CD是AB边上的高，∵∵ACD+∵BAC=90°，∵∵B=∵ACD，∵AE是∵BAC的角平分线，∵∵BAE=∵EAC，∵∵B +∵BAE =∵ACD +∵EAC ，即∵CEF =∵CFE ，∵CE =CF ．【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值，负整数指数幂，直角三角形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定等，熟练掌握性质定理是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，将∵ABC 沿射线AB 平移4cm 后能与∵BDE 完全重合，连接CE 、CD 交BE 于点O ，OB ＝OC ．(1)求证：四边形CBDE 为矩形；(2)若S △BOC 432，求∵ACD 的度数． 【答案】(1)见分析(2)120°【分析】（1）由平移的性质及ASA判定定理可证得OCE ODB ≌，根据全等三角形的性质即可求证结论．（2）根据矩形的性质及面积公式即可求得BC ，进而可利用特殊三角函数值可求得60BCD ∠=︒，根据垂直平分线的性质即可求解．（1）证明：由题意可知：△BDE 由△ABC 平移后得到，∵//BC DE ，且BC DE =，∵四边形CBDE 是平行四边形，∵//CE BD ，且CE BD =，∵ECD CDB ∠=∠，CEB EBD ∠=∠，在OCE 和ODB △中 ECD CDB CE BDCEB EBD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∵ ()OCE ODB ASA ≌∵OC OD =，OB OE =，又∵OB OC =，∵CD BE =，∵ 平行四边形CBDE 为矩形．（2）由（1）可知四边形CBDE 为矩形，∵90CBD ∠=︒，且4BD =cm ，在OBC 中过点O 作BC 的垂线，垂足为F ，则2OF =，∵143223BOC S BC =⨯⨯=，∵433BC =cm ， ∵在Rt CBD △，43433BD tan BCD CB ∠===，∵60BCD ∠=︒，又∵在△ACD 中，BC 是AD 的垂直平分线，∵60ACB BCD ∠=∠=︒，∵120ACD ∠=︒，∴∵ACD 的度数为120︒．【点拨】本题考查了平移的性质、全等三角形的判定及性质、矩形的判定及性质、特殊三角函数值求角度，熟练掌握相关性质及判定定理是解题的关键．【变式2】将矩形ABCD 对折，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，展开后再一次折叠，使点A 落在EF 上的点A '处，并使得折痕经过点B ，得到折痕BG ，连接AA '，如图1，问题解决：(1)试判断图1中ABA '△是什么特殊的三角形？并说明理由；(2)如图2，在图1的基础上，AA '与BG 相交于点N ，点P 是BN 的中点，连接AP 并延长交BA '于点Q ，求BQ BA '的值．【答案】(1)ABA '△是等边三角形，理由见分析(2)13BQ BA =' 【分析】（1）等边三角形，解法一利用垂直平分线性质得出AA ′=BA ′，利用折叠得出BA BA '=即可，解法二：根据折叠得出12BE BA =，BA BA '=，90A EB '∠=︒然后利用锐角三角函数定义得出1cos 2BE A BE BA '∠==' ，求出60A BE '∠=︒即可； （2）解法一：过点N 作NH A B '∥交AP 于H ，先证PHN PQB ≌△△（AAS ），再证AHN AQA '∽△△，得出12BQ QA =' 即可 解法二：由折叠可知A N AN '=，由点P 是BN 的中点 ，得出BP PN =，利用平行线等分性质得出1A M A N QM AN ''==，1BQ BP QM PN ==，证出BQ QM A M '==即可．(1)解：ABA '△是等边三角形．解法一：理由是：由折叠可知EF 垂直平分AB ；∵AA ′=BA ′，∵∵ABG 折叠得△A ′BG ，∵BA BA '=，∵AA BA BA ''==；∵ABA '△是等边三角形；解法二：理由是：由折叠可知12BE BA =，BA BA '=，90A EB '∠=︒， ∵1cos 2BE A BE BA '∠==' ， ∵60A BE '∠=︒，∵ABA '△是等边三角形；(2)解法一：过点N 作NH A B '∥交AP 于H ，∵HNP QBP ∠=∠，NHP BOP ∠=∠， 又∵点P 是BN 的中点 ， ∵BP NP =，在△PHN 和△PQB 中， HNP QBP NHP BQP PN PB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∵PHN PQB ≌△△（AAS ）， ∵HN BQ =，又∵NH A B '∥，∵ANH AA Q '∠=∠，AHN AQA '∠=∠， ∵AHN AQA '∽△△， 由折叠可知12A N AN AA ''==， ∵12HN AN QA AA =='' ， ∵12BQ QA ='， ∵13BQ BA ='； 解法二：由折叠可知A N AN '=， 又∵点P 是BN 的中点 ， ∵BP PN =，过点N 作NM AQ ∥交BA '于M ， ∵1A M A N QM AN''==，1BQ BP QM PN ==， ∵BQ QM A M '==， ∵13BQ BA ='．【点拨】本题考查一题多解，等边三角形的判定，折叠性质，线段垂直平分线性质，平行线等分线段定理，三角形相似判定与性质，锐角三角函数值求角，掌握一题多解，等边三角形的判定，折叠性质，线段垂直平分线性质，平行线等分线段定理，三角形相似判定与性质是解题关键．。
2023年中考数学高频考点训练——锐角三角函数(有答案)
2023年中考数学高频考点训练——锐角三角函数一、综合题1．如图， AB 是O 的直径，点C 、G 为圆上的两点，当点C 是弧 BG 的中点时， CD 垂直直线AG ，垂足为D ，直线 DC 与 AB 的延长线相交于点P ，弦 CE 平分 ACB ∠ ，交 AB 于点F ，连接BE .（1）求证： DC 与 O 相切；（2）求证： PC PF = ； （3）若 1tan 3E =， 5BE =，求线段 PF 的长. 2．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 交⊙O 于点D ，点E 时弧AD 的中点，BE 交AC 于点F ，BC ＝FC.（1）求证：BC 是⊙O 的切线； （2）若BF ＝3EF ，求tan⊙ACE 的值.3．如图，ABC 内接于,O D 是O 的直径 AB 的延长线上一点， DCB OAC ∠=∠ .过圆心 O作 BC 的平行线交 DC 的延长线于点 E .（1）求证： CD 是 O 的切线；（2）若 4,6CD CE == ，求O 的半径及 tan OCB ∠ 的值；4．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，点D 是AC 的中点，连接OD ，交AC 于点E ，作BFCD ，交DO 的延长线于点F.（1）求证：四边形BCDF 是平行四边形. （2）若AC=8，连接BD ，tan⊙DBF=34，求直径AB 的长及四边形ABCD 的周长. 5．如图，已知 AB 是O 的直径，弦 CD AB ⊥ 于点 E ， 42AC =， 2BC = ．（1）求 sin ABC ∠ ； （2）求CD 的长．6．如图，点 O 在 ABC ∆ 的 BC 边上，O 经过点 A 、 C ，且与 BC 相交于点 D .点 E 是下半圆弧的中点，连接 AE 交 BC 于点 F ，已知 AB BF = .（1）求证： AB 是O 的切线；（2）若 3OC = ， 1OF = ，求 cos B 的值.7．如图，在Rt ΔABC 中，9068C AC BC ∠=︒==，，，AD平分ABC 的外角BAM ∠，AD BD ⊥于点D ，过D 点作DE 平行BC 交AM 于点E.点P 在线段AB 上，点Q 在直线AC 上，且22CQ BP t ==，连接PQ ，作P 点关于直线DE 的对称点P '，连接PP P Q ''，.（1）当P 在AB 中点时，t = ；连接DP ，则此时DP 与EC 位置关系为 （2）①求线段AD 的长：②将线段AD 绕着平面上某个点旋转180︒后，使AD 的两个对应点A '、D '落在Rt ABC 的边上，求点A 到对应点A '的距离；（3）如图，当PP Q '的一边与ABD 的AD 或BD 边平行时，求所有满足条件的t 的值.8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3过点A(﹣3，0)，B(1，0)，与y 轴交于点C ，顶点为点D ，连接AC ，BC.（1）求抛物线的解析式；（2）在直线CD 上是否存在点P ，使⊙PBC ＝⊙BCO ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点M 为抛物线对称轴l 上一点，点N 为抛物线上一点，当直线AC 垂直平分线段MN 时，请直接写出点M 和点N 的坐标.9．如图，点F 是正方形ABCD 边AB 上一点，过F 作FG⊙BC ，交CD 于G ，连接FC ，H 是FC 的中点，过H 作EH⊙FC 交BD 于点E ．（1）连接EF ，EA ，求证：EF ＝AE ．（2）若BFk BA= ， ①若CD ＝2， 13k = ，求HE 的长；②连接CE ，求tan⊙DCE 的值．（用含k 的代数式表示）10．如图，在 Rt ABC 中， 90,6,8ACB BC AC ∠=︒== ，D 是边AB 的中点，动点P 在线段BA 上且不与点A ，B ，D 重合，以PD 为边构造 Rt PDQ ，使 PDQ A ∠=∠ ， 90DPQ ∠=︒ ，且点Q 与点C 在直线AB 同侧，设 BP x = ，PDQ 与 ABC 重叠部分图形的面积为S ．（1）当点Q 在边BC 上时，求BP 的长； （2）当 7x ≤ 时，求S 关于x 的函数关系式.11．如图，在⊙ABC中，⊙ABC ＝90°，过点B 作BD⊙AC 于点D ．（1）尺规作图，作边BC 的垂直平分线，交边AC 于点E ． （2）若AD ：BD ＝3：4，求sinC 的值．（3）已知BC ＝10，BD ＝6．若点P 为平面内任意一动点，且保持⊙BPC ＝90°，求线段AP 的最大值．12．【学习概念】有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线.（1）【理解运用】如图1，对余四边形中，AB = 5，BC = 6，CD = 4，连接AC ，若AC = AB ，则cos⊙ABC= ， sin⊙CAD= .（2）如图2，凸四边形中，AD = BD ，AD⊙BD ，当2CD 2 + CB 2 = CA 2时，判断四边形ABCD 是否为对余四边形，证明你的结论.（3）【拓展提升】在平面直角坐标中，A （－1，0），B （3，0），C （1，2），四边形ABCD 是对余四边形，点E 在对余线BD 上，且位于⊙ABC 内部，⊙AEC = 90° + ⊙ABC.设AEBE= u ，点D 的纵坐标为t ，请在下方横线上直接写出u 与t 的函数表达，并注明t 的取值范围 .13．如图，在梯形ABCD 中，AD⊙BC ，BC ＝18，DB ＝DC ＝15，点E 、F 分别在线段BD 、CD 上，DE ＝DF＝5．AE 的延长线交边BC 于点G ，AF 交BD 于点N 、其延长线交BC 的延长线于点H ．（1）求证：BG ＝CH ；（2）设AD ＝x ，⊙ADN 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结FG ，当⊙HFG 与⊙ADN 相似时，求AD 的长．14．（1）【问题提出】如图1，在四边形ABCD 中，60A ∠=︒，90ABC ADC ∠=∠=︒，点E 为AB 延长线上一点，连接EC 并延长，交AD 的延长线于点F ，则BCE DCF ∠+∠的度数为 °；（2）【问题探究】如图2，在Rt⊙ABC 中，90ABC ∠=︒，点D 、E 在直线BC 上，连接AD 、AE ，若60DAE ∠=︒，6AB =，求⊙ADE 面积的最小值；（3）【问题解决】近日，教育部印发了《义务教育课程方案和课程标准(2022年版)》，此次修订中增加的跨学科主题学习活动，突破学科边界，鼓励教师开展跨学科教研，设计出主题鲜明、问题真实的跨学科学习活动.为此，某校欲将校园内一片三角形空地ABC （如图3所示）进行扩建后作为跨学科主题学习活动中心，在AB 的延长线上取一点D ，连接DC 并延长到点E ，连接AE ，已知AE BC ，40AB BC ==米，90ABC ∠=︒，为节约修建成本，需使修建后⊙ADE 的面积尽可能小，问⊙ADE 的面积是否存在最小值？若存在，求出其最小面积；若不存在，请说明理由.15．抛物线y ＝﹣x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且B （﹣1，0），C （0，3）.（1）求抛物线的解析式；（2） 如图1，点P 是抛物线上位于直线AC 上方的一点，BP 与AC 相交于点E ，求点P 的坐标；（3）如图2，点D 是抛物线的顶点，将抛物线沿CD 方向平移，且DD'＝2CD ，点M 是平移后所得抛物线上位于D'左侧的一点，连结CN.当5D'N+CN 的值最小时16．在 Rt ABC 中， 90ACB ∠=︒ ， 3AC = ， 4BC = .将 Rt ABC 绕点B 顺时针旋转()060αα︒<<︒ 得到 Rt DEB ，直线DE ， AC 交于点P.（1）如图1，当 BD BC ⊥ 时，连接BP. ①求BDP 的面积；②求 tan CBP ∠ 的值；（2）如图2，连接AD ，若F 为AD 中点，求证；C ，E ，F 三点共线.17．如图，抛物线与x 轴交于A （5，0），B （ 1- ，0），与y 轴的正半轴交于点C ，连接BC ，AC ，已知2sin 2BAC ∠=.（1）求抛物线的解析式；（2）直线 y kx = （ 0k > ）交线段AC 于点M ，当以A 、O 、M 为顶点的三角形与⊙ABC 相似时，求k 的值，并求出此时点M 的坐标；（3）P 为第一象限内抛物线上一点，连接BP 交AC 于点Q ，请判断： PQQB是否有最大值，如有请求出这个最大值，如没有请说明理由.18．如图1，已知 Rt ABC ∆ 中， 90ACB ∠= ， 2AC = ， 23BC = ，它在平面直角坐标系中位置如图所示，点 ,A C 在 x 轴的负半轴上（点 C 在点 A 的右侧），顶点 B 在第二象限，将 ABC ∆ 沿AB 所在的直线翻折，点 C 落在点 D 位置（1）若点 C 坐标为 ()1,0- 时，求点 D 的坐标；（2）若点 B 和点 D 在同一个反比例函数的图象上，求点 C 坐标；（3）如图2，将四边形 BCAD 向左平移，平移后的四边形记作四边形 1111B C A D ，过点 1D 的反比例函数 (0)ky k x=≠ 的图象与 CB 的延长线交于点 E ，则在平移过程中，是否存在这样的 k ，使得以点 1,,E B D 为顶点的三角形是直角三角形且点 11,,D BE 在同一条直线上？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由答案解析部分1．【答案】（1）证明：CD AD ⊥，90D ∴∠=︒ ，∴⊙DAC+⊙DCA=90°， 点c 是弧 BG 的中点， ∴CG BC =DAC BAC ∴∠=∠ ， OA OC = ， OCA BAC ∴∠=∠ ， OCA DAC ∴∠=∠ ， //AD OC ∴ ，∴⊙D=⊙OCP=90°，OC 是圆O 的半径， DC ∴ 与O 相切，（2）证明：AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒ ，90PCB ACD ∴∠+∠=︒ ，由（1）得： 90DAC DCA ∠+∠=︒ ，PCB DAC ∴∠=∠ ， DAC BAC ∠=∠ ， PCB BAC ∴∠=∠ ， CE 平分 ACB ∠ ， ACF BCF ∴∠=∠ ，∵⊙PFC=⊙BAC+⊙ACF ，⊙PCF=⊙PCB+⊙BCF ，PFC PCF ∴∠=∠ ， PC PF ∴= ；（3）解：连接 AE ，CE 平分 ACB ∠ ，∴ AE BE = ，AE BE ∴= ， AB 是O 的直径，90AEB ∴∠=︒ ，AEB ∴∆ 为等腰直角三角形，∵AB=210BE = ，∴OB=OC= 10∵1tan 3E =∴1tan 3BC CAB AC ∠== ， ∵⊙PCB=⊙BAC ，⊙P=⊙P ， ∴⊙PCB⊙⊙PAC ， ∴13BC PB AC PC == ， ∴ 设 PB x = ， 3PC x = ，在 Rt OCP ∆ 中， 222OC PC OP += ， ∴2221010(3))22x x +=+ ， ∴10x =或x=0(舍去)， ∴PC=310，∴PF=310.2．【答案】（1）证明：连接AE ，如图，∵AB 是⊙O 的直径， ∴⊙AEB ＝90°.∴⊙EAF+⊙AFE ＝⊙EAB+⊙ABE ＝90°. ∵点E 是弧AD 的中点， ∴AE DE = . ∴⊙EAD ＝⊙ABE. ∴⊙AFE+⊙ABE ＝90°. ∵⊙AFE ＝⊙BFC ，∴⊙ABE+⊙CFB ＝90°. ∵BC ＝FC ， ∴⊙CFB ＝⊙CBF. ∴⊙CBF+⊙ABE ＝90°. ∴⊙ABC ＝90°， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴BC 是⊙O 的切线. （2）解：连接OE ，BD ，∵点E 是弧AD 的中点，∴OH⊙AD ，AH ＝HD ＝ 12AD . ∵AB 是⊙O 的直径， ∴BD⊙AD.∴BD⊙OE. ∴EH EFBD BF = . ∵BF ＝3EF ，∴13EH BD = . 设EH ＝2a ，则BD ＝6a. ∵OE⊙BD ，OA ＝OB ， ∴OF ＝12BD ＝3a. ∴OA ＝OE ＝OH+HE ＝5a. ∴AB ＝2OA ＝10a. ∴AD ＝228AB BD a -= .∴HD ＝12AD ＝4a. ∵⊙ABC ＝90°，BD⊙AC ， ∴⊙ABD⊙⊙BCD. ∴AD BDBD CD= . ∴CD ＝ 292BD a AD = .∴CH ＝HD+CD ＝172a . 在Rt⊙EHC 中，tan⊙ACE ＝ 2417172EH a CH a ==.3．【答案】（1）证明：如图，,OA OC =OAC OCA ∴∠=∠ ，DCB OAC ∠=∠ ， OCA DCB ∴∠=∠ ，AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒ ，90OCA OCB ∴∠+∠=︒ ，90DCB OCB ∴∠+∠=︒ ，即 90OCD ∠=︒ ， OC DC ∴⊥ ，又OC 是 O 的半径，CD ∴ 是O 的切线.（2）解：,BC OEBD CD OB CE ∴= ，即 4263BD OB == ， ∴设 2BD x = ，则 3,5OB OC x OD OB BD x ===+= ，,OC DC ⊥222OC CD OD ∴+=222(3)4(5)x x ∴+= ，解得， 1x = ，33OC x ∴== .即O 的半径为3，,BC OEOCB EOC ∴∠=∠ ，在 Rt OCE 中， 6tan 23EC EOC OC ∠=== ， tan tan 2OCB EOC ∴∠=∠=4．【答案】（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴⊙C=90°，∵点D 是AC 的中点，∴DO 垂直平分AC ，且AD=DC ， ∴CA⊙DF ，AE=EC ， ∴⊙AEO=90°，∴BC DF ， ∵BF CD ，∴四边形BCDE 是平行四边形； （2）∵BC DF ， ∴⊙DBF=⊙CDB ，又∵根据圆周角定理有⊙CDB=⊙BAC ， ∴⊙DBF=⊙BAC ， 即tan⊙BAC=34， ∵AC=8， ∴CB=6，则在Rt⊙ACB 中，利用勾股定理可得AB=10，即AO=5=OD ， ∵AE=EC=12AC ， ∴AE=EC=4，在Rt⊙AEO 中，利用勾股定理得OE=3，∴DE=OD-OE=5-3=2，在Rt⊙AED 中，利用勾股定理，得55 ∴四边形ABCD 的周长5555．【答案】（1）解：∵AB 是O 的直径， 42AC =， 2BC = ，∴90ACB ∠=︒ ， 22236AB AC BC =+= ， ∴6AB = ， 2sin 3ABC ∠=（2）解：∵CD AB ⊥ ，∴CE DE = ， 由三角形的面积公式得:1122AC BC AB CE ⨯⨯=⨯⨯ , ∴423CE =， ∴822CD CE ==． 6．【答案】（1）证明：连接 OA 、 OE ，∵点 E 是下半圆弧的中点， OE 过 O ， ∴OE DC ⊥ ， ∴90FOE ∠=︒ ， ∴90E OFE ∠+∠=︒ ， ∵OA OE = ， AB BF = ，∴BAF BFA ∠=∠ ， E OAE ∠=∠ ， ∵AFB OFE ∠=∠ ， ∴90OAE BAF ∠+∠=︒ ， 即 OA AB ⊥ ， ∵OA 为半径， ∴AB 是O 的切线（2）解：设 AB x = ，则 BF x = ， 1OB x =+ ， ∵3OA OC == ，由勾股定理得： 222OB AB OA =+ ， ∴()22213x x +=+ ， 解得： 4x = ，∴4cos 5AB B OB == 7．【答案】（1）5；平行（2）解：①P 在AB 中点时，连接DP 并延长交BC 于点F ，由（1）：DP CE ，∴1BF BPFC AP==， ∴142BF FC BC ===，∴132PF AC ==，11822DF DP PF AB AC =+=+=，∵90DEA BCE PDE ∠=∠=∠=︒， ∴四边形DECF 是矩形， ∴84CE DF DE CF ====，， ∴2AE CE AC =-=， ∴22222425AD AE DE =+=+=②将线段AD 绕着平面上某个点旋转180︒后，使AD 的两个对应点A '、D '落在Rt ABC 的边上， ∴AA '与DD '垂直平分，两条线段的交点O 即为旋转中心，如图所示：则：OD AB ⊥，∵902510ADB AD AB ∠=︒==，，， ∴()2222102545BD AB AD =-=-=∵1122ABD S AD BD AB DO ∆=⋅=⋅， ∴254510DO =， ∴4OD =， ∴222AO AD OD =-=，∴24AA OA '==；（3）解：当P Q AD '时；如图：延长P P '交BC 于点G ，过点P P '，分别作PH AC P T CQ '⊥⊥，，垂足为：H T ，，则：四边形CGP T '为矩形，∵3455AC BC sin ABC cos ABC AB AB ∠==∠==，， ∴3455PG BP sin ABC t BG BP cos ABC t =⋅∠==⋅∠=，，∴34855CH PG t P T CG BC BG t ====-=-'，，∴385HE CE CH t =-=-，∵P ，P '关于直线DE 对称 ∴385ET EH t ==-，∴3138821655t QT CT CQ CE ET CQ t t =-=+-=+--=-，∵P Q AD '， ∴P QT DAE ∠=∠'，∴2DEtan P QT tan DAE AE∠='∠==， ∴2P T TQ '=，即：413821655t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 解得：6011t =； 当PQ BD 时，延长BD 交CQ 于点K ，∵PQ BD ，∴APQ ABD AQP AKB ∠=∠∠=∠，，∵90ADB ADK DAB KAD ∠=∠=︒∠=∠，（角平分线）， ∴ABD AKB ∠=∠， ∴APQ AQP ∠=∠， ∴AP AQ =，∵1026AP AB BP t AQ CQ AC t =-=-=-=-，， ∴1026t t -=-， 解得：163t =； 当P Q BD '时，如图：延长P P '交BC 于点G ，过点P P '，分别作PO AC P R CQ '⊥⊥，，垂足为：OR，，延长BD ，交CM 于点S ，则：四边形CNP R '为矩形，∵3455AC BC sin ABC cos ABC AB AB ∠==∠==，， ∴3455PN BP sin ABC t BN BP cos ABC t =⋅∠==⋅∠=，，∴34855CO PN t P R CN BC BN t ====-=-'，，∴385OE CE CO t =-=-，∵P ，P '关于直线DE 对称 ∴385ER OE t ==-，∴3132881655t QR CQ CR CQ CE ER t t =-=-+=--+=-； ∵AD BD ⊥，90AED ∠=︒，∴90ADE EDS ADE DAE ∠+∠=∠+∠=︒ ∴EDS DAE ∠=∠， ∵P Q BD '，∴QP R EDS DAE ∠=∠=∠'， ∴2DEtan QP R tan DAE AE∠='∠==， ∴2QR P R ='， 即：413281655t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得：8011t =； 综上：当PP Q '的一边与ABD 的AD 或BD 边平行时，6011t =或163t =或8011t =. 8．【答案】（1）解：根据二次函数交点式为 ()()()120y a x x x x a =--≠ ，抛物线过A(﹣3，0)，B(1，0)两点，∴设 ()()2331y ax bx a x x =+-=+- ，∵x=0时，y ＝ax 2+bx ﹣3=-3，∴将 ()0,3- 代入 ()()31y a x x =+- ∴﹣3a ＝﹣3， ∴a ＝1，故抛物线的表达式为：y ＝x 2+2x ﹣3.（2）解：由抛物线的表达式知，点C 、D 的坐标分别为（0，﹣3）、（﹣1，﹣4）， 由点C 、D 的坐标知，直线CD 的表达式为：y ＝x ﹣3①，1tan 3BCO ∠= ，则 cos 10BCO ∠= ，当点P （P′）在点C 的右侧时，如图所示：∵⊙P'BC ＝⊙BCO ，故P′B⊙y 轴，则点P′（1，﹣2）， 当点P 在点C 的左侧时，设直线PB 交y 轴于点H ，过点H 作HN⊙BC 于点N ， ∵⊙P'BC ＝⊙BCO ， ∴⊙BCH 为等腰三角形，则 222cos 23110BC CH BCO CH =⋅∠=⨯=+， 解得： 53CH =，则 433OH CH =-= ，故点 4(0,)3H = ， 由点B 、H 的坐标得，直线BH的表达式为： 4433y x =-②，联立①②并解得：58xy=-⎧⎨=-⎩，故点P的坐标为（﹣5，﹣8），综上所述，满足条件的点P坐标为（1，﹣2）或（﹣5，﹣8）.（3）M(﹣1，2﹣2)，N(﹣1﹣2，﹣2)或M'(﹣1，﹣2﹣2)，N'(﹣1+ 2，﹣2) 9．【答案】（1）证明：如图，连接EF，EA，EC，∵ EH⊙FC，H是FC的中点，∴EF=EC，∵AD=CD，⊙ADE=⊙CDE=45°，DE=DE，∴⊙ADE⊙⊙CDE，∴AE=EC，∴EF＝AE；（2）解：如图，①∵CD=2，13 BFBA=，∴BF=23，AF=43，∴FC=22210 3BC BF+=，过点E作EM⊙AB于点M，∵EF=AE，∴EM垂直平分FA，∴FM=AM=23，∴BM=ME=43，∴2253FM ME+=，∵H是FC的中点，∴10，∴2210EF FH-=②设AB=2a，∵BFkBA=，∴BF=2ak，∴FM=MA=a-ka，BM=a+ak=ME，∵⊙ADE⊙⊙CDE，∴⊙DCE=⊙DAE=⊙FEM，∴tan⊙DCE=tan⊙FEM=11FM kME k-=+. 10．【答案】（1）解：在Rt ABC中，90,6,8 ACB BC AC∠=︒==，22226810 AB AC BC∴+=+=．4tan3ACBBC==，3tan4BCAAC==, ∵D是边AB的中点，∴5BD=如图，当点Q落在BC上时，BP x = ，4tan 3PQ BP B x ==， ∵PDQ A ∠=∠ ， 90DPQ ∠=︒ ，16tan 9QP PD x A == ， 5BD PD BP =+= ，1659xx += ， 解得， 95x = ，95BP ∴= ；（2）解：如图，当 905x < 时，设PQ 、DQ 与BC 交于点M 、N ，∵D 是边AB 的中点，∴5BD = ， 4ND = ， 3BN = ，4tan 3PM BP B x == ， 211423462233BNDPBMS SSx x x =-=⨯⨯-⨯=- ； 当955x << 时， 5PD x =- ， 3tan (5)4PQ DP A x ==- ， 21331575(5)(5)24848PDQS Sx x x x ==⨯--=-+ ； 当 57x <≤ 时， 5PD x =- ， 3tan (5)4PQ DP A x ==- ， 21331575(5)(5)24848PDQS Sx x x x ==⨯--=-+ ； 故 PDQ 与 ABC 重叠部分图形的面积关系式为： 2222960353157595848531575(57)848x x S x x x x x x ⎧⎛⎫-< ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-+<<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-+<⎪⎩ ． 11．【答案】（1）解：作图如下：（2）解：∵⊙ABC=⊙BDC=90°， ∴⊙ABD ＋⊙CBD=90°，⊙CBD ＋⊙C=90°，∴⊙ABD=⊙C ，在Rt⊙ABD 中，AD ：BD ＝3：4， ∴AB⊙AD=3⊙5，∴sinC=sin⊙ABD=35AD AB =． （3）解：如图，点P 在BC 为直径的圆上，O 为圆心，当A 、P 、O 三点共线时，AP 最大，∵BC ＝10，BD ＝6，∴CD=8，∵⊙ABD⊙⊙BCD ，∴2BD AD CD =⋅，26=8AD ，解得9=2AD ， 在Rt⊙ABD 中，AB=152，∵BC=10， ∴BO=OP=5， 在Rt⊙ABO 中，22513AO AB OB =+=， ∴AP=AO ＋513， 故答案为：5132．． 12．【答案】（1）35；1225（2）解：如图②中，结论：四边形ABCD 是对余四边形.理由：过点D 作DM⊙DC ，使得DM ＝DC ，连接CM. ∵四边形ABCD 中，AD ＝BD ，AD⊙BD ，∴⊙DAB ＝⊙DBA ＝45°， ∵⊙DCM ＝⊙DMC ＝45°， ∴⊙CDM ＝⊙ADB ＝90°， ∴⊙ADC ＝⊙BDM ， ∵AD ＝DB ，CD ＝DM ， ∴⊙ADC⊙⊙BDM （SAS ）， ∴AC ＝BM ，∵2CD 2+CB 2＝CA 2，CM 2＝DM 2+CD 2＝2CD 2，∴CM 2+CB 2＝BM 2， ∴⊙BCM ＝90°，∴⊙DCB ＝45°， ∴⊙DAB+⊙DCB ＝90°， ∴四边形ABCD 是对余四边形. （3）4)2tu t =<< 13．【答案】（1）解：∵AD⊙BC ，∴AD DE BG EB = ， AD DFCH FC= ． ∵DB ＝DC ＝15，DE ＝DF ＝5，∴12DE DF EB FC == ， ∴AD ADBG CH= ． ∴BG ＝CH ．（2）解：过点D 作DP⊙BC ，过点N 作NQ⊙AD ，垂足分别为点P 、Q ．∵DB ＝DC ＝15，BC ＝18，∴BP ＝CP ＝9，DP ＝12．∵12AD DE BG EB == ， ∴BG ＝CH ＝2x ， ∴BH ＝18+2x ． ∵AD⊙BC ，∴AD DNBH NB = ， ∴182x DNx NB=+ ， ∴18215xDN DNx x NB DN ==+++ ，∴56xDNx=+．∵AD⊙BC，∴⊙ADN＝⊙DBC，∴sin⊙ADN＝sin⊙DBC，∴NQ PD DN BD=，∴46xNQx=+．∴211422266x xy AD NQ xx x=⋅=⋅=++（0<x≤9）．（3）解：∵AD⊙BC，∴⊙DAN＝⊙FHG．（i）当⊙ADN＝⊙FGH时，∵⊙ADN＝⊙DBC，∴⊙DBC＝⊙FGH，∴BD⊙FG，∴BG DF BC DC=，∴5 1815 BG=，∴BG＝6，∴AD＝3．（ii）当⊙ADN＝⊙GFH时，∵⊙ADN＝⊙DBC＝⊙DCB，又∵⊙AND＝⊙FGH，∴⊙ADN⊙⊙FCG．∴AD FC DN CG=，∴5(182)106xx xx⋅-=⨯+，整理得x2﹣3x﹣29＝0，解得3552x+=，或3552x-=（舍去）．综上所述，当⊙HFG与⊙ADN相似时，AD的长为3或3552x+=．14．【答案】（1）60（2）解：S⊙ADE=12DE·AB=3DE，∴当DE取最小值时，⊙ADE面积取最小值.作⊙ADE的外接圆，圆心为O，连接OD、OE、OA，过O作OH⊙DE于H，则⊙DOE=2⊙DAE=120°，由OD=OE知，⊙ODH=30°，∴OD=2OH，∵OA+OH≥AB，∴OA+12OA≥6，即OA≥4，OH≥2，由垂径定理得：3OH≥3此时，A、O、H共线，AD=AE，∴⊙ADE面积的最小值为：3×433（3）解：过C作CH⊙AE于H，如图所示，设BD=x，EF=y，∵⊙ABC=90°，AE⊙BC，∴四边形ABCF 为矩形， ∵AB=BC=40∴四边形ABCF 为正方形， 由tan⊙E=tan⊙BCD 知，CF BDEF BC=， 即4040x y =， ∴y=1600x， 即xy=1600， ∵22220x x y y x y-+=≥，∴2x y xy +≥，当x=y 时取等号，即x+y 的最小值为80，又⊙ADE 的面积=正方形ABCF 面积+三角形BCD 面积+三角形CEF 面积， 即⊙ADE 的面积=1600+20（x+y ）≥1600+20×80=3200， 综上所述，⊙ADE 的面积的最小值为3200 m 2.15．【答案】（1）解：∵y ＝﹣x 2+bx+c 经过B （﹣1，6），3），∴340c b c =⎧⎨-++=⎩ ， 解得 25b c =⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x+7（2）解：如图1中，过点B 作BT⊙y 轴交AC 于T.设P(m ，﹣m 2+2m+3)，对于抛物线y ＝﹣x 2+5x+3，令y ＝0，∴A(2，0)， ∵C(0，8)，∴直线AC 的解析式为y ＝﹣x+3， ∵B(﹣1，2)， ∴T(﹣1，4)， ∴BT ＝3， ∵PQ⊙OC ， ∴Q(m ，﹣m+3)，∴PQ ＝﹣m 2+2m+3﹣(﹣m+3)＝﹣m 3+3m ， ∵PQ⊙BT ， ∴PQ BT ＝ PE BC ＝ 15， ∴﹣m 2+3m ＝4，解得m ＝1或2，∴P(4，4)或2.（3）解：如图8中，连接AD ，过点C 作CT⊙AD 于T.∵抛物线y＝﹣x2+2x+6＝﹣(x﹣1)2+3，∴顶点D(1，4)，∵C(8，3)，∴直线CD的解析式为y＝x+3，CD＝7，∵DD′＝2CD，∵DD′＝2 4，CD′＝3 2，∴D′(4，6)，∵A(3，2)，∴AD′⊙x轴，∴OD′＝22OA D A+'＝2256+＝3 5，∴sin⊙OD′A＝OAOD'＝45，∵CT⊙AD′，∴CT＝3，∵NJ⊙AD′，∴NJ＝ND′•sin⊙OD′A＝7D′N，5D'N+CN＝CN+NJ，∵CN+NJ≥CT，∴55D'N+CN≥7，5D'N+CN的最小值为8.16．【答案】（1）解：①过点P作PH BD⊥于H.BD BC⊥，PH BD⊥，90CBH PHB C∴∠=∠=∠=︒，∴四边形BCPH 是矩形，4PH BC∴==，在Rt ACB中，2222345AB AC BC++=，由旋转的旋转可知，5BD BA==，11541022PBDS BD PH∆∴=⋅⋅=⨯⨯=.②由旋转的性质可知，4BE BC==，12PBDS PD BE∆=⋅⋅，2054PD∴==，90PHD∠=︒，2222543DH PD PH∴=-=-=，2PC BH∴==，90C∠=︒，21tan42PCPBCBC∴∠===.（2）证明：如图2中，连接BF，取BD的中点T，连接FT，ET.BC BE = ， BA BD = ，BCE BEC ∴∠=∠ ， BAD BDA ∠=∠ ，BDE ∆ 是由 BAC ∆ 旋转得到， BCE ABD ∴∠=∠ ， BEC ADB ∴∠=∠ ，BA BD = ， AF DF = ， BF AD ∴⊥ ， 90AFD ∴∠=︒ ，90BED AFD ∠=∠=︒ ， DT TB = ，12ET BD ∴=， 12FT BD = ， ET FT DT TB ∴=== ， E ∴ ，F ，D ，B 四点共圆， 1DBF ∴∠=∠ ，90DBF BDF ∠+∠=︒ ， 190BEC ∴∠+∠=︒ ，1180BEC BED ∴∠+∠+∠=︒ ， C ∴ 、E 、F 三点共线.17．【答案】（1）解：由 ()50A ，可知 5OA = ， 在Rt⊙AOC 中， 2sin 2BAC ∠= ， ∴45BAC ∠=︒ ，∴5OA OC == ，即点C （0，5），由题意可设 ()()51y a x x =-+ ，把点C 代入得： 55a -= ， 解得： 1a =- ，∴抛物线解析式为 ()()25145y x x x x =--+=-++ ；（2）解：由（1）可得：C （0，5）， ()50A ，，设直线AC 的解析式为 1y k x b =+ ，把点A 、C 坐标代入得：{b =55k 1+b =0 ，解得： {b =5k 1=−1， ∴直线AC 的解析式为 5y x =-+ ，∵直线 y kx = （ 0k > ）交线段AC 于点M ，则设 ()5M m m -+，， ∴5m k m-+=， 由（1）可知 5OA OC == ， 1OB = ， ∴()()22055052AC =-+-=， 6AB = ，由题意可分：①当 AOM ABC ∽ 时，∴56AO AM AB AC == ， ∴525266AM AC ==， ∴由两点距离公式可得： ()()226255518m m -+-= ， 解得： 1255566m m ==， ， ∵05m ≤≤ ， ∴56m =， ∴55525655666M k -+⎛⎫== ⎪⎝⎭，， ； ②当 AOM ACB ∽ 时，∴2252AO AM AC AB ===，∴232AM AB ==，∴由两点距离公式可得： ()()225518m m -+-= ， 解得： 1228m m ==， （不符合题意，舍去），∴()2532322M k -+==，， ； （3）解：过点B 作BF⊙x 轴，交AC 的延长线于点F ，过点P 作PD⊙x 轴于点D ，交AC 于点H ，如图所示：∴BF⊙PH ，∴BQF PQH ∽ ，∴PQ PHBQ BF= ， 由（2）知，直线AC 的解析式为 5y x =-+ ，点 ()10B -， ， ∴点 ()16F -， ，即 6BF = ， 设点 ()245P a a a -++，，则有 ()5H a a -+， ， ∴()224555PH a a a a a =-++--+=-+ ，∴225152566224PQ a a a BQ -+⎛⎫==--+⎪⎝⎭ ， ∵106-< ， ∴当 52a =时， PQ BQ 的值最大，最大值为 2524.18．【答案】（1）解：如图，过点 D 作 DM x ⊥ 轴于点 M∵90ACB ∠=︒ ， ∴3tan 32BC CAB AC ∠===∴60CAB ∠=由题意可知 2DA AC == ， 60DAB CAB ∠=∠=︒ . ∴180180606060DAM DAB CAB ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒ . ∴906030ADM ∠=︒-︒=︒ 在 Rt ADM ∆ 中， 2DA = ， ∴1AM = ， 3DM =.∵点 C 坐标为 (10)-，， ∴1214OM OC AC AM =++=++= . ∴点 D 的坐标是 (3)-（2）解：设点 C 坐标为 (,0)a （ 0a < ），则点 B 的坐标是 (,3)a ， 由（1）可知：点 D 的坐标是 (3)a - ∵点 B 和点 D 在同一个反比例函数的图象上， ∴33(3)a a =- .解得 3a =- . ∴点 C 坐标为 (3,0)-（3）解：存在这样的 k ，使得以点 E， 1B ， D 为顶点的三角形是直角三角形①当 190EDB ∠= 时.如图所示，连接 ED ， 1B B ， 1B D ， 1B B 与 ED 相交于点 N .则 190EBN NDB ∠=∠=︒ ， 1BNE DNB ∠=∠ ， 130DBN NB E ∠=∠= .∴BNE ∆ ⊙ 1DNB ∆∴1BN ENDN B N= ∴1BN DNEN B N= 又∵1BND ENB ∠=∠ ， ∴BND ∆ ⊙ 1ENB ∆ .∴130NEB NBD ∠=∠= ， 130NDB NB E ∠=∠= ， ∴30BED BDE ∠=∠=︒ . ∴23BE BD == ， 16tan 30BEBB ==设 (43)E m ， （ 0m < ），则 1(3)D m - ， ∵E ， 1D 在同一反比例函数图象上， ∴433(9)m m =- .解得： 3m =- . ∴(343)E -，∴343123k =-⨯=-②当 190EB D ∠= 时.如图所示，连接 ED ， 1B B ， 1B D ，∵1//BD ED ，∴1118090BDB EB D ∠=︒-∠=︒ .在 1Rt BDB ∆ 中，∵130DBB ∠=︒ ， 3BD =， ∴14cos30BDBB == .在 1Rt EBB ∆ 中， ∵130BB E ∠=︒ ，∴143tan 30EB BB =︒=. ∴1033EC BC EB =+=设 3(,)3E m （ 0m < ），则 1(13)D m - ∵E ， 1D 在同一反比例函数图象上，1033(7)m=-.解得：3m=-，∴103 (3,3 E-∴3333k=-⨯=-21/ 21。
历年(2020-2023)全国高考数学真题分类(三角函数)汇编(附答案)
历年(2020‐2023)全国高考数学真题分类(三角函数)汇编【2023年真题】1. （2023ꞏ新课标I 卷 第8题）已知1sin()3αβ-=，1cos sin 6αβ=，则cos(22)αβ+=( ) A.79B.19C. 19-D. 79-2. （2023ꞏ新课标II 卷 第7题） 已知α为锐角，1cos 4α+=，则sin 2α=( )A. 38B. 18-C. 34D. 14-+3. （2023ꞏ新课标I 卷 第15题）已知函数()cos 1(0)f x x ωω=->在区间[0,2]π有且仅有3个零点，则ω的取值范围是__________.4. （2023ꞏ新课标II 卷 第16题）已知函数()sin()f x x ωϕ=+，如图，A ，B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，若||6AB π=，则()f π= .【2022年真题】5.（2022·新高考I 卷 第6题）记函数()sin()(0)4f x x b πωω=++>的最小正周期为.T 若23T ππ<<，且()y f x =的图像关于点3(,2)2π中心对称，则(2f π=( ) A. 1B.32C.52D. 36.（2022·新高考II 卷 第6题）若sin()cos()4παβαβαβ+++=+，则( )A. tan()1αβ+=-B. tan()1αβ+=C. tan()1αβ-=-D. tan()1αβ-=7.（2022·新高考II 卷 第9题）（多选）已知函数()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象关于点2(,0)3π对称，则( ) A. ()f x 在5(0,)12π单调递减 B. ()f x 在11(,)1212ππ-有两个极值点 C. 直线76x π=是曲线()y f x =的一条对称轴D. 直线2y x =-是曲线()y f x =的一条切线【2021年真题】8.（2021·新高考I 卷 第4题）下列区间中，函数()7sin ()6f x x π=-单调递增的区间是( )A.0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B. ,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C. 3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭9.（2021·新高考I 卷 第6题）若tan 2θ=-，则sin (1sin 2)sin cos θθθθ+=+( )A. 65-B. 25-C.25 D.65【2020年真题】10.（2020·新高考I 卷 第10题 、II 卷 第11题）（多选）如图是函数()sin y x ωϕ=+的部分图象，则()sin x ωϕ+( )A. sin ()3x π+B. sin (2)3x π- C. cos (2)6x π+D. 5cos (2)6x π- 11.（2020·新高考I 卷 第15题、II 卷 第16题）)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示，O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC的切点，四边形DEFG 为矩形，BC DG ⊥，垂足为C ，3tan 5ODC ∠=，//BH DG ，12EF cm =，2DE cm =，A 到直线DE 和EF 的距离均为7cm ，圆孔半径为1cm ，则图中阴影部分的面积为__________2.cm参考答案1. （2023ꞏ新课标I 卷 第8题）解：因为1sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=，1cos sin 6αβ=，则1sin cos .2αβ=故112sin()sin cos cos sin .263αβαβαβ+=+=+= 即2221cos(22)12sin ()12().39αβαβ+=-+=-⨯=故选B.2. （2023ꞏ新课标II 卷 第7题）解：22111cos 36114sin ()sin 222816424ααα+-----=====⇒=故选：.D3. （2023ꞏ新课标I 卷 第15题）解：令()cos 10f x x ω=-=，得cos 1x ω=，又[0,2]x π∈，则[0,2]x ωωπ∈，所以426πωππ<…，得2 3.ω<… 故答案为：[2,3).4. （2023ꞏ新课标II 卷 第16题）解： 设相邻的两个交点A ，B 的横坐标为1 t ，2 t ，则21 - 6t t π=又1sin()2x ωϕ+=，522,.0,66x k k k Z k ππωϕππ+=++∈=或当时 16t πωϕ+=，256t πωϕ+=，212( - )3t t πω=，故 4.ω=函数图象过点2(,0)3π，8sin ()03πϕ+=，故8 ,.3k k Z πϕπ=-∈ 2k =时满足图片条件，故2.3πϕ=-2()sin(4.32f πππ=-=- 5.（2022·新高考I 卷 第6题）解：由题可知：22(,)3T πππω=∈，所以(2,3).ω∈ 又因为()y f x =的图像关于点3(,2)2π中心对称，所以2b =，且33()sin() 2.224f b πππω=⨯++= 所以21(34k ω=-，k Z ∈，所以5.2ω=所以5()sin() 2.24f x x π=++所以() 1.2f π=6.（2022·新高考II 卷 第6题）解：解法一：设0β=则sin cos 0αα+=，取34απ=，排除B ，D 再取0α=则sin cos 2sin βββ+=，取4πβ=，排除;A 选.C解法二：由sin()cos())]44ππαβαβαβαβ+++=++=++)cos 44ππαβαβ=++，cos )sin 44ππαβαβ+=+ 故sin()cos cos(044ππαβαβ+-+=，即sin()04παβ+-=，故sin(sin()cos()0422παβαβαβ-+=-+-=， 故sin()cos()αβαβ-=--，故tan() 1.αβ-=- 7.（2022·新高考II 卷 第9题）（多选） 解：由题意得：24(sin()033f ππϕ=+=， 所以43k πϕπ+=，即43k πϕπ=-+，k Z ∈， 又0ϕπ<<，所以2k =时，23πϕ=，故2()sin(2).3f x x π=+ 选项5:(0,)12A x π∈时，2232(,)332x πππ+∈，由sin y u =图象知()f x 在5(0,)12π单调递减; 选项11:(,1212B x ππ∈-时，252(,)322x πππ+∈，由sin y u =图象知()f x 在11(,1212ππ-有1个极值点; 选项:C 由于，故直线76x π=不是()f x 的对称轴;选项:D 令，得21cos(232x π+=-， 解得222233x k πππ+=+或242233x k πππ+=+，k Z ∈，从而得x k π=或3x k ππ=+，k Z ∈，令0k =，则是斜率为1-的直线与曲线的切点，从而切线方程为(0)2y x -=--，即.2y x =- 8.（2021·新高考I 卷 第4题） 解：由22262k x k πππππ-+-+剟，得222,33k x k k Z ππππ-++∈剟， 所以()7sin ()6f x x π=-的单调递增区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦， 当0k =时，一个单调递增区间为2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，可知20,,233πππ⎛⎫⎡⎤⊆- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 故选：.A9.（2021·新高考I 卷 第6题）解：原式22sin (sin cos 2sin cos )sin cos θθθθθθθ++=+ 22sin (sin cos )sin sin cos sin cos θθθθθθθθ+==++22222sin sin cos tan tan 422sin cos tan 1415θθθθθθθθ++-====+++， 故选：.C10.（2020·新高考I 卷 第10题 、II 卷 第11题）（多选） 解：由图象可知222()||36T ππππω==-=，故A 错误; 解得2ω=±， 点5(,1)12π-在函数图象上， 当2ω=时，522,k Z 122k ππϕπ⨯+=-+∈， 解得42,k Z 3k πϕπ=-+∈，故44sin 2sin 2sin 2333y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-=-+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当2ω=-时，522,k Z 122k ππϕπ-⨯+=-+∈ 解得2,k Z 3k πϕπ=+∈，故函数解析式为sin 23y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，又cos 2sin 2sin 26263x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选.BC11.（2020·新高考I 卷 第15题、II 卷 第16题） 解：设上面的大圆弧的半径为x ，连接OA ，过A 作AI BH ⊥交BH 于J ，交DG 于K ，交EF 于I ，过O 作OL DG ⊥于L ，记扇形OAB 的面积为S 扇形，由题中的长度关系易知45AGD ︒∠=，所以45AHO ︒∠=， 又90OAH ︒∠=，可得AOH 为等腰直角三角形，可得2OJ AJ x ==，52OL JK x ==-， 72DL DK LK DK OJ x=-=-=-，3tan 5OL ODC DL ∠==， 5352x-=，解得x =，12AOH O S S S S =+- 阴影圆扇形222131154()24222cm πππ=⨯⨯+⨯-=+，故答案为54.2π+。
锐角三角函数知识点总结及单元测试题[1]
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初三下学期锐角三角函数知识点总结1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
2、如下图,在Rt △ABC 中,∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为（∠A 可换成∠B)：3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值.5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)A90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A对边邻边A90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A6、正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。
7、正切、余切的增减性： 当0°〈α<90°时,tan α随α的增大而增大，cot α随α的增大而减小.1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个,其中必有一边)→所有未知的边和角.依据:①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°;③边角关系：三角函数的定义。
（注意:尽量避免使用中间数据和除法)2、应用举例：（1）仰角：视线在水平线上方的角；俯角:视线在水平线下方的角.（2）坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（坡比)。
2023中考一轮复习：锐角三角函数及其应用
考点16锐角三角函数及其应用【命题趋势】中考数学中，对锐角三角函数的考察主要以特殊角的三角函数值及其有关计算、解直角三角形、解直角三角形的应用三个方面为主。
其中，锐角三角函数的性质及解直角三角形多以选择填空题为主，解直角三角形的应用多以解答题为主。
整体难度不大，但是所占分值有3~12分，还是需要考生对这块易拿分的考点多加重视。
【中考考查重点】一、锐角三角函数的定义及其性质二、特殊角的三角函数值三、解直角三角形四、解直角三角形的应用考向一：锐角三角函数的定义及其性质一．锐角三角函数的定义：在Rt △AABC 中，∠C=90°，AB=c ，BC=a ，AC=b 则：∠A 正弦：caA A =∠=斜边的对边sin ；∠A 余弦：c bA A =∠=斜边的邻边cos ；∠A 正切：baA A A =∠∠=的邻边的对边tan ；二．锐角三角函数的函数关系当∠A ＋∠B=90°时，有以下两种关系：（1）.同角三角函数的关系：AAA cos sin tan =；1cos sin 22=+A A （2）互余两角的三角函数的关系：B A B A sin cos ;cos sin ==;)90(1tan tan ︒=∠+∠=∙B A B A 【同步练习】1．（2021•句容市模拟）在△ABC 中，∠C ＝90°，设∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，则（）A ．c ＝b sin BB ．b ＝c sin BC ．a ＝b tan BD ．b ＝c tan BACBabc2．（2021•饶平县校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝m，∠B＝β，那么AB＝（）A．m⋅sinβB．C．m⋅cosβD．3．（2021•张湾区模拟）如图，小正方形的边长均为1，有格点△ABC，则sin C＝（）A．B．C．D．4．（2021•商河县校级模拟）当A为锐角，且＜cos∠A＜时，∠A的范围是（）A．0°＜∠A＜30°B．30A＜60°C．60°＜∠A＜90°D．30°＜∠A＜45°5．（2021•桓台县一模）在Rt△ABC中，若∠ACB＝90°，tan A＝，则sin B＝（）A．B．C．D．6．（2021•蒙阴县模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝∠ADC＝90°，若sin A＝，则cos∠BCD的值为．考向二：特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值表αsin αcos αtan α30°21233345°2222160°23213【同步练习】1．（2021•宜兴市模拟）已知cos α＝，且α是锐角，则α＝（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°2．（2022•龙岗区一模）Rt △ABC 中∠C ＝90°，sin A ＝，则tan A 的值是（）A ．B ．C ．D ．3．（2021•邵阳模拟）在△ABC 中，若|sin A ﹣|+（cos B ﹣）2＝0，则∠C 的度数是（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°4．（2022•无为市校级一模）计算：（1）sin60°•cos30°﹣1；（2）2sin30°+3cos60°﹣4tan45°．考向三：解直角三角形解直角三角形相关：在Rt△ABC中，∠C=90°AB=c，BC=a，AC=b 三边关系：222cba=+两锐角关系：︒=∠∠90BA＋边与角关系：caBA==cossin，cbBA==sincos，baanA=t，abanB=t锐角α是a、b的夹角面积：αsin21abS=【方法提炼】与三角函数有关的倍半角问题倍半角模型①知“半角”求“倍角”→知θ，截取使相等（或中垂线），得2θ②知“倍角”求“半角”→知2θ，延长使相等(或做角平分线），得θ（等腰出，半角现）解题主要思想特别记忆：1.“倍半角”模型也可用于“角平分线”类问题2.“倍半角模型”常常转化为“θ”的正切值来计算3.☆【同步练习】1．（2021•樊城区一模）如图，A 、B 、C 是3×1的正方形网格的三个格点，则tan ∠ABC 的值为（）A ．B ．C ．D ．2．（2021•滨江区校级三模）如图，点A 为∠B 边上任意一点，作AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，下列用线段比表示tan B 的值，错误的是（）A ．B ．C ．D ．3．（2021•榆阳区模拟）如图，点A ，B 是以CD 为直径的⊙O 上的两点，分别在直径的两侧，其中点A 是的中点，若tan ∠ACB ＝2，AC＝，则BC 的长为（）A ．B ．2C ．1D ．2时，③当时，②当时，①当7242tan 43tan 432tan 31tan 342tan 21tan ======θθθθθθ相等角倍角半角常构造（或选择）Rt △延长直角边=斜边，得半角作斜边的中垂线，得2倍角可构造K 型相似，得矩形当有特殊tan α值时，可转化为“倍半角”问题主要思想变“求点的坐标”为“求直线与函数图象交点”抓本质——对称全等＋l 1⊥l 2此处k 型相似比已知，矩形对边相等是列方程的等量关系4．（2021•阿城区模拟）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足是D，设∠CAB＝α，CD＝h，那么BC的长度为（）A．B．C．D．h•cosα考向四：解直角三角形的应用解直角三角形的应用：仰角和俯角仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫仰角.俯角：视线在水平线下方的叫俯角坡度和坡角坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作lhi=坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，αtan=i坡度越大，坡角越大，坡面越陡【方法提炼】1.在实际测量高度、宽度、距离等问题中，常结合平面几何知识构造直角三角形，利用三角函数或相似三角形来解决问题，常见的构造的基本图形有如下几种：（1）不同地点看同一点，如图①（2）同一地点看不同点，如图②（3）利用反射构造相似，如图③2.常用结论：【同步练习】1．（2022•鹿城区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，点A，B分别在墙面ED和地面FD上，且斜边BC∥ED，若AC＝1，∠CBA＝α，则AD的长为（）A．cosα×tanαB．C．D．2．（2022•无为市校级一模）如图，给出了一种机器零件的示意图，其中CE＝1米，BF＝米，则AB＝（）A．（1+）米B．（﹣1）米C．（2﹣）米D．（2+）米3．（2020•秦皇岛一模）如图钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长3m，钓者想看看鱼上钩的情况，把鱼竿AC逆时针转动15°到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'长度是（）A．3m B．m C．m D．4m1．在直角△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，AC＝2，则sin A的值为（）A．B．C．D．2．如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin B的值为（）A．B．C．D．13．若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是（）A．30°＜α＜45°B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90°D．30°＜α＜60°4．下列计算错误的个数是（）①sin60°﹣sin30°＝sin30°；②sin245°+cos245°＝1；③；④．A．1B．2C．3D．45．如图所示，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在交点处，则∠ABC的正弦值为（）A．B．C．D．6．把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示的方式放置于桌面上，AB与螺母相切，D为螺母与桌面的切点，∠CAB＝60°．若量出AD＝6cm，则圆形螺母的外直径是（）A．cm B．12cm C．cm D．cm7．计算tan30°•sin60°的结果是．8．如图所示，在一次数学活动课上，初三1班的同学们利用长杆来测量某段城墙的倾斜角α，把一根长为6.6米的长杆AC斜靠在城墙旁，量出杆长2米处在地面投影AE的长约为1米，长杆的底端与墙角的距离AB约为2.7米，则倾斜角α的正切值约为．（结果精确到0.01，参考数据≈1.73）9.如图1是我们经常看到的一种折叠桌子，它是由下面的支架AD，BC与桌面构成如图2，已知OA＝OB＝OC＝OD＝20cm，∠COD＝60°，则点A到地面（CD所在的平面）的距离是cm．10．计算：tan30°sin60°﹣cos245°+tan45°．11．计算：（1）sin60°•cos30°﹣1；（2）2sin30°+3cos60°﹣4tan45°．12．如图，在△ABC中，BC＝4，∠B＝45°，∠A＝30°，求AB．13．如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知支架AB与支架AC所成的角∠BAC＝15°，点A、H、F在同一条直线上，支架AH段的长为0.5米，HF段的长为1.50米，篮板底部水平支架HE的长为0.75米，篮板顶端F到地面的距离为4.4米．（1）则篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数为；（2）求底座BC的长（结果精确到0.1米；参考数据：sin15°≈026，cos15°≈097，tan15°≈027，≈1.732，≈1.414）．1.（2021·浙江湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，则sin B的值是．2.（2021·浙江金华）如图是一架人字梯，已知AB＝AC＝2米，AC与地面BC的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC为（）A．4cosα米B．4sinα米C．4tanα米D．米3.（2021·浙江丽水）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥OA于点E，连结OC，OD．若⊙O的半径为m，∠AOD ＝∠α，则下列结论一定成立的是（）A．OE＝m•tanαB．CD＝2m•sinαC．AE＝m•cosαD．S△COD＝m2•sinα4.（2021·浙江温州）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC＝1，∠AOB＝α，则OC2的值为（）A．+1B．sin2α+1C．+1D．cos2α+15.（2021·浙江绍兴）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，cos B＝，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使∠ADE＝∠B，连结CE，则的值为（）A．B．C．D．26.（2021·浙江杭州）计算：sin30°＝．7.（2021·浙江金华）计算：（﹣1）2021+﹣4sin45°+|﹣2|．8.（2021·浙江嘉兴）计算：2﹣1+﹣sin30°；9.（2021·浙江绍兴）计算：4sin60°﹣+（2﹣）0．10.（2021·浙江衢州）计算：+（）0﹣|﹣3|+2cos60°．11.（2021·浙江金华）已知：如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠BOC＝120°，AB＝2．（1）求矩形对角线的长；（2）过O作OE⊥AD于点E，连结BE．记∠ABE＝α，求tanα的值．12.（2021·浙江台州）图1是放置在水平地面上的落地式话筒架实物图，图2是其示意图．支撑杆AB垂直于地面l，活动杆CD固定在支撑杆上的点E处．若∠AED＝48°，BE＝110cm，DE＝80cm，求活动杆端点D离地面的高度DF．（结果精确到1cm，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）13.（2021·浙江嘉兴）一酒精消毒瓶如图1，AB为喷嘴，△BCD为按压柄，CE为伸缩连杆，BE和EF为导管，其示意图如图2，∠DBE＝∠BEF＝108°，BD＝6cm，BE＝4cm．当按压柄△BCD按压到底时，BD转动到BD′，此时BD′∥EF（如图3）．（1）求点D转动到点D′的路径长；（2）求点D到直线EF的距离（结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）14.（2021·浙江宁波）我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，且AB＝AC，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D已滑动到点D'的位置，且A，B，D′三点共线，AD′＝40cm，B为AD′中点．当∠BAC ＝140°时，伞完全张开．（1）求AB的长．（2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）15.（2021·浙江绍兴）拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座AB固定，高AB为50cm，连杆BC长度为70cm，手臂CD长度为60cm．点B，C是转动点，且AB，BC与CD始终在同一平面内．（1）转动连杆BC，手臂CD，使∠ABC＝143°，CD∥l，如图2，求手臂端点D离操作台l的高度DE的长（精确到1cm，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）．（2）物品在操作台l上，距离底座A端110cm的点M处，转动连杆BC，手臂CD，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由．16.（2021·浙江衢州）图1是某折叠式靠背椅实物图，图2是椅子打开时的侧面示意图，椅面CE与地面平行，支撑杆AD，BC可绕连接点O转动，且OA＝OB，椅面底部有一根可以绕点H转动的连杆HD，点H是CD的中点，FA，EB均与地面垂直，测得FA＝54cm，EB＝45cm，AB＝48cm．（1）椅面CE的长度为cm．（2）如图3，椅子折叠时，连杆HD绕着支点H带动支撑杆AD，BC转动合拢，椅面和连杆夹角∠CHD的度数达到最小值30°时，A，B两点间的距离为cm（结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）1．（2021•余杭区二模）若sinα＝，则锐角α＝（）A．30°B．45°C．50°D．60°2．（2021•吴兴区一模）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC：AB＝3：5，则tan A的值为（）A．B．C．D．3．（2021•杭州二模）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，sin B＝0.5，若AC＝6，则AB的长为（）A．8B．12C．6D．124．（2021•婺城区模拟）若∠A，∠B都是锐角，且tan A＝1，sin B＝，则△ABC不可能是（）A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．锐角三角形D．直角三角形5．（2021•余杭区一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos B＝，则tan A的值为（）A．B．C．D．6．（2021•宁波模拟）如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交于点P，则∠APD的正切值为（）A．3B．2C．2D．37．（2021•北仑区一模）如图，点A在半径为6的⊙O内，OA＝2，P为⊙O上一动点，当∠OPA取最大值时，PA的长等于（）A．3B．2C．D．28．（2021•吴兴区二模）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tan A＝，则CD的值为（）A．2B．C．D．9．（2021•金华模拟）如图，点A（x，4）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，cosα＝，则tanα的值为（）A．B．C．D．10．（2021•越秀区校级三模）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则tan∠BAC的值为（）A．B．C．D．11．（2021•拱墅区二模）如图，△ABC中，∠A＝120°，若BM，CM分别是△ABC的外角平分线，则∠M的余弦值是（）A．B．C．D．12．（2022•温州模拟）一个长方体木箱放置在斜面上，其端点A落在水平地面上，相关数据如图所示，则木箱端点C距地面m的高度是（）A．a•cosα+b•sinαB．a•sinα+b•cosαC．a•sinα+b•sinαD．a•cosα+b•cosα13．（2021•下城区校级四模）在直角三角形ABC中，若cos C＝，则＝．14．（2022•温州模拟）如图1是某小车侧面示意图，图2是该车后备箱开起侧面示意图，具体数据如图所示（单位：cm），且AC＝BD，AF∥BE，sin∠BAF＝0.8，箱盖开起过程中，点A，C，F不随箱盖转动，点B，D，E 绕点A沿逆时针方向转动相同角度，分别到点B′，D′，E′的位置，气簧活塞杆CD随之伸长CD′．已知直线BE⊥B′E′，CD′＝2CD，那么AB的长为cm，CD′的长为cm．15．（2021•杭州校级模拟）计算：tan45°﹣sin30°cos60°﹣cos245°．16．（2021•鹿城区校级三模）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，AD是BC边上的中线，过点D作DE⊥AB于点E，DB＝3．（1）求BE的长；（2）若sin∠DAB＝，求△CAD的面积．17．（2021•宁波模拟）把矩形纸片ABCD，先沿AE折叠使点B落在AD边上的B'，再沿AC折叠，恰好点E也落到AD上，记为E'．求：（1）∠B'EE'的度数；（2）∠DAC的正切值．18．（2022•宁波模拟）如图①，一台灯放置在水平桌面上，底座AB与桌面垂直，底座高AB＝5cm，连杆BC＝CD＝20cm，BC，CD与AB始终在同一平面内．（1）如图②，转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝143°，求连杆端点D离桌面l的高度DE．（2）将图②中的连杆CD再绕点C逆时针旋转16°，如图③，此时连杆端点D离桌面l的高度减小了多少cm？（参考数据：sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，tan37°＝0.75）19．（2021•宁波模拟）小甬要外出参加“建党100周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图①，图②分别是他上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆DE，箱长BC，拉杆AB的长度都相等，B，F在AC上，C在DE上，支杆DF＝30cm，CE：CD＝1：3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°，请根据以上信息，解决下列问题．（1）求DE的长度（结果保留根号）；（2）求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果保留根号）．。
2023年北师大版数学三角函数练习题及答案
2023年北师大版数学三角函数练习题及答案由于无法提供实际的题目和答案，我将为您编写一篇关于数学三角函数练习题的文章。
文章内容如下：2023年北师大版数学三角函数练习题及答案在学习数学的过程中，三角函数是一个非常重要的概念。
掌握三角函数的运用，不仅有助于数学理论的学习，还具有广泛的实际应用价值。
为了帮助广大学生巩固和提升对三角函数的掌握能力，我们特别为大家准备了一套2023年北师大版数学三角函数练习题及答案。
以下是部分练习题示例，供大家参考。
1. 求解方程sinx - cosx = 0在区间[0,π]内的所有解。
解析：首先，将sinx和cosx转化为tanx的形式，得到tanx - cotx = 0。
然后，令t = tanx，我们可以将方程转化为t - 1/t = 0。
进一步，整理得到t^2 - 1 = 0。
解这个二次方程，我们可以得到t = 1或t = -1。
由于t = tanx，我们知道tanx = 1和tanx = -1分别对应于x = π/4和x = 3π/4。
所以，在区间[0,π]内，方程sinx - cosx = 0的解为x = π/4和x = 3π/4。
2. 已知三角函数sinA = 3/5，且A所在的象限为第二象限，求cosA 和tanA的值。
解析：由题意可知，sinA = 3/5，且A所在的象限为第二象限。
根据三角函数的定义，我们可以先求出cosA的值。
由于sinA = 3/5，我们可以通过勾股定理计算出第三边的长度为4（假设直角三角形斜边的长度为5）。
所以，cosA = 4/5。
进一步，我们可以通过cosA = 4/5计算出tanA的值为tanA = sinA / cosA = (3/5) / (4/5) = 3/4。
以上是部分练习题的解答，希望能帮助大家巩固对三角函数的理解和运用。
为了方便大家进行自我检测，我们还提供了全套练习题和答案下载，供大家参考学习。
请注意，这些题目仅供练习使用，不代表实际考试的题型和难度。
中考数学复习《锐角三角函数及其实际应用》经典题型及测试题(含答案)
中考数学复习《锐角三角函数及其实际应用》经典题型及测试题（含答案）命题点分类集训命题点1 特殊角的三角函数值【命题规律】1.考查内容：主要考查 30°，45°，60°角的正弦，余弦，正切值的识记、正余弦的转换及由三角函数值求出角度. 2.考查形式：①三类特殊角的三角函数值识记；②与非负性结合，通过三角函数值求角度；③正弦余弦、正切余切之间的相互转化，判断关系式是否成立；④在实数运算中涉及三类特殊角的三角函数值运算(具体试题见实数的运算部分)．【命题预测】特殊角的三角函数值作为识记内容在实数运算中考查的可能性比较大，而单独考查也会出现．1. sin 60°的值等于( ) A . 12B .22 C . 32D . 3 1. C2. 下列式子错误．．的是( ) A . cos 40°＝sin 50° B . tan 15°·tan 75°＝1 C . sin 225°＋cos 225°＝1 D . sin 60°＝2sin 30°2. D 【解析】逐项分析如下：选项 逐项分析正误 A cos40°＝sin(90°－40°)＝sin50° √ B tan15°·tan75°＝1tan75°×tan75°＝1√ C sin 2A ＋cos 2A ＝1√ D∵sin60°＝32，2sin30°＝2×12＝1，∴sin60°≠2sin30° ×3. 已知α，β均为锐角，且满足|sin α－12|＋（tan β－1）2＝0，则α＋β＝________．3. 75° 【解析】由于绝对值和算术平方根都是非负数，而这两个数的和又为零，于是它们都为零．根据题意，得|sin α－12|＝0，（tan β－1）2＝0，则sin α ＝12，tan β ＝1，又因为α、β均为锐角，则α＝30°，β＝45°，所以α＋β＝30°＋45°＝75°. 命题点2 直角三角形的边角关系【命题规律】1.考查内容：在直角三角形中，三边与两个锐角之间关系的互化.2.考查形式：已知一边及某锐角的三角函数值，求其他量，或结合直角坐标系求锐角三角函数值．【命题预测】直角三角形的边角关系是解直角三角形实际应用问题的基础，值得关注．4. 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4，3)，那么cos α的值是( ) A . 34B . 43C . 35D . 454. D 【解析】如解图，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，∵A (4，3)，∴OB ＝4，AB ＝3，∴OA ＝32＋42＝5，∴cos α＝OB OA ＝45.5. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝45，AC ＝6 cm .则BC 的长度为( )A . 6 cmB . 7 cmC . 8 cmD . 9 cm5. C 【解析】∵sin A ＝BC AB ＝45，∴设BC ＝4a ，则AB ＝5a ，AC ＝（5a ）2－（4a ）2＝3a ，∴3a ＝6，即a ＝2，故BC ＝4a ＝8 cm.6. 已知：如图，在锐角△ABC 中，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，AD ⊥BC 于D. 在Rt △ABD 中，sin ∠B ＝ADc ，则AD ＝c sin ∠B ；在Rt △ACD 中，sin ∠C ＝________，则AD ＝________． 所以c sin ∠B ＝b sin ∠C ，即bsin B ＝csin C ， 进一步即得正弦定理：asin A ＝b sin B ＝c sin C.(此定理适合任意锐角三角形) 参照利用正弦定理解答下题：在△ABC 中，∠B ＝75°，∠C ＝45°，BC ＝2，求AB 的长．6. 解：∵sin C ＝AD AC ＝ADb ，∴AD ＝b sin C ，由正弦定理得：BC sin A ＝ABsin C ，∵∠B ＝75°， ∠C ＝45°， ∴∠A ＝60°， ∴2sin 60°＝ABsin 45°，∴AB ＝2×22÷32＝263.命题点3 锐角三角函数的实际应用【命题规律】1.考查内容：主要考查利用几何建模思想，将实际问题抽象为几何中的直角三角形的有关问题，并根据直角三角形的边角关系解决实际问题.2.考查形式：①仰角、俯角问题；②方位角问题；③坡度、坡角问题；④测量问题等．【命题预测】锐角三角函数的实际应用是将实际问题转化为几何问题并加以解决的数学建模题型，是全国命题的趋势．7. 小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA 的高度与拉绳PB 的长度相等，小明将PB 拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C 为水平线)，测角仪B′D 的高度为1米，则旗杆PA 的高度为( )A .11－sin α B . 11＋sin α C . 11－cos α D . 11＋cos α7. A 【解析】在Rt △PCB ′中，sin α＝PCPB ′，∴PC ＝PB ′·sin α，又∵B ′D ＝AC ＝1，则PB ′·sin α＋1＝P A ，而PB ′＝P A ，∴P A ＝11－sin α.8. 如图①是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图②所示的几何图形，已知BC ＝BD ＝15 cm ，∠CBD ＝40°，则点B 到CD 的距离为________cm (参考数据：sin 20°≈0.342，cos 20°≈0.940，sin 40°≈0.643，cos 40°≈0.766.结果精确到0.1 cm ，可用科学计算器)．8. 14.1 【解析】如解图 ，过点B 作BE ⊥CD 于点E ，∵BC ＝BD ＝15 cm ，∠CBD ＝40°，∴∠CBE ＝20°，在Rt △CBE 中，BE ＝BC ·cos ∠CBE ≈15×0.940＝14.1(cm)．第8题图 第9题图 第10题图9. 如图，一艘渔船位于灯塔P 的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东55°方向上的B 处，此时渔船与灯塔P 的距离约为________海里．(结果取整数．参考数据：sin 55°≈0.8，cos 55°≈0.6，tan 55°≈1.4)9. 11 【解析】∵∠A ＝30°，∴PM ＝12PA ＝9海里．∵∠B ＝55°， sin B ＝PM PB ，∴0.8＝9PB ，∴PB ≈11海里．10. 如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10 m 的A 处测得旗杆顶端B 的仰角为60°，测角仪高AD 为1 m ，则旗杆高BC 为__________m ．(结果保留根号)10. 103＋1 【解析】如解图，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为点E ，则AE ＝CD ＝10 m ，在Rt △AEB 中，BE ＝AE·tan 60°＝10×3＝10 3 m ，∴BC ＝BE ＋EC ＝BE ＋AD ＝(103＋1)m . 11. 如图，大楼AB 右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE ，在小楼的顶端D 处测得障碍物边缘点C 的俯角为30°，测得大楼顶端A 的仰角为45°(点B 、C 、E 在同一水平直线上)，已知AB ＝80 m ，DE ＝10 m ，求障碍物B 、C 两点间的距离．(结果精确到0.1 m ，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)11. 解：如解图，过点D 作DF ⊥AB ，垂足为点F ，则四边形FBED 为矩形，∴FD ＝BE ，BF ＝DE ＝10，FD ∥BE ，由题意得：∠FDC ＝30°，∠ADF ＝45°，∵FD ∥BE ， ∴∠DCE ＝∠FDC ＝30°， 在Rt △DEC 中，∠DEC ＝90°，DE ＝10，∠DCE ＝30°， ∵tan ∠DCE ＝DE CE ，∴CE ＝10tan 30°＝103，在Rt △AFD 中，∠AFD ＝90°，∠ADF ＝∠FAD ＝45°， ∴FD ＝AF ，又∵AB ＝80，BF ＝10，∴FD ＝AF ＝AB －BF ＝80－10＝70，∴BC ＝BE －CE ＝FD －CE ＝70－103≈52.7(m )． 答：障碍物B 、C 两点间的距离约为52.7 m ．12.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC 的坡度为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面AC 的坡度为1∶ 3. (1)求新坡面的坡角α；(2)天桥底部的正前方8米处(PB 的长)的文化墙PM 是否需要拆除？请说明理由．12. 解：(1)∵新坡面AC 的坡度为1∶3，∴tan α＝13＝33， ∴α＝30°.答：新坡面的坡角α的度数为30°.(2)原天桥底部正前方8米处的文化墙PM 不需要拆除． 理由如下：如解图所示，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为点D ， ∵坡面BC 的坡度为1∶1， ∴BD ＝CD ＝6米，∵新坡面AC 的坡度为1∶3， ∴CD ∶AD ＝1∶3， ∴AD ＝63米，∴AB ＝AD －BD ＝(63－6)米＜8米，故正前方的文化墙PM 不需拆除． 答：原天桥底部正前方8米处的文化墙PM 不需要拆除．13.如图，某无人机于空中A 处探测到目标B ，D ，从无人机A 上看目标B ，D 的俯角分别为30°，60°，此时无人机的飞行高度AC 为 60 m ，随后无人机从A 处继续水平飞行30 3 m 到达A′处． (1)求A ，B 之间的距离；(2)求从无人机A′上看目标D 的俯角的正切值．13. 解：(1)如解图，过点D 作DE ⊥AA′于点E ，由题意得，AA ′∥BC ，∴∠B ＝∠FAB ＝30°， 又∵AC ＝60 m ，在Rt △ABC 中，sin B ＝AC AB ，即12＝60AB，∴AB ＝120 m .答：A ，B 之间的距离为120 m ．(2)如解图，连接A′D ，作A′E ⊥BC 交BC 延长线于E ， ∵AA ′∥BC ，∠ACB ＝90°， ∴∠A ′AC ＝90°，∴四边形AA′EC 为矩形， ∴A ′E ＝AC ＝60 m ， 又∵∠ADC ＝∠FAD ＝60°， 在Rt △ADC 中，tan ∠ADC ＝AC CD ，即5＝60CD，∴CD ＝20 3 m ，∴DE ＝DC ＋CE ＝AA′＋DC ＝303＋203＝50 3 m ， ∴tan ∠AA ′D ＝tan ∠A ′DE ＝A′E DE ＝60503＝235，答：从无人机A′上看目标D 的俯角的正切值为235.中考冲刺集训一、选择题1.一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是( )A . 斜坡AB 的坡度是10° B . 斜坡AB 的坡度是tan 10°C . AC ＝1.2tan 10° 米D . AB ＝ 1.2cos 10°米第1题图 第2题图 第3题图2.如图，以O 为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A ，B 两点，P 是AB ︵上一点(不与A ，B 重合)，连接OP ，设∠POB＝α，则点P 的坐标是( )A . (sin α，sin α)B . (cos α，cos α)C . (cos α，sin α)D . (sin α，cos α)3.一座楼梯的示意图如图所示，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与CA 的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA ＝4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要( )A . 4sin θ 米2B . 4cos θ 米2C . (4＋4tan θ) 米2 D . (4＋4tan θ) 米24.如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A ，B ，P ，Q 四点均在正方形网格的格点上，线段AB ，PQ 相交于点M ，则图中∠QMB 的正切值是( )A . 12B . 1C . 3D . 2第4题图 第5题图 第6题图5.如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED ，从办公大楼顶端A 测得旗杆顶端E 的俯角α是45°，旗杆底端D 到大楼前梯坎底边的距离DC 是20米，梯坎坡长BC 是12米，梯坎坡度i ＝1∶3，则大楼AB 的高度约为(精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)( )A . 30.6B . 32.1C . 37.9D . 39.46. 如图，钓鱼竿AC 长6 m ，露在水面上的鱼线BC 长3 2 m ，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC 转到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B ′C ′为3 3 m ，则鱼竿转过的角度是( )A . 60°B . 45°C . 15°D . 90°二、填空题7. 如图，点A(3，t)在第一象限，射线OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α＝32，则t 的值是________．第7题图 第8题图 第9题图8. 如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD ＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为______米．(结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73) 9. 如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为________米．(精确到1米，参考数据：3≈1.73)三、解答题10. 如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆CD的高度，先在教学楼的底端A点处，观测到旗杆顶端C的仰角∠CAD＝60°，然后爬到教学楼上的B处，观测到旗杆底端D的俯角是30°. 已知教学楼AB高4米．(1)求教学楼与旗杆的水平距离AD；(结果保留根号．．．．．．)(2)求旗杆CD的高度．11. 图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为40 cm，与水平面所形成的夹角∠OAM为75°，由光源O射出的边缘光线OC，OB与水平面所形成的夹角∠OCA，∠OBA分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC(不考虑其他因素，结果精确到0.1 cm.温馨提示：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，3≈1.73)．12. 阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：sin (α±β)＝sin αcos β±cos αsin β tan (α±β)＝tan α±tan β1∓tan α tan β利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，例如：tan 75°＝tan (45°＋30°)＝tan 45°＋tan 30°1－tan 45°tan 30°＝1＋331－1×33＝2＋ 3 根据以上阅读材料，请选择适当的公式计算下列问题： (1)计算sin 15°；(2)某校在开展爱国主义教育活动中，来到烈士纪念碑前缅怀和纪念为国捐躯的红军战士．李三同学想用所学知识来测量如图纪念碑的高度，已知李三站在离纪念碑底7米的C 处，在D 点测得纪念碑碑顶的仰角为75°，DC 为 3 米，请你帮助李三求出纪念碑的高度．答案与解析：1. B第2题解图2. C 【解析】如解图，过点P 作PC ⊥OB 于点C ，则在Rt △OPC 中，OC ＝OP ·cos ∠POB ＝1×cos α＝cos α，PC ＝OP ·sin ∠POB ＝1×sin α＝sin α，即点P 的坐标为(cos α，sin α)．3. D 【解析】在Rt △ABC 中，∠BAC ＝θ，CA ＝4米，∴BC ＝CA ·tan θ＝4tan θ.地毯长为(4＋4tan θ)米，宽为1米，其面积为(4＋4tan θ)×1＝(4＋4tan θ)米2.4. D 【解析】如解图，将AB 平移到PE 位置，连接QE, 则PQ ＝210，PE ＝22，QE ＝42，∵△PEQ 中，PE 2＋QE 2＝PQ 2，则∠PEQ ＝90°，∴tan ∠QMB ＝tan ∠P ＝QEPE＝2.第4题解图第5题解图5. D 【解析】如解图，设AB 与DC 的延长线交于点G ，过点E 作EF ⊥AB 于点F ，过点B 作BH ⊥ED 于点H ，则可得四边形GDEF 为矩形．在Rt △BCG 中，∵BC ＝12，i BC ＝BG CG ＝33，∴∠BCG ＝30°，∴BG ＝6，CG ＝63，∴BF ＝FG －BG ＝DE －BG ＝15－6＝9，∵∠AEF ＝α＝45°，∴AF ＝EF ＝DG ＝CG ＋CD ＝63＋20，∴AB ＝BF ＋AF ＝9＋20＋63≈39.4(米)．6. C 【解析】∵sin ∠CAB ＝BC AC ＝326＝22，∴∠CAB ′＝45°，∵sin ∠C ′AB ′＝B ′C ′AC ′＝336＝32，∴∠C ′AB ′＝60°，∴∠CAC ′＝60°－45°＝15°，即鱼竿转过的角度是15°.第7题解图7. 92【解析】如解图，过点A 作AB ⊥x 轴于点B.∵点A(3，t)在第一象限，∴OB ＝3，AB ＝t ，在11 Rt △ABO 中，tan α＝AB OB ＝t 3＝32，解得t ＝92. 8. 2.9 【解析】在Rt △AMD 中，DM ＝tan ∠DAM ×AM ＝tan 45°×4＝4米，在Rt △BMC 中，CM ＝tan ∠MBC ×BM ＝tan 30°×12＝4 3 米，故CD ＝CM －DM ＝43－4≈2.9米．9. 208 【解析】在Rt △ABD 中，BD ＝AD·tan ∠BAD ＝90×tan 30°＝303，在Rt △ACD 中，CD ＝AD·tan ∠CAD ＝90×tan 60°＝903，BC ＝BD ＋CD ＝303＋903＝1203≈208(米)．10. 解：(1)∵在教学楼B 点处观测旗杆底端D 处的俯角是30°，∴∠ADB ＝30°，在Rt △ABD 中，∠BAD ＝90°，∠ADB ＝30°，AB ＝4(米)，∴AD ＝AB tan ∠ADB ＝4tan 30°＝43(米)． 答：教学楼与旗杆的水平距离是4 3 米．(也可先求∠ABD ＝60°，利用tan 60°去计算得到结论)(2)∵在Rt △ACD 中，∠ADC ＝90°，∠CAD ＝60°，AD ＝4 3 米，∴CD ＝AD·tan 60°＝43×3＝12(米)．答：旗杆CD 的高度是12米．11. 解：∵tan ∠OBC ＝tan 30°＝OC BC ＝33， ∴OC ＝33BC ， ∵sin ∠OAC ＝sin 75°＝OC OA≈0.97， ∴33BC 40≈0.97， ∴BC ≈67.1(cm )．12. 解：(1)sin 15°＝sin (45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30° ＝22×32－22×12 ＝6－24. (2)在Rt △BDE 中，∠BDE ＝75°，DE ＝CA ＝7，tan ∠BDE ＝BE DE ，即tan 75°＝BE 7＝2＋3， ∴ BE ＝14＋73，又∵AE ＝DC ＝3，∴AB ＝BE ＋AE ＝14＋73＋3＝14＋83(米)，答：纪念碑的高度是(14＋83)米．。
2023年中考数学解答题专项复习：锐角三角函数(附答案解析)
2023年中考数学解答题专项复习：锐角三角函数1．（2021•兰州）避雷针是用来保护建筑物、高大树木等避免雷击的装置．如图，小陶同学要测量垂直于地面的大楼BC顶部避雷针CD的长度（B，C，D三点共线），在水平地面A点测得∠CAB＝53°，∠DAB＝58°，A点与大楼底部B点的距离AB＝20m，求避雷针CD的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）2．（2021•攀枝花）钓鱼岛及其附属岛屿是中国的固有领土，神圣不可侵犯！自2021年2月1日起，旨在维护国家主权、更好履行海警机构职责的《中华人民共和国海警法》正式实施．中国海警在钓鱼岛海域开展巡航执法活动，是中方依法维护主权的正当举措．如图是钓鱼岛其中一个岛礁，若某测量船在海面上的点D处测得与斜坡AC坡脚点C的距离为140米，测得岛礁顶端A的仰角为30.96°，以及该斜坡AC的坡度i＝，求该岛礁的高（即点A到海平面的铅垂高度）．（结果保留整数）（参考数据：sin30.96°≈0.51，cos30.96°≈0.85，tan30.96°≈0.60）3．（2021•巴中）学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯B的位置如图所示，已知坡长AC＝12m，坡角α为30°，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角β为27°，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端C处，且与地面的夹角为60°，A、B、C、D在同一平面上．（结果精确到0.1m．参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51，≈1.73．）（1）求灯杆AB的高度；（2）求CD的长度．4．（2021•青岛）某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼BC 的高度．如图所示，其中观景平台斜坡DE的长是20米，坡角为37°，斜坡DE底部D 与大楼底端C的距离CD为74米，与地面CD垂直的路灯AE的高度是3米，从楼顶B 测得路灯AE顶端A处的俯角是42.6°．试求大楼BC的高度．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin42.6°≈，cos42.6°≈，tan42.6°≈）5．（2021•朝阳）一数学兴趣小组去测量一棵周围有围栏保护的古树的高，在G处放置一个小平面镜，当一位同学站在F点时，恰好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时测得FG＝3m，这位同学向古树方向前进了9m后到达点D，在D处安置一高度为1m 的测角仪CD，此时测得树顶A的仰角为30°，已知这位同学的眼睛与地面的距离EF＝1.5m，点B，D，G，F在同一水平直线上，且AB，CD，EF均垂直于BF，求这棵古树AB的高．（小平面镜的大小和厚度忽略不计，结果保留根号）6．（2021•盘锦）如图，小华遥控无人机从A处飞行到对面大厦MN的顶端M，无人机飞行方向与水平方向的夹角为37°，小华在A点测得大厦底部N的俯角为31°，两楼之间一棵树EF的顶点E恰好在视线AN上，已知树的高度为6m，且＝，楼AB，MN，树EF均垂直于地面，问：无人机飞行的距离AM约是多少米？（结果保留整数．参考数据：cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）7．（2021•锦州）如图，山坡上有一棵竖直的树AB，坡面上点D处放置高度为1.6m的测倾器CD，测倾器的顶部C与树底部B恰好在同一水平线上（即BC∥MN），此时测得树顶部A的仰角为50°．已知山坡的坡度i＝1：3（即坡面上点B处的铅直高度BN与水平宽度MN的比），求树AB的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）8．（2021•鞍山）小明和小华约定一同去公园游玩，公园有南北两个门，北门A在南门B的正北方向，小明自公园北门A处出发，沿南偏东30°方向前往游乐场D处；小华自南门B处出发，沿正东方向行走150m到达C处，再沿北偏东22.6°方向前往游乐场D处与小明汇合（如图所示），两人所走的路程相同．求公园北门A与南门B之间的距离．（结果取整数．参考数据：sin22.6°≈，cos22.6°≈，tan22.6°≈，≈1.732）9．（2021•徐州）如图，斜坡AB的坡角∠BAC＝13°，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于点A，过其另一端D安装支架DE，DE所在的直线垂直于水平线AC，垂足为点F，E为DF与AB的交点．已知AD＝100cm，前排光伏板的坡角∠DAC＝28°．（1）求AE的长（结果取整数）；（2）冬至日正午，经过点D的太阳光线与AC所成的角∠DGA＝32°，后排光伏板的前端H在AB上．此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则EH的最小值为多少（结果取整数）？参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45．13°28°32°锐角A三角函数sin A0.220.470.53cos A0.970.880.85tan A0.230.530.6210．（2021•抚顺）某景区A、B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A到景点B必须经过C 处才能到达．观测得景点B在景点A的北偏东30°，从景点A出发向正北方向步行600米到达C处，测得景点B在C的北偏东75°方向．（1）求景点B和C处之间的距离；（结果保留根号）（2）当地政府为了便捷游客游览，打算修建一条从景点A到景点B的笔直的跨湖大桥．大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走多少米？（结果保留整数．参考数据：≈1.414，≈1.732）2023年中考数学解答题专项复习：锐角三角函数参考答案与试题解析1．（2021•兰州）避雷针是用来保护建筑物、高大树木等避免雷击的装置．如图，小陶同学要测量垂直于地面的大楼BC顶部避雷针CD的长度（B，C，D三点共线），在水平地面A点测得∠CAB＝53°，∠DAB＝58°，A点与大楼底部B点的距离AB＝20m，求避雷针CD的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【考点】解直角三角形的应用．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】解直角三角形求出BC，BD，根据CD＝BC﹣BD求解即可．【解答】解：在Rt△ABD中，∵tan∠BAD＝，∴1.60＝，∴BD＝32（米），在Rt△CAB中，∵tan∠CAB＝，∴1.33＝，∴BC＝26.6（米），∴CD＝BD﹣BC＝5.4（米）．答：避雷针DC的长度为5.4米．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．2．（2021•攀枝花）钓鱼岛及其附属岛屿是中国的固有领土，神圣不可侵犯！自2021年2月1日起，旨在维护国家主权、更好履行海警机构职责的《中华人民共和国海警法》正式实施．中国海警在钓鱼岛海域开展巡航执法活动，是中方依法维护主权的正当举措．如图是钓鱼岛其中一个岛礁，若某测量船在海面上的点D处测得与斜坡AC坡脚点C的距离为140米，测得岛礁顶端A的仰角为30.96°，以及该斜坡AC的坡度i＝，求该岛礁的高（即点A到海平面的铅垂高度）．（结果保留整数）（参考数据：sin30.96°≈0.51，cos30.96°≈0.85，tan30.96°≈0.60）【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【分析】根据斜坡AC的坡度i＝，可设AB＝5x米，BC＝6x米，继而表示出BD的长度，再由tan30.96°≈0.60，可得关于x的方程，解出即可得出答案．【解答】解：∵斜坡AC的坡度i＝，∴AB：BC＝5：6，故可设AB＝5x米，BC＝6x米，在Rt△ADB中，∠D＝30.96°，BD＝（140+6x）米，∴tan30.96°＝＝0.60，解得：x＝60（米），经检验，x＝60是方程的解，∴5x＝300（米），答：该岛礁的高AB为300米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的定义，表示相关线段的长度．3．（2021•巴中）学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯B的位置如图所示，已知坡长AC＝12m，坡角α为30°，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角β为27°，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端C处，且与地面的夹角为60°，A、B、C、D在同一平面上．（结果精确到0.1m．参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51，≈1.73．）（1）求灯杆AB的高度；（2）求CD的长度．【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【分析】（1）延长BA交CG于点E，根据直角三角形的性质求出AE，根据正切的定义求出CE，再根据正切的定义求出BE，计算即可；（2）根据正切的定义求出DE，进而求出CD．【解答】解：（1）延长BA交CG于点E，则BE⊥CG，在Rt△ACE中，∠ACE＝30°，AC＝12m，∴AE＝AC＝×12＝6（m），CE＝AC•cosα＝12×＝6（m），在Rt△BCE中，∠BCE＝60°，∴BE＝CE•tan∠BCE＝6×＝18（m），∴AB＝BE﹣AE＝18﹣6＝12（m）；（2）在Rt△BDE中，∠BDE＝27°，∴CD＝DE﹣CE＝﹣6≈24.9（m）．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握正切的定义是解题的关键．4．（2021•青岛）某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼BC 的高度．如图所示，其中观景平台斜坡DE的长是20米，坡角为37°，斜坡DE底部D 与大楼底端C的距离CD为74米，与地面CD垂直的路灯AE的高度是3米，从楼顶B 测得路灯AE顶端A处的俯角是42.6°．试求大楼BC的高度．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin42.6°≈，cos42.6°≈，tan42.6°≈）【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识．【分析】延长AE交CD延长线于M，过A作AN⊥BC于N，则四边形AMCN是矩形，得NC＝AM，AN＝MC，由锐角三角函数定义求出EM、DM的长，得出AN的长，然后由锐角三角函数求出BN的长，即可求解．【解答】解：延长AE交CD延长线于M，过A作AN⊥BC于N，如图所示：则四边形AMCN是矩形，∴NC＝AM，AN＝MC，在Rt△EMD中，∠EDM＝37°，∵sin∠EDM＝，cos∠EDM＝，∴EM＝ED×sin37°≈20×＝12（米），DM＝ED×cos37°≈20×＝16（米），∴AN＝MC＝CD+DM＝74+16＝90（米），在Rt△ANB中，∠BAN＝42.6°，∵tan∠BAN＝，∴BN＝AN×tan42.6°≈90×＝81（米），∴BC＝BN+AE+EN＝81+3+12＝96（米），答：大楼BC的高度约为96米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．5．（2021•朝阳）一数学兴趣小组去测量一棵周围有围栏保护的古树的高，在G处放置一个小平面镜，当一位同学站在F点时，恰好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时测得FG＝3m，这位同学向古树方向前进了9m后到达点D，在D处安置一高度为1m 的测角仪CD，此时测得树顶A的仰角为30°，已知这位同学的眼睛与地面的距离EF＝1.5m，点B，D，G，F在同一水平直线上，且AB，CD，EF均垂直于BF，求这棵古树AB的高．（小平面镜的大小和厚度忽略不计，结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识．【分析】过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝BD，BH＝CD＝1m，由锐角三角函数定义求出BD＝CH＝AH，再证△EFG∽△ABG，得＝，求出AH＝（8+4）m，即可求解．【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝BD，BH＝CD＝1m，由题意得：DF＝9m，∴DG＝DF﹣FG＝6（m），在Rt△ACH中，∠ACH＝30°，∵tan∠ACH＝＝tan30°＝，∴BD＝CH＝AH，∵EF⊥FB，AB⊥FB，∴∠EFG＝∠ABG＝90°．由反射角等于入射角得∠EGF＝∠AGB，∴△EFG∽△ABG，∴＝，即＝，解得：AH＝（8+4）m，∴AB＝AH+BH＝（9+4）m，即这棵古树的高AB为（9+4）m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，相似三角形的应用等知识，正确作出辅助线构造直角三角形，证明△EFG∽△ABG是解题的关键．6．（2021•盘锦）如图，小华遥控无人机从A处飞行到对面大厦MN的顶端M，无人机飞行方向与水平方向的夹角为37°，小华在A点测得大厦底部N的俯角为31°，两楼之间一棵树EF的顶点E恰好在视线AN上，已知树的高度为6m，且＝，楼AB，MN，树EF均垂直于地面，问：无人机飞行的距离AM约是多少米？（结果保留整数．参考数据：cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识．【分析】过A作AC⊥MN于C，zm△EFN∽△ABN，得AB＝3EF＝18（m），则CN＝18m，再由锐角三角函数定义求出AC≈30（m），然后在Rt△ACM中，由锐角三角函数定义求出AM的长即可．【解答】解：过A作AC⊥MN于C，如图所示：则CN＝AB，AC＝BN，∵＝，∴＝，由题意得：EF＝6m，AB⊥BN，EF⊥BN，∴AB∥EF，∴△EFN∽△ABN，∴＝＝，∴AB＝3EF＝18（m），∴CN＝18m，在Rt△ACN中，tan∠CAN＝＝tan31°≈0.60＝，∴AC≈CN＝×18＝30（m），在Rt△ACM中，cos∠MAC＝＝cos37°≈0.80＝，∴AM＝AC＝×30≈38（m），即无人机飞行的距离AM约是38m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，相似三角形的应用等知识，正确作出辅助线构造直角三角形，证明△EFN∽△ABN是解题的关键．7．（2021•锦州）如图，山坡上有一棵竖直的树AB，坡面上点D处放置高度为1.6m的测倾器CD，测倾器的顶部C与树底部B恰好在同一水平线上（即BC∥MN），此时测得树顶部A的仰角为50°．已知山坡的坡度i＝1：3（即坡面上点B处的铅直高度BN与水平宽度MN的比），求树AB的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识．【分析】先求出BC＝4.8m，再由锐角三角函数定义即可求解．【解答】解：∵山坡BM的坡度i＝1：3，∴i＝1：3＝tan M，∵BC∥MN，∴∠CBD＝∠M，∴tan∠CBD＝＝tan M＝1：3，∴BC＝3CD＝4.8（m），在Rt△ABC中，tan∠ACB＝＝tan50°≈1.19，∴AB≈1.19BC＝1.19×4.8≈5.7（m），即树AB的高度约为5.7m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数定义和坡度坡角定义，求出BC的长是解题的关键．8．（2021•鞍山）小明和小华约定一同去公园游玩，公园有南北两个门，北门A在南门B的正北方向，小明自公园北门A处出发，沿南偏东30°方向前往游乐场D处；小华自南门B处出发，沿正东方向行走150m到达C处，再沿北偏东22.6°方向前往游乐场D处与小明汇合（如图所示），两人所走的路程相同．求公园北门A与南门B之间的距离．（结果取整数．参考数据：sin22.6°≈，cos22.6°≈，tan22.6°≈，≈1.732）【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【分析】作DE⊥AB于E，CF⊥DE于F，易得四边形BCFE是矩形，则BE＝CF，EF＝BC＝150 m，设DF＝xm，则DE＝（x+150）m，在Rt△ADE中利用含30度的直角三角形三边的关系得到AD＝2DE＝2（x+150）m，在Rt△DCF中，CD＝≈xm，根据题意得到2（x+150）＝+150，求得x的值，然后根据勾股定理求得AE 和BE，进而求得AB．【解答】解：作DE⊥AB于E，CF⊥DE于F，∵BC⊥AB，∴四边形BCFE是矩形，∴BE＝CF，EF＝BC＝150 m，设DF＝xm，则DE＝（x+150）m，在Rt△ADE中，∠BAD＝30°，∴AD＝2DE＝2（x+150）m，在Rt△DCF中，∠FCD＝22.6°，∴CD＝≈＝xm，∵AD＝CD+BC，∴2（x+150）＝+150，解得x＝250（m），∴DF＝250 m，∴DE＝250+150＝400 m，∴AD＝2DE＝800 m，∴CD＝800﹣150＝650 m，由勾股定理得AE＝＝＝400m，BE＝CF＝＝＝600 m，∴AB＝AE+BE＝400+600≈1293（m），答：公园北门A与南门B之间的距离约为1293 m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确构建直角三角形是解题的关键．9．（2021•徐州）如图，斜坡AB的坡角∠BAC＝13°，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于点A，过其另一端D安装支架DE，DE所在的直线垂直于水平线AC，垂足为点F，E为DF与AB的交点．已知AD＝100cm，前排光伏板的坡角∠DAC＝28°．（1）求AE的长（结果取整数）；（2）冬至日正午，经过点D的太阳光线与AC所成的角∠DGA＝32°，后排光伏板的前端H在AB上．此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则EH的最小值为多少（结果取整数）？参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45．13°28°32°锐角A三角函数sin A0.220.470.53cos A0.970.880.85tan A0.230.530.62【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识．【分析】（1）在Rt△ADF中，由锐角三角函数定义求出AF的长，再在Rt△AEF中，由锐角三角函数定义求出AE的长即可；（2）设DG交AB于M，过点A作AN⊥DG于N，由锐角三角函数定义求出DF、FG的长，得出AG的长，再由锐角三角函数定义求出AN的长，然后证△AMN为等腰直角三角形，得AM＝AN≈123.1（cm），由EM＝AM﹣AE，即可得出答案．【解答】解：（1）在Rt△ADF中，cos∠DAF＝，∴AF＝AD•cos∠DAF＝100×cos28°＝100×0.88＝88（cm），在Rt△AEF中，cos∠EAF＝，∴AE＝＝＝≈91（cm）；（2）设DG交AB于M，过点A作AN⊥DG于N，如图所示：∴∠AMN＝∠MAG+∠DGA＝13°+32°＝45°，在Rt△ADF中，DF＝AD•sin∠DAC＝100×sin28°＝100×0.47＝47（cm），在Rt△DFG中，tan∠DGA＝，∴tan32°＝，∴FG＝＝≈75.8（cm），∴AG＝AF+FG＝88+75.8＝163.8（cm），在Rt△AGN中，AN＝AG•sin∠DGA＝163.8×sin32°＝163.8×0.53≈86.8（cm），∵∠AMN＝45°，∴△AMN为等腰直角三角形，∴AM＝AN≈1.41×86.8≈122.4（cm），∴EM＝AM﹣AE≈122.4﹣91≈31.4（cm），当M、H重合时，EH的值最小，∴EH的最小值约为32cm．【点评】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握锐角三角函数定义，求出AE、AM的长是解题的关键．10．（2021•抚顺）某景区A、B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A到景点B必须经过C 处才能到达．观测得景点B在景点A的北偏东30°，从景点A出发向正北方向步行600米到达C处，测得景点B在C的北偏东75°方向．（1）求景点B和C处之间的距离；（结果保留根号）（2）当地政府为了便捷游客游览，打算修建一条从景点A到景点B的笔直的跨湖大桥．大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走多少米？（结果保留整数．参考数据：≈1.414，≈1.732）【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；模型思想．【分析】（1）通过作辅助线，构造直角三角形，在Rt△ACD中，可求出CD、AD，根据外角的性质可求出∠B的度数，在Rt△BCD中求出BC即可；（2）计算AC+BC和AB的长，计算可得答案．【解答】解：（1）过点C作CD⊥AB于点D，由题意得，∠A＝30°，∠BCE＝75°，AC＝600m，在Rt△ACD中，∠A＝30°，AC＝600，∴CD＝AC＝300（m），AD＝AC＝300（m），∵∠BCE＝75°＝∠A+∠B，∴∠B＝75°﹣∠A＝45°，∴CD＝BD＝300（m），BC＝CD＝300（m），答：景点B和C处之间的距离为300m；（2）由题意得．AC+BC＝（600+300）m，AB＝AD+BD＝（300+300）m，AC+BC﹣AB＝（600+300）﹣（300+300）≈204.6≈205（m），答：大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走约205m．【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．。
2023年山东省中考数学模拟题知识点分类汇编：锐角三角函数(附答案解析)
2023年山东省中考数学模拟题知识点分类汇编：锐角三角函数一．选择题（共16小题）
1．（2022•沂源县二模）如图，某车型车门设计属于剪刀门设计，即车门关闭时位置如图中四边形ABCD，车门打开是绕点A逆时针旋转至CD与AD垂直，已知四边形ABCD与
四边形AB'C'D'在同一平面，若AD∥BC，∠D＝45°，∠DAB'＝30°，CD＝60cm
，
，则AB的长约为（
）
A．60cm B．51cm C．42cm D．21cm
2．（2022•平原县模拟）一艘货轮B在灯塔A的南偏西60°方向，距离A
点海里，货
轮B沿北偏东15°航行一段距离后到达C地，此时AC 距离海里，判断C在A的
北偏西多少度（
）
A．60°B．30°C．15°D．45°3．（2022•历城区校级模拟）3月中旬某中学校园内的樱花树正值盛花期，供全校师生驻足观赏．如图，有一棵樱花树AB垂直于水平平台BC，通往平台有一斜坡CD，D、E在同一水平地面上，A、B、C、D、E均在同一平面内，已知BC＝3米，CD＝5米，DE＝1米，斜坡CD 的坡度是，李同学在水平地面E处测得树冠顶端A的仰角为62°，则樱花树的高度AB约为（）
（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan62°≈1.88）
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2023年中考数学----锐角三角函数综合知识回顾与专项练习题(含答案解析)
2023年中考数学----锐角三角函数综合知识回顾与专项练习题（含答案解析）知识回顾1. 锐角三角函数的定义： 在Rt △ABC 中，∠C=90°．①正弦：我们把锐角A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A 的正弦，记作sin A ． 即sin A ＝∠A 的对边除以斜边＝c a 。
②余弦：锐角A 的邻边b 与斜边c 的比叫做∠A 的余弦，记作cos A ． 即cos A ＝∠A 的邻边除以斜边＝cb 。
③正切：锐角A 的对边a 与邻边b 的比叫做∠A 的正切，记作tan A ． 即tan A ＝∠A 的对边除以∠A 的邻边＝ba 。
2. 特殊角的锐角三角函数值计算3. 直角三角形的性质①直角三角形的两锐角互余。
②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
③含30°的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
④直角三角形的两直角边的成绩等于斜边乘以斜边上的高线。
⑤直角三角形的勾股定理。
4. 解直角三角形：特殊角利用直角三角形角的关系，边的关系以及边角关系求解直角三角形。
5. 解直角三角形的坡度文问题： 坡角：坡面与水平面的夹角α。
坡度（坡比）：坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比。
一般用i 表示，常写成i=1：m 的形式。
等于坡角的正切值。
在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题。
应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等。
6. 解直角三角形的仰角俯角问题： 仰角：向上看的视线与水平线的夹角。
俯角：向下看的视线与水平线的夹角。
解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决。
2023年高考数学真题分训练 三角函数的综合应用(含答案含解析)
专题 13 三角函数的综合应用十年大数据x 全景展示年 份2023 卷 1卷 1 题 号考 点考 查 内 容理 16 文 16 主要考查逆用两角和与差公式、诱导公式、及简单三角函 数的最值问题三角函数最值与值域三角函数的实际应用 理 6 主要考查利用三角函数的应用及三角公式 主要考查三角公式及三角函数最值理 14 文 14 理 16 文 12卷 2三角函数最值与值域2023卷 2 卷 1三角函数的实际应用 主要考查圆的相关知识、正弦定理等根底知识三角函数图象与性质 主要考查三角函数的零点、对称性、单调性及最值，考查理 12的综合应用 运算求解能力．2023三角函数图象与性质 主要考查三角函数图像的平移变换与三角函数得到对称 的综合应用轴．卷 2 卷 2 卷 2理 7 文 11 理 14 文 13 文 6三角函数最值与值域 主要考查诱导公式、二倍角余弦公式、换元法求最值 主要考查同角三角函数根本关系、三角函数图像与性质、 三角函数最值与值域换元法求最值．2023 卷 2卷 3三角函数最值与值域 主要考查辅助角公式及三角函数的最值． 主要考查诱导公式与三角函数的最值，考查转化与化归思 三角函数最值与值域想．主要考查三角函数的二倍角公式、三角函数的图像与性质、 三角函数最值与值域利用导数研究函数的单调性、极值与最值．卷 12023理 16 文 8三角函数图象与性质 主要考查降幂公式、三角函数的周期与最大值，考查转化卷 1的综合应用与化归思想与运算求解能力三角函数图象与性质 的综合应用2023 卷 1 理 11主要考查三角函数的奇偶性、单调性、零点、最值等问题．大数据分析x 预测高考考 点出现频率2023 年预测三角函数最值与值域7/13 2023 年仍将重点考查三角函数图像与性质的 综合应用及 三角函数图象与性质的综合应用4/13三角函数的最值与值域问题，题型仍为选择题或填空题，三角函数的实际应用 2/13 难度为中档题或压轴题．十年真题分类x 探求规律考点 42 三角函数最值与值域π f (x ) cos 2x 6 cos( x ) 1．(2023 全国新课标卷 2，文 11) 函数 的最大值为( ) 2(A)4 (B)5(C)6(D)7（答案）B 3 112 （解析）因为f (x ) 1 2sin 2 x 6sin x 2(sin x ) 2 ，而sin x 1,1]，所以当sin x 1时， f (x ) 取2得最大值 5，选 B ．12．(2023 新课标卷 3，文 6)函数 f (x )= sin(x + )+cos(x − )的最大值为5 3 6653 51 5A ．B ．1C ．D ．（答案）A 6 2 33 （解析）因为cos x cos x sin x， 所 以1 533 636f xsin x sin x sin x ，函数的最大值为 ，应选 A ．5 5 x6 33．(2023 山东) 函数 y 2sin (0 x9) 的最大值与最小值 之和为A ．2 3 D ． 1 3B ．0C ．－1（答案）A7 30 x 9,x , sin( x ) 1, （解析） 3 6 3 6 2 6 3y 2, y 3. 应选 8．max min 4．(2023•新课标Ⅰ，理 16)已知函数 f (x ) 2sin x sin 2x ，则 f (x ) 的最小值是 ．3 3（答案）2（解析）由题意可得T 2 是 f (x ) 2sin x sin 2x 的一个周期，故只需考虑 f (x ) 2sin x sin 2x 在0 ，2 ) 上 的 值 域 ， 先 来 求 该 函 数 在 0 ， 2 ) 上 的 极 值 点 ， 求 导 数 可 得 1 f (x ) 2 c os x 2cos 2x 2cos x 2(2cos 2 x 1) 2(2cos x 1)(cos x 1) ， 令 f (x ) 0 可 解 得 cos x 或 25， x , f (x ), f (x )在在0 ，2 ) 上的变化情况如下表所示：cos x 1，可得此时 x ， 或33x25 5 35(0, ) ( , ) ( , ) ( ,2 ) 33333f (x ) f (x )+ 0—0 —↘+↗极大值 ↘ 极 小 值 ↗ 03 23 3 23 3y 2sin x sin 2x 的最小值为． 2f x =2cos x sin x 5．(2023 新课标卷 2，文 13)．函数 （答案） 5的最大值为．（解析）因为 f (x ) 5 sin(x )，其中 tan 2 ，所以 f (x ) 的最大值 为 5 ． 3 26．(2023 新课标卷 2，理 14)．函数 f x sin 2 x 3 cos x ( x 0, )的最大值是．4 （答案）13 14 2cos 2 x 3 cos x（解析） f x 1 cos x3 cos x 423 1， x 0, 3cos x ，那么cos x 0,1 ，当cos x 时，函数取得最大值 1． 的最大值为_________．2 2 27．(2023 新课标Ⅱ，理 14)函数 f xsin x 2（答案）12sin cos x（解析）∵ f (x ) sin(x 2 ) 2sin cos(x ) sin (x )] 2sin cos(x )sin cos(x ) cos sin(x ) 2 s in cos(x ) cos sin(x ) sin cos(x ) =sin x ∴ f (x ) 的最大值为 18．(2023新课标Ⅰ，理15)设当x =θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cosθ=______ 2 5 （答案）55 2 5 5 5 2 5 5（解析）∵ f (x ) =sin x 2 c os x = 5(sin x cos x ) ，令cos = ，sin ，则 5 5f (x ) = 5(sin x cos sin cos x ) = 5 sin(x ) ，当 x = 2k ,k z ，即 x = 2k ,k z2 22 55时， f (x ) 取最大值，此时 = 2k ,k z ，∴cos = cos(2k ) =sin =． 2 23 sin 3x cos 3x ，假设对任意实数 x 都有 f x ≤a ，则实数 a 的取值范围 9．(2023 江西)设 f x 是 ．（答案）a 2f (x ) 3 sin 3x cos 3x 2sin(3x ) | f (x ) | 2 a 2．（解析）得 故 f (x ) sin x , x R f (x ) 10．(2023 浙江 18)设函数 (1)已知0, 2 ),．是偶函数，求 的值；函数(2)求函数 y f (x) f (x )]2 的值域． 2 12 4（解析）(1)因为 f (x ) sin(x ) 是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin(x ) sin( x ) ， 即sin x cos cos x sin sin x cos cos x sin ， 故2sin x cos 0 ， 所以cos 0 ．π 3π 2又 0, 2π)，因此 或． 2 22π π π π 4 y f x f x sin 1 2 x sin 12 2 x (2)12 4π π1 cos 2x 1 cos 2x6 2 1 3 3 3 π 3 cos 2x sin 2x 1 cos 2x ． 2 2 2 2 2 23 ,13]．因此，函数的值域是12 2 考点 43 三角函数图象与性质的综合应用1．(2023•新课标Ⅰ，理 11)关于函数 f (x ) sin | x | | sin x | 有下述四个结论： ① f (x ) 是偶函数② f (x ) 在区间( ， ) 单调递增2 ③ f (x ) 在 ， 有 4 个零点 ④ f (x ) 的最大值为 2 其中全部正确结论的编号是( )A ．①②④ （答案）C（解析）∵ f ( x ) sin | x | | sin( x ) | sin | x | | sin x | f (x ) ，∴函数 f (x ) 是偶函数，故①正确；B ．②④C ．①④D ．①③当 x ( ， ) 时，sin | x | sin x ，| sin x | sin x ，则 f (x ) sin x sin x 2sin x 为减函数，故②错误；2 当 0 x 时， f (x ) sin | x | | sin x | sin x sin x 2sin x ，由 f (x ) 0 得 2sin x 0 得 x 0 或 x ，由 f (x ) 是偶函数，得在 ，) 上还有一个零点 x ，即函数 f (x ) 在 ， 有3 个零点，故③错误， 当sin | x | 1，| sin x | 1 时， f (x ) 取得最大值 2，故④正确，故正确是①④，应选C ． 2．(2023•新课标Ⅰ，文 8)已知函数 f (x ) 2 c os A ． f (x ) 的最小正周期为 ，最大值为 3 B ． f (x ) 的最小正周期为 ，最大值为4 C ． f (x ) 的最小正周期为2 ，最大值为 3 D ． f (x ) 的最小正周期为2 ，最大值为 4 （答案）B2x sin 2x 2 ，则()（解析）函数 f (x ) 2 c oscos 2x 1 2x sin 2 x 2 2 c os 2 x sin 2 x 2sin 2 x 2 c os 2 x 4 c os 2 x sin 2 x3cos 2x 5 3 53cos 2 x 1 3 1 ，故函数的最小正周期为 ，函数的最大值为 4，应选 B ．2 2 2 2 23．(2023 新课标卷 1，理 12)12．已知函数 f (x ) sin( x+ )( 0， ), x 为 f (x ) 的零点，x 2 4 45 18 36为 y f (x ) 图像的对称轴，且 f (x ) 在 ， 单调，则 的最大值为( )(A)11(B)9 (C)7(D)5（答案）B ．11 9 ，所以 ， （解析）当 11时，由k ，k Z ，∴ k ,k Z ，因为| | 4 2 4 4 45 13 23 13 23 ， 不36 18 所以 f (x ) =sin(11x ) ，当 x 时，11x ( ， ) ，因为 y sin x 在〔 418 36 4 36 18 97单调，故 A 错；当 9 时，由k ，k Z ，∴ k ,k Z ，因为| | ，所以 4 24 45 3 3 3 3，所以 f (x ) =sin(9x )，当 x时，9x ( ， ) ，因为 y sin x 在〔 ， 〕 4 4 1836 4 4 2 4 2单调，应选 B ．4．(2023•新课标Ⅱ，理 7)假设将函数 y 2sin 2x 的图象向左平移 个单位长度，则平移后的图象的对称轴为12 ()kkA ． x(k Z ) B ． x(k Z ) 2 62 6kkC ． x (k Z )D ． x(k Z ) 2 122 12（答案）B（解析）将函数 y 2sin 2x 的图象向左平移个单位长度，得到 y 2sin 2(x ) 2sin(2x ) ，由 12 12 6k k2x k (k Z ) 得：x (k Z ) ，即平移后的图象的对称轴方程为 x (k Z ) ，应选 B ．6 2 2 6 2 6 5．( 2023 山东)函数 f (x ) ( 3 sin x cos x )( 3 cos x sin x ) 的最小正周期是3 A ．B ．πC ．D ．2π22（答案）B（ 解 析 ） 由 题 意 得 f (x ) 2 s in(x ) 2 cos(x ) 2sin(2x ) ， 故 该 函 数 的 最 小 正 周 期6 632 T．应选 B ． 26．(2023 安徽)假设将函数 f (x ) sin 2x cos 2x 的图象向右平移 个单位，所得图象关于 y 轴对称，则 的最小正值是 3 3 A ．B ．C ．D ．8484（答案）C（解析） f (x ) 2 sin(2x ) ，将函数 f (x ) 的图象向右平移 个单位得4f (x ) 2 sin(2x 2 ) ，由该函数为偶函数可知2 k ,k Z ，4 4 2k 3 3即，所以 的最小正值是为． 2 8 87．(2023 福建)将函数 y sin x 的图象向左平移 个单位，得到函数 yf x的函数图象，则以下说法正 2确的是 A ． yf x 是奇函数B ． y f x 的周期是的图象关于直线x 对称 D ． y f x 的图象关于点 ,0C ． y f x 2 2 （答案）D（解析）函数 y sin x 的图象向左平移个单位，得到函数 f (x ) sin(x ) cos x 的图象，22f (x ) cos x 为偶函数，排解 A ； f (x ) cos x 的周期为2 ，排解 B ；因为 f ( ) cos 0 ，所以2 2f (x ) cos x 不关于直线 x 对称，排解 C ；应选 D ．28．(2023 辽宁)将函数 y 3sin(2x )的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数3 277A ．在区间, 上单调递减 B ．在区间, 上单调递增 12 12 12 12 C ．在区间 , ]上单调递减 D ．在区间 , ]上单调递增6 36 3（答案）B（解析） 将 y 3sin(2x ) 的图象向有右移个单位长度后得到 y 3sin2(x ) ，即32 2 32 2y 3sin(2x ) 的 图 象 ， 令 2k ≤2x≤ 2k ， k Z ， 化 简 可 得 3 2 3 2 7x k , 12k ]，k Z ， 2 12 7即 函 数 y 3sin(2x) 的 单 调 递 增 区 间 为 k ,k ， k Z ， 令 k 0 ． 可 得 3 12 122 7y 3sin(2x ) 在区间 , 上单调递增，应选 B ．3 12 12y sin 2x 的图像沿x 轴向左平移 个单位后，得到一个偶函数的图像，则 的 9．(2023 山东)将函数 8一个可能取值为3 A ．B ．C ．0D ．444（答案）B（解析）将函数 y=sin(2 x + )的图像沿 x 轴向左平移 个单位，得到函数，因为此时函数为偶函数，所以 ，即，所以选 B ．10．(2023 北京)在平面直角坐标系中，记d 为点 P (cos , s in ) 到直线 x my 2 0的距离，当 ，m 变化时，d 的最大值为 A ．1B ．2C ．3D ．4（答案）C| cos m sin 2 | | m sin cos 2 |（解析）由题意可得dm 212 m 1m 1 | m 21( sin cos ) 2 | 2 1 m 2 1 | m 2 1sin( ) 2 | 1 mm 2 1 m2 m1(其中cos，sin)，∵ 1≤sin( )≤1，m 21m 21| 2 m 2 1 | 2 m 2 1 2 m 2 12∴ ≤d ≤， 1 ，m 2 1 m 2 1 m 2 12m 1∴当m 0时，d 取得最大值 3，应选 C ．f (x ) sin 2x b sin x c ，则 f (x ) 的最小正周期11．(2023 年浙江)设函数 A ．与 b 有关，且与 c 有关 C ．与 b 无关，且与 c 无关 B ．与 b 有关，但与 c 无关 D ．与 b 无关，但与 c 有关（答案）B 1 cos 2xf (x ) sin 2 x b sin x cb sin xc ． （解析）由于2当b 0 时， f (x ) 的最小正周期为 ； 当b 0 时， f (x ) 的最小正周期2 ；c 的变化会引起 f (x )的图象的上下平移，不会影响其最小正周期．应选 B ．2x sin x cos x 1 的最小正周期是________，单调递减区间是_______．12．(2023 浙江)函数 f (x ) sin 7 3（答案） 、k , k k Z() 8 8 23 3 7（解析）f (x )sin(2x ) ，故最小正周期为 ，单调递减区间为 k , k ] k Z ( )．2 4 28 8 3 y sin 2x cos 2x 的最小正周期为 ．13．(2023 山东)函数 2（答案） 3 3 1 1 1 ysin 2x cos 2x = y sin 2x cos 2x sin(2x ) ，所以其最小正周期为 （解析）2 2 2 2 6 22． 24f x sin 2x y 14．(2023 安徽)假设将函数 的图象向右平移 个单位，所得图象关于 轴对称，则 的最小正值是________． 3 （答案）8（ 解 析 ） f (x ) sin2(x ) sin(2x 2 ) ， ∴2 k (k Z ) ， ∴ 444 2k3(k Z ) ，当k 1时 min ． 8 2 82 cos 2x sin 2x A sin( x b (A > 0) ，则 A =__，b =__．15．(2023 年浙江)已知 （答案） 2 1（解析）2cos2x sin 2x 2 sin(2x ) 1，所以 A 2,b 1.4，向量a sin 2 ，cos ，b cos ，1，假设a ∥b 16．(2023 陕西)设0，2则tan _______． 1（答案）2（解析）∵a ∥b ，∴sin 2 cos 2，∴2 s in cos cos2，∵ (0, ) ，21 ∴tan ．217．(2023 江苏)已知向量a (cos x , s in x ) ，b (3, 3) ， x 0, ]．(1)假设a ∥b ，求 x 的值；(2)记 f (x ) a b ，求 f (x ) 的最大值和最小值以及对应的 x 的值． （解析）(1)因为a (cos x , s in x ) ，b (3, 3) ，a ∥b ， 所以 3 cos x 3sin x ．假设cos x 0，则sin x 0，与sin 2 x cos x 1矛盾，故cos x 0． 2 3于是 tan x． 35 又 x 0, ]，所以 x． 6π f (x ) a b (cos x , s in x ) (3, 3) 3cos x 3 sin x 2 3 cos(x ) (2) ． 6π π 7π x 0, ]，所以 x ,， 6 6因为 6π 6 3 从而 1 cos(x )． 2π πx x 0时， f (x )取到最大值 3；于是，当 ，即 6 6π5πx xf (x ) 当 ，即 时， 取到最小值 2 3 ．6618．(2023 山东)设函数 f (x ) sin( x ) sin( x )，其中0 3．6 2已知 f ( ) 0 ． 6(Ⅰ)求 ；(Ⅱ)将函数 y f (x ) 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移 个 43单位，得到函数 y g (x ) 的图象，求 g (x ) 在 ,]上的最小值． 4 4 （解析）(Ⅰ)因为 f (x ) sin( x ) sin( x )，623 1所以 f (x )sin x cos x cos x 2 23 3sin x cos x 2 213 3( sin x cos x )2 2 3(sin x )3由题设知 f ( ) 0 ，6k ，k Z ． 所以6 3故 6k 2，k Z ，又03， 所以 2．(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f (x ) 3 sin(2x) 3所以 g (x ) 3 sin(x ) 3 sin(x)． 124 33因为 x , ]， 4 42 所以 x, ， 12 3 3当 x ， 12 3 即 x 时， g (x ) 取得最小值 ． 3 4 219．(2023 年天津)已知函数 f (x ) 4 tan x cos x cos(x ) 3 ．3(Ⅰ)求 f (x )的定义域与最小正周期； (Ⅱ)商量 f (x )在区间 , ]上的单调性． 4 4（解析）(Ⅰ) f (x )的定义域为（x | xk ,k Z ）． 2f (x ) 4 tan x cos x cos(x ) 334 s in x cos(x ) 33 13 4 s in x ( cos x sin x ) 32 2 2 s in x cos x 23 sin 2 x 3 sin 2x 3(1 cos 2x ) 3sin 2x 3 cos2x 2sin(2x )32 所以 f (x )的最小正周期T． 225令 z 2x , 函数 y 2 s in z 的单调递增区间是 2k , 2k ,k Z . 32由 2k 2x 2k ，得k x k ,k Z . 2 3 2 12124 4 5设 A ,,B x k x k ,k Z ， 12 1212 4易知 A B, ．所以， 当 x ,时， f (x )在区间 4 12, 上单调递增， 在区间 ， 上单调递减． 4 4 12 4x xx 20．(2023 北京)已知函数 f (x ) 2 sin cos 2 sin2． 2 22(Ⅰ) 求 f (x ) 的最小正周期；(Ⅱ) 求 f (x ) 在区间 π，0上的最小值． 2 2 2（解析）(Ⅰ)因为 f (x )sin x (1 cos x ) sin(x ) 2 2 4 2 所以 f (x ) 的最小正周期为2 ． 3x (Ⅱ)因为 x 0，所以 ． 4 4 43当 x，即 x 时， f (x ) 取得最小值． 4 2 432 所以 f (x ) 在区间 ,0 上的最小值为 f ( ) 1． 42π21．(2023 湖北)某同学用“五点法〞画函数 f (x ) A sin( x ) ( 0, | | ) 在某一个周期内的图象时，列2表并填入了局部数据，如下表：π 2 3π 2 x 0π2ππ 35π 6 xA sin( x )50 5 (Ⅰ)请将上表数据补充完整，并直接写出函数 f (x ) 的解析式；(Ⅱ)将 y f (x ) 图象上全部点向左平行移动 ( 0) 个单位长度，得到 y g (x ) 的图象．假设 y g (x ) 图象 5π的一个对称中心为( , 0) ，求 的最小值．12π（解析）(Ⅰ)依据表中已知数据，解得 A 5, 2, ． 数据补全如下表：6π 2 3π 2 x 0 π2π 13 π π 3 7π 12 5π 6 xπ 12 12 A sin( x )55π且函数表达式为 f (x ) 5sin(2x ) ．6π π(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f (x ) 5sin(2x ) ，得 g (x ) 5sin(2x 2 ) ．6 6 因为 y sin x 的对称中心为(k π, 0) ，k Z ． π k π π令2x 2 k π ，解得 x ，k Z ．6 2 12 5π 由于函数 y g (x ) 的图象关于点( , 0) 成中心对称，令12k π π 5π12 ， 2 12 k π π π解得，k Z ． 由 0可知，当 k 1时， 取得最小值 ． 2 3 622．(2023 福建)已知函数 f (x ) 2 c os x (sin x cos x )． 5(Ⅰ)求 f ()的值； 4(Ⅱ)求函数 f (x ) 的最小正周期及单调递增区间． 55 5 5 （解析）解法一：(Ⅰ) f () 2 cos (sin cos ) 44 4 42 cos ( sin cos ) 24 4 42x sin 2x cos 2x 1 2 sin(2x ) 1．(Ⅱ)因为 所以Tf (x ) 2 s in x cos x 2 cos 42． 2 由2k 2x 2k ,k Z ， 2423得kx k ,k Z ， 8 83 所以 f (x ) 的单调递增区间为k,k ],k Z ．8 8f (x ) 2 s in x cos x 2 cos x sin 2x cos 2x 12 解法二：因为2 sin(2x ) 145 (Ⅰ) f ( ) 2 sin111 2 sin 1 2． 4 4 42(Ⅱ)T． 2 由2k 2x 2k ,k Z ，2423得kx k ,k Z ， 8 83所以 f (x ) 的单调递增区间为k,k ],k Z ． 8 8123．(2023 福建)已知函数 f (x ) cos x (sin x cos x ) ．22 (Ⅰ)假设0 ，且sin，求 f ( ) 的值； 22 (Ⅱ)求函数 f (x ) 的最小正周期及单调递增区间． 2 2（解析）解法一：(Ⅰ)因为0, sin , 所以cos． 2 2 22 2 2 1 1所以 f ( )( ) ． 2 2 2 2 21 11 cos 2x 1f (x ) sin x cos x cos 2 x sin 2x(Ⅱ)因为 2 22 21 12 sin 2x cos 2x sin(2x ) ，2 2 2 4 2 3所以T．由 2k 2x 2k ,k Z , 得k x k ,k Z ．2 2 4 2 8 83 所以 f (x ) 的单调递增区间为k,k ],k Z ．8 81 1 1 cos 2x 1f (x ) sin x cos x cos 2 x sin 2x解法二： 2 22 21 12 sin 2x cos 2x sin(2x ) 2 2 2 42(Ⅰ)因为0 , sin, 所以 2 2 42 23 12从而 f ( ) 2 sin(2 ) sin 2 4 2 4 (Ⅱ)T2 3x k ,k Z ． 由2k 2x 2k ,k Z , 得k 2428 83所以 f (x ) 的单调递增区间为k,k ],k Z ． 8 8624．(2023 北京)函数 f x 3sin2x 的局部图象如下图． (Ⅰ)写出 f x 的最小正周期及图中 x 、 y 的值； 0 0 2 12,(Ⅱ)求 f x 在区间 上的最大值和最小值．7， y 0 3． （解析）：(I) f x 的最小正周期为 ， x 0 65(II)因为 x , ，所以2x 12 ,0，于是 2 6 6当2x 0，即 x 时， f x 取得最大值 0； 6 12当2x，即 x 时， f x 取得最小值 3．6 2 33 3 cos 2 x 25．(2023 天津)已知函数 f x cos x sinx ， x R ．34(Ⅰ)求 f x 的最小正周期； 4 4 (Ⅱ)求 f x 在闭区间 , 上的最大值和最小值．13 3 1 = sin2x 3（解析）(Ⅰ)由已知， f (x ) = sin cos x xcos 2 x cos 2x 22 4 4 41= sin(2x ) ，2 32所以 f (x ) 的最小正周期T ． 2(Ⅱ)∵ x， 4 45 t 2x ∴， 6 3 61 2由 y sin t 的图像知，-1 sin(2x ) 31 1 ∴ f (x ) ，2 4∴函数 f (x ) 在闭区间 , 1 -1 2 上的最大值为 ，最小值为 4 ． 4 42 f x3 sin x 0，x的图像关于直线26．(2023 重庆)已知函数 对称，且图 23象上相邻两个最gao 点的距离为 ．(I)求 和 的值；324 62 3 32 fcos 的值． ，求 (II)假设 （解析）：(I)因 f x 的图象上相邻两个最gao 点的距离为 ，所以 f x 的最小正周期 T ，从而22 ．又因 f x 的图象关于直线x 对称， T 3所以2 k ,k 0, 1, 2, ,因得k 0．32222 所以 ． 23 6236 1 (II)由(I)得 f 3 sin 2，所以sin ． 2 6 4 42 由得0 , 6 3 6 26 61 215 4 所以 cos 1 sin 2 1 4.3 2 6 6因此cossin sin 66sin cos cos sin6 6 13 15 13 15 =． 4 2 4 2 83f (x )3 sin 2 x sin x cos x ( 0) y f (x ) ，且 的图象的一个对称 27．(2023 山东)设函数 2中心到最近的对称轴的距离为 ． 4(Ⅰ)求 的值；3 f (x ) 在区间 ,]上的最大值和最小值．(Ⅱ)求 2 3（解析）(1) f (x ) ＝3 sin 2ωx －sin ωx cos ωx 23 1 cos 2 x 1 sin 2 x ＝ 3 1 π 3＝3 cos 2ωx － sin 2ωx ＝ sin 2 x ． 2 2 2 2 2 π因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 ，42π 2 π又ω＞0，所以=4 ．因此ω＝1． 4π 3(2)由(1)知 f (x ) ＝ sin 2x ．3π 2 5π 3 π 8π 3 π 3．所以 sin 2x 1 当π ≤x ≤时， ≤ 2x， 3 3 2 3 因此－1≤ f (x ) ≤． 23π故 f (x ) 在区间 π,3 上的最大值和最小值分别为 ，－1． 224 28． (2023 天津)已知函数 f (x ) 2 sin 2x 6sin x cos x 2 cos 2 x 1, x R ．(Ⅰ) 求 f (x )的最小正周期；(Ⅱ) 求 f (x )在区间 0, 上的最大值和最小值．2π π （解析）(1) f (x ) ＝ 2 sin 2x · cos 2cos 2x sin ＋3sin 2x －cos 2x 4 4π 4＝2sin 2x －2cos 2x ＝2 2sin 2x ．2π2所以， f (x ) 的最小正周期 T ＝＝π．3π (2)因为 f (x ) 在区间 0, 3π π8 2 上是增函数，在区间 , 上是减函数． 83π 8 π2 又 f (0)＝－2， f2 2 ， f 2 ， π 故函数 f (x ) 在区间 0, 上的最大值为2 2 ，最小值为－2．2329．(2023 湖南)已知函数 f x cosx cos x 2 f ()的值； (1)求 314f (x )(2)求使 成立的 x 的取值集合．1 2 3 1 1 4（解析）(1) f (x ) cos x (cos x cos sin x sin3) (sin 2x cos 2x )32 2 1 1 2 13 1 1 2 14 sin(2x ) f ( ) sin .所以f ( ) ．2 6 43 2 24 4 3(2)由(1)知，11 1 f (x ) sin(2x ) sin(2x ) 0 (2x ) (2k ,2k )2 6 4 4 6 67 7x (k,k ),k Z .所以不等式的解集是：(k ,k ),k Z . 1212 12 12 2f (x )cos(2x ) sin x 2 30．(2023 安徽) 设函数 2 4(I)求函数 f (x ) 的最小正周期；(II)设函数 g (x ) 对任意 x R ，有 g (x ) g (x )，且当 x 0, ]时，2 21g (x ) f (x ) ； 求 g (x ) 在 , 0]上的解析式．22 1 1 1f (x )cos(2x ) sin 2 x cos 2x sin 2x (1 cos 2x ) （解析）2 4 2 2 21 1sin 2x ． 2 22(I)函数 f (x ) 的最小正周期T． 21 1 (Ⅱ)当 x 0, ]时， g (x ) f (x ) sin 2x ．2 221 1 当 x ,0时，(x ) 0, ]， g (x ) g (x ) sin 2(x ) sin 2x2 2 2 2 2 2 21 1 当 x , ) 时，(x ) 0, ) ， g (x ) g (x ) sin 2(x ) sin 2x2 2 2 21sin 2x ( x 0) 2 2 得：函数 g (x ) 在 ,0]上的解析式为 g (x )． 1 sin 2x ( x )22f (x ) A sin( x ) 1 A 0, 0 31．(2023 陕西)函数 ()的最大值为 3， 其图像相邻两条对称轴之间 6的距离为． 2f (x ) (1)求函数 的解析式； (0, ) f ( ) 2，求 的值．(2)设 ，则 2 2（解析）(Ⅰ)∵函数 f (x ) 的最大值是 3，∴A 1 3，即 A 2 ．∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，∴最小正周期T ，∴ 2． 2f (x ) 2sin(2x ) 1 故函数 f (x ) 的解析式为． 61 2f ( ) 2 s in( ) 1 2 sin( ) (Ⅱ)∵ ，即 ，∴ ， 2 6 6 ∵0 ，∴，故 ． 2 6 6 3 6 6 32 (x )．32．(2023 山东)设 (Ⅰ)求 f (x ) 的单调区间；(Ⅱ)在锐角△ ABC 中，角 A , B ,C ，的对边分别为a ,b ,c ，假设 f ( ) 0，a 1，求△ ABC 面积的最f (x ) sin x cos x cos 4A 2大值．1 cos(2x )1 1 1 12 （解析）(Ⅰ)由题意 f (x ) sin 2x sin 2x sin 2x2 2 2 2 2 1sin 2x ．2由 2k 2x 2k ( k Z )，可得 k x k ( k Z )； 2 2 4 43 3 由 2k 2x2k ( k Z )，得 k x k ( k Z )； 2 2 4 4所以 f (x )的单调递增区间是 k , k ( k Z )； 443单调递减区间是 k ,k ]( k Z )． 4 4A 1 1 (Ⅱ) f ( ) sin A 0， sin A ，2 223 由题意 A 是锐角，所以 cos A． 2由余弦定理：a 2 b 2 c 2 2bc cos A ，可得1 3bc b 2 c 2bc21bc2 3 ，且当b c 时成立．2 32 3 2 3bc sin A ．ABC 面积最大值为 ． 4 4f (x ) sin( x )( 0,0)的周期为 ，图像的一个对称中心为 ( ,0)，33．(2023福建)已知函数 4f (x ) 将函数 图像上的全部点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)，在将所得图像向右平移 个单位长 2g (x ) 度后得到函数 的图像．(1)求函数f (x ) 与g (x )的解析式；x ( , ) (2)是否存在 ，使得 f (x ), g (x ), f (x )g (x ) 按照某种顺序成等差数列？假设存在，请确定6 4x 0 的个数；假设不存在，说明理由．a nF (x ) f (x ) ag (x ) 在(0,n )(3)求实数 与正整数 ，使得 内恰有 2023 个零点．f (x ) sin( x )0，得 2 的周期为 ，（解析）(Ⅰ)由函数y f (x ) ( ,0) (0, )， 又曲线 的一个对称中心为 4f ( ) sin(2 ) 0 ，得 f (x ) cos 2x 故 ，所以 4 4 2f (x )2y cos x图象上全部点的横坐标伸长到原来的 倍(纵坐标不变)后可得的图象，再将将函数y cos x g (x ) sin x的图象向右平移 个单位长度后得到函数 2 x ( , )122 1 sin x ，0 cos 2x (Ⅱ)当 时， ， 6 4 2 2 所以sin x cos 2x sin x cos 2x ．在 问题转化为方程2cos 2x sin x sin x cos 2x ( , )内是否有解6 4设G (x ) sin x sin x cos 2x 2cos 2xx ( , )，6 4 G(x ) cos x cos x cos 2x 2 s in 2x (2 sin x ) 则x ( , ) G(x ) 0 G (x ) ( , ) 在 ，因为 ，所以 内单调递增6 4 6 41 42 G ( ) 0 G ( )0 又 ， 6 4 2且函数G (x ) 的图象连续不断，故可知函数G (x ) 在( , ) 内存在唯—零点 x 0， 6 4x ( , ) 即存在唯—的 满足题意． 0 6 4F (x ) a sin x cos 2xF (x ) a sin x cos 2x 0，令(Ⅲ)依题意， 当sin x 0 ，即 x k (k Z ) 时， cos 2x 1，从而 x k (k Z ) cos 2xF (x ) 0不是方程的解，所以方程F (x ) 0x 等价于关于 的方程ax k (k Z )，sin x 现研究x (0, ) U ( ,2 ) 时方程解的情况cos 2x令h (x )x (0, ) U ( ,2 ) ， sin xy a 与曲线y h (x ) 在x (0, ) U ( ,2 ) 的交点情况则问题转化为研究直线 2 x 1) 3 cos x (2sin h (x ) ，令 h (x ) 0 ，得 x x 或 ． sin 2x2 2h (x )h (x )和变化情况如下表 x当 变化时， x33 3(0, )( , ) ( , )( ,2 ) 2 2 2 2 2 2h (x )h (x )0 010 Z]]1Zx 0 x h (x ) 趋向于当 且 趋近于 时，x x且 趋近于 时，h (x ) 趋向于 h (x ) 趋向于 当 当 当 x x且 趋近于 时，x 2 x 2 时，h (x ) 趋向于且 趋近于 故当a 1时，直线y a 与曲线 y h (x ) 在(0, ) 内有无交点，在( ,2 )a 1内有 个交点；当 时，2 y a y h (x ) 在(0, ) 2 内有 个交点，在 ( ,2 ) 1 a 1y a 时，直线 与直线 曲线 直线 与曲线 内无交点；当 y h (x ) 在(0, )2内有 个交点，在 ( ,2 ) 2内有 个交点由函数h (x ) 的周期性，可知当a 1时， y a y h (x ) 在(0,n )n y a 内总有偶数个交点，从而不存在正整数 ，使得直线 与曲线与曲线 y h (x ) 在(0,n ) 内恰有2023个交点；当a 1时，直线 y a 3个交点，由周期性，2023 3 671，所以n 671 2 1342y h (x ) 在(0, )U ( ,2 ) 与曲线 内有综上，当a 1，n 1342 时，函数F (x ) f (x ) ag (x ) 在(0,n ) 内恰有2023个零点 考点 44 三角函数的实际应用1．(2023 新课标Ⅰ，理 6)如图，圆 O 的半径为 1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角 x 的始边为射线OA ， 终边为射线OP ，过点 P 作直线OA 的垂线，垂足为 M ，将点 M 到直线OP 的距离表示为 x 的函数 f (x ) ， 则 y = f (x ) 在0， ]上的图像大致为()（答案）B（解析）如图：过 M 作 MD ⊥OP 于Ｄ，则 PM=sin x ，OM= cos x ，在 Rt OMP 中， OM PM cos x sin x 1 21sin 2x ，∴ f (x ) sin 2x (0 x )，选 B ． MD=cos x sin x OP 1 2 2．(2023 陕西)如图，某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数y 3sin( x ) k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为6A ．5B ．6C ．8D ．10（答案）C（解析）由图象知： y2 ，因为 y3 k ，所以 3 k 2，解得：k 5，所以这段时间水深的minmin 最大值是 y max 3 k 3 5 8 ，应选 C ．3．(2023 新课标Ⅱ，理 16)设点 M( x 0 ，1)，假设在圆 O ：x 的取值范围是________． 2y 1上存在点 N ，使得∠OMN=45°，则 x 02 （答案） 1 x 0 1（ 解 析 ） 由 图 可 知 点 M 所 在 直 线 y 1 与 圆 O 相 切 ， 又 ON 1 ， 由 正 弦 定 理 得 ：ON OM1 OM sin ONM，∴ ，即：OM 2 sin ONM ，又∵0 ONM ， sin OMN sin ONM2 2∴OM 2 ，即 x 0 1 2 ，解之： 1 x 0 12 4 ．(2023 湖北) 某实验室一天的温度( 单位：℃) 随时间 t ( 单位：h) 的变化近似满足函数关系：π πf (t ) 10 3cos t sin t ，t 0, 24) ．12 12 (Ⅰ)求实验室这一天上午 8 时的温度； (Ⅱ)求实验室这一天的最大温差．π π2π 3 2π 3（解析）(Ⅰ) f (8) 10 3cos ( 8) sin ( 8) 10 3cossin 12 12 13 10 3 ( ) 10 ．2 2 故实验室上午 8 时的温度为 10 ℃．(Ⅱ)因为 f (t ) 10 2( cos t 1sin t ) =10 2sin( t π) ，3 π π π 2 12 2 12 12 3 π π π 7π 3 π π又0 t 24 ，所以 t 12 ， 1 sin( t ) 1．3 3 12 3 π ππ π 当t 2 时，sin(t ) 1；当t 14 时，sin( t ) 1． 12 312 3于是f(t) 在0, 24) 上取得最大值12，取得最小值8．故实验室这一天最gao温度为12 ℃，最di温度为8 ℃，最大温差为4 ℃．5．(2023 江苏)某农场有一块农田，如下图，它的边界由圆O的一段圆弧MPN( P为此圆弧的中点)和线段MN构成．已知圆O的半径为40 米，点P到MN的距离为50 米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A,B均在线段MN上，C,D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为 ．(1)用 分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sin 的取值范围；(2)假设大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3 ．求当 为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．（解析）(1)连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10．过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以 COE ，故OE 40 c os ，EC 40sin ，则矩形ABCD的面积为2 40 cos (40sin 10) 800(4sin cos cos ) ，1CDP的面积为 2 40 cos (40 40sin ) 1600(cossin cos ) ．2过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK KN 10．1 4令 GOK 0 ，则sin0 ， (0, ) ．0 6, ) 时，才能作出满足条件的矩形ABCD，当0 21所以sin 的取值范围是,1)．4答：矩形ABCD的面积为800(4sin cos cos ) 平方米， CDP的面积为11600(cos sin cos ) ，sin 的取值范围是 ,1)．4(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k (k 0) ， 则年总产值为4k 800(4sin cos cos ) 3k 1600(cos sin cos )8000k (sin cos cos ) ， , ) ．0 2设 f ( ) sin cos cos ，, ) ， 0 2f () cos 2 sin 2 sin (2sin 2 sin 1) (2sin 1)(sin 1) ． 则 π 令 f () 0 ，得 ， 6当 ( , )时， f ′( )>0，所以 f ( )为增函数；0 6当 ( , ) 时， f ′( )<0，所以 f ( )为减函数，6 2π因此，当 时， f ( )取到最大值．6π 答：当 时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．66．(2023 江苏)如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为 32cm ，容器Ⅰ的底面对角线 AC 的长为 10 7 cm ，容器Ⅱ的两底面对角线 EG ， E G 的长分别为 14cm 和 62cm ． 分 1 1 别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为 12cm ． 现有一根玻璃棒l ，其长度为 40cm ．(容器厚度、玻 璃棒粗细均忽略不计)(1)将l 放在 容器Ⅰ中，l 的一端置于点 A 处，另一端置于侧棱CC 1 上，求l 没入水中局部的长度； (2)将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点 E 处，另一端置于侧棱GG 1 上，求l 没入水中局部的长度．（解析）(1)由正棱柱的定义，CC 1 平面 ABCD ， 所以平面 A ACC 平面 ABCD ，CC AC ． 1 1 1 记玻璃棒的另一端落在CC 1 上点 M 处． 因为 AC 10 7 ， AM 40．3MN 40 2 (10 7) 2 30，从而sin MAC ．所以 4记 AM 与水平的交点为 P ，过 P 作 PQ AC ，Q 为垂足， 1 1 1 1 1 则 PQ 平面 ABCD ，故 PQ 12，1 1 1 1 P 1Q sin MAC1 从而 AP 1 16．答：玻璃棒 没入水中局部的长度为 16cm ． l( 如果将“没入水中局部〞理解为“水面以上局部〞，则结果为 24cm)(2)如图，O ，O 是正棱台的两底面中心．1由正棱台的定义，OO ⊥平面EFGH ，1E 1EGG ⊥． EFGH ，OO EG1 所以平面 ⊥平面 1E 1EGG EFGH ，OO E 1G 同理，平面 ⊥平面 ⊥ ．1 1 1 1 1 1 1 记玻璃棒的另一端落在GGN上点 处．1G GK E G K，1为垂足， 则GK =OO 1 =32． 过 作 ⊥ 1EG = 14 E G= 62 因为 ， ， 24 ，从而GG 1 KG 1 162 14 KG 2 1 GK 2 24 2 32 40 2 所以 = ． 124 ∠EGG 1 ,∠ENG , sin sin( ∠KGG ) cos ∠KGG 设 则 ． 1 1253 5因为，所以cos． 240 14 7 在△ENG 中，由正弦定理可得，解得sin ． sin sin 2524 因为0 ，所以cos． 2 25于是sin ∠NEG sin( ) sin( ) sin cos cos sin4 24 3 7 3 5( ) ． 5 25 5 25 EN P P 2PQ 2 EG ，Q P 2QEFGH⊥平面P Q，故=12，从而2 2记 与水面的交点为 ，过 作 为垂足，则 2 2 22 P 2Qsin ∠NEG2EP 20． = 2 答：玻璃棒 没入水中局部的长度为 20cm ． (如果将“没入水中局部〞理解为“水面以上局部〞，则结果为 20cm)7．(2023 湖北)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间 t (单位： h )的变化近似满足函数关系：lπ πf (t ) 10 3cos t sin t ，t 0, 24) ．12 12 (Ⅰ)求实验室这一天的最大温差； (Ⅱ)假设要求实验室温度不高于 ，则在哪段时间实验室需要降温？31 （解析）(Ⅰ)因为 f (t ) 10 2( cos t sin t ) 10 2sin( t )，2 12 2 12 12 37又0 t 24，所以 t ， 1 sin( t ) 1， 3 12 3 3 12 3当t 2时，sin(t ) 1；当 t 14时，sin( t ) 1； 12 3 12 3于是 f (t )在0,24) 上取得最大值 12，取得最小值 8．故实验室这一天最gao 温度为12 C ，最di 温度为8 C ，最大温差为4 C (Ⅱ)依题意，当 f (t ) 11时实验室需要降温． 1由(Ⅰ)得 f (t ) 10 2 s in( t )，所以10 2 s in( t ) 11 ，即sin( t ) ， 12 3 12 3 12 3 27 11又0 t 24，因此t，即10 t 18，故在 10 时至 18 时实验室需要降温． 6 12 3 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2023届全国高考数学真题分类专项(三角函数)汇编解析(附答案)
2023届全国高考数学真题分类专项（三角函数）汇编解析第一节 三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式1.（2023全国甲卷理科7）“22sin sin 1 ”是“sin cos 0 ”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【详细分析】根据充分条件、必要条件概念及同角三角函数的基本关系得解. 【过程解析】当2，0 时，有22sin sin 1 ，但sin cos 0 ， 即22sin sin 1 推不出sin cos 0 ；当sin cos 0 时， 2222sin sin cos sin 1 ，即sin cos 0 能推出22sin sin 1 .综上可知，22sin sin 1 是sin cos 0 成立的必要不充分条件. 故选B.2.（2023北京卷13）已知命题:p 若, 为第一象限角，且 ，则tan tan .能说明p 为假命题的一组, 的值为 ； .【详细分析】根据正切函数单调性以及任意角的定义详细分析求解.【过程解析】因为 tan f x x 在π0,2上单调递增，若00π02 ，则00tan tan ，取1020122π,2π,,k k k k Z ，则 100200tan tan 2πtan ,tan tan 2πtan k k ，即tan tan ， 令12k k ，则 102012002π2π2πk k k k ， 因为 1200π2π2π,02k k ，则 12003π2π02k k ， 即12k k ，则 . 不妨取1200ππ1,0,,43k k ，即9ππ,43满足题意. 故答案为：9ππ;43.第二节 三角恒等变换1.（2023新高考I 卷6）过点 0,2 与圆22410x y x 相切的两条直线的夹角为 ，则sin （ ）A.1B.4C.4D.4【过程解析】 222241025x y x x y ，所以圆心为 2,0B ， 记 0,2A ，设切点为,M N ，如图所示.因为AB ，BM，故AMcos cos2AM MAB AB，sin 2，sin 2sincos2224.故选B.2.（2023新高考I 卷8）已知 1sin 3，1cos sin 6，则 cos 22 （ ） A.79B.19C.19D.79【过程解析】 1sin sin cos cos sin 3，1cos sin 6， 所以1sin cos 2，所以 112sin sin cos cos sin 263， 2221cos 22cos 212sin 1239.故选B.3.（2023新高考II 卷7）已知 为锐角，1cos 4，则sin 2 （ ）A.38 B.18 C.34 D.14【过程解析】21cos 12sin 24，所以2231sin 284，则1sin24或1sin 24.因为 为锐角，所以sin02，sin2sin 2故选D. 第三节 三角函数的图像与性质1.（2023新高考II 卷16）已知函数 sin f x x ，如图所示，A ，B 是直线12y 与曲线 y f x 的两个交点，若π=6AB ，则 πf _______.【过程解析】sin y x 的图象与直线12y两个相邻交点的最近距离为2π3，占周期2π的13，所以12ππ36，解得4 ，所以 sin 4f x x . 再将2π,03代入 sin 4f x x 得 的一个值为2π3 ，即 2πsin 43f x x.所以 2ππsin 4π32f. 2.（2023全国甲卷理科10，文科12）已知 f x 为函数cos 26y x向左平移6 个单位所得函数，则 y f x 与1122y x交点个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4【过程解析】因为函数πcos 26y x向左平移π6个单位可得 sin 2.f x x而1122y x 过10,2 与 1,0两点，分别作出 f x 与1122y x 的图像如图所示，考虑3π3π7π2,2,2222x x x，即3π3π7π,,444x x x 处 f x 与1122y x 的大小关系，结合图像可知有3个交点. 故选C.3.（2023全国乙卷理科6，文科10）已知函数 sin f x x 在区间2,63单调递增，直线6x和23x 为函数 y f x 的图像的两条对称轴，则512f（ ）A. B.12 C.12 【过程解析】2222362T T，所以 sin 2.f x x又222,32k k Z ，则52,6k k Z .所以5555sin 22sin 121263f k故选D.【评注】本题考查了三角函数图像与性质，当然此题也可以通过画图快速来做，读者可以自行体会.4.（2023全国乙卷理科10）已知等差数列 n a 的公差为23，集合*cos n S a n N ，若 ,S a b ，则ab （ ）A.1B.12C.0D.12【过程解析】解法一（利用三角函数图像与性质） 因为公差为23，所以只考虑123,,a a a ，即一个周期内的情形即可. 依题意， cos ,n S a a b ，即S 中只有2个元素， 则123cos ,cos ,cos a a a 中必有且仅有2个相等.如图所示，设横坐标为123,,a a a 的点对应图像中123,,A A A 点.①当12cos cos a a 时，且2123a a， 所以图像上点的位置必为如图1所示，12,A A 关于x 对称，且1223A A ， 则1233a，2433a，32a . 所以11122ab.②当13cos cos a a 时，3143a a， 所以图像上点的位置必为如图2所示，13,A A 关于x 对称，且1343A A ， 则133a，3533a，2a .图1图2所以 11122ab. 综上所述，12ab .故选B.解法二（代数法） 11113n a a n d a n， 21cos cos 3a a ，31cos cos 3a a， 由于*cos ,n S a n a b N ，故123cos ,cos ,cos a a a 中必有2个相等.①若121111cos cos cos cos 322a a a a a，即113cos 22a a ， 解得11cos 2a 或11cos 2a .若11cos 2a ，则1sin a ，3111113cos cos cos 132244a a a a，若11cos 2a，则1sin a ，3111113cos cos cos 13244a a a a， 故131cos cos 2a a ab .②若131111cos cos cos cos sin 322a a a a a，得113cos 22a a ， 解得11cos 2a 或11cos 2a .当11cos 2a 时，1sin a ，2111113cos cos cos 132244a a a a，当11cos 2a 时，1sin a ，213cos 144a ， 故121cos cos 2a a ab .③若23cos cos a a ，与①类似有121cos cos 2a a ab .综上，故选B.5.（2023北京卷17）已知函数 sin cos cos sin ,0,2f x x x .（1）若 0f ，求 的值； （2）若 f x 在区间2,33上单调递增，且213f，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数 f x 存在，求, 的值.条件①：3f；条件②：13f；条件③： f x 在,23上单调递减.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【详细分析】（1）把0x 代入()f x 的过程解析式求出sin ，再由π||2即可求出 的值； （2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把()f x 的过程解析式化简，根据() f x 在π2π,33上的单调性及函数的最值可求出T ，从而求出 的值；把 的值代入()f x 的过程解析式，由π13f和π||2 即可求出 的值；若选条件③：由() f x 的单调性可知() f x 在π3x 处取得最小值1 ，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同．【过程解析】（1）因为π()sin cos cos sin ,0,||2f x x x所以 (0)sin 0cos cos 0sin sin 2f ， 因为π||2，所以π3. （2）因为π()sin cos cos sin ,0,||2f x x x ， 所以 π()sin ,0,||2f x x，所以() f x 的最大值为1，最小值为1 .若选条件①：因为 ()sin f x x 最大值为1，最小值为1，所以π3f无解，故条件①不能使函数()f x 存在；若选条件②：因为() f x 在π2π,33上单调递增，且2π13f，π13f， 所以2πππ233T ,所以2πT ,2π1T,所以 ()sin f x x ， 又因为π13f ，所以πsin 13，所以ππ2π,32k k Z ，所以π2π,6k kZ ，因为||2 ，所以π6 .所以1 ，π6； 若选条件③：因为() f x 在π2π,33 上单调递增，在ππ,23上单调递减，所以() f x 在π3x处取得最小值1 ，即π13f. 以下与条件②相同．的故选B.第四节 解三角形1.（2023全国甲卷理科16）在ABC △中，2AB ，60BAC，BC D 为BC 上一点，AD 平分BAC ，则AD .【过程解析】如图所示，记,,,AB c AC b BC a由余弦定理可得22222cos606b b，解得1b （负值舍去）.由ABC ABD ACD S S S △△△可得，1112sin602sin30sin30222b AD AD b ，解得1212AD b . 2.（2023全国甲卷文科17）记ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2222cos b c a A.（1）求bc . （2）若cos cos 1a Bb A b，求ABC △面积 .3.（2023全国乙卷理科18）在ABC △中，120BAC ，2AB ，1AC. （1）求sin ABC；（2）若D 为BC 上一点，且90BAD ，求ADC △的面积. 【过程解析】（1）利用余弦定理可得2222cos 14212cos120527BCAC AB AC AB BAC.故BC .又由正弦定理可知sin sin BC ACBAC ABC.故sin sin 14AC BAC ABC BC. （2）由（1）可知tan 5ABC， 在Rt BAD △中，tan 2ADAB ABC故11222ABD S AB AD△， 又11sin 21sin120222ABC S AB AC BAC△， 所以ADC ABC ABD S S S△△△. C5.（2023新高考I 卷17）已知在ABC △中，3A B C ， 2sin sin A C B . （1）求sin A ；（2）设=5AB ，求AB 边上的高.【过程解析】（1）解法一 因为3A B C ，所以4A B C C ，所以4C ， 2sin()sin()A C A C2sin cos 2cos sin sin cos cos sin A C A C A C A Csin cos 3cos sin A C A Ctan 3tan 3sin 10A C A . 解法二 因为3ABC ，所以4A B C C ，所以4C ， 所以4A B ，所以4B A ， 故2sin()sin()4A C A ，即2sin cos 2cos sin sin cos cos sin 4444A A A A ，得sin 3cos A A .又22sin cos 1A A ， 0,A ，得sin 10A. （2） 若||5AB . 如图所示，设AC 边上的高为BG ，AB 边上的高为CH ， ||CH h ，由（1）可得cos 10A ，||||cos ||102AG AB A AB ，||||2BG CG ，所以||AC ，||||2||6||5AC BGCHAB.6.（2023新高考II卷17）记ABC△的内角,,A B C的对边分别为,,a b c，已知ABC△的面，D为BC的中点，且1AD .（1）若π3ADC，求tan B；（2）若228b c，求,b c.【过程解析】（1）依题意，122ADC ABCS S△△，1sin242ADCS AD DC ADC DC△，解得2DC ，2BD .如图所示，过点A作AE BC于点E.因为60ADC，所以12DE,2AE ,则15222BE，所以tan5AEBBE.（2）设ABc，ACb，由极化恒等式得2214AB AC AD BC=，即2114b c=b c，化简得22244b c=b c，GHCBA即cos cos 2BAC bc BAC b c =b c ①，又1sin 2ABC S bc BAC △，即sin bc BAC . ②①得tan BAC 0πBAC 得2π3BAC ， 代入①得4bc =，与228b c 联立可得2b c .7.（2023北京卷7）在ABC △中， sin sin sin sin a c A C b A B ，则C （ ） A.6 B.3 C.3 D.6【详细分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.【过程解析】因为()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B ，所以由正弦定理得()()()a c a c b a b ，即222a c ab b ，则222a b c ab ，故2221cos 222a b c ab C ab ab ， 又0πC ，所以π3C . 故选B.。
2023年新高考数学一轮总复习核心考点分层训练 三角函数的图象与性质含详解
第26讲 三角函数的图象与性质学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【基础巩固】1．（2022·河北邯郸·二模）函数()πsin(2)3f x x =+在ππ,33⎛⎫- ⎪⎝⎭上的值域为（ ）A ．(]0,1B ．⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．⎛⎤⎥⎝⎦D ．[]1,1-2．（2022·湖北·模拟预测）已知()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，则（ ）A ．()()()210f f f <<B ．()()()201f f f <<C ．()()()021f f f <<D ．()()()120f f f <<3．（2022·湖南·长沙市南雅中学高三阶段练习）在下列区间中，函数()2022cos 12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增的区间是（ ） A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭4．（2022·广东深圳·高三阶段练习）若函数()()()tan 0f x x ωωω=->的最小正周期为4，则下列区间中()f x 单调递增的是（ ）A ．11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．15,33⎛⎫⎪⎝⎭C ．5,33⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()3,45．（2022·北京·高考真题）已知函数22()cos sin f x x x =-，则（ ）A ．()f x 在,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 在,412ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C ．()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．()f x 在7,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增6．（2022·全国·高考真题）记函数()sin (0)4f x x b πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ．若23T ππ<<，且()y f x =的图象关于点3,22π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．1 B ．32 C ．52 D ．37．（2022·山东济南·三模）已知函数()sin sin 2f x x x =+在()0,a 上有4个零点，则实数a 的最大值为( )A ．4π3B ．2πC ．8π3D ．3π8．（2022·广东·佛山市南海区艺术高级中学模拟预测）已知直线π3x =和2π3x =是曲线()2sin()(ππ)f x x x ωϕ=+-<≤的两条对称轴，且函数()f x 在π2,2π3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ϕ的值是（ ）A ．π2-B ．0C ．π2D ．π9．（多选）（2022·广东·潮州市瓷都中学三模）设函数()2πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论中正确的是（ ）A ．()y f x =的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．()y f x =的图象关于直线π12x =-对称 C ．()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．()f x 在π,06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为010．（多选）（2022·全国·高考真题）已知函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图像关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则（ ）A ．()f x 在区间5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减B ．()f x 在区间π11π,1212⎛⎫- ⎪⎝⎭有两个极值点C ．直线7π6x =是曲线()y f x =的对称轴D ．直线y x =是曲线()y f x =的切线 11．（2022·湖北·襄阳四中模拟预测）写出一个最小正周期为3的偶函数()f x =___________.12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()3sin ,(0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的最大值为______．13．（2022·全国·高考真题（理））记函数()()cos (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为T ，若()f T =，9x π=为()f x 的零点，则ω的最小值为____________．14．（2022·北京·人大附中三模）已知函数()[)(]sin ,2,00,2xf x x xππ=∈-⋃，给出下列四个结论： ①()f x 是偶函数； ①()f x 有4个零点；①()f x 的最小值为12-；①()12f x x <的解集为1175,0,,26666πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋃⋃ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.其中，所有正确结论的序号为___________.15．（2021·浙江·高考真题）设函数()sin cos (R)f x x x x =+∈.（1）求函数22y fx π⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的最小正周期；（2）求函数()4y f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.16．（2022·浙江·湖州市菱湖中学模拟预测）已知函数()sin(2)cos(2)63f x x x ππ=++- (1)求7()24f π的值； (2)求函数()12f x π+在[0,]2π上的增区间和值域．17．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知函数()()()sin cos f x x x x x =. (1)求函数()f x 在[]0,π上的单调增区间； (2)若()006,0,52f x x π⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，求0cos2x 的值.18．（2022·海南中学高三阶段练习）已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，再从条件①、条件①、条件①这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使()f x 的解析式唯一确定. (1)求()f x 的解析式；(2)设函数()()6g x f x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，求()g x 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的最大值.条件①：()f x 的最小正周期为π； 条件①：()00f =；条件①：()f x 图象的一条对称轴为4x π=.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.【素养提升】1．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）已知,x y ∈R ，则表达式22cos cos cos x y xy （ ）A ．既有最大值，也有最小值B ．有最大值，无最小值C ．无最大值，有最小值D ．既无最大值，也无最小值2．（2022·天津·一模）已知函数()sin 2sin f x x x =--，关于x 的方程()()210f x x -=有以下结论①当0a ≥时，方程()()210f x x -=在[]0,2π最多有3个不等实根；①当03a ≤<时，方程()()210f x x -=在[]0,2π内有两个不等实根；①若方程()()210f x x -=在[]0,6π内根的个数为偶数，则所有根之和为15π；①若方程()()210f x x -=在[]0,6π内根的个数为偶数，则所有根之和为36π. 其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①①3．（多选）（2022·山东·德州市教育科学研究院三模）已知函数π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭图像的一条对称轴和一个对称中心的最小距离为34π，则（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为3πB ．将函数()f x 的图像向左平移π4个单位长度后所得图像关于原点对称C ．函数()f x 在5π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数D ．设||3π()e 24x g x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()g x 在(10π,10π)-内有20个极值点4．（多选）（2022·湖北·襄阳四中模拟预测）若()sin cos x x x x f x =-，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的最小正周期是2πB ．()f x 的对称轴方程为212k x ππ=-，()k ∈Z C ．存在实数a ，使得对任意的x ∈R ，都存在125,01,2x x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦且12x x ≠，满足()()()210k f x af x f x -+=⎡⎤⎣⎦，()1,2k = D ．若函数()()2g x f x b =+，250,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，（b 是实常数），有奇数个零点()12221,,,,N n n x x x x n +⋅⋅⋅∈，则()1232215023n n x x x x x π++++⋅⋅⋅++=5．（多选）（2022·江苏常州·模拟预测）已知函数()|sin |cos ,R f x x x x =∈，则（ ）A ．函数()f x 的值域为11[,]22-B ．函数()f x 是一个偶函数，也是一个周期函数C ．直线34x π=是函数()f x 的一条对称轴 D ．方程4()log f x x =有且仅有一个实数根6．（2022·辽宁葫芦岛·二模）设函数()()cos f x x ωϕ=+（0>ω且π2ϕ<）满足以下条件：①x R ∀∈，满足()7π12f x f ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭；①0x ∃，使得()0π03f f x ⎛⎫== ⎪⎝⎭；①0minππ36x ->，则()f x =___________.关于x 的不等式()()31π31π043f x f f x f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫---> ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦的最小正整数解为___________. 7．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）已知函数()53sin 22sin cos 644f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (1)解不等式()12f x ≥-；(2)若,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且()()4cos 43F x f x x πλ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭的最小值是32-，求实数λ的值.8．（2022·全国·高三专题练习）已知常数0a <，定义在R 上的函数()cos 2sin f x x a x =+． （1）当4a =-时，求函数()y f x =的最大值，并求出取得最大值时所有x 的值；（2）当2a =-时，设集合243A x x ππ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，{()sin 21}B x f x m x m =>+-，若A B B ⋃=，求实数m 的取值范围；（3）已知常数n ∈N ，1n ≥，且函数()y f x =在(0,)n π）内恰有2021个零点，求常数a 及n 的值．第26讲 三角函数的图象与性质学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【基础巩固】1．（2022·河北邯郸·二模）函数()πsin(2)3f x x =+在ππ,33⎛⎫- ⎪⎝⎭上的值域为（ ）A ．(]0,1B ．⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．⎛⎤⎥⎝⎦D ．[]1,1-【答案】C【解析】当ππ,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，ππ2,π33x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，当ππ232x +=时，即π12x = 时，()πsin(2)3f x x =+取最大值1，当ππ233x +=-，即π3x =- 时，()πsin(2)3f x x =+取最小值大于，故值域为⎛⎤ ⎥⎝⎦故选：C2．（2022·湖北·模拟预测）已知()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，则（ ）A ．()()()210f f f <<B ．()()()201f f f <<C ．()()()021f f f <<D ．()()()120f f f <<【答案】B【解析】因为()f x 在2,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，又()03f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以212633πππ<<<<， 所以()()()1023f f f f π⎛⎫>=> ⎪⎝⎭，即()()()201f f f <<.故选：B.3．（2022·湖南·长沙市南雅中学高三阶段练习）在下列区间中，函数()2022cos 12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增的区间是（ ）A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】解：因为()2022cos 12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令22,12k x k k Z ππππ-+≤-≤∈，解得1122,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以函数的单调递增区间为112,2,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，当1k =时可得函数的一个单调递增区间为1325,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，因为3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 1325,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以函数在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增； 故选：D4．（2022·广东深圳·高三阶段练习）若函数()()()tan 0f x x ωωω=->的最小正周期为4，则下列区间中()f x 单调递增的是（ ）A ．11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．15,33⎛⎫⎪⎝⎭C ．5,33⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()3,4【答案】C【解析】作出函数tan y u =的图象如下图所示：由图可知，函数tan y u =的最小正周期为π，且其增区间为(),2k k k πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ，对于函数()f x ，其最小正周期为4T πω==，可得4πω=，则()tan 44f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()442k x k k πππππ<-<+∈Z ，解得4143k x k +<<+，其中Z k ∈，所以，()f x 的单调递增区间为()()41,43k k k ++∈Z ，所以，函数()f x 在11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减，在15,33⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，在5,33⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在()3,4上递减.故选：C5．（2022·北京·高考真题）已知函数22()cos sin f x x x =-，则（ ）A ．()f x 在,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 在,412ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C ．()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．()f x 在7,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】C【解析】因为()22cos sin cos2f x x x x =-=.对于A 选项，当26x ππ-<<-时，23x ππ-<<-，则()f x 在,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，A 错；对于B 选项，当412x ππ-<<时，226x ππ-<<，则()f x 在,412ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，B 错； 对于C 选项，当03x π<<时，2023x π<<，则()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，C 对；对于D 选项，当7412x ππ<<时，7226x ππ<<，则()f x 在7,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，D 错. 故选：C.6．（2022·全国·高考真题）记函数()sin (0)4f x x b πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ．若23T ππ<<，且()y f x =的图象关于点3,22π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．32C ．52D ．3【答案】A【解析】由函数的最小正周期T 满足23T ππ<<，得223πππω<<，解得23ω<<， 又因为函数图象关于点3,22π⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以3,24k k Z ππωπ+=∈，且2b =，所以12,63k k Z ω=-+∈，所以52ω=，5()sin 224f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以5sin 21244f πππ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A7．（2022·山东济南·三模）已知函数()sin sin 2f x x x =+在()0,a 上有4个零点，则实数a 的最大值为( ) A ．4π3B ．2πC ．8π3D ．3π【答案】C【解析】()()sin sin 2sin 2sin cos sin 12cos f x x x x x x x x =+=+=+， 令f (x )=0得sin x =0或cos x =12-，作出y =sin x 和y =cos x 的图象：f (x )在()0,a 上有4个零点，则2π8π2π2π33a <≤+=，故a 的最大值为8π3． 故选：C ．8．（2022·广东·佛山市南海区艺术高级中学模拟预测）已知直线π3x =和2π3x =是曲线()2sin()(ππ)f x x x ωϕ=+-<≤的两条对称轴，且函数()f x 在π2,2π3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ϕ的值是（ ）A ．π2-B ．0C ．π2D ．π【答案】A【解析】由()f x 在π2,2π3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减可知2π()3f 是最小值由两条对称轴直线π3x =和2π3x =可知0x =也是对称轴且(0)2f =-，为最小值 故sin 1ϕ=-又π<πϕ-≤ ，解得π2ϕ=-故选：A9．（多选）（2022·广东·潮州市瓷都中学三模）设函数()2πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论中正确的是（ ）A ．()y f x =的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．()y f x =的图象关于直线π12x =-对称 C ．()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．()f x 在π,06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为0【答案】ABC【解析】当π6x =时，πsin π06f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()y f x =的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称，A 正确； 当π12x =-时，ππsin 1122f ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，所以()y f x =的图象关于直线π12x =-对称，B 正确；当π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2π2π4π2,333u x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，()sin f u u =在2π4π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故C 正确；当π,06x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2ππ2π2,333u x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，()sin f u u =在π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D 错误. 故选：ABC10．（多选）（2022·全国·高考真题）已知函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图像关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则（ ）A ．()f x 在区间5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减B ．()f x 在区间π11π,1212⎛⎫- ⎪⎝⎭有两个极值点C ．直线7π6x =是曲线()y f x =的对称轴D ．直线y x =是曲线()y f x =的切线 【答案】AD【解析】由题意得：2π4πsin 033f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以4ππ3k ϕ+=，k ∈Z ， 即4ππ,3k k ϕ=-+∈Z ， 又0πϕ<<，所以2k =时，2π3ϕ=，故2π()sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．对A ，当5π0,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2π2π3π2,332x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，由正弦函数sin y u =图象知()y f x =在5π0,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调递减；对B ，当π11π,1212x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2ππ5π2,322x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，由正弦函数sin y u =图象知()y f x =只有1个极值点，由2π3π232x +=，解得5π12x =，即5π12x =为函数的唯一极值点； 对C ，当7π6x =时，2π23π3x +=，7π()06f =，直线7π6x =不是对称轴；对D ，由2π2cos 213y x ⎛⎫'=+=- ⎪⎝⎭得：2π1cos 232x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，解得2π2π22π33x k +=+或2π4π22π,33x k k +=+∈Z , 从而得：πx k =或ππ,3x k k =+∈Z ,所以函数()y f x =在点⎛ ⎝⎭处的切线斜率为02π2cos 13x k y =='==-，切线方程为：(0)y x =--即y x =-． 故选：AD ．11．（2022·湖北·襄阳四中模拟预测）写出一个最小正周期为3的偶函数()f x =___________. 【答案】2cos3x π（答案不唯一） 【解析】由余弦函数性质知：cos()y kx =为偶函数且k 为常数， 又最小正周期为3，则23k π=，即23k π=， 所以2()cos()3f x x π=满足要求. 故答案为：2cos()3x π(答案不唯一) 12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()3sin ,(0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的最大值为______． 【答案】1【解析】()3sin (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭对应的增区间应满足2,2,422x k k k Z πππωππ⎡⎤+∈-++∈⎢⎥⎣⎦，解得32244,,k k x k Z ππππωω⎡⎤-++⎢⎥∈∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦，当 0k =时，3,44x ππωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ ，要使()sin (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，则应满足，44ππω≥，解得1ω≤，则ω的最大值是1故答案为：113．（2022·全国·高考真题（理））记函数()()cos (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为T，若()f T =，9x π=为()f x 的零点，则ω的最小值为____________．【答案】3【解析】解： 因为()()cos f x x ωϕ=+，（0>ω，0πϕ<<）所以最小正周期2πT ω=，因为()()2πcos cos 2πcos f T ωϕϕϕω⎛⎫=⋅+=+== ⎪⎝⎭又0πϕ<<，所以π6ϕ=，即()πcos 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又π9x =为()f x 的零点，所以ππππ,Z 962k k ω+=+∈，解得39,Z k k ω=+∈，因为0>ω，所以当0k =时min 3ω=； 故答案为：314．（2022·北京·人大附中三模）已知函数()[)(]sin ,2,00,2xf x x xππ=∈-⋃，给出下列四个结论： ①()f x 是偶函数； ①()f x 有4个零点； ①()f x 的最小值为12-；①()12f x x <的解集为1175,0,,26666πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋃⋃ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.其中，所有正确结论的序号为___________. 【答案】①①【解析】对于①：因为函数的定义域为[)(]2,00,2ππ-，且()()()sin sin x xf x f x xx---===--，所以()f x 是偶函数.故①正确；对于①：在[)(]2,00,2x ππ∈-⋃，令()0f x =，解得：2x π=-，x π=-，x π=，2x π=.所以()f x 有4个零点.故①正确；对于①：因为()f x 是偶函数，所以只需研究(]0,2x π∈的情况. 如图示，作出sin y x =（(]0,2x π∈）和12y x =-的图像如图所示：在(]0,2x π∈上，有1sin 2x x >-，所以sin 12x x >-，即()f x 的最小值大于12-.故①错误；对于①：当[)(]2,00,2x ππ∈-⋃时，()12f x x<可化为： 当0x >时，1sin 2x ，解得：50,,266x πππ⎛⎫⎛⎤∈⋃ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦；当0x <时，1sin 2x >，解得：117,66x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭；综上所述：()12f x x <的解集为1175,0,,26666πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎤--⋃⋃ ⎪ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎦.故①不正确.故答案为：①①15．（2021·浙江·高考真题）设函数()sin cos (R)f x x x x =+∈.（1）求函数22y fx π⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的最小正周期；（2）求函数()4y f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.【解】（1）由辅助角公式得()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则2223332sin 1cos 21sin 22442y fx x x x x ππππ⎡⎤⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫ ⎪⎭⎦⎝， 所以该函数的最小正周期22T ππ==;（2）由题意，()2sin sin 444y f x f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22sin cos x x x x x x ⎫=⋅=⎪⎪⎝⎭1cos 2222sin 224x x x x x π-⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以当242x ππ-=即38x π=时，函数取最大值1 16．（2022·浙江·湖州市菱湖中学模拟预测）已知函数()sin(2)cos(2)63f x x x ππ=++- (1)求7()24f π的值； (2)求函数()12f x π+在[0,]2π上的增区间和值域． 【解】(1)解：因为()sin(2)cos(2)63f x x x ππ=++-， 所以()sin 2cos cos2sin cos2cos sin 2sin 6633f x x x x x ππππ=+++112cos 2cos 2222x x x x =++122cos 22x x ⎫=+⎪⎪⎝⎭2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 即()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以7732sin 22sin 2sin 2424644f πππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)解：由（1）可得2sin 22sin 2121263f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以sin 23x π⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，则212f x π⎡⎤∈⎣⎦⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 令2332x πππ≤+≤，解得012x π≤≤，即函数在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间为0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦；17．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知函数()()()sin cos f x x x x x =. (1)求函数()f x 在[]0,π上的单调增区间； (2)若()006,0,52f x x π⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，求0cos2x 的值.【解】(1)解：()()()sin cos f x x x x x =，222sin cos x x x x =-，sin2=-x x ， 22sin 23π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭x ，令2222,Z 232πππππ-+≤+≤+∈k x k k ， 解得7,Z 1212ππππ-+≤≤-+∈k x k k ， 所以()f x 的单调增区间为7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦. 令1k =得区间为511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 所以()f x 在[]0,π上的单调增区间为511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；(2)因为()065f x =， 所以023sin 235x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且02sin 203x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以0222,33x πππ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，则024cos 235x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭所以000022222π2πcos2cos 2=cos(2)cos +sin(2+)sin 333333x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫=+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦413525⎛⎫⎛⎫=-⨯-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.18．（2022·海南中学高三阶段练习）已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，再从条件①、条件①、条件①这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使()f x 的解析式唯一确定. (1)求()f x 的解析式；(2)设函数()()6g x f x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，求()g x 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的最大值.条件①：()f x 的最小正周期为π； 条件①：()00f =；条件①：()f x 图象的一条对称轴为4x π=.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分. 【解】(1)选择条件①①： 由条件①及已知得2T ππω==，所以2ω=.由条件①()00f =，即sin 0ϕ=，解得()k k ϕπ=∈Z . 因为2πϕ<，所以0ϕ=，所以()sin 2f x x =， 经检验0ϕ=符合题意. 选择条件①①： 由条件①及已知得2T ππω==，所以2=ω．由条件①得()ππ2π42k k ϕ⨯+=+∈Z ， 解得π()k k ϕ=∈Z ，因为||2ϕπ<， 所以0ϕ=，所以()f x sin2x =．若选择①①：由条件①()00f =，即sin 0ϕ=，解得()k k ϕπ=∈Z ， 因为2πϕ<，所以0ϕ=，由条件①得()πππ42k k ω⨯=+∈Z ，①2()4k k ω=+∈Z ，则()f x 的解析式不唯一，不合题意.(2)由题意得()sin 2sin 23g x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，化简得()sin 2sin 2cos cos 2sin 33g x x x x ππ=++3sin 22226x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭因为04x π≤≤，所以22663x πππ≤+≤，所以当262x ππ+=，即6x π=时，()g x【素养提升】1．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）已知,x y ∈R ，则表达式22cos cos cos x y xy （ ）A ．既有最大值，也有最小值B ．有最大值，无最小值C ．无最大值，有最小值D ．既无最大值，也无最小值【答案】D【解析】由[]22cos ,cos 0,1x y ∈，()[]cos 1,1xy ∈-，易知22cos cos cos 1,3x y xy.同时，由于π是无理数，因此当cos cos 0x y时，cos 1xy ；当22cos cos 1x y时，cos 0xy ，故两端均不能取得等号.补充证明：二元表达式22cos cos cos x y xy （,x y R ）可以取到任意接近1-和3的值，从而该式无最值.①取x π=，y n （*n ∈N ），则222cos cos cos 2cos x y xyn.对任意0ε>，由抽屉原理，存在*N N ，使得22NN.再考虑*k ∈N ，使得1kk （由π的无理性，两头都不取等）.则n kN 时，212122N N kkNk，从而2cos 1,coskN，22cos cos cos 2cos ,3x y xy ，即证.①取2x π=，2y n（*n ∈N ），则22221cos cos cos cos 4n x y xy.对任意0ε>，由抽屉原理，存在*N N ，使得224N N.再考虑k ∈Z ，使得4k k （不取等的理由同上）.则n kN 时，2244244N kN N kk，从而221coscos,14kN ，22cos cos cos 1,cosxyxy，即证.故选：D2．（2022·天津·一模）已知函数()sin 2sin f x x x =--，关于x 的方程()()210f x x -=有以下结论①当0a ≥时，方程()()210f x x -=在[]0,2π最多有3个不等实根；①当03a ≤<时，方程()()210f x x -=在[]0,2π内有两个不等实根；①若方程()()210f x x -=在[]0,6π内根的个数为偶数，则所有根之和为15π；①若方程()()210f x x -=在[]0,6π内根的个数为偶数，则所有根之和为36π. 其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①① B ．①①C ．①①D ．①①①【答案】A【解析】依题意，()3sin ,22sin ,222x k x k f x x k x k πππππππ-≤<+⎧=⎨+≤<+⎩，Z k ∈，函数()f x 的值域为[3,0]-，由()()210f x x -=解得：()f x =()0f x =>（舍去），而0a ≥，令11t =≤-，则方程()()210f x x -=的根是函数()y f x =的图象与直线1y t =交点横坐标，作出函数()y f x =在[]0,6π的图象与直线1y t =，如图，当[]0,2x π∈时，()3sin ,0sin ,2x x f x x x πππ-≤<⎧=⎨≤≤⎩，观察图象知，当0a =时，11t =-，函数()y f x =的图象与直线1y t =有3个交点， 当6409a <<时，131t -<<-，函数()y f x =的图象与直线1y t =有2个交点， 当649a =时，13t =-，函数()y f x =的图象与直线1y t =有1个交点， 当649a >时，13t <-，函数()y f x =的图象与直线1y t =没有交点， 所以当0a ≥时，[]0,2πx ∈，函数()y f x =的图象与直线1y t =的交点可能有3个、2个、1个、0个，①正确，①不正确；当[]0,6x π∈时，函数()y f x =在[]0,6π的图象与直线1y t =的交点个数为偶数， 观察图象知，此时6409a <<，131t -<<-，即直线1y t =与()y f x =的图象在[0,],[2,3],[4,5]πππππ上各有两个交点，它们分别关于直线59,,222x x x πππ===对称，这6个交点横坐标和即方程6个根的和为：5922215222ππππ⨯+⨯+⨯=，①正确，①不正确， 所以所有正确结论的序号是①①. 故选：A3．（多选）（2022·山东·德州市教育科学研究院三模）已知函数π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭图像的一条对称轴和一个对称中心的最小距离为34π，则（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为3πB ．将函数()f x 的图像向左平移π4个单位长度后所得图像关于原点对称C ．函数()f x 在5π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数D ．设||3π()e 24x g x fx ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()g x 在(10π,10π)-内有20个极值点【答案】ABD 【解析】根据题意可得344T π=，则2π3T ω==π，即23ω=，A 正确； 2π()sin 36f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭将函数()f x 的图像向左平移π4个单位长度得2ππ2sin sin 3463y x x ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦①2sin3y x =为奇函数，其图像关于原点对称，B 正确； ①5π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则2ππ3,π3622x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦①()f x 在5π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，C 错误；||||3π()e e 24sin x x g x f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则()()||||sin sin ()e e x x x g x x g x --=-=-=-①()g x 为奇函数当0x ≥时，()e sin xg x x =，则()sin π()e sin 4cos x x x x g x x +=⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭令()0g x '=，则πsin 04x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()ππN 4x k k *+=∈①()ππN 4x k k *=-∈①[)0,10πx ∈，即()π0π10πN 4k k *≤-<∈，则()141N 44k k *≤<∈ ①1,2,3,...,10k =共10个则()g x 在(10π,10π)-内有20个极值点，D 正确； 故选：ABD ．4．（多选）（2022·湖北·襄阳四中模拟预测）若()sin cos x x x x f x =-，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的最小正周期是2π B ．()f x 的对称轴方程为212k x ππ=-，()k ∈Z C ．存在实数a ，使得对任意的x ∈R ，都存在125,01,2x x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦且12x x ≠，满足()()()210k f x af x f x -+=⎡⎤⎣⎦，()1,2k =D ．若函数()()2g x f x b =+，250,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，（b 是实常数），有奇数个零点()12221,,,,N n n x x x x n +⋅⋅⋅∈，则()1232215023n n x x x x x π++++⋅⋅⋅++= 【答案】AD【解析】由题设()2|sin()|2|cos()|33f x x x ππ=+++，所以22()4(1|sin(2)|)4(1|cos(2)|)36f x x x ππ=++=++，故()f x = 由cos 2y x =的最小正周期为π，则|cos 2|y x =的最小正周期为2π，同理y =π，则()f x 的最小正周期为2π，A 正确；对于()f x ，令262k x ππ+=，则对称轴方程为412k x ππ=-且Z k ∈，B 错误；对任意x 有()[2,f x ∈，R a ∃∈，125,,012x x π⎡⎤∃∈-⎢⎥⎣⎦且12x x ≠满足1()()()k af x f x f x =+5[2∈且()1,2k =，而5,012x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的()f x 图象如下：所以(2,6][(3))(1),22kaf x a a a a⋃+∈，则(2,6][(31),22592)[,]24a a a a⋃+⊆，所以522a⎧<⎪⎪或51)2a⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，无解，即不存在这样的a，C错误；由()0g x=可转化为()f x与2by=-交点横坐标，而250,12xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上()f x图象如下：12b≤-≤，此时共有9个零点，1226x xπ+=、235212x xπ+=、34223x xπ+=、4511212x xπ+=、56726x xπ+=、1217212x xπ+=、78523x xπ+=，8923212x xπ+=，所以()12893502...3x x x x xπ+++++=，D正确.故选：AD5．（多选）（2022·江苏常州·模拟预测）已知函数()|sin|cos,Rf x x x x=∈，则（）A ．函数()f x 的值域为11[,]22- B ．函数()f x 是一个偶函数，也是一个周期函数C ．直线34x π=是函数()f x 的一条对称轴 D ．方程4()log f x x =有且仅有一个实数根【答案】ABD【解析】显然，()|sin()|cos()|sin |cos ()f x x x x x f x -=--==，即函数()f x 是偶函数，又(2)|sin(2)|cos(2)|sin |cos ()f x x x x x f x πππ+=++==，函数()f x 是周期函数，2π是它的一个周期，B 正确；当0πx ≤≤时，022x π≤≤，1()sin cos sin 22f x x x x ==的最小值为12-，最大值为12， 即当0x π≤≤时，()f x 的取值集合是11[,]22-，因()f x 是偶函数，则当0x π-≤≤时，()f x 的取值集合是11[,]22-，因此，当x ππ-≤≤时，()f x 的取值集合是11[,]22-，而2π是()f x 的周期，所以R x ∈，()f x 的值域为11[,]22-，A 正确； 因1()42f π=，51()42f π=-，即函数()f x 图象上的点1(,)42π关于直线34x π=的对称点51(,)42π不在此函数图象上，C 不正确；因当2x >时，恒有41log 2x >成立，而()f x 的值域为11[,]22-，方程4()log f x x =在(2,)+∞上无零点， 又当01x <<或22x π<<时，()f x 的值与4log x 的值异号，即方程4()log f x x =在(0,1)、(,2)2π上都无零点， 令441()()log sin 2log 2g x f x x x x =-=-，[1,]2x π∈，显然()g x 在[1,]2π单调递减， 而1(1)sin 202g =>，4()log 022g ππ=-<，于是得存在唯一0(1,)2x π∈，使得0()0g x =， 因此，方程4()log f x x =在[1,]2π上有唯一实根，则方程4()log f x x =在(0,)+∞上有唯一实根，又4log x 定义域为(0,)+∞，所以方程4()log f x x =有且仅有一个实数根，D 正确.故选：ABD6．（2022·辽宁葫芦岛·二模）设函数()()cos f x x ωϕ=+（0>ω且π2ϕ<）满足以下条件：①x R ∀∈，满足()7π12f x f ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭；①0x ∃，使得()0π03f f x ⎛⎫== ⎪⎝⎭；①0min ππ36x ->，则()f x =___________.关于x 的不等式()()31π31π043f x f f x f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫---> ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦的最小正整数解为___________. 【答案】 πcos 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 2 【解析】由①得：7π7πcos 11212f ωϕ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则117ππ2π,12k k Z ωϕ+=+∈，① 由①得：ππcos 033f ωϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则22πππ,32k k Z ωϕ+=+∈，① 由①①得：2ππ26T ω=>⨯，即06ω<<， 联立①①得：()1212242,,k k k k Z ω=+-∈，因为06ω<<，所以()1202426k k <+-<，12,k k Z ∈解得：121212k k -<-<，12,k k Z ∈， 所以1220k k -=，所以2ω=，将2ω=代入22πππ,32k k Z ωϕ+=+∈得：22ππ,6k k Z ϕ=-+∈， 因为π2ϕ<，所以π6ϕ=-， 所以()πcos 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 31π31ππ1cos 4262f ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，31π62ππcos 0336f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()()()31π31π10432f x f f x f f x f x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=-> ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦， 则()12f x >或()0f x <， 当()π1cos 262f x x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，解得：33πππ22π,2π633x k k ⎛⎫-∈-++ ⎪⎝⎭，3k Z ∈， 33πππ,π124x k k ⎛⎫∈-++ ⎪⎝⎭，3k Z ∈， 当31k =时，11π5π,124x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故最小正整数为3， 当()πcos 206f x x ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，解得：44ππ3π22π,2π622x k k ⎛⎫-∈++ ⎪⎝⎭，4k Z ∈， 44π5ππ,π36x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭，4k Z ∈，当40k =时，π5π,36x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故最小正整数为2， 比较得到答案为2 故答案为：πcos 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2 7．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）已知函数()53sin 22sin cos 644f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (1)解不等式()12f x ≥-； (2)若,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且()()4cos 43F x f x x πλ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭的最小值是32-，求实数λ的值. 【解】(1)①()53sin 22sin cos 644f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()1cos 22sin cos sin cos 2x x x x x x =+-+221cos 22sin cos 2x x x x =+-1cos 22cos 22x x x =-sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭由7222666k x k πππππ-≤-≤+，得23k x k πππ≤≤+， 解集为2,3k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ (2)()()24cos 44sin 212sin 2366F x f x x x x πππλλ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=----- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2222sin 24sin 212sin 212666x x x πππλλλ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----=---- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦①,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，①0262x ππ≤-≤，0sin 216x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭， ①当0λ<时，当且仅当sin 206x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，()f x 取得最小值1-，这与已知不相符； ①当01λ≤≤时，当且仅当sin 26x πλ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，()f x 取最小值212λ--，由已知得23122λ--=-，解得12λ=； ①当1λ>时，当且仅当sin 216x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，()f x 取得最小值14λ-，由已知得3142λ-=-，解得58λ=，这与1λ>相矛盾.综上所述，12λ=. 8．（2022·全国·高三专题练习）已知常数0a <，定义在R 上的函数()cos 2sin f x x a x =+．（1）当4a =-时，求函数()y f x =的最大值，并求出取得最大值时所有x 的值；（2）当2a =-时，设集合243A x x ππ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，{()sin 21}B x f x m x m =>+-，若A B B ⋃=，求实数m 的取值范围；（3）已知常数n ∈N ，1n ≥，且函数()y f x =在(0,)n π）内恰有2021个零点，求常数a 及n 的值．【解】（1）当4a =-时，2()cos 24sin 12sin 4sin f x x x x x =-=--，令[]sin 1,1t x =∈-，则2124y t t =--，开口向下且对称轴为1t =-，()()2max 121413y =-⨯--⨯-=，即sin 1x =-时，max ()3f x =，此时()22x k k Z ππ=-+∈；（2）当2a =-时，2()cos 22sin 12sin 2sin f x x x x x =-=--，因为A B B ⋃=，则A B ⊆，因为243A x x ππ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭sin 1x ≤≤， 令()()sin 21F x f x m x m =--+()22sin 2sin 22x m x m =--+-+令sin x t ⎤=∈⎥⎣⎦，则()()22222g t t m t m =--+-+，开口向下，所以()0g t >需满足)()()22222201212220g m m g m m ⎧⎪=-⨯+-+>⎪⎨⎝⎭⎝⎭⎪=-⨯-+-+>⎪⎩，解得m < 故实数m的取值范围为⎛-∞ ⎝⎭； （3）2()cos 2sin 12sin sin f x x a x x a x =+=-+，令[]sin 1,1t x =∈-，则212y t at =-+，所以2120t at -+=，280a ∆=+>，所以2120t at -+=有两个不同得实数根12,t t ，又由韦达定理得12102t t =-<，所以两根异号， ①当一根绝对值大于1，则另一根绝对值大于0且小于1，方程有偶数个根，不符合题意；①当两根绝对值均在()0,1之间，1sin t x =，2sin t x =在区间(0,)n π上均有偶数根，不合题意；①当1211,,12t t a ==-=时，若[]0,2x π∈，sin 1x =，即2x π=，1sin 2x =-，即76x π=或116x π=，所以方程()0f x =在[]0,2π上有三个根，因为202136732=⨯+，所以方程在[]0,1346π上有2019个根，又因为方程在[]1346,1347ππ上只有1个根，又因为方程在[]1347,1348ππ上只有2个根，所以方程在()0,1347π有2020个根，在()0,1348π上有2022个根，不合题意；①当1211,,12t t a =-==-时，若[]0,2x π∈，sin 1x =-，即32x π=，1sin 2x =，即6x π=或56x π=，所以方程()0f x =在[]0,2π上有三个根，因为202136732=⨯+，所以方程在[]0,1346π上有2019个根，又因为方程在[]1346,1347ππ上只有2个根，又因为方程在[]1347,1348ππ上只有1个根，所以方程在()0,1347π有2021个根，满足题意；综上：1347,1n a ==-.。
2023年高考数学微专题专练16含解析文
专练16 任意角和弧度制及任意角的三角函数命题范围：角的概念、角度制与弧度制的互化、三角函数的定义．[基础强化]一、选择题1．[2022·河南平顶山检测]若一个扇形的面积是2π，半径是23，则这个扇形的圆心角为( )A ．π6B ．π4C ．π2D ．π32．三角函数值sin1，sin2，sin3的大小关系是( ) 参考值：1弧度≈57°，2弧度≈115°，3弧度≈172° A ．sin1>sin2>sin3 B ．sin2>sin1>sin3 C ．sin1>sin3>sin2 D ．sin3>sin2>sin13．若角θ满足sin θ>0，tan θ<0，则θ2是( )A ．第二象限角B ．第一象限角C ．第一或第三象限角D ．第一或第二象限角4．[2022·上海横峰中学月考]终边为第一象限和第三象限的平分线的角的集合是( )A ．{α|α＝45°＋k ·360°，k ∈Z }B ．{α|α＝－135°＋k ·180°，k ∈Z }C ．{α|α＝－135°＋k ·360°，k ∈Z }D ．{α|α＝135°＋k ·180°，k ∈Z }5．一个扇形的弧长与面积都是6，则这个扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1B ．2 C ．3D ．46．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若角α的终边过点P (35，－45)，则cos α·tan α的值是( )A ．－45B ．45C ．－35D ．357．给出下列各函数值：①sin (－1000°); ②cos (－2200°)；③tan (－10);④sin 7π10cosπtan17π9.其中符号为负的有( ) A ．①B．② C ．③D．④8．已知角θ的终边经过点P (x ，3)(x <0)且cos θ＝1010x ，则x 等于( ) A ．－1B ．－13C ．－3D ．－2239．已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点A (m ，154)，则cos α的值为( ) A ．14 B ．－14C ．－154D ．不确定二、填空题10．[2022·安徽省高三3月联考]折扇最早出现于公元五世纪的中国南北朝时代，《南齐书》上说：“褚渊以腰扇障日．”，据《通鉴注》上的解释，“腰扇”即折扇．一般情况下，折扇可以看作从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的弧长为l ，扇形所在的圆的半径为r ，当l 与r 的比值约为2.4时，折扇看上去的形状比较美观．若一把折扇所在扇形的半径为30cm ，在保证美观的前提下，此折扇所在扇形的面积是________cm 2.11．已知角α的终边过点P (－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈(π2，π)，则sin α＝________．12．已知角α的终边经过点P (－8m ，－6sin30°)，且cos α＝－45，则m ＝________．[能力提升]13．[2022·景德镇模拟]《掷铁饼者》取材于希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的一只手臂长约为π4米，整个肩宽约为π8米．“弓”所在圆的半径约为1.25米．则掷铁饼者双手之间的距离约为(参考数据：2≈1.414，3≈1.73)( )A ．1.612米B ．1.768米C ．1.868米D ．2.045米14．[2022·宿州模拟]《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为2π3，弧长等于8π3米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积是( )A ．(16π3－43) 平方米B ．(16π3－23)平方米C ．(4＋23) 平方米D ．(2＋43) 平方米15．已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角．16．已知tan θ<0，且角θ终边上一点为(－1，y )，且cos θ＝－12，则y ＝________．专练16 任意角和弧度制及任意角的三角函数1．D 设扇形的圆心角为θ，因为扇形的面积S ＝12θr 2，所以θ＝2S r 2＝4π（23）2＝π3.2．B 因为1弧度≈57°，2弧度≈115°，3弧度≈172°，所以sin1≈sin57°，sin2≈sin115°＝sin65°，sin3≈sin172°＝sin8°，因为y ＝sin x 在0°<x <90°时是增函数，所以sin8°<sin57°<sin65°，即sin2>sin1>sin3.3．C 由sin θ>0，tan θ<0，知θ为第二象限角，∴2k π＋π2<θ<2k π＋π(k ∈Z )，∴k π＋π4<θ2<k π＋π2(k ∈Z )，∴θ2为第一或第三象限角．4．B 终边为第一象限的平分线的角的集合是{α|α＝45°＋k ·360°，k ∈Z }， ① 终边为第三象限的平分线的角的集合是 {α|α＝－135°＋k ·360°，k ∈Z }， ② 由①②得{α|α＝－135°＋k ·180°，k ∈Z }．5．C 设扇形的圆心角为θ，半径为R ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧θR ＝6，12θR 2＝6，得θ＝3. 6．A 由三角函数的定义知cos α＝35，tan α＝－4535＝－43，∴cos αtan α＝35×(－43)＝－45. 7．C ∵－1000°＝－3×360°＋80°，为第一象限角，∴sin (－1000°)>0； 又－2200°＝－7×360°＋320°，为第四象限角， ∴cos (－2200°)>0；∵－10＝－4π＋(4π－10)，为第二象限角， ∴tan (－10)<0；∵sin 710π>0，cosπ＝－1，179π＝2π－π9，为第四象限角，∴tan 179π<0，∴sin 710πcosπtan 179π>0.8．A ∵r ＝x 2＋9，cos θ＝x x 2＋9＝1010x ，又x <0，∴x ＝－1. 9．B 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋（154）2＝1，m <0，得m ＝－14，∴cos α＝m ＝－14.10．答案：1080解析：依题意r ＝30cm ，l r ＝2.4，所以l ＝2.4r ＝72cm ，所以S ＝12lr ＝12×72×30＝1080cm 2.11．答案：－45解析：∵θ∈(π2，π)，∴－1<cos θ<0，∴r ＝9cos 2θ＋16cos 2θ＝－5cos θ，故sin α＝－45.12．答案：12解析：由题可知P (－8m ，－3)， ∴cos α＝－8m64m 2＋9＝－45，得m ＝±12， 又cos α＝－45<0，∴－8m <0，∴m ＝12.13．B 由题意得，“弓”所在的弧长为l ＝π4＋π4＋π8＝5π8，R ＝1.25＝54， ∴其所对的圆心角α＝l R ＝5π854＝π2，∴两手之间的距离d ＝R 2＋R 2＝2×1.25≈1.768.14．D 设半径为r ，则8π3＝2π3r ，r ＝4，所以弦长为2r sin π3＝2×4×32＝43，矢为r －r cos π3＝4－4×12＝2，所以弧田面积为S ＝12×(2×43＋22)＝43＋2.15．答案：一解析：由α是第二象限的角可得90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°(k ∈Z )，则180°－(180°＋k ·360°)<180°－α<180°－(90°＋k ·360°)(k ∈Z )，即－k ·360°<180°－α<90°－k ·360°(k ∈Z )，所以180°－α是第一象限的角．16．答案： 3解析：∵cos θ＝－12<0，tan θ<0，∴θ为第二象限角，则y >0. ∴由－11＋y2＝－12，得y ＝ 3.。
专题26锐角三角函数(原卷版)-2023年中考数学一轮复习高频考点精讲精练(全国通用)
专题26 锐角三角函数一、锐角三角函数概念【高频考点精讲】在Rt △ABC 中，∠C ＝90°1、正弦：我们把锐角A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A 的正弦，记作sin A ，即sin A ＝＝2、余弦：锐角A 的邻边b 与斜边c 的比叫做∠A 的余弦，记作cos A ，即cos A ＝3、正切：锐角A 的对边a 与邻边b 的比叫做∠A 的正切，记作tan A ，即tan A ＝4、三角函数：锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数。
【热点题型精练】1．（2022•天津中考）tan45°的值等于（ ）A ．2B ．1C ．√22D ．√332．（2022•淮南模拟）如图，将△ABC 放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，B ，C 均在格点上，则tan A 的值是（ ）A ．√55B ．√105C ．2D ．12 3．（2022•荆州中考）如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 分别在x 轴负半轴和y 轴正半轴上，点C 在OB 上，OC ：BC ＝1：2，连接AC ，过点O 作OP ∥AB 交AC 的延长线于P ．若P （1，1），则tan ∠OAP 的值是（ ）A ．√33B ．√22C ．13D ．34．（2022•深圳模拟）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点A ，B ，C 在坐标轴上，若点A 的坐标为（0，3），tan∠ABO=√3，则菱形ABCD的周长为（）A．6B．6√3C．12√3D．8√35．（2022•滨州中考）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则sin A的值为．6．（2022•扬州中考）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若b2＝ac，则sin A的值为．7．（2022•绥化中考）定义一种运算：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ．例如：当α＝45°，β＝30°时，sin（45°+30°）=√22×√32+√22×12=√6+√24，则sin15°的值为．8．（2022•湖州中考）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3．求AC的长和sin A的值．二、解直角三角形【高频考点精讲】1、解直角三角形常用关系（1）锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；（2）三边之间的关系：a2+b2＝c2；（3）边角之间的关系sin A＝，cos A＝，tan A＝（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）2、sin30°＝；cos30°＝；tan30°＝；sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；sin60°＝；cos60°＝；tan60°＝；【热点题型精练】9．（2022•乐山中考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=√5，点D是AC上一点，连结BD．若tan∠A=1 2，tan ∠ABD =13，则CD 的长为（ ）A ．2√5B ．3C ．√5D ．210．（2022•通辽中考）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A ，B ，C 都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C ，D ，则cos ∠ADC 的值为（ ）A ．2√1313B ．3√1313C ．23D ．√5311．（2022•宜宾中考）如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，将△BCD 沿BD 折叠到△BED 位置，DE 交AB 于点F ，则cos ∠ADF 的值为（ ）A ．817B ．715C ．1517D ．81512．（2022•济宁中考）如图，点A ，C ，D ，B 在⊙O 上，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°．若CD ＝a ，tan ∠CBD =13，则AD 的长是 ．13．（2022•河池中考）如图，把边长为1：2的矩形ABCD 沿长边BC ，AD 的中点E ，F 对折，得到四边形ABEF ，点G ，H 分别在BE ，EF 上，且BG ＝EH =25BE ＝2，AG 与BH 交于点O ，N 为AF 的中点，连接ON ，作OM ⊥ON 交AB 于点M ，连接MN ，则tan ∠AMN ＝ ．14．（2022•张家界中考）我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，已知大正方形ABCD的面积是100，小正方形EFGH的面积是4，那么tan∠ADF＝．三、解直角三角形的应用【高频考点精讲】1、坡度坡角问题（1）坡度是坡面的垂直高度h和水平宽度l的比，常用i表示。
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第十六讲 锐角三角函数及其实际应用命题点1 特殊角的三角函数值1. (2022天津)tan 45°的值等于( ) A. 2 B. 1 C.22 D. 33命题点2 直角三角形的边角关系2. (2022陕西)如图，AD 是△ABC 的高．若BD ＝2CD ＝6，tan C ＝2，则边AB 的长为( )第2题图A. 32B. 35C. 37D. 623. (2021玉林)如图，△ABC 底边BC 上的高为h 1，△PQR 底边QR 上的高为h 2，则有( )第3题图A. h 1＝h 2B. h 1<h 2C. h 1>h 2D. 以上都有可能4. (2022乐山)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5 ，点D 是AC 上一点，连接B D.若tan A ＝12 ，tan∠ABD ＝13 ，则CD 的长为( )A. 25B. 3C. 5D. 2第4题图5. (2022连云港)如图，在6×6正方形网格中，△ABC 的顶点A ，B ，C 都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则sin A ＝______．第5题图6. (2021上海)如图，已知△ABD 中，AC ⊥BD ，BC ＝8，CD ＝4，cos ∠ABC ＝45 ，BF 为AD 边上的中线．(1)求AC 的长； (2)求tan ∠FBD 的值．第6题图命题点3 锐角三角函数的实际应用类型一 解一个直角三角形7. (2022福建)如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形 ABC ，其中 AB ＝AC ，∠ABC ＝27°，BC ＝44 cm ，则高 AD 约为(参考数据：sin 27°≈0.45，cos 27°≈0.89，tan 27°≈0.51)( ) A. 9.90 cm B. 11.22 cm C. 19.58 cm D. 22.44 cm第7题图8. (2022金华)一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知BC ＝6 m ，∠ABC ＝α，则房顶A 离地面EF 的高度为( )第8题图A. (4＋3sin α) mB. (4＋3tan α) mC. (4＋3sin α ) mD. (4＋3tan α) m9. (2022柳州)如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α，sin α＝35 ，堤坝高BC ＝30 m ，则迎水坡面AB的长度为________m.第9题图10. (2022宁波)每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识．某消防大队进行了消防演习．如图①，架在消防车上的云梯AB 可伸缩(最长可伸至20 m )，且可绕点B 转动，其底部B 离地面的距离BC 为2 m ，当云梯顶端A 在建筑物EF 所在直线上时，底部B 到EF 的距离BD 为9 m .(1)若∠ABD ＝53°，求此时云梯AB 的长；(2)如图②，若在建筑物底部E 的正上方19 m 处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．(参考数据： sin 53°≈0.8，cos 53°≈0.6，tan 53°≈1.3)第10题图类型二背靠背型11. (2022安徽)如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．求A，B两点间的距离．参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75.第11题图12. (2022宿迁)如图，某学习小组在教学楼AB的顶部观测信号塔CD底部的俯角为30°，信号塔顶部的仰角为45°.已知教学楼AB的高度为20 m，求信号塔的高度(计算结果保留根号).第12题图13. (2021遂宁)小明周末与父母一起到遂宁湿地公园进行数学实践活动，在A处看到B，C处各有一棵被湖水隔开的银杏树，他在A处测得B在北偏西45°方向，C在北偏东30°方向，他从A处走了20米到达B处，又在B处测得C在北偏东60°方向．(1)求∠C的度数；(2)求两棵银杏树B，C之间的距离(结果保留根号).第13题图类型三母子型考向1同一个观测点观测两个位置点14. (2022天津)如图，某座山AB的顶部有一座通讯塔BC，且点A，B，C在同一条直线上．从地面P处测得塔顶C的仰角为42°，测得塔底B的仰角为35°.已知通讯塔BC的高度为32 m，求这座山AB的高度(结果取整数).参考数据：tan 35°≈0.70，tan 42°≈0.90.第14题图源自人教九下P76第1题考向2两个观测点观测同一个位置点15. (2022山西)随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60 m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24 m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC 的长(结果精确到1 m．参考数据：sin 70°≈0.94，cos 70°≈0.34，tan 70°≈2.75，3≈1.73).第15题图16. (2022甘肃省卷)灞陵桥位于甘肃省渭源县城南清源河(渭河上游)上，始建于明洪武初年，因“渭水绕长安，绕灞陵，为玉石栏杆灞陵桥”之语，得名灞陵桥(图①)，该桥为全国独一无二的纯木质叠梁拱桥．某综合实践研究小组开展了测量汛期某天“灞陵桥拱梁顶部到水面的距离”的实践活动，过程如下：方案设计：如图②，点C为桥拱梁顶部(最高点)，在地面上选取A，B两处分别测得∠CAF和∠CBF的度数(A，B，D，F在同一条直线上)，河边D处测得地面AD到水面EG的距离DE(C，F，G在同一条直线上，DF∥EG，CG⊥AF，FG＝DE).数据收集：实地测量地面上A，B两点的距离为8.8 m，地面到水面的距离DE＝1.5 m，∠CAF＝26.6°，∠CBF ＝35°.问题解决：求灞陵桥拱梁顶部C到水面的距离CG(结果保留一位小数).参考数据：sin 26.6°≈0.45，cos 26.6°≈0.89，tan 26.6°≈0.50，sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70.根据上述方案及数据，请你完成求解过程．第16题图考向3两个观测点观测两个位置点17. (2022重庆A卷)如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，AC＝200米，点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正北方向，BD＝100米，点B在点A的北偏东30°，点D在点E的北偏东45°.(1)求步道DE的长度(精确到个位)；(2)点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D.请计算说明他走哪一条路较近？(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)第17题图源自人教九下P84第9题类型四拥抱型18. (2021自贡)在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53°，从综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角恰好是30°，综合楼高24米．请你帮小明求出办公楼的高度．(结果精确到0.1.参考数据tan 37°≈0.75，tan 53°≈1.33，3≈1.73)第18题图类型五实物模型19. (新趋势)·真实问题情境(2022成都)2022年6月6日是第27个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．如图，当张角∠AOB＝150°时，顶部边缘A处离桌面的高度AC的长为10 cm，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角∠A′OB＝108°时(点A′是A的对应点)，用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘A′处离桌面的高度A′D的长．(结果精确到1 cm；参考数据：sin 72°≈0.95，cos 72°≈0.31，tan 72°≈3.08)第19题图20. (新趋势)·真实问题情境(2022常德)第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情. 某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台(如图①)，它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成. 图②是其示意图，已知：助滑坡道AF＝50米，弧形跳台的跨度FG＝7米，顶端E到BD的距离为40米，HG∥BC，∠AFH＝40°，∠EFG＝25°，∠ECB＝36°. 求此大跳台最高点A距地面BD的距离是多少米(结果保留整数).(参考数据：sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84，sin 25°≈0.42，cos 25°≈0.91，tan 25°≈0.47，sin 36°≈0.59，cos 36°≈0.81，tan 36°≈0.73)第20题图21. (2022江西)图①是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图②所示的示意图，已知AB∥CD∥FG，A，D，H，G四点在同一直线上，测得∠FEC＝∠A≈72.9°，AD＝1.6 m，EF＝6.2 m．(结果保留小数点后一位)(1)求证：四边形DEFG为平行四边形；(2)求雕塑的高(即点G到AB的距离).(参考数据：sin 72.9°≈0.96，cos 72.9°≈0.29，tan 72.9°≈3.25)第21题图22. (2022嘉兴)小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图①，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图②，已知AD＝BE＝10 cm，CD＝CE＝5 cm，AD⊥CD，BE⊥CE，∠DCE＝40°.(1)连接DE，求线段DE的长；(2)求点A，B之间的距离．(结果精确到0.1 cm.参考数据：sin 20°≈0.34，cos 20°≈0.94，tan 20°≈0.36，sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84)第22题图。