平面二级倒立摆系统仿真
平面两级倒立摆的建模
采用如图 3-1 所示的坐标，并定义如下参数:
M x X 方向平台运动部分以及摆体支座质量 l1 摆杆 1 长度
Y 方向平台运动部分以及摆体支座质量
My
l2
摆杆 2 长度
m1 摆杆 1 质量
m2 摆杆 2 质量
m3 摆杆 1 和摆杆 2 中间连接质量块的质量
(3-1) (3-2)
(3-3)
β1 ——摆杆在 y − z 平面的映射与 z 轴方向的夹角 γ 1 ——摆杆与 z 轴方向的夹角 γ 2 ——摆杆与 z 轴方向的夹角 在摆杆垂直向上的方向上，如果偏角α1, β1 << 1 ，则可以近似的认为
l1xz ≈ l1yz ≈ l1
因此，摆杆绕 X 轴和 Y 轴的转动惯量可以表示为：
⋅2
y1
⋅
⋅ y2
+
1 2
m1
⋅
2
+
1 2
m2
⋅2
z1 +
⋅2
⋅ z2
1 2
+
⋅2 ⋅2
J1 ⋅ (α1 + β1 )
1 2
J2
⋅
⋅
(α 2
2
+
⋅
β2
2
)
⎪ ⎪⎪⎩Tm3
=
1 2
m3
⋅
⋅2
x3 +
1 2
m3
⋅
⋅2
y3 +
1 2
m3
⋅
⋅2
z3
式中 x1 ——摆杆 1 中心点的 X 坐标；
y1 ——摆杆 1 中心点的 Y 坐标；
由拉各朗日方程：
二级倒立摆的建模与MATLAB仿真
二级倒立摆的建模与 ＭＡＴＬＡＢ 仿真 刘文斌，等
二级倒立摆的建模与ＭＡＴＬＡＢ仿真
刘文斌，干树川 （四川理工学院电子与信息工程系 四川自贡，６４３０００）
取为最小值。设控制输入函数形式为： Ｕ（ｔ）＝ －Ｋｘ（ｔ） （１１） 状态反馈矩阵： Ｋ ＝ Ｒ －１Ｂ Ｔ Ｐ （ １２） 其中，Ｐ 可由 Ｒｉｃｃａｔｉ 微分方程： （１３） 其中， 性能指标函数： （１４）
［Ｊ］．计算机测量与控制，２００６，１４（１２）：１６４１ － １６４２ ５ 张 春，江 明，陈其工等．平行单级双倒立摆系统的建模与滑
模变结构控制［Ｊ］．２００８．１
２３
图１ 二级倒立摆模型
（１）
（２）
（３） 经过线性化如下： （４）
（上接第 ７ 页） ０； ０； ０； ０］； ｐ＝ｅｉｇ（Ａ） ［ｎｕｍ，ｄｅｎ］＝ｓｓ２ｔｆ（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，１）； ｐｒｉｎｔｓｙｓ（ｎｕｍ，ｄｅｎ） Ｑ＝［１０００ ０ ０ ０ ０ ０； ０ ０ ０ ０ ０ ０； ０ ０ １０ ０ ０ ０； ０ ０ ０ ０ ０ ０； ０ ０ ０ ０ １０ ０； ０ ０ ０ ０ ０ ０］； Ｔｃ＝ｃｔｒｂ（Ａ，Ｂ）； ｒａｎｋ（Ｔｃ） Ｔｏ＝ｏｂｓｖ（Ａ，Ｃ）； ｒａｎｋ（Ｔｏ） Ｒ＝１； Ｋ＝ｌｑｒ（Ａ，Ｂ，Ｑ，Ｒ）； Ａｃ＝［（Ａ－Ｂ＊Ｋ）］； Ｂｃ＝［Ｂ］； Ｃｃ＝［Ｃ］； Ｄｃ＝［Ｄ］； Ｔ＝０：０．００５：２０； Ｕ＝０．２＊ｏｎｅｓ（ｓｉｚｅ（Ｔ））； ［Ｙ，Ｘ］＝ｌｓｉｍ（Ａｃ，Ｂｃ，Ｃｃ，Ｄｃ，Ｕ，Ｔ）； ｐｌｏｔ（Ｔ，Ｙ（：，１），＇：＇，Ｔ，Ｙ（：，２），＇ －＇，Ｔ，Ｙ（：，３），＇
二级直线倒立摆系统建模、仿真与实物控制的开题报告
二级直线倒立摆系统建模、仿真与实物控制的开题报告一、选题背景及意义直线倒立摆系统是一种应用广泛的控制系统，它具有复杂的非线性特性，因此对其建模、控制和仿真都具有一定的挑战性。
直线倒立摆系统广泛应用于自动驾驶、飞行器、医疗器械等领域。
本文将研究二级直线倒立摆系统的建模、仿真与实物控制，以提高对该系统的理解和掌握。
通过实验控制实际系统，验证仿真模型的正确性并提高控制策略的可靠性与性能。
二、研究内容1.二级直线倒立摆系统的建模研究系统的动力学特性，建立数学模型，包括机械、电子等方面的模型，并给出系统的描述方程。
2.仿真系统的设计与实现通过MATLAB或Simulink等工具，根据系统的动力学模型进行仿真，分析系统的动态特性，验证模型的正确性。
3.实物系统的设计与实现根据建模结果，设计实物系统，包括硬件和软件，搭建实验环境，并选取合适的控制器，使用反馈控制算法对实验数据进行处理。
4.实物控制系统的测试与优化将实验得到的数据进行分析、处理和优化，比较实物系统和仿真系统的差异并给出改进方案，从而提高系统的动态响应特性和控制性能。
三、研究方法及预期结果本文将采用系统分析、数学建模、仿真分析、控制器设计和优化等方法，通过建模、仿真、实物控制等多个方面去了解直线倒立摆系统。
预期结果是建立二级直线倒立摆系统的模型，完成仿真和实验的设计与实现，控制系统实现稳定的控制策略，并得出实物系统和仿真系统的控制性能优化方案。
四、进度安排第一阶段：文献综述和理论研究，研究直线倒立摆控制系统的基本原理和方法。
（2周）第二阶段：根据文献进行仿真研究，建立稳定的仿真模型。
（2周）第三阶段：设计实物控制系统，搭建实验环境。
（2周）第四阶段：实现控制系统与优化，得出实验数据并进行分析和优化，提高系统的控制性能。
（2周）第五阶段：撰写论文和答辩。
（4周）五、预期成果本文通过对二级直线倒立摆系统的建模、仿真和实物控制的研究，完成了对系统的深入理解和掌握，得出了系统的优化控制方案。
二级倒立摆系统的控制与仿真剖析
二级倒立摆系统的控制与仿真一、LQR控制器设计(1) 二级倒立摆系统的状态空间模型设线性定常系统为x’=A*x（t）+B*u（t）,y=C*x（t）其初始条件为x（t）=x0;其中：A=[0,1,0,0;40,0,0,0;0,0,0,1;-6,0,0,0];B=[0;-2;0;0.8];C=[1,0,0,0;0,0,1,0](2) 系统的能控性判定n=size(A); Tc=ctrb(A,B); nc=rank(Tc)n=6 6 nc=6从运行结果可知，系统的阶次为6，能控性矩阵的秩也为6，因此系统是能控的。
(3) 系统的能观性判定To=obsv(A,C);no=rank(To)no=6从运行结果可知，能观性矩阵的秩为6，与系统的阶次相等，因此系统是能观测的。
(4) LQR控制设计基于一级倒立摆系统具有能控性和能观性，因此可采用LQR进行控制，经大量反复试验和仿真，选取R=0.2，Q=[1 0 0 0 0 0;0 64 0 0 0 0;0 0 256 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0];F=lqr(A,B,Q,R)得到：F =2.2361 106.6465 -155.4620 5.1719 4.9639 -24.5330三、仿真曲线采用LQR控制方式，设初始状态为x(0)=[1,-1,0,0]’，在相同采样周期T下应用数字再设计方法对一级倒立摆系统进行仿真，其中F(T)分别取为：1. F(T)=F1(T)=F2. F(T)=F2(T)=F[I+(A+BF)T/2]3. F(T)=F3(T)=F[I-(A+BF)/2]-1(1) T=0.013s，øc=e(A+BF)T时系统的极点、状态x1、x2、x3的离散仿真曲线A=[0,0,0,1,0,0;0,0,0,0,1,0;0,0,0,0,0,1;0,0,0,0,0,0;0,77.0642,-21.1927,0,0,0;0,-38.5321,37.8186,0,0,0];B=[0;0;0;1;5.7012;-0.0728];C=[1,0,0,0,0,0;0,1,0,0,0,0;0,0,1,0,0,0];D=[0;0;0];Q=[1 0 0 0 0 0;0 64 0 0 0 0;0 0 256 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0];R=0.2;F=lqr(A,B,Q,R)T=0.013;[G,H]=c2d(A-B*F,B,T); %%离散一的函数p0=eig(G),x0=[1 -1 0.5 0 0 0]';[y,x t]=dinitial(G,B,C,D,x0);t=0:0.1:(t-1)/10;subplot(3,1,1),x1=[1 0 0 0 0 0]*x'; %%响应曲线plot(t,x1);grid;title('状态变量x1的响应曲线')subplot(3,1,2),x2=[0 1 0 0 0 0]*x';plot(t,x2);grid;title('状态变量x2的响应曲线')subplot(3,1,3),x3=[0 0 1 0 0 0]*x';plot(t,x3);grid;title('状态变量x3的响应曲线')p0 =0.8647 + 0.0473i0.8647 - 0.0473i0.9224 + 0.0618i0.9224 - 0.0618i0.9932 + 0.0066i0.9932 - 0.0066i图1 øc=e(A+BF)T(2) T=0.013s，øc=ø +ΓF1(T)时系统的极点、状态x1、x2、x3的离散仿真曲线A=[0,0,0,1,0,0;0,0,0,0,1,0;0,0,0,0,0,1;0,0,0,0,0,0;0,77.0642,-21.1927,0,0,0;0,-38.5321,37.8186,0,0,0]; B=[0;0;0;1;5.7012;-0.0728];C=[1,0,0,0,0,0;0,1,0,0,0,0;0,0,1,0,0,0];D=[0;0;0];Q=[1 0 0 0 0 0;0 64 0 0 0 0;0 0 256 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0];R=0.2;F=lqr(A,B,Q,R)T=0.013;[Ad,B]=c2d(A,B,T); %%离散二的函数Ad=Ad-B*F;p1=eig(Ad)x0=[1 -1 0.5 0 0 0]';[y,x t]=dinitial(Ad,B,C,D,x0);t=0:0.1:(t-1)/10;subplot(3,1,1),x1=[1 0 0 0 0 0]*x'; %%显示程序plot(t,x1);grid;title('状态变量x1的响应曲线')subplot(3,1,2),x2=[0 1 0 0 0 0]*x';plot(t,x2);grid;title('状态变量x2的响应曲线')subplot(3,1,3),x3=[0 0 1 0 0 0]*x';plot(t,x3);grid;title('状态变量x3的响应曲线')p1 =0.8349 + 0.0388i0.8349 - 0.0388i0.9247 + 0.0561i0.9247 - 0.0561i0.9932 + 0.0066i0.9932 - 0.0066i图2 øc=ø +ΓF1(T)(3) T=0.013s，øc=ø+ΓF2(T)时系统的极点、F(T)值和状态x1、x2、x3的离散仿真曲线A=[0,0,0,1,0,0;0,0,0,0,1,0;0,0,0,0,0,1;0,0,0,0,0,0;0,77.0642,-21.1927,0,0,0;0,-38.5321,37.8186,0,0,0]; B=[0;0;0;1;5.7012;-0.0728];C=[1,0,0,0,0,0;0,1,0,0,0,0;0,0,1,0,0,0];D=[0;0;0];Q=[1 0 0 0 0 0;0 64 0 0 0 0;0 0 256 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0];R=0.2;F=lqr(A,B,Q,R)T=0.013;P2=(A-B*F)*T/2; %%离散3的函数F2=F*(eye(size(P2))+P2)[Add,B]=c2d(A,B,T);Ad=[Add-B*F2];p2=eig(Ad)x0=[1 -1 0.5 0 0 0]';[y,x,t]=dinitial(Ad,B,C,D,x0);t=0:0.1:(t-1)/10;subplot(3,1,1),x1=[1 0 0 0 0 0]*x'; %%显示程序plot(t,x1);grid;title('状态变量x1的响应曲线')subplot(3,1,2),x2=[0 1 0 0 0 0]*x';plot(t,x2);grid;title('状态变量x2的响应曲线')subplot(3,1,3),x3=[0 0 1 0 0 0]*x';plot(t,x3);grid;title('状态变量x3的响应曲线')F2 =1.7236 90.8365 -126.5481 4.0012 4.5195 -19.9211p2 =0.8676 + 0.0465i0.8676 - 0.0465i0.9224 + 0.0627i0.9224 - 0.0627i0.9932 + 0.0066i0.9932 - 0.0066i图3 øc=ø+ΓF2(T)(4) T=0.013s，øc=ø+ΓF3(T)时系统的极点、F(T)值和状态x1、x2、x3的离散仿真曲线A=[0,0,0,1,0,0;0,0,0,0,1,0;0,0,0,0,0,1;0,0,0,0,0,0;0,77.0642,-21.1927,0,0,0;0,-38.5321,37.8186,0,0,0]; B=[0;0;0;1;5.7012;-0.0728];C=[1,0,0,0,0,0;0,1,0,0,0,0;0,0,1,0,0,0];D=[0;0;0];Q=[1 0 0 0 0 0;0 64 0 0 0 0;0 0 256 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0];R=0.2;F=lqr(A,B,Q,R)T=0.013;P3=(A-B*F)*T/2; %%离散4的函数F3=F*(eye(size(P3))-P3)^-1[Add,B]=c2d(A,B,T);Ad=[Add-B*F3];p3=eig(Ad),[y,x,t]=dinitial(Ad,B,C,D,x0);t=0:0.1:(t-1)/10;subplot(3,1,1),x1=[1 0 0 0 0 0]*x'; %%显示程序plot(t,x1);grid;title('状态变量x1的响应曲线')subplot(3,1,2),x2=[0 1 0 0 0 0]*x';plot(t,x2);grid;title('状态变量x2的响应曲线')subplot(3,1,3),x3=[0 0 1 0 0 0]*x';plot(t,x3);grid;title('状态变量x3的响应曲线')F3 =1.7779 92.1683 -129.2365 4.1238 4.5459 -20.3464p3 =0.8655 + 0.0476i0.8655 - 0.0476i0.9222 + 0.0622i0.9222 - 0.0622i0.9932 + 0.0066i0.9932 - 0.0066i图4 øc=ø+ΓF3(T)由上面的1-4图我们可以知道：F(T)分别取F1(T)，F2(T)，F3(T)构成的闭环离散系统时仿真曲线基本一致，相应情况的闭环极点也基本相同，而取F(T)=F3(T)时，从系统的极点看，用øc=ø+ΓF3(T)代替øc=e(A+BF)T 构成闭环系统的精确度相当好。
毕业设计 二级倒立摆建模
四川理工学院毕业设计（论文）二级倒立摆系统建模与仿真学生：学号：专业：自动化班级：自动化指导教师：四川理工学院自动化与电子信息学院二O一一年六月摘要常规的PID控制从理论上可以控制二级倒立摆，但在实际中对PID控制器参数的整定为一难点。
本文针对二级倒立摆系统单输入三输出的不稳定系统，通过三回路PID 控制方案，来完成对倒立摆的控制。
利用状态反馈极点配置的方法来对参数进行整定，解决PID参数整定的难点。
然后借助于MATLAB中的Simulink模块对所得的参数进行仿真，结果表明三回路PID控制是成功的，参数的有效性，也证实了这种参数整定方法简单实用。
并通过配置不同位置的极点，对其结果进行分析得到极点配置的最佳配置方案。
关键词：倒立摆；PID；状态反馈； MATLABABSTRACTDouble Inverted Pendulum System Modeling and SimulationConventional PID control theory to control the inverted pendulum, but in practice the parameters of PID controller tuning is a difficult. In this paper, double inverted pendulum system, the instability of single-input three-output system, through the three-loop PID control program to complete the inverted pendulum control.Pole placement using state feedback approach to setting the parameters to resolve the difficulties PID parameter tuning. With MATLAB and Simulink in the module parameters obtained from simulation results show that the three-loop PID control is successful, the effectiveness of the parameters, but also confirms this tuning method is simple and practical.Different locations through the pole configuration, the results were too extreme configuration of the best configuration.Key words:pendulum；PID control ；state feedback；MATLAB目录摘要............................................................... ABSTRACT (I)第1章引言 01.1 倒立摆研究的目的及意义 01.2 倒立摆的发展史和研究现状 01.3本文的主要工作 (3)第2章倒立摆的建模 (3)2.1 二级倒立摆的简介及物理模型 (3)2.2 二级倒立摆计算机控制系统结构 (4)2.3 二级倒立摆的数学模型 (5)2.4根据牛顿力学、刚体动力学列写二级倒立摆的数学模型 (6)第3章控制策略的选择 (11)3.1 MATLAB简介 (11)3.2该系统的能控、能观及稳定性的分析 (14)3.2.1系统的能控性 (14)3.2.2系统能观性 (16)3.2.3系统的稳定性 (16)3.3 确定控制策略 (17)3.4 控制器参数整定方法 (17)3.5 通过状态反馈极点配置法来整定参数 (19)第4章计算机仿真及结果分析 (22)4.1 Matlab下Simulink模块简介 (22)4.2 在Simulink下的仿真 (23)4.3对仿真结果的分析 (31)第5章结束语 (32)致谢 (33)参考文献 (34)第1章引言1.1 倒立摆研究的目的及意义在控制理论发展的过程中, 一种理论的正确性及在实际应用中的可行性，往往需要一个典型对象来验证, 并比较各种控制理论之间的优劣, 倒立摆系统就是这样的一个可以将理论应用于实际的理想实验平台。
二级倒立摆系统的控制与仿真
二级倒立摆系统的控制与仿真一、引言在计算机参与的具有联系受控对象的控制系统中，有必要对联系控制系统设计数字控制器的必要，一般对于联系的控制对象设计数字控制器的方法有：第一种是应用联系系统理论得到的联系控制规律，再将控制规律离散化，用控制器实现，第二种是将联系的控制对象离散化，用离散控制理论设计控制器参数，数字再设计就是根据连续系统及相应的控制规律如何重新设计对应的离散系统与相应的离散控制规律。
我们采用的是最优等价准则、双线性变换法、平均增益法进行数字再设计。
二、LQR控制器设计(1) 二级倒立摆系统的状态空间模型设线性定常系统为x’=A*x（t）+B*u（t）,y=C*x（t）其初始条件为x（t）=x0;其中：A=[0,1,0,0;40,0,0,0;0,0,0,1;-6,0,0,0];B=[0;-2;0;0.8];C=[1,0,0,0;0,0,1,0](2) 系统的能控性判定n=size(A); Tc=ctrb(A,B); nc=rank(Tc)n=6 6 nc=6从运行结果可知，系统的阶次为6，能控性矩阵的秩也为6，因此系统是能控的。
(3) 系统的能观性判定To=obsv(A,C);no=rank(To)no=6从运行结果可知，能观性矩阵的秩为6，与系统的阶次相等，因此系统是能观测的。
(4) LQR控制设计基于一级倒立摆系统具有能控性和能观性，因此可采用LQR进行控制，经大量反复试验和仿真，选取R=0.2，Q=[1 0 0 0 0 0;0 64 0 0 0 0;0 0 256 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0];F=lqr(A,B,Q,R)得到：F =2.2361 106.6465 -155.4620 5.1719 4.9639 -24.5330三、仿真曲线采用LQR控制方式，设初始状态为x(0)=[1,-1,0,0]’，在相同采样周期T下应用数字再设计方法对一级倒立摆系统进行仿真，其中F(T)分别取为：1. F(T)=F1(T)=F2. F(T)=F2(T)=F[I+(A+BF)T/2]3. F(T)=F3(T)=F[I-(A+BF)/2]-1(1) T=0.013s，øc=e(A+BF)T时系统的极点、状态x1、x2、x3的离散仿真曲线A=[0,0,0,1,0,0;0,0,0,0,1,0;0,0,0,0,0,1;0,0,0,0,0,0;0,77.0642,-21.1927,0,0, 0;0,-38.5321,37.8186,0,0,0];B=[0;0;0;1;5.7012;-0.0728];C=[1,0,0,0,0,0;0,1,0,0,0,0;0,0,1,0,0,0];D=[0;0;0];Q=[1 0 0 0 0 0;0 64 0 0 0 0;0 0 256 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0];R=0.2;F=lqr(A,B,Q,R)T=0.013;[G,H]=c2d(A-B*F,B,T); %%离散一的函数p0=eig(G),x0=[1 -1 0.5 0 0 0]';[y,x t]=dinitial(G,B,C,D,x0);t=0:0.1:(t-1)/10;subplot(3,1,1),x1=[1 0 0 0 0 0]*x'; %%响应曲线plot(t,x1);grid;title('状态变量x1的响应曲线')subplot(3,1,2),x2=[0 1 0 0 0 0]*x';plot(t,x2);grid;title('状态变量x2的响应曲线')subplot(3,1,3),x3=[0 0 1 0 0 0]*x';plot(t,x3);grid;title('状态变量x3的响应曲线')p0 =0.8647 + 0.0473i0.8647 - 0.0473i0.9224 + 0.0618i0.9224 - 0.0618i0.9932 + 0.0066i0.9932 - 0.0066i图1 øc=e(A+BF)T(2) T=0.013s，øc=ø +ΓF1(T)时系统的极点、状态x1、x2、x3的离散仿真曲线A=[0,0,0,1,0,0;0,0,0,0,1,0;0,0,0,0,0,1;0,0,0,0,0,0;0,77.0642,-21.1927,0,0,0;0,-38.5321,37.8186,0,0,0];B=[0;0;0;1;5.7012;-0.0728];C=[1,0,0,0,0,0;0,1,0,0,0,0;0,0,1,0,0,0];D=[0;0;0];Q=[1 0 0 0 0 0;0 64 0 0 0 0;0 0 256 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0];R=0.2;F=lqr(A,B,Q,R)T=0.013;[Ad,B]=c2d(A,B,T); %%离散二的函数Ad=Ad-B*F;p1=eig(Ad)x0=[1 -1 0.5 0 0 0]';[y,x t]=dinitial(Ad,B,C,D,x0);t=0:0.1:(t-1)/10;subplot(3,1,1),x1=[1 0 0 0 0 0]*x'; %%显示程序plot(t,x1);grid;title('状态变量x1的响应曲线')subplot(3,1,2),x2=[0 1 0 0 0 0]*x';plot(t,x2);grid;title('状态变量x2的响应曲线')subplot(3,1,3),x3=[0 0 1 0 0 0]*x';plot(t,x3);grid;title('状态变量x3的响应曲线')p1 =0.8349 + 0.0388i0.8349 - 0.0388i0.9247 + 0.0561i0.9247 - 0.0561i0.9932 + 0.0066i0.9932 - 0.0066i图2 øc=ø +ΓF1(T)(3) T=0.013s，øc=ø+ΓF2(T)时系统的极点、F(T)值和状态x1、x2、x3的离散仿真曲线A=[0,0,0,1,0,0;0,0,0,0,1,0;0,0,0,0,0,1;0,0,0,0,0,0;0,77.0642,-21.1927,0,0, 0;0,-38.5321,37.8186,0,0,0];B=[0;0;0;1;5.7012;-0.0728];C=[1,0,0,0,0,0;0,1,0,0,0,0;0,0,1,0,0,0];D=[0;0;0];Q=[1 0 0 0 0 0;0 64 0 0 0 0;0 0 256 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0];R=0.2;F=lqr(A,B,Q,R)T=0.013;P2=(A-B*F)*T/2; %%离散3的函数F2=F*(eye(size(P2))+P2)[Add,B]=c2d(A,B,T);Ad=[Add-B*F2];p2=eig(Ad)x0=[1 -1 0.5 0 0 0]';[y,x,t]=dinitial(Ad,B,C,D,x0);t=0:0.1:(t-1)/10;subplot(3,1,1),x1=[1 0 0 0 0 0]*x'; %%显示程序plot(t,x1);grid;title('状态变量x1的响应曲线')subplot(3,1,2),x2=[0 1 0 0 0 0]*x';plot(t,x2);grid;title('状态变量x2的响应曲线')subplot(3,1,3),x3=[0 0 1 0 0 0]*x';plot(t,x3);grid;title('状态变量x3的响应曲线')F2 =1.7236 90.8365 -126.5481 4.0012 4.5195 -19.9211 p2 =0.8676 + 0.0465i0.8676 - 0.0465i0.9224 + 0.0627i0.9224 - 0.0627i0.9932 + 0.0066i0.9932 - 0.0066i图3 øc=ø+ΓF2(T)(4) T=0.013s，øc=ø+ΓF3(T)时系统的极点、F(T)值和状态x1、x2、x3的离散仿真曲线A=[0,0,0,1,0,0;0,0,0,0,1,0;0,0,0,0,0,1;0,0,0,0,0,0;0,77.0642,-21.1927,0,0, 0;0,-38.5321,37.8186,0,0,0];B=[0;0;0;1;5.7012;-0.0728];C=[1,0,0,0,0,0;0,1,0,0,0,0;0,0,1,0,0,0];D=[0;0;0];Q=[1 0 0 0 0 0;0 64 0 0 0 0;0 0 256 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0];R=0.2;F=lqr(A,B,Q,R)T=0.013;P3=(A-B*F)*T/2; %%离散4的函数F3=F*(eye(size(P3))-P3)^-1[Add,B]=c2d(A,B,T);Ad=[Add-B*F3];p3=eig(Ad),[y,x,t]=dinitial(Ad,B,C,D,x0);t=0:0.1:(t-1)/10;subplot(3,1,1),x1=[1 0 0 0 0 0]*x'; %%显示程序plot(t,x1);grid;title('状态变量x1的响应曲线')subplot(3,1,2),x2=[0 1 0 0 0 0]*x';plot(t,x2);grid;title('状态变量x2的响应曲线')subplot(3,1,3),x3=[0 0 1 0 0 0]*x';plot(t,x3);grid;title('状态变量x3的响应曲线')F3 =1.7779 92.1683 -129.2365 4.1238 4.5459 -20.3464 p3 =0.8655 + 0.0476i0.8655 - 0.0476i0.9222 + 0.0622i0.9222 - 0.0622i0.9932 + 0.0066i0.9932 - 0.0066i图4 øc=ø+ΓF3(T)由上面的1-4图我们可以知道：F(T)分别取F1(T)，F2(T)，F3(T)构成的闭环离散系统时仿真曲线基本一致，相应情况的闭环极点也基本相同，而取F(T)=F3(T)时，从系统的极点看，用øc=ø+ΓF3(T)代替øc=e(A+BF)T 构成闭环系统的精确度相当好。
哈工大倒立摆实验报告
研究生自动控制专业实验地点：A区主楼518房间平面二级倒立摆系统实验报告主编：钱玉恒，杨亚非哈工大航天学院控制科学实验室平面二级倒立摆控制系统实验报告一、实验内容1、熟悉平面二级倒立摆控制系统的结构和原理；2、了解平面二级倒立摆物理模型建模与控制器设计；3、掌握LQR控制器仿真与实验；二、实验设备1、平面二级倒立摆控制系统一套平面二级倒立摆控制系统包括平面二级倒立摆控制器、平面二级倒立摆本体实验装置等组成。
在平面二级倒立摆本体上有起动/停止电源开关，螺旋浆起动/停止开关。
2、平面二级倒立摆控制系统计算机部分平面二级倒立摆控制系统计算机部分主要有计算机、SV-400控制卡等；三、实验步骤1、系统实验的线路连接平面二级倒立摆本体与计算机全部采用标准线连接，电源部分有标准电源线，在试验前，实验装置的线路已经连接完毕。
2、启动实验装置通电之前，请详细检察电源等连线是否正确，确认无误后，可接平面二级倒立摆本体电源，随后起动计算机和控制器。
3、系统实验的参数调试根据仿真的数据及控制规则进行参数调试，直到获得较理想参数为止。
四、实验要求1、学生上机前要求学生在实际上机调试之前，必须用自己的计算机，对系统的仿真全部做完，并且经过老师的检查许可后，才能申请上机调试。
2、学生上机要求上机的同学要按照要求进行实验，不得有违反操作规程的现象，严格遵守实验室的有关规定。
五、实验结果与分析 经过实际调试，实验结果如下：当LQR 控制参数为：14.142x K =， 15.722a K =， 74.93b K = ,29.49x K =， ,196.29a K =， ,34.83b K =系统的时间运行曲线如图1、图2所示。
图1 第一组参数X 方向实际运动曲线图2 第二组参数Y 方向实际运动曲线从图1、图2中可以看出，X 方向控制较好，但Y 方向控制的波动幅度比较大，为此，需要进一步调整LQR 控制参数。
经过多次试验，得到如下一组比较好的控制参数：14.142x K =， 15.892a K =， 77.71b K = ,30.018x K =， ,193.73a K =， ,33.355b K =该组参数下，系统的实际运行曲线如下图3、图4所示。
二级倒立摆数学模型的建立与仿真培训资料
二级倒立摆数学模型的建立与仿真二级倒立摆数学模型的建立与仿真专业：控制工程姓名：淡丹学号：1406073摘要本文用分析力学中牛顿力学法及拉格朗日方程建立了二级倒立摆的数学模型。
根据已经建立的倒立摆数学模型，对其进行了可控性，可观测性及稳定性的分析与研究，并对状态反馈及状态观测器进行了仿真模拟，分析研究。
并通过分析比较得出，加状态观测器并不影响系统的输出的结论。
关键词：倒立摆状态空间极点配置状态反馈ABSTRACTNewtonian mechanics analysis method and the Lagrange equation of a mathematical model of double inverted pendulum has been used in this paper. According to the established mathematical model of inverted pendulum on the controllability, observability and stability of the analysis and research, and the state observer and state feedback is carried on the simulation ,analysis and research. And through the analysis and comparison of results, plus state observer does not affect the conclusions of the output of the system.KEY WORDS: inverted pendulum state space pole allocation state feedback一、二级倒立摆系统的组成二级倒立摆主要由以下四部分组成:1.在有限长的轨道L上作直线运动的小车;2.与小车铰接在一起，并能在竖直平面内分别绕q，q点转动的下、上摆;3.驱动小车的直流力矩电机和转轮、钢丝等传动部分;4.使上、下摆稳定在垂直向上的平衡位置，且使小车稳定在轨道中心位置附近的控制器。
倒立摆系统的控制算法及仿真
倒立摆系统的控制算法及仿真1．1 倒立摆控制算法1．1．1 倒立摆控制算法概述单级倒立摆的稳定控制，实际上是一单输入多输出系统的稳定控制。
此时系统输入是电机控制电压u，输出是倒立摆竖直方向角度θ和旋臂位置ϕ。
对方程(2.5)进行变形即得θ与u 之间的输入输出方程,很明显,它是一个不稳定的二阶系统。
控制倒立摆使之稳定的方法很多,当前已有的倒立摆控制规律可总结为:(1)PID控制,通过对倒立摆物理模型的分析，建立倒立摆的动力学模型,然后使用状态空间理论推导出其非线性模型，再在平衡点处进行线性化得到倒立摆系统的状态方程和输出方程，于是就可设计出PID控制器实现其控制；(2)状态反馈H∞控制，通过对倒立摆物理模型的分析,建立倒立摆的动力学模型,然后使用状态空间理论推导出状态方程和输出方程，于是就可应用H∞状态反馈和Kalman 滤波相结合的方法,实现对倒立摆的控制；(3)利用云模型实现对倒立摆的控制，用云模型构成语言值,用语言值构成规则,形成一种定性的推理机制。
这种拟人控制不要求给出被控对象精确的数学模型，仅仅依据人的经验、感受和逻辑判断，将人用自然语言表达的控制经验,通过语言原子和云模型转换到语言控制规则器中，就能解决非线性问题和不确定性问题；(4)神经网络控制，业已证明神经网络(NeuralNetwork ,NN) 能够任意充分地逼近复杂的非线性关系，NN 能够学习与适应严重不确定性系统的动态特性，所有定量或定性的信息都等势分布贮存于网络内的各种神经元，故有很强的鲁棒性和容错性，也可将Q学习算法和BP神经网络有效结合，实现状态未离散化的倒立摆的无模型学习控制；(5)遗传算法( Genetic Algorithms , GA)，高晓智在Michine 的倒立摆控制Boxes 方案的基础上，利用GA 对每个BOX 中的控制作用进行了寻优，结果表明GA可以有效地解决倒立摆的平衡问题；(6)自适应控制，主要是为倒立摆设计出自适应控制器；(7)模糊控制，主要是确定模糊规则，设计出模糊控制器实现对倒立摆的控制；(8)使用几种智能控制算法相结合实现倒立摆的控制，比如模糊自适应控制，分散鲁棒自适应控制等等，(9)采用GA 与NN 相结合的算法，首先建立倒立摆系统的数学模型，然后为其设计出神经网络控制器，再利用改进的贵传算法训练神经网络的权值，从而实现对倒立摆的控制，采用GA 学习的NN 控制器兼有NN 的广泛映射能力和GA 快速收敛以及增强式学习等性能。
二级倒立摆的建模与MATLAB仿真毕业论文
二级倒立摆的建模与MATLAB仿真摘要：本文根据牛顿力学原理，使用机理建模法对二级倒立摆系统进行了建模与仿真研究。
利用最优化控制理论，研究了线性二次型最优控制器对倒立摆系统进行了有效控制。
基于MATLAB程序的设计、仿真的运行，结果表明，二级倒立摆的数学建模法是切实可行的，而且十分可靠，同时利用LQR 控制器实现了对系统的控制，可以达到系统所需要的稳定性，鲁棒性。
关键词：二次型最优控制；二级倒立摆；MATLAB1 引言倒立摆系统是一个常用的、简单的、典型的可进行控制理论研究的实验平台，很多难以用常规实验研究的控制理论问题，都可以通过倒立摆系统来进行研究从而使这些抽象的控制理论问题，通过该系统可以直观的鲜明的显示出来。
所以倒立摆系统一直是控制领域的热点，并且在这些年来在不断的发展进步对控制理论的研究起到了重要作用。
倒立摆系统是一个典型的不稳定系统，具有多变量、强耦合、非线性等特点。
同时也是仿人类行走机器人和火箭发射飞行的过程调整和直升机飞行等实际运用控制对象的最简模型。
本文建立在牛顿力学定律的基础上，研究对象设置为二级倒立摆，对其进行数学建模，再使用二次型最优控制器（linear quadratic regulator，LQR）可以得到一个最优状态反馈的矩阵K，然后在通过对Q和R两个加权矩阵的严谨选取从而实现对二级倒立摆系统良好的自动控制。
2 二级倒立摆模型建立一个典型的二级倒立摆系统主要由机械部分和电气装置两部分组成。
机械装置的结构主要由小车、摆杆1、摆杆2及连接轴等组成，电气装置的主要结构是功率放大器、电动机、驱动电路、保护电路等。
其系统的结构如图1所示。
实验假设如下：(1)小车、摆杆1、摆杆2的材料性质都是刚体的。
(2)小车的驱动力和放大器的输出直接的，无滞后的作用于小车上。
(3)忽略实验中过程中出现的不可避免的各种摩擦力如库伦摩擦力等。
图1 二级倒立摆控制系统的结构二级倒立摆的参数设定如表1。
基于LQR最优调节器的平面二级倒立摆的建模与仿真
基于1QR最优调节器的平面二级倒立摆的建模与仿真第一章绪论11研究背景1.2研究目的1.3论文结构第二章平面二级倒立摆建模与仿真2.1动力学分析2.2时间域仿真2.31QR最优调节器第三章非线性系统仿真3.1平面二级倒立摆参数识别3.2平面二级倒立摆非线性特性仿真第四章强化学习控制技术4.1强化学习控制技术原理4.2平面二级倒立摆强化学习仿真第五章改进P1D控制技术5.1P1D控制器参数确定5.2平面二级倒立摆改进PID控制仿真第六章结论6.1总结6.2展望第一章绪论当今社会，智能化机械系统的使用日渐普及，为了使其更好地实现所求的功能，对控制策略的设计和研究发挥了重要作用。
倒立摆系统是很常见的控制问题，具有时变不可知的结构，因而其调节过程十分复杂。
考虑到倒立摆的重要性，本文以平面二级倒立摆为研究对象，建立了基于1QR最优调节器的平面二级倒立摆的建模与仿真。
本文通过对平面二级倒立摆的动力学分析、时间域仿真、1QR最优调节器、平面二级倒立摆非线性特性仿真、强化学习控制和改进PID控制的实验性研究,研究了最优调节系统的建模与仿真方法。
本文的研究目的是建立平面二级倒立摆系统的动力学模型，并以此模型为基础进行研究，研究和比较1QR最优调节器和强化学习技术在此系统中的控制效果，同时提出改进P1D控制技术。
研究希望能够有效地控制平面二级倒立摆系统，针对实际工程情况应用。
本文框架如下：第一章绪论，阐述研究的背景、研究的目的以及本文的结构；第二章介绍了平面二级倒立摆系统的建模与仿真，包括动力学分析、时间域仿真和1QR最优调节器；第三章介绍了平面二级倒立摆参数识别和非线性特性仿真；第四章介绍了强化学习控制；第五章介绍了改进P1D控制；最后，第六章总结出本文的研究结果，并对未来的工作进行展望。
第二章平面二级倒立摆建模与仿真本章首先介绍了平面二级倒立摆系统的动力学分析，然后进行仿真，在此基础上利用1QR最优调节技术进行控制。
二级倒立摆数学模型的建立与仿真
0 9.7965 -0.8639 23.1980 -1.9807 0.1164
0 -55.0076 23.7731 -97.4668 46.2695 -25.2530
0 80.8145 -52.5041 115.9299 -51.2610 78.6255
满秩。
能观测性判据二：
（1）当系统特征值互异时，若线性定常连续系统的特征值 互异，则状态完全能观测的充分必要条件是系统经非奇异线性变换后的对角线标准型
（3-6）
的矩阵 中不包含元素全为零的列。
（3）当系统含有重特征值时，其重特征值
则系统状态完全能观测的充分必要条件为，系统经非奇异变换后的约定标准型
（3-7）
（2）当系统含有重特征值时，其重特征值
也就是说每一个重特征值只用一个约当块表示。则系统状态完全能控的充分必要条件为，系统经非奇异变换后的约定标准型
（3-3）
中，和每个约当块Ji(i=1,2, ,k)的最后一行相对应的 矩阵中的所有那些行，其元素不全为零。
能控标准型:
（3-4）
（3）系统的可观测性
线性定常连续系统
能控性判据
能控性判据一：
线性定常连续系统（如（3-1）式）状态完全可控的条件为：当且仅当向量组 是线性无关的，或n×n维矩阵[ ]的秩为n。
能控性判据二：
（1）当系统特征值互异时，若线性定常连续系统的特征值 互异，则状态完全可控的充分必要条件是系统经非奇异线性变换后的对角线标准型：
（3-2）
的矩阵 中不包含元素全为零的行。
（3-5）
如果对任意给定的输入u，都存在一有限观测时间tf>t0，使得根据[t0,tf]期间的输出y唯一的确定系统在初始时刻的状态x(t0)，则称此状态x(t0)是能观测的。如果系统的所有状态都是能观测的，则称此系统是状态完全能观测的，或简称系统是能观测的。
二级倒立摆数字控制器仿真设计
题， 运用现代控制理论 ， 并以 Ｍ ｔｂ ａａ 语言为辅助工具 ， ｌ 在计算机上进行二级倒立摆数字控制器的分
析 与设计 ． 通过 对二级倒 立摆数 字最优 控制 器和 降阶观 测 器的设 计 ， 系统 的稳 定性 和 性 能指 标达 使
统作为控制对象 ， 运用现代控制理论 ， 以 Ｍ Ｔ Ａ 并 Ａ ＬＢ
语言 为辅 助设计 工具 ， 计 算机 上 进行 二 级倒 立 摆 在 数字控 制器 的分 析与设 计．
Ｖ Ｉ２ Ｎ ． ｏ＿ ３ ｏ１ Ｆｂ ０ ８ ｅ ．２ ０
２０ ０ ８年 ２月
文章编号 ：０４—１７ （０ ８ ０ － ０ ６— ４ １０ ４ ８ ２０ ） １ ０ ９ ０
二级倒立摆数字控制 器仿真设计
牛 月兰 ， 冯巧玲 ， 吴 娟
（ 郑州轻 ＿业 学院 电气信 息＿ 程学 院，河 南 郑州 ４００ ） Ｔ － Ｔ － ５０ ２
ｈｖ ａ ａ ｉｔ，ｍ ｌｃｎｒｌ ｏ ｍｅａｄｓｏ ｄｕｔ ｎ ｍ ． ａｅｈ ｄｓ ｂｌｙ ｓ ａ ｏｔ ｌ ｎ ｈｒ ａ ｊｓ ｔ ｉ ｅ ｔ ｉ ｌ ｏｖ ｕ ｔ ｍｅ ｔ Ｋｅ ｏ ｄ ：ｏ ｂｅｉｖｒ ｄｐ ｎ ｕｕ ｄ ｔ ｏｔ ｌ ｒｒｄ ｃｄｏｄ ｒ ｂｅｖｒ ｙｗ ｒｓ ｄ ｕ ｌ ｎｅ ｅ ｅ ｄ ｌｍ；ｉ ａ ｃｎｒ ｌ ； ｕ ｅ —ｒｅ ｓ ｅ ｔ ｉ ｇ ｌ ｏｅ ｅ ｏ ｒ
ｔ ｅ ｒ ｓ ｖ ｒ ｆ ｃｉｅ Ｂ ｓ ｆ ｄ ｍ ｏ ｔ ｌ ｅ ｒ ｎ ｔ ｉ ｅ ｅ ｉｎ ｔ ｏｓ ｔ ｅ ｄ ｕ ｌ ｎ ｅ ｅ ｈ ｏ ｉ ｅ ｅｆ ｔ ． ｙｕ ｅ ｏ ｙ ｙ ｅ ｖ ｍｏ ｅ ｃ ｎ ｒ ｏ ａ ｄ Ｍａ ｌ ａｄ ｄ ｄ ｓ ｏ ｌ ， ｏ ｂ ｅ ｉｖ ｒ ｄ ｏ ｔ ｙ ｈ ｂ ａ ｇ ｈ ｔ
基于LMI的二级倒立摆的建模与仿真
基于LMI的二级倒立摆系统的∞H鲁棒控制摘要倒立摆系统为典型的快速、多变量、非线性、绝对不稳定系统, 且存在不确定因素。
针对二级倒立摆系统中所受摩擦的不确定性，采用LMI方法, 建立了二级倒立摆模型，设计了∞H鲁棒控制器, 给出了控制器的求解方法。
仿真实验结果证明了该控制方法的有效性和可行性，并且具有很好的鲁棒稳定性和响应速度快的优越性，对高阶次不稳定系统具有很好的控制效果。
关键词：二级倒立摆；线性矩阵不等式（LMI）;∞H鲁棒控制0 引言现代控制工程所面临的问题极其复杂。
实际的工程控制系统中, 总是存在一定的不确定性。
倒立摆即是一个包含不确定性的系统, 也是控制理论的一个理想实验平台, 对倒立摆系统的研究具有重要的理论和实际意义。
本文采用线性矩阵不等式(LMI)方法，设计了二级倒立摆系统的鲁棒∞H状态反馈控制器，有效地克服了用求解两个联立的里卡迪方程获得∞H控制器时求解过程不容易收敛的困难，并且可降低控制器参数的数量级，使其在实控上易于实现。
根据文献[1]中对LMI的处理方法, 对二级倒立摆系统进行了仿真研究，结果表明，这样的控制方法可使二级倒立摆系统具有很好的鲁棒稳定性。
1 二级倒立摆系统建模1.1 倒立摆系统结构图1是二级倒立摆的系统结构图，它由三部分组成：计算机、电气部分和机械部分。
计算机部分有A/D、D/A转换模块，运动控制卡和PC机；电气部分主要有：光电编码器、直流功率放大器、伺服电机和保护电路；机械部分有摆杆、轨道、运动小车和皮带轮等。
计算机伺服驱动器运动控制卡伺服电机小车下摆杆上摆杆光电编码器1光电编码器2光电编码器3图1 二级倒立摆系统结构图1.2 倒立摆系统特性分析倒立摆系统是典型的机械电子系统，具有如下特性：（1）欠冗余性。
一般的倒立摆控制系统采用单电机驱动，无冗余结构。
采用欠冗余的设计方法主要是在不失系统可靠性的前提下节约经济成本或节约有效的空间。
（2）仿射非线性系统。
倒立摆控制系统是一种典型的仿射非线性系统，可以用微分几何的方法进行分析。
二级倒立摆仿真研究
长江大学工程技术学院毕业设计(论文)题目名称二级倒立摆的仿真研究系部信息系专业班级测控技术与仪器61101班学生姓名王健新指导教师张国胜/讲师辅导教师张国胜/讲师时间2014年9月至2015年6月目录任务书 (Ⅰ)开题报告 (Ⅱ)指导教师审查意见 (Ⅲ)评阅教师评语 (Ⅳ)答辩会议记录 (Ⅴ)中文摘要 (Ⅵ)外文摘要 (Ⅶ)1绪论 (2)1.1倒立摆系统的研究背景 (2)1.2倒立摆系统的发展趋势 (1)1.3倒立摆系统的研究目的及意义 (3)1.4本论文主要研究内容和思想 (4)2直线二级倒立摆 (5)2.1二级倒立摆的实现原理 (5)2.2二级倒立摆组成结构与实物模型 (6)2.3数学模型的建立及系统分析 (8)2.4系统可控可观性分析 (15)3直线二级倒立摆MATLAB仿真 (17)3.1MATLAB/S IMULINK中二级倒立摆的仿真 (17)3.2二级倒立摆MATLAB中控制器的设计 (19)4二级倒立摆的LQR实物控制实验 (14)4.1二级倒立摆的安装 (14)4.2实物控制 (26)5系统的异常分析与处理 (31)5.1处理以及分析系统的非线性 (31)5.2处理及分析系统的干扰 (31)6总结与展望 (33)6.1总结 (33)6.2展望 (34)参考文献 (34)致谢 (36)长江大学工程技术学院毕业设计(论文)任务书系信息系专业测控技术与仪器班级测控61101 班学生姓名王健新指导教师/职称张国胜/讲师1．毕业设计(论文)题目：二级倒立摆的仿真研究2．毕业设计(论文)起止时间：2014年9月1日～2015年6月1日3．毕业设计(论文)所需资料及原始数据（指导教师选定部分）[1] 高等学校毕业设计指导手册(电子信息卷).北京:高等教育出版社,1998年[2]史晓霞等，二级倒立摆系统数学模型的建立和意义，河北工业大学学报，2001(10):48一51。
[3]宋君烈等，倒立摆系统的Lagrange方程建模与模糊控制，东北大学学报，2002(4):333一337。
直线二级倒立摆系统MATLAB模型的建立与仿真
直线二级倒立摆系统模型的建立与仿真1 引言倒立摆是一个高阶次、非线性、快速、多变量、强藕合、不稳定的系统。
在控制理论发展过程中，倒立摆常常被做为典型的被控对象来验证某一理论的正确性，以及在实际应用中的可行性，通过对倒立摆引入一个适当的控制方法使之成为一个稳定系统，来检验控制方法对不稳定性、非线性和快速性系统的处理能力。
该控制方法在军工、航天、机器人等领域和一般工业过程中都有广泛应用。
本文主要讨论二级倒立摆系统模型的建立和仿真。
2二级倒立摆系统数学模型直线二级倒立摆系统是由直线运动模块和两级倒立摆组件组成。
主要包括导轨、小车和各级摆杆、编码器等元件。
由驱动电机给小车施加一个控制力，迫使小车在导轨上左右移动。
而小车的位移和各级摆杆角度由编码器测得。
倒立摆的控制目标是使倒立摆的摆杆能在有限长的导轨上快速的达到竖直向上的稳定状态，以实现系统的动态平衡，并且小车位移和摆杆角度的振荡幅度较小，系统具有一定的抗干扰能力。
系统简化后的直线二级倒立摆系统物理结构图如图2.1所示。
图1.二级倒立摆系统模型系统模型建立所用的各参数如下：应用Lagrange 方程建立的数学模型为012221221211121221222212212222cos (,)cos()cos cos()1121111121111m +m +m (m l +m L )cos m l H (m l +m L )cos J m l m L m l L m l m l L J m l θθθθθθθθθθ⎡⎤⎢⎥=++-⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦.1011...1221212122.11222cos (,,,)0(0(112222222f m l +m L sin m l H f f m l L sin f m l L sin f f θθθθθθθθθθθθθ⎡⎤-•⎢⎥⎢⎥=--•+⎢⎥⎢⎥-•+-⎢⎥⎣⎦111（）-)-) 312(,)h θθ= [0 11211()sin m l m L g θ+ 212sin m l g θ] T0h =[1 0 0]T()1121212121312022(,)(,,,),x x H H h h u θθθθθθθθθθθθ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦3 倒立摆PID控制器系统PID控制是比例积分微分控制的简称。
基于LQR最优调节器的平面二级倒立摆的建模与仿真
基于LQR最优调节器的平面二级倒立摆的建模与仿真姜岩蕾;史增芳【摘要】倒立摆控制系统是一个典型的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合控制系统.通过研究分析平面二级倒立摆控制系统的数学模型,用线性二次型最优调节器(LQR),实现对二级倒立摆的最优控制,MATLAB仿真结果表明了该方法的有效性.【期刊名称】《精密制造与自动化》【年(卷),期】2016(000)002【总页数】4页(P26-29)【关键词】最优控制器;倒立摆;最优控制【作者】姜岩蕾;史增芳【作者单位】河南工业职业技术学院河南南阳 473000;河南工业职业技术学院河南南阳 473000【正文语种】中文倒立摆是理想的自动控制教学实验设备，它能全方位地满足自动控制教学的要求。
许多抽象的控制概念如系统稳定性、可控性、系统收敛速度和系统抗干扰能力等，都可以通过倒立摆直观地表现出来[1]。
由于倒立摆系统的高阶次、严重不稳定、多变量、非线性和强耦合等特性，吸引着许多学者和研究人员不断地从倒立摆控制中发掘新的控制策略和算法，文献[2]、[3]提出了基于模糊神经网络的倒立摆控制系统，该方法有效地克服了系统存在的非线性和不确定性，但该方法过分依赖人类直接控制被控对象的经验。
文献[4]、[5]提出了倒立摆拟人控制方法，系统的稳定范围大，鲁棒性好，但控制率从定性到定量的转化较复杂。
本文采用基于状态空间设计法的LQR最优调节器，较好地兼顾了系统的鲁棒稳定性和快速性。
MATLAB 仿真结果表明了该方法的有效性。
倒立摆系统最终的控制目的是使倒立摆这样一个不稳定的被控对象，通过引入适当的控制策略使之称为一个能够满足各种性能指标的稳定系统。
首先对摆杆进行空间几何建模。
采用如图1所示的坐标，并定义如下参数：：X方向平台运动部分以及摆体支座质量；：Y方向平台运动部分以及摆体支座质量；：摆杆1长度；：摆杆2长度；：摆杆1质量；：摆杆2质量；：两摆杆中间连接质量块的质量。
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考虑本仿真系统，X 和Y 向具有类同性，以X 向作为代表性分析，Y 向类似。
X 向初始条件：1120x=x ααα====
20.05α=
001000
000100000010
00000050.223514.7272000050.890849.4875000A ⎛⎫
⎪
⎪ ⎪
=
⎪ ⎪ ⎪
- ⎪
⎪-⎝
⎭
00015.12485.19294B ⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭
100000010000001000C ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
000D ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
仿真系统程序图
1. 状态控制器设计
（1） 取矩阵(111111)1r r Q diag R == 阶跃输入（X=0.1）
得[1.0000 13.4672 95.6968 2.3975 10.7845 15.9971]r K =
状态曲线图（黄色代表X ，紫色代表1α，绿色代表2α）
状态的一阶导数曲线（黄色代表X ，紫色代表1α，绿色代表2α）
u 的曲线
12250%70.450.70.62s t s x u σαα==≤≤≤≤
结果:指标不理想
（2） 取矩阵(20011111)1r r Q diag R == 阶跃输入（X=0.1） 得[14.1421 64.9555 166.3031 14.7223 25.4912 28.8348]r K =
状态曲线图（黄色代表X ，紫色代表1α，绿色代表2α）
状态的一阶导数曲线（黄色代表X ，紫色代表1α，绿色代表2α）
u 的曲线
1260%20.4 1.00.8 2.8s t s x u σαα==≤≤≤≤
结果:指标有改善,需要细致调整。
（3） 取矩阵(111111)10r r Q diag R == 阶跃输入（X=0.1） 得[0.3162 6.1247 81.2826 1.0619 8.3252 13.4153]r K =
状态曲线图（黄色代表X ，紫色代表1α，绿色代表2α）
状态的一阶导数曲线（黄色代表X ，紫色代表1α，绿色代表2α）
u 的曲线
12460%100.450.70.62s t s x u σαα=≥≤≤≤≤
结果：指标变差，调整r R 破坏了性能指标。
（4） 取矩阵(200250100111)1r r Q diag R == 阶跃输入（X=0.1）
得[14.1421 73.6187 184.4947 15.5483 28.5259 31.9498]r K =
状态曲线图（黄色代表X ，紫色代表1α，绿色代表2α）
状态的一阶导数曲线（黄色代表X ，紫色代表1α，绿色代表2α）
u 的曲线
1255% 2.30.45 1.2 1.04s t s x u σαα≤=≤≤≤≤
结果：指标有改善，基本达到要求。
（5） 取矩阵(200400100111)1r r Q diag R == 阶跃输入（X=0.1）
得[14.1421 76.0376 191.5354 15.7712 29.5323 33.0307]r K =
状态曲线图（黄色代表X ，紫色代表1α，绿色代表2α）
状态的一阶导数曲线（黄色代表X ，紫色代表1α，绿色代表2α）
u 的曲线
1255%20.41 1.0 3.2s t s x u σαα≤=≤≤≤≤
结果：指标与前次指标相当，改善不大。
（6） 取矩阵(400400100111)1r r Q diag R == 阶跃输入（X=0.1）
[20.0000 95.8247 214.6783 20.7871 34.8475 37.4409]r K =
状态曲线图（黄色代表X ，紫色代表1α，绿色代表2α）
状态的一阶导数曲线（黄色代表X ，紫色代表1α，绿色代表2α）
u 的曲线
1242% 1.90.410.95 3.4
s t s x u σαα==≤≤≤≤
结果：指标有改善
（7） 取矩阵(6006001111)1r r Q diag R == 阶跃输入（X=0.1）
[24.4948 113.4059 238.2895 24.8370 39.8287 41.7688]r K =
状态曲线图（黄色代表X ，紫色代表1α，绿色代表2α）
状态的一阶导数曲线（黄色代表X ，紫色代表1α，绿色代表2α）
u 的曲线
1234% 1.80.37 1.051 3.6s t s x u σαα==≤≤≤≤
结果：指标有改善
（8） 取矩阵(60011111)1r r Q diag R == 阶跃输入（X=0.1）
[24.4948 97.2381 206.9393 23.1529 34.3831 36.2975]r K =
状态曲线图（黄色代表X ，紫色代表1α，绿色代表2α）
状态的一阶导数曲线（黄色代表X ，紫色代表1α，绿色代表2α）
u 的曲线
1240% 1.50.410.9 3.2s t s x u σαα==≤≤≤≤
结果：指标与前次指标相比，超调量增加，调节时间变小，基本达到要求。
2. 输出控制器设计
（1）取矩阵(111)1Q diag R ==ｙｙ 阶跃输入（X=0.1）
[1.0000 11.1225 88.9294 2.0663 9.8267 14.7859]K =ｙ
状态曲线图（黄色代表X ，紫色代表1α，绿色代表2α）
状态的一阶导数曲线（黄色代表X ，紫色代表1α，绿色代表2α）
u 的曲线
12270%90.450.70.62s t s x u σαα==≤≤≤≤
结果：指标不理想
（2）取矩阵(20011)1Q diag R ==ｙｙ 阶跃输入（X=0.1）
[14.1421 63.1246 160.5615 14.5073 24.7031 27.8219]K =ｙ
状态曲线图（黄色代表X ，紫色代表1α，绿色代表2α）
状态的一阶导数曲线（黄色代表X ，紫色代表1α，绿色代表2α）
u 的曲线
1260% 2.50.4 1.10.93s t s x u σαα==≤≤≤≤
结果：指标有改善，需要细致调整。
（3）取矩阵(111)10Q diag R ==ｙｙ 阶跃输入（X=0.1）
[0.3162 5.7215 80.2957 1.0008 8.1743 13.2384]K =ｙ
状态曲线图（黄色代表X ，紫色代表1α，绿色代表2α）
状态的一阶导数曲线（黄色代表X ，紫色代表1α，绿色代表2α）
u 的曲线
12480%100.450.70.62s t s x u σαα=≥≤≤≤≤
结果：指标变差，调整R ｙ破坏了性能指标。
（4）取矩阵(200400100)1Q diag R ==ｙｙ 阶跃输入（X=0.1）
[14.1421 76.4105 188.1828 15.7736 29.3333 32.5804]K =ｙ
状态曲线图（黄色代表X ，紫色代表1α，绿色代表2α）
状态的一阶导数曲线（黄色代表X ，紫色代表1α，绿色代表2α）
u 的曲线
1250% 2.50.4 1.00.9 3.2s t s x u σαα==≤≤≤≤
结果：指标明显改善，基本达到要求。
（5）取矩阵(400400100)1Q diag R ==ｙｙ 阶跃输入（X=0.1）
[19.9999 94.4117 209.9881 20.6237 34.2177 36.6144]K =ｙ
状态曲线图（黄色代表X ，紫色代表1α，绿色代表2α）
状态的一阶导数曲线（黄色代表X ，紫色代表1α，绿色代表2α）
u 的曲线
1240% 1.90.4 1.00.95 3.4s t s x u σαα==≤≤≤≤
结果：指标有改善
（6）取矩阵(4004001)1Q diag R ==ｙｙ 阶跃输入（X=0.1）
[19.9999 94.0005 208.4758 20.5829 34.0190 36.3947]K =ｙ
状态曲线图（黄色代表X ，紫色代表1α，绿色代表2α）
状态的一阶导数曲线（黄色代表X ，紫色代表1α，绿色代表2α）
u 的曲线
1240% 1.90.4 1.00.95 3.4s t s x u σαα==≤≤≤≤ 结果：指标与前次指标相同
（7）取矩阵(40011)1Q diag R ==ｙｙ 阶跃输入（X=0.1） [20.0000 81.6329 184.0645 19.3178 29.8179 32.1367]K =ｙ
状态曲线图（黄色代表X ，紫色代表1α，绿色代表2α）
状态的一阶导数曲线（黄色代表X ，紫色代表1α，绿色代表2α）
u 的曲线
1246% 1.60.40.950.93s t s x u σαα==≤≤≤≤
结果：指标与前次指标对比，超调量增加，调节时间变小，基本达到要求。