数学教案高等数学应用
高等数学教案word版
高等数学教案word版篇一：高等数学上册教案篇二：《高等数学》教案《高等数学》授课教案第一讲高等数学学习介绍、函数了解新数学认识观，掌握基本初等函数的图像及性质；熟练复合函数的分解。
函数概念、性质（分段函数）—基本初等函数—初等函数—例子（定义域、函数的分解与复合、分段函数的图像）授课提要：前言：本讲首先是《高等数学》的学习介绍，其次是对中学学过的函数进行复习总结（函数本质上是指变量间相依关系的数学模型，是事物普遍联系的定量反映。
高等数学主要以函数作为研究对象，因此必须对函数的概念、图像及性质有深刻的理解）。
一、新教程序言1、为什么要重视数学学习（1）文化基础——数学是一种文化，它的准确性、严格性、应用广泛性，是现代社会文明的重要思维特征，是促进社会物质文明和精神文明的重要力量；（2）开发大脑——数学是思维训练的体操，对于训练和开发我们的大脑（左脑）有全面的作用；（3）知识技术——数学知识是学习自然科学和社会科学的基础，是我们生活和工作的一种能力和技术；（4）智慧开发——数学学习的目的是培养人的思维能力，这种能力为人的一生提供持续发展的动力。
2、对数学的新认识（1）新数学观——数学是一门特殊的科学，它为自然科学和社会科学提供思想和方法，是推动人类进步的重要力量；（2）新数学教育观——数学教育（学习）的目的：数学精神和数学思想方法，培养人的科学文化素质，包括发展人的思维能力和创新能力。
（3）新数学素质教育观——数学教育（学习）的意义：通过“数学素质”而培养人的“一般素质”。
[见教材“序言”]二、函数概念1、函数定义：变量间的一种对应关系（单值对应）。
（用变化的观点定义函数），记：y?f(x)（说明表达式的含义）(1)定义域：自变量的取值集合（D）。
(2)值域：函数值的集合，即{yy?f(x),x?D}。
例1、求函数y?ln(1?x2)的定义域？2、函数的图像：设函数y?f(x)的定义域为D，则点集{(x,y)y?f(x),x?D} 就构成函数的图像。
高等数学的教学设计与应用——以“定积分的概念”为例
探索的科学精神"学会用所学知识解决生活中所遇到的实 个常量还是变量/ -(.定义中提到的两个任意性有什么意
际问题$ 介绍定积分时"引导学生深刻体会习近平总书记 义/ -3.定积分的大小主要由哪些因素决定/ 学生经历之
提出的*人类命运共同体+"使学生认识到任何个人都不可 前的引例以及自主练习"很容易得到相关的结论"即!
以此更好地理解定积分的概念$ 课外时间利用网络的学
4
图 图 K4444444444 H
习交流平台"与学生探讨知识"答疑解惑"使所有的疑惑能 够得到及时的解决"以便后续学习能畅通无阻$
结语
如果在%5"6&上!-&.)% 有正有负"则*6!-&. 7&的值 5
表示由曲线%`!-&. 直线 # &`5"&`6"%`% 所围图形在&轴 上方的面积减去在&轴下方的面积"即如下图$
能独善其身"要做到尽职尽责"才能实现共同发展$ 这种 -$.如果函数!- &. 在% 5"6& 上连续"或函数!- &. 在
思想方法贯穿于各个领域"小到身边事"大到国家事"乃至 %5"6&上有界"且只有有限个间断点"则函数!-&.在%5"6&
整个世界$
上可积$
)&( 抽象数学概念
-).定积分是一种和式的极限"即是一个实数$
们后期的计算"即将区间%%"$&分成0 等份"即&;`$0 "选
高中数学图像及应用教案
高中数学图像及应用教案
一、教材内容：函数及其应用
二、教学目标：
1. 了解函数的概念及性质；
2. 掌握函数的图像绘制方法；
3. 学习函数在现实生活中的应用。
三、教学重点：
1. 函数的定义和性质；
2. 函数图像的绘制方法；
3. 函数在日常生活中的应用。
四、教学难点：
1. 函数的图像在坐标系中的表示；
2. 函数在实际问题中的应用。
五、教学流程：
1. 引入：通过展示一些图像，引导学生了解函数的概念。
2. 知识点讲解：讲解函数的定义和性质，介绍函数在坐标系中的表示方法。
3. 图像绘制：教授函数图像的绘制方法，让学生在纸上练习绘制。
4. 应用实例：通过实际问题，演示函数在生活中的应用，帮助学生理解函数的实际意义。
5. 课堂练习：让学生自己动手计算绘制一些函数的图像，并解决相关问题。
6. 总结：总结本节课的重点知识，强化学生对函数概念的理解。
六、教学资源：
1. 笔记本、白板、彩色笔；
2. 图形计算器、函数绘图软件。
七、课后作业：
1. 复习本节课的内容，巩固函数的概念；
2. 练习绘制更多函数的图像，并分析函数的性质；
3. 思考函数在日常生活中的应用场景。
以上是一份高中数学图像及应用教案范本，可根据实际教学情况进行调整和补充。
希望对您有所帮助。
高等数学教案各章的教学目的、重点、难点
高等数学教案各章的教学目的、重点、难点一、极限与连续教学目的：1. 理解极限的概念，掌握极限的计算方法。
2. 理解函数的连续性，掌握连续函数的性质。
重点：1. 极限的定义及计算方法。
2. 连续函数的性质及判定。
难点：1. 极限的计算，特别是极限的超越类型。
2. 连续函数的性质的证明。
二、导数与微分教学目的：1. 理解导数的概念，掌握导数的计算方法。
2. 掌握微分法则，能应用微分解决实际问题。
重点：1. 导数的定义及计算方法。
2. 微分法则及应用。
难点：1. 高阶导数的计算。
2. 微分在实际问题中的应用。
三、积分与不定积分教学目的：1. 理解积分的基本概念，掌握不定积分和定积分的计算方法。
2. 掌握积分的应用，如求解曲线长度、面积、体积等。
重点：1. 不定积分和定积分的计算方法。
2. 积分的应用。
难点：1. 不定积分的计算，特别是含有复杂函数的积分。
2. 定积分的应用，如求解曲线长度、面积、体积等。
四、定积分与微分方程教学目的：1. 理解定积分的概念，掌握定积分的计算方法。
2. 掌握微分方程的解法，能应用微分方程解决实际问题。
重点：1. 定积分的定义及计算方法。
2. 微分方程的解法及应用。
难点：1. 定积分的计算，特别是定积分的反常积分。
2. 微分方程的解法的应用。
五、线性代数基本概念教学目的：1. 理解向量、矩阵、行列式的基本概念，掌握它们的运算。
2. 理解线性方程组的概念，掌握解线性方程组的方法。
重点：1. 向量、矩阵、行列式的运算。
2. 线性方程组的解法。
难点：1. 向量空间的概念及应用。
2. 线性方程组的解法的应用。
六、向量空间与线性变换教学目的：1. 理解向量空间的概念，掌握向量空间的基本性质。
2. 理解线性变换的概念，掌握线性变换的性质和计算。
重点：1. 向量空间的基本性质，如基、维数、张量。
2. 线性变换的性质，如线性、可逆性、矩阵表示。
难点：1. 向量空间的子空间及其之间的关系。
2. 线性变换的计算和应用。
高等数学教案各章的教学目的、重点、难点
一、前言教学目的：使学生了解高等数学的基本概念、方法和应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
重点：高等数学的基本概念、方法和应用。
难点：理解并掌握高等数学中的抽象概念和方法。
二、极限与连续教学目的：使学生了解极限的概念，掌握极限的计算方法，理解函数的连续性。
重点：极限的概念和计算方法，函数的连续性。
难点：理解极限的直观意义，掌握无穷小和无穷大的概念。
三、导数与微分教学目的：使学生了解导数的概念，掌握导数的计算方法，理解导数在实际问题中的应用。
重点：导数的概念和计算方法，导数在实际问题中的应用。
难点：理解导数的几何意义，掌握高阶导数的计算方法。
四、积分与不定积分教学目的：使学生了解积分的概念，掌握积分的计算方法，理解积分在实际问题中的应用。
重点：积分的概念和计算方法，积分在实际问题中的应用。
难点：理解积分的直观意义，掌握换元积分和分部积分的方法。
五、定积分与面积教学目的：使学生了解定积分的概念，掌握定积分的计算方法，理解定积分在实际问题中的应用。
重点：定积分的概念和计算方法，定积分在实际问题中的应用。
难点：理解定积分的性质，掌握定积分的计算技巧。
六、微分方程教学目的：使学生了解微分方程的基本概念，掌握一阶微分方程的解法，理解微分方程在实际问题中的应用。
重点：微分方程的基本概念，一阶微分方程的解法，微分方程在实际问题中的应用。
难点：理解微分方程的解的存在性定理，掌握高阶微分方程的解法。
七、线性代数基本概念教学目的：使学生了解线性代数的基本概念，掌握矩阵的运算，理解线性方程组的解法。
重点：线性代数的基本概念，矩阵的运算，线性方程组的解法。
难点：理解线性空间和线性变换的概念，掌握矩阵的特征值和特征向量。
八、线性方程组与矩阵教学目的：使学生了解线性方程组的基本概念，掌握线性方程组的解法，理解矩阵的应用。
重点：线性方程组的基本概念，线性方程组的解法，矩阵的应用。
难点：理解线性方程组的解的存在性定理，掌握矩阵的逆矩阵。
高中数学实际应用教案
高中数学实际应用教案主题：汽车行驶里程的计算课时：1课时教学目标：1. 了解汽车行驶里程的计算方法；2. 理解速度、时间和里程的关系；3. 能够应用数学知识解决实际问题。
教学内容：1. 汽车速度的概念；2. 行驶时间的计算；3. 里程的计算方法。
教学步骤：1. 导入：通过提问引导学生思考，让学生了解为什么需要计算汽车行驶里程。
2. 理论讲解：介绍汽车速度、行驶时间和里程的概念，以及它们之间的关系。
3. 实例分析：给出一个具体的问题，让学生利用所学知识计算汽车行驶的里程。
4. 练习训练：让学生在课堂上做一些相关练习，加深对知识的理解。
5. 拓展应用：让学生自主思考如何将所学知识应用到更加复杂的实际问题中。
6. 总结提问：通过提问让学生总结本节课所学内容，并检验他们的掌握程度。
教学资源：1. 教材相关知识点；2. 电子白板或投影仪。
教学反馈：1. 在课堂上及时指出学生的错误，并纠正；2. 鼓励学生参与讨论，提出问题。
教学延伸：1. 可以利用实际情境让学生进行模拟计算，加深对知识的理解；2. 可以邀请汽车行业的专业人士进行讲解，让学生更好地理解汽车行驶里程的计算方法。
教学评价：1. 学生对汽车行驶里程的计算方法有了初步的了解；2. 学生能够运用所学知识解决一般实际问题；3. 学生在课后能够继续巩固所学知识。
教学备注：本节课的教学目标主要是让学生了解汽车行驶里程的计算方法，并能够应用所学知识解决实际问题。
教师在课堂上应注重引导学生思考，让他们自主探索知识，提升他们的学习兴趣和自主学习能力。
《高等数学》标准教案
《高等数学》标准教案第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质教学目标：了解函数的定义，掌握函数的性质及常见函数类型。
教学内容：函数的定义，函数的单调性、奇偶性、周期性。
教学方法：通过实例讲解，引导学生理解函数的概念，运用性质进行分析。
1.2 极限的概念与性质教学目标：理解极限的概念，掌握极限的性质及求解方法。
教学内容：极限的定义，极限的性质，无穷小与无穷大，极限的求解方法。
教学方法：通过具体例子，引导学生理解极限的概念，运用性质及方法求解极限。
第二章：微积分基本概念2.1 导数与微分教学目标：理解导数的定义，掌握基本导数公式及微分方法。
教学内容：导数的定义，基本导数公式，微分的方法及应用。
教学方法：通过实际例子，引导学生理解导数的概念，运用公式及方法进行微分。
2.2 积分与微分方程教学目标：理解积分的概念，掌握基本积分公式及解微分方程的方法。
教学内容：积分的定义，基本积分公式，微分方程的解法。
教学方法：通过具体例子，引导学生理解积分的概念，运用公式及方法解微分方程。
第三章：多元函数微分学3.1 多元函数的概念与性质教学目标：了解多元函数的定义，掌握多元函数的性质及常见类型。
教学内容：多元函数的定义，多元函数的性质，常见多元函数类型。
教学方法：通过实例讲解，引导学生理解多元函数的概念，运用性质进行分析。
3.2 多元函数的求导法则教学目标：理解多元函数求导法则，掌握多元函数的求导方法。
教学内容：多元函数的求导法则，多元函数的求导方法。
教学方法：通过具体例子，引导学生理解多元函数求导法则，运用方法进行求导。
第四章：重积分与曲线积分4.1 二重积分及其应用教学目标：理解二重积分的定义，掌握二重积分的计算方法及应用。
教学内容：二重积分的定义，二重积分的计算方法，二重积分在几何及物理中的应用。
教学方法：通过具体例子，引导学生理解二重积分的概念，运用计算方法进行计算。
4.2 曲线积分的概念与应用教学目标：理解曲线积分的定义，掌握曲线积分的计算方法及应用。
《应用高等数学》+说课稿
《应用高等数学》说课稿1、课程定位与目标1.1 课程定位课程名称：应用高等数学课程性质：公共基础课课程定位：服务于专业课授课对象: 大一学生各专业前后续课程：承接初等数学，对接专业课学时：64学时1。
2 课程目标（1）知识目标1)熟练掌握基本计算方法和计算工具。
2)掌握专业课学习必需的数理知识。
3）了解基本数学思想和论证方法。
（2）能力目标1）能解决专业技术中的计算问题。
2）能应用数学思想分析问题。
3）会使用数学模型解决问题。
(3）素质目标1）具有较好的运算能力、数据处理能力和逻辑思维能力。
2）具有一定的数学素养及数学思维.3）具有较强的自学能力。
2、教学内容与资源2.1 教学内容2。
2 重难点解决办法（1)重点：1）选择最本质的知识作为教学重点.2）教学内容要反映学生专业发展及终身学习的需要。
3)教学内容组织要重视过程，引导学生思考、探索。
(2）难点：1）处理好直观与抽象的关系。
2）教学内容贴近学生实际，充分利用学生的直接经验.3）教学方法要符合学生的认知发展规律。
2.3 选用教材(1）教材:高等职业教育十三五规划教材《高等数学-理工版》.（2）教材特点：1）内容全面，满足理工科学生的需求；2）知识模块化，符合高职高专学生的认知规律。
2。
4 其他教学条件(1）信息化教学平台：慧道智慧课堂.（2)图书资源：学校图书馆现有高等数学相关的文献、书籍。
（3）网络资源:网易公开课，可汗学院公开课，其他院校的公开课等网络教学资源。
2.5 教学团队4、教学模式与设计4。
1 学情分析2017级汽修专业和新能源专业学生的高考数学成绩在50分以下分别占85%和67%,学生初等数学基础较薄弱。
但学生具有一定初等数学基础、学习态度认真、对知识的实际应用感兴趣的。
4。
2 教学模式(倡导自主、合作、探究式学习）（1）知识建构模式：复习旧知识→创设情境→引入新概念→案例分析→实践练习如函数、导数、微积分、行列式、概率统计等概念性内容.（2）自学—辅导模式:课前预习→课中总结→例题讲解→课堂练习→课后练习如极限的计算、微积分的计算、微分方程求解等运算知识。
高中数学应用举例教案
高中数学应用举例教案
主题：数学应用举例
时间：2课时
目标：学生能够运用所学数学知识解决实际问题。
教学内容：数学应用举例
教学步骤：
一、导入（5分钟）
教师简单介绍今天的教学内容，让学生明白数学不仅仅是理论，更是应用于解决实际问题的工具。
二、观察问题（10分钟）
1. 教师出示一个实际生活中的问题，例如：小明有一块长方形的花园，宽为10米，长为15米，求花园的面积和周长。
2. 让学生自由讨论解决这个问题的方法，并让其发现相关数学知识点。
三、理解概念（15分钟）
1. 教师引导学生总结出求长方形面积和周长的公式。
2. 教师讲解如何利用公式求解上面提到的问题，让学生理解所学数学知识在实际问题中的应用。
四、练习运用（20分钟）
1. 学生自行计算几个类似问题，如正方形、三角形等的面积和周长。
2. 学生结合实际情境，设计一个自己的问题，并用所学知识解决。
五、总结（5分钟）
教师带领学生总结今天的学习内容，强调数学在实际生活中的重要性。
六、作业布置（5分钟）
布置作业：综合练习册中的相关题目，巩固所学知识。
七、课堂反馈（5分钟）
学生互相讨论、巩固今天的学习内容，教师可以随机点名学生回答问题。
(完整word版)高等数学教案
高等数学教案教 学 过 程§3 函数的极限一、函数的极限1．自变量趋于有限值时函数的极限定义:如果当x 无限接近于xo , 函数f(x)的值无限接近于常数A , 则称当x 趋于x0 时, f(x)以A 为极限. 记作 0lim x x →f(x)A 或f(x)→A(当x →0x ).定义的简单表述:A x f x x =→)(lim 0⇔∀ε>0, ∃δ>0, 当0<|x -x0|<δ时, |f(x)-A|<ε .2. 单侧极限:若当x →x0- 时, f(x)无限接近于某常数A , 则常数A 叫做函数f(x)当x →x0时的左极限, 记为A x f x x =-→)(lim 0或f(0x -)=A ;若当x →x0+ 时, f(x)无限接近于某常数A , 则常数A 叫做函数f(x)当x →x0时的右极限, 记为A x f x x =+→)(lim 0或f(0x +)=A .3．自变量趋于无穷大时函数的极限设f(x)当|x|大于某一正数时有定义. 如果存在常数A , 对于任意给定的正数ε, 总存在着正数X , 使得当x 满足不等式|x|>X 时, 对应的函数数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<ε,则常数A 叫做函数f(x)当x →∞时的极限, 记为A x f x =∞→)(lim 或f(x)→A(x →∞). A x f x =∞→)(lim ⇔∀ε >0, ∃X >0, 当|x|>X 时, 有|f(x)-A|<ε .类似地可定义A x f x =-∞→)(lim 和A x f x =+∞→)(lim .结论:A x f x =∞→)(lim ⇔A x f x =-∞→)(lim 且A x f x =+∞→)(lim .y y =x -1 -1 1 y =x +1 xO教 学 过 程§4 无穷大与无穷小.无穷大与无穷小1. 无穷小定义：如果函数f(x)当x →x0(或x →∞)时的极限为零, 那么称函数f(x)为当x →x0(或x →∞)时的无穷小.特别地, 以零为极限的数列{xn}称为n →∞时的无穷小.例如,因为01lim =∞→x x , 所以函数x 1为当x →∞时的无穷小.因为0)1(lim 1=-→x x , 所以函数为x -1当x →1时的无穷小.因为011lim =+∞→n n , 所以数列{11+n }为当n →∞时的无穷小.讨论: 很小很小的数是否是无穷小？0是否为无穷小？提示: 无穷小是这样的函数, 在x →x0(或x →∞)的过程中, 极限为零. 很小很小的数只要它不是零, 作为常数函数在自变量的任何变化过程中, 其极限就是这个常数本身, 不会为零.无穷小与函数极限的关系:定理1 在自变量的同一变化过程x →x0(或x →∞)中, 函数f(x)具有极限A 的充分必要条件是f(x)=A +α, 其中α是无穷小.证明: 设Ax f x x =→)(lim 0, ∀ε >0 , ∃δ >0, 使当0<|x -x0|<δ时, 有|f(x)-A|< .令α=f(x)-A , 则α是x →x0时的无穷小, 且f(x)=A +α .这就证明了f(x)等于它的极限A 与一个无穷小α之和.反之, 设f(x)=A +α , 其中A 是常数, α是x →x0时的无穷小, 于是|f(x)-A|=|α|.因α是x →x0时的无穷小, ∀ε >0 , ∃δ >0, 使当0<|x -x0|<δ, 有|α|< 或|f(x)-A|这就证明了A 是f(x) 当 x →x0时的极限.简要证明: 令α=f(x)-A , 则|f(x)-A|=|α|.如果∀ε >0 , ∃δ >0, 使当0<|x -x0|<δ, 有f(x)-A|,就有|α|< ; 反之如果∀ε >0 , ∃δ >0, 使当0<|x -x0|<δ, 有|α|<,就有f(x)-A| .这就证明了如果A 是f(x) 当 x →x0时的极限, 则α是x →x0时的无穷小; 如果α是x →x0时的无穷小, 则A 是f(x) 当 x →x0时的极限.类似地可证明x →∞时的情形. 例如, 因为333212121x x x +=+, 而021lim 3=∞→x x , 所以2121lim 33=+∞→x x x . 定理2 有限个无穷小的和也是无穷小定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 2. 无穷大定义：如果当x →x0(或x →∞)时, 对应的函数值的绝对值|f(x)|无限增大, 就称函数 f(x)为当x →x0(或x →∞)时的无穷大. 记为∞=→)(lim 0x f x x(或∞=∞→)(lim x f x ).应注意的问题: 当x →x0(或x →∞)时为无穷大的函数f(x), 按函数极限定义来说, 极限是不存在的. 但为了便于叙述函数的这一性态, 我们也说“函数的极限是无穷大”, 并记作∞=→)(lim 0x f x x (或∞=∞→)(lim x f x ).定理2 (无穷大与无穷小之间的关系)：在自变量的同一变化过程中, 如果f(x)为无穷大, 则)(1x f 为无穷小; 反之, 如果f(x)为无穷小, 且f(x)≠0, 则)(1x f 为无穷大.简要证明: 如果0)(lim 0=→x f x x , 且f(x)≠0, 那么对于M 1=ε, ∃δ>0, 当0<|x -0x |<δ时,有M x f 1|)(|=<ε, 由于当0<|x -0x |<δ时, f(x)≠0, 从而M x f >|)(1|, 所以)(1x f 为x →x0时的无穷大.如果∞=→)(lim 0x f x x , 那么对于ε1=M , ∃δ>0,当0<|x -0x |<δ时,有ε1|)(|=>M x f , 即ε<|)(1|x f , 所以为x →x 时的无穷小.简要证明:如果f(x)→0(x →x0)且f(x)≠0, 则∀ε >0, ∃δ>0,当0<|x - x0|<δ时, 有|f(x)|<ε , 即, 所以f(x)→∞(x →x0). 如果f(x)→∞(x →x0), 则∀M >0, ∃δ>0,当0<|x - x0|<δ时, 有|f(x)|>M , 即, 所以f(x)→0(x →x0).教 学 过 程§5 极限运算法则一、极限运算法则定理1 如果lim f (x)=A , lim g (x)=B , 那么(1) lim [f (x)±g(x)] = lim f (x) ±lim g (x) =A ± B ; (2) lim f (x)⋅g(x) = lim f (x) ⋅ lim g (x) =A ⋅B ;(3)B Ax g x f x g x f ==)(lim )(lim )()(lim(B ≠0).证明(1): 因为lim f (x)=A , lim g (x)=B , 根据极限与无穷小的关系, 有f (x)=A +α,g (x)=B +β,其中α及β 为无穷小. 于是f (x) ±g (x)=(A +α) ± (B +β) =(A ± B) +(α± β),即f (x) ± g (x)可表示为常数(A ± B)与无穷小(α± β)之和. 因此lim [f (x) ± g (x)] =lim f (x) ± lim g (x) = A ± B .定理2 如果(x)≥(x), 而lim (x)=a , lim ψ(x)=b , 那么a ≥b . 推论1 如果lim f (x)存在, 而c 为常数, 则lim [c f (x)]=c lim f (x).推论2 如果lim f (x)存在, 而n 是正整数, 则lim [f (x)]n =[lim f (x)]n .例3. 求93lim 2 3--→x x x .教 学 过 程§6 极限存在准则·两个重要极限极限存在准则·两个重要极限 1. 夹逼准则准则I 如果数列{xn }、{yn}及{zn}满足下列条件:(1)yn ≤xn ≤zn(n 1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅), (2)ay n n =∞→lim ,az n n =∞→lim ,那么数列{xn }的极限存在, 且ax n n =∞→lim .证明:因为a y n n =∞→lim , a z n n =∞→lim , 以根据数列极限的定义, ∀ε >0, ∃N 1>0, 当n >N 1时,有|y n -a |<ε ; 又∃N 2>0, 当n >N 2时, 有|z n -a |<ε . 现取N =max{N 1, N 2}, 则当 n >N 时, 有|y n -a |<ε , |z n -a |<ε同时成立, 即a -ε<y n <a +ε , a -ε<z n <a +ε ,同时成立. 又因yn ≤xn ≤zn , 所以当 n >N 时, 有a -ε<y n ≤x n ≤z n <a +ε ,即 |x n -a |<ε . 这就证明了ax n n =∞→lim .简要证明: 由条件(2), ∀ε >0, ∃N >0, 当n >N 时，有 |y n -a |<ε 及|z n -a |<ε , 即有 a -ε<y n <a +ε , a -ε<z n <a +ε , 由条件(1), 有a -ε<y n ≤x n ≤z n <a +ε , 即 |x n -a |<ε . 这就证明了a x n n =∞→lim .准则I '如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件:(1) g(x)≤f(x)≤h(x);(2) lim g(x)=A , lim h(x)=A ; 那么lim f(x)存在, 且lim f(x)=A .第一重要极限：1sin lim 0=→xx x证明 首先注意到, 函数x xsin 对于一切x ≠0都有定义. 参看附图: 图中的圆为单位圆,BC ⊥OA , DA ⊥OA . 圆心角∠AOB x (0<x <2 π). 显然 sin x CB , x ⋂AB , tan x AD .因为S ∆AOB <S 扇形AOB <S ∆AOD ,所以21sin x <21x <21tan x ,即 sin x <x <tan x . 不等号各边都除以sin x , 就有x x x cos 1sin 1<<, 或 1sin cos <<x x x .注意此不等式当2 π<x <0时也成立. 而1cos lim 0=→x x , 根据准则I ', 1sin lim 0=→x x x .简要证明: 参看附图, 设圆心角∠AOBx (2 0π<<x ). 显然 BC < AB <AD , 因此 sin x < x < tan x ,从而 1sin cos <<x x x (此不等式当x <0时也成立).因为1cos lim 0=→x x , 根据准则I ', 1sin lim 0=→x x x .应注意的问题: 在极限)()(sin limx x αα中, 只要(x)是无穷小, 就有1)()(sin lim =x x αα.这是因为, 令u(x), 则u →0, 于是)()(sin limx x αα1sin lim 0==→u u u .1sin lim 0=→xx x1)()(sin lim=x x αα((x)→0)2. 单调有界收敛准则准则II 单调有界数列必有极限.如果数列{x n}满足条件x 1≤x 2≤x 3≤ ⋅ ⋅ ⋅ ≤x n ≤x n 1≤ ⋅ ⋅ ⋅,就称数列{x n}是单调增加的; 如果数列{x n}满足条件x 1≥x 2≥x 3≥ ⋅ ⋅ ⋅ ≥x n ≥x n 1≥ ⋅ ⋅ ⋅,就称数列{x n}是单调减少的. 单调增加和单调减少数列统称为单调数列. 如果数列{x n}满足条件x n ≤x n 1, n ∈N +,在第三节中曾证明: 收敛的数列一定有界. 但那时也曾指出: 有界的数列不一定收敛. 现在准则II 表明: 如果数列不仅有界, 并且是单调的, 那么这数列的极限必定存在, 也就是这数列一定收敛.O CADB 1 x准则II 的几何解释:单调增加数列的点只可能向右一个方向移动, 或者无限向右移动, 或者无限趋近于某一定点A , 而对有界数列只可能后者情况发生.根据准则II , 可以证明极限nn n )11(lim +∞→存在.设nn n x )11(+= 现证明数列{xn}是单调有界的.按牛顿二项公式, 有nn n n n n n n n n n n n n n n n n n x 1!)1( )1( 1!3)2)(1(1!2)1(1!11)11(32⋅+-⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+⋅--+⋅-+⋅+=+= )11( )21)(11(!1 )21)(11(!31)11(!2111n n n n n n n n --⋅⋅⋅--+⋅⋅⋅+--+-++=,)111( )121)(111(!1 )121)(111(!31)111(!21111+--⋅⋅⋅+-+-+⋅⋅⋅++-+-++-++=+n n n n n n n n x n )11( )121)(111()!1(1+-⋅⋅⋅+-+-++n n n n n .比较x n , x n +1的展开式, 可以看出除前两项外, x n 的每一项都小于x n +1的对应项, 并且x n +1还多了最后一项, 其值大于0, 因此 x n < x n +1 ,这就是说数列{xn}是单调有界的.这个数列同时还是有界的. 因为xn 的展开式中各项括号内的数用较大的数1代替, 得3213211211121 212111!1 !31!2111112<-=--+=+⋅⋅⋅++++<⋅⋅⋅++++<--n nn n n x第二重要极限：根据准则II , 数列{xn}必有极限. 这个极限我们用e 来表示. 即en n n =+∞→)11(lim .我们还可以证明ex x x =+∞→)11(lim . e 是个无理数, 它的值是e 2. 718281828459045⋅ ⋅ ⋅.指数函数y e x 以及对数函数y ln x 中的底e 就是这个常数. 在极限)(1)](1lim[x x αα+中, 只要(x)是无穷小, 就有e x x =+)(1)](1lim[αα.这是因为, 令)(1x u α=, 则u →∞, 于是)(1)](1lim[x x αα+e u u u =+=∞→)11(lim .e x x x =+∞→)11(lim , ex x =+)(1)](1lim[αα((x)→0).例3. 求xx x )11(lim -∞→.解: 令t x , 则x →∞时, t →∞. 于是x x x)11(lim -∞→tt t -∞→+=)11(lim e t t t 1)11(1lim=+=∞→.教 学 过 程§8 函数的连续性函数的连续性 1. 变量的增量:设变量u 从它的一个初值u1变到终值u2, 终值与初值的差u2u1就叫做变量u 的增量, 记作u , 即u u2u1.设函数y f(x)在点x0的某一个邻域内是有定义的. 当自变量x 在这邻域内从x0变到x0x 时, 函数y 相应地从f(x0)变到f(x0x), 因此函数y 的对应增量为y f(x0x) f(x0).2. 函数连续的定义设函数y f(x)在点x0 的某一个邻域内有定义, 如果当自变量的增量x x x0趋于零时, 对应的函数的增量y f(x0x) f(x0 )也趋于零, 即 0lim 0=∆→∆y x , 或)()(lim 00x f x f x x =→,那么就称函数y f(x)在点x0 处连续.注: ①0)]()([lim lim 000=-∆+=∆→∆→∆x f x x f y x x②设xx0+x , 则当x →0时, x →x0, 因此0lim 0=∆→∆y x ⇔0)]()([lim 00=-→x f x f x x ⇔)()(lim 00x f x f x x =→.函数连续的等价定义2:设函数y f(x)在点x0的某一个邻域内有定义, 如果对于任意给定义的正数 , 总存在着正数 , 使得对于适合不等式|x x0|< 的一切x , 对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)f(x0)|< ,那么就称函数y f(x)在点x0处连续.3. 左右连续性:如果)()(lim 00x f x f x x =-→, 则称y f(x)在点0x 处左连续.如果)()(lim 00x f x f x x =+→, 则称y f(x)在点0x 处右连续. 左右连续与连续的关系:函数y f(x)在点x0处连续⇔函数y f(x)在点x0处左连续且右连续. 函数在区间上的连续性:在区间上每一点都连续的函数, 叫做在该区间上的连续函数, 或者说函数在该区间上连续. 如果区间包括端点, 那么函数在右端点连续是指左连续, 在左端点连续是指右连续.4. 连续函数举例:1. 如果f(x)是多项式函数, 则函数f(x)在区间(∞, ∞)内是连续的. 这是因为, f(x)在(∞, ∞)内任意一点x0处有定义, 且)()(lim 00x P x P x x =→2. 函数x x f =)(在区间[0, ∞)内是连续的.3. 函数y sin x 在区间(∞, ∞)内是连续的. 证明: 设x 为区间(∞, ∞)内任意一点. 则有y =sin(x +x)-sin x)2cos(2sin2x x x ∆+∆=,因为当x →0时,y 是无穷小与有界函数的乘积,所以lim 0=∆→∆y x .这就证明了函数y sin x 在区间(∞, ∞)内任意一点x 都是连续的．4. 函数y cos x 在区间(∞, ∞)内是连续的.函数的间断点 1. 间断定义:设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义. 在此前提下, 如果函数f(x)有下列三种情形之一:(1)在x0没有定义; (2)虽然在x0有定义, 但limx x →f(x)不存在;(3)虽然在x0有定义且0lim x x →f(x)存在, 但0limx x →f(x)≠f(x0);则函数f(x)在点x0为不连续, 而点x0称为函数f(x)的不连续点或间断点.例1. 正切函数ytan x 在2 π=x 处没有定义, 所以点2 π=x 是函数tan x 的间断点.因为∞=→x x tan lim 2π, 故称2 π=x 为函数tan x 的无穷间断点. 例2.函数x y 1sin =在点x 0没有定义, 所以点x 0是函数x 1sin 的间断点. 当x →0时, 函数值在1与1之间变动无限多次, 所以点x0称为函数x 1sin 的振荡间断点. 例3. 函数112--=x x y 在x1没有定义, 所以点x 1是函数的间断点. 因为11lim 21--→x x x 2)1(lim 1=+=→x x , 如果补充定义: 令x1时y 2, 则所给函数在x1成为连续. 所以x 1称为该函数的可去间断点.例4.设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠==1 211)(x x x x f y .因为1lim )(lim 11==→→x x f x x ,21)1(=f , )1()(lim 1f x f x ≠→, 所以x1是函数f(x)的间断点.如果改变函数f(x)在x 1处的定义:令f(1)1, 则函数f(x)在x 1 成为连续, 所以x 1也称为该函数的可去间断点.例5.设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-=0 1000 1)(x x x x x x f . 因为1)1(lim )(lim 00-=-=--→→x x f x x , 1)1(lim )(lim 00=+=++→→x x f x x)(lim )(lim 00x f x f x x ++→→≠,所以极限)(lim 0x f x →不存在, x =0是函数f(x)的间断点. 因函数f(x)的图形在x0处产生跳跃现象, 我们称x 0为函数f(x)的跳跃间断点.2. 间断点的分类:通常把间断点分成两类:如果x0是函数f(x)的间断点, 但左极限f(x00)及右极限f(x00)都存在, 那么x0称为函数f(x)的第一类间断点. 不是第一类间断点的任何间断点, 称为第二类间断点. 在第一类间断点中, 左、右极限相等者称为可去间断点, 不相等者称为跳跃间断点. 无穷间断点和振荡间断点显然是第二间断点.初等函数的连续性1. 连续函数的和、积及商的连续性 定理1设函数f(x)和g(x)在点x0连续, 则函数f(x)±g(x), f(x)⋅g(x),)()(x g x f (当0)(0≠x g 时)在点x0也连续.f(x)±g(x)连续性的证明:因为f(x)和g(x)在点x0连续, 所以它们在点x0有定义, 从而f(x)±g(x)在点x0也有定义, 再由连续性和极限运算法则, 有)()()(lim )(lim )]()([lim 000x g x f x g x f x g x f x x x x x x ±=±=±→→→.根据连续性的定义, f(x)±g(x)在点x0连续.例1. sin x 和cos x 都在区间(-∞, +∞)内连续,故由定理3知tan x 和cot x 在它们的定义域内是连续的.三角函数sin x , cos x , sec x , csc x , tan x , cot x 在其有定义的区间内都是连续的. 二、反函数与复合函数的连续性定理2 如果函数f(x)在区间Ix 上单调增加(或单调减少)且连续, 那么它的反函数x =f -1(y)也在对应的区间Iy ={y|y =f(x),x ∈Ix}上单调增加(或单调减少)且连续. 证明（略）.例2. 由于y =sin x 在区间]2 ,2[ππ-上单调增加且连续, 所以它的反函数y =arcsin x在区间[-1, 1]上也是单调增加且连续的.同样,y =arccos x 在区间[-1, 1]上也是单调减少且连续; y =arctan x 在区间(-∞, +∞)内单调增加且连续;y =arccot x 在区间(-∞, +∞)内单调减少且连续.总之, 反三角函数arcsin x 、arccos x 、arctan x 、arccot x 在它们的定义域内都是连续的. 定理3 设函数y =f[g(x)]由函数y =f(u)与函数u =g(x)复合而成,gf D x U⊂)(0. 若)lim 0u x g x x =(→, 而函数y =f(u)在0u 连续, 则)()(lim )][lim 00u f u f x g f u u x x ==(→→.简要证明 要证∀ε >0, ∃δ>0, 当0<|x -x0|<δ 时, 有|f[g(x)]-f(u0)|<ε .因为f(u)在0u 连续, 所以∀ε >0, ∃η>0, 当|u -u0|<η 时, 有|f(u)-f(u0)|<ε .又g(x)→u0(x →x0), 所以对上述η>0, ∃δ>0, 当0<|x -x0|<δ 时, 有|g(x)-u0|<η. 从而 |f[g(x)]-f(u0)|<ε . (2)定理的结论也可写成)](lim [)]([lim 0x g f x g f x x x x →→=. 求复合函数f[g(x)]的极限时, 函数符号f 与极限号可以交换次序.)(lim )]([lim 0u f x u f u u x x →→=表明,在定理3的条件下, 如果作代换u =g(x),那么求)]([lim 0x g f x x →就转化为求)(lim 0u f u u →, 这里)(lim 00x g u x x →=.把定理5 中的x →x0换成x →∞, 可得类似的定理.例3. 求93lim23--→x x x .解93lim23--→x x x 93lim 23--=→x x x 61=.提示:932--=x x y 是由u y =与932--=x x u 复合而成的. 93lim 23--→x x x 61=, 函数u y =在点61=u 连续 =g(x0)定理4 设函数y =f[g(x)]由函数y =f(u)与函数u =g(x)复合而成, U(x0)⊂Df og . 若函数u =g(x)在点x0连续, 函数y =f(u)在点u0=g(x0)连续, 则复合函数y =f[(x)]在点x0也连续. 证明: 因为(x)在点x0连续, 所以limx x →(x)=(x0)=u0.又y =f(u)在点u =u0连续, 所以 0limx x →f[(x)]=f(u0)=f[(x0)].这就证明了复合函数f[(x)]在点x0连续.例4. 讨论函数x y 1sin =的连续性. 解: 函数x y 1sin =是由y =sin u 及x u 1=复合而成的. sin u 当-∞<u<+∞时是连续的,x 1当-∞<x<0和0<x<+∞时是连续的,根据定理4, 函数x 1sin 在无限区间(-∞, 0)和(0, +∞)内是连续的.2、初等函数的连续性在基本初等函数中, 我们已经证明了三角函数及反三角函数的它们的定义域内是连续的.我们指出, 指数函数ax (a>0, a ≠1)对于一切实数x 都有定义,且在区间(-∞, +∞)内是单调的和连续的, 它的值域为(0, +∞).由定理4, 对数函数log ax (a>0, a ≠1)作为指数函数ax 的反函数在区间(0, +∞)内单调且连续.幂函数y =x 的定义域随的值而异, 但无论为何值, 在区间(0, +∞)内幂函数总是有定义的.可以证明, 在区间(0, +∞)内幂函数是连续的. 事实上, 设x>0, 则y =x =xa a log μ, 因此, 幂函数x 可看作是由y =au , u =logax 复合而成的, 由此, 根据定理6, 它在(0, +∞)内是连续的.如果对于取各种不同值加以分别讨论, 可以证明幂函数在它的定义域内是连续的.结论: 基本初等函数在它们的定义域内都是连续的.最后, 根据初等函数的定义, 由基本初等函数的连续性以及本节有关定理可得下列重要结论:一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 所谓定义区间, 就是包含在定义域内的区间.初等函数的连续性在求函数极限中的应用:如果f(x)是初等函数, 且x0是f(x)的定义区间内的点, 则limx x →f(x)=f(x0).例5求21lim x x -→解 初等函数f(x)=21x -在点00=x 是有定义的,所以 111lim 20==-→x x .例6求xx sin ln lim 2π→解 初等函数f(x)=ln sin x 在点2 0π=x 是有定义的, 所以 02 sin ln sin ln lim 2==→ππx x .例7. 求x x x 11lim 20-+→.解: x x x 11lim 20-+→)11()11)(11(lim 2220++++-+=→x x x x x02011lim 20==++=→x x x .例8. 求x x a x )1(log lim0+→.教 学 过 程§1 导数概念一、 导数概念 1. 引例直线运动的速度设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻t 质点的坐标为s , s 是t 的函数: S =f (t ),求动点在时刻t 0的速度. 考虑比值000)()(t t t f t f t t s s --=--,这个比值可认为是动点在时间间隔t =t 0内的平均速度. 如果时间间隔选较短, 这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t 0的速度. 但这样做是不精确的, 更确地应当这样:令t =t 0→0, 取比值0)()(t t t f t f --的极限, 如果这个极限存在, 设为v , 即 00)()(lim 0t t t f t f v t t --=→,这时就把这个极限值v 称为动点在时刻t 0的速度.2．切线问题设有曲线C 及C 上的一点M , 在点M 外另取C 上一点N , 作割线MN . 当点N 沿曲线C趋于点M 时, 如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置MT , 直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线.设曲线C 就是函数y f (x )的图形. 现在要确定曲线在点M (x 0, y 0)(y 0f (x 0))处的切线, 只要定出切线的斜率就行了. 为此, 在点M 外另取C 上一点N (x , y ), 于是割线MN 的斜率为 0000)()(tan x x x f x f x x y y --=--=ϕ, 其中为割线MN 的倾角. 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, x →x 0. 如果当x → 0时, 上式的极限存在, 设为k , 即 00)()(limx x x f x f k x x --=→存在, 则此极限k 是割线斜率的极限, 也就是切线的斜率. 这里k tan ,其中是切线MT 的倾角. 于是, 通过点M (x 0, f (x 0))且以k 为斜率的直线MT 便是曲线C 在点M 处的切线.二、导数的定义1. 函数在一点处的导数与导函数从上面所讨论的两个问题看出, 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限: 00)()(lim 0x x x f x f x x --→.令△x =x -x 0, 则△y =f (x 0+△x )-f (x 0)=f (x )-f (x 0), x →x 0相当于△x →0, 于是0)()(limx x x f x f x x --→成为xyx ∆∆→∆0lim 或xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000.定义 设函数y =f (x )在点x 0的某个邻域内有定义, 当自变量x 在x 0处取得增量△x (点x 0+△x 仍在该邻域内)时, 相应地函数y 取得增量△y =f (x 0+△x )-f (x 0); 如果△y 与△x 之比当△x →0时的极限存在, 则称函数y =f (x )在点x 0处可导, 并称这个极限为函数y =f (x )在点x 0处的导数, 记为0|x x y =', 即xx f x x f xyx f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()(lim lim )(0000,也可记为0|x x y =',0 x x dx dy =或0)(x x dx x df =. 函数f (x )在点x 0处可导有时也说成f (x )在点x 0具有导数或导数存在.导数的定义式也可取不同的形式, 常见的有hx f h x f x f h )()(lim )(0000-+='→, 000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→.在实际中, 需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题, 在数学上就是所谓函数的变化率问题. 导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述.如果极限xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000不存在, 就说函数y =f (x )在点x 0处不可导.如果不可导的原因是由于∞=∆-∆+→∆xx f x x f x )()(lim000, 也往往说函数y =f (x )在点x 0处的导数为无穷大.如果函数y =f (x )在开区间I 内的每点处都可导, 就称函数f (x )在开区间I 内可导, 这时, 对于任一x ∈I , 都对应着f (x )的一个确定的导数值. 这样就构成了一个新的函数, 这个函数叫做原来函数y =f (x )的导函数, 记作 y ',)(x f ',dx dy , 或dxx df )(. 2. 导函数的定义式:xx f x x f y x ∆-∆+='→∆)()(limhx f h x f h )()(lim-+→. f '(x 0)与f '(x )之间的关系:函数f (x )在点x 0处的导数f '(x )就是导函数f '(x )在点x =x 0处的函数值, 即0)()(0x x x f x f ='='.导函数f '(x )简称导数, 而f '(x 0)是f (x )在x 0处的导数或导数f '(x )在x 0处的值. 左右导数: 所列极限存在, 则定义f (x )在0x 的左导数:hx f h x f x f h )()(lim )(0000-+='-→-;f (x )在0x 的右导数:hx f h x f x f h )()(lim )(0000-+='+→+.如果极限hx f h x f h )()(lim 000-+-→存在,则称此极限值为函数在x 0的左导数.如果极限hx f h x f h )()(lim 000-++→存在,则称此极限值为函数在x 0的右导数.导数与左右导数的关系:A x f =')(0⇔A x f x f ='='+-)()(00.三、求导数举例例1．求函数f (x )C （C 为常数）的导数.解: hx f h x f x f h )()(lim)(0-+='→0lim 0=-=→hC C h . 即(C ) '=0.例2 求xx f 1)(=的导数解 hxh x h x f h x f x f h h 11lim )()(lim )(00-+=-+='→→2001)(1lim )(limx x h x x h x h h h h -=+-=+-=→→例3求x x f =)(的导数解 hx h x h x f h x f x f h h -+=-+='→→00lim )()(lim)( xx h x x h x h h h h 211lim )(lim 00=++=++=→→ 例4．求函数f (x )x n (n 为正整数)在x a 处的导数.解: f '(a )a x a f x f ax --=→)()(lima x a x n n a x --=→lim ax →=lim (x n1ax n2⋅ ⋅ ⋅a n 1)=na n 1.把以上结果中的a 换成x 得 f '(x )=nx n 1, 即 (x n )'=nx n 1. (C )'=0, 21)1(xx-=', xx 21)(=', 1)(-⋅='μμμx x .例5．求函数f (x )sin x 的导数.解: f '(x )hx f h x f h )()(lim-+=→h x h x h sin )sin(lim 0-+=→ 2sin )2cos(21lim 0h h x h h +⋅=→ x h hh x h cos 22sin )2cos(lim 0=⋅+=→.即 (sin x )'=cos x .用类似的方法, 可求得 (cos x )'=-sin x . 例6．求函数f (x )a x (a >0, a ≠1) 的导数.解: f '(x )h x f h x f h )()(lim0-+=→h a a x h x h -=+→0limh a a h h x 1lim 0-=→t a h =-1令)1(log lim 0t t a a t x +→ a a ea x a x ln log 1==.特别地有(e x )′=e x .例7．求函数f (x )log a x (a >0, a ≠1) 的导数.解: hx h x hx f h x f x f a a h h log )(log lim )()(lim )(0-+=-+='→→h xa h a h a h xh x x h h x x x h x h )1(log lim 1)1(log lim 1)(log 1lim 000+=+=+=→→→ a x e x a ln 1log 1==.解:h xh x x f a ah log )(log lim )(0-+='→)1(log 1lim 0xh h a h +=→ h xa h x h x )1(log lim 10+=→ax e x a ln 1log 1==.即 ax x a ln 1)(log ='. :特殊地 xx 1)(ln ='.ax x a ln 1)(log ='xx 1)(ln ='.1．单侧导数:极限h x f h x f h )()(lim0-+→存在的充分必要条件是hx f h x f h )()(lim 0-+-→及h x f h x f h )()(lim 0-++→都存在且相等.f (x )在0x 处的左导数:hx f h x f x f h )()(lim )(00-+='-→-, f (x )在0x 处的右导数:hx f h x f x f h )()(lim )(00-+='+→+.2．导数与左右导数的关系:函数f (x )在点x 0处可导的充分必要条件是左导数左导数f '(x 0) 和右导数f '(x 0)都存在且相等.如果函数f (x )在开区间(a , b )内可导, 且右导数f '(a ) 和左导数f '(b )都存在, 就说f (x )有闭区间[a , b ]上可导. 例8．求函数f (x )x |在x 0处的导数.解: 1||lim )0()0(lim )0(00-==-+='--→→-h h hf h f f h h , 1||lim )0()0(lim )0(00==-+='++→→+h h hf h f f h h ,因为f '(0)≠ f '(0), 所以函数f (x )|x |在x 0处不可导.四、导数的几何意义函数y =f (x )在点x 0处的导数f '(x 0)在几何上表示曲线y =f (x )在点M (x 0, f (x 0))处的切线的斜率, 即f '(x 0)=tan , 其中是切线的倾角.如果y =f (x )在点x 0处的导数为无穷大, 这时曲线y =f (x )的割线以垂直于x 轴的直线x =x 0为极限位置, 即曲线y =f (x )在点M (x 0, f (x 0))处具有垂直于x 轴的切线x =x 0. : 由直线的点斜式方程, 可知曲线y f (x )在点M (x 0, y 0)处的切线方程为 y -y 0=f '(x 0)(x -x 0).过切点M (x 0, y 0)且与切线垂直的直线叫做曲线y =f (x )在点M 处的法线如果f '(x 0)≠0, 法线的斜率为)(10x f '-, 从而法线方程为)()(1000x x x f y y -'-=-.例9. 求等边双曲线x y 1=在点)2 ,21(处的切线的斜率, 并写出在该点处的切线方程和法线方程.解: 21xy -=', 所求切线及法线的斜率分别为 4)1(2121-=-==x xk , 41112=-=k k .所求切线方程为)21(42--=-x y , 即4xy 40. 所求法线方程为)21(412-=-x y , 即2x8y150.例10. 求曲线x x y =的通过点(0, -4)的切线方程.解 设切点的横坐标为x 0, 则切线的斜率为 0212302323)()(0x x x x f x x =='='=. 于是所求切线的方程可设为 )(230000x x x x x y -=-.根据题目要求, 点(0, -4)在切线上, 因此 )0(2340000x x x x -=--,解之得x 0=4. 于是所求切线的方程为 )4(42344-=-x y , 即3x -y -4=0.五、函数的可导性与连续性的关系设函数yf (x )在点x 0 处可导, 即)(lim 00x f xy x '=∆∆→∆存在. 则00)(lim lim lim lim 00000=⋅'=∆⋅∆∆=∆⋅∆∆=∆→∆→∆→∆→∆x f x x yx xy y x x x x .这就是说, 函数y f (x )在点x 0 处是连续的. 所以, 如果函数y =f (x )在点x 处可导, 则函数在该点必连续.另一方面, 一个函数在某点连续却不一定在该点处可导.例7． 函数3)(x x f =在区间(∞, ∞)内连续, 但在点x =0处不可导. 这是因为函数在点x =0处导数为无穷大hf h f h )0()0(lim0-+→+∞=-=→h h h 0lim 30.x(u +v -w )'=u '+v '-w '.(uvw )'=[(uv )w]'=(uv )'w +(uv )w '=(u 'v +uv ')w +uvw '=u 'vw +uv 'w +uvw '.即 (uvw )'=u 'vw +uv 'w +uvw '.在法则(2)中, 如果v =C (C 为常数), 则有 (Cu )'=Cu '.例1．y =2x 3-5x 2+3x -7, 求y '解: y '=(2x 3-5x 2+3x -7)'= (2x 3)'-5x 2)'+3x )'-7)'= 2(x 3)'- 5x 2)'+ 3x )' =2⋅3x 2-5⋅2x +3=6x 2-10x +3.例2.2 sin cos 4)(3π-+=x x x f , 求f '(x )及)2(πf '.解: x x x x x f sin 43)2(sin )cos 4()()(23-='-'+'='π,443)2 (2-='ππf .例3．y =e x (sin x +cos x ), 求y '.解: y '=e x )'(sin x +cos x )+ e x (sin x +cos x )' = e x (sin x +cos x )+ e x (cos x -sin x ) =2e x cos x . 例4．y =tan x , 求y '.解: xx x x x x x x y 2cos )(cos sin cos )(sin )cos sin ()(tan '-'='='='x xx x x 22222sec cos 1cos sin cos ==+=.即 (tan x )'=sec 2x . 例5．y =sec x , 求y '.解: xx x xx y 2cos )(cos 1cos )1()cos 1()(sec '⋅-'='='='xx2cos sin ==sec x tan x . 即 (sec x )'=sec x tan x .用类似方法, 还可求得余切函数及余割函数的导数公式: (cot x )'=-csc 2x ,(csc x )'=-csc x cot x .例8设x =a y (a >0, a ≠1)为直接函数, 则y =log a x 是它的反函数. 函数x =a y 在区间I y =(-∞, +∞)内单调、可导, 且 (a y )'=a y ln a ≠0.因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间I x =(0, +∞)内有 ax aa a x y ya ln 1ln 1)(1)(log =='='.到目前为止, 所基本初等函数的导数我们都求出来了, 那么由基本初等函数构成的较复杂的初等函数的导数如可求呢？如函数lntan x 、3x e 、的导数怎样求？复合函数的求导法则定理3 如果u =g (x )在点x 可导, 函数y =f (u )在点u =g (x )可导, 则复合函数y =f [g (x )]在点x 可导, 且其导数为)()(x g u f dxdy'⋅'=或dx du du dy dx dy ⋅=.证明: 当u =g (x )在x 的某邻域内为常数时, y =f [(x )]也是常数, 此时导数为零,结论自然成立.当u =g (x )在x 的某邻域内不等于常数时, u ≠0, 此时有 xx g x x g x g x x g x g f x x g f x x g f x x g f xy ∆-∆+⋅-∆+-∆+=∆-∆+=∆∆)()()()()]([)]([)]([)]([xx g x x g u u f u u f ∆-∆+⋅∆-∆+=)()()()(,xx g x x g u u f u u f x y dx dy x u x ∆-∆+⋅∆-∆+=∆∆=→∆→∆→∆)()(lim )()(lim lim 000= f '(u )⋅g '(x ).简要证明x u u y x y dx dy x x ∆∆⋅∆∆=∆∆=→∆→∆00lim lim )()(lim lim 00x g u f xu u yx u ''=∆∆⋅∆∆=→∆→∆. 例9 3x e y =, 求dxdy.解 函数3x e y =可看作是由y =e u , u =x 3复合而成的, 因此32233x u e x x e dxdu du dy dx dy =⋅=⋅=. 例10 212sin xx y +=, 求dx dy.解 函数212sin x x y +=是由y =sin u , 212xx u +=复合而成的,因此 2222222212cos )1()1(2)1()2()1(2cos xx x x x x x u dx du du dy dx dy +⋅+-=+-+⋅=⋅=. 对复合函数的导数比较熟练后, 就不必再写出中间变量, 例11．lnsin x , 求dxdy .解:)(sin sin 1)sin (ln '⋅='=x x x dx dyx x xcot cos sin 1=⋅=. 例12．3221x y -=, 求dxdy.解: )21()21(31])21[(2322312'-⋅-='-=-x x x dx dy 322)21(34x x --=.复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形. 例如, 设y =f (u ), u =ϕ(v ),v =ψ(x ), 则dxdv dv du du dy dx du du dy dx dy ⋅⋅=⋅=. 例13．y =lncos(e x ), 求dxdy.解: ])[cos()cos(1])cos([ln '⋅='=x x x e e e dx dy)tan()()]sin([)cos(1x x x x x e e e e e -='⋅-⋅=.例14．x e y 1sin =, 求dxdy.解: )1(1cos )1(sin )(1sin 1sin 1sin '⋅⋅='⋅='=x x e x e e dx dy x x xxe x x 1cos 11sin2⋅⋅-=. 例15设x >0, 证明幂函数的导数公式 (x μ)'=μ x μ-1.解 因为x μ=(e ln x )μ=e μ ln x , 所以(x μ)'=(e μ ln x )'= e μ ln x ⋅(μ ln x )'= e μ ln x ⋅μ x -1=μ x μ-1.基本求导法则与导数公式 1．基本初等函数的导数:(1)(C )'=0,(2)(x )'= x -1, (3)(sin x )'=cos x , (4)(cos x )'=-sin x , (5)(tan x )'=sec 2x , (6)(cot x )'=-csc 2x ,(7)(sec x )'=sec x ⋅tan x , (8)(csc x )'=-csc x ⋅cot x , (9)(a x )'=a x ln a , (10)(e x )'=e x , (11) ax x a ln 1)(log =',(12) xx 1)(ln =',(13) 211)(arcsin x x -=', (14) 211)(arccos xx --='.(15) 211)(arctan xx +=',(16) 211)cot arc (xx +-='.2．函数的和、差、积、商的求导法则 设u =u (x ), v =v (x )都可导, 则 (1)(u ±v )'=u '±v ',(2)(C u )'=C u ', (3)(u v )'=u '⋅v +u ⋅v ',(4)2)(vv u v u vu '-'='. 反函数的求导法则设x =f (y )在区间I y 内单调、可导且f '(y )≠0, 则它的反函数y =f -1(x )在I x =f (I y )内也可导, 并且)(1])([1y f x f '='-. 或dydx dxdy1=.复合函数的求导法则设y =f (x ), 而u =g (x )且f (u )及g (x )都可导, 则复合函数y =f [g (x )]的导数为 dxdudu dy dx dy ⋅=或y '(x )=f '(u )⋅g '(x ). 例16. 求双曲正弦sh x 的导数.解因为)(21sh x x e e x --=, 所以x e e e e x x x x x ch )(21)(21)sh (=+='-='--,即 (sh x )'=ch x . 类似地, 有(ch x )'=sh x . 例17. 求双曲正切th x 的导数解因为x x x ch sh th =, 所以xx x x 222ch sh ch )(th -='x 2ch 1=.例18. 求反双曲正弦arsh x 的导数解 因为)1ln(arsh 2x x x ++=, 所以 22211)11(11)arsh (x x x x x x +=++⋅++='. 由)1ln(arch 2-+=x x x , 可得11)arch (2-='x x .由x x x -+=11ln 21arth , 可得211)arth (xx -='.类似地可得11)arch (2-='x x 211)arth (x x -='例19．y =sin nx ⋅sin n x (n 为常数), 求y '.解: y '=(sin nx )' sin n x + sin nx ⋅ (sin n x )'= n cos nx ⋅sin n x +sin nx ⋅ n ⋅ sin n -1 x ⋅(sin x )'= n cos nx ⋅sin n x +n sin n -1 x ⋅ cos x =n sin n -1 x ⋅ sin(n +1)x .教 学 过 程§4 高阶导数一般地, 函数y =f (x )的导数y '=f '(x )仍然是x 的函数. 我们把y '=f '(x )的导数叫做函数y =f (x )的二阶导数, 记作 y ''、f ''(x )或22dxyd ,即 y ''=(y ')', f ''(x )=[f '(x )]'，)(22dxdydx d dx y d =.相应地, 把y =f (x )的导数f '(x )叫做函数y =f (x )的一阶导数.类似地, 二阶导数的导数, 叫做三阶导数, 三阶导数的导数叫做四阶导数, ⋅ ⋅ ⋅, 一般地, (n -1)阶导数的导数叫做n 阶导数, 分别记作y ''', y (4), ⋅ ⋅ ⋅ , y (n ) 或33dx y d , 44dx y d , ⋅ ⋅ ⋅ , nn dxyd . 函数f (x )具有n 阶导数, 也常说成函数f (x )为n 阶可导. 如果函数f (x )在点x处具有n 阶导数, 那么函数f (x )在点x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数. 二阶及二阶以上的导数统称高阶导数.y '称为一阶导数 y '' y ''' y (4) ⋅ ⋅ ⋅ y (n )都称为高阶导数例1．y ax +b , 求y ''. 解: y '=a , y ''=0.例2．s =sin t , 求s ''.解: s '=cos t , s ''=-sin t . 例3．证明: 函数22x x y -=满足关系式y3y ''+1=0.证明: 因为22212222x x xxx x y --=--=',22222222)1(2x x x x xx x x y -------='')2()2()1(22222x x x x x x x ----+-=32321)2(1yx x -=--=所以y 3y ''+1=0.例4．求函数y =e x 的n 阶导数. 解; y '=e x , y ''=e x , y '''=e x , y ( 4)=e x , 一般地, 可得y ( n )=e x , 即 (e x )(n )=e x .例5．求正弦函数与余弦函数的n 阶导数. 解: y =sin x ,)2sin(cos π+=='x x y ,)22sin()2 2sin()2cos(ππππ⋅+=++=+=''x x x y ,)23sin()2 2 2sin()2 2cos(ππππ⋅+=+⋅+=⋅+='''x x x y ,)24sin()2 3cos()4(ππ⋅+=⋅+=x x y ,一般地, 可得)2sin()(π⋅+=n x y n , 即)2sin()(sin )(π⋅+=n x x n .用类似方法, 可得)2cos()(cos )(π⋅+=n x x n .例6．求对函数ln(1+x )的n 阶导数解: y =ln(1+x ), y '=(1+x )1, y ''=-(1+x )2,y '''(-1)(-)(1-x )3, y (4)=(-1)(-2)(-3)(1+x )4, 一般地, 可得y (n )=(-1)(-2)⋅ ⋅ ⋅(n -1)(1-x )n nn x n )1()!1()1(1+--=-, 即 nn n x n x )1()!1()1()]1[ln(1)(+--=+-. 例7．求幂函数y =x (是任意常数)的n 阶导数公式.解: : y '=μx μ-1,y ''=μ(μ-1)x μ-2,y '''=μ(μ-1)(μ-2)x μ-3,y ( 4)=μ(μ-1)(μ-2)(μ-3)x μ-4, 一般地, 可得y (n )=μ(μ-1)(μ-2) ⋅ ⋅ ⋅ (μ-n +1)x μ-n , 即 (x μ )(n ) =μ(μ-1)(μ-2) ⋅ ⋅ ⋅ (μ-n +1)x μ-n . 当μ=n 时, 得到(x n )(n ) = μ(μ-1)(μ-2) ⋅ ⋅ ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1=n ! . 而 (x n )( n +1)=0 .如果函数u =u (x )及v =v (x )都在点x 处具有n 阶导数, 那么显然函数u (x )±v (x )也在点x 处具有n 阶导数, 且(u ±v )(n )=u (n )+v (n ) .教 学 过 程§5 隐函数的导数以及由参数方程所确定的函数的导数 一、隐函数的导数显函数: 形如y =f (x )的函数称为显函数. 例如y sin x , y =ln x ++e x .隐函数: 由方程F (x , y )=0所确定的函数称为隐函数. 例如, 方程x +y 3 -1=0确定的隐函数为y 31x y -=. 如果在方程F (x , y )=0中, 当x 取某区间内的任一值时, 相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在, 那么就说方程F (x , y )=0在该区间内确定了一个隐函数.把一个隐函数化成显函数, 叫做隐函数的显化. 隐函数的显化有时是有困难的, 甚至是不可能的. 但在实际问题中, 有时需要计算隐函数的导数, 因此, 我们希望有一种方法, 不管隐函数能否显化, 都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来.例1．求由方程e y +xy -e =0 所确定的隐函数y 的导数. 解: 把方程两边的每一项对x 求导数得 (e y )'+(xy )'-(e )'=(0)', 即 e y ⋅ y '+y +xy '=0,从而 y e x yy +-='(x +e y ≠0). 例2．求由方程y 5+2y -x -3x 7=0 所确定的隐函数y =f (x )在x =0处的导数y '|x =0.解: 把方程两边分别对x 求导数得 5y ⋅y '+2y '-1-21x 6=0,由此得 2521146++='y x y . 因为当x =0时, 从原方程得y =0, 所以 21|25211|0460=++='==x x y x y .例3.求椭圆191622=+y x 在)323 ,2(处的切线方程.解: 把椭圆方程的两边分别对x 求导, 得 0928='⋅+y y x .从而 yx y 169-='.当x =2时, 323=y , 代入上式得所求切线的斜率43|2-='==x y k .所求的切线方程为)2(43323--=-x y , 即03843=-+y x .例4．求由方程0sin 21=+-y y x 所确定的隐函数y 的二阶导数.解: 方程两边对x 求导, 得。
高等数学电子教案(最新版
解决方案
理解向量的基本概念和运算规则，掌握向量的数量积、 向量积、混合积的计算方法；理解空间曲线和曲面的几 何性质，掌握空间曲线和曲面的参数方程和一般方程。
THANKS
感谢观看
高等数学的重要性与应用
总结词
高等数学在科学、工程、经济等领域有 着广泛的应用，是许多学科的基础工具 。
VS
详细描述
高等数学在科学研究、工程技术和经济发 展等领域中发挥着重要的作用。它是许多 学科的基础工具，如物理、化学、工程学 、经济学等都需要用到高等数学的知识。 通过学习高等数学，人们能够更好地理解 和分析各种复杂的现象和问题，为科学研 究和技术创新提供支持。
不定积分与定积分
不定积分的概念与性质
不定积分是微分学的逆运算，用于求函数的原函数。不定积分具有一些重要的性质，如线性性质、积 分常数性质等。
定积分的概念与性质
定积分是积分学的核心概念，用于计算平面图形面积和体积等。定积分具有一些重要的性质，如可加 性、区间可加性等。
级数与幂级数
级数的概念与性质
级数是无穷序列的和，分为收敛级数和发散 级数。级数具有一些重要的性质，如正项级 数、交错级数、几何级数等。
重积分与线积分
• 总结词：重积分与线积分是高等数学中的重要概念，它研究的是对积分区域进行积分的方法。 • 详细描述：重积分主要研究的是对二维或更高维度的区域进行积分的方法，而线积分主要研究的是对一维曲线
进行积分的方法。这些积分方法在解决实际问题中具有广泛的应用，如物理学中的质量分布问题、工程学中的 流体动力学问题等都可以用重积分与线积分来解决。 • 总结词：重积分与线积分在解决实际问题中具有广泛的应用，如物理学中的力学和热学等问题；工程学中的机 械设计和流体动力学等问题；经济学中的成本和收益等问题。 • 详细描述：在物理学中，重积分与线积分被广泛应用于描述物体的运动轨迹和质量分布
高等数学及其应用电子教案(第二版)(同济大学数学系)ch2-5
f (x) f (x) .
同样可以定义三阶、四阶导数, 及更高阶的导数. 记为
f (x), f (4) (x),L , f (n) (x).
按照定义, 我们有
f n x f n1 x ,n 2
为了记号上的方便, 我们约定
f 0 x f x.
例2.31 求函数 y ex2 的三阶导数.
第五节 高阶导数
本节要点
本节引入高阶 对时间t 的导数, 即
v ds . dt
而加速度又是速度函数关于时间t 的导数, 即
a dv . dt
由此可见: 加速度a是位置函数 s 关于t 求导后再一次求
导, 由此引出所谓的“二阶导数”的概念.
y
a
1
cos
t
所确定的函数在 x a 处的二阶导数.
解
dy dx
a1 cost at sin t
a sin t
a1 cost
cot
t, 2
d2 y dx2
d dt
dy dx
dt dx
d dt
dy dx dx
dt
cot
t 2
at sin t
csc2 t 2
a1 cos
解
y 2xex2 , y 2 1 2x2 ex2 , y 12x 8x3 ex2 .
例2.32 求函数 y arctan 1 的二阶导数. x
解
y
1
1
1 x
2
1 x2
1
1 x2
,
y
2x 1 x2
2.
例2.33 设c1, c2与 a是常数, 证明函数
y c1 cos ax c2 sin ax
解
(完整版)高等数学教案各章的教学目的、重点、难点
第一章函数与极限教学目的:1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式.2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.4、掌握基本初等函数的性质及其图形。
5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。
6、掌握极限的性质及四则运算法则。
7、了解极限存在的两个准则,并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。
9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。
教学重点：1、复合函数及分段函数的概念；2、基本初等函数的性质及其图形；3、极限的概念极限的性质及四则运算法则；4、两个重要极限;5、无穷小及无穷小的比较；6、函数连续性及初等函数的连续性;7、区间上连续函数的性质.教学难点：1、分段函数的建立与性质；2、左极限与右极限概念及应用；3、极限存在的两个准则的应用；4、间断点及其分类；闭区间上连续函数性质的应用.第二章导数与微分教学目的:1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程,了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。
2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。
3、了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。
4、会求分段函数的导数。
5、会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。
教学重点:1、导数和微分的概念与微分的关系；2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则;3、基本初等函数的导数公式;4、高阶导数；6、隐函数和由参数方程确定的函数的导数。
高等数学教案小学数学
高等数学教案小学数学
年级：小学
教学目标：通过本节课的学习，学生能够掌握高等数学中的基本概念和方法，培养学生对
数学的兴趣和好奇心。
教学重点和难点：高等数学中的基本概念和方法，如微积分、线性代数等。
教学准备：
1. 板书、彩色粉笔
2. 教学课件
3. 各种教学辅助材料
教学过程：
一、导入（5分钟）
教师通过提出一些简单的数学问题或引入一个有趣的数学题目，引起学生的兴趣和好奇心。
二、讲解高等数学的基本概念和方法（15分钟）
1. 介绍微积分的基本原理和应用
2. 讲解线性代数的基本概念和方法
3. 解释微分方程的基本概念和方法
三、教学实践（20分钟）
1. 组织学生进行小组讨论和练习
2. 出示一些简单的高等数学题目，让学生独立思考和解决
四、总结（5分钟）
教师对本节课的学习内容进行总结，并强调学生需要多加练习和巩固。
五、作业布置（5分钟）
布置相应的作业，巩固本节课的学习内容。
教学反思：
通过本节课的教学，学生对高等数学的基本概念和方法有了一定的了解和认识，激发了学生对数学的兴趣和好奇心。
但在实践环节中，学生对高等数学的理解和掌握有待加强，在以后的教学中需要更多地进行实践和练习。
高等数学优秀教案模板范文
一、教学目标1. 知识目标：（1）理解极限的概念，掌握极限的性质和运算法则。
（2）了解连续函数的概念，掌握连续函数的性质。
（3）学会运用极限和连续性解决实际问题。
2. 能力目标：（1）培养学生运用数学语言描述问题的能力。
（2）提高学生分析问题和解决问题的能力。
（3）培养学生逻辑思维和抽象思维能力。
3. 情感目标：（1）激发学生对高等数学的兴趣，提高学习热情。
（2）培养学生严谨的学术态度和团队协作精神。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）极限的概念及性质。
（2）连续函数的概念及性质。
（3）极限和连续性在解决实际问题中的应用。
2. 教学难点：（1）理解极限的概念，掌握极限的性质和运算法则。
（2）掌握连续函数的性质，并能灵活运用。
三、教学过程1. 导入新课（1）回顾初等数学中极限的思想，引导学生思考高等数学中极限的定义。
（2）提出问题：如何定义函数在某一点的极限？2. 新课讲解（1）极限的定义：介绍极限的定义，结合实例讲解。
（2）极限的性质：介绍极限的性质，并通过例题展示。
（3）极限的运算法则：介绍极限的运算法则，结合例题讲解。
（4）连续函数的定义：介绍连续函数的定义，结合实例讲解。
（5）连续函数的性质：介绍连续函数的性质，并通过例题展示。
3. 课堂练习（1）让学生完成课本上的习题，巩固所学知识。
（2）教师巡视指导，解答学生疑问。
4. 应用实例（1）展示极限和连续性在实际问题中的应用实例。
（2）引导学生分析问题，运用所学知识解决问题。
5. 总结与回顾（1）总结本节课所学内容，强调重点和难点。
（2）回顾课本上的相关内容，加深学生对知识的理解。
四、课后作业1. 完成课本上的习题，巩固所学知识。
2. 查阅资料，了解极限和连续性在其他领域的应用。
五、教学反思1. 本节课通过实例讲解，使学生更好地理解了极限和连续性的概念及性质。
2. 在课堂练习中，注重培养学生的实际操作能力，提高学生解决问题的能力。
3. 在教学过程中，关注学生的学习状态，及时调整教学策略，提高教学效果。
大学文科数学课程详细教案
一、教学目标1. 知识目标：（1）使学生掌握高等数学的基本概念、性质、运算方法。
（2）培养学生运用高等数学解决实际问题的能力。
（3）提高学生的逻辑思维和抽象思维能力。
2. 能力目标：（1）培养学生独立思考和解决问题的能力。
（2）提高学生的数学表达和交流能力。
（3）培养学生的团队协作和自主学习能力。
3. 情感目标：（1）激发学生对数学的兴趣，培养他们的学习热情。
（2）培养学生的严谨治学态度和科学精神。
（3）增强学生的自信心和意志力。
二、教学内容1. 导论：数学在自然科学、社会科学和工程技术中的应用。
2. 函数、极限与连续：函数概念、极限概念、连续性。
3. 导数与微分：导数的定义、求导法则、微分。
4. 高阶导数与高阶微分：高阶导数的定义、求导法则、高阶微分。
5. 导数的应用：函数的单调性、极值、最值、曲线的凹凸性。
6. 不定积分：不定积分的概念、基本积分公式、积分方法。
7. 定积分：定积分的概念、性质、计算方法。
8. 积分的应用：定积分在几何、物理、经济等方面的应用。
三、教学方法1. 讲授法：系统讲解高等数学的基本概念、性质、运算方法。
2. 案例分析法：通过具体案例，引导学生运用所学知识解决问题。
3. 讨论法：组织学生围绕某一问题进行讨论，培养学生的思维能力和表达能力。
4. 练习法：布置课后作业，巩固所学知识，提高学生的实际应用能力。
四、教学进度安排1. 第1-2周：导论，介绍数学在各个领域的应用。
2. 第3-4周：函数、极限与连续。
3. 第5-6周：导数与微分。
4. 第7-8周：高阶导数与高阶微分。
5. 第9-10周：导数的应用。
6. 第11-12周：不定积分。
7. 第13-14周：定积分。
8. 第15-16周：积分的应用。
五、教学评价1. 课堂表现：学生积极参与课堂讨论，回答问题准确。
2. 课后作业：按时完成作业，解题思路清晰，运算正确。
3. 期中、期末考试：综合考查学生对高等数学知识的掌握程度和实际应用能力。
高等数学》标准教案
《高等数学》标准教案一、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握高等数学的基本概念、理论和方法，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
2. 过程与方法：通过实例分析、问题探讨、数学建模等方式，引导学生主动探究、合作交流，培养学生的数学思维和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对高等数学的兴趣，培养学生勇于挑战、追求真理的精神，提高学生的综合素质。
二、教学内容1. 第一章：极限与连续1.1 极限的概念与性质1.2 极限的运算1.3 无穷小与无穷大1.4 函数的连续性2. 第二章：导数与微分2.1 导数的概念与性质2.2 导数的运算2.3 高阶导数2.4 微分法则3. 第三章：积分与不定积分3.1 积分的基本概念3.2 积分的运算3.3 不定积分的基本性质与方法3.4 定积分的应用4. 第四章：定积分与微分方程4.1 定积分的基本性质4.2 定积分的计算4.3 微分方程的基本概念4.4 常微分方程的求解方法5. 第五章：级数5.1 数项级数的概念与性质5.2 级数的收敛性判定5.3 幂级数的概念与性质5.4 函数的幂级数展开三、教学方法1. 采用案例教学法，通过典型实例分析，使学生掌握高等数学的基本概念和理论。
2. 运用问题驱动法，引导学生主动探究、解决问题，培养学生的数学思维能力。
3. 利用数学建模方法，让学生参与实际问题的探讨，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
4. 采用小组讨论与合作交流的方式，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
四、教学评价1. 平时成绩：包括课堂表现、作业完成情况、小组讨论等，占总评的40%。
2. 期中考试：考察学生对高等数学基本概念、理论和方法的掌握程度，占总评的30%。
3. 期末考试：全面测试学生的综合素质，包括知识运用、数学思维、解决问题等能力，占总评的30%。
五、教学资源1. 教材：《高等数学》及相关辅导书籍。
2. 课件：教师自制的PPT课件。
3. 网络资源：数学论坛、在线教程、相关学术文章等。
大学高等数学教案怎么写
教学目标：1. 让学生掌握高等数学的基本概念、基本理论和基本方法。
2. 培养学生运用高等数学解决实际问题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维、创新思维和团队协作能力。
教学重点：1. 高等数学的基本概念和理论。
2. 高等数学的解题方法和技巧。
3. 高等数学在实际问题中的应用。
教学难点：1. 复杂函数的积分和微分。
2. 高等数学在实际问题中的应用。
教学准备：1. 教学课件。
2. 教学参考资料。
3. 学生练习题。
教学过程：一、导入1. 回顾初等数学知识，引入高等数学的概念。
2. 介绍高等数学在各个领域的应用，激发学生的学习兴趣。
二、讲授新课1. 讲解高等数学的基本概念，如极限、导数、积分等。
2. 讲解高等数学的基本理论，如泰勒公式、中值定理等。
3. 讲解高等数学的解题方法和技巧，如换元法、分部积分法等。
4. 通过实例讲解高等数学在实际问题中的应用。
三、课堂练习1. 布置课堂练习题，让学生巩固所学知识。
2. 学生独立完成练习题，教师巡视指导。
四、课堂小结1. 总结本节课所学内容，强调重点和难点。
2. 布置课后作业，让学生进一步巩固所学知识。
五、课后拓展1. 鼓励学生参加数学竞赛，提高数学素养。
2. 鼓励学生参加数学社团，拓展数学知识面。
教学评价：1. 课堂练习完成情况。
2. 课后作业完成情况。
3. 学生对高等数学的学习兴趣和积极性。
教学反思：1. 分析教学过程中遇到的问题，总结经验教训。
2. 调整教学方法和策略，提高教学质量。
教案编写注意事项：1. 教案内容要符合教学大纲要求，注重培养学生的数学思维。
2. 教案结构要清晰，重点突出，难点明确。
3. 教案要具有可操作性，便于教师实施教学。
4. 教案要注重与实际问题的结合，提高学生的实际应用能力。
以上是一份大学高等数学教案的撰写方法，希望对您有所帮助。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数学教案高等数学应用
数学教案：高等数学应用
一、引言
学生在学习数学时，常常抱怨这门学科与实际生活无关。
然而，高等数学应用作为一门应用型数学课程，旨在帮助学生将数学理论与实际问题相结合，培养他们解决实际问题的能力。
本教案将介绍如何设计一堂高等数学应用的课程，以激发学生对数学的兴趣并提高他们的应用能力。
二、课程目标
本课程旨在：
1. 使学生认识到高等数学在实际生活中的应用价值；
2. 培养学生解决实际问题的能力；
3. 提高学生的逻辑思维和推理能力；
4. 激发学生对数学的兴趣。
三、教学内容
本课程将涵盖以下内容：
1. 函数的应用：介绍函数在经济学、物理学等领域的应用，并引导学生分析和解决相关问题。
2. 极限和连续函数的应用：讲解极限在微积分中的应用，如计算斜率、速度等。
并通过实例让学生理解连续函数的应用。
3. 微分和积分的应用：介绍微分和积分在几何学、物理学和工程学中的应用，并引导学生计算相关问题。
4. 级数和数列的应用：通过实例讲解级数和数列在概率论和统计学中的应用，如用排列组合计算概率等。
四、教学方法
本课程将采用以下教学方法：
1. 讲授法：通过讲解基础理论和相关应用实例，引导学生理解数学知识的应用方式。
2. 实践法：设计实际问题的解决方法，让学生通过实际操作来应用数学知识。
3. 合作学习法：鼓励学生在小组中讨论和解决问题，培养他们的团队合作能力。
4. 讨论法：引导学生提出问题并进行讨论，鼓励他们运用逻辑思维和推理能力。
五、教学步骤
本课程的教学步骤如下：
1. 导入：通过一个与学生生活相关的问题，引发学生对高等数学应用的思考。
2. 理论讲解：讲解相关理论知识，例如函数的定义、极限与连续函数的性质、微分与积分的概念等。
3. 应用实例：给出一系列实际问题，让学生运用所学知识进行分析和解决。
4. 学生实践：组织学生进行小组讨论和实践活动，通过实际操作来应用所学知识。
5. 案例学习：选取一些经典案例，让学生分析和解决，加深对高等数学应用的理解。
6. 总结与评价：总结本节课的核心内容并进行学生表现的评价。
六、课堂评估
本课程将采用以下评估方法：
1. 课堂表现评估：评估学生在课堂中的参与度和表现。
2. 问题解决评估：评估学生解决实际问题的能力和方法是否正确。
3. 小组合作评估：评估学生在小组中的合作态度和团队效能。
七、教学资源
为了提高教学效果，本课程将使用以下教学资源：
1. 教科书和课件：提供基础教学材料，帮助学生理解理论知识。
2. 实际问题练习册：提供大量实际问题，让学生进行练习和巩固。
3. 计算机软件：利用计算机软件进行数学建模和实际问题的仿真。
4. 互联网资源：引导学生利用互联网资源查找和分析相关实例。
八、延伸拓展
为了激发学生对高级数学应用的兴趣，可以组织学生进行课外拓展活动，如参加数学建模比赛、参观相关企业或研究机构等，让学生深入了解高级数学在现实中的应用。
九、总结
通过本教案的设计，我们可以帮助学生理解高等数学与实际问题之间的联系，并培养他们解决实际问题的能力。
期望学生在本课程中受益匪浅，对数学产生浓厚的兴趣，并在实际生活中能够灵活运用所学知识。