2022-2023学年河南省南阳市高三上学期期终质量评估(期末考试)数学(理)试卷含答案
河南省普高联考2022-2023学年高三下学期测评(四)理科数学试题PDF版含解析
河南省普高联考2022-2023学年高三下学期测评（四）理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合，，则（ ）{24}A xx =<<∣{(6)(3)0}B x x x =--≥∣A ．B ．C ．D ．2A B∈ 3A B∈⋂4A B∈ 5A B∈ 2．若复数z 的共轭复数为，且，则z 的虚部为（ ）z (2i)35i z z -+=-+A ．B ．C ．D ．22i-2i2-3．已知等比数列的前n 项和为，且，，则（ ）{}n a n S 123nn S m =⨯-m ∈R 4S =A ．B ．5C ．D ．1331732234．塔是一种在亚洲常见的，有着特定的形式和风格的中国传统建筑．最初是供奉或收藏佛骨、佛像、佛经、僧人遗体等的高耸型点式建筑，称“佛塔”．如图，为测量某塔的总高度AB ，选取与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D ，现测得，，米，在C 点测得塔顶A 的仰角为60°，则塔的总30BCD ∠=︒45BDC ∠=︒30CD =高度约为（ ））1.4≈ 1.7≈A ．13米B ．24米C ．39米D ．45米5．函数的大致图象是（ ）3sin ||x xy x -=A ．B ．C ．D．6．某学校为落实“双减”政策，在课后服务时间开展了“绘画、书法、围棋、舞蹈、武术”五项兴趣拓展活动，小明计划从这五项活动中选择三项，则书法、舞蹈这两项活动至多有一项被选中的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．0.90.70.60.37．记不等式组的解集为D ，现有下面四个命题：30,10,30x y x y x -+≤⎧⎪++≤⎨⎪+≥⎩，；，；1:(,)p x y D ∀∈280x y -+≥2:(,)p x y D ∃∈240x y -+>，；，．3:(,)p x y D ∀∈30x y ++>4:(,)p x y D ∃∈330x y +-≤其中真命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．已知抛物线的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线交于点A ，B ，与2:2(0)C x py p =>抛物线的准线交于点M ，且点A 位于第一象限，F 恰好为AM 的中点，，AF BM λ=()λ∈R 则（ ）λ=A ．B ．CD32439．任意写出一个正整数，并且按照以下的规律进行变换：如果是个奇数，则下一m m 步变成，如果是个偶数，则下一步变成，无论是怎样一个数字，最终必31+m m 12m m 进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”．它可以表示为数列1421→→→（为正整数），，若，则的所有可能{}1:n a a m =m 131,1,2n n n n n a a a a a ++⎧⎪=⎨⎪⎩当为奇数时当为偶数时72a =m 取值之和为（ ）A ．B ．C ．D ．18819019220110．在菱形ABCD 中，，，AC 与BD 的交点为G ，点M ，N 分别在线段5AB =6AC =AD ，CD 上，且，，将沿MN 折叠到，使13AM MD =13CN ND =MND MND '△的外接球的表面积为（ ）GD '=D ABC '-A ．B ．C ．D ．1203π16627π16289π840π11．设双曲线的左、右焦点分别为，，B 为双曲线E 上:E 22221x y a b-=(0,0)a b >>1F 2F 在第一象限内的点，线段与双曲线E 相交于另一点A ，AB 的中点为M ，且1F B ，若，则双曲线E 的离心率为（ ）2F M AB ⊥1230AF F ∠=︒AB ．2C D 12．已知，，，其中e 为自然对数的底数，则（ ）0.618e 1a =-ln1.618b =tan 0.618c =A ．B ．c a b >>a b c >>C ．D ．b a c>>a c b>>二、填空题13．二项式的展开式中的系数为________．523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭4x 14．如图，在矩形ABCD 中，，AC 与BD 的交点为M ，N 为边AB 上任22AB BC ==意点（包含端点），则的最大值为________．MB DN ⋅15．圆与x 轴交于A ，B 两点(A 在B 的左侧)，点N 满足22:280M x y x ++-=，直线与圆M 和点N 的轨迹同时相切，则直线l 的斜率为||2||NA NB =:(0)l y kx m k =+>________．16．先将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横()cos f x x =2π3坐标变为原来的，纵坐标不变，所得图象与函数的图象关于x 轴对称，1(0)ωω>()g x 若函数在上恰有两个零点，且在上单调递增，则的取值范围是()g x 2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ω________．三、解答题17．在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．ABC cos )sin b a C c A -=(1)求A ；(2)若D 在线段AC 上，且，求BD 的最小值．ABC 13AD AC =18．如图，在四棱锥中，底面ABCD 是平行四边形，，M ABCD -4AB =AD =，点M 在底面ABCD 上的射影为CD 的中点O ，E 为线段AD MC ==45ADC ∠︒上的点(含端点)．(1)若E 为线段AD 的中点，证明：平面平面MAD ；MOE ⊥(2)若，求二面角的余弦值．3AE DE =D ME O --19．某公司为了解年营销费用x （单位：万元）对年销售量y （单位：万件）的影响，统计了近5年的年营销费用和年销售量，得到的散点图如图所示，对i x (1,2,3,4,5)i y i =数据进行初步处理后，得到一些统计量的值如下表所示．51ii u=∑51ii v=∑()()51iii u u v v =--∑()521ii u u =-∑16.1026.020.40 1.60表中，，，．已知可以作为年销售量y 关ln i i u x =ln i i v y =5115i i u u ==∑5115i i v v ==∑b y a x =⋅于年营销费用x 的回归方程．(1)求y 关于x 的回归方程；(2)若公司每件产品的销售利润为4元，固定成本为每年120万元，用所求的回归方程估计该公司每年投入多少营销费用，才能使得该产品一年的收益达到最大？（收益销售=利润营销费用固定成本）--参考数据：．4.399e 81≈139≈参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截()()()1122,,,,,,n n u v u v u v v u αβ=+距的最小二乘估计分别为，．()()()`121ˆniii ni i u u v v u u β==--=-∑∑ˆˆv u αβ=-20．已知椭圆的右焦点为F ，离心率为，且点在㮋圆上．2222:1(0)x y C a b a b+=>>1231,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过右焦点F 且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为Q ，经过坐标原点O 和点Q 的直线m 与椭圆C 交于M ，N 两点，求四边形AMBN 的面积的取值范围．21．已知函数．()2cos sin ()f x mx mx x x m =--∈R (1)当时，求在点处的切线方程；1m =()f x ()()π,πf (2)当时，，求实数m 的取值范围．0x >()0f x >22．在直角坐标系中，直线l 的参数方程为其中t 为参数，以坐标原点为xOy 1,1,x t y t =+⎧⎨=-⎩极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为，其中为参数．2|sin |2|cos |ρθθ=+θ(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程，并画出曲线C 的简图（无需写出作图过程）；(2)直线与曲线C 相交于A ，B 两点，且的值．:m θα=π0,2α⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭||AB =α23．已知函数的最小值为m ．()2|1||1|4f x x x =++--(1)在直角坐标系中画出的图象，并求出m 的值；()y f x =(2)a ，b ，c 均为正数，且，求的最小值．1a b c m ++=-+222a b c b c a++参考答案：1．B【分析】根据二次不等式解法求出集合B ，求出及，根据元素和集合的关系即A B ⋂A B ⋃可逐项判断.【详解】由题可知或，则，或{6B xx =≥∣3}x ≤{23}A B x x ⋂=<≤∣{4A B x x ⋃=<∣，依据选项可知B 正确.6}x ≥故选：B ．2．D【分析】先根据条件求出复数，然后可得虚部.z 【详解】设复数，a ，，则，i z a b =+b ∈R i (2i)(i)a b a b +-+-()(3)i a b b a =-++-35i =-+即，解得，则，故z 的虚部为2.()335a b b a -+=-⎧⎨-=⎩12a b =⎧⎨=⎩12z i =+故选：D ．3．B【分析】先根据的定义依次求出，再由等比数列的定义即可得到关于的关系式，n S 123,,a a a m 解之即可得出答案.【详解】因为，123nn S m =⨯-当时，，1n =1123a S m ==-当时，，则，2n =21243m a S a =+=-223a =当时，，则，3n =312383a m a a S +=+-=343a =因为是等比数列，所以，则，{}n a 322a q a ==2113a a q ==所以，解得，2133m -=13m =则，11233n n S =⨯-则.45S =故选：B.4．C【分析】在Rt △ABC 根据∠ACB 的正切得AB 与BC 的关系，在△BCD 中利用正弦定理列式即可求解．【详解】设，则，AB m=tan 60m BC ==︒在中，，由正弦定理得，BCD △105CBD ∠=︒sin105sin 45CD BC=︒︒因为，()sin105sin 4560︒=︒+︒sin 45cos 60cos 45sin 60=︒︒+︒︒=代入数据，解得（米），90m =-9030 1.739≈-⨯=故选：C ．5．A【分析】先判断函数的奇偶性即可排除选项；再利用特殊值即可排除选项，进而求解.B,D C 【详解】函数的定义域为，3sin ()xx xy f x -==(,0)(0,)-∞+∞ 且，3sin()3sin ()()x x x xf x x x f x-----+-===-所以是奇函数，图象关于原点对称，排除选项，()f x B,D 只需研究的图象，当时，，则，排除选项.0x >π6x =πππ33sin 06662-=-<π06f ⎛⎫< ⎪⎝⎭C 故选：．A 6．B【分析】方法一：根据排列组合结合分类加法法则得出答案；方法二：先求出“书法、舞蹈这两项活动都被选中”的概率，即可根据对立事件的概率求法得出答案.【详解】方法一：“书法、舞蹈这两项活动至多有一项被选中”分两种情况：①都没有被选中，有种情况；②两项活动只有一项被选中，有种情况，33C 1223C C 则所求概率为，故选B ．31232335C C C 70.7C 10P +===方法二：“书法、舞蹈这两项活动至多有一项被选中”的对立事件是“书法、舞蹈这两项活动都被选中”，故所求概率为，123235C C 710.7C 10P =-==故选：B ．7．C【分析】作出不等式组所表示的区域，再逐项的作出对应直线，观察所作直线与可行域的关系，再利用存在命题与全称命题的概念进行判断即可求解.【详解】不等式组的解集D 表示的可行域如图中阴影部分所示，依据图（1）知命题为真1p 命题，依据图（2）知命题为真命题，2p 依据图（3）知命题为假命题，依据图（4）知命题为真命题．所以真命题有3个，3p 4p故选：C ．8．A【分析】过点A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为N ，E ，根据抛物线的定义，又F 恰好为AM 的中点，可得到比例，进一步推导得到的值.||||AF BM λ【详解】如图，过点A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为N ，E ，根据抛物线的定义得，，||||AF AN =||||BF BE =因为F 为AM 的中点，所以，又||||||||1||||||AF BF BM BF BM BM BM +==+||||||||BF BE BM BM ==，所以，所以.||||1||||2AN AF AM AM ==||||1311||||22AF BF BM BM =+=+=32λ=故选：A 9．B【分析】列举出的可能情况，可得出的所有可能取值，1234567a a a a a a a →→→→→→m 相加即可得解.【详解】由题意，的可能情况有：1234567a a a a a a a →→→→→→①；②；2142142→→→→→→16842142→→→→→→③；④；2010516842→→→→→→310516842→→→→→→⑤；⑥；128643216842→→→→→→21643216842→→→→→→所以，的可能取值集合为，的所有可能取值之和为m {}2,16,20,3,128,21m .21620312821190+++++=故选：B.10．B【分析】设MN 与BD 的交点为H ，连接，证明平面ABC ．设的外接圆圆D H 'D G '⊥ABC 心为，的外接圆圆心为，过，分别作平面ABC ，平面的垂线，设1O AD C ' 2O 1O 2O AD C '两垂线交于点O ，则O 是三棱锥外接球的球心，先求出，再求出三棱锥D ABC '-12,r r 的外接球的半径即得解.D ABC '-R 【详解】如图所示，因为，，13AM MD =13CN ND =所以，设MN 与BD 的交点为H ，连接，//MN AC 'D H 因为，，所以，则，，5AD CD AB ===3GA GC ==4DG =1GH =3DH =所以．又，则．又，3D H '=GD '=222D G GH D H ''+=D G GH '⊥D G AC '⊥，平面ABC ，故平面ABC ．AC HG G ⋂=AC HG ⊂，D G '⊥设的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，过，分别作平面ABC ，平ABC 1O AD C ' 2O 1O 2O 面的垂线，设两垂线交于点O ，则O 是三棱锥外接球的球心，且四边形AD C 'D ABC '-为矩形．设的外接圆半径为，在中，由，解得12O OO G ABC 1r ABC ()2221143r r -+=，同理可得的外接圆半径的1258r =AD C ' 2r =2GO =D ABC '-外接球半径为R ，则，则三棱锥的外接球的表面22212R O A GO =+6252627646464=+=D ABC '-积.26274π16S R π==故选：B ．11．D【分析】连结连接、.设，根据双曲线的定义可推得，即2AF 2BF 2AF =2BF m =||4AB a =．进而在直角三角形中，根据勾股定理可得.结合已知条件，即可2m a =2F 得出，从而得出离心率.222c a =【详解】如图，连接、.2AF 2BF 因为M 为AB 的中点，，所以．2F M AB ⊥22AF BF =设，2AF =2BF m =因为，所以.212AF AF a -=12AF m a =-又因为，所以，122B F B F a -=1BF =2m a +则．11||4AB BF AF a =-=因为M 为AB 的中点，所以，则．||||2AM BM a ==1F M m =设，在中，122FF c =12Rt F F M △2F在中，2Rt AF M△2F ，整理可得，所以．=22222m a c =+2F 当时，，则，1230AF F ∠=︒12sin AF F ∠=212FMF F =12=222c a =所以离心率为ce a==故选：D ．12．D【分析】构造函数，，利用导数判断其单调性即可判断的大()1tan x f x x =--e π04x <<,a c 小；，可构造函数判断与的大小，ln1.618ln(10.618)b ==+()ln(1)h x x x =+-ln1.618b =0.618构造函数判断与的大小，从而可判断的大小.()tan k x x x =-0.618tan 0.618,b c 【详解】令，，()1tan xf x x =--e e cos cos sin cos x x x xx--=π04x <<令，()e cos x g x x =-cos sin x x -则，()(sin cos )e x g x x x '=-+sin cos x x +-()e 1(cos sin )xx x =--当时，，则在上单调递增，π04x <<()0g x '>()g x 0,4π⎛⎫⎪⎝⎭又，所以当时，，又，所以在上恒(0)110g =-=04x π<<()0g x >cos 0x >()0f x >0,4π⎛⎫⎪⎝⎭成立，又，所以，即．00.6184π<<(0.618)0f >a c >令，则，()ln(1)h x x x =+-1()111x h x x x -=-=++'当时，，所以在上单调递减，02x π<<()0h x '<()h x 0,2π⎛⎫⎪⎝⎭所以当时，，即．02x π<<()(0)0h x h <=ln(1)x x +<令，则，在上单调递减，()tan k x x x =-21()10cos k x x '=-≤()k x 0,2π⎛⎫⎪⎝⎭所以当时，，即，02x π<<()(0)0k x k <=tan x x <所以在上恒成立．ln(1)tan x x x +<<0,2π⎛⎫⎪⎝⎭令，则，所以．0.618x =ln(0.6181)0.618tan 0.618+<<c b >综上所述，．a c b >>故选：D ．【点睛】构造函数比较大小主要方法有：1.通过找中间值比较大小，要比较的两个或者三个数之间没有明显的联系，这个时候我们就可以通过引入一个常数作为过渡变量，把要比较的数和中间变量比较大小，从而找到他们之间的大小；2.通过构造函数比较大小，要比较大小的几个数之间可以看成某个函数对应的函数值，我们只要构造出函数，然后找到这个函数的单调性，就可以通过自变量的大小关系，进而找到要比较的数的大小关系.有些时候构造的函数还需要通过放缩法进一步缩小范围.13．90【分析】由二项式展开式通项公式可求.【详解】由题知，当时，，故的系数为90．()52153C rrrr T xx -+⎛⎫= ⎪⎝⎭1035C 3r r rx -=⋅⋅2r =4390T x =4x 故答案为：90.14．##522.5【分析】以点A 为坐标原点，，的方向为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，写ABAD 出对应点的坐标，设，根据平面向量数量积的坐标运算即可求解.(,0)N m (02)m ≤≤【详解】以点A 为坐标原点，，的方向为x 轴，y 轴正方向，建立平面直角坐标系，ABAD 则，，，设，11,2M ⎛⎫⎪⎝⎭(2,0)B (0,1)D (,0)N m (02)m ≤≤所以，，则，11,2MB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ (,1)DN m =- MB DN ⋅= 12m +因为，所以，即的最大值为．02m ≤≤1522MB DN ≤⋅≤ MB DN ⋅ 52故答案为：．5215【分析】求出A 、B 坐标，设N (x ,y )，求出N 的轨迹圆E 的方程，作出图象，利用圆的公切线的几何性质即可求其斜率．【详解】对于圆，令，得，解得或，22:280M x y x ++-=0y =2280x x +-=4x =-2x =则，．()4,0A -()2,0B 设，∵，∴，(,)N x y 2NANB=2NA NB =，整理得，=22(4)16x y -+=则点N 的轨迹是圆心为，半径为的圆．()4,0E 4R =又圆M 的方程为，则圆M 的圆心为，半径为．22(1)9x y ++=(1,0)-3r =∵，∴两圆相交，434(1)43-<--<+设直线l 与圆M 和点N 轨迹圆E 切点分别为C ，D ，连接CM ，DE ，过M 作DE 的垂线，垂足为点F ，则四边形CDFM 为矩形，∵，，∴5ME =431EF DE DF R CM =-=-=-=MF =则tan FME ∠则两圆公切线CD 的斜率即为直线FM16．11,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】先根据题目的要求平移伸缩对称变换得到的解析式，然后结合函数在()g x 2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点以及在上单调递增，列出不等式组，即可求得本题答案.ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【详解】函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，()f x 2π32πcos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭再将图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到的图象，因1ω2πcos 3y x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为函数的图象与的图象关于x 轴对称，()g x 2πcos 3y x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以，2π()cos 3g x x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭2ππsin 32x ω⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭πsin 6x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭因为，所以，20π3x ≤≤ππ2ππ6636x ωω≤+≤+又因为在恰有2个零点，且，，π()sin 6g x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦()sin π0k =Z k ∈所以，解得，2π2ππ3π36ω≤+<1117<44ω≤令，，得，，令，22πππ2π2π262k x k ω-+≤+≤+2k ∈Z 222π2π2ππ33k k x ωωωω-+≤≤+2k ∈Z 20k =得在上单调递增，所以，()g x 2ππ,33ωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2ππ,33ωω⎡⎤⊆-⎢⎥⎣⎦所以，又，解得．2ππ312ππ312ωω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩0ω>04ω<≤综上所述，，故的取值范围是．1144ω≤≤ω11,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：11,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦17．(1)；π3A =【分析】（1）根据正弦定理，结合三角恒等变换化简可推得tan A =（2）由已知可推得.在中，由余弦定理可推得，然后根据9bc =ABD △2221193c bbc BD =+-基本不等式，即可得出BD 的最小值．【详解】（1，sin cos )sin sin B A CC A -=又，πA B C ++=]sin()sin cossin sin A C A C C A +-=．sin A C sin sin C A =又，则．sin 0C >sin A A =tan A =因为，所以．(0,π)A ∈π3A =（2）由（1）知，则的面积为．π3A =ABC 1πsin 23S bc ===9bc =在中，，ABD △13AD b =由余弦定理得2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅2211π2cos933c b c b =+-⨯⨯⨯，221193c b bc =+-≥13bc 133bc ==当且仅当，即2219c b =b =c =所以BD 18．(1)证明见解析【分析】(1)在△ADO 中，利用勾股定理证明ED ⊥EO ，再结合ED ⊥MO 即可证明平面MOE ，AD ⊥从而可证明平面平面MAD ；MOE ⊥(2)连接OA ，证明，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量即可DO OA ⊥求解二面角的余弦值．【详解】（1）∵平面ABCD ，平面ABCD ，∴．AD ⊂MO ⊥MO AD ⊥∵O 为线段CD 的中点，E 为线段AD 的中点，∴，2DO =DE =∵，由余弦定理得，=45ADC ∠︒2222222EO =+-⨯=则，则．222EO DE DO +=DE EO ⊥∵，平面MOE ，∴平面MOE ，MO EO O ⋂=,MO EO ⊂AD ⊥又∵平面MAD ，∴平面平面MAD ．AD ⊂MOE ⊥（2）连接OA ，由(1)知当E 为线段AD 的中点时，AE DE EO ===则A 、O 、D 三点在以AD 为直径的圆上，故．DO OA ⊥故以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又，MC =2MO =∴，，，．(0,0,0)O (2,0,0)D (0,2,0)A (0,0,2)M 又，则，3AE DE =13,,022E ⎛⎫⎪⎝⎭∴，，，．(0,0,2)OM = (2,0,2)DM =- (2,2,0)DA =-13,,022OE ⎛⎫= ⎪⎝⎭设平面MAD 的法向量为，则解得()111,,m x y z = 1111220220DM m x z DA m x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，，1111x z x y =⎧⎨=⎩，，取，则平面MAD 的一个法向量为．11x =(1,1,1)m =设平面MEO 的法向量为，则解得()222,,x n y z = 2221302220OE n x y OM n z ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅==⎩，，22230x y z =-⎧⎨=⎩，，取，则平面MEO 的一个法向量为．23x =(3,1,0)n =-则，cos m n m n m n ⋅⋅===⋅则二面角D ME O --19．(1)1481y x =(2)该公司每年投入351万元营销费用时，该产品一年的收益达到最大【分析】(1)根据题目要求可知，y 关于x 的回归方程为非线性的，设，可得b y a x =⋅，代入已知条件所给的数据，计算即可.(2)列出年收益与营销费用的关系式，ln ln ln y a b x =+通过求导来求得最值.【详解】（1）由得，，令，，，则b y a x =⋅ln ln()ln ln b y a x a b x =⋅=+ln u x =ln v y =lnc a =．v c bu =+由表中数据可得，，()()()515210.4ˆ0.251.6iii ii u u v v bu u ==--===-∑∑则，所以．26.0216.1ˆˆ0.25 4.39955cv bu =-=-⨯=ˆ 4.3990.25v u =+即，因为，所以，ˆln 4.3990.25ln y x =+14.3994ln e x ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭ 4.399e 81≈14ˆ81y x =故所求的回归方程为．1481y x =（2）设年收益为W 万元，则，144120324120W y x x x =--=--对求导，得，()W f x =34'()811f x x -=-令，解得，348110x --=132433519x =≈⨯=当时，，单调递增，当时，，单调递减，(0,351)x ∈'()0f x >()f x (351,)x ∈+∞'()0f x <()f x 因此，当时W 有最大值，即该公司每年投入351万元营销费用时，该产品一年的收351x =益达到最大．20．(1)；22143xy +=(2)．[6,【分析】（1）由题得到关于的方程，解方程即得解；,,a b c （2）设直线l 的方程为，联立椭圆C 的方程得到韦达定理，设线段AB 的中点为1x ky =+，求出它的坐标，求出、点M ，N 到直线l 的距离，再化简求出()00,Q x y ||AB 12,d d 即得解.S =【详解】（1）设椭圆右焦点的坐标为，则，即，(,0)(0)c c >12c a =2a c =又，则，222a b c =+223b c =因为点在椭圆上，31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，即，解得，221914a b +=2213144c c +=1c =则，C 的标准方程为．2a =b =22143x y +=（2）由（1）知，因为直线l 的斜率不为0，所以可设直线l 的方程为，(1,0)F 1x ky =+代入椭圆C 的方程，消去x 化简得，22143x y +=()2234690k y ky ++-=设，，则，．()11,A x y ()22,B x y 122634ky y k -+=+122934y y k -=+设线段AB 的中点为，则，，()00,Q x y 12023234y y k y k +-==+200231134k x ky k -=+=++2434k =+即，则直线m 的方程为，2243,3434k Q k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭34k y x =-代入椭圆C 的方程可得，x =M．N⎛ ⎝||AB =-=，=()2212134k k +=+点M ，N 到直线l 的距离分别为1d 2d 则四边形AMBN 的面积为1211||||22S AB d AB d =⨯⨯+⨯⨯()121|2ABd d =⨯⨯+∣1||2AB =⨯⨯因为点M ，N 在直线l 的两侧，所以1|2S AB =⨯1||2AB ⨯⨯1||2AB ⨯()221211234k k +=⨯+=，==因为，所以2110344k <≤+6S ≤<因此，四边形AMBN 的面积的取值范围为．[6,21．(1)4πy x =-(2)[1,)+∞【分析】（1）由导数法求切线；（2）法一：对m 分类讨论，由导数法研究函数单调性及符号即可判断，其中时，由作1m ≥差法说明，将问题转化为判断的符号；()2cos sin f x x x x x ≥--()2cos sin g x x x x x =--法二：不等式等价为，由导数法研究图象性质，由数形结合判sin 2cos xmx x >-sin ()2cos x g x x=-断范围.【详解】（1）因为，所以，()2cos sin f x x x x x =--()22cos sin f x x x x '=-+因为，，所以切线方程为，即．()π4f '=()π3πf =()3π4πy x -=-4y x π=-（2）方法一：i.若，1m ≥由，2cos sin (2cos sin )mx mx x x x x x x -----2(1)(1)cos m x m x x =---(1)(2cos )0m x x =--≥可得，()2cos sin f x x x x x ≥--设，则，()2cos sin g x x x x x =--()22cos sin g x x x x '=-+当时，，所以单调递增，则；(0,]x π∈()0g x '>()g x ()(0)0g x g >=当时，，所以，(,)x ∈π+∞()(1cos )(sin )0g x x x x x =-+->()0g x >所以恒成立，符合题意；()0f x >ii.若，，0m ≤()2cos sin f x mx mx x x =--(1cos )sin mx x mx x =-+-当时，，不合题意．π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x <iii.若，，01m <<()2(1)cos sin f x m m x mx x '=-++设，则，()()h x f x '=()(21)sin cos h x m x mx x '=++当时，，所以在上单调递增，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0h x '>()f x 'π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭因为，，所以存在，使得，ππ2022f m ⎛⎫⎛⎫=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'(0)0f '<0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00f x '=当时，，则在上单调递减，，不合题意．()00,x x ∈()0f x '<()f x ()00,x ()(0)0f x f <=综上所述，m 的取值范围为．[1,)+∞方法二：由题知当时，，即，0m >2cos sin 0mx mx x x -->(2cos )sin mx x x ->因为，所以．2cos 0x ->sin 2cos xmx x>-设，因为，所以为周期函数，且周期为．sin ()2cos x g x x=-(2)()g x g x π+=()g x 2π，22cos (2cos )sin ()(2cos )x x x g x x --'=-22cos 1(2cos )x x -=-令，则或，，()0g x '=π2π3x k =+5π2π3x k =+k ∈Z 所以当，时，，则单调递增；ππ2π,2π33x k k ⎛⎫∈-++ ⎪⎝⎭k ∈Z ()0g x '>()g x 当，时，，则单调递减．π5π2,2π33x k k π⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭k ∈Z ()0g x '<()g x 当时，令，则，则单调递减，0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()h x g x '=32sin (1cos )()0(2cos )x x h x x -+'=<-()()h x g x '=∴.()(0)1g x g ''<=当时，直线与曲线相切，如图，1m =y mx =()y g x =根据图象可知，要使，只需，故实数m 的取值范围为．sin 2cos x mx x>-m 1≥[1,)+∞【点睛】恒成立问题，一般可通过分离参数法，转化为由导数法研究不含参部分的最值；或者对参数分类讨论，由导数法分别说明.22．(1)，，作图见解析；20x y +-=222||2||0x y x y +--=(2)或．π12α=5π12α=【分析】（1）消去参数，即可得出直线的普通方程.根据公式即可求得曲线C 的直角坐标方t 程.然后根据方程作图即可；（2）设点A 位于第一象限，由图象集合已知条件可推出，2sin 2cos A ραα=+.由.然后根据的范围，即可得出2sin 2cos B ραα=+||AB =πsin 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭αα的值．【详解】（1）将直线的参数方程消去t ，得普通方程为．20x y +-=曲线C 的极坐标方程为，即，2|sin |2|cos |ρθθ=+22|sin |2|cos |ρρθρθ=+又，，，所以曲线C 的直角坐标方程为222x y ρ=+cos x ρθ=sin y ρθ=．222||2||0x y x y +--=则曲线C的简图如图所示．（2）不妨设点A 位于第一象限，结合图形和直线可知，:0,2m πθαα⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，，2sin 2cos A ραα=+2sin(π)2cos(π)B ραα=-+-+2sin 2cos αα=+则，||4sin 4cos A B AB ρραα=+=+π4α⎛⎫=+= ⎪⎝⎭所以.πsin 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭又，所以，π0,2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ3π,444α+∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦则或，所以或．ππ43α+=π2π43α+=π12α=5π12α=23．(1)作图见解析，2m =-(2)3【分析】(1)写出f (x )解析式，按照一次函数图象画法即可画出图象，根据图象即可求出最小值m ；(2)利用基本不等式得，，，三式相加即可求得22a b a b+≥22b c b c +≥22c a c a +≥222a b c b c a ++的最小值．【详解】（1）由题知()35,1,1,11,33,1,x x f x x x x x --≤-⎧⎪=--<<⎨⎪-≥⎩描点，，，，连线得的图象如图所示．(2,1)-(1,2)--(1,0)(2,3)()y f x =通过图象可知，当时，函数的最小值为，即．=1x -()y f x =2-2m =-（2）由(1)知，，2m =-13a b c m ++=-+=，，，22a b a b+≥22b c b c +≥22c a c a +≥三个式子相加得，当且仅当时等式成立，2223a b c a b c b c a++≥++=1a b c ===∴的最小值为3．222a b c b c a++。
河南省南阳市2023-2024学年高一上学期期终质量评估数学试题
河南省南阳市2023-2024学年高一上学期期终质量评估数学
试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
A．B．
C ．
D ．
1
二、多选题
9．下列情境适合用古典概型来描述的是（ ）
A ．向一条线段内随机地投射一个点，观察点落在线段上不同位置
B ．五个人站一排，观察甲乙两人相邻的情况
C ．从一副扑克牌（去掉大、小王共52张）中随机选取1张，这张牌是红色牌
D ．某同学随机地向靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环，命中9环，命中1环和脱靶
10．已知函数()22,2
log ,2
x a x f x x x ⎧+<=⎨≥⎩，若()f x 存在最小值，则实数a 的可能取值为（ ）
四、解答题
(2)若()22x
f x m >+恒成立，求实数m 的取值范围.。
河南省南阳市2024届高三上学期期末数学参考答案及评分细则
2023年秋期高中三年级期终质量评估数学试题参考答案一．选择题1-8.CBDC BDAC 二．选择题9.AC 10.ACD 11.ABD12.CD三．填空题13.-1214.），（）（∞+-10,1 15.8916.四．解答题（答案仅供参考，各小题若有其他解法，请酌情给分）17.解析：（1）(),m a b =，()sin ,n B A = ，且0m n ⋅=，sin cos 0a B A -=∴，∴由正弦定理得sin sin cos 0A B B A -=.……………………………………………2分0πB << ，sin 0B ∴≠，sin A A =∴，tan A =.0πA << ，π3A ∴=.………………………………………………………………………5分（2）10a = ，∴由余弦定理得22222cos 10a b c bc A =+-=，即22100b c bc +-=.…………………………………………………………………………7分222b c bc +≥ ，1002bc bc ∴+≥，100bc ∴≤.1sin 1002S bc A ==≤= 8分∴当且仅当b c =时，ABC △面积有最大值，最大值为.…………………………10分18.解析：（1）因为11122n n n n n a a a a a +++++=-+，所以1131122n n n n a a a a ++=---，则111111111n n n n n n n n a a a a a a a a ++++--==+++++1121122n n n n a a a a ++-=-，所以12n n b b +-=，……………………………………………………………………………2分又10a =，所以11111b a ==+，故数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，所以12(1)21n b n n =+-=-，……………………………………………………………5分1122112121n n na b n n -=-=-=--.…………………………………………………………6分（2）证明：（方法一）由（1）可得2n S n =，所以211n S n=.当1n =时，1117=14T S =<.…………………………………………………………………7分当2n ≥时，22111111211n n n n ⎛⎫<=- ⎪--+⎝⎭，…………………………………………8分1231111n nT S S S S =++++ 111111111111232435211n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 111111221n n ⎛⎫=+⨯+-- ⎪+⎝⎭711174214n n ⎛⎫=-+<⎪+⎝⎭.………………………………11分综上可得7.4n T <…………………………………………………………………………12分（方法二）由（1）可得2n S n =，所以211n S n=.当1n =时，1117=14T S =<.…………………………………………………………………7分当2n =时，22111157=+1+=444T S S =<.…………………………………………………8分当3n ≥时，21111(1)1n n n n n<=---，…………………………………………………9分1231111n nT S S S S =++++ 11111111++423341n n <+--++-- 71744n =-<.…………………………………11分综上可得7.4n T <…………………………………………………………………………12分19.解析：(1)证明：如图，连接1A C ，在AC A 1∆中，12A A =，1AC =，160A AC ∠=︒，由余弦定理，得222111112cos 4122132A C AA AC AA AC A AC =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，所以1A C =，所以22211AC AC A A +=，所以1A C AC ⊥，…………………………………………2分同理1A C BC ⊥，又BC AC C ⋂=，,AC BC ⊂平面ABC ,所以1A C ⊥平面ABC ,又1AC ⊂平面11A ACC ，所以平面ABC ⊥平面11A ACC .……………………………………………5分(2)由平面几何知识可知，AC ⊥CP ，……………………………………………6分以C 为坐标原点，以CA，CP，CA 1为,x y z ,轴，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，则(1,0,0)A，1(2B -，1A ，……………………………………………7分所以1(AA =-，3(,22AB =- 设平面1A AB 的法向量为111(,,)m x y z =，则111110,3·0,22m AA x m AB x ⎧⋅=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩令11z =，得m =.…………………………………………………………9分又平面P CA 1的法向量为)0,0,1(=n ， (10)分13391933=++=∴…………………………………………11分所以二面角11B P A C --的正弦值为13130.……………………………………………12分（若用综合几何法求解，请按照步骤酌情给分）20.解析：(1)∵前四组频数成等差数列，∴设a ＝0.2＋d ，b ＝0.2＋2d ，c ＝0.2＋3d ，∴0.5×(0.2＋0.2＋d ＋0.2＋2d ＋0.2＋3d ＋0.2＋d ＋0.1＋0.1＋0.1)＝1，解得d ＝0.1，∴a ＝0.3，b ＝0.4，c ＝0.5.居民月用水量在2～2.5内的频率为0.5×0.5＝0.25.……………………………4分(2)由题图及(1)可知，居民月用水量小于等于2.5的频率为0.7<0.8，∴为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应规定83.215.07.08.05.2≈-+=w …………………………………………………8分(3)将频率视为概率，设A (单位：立方米)代表居民月用水量，可知P (A ≤2.5)＝0.7，由题意，知X ～B (3，0.7)，P (X ＝0)＝C 03×0.33＝0.027，P (X ＝1)＝C 13×0.7×0.32＝0.189，P (X ＝2)＝C 23×0.72×0.3＝0.441，P (X ＝3)＝C 33×0.73＝0.343.∴X 的分布列为X 0123P0.0270.1890.4410.343………11分∵X ～B (3，0.7)，∴E (X )＝3×0.7＝2.1.…………………………………………………12分21.解析：（1）设),(y x P ，则x a b y Q -=，y bax R -=，由题意可得，2|)(21||)(21|aby b a y x a b x =-∙+-∙，即12222=+b y a x ，故点P 的轨迹C 的方程为12222=+by a x ；……………4分（2）由（1）可知C：1422=+y x 假设存在常数n,使λ=∙AE AD （常数），设直线n my x l +=：，代入C，整理得0)4(24(222=-+++n mny y m ），设),(),,(2211y x E y x D 则44,422221221+-=+-=+m n y y m mn y y ……………6分所以),4(),4(2211y x y x AE AD +∙+=∙21212121)4)(4()4)(4(y y n my n my y y x x +++++=+++=221212)4())(4()1(++++++=n y y n m y y m ……………7分λ=++++-+-+=222222)4(4)4(24)4)(1(n m n n m m n m （算法一）整理化简得：0460325)12(22=-+++-λλn n m 对R m ∈∀恒成立.……9分故0460325,0122=-++=-λλn n 舍去）或(652012325,122--=∴=++=∴n n n λ……………11分当直线l 为x 轴时12=∙AE AD 综上，存在常数52-=n ,对任意直线l ,使12=∙AE AD （为定值）……………12分（算法二）λ=+++-+---=++++-+-+=22222222222)4(4)4()48()4(4)4(24)4)(1(n m n m n n n m n n m m n m 根据对应系数成比例得：444822-=---n n n .……………9分整理得0123252=++n n ，解得652-=-=n n 或当6-=n 不能保证任意l 成立，故舍去.将52-=n 代入上式可得12=∙AE AD ……………11分当直线l 为x 轴时12=∙AE AD 综上，存在常数52-=n ,对任意直线l ,使12=∙AE AD （为定值）……………12分22.解析：（1）依题意知：()0,x ∈+∞，()'ln a x a f x =+，)1(11)(2xa x x x a x g -=-='…………………1分①0≤a 时，0)(<'x g 恒成立，)(x g 在），（∞+0上单调递减；……………………3分②0>a 时，由,10,0)(a x x g <<<'得,1,0)(ax x g >>'得)(x g 在，（a 10上单调递减，），（∞+a1上单调递增.……………………5分（2）依题意，要证：ln e sin 1x x x x <+-，①当01x <≤时，ln 0,1sin 0x x x e x ≤-+>，故原不等式成立，…………………………7分②当1x >时，要证：ln e sin 1x x x x <+-，即要证：ln sin 10x x x e x --+<，令()ln sin 1,(1)x h x x x e x x =--+>则()ln cos 1xh x x e x '=--+，()1sin x h x e x x''=-+，………………………………8分0)(,1<''∴>x h x ………………………………9分()h x '∴在()1+∞，单调递减()()11cos10h x h e ''∴<=--<………………………10分()h x ∴在()1+∞，单调递减，()(1)1sin10h x h e ∴<=--<，即：ln sin 10x x x e x --+<，故原不等式成立.…………………………………12分。
河南省南阳市2022-2023学年高一上学期期末数学试题(1)
4. “ log2 a log2 b ”是“ 2a 2b ”地（ ）
A. 充分不必要款件 C. 充分且不必要款件 【结果】A 【思路】
B. 必要不充分款件 D. 既不充分也不必要款件
【思路】解指数不等式和对数不等式,求出两个命题地等价命题,进而依据充要款件地定义,可得结果．
【详解】“ 2a 2b ” “ a b ”, “ log2 a log2 b ” “a b 0”, “ a b 0”是“ a b ”地充分而不必要款件,
1
0 log2 3 5 log8 5 log4 3 log2 3 1 23 ,据此思路可得结果．
【详解】解：依据题意,函数 y f (x 1) 地图象有关直线 x 1 对称,
则 f (x) 地图象有关 y 轴对称,即函数 f (x) 为偶函数,
又由对任意地 x1 , x2 ( , 0] ,当 x1
此时平均数为 x ,方差为 s2 ,则（ ）
A. x 5 , s2 2
B. x 5 , s2 1.6
C. x 4.9 , s2 1.6
【结果】B
D. x 5.1 , s2 2
【思路】
【思路】设这 10 个数据分别为： x1, x2 ,, x7 , x8 4, x9 5, x10 6 ,进而依据题意求出 x1 x2 x7 和
地概率为（ ）
1
A.
6
【结果】D
1
B.
3
C.
1 2
5
D.
6
【思路】
【详解】从 4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4 中随机抽取 2 张地基本事件有： 12,13,14,23,24,34,一共 6 种, 其中数字之积为偶数地有：12,14,23,24,34 一共有 5 种,
河南省南阳市2024届高三年级期终质量评估数学试题(附答案)
河南省南阳市2024届高三年级期终质量评估试题数 学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效．2．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．出4．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 5．保持卷面清洁，不折叠、不破损．第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知集合{}1,3,A n =，{}2,1B n =，且A B A ⋃=，则实数n 的值为（ ）A. 0B. 1C. 0或D. 2. 已知随机变量服从正态分布2~(2,)X N σ，若(12)(1)1P X a P X a ≤-+≤+=，则=a （ ） A. 0B. 2C. 1-D. 2-3. 函数()21x x f x e-=图象大致为（ ）A. B.C. D.的4. 在三棱锥-P ABC 中，1PA =，2PB =，3PC =，则当该三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为（ ） A. 12πB. 13πC. 14πD. 15π5. 反比例函数k y x=（0k ≠）的图像可以看作是由等轴双曲线经过旋转得到的，那么双曲线2y x =的焦距为（ ）A.B.C. 4D. 66. 已知数列{}n a 前n 项和为n S ，若11a =，12n n a S +=，则2024a =（ ） A 20223B. 20233C. 202323⨯D. 202223⨯7. 抛物线E ：2y x =的焦点为F ，P 为准线上任意一点，过点P 作E 的切线，切点为A ，则PA PF ⋅的最小值为（ ） A.14B.12C. 1D. 28. 若函数()2e xf x ax x =--有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围为（ ） A. ()(),00,∞-+∞U B. ()0,∞+ C. 110,22⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D. ()()0,11+∞二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.设复数122z =--的共轭复数为z ，则下列结论正确的有（ ） A 22cosisin 33z ππ=+ B.212z z = C.1zz= D. 222z z +=10. 为了研究某种作物在特定温度下（要求最高气温t 满足：27C 30C t ︒≤≤︒）的生长状况，某农学家需要在10月份去某地进行为期10天的连续观察试验．现有关于该地区近十年10月份日平均最高气温和日平均最低气温（单位：C ︒）的记录如下：的..根据上述记录，下列说法正确的有（ ）A. 农学家观察试验的起始日期为10月7日或10月8日B. 设该地区今年10月上旬（10月1日至10月10日）的最高气温的方差和最低气温的方差分别为1D ，2D ，则12D D <C. 设该地区今年10月上旬（10月1日至10月10日）的最高气温的方差和最低气温的方差分别为1D ，2D ，则12D D >D. 从10月份的31天中随机选择连续3天，则所选3天中日平均最高气温值都在[]27,30的概率为102911. 用一个平面去截正方体，关于截面的说法，正确的有（ ） A. 截面有可能是三角形，并且有可能是正三角形 B. 截面有可能是四边形，并且有可能是正方形 C. 截面有可能是五边形，并且有可能是正五边形 D. 截面有可能是六边形，并且有可能是正六边形12. 设函数()222,0log ,0xx f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的函数()()()()222g x f x a f x a =-++⎡⎤⎣⎦恰好有n 个零点，则下列说法正确的是（ ）A. 若2n =，则实数a 的取值范围为(),0∞-B. 若3n =，则实数a 的取值范围为()0,1C. 若4n =，则实数a 的取值范围为()()0,23,+∞D. 若5n =，则实数a 取值范围为(]2,3第Ⅱ卷 非选择题（共90分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）的13. 62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中4x 的系数为_____________．（用数字作答） 14. 若点()0,1在圆2220x y ax a +++=的外部，则实数a 的取值范围为_____________．15. 某楼梯共有10个台阶，小明在上楼梯的时候每步可以上1个或者2个台阶，则小明不同的上楼方法共有_____________种．（用数字作答）16. 如图，点P 为BAC ∠内一点，1PA =，30BAP ∠=︒，45CAP ∠=︒，过点P 作直线分别交射线AB ，AC 于D ，E 两点，则11PD PE+的最大值为_____________．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(),m a b =，()sin ,n B A = ，且0m n ⋅=．（1）求内角A 的大小；（2）若10a =，求ABC 面积的最大值．18. 已知数列{}n a 满足10a =，且11122n n n n n a a a a a +++++=-+．数列{}n b 满足11n n b a =+，{}n b 的前n 项和为n S ．（1）判断数列{}n b 是否为等差数列，并求{}n a 的通项公式； （2）设数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：74nT <． 19. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC ==，120ACB ∠=︒，112AA A B ==，160A AC ∠=︒．（1）证明：平面ABC⊥平面11A ACC ；（2）若13BP BA =uu r uu r，求二面角11C A P B --的正弦值．20. 某市市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量不超过w 立方米的部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列．（1）求a ，b ，c 的值及居民月用水量在2～2.5内的频率；（2）根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应将w 至少定为多少？（精确到0.01） （3）若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的月用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X ，求其分布列及均值．21. P 为平面直角坐标系内一点，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，交直线by x a=-（0a b >>）于Q ，过P 作y 轴的垂线，垂足为N ，交直线by x a =-于R ，若△OMQ ， ONR 的面积之和为2ab ．（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）若2a =，1b =，()4,0A -，(),0G n ，过点G 的直线l 交C 于D ，E 两点，是否存在常数n ，对任意直线l ，使AD AE ⋅为定值？若存在，求出n 的值及该定值，若不存在，请说明理由． 22. 已知函数()ln f x ax x =（0a ≠），()'f x 为()f x 的导数． （1）讨论函数()()1'g f x x x=+的单调性； （2）当1a =时，求证：()e sin 1xf x x <+-．答案解析第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知集合{}1,3,A n =，{}2,1B n =，且A B A ⋃=，则实数n 的值为（ ）A. 0B. 1C. 0或D. 【答案】C 【答案解析】【详细分析】由题意得BA ⊆，结合互异性以及集合与元素的关系即可得解.【过程详解】由题意A B A ⋃=，所以BA ⊆，而21n ≠，即1n ≠±，所以23n =或2=n n ，解得0n =或满足题意. 故选：C.2. 已知随机变量服从正态分布2~(2,)X N σ，若(12)(1)1P X a P X a ≤-+≤+=，则=a （ ） A. 0 B. 2C. 1-D. 2-【答案】D 【答案解析】【详细分析】根据正态分布的性质可得(12)(1)P X a P X a ≥-=≤+，即可得到12a -、1a +关于2x =对称，从而得到方程，解得即可.【过程详解】解：因为(12)(1)1P X a P X a ≤-+≤+=， (12)(12)1P X a P X a ≤-+≥-=， 所以(12)(1)P X a P X a ≥-=≤+， 所以12122a a -++=⨯，解得2a =-. 故选：D3. 函数()21x x f x e-=的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】D 【答案解析】【详细分析】由题意可得函数()f x 不是偶函数，图象不关于y 轴对称，然后再根据特殊值进行判断可得结果．【过程详解】解： ()()()21xx f x f x e ----=≠，所以()f x 的图象不关于y 轴对称，排除选项B ，C ，又因为()22212320f e e--==<，排除A .故选：D.【名师点评】本题考查根据函数的答案解析式判断函数的大体图象，考查详细分析判断能力和应用意识，结合函数奇偶性的判断，属于基础题.4. 在三棱锥-P ABC 中，1PA =，2PB =，3PC =，则当该三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为（ ） A. 12π B. 13πC. 14πD. 15π【答案】C 【答案解析】【详细分析】要使该三棱锥的体积最大，只需PA PB ⊥,PC ⊥面PAB ，求出球的球心，进而求出球的半径和表面积．【过程详解】设点C 到底面PAB 的距离为h ，则1111sin sin 3323P ABC PAB V S h PA PB APB h APB h -=⨯=⨯⋅∠⨯=∠⨯ ， 要使该三棱锥的体积最大时,则需sin ,APB h ∠达到最大值,即π,2APB h PC ∠==,即PA PB ⊥PC ⊥面PAB ，所以PAB 的斜边AB 的中点为外接圆圆心1O ，因为1PA =，2PB =，所以22AB r ==, 如图所示，易得四边形1OO PH 为矩形，所以12OH O P r ===，令棱锥外接球半径为R ， 设CH x =，则2222CO CH OP HP -=- 即()22223R x R x -=--，解得32x =， 所以22272R HO CH =+=,解得2R =，所以该三棱锥的外接球表面积为224π4π14π2S R ⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭. 故选：C.5. 反比例函数ky x=（0k ≠）图像可以看作是由等轴双曲线经过旋转得到的，那么双曲,的线2y x=的焦距为（ ）A. B.C. 4D. 6【答案】B 【答案解析】【详细分析】求出双曲线与对称的交点即顶点坐标，求出顶点到中心的距离即得a ，从而求得,b c ，得出结论． 【过程详解】双曲线2y x=的对称轴是直线y x =和y x =-，它与对称轴y x =的交点是，(，即为双曲线的顶点，2=，即2a =，因此2b =，c ==2c =．故选：B ．6. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，12n n a S +=，则2024a =（ ） A. 20223B. 20233C. 202323⨯D.202223⨯【答案】D 【答案解析】【详细分析】利用11n n n a S S ++=-得出{}n S 是等比数列，由通项公式求出2023S 后求出2024a . 【过程详解】由12n n a S +=，得112n n n n a S S S ++=-=，所以13n n S S +=，又111S a ==， 所以{}n S 是等比数列，首项为1，公比为3，所以13n n S -=，所以202220232024232a S =⨯=故选：D7. 抛物线E ：2y x =的焦点为F ，P 为准线上任意一点，过点P 作E 的切线，切点为A ，则PA PF ⋅的最小值为（ ）A.14B.12C. 1D. 2【答案】A【答案解析】【详细分析】利用抛物线对称性设不妨设切点为A在第一象限，然后利用导函数求切线斜率，进而求出直线方程，得14P⎛⎫-⎝，得01124P xA PF⎫⎛⎛⎫=++⎪⎝⎭⋅⎝⎭，最后利用基本不等式求最值. 【过程详解】由2y x=，根据抛物线的对称性，不妨设切点为A在第一象限，所以A在)0y y=>上，设(0A x，1,4P t⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,04F⎛⎫⎪⎝⎭，由)0y y=>，得1212y x-'=，切线斜率为k=，故切线方程为)0y x x=-，又1,4P t⎛⎫- ⎪⎝⎭在直线)0y x x=-，得014t x⎫-=--⎪⎭，得t=-14P⎛⎫-⎝，所以014PA x⎛⎫=++⎝，12PF⎛=⎝⎭，1124P xA PF⎫⎛⎛⎫=++⎪⎝⎭⋅⎝⎭1111464884xx=++≥+=，当且仅当01464xx=，即14x=时取等号，PA PF⋅的最小值为14.故选：A8. 若函数()2e xf x ax x=--有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为（）A. ()(),00,∞-+∞UB. ()0,∞+C. 110,22⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. ()()0,11+∞【答案】C 【答案解析】【详细分析】转化为()e 21xf x ax =--'有两个变号零点，令()e 21xh x ax =--，求导，分0a ≤和0a >两种情况，得到其单调性，极值和最值情况，从而得到不等式22ln 210a a a --<，再构造函数()22ln 21g a a a a =--，求导得到其单调性，极值最值情况，求出答案.【过程详解】由题意得()e 21xf x ax =--'有两个变号零点，令()e 21xh x ax =--，定义域为R ，则()e 2xh x a '=-，当0a ≤时，()0h x '>恒成立，()h x 在R 上单调递增，不会有两个零点，舍去， 当0a >时，令()0h x '>得，ln 2x a >，令()0h x '<得，ln 2x a <， 所以()h x 在(),ln 2a -∞上单调递减，在()ln 2,a +∞上单调递增， 故()h x 在ln 2x a =处取得极小值，也是最小值， 则()ln 20h a <，即22ln 210a a a --<，令()22ln 21g a a a a =--，0a >，则()22ln 222ln 2g a a a '=--=-， 令()0g a '>得102a <<，令()0g a '<得12a >， ()g a 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减，故()22ln 21g a a a a =--在12a =处取得极大值，也是最大值， 又102g ⎛⎫=⎪⎝⎭，故22ln 210a a a --<的解集为110,,22⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 此时当x 趋向于负无穷时，()h x 趋向于正无穷，当x 趋向于正无穷时，()h x 趋向于正无穷， 满足()e 21xh x ax =--有2个变号零点.故选：C【名师点评】结论名师点评：导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等），需要学生对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考的地方二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.设复数122z =--共轭复数为z ，则下列结论正确的有（ ） A. 22cosisin 33z ππ=+ B.212z z = C.1zz= D. 222z z +=【答案】AC 【答案解析】【详细分析】根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算法则，即可求解.【过程详解】对于A，122isin2233z ππ=-++，故A 正确； 对于B，2211i i 2211i 2222z z -+-+===⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故B 错误； 的对于C，211i 221i22222222zz ⎛⎫-+ ⎪-+===--⎝⎭⎝⎭，所以1z z =，故C 正确；对于D，2211i i 2222z ⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，2211i i 2222z ⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以221z z +=-，故D 错误.故选：AC10. 为了研究某种作物在特定温度下（要求最高气温t 满足：27C 30C t ︒≤≤︒）的生长状况，某农学家需要在10月份去某地进行为期10天的连续观察试验．现有关于该地区近十年10月份日平均最高气温和日平均最低气温（单位：C ︒）的记录如下：根据上述记录，下列说法正确的有（ ）A. 农学家观察试验的起始日期为10月7日或10月8日B. 设该地区今年10月上旬（10月1日至10月10日）的最高气温的方差和最低气温的方差分别为1D ，2D ，则12D D <C. 设该地区今年10月上旬（10月1日至10月10日）的最高气温的方差和最低气温的方差分别为1D ，2D ，则12D D >D. 从10月份的31天中随机选择连续3天，则所选3天中日平均最高气温值都在[]27,30的概率为1029【答案】ACD 【答案解析】【详细分析】选项A ，从图中可以看出，从7日到17日时，最高温度满足，因此选择起始日期为7日或8日，从而判断出选项A 的正误；通过图，分别求出前10天的最高温度和最低温度的方差，即可判断出选项B 和C 的正误；对于选项D ，随机选择连续三天，共有29种可能，满足题意的选择有10种可能，由古典概型概率公式可得结论，从而得出结果． 【过程详解】因为某种作物要求最高气温t 满足：27C 30C t ︒≤≤︒，由图可知，10月6日的平均最高气温为26C ︒，从10月18日起的平均最高气温均低于27C ︒， 所以农学家观察试验的起始日期为10月7日或10月8日，故选项A 正确； 因为10月1日至10月10的最高气温分别为：30,31,29,28,27,26,27,27,27,27， 其平均数为3031292827262727272727.910x +++++++++==，所以22222211[(3027.9)(3127.9)(2927.9)(2827.9)(2727.9)5(2627.9)] 2.2910D =-+-+-+-+-⨯+-=，又10月1日至10月10的最低气温分别为：19,19,18,18,17,18,18,17,17,17， 其平均数为19218417417.810y ⨯+⨯+⨯==，所以22221[2(1917.8)4(1817.8)4(1717.8)]0.5610D =⨯-+⨯-+⨯-=， 故12D D >，所以选项B 错误，选项C 正确，对于选项D ，设“所选3天中日平均最高气温值都在[]27,30”为事件A ， 易知，基本事件为(1,2,3(,(2,3,4),(3,4,5),,(29,30,31) ，共29个，又由题图可以看出，事件A 中包含(3,4,5)，(7,8,9),(8,9,10),(9,10,11),(10,11,12)，(11,12,13),(12,13,14),(13,14,15),(14,15,16),(15,16,17)，共10个，所以10()29P A =，故选项D 正确， 故选：ACD.11. 用一个平面去截正方体，关于截面的说法，正确的有（ ） A. 截面有可能是三角形，并且有可能是正三角形 B. 截面有可能是四边形，并且有可能是正方形 C. 截面有可能是五边形，并且有可能是正五边形D. 截面有可能是六边形，并且有可能是正六边形 【答案】ABD 【答案解析】【详细分析】根据题意，结合正方体的几何结构，以及截面的概念与性质，逐项判定，即可求解.【过程详解】由题意，在正方体1111ABCD A B C D -中，对于A 中，过点11,,A B D 三点的截面为11AB D ，截面的形状为正三角形，所以A 正确； 对于B 中，过棱1111,,,AA BB CC DD 的中点，作正方体的截面，此时截面与上下底面平行且全等，所以截面的性质为正方形，所以B 正确；对于C 中，用一个平面截正方体，截面可以是五边形，但不能为正五边形，所以C 错误； 对于D 中，如图所示，用一个平面截正方体，当取各边的中点时，截面是正六边形，所以D 正确. 故选：ABD.12. 设函数()222,0log ,0xx f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的函数()()()()222g x f x a f x a =-++⎡⎤⎣⎦恰好有n 个零点，则下列说法正确的是（ ） A. 若2n =，则实数a 的取值范围为(),0∞- B. 若3n =，则实数a 的取值范围为()0,1C. 若4n =，则实数a 的取值范围为()()0,23,+∞D. 若5n =，则实数a 的取值范围为(]2,3 【答案】CD 【答案解析】【详细分析】令()f x t =，则()()222g t t a t a =-++零点的个数，就是方程()2220t a t a -++=的根的个数，最后转化为()f x a =的零点的个数问题，画出()f x 的图象，由图象逐项详细分析即可.【过程详解】令()f x t =，则()()222g t t a t a =-++，作()f x 的图象如图所示：()()222g t t a t a =-++所对应的方程为()2220t a t a -++=，()()22Δ24220a a a =+-⨯=-≥，当Δ0=时，则2a =，故方程为2440t t -+=，解为2t =，此时关于x 的函数()()()()222g x f x a f x a =-++⎡⎤⎣⎦有2个零点，故A 错误；当0∆>时，方程()2220t a t a -++=有两个不相等的实根为：2t =或t a =，若关于x 的函数()()()()222g x f x a f x a =-++⎡⎤⎣⎦恰好有3个零点， 则()f x a =只有一个零点，由图可知实数a 的取值范围为{}0，故B 错误； 若关于x 的函数()()()()222g x f x a f x a =-++⎡⎤⎣⎦恰好有4个零点，则()f x a =有2个零点，由图可知实数a 的取值范围为()()0,23,+∞ ，故C 正确； 若关于x 的函数()()()()222g x f x a f x a =-++⎡⎤⎣⎦恰好有5个零点， 则()f x a =有3个零点，由图可知实数a 的取值范围为(]2,3，故D 正确； 故选：CD.【名师点评】方法名师点评：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对答案解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.第Ⅱ卷 非选择题（共90分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13. 62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中4x 的系数为_____________．（用数字作答）【答案】12- 【答案解析】【详细分析】由二项展开式的通项公式可得． 【过程详解】展开式的通项为6621662C ()(2)C rrr r r rr T x x x--+=-=-， 令624r -=，得1r =， 因此所求系数为162C 12-⨯=-． 故答案为：12-．14. 若点()0,1在圆2220x y ax a +++=的外部，则实数a 的取值范围为_____________． 【答案】()()1,01,-⋃+∞ 【答案解析】【详细分析】根据方程表示圆可得()2240a a ->，由点()0,1在圆外可得10a +>，解不等式组即可.【过程详解】由()0,1在圆2220x y ax a +++=的外部，得()()210240110a a a a a a ⎧⎧->->⎪⇒⎨⎨>-+>⎪⎩⎩，解得1a >，或10a -<<，故答案为：()()1,01,-⋃+∞15. 某楼梯共有10个台阶，小明在上楼梯时候每步可以上1个或者2个台阶，则小明不同的上楼方法共有_____________种．（用数字作答） 【答案】89 【答案解析】【详细分析】借助加法计数原理，得到()12,3n n n a a a n --=+≥，依次计算即可.的【过程详解】设小明上n 个台阶有n a 种方法，考虑最后一步： 若最后一步小明上1个台阶，则前n 1-个台阶有1n a -种方法且2n ≥； 若最后一步小明上2个台阶，则前2n -个台阶有2n a -种方法且3n ≥. 由加法原理得()12,3n n n a a a n --=+≥，易知121,2a a ==，可得33a =，456789105,8,13,21,34,55,89.a a a a a a a ======= 所以小明不同的上楼方法共有89种. 故答案为：89.16. 如图，点P 为BAC ∠内一点，1PA =，30BAP ∠=︒，45CAP ∠=︒，过点P 作直线分别交射线AB ，AC 于D ，E 两点，则11PD PE+的最大值为_____________．【答案】11+ 【答案解析】【详细分析】用正弦定理表示PD 、PE ，再结合辅助角求函数的最大值. 【过程详解】如图：设ADP α∠=，AEP β∠=，则105αβ+=︒.在ADP 中，由正弦定理得：1sin sin 30PD α=︒⇒12sin PD α=；同理，在AEP 中，1PEβ=.所以112sin PD PEαβ+= ()2sin 105ββ=︒-+2sin105cos 2cos105sin βββ=︒-︒cos sin 22ββ=+()(()cos sin 1sin 4512βββ=+=++︒≤+（当且仅当45β=︒时取等号）故答案为：1+【名师点评】方法名师点评：一般选择填空求最值得问题，通常有以下方法： 第一：转化为二次函数在给定区间上的值域问题求解； 第二：运用基本（均值）不等式求最值； 第三：转化为三角函数求值域；第四：较少题目会用导数详细分析函数单调性求值域.四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(),m a b =，()sin ,n B A = ，且0m n ⋅=．（1）求内角A 的大小；（2）若10a =，求ABC 面积的最大值． 【答案】（1）π3A =（2）． 【答案解析】【详细分析】（1）把向量的数量积用坐标表示后利用正弦定理化边为角，利用三角函数性质可得；（2）用余弦定理后利用基本不等式得出bc 的最大值，从而可得面积最大值． 【小问1过程详解】∵(),m a b =，()sin ,n B A = ，且0m n ⋅=，∴sin cos 0a B A =，∴由正弦定理得sin sin cos 0A B B A =． ∵0πB <<，∴sin 0B ≠，∴sin A A =，tan A =．∵0πA <<，∴π3A =． 【小问2过程详解】 ∵10a =，∴由余弦定理得22222cos 10a b c bc A =+-=，即22100b c bc +-=． ∵222b c bc +≥，∴1002bc bc +≥，∴100bc ≤， 当且仅当10b c ==时，等号成立，∴1sin 100244S bc A bc ==⨯=≤， ∴ABC面积有最大值，最大值为18. 已知数列{}n a 满足10a =，且11122n n n n n a a a a a +++++=-+．数列{}n b 满足11n n b a =+，{}n b 的前n 项和为n S ．（1）判断数列{}n b 是否为等差数列，并求{}n a 的通项公式； （2）设数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：74n T <．【答案】（1）是，2221n na n -=-； （2）证明见答案解析﹒ 【答案解析】【详细分析】(1)通过恒等变形得111211n n a a +-=++，从而得12n n b b +-=，即可判断{}n b 为等差数列，可求{}n b 的通项公式，再由11n n b a =+得{}n a 的通项公式； (2)先由(1)得211n S n =，再利用放缩法和裂项相消法证明74n T <． 【小问1过程详解】 因为11122n n n n n a a a a a +++++=-+，所以1131122n n n n a a a a ++=---， 则1111111121111122n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ++++++---===+++++-． 所以12n n b b +-=， 又10a =，所以11111b a ==+， 故数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列， 所以12(1)21n b n n =+-=-， 得1122112121n n n a b n n -=-=-=--． 【小问2过程详解】 由(1)可得2n S n =，所以211n S n=． 当1n =时，11714S =<． 当2n ≥时，22111111211n n n n ⎛⎫<=- ⎪--+⎝⎭．所以1231111n nT S S S S =+++⋅⋅⋅+111111111111232435211n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111711711221414n n n n ⎛⎫⎛⎫=+⨯+--=-+< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭．19. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC ==，120ACB ∠=︒，112AA A B ==，160A AC ∠=︒．（1）证明：平面ABC⊥平面11A ACC ；（2）若13BP BA =uu r uu r，求二面角11C A P B --的正弦值．【答案】（1）证明见答案解析（2）13【答案解析】【详细分析】（1）首先由解三角形知识得1A C AC ⊥，同理1AC BC ⊥，结合线面垂直、面面垂直的判定定理即可得证.（2）建立适当的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，由向量夹角的余弦公式结合平方关系即可得解. 【小问1过程详解】如图，连接1AC ，在1A AC △中，12A A =，1AC =，160A AC ∠=︒， 由余弦定理，得222111112cos 4122132A C AA AC AA AC A AC =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，所以1A C =，所以22211A C AC A A +=，所以1A C AC ⊥，同理1A C BC ⊥，又BC AC C ⋂=，AC ，BC ⊂平面ABC ，所以1A C ⊥平面ABC ，又1AC ⊂平面11A ACC ， 所以平面ABC⊥平面11A ACC ．【小问2过程详解】由平面几何知识可知，AC CP ⊥，以C 为坐标原点，以,CA CP ，1CA 为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，则()1,0,0A，1,,022B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，(1A ，所以(1AA =-，3,,022AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭设平面1A AB 的法向量为()111,,m x y z =，则1111103022m AA x m AB x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩， 令11z =，得)m =u r．又平面1CA P 的法向量为()1,0,0n =r，∴cos ,13m n ==， 所以二面角11C A P B --的正弦值为13． 20. 某市市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量不超过w 立方米的部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列．（1）求a ，b ，c 的值及居民月用水量在2～2.5内的频率；（2）根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应将w 至少定为多少？（精确到0.01）（3）若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的月用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X ，求其分布列及均值．【答案】（1）0.3a =，0.4b =，0.5c =，0.25 （2）2.83 （3）分布列见答案解析，2.1 【答案解析】【详细分析】（1）前四组频数成等差数列，所以对应的频率除以组距也成等差数列，设0.2a d =+，0.22b d =+，0.23c d =+，然后根据频率之和等于1可求得；（2）根据百分位的定义可得；（3）首先求出X 的可能取值，并求出随机变量取每一个值时对应的概率，列出分布列求出均值.【小问1过程详解】∵前四组频数成等差数列，所以对应的频率除以组距也成等差数列 ∴设0.2a d =+，0.22b d =+，0.23c d =+，∴()0.50.20.20.220.230.20.10.10.11d d d d ⨯+++++++++++=， 解得0.1d =，∴0.3a =，0.4b =，0.5c =．居民月用水量在2～2.5内的频率为0.50.50.25⨯=． 【小问2过程详解】由题图及（1）可知，居民月用水量小于等于2.5的频率为0.70.8<， ∴为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米， 应规定0.80.72.5 2.830.15w -=+≈【小问3过程详解】将频率视为概率，设A （单位：立方米）代表居民月用水量， 可知()2.50.7P A =≤， 由题意，知()~3,0.7X B ，()0330C 0.30.027P X ==⨯=， ()1231C 0.70.30.189P X ==⨯⨯=， ()2232C 0.70.30.441P X ==⨯⨯=，()3333C 0.70.343P X ==⨯=． ∴X 的分布列为X 0 1 2 3 P0.0270.1890.4410.343∵()~3,0.7X B ， ∴()30.7 2.1E X =⨯=．21. P 为平面直角坐标系内一点，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，交直线by x a=-（0a b >>）于Q ，过P 作y 轴的垂线，垂足为N ，交直线by x a=-于R ，若△OMQ ， ONR 的面积之和为2ab ． （1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）若2a =，1b =，()4,0A -，(),0G n ，过点G 的直线l 交C 于D ，E 两点，是否存在常数n ，对任意直线l ，使AD AE ⋅为定值？若存在，求出n 的值及该定值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）22221x y a b+=（2）存在常数25n =-，对任意直线l ，使12AD AE ⋅= （为定值）【答案解析】【详细分析】（1）详细分析题意求出轨迹即可. （2）分斜率是否存在的两种情况讨论即可. 【小问1过程详解】设(),P x y ，则Q b y x a =-，R ax y b=-， 由题意可得，11222b aab x x y y a b ⎛⎫⎛⎫⋅-+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22221x y a b +=，故点P 的轨迹C 的方程为22221x y a b+=；【小问2过程详解】由（1）可知C ：2214x y +=假设存常数n ，使AD AE λ⋅=（常数），设直线l ：x my n =+，代入C ，整理得()()2224240m y mny n +++-=，在设()11,D x y ，()22,E x y则12224mny y m +=-+，212244n y y m -=+ 所以()()11224,4,AD AE x y x y ⋅=+⋅+()()()()121212124444x x y y my n my n y y =+++=+++++ ()()()2212121(4)4m y y m n y y n =++++++()()()222222142(4)444m n m n n n m m λ+-+=-++=++ 整理化简得：()22125326040m n n λλ-+++-=对R m ∀∈恒成立．故120λ-=，25326040n n λ++-= ∴12λ=，2532120n n ++= ∴25n =-或6-（舍去） 当直线l 为x 轴时12AD AE ⋅=综上，存在常数25n =-，对任意直线l ，使12AD AE ⋅= （为定值） 22. 已知函数()ln f x ax x =（0a ≠），()'f x 为()f x 的导数． （1）讨论函数()()1'g f x x x=+的单调性； （2）当1a =时，求证：()e sin 1xf x x <+-．【答案】（1）答案见答案解析 （2）证明见答案解析 【答案解析】【详细分析】（1）先求出()g x ，然后分0a ≤和0a >结合导函数求单调区间；（2）当01x <≤时，根据函数的正负证明，当1x >时，转化为证ln sin 1e 0x x x x --+<，构造函数求导详细分析单调性与最值即可.【小问1过程详解】由()ln f x ax x =，得()'ln f x a x a =+ 依题意知：()0,x ∞∈+，所以 ()()11'ln g x f x a x a x x=+=++， 所以()2111'a g x a x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭①0a ≤时，()'0g x <恒成立，()g x 在()0,∞+上单调递减； ②0a >时，由()'0g x <，得10x a<<，()'0g x >得1x a >，()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增．【小问2过程详解】依题意，要证：ln e sin 1x x x x <+-，①当01x <≤时，1sin 0e x x -+>，故原不等式成立， ②当1x >时，要证：ln e sin 1x x x x <+-， 即要证：ln sin 1e 0x x x x --+<， 令()ln e sin 1xh x x x x =--+，（1x >）则()'ln e cos 1xh x x x =--+，令()ln e cos 1xm x x x =--+，则()1e sin xm x x x-'=+， 先证：()e 11xx x >+>，即要证：()e 101xx x -->>， 令()e 1xx x ϕ=--，则()()e 11xx x ϕ='->，∵1x >，所以()e 10xx ϕ='->，所以()x ϕ在()1,∞+单调递增，所以()()1e 10x ϕϕ>=->，即()e 11xx x >+>，当1x >时，101x<<，sin 1x ≤， ()()()111e sin 1sin sin 10x m x x x x x x x x x ⎛⎫=-+<-++=-+-< ⎪⎝⎭'，所以()'ln e cos 1xh x x x =--+在()1,∞+单调递减，所以()()1''1ln1e cos111e cos10h x h <=--+=--<所以()ln e sin 1xh x x x x =--+在()1,∞+单调递减，所以()()11e sin10h x h <=--< 即()ln e sin 10xh x x x x =--+<，得证【名师点评】关键点名师点评：本题证明不等式的关键是能够将问题转化为函数最值的求解问题，令()ln e sin 1xh x x x x =--+，利用导数可求得()h x 单调性，由此可得函数最值，从而得到结论.。
2022-2023学年河南省南阳市高三上学期秋季期中考试化学试题及答案
试题
1
高三
2022 年秋期期中质量评估高三化学参考答案
一、选择题（本题包括 16 小题，每题 3 分，共 48 分，每小题只有一个选项符合题意） 1-5 CDBDD 6-10 BCDBD 11-15 CCDAB 16 C 二、非选择题（共 52 分） 17．（9 分，除标注外每空 2 分） （1）FeS2 11 （2）2Fe3++Fe=3Fe2+ （3）分散质微粒的直径在 1~100nm 之间 （1 分） （4）H2O2+2H++2Fe2+=2H2OƯ）启普发生器（1 分） H2（或 CO2）（1 分） （2）不能使液体顺利流下（1 分） （3）FeS+2H+=H2S↑+Fe2+ （4）固体溶解，溶液由棕黄色变为无色（1 分）
（5）3H2S+IO3-=3S↓+I-+3H2O
（6）蒸发结晶 （1 分） （7）5.28g 19．（12 分，除标注外每空 2 分） （1）Fe(OH)3、S （2）①使 CuS 被 H2SO4 溶解②把 Fe 元素氧化成 Fe3+③促进金属离子浸出（2 分、答出①② 即可满分） 2CuS+4H++O2=2Cu2++2S+2H2O （3）3.2≤pH＜4.2（1 分）
（4）不利于（1 分）H2 还原 Cu2+时，失电子生成 H+，酸度增大，H+浓度增大，不利于 H2 失电子生成 H+，故不利于 Cu 的生成 （5）2Zn2++4HCO3-=Zn(OH)2CO3↓+4CO2↑+2H2O 20．（12 分，除标注外每空 2 分） Ⅰ（1）+41.2kJ·molL−1 （2）L4 （3）P3>P2>P1（1 分） 反应①是放热反应，反应②是吸热反应，温度高于 570℃之后，反 应转化率主要由反应②决定 Ⅱ（1）AC （2）吸收（1 分） 0.02MP 21、（8 分，除标注外每空 2 分） （1）减小（1 分）阴（1 分） Co2++2e-=Co （2）HCl（或盐酸） LiCoO2+e-+4H+=Li++Co2++2H2O
河南省豫南名校2022-2023学年高三上学期9月质量检测试题数学理科试卷
(2) 2 3 + 6
【18 题答案】
【答案】(1)0, 2 ；
(2){m∣m 11}.
【19 题答案】
【答案】(1)
f
(x)
=
2sin
2x
+
3
(2) a − 2 3 【20 题答案】
【答案】(1) f ( x) (0, 2) 上单调递增,在 (2, +) 上单调递减；
(2)
0,
1 2
(1)若 x = 1 是 f ( x) 的极值点,求 f ( x) 的单调区间；
(2)若关于 x 的方程 f (x) =1+ ln a 恰有一个解,求 a 的取值范围.
22.已知函数 f ( x) = sin x cos 2x , g ( x) = a + cos x sin 2x .
(1)求 g ( x) 在 (0, π) 上的极小值点；
0
称#所以)'#/3(/(''!%#(=0'%0! /'!
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河南省南阳市2024届高三上学期1月期终质量评估英语
2023年秋期高中三年级期终质量评估英语试题说明：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题，满分95分）和第Ⅱ卷（非选择题，满分55分）两部分。
2．将所有答案均按题号填涂或填写在答题卡或答题纸相应的答题处，否则不得分。
满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共95分）第一部分听力（共两节，满分30分）做题时，先将答案标在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话，每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题，每段对话仅读一遍。
1．What are the lights made out of?A．Metal. B．Paper. C．Plastic.2．What does the man suggest the woman do?A．Use his phone. B．Email her mother. C．Wait until tomorrow.3．Why did the man give up moving to New York?A．Because of the living expense.B．Because of the distance.C．Because of the job.4．What does the man do every day?A．Go to work at the same time.B．Lift weights for an hour.C．Cook some breakfast.5．What are the speakers mainly talking about?A．Finding a job in the city.B．Eating something different.C．Working in the countryside.第二节（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。
河南省南阳市2022-2023学年高二上学期期终质量评估化学试题及答案
2022年秋期高中二年级期终质量评估化学试题（答案在最后）第Ⅰ卷（选择题 共48分）一、选择题（本题包括16小题，每题3分，共48分，每小题只有一个选项符合题意） 1．已知：2232SO (g)O (g)2SO (g)ΔH +，不同条件下反应过程能量变化如图所示．下列说法中正确的是（ ）A ．反应的Δ0H >B ．过程b 使用了催化剂，反应的12ΔH E E =+C ．使用催化剂可以提高2SO 的平衡转化率D ．过程b 发生两步反应，总反应速率大于过程a 2．下列依据热化学方程式得出的结论正确的是（ ） A ．已知2222H (g)O (g)2H O(g)+；1Δ483.6kJ mol H -=-⋅1；则氢气的摩尔燃烧焓为1241.8kJ mol -⋅B ．已知C(,s)C(,s)=石墨金刚石；Δ0H >；则金刚石比石墨稳定C ．已知2NaOH(ag)HCl(aq)NaCl(aq)H O(l)++；1Δ57.3kJ mol H -=-⋅；则含20.0gNaOH 的稀溶液与稀盐酸完全中和，放出28.65kJ 的热量D ．已知222C(s)2O (g)2CO (g)+；1ΔH 22C(s)O (g)2CO(g)+；2ΔH ，则12ΔΔH H >3．活泼自由基与氧气的反应一直是关注的热点．HNO 自由基与2O 反应过程的能量变化如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．该反应为吸热反应B ．产物的稳定性：12P P >C ．该历程中最大正反应的活化能1186.19kJ mol E -=⋅正D ．相同条件下，由中间产物z 转化为产物的速率：()()12P P v v <4．室温下，某溶液中初始仅溶有M 和N 且浓度相等，同时发生以下两个反应：①M N X Y +=+；②M N P Z +=+．反应①的速率表示为211(M)v k c =，反应②的反应速率可表示为222(M)v k c =（1k 、2k 为速率常数）．反应体系中组分M 、Z 的浓度随时间变化情况如图．下列说法错误的是（ ）A ．反应①的活化能比反应②的活化能大B ，0~30min 时间段内，Y 的平均反应速率为3116.6710mol L min ---⨯⋅⋅ C ．如果反应能进行到底，反应结束时62.5%的M 转化为Z D ．反应开始后，体系中Y 和Z 的浓度之比保持不变 5．臭氧是重要的氧化剂和水处理剂．已知：1322O (g)3O (g) 144.8kJ mol H -∆=-⋅，t ℃时76310K =⨯．下列说法中错误的是（ ）A ．3O 转化为2O 在任何温度下均能自发进行B ．t ℃时，233O (g)2O (g)，773.3310K -≈⨯C ．若一定条件下，将10L 的2O 充入放电管反应一段时间后，恢复到原状况，剩余气体9L ，则其中3O 为2LD ．3O 转变为2O 能量曲线可用如图表示 6．已知22Cl (g)CO(g)COCl (g)+的速率方程()122v kc Cl (CO)=⋅[k 为速率常数，只受温度影响]，该反应可认为经过以下反应历程： 第一步：2Cl 2Cl → 快速平衡 第二步：Cl CO COCl +→ 快速平衡 第三步：22COCl Cl COCl Cl +→+ 慢反应 下列说法正确的是（ ）A ．第一步反应和第二步反应的活化能较高B ．Cl 和COCl 是该总反应的中间产物，也是该总反应的催化剂C ．(CO)c 、()2Cl c 分别增大相同的倍数，对总反应速率的影响程度前者大D ．第三步反应的有效碰撞频率较大7．在3种不同条件下，分别向容积为2L 的恒容密闭容器中充入2molA 和1molB ，发生反应12A(g)B(g)2D(g)ΔkJ mol H Q -+=-⋅．实验的相关条件和数据如下表所示：） A ．可用压强或密度是否发生变化判断上述反应是否达到平衡状态B ．实验Ⅰ达到平衡后，恒温条件下再向容器中通入1molA 和1molD ，达到平衡时，1(D) 1.0mol L c -=⋅C ．实验Ⅱ可能隐含的条件是使用催化剂，实验Ⅲ达到平衡时11(D)0.05mol L min v --=⋅⋅ D ．由表中信息可知：0Q >，并且有123Q Q Q Q =<< 8．下列图示与对应的叙述相符的是（ ）A ．图甲表示向3CH COOH 溶液中逐步加入3CH COONa 固体后，溶液pH 的变化B ．图乙表示向3CH COOH 溶液中加水时溶液的导电性变化，且3CH COOH 溶液的pH ：a b >C ．图丙表示加入催化剂，化学反应的焓变减小D ．图丁表示等量2NO 在容积相同的恒容密闭容器中，不同温度下分别发生反应：2242NO (g)N O (g)，相同时间后测得2NO 含量的曲线，则该反应的Δ0H <9．25℃，在125mL0.1mol L HCl -⋅溶液中逐滴加入1320.2mol L NH H O -⋅⋅溶液，溶液pH变化曲线如图所示，下列有关离子浓度的比较正确的是（ ）A ．在A 、B 间有一点（不含A 、B 点），溶液中可能有()()()()4ClNH H OH c c c c -++->>>B ．在B 点，a 12.5>，且有()()()()43NH CH COO OH H c c c c +--+=== C ．在C 点，()()()()4Cl NH OH H c c c c -+-+>>>D ．在D 点，()()()()432NH NH H O OH H c c c c +-+-⋅=-10．下列有关电解质溶液中其物质的量浓度关系错误的是（ ） A ．pH=2的HA溶液与pH=12的MOH溶液任意比混合：()()()()H M OH A c c c c +++-+=+B ．25℃时，pH=4.7，浓度均为10.1mol L -⋅的3CH COOH 、3CH COONa 混合溶液中()()()()33CH COO OH CH COOH H c c c c --++>+C ．氢硫酸的酸性比碳酸弱，则NaHS 溶液中：()()()()NaHS H OH c c c c +-+->>>D ．①140.2mol L NH Cl -⋅溶液、②()14320.1mol L NH CO -⋅溶液、③1440.2mol L NH HSO -⋅溶液、④()14320.1mol L NH CO -⋅溶液中，()4NH c +大小：③>②>①>④11．有关下图装置中的叙述不正确的是（ ）A ．图①铝片发生的电极反应式是：[]4Al 4OH 3e Al(OH)--+-B ．图②b 电极的电极反应为：224OH 4e 2H O O ---+↑C ．图③溶液中发生了变化：22234Fe(OH)O 2H O 4Fe(OH)++D ．图④充电时：阳极反应是24224PbSO 2H O 2e PbO SO 4H --++-++12．化学中常用图像直观地描述化学反应的进程或结果．下列图像描述正确的是（ ）A ．根据图①可判断可逆反应223A (g)3B (g)2AB (g)+的Δ0H >B ．图②表示压强对可逆反应2A(g)2B(g)3C(g)D(s)++的影响，乙的压强大C ．图③可表示乙酸溶液中通入氨气至过量过程中溶液导电性的变化D ．根据图④，若除去4CuSO 溶液中的3Fe +可采用向溶液中加入适量CuO ，至pH 在4左右13．向NaOH 和4NaAl(OH)混合溶液中滴加3NaHCO 溶液，测得溶液pH 和3Al(OH)生成的量随加入3NaHCO 溶液体积的变化情况如图所示．下列说法不正确．．．的是（ ） A ．加入的3NaHCO 先与NaOH 反应 B ．b 点和c 点均有()()()233Na2CO HCO c c c +--<+C ．3NaHCO 溶液的物质的量浓度为1.125mol /LD ．d 点时：()()()()23323Na2CO 2HCO 2H CO c c c c +--=++14．铝片与23Na CO 溶液反应的探究实验如下图所示．出现白色浑浊，产生大量气泡（经检验A ．23Na CO 溶液中存在水解平衡：2323CO H OHCO OH ---++B ．对比Ⅰ、Ⅲ，说明23Na CO 溶液能破坏铝表面的保护膜C ．推测出现白色浑浊的原因[]243332Al(OH)HCO Al(OH)CO H O ---+↓++D ．热后后2H 和2CO 逸出时发生的反应均为氧化还原反应15．常温下，已知24sp (ZnS) 1.610K -=⨯，36sp (CuS) 1.310K -=⨯如图所示CuS 和ZnS 饱和溶液中阳离子（2R+）浓度与阴离子（2S -）浓度的负对数关系，下列说法不正确的是（ ）A ．曲线A 表示的是CuS ，曲线B 表示的是ZnSB ．向曲线A 表示的溶液中加入2Na S 溶液，不可能实现n 点到m 点的转换C ．向CuS 饱和溶液中加入2CuCl 固体，CuS 的溶解平衡逆向移动，sp (CuS)K 不变D ．p 点表示CuS 或ZnS 的过饱和溶液，该温度下将析出沉淀16．我国化学家侯德榜创立了著名的“侯氏制碱法（流程简图如图所示），促进了世界制碱技术的发展．下列有关说法正确的是（ ）A ．沉淀池中的反应物共含有五种元素B ．过滤得到的“母液”为碳酸氢钠的不饱和溶液C ．通入氨气的作用是使溶液呈碱性，促进二氧化碳的吸收，更多地析出沉淀D ．图中X 可能是氨气第Ⅱ卷（非选择题，共52分）二、非选择题（本题共5小题，共52分．）17．（14分）酸性4KMnO 溶液能与草()224H C O 溶液反应．某探究小组利用反应过程中溶液紫色消失快慢的方法来研究影响化学反应速率的因素．Ⅰ．实验前首先用浓度为10.1000mol L -⋅酸性4KMnO 标准溶液滴定未知浓度的草酸溶液． （1）在酸性条件下能够发生上述反应，请写出该反应离子方程式：______．（2）取25.00mL 待测草酸溶液于锥形瓶中，加入适量稀硫酸，用10.1000mol L -⋅高锰酸钾溶液滴定，消耗4KMnO 溶液20.00mL ．①滴定过程中操作滴定管的图示正确的是______． ②滴定到达终点的判断标志是______．③下列操作可能造成测得草酸溶液浓度偏高的是______． A ．滴定终点读数时俯视 B ．滴定前有气泡，滴定后气泡消失 C ．没有润洗锥形瓶D ．滴定过程中加入少量蒸馏水冲洗瓶壁④该草酸溶液的物质的量浓度为______（保留四位有效数字）．Ⅱ．用42mL0.1000mol /LKMnO 溶液与4mL 上述草酸溶，液研究不同条件对化学反应速率的影响．（用①~④表示） （4）如果要利用实验①和④，研究硫酸浓度对化学反应速率的影响，实验④中还需加入______．（5）某同学对实验①进行了三次实验，测得溶液褪色时间如表：则实验①中用4KMnO 来表示的化学反应速率为______（忽略混合前后溶液体积的变化）．（1）常用硫化物作沉淀剂除去废水中的重金属离子．用FeS 作沉淀剂除去2Cu +时，反应的离子方程式为______；当2Cu +沉淀完全时，溶液中()()22Fe :Cu n n ++=______．（已知：常温下FeS 、CuS 的沉淀溶解平衡曲线如图1所示）（2）工业上常用连二亚硫酸钠()224Na S O 消除烟气中的NO 、（NO 、2NO ）等，通过电解可使224Na S O 再生，装置如图2所示，左室Pt 电极上发生的电极反应为______．当右室产生气体5.6L 时，理论上可消除NO 的体积为______．（气体均为标况下） （3）工业上将含硒工业废料处理得到亚硒酸（23H SeO ）和晒酸（24H SeO ）． ①室温下，已知亚硒酸的 2.5a110K -=，7.5a210K -=．则23Na SeO 的一级水解常数1Kh 为______．②证明亚硒酸是弱电解质的实验方法是______． ③已知10.1mol L -⋅硒酸溶液中存在()()14HSeO 0.1mol LH c c --+<⋅<，无24H SeO ，其可能的原因是______．19．（12分）习总书记在浙江提出了“绿水青山就是金山银山”的重要科学理念，所以研究NO x ，2SO 等大气污染物的处理具有重要意义．Ⅰ．（1）钙基固硫技术可减少2SO 排放，但煤炭燃烧过程中产生的CO 又会与4CaSO 发生化学反应，降低了脱硫效率．相关反应的热化学方程式如下： 反应Ⅰ 1422l CaSO (s)CO(g)CaO(s)SO (g)CO (g)Δ218.4kJ mol H -+++=+⋅ 反应Ⅱ 1422CaSO (s)4CO(g)CaS(s)4CO (g)Δ175.6kJ mol H -++=-⋅计算反应22CaO(s)3CO(g)SO (g)CaS(s)3CO (g)ΔH +++=______．（2）对于烟气中2SO 采用活性炭脱除机理，其过程首先要经物理吸附22SO SO *→（*代表吸附态），22O O *→，22H O H O *→，然后是化学吸附（如图），写出化学吸附过程生成3SO *化学方程式______． （3）烟气脱疏过程的氧化反应为2232SO (g)O (g)2SO (g)+，对此过程进行研究如下：若在压强恒定的密闭容器中发生反应2232SO (g)O (g)2SO (g)+，下列说法正确的是______．A ．增大活性炭基表面积，有利于加快反应速率B ．反应混合气组分中2SO 和3SO 分压比不变，可作为达到化学平衡状态的判据C ．研发新的催化剂可以改变反应热D ．增大2O 分压可提高2SO 的平衡转化率Ⅱ．（4）NO x 的排放主要来自于汽车尾气，有人利用反应：122C(s)2NO(g)N (g)CO (g) Δ34.0kJ mol H -++=-⋅，用活性炭对NO 进行吸附．已知在密闭容器中加入足量的C 和一定量的NO 气体，保持恒压，测得NO 的转化率随着温度变化如图所示：请从动力学角度分析，1050K 前，反应中NO 转化率随着温度升高而增大的原因______，在1100K 时，2CO 的体积分数为______．（5）用某物质的平衡分压代替其物质的量浓度也可以表示化学平衡常数（记作p K ）；在1050K 、61.110Pa ⨯时该反应的化学平衡常数p K =______[已知：气体分压（P 分）=气体总压（P 总）×体积分数]．Ⅲ．氮有不同价态的氧化物，如NO 、23N O 、2NO 等，它们在一定条件下可以相互转化． （6）某温度下，在一体积可变的密闭容器中充入231molN O ，发生反应232N O (g)NO (g)NO(g)+，达到平衡后，于1t 时刻改变某一条件后，速率与时间的变化图像如图所示，有关说法正确的是______（填字母序号）．A ．1t 时刻改变的条件是向容器中充入23N O 以增大23N O 的浓度B ．1t 时刻改变条件后，平衡向正反应方向移动，23N O 的转化率增大C ．在2t 时刻达到新的平衡后，2NO 的百分含量不变D ．若1t 时刻将容器的体积缩小至原容积的一半，则速率～时间图像与上图相同20，（12分）可乐中的食品添加剂有白砂糖、二氧化碳、焦糖色、磷酸、咖啡因等．可乐的辛辣味与磷酸（化学式为34H PO ，沸点高，难挥发）有一定关系．（1）羟基磷酸钙()543Ca PO OH ⎡⎤⎣⎦是牙齿表面起保护作用的一层坚硬物质，在唾液中存在如下平衡：()235443Ca PO OH(s)5Ca (aq)3PO (aq)OH (aq)+--++，长期过量饮用可乐会破坏这层坚硬物质，造成龋齿．结合平衡移动原理解释原因：______． （2）用含氟牙膏刷牙，氟离子会与牙釉质[主要成分为()543Ca PO OH ]发生反应：()()545433Ca PO OH(s)F (aq)Ca PO F(s)OH (aq)--++，该反应的平衡常数K =______（已知()37sp 543Ca PO OH 710K -⎡⎤=⨯⎣⎦，()61sp?343Cas PO F 2.810K -⎡⎤=⨯⎣⎦）．（3）向磷酸溶液中滴加NaOH 溶液，含磷各微粒在溶液中的物质的量分数与pH 的关系如图．①向磷酸溶液中滴加NaOH 溶液至pH 10=时发生的主要反应的离子方程式是______． ②下列关于240.1mol /LNa HPO 溶液的说法正确的是______（填序号）． a ．24Na HPO 溶液显碱性，原因是24HPO -的水解程度大于其电离程度b ．()()()()()()232444NaH H PO 2HPO 3PO OH c c c c c c ++----+=+++ c ．()()()()()23244434Na H PO HPO PO H PO c c c c c +---=+++（4）小组同学在实验室测定某可乐中磷酸的含量（不考虑白砂糖、咖啡因的影响）．ⅰ．将一瓶可乐注入圆底烧瓶，加入活性炭，吸附色素．ⅱ．将可乐回流加热l0min，冷却至室温，过滤．ⅲ．取50.00mL滤液，用百里香酚酞作指示剂，用0.100mol/LNaOH溶液滴定至终点时Na HPO，消耗NaOH溶液5.00mL．生成24①热的目的是______．②该可乐样品中磷酸的含量为______g/L．南阳市2022年秋期高中二年级期终质量评估化学答案一、选择题（本题共16小题，每小题3分，共48分）二、非选择题（52分）17（14分，除已指明外每空2分）（1）（2）①A（1分）② 滴入最后一滴标准液，溶液由无色变为浅紫色，且半分钟内不复原③B④（3）①（1分）（4）蒸馏水（5）18（14分，每空2分）（1）FeS+ Cu2+=CuS+ Fe2+1018.8（2）2+2e-+2H+=+2H2O 11.2L（3）①K h1=10-6.5②测0.1mol/LH2SeO3溶液的pH （其他合理答案均可）③H2SeO4第一步完全电离，第二步部分电离19（12分，除已指明外每空2分）（1）-394 k·mol-1（1分）（2）2SO2*+O2*=2SO3*（1分）（3）ABD（4）1050 kPa 前反应未达平衡状态，随着温度升高，反应速率加快，NO2转化率提高20%（5）4（6）A C20（12分，每空2分）（1）可乐为酸性饮料，长期过量饮用，可乐中的酸性物质中和，减小，Ca5(PO4)3OH(s)⇌5Ca2+(aq) +3(aq) + OH-(aq)平衡向正向移动，造成龋齿（2）（3）①.②. ab（4）①. 将可乐中的气体赶出，防止干扰磷酸的测定②. 0.49。
2022-2023学年河南省南阳市高二上学期期中数学试题(解析版)
2022-2023学年河南省南阳市高二上学期期中数学试题一、单选题1310y +-=的倾斜角为（ ） A ．150︒ B ．120︒ C ．60︒ D ．30︒【答案】A【分析】先由直线方程求出直线的斜率，从而可求出其倾斜角【详解】设直线的倾斜角为α310y +-=得其斜率为所以tan α= [0,180)α∈︒︒，150α∴=︒，故选：A.2．抛物线24x y =-的准线方程为（ ） A ．116x =B ．1x =C ．1y =D ．2y =【答案】C【分析】根据抛物线方程，直接写出准线方程即可.【详解】因为24x y =-，其为开口向下的抛物线，故其准线方程为1y =. 故选：C.3．已知ab ＜0，bc ＞0，则直线ax ＋by ＋c ＝0通过（ ）象限 A ．第一、二、三 B ．第一、二、四 C ．第一、三、四 D ．第二、三、四【答案】C【解析】将方程整理为斜截式，即可根据斜率以及y 轴上的截距的正负判断直线经过的象限. 【详解】0ax by c 等价于a cy x b b=--，根据题意0,ab <∴0ab->，故直线必经过第一、三象限； 又因为0,bc >∴0cb-<，故直线必经过第三、四象限，故直线必经过第一、三、四象限. 故选：C.【点睛】本题考查由直线方程的系数，确定直线经过的象限，属基础题.关键是转化为斜截式，然后根据斜率和截距的正负进行判定.4．抛物线24y x =的焦点到双曲线2213y x -=的渐近线的距离是（ ）A ．12B ．32C ．1D ．3【答案】B【分析】先确定抛物线的焦点坐标，和双曲线的渐近线方程，再由点到直线的距离公式即可求出结果.【详解】因为抛物线24y x =的焦点坐标为1,0（），双曲线2213y x -=的渐近线方程为y 3x =±,由点到直线的距离公式可得33231d ==+. 故选：B5．如图，已知F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，P 是椭圆上的一点，PF x ⊥轴，//OP AB （O为原点），则该椭圆的离心率是（ ）A ．22B 2C ．12D 3【答案】A【解析】根据题中条件，先得到(),0F c -，求出2,b P c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据//OP AB 得到OP AB k k =，化简整理，即可求出结果.【详解】因为F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，所以(),0F c -，(),0A a ，()0,B b ，因为P 是椭圆上的一点，PF x ⊥轴，将x c =-代入22221x ya b+=得22221c y a b +=，所以2b y a =±；又//OP AB ，所以2,b P c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，OP AB k k =，即200b b ac a =---，整理得b c =，所以该椭圆的离心率为2e c a ==. 故选：A.【点睛】关键点点睛：求椭圆的离心率，解题关键是找到关于a,b,c 的等量关系．本题中根据PF x ⊥轴，求出点P 坐标，根据//OP AB ，得出等式，化简整理，得到所要求的等量关系．考查了学生的运算求解能力. 6．设0a >，0b >，直线10ax by 经过圆22:220C x y x y +--=的圆心，则11a b+的最小值为（ ）A ．1B ．4C ．2D ．14【答案】B【分析】圆心坐标代入直线方程得1a b +=，然后用“1”的代换得定值后由基本不等式得最小值． 【详解】圆心为（1，1），所以1a b +=于是()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当b a ab=，即12a b ==时取等号. 故选：B ．7．已知圆22:(2)64B x y ++=，(2,0)A ，动点C 为圆B 上任意一点，则AC 的垂直平分线与BC 的交点P 的轨迹方程是（ ） A ．2211216x y +=B ．221164x y +=C ．2211612x y +=D ．221416x y +=【答案】C【解析】AC 的垂直平分线与BC 的交点P ，所以=PA PC ，则||||||||84PB PA PB PC BC AB +=+==>=， 进而可以利用椭圆的第一定义和焦距进行求解【详解】AC 的垂直平分线与BC 的交点P ，所以=PA PC ，则||||||||84PB PA PB PC BC AB +=+==>=，故P 的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为8的椭圆，所以，4a =，2c =，22216412b a c ∴=-=-=，点P 的轨迹方程是2211612x y += 故选：C【点睛】本题考查椭圆的第一定义的运用，属于基础题8．过点(1,1)M 的直线l 交椭圆：22154x y +=于,A B 两点，若AM MB =，则直线l 的斜率为（ ）A ．54-B ．45- C ．45 D ．54【答案】B【分析】由已知可得，M 是线段AB 的中点，圆锥曲线中的中点弦问题常用点差法. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ∵AM MB = ∴M 是线段AB 的中点由中点坐标公式可得，121222x x y y +=⎧⎨+=⎩ ①又,A B 在椭圆上，2211154x y += 2222154x y += 两式作差得，()()()()222212121212121205454x x x x y y y y x x y y +-=+--++=- 将①式代入，可得：121245y y x x -=--. 所以，直线l 的斜率为45-.故选：B.9．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC 的顶点A (1，0)，B (0，2)，且AC ＝BC ，则△ABC 的欧拉线的方程为（ ） A ．4x ＋2y ＋3＝0 B ．2x －4y ＋3＝0 C ．x －2y ＋3＝0 D ．2x －y ＋3＝0【答案】B【分析】等腰三角形的欧拉线即为底面上高线．求出AB 中点和AB 的斜率后可得． 【详解】因为AC ＝BC ，所以欧拉线为AB 的中垂线，又A (1，0)，B (0，2)，故AB 的中点为1(,1)2，kAB ＝－2，故AB 的中垂线方程为y －1＝1122x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即2x －4y ＋3＝0.故选：B ．10．已知斜率为(0)k k >的直线l 过抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F ，与拋物线C 交于A ，B 两点，又直线l 与圆2222p x y p ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭交于,C D 两点.若||2||AB CD =，则k 的值为（ ）ABC ．1 D【答案】C【分析】写出直线l 方程为2py kx =+与抛物线方程联立方程组，设1122(,),(,)A x y B x y ，方程组消元后求得12x x +，由点,A B 在直线上求得12y y +（也可消去x ，直接用韦达定理得结论），再由焦点弦长公式12AB y y p =++表示出弦长AB ，圆心就是抛物线的焦点，圆半径是p ，则2CD p =，代入已知条件可求得k ．【详解】抛物线的焦点为(0,)2p F ，直线l 方程为2p y kx =+，由222p y kx x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩得2220x pkx p --=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则122x x pk +=， 又112p y kx =+，222p y kx =+，∴21212()2y y k x x p pk p +=++=+，∴21222AB y y p pk p =++=+，圆222()2p x y p +-=，圆心为(0,)2p F ，半径为p ，∴2CD p =，∵||2||AB CD =，∴22222pk p p +=⨯，解得1k =±，∵0k >，∴1k =． 故选：C ．11．如图所示，1F ，2F 是双曲线C ：22221()00a x y a b b >-=>，的左、右焦点，过1F 的直线与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若22345AB BF AF =∶∶∶∶，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B 15C 13D 3【答案】C【分析】不妨令3AB =，24BF =，25AF =，根据双曲线的定义可求得1a =，290ABF ∠=，再利用勾股定理可求得2452c =，从而可求得双曲线的离心率． 【详解】22345AB BF AF =：：：：，不妨令3AB =，24BF =，25AF =，22222||||AB BF AF +=，290ABF ∠∴=，又由双曲线的定义得：122BF BF a -=，212AF AF a -=，11345AF AF ∴+-=-，13AF ∴=．123342BF BF a ∴-=+-=，1a ∴=．在12Rt BF F 中，222221212||||6452F F BF BF =+=+=，又2212||4F F c =，2452c ∴=，13c ∴=．∴双曲线的离心率13ce a=故选;C12．已知22:(1)(1)4M x y -+-=，直线:260l x y --=，P 为l 上的动点.过点P 作M 的切线,PA PB ，切点分别为A ，B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（ ）A ．250x y --=B ．250x y +-=C ．250x y -+=D ．250x y ++=【答案】A【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点,,,A P B M 共圆，且AB MP ⊥，根据 44PAM PM AB S PA ⋅==△可知，当直线MP l ⊥时，PM AB ⋅最小，求出以 MP 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB 的方程．【详解】圆的方程为()()22114x y -+-=，点 M 到直线l的距离为2d =>，所以直线 l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以14442PAMPM AB SPA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=，而PA =当直线MP l ⊥时，min MP =， min 1PA =，此时PM AB ⋅最小． ∴()1:112MP y x -=--即 1322y x =-+，由1322260y x x y ⎧=-+⎪⎨⎪--=⎩解得， 30x y =⎧⎨=⎩．所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1310x x y y --+-=， 即 22430x x y y -+-+=，两圆的方程相减可得：250x y --=，即为直线AB 的方程． 故选：A.二、填空题13．双曲线221169x y -=的焦点到其渐近线的距离是__________.【答案】3【分析】直接求出焦点及渐近线，再由点到直线的距离求解即可.【详解】由题意得：216925c =+=，故双曲线的焦点坐标为()5,0±，渐近线方程为34yx ，3=.故答案为：3.14．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽米.【答案】26米【详解】如图建立直角坐标系，设抛物线方程为2x my =， 将A （2，-2）代入2x my =， 得m=-2，∴22x y =-，代入B ()0,3x -得06x 故水面宽为2626 【解析】抛物线的应用15．点()0,1-到直线()1y k x =+距离的最大值为___________. 2【分析】直线()1y k x =+恒过点()1,0A -，根据几何关系可得，点()0,1B -到直线()1y k x =+的距离为||AB .【详解】解：直线()1y k x =+恒过点()1,0A -，则点()0,1-到直线()1y k x =+的距离的最大值为点()1,0-到点A 的距离， ∴点()0,1-到直线()1y k x =+距离的最大值为：()()2201102d =++--=2.16．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为22(2)2x y ++≤，若将军从点(40)A -，处出发，河岸线所在直线方程为10x y +-=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为___________. 【答案】42【分析】先求出点A 关于直线10x y +-=的对称点A '，点A '到圆心的距离减去半径即为最短. 【详解】设点A 关于直线10x y +-=的对称点(,)A a b '，AA '的中点为4(,)22a b -，4AA b k a '=+ ,故(1)1441022ba ab ⎧⋅-=-⎪⎪+⎨-⎪+-=⎪⎩解得15a b =⎧⎨=⎩，由22(2)2x y ++≤知军营所在区域中心为(0,2)C -，要使从点A 到军营总路程最短，即为点A '到军营最短的距离为2A C ' “将军饮马”()22152242++， 故答案为：42三、解答题17．已知(1,4),(2,1),(4,1)A B C --是ABC 的三个顶点，,,D E F 分别是边,,AB BC AC 的中点. (1)求直线DF 的方程；(2)求BC 边上的高所在直线的方程. 【答案】(1)350x y -+= (2)370x y +-=【分析】（1）根据中点坐标公式求出两点坐标，已知两点求出直线方程.（2）求出直线BC 的斜率，根据两条直线的位置关系得出垂线的斜率，利用点斜式解出直线方程. 【详解】（1）由题知D （12-，32），F （52，52），13DF k =故直线DF 的方程为：311232y x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，即350x y -+=（2）由已知1(1)14(2)3BC k --==--所以BC 边上的高所在直线的斜率为－3BC 边上的高所在直线的方程为：()431y x -=--，即370x y +-= 18．已知曲线22:(2)(2),C mx m y m m m +-=-∈R . (1)若曲线C 是椭圆，求m 的取值范围； (2)若曲线C 是双曲线，求m 的取值范围. 【答案】(1)()()0,11,2⋃ (2)()(),02,-∞⋃+∞【分析】（1）将二元二次方程化为椭圆的标准方程形式，得出关于m 的关系式，即可解得. （2）将二元二次方程化为双曲线的标准方程形式，分类讨论焦点位置，得出关于m 的关系式，即可解得.【详解】（1）曲线C 化为：2212x y m m+=- ∵曲线C 是椭圆，故2002m m m m ->⎧⎪>⎨⎪-≠⎩∴()()0,11,2m ∈⋃（2）若焦点在x 轴上，曲线C 化为：2212x y m m-=-- 则200m m ->⎧⎨->⎩，∴(),0m ∈-∞若焦点在y 轴上，曲线C 化为：2212y x m m -=- 则200m m ->⎧⎨>⎩， ∴()2,m ∈+∞综上可得，()(),02,m ∈-∞⋃+∞19．已知点(4,2)P -在圆22:240C x y x y m +--+=的外部.(1)求实数m 的取值范围；(2)若4m =-，求过点P 的圆C 的切线的方程.【答案】(1)()20,5-(2)4x =或724200x y ++=【分析】（1）化为圆的标准方程，列出关于m 的不等式组.（2）过圆外一点可以作圆的两条切线，设切线时，注意分类讨论切线斜率是否存在，根据直线与圆相切，可求得切线的斜率，进而求出方程.【详解】（1）圆C 化为标准方程为：()()22125x y m -+-=-由题意，得()()224122550m m ⎧-+-->-⎪⎨->⎪⎩ ∴()20,5m ∈-（2）4m =-时，圆C ：()()22129x y -+-=当切线的斜率不存在时方程为：4x =，合题意当切线的斜率存在时，设切线方程为：()24y k x +=-，即240kx y k ---=由3d ==得，724k =- 此时切线方程为724200x y ++=综上，切线的方程为4x =或724200x y ++=.20．已知点M 到点(2,0)F -的距离比点M 到直线3x =的距离小1.(1)求点M 的轨迹方程；(2)求线段MF 中点Q 的轨迹方程.【答案】(1)28y x =-(2)24(1)y x =-+【分析】（1）解法1：根据已知条件，设点，列出方程，化简；解法2：定义法求抛物线的方程.（2）轨迹法求点的轨迹方程.【详解】（1）解法1：设M(x ,y)，由题意知13x =-当3x ≥4x -，整理得，212(1)y x =--（舍去）当x< 32x =-整理得，28(0)y x x =-≤故点M 的轨迹方程为28y x =-解法2：由题可知，点M 到点F （－2，0）的距离与到直线2x =的距离相等，所以动点M 的轨迹是以F （－2，0）为焦点，2x =为准线的抛物线，点M 的轨迹方程为；28y x =-（2）设Q （x ，y ），00(,)M x y则00222x x y y -=⎧⎨=⎩， ∴00222x x y y =+⎧⎨=⎩ 又2008y x =-，故()()22822y x =-+ 即24(1)y x =-+为所求.21．已知抛物线2:2(0)y px p Ω=>的焦点为,F P 为Ω上任意一点，以P 为圆心，PF 为半径的圆与直线12x =-相切. (1)求p 的值；(2)若点(2,0)A p ，过点A 的直线l 与Ω交于,G H 两点，在x 轴上是否存在定点B ，使ABG ABH∠=∠恒成立，若存在，求出点B 的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】(1)1p =；(2)存在，定点为()2,0B -，理由见解析.【分析】（1）根据抛物线定义可知准线方程，即可直接求得结果；（2）设出直线GH 的方程，联立抛物线方程，根据0BG HB k k +=即可求解.【详解】（1）根据抛物线的定义，显然12x =-是抛物线Ω的准线，则122p =，解得1p =. （2）根据（1）中所求，点A 的坐标为()2,0，假设存在(),0B t 符合题意，则0BG HB k k +=，设直线l 方程为：2x my =+，由222x my y x=+⎧⎨=⎩可得2240y my --=， 设()()1122,,,G x y H x y ，则12122,4y y m y y +==-， 故12120y y x t x t+=--，即()()12210y x t y x t -+-=，又11222,2x my x my =+=+， 故()12122(2)0my y t y y +-+=，故()8220m m t -+-=，所以2t =-，综上所述：在x 轴上存在定点()2,0B -，使ABG ABH ∠=∠恒成立.22．已知动点P 到两个定点12(0,F F 的距离之和为4，记点P 的轨迹为Γ.(1)求Γ的方程；(2)若点(0,3)Q -，过点(0,1)T 的直线l 与Γ交于,M N 两点，求QMN 面积的最大值.【答案】(1)2214y x +=【分析】（1）根据椭圆的定义求椭圆的标准方程.（2）设出直线方程，联立直线与椭圆方程，得出关于x 的方程，根据韦达定理，表示出QMN 的面积公式，利用单调性，求出面积最大值.【详解】（1）由题知P 的轨迹为E 是以1(0F ，2F （04的椭圆即24,a c ==∴2,1a b ==E 的方程为2214y x +=.（2）因为直线l 的斜率存在，设l ：1y kx =+，代入2214y x += 整理得()224230k x kx ++-=，设()()1122,,,M x y N x y 则()()()22224431630k k k ∆=++⨯=+>恒成立 12122223,44k x x x x k k +=-=-++∴12||x x -= 直线l 的方程为10kx y -+=点Q 到直线l的距离=d所以1212QMN S x =-=)λ=∈+∞ 28811QMN S λλλλ==++在)+∞上单调递减故当λ=0k =时QMN的面积取最大值。
河南省顶级名校2022-2023学年高三上学期1月阶段性检测理科数学试题(含答案解析)
河南省顶级名校2022-2023学年高三上学期1月阶段性检测理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合401x A x x ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，{}54B x x =-<<，则()R A B ⋂=ð（）A ．(](),14,-∞-+∞ B ．()(),14,-∞-⋃+∞C ．()5,1--D ．(]5,1--2．若2z i z i +=-=，则z =（）A ．1BCD ．23．若,x y 满足3020x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩,则2x y -的最小值是（）A ．1-B ．3-C ．5-D ．7-4．已知数列{}n a 的前n 项和211n S n n =-.若710k a <<，则k =（）A ．9B ．10C ．11D ．125．已知πsin 142x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 26x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．58-B ．58C．D．46．在ABC 中,角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c)cos c b A a -=，b =则ABC 的外接圆面积为（）A ．4πB ．6πC ．8πD ．9π7．函数()sin()(0,02f x x πωϕωϕ=+><<在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像如图所示，将该函数图像上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移(0)θθ>个单位长度后，所得到的图像关于点7,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则θ的最小值为（）A ．76πB ．6πC ．8πD ．724π8．如图，在体积为43的三棱锥P ﹣ABC 中，AC ⊥BC ，AD ＝BD ，PD ⊥底面ABC ，则三棱锥P ﹣ABC 外接球体积的最小值为（）A ．92πB ．6πC ．8πD ．724π9．已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()33f x f x +=-，()()66f x f x +=--，且当[]0,3x ∈时，()()21R x f x a a =⋅-∈，则()()()()1232023f f f f ++++= （）A ．14B ．16C ．18D ．2010．已知：221tan 81tan8a ππ-=+，2b =，2log 32c =则（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c<a<bD ．c b a <<11．已知正数a ，b 满足()221ln 2ln 1a a b b+≤-+，则22a b +=（）A ．52B．2C ．32D．2二、多选题12．在ABC 中，30C =，b =，c x =．若满足条件的ABC 有且只有一个，则x 的可能取值是（）A ．12B．2C ．1D三、填空题13．已知()()()2lg 5lg 10lg f x x x =⋅+，则()2f =_____.14．在ABC 中，3AC =，4BC =，8CA CB ⋅=，则AB 边上中线CD 的长为_____.15．已知函数()sin ,sin cos cos ,sin cos x x x f x x x x≤⎧=⎨>⎩，则()12f x <的解集是_____.16．若方程2l e n 1x x ax x -=--存在唯一实根，则实数a 的取值范围是_____.四、解答题17．已知函数()222cos sin 3f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭.(1)求函数()y f x =的单调递增区间；(2)若函数()()02g x f x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎝⎭的图像关于点,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，求()y g x =在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.18．已知函数()ln f x x x =，()()1g x k x =-.(1)求()f x 的极值；(2)若()()f x g x ≥在[)2,+∞上恒成立，求实数k 的取值范围.19．数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，24a =，()()*21N n n S n a n =+∈.(1)求证:数列{}n a 是等差数列，并求出其通项公式；(2)求数列12n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n T .20．如图，四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，AD=CD=1，AA 1=AB=2，E 为棱AA 1的中点．（1）证明B 1C 1⊥CE ；（2）求二面角B 1﹣CE ﹣C 1的正弦值．（3）设点M 在线段C 1E 上，且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为6，求线段AM 的长．21．已知a ，b ，c 分别是ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，向量()sin ,sin m A B =，()cos ,cos n B A =r(1)若34a b =，2cos 3C =，证明：ABC 为锐角三角形；(2)若ABC 为锐角三角形，且sin 2m n C ⋅=，求b a的取值范围.22．已知函数()21e 12xf x x ax =---，若()()()2g x h x f x +=，其中()g x 为偶函数，()h x 为奇函数.(1)当1a =时，求出函数()g x 的表达式并讨论函数()g x 的单调性；(2)设()f x '是()f x 的导数.当[]1,1a ∈-，[]1,1x ∈-时，记函数()f x 的最大值为M ，函数()f x '的最大值为N .求证：M N <.参考答案：1．D【分析】解不等式得到集合A ，然后利用补集和交集的定义计算即可.【详解】由题意得集合{}14A x x =-<≤，{R 1A x x =≤-ð或}4x >，所以(){}R51A B x x ⋂=-<≤-ð.故选：D.2．C【分析】设i z x y =+，,R x y ∈，由条件列方程求,x y ，再由复数的模的公式求z .【详解】设i z x y =+，,R x y ∈，因为2z i z i +=-=，2=2=，所以0y =，23x =，所以z =，故选：C.3．D【分析】根据题意画出可行域,令2z x y =-,即1122y x z =-,所以平移斜率为12的直线,12z -相当于在y 轴上的截距,,找到使y 轴上的截距最值时的点代入即可.【详解】解:由题知,画出满足题意的可行域如下所示,令2z x y =-,即1122y x z =-,12z -相当于直线1122y x z =-在y 轴上的截距,平移直线12y x =,当直线过A 点时,截距最大,z 最小,联立203x y x -+=⎧⎨=⎩可得(3,5)A ,故在A 点时取得最优解,代入2z x y =-,可得7z =-.故选:D 4．B【分析】先求得n a ，然后根据710k a <<求得k 的值.【详解】依题意211n S n n =-，当1n =时，110a =-；当2n ≥时，211n S n n =-，()()22111111312n S n n n n -=---=-+，两式相减得()2122n a n n =-≥，1a 也符合上式，所以212n a n =-，*N k ∈，由721210k <-<解得911k <<，所以10k =.故选：B 5．B【分析】结合诱导公式、二倍角公式求得正确答案.【详解】πcos 26x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭22πππ5cos 2cos 212sin 126121248x x x ⎛⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭.故选：B 6．D【分析】首先利用三角恒等变形化简，并利用同角三角函数公式求得sin B 弦定理求外接圆半径，即可求得三角形的面积.【详解】由正弦定理可知)sin sin cos sin C B A A -=,()sin sin cos sin A B B A A +-=⎤⎦cos sin A B A =，因为sin 0A ≠,cos 2B =，sin 2B ==，根据正弦定理可知26sin b R B ==，得3R =，则ABC 的外接圆面积29s R ππ==.故选：D 7．C【分析】由周期求出ω，代点求出ϕ的值，可得函数的()f x 的解析式，再根据函数的对称性求出θ的值，进而可得结论．【详解】由函数()sin()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的图象可得2566T w ππππ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭，2w ∴=又函数过点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭，得sin 03πϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，又02πϕ<<，可知3πϕ=．故函数()f x 的解析式为()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．把()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象各点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移(0)θθ>个单位长度后，得到()sin 443g x x πθ⎛⎫=-+⎝⎭的图象，∵所得图象关于点7,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称，7sin 440243πθπ⎛⎫∴⨯-+= ⎪⎝⎭，即sin 402θ3π⎛⎫-= ⎪⎝⎭即cos 40θ=，解得：84k ππθ=+，Z k ∈，由0θ>，可得当0k =时，θ的最小值为8π．故选：C 8．A【分析】根据已知条件作出图形，利用棱锥的体积公式及勾股定理，结合基本不等式即可求解．【详解】如图所示，由题意ABC 是直角三角形，AB 的中点为D ，连结PD ，很明显球心在PD 上，设球心为O ，PD ＝h ，AC ＝x ，BC y =，OC ＝R ，则114323xyh ⨯=，解得8h xy =，在Rt OCD △中，222OC CD OD =+，12CD AB ==，则()22224x y R h R +=+-，解得()222222424826464x y xy x y h x y R h xy xy++=+=+≥+，当且仅当x y =时等号成立，即4422242233332322x x R x x x ≥+=+≥⨯⨯，当且仅当42232x x=，即2x =时等号成立，即R 的最小值是在2x y h ===时取得32，经检验正确，即满足题意时三棱锥的高为2，32R =，故外接球体积的最小值为：34932R ππ=，故选：A.9．A【分析】依题意可得()()6f x f x +=-，即可得到()()6f x f x -=--，从而得到()()12f x f x +=，即可得到函数的周期为12，再根据[]0,3上的函数解析式，求出函数()0f ，()1f ，()2f ，()3f ，再计算出()60f =，又()()60f f =，即可求出a 的值，最后根据周期性计算可得.【详解】解：因为()()33f x f x +=-，所以()()6f x f x +=-，又()()66f x f x +=--，所以()()6f x f x -=--，即()()6f x f x =-+，所以()()()126f x f x f x +=-+=，所以()f x 是以12为周期的周期函数，又当[]0,3x ∈时，()()21R xf x a a =⋅-∈，所以()01f a =-，()121f a =-，()241f a =-，()381f a =-，()()4241f f a ==-，()()5121f f a ==-，()()66f f =-，即()60f =，又()()60f f =，即10a -=，解得1a =，所以()00f =，又()()75f f =-，()()84f f =-，()()93f f =-，()()102f f =-，()()111f f =-，所以()()()12120f f f +++= ，又2023168127=⨯+，所以()()()()1232023f f f f ++++ ()()()()()()()()()()()168123121234567f f f f f f f f f f f =+++++++++++⎡⎤⎣⎦ ()()()()()()()1234567f f f f f f f =++++++()()()()1234137314f f f f =+++=+++=；故选：A 10．B【分析】根据三角函数的公式求出2a =，然后借助指数函数的单调性得到2log 31.5232<=<=，即可得到a c <，构造函数()22xf x x =-，利用函数的单调性得到0>，整理后即可得到b c >.【详解】22221tan cos sin 888cos 1421tan 8a πππππ--====+，∵2log 31.5232<=<=，2log 3<，则2log 322a c =<=，设函数()22xf x x =-，则()2ln 22x f x '=-，∵()22412ln 22ln 4ln ln 0f '=-=-=<e e ，()21624ln 22ln 0f '=-=>e，且函数()f x '单调递增，∴()f x '只存在一个0x 使()0f x '=，且()01,2x ∈，()f x 在()0,x -∞单调递减，∴()102f f ⎛>= ⎝⎭，即22log 30log 2>⇒>>，所以a c b <<.故选：B.11．A【分析】利用基本不等式得到2212a a b b+≥当且仅当1ab =时取等号，再构造函数()ln 1f x x x =-+，利用导数说明函数的单调性，即可得到ln 1x x +≤，即可说明22ln 1a a b b ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭当且仅当21a b =时取等号，从而得到21a b =且1ab =时()221ln 2ln 1a ab b +≤-+成立，即可得解.【详解】解：因为0a >，0b >，所以2212a a b b+≥=，当且仅当221a b =，即1ab =时取等号，又()2ln 2ln 1ln 1a a b b ⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭，因为正数a ，b 满足()221ln 2ln 1a a b b +≤-+，即2212ln 1a a b b ⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭，令()ln 1f x x x =-+，则()111xf x x x-'=-=，当01x <<时()0f x ¢>，当1x >时()0f x '<，所以()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()max 10f x f ==，即ln 10x x -+≤恒成立当且仅当1x =时取等号，即ln 1x x +≤恒成立当且仅当1x =时取等号，所以22ln 1a a b b ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭当且仅当21ab =时取等号，所以当且仅当21a b =且1ab =，即2a =，b =()221ln 2ln 1a a b b +≤-+成立，所以2252a b +=；故选：A【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是构造函数证明ln 1x x +≤，再利用基本不等式得到两不等式取等的条件，即可求出参数的值.12．BD【分析】利用余弦定理可得关于a 的一元二次方程；根据三角形有唯一解可知Δ0=或在0∆>时，方程两根一正一负或一根为零、一根为正，由此可构造不等式求得x 的范围，进而确定结果.【详解】由题意知：0x >；由余弦定理得：222222cos 2c a b ab C a x =+-=+=，即()2220a x -+-=，则()2264242x x ∆=--=-；当Δ0=，即x =2a =，满足题意；当0∆>，即2x >时，方程()2220a x +-=两根需一正一负或一根为零、一根为正，220x ∴-≤，解得：x .综上所述：x 的可能取值为2故选：BD.13．1【分析】根据对数的运算性质及函数值的定义即可求解.【详解】由题意可知，()()()()222lg 5lg 102lg 2lg 5lg 20lg 2f ==⨯⨯+⨯+()()()()()()2222lg 5lg 52lg 5lg 4lg 2lg 5lg 2lg 2lg 5lg 2++⨯=+⨯+=⨯=+()2lg101==.故答案为：114【分析】作出图象，由图可知()12CD CA CB =+ ，再由平面向量的数量积的运算性质求解即可【详解】因为()12CD CA CB =+ ，所以()()222211244CD CA CB CA CA CB CB =+=+⋅+ ()()221141291616444CA CA CB CB =+⋅+=⨯++= 所以2414CD = ，所以2CD = ，故答案为：215．132,236k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭（Z k ∈）【分析】利用辅助角公式得到sin cos 4x x x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，再根据正弦函数的性质求出sin cos x x >的解集，同理得到sin cos x x ≤时x 的取值，即可将()f x 的解析式改写成另一种形式，最后再分类讨论，分别求出不等式的解集，即可得解.【详解】解：由sin cos 4x x x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，令022,Z 4k x k k ππππ+<-<+∈，解得522,Z 44k x k k ππππ+<<+∈，即当522,Z 44k x k k ππππ+<<+∈时sin cos 0x x ->，即sin cos x x >，同理可得5922,Z 44k x k k ππππ+≤≤+∈时sin cos x x ≤，又()sin ,sin cos cos ,sin cos x x x f x x x x ≤⎧=⎨>⎩，所以()59sin ,22,Z 445cos ,22,Z 44x k x k k f x x k x k k ππππππππ⎧+≤≤+∈⎪⎪=⎨⎪+<<+∈⎪⎩，对于不等式()12f x <，当522,Z 44k x k k ππππ+<<+∈时1cos 2x <，解得522,Z 34k x k k ππππ+<<+∈，当5922,Z 44k x k k ππππ+≤≤+∈时1sin 2x <，解得51322,Z 46k x k k ππππ+≤<+∈，综上可得不等式的解集为132236k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，()k ∈Z .故答案为：132,236k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，()k ∈Z 16．(]1,01e ⎧⎫-∞+⎨⎩⎭ 【分析】方程2l e n 1xx ax x -=--存在唯一实根，则2ln 1e x x a x x -++=存在唯一实根，则函数y a =与函数()()2ln 1ln 10e ,e x x f x x x x x x x x-+++==+>有唯一的交点，利用导数分析()f x 的单调性，并在同一坐标系中做出y a =与函数()e ln 1x f x xx x +=+的图象，即可求解【详解】方程2l e n 1x x ax x -=--存在唯一实根，则2ln 1e x x a x x-++=存在唯一实根，令()()2ln 10e ,x x x x xf x -++=>，则()()2221e n e e 2l 1x x x x x x x x x x f x ---⎛⎫-+⋅- +⎪⎭+⎝'=()222231l e l e n e n x x x x x x x x x x x ----+==-⋅--令()()()2211ln e eln x x x x h x x x x x --⋅=-++⋅=，注意到()10h =，则()10f '=，且当()0,1x ∈时，210,ln 0,0,e 0x x x x >-<><，所以()()22110,n e e l 0x x x x x x x ⋅⋅--<+<，即()0h x <；当()1,x ∈+∞时，210,ln 0,0,e 0x x x x >->>>，所以()()22110,n e e l 0x x x x x x x ⋅⋅-->+>，即()0h x >；所以当()0,1x ∈时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；又()()2ln 1ln 10e ,e x x f x x x x x x x x-+++==+>，当()1,x ∈+∞时，()0f x >恒成立；当0x →时，()f x →-∞；所以()()2ln 1ln 10e ,e x x f x x x x x x x x-+++==+>的大致图象为：由2ln 1e x x a x x-++=存在唯一实根，则函数y a =与函数()()2ln 1ln 10e ,e x x f x x x x x x x x-+++==+>有唯一的交点，由图象可知0a ≤或11ea =+时满足条件，所以方程2l e n 1x x ax x -=--存在唯一实根时，实数a 的取值范围是(]1,01e a ⎧⎫∈-∞⋃+⎨⎬⎩⎭故答案为：(]1,01e ⎧⎫-∞⋃+⎨⎬⎩⎭17．(1)5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈(2)1124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）利用二倍角公式及和差角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；（2）首先表示出()g x ，根据对称性求出ϕ，即可得到()g x 的解析式，再根据x 的取值范围求出2x 的范围，最后根据正弦函数的性质计算可得；【详解】（1）解：()222cos sin 3f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭cos 211cos 23222x x π⎛⎫++ ⎪-⎝⎭=--22cos 2cos sin 2sin 11cos 233222x x x ππ-+-=--1cos 2211cos 222222x x x --+-=--1cos 2211cos 222222x x x --+-=--3cos 2sin 2144x x =++12sin 212x x ⎫=++⎪⎪⎝⎭2123x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，即()2123f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，令222,Z 232k x k k πππππ-≤+≤+∈，解得5,Z 1212k x k k ππππ-≤≤+∈，所以函数的单调递增区间为5,,Z 1212ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦k k k .（2）解：因为()()()21sin 2212323g x f x x x ππϕϕϕ⎡⎤⎛⎫=+=+++=+++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，又()g x 的图像关于点,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，所以2,Z 3k k ππϕπ++=∈，解得21,Z 32k k πϕπ=-+∈，因为02πϕ<<，所以3πϕ=，所以()()21sin 2122g x x x π=++=-+，当,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时22,33x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以sin 2,12x ⎤∈⎥⎣⎦，所以()1124g x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.18．(1)()f x 的极小值为1e-，无极大值(2)(],2ln 2-∞【分析】（1）利用导数求得()f x 的极值.（2）由()()f x g x ≥分离常数k ，通过构造函数法，结合多次求导来求得k 的取值范围.【详解】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()ln 1f x x '=+，由()0f x '=解得1ex =，所以在区间()()10,,0,e f x f x ⎛⎫'< ⎪⎝⎭递减；在区间()()1,,0,e f x f x ⎛⎫'+∞> ⎪⎝⎭递增.所以()f x 在1e x =时取得极小值1111ln e e e e f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，无极大值.（2）依题意()()f x g x ≥在[)2,+∞上恒成立，即()ln 1x x k x ≥-在[)2,+∞上恒成立，即ln 1x x k x ≤-在[)2,+∞上恒成立，令()()ln 21x x h x x x =≥-，()()2ln 11x x h x x --'=-，令()()ln 12m x x x x =--≥，()1110x m x x x='-=->，所以()m x 在[)2,+∞上递增，()22ln 211ln 20m =--=->，故()0m x >，所以()()2ln 101x x h x x --'=>-，所以()h x 在[)2,+∞上递增，当2x =时，()h x 取得最小值为()2ln 222ln 221h ==-，所以2ln 2k ≤，即k 的取值范围是(],2ln 2-∞.【点睛】利用导数研究不等式恒成立问题，可考虑利用分离常数法，然后结合导数来解决.当一次求导无法求解问题时，可通过多次求导来解决，解题过程中，要注意导函数和原函数间的关系.19．(1)证明见解析，32n a n =-(2)()231n nT n =+【分析】（1）根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，作差得到1(2)(1)1(2)n n n a n a n --=--≥，从而得到12(3)(2)1(3)n n n a n a n ---=--≥，即可得到122(3)n n n a a a n --=+≥，从而得证，再求出公差，即可求出通项公式；（2）由（1）可得()3122n n n S n ++=，从而得到1211231n S n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，利用裂项相消法求和即可.【详解】（1）解：数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，24a =，*2(1)(N )n n S n a n =+∈①，当1n =时，1121a a =+，解得11a =；当2n ≥时，112(1)(1)n n S n a --=-+②，①-②得1(2)(1)1(2)n n n a n a n --=--≥③，所以12(3)(2)1(3)n n n a n a n ---=--≥④，由③④得122(3)n n n a a a n --=+≥，所以数列{}n a 为等差数列，所以公差21413d a a =-=-=，所以13(1)32n a n n =+-=-．（2）解：由（1）可得()3212n n n S -+=，所以()()321312222n n n n n S n n -+++=+=，所以()1221123131n S n n n n n ⎛⎫== ⎪+++⎝⎭，所以()211211211211111123123233131223131n T n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭= .20．（1）见解析（2）7（3【详解】解：本题可通过建立空间坐标系求解．如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B 1(0,2,2)，C 1(1,2,1)，E(0,1,0)．(1)证明：易得11B C ＝(1,0，－1)，CE ＝(－1,1，－1)，于是11B C ·CE ＝0，∴B 1C 1⊥CE.(2)1B C ＝(1，－2，－1)．设平面B 1CE 的法向量m＝(x ，y ，z)，则10{0B C m CE m ⋅=⋅= ,即20{0x y z x y z --=-+-=消去x ，得y ＋2z ＝0，不妨令z ＝1，可得一个法向量为m＝(－3，－2,1)．由(1)，B 1C 1⊥CE ，又CC 1⊥B 1C 1，可得B 1C 1⊥平面CEC 1，故11B C ＝(1,0，－1)为平面CEC 1的一个法向量．于是cos 〈m ，11B C 〉＝1111m B C m B C ⋅⋅sin 〈m ，11B C，故二面角B 1－CE －C 1的正弦值为7.(3)AE ＝(0,1,0)，1EC ＝(1,1,1)．设EM ＝λ1EC ＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有AM ＝AE ＋EM ＝(λ，λ＋1，λ)．可取AB ＝(0,0,2)为平面ADD 1A 1的一个法向量．设θ为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角，则sinθ＝|cos 〈AM ，AB 〉|＝AM AB AM AB⋅⋅6，解得λ＝13(λ＝－15舍去)，∴AM 21．(1)证明见解析(2)1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）先求得c ，然后利用余弦定理判断ABC 为锐角三角形.（2）化简sin 2m n C ⋅= 求得C ，根据正弦定理、三角恒等变换的知识化简b a，结合三角函数值域的求法求得b a的取值范围.【详解】（1）43a b =，由余弦定理得2221629cos 4323b bc C b b +-==⨯⨯，整理得c b =，故a 是最长的边，A 是最大的角，2221619cos 029b b b A b b +-==>⨯⨯，则A 为锐角，所以三角形ABC 是锐角三角形.（2）()sin cos cos sin sin sin sin 2m n A B A B A B C C ⋅=+=+== ，即sin 2sin cos C C C =，由于0πC <<，所以sin 0C >，所以1cos 2C =，所以π3C =.因为三角形ABC 是锐角三角形，所以π02ππ32A A ⎧<<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，解得ππ62A <<，则tan 3>A .由正弦定理得π1sin sin cos sin 1322sin sin sin 2tan 2A A A bB a A A A A ⎛⎫++ ⎪⎝⎭====+，由于tan >A10tan A <<11222<<，所以b a 的取值范围是1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.22．(1)()2e e 2x x g x x -=+--，()g x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增(2)证明见解析【分析】（1）由奇偶性可得()()()2e e 2x x g x f x f x x -+-+-=-=，再利用导数法研究()g x 单调性即可；（2）先用导数法研究()f x 的单调性，从而得到()()(),0,0f x x y f x f x x ⎧≥⎪==⎨-<⎪⎩，进而结合单调性可求得()max f x ，由()e x f x x a '=--得单调性可得()max f x '，再用作差法即可求解【详解】（1）当1a =时，()21e 12x f x x x =---，由题()()()2g x h x f x +=，其中()g x 为偶函数，()h x 为奇函数，则()()()()()22g x h x g x h x f x -+---==，所以()()()22211e 1e 1e e 222x x x x g x f x f x x x x x x -----+-+-=+-+-=-=，所以()2e e 2x x g x x -=+--，所以()e e 2x x g x x -'=--，令()e e 2x x x x ϕ-=--，则()e e 220x x x ϕ-=+-≥='，当且仅当0x =取等，所以()e e 2x x x x ϕ-=--在R 上递增，即()g x '在R 上递增，注意到()00g '=，则(),0x ∈-∞时，()0g x '<，()0,x ∈+∞时，()0g x '>，所以()g x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增；（2）由()f x 的定义域是R ，()e x f x x a '=--，设()e x h x x a =--，则()e 1x h x '=-，令()0h x '=得，0x =，因为()h x '在R 上递增，所以当(),0x ∈-∞时，()0h x '<，()0,x ∈+∞时，()0h x '>，所以()h x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增；又[]1,1a ∈-，于是()()010h x h a ≥=-≥，即()0f x '≥，所以()f x 在R 上递增，注意到()00f =，所以在(),0∞-上()0f x <，在()0,∞+上()0f x >，所以函数()()(),0,0f x x y f x f x x ⎧≥⎪==⎨-<⎪⎩，答案第17页，共17页()y f x =在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，所以()()(){}max max 1,1f x f f =-，又[]1,1a ∈-，()()3313311e e ,122e 22e f a a f a a =--=---=-+=--，()()313111e 3e 02e 2ef f a a --=---++=--<，因此()()max 31e 2f x f a ==--，又()()max 31112f x f e a e a e a ''≥=--=-->--，所以()()max maxf x f x '>，即M N <【点睛】利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧。
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2022年秋期高中三年级期终质量评估数学试题（理）注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效2．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．4．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 5．保持卷面清洁，不折叠、不破损．第I 卷选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合{}2230A x x x =--≤∣，{}2log 1B x x =≤∣，则A B ⋃＝（ ） A ．［－1，3]B ．(,3]-∞C ．（0，2]D ．（0，3]2．已知复数z 满足(i 1)2i z -=，则 z （ ）A ．1B CD ．23．从3，4，5，6四个数中任取三个数作为三角形的三边长，则构成的三角形是锐角三角形的概率是（ ） A ．14B ．13C ．12D ．344．已知向量(4,2a =-，(1,5)b =，则向量b 在向量a 方向上的投影是（ ）A ．B ．－1C ．1D5．已知x ∈R ，y ∈R ，若:|1||2|1p x y ++-≥，22:2440q x y x y ++-+≥，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 点M 在C 的右支上，直线1F M 与C 的左支交于点N ，若1F N b =，且2||MF MN =，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．13y x =±B ．3y x =±C ．12y x =±D ．2y x =±7．设f （x ）是定义在R 上且周期为4的奇函数，当02x ≤≤时，,01()2,12x x f x x x ≤≤⎧=⎨-<≤⎩，令g （x ）＝f （x ）＋f （x ＋1），则函数y ＝g （x ）的最大值为（ ） A ．1B ．－1C ．2D ．－28．已知函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在[]0,π上单调递增，且2()3f x f π⎛⎫≥-⎪⎝⎭恒成立，则ω的值为（ ） A ．2B ．32C ．1D ．129．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 作直线l 交抛物线C 于点A ，B （A 在x 轴上方），与抛物线准线交于点M ．若|BM |＝2|BF |，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．60°B ．30°或150°C ．30°D ．60°或120°10．对于函数()sin xf x x x e =+-，[0,]x π∈，下列说法正确的是（ ） A ．函数f （x ）有唯一的极大值点 B ．函数f （x ）有唯一的极小值点 C ．函数f （x ）有最大值没有最小值D ．函数f （x ）有最小值没有最大值11．如图为“杨辉三角”示意图，已知每一行的数字之和构成的数列为等比数列且记该数列前n 项和为n S ，设n b ={}n b 中的整数项依次取出组成新的数列记为{}n c ，则2023c 的值为（ ）A ．5052B ．5057C ．5058D ．506312．十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：当三角形的三个角均小于120时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角120°；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知a ，b ，c 分别是ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，且22()6b a c --=，cos sin 2cos 6A C B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若点P 为ABC △的费马点，则PA PB PB PC PA PC ⋅+⋅+⋅=（ ） A ．－6B ．－4C ．－3D ．－2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．上级将5名农业技术员分派去3个村指导农作物种植技术，要求每村至少去一人，一人只能去一个村，则不同的分派种数有______．（数字作答）14．如图，△ABC 内接于椭圆，其中A 与椭圆右顶点重合，边BC 过椭圆中心O ，若AC 边上中线BM 恰好过椭圆右焦点F ，则该椭圆的离心率为______．15．《九章算术》是《算经十书》中最重要的一部，全书总结了战国、泰、汉时期的数学成就，内容十分丰富，在数学史上有其独到的成就．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为“鳖臑”，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，几何体P －ABCD 为一个阳马，其中PD ⊥平面ABCD ，若DE PA ⊥，DF PB ⊥，DG PC ⊥，且PD ＝AD ＝2AB ＝4，则几何体EFGABCD 的外接球表面积为______．16．已知函数1()ln (0)mx x f x x mx x e+=-+>的值域为[0,)+∞，则实数m 取值范围为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚） 17．（本题满分12分）已知数列{}n a 是各项均为正数．．的等差数列， n S 是其前n 项和，且()()122n n n a a S -+=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若89nn n b a ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，求n b 取得最大值时的n ． 18．（本题满分12分）在2022年卡塔尔世界杯亚洲区预选赛十二强赛中，中国男足以1胜3平6负进9球失19球的成绩惨败出局．甲、乙足球爱好者决定加强训练提高球技，两人轮流进行定位球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得－1分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为12，乙每次踢球命中的概率为23，甲扑到乙踢出球的概率为12，乙扑到甲踢出球的概率15，且各次踢球互不影响，（1）经过一轮踢球，记甲的得分为X ，求X 的分布列及数学期望；（2）若经过两轮踢球，用2p 表示经过第2轮踢球后甲累计得分高于乙累计得分的概率，求2p ．19．（本题满分12分）如图，四棱锥P －ABCD 的底面为直角梯形，2ABC BAD π∠=∠=，PB ⊥底面ABCD ，112PB AB AD BC ====，设平面P AD 与平面PBC 的交线为l ．（1）证明：l ⊥平面P AB ；（2）设Q 为l 上的动点，求PD 与平面QAB 所成角的正弦值的最大值． 20．（本题满分12分）已知函数2()ln f x a x x ax =-+． （1）当a ＝1时，求证：()0f x ≤；（2）若函数f （x ）有且只有一个零点，求实数a 的取值范围． 21．（本题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，离心率为12，其左右焦点分别为1F ，2F ，点A （1，－1）在椭圆内，P 为椭圆上一个动点，且1||PF PA +的最大值为5． （1）求椭圆C 的方程；（2）在椭圆C 的上半部分取两点M ，N （不包含椭圆左右端点），且122FM F N =，求四边形12F F NM 的面积．选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分． 22．【选修4－4：坐标系与参数方程】（10分） 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos (sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）， （1）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求曲线C 极坐标方程； （2）若点A ，B 为曲线C 上的两个点且OA OB ⊥，求证：2211||||OA OB +为定值． 23．【选修4－5：不等式选讲】（10分）已知存在0x ∈R ，使得0024x a x b +--≥成立，a ，b +∈R ． （1）求a ＋2b 的取值范围；（2）求22a b +的最小值．2022年秋期高中三年级期终质量评估数学（理）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）13．150 14．13 15．20π 16．21,e ∞⎛⎤- ⎥⎝⎦ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【解析】（1）当1n =时，()()1111122a a S a -+==，解得：12a =或者11a =-，因为0n a >，故12a =． 方法一：因为()()1222n n n n a a n a S ++==，所以()()()21222n n n n a a a +-+=，又0n a >，即可得1n a n =+．方法二：当2n =时，()()22221222a a S a -+=+=，易得：23a =．因为数列{}n a 是等差数列，故1n a n =+．（2）由（1）知，()819n n b n ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，故()11829n n b n ++⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭．18799nn n n b b +-⎛⎫-=⨯ ⎪⎝⎭， 当7n <时，1n n b b +>；当7n =时，1n n b b +=； 当n >7时，1n n b b +<；故数列{}n b 的最大项为7b ，8b ，即7n =或8 18．【解析】（1）记一轮踢球，甲进球为事件A ，乙进球为事件B ，A ，B 相互独立， 由题意得：()1121?255P A ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，()2111323P B ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭， 甲的得分X 的可能取值为－1，0，1，()()()()21111535P X P AB P A P B ⎛⎫=-===-⨯= ⎪⎝⎭，()()()()()()()21218011535315P X P AB P AB P A P B P A P B ⎛⎫⎛⎫==+=+=⨯+-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()214115315P X P AB P A P B ⎛⎫====⨯-=⎪⎝⎭， 所以X 的分布列为：所以()411015151515E X =-⨯+⨯+⨯= （2）根据题意，经过第2轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的情况有三种； 分别是：甲两轮中第1轮得0分，第2轮得1分； 或者甲第1轮得1分，第2轮得0分； 或者甲两轮各得1分，于是：()()()()()201101p P X P X P X P X P X ⎡⎤==⋅=+=⋅=+=⎣⎦8448416151515151545⎛⎫=⨯+⨯+= ⎪⎝⎭ 19．【解析】（1）证明：因为PB ⊥底面ABCD ，所以PB BC ⊥． 又底面ABCD 为直角梯形，且2ABC BAD π∠∠==，所以AB BC ⊥．因此BC ⊥平面PAB ．因为BC AD ∥，BC ⊄平面PAD ， 所以BC ∥平面PAD ．又由题平面PAD 与平面PBC 的交线为l ， 所以l BC ∥，故l ⊥平面PAB ．（2）以B 为坐标原点，BC 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -， 则()0,0,0B ，()2,0,0C ，()0,1,0A ，()0,0,1P ，由（1）可设(),0,1Q a ，则(),0,1BQ a =．设(),,n x y z =是平面QAB 的法向量，则00n BQ n BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00ax z y +=⎧⎨=⎩，可取()1,0,n a =-所以cos ,3n PD n PD n PD⋅-==⋅设PD 与平面QAB 所成角为θ，则sinθ==因此：当0a>≤（当且仅当1a=时等号成立）又当0a≤时，易知不符合题意．所以PD与平面QAB所成角的正弦值的最大值为3．20．【解析】（1）()()()221112121x xx xf x xx x x----++='=-+=故f（x）在（0，1）上是单调增加的，在（1，＋∞）上是单调减少的．所以()()max10f x f==，即()0f x≤（2）当a＝0时，()2f x x=-，不存在零点当0a≠时，由()0f x=得21ln x xa x+=，()0,x∞∈+设()2ln x xg xx+=，则()312ln x xg xx--'=令()12lnh x x x=--，易知()h x在()0,∞+上是单调减少的，且()10h=．故()g x在()0,1上是单调增加的，在()1,∞+上是单调减少的．由于21111egee-+⎛⎫=<⎪⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭，()11g=，且当1x>时，()0g x>故若函数()f x有且只有一个零点，则只须11a=或1a<即当(){},01a∞∈-⋃时，函数()f x有且只有一个零点．21．【解析】（1）由题意知：12ca=，即2a c=，又由椭圆定义可得：()122PF PA a PA PF+=+-2225a AF a≤+==，又∵222a b c =+，且52a ≤， 故可得：2a =，b =1c =．即椭圆C ：的方程为：22143x y += （2）延长1F M 交椭圆于点P ，由122FM F N =， 根据椭圆的对称性可得112F M PF =．设()11,M x y ，()22,P x y ，则()22,N x y --．显然，10y >． 设直线PM 的方程为1x my =-，联立221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得，()2234690m y my +--=，∴122634my y m +=+① 122934y y m =-+②又112FM PF =，得122y y =-③由①②③得，m =得直线PM的方程为15x y =-20y -+=， 设2F 到直线PM 的距离为d ，则由距离公式得：3d ==，又由弦长公式得：12PM y =-==将m =278PM =， 设四边形12F F NM 的面积为S ，易知1127228S PM d =⋅⋅=⨯= 【选做题】 22．【解析】（1）因为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩，所以曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=． 因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以，曲线C 的极坐标方程为：2243sin 1ρθ=+（2）由于OA OB ⊥，故可设()1,A ρθ，2,2B πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭21243sin 1ρθ=+，22243cos 1ρθ=+，所以2222121111||||OA OB ρρ+=+ ()()223cos 13sin 1544θθ+++==．即2211||||OA OB +为定值5423．【解析】（1）由题知：()()2222x a x b x a x b a b a b +--≤+--=+=+， 因为存在0x R ∈，使得0024x a x b +--≥，所以只需24a b +≥， 即2a b +的取值范围是[)4,∞+． （2）方法一：由（1）知24a b +≥，因为,a b R +∈，不妨设22t a b =+， 当2b ≥时，224t a b =+>，当02b <<时，有222(42)t b a b -=≥-，整理得，2281651616555t b b b ⎛⎫≥-+=-+ ⎪⎝⎭，此时t 的最小值为165；综上：22a b +的最小值为165．方法二：令222t a b =+，不妨设cos a t θ=，sin b t θ=，因为24a b +≥，所以4cos 2sin t θθ≥≥+，所以：2165t ≥，即22a b +的最小值为165．。