易错点18 抛物线答案-备战2023年高考数学易错题

12.（2014全国2卷）设F为抛物线C: 的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则 的面积为______.
【答案】
【解析】法1：易知抛物线中 ，焦点 ，直线 的斜率 ，故直线 的方程为 ，代人抛物线方程 ，整理得 ．
设 ，则 ，由物线的定义可得弦长
，结合图象可得 到直线 的距离 ，
7.(2018全国1卷)设抛物线 ： 的焦点为 ，过点 且斜率为 的直线与 交于 ， 两点，则 =( )
A．5B．6C．7D．8
【答案】D
【解析】通解 过点 且斜率为 的直线的方程为 ，
由 ，得 ，解得 或 ，所以 ，或 ，不妨设 ， ，易知 ，所以 ， ，所以 ．故选D．
8.（2017新课标Ⅱ）已知F是抛物线 ： 的焦点，M是 上一点，FM的延长线交 轴于点N．若M为FN的中点，则 ．
【答案】2
【解析】由对称性知： 是等腰直角 ，斜边
点 到准线 的距离
8．斜率为 的直线过抛物线 的焦点，且与 交于 ， 两点，则 __________．
【答案】
【解析】由题抛物线 ，可知其焦点为 ，准线为 ，如图所示．作 ， ，直线 准线交于点 ，由 ，∴倾斜角 ，∴ ，
由抛物线定义知： ， ，
又∵ ，∴ 为 中点，∵ ，∴ ，
得 ,而 ，
所以 时，面积最大值 .
解法二：由（1）知抛物线 所以
设切点 ，圆 上任意一点 ，
则易得 ，联立可得 ，
所以 ，又线段 中点 ，所以
.
又 在圆 ，所以 ，代入
得 ，而 ，
所以 时，面积最大值 .
15.（2021全国乙卷文）已知抛物线 : 的焦点 到准线的距离为2.
（1）求 的方程；
（2）已知 为坐标原点，点 在 上，点 满足 ，求直线 斜率的最大值．
A． B． D．
【答案】C
【解析】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知 ，即 ，解得 ，故选C．
6．（2020北京卷）设抛物线的顶点为 ，焦点为 ，准线为 ． 是抛物线上异于 的一点，过 作 于 ，则线段 的垂直平分线（）
A．经过点 B．经过点
C．平行于直线 D．垂直于直线
【答案】B
【解析】如图所示，因为线段 的垂直平分线上的点到 的距离相等，又点 在抛物线上，根据定义可知， ，所以线段 的垂直平分线经过点 ．
所以
（1）y1y2＝－p2，x1x2＝ .
（2）|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥ ＝p，即当x1＝x2时，弦长最短为2p.
（3） ＋ 为定值 .
（4）弦长AB＝ (α为AB的倾斜角)．
（5）以AB为直径的圆与准线相切。
（6）以AF为直径的圆与y轴相切．
（7）焦点F对A，B在准线上射影的张角为90°.
∵点 在准线上，∴ 到 的距离为 ，所以 面积为36，故选C．
4．过抛物线 的焦点 ，且斜率为 的直线交 于点 （ 在 的轴上方）， 为 的准线，点 在 上且 ，则 到直线 的距离为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题知 ，与抛物线 联立得 ，解得 ，所以 ，因为 ，所以 ，因为 ，所以 ．
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ．
9.已知A、B是抛物线 上的两点，直线AB垂直于 轴，F为抛物线的焦点，射线BF交抛物线的准线于点C，且 的面积为 ，则p的值为____.
【答案】2
【解析】法1：设A点的坐标为(m,n),且点A在第一象限内，
则B(m,-n),所以 ，由
所以
因为 所以
因为 的面积为 ，又
所以
所以 ，联立 解得p=2.
1.设抛物线 的焦点为 ，点M在C上，｜MF｜＝5，若以MF为直径的圆过点（0,2），则C的方程为（）
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】设点M的坐标为(x0，y0)，由抛物线的定义，得|MF|＝x0＋ ＝5，
则x0＝5－ .又点F的坐标为 ，所以以MF为直径的圆的方程为
(x－x0) ＋(y－y0)y＝0.
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【解析】由题意，不妨设抛物线方程为 ，由 ，
，可取 ， ，设 为坐标原点，
由 ，得 ，得 ，所以选B．
3.已知直线 过抛物线 的焦点，且与 的对称轴垂直， 与 交于 ， 两点， ， 为 的准线上一点，则 的面积为（）
A．18 B．24 C．36 D．48
【答案】C
【解析】设抛物线的方程为 ，易知 ，即 ，
【答案】
【解析】由题意得 ， 的方程为 ．设 ，
由 得 ．
，故 ．
所以 ．
由题设知 ，解得 （舍去）， ．
因此 的方程为 ．
10.（2019全国1卷）已知抛物线 的焦点为 ，斜率为 的直线 与 的交点为 ， ，与 轴的交点为 , ，则 的方程是_______________.
【答案】
【解析】由题意得 ， 的方程为 ．设 ，
即 ，设 ， ，
则 ， ．由 ，消去 得 ，
即 ，则 ， ，
由 ，得
，
将 ， 与 ， 代入，得 ．
法2:设抛物线的焦点为 ， ， ，则 ，
所以 ，则 ，
取 的中点 ，分别过点 ， 做准线 的垂线，垂足分别为 ， ，又 ，点 在准线 上，
所以 ．
又 为 的中点，所以 平行于 轴，且 ，所以 ，所以 ．
（1）求 ；
（2）若点 在 上， 为 的切线，切点为 ，求 面积的最大值.
【答案】（1） ；（2）
【解析】(1)因为 到圆 上点的最短距离为 ，所以
（2）解法一：由（1）知抛物线 所以
设切点 ，则易得 ，
从而得 .
设 ，联立抛物线 消去 得 ，
所以 ，
且 , ，
因为 ， ，
所以 ，
又 在圆 ，所以 ，代入
A．16 B．14 C．12 D．10
【答案】16
【解析】由已知 垂直于 轴是不符合题意，所以 的斜率存在设为 ， 的斜率为 ，由题意有 ，设 ， ， ，
此时直线 方程为 ，
取方程 ，得 ，
∴
同理得
由抛物线定义可知
当且仅当 （或 ）时，取得等号．
14.（2021全国乙卷理）已知抛物线 的焦点为 ，且 与圆 上的点的最短距离为4.
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）在抛物线中，焦点 到准线的距离为 ，故 ，
（2）设点 ， ，
则 ，
因为 ，所以 ，
那么 ，
又因为点在 抛物线上， ，所以 ，则点 的轨迹方程 ，
设直线 方程为 ，当直线 和曲线 相切时，斜率最大，
联立直线与曲线方程，此时 ，得 ，
相切时， ， ，解得 ，
所以直线 斜率的最大值为 .
由焦半径公式知
由 得 ．
，故 ．
所以 ．
所以 的方程是 ，即 .
11．（2018全国3卷）已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点．若∠AMB=900，则k=________．
【答案】2
【解析】法1:由题意知抛物线的焦点为 ，则过 的焦点且斜率为 的直线方程为 ，由 ，消去 得 ，
所以 到直线 的距离为 ．故选C．
5．已知 ，抛物线 ： 的焦点为 ， 与抛物线 在第一象限的交点为 ，且 ，则 （ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】抛物线 ： 的准线方程是 ，焦点为F(2p,0),
由 ，所以 ，解得
小结：P为抛物线 的任意一点，F为焦点，以PF为直径的圆与y轴相切．
易错点18抛物线
易错点1：主观认为抛物线的顶点就是原点;
易错点2：忽视抛物线的变化趋势,只从图形的局部,乱下结论;
易错点3：在使用抛物线的焦半径公式时,错把纵坐标写成横坐标;
易错点4：解决直线与抛物线综合题时,忽略对直线斜率不存在情况的讨论;
易错点5：在解有关直线与抛物线的位置关系的问题
必记结论
直线AB过抛物线 的焦点，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如图：
题组一：定义和标准方程
1.（2021新高考2卷）抛物线 的焦点到直线 的距离为 ，则 （）
A.1B.2C. D.4
【答案】B
【解析】抛物线的焦点坐标为 ，其到直线 的距离： ，解得： ( 舍去).故选：B.
2.(2019年高考全国Ⅱ卷理数)若抛物线 的焦点是椭圆 的一个焦点，则p=( ）
A．2 B．3 C．4 D．8
所以 的面积 ．
法2：秒杀公式的应用
小结：设F为抛物线C:y2=4x的焦点，过F且倾斜角为θ的直线交C于A，B两点，O为坐标原点， .
题组四：抛物线中的最值问题
13.（2017全国1卷）已知 为抛物线 的焦点，过 作两条互相垂直的直线 ，直线 与 交于A、B两点，直线 与 交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）
【答案】6
【解析】如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与 轴交于点 ，作 与点 ， 与点 ，由抛物线的解析式可得准线方程为 ，则 ，在直角梯形 中，中位线 ，由抛物线的定义有： ，结合题意，有 ，
故 ．
题组三：焦点弦问题
9.（2018全国2卷）设抛物线C:y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8．则 的方程是______________.
法2：如图，过A作AH垂直准线于H，作CG垂直AB于G，
根据抛物线的定义，|AH|=|A|F,CE//AB,因此|DE|=|AH|=|CG|=|AF|,
由 `
因为|EF|正好是焦点到准线的距离，即p=2.
10.已知点 及抛物线 上的动点 ,则 的最小值是___.