重庆市九龙坡区2022-2023学年高一上学期期末数学试题(解析版)

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2023届重庆九龙坡区高高一数学第一学期期末教学质量检测试题含解析

A. yˆ x 1
B. yˆ x 2
C. yˆ 2x 1
D. yˆ x 1
4．设集合 A={1，3，5}，B={1，2，3}，则 A∪B=（）
A.1,3
B. 2, 5
C.{2, 3， 5}
D.{1, 2，3， 5}
5．奇函数 f (x) 在 (0， ) 内单调递减且 f (2) 0 ，则不等式 (x 1) f (x) 0 的解集为（）
A.∃x＞0，x2≠x﹣1
B.∀x≤0，x2＝x﹣1
C.∃x≤0，x2＝x﹣1
D.∀x＞0，x2≠x﹣1
11．袋中装有 5 个小球，颜色分别是红色、黄色、白色、黑色和紫色．现从袋中随机抽取 3 个小球，设每个小球被抽
到的机会均相等，则抽到白球或黑球的概率为
2
3
A.
B.
5
5
2
9
C.
D.
3
10
12．已知函数 f (x) ax2 x 1 在区间 (1, ) 上单调递增，则实数 a 的取值范围为（）
的值.
【详解】由题意可知， R 32 3 3 2 6 ，函数 y 6sin t 的最小正周期为T 120 ，
则
2 T
60
，所以，
y
6
sin
60
t
，
点 P 对应 t 0， y 3 3 ，则 6sin 3 3 ，可得 sin 3 ， 2
2
2
，
3
，故
y
6 sin
12
21．已知函数 f (x) a sin(2x ) a b(x R, a 0, 0) 的最小正周期为，函数 f (x) 的最大值是 7 ，最小
62
4

重庆市第十一中学校2022-2023学年高一上学期期末考试数学试题及答案(含解析)

故选：C
5.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
解析：∵ 在上单调递增，
∴ ，解得，
故实数的取值范围是
故选：C
6.已知，，，则（）
A. B.
C. D.
【Hale Waihona Puke 案】D解析：则有：
故有：
故选：D
7.已知，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
解析：
【答案】ABC
解析：A：因为，所以，所以函数的定义域为，故A正确；
B：，由
，
所以函数的值域为，故B正确；
C：因为，
所以函数是奇函数，所以C正确；
D：因为函数是增函数，因为，
所以函数是减函数，
所以函数是增函数，
故是增函数，故D不正确，
故选：ABC.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
故选:CD.
11.函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，对于函数，下列说法正确的是（）
A. 是的一个周期B. 的图象关于直线对称
C. 在区间上单调递减D. 的图象关于点对称
【答案】ABD
解析：函数的图象向左平移个单位长度后得到函数，
A.函数的最小正周期是，所以是的一个周期，故A正确；
故选：C.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9.已知某扇形的周长为，面积为，则该扇形圆心角的弧度数可能是（）
A. B. C. D.
【答案】AC
解析：设扇形的半径为，所对弧长为，

重庆市七校联盟2022-2023学年高一上数学期末学业水平测试模拟试题含解析

f
(x)
x
，将点 (4, 2) 代入得 4
=2
，解得
1 2
，则
f
x
1
x2 ，
1
所以
f
1 4
1 2 4
1 2
，答案
B.
【点睛】主要考查幂函数解析式的求解以及函数值求解，属于基础题.
9、B 【解析】首先根据题中所给的三视图，得到点 M 和点 N 在圆柱上所处的位置，将圆柱的侧面展开图平铺，点 M、N 在其四分之一的矩形的对角线的端点处，根据平面上两点间直线段最短，利用勾股定理，求得结果. 【详解】根据圆柱的三视图以及其本身的特征，将圆柱的侧面展开图平铺, 可以确定点 M 和点 N 分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，
【详解】弧长为 π cm 的弧所对的圆心角为 π ，则 r r 4 44
S 1 r2 1 16 2
2
24
故选 C
【点睛】本题考查了扇形面积，求出半径是解题的关键.
6、B 【解析】根据零点存在性定理即可判断出零点所在的区间.
【详解】因为 f 2 lg 2 4 5 lg 2 1 0 ， f 3 lg3 6 5 lg31 0 ，所以函数 f x lg x 2x 5 在区间 2,3内有零点，所以 n 3 .
15．142(5) ______ (2) .
16．函数 y log0.5 4x 3 的定义域为_________.
三、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．已知函数 f x sin x 3 cos x
（1）求不等式 f x ≤1的解集；

重庆市西南大学附属中学校2022-2023学年高一上学期期末考试数学答案

即 f (x1) f (x2 ) 0 ，所以 f x1 f x2 ，函数 f x 在 R 上是增函数又因函数 f x 在 R 上是奇函数
则 f t2 1 f 2t 4 0 可变形为 f t2 1 f 2t 4 f 4 2t
所以不等式可化为 t2 1 4 2t ,即 t2 2t 3 0
2a 2 1+a
由
A
B
得
3a
2
5 4
+a
13 8
a
3
，
a 0
a
的取值范围是
13 8
,
3
.
22．解：(1) 由 f x 2ax 2a 3 得 ax2 (2a 1)x 2 0
当 a 0 时， x 2 0 ,解得 x 2 当 a 0 时， a(x 1)(x 2) 0
20．解：(1)
f
(x)
2x 2x
1 1
的定义域为
R
关于原点对称,
f
(x)
2 x 2 x
1 1
2 x 2 x
1 1
2x 2x
1 2x 1 2x
f (x)
，所以
f
x 是奇函数；
f
(x)
2x 2x
1 1
2x 1 2 2x 1
1
2 2x 1
，因为 2x
0 ，所以 2x
1 1 ，所以 0
1 2x 1
2,
.
(2)
若 a 0 ，则
f
x x 1 在区间[1，2]上是减函数，
f
x
min
f (2) 3 1 ,不合题意．
若
a
0 ，则
f
x
a

重庆市普通高中2022-2023学年高一数学第一学期期末预测试题含解析

确；故选 C 考点：1、函数的单调性与奇偶性；2、指数函数与对数函数； 3 函数的图象
2、A
【解析】 log6 15 log5 15 log5 16 2 21.5 0.51.5
b c a
故选 A
3、B
【解析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求 sinx ， tanx 的值，即可得解
A.4 倍
B.3 倍
C. 2 倍
D.2 倍
8．直线 1+a x y 1 0 与圆 x2 y2 2x 0 相切，则 a 的值为（）
A. 1
B. 2
C.1
D. 1
9．已知集合 A 1, 2，则集合 B { x, y | x A, y A}中元素的个数为（）
A.1
B.2
C.3
D.4
【详解】由题意，知 cosx 3 ，且 π x π ， 52
所以 sinx 1 cos2x 4 ，则 tanx sinx 4 ，
5
cosx 3
tanx sinx 4 4 8 3 5 15
故选 B
【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，其中解答中熟练应用同角三角函数
（2）三条公路围成的工业园区 ABC 的面积恰为 4km2 ，求公路 BC 所在直线方程.
参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60 分） 1、C
【解析】因为函数 y 1 是奇函数，所以选项 A 不正确；因为函为函数 y ex 既不是奇函数，也不是偶函数，所以选
x
项 B 不正确；函数 y x2 1 图象抛物线开口向下，对称轴是 y 轴，所以此函数是偶函数，且在区间 0, 上单调递减，所以，选项 C 正确；函数 y lg x 虽然是偶函数，但是此函数在区间 0, 上是增函数，所以选项 D 不正

2022-2023学年重庆市七校联考高一上学期期末数学试卷带讲解

(2)根据(1)中的模型,使其小于等于0.08,化简解出的范围,再根据解出即可.
【小问1详解】
由题意得: , ,
当时, ,
即 ,解得 ,
所以 ,
故改良后所排放废气中含有的污染物数量的函数模型为 .
【小问2详解】
由(1)知, ,
整理得: ,即 ,
两边同时取常用对数,得: ,
整理得: ,
将代入,得 ,
（2）由的单调性结合函数零点存在定理求出实数的取值范围.
【小问1详解】
函数
因为，所以，解得
所以 .
由得
故函数的单调递增区间为，
由得
故函数的单调递减区间为 .
【小问2详解】
由（1）可知，
在上为增函数；在上为减函数
由题意可知：，即
解得，故实数的取值范围为 .
21.已知函数是定义在上的奇函数，当时，
故答案为：．
14.函数，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】根据分段函数的取值代入对应的解析式计算即可求解.
【详解】因为，所以，பைடு நூலகம்
又，所以，
所以，
故答案为： .
15.关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的对称性可得出不等式的解集中的整数，可得出关于实数a的不等式组，即可求解.
又因为，所以，解得，
因此实数的取值范围是 .
选择③：因为，而，且，，
所以或，解得或，
所以实数的取值范围是或 .
18.已知 .
（1）若为锐角，求的值.

2022-2023学年重庆大学城第一中学校高一数学第一学期期末统考试题含解析

（2）由题意可得，则可求得，从而利用三角函数恒等变换公式可求得结果
【小问1详解】
因为，所以，
由三角函数定义，得
所以
【小问2详解】
因为，所以，
因为，
所以
所以
21、（1）在R上单调递增；
（2）存在使得为奇函数.
【解析】(1)利用函数单调性的定义证明；
(2)利用函数奇偶性的定义求参数
【详解】解：由指数函数和对数函数的图象可知：，，，所以，
故选：D
【点睛】本题考查了对数式、指数式的大小比较，比较大小的常用方法为同底的对数式和指数式利用其单调性进行比较，也可以借助于中间值0和1进行比较，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题.
10、D
【解析】根据线面平行的位置关系及线线位置关系的分类及定义，可由已知两直线平行于同一平面，得到两直线的位置关系
故答案为：D
8、C
【解析】先求解出时的解集，再根据偶函数图像关于轴对称，写出时的解集，即得整个函数的解集.
【详解】由于函数是偶函数，所以，
由题意，当时，，则；
又因为函数是偶函数，图象关于轴对称，所以当时，，则，所以的解集为 .
故选：C.
9、D
【解析】由已知得，，，判断可得选项.
【点睛】本题考查三角函数的定义和关于的齐次分式求值，意在考查基本化简和计算.
16、①. ## ②.
【解析】根据求出的范围，根据余弦函数的图像性质即可求其最小值.
【详解】∵ ，∴ ，
∴当，即时，取得最小值为，
∴当时，最小值为 .
故答案为：；－3.
三、解答题（本大题共6小题，共70分）

2022-2023学年重庆市西南大学附属中学校高一上学期期末数学试题(解析版)

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）
9.若，，则下列四个式子中有意义的是（）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据根式、指数（幂）的知识确定正确答案.
【详解】依题意，，，
，A选项符合题意.
对于，当为正偶数时，，式子没有意义，B选项错误.
由解得，即是的唯一零点，由此排除D选项，
所以正确的选项为C.
故选：C
6.定义若则中元素个数为（）
A.1B.2C.4D.5
【答案】D
【解析】
【分析】根据新定义中运算的性质，求出集合中的元素即可.
【详解】因为且，
当时，可能为，此时的取值为：；
当时，可能为，此时的取值为：；
西南大学附属中学高一上学期数学期末综合测试
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知则“ ”是“ ”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】结合图象以及充分、必要条件的知识确定正确答案.
当时，可能为，此时的取值为：；
综上可知：，所以集合中元素个数为5，
故选：D.
7.函数的值域为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合同角三角函数的基本关系式、三角函数的值域、二次函数的性质等知识确定正确选项.
【详解】
，
令，由于，所以，
则对于函数，
根据二次函数的性质有：当时，；当或时， .

重庆市九龙坡区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含解析

2019—2020学年九龙坡区教育质量全面监测（中学）高一（上）数学试题本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.时间120分钟，满分150分第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把所选答案填涂在答题卡上. 1.已知集合{|21},{|41}xA x xB x =-<<=<，则（） A. A B =∅ B. {}|20A B x x =-<< C. {}|2AB x x =>-D. AB R =【答案】B 【解析】【分析】化简集合B ，分别求A B ， A B 即可找到答案.【详解】{|41}{|0}xB x x x =<=<，因为{|21}A x x =-<<，所以{}|20A B x x =-<<.故选：B【点睛】本题主要考查指数不等式和集合的交集、并集运算，同时考查学生的计算能力，属于简单题.2.函数3()log (1)2f x x x=--的定义域为（） A. [1,2] B. (1,2]C. [1,2)D. (1,2)【答案】D 【解析】【分析】根据函数成立列出不等式组1020x x ->⎧⎨->⎩，解不等式组即可.【详解】由题知：1020x x ->⎧⎨->⎩，解得：12x <<.故选：D【点睛】本题主要考查函数的定义域的求法，需要注意真数大于零，分母不等于零以及偶次方根被开方数大于等于零，属于简单题. 3.若10005,1002ab==，则32=+a b （） A. 0 B. 1C. 1-D. 2【答案】B 【解析】【分析】首先利用指对数互换公式得到1000log 5a =，100log 2b =，再带入计算32a b +即可. 【详解】解：10005a =，1000log 5a =，1002b =，100log 2b =.3210001001010323log 52log 23log 52log 2a b +=+=+lg5lg 2lg101+==.故选：B【点睛】本题主要考查了指对数的互换，同时考查了对数的运算，熟记公式是解题的关键，属于简单题.4.在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点．下列结论正确的是( ) A. AB ＝CD ，BC ＝AD B. AD ＋OD ＝DA C. AO ＋OD ＝AC ＋CD D. AB ＋BC ＋CD ＝DA 【答案】C 【解析】因为AO ＋OD ＝AD ，AC ＋CD ＝AD ，所以AO ＋OD ＝AC ＋CD .5.三个数220.8,,log 0.8a b c ===之间的大小关系是（）A. a c b <<B. a b c <<C. b a c <<D.c a b <<【答案】D 【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性即可判断,,a b c 的范围，再比较大小即可. 【详解】解：因为200.81<<，所以01a <<，<<，所以b 1<<22log 0.8log 10<=，所以0c <.故c a b <<. 故选：D【点睛】本题主要考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，熟练掌握函数的单调性为解题的关键，属于简单题. 6.已知2sin()43πα-=，则cos()4πα+的值等于（）B. C.23D. 23-【答案】D 【解析】分析】把所求式子中的角变为()442πππαα+=-+，再利用诱导公式即可求出答案. 【详解】解：因为()442πππαα+=-+，所以2cos()cos[()]sin()44243ππππααα+=-+=--=-. 故选：D【点睛】本题主要考查三角函数中的角变换，同时考查了三角函数的诱导公式，属于简单题. 7.设函数212log (2)(1)()3(1)x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩，则3(6)(log 8)f f -+=（） A. 2 B.233C. 13D.53【答案】B 【解析】【分析】分别计算(6)f -和3(log 8)f 即可. 【详解】解：2(6)2log 85f -=+=. 因为3log 81>，所以33log 81og 8318(log 8)3333l f -==⨯=.所以3823(6)(log 8)533f f -+=+= 故选：B【点睛】本题主要考查指数和对数的运算，同时考查学生的计算能力，属于简单题. 8.把函数2()sin()36f x x π=-图像上所有点的横坐标缩为原来的13倍（纵坐标不变），再把所得图像向左平移4π个单位长度，得到函数()y g x =，则函()g x =（） A. 27()sin()912g x x π=-B. ()sin(2)3g x x π=+C. 7()sin(2)12g x x π=- D. 2()sin()93g x x π=+【答案】B 【解析】【分析】由题意得：()f x 图像上所有点的横坐标缩为原来的13倍得到解析式为sin(2)6y x π=-，再把所得图像向左平移4π个单位长度得到()sin(2)3g x x π=+.【详解】解：把函数2()sin()36f x x π=-图像上所有点的横坐标缩为原来的13倍，得到：sin(2)6y x π=-.再把所得图像向左平移4π个单位长度，得到()sin[2()]sin(2)463g x x x πππ=+-=+. 故选：B【点睛】本题主要考查三角函数的伸缩和平移变换，熟练掌握平移变换和伸缩变换是解题的关键，属于简单题.9.函数()y f x =是定义在R 上的增函数，则函数(2)f x -的单调减区间是（） A. (,2)-∞- B. (,2)-∞C. (2,)+∞D. R【答案】B 【解析】【分析】首先求出函数2t x =-的单调性，再根据复合函数的性质即可求出函数(2)f x -的单调减区间.【详解】解：令2t x =-，由题知：在区间(,2)-∞，t 为减函数，在区间(2,)+∞，t 为增函数，又因为()y f x =是定义在R 上的增函数，根据复合函数的性质，(2)f x -的单调减区间是(,2)-∞.故选：B【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，同增异减是解题的关键，属于中档题.10.已知函数2()(1cos 2)(1cos ),f x x x x R =+-∈，则()f x 是（）A. 最小正周期为π的奇函数B. 最小正周期为π的偶函数C. 最小正周期为2π的奇函数 D. 最小正周期为2π的偶函数【答案】D【解析】【分析】利用三角函数恒等变换化简()f x 的解析式为1()cos 42f x x =-，再判断周期和奇偶即可得到答案.【详解】22()(1cos 2)(1cos )(1cos 2)sin f x x x x x =+-=+21cos 21cos 2(1cos 2)22x xx --=+=11cos 41cos 41)224x x+-=-=（. 周期242T ππ==， ()()f x f x -=，()f x 为偶函数.故选：D【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换和周期及奇偶，化简函数是解题的关键，属于中档题.11.已知函数()y f x =的定义域为R ,(1)y f x =+为偶函数，对任意12,x x ，当121x x >≥时，()f x 单调递增，则关于a 的不等式(91)(35)a a f f +<-的解集为（）A. (,1)-∞B. 3(,log 2)-∞C. 3(1,log 2)D. (1,)+∞【答案】B 【解析】【分析】首先根据函数()y f x =的定义域为R ，(1)y f x =+为偶函数，得到函数()y f x =关于1x =对称，根据函数()y f x =在[1,)+∞为增函数，得到函数()y f x =在(,1]-∞为减函数.从而将不等式(91)(35)a af f +<-等价于911351a a+-<--，解不等式即可.【详解】解：因为函数()y f x =的定义域为R ，(1)y f x =+为偶函数，所以(1)(1)-+=+f x f x ，得到函数()y f x =关于1x =对称.因为函数()y f x =在[1,)+∞为增函数，所以函数()y f x =在(,1]-∞为减函数.不等式(91)(35)a af f +<-等价于911351a a+-<--即369369a a a a⇒->->或369a a -<- 令3a t =，(0)t >得到：260t t -+<或260t t +-< 当260t t -+<时，无解. 当260t t +-<时，(3)(2)0t t +-<，解得：2t <，即32a <，3log 2a <. 故选：B【点睛】本题主要考查了函数的平移，函数的奇偶性和单调性，同时还考查了绝对值不等式的解法，属于难题.12.已知函数[],0()(0),()(1),0x x x f x kx k k g x f x x -≥⎧=+>=⎨+<⎩，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][][]1.22,1.21,11-=-==，若函数()()y f x g x =-恰有5个零点，则k 的取值范围是（） A. 1(0,]6B. 11(,)54C. 11[,)65D. 11[,)76【答案】C 【解析】【分析】首先画出函数()y g x =的图像并求出函数()f x 恒过的定点.再讲函数()()y f x g x =-恰有5个零点，等价于函数()y f x =与()y g x =恰有5个不同的交点.由图可求出k 的取值范围. 【详解】解：函数()y g x =的图像如图所示：因为()(1)f x kx k k x =+=+，所以函数()f x 恒过(1,0)-点函数()()y f x g x =-恰有5个零点，等价于函数()y f x =与()y g x =恰有5个不同的交点. 由图知：PB PA k k k ≤<，即：1165k ≤<. 故选：C【点睛】本题主要考查了函数图像的画法，同时考查了函数的零点问题，数形结合是解题的关键，属于难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡中的相应位置. 13.函数2y x =______. 【答案】[1,1]- 【解析】【分析】首先求出函数的定义域，再利用换元法得到cos y t =，[0,)t ∈+∞，根据余弦函数的图像即可求出函数的值域. 【详解】定义域为[0,)+∞， 2x t =，cos y t =，[0,)t ∈+∞ 由余弦函数的图像知：[1,1]y ∈- 故答案为：[1,1]-【点睛】本题主要考查三角函数的值域问题，同时考查了换元法，熟练掌握余弦函数的图像性质是解题的关键，属于简单题.14.函数3()2x f x a -=+（0a >且1a ≠）的图像恒过定点______.【答案】(3,3) 【解析】【分析】根据指数函数恒过定点的性质，令指数幂等于零即可. 【详解】由30x -=，3x =.此时0(0)23f a =+=. 故图像恒过定点(3,3). 故答案为：(3,3)【点睛】本题主要考查指数函数恒过定点的性质，属于简单题. 15.在ABC ∆中，已知D是AB 边上一点，若22,3DB AD CD CA CB λ==+，则λ=______. 【答案】13【解析】【分析】根据题意画出图形，结合图形用向量CA 与CB 表示出CD 即可. 【详解】由题知：因为2221()3333CD CB BD CB BA CB CA CB CA CB =+=+=+-=+. 所以13λ=故答案为：13【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算的几何意义，熟练掌握向量的加减法是解题的关键，属于中档题.16.函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，()y g x =是R 上的偶函数，且()(1)g x f x =-，则(2022)f =______. 【答案】0 【解析】【分析】首先根据()y f x =是定义在R 上的奇函数，()y g x =是R 上的偶函数，得到()(2)f x f x =-+，函数()y f x =的周期为4，再利用周期的性质计算(2022)f 即可.【详解】()(1)g x f x =-，()(1)g x f x -=--因为()y g x =是R 上的偶函数，所以(1)(1)f x f x -=--.又因为()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以(1)(1)f x f x -=-+，所以()(2)f x f x =-+，所以函数()y f x =的周期为4.(2022)(2)(0)0f f f ==-=.故答案为：0【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和周期性，通过已知条件得到函数()y f x =的周期为4是解题的关键，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.17.已知集合{}1A x a x =<<，集合{}3log 1B x x =<. （1）当2a =-，求()R A B ；（2）若AB A =，求实数a取值范围.【答案】（1）3|}1{x x ≤<，（2）0a ≥ 【解析】【分析】（1）化简集合B ，得到{}03B x x =<<，{|1R C A x x =≥或2}x，求交集即可.（2）A B A A B ⋂=⇒⊆，分类讨论A =∅和A ≠∅，解不等式即可. 【详解】解：（1）因为333log log 3log 1030x x x x <⎧<⇔⇒<<⎨>⎩，所以{}03B x x =<<.{|1R C A x x =≥或2}x ，(){|13}R A B x x =≤<.（2）A B A A B ⋂=⇒⊆. 当A =∅时，1a ≥.当A ≠∅时，1010a a a <⎧⇒≤<⎨≥⎩. 综上：0a ≥【点睛】本题主要考查了集合的运算，同时考查了子集关系和对数不等式，计算能力是解题的关键，属于简单题.18.已知sin()sin()2()3cos(2)cos()2f ππαααππαα-+-+=-+-+. （1）已知1tan 3α=，求()f α的值；（2）若α的终边在直线2y x =上，求()4f πα+的值.【答案】（1）()2f α=，（2）1()42f πα+=- 【解析】【分析】（1）化简()f α得到tan 1()1tan f ααα+=-，再带入1tan 3α=计算即可.（2）由题知tan 2α=，再利用两角和正切公式计算出tan()34πα+=-，带入()4f πα+即可.【详解】（1）sin()sin()2()3cos(2)cos()2f ππαααππαα-+-+=-+-+11sin cos tan 1321cos sin 1tan 13αααααα+++====---.（2）因为α的终边在直线2y x =上，所以tan 2α=.tan 1tan 341tan ()πααα++==--tan()13114()41(3)21tan()4f παπαπα++-++===----+. 【点睛】本题第一问考查三角函数的诱导公式和同角三角函数的关系，第二问考查了正切的两角和公式，熟记公式是解题的关键，属于简单题.19.已知函数()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，当01x ≤≤时，2()f x x x =--.（1）求：10x -≤<时，函数()f x 的解析式；（2）若(21)(43)0f a f a -+->，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2()f x x x =-，（2）1223a ≤< 【解析】【分析】（1）当10x -≤<时，01x <-≤，带入2()f x x x =--，再利用奇函数的性质即可得到解析式.（2）利用函数的奇偶性和单调性将不等式(21)(43)0f a f a -+->转化为不等式组，解不等式组即可.【详解】（1）当10x -≤<时，01x <-≤，22()()()f x x x x x -=----=-+.又因为()f x 是定义在[]1,1-上奇函数，()()f x f x -=- 所以2()f x x x =-（2）(21)(43)0f a f a -+->，(21)(43)f a f a ->--，(21)(34)f a f a ->-.由（1）知：函数()f x 是定义在[1,1]-上单调递减，所以1211121341232134a a a a a-≤-≤⎧⎪-≤-≤⇒≤<⎨⎪-<-⎩.【点睛】本题第一问主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，第二问考查了函数单调性和奇偶性的综合应用，属于中档题. 20.已知函数22232cos tan 35()sin (cos sin )1tan 5xf x x x x ππ=+⋅-+，求：（1）()f x 的最小正周期和对称轴方程；（2）()f x 在[0,]2π上的最小值；（3）()f x 的单调增区间.【答案】（1）周期T π=，对称轴为202kx ππ=-+()k ∈Z （2）min ()1f x =-，（3）单调增区间为11[,]2020k k ππππ-+-+，()k ∈Z 。

2022-2023学年重庆市校高一上册期末数学模拟试题(含解析)

2022-2023学年重庆市校高一上册期末数学模拟试题（含解析）一、单选题1．命题“000[0,),cos 0x x x ∃∈+∞+>”的否定是（）A ．(,0),cos 0x x x ∀∈-∞+>B ．[0,),cos 0x x x ∀∈+∞+≤C ．000[0,),cos 0x x x ∃∈+∞+>D ．000(,0),cos 0x x x ∃∈-∞+≤【答案】B【分析】根据特称命题的否定的概念判断即可.【详解】命题“000[0,),cos 0x x x ∃∈+∞+>”的否定是“[0,),cos 0x x x ∀∈+∞+≤”，故选：B2．已知函数()21f x +的定义域为[]12-，，则函数()1f x y x =+的定义域为（）A ．{}|12x x -<≤B ．{}|15x x -<≤C ．1|12x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭D ．{|15}x x -≤≤【答案】B【分析】根据抽象函数的定义域可得()f x 的定义域为[]1,5-，进而可求解.【详解】()21f x +的定义域为[]12-，，所以[][]12,2115x x ∈-∴+∈-，，，因此()f x 的定义域为[]1,5-，所以()1f x y x =+的定义域满足15,10x x -≤≤+≠，即15,x -<≤故选：B3．函数3()log (1)6f x x x =-+-的零点所在的区间是（）A ．()2,3B ．()3,4C ．()4,5D ．()5,6【答案】C【分析】先判断函数的单调性，再根据零点存在定理将端点值代入，即可判断零点所在区间.【详解】因为3log (1)y x =-和6y x =-均为增函数，所以3()log (1)6f x x x =-+-为定义域上的增函数，又因为(2)40f =-<，3(3)log 230f =-<，(4)10f =-<，3(5)log 410f =->，()36log 50f =>，根据零点存在定理可知()f x 的零点在区间()4,5内，4．设0.1135π3,log π,cos3a b c ===，则（）A ．c b a <<B ．c a b<<C ．a b c<<D ．b c a<<【答案】D【分析】利用指数函数、对数函数和三角函数的图像和性质分别和0和1比较大小即可.【详解】因为0.131a =>，13log π0b =<，5πππcoscos 2πcos 333c ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭01c <<，所以b c a <<，故选：D5．已知幂函数()22133mm y m m x+-=--在（0，+∞）上单调递减，则m 的值为（）A ．1-B ．4C ．1-或4D ．1或-4【答案】A【分析】根据幂函数的定义以及幂函数的单调性即可求解.【详解】由题意可知：2331m m --=且210m m +-<，所以解得1m =-故选：A6．已知π1cos 64θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则5πcos 6θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A．BC ．14-D ．14【答案】D【分析】由π5ππ66θθ⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得5πππ66θθ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，然后利用诱导公式计算即可.【详解】因为π5ππ66θθ⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以5πππ66θθ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，所以5πππcos cos πcos π666θθθ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=--+⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎣⎦ππ11cos πcos 6644θθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+=--= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：D.7．已知函数()13,02,0x x f x xx x ⎧+->⎪=⎨⎪+≤⎩，则方程()30xf x --=的解的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【分析】将方程()30xf x --=的解的个数转化为函数(),()3xy f x g x -==的图象的交点个数问题，数形结合，可得答案.【详解】由题意可知方程()30xf x --=的解的个数即为函数(),()3xy f x g x -==的图象的交点个数，作出函数(),()3xy f x g x -==的图象，如图：由图象知(),()3xy f x g x -==的图象有3个交点，故方程()30xf x --=的解的个数是3，故选：D8．设函数()()0y f x x =≠，对于任意负数()1212,x x x x ≠，都()()222112120x f x x f x x x -<-.已知函数()1y f x =+的图象关于=1x -对称，若()24f =，则()2f x x ≤的解集为（）A ．0]20)2[(⋃-，，B ．](0]22∞⋃(-，-，C ．]22)[∞⋃+∞(-，-，D ．[20)2)[⋃+∞﹣，，【答案】A【分析】根据所给的条件可得()2f x x 为(),0∞-上的单调递减，由()1y f x =+的对称性可知()f x 为偶函数，进而得因此()()2f x g x x=为偶函数，且()g x 在(),0∞-，在()0,∞+单调递增，即可求解.【详解】不妨设120x x <<，由()()222112120x f x x f x x x -<-得()()2221120x f x x f x ->，由于12220,0x x >>，所以()()1222120f x f x x x ->，因此函数()2f x x 为(),0∞-上的单调递减函数，又()1y f x =+的图象关于=1x -对称，所以()f x 为偶函数，因此()()2f x g x x=为偶函数，且()g x 在(),0∞-单调递减，在()0,∞+单调递增，()()2214f g ==，()2f x x ≤等价于()()21f x g x x =≤，因此02x <≤时，()1g x ≤，当20x -≤<时，()1g x ≤，因此不等式的解为0]20)2[(⋃-，，，故选：A二、多选题9．若0a b >>，0c <,则下列不等式成立的是（）A ．b b ca a c+<+B ．c ca b>C ．11a b b a+>+D ．11a b a b+>+【答案】BC【分析】举反例可判断A,D ,根据不等式的性质可分别判断B,C .【详解】对于A,取3,1,2a b c ===-，满足0a b >>，0c <,但11131b bc a a c +-=>==-+，故A 错误；对于B,因为0a b >>，所以110a b<<，又0c <，故c ca b>，B 正确；对于C,因为0a b >>，所以110b a>>，故110a b b a +>+>，C 正确；对于D,取11,2a b ==满足0a b >>，但11522a b a b +=<+=，D 错误，故选：BC 10．sin tan cos 2sin cos tan x xx y x x x=+-的值可能是（）A ．2B ．3C ．4-D ． 0【答案】ACD【分析】根据x 的不同取值去绝对值即可求解.【详解】当x 是第一象限角时，sin ,cos ,tan x x x 均大于0，sin cos tan 22sin cos tan x x xy x x x=+-=；当x 是第二象限角时，sin x 大于0，cos ,tan x x 小于0，sin cos tan 22sin cos tan x x xy x x x =-+=；当x 是第三象限角时，sin ,cos x x 小于0，tan x 大于0，sin cos tan 24sin cos tan x x xy x x x=---=-；当x 是第四象限角时，sin ,tan x x 小于0，cos x 大于0，sin cos tan 20sin cos tan x x xy x x x=-++=；故选：ACD11．下列说法错误的是（）A．函数2y x =+的值域是[)2,+∞B ．设函数()421xf x x-=+，则()12f x --为奇函数C ．已知函数()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞ 的偶函数，()21f -=，且当0x >时，()|1|=--f x a x ，则(5)2f =-D ．已知()f x 是定义在[]2,2﹣上的减函数，且(43)(2)f a f a -<-，则实数a 的取值范围是1(,)3+∞【答案】BD【分析】根据函数的单调性求值域，判断A;根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，判断B;根据偶函数性质求得a 的值，继而求得(5)f ，判断C ；根据函数单调性解不等式，判断D.【详解】A:对于函数2y x =[1,)+∞，由于2,y x y ==[1,)+∞递增，故2y x =+[1,)+∞递增，故2y x =22=，即值域为[)2,+∞，A 正确；B:函数()421xf x x-=+，则设()()12g x f x =--，故()42(1)624,011x g x x x x --=-=-≠+-，而()64()g x g x x-=-≠--，故()12f x --不为奇函数，B 错误；C ，函数()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞ 的偶函数，()21f -=，则()()221f f =-=，又当0x >时，()|1|=--f x a x ，故(2)11,2f a a =-=∴=，故|5()|2125f =--=-，C 正确；对于D,()f x 是定义在[]2,2-上的减函数，且(43)(2)f a f a -<-,故43243222a a a a ->-⎧⎪-≤⎨⎪-≥-⎩，解得1534a <≤，D 错误，故选：BD12．()ln ln 2f x x x =+-，x 的方程()()210f x k f x +⋅+=⎡⎤⎣⎦，下列叙述中正确的是（）A ．当2k =-时，方程()()210f x k f x +⋅+=⎡⎤⎣⎦恰有3个不同的实数根B ．当52k =-时，方程()()210f x k f x +⋅+=⎡⎤⎣⎦恰有4不同的实数根C ．该方程()()210f x k f x +⋅+=⎡⎤⎣⎦最多有8个不同的实数根D ．无论k 取何值，方程()()210f x k f x +⋅+=⎡⎤⎣⎦都不可能有6个不同的实数根【答案】BCD【分析】作出()ln ln 2f x x x =+-的图像，根据方程()()210f x k f x +⋅+=⎡⎤⎣⎦不同的解讨论与()f x 的交点个数即可.【详解】()ln()ln(2),0ln ln 2ln ln(2),02ln ln(2),2x x x f x x x x x x x x x -+-<⎧⎪=+-=+-<<⎨⎪+->⎩，又对数函数的图像和性质可得()f x的大致图像如图所示：当2k =-时，由方程()()2210f x f x ⎡⎤-+=⎣⎦解得()1f x =，由()f x 图像可知()1f x =有两个不同的实数根，即方程()()2210f x f x ⎡⎤-+=⎣⎦有两个不同的实数根，A 错误；当52k =-时，由方程()()20521f x f x ⎡⎦-⎤+=⎣解得()2f x =或12，由()f x 图像可知()2f x =有两个不同的实数根，1()2f x =有两个不同的实数根，所以方程()()20521f x f x ⎡⎦-⎤+=⎣有四个不同的实数根，B 正确；对于任意R k ∈，令()f x t =，则方程210t kt ++=有解时，2k ≤-或2k ≥，设解为12,t t ，由韦达定理得1210t t =>，当2k =-，即121t t ==时，由()f x 图像可知有2个实数根；当2k =，即121t t ==-时，由()f x 图像可知有4个实数根；当2k <-，有12t t ≠且均大于0时，由()f x 图像可知有4个实数根；当2k >，有12t t ≠且均小于0时，由()f x 图像可知有8个实数根；故方程()()210f x k f x +⋅+=⎡⎤⎣⎦最多有8个不同的实数根，无论k 取何值都不可能有6个不同的实数根，故选：BCD【点睛】关键点点睛：由()()210f x k f x +⋅+=⎡⎤⎣⎦求出()f x 的值，并判断该值的范围，再结合()f x 的图像分析求解是解题关键.三、填空题13．已知角α的终边上有一点(1,3)-，则sin α=______.【答案】【分析】由三角函数的定义求解即可.【详解】依题意sin 10α==-，故答案为：14．已知集合2{|320,R}A x x x x =-+=∈，{|08,N}B x x x =<<∈，则满足条件A C B ≠⊆⊂的集合C 的个数为_____个.【答案】31【分析】根据A C B ⊆Ü得C 是{}3,4,5,6,7的真子集，根据子集个数即可求解.【详解】集合{}2{|320,R}1,2A x x x x =-+=∈=，{}{|08,N}1,2,3,4,5,6,7B x x x =<<∈=，由A C B ≠⊆⊂得{}{}1,21,2,3,4,5,6,7C ≠⊆⊂,所以C 是{}3,4,5,6,7的真子集故有52131-=，故答案为：3115．“0x ∃>，使得24xa x x ≤++成立”的一个充分不必要条件可以是_____.（写出满足题意的一个即可）【答案】1,5a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭（答案不唯一）【分析】先利用已知条件求出充要条件，再找出一个充分不必要条件.【详解】“0x ∃>，使得24xa x x ≤++成立”的充要条件是：2max4x a x x ⎛⎫≤ ⎪++⎝⎭，因为0x >，所以2114451x y x x x x ==≤++++，当且仅当42x x x=⇒=时等号成立，故“0x ∃>，使得24xa x x ≤++成立”的充要条件是：15a ≤，所以“0x ∃>，使得24xa x x ≤++成立”的一个充分不必要条件可以是：15a <，即1,5a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭.16．函数()2ln 12y a x x ⎡⎤=-++⎣⎦的值域为R ，则实数a 的取值范围为_____.【答案】918a ≤≤【分析】由对数函数的图像可知(0,+)∞是()212y a x x =-++值域的子集，当1a =时显然成立，当1a ≠时，由二次函数的图像解a 的取值范围即可.【详解】由函数()2ln 12y a x x ⎡⎤=-++⎣⎦的值域为R 及对数函数的图像和性质可得，(0,+)∞是()212y a x x =-++值域的子集，当10a -=即1a =时，()212y a x x =-++的值域为R ，显然成立；当10a -≠即1a ≠时，二次函数的对称轴为122x a=-，所以由一元二次函数的图像可得()210111202222a a a a ->⎧⎪⎨⎛⎫-++≤ ⎪⎪--⎝⎭⎩，解得918a <≤，.综上918a ≤≤，故答案为：918a ≤≤四、解答题17．求解下列小题.(1)计算：5132log 202313)0.25log 516π-⎛⎫--+-+ ⎪⎝⎭(2)已知3π2sin cos 22πθθ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求2sin 2sin cos θθθ+的值.【答案】(1)11(2)85【分析】（1）直接根据指数和对数的运算性质计算即可；（2）先利用诱导公式变形得到tan θ，然后将目标式转化为用tan θ表示，再代入tan θ的值即可.【详解】（1）5132log 202313π)0.25log 5163-⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭223413314log 1264913⎛⎫⎛⎫=-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7318121144⎛⎫=-+--+= ⎪⎝⎭（2）由3π2sin cos 22πθθ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得2cos sin θθ-=-，tan 2θ∴=，222222sin 2sin cos tan 2tan 448sin 2sin cos sin cos tan 1415θθθθθθθθθθθ+++∴+====+++18．（1）已知一个扇形周长为10cm ，求该扇形的圆心角为多少时，扇形的面积最大？最大值是多少？（2）已知关于x 的方程21204x bx ++=的两个实根为sin θ和cos θ，且π,π4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求b 的值和sin cos θθ-的值【答案】（1）扇形的圆心角为2时，扇形的面积最大，最大值是254（2）b =sin cos 2θθ-=.【分析】（1）由题意设扇形的半径和弧长分别为：,r l ，可得210r l +=，扇形面积11224S rl l r ==⨯⨯，再由基本不等式求解最大值，再利用lrα=即可.（2）写出韦达定理以及判断根的关系式，利用同角三角函数关系式求解b ，在用完全平方关系及角的范围求出sin cos θθ-.【详解】（1）设扇形的半径和弧长分别为：,r l ，由题意可得：210r l +=，所以扇形面积为：2211121102522442424l r S rl l r +⎛⎫⎛⎫==⨯⨯≤⨯=⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当25l r ==，即55,2l r ==时，扇形的面积最大，此时圆心角为：5252l r α===，所以扇形的圆心角为2时，扇形的面积最大，最大值是254.（2）由方程21204x bx ++=的两个实根为sin θ和cos θ，所以22Δ420sin cos 21sin cos 8b ac b b θθθθ⎧⎪=-=-≥⎪⎪+=-⎨⎪⎪⋅=⎪⎩由22sin cos 1θθ+=，即()2sin cos 2sin cos 1θθθθ+-⋅=，即212128b ⎛⎫--⨯= ⎪⎝⎭，解得：25b b =⇒=由220b b -≥⇒≤b ≥又1sin cos 0,8θθ⋅=>π,π4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ,42θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin cos 002bb θθ+=->⇒<，所以b =ππ,42θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin cos sin cos 0θθθθ>⇒->，由()222sin cos sin cos 2sin cos θθθθθθ-=+-12sin cos θθ=-，所以sin cos2θθ-=.19．（1）解不等式：()2232240x m x m m++++≤（2）已知集合3|01xA xx-⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，对于任意的集合A中的每一个元素，()2220x m x m-+++≥恒成立，求m的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）2m≤【分析】（1）先变形得到()()220x m x m+++≤，再通过讨论2m-和2m--的大小来解不等式；（2）先求出集合A中的元素范围，再根据问题恒成立结合二次函数的性质列不等式求解.【详解】（1）()2232240x m x m m++++≤()()220x m x m∴+++≤，令()()220x m x m+++=得2x m=-或2x m=--当22m m-=--，即2m=时，4x=-，当22m m->--，即2m<时，22m x m--≤≤-，当22m m-<--，即m>2时，22m x m-≤≤--，综上：当2m=时，不等式的解集为{}4-，当2m<时，不等式的解集为[]2,2m m---，当m>2时，不等式的解集为[]2,2m m---.（2）()()(]3103|0|1,3110x xxA x xx x⎧⎫⎧--≤-⎪⎪⎧⎫=≤==⎨⎬⎨⎨⎬--≠⎩⎭⎪⎪⎩⎩⎭，因为对于任意的集合A中的每一个元素，()2220x m x m-+++≥恒成立，则()()22420m m∆=+-+≤或()()()()2Δ2420221322122092320m mm mm mm m⎧=+-+>⎪++⎪⎪⎨⎪-+++≥⎪⎪-+++≥⎩或，解得2m≤20．大罗山位于温州市区东南部，由四景一水构成，它们分别是：仙岩景区､瑶溪景区､天桂寺景区､茶山景区和三烊湿地.某开发商计划2023年在三烊湿地景区开发新的游玩项目，全年需投入固定成本400万元，若该项目在2023年有x 万名游客，则需另投入成本()R x 万元，且()250,05,40200,520,160081850,20,x R x x x x x x x ⎧⎪<≤⎪=++<≤⎨⎪⎪+->⎩该游玩项目的每张门票售价为80元.(1)求2023年该项目的利润()W x （万元）关于游客数量x （万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）.(2)当2023年游客数量为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)答案见解析(2)游客为40万人时利润最大，最大为370万．【分析】（1）根据年利润等于年销售额减去固定成本和另投入成本，分段求出利润()W x （万元）关于人数x （万人）的函数关系式．（2）根据（1）中求出的利润()W x 的解析式，分别利用二次函数、一次函数的性质和基本不等式求出每段上的最大值，取三者中较大的利润值，即为年企业最大利润．【详解】（1）解：由题意可得，28040050,05,()80400(40200),520160080400(81850),20x x W x x x x x x x x x ⎧⎪--<≤⎪=--++<≤⎨⎪⎪--+->⎩即280450,05,()40200,520,1600450,20x x W x x x x x x x ⎧⎪-<≤⎪=-+-<≤⎨⎪⎪--+>⋅⎩（2）解：当05x <≤时，()(5)W x W ≤50=-；当520x <≤时，()(20)200W x W ≤=；当20x >时，由基本不等式知160080x x +≥，当且仅当1600x x=即40x =时等号成立，故max ()80450370W x =-+=，综上，游客为40万人时利润最大，最大为370万．21．已知函数()112x f x g -⎛⎫=- ⎪⎝⎭是指数函数，且1 5.2g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(1)解不等式()9g x >；(2)求()()()()11110.10.20.30.9g g g g +++ 的值.【答案】(1)(,1)-∞-；(2)92.【分析】（1）待定系数法求出()2x f x =，换元法求出12()21x g x -=+，然后求解指数不等式即可得到；（2）先证明111()(1)g x g x +=-，又()110.52g =，所以可得()()()()111119140.10.20.30.922g g g g ++++=⨯+= .【详解】（1）设()x f x a =（0a >且1a ≠），令1122x -=-，可得2x =，因为152g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以12(2)12f g -⎛⎫=- ⎪⎝⎭1142g ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，从而24a =，解得2a =．所以()2x f x =，即1122x x g -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，于是有1212x x g -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令12x t -=，得12x t =-，所以12()21t g t -=+，因此12()21x g x -=+．则不等式()9g x >化为12219x -+>，即123282x ->=，根据2x y =单调递增，有123x ->解得1x <-，所以不等式()9g x >的解集为(,1)-∞-．（2）由（1）知，12()21x g x -=+.则1212(1)1111()(1)2121x x g x g x ---+=+-++1221112121x x --=+++2121212111221x x x ---=+=++，所以11(0.1)(0.9)g g +11(0.2)(0.8)g g =+11(0.3)(0.7)g g =+111(0.4)(0.6)g g =+=，又()120.50.5212g -⨯=+=，所以()110.52g =.所以()()()()111119140.10.20.30.922g g g g ++++=⨯+= .22．已知函数()f x 定义域为R ，且函数()f x 同时满足下列3个条件：①对任意的实数,x y ，()()()2f x y f x f y +=++恒成立；②当0x >时，()2f x <-；③()13f =.(1)求()0f 及()1f -的值；(2)求证：函数()2y f x =+既是R 上的奇函数，同时又是R 上的减函数；(3)若21321222t f t f ⎛⎫⎛⎫--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求实数t 的取值范围.【答案】(1)(0)2f =-，(1)7f -=-(2)证明见解析(3)(3t ∈【分析】（1）分别令0x y ==和1,1x y ==-即可求解；（2）由奇偶性和单调性的定义求解即可；（3）利用（2）中结论和条件①将21321222t f t f ⎛⎫⎛⎫--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭变形为()21322g t g t ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，利用()g x 单调性求解即可.【详解】（1）当0x y ==时，由题意得(00)(0)(0)2f f f +=++，解得(0)2f =-，当1,1x y ==-时，由题意(11)(1)(1)2f f f -=+-+，解得(1)7f -=-.（2）令()()2g x f x =+，则(0)(0)20g f =+=，任取x ∈R ，则()()()()4()20g x g x f x f x f x x +-=+-+=-+=，即()()g x g x =--，所以函数()2y f x =+是R 上的奇函数；任取12R x x >∈，则12121212()()()()()()()2g x g x f x f x f x f x f x x -=-=+-=--，因为12R x x >∈，所以120x x ->，由②知12()2f x x -<-，所以12()()0g x g x -<，即12()()<g x g x ，所以函数()2y f x =+是R 上的减函数.（3）因为()()()2f x y f x f y +=++，令x y =可得(2)2()2f x f x =+，所以()3322122t f t f ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，又因为21321222t f t f ⎛⎫⎛⎫--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()21322f t f t ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，所以()2123222f t f t ⎛⎫+>-+ ⎪⎝⎭，即()21322g t g t ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，由（2）可知()g x 是R 上的减函数，所以21322t t <-，解得(3t ∈.。

重庆市部分区2022-2023学年高一上学期期末联考数学试题(含解析)

重庆市部分区2022～2023学年度第一学期期末联考高一数学试题卷1.已知集合{}1,0,1A =-注意事项：1．考试时间：120分钟，满分：150分．2．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效．3．需要填涂的地方，一律用2B 铅笔涂满涂黑．需要书写的地方一律用0.5mm 签字笔．4．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．，{}210B x x =-<，则A B ⋃=（）A.{}11x x -≤≤ B.{}11x x -<< C.{}1,0,1- D.{}0【答案】A 【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法求出集合B ，结合并集的概念与运算即可求解.【详解】由题意知，{}21,0,1,{10}{11}A B x x x x =-=-<=-<<，所以{}11A B x x ⋃=-≤≤.故选：A.2.下列命题为真命题的是（）A.若0a b >>，则22ac bc >B.若0a b <<，则22a b <C .若a b >，则a c b c->- D.若0a b <<，则11a b<【答案】C 【解析】【分析】举例说明即可判断选项ABD ，根据不等式的性质即可判断C.【详解】A ：若0a b >>，当0c =时，22ac bc =，故A 错误；B ：若1,0.1a b =-=-，有22(1)(0.1)->-，不满足22a b <，故B 错误；C ：若a b >，则()()a c b c +->+-，即a c b c ->-，故C 正确；D ：若2,1a b =-=-，有112->-，不满足11a b <，故D 错误.故选：C.3.命题“0x ∀>，lg 1x x ≤-”的否定是（）A.0x ∃>，lg 1x x >-B.0x ∃≤，lg 1x x >-C.0x ∀>，lg 1x x >-D.0x ∀≤，lg 1x x >-【答案】A 【解析】【分析】直接根据全称命题的否定是特称命题得到答案.【详解】命题“0x ∀>，lg 1x x ≤-”的否定是：0x ∃>，lg 1x x >-.故选：A 4.函数()()21lg 12x f x x x =+--的定义域是（）A.12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭B.{}1x x >C.12x x ⎧≥-⎨⎩且}2x ≠ D.{1x x >且}2x ≠【答案】D 【解析】【分析】根据函数定义域得到不等式，解得答案.【详解】()()lg 12f x x x =+--定义域满足2102010x x x +≥⎧⎪-≠⎨⎪->⎩，解得1x >且2x ≠.故选：D.5.2022πsin 9⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.32B. C.12D.12-【答案】B 【解析】【分析】直接利用诱导公式计算得到答案.【详解】2022πππ3sin sin 225πsin 9332⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B6.角α的终边与单位圆O 相交于点P ，且点P 的横坐标为35的值为（）A.35B.35-C.45D.45-【答案】A 【解析】【分析】利用三角函数定义以及同角三角函数之间的平方关系即可得出结果.【详解】根据三角函数定义可知3cos 5α=，又22sin cos 1αα+=53cos α==.故选：A7.函数223,0()(1),0x x x f x f x x ⎧-+<=⎨-≥⎩，则()2f =（）A.3 B.2C.6D.5【答案】C 【解析】【分析】直接根据分段函数解析式，代入计算即可．【详解】由分段函数解析式得，2(2)(1)(0)(1)(1)2(1)36f f f f ===-=--⨯-+=，故选：C ．8.若正实数x ，y 满足280x y xy +-=，则2x y+的最大值为（）A.25B.16 C.37D.19【答案】D 【解析】【分析】根据等式计算得出1，再结合常值代换求和的最值，计算可得最大值.【详解】280,0,280,1,x y x y xy y x>>+-=∴+=()28==82182801x y x y x y y x x y ⎛⎫+++++≥+= ⎪⎝⎭+,221=189x y ∴≤+.故选:D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.已知函数()224f x x x =+-的零点所在的区间是（）A.()2,0- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,2【答案】AD 【解析】【分析】确定函数有两个零点，计算()20f ->，()00f <，()10f <，()20f >，得到答案.【详解】()224f x x x =+-，132330∆=+=>，故函数有两个零点，()282420f -=--=>，()040f =-<，故()2,0-上有零点；()121410f =+-=-<，()282460f =+-=>，故()1,2上有零点；故零点所在的区间为()2,0-，()1,2.故选：AD10.设x ∈R ，则2x <的一个必要不充分条件可能是（）A.3x <-B.3x < C.<4x - D.4x <【答案】BD 【解析】【分析】由必要不充分条件的定义逐一判断，找出能使{}|2x x <是其真子集的范围即可.【详解】根据题意可知，{}|2x x <需满足是该条件范围的真子集，经逐一检验可知BD 符合题意.故选：BD11.已知()0,πθ∈，1sin cos 5θθ+=-，则下列结论正确的是（）A.θ为第二象限角B.4cos 5θ=-C.4tan 3θ=-D.2164sin cos 2cos 5θθθ-=-【答案】ABD 【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系计算求解即可判断各选项.【详解】由同角三角函数平分关系可得，221sin cos 5sin cos 1θθθθ⎧+=-⎪⎨⎪+=⎩，因为()0,πθ∈，所以sin 0θ>，解得3sin 5θ=，4cos 5θ=-,因为4cos 05θ=-<，所以θ是第二象限角，故选项A ，B 正确，有同角三角函数商数关系可得，sin 3tan cos 4θθθ==-，故选项C 错误，因为222224sin cos 2cos 4tan 2164sin cos 2cos sin cos tan 15θθθθθθθθθθ---===-++，故选项D 正确.故选：ABD .12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]3.54-=-，[]2.12=．已知函数()e 312ex xf x -=+，则关于函数()()g x f x =⎡⎤⎣⎦的叙述中不正确的是（）A.()g x 是R 上的增函数B.()10g =C.()g x 的值域是{}2,1,0,1-- D.()g x 的值域是{}3,2,1,0---【答案】ABC 【解析】【分析】举反例得到ABC 错误，变换()()172212e x f x =-+，确定()13,2f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，得到答案.【详解】对选项A ：()()20013g f ⎡⎤⎡⎤==-=-⎣⎦⎢⎥⎣⎦，()()e 311112e g f -⎡⎤⎡⎤===-⎣⎦⎢⎥+⎣⎦，()()01g g =，错误；对选项B ：()()e 311112e g f -⎡⎤⎡⎤===-⎣⎦⎢⎥+⎣⎦，错误；对选项C ：()()17ln 6ln 638g f ⎡⎤⎡⎤-=-=-=-⎣⎦⎢⎥⎣⎦，错误；对选项D ：()()e 31712e 2212e x x xf x -==-++，()12e 1,x +∈+∞，()13,2f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()g x 的值域是{}3,2,1,0---，正确；故选：ABC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知幂函数()y f x =的图像经过A 和(4,)B k ，则k =______．【答案】2【解析】【分析】设()a f x x =，结合()f x经过A ，求出a ，再将(4,)B k 代入，即可求解．【详解】设()a f x x =，由()f x经过A，则3a =，解得12a =，所以12()f x x =，则1242k ===，故答案为：2．14.已知扇形的圆心角为4π，弧长为π，则扇形的面积为___．【答案】2π【解析】【分析】根据扇形的弧长公式求出半径，再计算扇形的面积．【详解】扇形的圆心角为4π，弧长为π，则扇形的半径为r 4l ππα===4，面积为S 12=lr 12=⨯π×4＝2π．故答案为2π．【点睛】本题考查了扇形的弧长与面积的计算问题，是基础题．15.不等式21208kx kx -+>对一切实数x 都成立，则k 的取值范围是______．【答案】01k ≤<【解析】【分析】分类0k =和0k ≠两种情况讨论，对0k ≠时，利用二次函数的图像进行分析求解．【详解】当0k =时，108>，成立；当0k ≠时，一元二次不等式21208kx kx -+>对一切实数x 都成立，则2201Δ4208k k k >⎧⎪⎨=-⨯⨯<⎪⎩，解得001k k >⎧⎨<<⎩，即01k <<；综上所述，k 的取值范围是01k ≤<，故答案为：01k ≤<．16.已知函数()f x 是定义在[]13,1a a -+上的偶函数，则a 的值为______；当01x a ≤≤+时，()212f x x x =-，若()21log 2f m >，则m 的取值范围是______．【答案】①.1②.(]11,2,442⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】由偶函数定义域关于原点对称可得1a =，由偶函数性质利用换元法解不等式即可得22log 1m -≤-<或21log 2m ≤<，可求出m 的取值范围是(]11,2,442⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【详解】依题意可知1310a a -++=，解得1a =；即当02x ≤≤时，()212f x x x =-，解不等式()21122f x x x =->可得1x >或12x <-，又因为02x ≤≤，可得12x <≤，当20x -≤<时，02x <-≤可得()()()()221122f x f x x x x x =-=---=+,解不等式()21122f x x x =+>可得12x >或1x <-，又因为20x -≤<,可得21x -≤<-；所以()21log 2f m >可得22log 1m -≤-<或21log 2m ≤<，解得1142m ≤<或24m <≤，即m 的取值范围是(]11,2,442⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：1；(]11,2,442⎡⎫⎪⎢⎣⎭四、解答题：本题共有6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算：（1(113837272-⎛⎫⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）3log 229log 2lg5lg 43log 3++-+．【答案】（1）π（2）2【解析】【分析】（1）利用实数指数幂的运算性质计算即可；（2）利用对数的运算性质计算即可．【小问1详解】原式133222211πππ3333⎡⎤⎛⎫=++--=+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．【小问2详解】原式312229log 22lg 52lg 22log 9=++-+()312lg5lg 2222=++-+312lg10222=+-+3122222=+-+=．18.已知U =R ，集合{}2230A x x x =-->，{}23100B x x x =-++>，求：（1）A B ⋂；（2）()U A B ⋂ð．【答案】（1）{21A B x x ⋂=-<<-或}35x <<（2）(){2U A B x x ⋂=≤-ð或}5x ≥【解析】【分析】（1）解一元二次不等式即可得集合,A B ，利用交集运算法则可得{21A B x x ⋂=-<<-或}35x <<；（2）求出{2U B x x =≤-ð或}5x ≥，即可得()U A B ð【小问1详解】易知()(){}{3103A x x x x x =-+>=>或}1x <-，又{}{}2310025B x x x x x =-++>=-<<；{21A B x x ⋂=-<<-或}35x <<【小问2详解】由（1）可知{2U B x x =≤-ð或}5x ≥，因此可得(){2U A B x x ⋂=≤-ð或}5x ≥19.已知角α满足______．请从下列三个条件中任选一个作答．（注：如果多个条件分别作答，按第一个解答计分）．条件①：角α的终边与单位圆的交点为3,5M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭；条件②：角α满足3sin 5α=；条件③：角α满足2217sin 8cos 1αα-=．（1）求tan α的值；（2）求2sin cos sin 1ααα-+的值．【答案】（1）3tan 4α=±（2）3tan 4α=时，原式2825=；3tan 4α=-时，原式425=；【解析】【分析】（1）利用三角函数定义以及同角三角函数的平方关系即可解得3tan 4α=±；（2）将分母看成“1”，将表达式化为只含有tan α的式子代入计算即可求得结果.【小问1详解】条件①：因为角α的终边与单位圆的交点为3,5M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得22315x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，45x =±，由三角函数的定义可得3tan 4α=±条件②：因为角α满足3sin 5α=，又因为22sin cos 1αα+=，即可得216cos 25α=所以4cos 5α=±，可得3tan 4α=±条件③：因为角α满足2217sin 8cos 1αα-=，又因为22sin cos 1αα+=，即22228co 1s sin cos 7sin αααα-=+，可得2216sin 9cos αα=又2cos 0α≠，∴29tan 16α=，即3tan 4α=±【小问2详解】易知2222222s i cos sin 11sin c i os n ααααααααααααα-+-++-+==+2222sin tan si cos cos 1c n ta s n o 1ααααααα+++=+=由（1）可知：3tan 4α=±，当3tan 4α=时，原式231tan 2849tan 1251161α+===+++；当3tan 4α=-时，原式231tan 449tan 1251161α-+===+++.20.已知函数24()x f x x+=．（1）判断()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）判断()f x 在()2,+∞上的单调性，并用定义证明；（3）求()f x 在[]4,2--上的值域．【答案】（1）奇函数，理由见解析（2）()f x 在()2,+∞上为增函数，证明见解析（3）[]5,4--【解析】【分析】（1）根据奇偶性的定义，求出定义域，代入()f x -即可得出判断；（2）直接根据单调性定义证明即可；（3）结合()f x 的奇偶性与单调性，即可求出在[]4,2--上的值域．【小问1详解】函数()f x 是奇函数．()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞U ，关于原点对称，因为()()()2244x x f x f x x x-++-==-=--，所以()f x 在()(),00,∞-+∞U 上是奇函数．【小问2详解】()f x 在()2,+∞上为增函数；证明：任取122x x >>，则()()2212121244x x f x f x x x ++-=-()()2212211244x x x x x x +-+=221222111244x x x x x x x x +--=()()()()1212211212121244x x x x x x x x x x x x x x -+---==，因为122x x >>，所以120x x >，120x x ->，1240x x ->，则()()120f x f x ->，即()()12f x f x >．故()f x 在()2,+∞上为增函数．【小问3详解】结合（1）（2）知()f x 在(,2]-∞-上为增函数，即()f x 在[]4,2--上为增函数，当4x =-时，()f x 取得最小值，且最小值为()164454f +-==--当2x =-时，()f x 取得最大值，且最大值为()44242f +-==--故()f x 在[]4,2--的值域为[]5,4--．21.2022年10月16日上午，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂开幕．二十大报告提出，全面推进乡村振兴，坚持农业农村优先发展，巩固拓展脱贫攻坚成果．某地政府为深入推进乡村振兴，决定调整产业结构．该地区现有260户农民，且都从事水果种植，平均每户的年收入为3.5万元．为增加农民收入，当地政府决定动员部分农民从事水果加工．据测算，若动员()0x x >户农民只从事水果加工，剩下的只从事水果种植，则从事水果加工的农民平均每户收入将为()193.50130x a a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭万元，而从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高5x %．（1）若动员x 户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求x 的取值范围；（2）在（1）的条件下，要使这260户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求a 的最大值．【答案】（1）(]0,240（2）22【解析】【分析】（1）依题意列出不等式，解一元二次不等式即可求得x 的取值范围为(]0,240；（2）化简表达式并利用基本不等式即可求出a 的最大值为22.【小问1详解】根据题意可知，需满足()()260 3.515% 3.5260x x -⨯⨯+⨯≥，化简为22400x x -≤，解得0240x <≤，故x 的取值范围为(]0,240【小问2详解】由题意得()()193.5260 3.515%130x a x x x ⎛⎫-≤-⨯⨯+ ⎪⎝⎭整理可得2602512260x a x ≤++，因为2602510260x x +≥=，当且仅当52x =时，取到最小值10；所以22a ≤，即a 的最大值为2222.已知函数()()()10,1x x f x a m a a a -=+->≠是奇函数，且过点31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭．（1）求实数m 和a 的值；（2）设()()()22log 220,1x x t g x tf x t t -⎡⎤=+->≠⎣⎦，是否存在正实数t ，使关于x 的不等式()0g x ≤对[]21,log 3x ∈恒成立，若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2m =，2a =（2）存在，()0,1t ∈【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质可求得2m =，从而可得解；（2）由（1）可得()()()22log 22220,1x x x x t g x t t t --⎡⎤=+-->≠⎣⎦，再用整体换元思想将函数转化为二次函数，再分类讨论，讨论01t <<时和若1t >时函数的单调性，从而可解决函数()0g x ≤在[]21,log 3上恒成立问题.【小问1详解】因为()f x 是定义域为R 的奇函数，∴()00f =，∴2m =，检验符合.∴()x x f x a a -=-．又因为()f x 过点31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴()1312f aa --=-=-，∴2a =【小问2详解】由（1）得()22x x f x -=-，()()()22log 22220,1x x x x t g x t t t --⎡⎤=+-->≠⎣⎦因为[]21,log 3x ∈，令22x x k -=-，∴38,23k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，记()22h k k tk =-+，∵函数()0g x ≤在[]21,log 3上恒成立，∴（ⅰ）若01t <<时，函数()22h k k tk =-+在38,23k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上为增函数，所以()()log t g x h k =为减函数，则需函数()221h k k tk =-+≥恒成立，即210k tk -+≥恒成立．由于对称轴122t k =<，函数()h k 在区间38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，∴302h ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭恒成立，∴39310242h t ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭恒成立，则136t ≤恒成立，故01t <<合题意（ⅱ）若1t >时，则需()2021h k k tk <=-+≤在38,23k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则：①33223170267381243t t h t t t h ⎧⎧≤⎪⎪≤⎪⎪⎪⎪⎛⎫>⇒<⇒∈∅⎨⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎛⎫≥≤⎪⎪ ⎪⎩⎝⎭⎩②2381632233Δ803131268731324t t t t t h t h t ⎧⎧<<<<⎪⎪⎪⎪=-<⎪-<<⎪⎪⎪⇒⇒∈∅⎛⎫⎨⎨≤ ⎪≥⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎪⎪≤≥ ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩③8162333131264180123t t h t t t h ⎧⎧≥≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎛⎫≤⇒≥⇒∈∅⎨⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎛⎫<>⎪⎪ ⎪⎩⎝⎭⎩综上所述：故存在正数()0,1t ∈，使函数()0g x ≤在[]21,log 3上恒成立【点睛】关键点睛：第二小问中，用换元法令22x x k -=-，将复杂函数()g x 转化为二次函数是关键，再利用分类讨论思想解决函数不等式上恒成立的问题，本题考查了函数的奇偶性，整体换元以及分类讨论思想，属于较难题.。

2019-2020学年重庆市九龙坡区高一上学期期末数学试题(解析版)

2019-2020学年重庆市九龙坡区高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{|21},{|41}x A x x B x =-<<=<，则（） A ．A B =∅ B ．{}|20A B x x =-<< C ．{}|2AB x x =>-D ．AB R =【答案】B【解析】化简集合B ，分别求A B ， A B 即可找到答案.【详解】{|41}{|0}x B x x x =<=<，因为{|21}A x x =-<<，所以{}|20A B x x =-<<.故选：B 【点睛】本题主要考查指数不等式和集合的交集、并集运算，同时考查学生的计算能力，属于简单题.2．函数3()log (1)f x x =-的定义域为（） A ．[1,2] B ．(1,2]C ．[1,2)D ．(1,2)【答案】D【解析】根据函数成立列出不等式组1020x x ->⎧⎨->⎩，解不等式组即可.【详解】由题知：1020x x ->⎧⎨->⎩，解得：12x <<.故选：D 【点睛】本题主要考查函数的定义域的求法，需要注意真数大于零，分母不等于零以及偶次方根被开方数大于等于零，属于简单题.3．若10005,1002a b ==，则32=+a b （）A ．0B ．1C ．1-D ．2【答案】B【解析】首先利用指对数互换公式得到1000log 5a =，100log 2b =，再带入计算32a b +即可. 【详解】解：10005a =，1000log 5a =，1002b =，100log 2b =.3210001001010323log 52log 23log 52log 2a b +=+=+lg5lg 2lg101+==.故选：B 【点睛】本题主要考查了指对数的互换，同时考查了对数的运算，熟记公式是解题的关键，属于简单题.4．在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点．下列结论正确的是( ) A ．AB ＝CD ，BC ＝AD B ．AD ＋OD ＝DAC ．AO ＋OD ＝AC ＋CD D ． AB ＋BC ＋CD ＝DA 【答案】C【解析】因为AO ＋OD ＝AD ，AC ＋CD ＝AD ，所以AO ＋OD ＝AC ＋CD .5．三个数220.8,,log 0.8a b c ===之间的大小关系是（）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．c a b <<【答案】D【解析】利用指数函数和对数函数的单调性即可判断,,a b c 的范围，再比较大小即可. 【详解】解：因为200.81<<，所以01a <<，<<，所以b 1<<22log 0.8log 10<=，所以0c <.故c a b <<. 故选：D 【点睛】本题主要考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，熟练掌握函数的单调性为解题的关键，属于简单题. 6．已知2sin()43πα-=，则cos()4πα+的值等于（）A B ．C ．23D ．23-【答案】D【解析】把所求式子中的角变为()442πππαα+=-+，再利用诱导公式即可求出答案. 【详解】解：因为()442πππαα+=-+，所以2cos()cos[()]sin()44243ππππααα+=-+=--=-. 故选：D 【点睛】本题主要考查三角函数中的角变换，同时考查了三角函数的诱导公式，属于简单题. 7．设函数212log (2)(1)()3(1)x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩，则3(6)(log 8)f f -+=（） A ．2 B ．233C ．13D ．53【答案】B【解析】分别计算(6)f -和3(log 8)f 即可. 【详解】解：2(6)2log 85f -=+=. 因为3log 81>，所以33log 81og 8318(log 8)3333l f -==⨯=.所以3823(6)(log 8)533f f -+=+= 故选：B 【点睛】本题主要考查指数和对数的运算，同时考查学生的计算能力，属于简单题.8．把函数2()sin()36f x x π=-图像上所有点的横坐标缩为原来的13倍（纵坐标不变），再把所得图像向左平移4π个单位长度，得到函数()y g x =，则函()g x =（） A ．27()sin()912g x x π=-B ．()sin(2)3g x x π=+C ．7()sin(2)12g x x π=- D ．2()sin()93g x x π=+【答案】B【解析】由题意得：()f x 图像上所有点的横坐标缩为原来的13倍得到解析式为sin(2)6y x π=-，再把所得图像向左平移4π个单位长度得到()sin(2)3g x x π=+.【详解】解：把函数2()sin()36f x x π=-图像上所有点的横坐标缩为原来的13倍，得到：sin(2)6y x π=-.再把所得图像向左平移4π个单位长度，得到()sin[2()]sin(2)463g x x x πππ=+-=+. 故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的伸缩和平移变换，熟练掌握平移变换和伸缩变换是解题的关键，属于简单题.9．函数()y f x =是定义在R 上的增函数，则函数(2)f x -的单调减区间是（） A ．(,2)-∞- B ．(,2)-∞C ．(2,)+∞D ．R【答案】B【解析】首先求出函数2t x =-的单调性，再根据复合函数的性质即可求出函数(2)f x -的单调减区间.【详解】解：令2t x =-，由题知：在区间(,2)-∞，t 为减函数，在区间(2,)+∞，t 为增函数，又因为()y f x =是定义在R 上的增函数，根据复合函数的性质，(2)f x -的单调减区间是(,2)-∞.故选：B 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，同增异减是解题的关键，属于中档题. 10．已知函数2()(1cos 2)(1cos ),f x x x x R =+-∈，则()f x 是（） A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数【答案】D【解析】利用三角函数恒等变换化简()f x 的解析式为1()cos 42f x x =-，再判断周期和奇偶即可得到答案. 【详解】22()(1cos 2)(1cos )(1cos 2)sin f x x x x x =+-=+21cos 21cos 2(1cos 2)22x xx --=+=11cos 41cos 41)224x x+-=-=（. 周期242T ππ==， ()()f x f x -=，()f x 为偶函数.故选：D 【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换和周期及奇偶，化简函数是解题的关键，属于中档题. 11．已知函数()y f x =的定义域为R ,(1)y f x =+为偶函数，对任意12,x x ，当121x x >≥时，()f x 单调递增，则关于a 的不等式(91)(35)a a f f +<-的解集为（） A ．(,1)-∞ B ．3(,log 2)-∞C ．3(1,log 2)D ．(1,)+∞【答案】B【解析】首先根据函数()y f x =的定义域为R ，(1)y f x =+为偶函数，得到函数()y f x =关于1x =对称，根据函数()y f x =在[1,)+∞为增函数，得到函数()y f x =在(,1]-∞为减函数.从而将不等式(91)(35)a a f f +<-等价于911351a a+-<--，解不等式即可. 【详解】解：因为函数()y f x =的定义域为R ，(1)y f x =+为偶函数，所以(1)(1)-+=+f x f x ，得到函数()y f x =关于1x =对称. 因为函数()y f x =在[1,)+∞为增函数，所以函数()y f x =在(,1]-∞为减函数.不等式(91)(35)a af f +<-等价于911351a a+-<--即369369a a a a⇒->->或369a a -<- 令3a t =，(0)t >得到：260t t -+<或260t t +-< 当260t t -+<时，无解. 当260t t +-<时，(3)(2)0t t +-<，解得：2t <，即32a <，3log 2a <. 故选：B 【点睛】本题主要考查了函数的平移，函数的奇偶性和单调性，同时还考查了绝对值不等式的解法，属于难题.12．已知函数[],0()(0),()(1),0x x x f x kx k k g x f x x -≥⎧=+>=⎨+<⎩，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][][]1.22,1.21,11-=-==，若函数()()y f x g x =-恰有5个零点，则k 的取值范围是（）A ．1(0,]6B ．11(,)54C ．11[,)65D ．11[,)76【答案】C【解析】首先画出函数()y g x =的图像并求出函数()f x 恒过的定点.再讲函数()()y f x g x =-恰有5个零点，等价于函数()y f x =与()y g x =恰有5个不同的交点.由图可求出k 的取值范围. 【详解】解：函数()y g x =的图像如图所示：因为()(1)f x kx k k x =+=+，所以函数()f x 恒过(1,0)-点函数()()y f x g x =-恰有5个零点，等价于函数()y f x =与()y g x =恰有5个不同的交点. 由图知：PB PA k k k ≤<，即：1165k ≤<. 故选：C 【点睛】本题主要考查了函数图像的画法，同时考查了函数的零点问题，数形结合是解题的关键，属于难题.二、填空题13．函数y =______. 【答案】[1,1]-【解析】首先求出函数的定义域，再利用换元法得到cos y t =，[0,)t ∈+∞，根据余弦函数的图像即可求出函数的值域. 【详解】定义域为[0,)+∞，t =，cos y t =，[0,)t ∈+∞由余弦函数的图像知：[1,1]y ∈- 故答案为：[1,1]- 【点睛】本题主要考查三角函数的值域问题，同时考查了换元法，熟练掌握余弦函数的图像性质是解题的关键，属于简单题.14．函数3()2x f x a -=+（0a >且1a ≠）的图像恒过定点______. 【答案】(3,3)【解析】根据指数函数恒过定点的性质，令指数幂等于零即可. 【详解】由30x -=，3x =.此时0(0)23f a =+=. 故图像恒过定点(3,3). 故答案为：(3,3) 【点睛】本题主要考查指数函数恒过定点的性质，属于简单题.15．在ABC ∆中，已知D 是AB 边上一点，若22,3DB AD CD CA CB λ==+，则λ=______.【答案】13【解析】根据题意画出图形，结合图形用向量CA 与CB 表示出CD 即可. 【详解】由题知：因为2221()3333CD CB BD CB BA CB CA CB CA CB =+=+=+-=+. 所以13λ=故答案为：13【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算的几何意义，熟练掌握向量的加减法是解题的关键，属于中档题.16．函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，()y g x =是R 上的偶函数，且()(1)g x f x =-，则(2022)f =______.【答案】0【解析】首先根据()y f x =是定义在R 上的奇函数，()y g x =是R 上的偶函数，得到()(2)f x f x =-+，函数()y f x =的周期为4，再利用周期的性质计算(2022)f 即可.【详解】()(1)g x f x =-，()(1)g x f x -=--因为()y g x =是R 上的偶函数，所以(1)(1)f x f x -=--.又因为()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以(1)(1)f x f x -=-+，所以()(2)f x f x =-+，所以函数()y f x =的周期为4.(2022)(2)(0)0f f f ==-=.故答案为：0 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和周期性，通过已知条件得到函数()y f x =的周期为4是解题的关键，属于中档题.三、解答题17．已知集合{}1A x a x =<<，集合{}3log 1B x x =<. （1）当2a =-，求()R A B I ð；（2）若AB A =，求实数a 的取值范围.【答案】（1）3|}1{x x ≤<，（2）0a ≥【解析】（1）化简集合B ，得到{}03B x x =<<，{|1R C A x x =≥或2}x ?，求交集即可.（2）A B A A B ⋂=⇒⊆，分类讨论A =∅和A ≠∅，解不等式即可. 【详解】解：（1）因为333log log 3log 1030x x x x <⎧<⇔⇒<<⎨>⎩，所以{}03B x x =<<.{|1R C A x x =≥或2}x ?，(){|13}R A B x x =≤<I ð.（2）A B A A B ⋂=⇒⊆. 当A =∅时，1a ≥.当A ≠∅时，1010a a a <⎧⇒≤<⎨≥⎩. 综上：0a ≥ 【点睛】本题主要考查了集合的运算，同时考查了子集关系和对数不等式，计算能力是解题的关键，属于简单题.18．已知sin()sin()2()3cos(2)cos()2f ππαααππαα-+-+=-+-+. （1）已知1tan 3α=，求()f α的值；（2）若α的终边在直线2y x =上，求()4f πα+的值.【答案】（1）()2f α=，（2）1()42f πα+=-【解析】（1）化简()f α得到tan 1()1tan f ααα+=-，再带入1tan 3α=计算即可.（2）由题知tan 2α=，再利用两角和正切公式计算出tan()34πα+=-，带入()4f πα+即可. 【详解】（1）sin()sin()2()3cos(2)cos()2f ππαααππαα-+-+=-+-+ 11sin cos tan 1321cos sin 1tan 13αααααα+++====---.（2）因为α的终边在直线2y x =上，所以tan 2α=.tan 1tan 341tan ()πααα++==-- tan()13114()41(3)21tan()4f παπαπα++-++===----+. 【点睛】本题第一问考查三角函数的诱导公式和同角三角函数的关系，第二问考查了正切的两角和公式，熟记公式是解题的关键，属于简单题.19．已知函数()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，当01x ≤≤时，2()f x x x =--. （1）求：10x -≤<时，函数()f x 的解析式；（2）若(21)(43)0f a f a -+->，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2()f x x x =-，（2）1223a ≤< 【解析】（1）当10x -≤<时，01x <-≤，带入2()f x x x =--，再利用奇函数的性质即可得到解析式.（2）利用函数的奇偶性和单调性将不等式(21)(43)0f a f a -+->转化为不等式组，解不等式组即可.【详解】（1）当10x -≤<时，01x <-≤，22()()()f x x x x x -=----=-+.又因为()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，()()f x f x -=-所以2()f x x x =-（2）(21)(43)0f a f a -+->，(21)(43)f a f a ->--， (21)(34)f a f a ->-.由（1）知：函数()f x 是定义在[1,1]-上单调递减，所以1211121341232134a a a a a -≤-≤⎧⎪-≤-≤⇒≤<⎨⎪-<-⎩.【点睛】本题第一问主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，第二问考查了函数单调性和奇偶性的综合应用，属于中档题.20．已知函数22232costan 35()sin (cos sin )1tan 5x f x x x x ππ=+⋅-+，求：（1）()f x 的最小正周期和对称轴方程；（2）()f x 在[0,]2π上的最小值；（3）()f x 的单调增区间.【答案】（1）周期T π=，对称轴为202k x ππ=-+()k ∈Z （2）min ()1f x =-，（3）单调增区间为11[,]2020k k ππππ-+-+，()k ∈Z 。

重庆市育才2022-2023高一数学上学期期末考试试题含答案

重庆市育才2022－2023高一上学期期末考试数学试题（满分150分，考试时间120分钟）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．注意事项：1．答卷前，请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效； 3．考试结束后，将答题卡交回．第I 卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. 设集合{}2,3,4A =，{}|25B x x =<<，则A ∩B =（）A.{}25x x <<B. {}25x x ≤<C. {}2,3,4D. {}3,42. 命题“21,10x x ∃<->”的否定形式是（） A. 21,10x x ∀≥-≤ B. 21,10x x ∀<-≤C. 21,10∃≤-≤x x D. 21,10∃>-≤x x3. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为（） A. 31yx =-B. 2y x =C. 1y x=-D. y x x =4. 如果角α的终边经过点(3,2)-，则sin 2cos 3sin cos αααα+=-（）A. －49B.49 C.111D. －1115. 函数()πsin 26f x x ϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭为奇函数的一个充分不必要条件是（） A. π6ϕ= B. π3ϕ=C. 2π3ϕ=D. ()ππZ 6k k ϕ=+∈ 6. 设2log e a =，ln 2b =，cos 430c =，则a ，b ，c 的大小关系是（） A. b a c >> B. a b c >>C. c b a >>D. c a b >>7. 生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量P 会按确定的比率衰减（称为衰减率），P 与死亡年数t 之间的函数关系式为1()2ta P =（其中a 为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的75%，则可推断该文物属于（）参考数据：2log 0.750.4≈- 参考时间轴：A.宋B. 唐C. 汉D. 战国8. 设函数()f x 是定义在R 上的奇函数：对任意x ∈R ，都有()()11f x f x -=+，且当[]0,1x ∈时，()21xf x =-，若函数()()()log 2(01)a g x f x x a a =-+>≠且在(2,8)-上恰有5个不同的零点，则实数a 的取值范围是（） A. ()10,7,7⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B. ()10,9,7⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C. ()10,7,9⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D. ()10,9,9⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（） A. 42403π=B. 第一象限的角是锐角C. 1弧度的角比1°的角大D. 用弧度制量角时，角的大小与圆的半径有关 10. 函数()sin (0,0,0)y A x A ωϕωϕπ=+>><<)在一个周期内的图像如图所示，则（）A. 该函数的解析式为2π2sin 33y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B. π,02⎛⎫-⎪⎝⎭是该函数图像的一个对称中心 C. 该函数的减区间是Z π5π3π,3π,44k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D. 把函数2sin y x =的图像上所有点的横坐标伸长为原来的32倍，纵坐标不变，再向左平移2π，可得到该函数图像 11. 已知函数()2log f x x =，0a b <<且()()f a f b =，下列结论正确的是（）A.1a b > B. 123b a+>C. 3a b +≥()()222218a b +++> 12. 已知函数2ln 2,e()4(),2e x x f x ab x x x -≥⎧⎪=⎨-+<<⎪⎩的最小值为0，e 是自然对数的底数，则（） A. 若(0,1)a ∈，则22b a ≤+ B. 若()1,0a ∈-，则4ee ab ≥+C ．若2(e ,)a ∈+∞，则22b a ≥+D. 若2)(,e a ∈-∞-，则e4e a b <--第Ⅱ卷三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知幂函数f (x )的图象经过(9,3)，则f (4)= __________ 14. 若π3cos 35α⎛⎫-=⎪⎝⎭，则7πsin 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭____________． 15. 如图，在Rt POB 中，90PBO ∠=︒，以O 为圆心、OB 为半径作圆弧交OP 于A 点，若圆弧AB 分POB 的面积为1:2(扇形部分是2份)，且AOB α∠=弧度，则tan αα=____________．16. 已知函数()πsin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在4ππ,33⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调，且将函数f (x )的图象向右平移4π个单位长度后与原来的图象重合．当()4π,8πx ∈时，使得不等式()f x ≤成立的x 的最大值为___________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：（1）()01ln332023111π0.027e tan cos log 1814⎛⎫---++ ⎪⎝⎭；（2）8lg 25lg 2log 102lg 2-⨯+．18. 已知:p 对于2R,0x x ax a ∀∈++≥成立；:q 关于a 的不等式()()22202a b a b b -++≤<成立．（1）若p 为真命题，求a 的取值范围；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求b 的取值范围．19. 新成民铁路起自成都南站(途经站点如图所示)，沿途经过四川省成都市、眉山市、乐山市、凉山彝族自泡州、攀枝花市，云南省楚雄彝族自治州、昆明市，终至昆明站，为国家1级双线电气化铁路，设计时速160公里，已于2022年12月26日全线正式开通运营．目前，成都到昆明的铁路列车运行时间由19个小时缩短到7.5个小时左右，将为西南地区的人员、物流往来构建起铁路运输大动脉，对促进西南地区的经济社会发展均具有十分重要的意义．现在已知列车的发车时间间隔t (单位：分钟)满足220t ≤≤．经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t 相关，当1020t≤≤时列车为满载状态，载客量为720人；当210t ≤<时，载客量会减少，减少的人数与(12－t )的平方成正比，且发车时间间隔为3分钟时的载客量为396人．记列车载客量为()p t ．（1）求()p t 的表达式；（2）若该线路每分钟的净收益为()2()36060p t Q t t-=-(元)，问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值．20. 已知sin cos t θθ+=．其中2,ππ2θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．（1）若13t =，求tan θ；（2）已知()sin cos 4tθθθπ+=+=，求函数()()sin cos sin cos f a θθθθθ=+-的最大值g (a )．21. 已知函数()ππ2sin 62f x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=+<⎪⎪⎝⎭⎝⎭满足()()80f x f x +-=且与()πtan (0)6g x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期相同．（1）求ϕ的值及g (x )的单调区间；（2）若()64y f x =-在区间[],a b 上恰好有2022个零点，求b a -的取值范围．22. 已知函数()1(1)xf x a a x=-> （1）若()f x 在[2，3]上的最小值为72，求a 的值；（2）证明：函数()f x 有且仅有一个零点0x ，且0200012log .2x a x x a x ⎛⎫-<⎪-⎝⎭参考答案1.D2.B3.D4.A5.A6.B7.D8.C9.AC 10.ABD 11.BCD 12.BC13.214.35-##0.6- 15.2316.47π617.（1） 3.7- （2）5318.（1）[]0,4 （2）0b ≥19.（1）()2496144,210720,1020t t t p t t ⎧-++≤<=⎨≤≤⎩ （2）时间间隔为3分钟时，该线路每分钟的净收益最大为84元20.（1）（2）2,111(),1221,2a a g a a a a ⎧⎪-<-⎪⎪=+-≤≤⎨⎪->21.（1）π3ϕ=，g (x )的单调递增区间为ππππ,,Z 18123612k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭，无减区间（2）[)2021,2023 22.（1）a=2 （2）见解析。

重庆市第一中学校2022-2023学年高一上学期期末数学试题(含答案解析)

重庆市第一中学校2022-2023学年高一上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}133xA x =≤≤，{}1,0,1B =-，则A B = （）A ．{}1,0-B ．{}1,1-C ．{}0,1D ．{}1,0,1-2．在平面直角坐标系中，角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴的非负半轴，终边过点()1,3P -，则sin 2cos αα+=（）A ．B ．10-C ．10D ．103．“1m =”是“幂函数()22133mm y m m x--=-+在()0,∞+上单调递减”的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．既不充分也不必要D ．充要4．已知函数()f x 的定义域为[]1,3，则函数()()21g x f x =-（）A ．(]1,2B ．4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(]1,5D ．4,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦5．中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化．下列选项中，既是奇函数，又在定义域上是增函数的是（）A ．2121x xy -=+B ．32y x =C ．π2cos 2y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．1y x=-6．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()21f x f x x --=+，则()f x =（）A ．13x +B ．13x +C ．13x +D ．1x +7=（）A ．1BCD8．已知函数()33222025320252025log 2x x f x x --⎫=-+-⎪⎪⎭有唯一零点0x ，若016a f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()4log 5b f =，31log 4c f⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．c a b>>二、多选题9．下列命题正确的是（）A ．ππsin sin 108⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．第一象限角一定是锐角C ．在与640︒角终边相同的角中，最大的负角为80-︒D ．sin1cos20⋅>10．已知函数()2cos f x x =，则（）A ．函数()f x 的最小正周期2πT =B ．函数()f x 在5π,3π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C ．函数()f x 在3ππ,44⎛⎫- ⎝⎭上的值域为(D ．函数()f x 的图像关于直线2025πx =对称11．已知函数()f x 是定义域为()0,∞+的单调函数，且满足对任意的()0,x ∈+∞，都有()2log 1f f x x -=⎡⎤⎣⎦，则（）A ．()22f =B ．若关于x 的方程()f x m =（0m >）有2个不相等的实数根12,x x ，则1214x x =C ．若函数()223f x ax -+的值域为R ，则实数a 的取值范围为(D ．若函数()()()2,1,1a x x g x af x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩满足对任意的实数12,x x ，且12x x ≠，都有()()()12120g x g x x x -->⎡⎤⎣⎦成立，则实数a 的取值范围为[)1,212．若对任意的实数0a b >>，都存在以a b +，为三边长的三角形，则正实数p 的可能取值为（）A ．12B ．1C ．32D ．2三、填空题13．已知扇形的弧长为4π3，圆心角为π3，则该扇形的面积为______．14．tan3tan42tan3tan42++︒⋅︒︒︒=______．15．定义在R 上的函数()f x 满足()()πsin f x f x x +-=，且4π132f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则2023π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______．16．已知定义在R 上的函数()f x 满足：①()()42f x f x -=+；②函数()1f x +为偶函数；③当[]1,3x ∈时，21,12()69,23x x f x x x x -≤≤⎧=⎨-+<≤⎩，若关于x 的不等式()2log 1m x f x -≤的整数解有且仅有6个，则实数m 的取值范围是______．四、解答题17．（1）已知tan 2α=，求1sin cos αα⋅的值；（2）计算：()(1lg2330.06410log log ---+．18．已知函数()ππsin cos sin 44f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．(1)求π8f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)求()f x 的单调递增区间．19．已知()()()3πtan πsin cos 2πcos 2x x x f x x ⎛⎫-⋅+⋅- ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭．(1)若θ是ABC 的一个内角，且()12f θ=-，求θ的值；(2)已知π3π24βα<<<，()1213f αβ-=，()π325f αβ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，求()2f α的值．20．已知函数()x xf x a a -=-（0a >且1a ≠）．(1)判断()f x 的单调性并用定义法证明；(2)若()312f -=，求()()()21222x g x f x f x +=-+在[]20,log 3x ∈上的值域．21．已知函数()()2ln e xf x m x =+-．(1)当1m =时，判断()f x 的奇偶性并证明；(2)若函数()3ln 1e x g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上存在两点A ，B ，其关于y 轴的对称点A '，B '恰在函数()f x 的图象上，求实数m 的取值范围．22．已知定义在实数集R 上的函数()f x 满足()122f =，且对任意λ，x ∈R ，恒有()()()f x f x λλ⋅=．(1)求()1f ；(2)求证：对任意m ，n R ∈，恒有：()22m n m n f ff m +-⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(3)是否存在实数k ，使得不等式()()()()21sin cos 4sin cos 1322f k k θθθθ⎡⎤<+++--+<⎣⎦对任意的[]0,πθ∈恒成立？若存在，求k 的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案：1．C【分析】解得{}01A xx =≤≤∣，根据交集含义即可得到答案.【详解】133x ≤≤，解得01x ≤≤，故{}01A xx =≤≤∣，则{0,1}A B = ，故选：C.2．C【分析】根据三角函数的定义求解即可.【详解】解：根据题意，结合三角函数定义得sin αα====，所以sin 2cos αα+=故选：C 3．D【分析】由题知2233110m m m m ⎧-+=⎨--<⎩，解得1m =，再根据充要条件的概念判断即可.【详解】解：因为幂函数()22133mm y m m x--=-+在()0,∞+上单调递减，所以2233110m m m m ⎧-+=⎨--<⎩，解得1m =，所以“1m =”是“幂函数()22133mm y m m x--=-+在()0,∞+上单调递减”的充要条件.故选：D 4．B【分析】根据抽象函数的定义域,对数型复合函数的性质列不等式组即可求得.【详解】因为()f x 的定义域为[]1,3，则21213log (33)0330x x x ≤-≤⎧⎪-≥⎨⎪->⎩，解得12431x x x ≤≤⎧⎪⎪≥⎨⎪>⎪⎩，则423x ≤≤，所以()()21g x f x =-4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：B 5．A【分析】利用指数函数，幂函数和三角函数的奇偶性和单调性求解即可.【详解】选项A ：令21()21x x f x -=+，2112()()2112x xx xf x f x -----===--++，因为2122()12121x x x f x +-==-++且2x在x ∈R 上是增函数，所以221x +在x ∈R 上是减函数，2()121x f x =-+在x ∈R 上是增函数，故2121x x y -=+既是奇函数，又在定义域上是增函数，A正确；选项B ：32y x =的定义域为[0,)+∞，由幂函数的图像和性质可得32y x =在[0,)+∞上单调递增，故32y x =不具有奇偶性，在定义域上是增函数，B 错误；选项C ：π2cos 2sin 2y x x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，定义域为x ∈R ，由正弦函数的图像和性质可得2sin y x =-是奇函数，在ππ2π,2π22k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭Z k ∈上单调递减，在π3π2π,2π22k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭Zk ∈上单调递增，C 错误；选项D ：1y x =-，由幂函数的图像和性质可得1y x=-是奇函数，在定义域(,0)(0,)-∞+∞ 上不单调，D 错误；故选：A 6．A【分析】由()()21f x f x x --=+可得()()21f x f x x --=-+，解方程组求()f x 即可.【详解】由()()21f x f x x --=+可得()()21f x f x x --=-+，所以由()()()()2121f x f x x f x f x x ⎧--=+⎪⎨--=-+⎪⎩解得()13x f x =+，故选：A 7．D【分析】利用两角和与差的余弦公式将cos 20︒转化为()cos 3010-，进行展开，对于分子则是结合二倍角正弦公式及完全平方式进行化简，最后再约分即可.【详解】2cos 3010sin10︒︒︒︒--==--cos10cos10sin 80cos10===故选：D.8．D【分析】由题可知函数())202520252025log x xg x x -=-+为奇函数且单调递增，进而可得函数()f x 的对称中心为3,02⎛⎫⎪⎝⎭，且在R 上单调递增，进而即得.【详解】因为()33222025320252025log 2x x f x x --⎫=-+-⎪⎪⎭33222025320252025log 2x x x ⎛⎫---⎪⎝⎭⎫⎪=-+-⎪⎭，对于函数())202520252025log x xg x x -=-+定义域为R ，且())202520252025log x xg x x --=-+，()()0g x g x +-=，所以函数()g x 为奇函数，又[)0,x ∈+∞时，202520252025g ,,lo x x y y x y x -=-==单调递增，所以[)0,x ∈+∞时，())202520252025log x xg x x -=-+单调递增，所以函数())202520252025log x xg x x -=-+在R 上单调递增，所以()f x 的对称中心为3,02⎛⎫⎪⎝⎭，且在R 上单调递增，因为302f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故032x =，01463a f x f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为4345>，4345>，所以44log 53>，所以043331log 50log 1log 424163x >=>=>>-，所以()043310log 5lo 6g 241f x f f f ⎛⎫>- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，31log 04c f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，故c a b >>.故选：D.9．AC【分析】利用正弦函数的单调性判断A ，利用象限角的概念判断B ，写出与640︒角终边相同的角为640360k ︒+⋅︒，再根据3606403600k -︒<︒+⋅︒<︒判断C ，利用弧度制及正弦余弦的正负判断D.【详解】因为sin y x =在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以ππsin sin 108⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 正确；π2π,2π,Z 2k k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭表示第一象限角，当0k ≠时，不是锐角，B 错误；与640︒角终边相同的角为640360k ︒+⋅︒，当2k =-时是最大负角，最大负角为80-︒，C 正确；因为1()57.3rad ≈︒，所以sin10>，cos20<，所以sin1cos20⋅<，D 错误；故选：AC 10．BD【分析】作出函数的大致图象，然后逐项分析即得.【详解】因为()2cos 2cos f x x x ==，作出函数的大致图象，函数()f x 的最小正周期πT =，故A 错误；由图象可知函数的增区间为()ππ,π2Z k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，故函数()f x 在5π,3π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，故B正确；当3ππ,44x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，cos x ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦，()[]0,2f x ∈，故C 错误；因为()()2025π2cos 2025π2f ==，所以函数()f x 的图像关于直线2025πx =对称，故D 正确.故选：BD.11．ABD【分析】先利用已知条件求出函数()f x 的解析式，选项A ，将2x =代入计算即可，选项B 将根12,x x 代入()f x m =中化简即可，选项C 由值域为任意实数得到满足条件的不等式，解出即可，选项D 利用函数单调性建立不等式组解出即可.【详解】令()2log t f x x =-，则()()2log 11f f x x f t -=⇔=⎡⎤⎣⎦，函数()f x 是定义域为()0,∞+的单调函数，因为()2log f x x t =+，所以()2log 1f t t t =+=，解得1t =，所以()2log 1f x x =+．对于选项A ：()22log 212f =+=，故A 正确；对于选项B ：若关于x 的方程()f x m =（0m >）有2个不相等的实数根12,x x ，则()()12,f x m f x m ==，即2122log 1log 1x x +=+，因为12x x ≠，所以()21222122log 1log 1log log 2x x x x +=-+⇒+=-，所以()212121log 24x x x x =-⇒=，故B 选项正确；对于选项C ：函数()()22223log 231f x ax x ax -+=-++的值域为R ，则()2224134120a a ∆=--⨯⨯=-≥，即a ≤a ≥C 不正确，对于选项D ：由函数()()()2,1,1a x x g x af x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩满足对任意的实数12,x x ，且12x x ≠，都有()()()12120g x g x x x -->⎡⎤⎣⎦成立，所以函数()()()22,1log 1,1a x x g x a x x ⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩在R 上单调递增，所以()()220201221log 111a a a a a a a a ⎧-><⎧⎪⎪>⇒>⇒≤<⎨⎨⎪⎪-⨯≤+≥⎩⎩，故D 选项正确，故选：ABD.12．BCD【分析】由题可得a b a b+<<+1atb=>，可p<对任意1t>恒成立，然后结合对勾函数及不等式的性质即得.【详解】因为0a b>>，()222222a b a ab b a ab b+=++-+>，所以a b+>，所以a b a b+-<<+令1atb=>p<对任意1t>恒成立，因为当1t>时，12tt+>3，1，故13p≤≤.故选：BCD.【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若()f x在区间D上有最值，则（1）恒成立：()()min,00x D f x f x∀∈>⇔>；()()max,00x D f x f x∀∈<⇔<；（2）能成立：()()max,00x D f x f x∃∈>⇔>；()()min,00x D f x f x∃∈<⇔<.若能分离常数，即将问题转化为：()a f x>（或()a f x<），则（1）恒成立：()()maxa f x a f x>⇔>；()()mina f x a f x<⇔<；（2）能成立：()()mina f x a f x>⇔>；()()maxa f x a f x<⇔<.13．8π3##8π3【分析】利用扇形弧长公式和面积公式即可求得结果.【详解】由题意知，圆心角为π3α=，弧长为4π3l=，设扇形半径为r，根据弧长公式4π3l rα==得4r=，则扇形面积114π8π42233S lr==⨯⨯=.故答案为：8π314．1【分析】利用两角和的正切公式计算即可.【详解】因为()tan 3tan 421tan 45tan 3421tan 3tan 42︒+︒=︒=︒+︒=-︒︒，所以tan3tan42tan3tan421tan3tan42tan3tan421++︒⋅︒=-︒⋅︒+︒⋅︒︒=︒．故答案为：1.15．【分析】根据题意确定函数的周期即可求解.【详解】因为()()π+sin f x f x x +=，所以()()()()πππ+sin ππsin f x f x x f x x ++=++=+-()sin sin ()f x x x f x =+-=，所以()2π()f x f x +=，所以函数()f x 以2π为周期，所以2023πππ674π()333f f f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()()πsin f x f x x +-=，令π3x =得ππππsin 3332f f ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππ1π3322f f ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2023ππ1(332f f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，故答案为:16．(]57log log 22，【分析】根据函数性质可知函数()f x 关于1x =，3x =对称，且周期为4，再利用[]1,3x ∈上的解析式，画出函数图象，有数形结合即可求得实数m 的取值范围.【详解】由函数()1f x +为偶函数可知，函数()f x 关于1x =对称，且()()11f x f x +=-+，即()()2f x f x +=-，又()()42f x f x -=+，()f x 关于3x =对称，所以()()4f x f x -=-，即()()4f x f x =+，可得函数()f x 的周期4T =，当[]1,3x ∈时，21,12()69,23x x f x x x x -≤≤⎧=⎨-+<≤⎩可得其图象如下所示：由对称性可知，当1x >时满足不等式()2log 1m x f x -≤的整数解有3个即可，根据图示可得()()22log 6161log 8181m f m f ⎧-≤=⎪⎨->=⎪⎩，解得2211log log 57m ≤<，即57log log 22m ≤<故答案为：(]57log log 22，17．（1）52（2）12【分析】(1)根据正切找到正余弦的关系，代入22sin cos 1αα+=求出2cos α，化简原式求解.(2)根据()log 1,,,log log a mn N mm mn n a a aa a a N M n M a -⎛⎫==== ⎪⎝⎭公式化简求解.【详解】（1）tan 2,α= 即sin 2cos αα=又因为22sin cos 1αα+=，所以21cos 5α=所以21115sin cos 2cos cos 2cos 2ααααα===⋅⋅（2）因为()1311331330264100010105100060444.64--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=====⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦1122===112lg 2lg lg22111010--===(1133323331log log log log 2log log 3log 313-⎛⎫⎛⎫====-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()(()1lg23351110.06410log log 12222---+=--+-=18．(1)π84f ⎛⎫=⎪⎝⎭(2)5πππ,π,Z1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【分析】（1）利用三角恒等变换将函数()f x 化简成()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即可计算出π8f⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）利用整体代换法πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤+≤+∈即可求得单调递增区间．【详解】（1）由()ππsin cos sin 44f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得()2211πsin2cos )sin2cos 2sin222223f x x x x x x x ⎛⎫=--=+=+ ⎪⎝⎭，所以πππππππsin sin cos sin 84343434f ⎛⎫⎛⎫=+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即π84f ⎛⎫=⎪⎝⎭（2）由()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可知，πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤+≤+∈时，()f x 的单调递增，即ππ,Z 5ππ1212k k x k ≤≤++∈-，所以()f x 的单调递增区间为5πππ,π,Z1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦19．(1)2π3θ=(2)3365-【分析】(1)根据诱导公式化简函数解析式，根据三角形内角的取值范围即可求θ的值；(2)利用余弦的两角和公式求解.【详解】（1）由题可得()()()3ππtan πsin cos tan sin πcos 22πsin cos 2x x x x x xf x x x ⎛⎫⎛⎫-⋅+⋅--⋅++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⎛⎫- ⎪⎝⎭()tan cos cos cos sin x x xxx-⋅-⋅==，所以()cos f x x =，因为()1cos 2f θθ==-，且θ是ABC 的一个内角，所以2π3θ=.（2）因为()1213f αβ-=，所以()12cos 13αβ-=，则()5sin 13αβ-==±，因为π3π24βα<<<，所以3ππ42β-<-<-，所以π04αβ<-<，所以()5sin 13αβ-=，因为()π325f αβ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，所以()()π3cos sin 25αβαβ⎛⎫-+=+=- ⎪⎝⎭，所以()4cos 5αβ+==±因为π3π24βα<<<，所以3ππ2αβ<+<，所以()4cos 5αβ+=-，所以()[]2cos 2cos ()()f αααβαβ==-++cos()cos()sin()sin()αβαβαβαβ=-+--+1245333()()13513565=⨯--⨯-=-.20．(1)当1a >时，()f x 单调递增，当1a <时，()f x 单调递减，证明见解析.(2)1302,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）任取12,R x x ∈且12x x >，作差()()12f x f x -判断符号即可判断单调性；（2）由()312f -=可得12a =，根据222211()22(2)222xx x f x f x +⎛⎫=-+=+- ⎪⎝⎭将()g x 转化成一元二次函数形式，利用一元二次函数的图像和性质求解即可.【详解】（1）当1a >时，()f x 单调递增；当1a <时，()f x 单调递减，证明如下：任取12,R x x ∈且12x x >，()()()()()1122121212121211x x x x x x x x x x x x f x f x a a a a a a a a a a a a----⎛⎫-=---=---=-+ ⎪⎝⎭，因为12110x x a a+>，所以当1a >时，12x x a a >，则()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，()f x 单调递增；当01a <<时，12x x a a <，则()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，()f x 单调递减.（2）因为()1312f a a --=-=即22320a a +-=解得12a =或2-（舍去），所以111()2222x xxx f x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，222211()22(2)222xx x f x f x +⎛⎫=-+=+- ⎪⎝⎭，所以2()()2()2g x f x f x =-+，由（1）得当1a <时()f x 单调递减，所以当[]20,log 3x ∈时，8(),03f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，令()t f x =，则8,03t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，一元二次函数2()22g t t t =-+对称轴为1t =，所以2()22g t t t =-+在8,03t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上单调递减，且813039g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，(0)2g =，所以()g x 在[]20,log 3x ∈上的值域为1302,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦.21．(1)偶函数(2)11,916⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）结合对数运算，根据奇偶性的定义判断即可；（2）由题知函数()3ln 1e x g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭关于y 轴对称的函数为()()ln 13e ,ln 3xh x x =-<-，进而将问题转化为方程()()h x f x =有两个实数根，进一步结合对数运算得以2e 4e x x m -=在(),ln 3-∞-上有两个实数根，再结合换元法，二次函数性质,数形结合求解即可.【详解】（1）解：当1m =时，()()2ln e 1xf x x =+-，定义域为R ，()()()()()2222221e ln e1ln ln 1e ln e ln 1e e x xx x x x f x x x x x f x -⎛⎫+-=++=+=+-+=+-= ⎪⎝⎭，所以，()f x 为偶函数.（2）解：函数()3ln 1e x g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为()ln 3,+∞，设函数()3ln 1e x g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭关于y 轴对称的函数为()h x ，设(),x y 是()h x 上的任意一点，则(),x y -在函数()3ln 1e x g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上，即()3ln 1ln 13e e xx y -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以，()()ln 13e ,ln 3xh x x =-<-因为函数()3ln 1e x g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上存在两点A ，B ，其关于y 轴的对称点A '，B '恰在函数()f x 的图象上，所以方程()()h x f x =恰有两个实数根，即()()2ln 13e ln e x xm x -=+-恰有两个实数根，()()()22ln e ln e ln e ln e e x x x x x m x m m -+-=+-=+，所以，()()ln 13e ln ee xxx m --=+恰有两个实数根，即13e e e x x x m --=+在(),ln 3-∞-上恰有两个实数根，所以2e 4e x x m -=在(),ln 3-∞-上恰有两个实数根，令e 13xt =<，则24t t m -=在1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上恰有两个实数根，所以函数21,4,3y t t t ⎛⎫-∞-∈ ⎝=⎪⎭与y m =图象恰有两个交点，因为221144816y t t t ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，当13t =时，21114339y ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，所以，作出其函数图象如图所示，由图可知，当11,916m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，函数21,4,3y t t t ⎛⎫-∞-∈ ⎝=⎪⎭与y m =图象恰有两个交点，所以，实数m 的取值范围为11,916⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】22．(1)2(2)见解析(3)(]7,6--【分析】(1)根据设，令1,22x λ==即可求解；(2)令1x =，有()2f λλ⎛= ⎝⎭，再令,,22m n m nλλ+-==即可证明；（3）根据函数的单调性以及用换元法，转化为分类讨论二次函数在给定区间的最值求解.【详解】（1）由题可知，()()()f x f x λλ⋅=，令1,22x λ==可得[]12(1)(2)f f ==（2）因为(1)2f =，所以令1x =，则有()f λλ=⎝⎭，因为R λ∈，分别令,,22m n m nλλ+-==可得22,2222m nm n m n m n f f +-⎫⎫+-⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以22222()22222m nm nmm n m n f f f m +-⎛⎫⎫⎫+-⎛⎫⎛⎫⋅=⋅== ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得证.（3）由（2）可得()2f λλ⎛= ⎝⎭，所以()2xf x ⎛= ⎝⎭，则函数()2xf x =⎝⎭在定义域R 上单调递减，且1(10),(1)322f f ==，所以()()()()21sin cos 4sin cos 110k k θθθθ<+++--+<，即()()1sin 24sin cos 10k k θθθ<++--<恒成立，令πsin cos 4t θθθ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,因为[]0,πθ∈，所以ππ3π,444θ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以π4t θ⎛⎫⎡-∈- ⎪⎣⎝⎭，且222sin cos 2sin cos 1sin 2t θθθθθ=+-=-，所以2sin 21t θ=-，所以()211410t k t k <-++-<，也即()2049t k t k <-++-<恒成立，令()2(4)t k t k g t -++=-，对称轴为022kt =+，若021,62kt k =+≤-≤-，则()2(4)t k t k g t -++=-在t ⎡∈-⎣单调递减，则max min ()((1)25,2)g k g k g t g t =-=--==-，所以60259029k k k ⎧≤-⎪<--<⎨⎪<+-<⎩解得76k -<≤-，若022k t ⎛=+∈- ⎝⎦，即(5k ⎤∈-⎦，则()2(4)t k t k g t -++=-在1,22k t ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦单调递增，2k t ⎡∈+⎢⎣单调递减，则2max min 1(2)(41(6),224)()k g k k g k g t g t =+=++==+-，所以(2510(416)94029k k k k ⎧⎤∈-⎦⎪⎪<++<⎨⎪⎪<+-<⎩此时无解，若01222kt ⎛=+∈ ⎝，即4k ⎤∈⎦，则()2(4)t k t k g t -++=-在1,22k t ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦单调递增，2k t ⎡∈+⎢⎣单调递减，则2max min 1(2)(416),5()()(1)224g k t g g k k g k t =+=++=-=--，所以25,410(416)940259k k k k ⎧⎤∈--⎦⎪⎪<++<⎨⎪<--<⎪⎩此时无解，若022kt =+>，即4k >，则()2(4)t k t k g t -++=-在t ⎡∈-⎣单调递增，则min max ()((1)25,2)g k g k g t g t =-=--==-，所以40259029k k k ⎧>⎪<--<⎨⎪<+-<⎩此时无解，综上，k 的取值范围为(]7,6--.。

高一上期末数学试卷九龙坡

一、选择题（每题5分，共50分）1. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c的图象开口向上，且顶点坐标为(-1, 2)，则a、b、c的取值范围是（）A. a > 0, b < 0, c < 0B. a > 0, b > 0, c > 0C. a < 0, b < 0, c > 0D. a < 0, b > 0, c < 02. 下列各式中，是绝对值不等式的是（）A. |x| < 2B. |x| ≥ 2C. x^2 < 4D. x^2 ≥ 43. 已知等差数列{an}的首项为2，公差为3，则第10项an的值为（）A. 25B. 28C. 31D. 344. 函数y = log2(x - 1)的定义域是（）A. x > 1B. x ≥ 1C. x < 1D. x ≤ 15. 若复数z = 1 + i满足|z - 2i| = √5，则复数z的值为（）A. 1 + 2iC. 3 + 2iD. 3 - 2i6. 已知函数y = (x - 1)^2 - 3，则该函数的对称轴是（）A. x = 1B. y = -3C. x = 2D. y = 07. 下列命题中，正确的是（）A. 函数y = x^2在定义域内是单调递增的B. 等差数列的前n项和S_n = n(a_1 + a_n)/2C. 对数函数y = log2(x)的图象在y轴上D. 平面向量a = (2, 3)与向量b = (1, 2)的夹角为60°8. 若不等式组\[\begin{cases}x + y < 4 \\x - y > 0\end{cases}\]的解集为（）A. 第一象限B. 第二象限D. 第四象限9. 在直角坐标系中，点P(2, 3)关于直线y = x的对称点Q的坐标是（）A. (3, 2)B. (2, 3)C. (3, 3)D. (2, 2)10. 已知等比数列{an}的首项为3，公比为2，则第n项an的值为（）A. 3 2^(n-1)B. 3 2^nC. 3 / 2^(n-1)D. 3 / 2^n二、填空题（每题5分，共50分）11. 函数f(x) = x^3 - 3x + 2在x = 1处的导数值为______。

重庆市九龙坡区2023-2024学年高一上学期教育质量全面监测数学试题

x ax
2a
,
x
2
，若
a
2
，则
f
x
的最小值为
；若
函数 f x 恰有两个零点，则正数 a 的取值范围是．
四、解答题
17．已知幂函数 f x m2 m 1 xm1 m Z 的图象关于 y 轴对称．
(1)求 m 的值及函数 f x 的解析式； (2)设函数 g x f x 4x 5 ，求 g x 在区间1, 4上的值域．
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18．已知 sin cos 5 ，且是第二象限角． 5
(1)求 tan 的值；
(2)求
tan
3π
sin cos
π 2
sin
π
π sin 2π
的值．
19．已知函数
f
x
lg
4 mx 4 x
，其中 m
0且
f
1
f
1
0
．
(1)求 m 的值和函数 f x 的定义域；
(2)若方程 f 2x g x 只有一个解，求 a 的取值范围．
试卷第 6 页，共 6 页
试卷第 1 页，共 6 页
6．函数 f x sin2x 2 2cosx 的值域是（）
A． 2 2,3
B． 2 2, 2 2
C． 0, 3
D． 0, 2 2
7．已知
f
x 的定义在 R 上的偶函数，且在 0, 为减函数，设 a
f
log1 2 ，
3
b
f
sin
3π 2
,
c
9．已知全集U Z ，集合 A 1, 2,3, B a b a,b A ，则下列结论正确的是（）