考研高数讲义高数第四章不定积分上课资料

考研高数讲义高数第四章不定积分上课资料

考研高数讲义高数第四章不定积分上课资料

编辑整理：

尊敬的读者朋友们：

这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（考研高数讲义高数第四章不定积分上课资料）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为考研高数讲义高数第四章不定积分上课资料的全部内容。

第四章 不定积分

⎧⎪

⎧⎪

⎪⎪⎨⎪→→⎨⎪⎩⎪

⎪⎪⎪⎩性质第一类换元法计算第二类换元法

原函数不定积分分部积分法

简单分式的积分分段函数的积分

1

第一节 不定积分的概念与性质

一、原函数的定义

原函数：若对于,有或,称为在区间内的原

函数。

I x ∈∀∈

)()(x f x F

='dx x f x dF )()(=)(x F )(x f I

2

原函数存在定理：连续函数必有原函数-—即若在上连续，则必存在，使得当时，。 )(x f I )(x F x

∈I )()(x f x F

='

3

【例1】设是在上的一个原函数,则

在上（ )

（A ）可导 （B ）连续

（C)存在原函数 （D)是初等函数 【答案】（C ）

)(x F )(x f (,)a b ()()fx F x

(,)a b

4

【例2】（92二）若的导函数是，则有一个原函数为

（A ）. （B ）。 （C ）。 （D). 【答案】（B ）

)(x f x sin )(x f x sin 1

+x sin 1-x cos 1

+x cos 1-

5

二、不定积分的定义

不定积分：在区间内,的带有任意常数

I )(x f

6

项的原函数称为在区间内的不定积分，

记为:，即 计算方法：求函数的不定积分，只要求得它的一个原函数，加上任意常数即可。

C x F

+)()(x f I ⎰dx x f )(⎰

+=C x F dx x f )()(C

不定积分的几何意义：一个原函数对应于一条积分曲线；不定积分对应于积分曲线簇-—无穷多条积分曲线,被积函数对应于切线的斜率——同一横坐标处切线平行。

7

8

【例3】若的导函数是，则的原函数是

【答案】

【例4】某曲线过点，且其上任一点切

线之斜率为该点横坐标之2倍,求此曲线方程。

【答案】

()f x sin x ()f x _____.

12s i n x C x C -++)2,1(12

+=x y

三、不定积分的性质

(1） 或

（2） 或

（3）

='⎰))((dx x f ⎰=))((dx x f d =⎰'dx x F )(⎰=)(x dF ⎰=+dx x g x f ))()((

(4)

【例5】(90二）设函数在上连续，则等于

（A ） （B) (C) (D ）. 【答案】（B ）

⎰=dx x kf )()(x f ),(

+∞-∞[]⎰dx x f d )()(x f dx x

f )(C x

f +)(dx x f )('

【例6】(89三)在下列等式中，正确的结果是（ )

（A ）. （B ）。

⎰=')()(x f dx x f ⎰=)()(x f x df

【答案】（C ）

【例7】（95三）设

，则

x

x f +='1)(ln

。

【答案】

=)(x f ()x

fx

x e C =++

四、基本积分表

⎰kdx （1)=

（2)

(3）

（4） ；

(5）

(6)

=⎰dx x μ

=⎰x dx =⎰dx a x =⎰dx e x

=

⎰+2

1x dx =⎰-2

1x dx

（7） （8）

（9） （10）

（11)

=⎰xdx cos =⎰xdx sin =⎰=⎰xdx dx x 2

2sec cos 1⎰=⎰xdx dx x 2

2csc

sin 1=⎰xdx x tan sec

（12）

【例8】 求下列不定积分

（1）; (2）；

【答案】（1）；（2）

=⎰xdx x cot csc dx x ⎰31⎰-dx x x )5(2

21

2C

x

-+

7322

21073x x C -+

（3） （4）

； 【答案】（3）；

(4

）

⎰-dx x x 23)1(2x x e d x ⋅⎰21

1

33l n ||2x x x C

x -+++21ln2x x

e C ⋅++