人教版高中数学必修第一册数列1

数列

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数列结构简图

画龙点晴

概念

数列：按一定次序排列的一列数（数列的有序性）.

通项公式：n a 与n 之间的函数关系式n a =f(n) ，这个公式叫做这个数列的通项公式. 其实质是从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，通项公式即相应的函数解析式。用图象表示： 是一群孤立的点。

有穷数列与无穷数列: 项数有限的数列叫做有穷数列, 项数无限的数列叫做无穷数列. 数列的分类：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列或有穷数列、无穷数列。

[活用实例]

[例1] 已知数列{an}的每一项都是它的序号的平方减去序号的5倍，那么66是此数列的第几项？

[题解] 依题意an=n2-5n ，设 n2-5n=66，解得n=11，

故66是此数列的第11项。

[例2]若数列{an}的通项为an=-2n2+13n ，画出它在x 轴上方的图象，请根据图象求出an 的最大值，并在同一坐标系中画出函数f(x)=-2x2+13x 的图象，请根据图象求出f(x)的最大值，并与an 的最大值进行比较。

[题解] 在x 轴的上方，an 的最大值为a3=21，

f(x)的最大值为f(

8169)413=，所以f(x)的最大值大于an 的最大值。 [例3]已知数列{an}的通项公式an=n n n 21.......2111+++++,试问{an}是否为单调数列，为什么？

[题解] an+1-an=221 (3)

121++++++n n n -(n n n 21.......2111+++++) =11221121+-+++n n n =0)1)(12(21>++n n ,

∴ an+1>an ，∴{an}是递增数列。

[例4]已知数列{an}的通项公式an=(n+1)(109

)n.

[题解] （1）证明：an+1-an=（n+2）(-+1)109n (n+1)(109)n =(108)109n n -⋅;

则当n=1，2，3，…，7时，an+1>an ，即an 逐渐增加;

当n>8，n *N ∈时，an+1

（2）由（1）可知n=8或9时，a8与a9并列最大 .

数列的前n 项和Sn 与通项an 的关系:

当n=1时，a1=S1; 当n ≥2时，an=Sn-Sn-1,

当a1不符合an=Sn-Sn-1的表达式时，要用分段式

an=⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n 表达. [活用实例]

[例5] （1）已知数列{a n }中，Sn=n2 ，求此数列的通项公式；

（2）已知数列{a n }满足a1=0,an+1+Sn=n2+2n(n *

N ∈)，其中Sn 为数列{a n }的前n 项和， 求此数列的通项公式。

[题解] （1） Sn=n2 ，∴ 当n=1时，a1=1；当n ≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-1,

∴ n=1时也符合上式，

∴ an=2n-1 .

（2） an+1+Sn=Sn+1，∴Sn+1= n2+2n= (n+1)2-1,

∴ Sn=n2-1, ∴ 当n=1时，a1=0；当n ≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-1, ∴ an=

⎩⎨⎧∈≥-=),2(12)1(0*N n n n n . 等差数列：若一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数 ,则这个数列就叫做等差数列,这个常数就叫做这个等差数列的公差,用d 表示, 即若an-an-1=d(常数),当n>1时均成立,则称{}n a 为等差数列.

等差中项：若三个数b A a ,,成AP ,则A 叫做a 和b 的等差中项,

2b

a A +=。 判断一个数列是否成等差数列的常用方法:

1︒定义法：即证明 )(1常数d a a n n =-+;

2︒中项法： 即利用中项公式，若c a b +=2 则c b a ,,成等差数列;

3︒通项公式法：利用等差数列得通项公式是关于n 的一次函数这一性质。

[活用实例]

[例6]已知a 、b 、c 均为非零实数，且a 1,b 1,c 1

成等差数列， 求证：a c b +,b a c +,c b

a +也是等差数列.

[题解1] ： a 1,b 1,c 1成等差数列，c a b 112+=∴,即b(a+c)=2ac ，

∴ a c b ++c b

a +=

b

c a c a b c a ac c a ac c a ac ac c a c a b )(22)()()(2)(222222+=++=+=++=+++.

[题解2]： a 1,b 1,c 1

成等差数列，∴a c b a ++,b c b a ++,c c b a ++也是等差数列，

∴a c b a ++-1,b c b a ++-1,c c

b a ++-1也是等差数列， 即a

c b +,b a c +,c b

a +也是等差数列.

公式

等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d., 通项公式推广：an=am+(n-m)d.

注意: 1︒ 等差数列的通项公式是关于n 的一次函数;

2︒ 如果通项公式是关于n 的一次函数,则该数列成AP;

3︒ 公式中若 0>d 则数列递增，0

4︒ 图象： 一条直线上的一群孤立点.

等差数列前n 项和公式：Sn=d n n na a a n n 2)1(2)(11-+=+.

证明: 设等差数列{n a }的前n 项和为n S ,即n S =n a a a +++ 21, 根据等差数列的通项公式, n S =])1([)(111d n a d a a -+++++ , (1) 再把项的次序反过来,

n S =])1([)(d n a d a a n n n --++-+ , (2)

把(1)、(2)两边分别相加, 得

2),()()()(12111n n n n n a a n a a a a a a S +=++++++= 个

由此得到等差数列{n a }的前n 项和为n S =2)

(1n a a n +.

又因为d n a a n )1(1-+=, 所以Sn=

d n n na 2)1(1-+. [例7] 在等差数列{an}中，若a3=50，a5=30，求a7 .