(完整版)电磁场的边界条件
电磁场的边界条件
将⑧代入⑨，得： sin 2 cos 1 sin 1 cos 2 sin(1 2 ) rs sin 2 cos 1 sin 1 cos 2 sin(1 2 )
2n1 cos 1 ts n1 cos 1 n2 cos 2
对绝大多数物质， 1 2
所以得到方程：
E1 y z E1' y z E2 y z
z 0
⑥
代入边界条件，可得：
k1 cos 1 A1s k1' cos 1' A1' s k2 cos 2 A2 s
k1 k1' 整理得： cos 1 A1s cos 1' A1' s cos 2 A2 s k2 k2' k1 sin 2 将 代入上式，得： k2 sin 1
AB BC CD DA
针对麦克斯韦 方程组积分形 式的第三个与 第四个方程， 建立如左图模 型，积分可得
E2t CD ( E2 n DF E1n FA) 0
E1t E2t 同理可得 H1t =H 2t
电磁场边界条件
（1）电场强度E 在分界面上的平行分量连续。
从右图可以看出， 对于s光：
Ex 0 E y ES Ez 0
根据几何关系，可知：
k x k sin 1 , k y 0, k z k cos 1
对于单色平面光波： E0 e E
i[t ( k x x k y y k z z )]
将上面的结论带 i[1t ( k sin 1 x k cos1 z )] E E0 e 入方程可得： 对于s光，可以分解为：
i ( k2 sin 2 x )
2.7电磁场的边界条件解析
第2章
电磁场的基本规律
1
2.7 电磁场的边界条件
en
媒质1 媒质2
• 什么是电磁场的边界条件?
et
实际电磁场问题都是在一定的物理空
间内发生的，该空间中可能是由多种不同
媒质组成的。边界条件就是不同媒质的分 界面两侧的电磁场物理量满足的关系。
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电磁场与电磁波
第2章
电磁场的基本规律
将上式对时间 t 积分，得
1 2 7 8 H1 ( z, t ) ey [2 10 cos(15 10 t 5 z ) 107 cos(15 108 t 5 z)] A/m 0 3
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第2章
电磁场的基本规律
14
同样，由 E2 2 H 2 ，得 t 4 H 2 ( z, t ) ey 107 cos(15 108 t 5 z ) A/m 30 （3）z = 0 时
tg1 1 同理可证： tg 2 2
E1 sin 1 E2 sin 2 tg1 1 tg 2 2
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第2章
电磁场的基本规律
10
2. 理想导体表面上的边界条件 理想导体：电导率为无限大的导电媒质 特征：理想导体内没有电磁场 设媒质2为理想导体，则E2=D2=H2=B2=0 则理想导体表面上的边界条件为：
则得：
D1z -D2 z z 0 =0
D1z
z 0
D2 z
D1z
z 0
0 (3 z )
z 0
3 0 z 0
3 0 3 E1z z 0 z 0 z 0 1 5 0 5 3 最后得到： E1 ( x, y,0) ex 2 y e y 5 x ez 5 D1 ( x, y,0) ex10 0 y e y 25 0 x ez 3 0
电磁场的媒质边界条件
ur ur
ÑS D d S V dV S SdS
r D1
Snr
r D2
Snr
S S
Dn1 S Dn2 S SS
4 电通密度的关系
nr
rr D1 D2
0S
• 两种媒质界面处，电通量密度的法向分量有条件连续。 •当媒质界面上没有自由电荷分布时，电通量密度的法向 分量有条件连续。 • 电场强度法向分量总是不连续的，除非两种介质的介 电常数相等。
Et1 Et2
电场强度的切向连续变化，而法向量不连续变化。
7 静电场位函数的边界条件
1
1
n
2
2
n
1 2
绝缘不导电介质
1
1
n
2
2
n
1 2
导电介质
p1
p2
lim
p1 p2
p2 p1
E
dl
lim
h0
E0
h
0
1.1 磁场的边界条件
uur
Ñl H
d
r l
s
ur (J
ur
ur D t
蜒L Er
r dl
V
B t
dV
,
rr
S J dS 0
nr
rr J2 J1
rr
0, J E
nr
rr E2 E1
0
2 c tg2 1 c tg1
电场强度的切向连续变化，而法向量不连续变化。
rr
ÑrL Er
dl r
0 r
E1 l E2 l 0,
Et1l Et2l 0
H2t H1t J l
在两种媒质界面处，磁场强度的切向分量是
电磁场的边界条件
磁感应强度B的边界条件
ÑS BgdS B1nS B2nS 0 1
n
B1
ΔS h
n•(B1-B2)=0
2
B2
2.7 电磁场的边界条件
第二章 电磁场的基本规律
电位移矢量D的边界条件
n•(D1-D2)=ρS
小结
在不同媒质的分界面两侧，电场强度的切向分 量和磁感应强度的法向分量总是连续的；若分 界面上不存在面电流和面电荷，则磁场强度的 切向分量和电位移矢量的法向分量是连续的
2.7 电磁场的边界条件
第二章 电磁场的基本规律
一、边界条件的一般形式 磁场强度H的边界条件 1 2
ÑC H gdl H1gl H2 gl JS gNl
l (N n)l
n H1 h
H2 Δl
n×(H1-H2)=JS
2.7 电磁场的边界条件
第二章 电磁场的基本规律
电场强度E的边界条件
n×(E1-E2)=0
2.7 电磁场的边界条件
第二章 电磁场的基本规律
二、理想导体表面上的边界条件
理想导体 E、D、B、H=0
n×H1=JS n×E1=0 n•B1=0 n•D1=ρS
n×(H1-H2)=JS n×(E1-E2)=0 n•(B1-B2)=0 n•(D1-D2)=ρS
电磁场的边界条件
1)理想介质是指电导率为无穷大的导体，2)电场强度和磁感应强度均为零。
3)表面上，一般存在自由电荷和自由电流。
设区域2为理想导体，区域1为介质，有 ,,均为零，得nD 2tE 2n B 2t H 2注意：理想介质和理想导体只是理论上存在。
在实际应用中，某些媒质的电导率极小或极大，则可视作理想介质或理想导体进行处理。
电磁场的边界条件可总结归纳如下：1)在两种媒质分界面上，如果存在面电流，使 H 切向分量不连续，其不连续量由式 确定若分界面上不存在面电流，则 H 的切向分量是连续的。
2)在两种媒质的分界面上，E 的切向分量是连续的。
3)在两种媒质的分界面上，B 的法向分量是连续的。
4)在两种媒质的分界面上，如果存在面电荷，使 D 的法向分量不连续，其不连续量由 确定。
若分界面上不存在面电荷，则D 的法向分量是连续的。
n B ⋅= 1Sn H J ⨯= t SH J =0n B =⇒1Sn D σ⋅=0t E =⇒⇒10n E ⨯=⇒n SD σ= 12()Sn H H J ⨯-=12()n D D σ⋅-=：积分形式：积分形式微分形式：微分形式：电磁场的基本方程和边界条件12()0n B B ⋅-=B ∇⋅= 积分形式：微分形式：积分形式：12()0n B B ⋅-=D ρ∇⋅= 0SB d S ⋅=⎰A SD d S q⋅=⎰A 微分形式：基本方程10n B ⋅= 12()n D D σ⋅-=12()0n D D ⋅-=10n D ⋅= 边界条件积分形式。
电磁场的边界条件
§8
利用两种电介质分界面上电场强度的切向分量连续的边界条件
E1 (0, t ) E2 (0, t )
得到
A 80 V/m
（2）由 E1 1 H1 ，有 t
H1 1 1 E1x E1 ey t 1 1 z 1 ey [300sin(15 108 t 5 z ) 100sin(15 108 t 5 z )] 0
x
E0 π π π [ex cos( z ) cos(t k x x) ez k x sin( z )sin(t k x x)] 0 d d d
§8
将上式对时间 t 积分，得 z H (x, z,t ) H (x, z,t ) dt t y en πE0 π ex cos( z ) sin(t k x x) O 0 d d
H 2 ( z, t ) ey
（3）z = 0 时
H1 (0, t ) ey ey
4 30
2 [2 107 cos(15 108 t ) 107 cos(15 108 t )] 0 3 4 30 107 cos(15 108 t ) A/m
1
H 2 (0, t ) ey
§8
§08
电磁场的边界条件
§8
2.7 电磁场的边界条件 • 什么是电磁场的边界条件?
媒质1
en
• 实际电磁场问题都是在一定的物理空 为什么要研究边界条件?
间内发生的，该空间中可能是由多种不同 物理：由于在分界面两侧介质的特性参 媒质组成的。边界条件就是不同媒质的分 • 如何讨论边界条件 ? 数发生突变，场在界面两侧也发 数学：麦克斯韦方程组是微分方程组，其 界面上的电磁场矢量满足的关系，是在不 生突变。麦克斯韦方程组的微分 解是不确定的，边界条件起定解的 麦克斯韦方程组的积分形式在不同媒 同媒质分界面上电磁场的基本属性。 形式在分界面两侧失去意义，必 作用。 质的分界面上仍然适用，由此可导出电磁 须采用边界条件。 场矢量在不同媒质分界面上的边界条件。
电磁场电磁场的媒质边界条件
ars
nr S S
环路围面法向
3 电场强度的关系
rr r nnErrr 2EElrrr 22aErrnrs1
rr
l 0,l
nr r
r E1
r as
nr
r as
0
rE1 0
n E2 n E1 0 E2t E1t
两种媒质界面处电场强度的切向分量相等 （无条件连续）
4 电通密度的关系
以理想导体为边界的区域中，空间电磁场 可以看成是源电荷、电流激发场与导体表面 感应电荷，电流激发场（散射场）的叠加。 在一定条件下，散射场可以等效为位于导体 区域内等效像电荷、电流激发的场，等效像 电荷、电流的分布决定于导体的边界条件。 这种通过寻找像电荷电流求解空间区域电磁 场分布的方法称为镜像法。
l r
Hr2
H1 l
r as
r
nr
Jrl ,
rH1
l
r
ars
as
r Jl
n
r as
n H2 n H1 Jl
H2t H1t J l
在两种媒质界面处，磁场强度的切向分量是 有条件连续的。
4 磁通密度的关系
nr
rr B2 B1
0 Bn2 Bn1 0
在两种媒质的界面处，磁通密度矢量的法向分量 无条件连续。
T? ? 1 f
3 理想导体内部的电磁场
• 理想导体内部不存在电场，只要电场不为 零，在电场的作用下就会有自由电荷分布， 另外导体内的电流密度会成为无穷大，这是 不符合物理的。
• 由麦克斯韦第二方程可得理想导体中的时变 磁场也必为零。
r E
0,
r B
0,
r
Bt
r B
电磁场的边界条件
2.7 电磁场的边界条件
第二章 电磁场的基本规律
二、理想导体表面上的边界条件
理想导体 E、D、B、H=0
n×H1=JS n×E1=0 n•B1=0 n•D1=ρS
n×(H1-H2)=JS n×(E1-E2)=0 n•(B1-B2)=0 n•(D1-D2)=ρS
2.7 电磁场的边界条件
第二章 电磁场的基本规律
一、边界条件的一般形式
磁场强度H的边界条件 1 2
H C
dl H1
l H2
l JS
N l
l (N n)l
n H1 h
H2 Δl
n×(H1-H2)=JS
2.7 电磁场的边界条件
第二章 电磁场的基本规律
电场强度E的边界条件
n×(E1-E2)=0
磁感应强度B的边界条件
S B dS B1nS B2nS 0 1
n
B1
ΔS h
n•(B1-B2)=0
2
B2
2.7 电磁场的边界条件
第二章 电磁场的基本规律
电位移矢分界面两侧，电场强度的切向分 量和磁感应强度的法向分量总是连续的；若分 界面上不存在面电流和面电荷，则磁场强度的 切向分量和电位移矢量的法向分量是连续的
电磁场的边界条件
也可以表示为标量形式：
可见， 的切向分量在不同的媒质分界面上不连续， H 与分界面上的传导电流面密度有关。
②、E 的边界条件
en
(E1 E2 ) 0 E E 1t 2t
结论： E 切向连续。
③ D 的边界条件
1
dv
n
D2
D1 h 0
D dS
s
2
电磁场的边界条件
1 什么是边界条件？
2 为什么要研究边界条件？ 3 如何讨论边界条件？
在两种不同媒质的分界面上，场矢量E, D, B, H
各自满足的关系，称为电磁场的边界条件。
在实际的电磁场问题中，总会遇到两种不
同媒质的分界面（例如：空气与玻璃的分界面、 导体与空气的分界面等），边界条件在处理电 磁场问题中占据着十分重要的地位。
或
B 1n B 2n D 1n D 2n
2.理想导体与介质的分界面，电导率 ， 假设I为介质，II为理想导体。 此时
E 2 0 , B 2 0, D 2 0, H 2 0
en en en en
H1 Js E1 0 B1 0 D 1 ρ s
dS )
由于
D t
有限，故 lim S
h 0
D t
dS 0
而 lim
h 0
J dS
s
h 0
lim
(J S )
h 0
lim
( J e p l h ) J s e p l
en ( H 1
H2) Js
H 1t H 2t J s
数
, ,
电磁场的边界条件一
2. 全电流定理
•电流概念的推广
凡是能产生磁场的物理量均称电流
1）传导电流 载流子定向运动
I0 Id
2）位移电流 变化的电场
•全电流 •全电流定理
I I0 Id
H dl I全
L i
12
•全电流 •全电流定理
I 0 J 0 dS
S
I I0 Id
四电磁场的边界条件物质分界面上电场磁场电流电场在分界面上的边界条件介质1介质2介质1一侧紧邻界面p点的p1点的场量介质2一侧紧邻界面p点的p2点的场量分界面上一点p的情况?法线分量的关系在界面两侧p2作底面平行界面的扁圆柱面介质2处底面积记作s介质1处记作s介质1介质2因为所以由介质方程有介质1介质2在界面两侧过p1介质介质介质1介质2因为所以由介质方程有介质1介质2磁场在物质分界面上的边界条件界面某点p两侧的磁场场量的关系由介质方程有介质1介质2有了场量边界关系可为解题带来方便过场点作狭长矩形回路由于由介质方程有介质1介质2例如
H dl Ii内
L i
S2
S1
L
i
i
H dl i
L
•若取以L为边界的曲面S1
I
i
i内
i得•若取以L为边界的源自面S2Iii内
0
得
H dl 0
L
6
•若取以L为边界的曲面S1 得 I i内 i
i
H dl i
J0 0
0 0
情况下
E
H
满足的微分 方程形式是 波动方程
对沿 x 方向传播的电磁场(波) 有
Ey
2
x
2
2-7 电磁场的边界条件
ห้องสมุดไป่ตู้
解： ⑴ 电介质分界面，分界面上 E 的切向分量连续，z 0 处
E1 (0, t ) ex [60cos(15108 t ) 20cos(15108 t )]V / m ex 80cos(15108 t )V / m
E2 (0, t ) ex Acos(15108 t ) V / m
2.7
电磁场的边界条件
求解由不同媒质所构成的各区域中的电磁场问题。
电磁场矢量 E、 D、 H、 B 在不同媒质分界面上各自满足的关系，称为
电磁场的边界条件。
1. 磁场强度 H 的边界条件
在媒质分界面上，包围P点作一矩形回路l 。 令 l2 0，根据麦氏第一方程 D 1 1 1 2 2 2 l H dl SJ dS S t dS H dl ( H1 H 2 ) e dl H dl 0 ep l l2 l1 en D lim dS 0 lim J dS J e p dl e S h 0 t S l1 h 0
顶面
D1 en dS
D2 en dS S dS
S
可得 en ( D1 D2 ) S
D1n D2n S
D 的法向分量不连续。
当 S 0 时，
en ( D1 D2 ) 0
D1n D2n 0
磁场矢量穿过不存在面电流的分界面时，方向发生变化与磁介质
参数的关系。
总结：电磁场的边界条件 ①在两种媒质分界面上，如果存在面电流，使 H 的切向分量不连续， 其不连续量由 en ( H1 H 2 )确定。若分界面上不存在面电流，则 JS 的切向分量是连续的。 H
电磁场边界条件
解：（1）磁场强度
r
Q
r E
0
H t
ex
E y z
ez
Ey x
0
H t
可求得
r
H t
E0
0
r [ex
d
cos(
d
z)
cos(t
kx)
r ez
k
sin(
d
z)sin(t kx)]
r H
r ex
0d
E0
cos(
d
z) sin(t
r kx) ez
k
0
E0
sin(
d
z) cos(t
kx)
2）两导体表面的面电流密度
D2 )
0
s
相应的标量形式为
H1t H2t B1n B2n
E1t E2t D1n D2n
2.7.2 两种特殊情况的边界条件
1、理想导体表面上的边界条件
理想导体是指σ→∞，所以在理想导体内部不存在电场
。此外，理想导体内部也不存在磁场。理想导体内部不存 在电磁场，即所有场量为零。设 e是n 理想导体的外法向矢
θ1=1.09°，B1 / B2=0.052。由此可见，铁磁材料内部的磁感应强 度远大于外部的磁感应强度，同时外部的磁感应线几乎与铁磁 材料表面垂直。
例1、在两导体平板（z=0和z=d）之间的空气中传播的
电磁波，已知其电场强度为
r E
ery E0
sin(
d
z) cos(t
kx)
式中k为常数，求：（1）磁场强度；（2）两导体表面的面电流 密度和面电荷密度。
s
en
D |zd
ez
D |zd
电磁场三类边界条件
电磁场三类边界条件电磁场三类边界条件电磁场的边界条件是指在介质边界处，电场和磁场的变化情况。
根据边界条件的不同，可以将其分为三类：第一类边界条件、第二类边界条件和第三类边界条件。
下面将详细介绍这三类边界条件。
一、第一类边界条件第一类边界条件也称为零法向电场和零切向磁场边界条件。
它是指在介质表面上，法向于表面的电场强度和切向于表面的磁感应强度均为零。
1. 零法向电场在介质表面上，由于介质内部和外部存在不同的电荷分布情况，因此会产生一个法向于表面方向的电场。
而当这个电场穿过介质表面时，就会发生反射和折射现象。
为了描述这种现象，我们需要引入一个重要的物理量——法向于表面方向上的电通量密度。
根据高斯定理可知，在任意一个闭合曲面内部，通过该曲面的总电通量等于该曲面所包围空间内部所有自由电荷之代数和。
因此，在介质表面附近，我们可以将其看作一个微小的闭合曲面。
则在该曲面上的电通量密度可以表示为：$$\vec{D_1}\cdot\vec{n}=\rho_s$$其中，$\vec{D_1}$表示介质1内部的电位移矢量，$\vec{n}$表示介质表面法向矢量，$\rho_s$表示表面自由电荷密度。
当我们将这个式子应用于介质表面时，可以得到：$$D_{1n}=\rho_s$$其中，$D_{1n}$表示介质1内部法向于表面方向上的电场强度。
由于介质表面上不存在自由电荷，因此$\rho_s=0$。
因此，在第一类边界条件下，法向于介质表面方向上的电场强度为零。
2. 零切向磁场在介质表面上，由于介质内部和外部存在不同的磁场分布情况，因此会产生一个切向于表面方向的磁感应强度。
而当这个磁场穿过介质表面时，就会发生反射和折射现象。
为了描述这种现象，我们需要引入一个重要的物理量——切向于表面方向上的磁通量密度。
根据安培环路定理可知，在任意一个闭合回路上，通过该回路的总磁通量等于该回路所包围空间内部所有电流之代数和。
因此，在介质表面附近，我们可以将其看作一个微小的闭合回路。
2.9 电磁场的边界条件
2.9 电磁场的边界条件自强●弘毅●求是●拓新实际电磁场问题都是在一定的空间和时间范围内发 生的，它有起始状态（静态电磁场例外）和边界状 态。
即使是无界空间中的电磁场问题，该无界空间也可 能是由多种不同介质组成的，不同介质的交界面和 无穷远界面上电磁场构成了边界条件。
边界条件： 即电磁场在不同介质的边界面上服从的条件，也可 以理解为界面两侧相邻点在无限趋近时所要满足的 约束条件。
边界条件是完整的表示需要导出界面两 侧相邻点电磁场矢量所满足的约束关系。
由于在分界面两侧介质的特性参数发生突变，场在界 面两侧也发生突变。
所以Maxwell方程组的微分形式 在分界面两侧失去意义（因为微分方程要求场量连续 可微）。
而积分方程则不要求电磁场量连续，从积分 形式的麦克斯韦方程组出发，导出电磁场的边界条件把积分Maxwell方程组应用到图所表示的两媒质交界 面的扁平圆盘。
根据Gauss定理，让h→0，场在扁平 圆盘壁上的通量为零，得到： n ˆ ˆ D ds D ( n ) S D ( n S ) D 1 2 S 2 ( D2 n D1n )S s Sˆ s (D2 D1 ) n ˆ 0 (B 2 B1 ) nhr2D1 r1在介质分界面两侧，选取如图所示的积环路，应用安培环路积 分公式： D H dl H l H ( l ) ( H H ) t l ( J ) ds 1 2 1 2 l S t t N n ( H 2 H1 ) t ( H 2 H1 ) ( N n ) ˆ J N ˆ ˆ (H H ) N n2 1 sˆ ( H 2 H1 ) J s nˆ ( E 2 E1 ) 0 nD 0 E P, B 0 H Mn ( P 2 P1 ) f n (M 2 M 1 ) J mˆ s (D 2 D1 ) nn ( H 2 H1 ) J s n (B 2 B1 ) 0 ( J f J m )n ( E2 E1 ) ( f p ) / 0①任何分界面上E的切向分量是连续的 ②在分界面上有面电荷(在理想导体表面上)时，D的法向分量不 连续，其差等于面电荷密度；否则，D的法向分量是连续的 ③在分界面上若存在面电流(仅在理想导体表面上存在)，H的切 向分量 不连续 ，其差等于面电流密度；否则，H的切向分量是 连续的 ④任何分界面上B的法向分量是连续的理想介质理想介质是指 0，即无欧姆损耗的简单媒质。
第一章电磁场的媒质边界条件
D
LHdl
S
J
t
dS
S BdS 0
2 积分环路和通量曲面的选择
• 在两种媒质界面上，作一跨越界面的矩形闭合路径，
• 令此矩形路径长边与界面平行，其短边h→0,
n
2 , 2
Jl
h
1,1
l
l 0,h 0
LHdl SJD tdS
3 磁场强度的关系
H2lH1l Jl,l asn nH2asnH1asJlas
5 电力线折射定律
tan 1
E t1 E n1
1
E t1 D n1
n 2
E2
tan 2
E t2 E n2
2
E t2 D n2
S0
tan 1 1 tan 2 2
1
E1
n D 1D 2 0 1En12En2 1E1cos12E2cos2
nE1nE20 E1t E2t E1sin1E2sin2
Dt 2
Dn1 Dt1
S0,h~0
l 0,h 0 S 0 ,h0
S D d S V d V SS d S D 1 S n D 2 S n S S
D n 1 S D n 2 SS S
4 电通密度的关系
n D1 D2 0S
• 两种媒质界面处，电通量密度的法向分量有条件连续。 •当媒质界面上没有自由电荷分布时，电通量密度的法向 分量有条件连续。 • 电场强度法向分量总是不连续的，除非两种介质的介 电常数相等。
s ( J
D t
)d S
L
E
d
l
S
B t
d
S
D d S S
V ef d V
S B d S 0
电磁场边界条件的
e n (H1 H 2 ) 0 e n (E1 E 2 ) 0 e n (B1 B2 ) 0 e n (D1 D 2 ) 0
H 的切向分量连续 E 的切向分量连续 B 的法向分量连续 D 的法向分量连续
则得
D1z
z 0
D2 z
z 0
0 (3 z ) z 0 3 0
E1z
z 0
D1z
1
z 0
3 0 3 5 0 5
3 最后得到 E1 ( x, y,0) e x 2 y e y 5 x ez 5 D1 ( x, y,0) ex10 0 y e y 25 0 x ez 3 0
则得
E1x 2 y,
E1 y 5 x
D1x 1 E1x 10 0 y, D1 y 1 E1 y 25 0 x
又由 en ( D1 D2 ) 0 ，有
ez [ex D1x ey D1 y ez D1z (ex D2 x ey D2 y ez D2 z )]z 0 0
例2.7.3 在两导体平板（z = 0 和 z = d）之间的空气中 已知电场强度
π E ey E0 sin( z ) cos(t k x x) V/m d JS 试求:（1）磁场强度 H；（2）导体表面的电流密度 。 H 解 （1）由 E 0 , 有 t H 1 E t 0 1 E y E y ( e x ez ) 0 z x
D C S ( J t ) dS B dS E d l C S t S B dS 0 S D dS V ρdV
第3讲 电磁场的边界条件
质相对介电常数应为多少？
【解】由边界条件，若 E3平行于x轴，则 E2也必平行于x轴。 在左侧圆柱面分界面上，由电场边界条件：
E1t E2t E1 E2 E2 3
D1n D2n 1E1 2E2 E2
要使合成波E2 平行于x轴，则必有
E1z
z0
D1z
1
z0
3 0 5 0
3 5
最后得到
3
E1 ( x,
y,0)
ex 2 y
ey
5x
ez
5
D1(x, y,0) ex100 y ey x ez 30
第三讲 电磁场的边界条件
【例4】在两导体平板（z = 0 和 z = d）之间的空气中，已知电
场强度
E
ey E0
sin( π
媒质1
en 1
E1
1
媒质2 E2
2
2
en (E1 E2 ) 0
• 导体与电介质分界面
en (D1 D2 ) 0
• 场矢量的折射关系
tan1 E1t / E1n 1 / D1n 1 tan2 E2t / E2n 2 / D2n 2
en E1 0
en D1 S
第三讲 电磁场的边界条件
理想导体表面上的电荷密度等于D的法向分量 磁感应强度平行于导体表面 电场强度垂直于理想导体表面 理想导体表面上的电流密度等于H的切向分量
第三讲 电磁场的边界条件
三、几种常见边界条件
1、静电场的边界条件
• 一般形式
en (E1 E2 ) 0
en (D1 D2 ) S
• 两种电介质分界面
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电磁场的边界条件姓名：学号：专业：班级：提交日期：桑薇薇0990*******通信工程电工 1401 2016.5.28成绩：电磁场的边界条件1.引言2.边界条件分类3.边界条件的作用4.结束语5.参考文献1. 引言在两种不同媒质的分界面上，场矢量E,D,B,H 各自满足的关系，称为电磁场的边界条件。
在实际的电磁场问题中， 总会遇到两种不同媒质的分界面 （例如： 空气与玻璃的分界面、导体与空气的分界面等） ，边界条件在处理电磁场问题中占据十分重要的地位。
2. 边界条件分类1、电场法向分量的边界条件如图 3.9 所示的两种媒质的分界面， 第一种媒质的介电常数、磁导率和电导率分别为1，1和1，第二种媒质的介电常数、磁导率和电导率分别为2，2和 2 。
在这两种媒质分界面上取一个小的柱形闭合面，图 3.9 电场法向分量的边界条件如图 3.9 所示，其高h 为无限小量，上下底面与分界面平行，并分别在分界面两侧， 且底面积 S 非常小，可以认为在 S 上的电位vv v移矢量 D和面电荷密度S是均匀的。
n 1 n 2分别为上下底面的外法线单位矢量， ， 在柱形闭合面上应用电场的高斯定律? v vv v S v vSSD gdS n 1 gD 1 n 2 gD 2 SS故v v v vn 1gD 1 n 2 gD 2S(3.48a)vv vvv若规定 n 为从媒质Ⅱ指向媒质Ⅰ为正方向，则 n 1 n ，n2n，式 (3.48a) 可写为v vvng(D 1D 2 )S(3.48b)或D1nD2nS(3.48c)式 (3.48 ) 称为电场法向分量的边界条件。
vvv 因为 DE ，所以式 (3.48) 可以用 E 的法向分量表示v v v v1n 1gE 12 n 2 gE 2S(3.49a)或1E 1n2 E 2nS(3.49b)若两种媒质均为理想介质时， 除非特意放置， 一般在分界面上不存在自由面电荷，即S，所以电场法向分量的边界条件变为D1nD2n(3.50a)或1E1n 2E2 n(3.50b)若媒质Ⅰ为理想介质，媒质Ⅱ为理想导体时， 导体内部电场为零，即E2，D2，在导体表面存在自由面电荷密度，则式(3.48) 变为v vn 1 gD 1 D 1nS(3.51a)或1E1ns(3.51b)2 、电场切向分量的边界条件在两种媒质分界面上取一小的矩形闭合回路 abcd ，如图 3.10 所示，该回路短边 h 为无限小量，其两个长边为l ，且平行于分界面，并分别在分界面两侧。
在此回路上应用法拉第电磁感应定律v vvv? EgdlBgdSlS因为v v?EgdlE1tl E 2t ll和vvvBl h 0BgdSS tt故图 3.10 电场切向分量的边界条件E 1tE2 t(3.52a)v若 n为从媒质Ⅱ指向媒质Ⅰ为正方向，式 (3.52a) 可写为v v vn( E1E2) 0(3.52b)式 (3.52) 称为电场切向分量的边界条件。
该式表明，在分界面上电场强度的切向分量总是连续的。
vD1t D 2t用 D 表示式 (3.52a) 得12(3.53)若媒质Ⅱ为理想导体时，由于理想导体内部不存在电场，故与导体相邻的媒质Ⅰ中电场强度的切向分量必然为零。
即E1t0(3.54)因此，理想导体表面上的电场总是垂直于导体表面，对于时变场，理想导体内部不存在电场，因此理想导体的切向电场总为零，即电场也总是垂直于理想导体表面。
3、标量电位的边界条件在两种媒质分界面上取两点，分别为 A 和 B，如图3.11 所示。
A，B 分别位于分界面两侧，且无限靠近，两v点的连线 h 0 ，且 h 与分界面法线 n 平行，从标量电位的物理意义出发，得图 3.11 电位边界条件B v v h hAB Egdl E1n E2 nA22由于E1n 和E2 n 为有限值，而h 0 所以由上式可知A B，即A B或1S2S(3.55)式中 S 为两种媒质分界面。
该式表明在两种媒质分界面处，标量电位是连续的。
标量电位在分界面上的边界条件在静电场求解问题中是非常有用的。
考虑到电位与电场强度的关系：vE，由电场的法向分量边界条件式(3.49b)得121 n S2n S S(3.56)式 (3.56) 称为静电场中标量电位的边界条件。
若两种媒质均为理想介质时，在分界面上无自由电荷，标量电位的边界条件为1S2S1212n S n S(3.57)若在理想导体表面上，标量电位的边界条件为S C（常数）(3.58a)Sn S(3.58b)v式中 n 为导体表面外法线方向。
4、磁场法向分量的边界条件在两种媒质分界面处作一小柱形闭合面，如图 3.12 所示，其高度h0 ，上图 3.12磁场法向分量的边界条件下底面位于分界面两侧且与分界面平行，v底面积 S 很小， n 为从媒质Ⅱ指向媒质Ⅰ法线方向矢量，在该闭合面上应用磁场的高斯定律v v v vvv?S BgdS ngB1 S ngB2 S 0则v v vng( B1B2) 0(3.59a)或B1n B2n(3.59b)式 (3.59) 为磁场法向分量的边界条件。
该式表明：磁感应强度的法向分量在分界面处是连续的。
v v v因为B H，所以式 (3.59b)也可以用 H 的法向分量表示1H1 n2H2n(3.60)若媒质Ⅱ为理想导体时，由于理想导体中的磁感应强度为零，故B1 n 0(3.61)因此，理想导体表面上只有切向磁场，没有法向磁场。
5 、磁场切向分量的边界条件在两种媒质分界面处作一小矩形闭合环路，如图 3.13 所示。
环路短边h0 ，两长边 l 分别位于分界面两侧，且平行于分界面。
在此环路上应用?lv v I，即安培环路定律H gdlv vH1tl H 2t l? H gdll图 3.13磁场切向分量的边界条件穿过闭合回路中的总电流为I J S lJC 1hJC 2hl l22D1 lh D 2 lh t2t2式中JS为分界面上面电流密度，J C1，J C2分别为两种媒质中的传导电流体密度，D 1 D 2h 0 ，除JSl外，回路t 和t 分别为两种媒质中的位移电流密度。
因为中的其他电流成分均趋向零，即IJ S l，于是H 1tH2tJS(3.62a)式中JS方向与所取环路方向满足右手螺旋法则。
用矢量关系，式 (3.62a) 可表示为v v v vn (H 1 H 2 ) J S(3.62b)v式 (3.62) 为磁场切向分量的边界条件。
式中 n 为从媒质Ⅱ指向媒质Ⅰ的法线单位矢量。
v用 B 表示式 (3.62a) 得B1tB2tJ S12(3.63)v若两种媒质为理想介质，分界面上面电流密度 JS，则磁场切向分量边界条件为H1tH2t(3.64a)或B 1tB 2t12(3.64b)由式 (3.59b) 和式 (3.64b) 可得tantan1 12 2若媒质Ⅱ为高磁导率材料(2 1)，当2小于 90时， 1 将非常小。
换句话说，在铁磁质表面上磁力线近乎垂直于界面。
当2 时， 10，即在理想铁磁质表面上只有法向磁场，没有切向磁场。
H1tH2t(3.65)v若媒质之一为理想导体，电流存在于理想导体表面上J S，因理想导体内没有磁场，理想导体表面切向磁场为H tJ S(3.66a)或v v vn HJ S(3.66b)若媒质的电导率 有限，即媒质中有电流通过， 其电流只是以体电流分布的v形式存在，在分界面上没有面电流分布，即 JS，则分界面上磁场切向分量是连续的，即H 1tH2 t。
6 、矢量磁位的边界条件v根据矢量磁位 A所满足的旋度和散度表示式， 及磁场的基本方程， 可推导出vvA 的法向分量和切向分量在两种媒质分界面处是连续的， 所以 A 矢量在分界面处也应是连续的，即vvA1 SA2 S(3.67)由式 (3.63) 可得1 v1 v(A 1)t(A 2 )t J S(3.68)127、标量磁位的边界条件在无源区域，即无电流区域，安培环路定律的积分和微分形式为v v? H gdl(3.69)lv (3.70)H根据矢量运算，由式 (3.70) 可引入一标量函数m，令v Hm(3.71)该标量函数m称为标量磁位，其单位是安培 (A)。
式 (3.71) 中的负号是为了与静v电场中E相对应而引入的。
引入标量磁位的概念完全是为了在某些情况下使磁场的计算简化，并无实际的物理意义。
类似于电位差的计算， a 点和 b 点的磁位差为bv vmabmambH gdla(3.72)根据标量磁位定义和磁场的边界条件可得m1Sm 2S(3.73a)1m1 2m2n Sn S(3.73b)式 (3.73) 为标量磁位的边界条件。
8 、电流密度的边界条件在两种导电媒质分界面处作一小柱形闭合面。
如图 3.14 所示，其高度 h0 ，v上下底面位于分界面两侧，且与分界面平行，底面面积 S 很小。
n 为从媒质Ⅱ指向媒质Ⅰ法线方向矢量。
根据电流连续性方程v vVdVSJ C gdSV(3.74)t?在图 3.14 所示的闭合曲面上，v v J1nS J 2n S? J c gdS(3.75)S图 3.14 电流密度的边界条件V dV V dV Q(3.76) V t t V t式中Q为闭合曲面包围的总电荷, 当 h0 时，有Q S S(3.77)将式 (3.77)代入式 (3.76) 得V V dVS St t(3.78)将式 (3.75)和式 (3.78)代入式 (3.74)中得J1n J2nSt(3.79a)或v v v Sng( J1J 2 )t(3.79b)v v根据导电媒质中的物态方程J C E，又已知在分界面处电场切向分量连续，即E1tE2 t ，所以电流密度的切向分量满足J1tJ2 t12(3.80a)或v v vJ1J2] 0n[12(3.80b)式 (3.79) 和式 (3.80) 为电流密度满足的边界条件，对静态场和时变场均适用。
标量形式D1n D2n sE 1t E 2tB 1n B 2nH1t H2tJsJ 1n J2nstJ 1t J 2t12矢量形式v v vng( D1D2 )Sv v vn (E1E2)0v v vng(B1B2 )0v v v v n( H 1H 2 )J Sv v v S ng( J1J 2 )tvv vJ1J2) 0 n(12A1A21S2S121 n S2n S S3.边界条件的作用一般电磁场的求解都需要解偏微分方程的，确定边界条件就是对于求得偏微分方程的解起到重要作用。
4.结束语电磁场的边界条件可以由麦克斯韦方程组的积分形式推出，它实际上是积分形式的极限结果。
这些边界条件是n· (D1-D2)=ρs； (1)n× (E1-E2)=0 ； (2)n· (B1-B2)=0 ； (3)n× (H1-H2)=J)s 。