正十七边形

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正17边形的高斯做法

正17边形的高斯做法做正17边形等于求方程x^17-1=0的根即(x-1)(x^16+x^15+.....+x+1)=f(x)(x-1)=0的根注意f(x)=0有16个根e1～e16,令其中的单位原根为e1并令ei=e^i根据韦达定理，16个根的和为x^15项的系数乘-1第一步,把16个根分成两组∑1和∑2∑1=(e1+e2+e4+e8)+(e1+e2+e4+e8)∑2=(e3+e5+e6+e7)+(e3+e5+e6+e7)(这里用下划线表示共扼根)注意∑1+∑2=-1（韦达定理）而∑1*∑2=-4（有兴趣的朋友可以验算一下）于是根据韦达定理，∑1和∑2分别是方程x^2+x-4=0的根,可解出;第二步,把∑1分成两组,∑11=(e1+e8)+(e1+e8)∑12=(e2+e4)+(e2+e4)注意∑11+∑12=∑1而∑11*∑12=∑2（有兴趣的朋友可以验算一下）因为∑1和∑2在前面已经解出所以∑11、∑12可以从方程x^2-(∑1)x+(∑2)=0解出(韦达定理)下面的步骤相似,可继续把∑11分解为∑111=e1+e1 和∑112=e8+e8∑111+∑112=∑11∑111*∑112=∑12同样可用韦达定理解出;最后就简单了∑111=e1+e1 而e1*e1 =1所以就可利用韦达定理解出e1来了！将你要画的正17边形的边长为d，它的外接圆的半径为R。

则d和R的关系是Sin(360度/(17*2))=d/(2R)正17边形的边对应的圆心角度数为360/17,正17边形的一条边和其两个端点与圆心连接的半径成为一个等边三角形；然后从圆心作出一条垂线到边上，就能得出一个直角三角形，圆心的那个角是圆心角的一半，即360度/(17*2)，对边是d/2,斜边是R，所以得出Sin(360度/(17*2))=d/(2R)最后，根据该公式，如果你想画出一个边长为1厘米的正17边形，则把d=1代入公式，得出R的值。

高斯正17边形的尺规作图方法

高斯正17边形的尺规作图方法_做法步骤如下：（1）给一圆O，作两垂直的直径AB、CD：
（2）在OA上作E点使OE=1/4AO，连结CE,：
（3）作∠CEB的平分线EF：
（4）作∠FEB的平分线EG，交CO于P：
（5）作∠GEH=45°，交CD于Q：
（6）以CQ为直径作圆，交OB于K：
（7）以P为圆心,PK为半径作圆.交CD于L、M：
（8）分别过M、L作CD的垂线，交圆O于N、R：
（9）作弧NR的中点S，以SN为半径将圆O分成17等份：
最后几何作图如下：
简易作法
因为360°/17≈21°10′，利用sinA 21°6′=0.3600可得近似角。

用该方法作正十七边形总误差为17*4′=68′，在不要求十分精确的情况下还是可行的。

作法如下：
1.先画一条直线，用圆规在上面截取5条相等线段，(尽量越短越好),再截
取之前四条线段的和，接续之前画的线段。

这样，如果每条小线段算作
0.1的话，那么整条线段就是1.8。

2.用圆规截取之前5条小线段的长，画5次，这样这条线段就是5。

1.8/5=0.36。

准备工作完毕！
3.另作一条直线，作垂线，1.8的线段作为对边，5的线段作为斜边，那个
最小的锐角即是近似的360°/17的角。

以其顶点为圆心，重复作角直至闭合。

画一大圆，连接其与17条射线的交点，即可。

正十七边形尺规作图及证明

正十七边形尺规作图及证明正十七边形样本图正十七边形作法:第一步：在给定直线l上作一个圆O交直线于点A，B，分别以A，B为圆心，AB，BA为半径作弧，两弧交于点C，D，连接CD；第二步：以C为半径，CO为半径作弧交圆于点E，F，连接EF交CD于点K，再分别以K，O为圆心，KO，OK为半径作弧，两弧交于点G，H，连接GH交直线CD于点P，连接PB；第三步：再以P为圆心，小于PB的长度为半径作弧U，分别交AB，CD于点M，N，再分别以M，N为圆心，MN，NM为半径作弧，两弧圆外的交点为Q，连接QP交圆于点T，再分别以T，M为圆心，TM，MT为半径作弧，两弧圆外的交点为R，连接PR交弧U于上面的点S，下面的点W；第四步:连接S，W，再分别以S，W为圆心，SW，WS为半径作弧交于圆外的点Y，连接PY交弧U于点X，再分别以X，S为圆心SX，XS为半径作弧，两弧圆外的交点为Z，连接PZ；第五步：PZ交AB于点A₁，再分别以A₁，B为圆心，A₁B，B A₁作弧交于点A ₂，B₁，连接A₂，B₁交AB于点B₂，交圆于点C₁，连接B₂，C₁；第六步：再最后的C₁B依次戴取分点，直到最后作出十七个分点后连接，便是正十七边形。

正十七边形证明我们知道，一个正多边形的中心角的余弦值如果不是超越数，就可以用尺规作出该正多边形，求出的中心角的三角函数值代数式也就是包含了过程。

计算360cos 17⎛⎫︒ ⎪⎝⎭设正十七边形的中心角为α，则17360α=︒即16360αα=︒-亦即()sin16sin 360sin ααα=︒-=-由诱导公式()cos 2cos παα-=，我们发现：()()()()()()()()()()()()cos cos 360cos 17cos16cos 2cos 3602cos 172cos15cos3cos 3603cos 173cos14cos 4cos 3604cos 174cos13cos5cos 3604cos 175cos12cos 6cos 3606cos 176cos11cos 7ααααααααααααααααααααααααααααααα=︒-=-==︒-=-==︒-=-==︒-=-==︒-=-==︒-=-=()()()()cos 3607cos 177cos10cos8cos 3608cos 178cos9ααααααααα=︒-=-==︒-=-=因此我们有结论1：cos cos16cos 2cos15cos3cos14cos 4cos13cos5cos12cos 6cos11cos 7cos10cos8cos9αααααααααααααααα======== 该结论我们以后使用。

著名数学家高斯与正十七边形

著名数学家高斯与正十七边形著名数学家高斯与正十七边形用直尺和圆规作出圆内接正七、正九、正十一、正十三、正十七边形，是从古希腊以来两千多年悬而未决的著名数学难题；它困扰了许多著名的数学家，有的甚至为之付出一生的努力，却毫无所获。

但是，此难题却被18岁的高斯在1796年3月30日功克。

高斯是18—19世纪最伟大的数学家，近代数学的奠基人之一。

他被称为“数学王子”，“数学巨人”。

如果说世界上有神童的话，那么高斯就是其中的一位。

据说他三岁就发现了他父亲算帐时出现的错误，10岁时已表现出超群的数学思维能力。

有一次，老师出了一道题：把1到100的整数全部加起来。

其他同学都拿起笔来一个一个地加，高斯却坐在那一动也不动。

老师走到跟前问他为什么不做，他却立即报出了答案：5050。

他的做法是：把1和100相加得101，2和99相加也是101，3和97相加还是101；如此下去，共有50个101。

因此，得数为101×50=5050。

老师感慨地说“他已经超过我了，我没有什么可以教他的了。

”15岁时，高斯进入了卡罗琳学院，学习了牛顿，拉格郎日，欧拉等人的著作，很快掌握了微积分理论。

18岁时，高斯进入哥廷根大学。

在一次偶然的阅读中，他知道了用直尺和圆规作出圆内接正七边形的难题。

这使他非常着迷，并决心要功克它。

他首先查找出前人的作图方法，仔细研究他们失败的原因，通过半年多的努力，他终于作出了正七边形；接着，正九、正十一、正十三边形都被他一一克服。

没多久，正十七边形也被他功克。

面对第一次取得的成功，高斯异常兴奋，决心把自己的一生献给数学。

1801年，他发表了《算术研究》，论述了数论和高等代数的一些问题。

高斯对数学的研究涉及很多方面，除了在复变函数\统计数学\椭圆函数论上有突出贡献外，他在向量分析\正态分布的正规曲线\质数定理的验算研究上也取得了成绩。

在高斯去世后，哥廷根大学为他建造了一个以正十七边形棱柱为底座的纪念像，以纪念他一生中的第一个重大发现。

正十七边形尺规作图与详解

解读“数教王子”下斯正十七边形的做法之阳早格格创做一、下斯的传道故事下斯），德国数教家、物理教家、天文教家.有一天，年幼的下斯正在一旁瞅著做火泥工厂工头的女亲估计工人们的周薪.女亲算了佳一会女，毕竟将截止算出去了.但是万万出料到，他身边传去幼老的童音道：“爸爸，您算错了，总数该当是……”女亲感触很惊同，赶闲再算一遍，截止证据下斯的问案是对于的.那时的下斯惟有3岁！下斯上小教了，教他们数教的教授布特勒(Buttner)是一个做风恶劣的人，他道课时从不思量教死的担当本收，偶我还用鞭子处奖教死.有一天，布德勒让齐班教死估计1+2+3+4+5+……+98+99+100＝？的总战，而且威胁道：“谁算不出去，便禁绝回家用饭！”布德勒道完，便坐正在一旁独自瞅起小道去，果为他认为，干那样一道题目是需要些时间的.小伙伴们启初估计：“1 + 2 ＝3，3+3＝6，6+4＝10，……”数越去越大，估计越去越艰易.然而是不暂，下斯便拿着写着解问的小石板走到布德勒的身边.下斯道：“教授，我干完了，您瞅对于分歧过失？“干完了？那样快便干完了？肯定是胡治干的！”布德勒连头皆出抬，挥挥脚道：“错了，错了！回去再算！”下斯站着不走，把小石板往前伸了伸道：“我那个问案是对于的.”布德勒抬头一瞅，大吃一惊.小石板上写着5050，一面也不错！下斯的算法是 1 ＋ 2 ＋3＋……＋98＋99＋100100＋99＋98＋……＋3＋ 2＋1101＋101＋101＋……＋101＋101＋101＝101×100＝1010010100÷2＝5050下斯本去不了解，他用的那种要收，本去便是古代数教家通过少暂齐力才找出去的供等好数列战的要收，那时他才八岁！1796年的一天，德国哥廷根大教.下斯吃完早饭，启初干导师给他单独安插的三道数教题.前二道题他不费吹灰之力便干了出去了.第三道题写正在另一弛小纸条上：央供只用圆规战不刻度的曲尺，做出一个正十七边形.那道题把他易住了——所教过的数教知识竟然对于解出那道题不所有助闲.时间一分一秒的往日了，第三道题竟毫无收达.他绞尽脑汁，测验考查着用一些超惯例的思路去觅供问案.当窗心暴露曙光时，他毕竟办理了那道易题. 当他把做业接给导师时，感触很忸捏.他对于导师道：“您给我安插的第三道题，我竟然干了整整一个通宵，……”导师瞅完做业后，激动天对于他道：“您知不了解？您解启了一桩有二千多年履历的数教悬案！阿基米得不办理，牛顿也不办理，您竟然一个早上便解出去了.您是一个真真的天才！”本去，导师也向去念解启那道易题.那天，他是果为拿错了，才将写有那道题脚段纸条接给了教死. 正在那件事务爆收后，下斯曾回忆道：“如果有人报告我，那是一道千古易题，我大概永近也不自疑心将它解出去.”1796年3月30日，当下斯好一个月谦十九岁时，正在期刊上刊登《闭于正十七边形做图的问题》.他隐然以此为骄气，还央供以去将正十七边形刻正在他的墓碑上.然而下斯的怀念碑上并不刻上十七边形，而刻着一颗十七角星，本去是控制刻怀念碑的雕刻家认为：“正十七边形战圆太像了，刻出去之后，每部分皆市误以为是一个圆.”1877年布雷默我奉汉诺威王之命为下斯干一个怀念奖章.上头刻着：“汉诺威王乔治V. 献给数教王子下斯(Georgius V. rex Hannoverage Mathematicorum principi)”，自那之后，下斯便以“数教王子”着称于世.二、下斯正十七边形尺规做图的思路（那里是杂三角法）做正十七边形的闭键是做出cos 172π，为此要修坐供解cos 172π的圆程. 设正17边形核心角为α，则17α＝2π，即16α＝2π－α故sin16α＝－sinα ，而sin16α＝2sin8α cos8α＝4sin4α cos4α cos8α＝8 sin2α cos2α cos4α cos8α＝16 sinα cosα cos2α cos4α cos8α果sinα ≠0，二边除以sinα，有16cosα cos2α cos4α cos8α＝－1由积化战好公式，得4(cosα＋cos3α)(cos4α＋cos12α)＝－1展启，得4(cosα cos4α＋cosα cos12α＋cos3α cos4α＋cos3α cos12α)＝－1再由积化战好公式，得2[(cos3α＋cos5α)＋(cos11＋cos13α)＋(cosα＋cos7α)＋(cos9α＋cos15α)]＝－1注意到 cos11α＝cos6α，cos13α＝cos4α，cos9α＝cos8α，cos15α＝cos2α，有2(cosα＋cos2α＋cos3α＋cos4α＋cos5α＋cos6α＋cos7α＋cos8α)＝－1 设 a ＝2(cosα+ cos2α+cos4α+ cos8α)，b ＝2(cos3α+ cos5α+cos6α+ cos7α)，则 a ＋b ＝－1又ab ＝2(cosα＋cos2α＋cos4α＋cos8α)·2(cos3α＋cos5α＋cos6α＋cos7α) ＝4cosα(cos3α＋cos5α＋cos6α＋cos7α)＋4cos2α(cos3α＋cos5α＋cos6α＋cos7α)＋4cos4α(cos3α＋cos5α＋cos6α＋cos7α)＋4cos8α(cos3α＋cos5α＋cos6α＋cos7α)再展启之后共16项，对于那16项的每一项应用积化战好公式，可得： ab ＝2 [(cos2α＋cos4α)＋(cos4α＋cos6α)＋(cos5α＋cos7α)＋(cos6α＋cos8α)＋(cosα＋cos5α)＋(cos3α＋cos7α)＋(cos4α＋cos8α)＋(cos5α＋cos9α)＋(cosα＋cos7α)＋(cosα＋cos9α)＋(cos2α＋cos10α)＋(cos3α＋cos11α)＋(cos5α＋cos11α)＋(cos3α＋cos13α)＋(cos2α＋cos14α)＋(cosα＋cos15α)]注意到cos9α＝cos8α，cos10α＝cos7α， cos11α＝cos6α，cos13α＝cos4α，cos14α＝cos3α，cos15α＝cos2α，有ab ＝2×4(cosα＋cos2α＋cos3α＋cos4α＋cos5α＋cos6α＋cos7α＋cos8α)＝－4果为cosα＋cos2α＋cos8α＝(cos 172π＋cos 174π)＋cos 1716π ＝2cos 17πcos 173π－cos 17π＝2cos 17π(cos 173π－21) 又 0 < 173π < 3π < 2π 所以cos 173π> 21 即cosα＋cos2α＋cos8α > 0又果为 cos4α＝cos 178π> 0所以 a＝cosα＋cos2α＋cos4α＋cos8α > 0又 ab＝-4< 0所以有a > 0， b< 0可解得a＝2171+-，b＝2171--再设c＝2(cosα＋cos4α)，d＝2(cos2α＋cos8α)，则c+d＝acd＝2(cosα+ cos4α)·2(cos2α+ cos8α)＝4 (cosαcos2α＋cosαcos8α＋cos4αcos2α＋cos4αcos8α)＝2 [(cosα＋cos3α)＋(cos7α＋cos9α)＋(cos2α＋cos6α)＋(cos4α＋cos12α)]注意到cos9α＝cos8α，cos12α＝cos5α，有cd＝2[(cosα＋cos3α)＋(cos7α＋cos8α)＋(cos2α＋cos6α)＋(cos4α＋cos5α)]＝2( cosα＋cos2α＋cos3α＋cos4α＋cos5α＋cos6α＋co s7α＋cos8α)＝-1果为0 < α < 2α < 4α < 8α < π所以cosα > cos2α，cos4α > cos8α二式相加得cosα＋cos4α> cos2α＋cos8α或者2(cosα＋cos4α)> 2(cos2α＋cos8α)即 c > d，又 cd＝-1 < 0所以有c > 0， d < 0可解得c ＝242++a a ，【d ＝242+-a a 】类似天，设e ＝2(cos3α＋cos5α)，f ＝2(co s6α＋cos7α)则e+f ＝bef ＝2(cos3α＋cos5α)·2(cos6α＋cos7α)＝4(cos3αcos6α＋cos3αcos7α＋cos5αcos6α＋cos5αcos7α)＝2 [(cos3α＋cos9α)＋(cos4α＋cos10α)＋(cosα＋cos11α)＋(cos2α＋cos12α)]注意到cos9α＝cos8α，cos10α＝cos7α， cos11α＝cos6α，cos12α＝cos5α，有ef ＝2[(cos3α＋cos8α)＋(cos4α＋cos7α)＋(cos α＋cos6α)＋(cos2α＋cos5α)]＝2( cosα＋cos2α＋cos3α＋cos4α＋cos5α＋cos6α＋cos7α＋cos8α)＝-1果为 0 < 3α < 5α < 6α < 7α < π所以有 cos3α > cos6α，cos5α > cos7α二式相加得cos3α＋cos5α> cos6α＋cos7α2(cos3α＋cos5α)> 2(cos6α＋cos7α)即 e > f ，又 ef ＝-1 < 0所以有 e > 0， f < 0可解得e ＝242++b b ，【f ＝242+-b b 】由c ＝2(cosα＋cos4α)，得cosα＋cos4α＝2c ，即cos 172π＋cos 178π＝2c e ＝2(cos3α＋cos5α)，应用积化战好公式，得cosαcos4α＝4e ，即cos 172πcos 178π＝4e 果为0<172π<178π<2π，所以cos 172π>cos 178π>0 所以cos 172π＝442e c c -+，【cos 178π＝442e c c --】于是，咱们得到一系列的等式：a ＝2171+-，b ＝2171--，c ＝242++a a ，e ＝242++b b ， cos 172π＝442e c c -+ 有了那些等式，只消依次做出a 、b 、c 、e ，即可做出cos 172π.步调一：给一圆O ，做二笔曲的半径OA 、OB ，做C 面使OC ＝1/4OB ，做D 面使∠OCD ＝1/4∠OCA ，做AO 延少线上E 面使得∠DCE ＝45度.步调二：做AE 中面M ，并以M 为圆心做一圆过A 面，此圆接OB 于F 面，再以D 为圆心，做一圆过F 面，此圆接曲线OA 于G4战G6二面. 步调三：过G4做OA 笔曲线接圆O 于P4，过G6做OA 笔曲线接圆O 于P6，则以圆O 为基准圆，A 为正十七边形之第一顶面P4为第四顶面，P6为第六顶面.对接P4P6，以1/2弧P4P6为半径，正在圆上不竭截与，即可正在此圆上截出正十七边形的所有顶面.履历最早的十七边形绘法创制人为下斯.下斯(1777~1855年)，德国数教家、物理教家战天文教家.正在童年时代便表示出非凡是的数教天才.三岁教会算术，八岁果创制等好数列供战公式而深得教授战共教的钦佩.1 799年以代数基础定理的四个漂明道明赢得专士教位.下斯的数教成便广大各个范围，其中许多皆有着划时代的意思.共时，下斯正在天文教、天里丈量教战磁教的钻研中也皆有良好的孝敬.1801年，下斯道明：如果k是量数的费马数，那么便不妨用曲尺战圆规将圆周k仄分.下斯自己便是根据那个定理做出了正十七边形，办理了二千年去悬而已决的易题.原理当时，如果下斯的教授报告了下斯那是道2000多年出人解问出去的题目，下斯便不会绘出那个正十七边形.那道明白您不怕艰易，艰易便会被攻克，当您惧怕艰易，您便不会胜利.正十七边形的道明要收正十七边形的尺规做图存留之道明:设正17边形核心角为a,则17a=360度,即16a=360度-a故sin16a=-sina,而sin16a=2sin8acos8a=4sin4acos4acos8a=16sinacosacos2acos4acos8a 果sina不等于0,二边除之有:16cosacos2acos4acos8a=-1又由2cosacos2a=cosa+cos3a等,有2(cosa+cos2a+…+cos8a)=-1注意到 cos15a=cos2a,cos12a=cos5a,令x=cosa+cos2a+cos4a+cos8№ay=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a有:x+y=-1/2又xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a)(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a)=1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+…+cosa+cos15a)经估计知xy=-1又有x=(-1+根号17)/4,y=(-1-根号17)/4其次再设:x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8ay1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a故有x1+x2=(-1+根号17)/4y1+y2=(-1-根号17)/4末尾,由cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1)/2可供cosa之表白式,它是数的加减乘除仄圆根的拉拢, 故正17边形可用尺规做出。

画正多边形最多边的世界记录

画正多边形最多边的世界记录
正十七边形是指几何学中有17条边及17只角的正多边形。

正十七边形的每个内角约为158.823529411765°，其内角和为2700°，有119条对角线。

最早发现其形状可用尺规作图法作出的是高斯。

最早的十七边形画法创造人是高斯【1801年数学家高斯证明：如果费马数k为质数，那么就可以用直尺和圆规将圆周k等分.但是，高斯本人实际上并不会做正十七边形。

第一个真正的正十七边形尺规作图法直到1825年才由约翰尼斯·厄钦格（Johannes Erchinger）给出.】
高斯（1777─1855年）德国数学家、物理学家和天文学家。

高斯在童年时代就表现出非凡的数学天才。

年仅三岁，就学会了算术，八岁因运用等差数列求和公式而深得老师和同学的钦佩。

大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件。

解决了两千年来悬而未决的难题，1799年以代数基本定理的四个漂亮证明获博士学位。

高斯的数学成就遍及各个领域，在数学许多方面的贡献都有着划时代的意义。

并在天文学，大地测量学和磁学的研究中都有杰出的贡献。

正十七边形尺规作图与详解

解读“数学王子”高斯正十七边形的作法一、高斯的传奇故事高斯(Carl Friedrich Gauss 1777.4.30~1855.2.23），德国数学家、物理学家、天文学家。

有一天，年幼的高斯在一旁看著作水泥工厂工头的父亲计算工人们的周薪。

父亲算了好一会儿，终于将结果算出来了。

可是万万没想到，他身边传来幼嫩的童音说：“爸爸，你算错了，总数应该是……”父亲感到很惊异，赶忙再算一遍，结果证实高斯的答案是对的。

这时的高斯只有3岁！高斯上小学了，教他们数学的老师布特勒(Buttner)是一个态度恶劣的人，他讲课时从不考虑学生的接受能力，有时还用鞭子惩罚学生。

有一天，布德勒让全班学生计算1+2+3+4+5+……+98+99+100＝？的总和，并且威胁说：“谁算不出来，就不准回家吃饭！”布德勒说完，就坐在一旁独自看起小说来，因为他认为，做这样一道题目是需要些时间的。

小朋友们开始计算：“1 + 2 ＝3，3+3＝6，6+4＝10，……”数越来越大，计算越来越困难。

但是不久，高斯就拿着写着解答的小石板走到布德勒的身边。

高斯说：“老师，我做完了，你看对不对？“做完了？这么快就做完了？肯定是胡乱做的！”布德勒连头都没抬，挥挥手说：“错了，错了！回去再算！”高斯站着不走，把小石板往前伸了伸说：“我这个答案是对的。

”布德勒抬头一看，大吃一惊。

小石板上写着5050，一点也没有错！高斯的算法是1 ＋2 ＋3＋……＋98＋99＋100100＋99＋98＋……＋3＋2＋1101＋101＋101＋……＋101＋101＋101＝101×100＝1010010100÷2＝5050高斯并不知道，他用的这种方法，其实就是古代数学家经过长期努力才找出来的求等差数列和的方法，那时他才八岁！1796年的一天，德国哥廷根大学。

高斯吃完晚饭，开始做导师给他单独布置的三道数学题。

前两道题他不费吹灰之力就做了出来了。

第三道题写在另一张小纸条上：要求只用圆规和没有刻度的直尺，作出一个正十七边形。

高斯与正十七边形故事

高斯与正十七边形故事嘿，你知道吗？在数学的奇妙世界里，有一个超级厉害的故事，那就是高斯与正十七边形的传奇呀！话说高斯，那可是个数学天才中的天才啊！就像武侠小说里的绝世高手一样，一出手就不同凡响。

有一天，他就和正十七边形较上劲了。

你想想，正十七边形啊，那得多复杂，多难搞啊！可高斯偏不信这个邪，他就像一个勇敢的探险家，一头扎进了这个难题里。

咱普通人看到正十七边形，估计脑袋都大了，别说去研究它了，看都不想多看一眼。

可高斯不一样啊，他那聪明的脑袋瓜一转，就开始琢磨怎么攻克这个难关。

这就好比别人看到一座高山，都觉得没法爬上去，高斯却想着怎么找条路登顶呢！他整天整夜地思考，不停地计算，草稿纸都用了不知道多少。

这得有多执着啊！要是咱，可能早就放弃了，还会说：“哎呀，这太难了，搞不定啦！”但高斯不，他就是要和这个正十七边形死磕到底。

你说他怎么就能这么厉害呢？难道他脑袋里装了台超级计算机？我觉得啊，那是因为他对数学有着无比的热爱和痴迷。

就像咱喜欢吃好吃的一样，他看到数学难题就两眼放光。

经过无数个日夜的奋战，嘿，你猜怎么着？高斯还真就把正十七边形给搞定了！这简直就是奇迹啊！他就像一个神奇的魔法师，把不可能变成了可能。

这事儿给我们啥启示呢？那就是只要咱有决心，有毅力，没什么事儿是办不到的。

别老觉得自己不行，你看看高斯，面对那么难的正十七边形都没退缩，咱还有啥理由不努力呢？而且啊，这个故事也让我们看到了数学的魅力。

它可不只是那些枯燥的公式和数字，它里面藏着无数的宝藏等着我们去挖掘呢！就像高斯发现了正十七边形的秘密一样，说不定我们也能在数学的海洋里找到属于自己的宝贝呢！咱们生活中不也经常遇到各种困难吗？有时候觉得简直没法解决了，可要是咱学学高斯那股子劲儿，说不定就能柳暗花明又一村呢！别小瞧自己，咱也能创造属于自己的奇迹呀！你说是不是？所以啊，别害怕困难，勇敢地去挑战吧，就像高斯挑战正十七边形一样！让我们也在自己的人生道路上创造出属于我们的精彩吧！。

高斯画正17边形是如何思考的高斯作出正17边形的依据是什么

高斯画正17边形是如何思考的高斯作出正17边形的依据是什么又来黑我们大高斯问：看过一个用尺规作出正17边形的视频，不过步骤太快，难懂。

能否具体解释一下各个步骤的意义？高斯当年并没有亲自去画正十七边形...大概是他觉得这个太Trivial了……毕竟难度90%都在于到底有哪些正多边形可尺规作图而不是怎么尺规作图。

尺规作图的过程全部蕴含在代数式里了。

我们一起来看看怎么把这个代数公式翻译成作图过程。

==========================================首先随便画一条直线，这条直线的作用是记录，记录你作出过的所有长度。

当然动态图里没有这个，事实上也没有人画这个，因为这是打擦边球...尺规作图的公理里明确指出禁止在尺上做标记，所以这么画条直线变相做标记也是君子所不齿的。

不过另一方面又规定了圆规能够量取已经存在(做出)的所有长度...在哪量不是量...这条直线不管怎么样都是隐式存在的.......==========================================引理：记录器你有了一条线，然后随便点一个点A，于是你有了个零元。

接下来再随便点一个其它点B，于是你有了个幺元，AB定为单位长度。

根据尺规作图公理，圆规可以量取任意已存在的长度，将量取的长度转移到这条直线上。

因此这条直线就能记录已存在长度的集合。

引理：加法器引理：除法器虽然N等分点相当于除以个整数，但是要获得更强大的除法计算能力就要构建除法器了。

引理：开根器虽然勾股定理能开根，但是勾股定理有个局限性就是要求两条线段直角。

对于单一的线段就只能使用开根器了。

===============================================反复使用记录器，加法器，除法器，开根器就能计算出一条长度正好为的线段。

然后找出圆心角和所对弦的关系：所以所对的圆心角就是,于是只要这么一个圆一个圆的接下去就能得到正17边形的所有点了。

正十七边形尺规作图与详解.docx

实用标准文档解读“数学王子”高斯正十七边形的作法一、高斯的传奇故事高斯 (Carl Friedrich Gauss1777.4.30~1855.2.23），德国数学家、物理学家、天文学家。

有一天，年幼的高斯在一旁看著作水泥工厂工的父算工人的周薪。

父算了好一会儿，于将果算出来了。

可是万万没想到，他身来幼嫩的童音：“爸爸，你算了，数是⋯⋯”父感到很惊异，赶忙再算一遍，果高斯的答案是的。

的高斯只有 3 ！高斯上小学了，教他数学的老布特勒(Buttner)是一个度劣的人，他从不考学生的接受能力，有用鞭子学生。

有一天，布德勒全班学生算1+2+3+4+5+⋯⋯+98+99+100＝？的和，并且威：“ 算不出来，就不准回家吃！”布德勒完，就坐在一旁独自看起小来，因他，做一道目是需要些的。

小朋友开始算：“ 1 + 2＝3，3+3＝6，6+4＝10，⋯⋯”数越来越大，算越来越困。

但是不久，高斯就拿着写着解答的小石板走到布德勒的身。

高斯：“老，我做完了，你看不？“做完了？么快就做完了？肯定是胡乱做的！”布德勒都没抬，手：“ 了，了！回去再算！”高斯站着不走，把小石板往前伸了伸：“我个答案是的。

”布德勒抬一看，大吃一惊。

小石板上写着5050 ，一点也没有！高斯的算法是1＋ 2 ＋ 3＋⋯⋯＋ 98 ＋99 ＋ 100100＋99 ＋98＋⋯⋯＋3＋ 2＋1101＋ 101 ＋ 101 ＋⋯⋯＋101 ＋101 ＋ 101 ＝101 ×100 ＝1010010100 ÷2＝ 5050高斯并不知道，他用的种方法，其就是古代数学家期努力才找出来的求等差数列和的方法，那他才八！1796 年的一天，德国哥廷根大学。

高斯吃完晚，开始做他独布置的三道数学。

前两道他不吹灰之力就做了出来了。

第三道写在另一小条上：要求只用和没有刻度的直尺，作出一个正十七形。

道把他住了——所学的数学知竟然解出道没有任何帮助。

一分一秒的去了，第三道竟毫无展。

正十七边形尺规作图与详细讲解

解读“数学王子”高斯正十七边形的作法一、高斯的传奇故事高斯(Carl Friedrich Gauss 1777.4.30~1855.2.23），德国数学家、物理学家、天文学家。

有一天，年幼的高斯在一旁看著作水泥工厂工头的父亲计算工人们的周薪。

父亲算了好一会儿，终于将结果算出来了。

可是万万没想到，他身边传来幼嫩的童音说：“爸爸，你算错了，总数应该是……”父亲感到很惊异，赶忙再算一遍，结果证实高斯的答案是对的。

小朋友们开始计算：“1 + 2 ＝3，3+3＝6，6+4＝10，……”数越来越大，计算越来越困难。

但是不久，高斯就拿着写着解答的小石板走到布德勒的身边。

”布德勒抬头一看，大吃一惊。

高斯吃完晚饭，开始做导师给他单独布置的三道数学题。

前两道题他不费吹灰之力就做了出来了。

第三道题写在另一张小纸条上：要求只用圆规和没有刻度的直尺，作出一个正十七边形。

正17边形尺规作图研究的历史回顾

正17边形尺规作图研究的历史回顾正17边形尺规作图研究的历史回顾古代数学家很早就解决了正3、4、5、15边形，以及和（n为非负整数）边形的尺规作图问题。

但是直到19世纪末的这2000年间，竟然没有进展。

1796年，当高斯19岁，还是一个学生的时候，证明了仅当边数为（圆括号中为素数，为非负整数）时，正k边形可用尺规作出。

特别是，正17边形，可用尺规作出。

尔后，人们热衷于研究具体的作图方法。

兹对这一过程加以回顾。

1.我们先给出两种具体的作图方法，供大家赏析。

第一个方法：改编自考克赛特（H.Coxeter）的《几何引论》一书：[1]作⊙O(OA),作半径OB&perp;OA,作AC交OB于C,使OC= ,作&ang;OCD= ,且&ang;ECD=45°.以EA为直径作半圆，交OB于F,作⊙D(OF)交OA于H和G,过H、G作OA的垂线，交大圆O于P、Q.令点R平分,则PR和RQ就是正17边形的一边。

正257边形和正65537边形的作法，人们也已知道。

第2个方法：是由一个叫约翰•路利（John Lowry）的人，在1819年给出的，他的证明在当年《数学博览》杂志上，占去9页之多[2]：在半圆O的半径OC上，求出中点Q，并在垂直于该半径的直径AB上，自圆心O截取OD=，作DF=DE=DQ，作EG=EQ，FH=FQ，再作OK为OH与OQ的比例中项。

过K作KM//AB,而与罩住OG的半圆周相交于M.作MN//OC,与⊙O交于N.则就是圆周长的。

2.第3个方法：[3]来自《数学通讯》1954年5月号，欧阳琦的文章：“正十七边形作图法”。

要作正17边形，无异于要把圆周17等分。

假定Ak(k=0,1,…,16)依次是单位圆上17个等分点。

作直径A0A，连AAk,命A0Ak=ak,则显然，（1）易见，除a0外只要求出al中的任何一个，则问题解决。

正十七边形

正十七边形尺规作法(无刻度）步骤一：给一圆O，作两垂直的半径OA、OB，作C点使OC＝1/4OB，作D点使∠OCD＝1/4∠OCA，作AO延长线上E点使得∠DCE＝45度。

步骤二：作AE中点M，并以M为圆心作一圆过A点，此圆交OB于F点，再以D为圆心，作一圆过F点，此圆交直线OA于G4和G6两点。

步骤三：过G4作OA垂直线交圆O于P4，过G6作OA垂直线交圆O于P6，则以圆O为基准圆，A为正十七边形之第一顶点P4为第四顶点，P6为第六顶点。

连接P4P6，以1/2弧P4P6为半径，在圆上不断截取，即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点。

历史最早的十七边形画法创造人为高斯。

高斯(1777~1855年)，德国数学家、物理学家和天文学家。

在童年时代就表现出非凡的数学天才。

三岁学会算术，八岁因发现等差数列求和公式而深得老师和同学的钦佩。

1799年以代数基本定理的四个漂亮证明获得博士学位。

高斯的数学成就遍及各个领域，其中许多都有着划时代的意义。

同时，高斯在天文学、大地测量学和磁学的研究中也都有杰出的贡献。

1801年，高斯证明：如果k是质数的费马数，那么就可以用直尺和圆规将圆周k 等分。

高斯本人就是根据这个定理作出了正十七边形，解决了两千年来悬而未决的难题。

道理当时，如果高斯的老师告诉了高斯这是道2000多年没人解答出来的题目，高斯就不会画出这个正十七边形。

这说明了你不怕困难，困难就会被攻克，当你惧怕困难，你就不会胜利。

正十七边形的证明方法正十七边形的尺规作图存在之证明:设正17边形中心角为a,则17a=360度,即16a=360度-a故sin16a=-sina,而sin16a=2sin8acos8a=4sin4acos4acos8a=16sinaco sacos2acos4acos8a因sina不等于0,两边除之有:16cosacos2acos4acos8a=-1又由2cosacos2a=cosa+cos3a等,有2(cosa+cos2a+…+cos8a)=-1注意到cos15a=cos2a,cos12a=cos5a,令x=cosa+cos2a+cos4a+cos8№ay=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a有:x+y=-1/2又xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a)(cos3a+cos5a+co s6a+cos7a)=1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+…+cosa+cos15a)经计算知xy=-1又有x=(-1+根号17)/4,y=(-1-根号17)/4其次再设:x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8ay1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a故有x1+x2=(-1+根号17)/4y1+y2=(-1-根号17)/4最后,由cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1)/2可求cosa之表达式,它是数的加减乘除平方根的组合, 故正17边形可用尺规作出数学未解之谜一数学基础问题。