44有理函数的积分知识讲解
4(4)有理函数及三角函数有理式的积分(1)
原式=
5u + 2 (u2 + 1)2
du
5 2
d(u2 + 1)
(u2 + 1)2 + 2
du (u2 + 1)2
51
u
- 2 u2 + 1 + u2 + 1 + arctanu + C
递推公式
回代
2x -7 2( x2 - 2x + 2) + arctan( x - 1) + C
书上无
Q( x)
部分分式的和, 如果分母多项式Q( x)在实数域
上的质因式分解式为:
Q( x) b0( x - a) ( x2 + px + q) ,( p2 - 4q 0)
, 为正整数, 则 P( x) 可唯一的分解为:
Q( x)
4
有理函数的积分
Q( x) b0( x - a) ( x2 + px + q) ,( p2 - 4q 0)
+ arctan x + C
说明:当被积函数是假分式时,应把它分为 一个多项式和一个真分式,分别积分.
9
有理函数的积分
例2 求
x+3 x2 - 5x + 6 dx
解
x2
x+3 -5x + 6
(x
x+3 - 2)( x - 3)
A+ x-2
B x-3
因式分解 x + 3 A(x - 3) + B(x - 2)
Ap
At + (B - )
2
有理函数的积分积分表的使用
一、 有理函数的积分
在有理分式中，n<m时，称为真分式；n≥m时，称为 假分式.
利用多项式除法，可以把任意一个假分式化为一个有理 整式和一个真分式之和.
有理整式的积分很简单，下面只讨论真分式的积分.
一、 有理函数的积分
1. 最简分式的积分
统称为最简分式，其中n为大于等于2的正整数； A,M,N,a,p,q均为常数，且p2－4q<0.
有理函数的积分积 分表的使用
有理函数的积分积分表的使用
本节将介绍一种比较简单的特殊 类型函数的不定积分——有理函数的 积分，以及积分表的使用.
一、 有理函数的积分
有理函数是指有理式所表示的函数，它包括有理整式和
其中m，n都是非负整数，a0,a1,…,an及b0,b1,…,bn都是实 数，并且a0≠0,b0≠0.
三、 积分表的使用
实际应用中常常利用积分表(见附录)来计算不定积分.求不定 积分时可按被积函数的类型从表中查到相应的公式，或经过少量 的运算和代换将被积函数化成表中已有公式的形式.
三、 积分表的使用
该不定积分不能在积分表中直接査出，需先进行变量代 换.令u=数的积分
2. 有理分式化为最简分式的和
一、 有理函数的积分
对式(5-18) (1)若分母Q(x)中含有因式(x－a)k，则分解后含有下列k 个最简分式之和：
其中A1,A2,…,Ak都是常数. (2)若分母Q(x)中含有因式(x2+px+q)k，其中p2－ 4q<0，则分解后含有下列k个最简分式之和：
二、 可化为有理函数的积分
二、 可化为有理函数的积分
二、 可化为有理函数的积分
【例55】
二、 可化为有理函数的积分
高数讲义第四节有理函数的积分全
例9
求积分
1
x
1 xdx x
解 令 1 x t 1 x t2,
x
x
x
t
1 2
, 1
dx
2tdt t2 1
2,
例9
求积分
1
x
1 xdx x
解
令 1 x t x
x
xt2211a12,dxdx
1
2a
ln
x2tdat tx2 a1
2
C,
1 x
1
x
xdx
t
2
1t
t
2
2t
12
dt
2
x
2)
1
A 2x
Bx 1
C x2
解：令：
x
1 (1
x)
2
A x
B 1 x
C (1 x)
2
1 A(1 x)2 B x(1 x) C x
取 x1, 得 C 1; 取 x0, 得 A1;
再取 x 2 , 得 1 (1 2)2 B2(1 2) 2 , B 1 ;
1 x (1 x) 2
t
3
1 t 1
1dt
6
(t
2
t
1
t
1
)dt 1
2t 3 3t 2 6t 6 ln | t 1 | C
2 x 1 33 x 1 36 x 1 6 ln(6 x 1 1) C.
说明 无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数.
例11 求积分
x 3x 1
dx. 2x 1
解 先对分母进行有理化
f (x) 为真分式 , 当 m n 时
f (x) 为假分式
高数同济六版课件D44有理函数积分
直接积分法
直接积分法是一种 常用的积分方法， 适用于求解有理函 数的积分
直接积分法的基本 思想是将有理函数 分解为若干个部分， 然后分别进行积分
直接积分法需要掌 握一些基本的积分 公式和技巧，如积 分换元法、积分部 分分式法等
直接积分法在实际 应用中具有广泛的 应用价值，如求解 物理、工程等领域 的问题
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有理函数积分
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目录
01.
添加标题
02.
有理函数的定 义和性质
03.
有理函数的积 分方法
04.
有理函数积分 的应用
05.
有理函数积分 的注意事项和 常见错误
单击添加章节标题内容
01
有理函数的定义和性质
02
有理函数的定义
有理函数的定义域：函数定 义域内的所有实数
求解微分方程： 利用有理函数积 分求解微分方程
优化问题：在有 理函数积分中寻 找最优解
概率论与数理统 计：在有理函数 积分中应用概率 论与数理统计
线性代数：在有 理函数积分中应 用线性代数
在金融和经济中的应用
计算股票价格：通过积分计算股票价格的变化趋势 预测经济指标：通过积分预测GDP、CPI等经济指标的变化趋势 计算债券价格：通过积分计算债券价格的变化趋势 计算期权价格：通过积分计算期权价格的变化趋势
Байду номын сангаас
积分顺序错误：注意积分顺序的 正确性，避免先积分后求导或先 求导后积分
添加标题
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添加标题
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积分变量错误：注意积分变量的 正确性，避免使用错误的变量进 行积分
积分方法错误：注意积分方法的 正确性，避免使用错误的积分方 法进行积分
有理函数的不定积分
例5. 求
( x 2 x 2) (2 x 2) d x 解: 原式 2 2 ( x 2 x 2)
dx d( x 2 x 2) 2 2 2 ( x 1) 1 ( x 2 x 2)
2
2
1 C arctan(x 1) 2 x 2x 2
2
2
例11. 求 解: 为去掉被积函数分母中的根式, 取根指数 2, 3 的最小公倍数 6, 令 x t , 则有 5 1 2 6 t d t 原式 3 2 6 ( t t 1 ) dt 1 t t t
6
6
2 1t 3 1 ln 1 t t t 3 2
2
例3. 求 解: 原式
x 2x 3 2 d( x 1) 1 d( x 2 x 3) 3 2 2 x 2x 3 ( x 1) 2 ( 2 ) 2 3 x 1 1 2 arctan C ln x 2 x 3 2 2 2
1 ( 2 x 2) 3 2
例2. 求 解: 已知 1 1 4 2x 1 2 2 (1 2 x)(1 x ) 5 1 2 x 1 x 1 x 2
2 d(1 2 x) 1 d(1 x ) 1 dx 原式 2 2 5 5 1 2x 5 1 x 1 x 2 1 1 2 ln 1 2 x ln (1 x ) arctan x C 5 5 5
1 Bx C A 2 (1 2 x)(1 x ) 1 2 x 1 x 2
A(1 x 2 ) ( Bx C )(1 2 x) 2 (1 2 x)(1 x ) 2 1 A(1 x ) ( Bx C)(1 2x), 1 4 1 取x 得A , 取x 0得1 A C, C , 5 5 2 2 取x 1得1 2 A 3( B C), B
《有理函数积分》课件
有理函数的分类
总结词
根据分母中变量的最高次幂的次数，可以将有理函数分为一次、二次、三次等有理函数 。
详细描述
根据分母中变量的最高次幂的次数，可以将有理函数分为一次、二次、三次等有理函数 。例如，形如 f(x)=p(x)/x 的函数被称为一次有理函数，形如 f(x)=p(x)/(x^2+1) 的函 数被称为二次有理函数，以此类推。不同次数的有理函数具有不同的性质和积分方法。
舍入误差
在将数值近似为有限小数时，舍入误差是不可避免的。因 此，在处理实际问题时，需要注意舍入误差对结果的影响 。
初始条件和边界条件的影响
在求解微分方程时，初始条件和边界条件可能会影响积分 的结果。因此，在处理实际问题时，需要注意初始条件和 边界条件对结果的影响。
THANK YOU
信号处理
在信号处理中，有理函数积分用于描述信号的频 谱和滤波器的传递函数，如低通滤波器、高通滤 波器等。
材料力学
在材料力学中，有理函数积分用于描述材料的应 力-应变关系，从而为材料性能分析和优化提供 依据。
04
有理函数积分的注意 事项
积分公式的应用范围
确定被积函数的定义域
在应用积分公式之前，需要先确定被积函数的定义域，以避免出现 无意义或错误的积分结果。
02
有理函数的积分方法
部分分式积分法
总结词
将有理函数表示为部分分式的积分方法，适用于 有理函数积分问题。
适用范围
适用于有理函数积分问题，特别是当分母为多项 式时，应用更加广泛。
详细描述
部分分式积分法是一种将有理函数表示为部分分 式的积分方法，通过将有理函数分解为多项式和 简单函数的商，将积分问题转化为多项式和简单 函数的积分问题，从而简化计算过程。
有理函数及三角函数有理式的积分
有理函数及三角函数有理式的积分
一、有理函数的积分
有理函数是指可以表示为常熟分式的函数，称为有理函数。
有理函数主要由多项式和
不定积分所组成。
1.直接积分法：即把有理函数积分后的结果表达式化成原函数的另一种表达形式，常
用整理、贝塞尔曲线等方法来解决。
2.常熟分式积分法：将有理函数分解成分加函数，然后分别积分，再把积分结果求和。
三角函数是一类有特殊解析特性的函数，它们其中包括正弦、余弦函数、正切函数等等。
由于三角函数以及它们的倒数和反函数都有解析特性，因此其积分是容易解决的。
1.利用倒数公式积分：针对三角函数有一系列专有倒数公式，其中包括 Ma 矩阵公式
和高尔文三角函数积分公式。
2.利用反函数积分：由于三角函数都有反函数，因此也可以利用反函数将三角函数的
积分问题转化为反函数的积分问题，从而轻松解决。
3.利用改元积分：改元积分是把变量改为一些更简单的函数，然后分别积分得出结果，可以将三角函数的积分转化为改元积分，以减少积分的难度。
总之，有理函数和三角函数都可以通过不同的方法解决积分问题，在解决的时候需要
根据具体的函数情况来选择最适合的积分法，才能更好的解决积分问题。
高等数学有理函数的积分
1 sin x sin x(1 cos
x)
dx
(1
2u 1 u
2
)
2u 1 u
2
(1
1 1
u2 u2
)
2 1 u
2
du
1 2
(u
2
1 u
)du
1 2
(u2 2
2u
ln
|u
|)
C
1 tan 2 x tan x 1 ln |tan x |C .
4 2 22
2
令 u tan x , 2
则
s in
. 有理函数 相除 多项式 + 真分式
分解
其中部分分式的形式为
若干部分分式之和
(
x
A a)k
;
MxN (x2 p x q)k
( k N , p2 4q 0)
四种典型部分分式的积分:
1.
x
A
a
dx
A ln
xa
C
2.
(
x
A a)n
dx
1
A n
(x
a)1n
C
(n 1)
3.
x
Mx 2 px
例例5 求
x 1 dx . x
解解 设 x 1 u , 即 x u 2 1 , 则
x 1 x
dx
u
u 2 1
2udu
2
u
u
2
2
du 1
2
(1
1
1 u
2
)du
2(u
ar
c
tan
u
)
C
2( x 1 arctan x 1) C .
有理函数和三角函数有理式的积分法
§3-7 阅读(有理函数和三角函数有理式的积分法)在前面几节中，读者都已经遇到过许多有理函数的积分和三角函数有理式的积分在前面几节中，读者都已经遇到过许多有理函数的积分和三角函数有理式的积分..在那里，因为被积函数都很特殊，因为被积函数都很特殊，所以用所以用所以用“拼凑的方法”“拼凑的方法”就求出了它们的积分就求出了它们的积分..这一节讨论的是一般情形下，如何求它们的积分当你遇到那些简单或特殊的情形时，当然不必用这里的一般方法，而仍用以前那种“拼凑方法”就行了法，而仍用以前那种“拼凑方法”就行了. .1.有理函数的积分法有理函数的积分()d ()p x x q x ò[ [其中其中()p x 和()q x 都是多项式都是多项式] ] 总可以积出来，即可把它表示成初等函数总可以积出来，即可把它表示成初等函数..积分方法的要点是：第一，若有理函数()()p x q x 中，分子()p x 的次数不低于分母()q x 的次数，则称它为假分式假分式..在这种情形下，就用多项式除法（见下面例2727）），先把它变成一个多项式与一个真分式之和，即()()()()()p x r x s x q x q x =+ [ [其中分子其中分子()r x 的次数低于分母()q x 的次数的次数] ] 于是，()d ()p x x q x ò()()d d ()r x s x x x q x =+òò右端第一项是多项式的积分右端第一项是多项式的积分((用分项积分法可以积出来用分项积分法可以积出来))，所以就变成求有理函数真分式的积分()d ()r x x q x ò. . 关于多项式除法，请看下面的例题关于多项式除法，请看下面的例题关于多项式除法，请看下面的例题. . 例27 例如求有理函数假分式的积分522d 36x x x x -++ò首先像做整数除法那样，做多项式除法：由此可得63225++-x x x 3212323336x x x x +æö=-+ç÷+èø其次再逐项积分，即(余式) 23+x (被除式) （除式）255336000202x x x x x ++++-+++xx x x 40220233-+-+-+-（商式）31233x x -5342222212321132d d d d 33123363636x x x x x x x x x x x x x x x -+++æö=-+=-+ç÷+++èøòòòò这样就变成求这样就变成求((右端最后一个右端最后一个))有理函数真分式的积分有理函数真分式的积分. .第二，第二，对于真分式对于真分式()()r x q x ，先把分母上的多项式()q x 分解成一次因式或没有实根的二次因式的乘积二次因式的乘积((根据代数基本定理，这是可能的).).然后用待定系数法然后用待定系数法然后用待定系数法((或拼凑方法或拼凑方法))把()()r x q x 化成不超出下面这些“最简分式”的和：化成不超出下面这些“最简分式”的和：22,,,()()n m A B Cx D Ex Fx a x b x px q x rx s ++--++++(n 和m 为正整数为正整数)) (分子比分母上的基因式低一次分子比分母上的基因式低一次) )这样，根据分项积分法，有理函数真分式的积分就化为最简分式的积分这样，根据分项积分法，有理函数真分式的积分就化为最简分式的积分. . 我们用例子来说明上述方法我们用例子来说明上述方法我们用例子来说明上述方法. .⑴分母为一次重因式的真分式的积分法例28 例如求例如求2353d (2)x x x ++ò，可令，可令2323532(2)(2)(2)x A B C x x x x +=++++++将右端通分，将右端通分，并比较两端分子，并比较两端分子，并比较两端分子，即即C x B x A x ++++º+)2()2(3522，则得三元线性方程组则得三元线性方程组ïîïíì=++=+=（常数项）的系数）（的系数）（3240452C B A x B A x A ， 解得解得ïîïíì=-==23205C B A 于是得于是得3232)2(23)2(2025)2(35+++-+=++x x x x x 因此，因此， 2353d (2)x x x ++ò2352023d d d 2(2)(2)x x x x x x =-++++òòò220235ln 222(2)x x x =++-++【注1】上面求待定系数的方法是比较两端x 的同次项系数，下面是求待定系数的另一个方法：根据2253(2)(2)x A x B x C +º++++，则，则第一步，让2x =-，得23C =；第二步，在2253(2)(2)x A x B x C +º++++两端关于x 求导数，得102(2)x A x B º++. 再令2x =-，得20B =-；第三步，在102(2)x A x B º++两端关于x 求导数，则得102A =，即5A =.【注2】把真分式2353(2)x x ++化成最简分式之和的另一个方法是依次用多项式除法化成最简分式之和的另一个方法是依次用多项式除法: :25323(510)22x x x x +=-+++,222253510232023522(2)(2)(2)x x x x x x x +-=+=-++++++ 232353520232(2)(2)(2)x x x x x +=-+++++ ( (你看懂了吗你看懂了吗你看懂了吗?) ?)⑵分母为不同一次因式乘积的真分式的积分法例如求d ()()cx d x x a x b +--ò，可令，可令 bx Ba x Ab x a x d cx -+-=--+))((（A 和B 为待定系数）为待定系数） 然后根据恒等式()()cx d A x b B x a +º-+-，求出待定系数A 和B .于是，于是，d ()()cx d x x a x b +=--òd d ln ||ln ||A B x x A x a B x b x a x b +=-+---òò例29 求2d (3)(5)x x x x ---ò.解 设53)5)(3(2-+-=---x Bx A x x x (B A ,为待定常数为待定常数) ) 则得)3()5(2-+-º-x B x A x ，即，即2)35()(-º+-+x B A x B A 比较两端常数项和x 的系数，则得线性方程组的系数，则得线性方程组îíì=+=+1235BA B A 解得23,21=-=B A ( (求求B A 和的另一个方法见下注的另一个方法见下注).).).因此，因此，因此， 523321)5)(3(2-+--=---x x x x x 从而得从而得2d(3)(5)x x x x ---ò113113d(3)d(5)ln 3ln 5232522x x x x x x =--+-=--+---òò【注】在式2(5)(3)x A x B x -º-+-中，让3x =，则得12A =-，所以12A =-；再让5x =，则得32B =，所以32B =.⑶分母为二次多项式(没有实根)的真分式的积分法 例如例如[[注意注意,,分母没有实根2(40)p q -<]，22222111(1)d d d 424x x ux px q u A p q px ==+++-æö++ç÷èøòòò24,22q p p u x A æö-ç÷=+=ç÷èø(套用积分公式)1arctan u A A =2222arctan 44q q x p p p+-=-2222(2)(2)d (0)d d 2b bx p p x ax ba a ax a ax x x px qx px qx px qæö++-+ç÷+èø¹==++++++òòò222d()21d 22ax px q a b p x a x px q x px q++æö=+-ç÷++++èøòò2221ln()d 22aa bx px q p x a x px q æö=+++-ç÷++èøò(套用前一题的结果套用前一题的结果).). ⑷分母为二次重因式的真分式的积分法例30 例如求积分例如求积分322221d (1)x x x x x -+++ò.若用待定系数法，就令若用待定系数法，就令322222221(1)1(1)x xAx B Cx D x x x x x x -+++=+++++++若不用待定系数法，可依次用多项式除法：若不用待定系数法，可依次用多项式除法：第一步，3222212(2)(3)11x x x x x x x x -++=-+++++；第二步，32222222132(2)(1)1(1)x x x x x x x x x x -+-+=+++++++于是，于是，32222222132(2)d d d (1)1(1)x x x x xx x x x x x x x -+-+=+++++++òòò其中右端第一个积分其中右端第一个积分22222231(21)71d(1)7d d d 1212121322x x x x x x x x x x x x x x -+-++==-++++++æöæö++ç÷ç÷èøèøòòòò217221ln(1)arctan 2233x x x +=++-×而第二个积分而第二个积分2222222222(2)(21)3d(1)1d d 3d (1)(1)(1)(1)x x x x xxx x x x x x x x x +++++==+++++++++òòòò2222113d (1)1322x x x x =-+++éùæöæöêú++ç÷ç÷êúèøèøëûò[套积分公式⒇] ⑸分母为一次因式与二次因式乘积的真分式的积分法例如，求22d ()()bx cx d x x a x px q ++-++ò时，可令时，可令 q x p x C x B a x Aq x p x a x d x c x b ++++-=++-++222))((然后根据恒等式然后根据恒等式22()()()bx cx d A x px q Bx C x a ++º++++-求出待定系数A 、B 和C . 于是，于是，22d ()()bx cx dx x a x px q ++-++ò2ln ||d Bx C A x a x x px q +=-+++ò (注意2xpx q ++没有实根没有实根,,即240p q -<)2.三角函数有理式的积分法 所谓“三角函数有理式”，是指由常数和简单三角函数x sin 与x cos 经过有限次的有理运算经过有限次的有理运算((加、减、乘、除加、减、乘、除))得到的函数，记成)cos ,(sin x x R .下面介绍的是形如积分的是形如积分(sin ,cos )d R x x x ò的积分法的积分法..例如积分例如积分2cos d 2sin cos x x x x +ò，1d 2sin cos 1x x x -+ò，1d (0)cos x ab a b x ¹+ò等.实际上，我们在前面几节中曾多次遇到这种类型的积分我们在前面几节中曾多次遇到这种类型的积分..这里介绍的是一般方法这里介绍的是一般方法..你在做题时．．．．．，还是要具体问题具体分析．．．．．．．．．．．，未必就一定要用这里介绍的方法．．．．．．．．．．．．．．（因为一般情形下，这里介绍的方法要麻烦一些）方法要麻烦一些）. .令2tan xt =(称它为半角替换或万能替换称它为半角替换或万能替换))，则，则2222122tan12tan22sec 2tan22cos2tan22cos2sin2sin t t x x xx xx x x x +=+==== 22222222112tan12tan 1)2tan 1(2cos 2sin 2cos cos t t x x x x x x x +-=+-=-=-= t t t x d 12)arctan 2(d d 2+==于是，于是，(sin ,cos )d R x x xò2222212,d 111t t R t t t t-æö=ç÷+++èøò这样，三角函数有理式的积分就变成有理函数的积分三角函数有理式的积分就变成有理函数的积分..在有些情形下，像前面做过的那样，不必用半角替换，而用其它三角替换会更简单必用半角替换，而用其它三角替换会更简单..例如例如()i 当(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x x -=-时，令cos t x =； ()ii 当(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x x -=-时，令sin t x =； ()iii 当(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x x --=时，令tan t x =.习题1.求下面的原函数：⑴25d (3)x x x --ò； ⑵⑵325d (2)x x x --ò；⑶23354d (1)x x x x -+-ò； ⑷⑷3223242d 21x x x x x x -++-+ò. 答案：⑴323ln -+-x x；⑵2)2(2122-+--x x ；⑶2)1(1111ln 3-----x x x ； ⑷171ln 94232---++x x x x .2.求下面的原函数：求下面的原函数：⑴x x x x d )3)(2(73ò---； ⑵⑵x x x x d 2152ò-++； ⑶⑶x x x x x x d )2)(2(2342ò+---. 答案：⑴3ln 22ln -+-x x ；⑵1ln 22ln 3-++x x ；⑶2ln 252ln ln 21++-+x x x . 3.求下面的原函数：求下面的原函数：⑴x x x x x d )1)(2(23222ò++-+； ⑵⑵x x x x x d )32)(1(2ò+++； ⑶⑶x x x d 134ò+. 答案：⑴x x arctan )1ln(2-+；⑵21arctan 21)32ln(411ln 212++++++-x x x x ；⑶312arctan 311)1(ln 6121222--+-++x x x x x . 4.根据提示，请把下面的演算做到底：根据提示，请把下面的演算做到底：⑴tan 21d 2sin cos 1x t x x x æö=ç÷èø====-+ò⑵(cos )1d (2cos )sin t x x x x ======+ò⑶2(sin )cos d 2sin cos t x xx x x ======+ò⑷3(tan )3sin d sin cos t x xx x x======+ò答案：⑴22tan2tan ln21+x x ；⑵32)cos 1()cos 1()cos 2(ln 61x x x +-+；⑶12sin 1ln 222sin 1x x +--+；⑷÷÷øöççèæ---+-x x x x x x x sin 3sin cos 2arctan 31cos sin 1)cos (sin ln 612.。
高数同济44有理函数三角函数及一些无理函数的不定积分
例4 求积分
1 x(x 1)2dx.
解 x(x11)2dx1 x(x 11)2x1 1dx
1 xd x(x 11)2d xx1 1dx
ln x1ln x (1)C . x1
1
例5 求积分 (12x)(1x2)dx.
解 (12x)1(1x2)dx1542xdx152xx215dx
5 2 ln 1 2 ( x ) 1 5 1 2 x x 2d x 1 5 1 1 x 2 dx
由代数学定理:
Q(x)=b0(x－a) …(x－b) (x2 +px+q) …(x2+rx+s)
Q(x)=b0(x－a) …(x－b) (x2 +px+q) …(x2+rx+s)
难点 将有理函数化为最简分式之和.
设 Q P((x x))b a 00 x x m n b a 1 1x xm n 1 1 b am n 1 1x x a bn m是真 . 分
例12
求积分
x 3x1
d.x 2x1
解 先对分母进行有理化
原式 (3 x 1 x (2 3 x x 1 1 ) (3 2 x x 1 1 )2 x 1 )dx
(3x 12x 1 )dx
1 3 3x1d(3x1)1 2 2x1d(2x1)
2(3x1)2 31(2x1)2 3C .
例1 x3 x2 5x6
化为最简分式之和.
x3 A B ,
待
(x2)(x3) x2 x3
定
x 3 A ( x 3 ) B ( x 2 ),系
数
x 3 ( A B ) x ( 3 A 2 B ), 法
A(3A B21,B)3,
高等数学方明亮44几种特殊类型函数的积分.ppt
,
1 A(1 x2 ) (Bx C)(1 2x),
整理得 1 ( A 2B)x2 (B 2C)x C A,
A 2B 0,
B A
(1
2C 0, C 1,
1 2x)(1
x2)
A 4, 5 4
5 1 2
B 2,C 52xx来自5 1 x21 5
1 5.
,
2024年9月27日星期五
一、 有理函数的积分
(Integration of Rational Function)
有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数.
P(x) Q( x)
a0 xn b0 x m
a1 x n1 b1 x m1
an1 x an bm1 x bm
其中m、n都是非负整数；a0 ,a1 ,,an及b0 ,b1,,bm 都是实数，并且a0 0，b0 0.
1 6a3
ln
x3 a3 x3 a3
C
（2） 原式
sin2 x sin3
x
cos2 cos x
x
dx
dx sin x cos x
cos sin 3
x x
dx
d tan x tan x
d sin sin 3
x x
2024年9月27日星期五
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2. 求
(a
sin
x
1 b
解法 2 令
a sin ,
a2 b2
b cos
a2 b2
原式
a2
1
b2
dx
cos2 (x )
a
2
1
b2
tan(x
)
高等数学课件D44有理函数积分
对于假分式，可以通过 长除法将其化为多项式 与真分式的和，再对真 分式进行部分分式分解 和积分。
避免计算过程中常见错误
忽略定义域
在进行有理函数积分时，需要注 意函数的定义域，避免出现无意 义的积分结果。
计算错误
部分分式分解、长除法等计算过 程中，需要注意运算的准确性和 细节，避免因为计算错误导致最 终结果错误。
t$进行求解。
解答
原式$= arctan x + C$
03
实例2
04 求解$int
frac{3x+2}{x^2+4x+5} dx$
思路
05 将分子拆分为与分母相关的项
，再利用基本积分公式求解。
解答
06 原式$= frac{3}{2}
ln(x^2+4x+5) - arctan(x+2) + C$
假分式积分实例
策略1：因式分解
对于形如$frac{P(x)}{Q(x)}$的有理函数，其中$Q(x)$可因式分解，可将其拆分为多个简单真分式的和 进行积分。
复杂有理函数积分策略
策略2
部分分式分解
策略3
三角换元法或根式换元法
复杂有理函数积分策略
• 对于含有$\sqrt{a^2-x^2}$、 $\sqrt{x^2+a^2}$、$\sqrt{x^2-a^2}$ 等项的有理函数，可尝试使用三角换元法 或根式换元法进行积分。
部分分式分解法
01
将有理函数分解为部分分式的和。
02
对每个部分分式进行积分，利用基本积分公式和积分法则。
03
将积分结果相加，得到原函数的积分表达式。
长除法求余数法
4-4第四节 有理函数的积分
高 等 数 学 电 子 教 案
数的导数灵活得多,一个积分可以用多种方法计算,并且 积分结果在形式上也可能不一样,在具体计算时,应尽可 能选择简单的积分法. 例9 求 从上面的不定积分看出,求一个函数的不定积分比求函
学 数
∫x
dx
2
4 − x2
高 等 数 学 电 子 教 案
三角函数有理式是指三角函数和常数经过有限次四则 运算所构成的函数,而各类三角函数都可用sinx及cosx 的有理式表示.
高 等 数 学 电 子 教 案
1 例2 把真分式 2 分解为部分分式之和 x( x − 1)
解:
A B C A( x − 1) 2 + Bx + Cx( x − 1) 1 = + + = 2 2 x( x − 1) x ( x − 1) x −1 x( x − 1) 2
A( x − 1) 2 + Bx + Cx( x − 1) = 1
当n > 1时,
Mx + N M b dx = − +∫ 2 dt 2 2 n +1 2 n ∫ ( x 2 + px + q)n 2(n − 1)(t + a ) (t + a ) 1 ∫ (t 2 + a 2 )n dt用递推公式解之,
学 数
有理函数的原函数都是初等函数
高 等 数 学 电 子 教 案
A B A( x − 3) + B ( x − 2) + = x−2 x−3 ( x − 2)( x − 3)
x + 3 = A( x − 3) + B( x − 2) = ( A + B) x − (3 A + 2 B)
有理函数积分法
有理函数积分法
有理函数积分法（Rational Function Integration Method）是指利用N个数有关的定积分的方法，由于所运用的有理函数特性它可以进行快速的求解。
有理函数积分法的基本思想是通过将积分根据要求积分区间（即要进行积分的函数那部分）划分成多个子区间并将积分分解成多个有理函数求解，再把多个有理函数的结果加在一起得到最终的积分结果。
有理函数积分法的流程有如下步骤：
首先，根据需要，将要求积分的函数的这部分划分成多个子区间，以便于分解成多个有理函数；其次，将每个子区间内的有理函数求解；然后，将每个子区间内的有理函数求解出来的结果相加得到最终的结果；最后，根据最终的结果检查，以确保结果是正确的。
有理函数积分法的优点是可以迅速求解定积分，但其也存在一定的缺点，例如它对函数的区间分解要求较高，而且需要有较好的数学模型和计算能力。
因此，当积分难度较大时，有理函数积分法的常规方法得不到较好的解决方案。
积分重要知识点归纳
1 (2 x 2
2
2) 3
dx d( x 1) ( x 1) ( 2 )
2 2
x 2x 3
2
1 d( x 2 x 3)
2
2
x 2x 3
2
2
3
1
ln x 2 x 3
3 2
arctan
x 1 2
C
思考: 如何求
原式＝ 3x 5 4( x 2 x 3)
p
2
,
,
4 Mp
2
(x2
Mx N px q )
n
dx
(t 2
Mt a )
2 n
dt
(t 2
b a )
2 n
dt
(2)
n 1,
Mx N px q )
n
(x2
dx
M 2 ( n 1 )( t a )
2 2 n1
b
1 (t a )
1 x 1
1
2
dx
1 x 1
dx
1 x
dx
ln x 1 ln x C .
例1. 将下列真分式分解为部分分式 :
解: (2) 待定系数法
x 3 x 5x 6
2
x 3 ( x 2 )( x 3 )
A x 2
B x 3
,
方法一:
M x N ( x px q )
2
R1 x S1 ( x rx s )
2
R x S ( x rx s )
有理函数积分
万能代换
t 的有理函数的积分
x x 2 tan 2 tan x x 2 , 2 sin x 2sin cos 2 x 2 2 2 x 1 tan sec 2 2 2 x 2 x 1 tan 1 tan 2 x 2 x 2 2, cos x cos sin 2 2 2 x 2 x 1 tan sec 2 2 x x 2arctan u （万能置换公式） 令 u tan 2
Mx N 3. 2 dx x px q Mx N 4. 2 dx n ( x p x q)
变分子为
M 2
(2 x p)分 2 n ( x px q )
2 p p 2 x px q x q , 2 4 2
x dx 使用凑微分法比较简单 3 x 1
尽量使分母简单——降幂、拆项、同乘等
2
基本思路
化部分分式，写成分项积分 可考虑引入变量代换
例2. 求积分
解：
1 dx . 2 x( x 1)
1 1 1 1 dx dx 2 2 x( x 1) x 1 x ( x 1)
2 2u 2 1 u sin x , cos x du , dx 2 2 2 1 u 1 u 1 u
2u 1 u 2 2 R(sin x ,cos x ) dx R 1 u2 , 1 u2 1 u2 du.
1 sin x dx . 例8. 求 sin x(1 cos x) x 解: 令 t tan , 则 2 x cos x x 2 sin 2 2 tan 2t 2 2 sin x 2 x cos 2 x 1 tan 2 x 1 t 2 sin 2 2 2
有理函数的不定积分
有理函数的不定积分有理函数的不定积分是指函数在变量x上的不定积分。
它关注的是变量x的积分，并不关注变量x的形式。
这种方式的不定积分可以帮助研究者更好地研究函数的特性，以及对不定函数的运算。
一、什么是有理函数的不定积分有理函数的不定积分是指以变量x作为函数的不定积分的形式，即函数f（x）可以表达为以下表达式：∫f（x）dx 。
它指的是x的积分，而不是f（x）本身。
它可以帮助我们分析函数特性，例如曲线的行为，最小和最大特性，以及它在某些范围内的增长和减少。
二、有理函数的不定积分的本质有理函数的不定积分可以用来就指定函数中变量x在指定范围内变化所产生的影响进行研究，它可以让我们理解不定函数的变化规律，以及不定函数的实际运算。
例如，以x为变量的一元函数的不定积分可以用来求得函数在指定范围内的变化。
三、计算有理函数的不定积分计算有理函数的不定积分的方式有以下几种：（1）积分表法将函数的不定积分使用积分表进行计算，积分表是专门为计算不定积分而提供的工具。
（2）函数展开法将函数展开为多项式，然后使用常见解法计算不定积分。
（3）图形法将函数画成图像，按照图像的形状和变化规律结合数值积分公式对函数的不定积分进行计算。
（4）数学软件计算利用计算机软件，输入函数表达式，利用计算机软件计算出函数的不定积分。
四、有理函数的不定积分的应用有理函数的不定积分可以用来分析函数的特性和变化规律，弥补函数的表示欠缺。
它可以用于多变量函数的导数计算，函数最大最小值求解，空间定位，参数估计，统计建模，地震位移分析以及动力学、物理和化学中的数值计算。
总之，有理函数的不定积分是一个重要的数学工具，它可以帮助我们分析函数的特点，以及函数本质变化的规律，并且可以在多个领域中有效地应用，为这些领域的研究提供便利。
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44有理函数的积分知识讲解
有理函数意为有理数的函数，即可以表示为$p(x)/q(x)$的函数，其中$p(x)$和
$q(x)$均为多项式函数。
有理函数积分是指对有理函数进行积分运算，是高等数学中一个
非常重要的内容。
下面将介绍有理函数积分的知识。
一、分式分解
要求有理函数的积分，首先要进行分式分解。
分式分解是将一个有理函数分解成多个
个简单的有理函数的和的过程，即对于一个形如$p(x)/q(x)$的有理函数进行分解，使得
分解式的分母均为一次多项式或既约二次多项式。
分式分解的基本方法是：用二次多项式的因式作分子的一次式，二次多项式必须既约，即无重根。
若$q(x)$的某个根是$k$，则$(x-k)$是$q(x)$的因式；若二次多项式
$(x^2+px+q)$有两个不同实根$x_1,x_2$，则分式分解式可写成两个部分的和形式，即分
子为$k_1/(x-x_1)$，分母为$(x-x_1)$，分子为$k_2/(x-x_2)$，分母为$(x-x_2)$。
二、基本积分公式
有理函数的积分可以根据基本积分公式进行求解。
常用的基本积分公式有以下几种：
1. $\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C$
2. $\int \frac{1}{x^2+a^2} dx=\frac{1}{a}\arctan(\frac{x}{a})+C$
三、换元积分法
针对部分比较复杂的有理函数，可以采用换元积分法进行求解。
具体方法是：先将分
式分解为几个部分，其中一个部分是含有根式的二次函数，用$t=\sqrt{x^2+a^2}$进行代换，然后进行简化，并根据基本积分公式计算积分。
四、分步积分法
对于含有较多项的有理函数，可以采用分步积分法进行求解。
具体方法是：将原式中
的有理函数分解为两个有理函数的和，其中一个有理函数是原式的导数的因式，另一个有
理函数则是原式的乘积。
然后，用分部积分法求解原式的积分。
总之，有理函数积分是高等数学中的一个非常重要的内容，可以通过分式分解、基本
积分公式、换元积分法和分步积分法进行求解。
熟练掌握这些方法，可以更好地完成高等
数学的学习和研究工作。