海南高一数学

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海南省海口市2023-2024学年高一下学期开学考试数学含答案

高一数学寒假作业验收卷（答案在最后）（考试时间：16：30-17：30共一个小时，总分110分）一､单选题（每小题5分）1.已知集合{}{}2280,28x A x x x B x =--≤=<，则A B = （）A.{}24x x -≤≤ B.{}42x x -≤≤C.{}23x x -≤< D.{}43x x -≤<2.函数()R 1,Q0,Q x D x x ∈⎧=⎨∈⎩ð被称为狄利克雷函数，则()D D=（）A.2B.C.1D.03.函数1()ln(1)2f x x x =+--的定义域为（）A.(1,)+∞B.(1,2)(2,)⋃+∞C .(,1)-∞ D.(0,2)(2,)⋃+∞4.函数()1f x x x=-的大致图象是（）A.B.C.D.5.下列函数中，不能用二分法求零点的是（）A.()2f x x =B.()22f x x =++C.()13f x x x=+- D.()ln 3f x x =+6.函数()f x 的定义域为R ，且对于任意()1212,R x x x x ∈≠均有()()21210f x f x x x -<-成立，若()()121f a f a ->-，则正实数a 的取值范围为（）A.()2,0,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭B.2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭C.20,3⎛⎫⎪⎝⎭D.20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦7.已知sin 2sin 44ππαα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin2α=（）A.12B.35C.34D.458.已知函数2ln(),0()41,0x x f x x x x ⎧-<=⎨-+≥⎩，若函数()()g x f x m =-有四个不同的零点1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则下列结论中正确的是（）A.211ex -<≤- B.10m -≤<C.12110x x =D.342x x +=二､多选题（每小题6分）9.下列说法正确的是（）A.“1ab >”是“1,1a b >>”的必要不充分条件B.“幂函数()()2311mf x m x =-在()0,∞+上单调递减”的充要条件为“2m =”C.命题3:,310x p x x ∀∈+->R 的否定p ⌝为：3,310x x x ∀∈+-≤RD.已知一扇形的圆心角60α= ，且其所在圆的半径=5r ，则扇形的弧长为5π310.已知函数()ππtan 124f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的一个周期为2B.()f x 的定义域是1,Z 2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭C.()f x 的图象关于点1,12⎛⎫⎪⎝⎭对称D.()f x 在区间[]1,2上单调递增11.已知关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为(-∞，1)(5 ，)∞+，则（）A.0a >B.0a b c ++>C.0bx c +>的解集是5{|}6x x >D.20cx bx a -+<的解集是1{|5x x >-或1}x <-三､填空题（每小题5分）12.已知3πcos ,,052αα⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭，则πcos 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________.13.已知0,0x y >>，且21x y +=，则11x y+的最小值为________.14.已知函数π()2cos 2(0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[0,π]上有且仅有2个零点，则ω的取值范围为__________．四､解答题15.已知函数())2cos cos 1f x xx x =+-．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）将函数()f x 的图象向右平移π6个单位，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在π0,4⎡⎤⎢⎣⎦上的值域．16.已知函数21()2x x f x a+=+为奇函数．（1）求实数a 的值；（2）求关于x 的不等式()3f x >的解集；（3）设函数22()log log 24x xg x m =⋅+，若对任意的1[2,8]x ∈，总存在2(0,1]x ∈，使得()()12g x f x =成立，求实数m 的取值范围．高一数学寒假作业验收卷（考试时间：16：30-17：30共一个小时，总分110分）一､单选题（每小题5分）1.已知集合{}{}2280,28x A x x x B x =--≤=<，则A B = （）A.{}24x x -≤≤B.{}42x x -≤≤C.{}23x x -≤< D.{}43x x -≤<【答案】C 【解析】【分析】先求出集合,A B 中元素范围，再求交集即可.【详解】{}{}228024A x x x x x =--≤=-≤≤，{}{}283xB x x x =<=<，则{}23A B x x ⋂=-≤<.故选：C.2.函数()R 1,Q0,Q x D x x ∈⎧=⎨∈⎩ð被称为狄利克雷函数，则()D D=（）A.2B.C.1D.0【答案】C 【解析】【分析】利用定义结合分段函数性质计算即可.()()Q,0Q 0,01D D D D ∈⇒=∴==.故选：C 3.函数1()ln(1)2f x x x =+--的定义域为（）A.(1,)+∞B.(1,2)(2,)⋃+∞C.(,1)-∞D.(0,2)(2,)⋃+∞【答案】B 【解析】【分析】由题可得1020x x ->⎧⎨-≠⎩，即可解出定义域.【详解】因为1()ln(1)2f x x x =+--，所以要使函数有意义，则1020x x ->⎧⎨-≠⎩，解得1x >且2x ≠，所以()f x 的定义域为(1,2)(2,)⋃+∞，故选：B.4.函数()1f x x x=-的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用单调性、最值结合图象可得答案.【详解】当0x >时，()1f x x x=-，为减函数，排除AD ；当0x <时，()12f x x x =-≥=-，当且仅当=1x -时，()f x 取得最小值2，故排除C.B 选项的图象符合题意.故选：B .5.下列函数中，不能用二分法求零点的是（）A.()2f x x =B.()22f x x =++C.()13f x x x=+- D.()ln 3f x x =+【答案】B 【解析】【分析】利用二分法求零点的要求，逐一分析各选项即可得解.【详解】不能用二分法求零点的函数，要么没有零点，要么零点两侧同号；对于A ，()2f x x =有唯一零点0x =，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点；对于B ，()(222f x x x =++=+有唯一零点x =但(20y x =+≥恒成立，故不可用二分法求零点；对于C ，()13f x x x =+-有两个不同零点352x =，且在每个零点左右两侧函数值异号，故可用二分法求零点；对于D ，()ln 3f x x =+有唯一零点3x e -=，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点.故选：B.6.函数()f x 的定义域为R ，且对于任意()1212,R x x x x ∈≠均有()()21210f x f x x x -<-成立，若()()121f a f a ->-，则正实数a 的取值范围为（）A.()2,0,3∞∞⎛⎫-⋃+⎪⎝⎭B.2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭C.20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D.20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】【分析】由题意()()21210f x f x x x -<-，()1212,R x x x x ∈≠可知()f x 在R 上单调递减，又()()121f a f a ->-，所以121a a -<-,解不等式即可得解.【详解】由题意()()21210f x f x x x -<-,()1212,R x x x x ∈≠，不失一般性不妨假设12x x <，则()()12f x f x >，所以()f x 在R 上单调递减，又()()121f a f a ->-，所以121a a -<-,解不等式得23a >,则正实数a 的取值范围为2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故选：B.7.已知sin 2sin 44ππαα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin2α=（）A.12B.35C.34D.45【答案】B 【解析】【分析】根据正弦的和差角公式展开可计算出tan α，把sin 2α转化成齐次式再运用弦化切的思想即可求解.【详解】因为sin 2sin 44ππαα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()sin cos 2cos sin 22αααα+=⨯-，得cos 3sin αα=，显然cos 0α≠，所以1tan 3α=，而222222sin cos 2tan 33sin22sin cos sin cos 1tan 5113ααααααααα=====++⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故选：B8.已知函数2ln(),0()41,0x x f x x x x ⎧-<=⎨-+≥⎩，若函数()()g x f x m =-有四个不同的零点1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则下列结论中正确的是（）A.211ex -<≤- B.10m -≤<C.12110x x =D.342x x +=【答案】A 【解析】【分析】由题意可得函数()y f x =与y m =有四个不同的交点，作出函数()y f x =与y m =的图象如图所示，然后结合图象逐个分析判断即可.【详解】因为函数()()g x f x m =-有四个不同的零点，所以()f x m =有四个不同的解，即函数()y f x =与y m =有四个不同的交点，作出函数()y f x =与y m =的图象如图所示：又0x =时，()01f =，由图象可得01m <≤，故B 不正确，由ln()1x -=，得1e x =-或e x =-，所以由图象可得211ex -<≤-，故A 正确；由图象可得11x <-，所以()()12ln ln x x -=-，即()()12ln ln x x -=--，即()12ln 0x x =，所以121=x x ，故C 错误；又3x ，4x 关于2x =对称，故344x x +=，故D 错误，故选：A.关键点点睛：此题考查对数函数图象的应用，考查函数与方程的综合应用，解题的关键是将问题转化为函数()y f x =与y m =有四个不同的交点，然后作出函数图象，结合图象分析判断，考查数形结合的思想，属于较难题.二､多选题（每小题6分）9.下列说法正确的是（）A.“1ab >”是“1,1a b >>”的必要不充分条件B.“幂函数()()2311mf x m x =-在()0,∞+上单调递减”的充要条件为“2m =”C.命题3:,310x p x x ∀∈+->R 的否定p ⌝为：3,310x x x ∀∈+-≤RD.已知一扇形的圆心角60α= ，且其所在圆的半径=5r ，则扇形的弧长为5π3【答案】AD 【解析】【分析】由充分必要条件举例可得到A 正确；由幂函数的单调性可得到B 错误；由全称与特称命题的性质可得到C 错误；由弧长公式可得到D 正确.【详解】A ：1ab >，可以是13,2a b ==，所以充分性不成立；若1,1a b >>，则1ab >恒成立，所以必要性成立，故A 正确；B ：由题意可知231112m m -=Þ=±，又幂函数()()2311mf x m x =-在()0,∞+上单调递减，则2m =-，故B 错误；C ：命题3:,310x p x x ∀∈+->R 的否定p ⌝为：3,310x x x ∃∈+-≤R ，故C 错误；D ：扇形的圆心角π603α==，所以由弧长公式可知弧长为π5π533⨯=，故D 正确.故选：AD10.已知函数()ππtan 124f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的一个周期为2B.()f x 的定义域是1,Z 2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭C.()f x 的图象关于点1,12⎛⎫⎪⎝⎭对称D.()f x 在区间[]1,2上单调递增【答案】ACD 【解析】【分析】利用正切函数的图象与性质一一判定选项即可.【详解】对于A ，由()ππtan 124f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭可知其最小正周期π2π2T ==，故A 正确；对于B ，由()ππtan 124f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭可知πππ1π2,Z 2422x k x k k +≠+⇒≠+∈，故B 错误；对于C ，由()ππtan 124f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭可知1πππ2242x x =⇒+=，此时()f x 的图象关于点1,12⎛⎫⎪⎝⎭对称，故C 正确；对于D ，由()ππtan 124f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭可知[]ππ3π5π1,2,2444x x ⎡⎤∈⇒+∈⎢⎣⎦，又tan y x =在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，显然3π5π,44⎡⎤⊂⎢⎥⎣⎦π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故D 正确.故选：ACD11.已知关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为(-∞，1)(5 ，)∞+，则（）A.0a >B.0a b c ++>C.0bx c +>的解集是5{|}6x x >D.20cx bx a -+<的解集是1{|5x x >-或1}x <-【答案】CD 【解析】【分析】由题意可得1和5是方程20ax bx c ++=的两根，且a<0，利用韦达定理可得,b c 与a 的关系，然后逐项判断可得答案.【详解】由题意可得1和5是方程20ax bx c ++=的两根，且a<0，由韦达定理可得15,15cab a +=-⨯=，得6,5b a c a =-=，对于A ，因为a<0，故A 错误；对于B ，650a b c a a a ++=-+=，故B 错误；对于C ，不等式0bx c +>，即650ax a -+>，即650x ->，得56x >，∴不等式0bx c +>的解集是5{|}6x x >，故C 正确；对于D ，由不等式20cx bx a -+<，得2(561)0a x x ++<，即25610x x ++>，则(51)(1)0x x ++>，得15x >-或1x <-，即解集为{|x x >15-或1}x <-，故D 正确.故选：CD.三､填空题（每小题5分）12.已知3πcos ,,052αα⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭，则πcos 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________.【答案】45##0.8【解析】【分析】根据三角函数的基本关系式，求得4sin 5α=-，再结合诱导公式，即可求解.【详解】因为3πcos ,,052αα⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭，所以4sin 5α==-，又由π4cos sin 25αα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭.故答案为：45.13.已知0,0x y >>，且21x y +=，则11x y +的最小值为________.【答案】##3+【解析】【分析】构造基本不等式“1”的代换，求出最小值.【详解】因为0x >，0y >，所以()11112x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭22213x y x y y x y x =+++=++33≥+=+当且仅当212x y x y y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，即22212x y ⎧=⎪⎪⎨-⎪==-⎪⎩时等号成立.所以11x y +的最小值为.故答案为：14.已知函数π()2cos 2(0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[0,π]上有且仅有2个零点，则ω的取值范围为__________．【答案】713,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】首先求π23x ω+的取值范围，再根据余弦函数的图象，列式求ω的取值范围.【详解】当[0,π]x ∈时，πππ2,2π333x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦．因为()f x 在[0,π]上有且仅有2个零点，所以，3ππ5π2π232ω≤+<，解得7131212ω≤<．故答案为：713,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭四､解答题15.已知函数())2cos cos 1f x x x x =+-．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）将函数()f x 的图象向右平移π6个单位，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在π0,4⎡⎤⎢⎣⎦上的值域．【答案】（1）πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）[]1,2-【解析】【分析】（1）由三角恒等变换化简()f x 的解析式，再利用单调性质求解；（2）由图象变换得()g x 解析式，再利用整体法求值域.【小问1详解】因为()2πcos 2cos 1cos22sin 26f x x x x x x x ⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，令πππ2π22π262k x k -≤+≤+，得ππππ,Z 36k x k k -≤≤+∈,所以()f x 的单调递增区间为πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．【小问2详解】将函数()f x 的图象向右平移π6个单位，得到πππ2sin 2666f x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦π2sin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变得到()π2sin 46g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当πππ5π0,,4,4666x x ⎡⎤⎡⎤∈-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故π1sin 4,162x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()g x 的值域为[]1,2-．16.已知函数21()2x x f x a+=+为奇函数．（1）求实数a 的值；（2）求关于x 的不等式()3f x >的解集；（3）设函数22()log log 24x x g x m =⋅+，若对任意的1[2,8]x ∈，总存在2(0,1]x ∈，使得()()12g x f x =成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）1-（2）{|01}x x <<（3）134m ≥．【解析】【分析】（1）由奇函数定义计算即可得；（2）可结合函数单调性计算，亦可借助换元法解不等式；（3）计算出()f x 及()g x 的值域后，对任意的1[2,8]x ∈，总存在2(0,1]x ∈，使得()()12g x f x =成立即为()g x 的值域为()f x 的值域的子集，计算即可得.【小问1详解】因为函数21()2x x f x a+=+为奇函数，所以()()f x f x -=-，即212122x x x x a a--++=-++在定义域上恒成立，整理得()(1)210++=x a ，故1a =-；【小问2详解】解法一：由（Ⅰ）知212()12121+==+--x x x f x ，所以函数()f x 在(,0)-∞和(0,)+∞上单调递减，且当(,0)x ∈-∞时，()0f x <，当,()0x ∈+∞时，()0f x >，所以()3(1)f x f >=，解得01x <<；所以此时不等式的解集为{|01}x x <<；解法二：因为21()321x x f x +=>-，令2xt =，则21321x x +>-可化简为131t t +>-，即2401t t -<-，即()()2410t t --<，解得12t <<，即01x <<．所以此时不等式的解集为{|01}x x <<．【小问3详解】由（Ⅰ）得21()21x x f x +=-在(0,1]x ∈的值域[3,)A =+∞，又()()2222()log log log 1log 224x x g x m x x m =⋅+=--+，[2,8]x ∈，设2log t x =，[1,3]t ∈，则2(1)(2)32y t t m t t m =--+=-++，当32t =时，取最小值为14m -+，当3x =时，取最大值为2m +，即()g x 在[2,8]x ∈上的值域1,24B m m ⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦，又对任意的1[2,8]x ∈，总存在2(0,1]x ∈，使得()()12g x f x =成立，即B A ⊆，所以134m -+≥，解得134m ≥．。

海南省海南中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

海南省海南中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知全集{}0U x x =>，集合{}12A x x =≤<，则U A =ð（）A ．{|1x x ≤-或}2x ≥B ．{|01x x <<或}2x ≥C ．{|1x x <-或>2D ．{|01x x <<或>22．命题“x ∀∈R ，2210x x ++≥”的否定是（）A ．x ∃∈R ，2210x x ++≥B ．x ∃∈R ，2210x x ++<C ．x ∀∈R ，2210x x ++>D ．x ∀∈R ，2210x x ++<3．“小明是海南人”是“小明是中国人”的（）A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件4．不等式3112x x-≥-的解集为（）A ．123x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B ．324x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．13x x ⎧<⎨⎩或2x >}D ．34x x ⎧≤⎨⎩或2x >}5．已知函数()y f x =的定义域是[1,1]-，则(21)y f x =-的定义域是（）A ．[3,1]-B ．[1,1]-C ．[1,0]-D ．[0,1]6．下列函数中，既是其定义域上的单调函数，又是奇函数的是（）A ．21y x =+B ．1y x=C．y =D ．y x x=7．已知函数3()1f x ax bx =++，若(2)4f =，则(2)f -=()A ．4-B ．2-C ．0D ．28．已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足(2)4f =，对任意的12,(0,)x x ∈+∞，且12 ,x x ≠()()211212-0-x f x x f x x x <恒成立，则不等式(3)26f x x ->-的解集为（）A ．(3,7)B ．(,5)-∞C ．(5,)+∞D ．(3,5)二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．由1,2,3组成的集合可表示为{}1,2,3或{}3,2,1B ．∅与{}0是同一个集合C ．集合{}2|1=-x y x 与集合{}2|1y y x =-是同一个集合D ．集合{}2|560x x x ++=与集合{}2,3--是同一个集合10．下列选项正确的是（）A ．若0a ≠，则4a a+的最小值为4B ．若0ab <，则a b ba+的最大值为2-C ．若02x <<，则函数(42)y x x =-的最大值是2D ．若x ∈R211．函数()1,0,R x f x x ∈⎧=⎨∈⎩QQ ð称为狄利克雷函数．狄利克雷函数是高等数学中的一个典型函数，利用其独特性质可以构造许多数学反例．狄利克雷函数的出现，表示数学家们对数学的理解发生了深刻变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来．这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”．以下结论正确的有（）A ．对任意x ∈R ，都有()1f f x ⎡⎤=⎣⎦B ．对任意x ∈R ，都有()()0f x f x -+=C ．对任意1x ∈R ，都存在2x ∈Q ，()()121f x x f x +=D ．若0a <，1b >，则有(){}(){}x f x a x f x b>=<三、填空题12．已知幂函数()()215m f x m m x -=+-在0,+∞上单调递减，则m =.13．若1x >，则2221x x y x -+=-的最小值为.14．已知函数(3)1,1()1,1a x x f x ax x x a--≤⎧⎪=+⎨>⎪+⎩在(,)∞∞-+上单调递增，则实数a 的取值范围为.四、解答题15．（1）计算：223631827-⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭；（2）已知102,108x y ==，求2310yx -的值.16．设函数2()f x ax x b =-+.(1)若不等式()0f x <的解集为(1,2)-，求,a b 的值；(2)若0,0a b >>，且(1)1f =，求14a b+的最小值.17．随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.上饶市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台.每生产x 台，需另投入成本()G x 万元，且()2260,04036002012100,40100x x x G x x x x ⎧+<≤⎪=⎨+-<≤⎪⎩，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.(1)写出年利润()W x 万元关于年产量x 台的函数解析式（利润=销售收入-成本）；(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大?最大利润是多少?18．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，2()2f x x x =+.现已画出函数()f x 在y 轴左侧的图象，如图所示，请根据图象.(1)写出函数()()f x x ∈R 的增区间.(2)写出函数()()f x x ∈R 的解析式.(3)若函数()()22([1,2])g x f x ax x =-+∈，求函数()g x 的最小值.19．已知函数()(),b f x ax a b x =+∈R ，且5(1)2,(2)2f f =-=-.(1)()f x 的解析式，并写出其定义域；(2)用函数单调性的定义证明：()f x 在0,1上单调递减.(3)若对任意11,42x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，不等式210x cx -+≥恒成立，求实数c 的取值范围.。

海南高一高中数学期末考试带答案解析

海南高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.过点(－1, 3)且垂直于直线的直线方程为A．2x + y1= 0B．2x + y5= 0C．x + 2y5= 0D．x2y + 7= 02.等差数列的前n项和为，且 =6，=4，则公差d等于A．1B．C．2D．33.已知圆，圆，则其公共弦所在直线方程的斜率为A．B．C．D．24.与直线平行的抛物线的切线方程是A．2x y+3=0B．2x y3=0C．2x y+1=0D．2x y1=05.已知两点，点P满足=12，则点P的轨迹方程为A．B．C．D．6.在二项式的展开式中，含的项的系数是A．－5B．5C．－10D．107.已知双曲线的准线过椭圆的焦点，则直线与椭圆至多有一个交点的充要条件是A．B．C．D．8.若方程表示双曲线，则实数k适合的条件是A．或B．或C．或D．9.设．若的最小值为A．8B．4C．1D．10.在如图所示的坐标平面的可行域（阴影部分且包括边界）内，目标函数取得最大值的最优解有无数个，则为A．－2B．2C．－6D．611.我们把离心率为黄金比的椭圆称为“优美椭圆”．设(a>b>0)为“优美椭圆”，F、A分别是它的左焦点和右顶点，B是它短轴的一个端点，则∠ABF等于A．60°B．75°C．90°D．120°12.若关于x的方程有且只有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是A．B．C．D．二、填空题1.7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有______▲______种（用数字作答）．2.已知x, y满足，则的取值范围是▲．3.过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则______▲______．4.已知圆C的方程为，定点，直线有如下两组论断：由第Ⅰ组论断作为条件，第Ⅱ组论断作为结论，写出所有可能成立的命题（将命题用序号写成形如p q的形式）▲．三、解答题1.（本题满分10分）设函数，其中．(Ⅰ)当时，求不等式的解集；(Ⅱ)若不等式的解集为，求a的值．2.（本题满分10分）一座抛物线拱桥在某时刻水面的宽度为52米，拱顶距离水面6.5米．(Ⅰ)建立如图所示的平面直角坐标系xOy，试求拱桥所在抛物线的方程；(Ⅱ)若一竹排上有一4米宽6米高的大木箱，问此木排能否安全通过此桥？3.（本题满分12分）已知圆x2+y2+x－6y+m=0和直线x+2y－3=0交于P、Q两点．(Ⅰ)求实数m的取值范围；(Ⅱ)求以PQ为直径且过坐标原点的圆的方程．4.（本题满分12分）设为非零实数，(Ⅰ)写出并判断是否为等比数列．若是，给出证明；若不是，说明理由；(Ⅱ)设，求数列的前n项和．5.（本题满分12分）阅读下列材料，解决数学问题．圆锥曲线具有非常漂亮的光学性质，被人们广泛地应用于各种设计之中，比如椭圆镜面用来制作电影放映机的聚光灯，抛物面用来制作探照灯等，它们的截面分别是椭圆和抛物线．双曲线也具有非常好的光学性质，从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是发散的，它们好像是从另一个焦点射出的一样，如图（1）所示．反比例函数的图像是以直线为轴，以坐标轴为渐近线的等轴双曲线，记作C ． (Ⅰ)求曲线C 的离心率及焦点坐标；(Ⅱ)如图（2），从曲线C 的焦点F 处发出的光线经双曲线反射后得到的反射光线与入射光线垂直，求入射光线的方程．（1）（2）6.（本题满分14分）在直角坐标系xOy 中，椭圆C 1：的左、右焦点分别为F 1、F 2．F 2也是抛物线C 2：的焦点，点M 为C 1与C 2在第一象限的交点，且．(Ⅰ)求C 1的方程； (Ⅱ)平面上的点N 满足，直线l ∥MN ，且与C 1交于A 、B 两点，若·=0，求直线l 的方程．海南高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.过点(－1, 3)且垂直于直线的直线方程为A ．2x + y 1= 0B ．2x + y 5= 0C ．x + 2y 5= 0D ．x 2y + 7= 0【答案】A【解析】根据题意，易得直线x-2y+3=0的斜率为，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为-2，又知其过定点坐标，由点斜式得所求直线方程．解：根据题意，易得直线x-2y+3=0的斜率为，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为-2，又知其过点（-1，3），由点斜式得所求直线方程为2x+y-1=0．2.等差数列的前n 项和为，且 =6，=4，则公差d 等于A ．1B ．C ．2D ．3【答案】C【解析】由题意可得 S 3=6=（a 1+a 3），且 a 3=a 1+2d ，a 1=4，解方程求得公差d 的值．解：∵S 3=6=（a 1+a 3），且 a 3=a 1+2d ，a 1=4，∴d=-2，故选C ．3.已知圆，圆，则其公共弦所在直线方程的斜率为A ．B ．C ．D ．2【解析】圆与圆公共弦所在直线方程为:故选B.4.与直线平行的抛物线的切线方程是A．2x y+3=0B．2x y3=0C．2x y+1=0D．2x y1=0【答案】D【解析】根据导数的几何意义求出函数f（x）在x处的导数等于切线的斜率，建立等式，求出x的值，从而求出切点坐标，最后将切线方程写出一般式即可．解：y’=2x2x=2即x=1∴切点坐标为（1，1）∴与直线2x-y+4=0的平行的抛物线y=x2的切线方程是 2x-y-1=0故答案为D5.已知两点，点P满足=12，则点P的轨迹方程为A．B．C．D．【答案】B【解析】设P点坐标为（x，y），由=12进而可得到x和y的关系式．解：设P（x，y），则=（-2-x，-y），=（2-x，-y）∴=（2-x）（-2-x）+y2=12整理可得x2+y2=16．故选B6.在二项式的展开式中，含的项的系数是A．－5B．5C．－10D．10【答案】D【解析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为4求得．= (x2)5-r(-)r=(-1)r x10-3r，解：对于Tr+1对于10-3r=4，∴r=2，2（-1）2=10则x4的项的系数是C5故选项为D7.已知双曲线的准线过椭圆的焦点，则直线与椭圆至多有一个交点的充要条件是A．B．C．D．【解析】先求得准线方程，可推知a和b的关系，进而根据c2=a2-b2求得b，椭圆的方程可得，与直线y=kx+2联立消去y，根据判别式小于等于0求得k的范围．解：根据题意，易得准线方程是x=±=±1所以c2=a2-b2=4-b2=1即b2=3所以方程是联立y=kx+2可得3x2+（4k2+16k）x+4=0由△≤0解得K∈[-]故选A8.若方程表示双曲线，则实数k适合的条件是A．或B．或C．或D．【答案】B【解析】要使方程是双曲线方程需要两个分母一个大于零，一个小于0，进而联立不等式组求得k的范围．解：要使方程表示双曲线，需或；解得k＞5或-2＜k＜2故选B9.设．若的最小值为A．8B．4C．1D．【答案】C【解析】答案应选B由题设条件中的等比关系得出a+b=1，代入中，将其变为2+，利用基本不等式就可得出其最小值解：因为3a?3b=3，所以a+b=1，=(a+b)()=2+≥2+2=4，当且仅当=即a=b=时“=”成立，故选择B．10.在如图所示的坐标平面的可行域（阴影部分且包括边界）内，目标函数取得最大值的最优解有无数个，则为A．－2B．2C．－6D．6【解析】11.我们把离心率为黄金比的椭圆称为“优美椭圆”．设(a>b>0)为“优美椭圆”，F、A分别是它的左焦点和右顶点，B是它短轴的一个端点，则∠ABF等于A．60°B．75°C．90°D．120°【答案】C【解析】由可得2c2=(3-)a2验证|FA|2=|FB|2+|AB|2成立所以所以∠FBA等于 90°．解：∵，∴2c2=(3-)a2在三角形FAB中有b2+c2=a2，|FA|=a+c，|FB|=a，|AB|=，∴|FA|2=（a+c）2=a2+c2+2ac，|FB|2+|AB|2=2a2+b2=3a2-c2，∴|FA|2=|FB|2+|AB|2=a2，所以∠FBA等于 90°．故选C．12.若关于x的方程有且只有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是A．B．C．D．【答案】D【解析】先将方程根的情况转化为一个半圆与一条直线交点的情况，再用数形结合，先求出相切时的斜率，再得到有两个交点的情况．解：将方程-kx-3+2k=0转化为：半圆y=，与直线y=kx+3-2k有两个不同交点．当直线与半圆相切时，有=2k=∴半圆y=与直线y=kx+3-2k有两个不同交点时．直线y=kx+3-2k=k（x-2）+3，一定过（2，3），由图象知直线过（-2，0）时直线的斜率k取最大值为k∈(，]故选D二、填空题1.7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有______▲______种（用数字作答）．【答案】140【解析】略2.已知x, y满足，则的取值范围是▲．【答案】z≤－2或z≥1【解析】略3.过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则______▲______．【答案】2【解析】略4.已知圆C的方程为，定点，直线有如下两组论断：由第Ⅰ组论断作为条件，第Ⅱ组论断作为结论，写出所有可能成立的命题（将命题用序号写成形如p q的形式）▲．【答案】【解析】略三、解答题1.（本题满分10分）设函数，其中．(Ⅰ)当时，求不等式的解集；(Ⅱ)若不等式的解集为，求a的值．【答案】解：(Ⅰ)当时，可化为，由此可得或；故不等式的解集为或；（4分）(Ⅱ)由得，此不等式化为不等式组或即或因为，所以不等式组的解集为，由题设可得= ，故．（10分）【解析】略2.（本题满分10分）一座抛物线拱桥在某时刻水面的宽度为52米，拱顶距离水面6.5米．(Ⅰ)建立如图所示的平面直角坐标系xOy，试求拱桥所在抛物线的方程；(Ⅱ)若一竹排上有一4米宽6米高的大木箱，问此木排能否安全通过此桥？【答案】解：(Ⅰ)设抛物线方程. ……（1分）由题意可知，抛物线过点，代入抛物线方程，得，解得， ……（4分）所以抛物线方程为. ……（5分） (Ⅱ)把代入，求得. ……（8分）而，所以木排能安全通过此桥. ……（10分）【解析】略3.（本题满分12分）已知圆x 2+y 2+x －6y +m =0和直线x +2y －3=0交于P 、Q 两点． (Ⅰ)求实数m 的取值范围；(Ⅱ)求以PQ 为直径且过坐标原点的圆的方程．【答案】解：(Ⅰ) （法一）圆C ：，圆心，半径圆心到直线的距离，得；（4分）（法二）由，有，得m<8；（或者联立得）（4分）(Ⅱ)设P(x 1,y 1), Q(x 2,y 2)，由∴由于以PQ 为直径的圆过原点，∴OP ⊥OQ ， ∴x 1x 2+y 1y 2=0，而x 1x 2=9－6(y 1+y 2)+4y 1y 2=，∴解得m =3．（8分）故P(1,1), Q(－3,3)，圆的方程为，即．（12分）（法二）设过PQ 的圆的方程为∴，即∵圆过原点，∴，又以PQ 为直径，则取最小值，此时，故m=3，圆的方程为，即．（12分）【解析】略4.（本题满分12分）设为非零实数，(Ⅰ)写出并判断是否为等比数列．若是，给出证明；若不是，说明理由； (Ⅱ)设，求数列的前n 项和．【答案】解(Ⅰ)∴从而因为为常数，所以是以为首项，为公比的等比数列；（6分）(Ⅱ)由(Ⅰ)知，∴⑵⑴得：∴（12分）【解析】略5.（本题满分12分）阅读下列材料，解决数学问题．圆锥曲线具有非常漂亮的光学性质，被人们广泛地应用于各种设计之中，比如椭圆镜面用来制作电影放映机的聚光灯，抛物面用来制作探照灯等，它们的截面分别是椭圆和抛物线．双曲线也具有非常好的光学性质，从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是发散的，它们好像是从另一个焦点射出的一样，如图（1）所示．反比例函数的图像是以直线为轴，以坐标轴为渐近线的等轴双曲线，记作C ．(Ⅰ)求曲线C 的离心率及焦点坐标；(Ⅱ)如图（2），从曲线C 的焦点F 处发出的光线经双曲线反射后得到的反射光线与入射光线垂直，求入射光线的方程．（1）（2）【答案】略【解析】略6.（本题满分14分）在直角坐标系xOy 中，椭圆C 1：的左、右焦点分别为F 1、F 2．F 2也是抛物线C 2：的焦点，点M 为C 1与C 2在第一象限的交点，且．(Ⅰ)求C 1的方程；(Ⅱ)平面上的点N 满足，直线l ∥MN ，且与C 1交于A 、B 两点，若·=0，求直线l 的方程．【答案】解：(Ⅰ)由:知．设，在上，因为，所以，得,．M 在上，且椭圆的半焦距，于是，消去并整理得，解得（不合题意，舍去）．故椭圆的方程为．（6分） (Ⅱ)由知四边形是平行四边形，其中心为坐标原点，因为，所以与的斜率相同，故的斜率．设的方程为．由消去并化简得．设，，，．因为，所以．．所以．此时，故所求直线的方程为，或．（14分）【解析】略。

2024-2025学年海南省海口市高一上学期第一次阶段考试数学检测试题(含解析)

注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；2.请将答案正确填写在答题卡上.一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.2024-2025学年海南省海口市高一上学期第一次阶段考试数学检测试题请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上）1. 设集合{}0,1,2,3A =，{}1,2,3,4,5B =，则A B =I （）A. {}0.1,2,3,4,5B. {}0,1,2,3,4C. {}0,1,2,3 D. {}1,2,3【答案】D【解析】【分析】根据集合交集运算计算即可.【详解】根据题意知{}{}{}1,2,3,4,51,2,30,1,2,3A B Ç==Ç.故选：D2. 设R x Î，则“2x >”是“()10x x ->”的（）A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先将不等式化简，然后判断充分性和必要性即可.【详解】解不等式()10x x ->得，1x >或0x <所以“2x >”是“()10x x ->”的充分不必要条件.故选：A3. 命题“()0,1x $Î，32x x >”的否定是（）A. ()0,1x "Î，32x x >B. ()0,1x "Î，32x x £C. ()0,1x $Î，32x x £ D. ()0,1x $∉，32x x £【答案】B【解析】【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定即可.【详解】命题“()0,1x $Î，32x x >”的否定是“()0,1x "Î，32x x £”.故选：B.4. 已知函数()()()1,012,0x x f x f x f x x +£ì=í--->î，则()3f =（）A. 2- B. l - C. 0 D. 1【答案】B【解析】【分析】根据分段函数定义计算即可.【详解】()()()()()()()()3211010011f f f f f f f éù=-=--=-=-+=-ëû.故选：B.5. 已知集合{}1,2,3A =，{},B a ba Ab A =+ÎÎ∣，则集合B 的真子集个数为（）A. 63B. 32C. 31D. 15【答案】C【解析】【分析】由集合的描述用枚举法写出集合，由一个集合有n 个元素，则有21n -个真子集求得真子集个数即可.【详解】由题意可知{}2,3,4,5,6B =共有5个元素，所以集合B 的真子集个数为52131-=.故选：C.6. 下列说法错误的是（）A. 命题“x $ÎR ，210x x ++<”，则p Ø：“x "ÎR ，210x x ++³”B. “1x =”是“2320x x -+=”的充分条件C. 若p 是q 的充分不必要条件，则q 是p 的必要不充分条件D. 已知a ，b ÎR ，则“1ab >”是“1a >且1b £”的充分而不必要条件【答案】D【分析】根据充分条件，必要条件，全称与特称命题的否定依次讨论各选项即可得答案.【详解】对于A ：命题“x $ÎR ，210x x ++<”，则p Ø：“x "ÎR ，210x x ++³，正确；对于B ：当1x =时，2320x x -+=成立，正确；对于C ：若p 是q 的充分不必要条件，则q 是p 的必要不充分条件，正确；对于D ：当2,3a b ==时，满足1ab >，此时1a >且1b £不成立，错误；故选：D7. 某班班主任对全班女生进行了关于对唱歌、跳舞、书法是否有兴趣问卷调查，要求每位同学至少选择一项，经统计有21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌和书法的有6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为（）A. 27B. 23C. 25D. 29【答案】A【解析】【分析】借助韦恩图处理集合运算的容斥问题.【详解】作出韦恩图，如图所示，可知5人只喜欢唱歌，2人只喜欢跳舞，1人只喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞但不喜欢书法的有10人，同时喜欢唱歌和书法但不喜欢跳舞的有4人，同时喜欢跳舞和书法但不喜欢唱歌的有3人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为5211043227++++++=.故选：A.8. 已知集合12,Z 3A x x k k ìü==+Îíýîþ，21,Z 3k B x x k ìü+==Îíýîþ，则（）A A B Í B. A B =ÆI C. A B = D. A B Ê【答案】A的.【分析】由集合A ，B 中的元素特征判断可得.【详解】1612,Z ,Z 33k A x x k k x x k ìüìü+==+Î==Îíýíýîþîþ，当Z k Î时，21k +表示2的整数倍与1的和，61k +表示6的整数倍与1的和，故A B Í，故选：A9. 若0a >，0b >，412ab a b =++，则ab 的取值范围是（）A. {}018x x <£ B. {}036x x <£C. {}18x x ³ D. {}36x x ³【答案】D【解析】【分析】根据题意利用基本不等式可得120ab --³.【详解】因为0a >，0b >，由基本不等式可得4121212ab a b =++³=+，即120ab --³6³2£-（舍去），即36ab ³，当且仅当436b a ab =ìí=î，即312a b =ìí=î时，等号成立，故ab 的取值范围是{}36x x ³．故选：D ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.10. 若a b c d >>>，则下列不等式恒成立的是（）A. a c d b->- B. a c b d +>+ C. ac bd > D. ad bc>【答案】AB【解析】分析】采用作差法可知AB 正确；通过反例可说明CD 错误.【详解】对于A ，()()()()a c d b a c b d ---=-+-，a b c d >>>Q ，0a c \->，0b d ->，【()()0a c d b \--->，即a c b d ->-，A 正确；对于B ，()()()()a c b d a b c d +-+=-+-，a b c d >>>Q ，0a b \->，0c d ->，()()0a c b d \+-+>，即a c b d +>+，B 正确；对于C ，当3a =，0b =，2c =-，3d =-时，60ac bd =-<=，C 错误；对于D ，当3a =，2b =，1c =，0d =时，02ad bc =<=，D 错误.故选：AB.11. 设集合{1,2},{|20,R}M N x ax a ==+=Î且N M Í，则实数a 可以是（）A. 1- B. 1 C. 2- D. 0【答案】ACD【解析】【分析】依题意，结合子集定义，分0a =或0a ¹讨论即可.【详解】当0a =时，N =Æ时，满足N M Í，符合题意，当0a ¹时，2N a ìü=-íýîþ，因为N M Í,所以当21a -=时，解得2a =-；当22a-=时，解得1a =-；故选：ACD.12. 下列说法正确的是（）A. 若102x <<，则()12x x -的最大值为18B. 函数233(1)1x x y x x ++=>-+的最小值为2C. 已知1,0,0x y x y +=>>，则1y x y +的最小值为3D. 若正数,x y 满足220xxy +-=，则3x y +的最小值是4【答案】ACD【解析】【分析】利用基本不等式及“1”的妙用，对选项逐一分析检验即可.【详解】对于A ，102x <<Q ，120x \->，()()2112121122122228x x x x x x +-æö\-=´-£´=ç÷èø，当且仅当212x x =-，即14x =时，等号成立，所以()12x x -的最大值为18.故A 正确；对于B ，因为1x >-，所以10x +>，所以()()221113*********x x x x y x x x x ++++++===+++³+=+++，当且仅当111x x +=+，即0x =时等号成立，所以函数2331x x y x ++=+的最小值为3.故B 错误；对于C ，因为1x y +=，0x >，0y >，所以1113y y x y y x x y x y x y ++=+=++³=，当且仅当y x x y =即12x y ==时等号成立，所以1y x y +的最小值为3.故C 正确；对于D ，因为220x xy +-=，0x >，0y >，所以2=-y x x ，则223324x y x x x x x +=-+=+³=，当且仅当22x x=即1x =时等号成立，此时1y =，所以3x y +的最小值为4.故D 正确.故选：ACD.第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.13. 已知集合{(,)3}A x y y x ==+∣，{}2(,)3B x y y x ==+∣，则A B =I __________.【答案】()(){}0,3,1,4【解析】【分析】求出方程组233y x y x =+ìí=+î的解，根据集合交集的含义，即可得答案.【详解】解233y x y x =+ìí=+î，得03x y =ìí=î或14x y =ìí=î，故()()(){}23,|0,3,1,43y x A B x y y x ìü=+ìÇ==ííý=+îîþ，故答案为：()(){}0,3,1,414. 已知集合{|1}A x x =>，{|}B x x a =>，若A B Í，则实数a 的取值范围是______.【答案】(,1]-¥【解析】【分析】在数轴上画出两个集合对应的范围，利用A B Í可得实数a 的取值范围.【详解】如图，在数轴表示,A B ，因为A B Í，故1a £，填(],1-¥.【点睛】含参数的集合之间的包含关系，应借助于数轴、韦恩图等几何工具直观地讨论参数的取值范围，解决此类问题时，还应注意区间端点处的值是否可取.15. 已知a ，b ÎR ，且a b ¹，满足()()()()4242222023222023a ab b ì-+-=ïí-+-=ïî，若对于任意的{}38x x x Î££，均有22tx x a b +£+成立，则实数t 的最大值是______.【答案】14-##0.25-【解析】【分析】将()()()()4242222023222023a ab b ì-+-=ïí-+-=ïî两式作差后因式分解可得4a b +=，则22tx x a b +£+可转化为242x t x -£，求出242x x-在{}38x x x Î££上的最小值即可得.【详解】由()()()()4242222023222023a a b b ì-+-=ïí-+-=ïî ，两式作差有()()()()42422222a a b b -+-----()()()()()()222222222222a b a b a b éùéù=-+----+---ëûëû()()()()2222221220a b a b éùéù=-+-+---=ëûëû，由()()222210a b -+-+>，故()()22220a b ---=，即()()2222a b -=-，又a b ¹，即有22a b -=-，故4a b +=，则224tx x a b +£+=，又{}38x x x Î££，故2224242111444x t x x x x -æö£=-=--ç÷èø，又111,83x éùÎêúëû，则2min 11114444x éùæö--=-êúç÷èøêúëû，此时4x =，即14t £-，故实数t 的最大值14-.故答案为：14-.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. 解答下列各题．（1）若3x >，求43x x +-的最小值；（2）若正数x ，y 满足911y x+=，求x y +的最小值．【答案】（1）7（2）16【解析】【分析】（1）由443333x x x x +=-++--，利用基本不等式求解；（2）作“1”的代换，利用基本不等式求解.【小问1详解】3x >Q ，30x \->，44333733x x x x +=-++³+=--，当且仅当433x x -=-，即5x =时等号成立.所以43x x +-的最小值为7.【小问2详解】,0x y >Q ，911y x+=，()919101016x y x y x y y x y x æö\+=++=++³+=ç÷èø，当且仅当9x y y x=，即4,12x y ==时等号成立，所以x y +的最小值为16.17. 设全集为R ，集合{}{}|36,|29A x x B x x =£<=<<（1）分别求(),U A B B A I U ð；（2）已知{}|1C x a x a =<<+，若C B B =U ，求实数a 的取值范围【答案】（1）{}|36A B x x Ç=£<，()U B A È=ð{2x x £或36x <≤或}9x ³（2）28a ££【解析】【分析】（1）利用交集，并集和补集的概念求出答案；（2）根据并集结果得到C B Í，从而得到不等式，求出答案.小问1详解】{}{}{}|36|29|36A B x x x x x x Ç=£<Ç<<=£<，{2U B x x =£ð或}9x ³，(){2UB A x x È=£ð或}9x ³{}|36x x È£<={2x x £或36x <≤或}9x ³；【小问2详解】{}|1C x a x a =<<+，{}|29B x x =<<，C B B C B =ÞÍU ，显然C ¹Æ，则219a a ³ìí+£î，解得28a ££，故实数a 的取值范围是28a ££【18. （1）33a x y =+，22b x y xy =+，其中x ，y 均为正实数，比较a ，b 的大小；（2）证明：已知a b c >>，且0a b c ++=，求证：c c a c b c >--.【答案】（1）a b ³；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用作差法判断即可；（2）根据不等式性质计算可得；【详解】解：（1）因为33a x y =+，22b x y xy =+，所以()()()233223322a b x y x y xy x y x y xy x y x y -=+-+=+--=-+因为0x >，0y >，所以0x y +>，()20x y -³，所以0a b -³，即a b ³；（2）因为a b c >>，且0a b c ++=，所以0a >，0c <，所以0a c b c ->->，所以110a c b c<<--，所以c c a c b c>--；19. 中欧班列是推进与“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设.目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间高为3m ，底面积为212m ，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两面墙的长度均为()m 26x x ££．（1）当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？（2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为()9001a x x +元(0)a >，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a 的取值范围【答案】（1）4（2）012a <<【解析】【分析】（1）根据题意，建立函数，利用基本不等式，可得答案；的（2）由题意，等价转化为不等式恒成立问题，利用分离参数，建立新函数，结合基本不等式，可得答案.【小问1详解】设甲工程队的报价为y 元，121440072003150234009007200y x x x x=+×´+××=++，由26x ££，则720014400y ³+=，当且仅当14400900x x=，即4x =时，等号成立，所以当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低.【小问2详解】由题意可知：不等式()9001144009007200a x x x x+++>在[]2,6上恒成立，化简不等式可得：21681x x a x++>+，设()()()221619816916111x x x x f x x x x x ++++++===++++++，由[]2,6x Î时，则()612f x ³=，所以012a <<.20. 设A 是正整数集的非空子集，称集合{|||,B u v u v A =-Î，且}u v ¹为集合A 的生成集．（1）当{}1,3,6A =时，写出集合A 的生成集B ；（2）若A 是由5个正整数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值；（3）判断是否存在4个正整数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，并说明理由．【答案】（1）{}2,3,5B =；（2）4；（3）不存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解；（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，且123450a a a a a <<<<<，利用生成集的定义即可求解；（3）假设存在集合{},,,A a b c d =，可得d a c a b a ->->-，d a d b d c ->->-，c a c b ->-，16d a -=，然后结合条件说明即得.【小问1详解】因为{}1,3,6A =，所以132,165,363-=-=-=，所以{}2,3,5B =；【小问2详解】设{}12345,,,,A a a a a a =，不妨设123450a a a a a <<<<<，因为21314151a a a a a a a a <<<----，所以B 中元素个数大于等于4个，又{}1,2,3,4,5A =，则{}1,2,3,4B =，此时B 中元素个数等于4个，所以生成集B 中元素个数的最小值为4；【小问3详解】不存在，理由如下：假设存在4个正整数构成的集合{},,,A a b c d =，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，不妨设0a b c d <<<<，则集合A 的生成集B 由,,,,,b a c a d a c b d b d c ------组成，又,,d a c a b a d a d b d c c a c b ->->-->->-->-，所以16d a -=，若2b a -=，又16d a -=，则14d b B -=∉，故2b a -¹，若2d c -=，又16d a -=，则14c a B -=∉，故2d c -¹，所以2c b -=，又16d a -=，则18d b c a -+-=，而{},3,5,6,10d b c a --Î，所以18d b c a -+-=不成立，所以假设不成立，故不存在4个正整数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =.【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.。

海南市重点中学2024届数学高一第二学期期末质量检测试题含解析

海南市重点中学2024届数学高一第二学期期末质量检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在等比数列{}n a 中，1101,3,a a ==则23456789a a a a a a a a =（） A ．81B ．52727C ．3D ．2432．在ABC 中，点D 是BC 边上的靠近C 的三等分点，则AD =（）A ．1233AB AC + B ．2133AB AC - C ．2133AB AC +D ．1233AB AC -3．已知4log 5a =，2log 3b =，sin2c =，则,,a b c 的大小关系为（） A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．c b a <<4．一实体店主对某种产品的日销售量（单位：件）进行为期n 天的数据统计，得到如下统计图，则下列说法错误的是（）A ．30n =B ．中位数为17C ．众数为17D ．日销售量不低于18的频率为0.55．已知sin()sin()m αβαβ-=+，且tan 2tan 0αβ=≠，则实数m 的值为（） A ．2B ．12C ．3D ．136．设1e ，2e 是平面内一组基底，若1222sin 0e e λλ+=，1λ，2R λ∈，则以下不正确．．．的是（） A ．1sin 0λ=B ．2tan 0λ=C ．120λλ=D ．2cos 1λ=7．以()1,m 为圆心，且与两条直线240x y -+=，260x y --=都相切的圆的标准方程为（）A ．()()22195x y -++= B ．()()2211125x y -+-= C ．()()22115x y -+-=D ．()()221925x y -++=8．已知等比数列{}n a 中，0n a >，164a a =，则22232425log log log log a a a a +++=（） A ．10B ．7C ．4D ．129．一个几何体的三视图如图（图中尺寸单位：m ），则该几何体的体积为（）A ．33m πB ．34m πC ．3m πD ．334m π 10．设1F ，2F 是椭圆2221(02)4x yb b+=<<的左、右焦点，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，若22AF BF +最大值为5，则椭圆的离心率为（） A ．12B ．22C 51- D 3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

海南省海口市海南中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷

海南省海口市海南中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷一、单选题1．已知集合{Z|||1}A x x =∈≤,*{N |12}B x x =∈-≤≤，则A B =U （）A ．{}0,1B ．{}1,0,1-C ．{}1,0,1,2-D ．{}0,1,2 2．已知命题p ：x ∀∈R ，3210x x +->，则p ⌝为（）A ．0x ∃∈R ，300210x x +-≤B ．0x ∃∈R ，300210x x +-< C ．x ∀∈R ，3210x x +-≤D ．x ∀∈R ，3210x x +-<3．“a b >”是“a b >”的条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 4．已知方程()2250x m x m ++++= 有两个正根，则实数m 的取值范围是A ．2m <-B ．4m ≤-C ．5m >-D ．54m -<≤- 5．甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲、乙、丙共同写出三个集合：{02}A x x =<∆<∣，{35}B x x =-≤≤∣，203C x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，然后他们三人各用一句话来正确描述“∆”表示的数字，并让丁同学猜出该数字，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：x B ∈是x A ∈的必要不充分条件；丙：x C ∈是x A ∈的充分不必要条件.则“∆”表示的数字是（）A ．3或4B ．2或3C ．1或2D ．1或36．已知集合1,Z 44k M x x k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，集合1,Z 84k N x x k ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，则（） A ．M N ⋂=∅ B ．M N ⊆ C ．N M ⊆ D ．M N M ⋃=7．若不等式()()224230a x a x -+-+>的解集为R ，则实数a 的取值范围是（）A ．1124a a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B ．{2a a ≤∣或11}4a > C ．{2a a <∣或11}4a > D ．1124a a ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭ 8．对于给定的实数a ，关于实数x 的一元二次不等式()()10a x a x -+>的解集不可能为（） A ．∅ B ．{}1- C ．(),1a - D ．()(),1,a -∞-+∞U二、多选题9．已知16,38a b -<<<<，则下列结果正确的有（）A ．123a b -<2≥ C ．1x x+的最小值为2D2 11．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}5Z k n k n =+∈，0k =、1、2、3、4，给出如下四个结论，其中正确结论的是（）A ．[]20211∈B ．[]133-∈C ．若整数a 、b 属于同一“类”，则[]0a b -∈D ．若[]0a b -∈，则整数a 、b 属于同一“类”三、填空题12．已知集合{}22,2,A a a a =--，若2A ∈，则a =.13．不等式253x ≤-的解集是． 14．方程230x kx k -++=的两个根均大于2,则k 的取值范围是四、解答题15．已知非空集合{}{}2112,320()A x a x a B x x x a R =+≤≤-=++≥∈． (1)若1a =-，求()R A B ⋂ð；(2)若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求a 的取值范围．16．一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．(1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为2330m ，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？(2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？ 17．已知关于x 的不等式220ax x ++<(a ∈R )．（1）若220ax x ++<的解集为{|1x x >或}x b <，求实数a ，b 的值；（2）求关于x 的不等式223ax x ax ++<+的解集．18．某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似的表示为21200800002y x x =-+，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？19．已知正实数集{}12,,,n A a a a =L ，定义：{}2,i j i j A a a a a A =∈称为A 的平方集.记()n A 为集合A 中的元素个数.(1)若{}1,2,3,4A =，求集合2A 和()2n A ； (2)若()22016n A =，求min ()n A ；(3)求证：()()221n A n A ≥-，并指出取等条件．。

海南高一高中数学期末考试带答案解析

海南高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.直线的斜率为，则的倾斜角的大小是（）A．30°B．60°C．120°D．150°2.下列说法正确的是（）A．圆锥的侧面展开图是一个等腰三角形B．棱柱即是两个底面全等且其余各面都是矩形的多面体C．任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线3.直线的斜率为，，直线过点且与轴交于点，则点坐标为（）A．B．C．D．4.如图，正方体的棱长为1，是底面的中心，则到平面的距离为（）A．B．C．D．5.设是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列正确的是（）A．若，，则B．若，，，则C．若，，则D．若，，则6.长方体的一个顶点上三条棱长分别是，且它的个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A．B．C．D．都不对7.已知正四面体内接于一个球，某人画出四个过球心的平面截球与正四面体所得的图形如下，则（）①②③④A．以下四个图形都是正确的B．只有②④是正确的C．只有④是正确的D．只有①②是正确的8.如图长方体中，，，则二面角的大小为（）A．B．C．D．9.四面体中，各个侧面都是边长为的正三角形，分别是和的中点，则异面直线与所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°10.．如图，一平面图形的直观图是一个等腰梯形OABC，且该梯形的面积为，则原图形的面积为( )A．2B．C．2D．411.把正方形沿对角线折起,当以四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线和平面所成的角的大小为（）A．B．C．D．12.设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（）A．或B．C．D．或二、填空题1.如图，中，平面，此图形中有个直角三角形．2.一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正三角形，俯视图是直径为1的圆，这个几何体的体积为。

海南省文昌中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题

海南省文昌中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题一、单选题1．已知集合{}2,N A x x x =≤∈，{}0,1,2,3B =，则A B =I （）A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ．{}2D ．∅2．命题“0x ∀<，2210x x -+≤”的否定是（）A ．0x ∃≥，2210x x -+>B ．0x ∀≥，2210x x -+≤C ．0x ∃<，2210x x -+>D ．0x ∀<，2210x x -+>3．不等式()273x x +≥-的解集为（） A ．(]1,3,2⎡⎫-∞-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭B ．13,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．(]1,2,3⎡⎫-∞-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭D ．12,3⎡--⎤⎢⎥⎣⎦ 4．若全集{}1,2,3,4U =且{}1U A =ð，则集合A 的真子集共有（） A ．3个 B ．5个 C ．7个 D ．8个5．若正实数x ，y 满足40x y xy +-=，则xy 的取值范围为（）A ．(]0,4B ．[)2,+∞C ．[)4,+∞D ．[)16,+∞ 6．“1a =-”是“函数221y ax x =+-与x 轴只有一个交点”的（）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件7．现有一级小麦m kg ，二级小麦n kg ，某粮食收购站有两种收购方案．方案一：分两个等级收购小麦，一级小麦a 元/kg ，二级小麦b 元/ kg （b a <）；方案二：以方案一两种价格的平均数收购．收购方式更加优惠的是（）A ．方案一B ．方案二C ．同样优惠D ．以上均有可能 8．已知命题“存在{|13}x x x ?<，使等式210x mx --=成立”是假命题，则实数m 的取值范围（）A ．8,3∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭B ．()8,0,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭C ．][8,0,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭D ．(],0∞-二、多选题9．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，{}260A x x x m =-+=∣，A U ⊆且U A ð中有6个元素，则实数m 的值可以是（）A ．5B ．6C ．7D ．8 10．使a R ∈，4a <成立的充分不必要条件可以是（）A ．4a ，0y >且3210x y +=，则下列结论正确的是（）A ．xy 的最大值为625 B C ．32x y +的最小值为52D ．221002513x y ≤+<三、填空题12．已知全集{3U x x =<或}5x ≥，集合{}12A x x =-<<，则U A =ð．13．二次函数2235y x x =-+在22x -≤≤上的取值范围是．14．已知集合304x A x x ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭ ，(){}2=2+2+7+70B x x k x k <，若A B ⋂中恰有一个整数，则实数k 的取值范围为．四、解答题15．已知集合{}29A x x =≥，701x B x x ⎧⎫-=<⎨⎬+⎩⎭ ，{}24C x x =-<． (1)求集合B 和C ；(2)若全集U =R ，求U A B U ð．16．已知关于x 的不等式2200x mx --<的解集为{}2|x x n -<<．(1)求m ，n 的值；(2)正实数a ，b 满足2na mb +=，求115a b+的最小值． 17．如图，某学校为庆祝70周年校庆，准备建造一个八边形的中心广场，广场的主要造型是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为2100m 的十字形地域．计划在正方形MNPQ 上建一座花坛，造价为22800/m 元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地面，造价为2250/m 元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为280/m 元．设总造价为W （单位：元），AD 长为x （单位：m ）．(1)当4m x =时，求草坪面积；(2)当x 为何值时，W 最小？并求出这个最小值．18．已知关于x 的不等式2210ax ax ++≥对于R x ∀∈恒成立．(1)求a 的取值范围；(2)在（1）的条件下，解关于x 的不等式220x x a a --+<．19．《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入：（4）整体求和等．例如，1ab =，求证：11111a b+=++．证明：原式111111ab b ab a b b b =+=+=++++．波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征．2a b +（0a >，0b >），当且仅当a b =时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在0x >的条件下，当x 为何值时，1x x+有最小值，最小值是多少？解：0x Q >，10x >，12x x +∴1x x +≥12x x ∴+≥，当且仅当1x x =，即1x =时，1x x+有最小值，最小值为2．请根据以上阅读材料解答下列问题： (1)已知1a b ⋅=，求221111a b +++的值． (2)若1a b c ⋅⋅=，解关于x 的方程5551111ax bx cx ab a bc b ca c ++=++++++． (3)若正数a ，b 满足1a b ⋅=，求11112M a b =+++的最小值．。

2023-2024学年海南省海口市高一上册期末考试数学试题(含解析)

2023-2024学年海南省海口市高一上册期末考试数学试题一、单选题1．已知集合512A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，{}2,1,0,1,2,4B =--，则A B = （）A ．{}1,0,1,2-B ．{}2,0,4-C ．{}0,1,2D ．{}0,1【正确答案】C【分析】根据集合交集的定义求解判断.【详解】因为512A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，{}2,1,0,1,2,4B =--，根据交集的定义，可得{}0,1,2A B = .故选：C.2．()55πsin 6-=（）A ．12-B ．12C．D．2【正确答案】B【分析】根据诱导公式一可求出结果.【详解】()55πsin 6-=5πsin 10π6⎛⎫-+ ⎪⎝⎭5πsin 6=12=.故选：B3．已知函数331 ,0()log (1),0x x f x x x ⎧-<=⎨+≥⎩，若()2f a =，则(1)f a +=（）A ．3log 2B ．3log 10C ．3log 5D ．1【正确答案】B【分析】由()2f a =即可求出8a =，则可求出(1)f a +的值.【详解】当a<0时，()312a f a =-=，无解，当0a ≥时，3()log (1)28f a a a =+=⇒=，所以3(1)(9)log 10f a f +==，故选：B.4．函数()()212log 23f x x x =--的单调递增区间为（）A ．(),1-∞-B ．(),1∞-C ．()1,+∞D ．()3,+∞【正确答案】A首先求出函数的定义域，再根据对数型复合函数的单调性即可求解.【详解】令223t x x =--，由2230t x x =-->，解得3x >，或1x <-，当1x <-时，函数223t x x =--单调递减，则()f x 单调递增，所以函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-.故选：A.5．函数21()cos log 1xf x x x-=⋅+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】A由条件判断函数为奇函数，且在()0,1为负数，从而得出结论.【详解】()12211()cos log cos log 11x x f x x x x x -+-⎛⎫-=-⋅=⋅ ⎪-+⎝⎭21cos log ()1x x f x x -=-⋅=-+,因此函数()f x 为奇函数，图像关于原点对称排除,C D ；当()0,1x ∈时，cos 0x >，12loglog 1011x x x -⎛⎫=-< ⎪++⎝⎭，因此()0f x <.故选.A本题主要考查的是函数图像的应用，奇偶性的应用，根据奇偶函数的对称性进行判断是解决本题的关键，是中档题.6．李明开发的经过t 天后，用户人数()500e ktA t =，其中k 为常数.已知发布经过10天后有2000名用户，则用户超过50000名至少经过的天数为（）（取lg 20.30=）A ．31B ．32C ．33D ．34【正确答案】D【分析】依题意知()102000A =，从而求得104e k =，再令()50000A t >，结合对数运算可求得结果.【详解】∵经过t 天后，用户人数()500e ktA t =，又∵发布经过10天后有2000名用户，∴102000500e k =，即104e k =，可得10lg 4lg e k =，∴lg 410lg e k =⋅①当用户超过50000名时有50000500e kt <，即100e kt <，可得lg100lg e kt <，∴2lg e kt <⋅②联立①和②可得lg 4102t >，即2lg 2102t>，故101033.3lg 20.3t >=≈，∴用户超过50000名至少经过的天数为34天.故选：D.7．若()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间[],t t -上单调递增，则实数t 的取值范围为（）A ．ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π0,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．π0,6⎛⎤ ⎥⎝⎦【正确答案】D【分析】根据题意，结合正弦型函数的单调区间列出不等式，然后结合条件代入计算，即可得到结果.【详解】令πππ2π22π,262k x k k -+≤+≤+∈Z ，所以ππππ36k x k -+≤≤+，k ∈Z所以函数()f x 的单调增区间为πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z又因为()f x 在[],t t -上单调递增，则[],t t -是πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z 的一个子区间，当0k =时，即ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，若[],t t -是ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的子集，则π0,6t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故选:D ．8．函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是增函数，若对任意[]0,1x t ∈-，均有()()2f x t f x -≥，则实数t 的最大值是（）A ．54B ．32C ．52D ．3【正确答案】B【分析】利用函数的奇偶性与单调性可得2x t x -≥，再利用二次函数在区间的单调性与最值即可得解.【详解】因为[]0,1x t ∈-，所以10t ->，则1t >，因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()f x f x =，则由()()2f x t f x -≥得()()2f x t fx -≥，又因为()f x 在[0,)+∞上是增函数，所以2x t x -≥，两边平方化简得22320x tx t +-≤在[]0,1x t ∈-恒成立，令22()32g x x tx t =+-，则()max 0g x ≤，又因为()g x 开口向上，对称轴为03tx =-<，所以22()32g x x tx t =+-在[]0,1x t ∈-单调递增，则2max ()(1)4830g x g t t t =-=-+≤，解得1322≤≤t ，又因为1t >，所以312t <≤，所以t 的最大值为32.故选：B.二、多选题9．设,0a b c ><则下列不等式恒成立的是（）A ．22a b >B ．33a b >C ．ac bc <D ．22ac bc >【正确答案】BCD【分析】利用不等式的性质即可求解.【详解】对于A ，当0a b >>时，则22a b <，故A 不正确；对于B ，由a b >，则33a b >，故B 正确；对于C ，当,0a b c ><时，则ac bc <，故C 正确；对于D ，因为0c <，所以20c >，由a b >可得22ac bc >，故D 正确；故选：BCD10．下列不等式中成立的是（）A ．πsin1sin 3C ．2πcoscos 23>D ．()cos 70sin18->︒︒【正确答案】AD【分析】由三角函数的诱导公式化简，然后根据正弦、余弦函数的单调性比较各选项中角的大小关系，从而得出函数值的大小关系.【详解】对A ，因为ππ0132<<<，sin y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以πsin1sin 3<，故A 正确；对于B ，15ππsinsin 77=，4πππsin sin sin 557=>，故B 错误；对C ，因为π2π2π23<<<，cos y x =在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，所以2πcos cos 23<，故C 错误；对于D ，()cos 70cos 70sin 20sin18-︒=︒=︒>︒，故D 正确.故选：AD.11．已知函数sin ()|tan |xf x x =，则下列结论正确的是（）A ．()f x 的图像关于(π,0)中心对称B ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．()f x 的值域为(1,1)-【正确答案】AC【分析】根据函数解析式，结合三角函数的性质，分别判断各选项.【详解】sin ()|tan |x f x x =，函数定义域为π,Z 2k x x k ⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭，sin(2π)sin (2π)()|tan(2π)||tan |x xf x f x x x ---===--，所以函数图像上的点(),()x f x 关于(π,0)的对称点()2π,()x f x --也在函数图像上，即()f x 的图像关于(π,0)中心对称，A 选项正确；()()sin πsin (π)()|tan π||tan |x xf x f x x x +-+==≠+，π不是()f x 的周期，B 选项错误；当π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin sin ()cos |tan |tan x x f x x x x ===--，所以()f x 在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，C 选项正确；当ππ2π,2π+2π+,2π+π22x k k k k ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 时，sin 0x >，sin sin ()cos |tan |tan x x f x x x x ===，有0()1<<f x ，当3π3π2π+π,2π+2π+,2π+2π22x k k k k ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭时，sin 0x <，sin sin ()cos |tan |tan x x f x x x x ==-=-，有1()0f x -<<，所以()f x 的值域为()()1,00,1-U ，D 选项错误.故选：AC12．给出下列四个结论，其中所有正确结论的序号是（）A ．若4log 7a =，0.51log 3b =，0.312c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则b a c>>B ．函数2()ln(1)f x x x=+-在()0,∞+上只有一个零点，且该零点在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上C ．实数()1,0a ∈-是命题“x ∃∈R ，2210ax ax +-≥”为假命题的充分不必要条件D ．定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()2112120x f x x f x x x -<-，且()39f =，则不等式()3f x x>的解集为()0,3【正确答案】ACD【分析】利用对数函数和指数函数的单调性判断A ，根据零点存在性定理及函数单调性判断B ，根据二次不等式的求解及充分必要条件判断C ，构造函数()()f xg x x=，根据函数单调性解不等式判断D.【详解】对于A ：若4log 7a =，0.51log 3b =，0.312c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则44log 7log 41a =>=，0.52441log log 3log 9log 713b a ===>=>，又0.3110122c ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以c<a时，x ∀∈R ，2210ax ax +-<为假命题，当a<0时，若10a -<<时，2(2)40a a ∆=+<，此时“x ∀∈R ，2210ax ax +-<”为真命题，当1a ≤-时，2(2)40a a ∆=+≥，此时“x ∀∈R ，2210ax ax +-<”为假命题，综上实数()1,0a ∈-是命题“x ∃∈R ，2210ax ax +-≥”为假命题的充分不必要条件，故C 正确；对于D ，定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()2112120x f x x f x x x -<-，不妨设120x x >>，则()()21120x f x x f x -<，即()()1212f x f x x x <，令()()f x g x x=，()0,x ∈+∞，则()()12g x g x <，故()()f x g x x =单调递减，因为()39f =，所以(3)(3)33f g ==，由()()30f x x x >>变形为()3(3)(0)f x g x x>=>，即()()3g x g >，根据()()f x g x x=单调递减，所以03x <<，故D 选项正确.故选：ACD.三、填空题13．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，点()1,2P 是角α终边上一点，则2sin cos sin cos αααα-=+______.【正确答案】1【分析】根据三角函数的定义得到tan 2α=，再利用弦切互化将2sin cos sin cos αααα-+的分子和分母同时除以cos α得到2tan 1tan 1αα-+，即可求解.【详解】因为点()1,2P 是角α终边上一点，所以tan 2α=，所以2sin cos 2tan 11sin cos tan 1αααααα--==++，故1.14．某城市一圆形空地的平面图如图所示，为了方便市民休闲健身，政府计划在该空地建设运动公园（图中阴影部分）.若ABC 是以B 为直角的等腰直角三角形，10AB =，则该公园的面积为________.【正确答案】25252π+【分析】利用扇形面积公式即可得到结果.【详解】由题可知圆心O 为AC 的中点，102AC =，连接OB ，该公园的面积()()2211255252252222OAB OBC S S S ππ=+=⨯+⨯⨯=+扇形故25252π+15．若函数()()cos 0f x x ωω=>相邻两条对称轴之间的距离为2，则()2f =______.【正确答案】1-【分析】根据相邻两条对称轴之间的距离为2计算得函数周期，从而可计算出ω值，即可得函数()πcos2f x x =，代值计算即可.【详解】由题意知，函数()cos (0)f x x ωω=>的周期为4，所以2π4ω=，则π2ω=，得()πcos 2f x x =，所以()2cos π1f ==-，故答案为.1-16．设a ∈R ，对于任意实数x ，记(){}2max 2,35f x x x ax a =--+-+，若方程()0f x =至少有3个根，则实数a 的最小值为______.【正确答案】10【分析】设2()35g x x ax a =-+-+，()2||h x x =-，分析可知函数()g x 至少有一个零点，可得出0∆≥，求出a 的取值范围，然后对实数a 的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数a 的不等式，综合可求得实数a 的取值范围.【详解】设2()35g x x ax a =-+-+，()2h x x =-，由20x -=可得2x =±.要使得函数()f x 至少有3个零点，则函数()g x 至少有一个零点，则24(35)0a a ∆=--≥，解得2a ≤或10a ≥.①当2a =时，()221g x x x =-+-，作出函数()g x 、()h x 的图象如图所示：()()h x g x >，()()2f x h x x ==-，此时函数()f x 只有两个零点，不满足题意；②当2a <时，设函数()g x 的两个零点分别为1x 、2x （12x x <），要使得函数()f x 至少有3个零点，则22x ≤-，所以22(2)150ag a ⎧<-⎪⎨⎪-=-≤⎩，解得a ∈∅；③当10a =时，()21025g x x x =-+-，作出函数()g x 、()h x的图象如图所示：由图可知，函数()f x 的零点个数为3，满足题意；④当10a >时，设函数()g x 的两个零点分别为3x 、4x （34x x <），要使得函数()f x 至少有3个零点，则32x ≥，可得22(2)10ag a ⎧>⎪⎨⎪=-≤⎩，解得4a >，此时10a >.综上所述，实数a 的取值范围是10a ≥.故10.方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出()0f x =的解；(2)图象法：作出函数()f x 的图象，观察与x 轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.四、解答题17．已知()()()()()πsin 2πcos πcos 2cos 2π3πcos πcos 2f ααααααα⎛⎫+⋅-⋅- ⎪⎝⎭=+-⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭.(1)化简()f α；(2)若()5f α=，求11sin cos αα+的值.【正确答案】(1)()sin cos f ααα=+(2)【分析】（1）利用诱导公式可化简()f α的表达式；（2）由已知可得出sin cos αα+=等式两边平方可得sin cos αα的值，进而可计算得出11sin cos αα+的值.【详解】（1）解.()()sin cos sin cos sin cos cos sin f ααααααααα⋅-⋅=+=+-⋅（2）解：因为()5f α=，所以sin cos 5αα+=，两边平方得()22sin cos 5αα+=，所以222sin cos 2sin cos 5αααα++⋅⋅=，所以212sin cos 5αα+⋅⋅=，所以3sin cos 10αα⋅=-，所以11cos sin 253sin cos sin cos 310αααααα++===-⋅-.18．已知函数2()(12)2f x x a x a =+--.(1)若()16f =，求函数()f x y x=在()1,x ∈+∞上的最小值；(2)求关于x 的不等式()0f x >的解集.【正确答案】(1)3(2)答案见解析【分析】(1)根据已知条件及基本不等式即可求解；(2)利用一元二次不等式的解法及对参数a 分类讨论即可求解.【详解】（1）由()16f =，得2(1)1(12)126f a a =+-⨯-=，解得1a =-，因为()1,x ∈+∞，所以2()32233f x x x y x x x x++===++≥，当且仅当2x x=，即x .所以当x ()f x y x=在()1,+∞上的最小值为3.（2）由()0f x >，得2(12)20x a x a +-->，即(2)(1)0x a x -+>，当12a =-时，不等式()210x +>，解得1x ≠-，不等式的解集为{}1x x ≠-；当12a -<即12a >-时，不等式的解集为{1x x <-或}2x a >；当12a ->即12a <-时，不等式的解集为{1x x >-或}2x a <；综上所述：12a =-时，不等式的解集为{}1x x ≠-；当12a >-时，不等式的解集为{1x x <-或}2x a >；当12a <-时，不等式的解集为{1x x >-或}2x a <.19．已知θ为锐角，且22cos cos 10θθ+-=.(1)求θ的值；(2)求函数()tan 2y x θ=+的定义域和单调区间.【正确答案】(1)π3(2)定义域为ππ|,212k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ；单调递增区间为ππ5ππ,212212k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z ，无单调递减区间【分析】（1）根据条件解关于cos θ的一元二次方程，从而得到cos θ的值，结合θ为锐角，即可求解；（2）由（1）得到πtan 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合正切函数的定义域和单调性，即可求解.【详解】（1）由22cos cos 10θθ+-=，得(2cos 1)(cos 1)0θθ-+=，得1cos 2θ=或cos 1θ=-，∵θ为锐角，∴1cos 2θ=，∴π3θ=.（2）由（1）得π3θ=，则tan(2)t πan 23y x x θ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，令ππ2π32x k +≠+，得ππ212k x ≠+，k ∈Z .即函数的定义域为ππ|,212k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z .再令ππππ2π232k x k -<+<+，k ∈Z ，解得π5211ππ2π22k k x -<<+，即函数的单调递增区间为ππ5ππ,212212k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z ，无单调递减区间.20．函数π()2sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π．(1)求函数()f x 在[]0,π上的单调递增区间；(2)当ππ,64x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最大值和最小值及对应x 的值．【正确答案】(1)π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2π,π3轾犏犏臌(2)()f x 的最大值为2，π6x =，()f x 的最小值为－1，π6x =-【分析】（1）根据函数()f x 的最小正周期π可求得ω的值，从而可得到()f x 的解析式，再利用整体代入法求函数()f x 的单调递增区间，进而可求得函数()f x 在[]0,π上的单调增区间；（2）根据x 的取值范围可得到π26x +的取值范围，从而可求出()f x 的最大值和最小值及对应x 的值．【详解】（1）因为()f x 的最小正周期πT =，所以2π2T ω==，故π ()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令πππ2π22π()262k x k k -+≤+≤+∈Z ，则ππππ()36k x k k -+≤≤+∈Z ，即()f x 的单调递增区间为πππ,π()36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ，又[]0,πx ∈，所以函数()f x 在[]0,π上的单调增区间是π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2π,π3轾犏犏臌．（2）当ππ,64x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，ππ2π2,663t x ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦，所以当π2t =，即π6x =时，函数()f x 有最大值2，当π6t =-，即π6x =-时，函数()f x 有最小值－1，所以()f x 的最大值为2，这时π6x =，()f x 的最小值为－1，这时π6x =-．21．在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢.在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量y （单位：百万个）与培养时间x （单位：小时）的关系为：x234568y3.5 3.844.164.3 4.5根据表格中的数据画出散点图如下：为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下三种模型供选择：①2log y a x b =+，②2y x ax b =++，③2x a y b -=+.(1)选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；(2)利用()4,4和()8,4.5这两组数据求出你选择的函数模型的解析式，并预测从第2小时开始，至少再经过多少个小时，细菌数量达到6百万个.【正确答案】(1)2log y a x b =+;(2)62.【分析】（1）根据函数的增长速度可求解；（2）将所选的两点坐标代入函数解析式，求出参数值，可得出函数模型的解析式，再由6y ≥即可求解.【详解】（1）随着自变量的增加，函数值的增长速度变小，而2y x ax b =++在对称轴右方，随着自变量的增加，函数值的增长速度变大，2x a y b -=+随着自变量的增加，函数值的增长速度变大，故选择函数2log y a x b =+.（2）由题意可得22log 424,log 83 4.5a b a b a b a b +=+=⎧⎨+=+=⎩，解得1,23a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以21log 32y x =+.令21log 362y x =+≥，解得64x ≥.故至少再经过62小时，细菌数列达到6百万个.22．已知函数()f x 为定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()2,026,2x x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨->⎪⎩.(1)①作出函数()f x 在[]10,10-上的图象；②若方程()f x a =恰有6个不相等的实根，求实数a 的取值范围；(2)设()()221log 12xg x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，若1x ∀∈R ，[)21,x ∃∈+∞，使得()()123f x a g x +≥成立，求实数a 的最小值.【正确答案】(1)①图象见解析；②(1,4)；(2)16.【分析】（1）①先作出[0,10]上的图象，再利用偶函数的性质作出[10,0)-上的图象即可，②()f x a =恰有6个不相等的实根，等价于()y f x =与y a =有6个交点，然后结合图象可求得答案；（2）由题意可得()()min min 3f x a g x +≥，利用函数的单调性结合换元法求出()min g x ，再由（1）求出()min f x ，代入上式可求出实数a 的范围，从而可求出其最小值.【详解】（1）①当0x ≥时，()2,026,2x x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨->⎪⎩.列表：x012345678910()f x 1243211234描点连线，图象如图，因为()f x 为偶函数，所以()f x 的图象关于y 轴对称，所以()f x 在[]10,10-上的图象如图所示；②()f x a =恰有6个不相等的实根，等价于()y f x =与y a =有6个交点，由图象可知当14a <<时，有6个交点，所以实数a 的取值范围为(1,4)；（2）因为21t x =+在[1,)+∞上为增函数，2log y t =在(0,)+∞上为增函数，所以22log (1)y x =+在[1,)+∞上为增函数，因为12xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[1,)+∞上为增函数，所以()()221log 12xg x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在[1,)+∞上为增函数，所以()()122min11(1)log 1122g x g ⎛⎫==+-= ⎪⎝⎭，由（1）可知()f x 在R 上的最小值为0，因为1x ∀∈R ，[)21,x ∃∈+∞，使得()()123f x a g x +≥成立，所以()()min min 3f x a g x +≥，所以1032a+≥，解得16a≥，所以实数a的最小值为1 6 .。

海南高一高中数学期末考试带答案解析

海南高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若直线x =1的倾斜角为α，则α=（）A ．0°B ．45°C ．90°D ．不存在2.过点（1，0）且与直线平行的直线方程是（）A ．B ．C ．D ．3.已知某几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图是边长为1的正方形，俯视图是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的体积是（）A ．2B ．1C ．D ．4.过点P （a ，5）作圆（x ＋2）2＋（y －1）2＝4的切线，切线长为，则a 等于（）A ．－1B ．－2C ．－3D ．05.已知直线与平面，给出下列三个结论： ①若∥，∥，则∥； ②若∥，，则； ③若，∥，则．其中正确的个数是（） A ．0 B ．1C ．2D ．36.在正方体中，是棱的中点，点为底面的中心，为棱中点，则异面直线与所成的角的大小为（）A ．B ．C ．D ．7.若直线l 1：ax+（1－a ）y=3，与l 2：（a-1）x +（2a+3）y=2互相垂直，则a 的值为（） A ．－3B ．1C ．0或－D ．1或－38.已知两点A （－2，0），B （0，2），点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是（） A ．3－B ．3＋C ．3－D ．9.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和他们的高都与某一个球的直径相等，此时圆柱、圆锥、球的体积之比为（）A．3∶1∶2B．3∶1∶4C．3∶2∶4D．2∶1∶310.已知满足，则直线必过定点（）A．B．C．D．11.在长方体，底面是边长为的正方形，高为，则点到截面的距离为（）A．B．C．D．12.将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点与点B（4，0）重合．若此时点与点重合，则的值为（）A．B．C．D．二、填空题1.一个四边形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底的长均为1的等腰梯形，那么原四边形的面积是。

海南省海口市海南中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

海南省海口市海南中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题一、单选题1．已知复数z 满足()1i 13i z -=-，则复数z =（）AB C ．D 2．若{},,a b c r r r构成空间的一组基底，则下列向量不共面的为（）A ．a r ，a b +r r ，a c +r rB ．a r ，b r ，2a b +r rC ．a r ，-r r a c ，c rD ．b r ，a c +r r ，a b c ++r r r3．若非零向量a r ，b r 满足3a b =r r ，()23a b b +⊥r r r ，则a r 与b r的夹角为（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π64．已知点()1,1,2A -在平面α上，其法向量()2,1,2n =-r，则下列点不在平面α上的是（） A ．()2,3,3B ．()3,7,4C ．()1,7,1--D ．()2,0,1-5．一帆船要从A 处驶向正东方向200海里的B 处，当时有自西北方向吹来的风，风速为海里/小时，如果帆船计划在5小时内到达目的地，则船速的大小应为（）A ．/小时B ．/小时C ．/小时D ．/小时6．设()2,2A -，()1,1B ，若直线10ax y ++=与线段AB 有交点，则a 的取值范围是（）A ．3,[2,)2⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦B ．3,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．3(,2],2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭D ．32,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7．如图，在ABC V 中，AB AC ==BC =D 是棱BC 的中点，以AD 为折痕把ACD V 折叠，使点C 到达点C '的位置，则当三棱锥C ABD '-体积最大时，其外接球的表面积为（）A ．9π4B ．5π2C ．9π2D ．5π8．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面,1,ABCD AB BC PA E ===为PD 的中点，点N 在平面PAC 内，且NE ⊥平面PAC ，则点N 到面PAB 的距离为（）A ．16B ．18C D二、多选题9．已知m ，n 是异面直线，α，β是两个不重合的平面，m α⊂，n β⊂，那么（） A ．当m β⊥，或n α⊥时，αβ⊥ B ．当αβ⊥时，m β⊥，或n α⊥ C ．当//m β，且//n α时，//αβD ．当α，β不平行时，m 与β不平行，且n 与α不平行10．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，点Q 为11B C 的中点，点N 为1DD 的中点，则下列结论正确的是（）A ．CQ 与BN 为异面直线B ．11CQCD ⊥C ．BN 与11CD D ．三棱锥Q NBC -的体积为2311．在ABC V 中，,,A B C 所对的边为,,a b c ，设BC 边上的中点为M ，ABC V 的面积为S ，其中a =2224b c +=，下列选项正确的是（）A ．若π3A =，则S =B ．S 的最大值为C ．3AM =D ．角A 的最小值为π3三、填空题12．设E 为ABC V 的边AC 的中点，BE mBA nBC =+u u u r u u u r u u u r，则m n +=.13．已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为． 14．如图，点P 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -上底面的一个动点，直线AP 与平面ABCD 所成的角为60o ，则点P 的轨迹长度为.四、解答题15．已知点()2,1A -，()2,3B ，()1,3C --： (1)若BC 中点为D ，求过点A 与D 的直线方程； (2)求过点B 且在x 轴和y 轴上截距相等的直线方程．16．如图，三棱柱111ABC A B C -中，M ，N 分别是111,A B B C 上的点，且1112,2BM A M C N B N ==．设A B a u u r r =，AC b =u u u r r ，1AA c =u u u r r ．(1)试用a r ，b r，c r 表示向量MN u u u u r ；(2)若11190,60,1BAC BAA CAA AB AC AA ∠=︒∠=∠=︒===，求MN 的长．17．已知a ，b ，c 分别为ABC V 三个内角A ，B ，C 的对边，且cos sin 0a C C b c --=． (1)求A ；(2)若2a =，则ABC VABC V 的周长．18．四边形ABCD 为菱形，ED ⊥平面ABCD ，//FB ED ，2AD BD ED ===，1BF =．(1)设BC 中点为G ，证明：DG ⊥平面ADE ； (2)求平面AFE 与平面BFC 的夹角的大小．19．如图，圆台12O O 的轴截面为等腰梯形11A ACC ，111224AC AA AC ===，B 为底面圆周上异于A ，C 的点.(1)在平面1BCC 内，过1C 作一条直线与平面1A AB 平行，并说明理由；(2)设平面1A AB ∩平面1C CB l Q l =∈，，1BC 与平面QAC 所成角为α，当四棱锥11B A ACC -的体积最大时，求sin α的取值范围.。

海南省2023-2024学年高一上学期期末考试数学含解析

2023-2024学年度第一学期期末考试高一数学试题（答案在最后）（满分：150分；考试时间：120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}*{13},04A x xB x N x =-<<=∈<<∣∣，则A B = （）A.{03}xx <<∣ B.{14}x x -<<∣C.{}1,2 D.{}0,1,22.函数()x f x x =+的大致图象是（）A. B.C. D.3.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，则“角α与角β的终边关于x 轴对称”是“cos cos αβ=”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.1614年苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明了对数方法；1637年法国数学家笛卡尔开始使用指数运算；1770年瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数．若25x =，lg 20.3010≈，则x 的值约为（）A.2.301B.2.322C.2.507D.2.6995.函数()1312⎛⎫=- ⎪⎝⎭xf x x 的零点一定位于下列的哪个区间（）A.()2,3 B.()1,2 C.()0,1 D.()1,0-6.设0.3log 2a =，3log 2b =，0.32c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A.a b c <<B.a c b <<C.c a b<< D.b a c<<7.函数()()πsin 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭在区间π5π,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象如图所示，将该函数图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移(0)θθ>个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则θ的最小值为（）A.π3B.π6C.π12D.7π248.已知函数()222,2366,2x ax x f x x a x x ⎧--≤⎪=⎨+->⎪⎩，若()f x 的最小值为()2f ，则实数a 的取值范围为（）A.[]2,5 B.[)2,+∞ C.[)2,5 D.(],5-∞二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列三角式中，值为1的是（）A .4sin15cos15︒︒B.222cossin 66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭C.22tan 22.51tan 22.5-︒︒D.10.已知()0,πα∈，且1sin cos 5αα+=，则（）A.2απ<<π B.12sin cos 25αα=-C.7cos sin 5αα-=D.7cos sin 5αα-=-11.已知,A B 是函数()tan 36f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象与直线3y =的两个交点，则下列结论正确的是（）A.min ||3AB π=B.()f x 的定义域为33,2x x k k ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭R Z C.()f x 在区间0,6π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增D.()f x 的图象的对称中心为点,0,618k k ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z 12.设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也叫取整函数，例如[2.3]2=．令函数()[]f x x x =-，以下结论正确的有（）A.(1.7)0.3f -=-B.(1)()f x f x +=C.()f x 的最大值为1，最小值为0D.()y f x =与1y x =-的图象有无数个交点三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数()()2mf x m x =-是幂函数，则()2f =_________.14.已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数()0αα>是___________.15.已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()2f x y f x y f x f y ++-=，()01f =，请写出满足条件的一个()f x =______（答案不唯一）．16.已知2sin cos 20ββ-+=，()sin 2sin ααβ=+，则()tan αβ+=______．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知(4,3)M 为角α终边上一点.（1）求sin α和tan α的值；（2）求πcos 2cos(π)2πsin(π)sin 2αααα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭⎛⎫--+ ⎪⎝⎭的值.18.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()22f x x x =+．（1）求()f x 在R 上的解析式；（2）判断()f x 的单调性，并解不等式()()222320f x x f x -+-<．19.已知函数())2cos cos f x xx x m =++．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）在下列三个条件中，选择一个作为已知，使得实数m 的值唯一确定，并求函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值．条件①：()f x 的最大值为1；条件②：()f x 的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭；条件③：()f x 的一条对称轴为π6x =．20.深圳别称“鹏城”，“深圳之光”摩天轮是中国之眼．游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色，摩天轮最高点距离地面高度为120米，转盘直径为110米，当游客坐上“深圳之光”摩天轮的座舱开始计时．开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30分钟．开始转动t 分钟后距离地面的高度为()H t米．（1）经过t 分钟后游客距离地面的高度为H 米，已知H 关于t 的函数关系式满足()()sin t H t A B ωϕ=++（其中0A >，0ω>，π2ϕ≤），求摩天轮转动一周的解析式()H t ；（2）若游客在距离地面至少92.5米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能有多长时间有最佳视觉效果？21.已知函数()2sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）请用五点作图法画出函数()f x 在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象；（先列表，后画图）（2）设()()23,0,3mF x f x x π⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，当0m >时，试讨论函数()F x 零点情况.22.已知函数()()ln e exxf x -=+.（1）判断()f x 的奇偶性并求()f x 的单调区间；（2）设函数()()()1g x f ax f x =--（R a ∈），若()g x 有唯一零点，求a 的取值集合；（3）若对x ∀∈R ，不等式()()()22ee 21e120f x xx m m m -+-+⋅+++≥恒成立，求实数m 的取值范围.2023-2024学年度第一学期期末考试高一数学试题（满分：150分；考试时间：120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}*{13},04A x xB x N x =-<<=∈<<∣∣，则A B = （）A.{03}xx <<∣ B.{14}x x -<<∣C.{}1,2 D.{}0,1,2【答案】C 【解析】【分析】化简集合B ，结合交集运算可求.【详解】{}{}*041,2,3B x N x =∈<<=∣，{}13A x x =-<<∣，所以{}1,2A B = .故选：C2.函数()x f x x x=+的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】将函数()x f x x x=+转化为分段函数，再选择图象即可.【详解】()xf x x x =+1,01,0x x x x +>⎧=⎨-<⎩，结合图形可知C 适合题意.故选：C.3.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，则“角α与角β的终边关于x 轴对称”是“cos cos αβ=”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数的性质，即可几何和充分必要条件的定义求解.【详解】由角α与角β的终边关于x 轴对称可得2π,Z k k αβ=-+∈,故cos cos αβ=，充分性成立，当cos cos αβ=时，2π,Z k k αβ=-+∈或2π,Z k k αβ=+∈，故不必要不成立，故选：A4.1614年苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明了对数方法；1637年法国数学家笛卡尔开始使用指数运算；1770年瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数．若25x =，lg 20.3010≈，则x 的值约为（）A.2.301B.2.322C.2.507D.2.699【答案】B 【解析】【分析】根据指对数互化公式得2log 5x =，再结合换底公式计算即可得答案.【详解】解：由指对数互化公式得2lg 51lg 210.3010log 5 2.322lg 2lg 20.3010x --===≈≈故选：B5.函数()1312⎛⎫=- ⎪⎝⎭xf x x 的零点一定位于下列的哪个区间（）A.()2,3 B.()1,2 C.()0,1 D.()1,0-【答案】C【解析】【分析】由根的存在性定理求端点值的正负性，可知零点所在区间．【详解】因为函数()1312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,是连续单调函数，且()01310010,2f ⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭()113111110,22f ⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭，∴函数()1312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点一定位于区间()0,1.故选:C ．6.设0.3log 2a =，3log 2b =，0.32c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A.a b c <<B.a c b <<C.c a b <<D.b a c<<【答案】A 【解析】【分析】根据指数函数与对数函数的性质，分别求得,,a b c 的取值范围，即可求解.【详解】由对数函数的性质，可得0.30.3log 2log 10a =<=，3330log 1log 2log 31=<<=，即3log 2(0,1)b =∈，又由指数函数的性质，可得0.30221c =>=，所以a b c <<.故选：A.7.函数()()πsin 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭在区间π5π,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象如图所示，将该函数图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移(0)θθ>个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则θ的最小值为（）A.π3B.π6C.π12D.7π24【答案】C 【解析】【分析】根据函数的图象确定,ωϕ的值，可得函数解析式，根据图象的伸缩平移变换可得变换后的函数表达式，结合其性质即可求得答案.【详解】由图象可知函数()f x 的最小正周期为5ππ2π()π,266πT ω=--=∴==，又π112f ⎛⎫=⎪⎝⎭，故πsin 16ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由于π02ϕ<<，故π3ϕ=，所以()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，将该函数图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移(0)θθ>个单位长度后，得到πsin 443y x θ⎛⎫=-+⎪⎝⎭的图象，因为该图像图象关于原点对称，即πsin 443y x θ⎛⎫=-+⎪⎝⎭为奇函数，故π4π,Z 3k k θ-+=∈，则π,Z 12π4k k θ=-∈，而0θ>，则θ的最小值为π12，故选：C8.已知函数()222,2366,2x ax x f x x a x x ⎧--≤⎪=⎨+->⎪⎩，若()f x 的最小值为()2f ，则实数a 的取值范围为（）A.[]2,5 B.[)2,+∞ C.[)2,5 D.(],5-∞【答案】A 【解析】【分析】利用基本不等式及对勾函数性质确定()f x 在(2,)+∞上的单调性和最值，结合二次函数性质及()f x 最小值列不等式组求参数范围.【详解】由2x >，则36()66126f x x a a a x =+-≥-=-，当且仅当6x =时等号成立，结合对勾函数性质，()f x 在(2,6)上递减，在(6,)+∞上递增，且(6)126f a =-，由222y x ax =--在(,)a -∞上递减，在(,)a +∞上递增，又()f x 的最小值为()2f ，故2a ≥且()2(6)241265f f a a a ≤⇒-≤-⇒≤，综上，25a ≤≤.故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列三角式中，值为1的是（）A.4sin15cos15︒︒B.222cossin 66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭C.22tan 22.51tan 22.5-︒︒D.【答案】ABC 【解析】【分析】对A 、B 、C 三个选项都套用2倍角公式计算即可，D 选项直接计算就可选出答案.【详解】A 选项,1=2sin 30=2=124sin15cos15︒︒︒⨯，故正确.B 选项，2212cos sin 2cos 216632=πππ⎛⎫-=⨯= ⎪⎝⎭，故正确.C 选项，22tan 22.5tan 4511tan 22.5︒=︒=-︒，故正确.D 1==≠，故错误故选：ABC10.已知()0,πα∈，且1sin cos 5αα+=，则（）A.2απ<<π B.12sin cos 25αα=-C.7cos sin 5αα-= D.7cos sin 5αα-=-【答案】ABD 【解析】【分析】AB 选项，1sin cos 5αα+=两边平方得到12sin cos 25αα=-，再结合()0,πα∈得到sin 0α>，cos 0α<，得到AB 正确；先求出cos sin αα-的平方，结合角的范围求出cos sin αα-的值.【详解】AB 选项，1sin cos 5αα+=两边平方得，221sin cos 2sin cos 25αααα++=，即112sin cos 25αα+=，所以12sin cos 25αα=-，B 正确，因为()0,πα∈，所以sin 0α>，故cos 0α<，所以2απ<<π，A 正确；CD 选项，()2222449cos sin sin cos 2sin cos 12525αααααα-=+-=+=，因为sin 0α>，cos 0α<，所以cos sin 0αα-<，故7cos sin 5αα-=-，C 错误，D 正确.故选：ABD11.已知,A B 是函数()tan 36f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象与直线3y =的两个交点，则下列结论正确的是（）A.min ||3AB π=B.()f x 的定义域为33,2x x k k ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭R Z C.()f x 在区间0,6π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增D.()f x 的图象的对称中心为点,0,618k k ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z 【答案】AD 【解析】【分析】A 选项，根据()πtan 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期性判断即可；BD 选项利用整体代入的方法求定义域和对称中心即可；C 选项，利用代入检验法判断单调性.【详解】因为,A B 是函数()πtan 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象与直线3y =的交点，所以AB 的最小值为函数()f x 的最小正周期，π3T =，所以min 3AB =π，故A 正确；令3,62x k k +≠+∈πππZ ，解得,93k x k ≠+∈ππZ ，所以()f x 的定义域为ππR ,Z 93k x x k ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭，故B 错；因为π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以23,663x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭πππ，因为函数tan y x =在π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，所以函数()f x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故C 错；令3,62k x k +=∈ππZ ，解得,186k x k =-+∈ππZ ，所以()f x 的对称中心为点,0186k ⎛⎫-+⎪⎝⎭ππ，Z k ∈，故D 正确.故选：AD.12.设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也叫取整函数，例如[2.3]2=．令函数()[]f x x x =-，以下结论正确的有（）A.(1.7)0.3f -=-B.(1)()f x f x +=C.()f x 的最大值为1，最小值为0D.()y f x =与1y x =-的图象有无数个交点【答案】BD 【解析】【分析】对于A 选项，代入计算出( 1.7) 1.7[ 1.7]0.3f -=---=；B 选项，根据定义得到(1)[]()f x x x f x +=-=，B 正确；C 选项，由B 选项得到()f x 的周期为1，并得到当0x =时，(0)0f =，当01x <<时，()(0,1)f x x =∈，当1x =时，(1)0f =，得到最值；D 选项，画出()y f x =的图象，数形结合得到交点个数.【详解】对于A ，由题意得( 1.7) 1.7[ 1.7] 1.7(2)0.3f -=---=---=，故A 错误；对于B ，(1)(1)[1]1([]1)[]()f x x x x x x x f x +=+-+=+-+=-=，故B 正确；对于C ，由选项B 可知，()f x 是周期为1的周期函数，则当0x =时，(0)0[0]0f =-=，当01x <<时，()[]0(0,1)f x x x x x =-=-=∈，当1x =时，(1)1[1]110f =-=-=，综上，()f x 的值域为[0,1)，即()f x 的最小值为0，无最大值，故C 错误；对于D ，由选项C ，可知()0,0,010,1x f x x x x =⎧⎪=<<⎨⎪=⎩，且()f x 的周期为1，作出()y f x =与1y x =-的图象，如图所示，由图象可知()y f x =与1y x =-的图象有无数个交点，故D正确，故选：BD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数()()2mf x m x =-是幂函数，则()2f =_________.【答案】8【解析】【分析】根据幂函数的定义求出参数m ，得到函数解析式再求值即得.【详解】函数()(2)m f x m x =-是幂函数，∴3213()m m f x x -===，，，所以(2)8f =.故答案为：8.14.已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数()0αα>是___________.【答案】1或4##4或1【解析】【分析】设扇形半径为r ，圆心角弧度数为α，根据扇形的周长、面积公式得到226122r r r αα+=⎧⎪⎨=⎪⎩，求解即可.【详解】设扇形半径为r ，圆心角弧度数为()0αα>，由题意得226122r r r αα+=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得14r α=⎧⎨=⎩或21r α=⎧⎨=⎩，所以扇形的圆心角的弧度数()0αα>是1或4.故答案为：1或415.已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()2f x y f x y f x f y ++-=，()01f =，请写出满足条件的一个()f x =______（答案不唯一）．【答案】1,cos x （答案不唯一）【解析】【分析】根据所给条件分析函数为偶函数，取特殊函数可得答案.【详解】令0x =，则()()()()20f y f y f f y +-=，又(0)1f =，所以()()()2f y f y f y +-=，即()()f y f y -=，所以函数为偶函数，不妨取偶函数()1f x =，则()()()()112112f x y f x y f x f y ++-=+=⨯⨯=，也可取()cos f x x =，则cos()cos()2cos cos x y x y x y ++-=，满足题意.故答案为：1,cos x （答案不唯一）16.已知2sin cos 20ββ-+=，()sin 2sin ααβ=+，则()tan αβ+=______．【答案】12##0.5【解析】【分析】利用正弦的和差公式及同角三角函数的商数关系计算即可【详解】由题意可知()()()sin sin sin cos cos sin ααββαββαββ⎡⎤=+-=+-+⎣⎦()2sin αβ=+，即()()()sin cos 2cos sin αββαββ+-=+，由题意可知()cos 0,cos 20αββ+≠-≠，则()()sin sin sin 1cos cos 22sin 2αβββαβββ+===+-.故答案为：12【点睛】方法点睛：三角恒等变换化简求值问题需要注意已知角与未知角的关系，利用合理的配凑即可处理.本题已知β及α与αβ+的关系，所以构造()()sin sin ααββ=+-，利用整体思想凑出未知式计算即可.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知(4,3)M 为角α终边上一点.（1）求sin α和tan α的值；（2）求πcos 2cos(π)2πsin(π)sin 2αααα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭⎛⎫--+ ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）3sin 5α=，3tan 4α=（2）5【解析】【分析】（1）直接根据三角函数的定义即可得结果；（2）利用诱导公式化简为齐次式，结合3tan 4α=即可得结果.【小问1详解】由三角函数的定义可得3sin 5α==，3tan 4α=；【小问2详解】利用诱导公式化简πcos 2cos(π)sin 2cos 2πsin cos sin(π)sin 2αααααααα⎛⎫-++ ⎪-⎝⎭=-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭32tan 2453tan 114αα--===--.18.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()22f x x x =+．（1）求()f x 在R 上的解析式；（2）判断()f x 的单调性，并解不等式()()222320f x x f x-+-<．【答案】18.()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩19.{|3x x <-或}1x >【解析】【分析】（1）由题意根据奇函数的定义以及当0x >时，()22f x x x =+，可以求出当0x <时()f x 的表达式，从而即可进一步求解.（2）首先根据0x ≥时，()f x 单调递增，从而得到()f x 在R 上是单调增函数，再结合奇函数性质即可将表达式等价转换，解一元二次不等式即可得解.【小问1详解】设0x <，则0x ->，当0x >时，()22f x x x =+，因为()()f x f x -=-，所以()22f x x x -=-，即()22f x x x =-+，又()()00f f -=-，所以()00f =，所以()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩；【小问2详解】0x ≥时，()()22211f x x x x =+=+-单调递增，又因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 在R 上是单调增函数，不等式()()222320f x x f x-+-<可化为()()()22223223f xx f x f x -<--=-，所以22223x x x -<-，即2230x x +->，解得3x <-或1x >.所以不等式的解集为{|3x x <-或}1x >.19.已知函数())2cos cos f x xx x m =++．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）在下列三个条件中，选择一个作为已知，使得实数m 的值唯一确定，并求函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值．条件①：()f x 的最大值为1；条件②：()f x 的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭；条件③：()f x 的一条对称轴为π6x =．【答案】（1）π（2）条件选择见解析，答案见解析【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为()π2sin 216f x x m ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的周期公式可求得函数()f x 的最小正周期；（2）选①，利用函数()f x 的最大值求出m 的值，由π02x ≤≤求出π26x +的取值范围，再利用正弦型函数的基本性质可求出()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值；选②，根据函数()f x 的一个对称中心坐标求出m 的值，由π02x ≤≤求出π26x +的取值范围，再利用正弦型函数的基本性质可求出()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值；选③，根据函数()f x 的一条对称轴方程可知，m 不确定.【小问1详解】解：因为()2cos 2cos 2cos 21f x x x x m x x m =++=+++π2sin 216x m ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，故函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==.【小问2详解】解：选①，()max 2131f x m m =++=+=，解得2m =-，则()π2sin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，当π02x ≤≤时，ππ7π2666x +≤≤，故当π7π266x +=时，函数()f x 取得最小值，即()min 72sin 126πf x =-=-；选②，因为函数()f x 的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭，则52sin 11012ππf m m ⎛⎫=++=+=⎪⎝⎭，解得1m =-，所以，()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当π02x ≤≤时，ππ7π2666x +≤≤，故当π7π266x +=时，函数()f x 取得最小值，即()min 7π2sin 16f x ==-；选③，因为函数()π2sin 216f x x m ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭的一条对称轴为直线π6x =，m 的值无法确定.综上所述，选①，函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为2-；选②，函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1-；选③，m 的值不确定.20.深圳别称“鹏城”，“深圳之光”摩天轮是中国之眼．游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色，摩天轮最高点距离地面高度为120米，转盘直径为110米，当游客坐上“深圳之光”摩天轮的座舱开始计时．开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30分钟．开始转动t 分钟后距离地面的高度为()H t 米．（1）经过t 分钟后游客距离地面的高度为H 米，已知H 关于t 的函数关系式满足()()sin t H t A B ωϕ=++（其中0A >，0ω>，π2ϕ≤），求摩天轮转动一周的解析式()H t ；（2）若游客在距离地面至少92.5米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能有多长时间有最佳视觉效果？【答案】（1）()[]ππ55sin 65,0,30152H t t t ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭（2）10分钟【解析】【分析】（1）根据最高、最低点距离地面高度计算出,A B ，根据转一周的时间计算出ω，再结合初始位置计算出ϕ，由此可求()H t ；（2）化简()H t ，根据()92.5H t ≥，求解出t 的范围，由此可知结果.【小问1详解】由题意可知：摩天轮最高点距离地面120m ，最低点距离地面12011010m -=，所以12010B A B A +=⎧⎨-=⎩，所以5565A B =⎧⎨=⎩，又因为转一周大约需要30min ，所以2π2ππ3015T ω===，所以()π55sin 6515H t t ϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭，又因为()55sin 65100H ϕ=+=，所以sin 1ϕ=-且π2ϕ≤，所以π2ϕ=-，所以()[]ππ55sin 65,0,30152H t t t ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭；【小问2详解】因为()πππ55sin 6555cos 6515215t H t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，令π55cos6592.515t -+≥，则π1cos 152t ≤-，又因为[]π0,2π15t ∈，所以2ππ4π3153t ≤≤，所以1020t ≤≤，且201010-=分钟，故摩天轮在运行一周的过程中，游客能有10分钟最佳视觉效果.21.已知函数()2sin 33f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭.（1）请用五点作图法画出函数()f x 在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象；（先列表，后画图）（2）设()()23,0,3mF x f x x π⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，当0m >时，试讨论函数()F x 零点情况.【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据五点作图法列表画图；（2）将()()3mF x f x =-的零点个数转化为()y f x =与3m y =交点个数，然后结合图象分析即可.【小问1详解】列表如下：33x π-3π-2ππ32π53πx9π518π49π1118π23π()f x 3-02-23-【小问2详解】令()0F x =，则()3mf x =，由0m >，则31m >，结合()f x 的图象研究()y f x =与3m y =公共点个数.（i ）13m <<，即102m <<，有4个公共点；（ii ）3m =，即12m =，有5个公共点；（iii 32m <<，即31log 22m <<，有4个公共点；（iv ）3log 2m =，有2个公共点；（v ）3log 2m >，无公共点.综上，①102m <<或31log 22m <<，有4个零点；②12m =，有5个零点；③3log 2m =，有2个零点；④3log 2m >，无零点.22.已知函数()()ln e e x x f x -=+.（1）判断()f x 的奇偶性并求()f x 的单调区间；（2）设函数()()()1g x f ax f x =--（R a ∈），若()g x 有唯一零点，求a 的取值集合；（3）若对x ∀∈R ，不等式()()()22e e 21e 120f x x x m m m -+-+⋅+++≥恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()f x 为偶函数，增区间为(0,)+∞，减区间为(],0-∞（2）{}1,1,0-（3）1m £【解析】【分析】（1）利用奇偶性定义判断奇偶性，利用单调性定义结合偶函数性质求解单调区间；（2）()g x 有唯一零点，即()()10f ax f x --=有唯一的解，可化为(||)(|1|)f ax f x =-，由偶函数可知|||1|ax x =-，化简计算可得结果；（3）设1e ex x t =+，不等式等价为2(21)(1)0t m t m m -+++≥恒成立，构造函数()2()(21)(1)()(1)h t t m t m m t m t m =-+++=--+，只需()min 0≥h t ，求解即可得出结果.【小问1详解】由题意可知()()ln e e x x f x -=+的定义域为R ，x ∀∈R ，则R x -∈，()()ln e e x x f x --=+，所以()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数；任取210x x >>，则()()()()2222111121e e ln e e ln e e ln e e x x x x x x x x f x f x ----⎛⎫+-=+-+= ⎪+⎝⎭，因为()()2211212111e e e e e e e e x x x x x x x x --⎛⎫+-+=-+- ⎪⎝⎭()21211e e 1e x x x x +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()212121e 1e e e x x x x x x ++⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，当210x x >>时，21e e 0x x ->，2121e 10e x x x x ++->，2211e e e e 0x x x x --+>+>，所以2211e e 1e e x x x x --+>+，所以()()221121e e ln 0e e x x x xf x f x --⎛⎫+-=> ⎪+⎝⎭，所以()()ln e e x x f x -=+在(0,)+∞上单调递增，根据偶函数的性质知，()()ln e e x x f x -=+在(],0-∞上单调递减，所以()()ln e e x x f x -=+在(],0-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增；【小问2详解】函数()()()1g x f ax f x =--的零点就是方程()()10f ax f x --=的解，因为()g x 有唯一零点，所以方程()()10f ax f x --=有唯一的解，因为函数()f x 为偶函数，所以方程变形为(||)(|1|)f ax f x =-，因为函数()f x 在(0,)+∞上的单调递增，所以|||1|ax x =-，平方化简得()221210a x x --+=，当210a -=时，1a =±，经检验方程有唯一解，当210a -≠时，()24410a ∆=--=，解得0a =，综上可知，a 的取值集合为{}1,1,0-.【小问3详解】设1e e x xt =+，则2t ≥，所以原命题等价于2t ≥时，不等式2(21)(1)0t m t m m -+++≥恒成立，令()2()(21)(1)()(1)h t t m t m m t m t m =-+++=--+，函数()h t 有两个零点m 和1m +，且开口向上，要使2t ≥时，不等式2(21)(1)0t m t m m -+++≥恒成立，则min h()0t ≥，所以12m +≤，即1m £.。

海南高一高中数学期末考试带答案解析

海南高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知向量，，若，则实数等于（）A．1B．－1C．－4D．42.下列函数中是奇函数,且最小正周期是的函数是（）A．B．C．D．3.在中，，设，则向量（）A．B．C．D．4.已知，，则＝（）A．－B．C．D．5.阅读下面的程序框图，输出结果s的值为（）A．B．C．D．6.已知，，的夹角为，如图，若，，为的中点，则为（）A．B．C．7D．187.甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a,b∈{1,2,3,4,5,6}，若a=b或a=b-1，就称甲乙“心有灵犀”现在任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（）A．B．C．D．8.若函数的最小正周期为，则它的图像的一个对称中心为（）A．B．C．D．9.定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且在[-3，-2]上是减函数，若是锐角三角形的两个内角，则（）A．B．C．D．10.由函数的图像得到的图像，可将的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位11.函数的图象如图所示，设O为坐标原点，P是图象的最高点，B是图象与轴的交点，则的值为（）A．10B．8C．D．二、填空题1.如图为的图象的一段，其解析式．2.已知，，且，则点的坐标为．3.欧阳修《卖油翁）中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌漓沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止，若铜钱是直径为4 cm的圆，中间有边长为l cm的正方形孔．若随机向铜钱上滴一滴油（设油滴整体落在铜钱上）．则油滴（设油滴是直径为0．2 cm的球）正好落入孔中（油滴整体落入孔中）的概率是．4.给出下列说法，其中说法正确的序号是．①小于的角是第Ⅰ象限角；②若是第Ⅰ象限角，则；③若，，则；④若，，、是方程的两个根，则的最小值是．三、解答题1.（本小题满分10分）已知、、是同一平面内的三个向量，其中,,（1）若，求；（2）若与共线，求的值．2.（本小题满分12分）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式；（Ⅱ）令g（x）="f" （x+）—1，当x∈[—，] 时，若存在g（x）＜a—2成立，求实数a的取值范围．3.（本小题满分12分）某班同学利用国庆节进行社会实践，对［25,55］岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：（1）补全频率分布直方图并求n、a、p的值；（2）从年龄段在［40,50）的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在［40,45）岁的概率．4.（本小题满分12分）已知函数＝2－－sin2+1（Ⅰ）求的单调递增区间；恒成立，求的取值范围．（Ⅱ）当时，若≥log25.（本小题满分12分）已知为的三个内角，向量与共线，且·．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求函数的值域．6.（本小题满分12分）已知向量（1）求；（2）若的最小值是，求实数的值．海南高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.已知向量，，若，则实数等于（）A．1B．－1C．－4D．4【答案】A【解析】因为，，所以,解得，【考点】向量垂直的充要条件。

海南省2023-2024学年高一上学期期末学业水平诊断数学试题(一)

2023-2024学年海南省高一（上）学业水平诊断数学试卷（一）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合{1A =，2，3}，2{|10}B x x =-=，则(A B = )A ．{1，2，3}B ．{1-，1，2，3}C ．{1}D ．{1-，0，1，2，3}2．（5分）命题“x R ∃∈，||0x e - ”的否定是()A ．x R ∀∈，||0x e ->B ．x R ∀∈，||0x e - C ．x R ∃∈，||0x e ->D ．x R ∃∈，||0x e - 3．（5分）已知指数函数(2x a y =单调递减，则a 的取值范围是()A ．(0,1)B ．(,2)-∞C ．(0,2)D ．(2,0)-4．（5分）函数y =()A ．(0，2]B ．(0,2)C ．(0，1)(1⋃，2)D ．(0，1)(1⋃，2]5．（5分）已知在ABC ∆中，5,412A B ππ==，则tan (C =)A ．B ．C D 6．（5分）若角α，β的顶点在坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，则“α，β的终边关于y 轴对称”是“sin sin αβ=”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件7．（5分）某村现有180户村民，且都从事海产品养殖工作，平均每户的年收入为8万元．为探索科技助农新模式，村委会决定调整产业结构，安排(0180)x x <<户村民只从事直播带货工作，其余的只从事海产品养殖工作，预计调整后从事直播带货工作的村民平均每户的年收入为8()(0)10xa a ->万元，从事海产品养殖工作的村民平均每户的年收入相比原来提高5%x ，若从事直播带货工作的村民不管有多少人，他们的总年收入都不大于从事海产品养殖工作的村民的总年收入，则a 的最大值为()A ．12B ．14C ．22D ．608．（5分）已知函数()f x =的图象与直线y x =在区间[0，2]上有交点，则实数m 的取值范围是()A ．[1，12]B ．[6-，1]-C ．(-∞，1]-D ．[12-，1]-二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．（5分）已知0c <，ac bc <，则()A ．a b>B ．||||a b b b >C ．22ac bc >D ．c a c b->-10．（5分）下列各式恒等于cos α的是()A ．sin()2πα-B ．sin()2πα-C ．sin tan ααD ．2212cos α-11．（5分）已知函数1()sin()26f x x π=+，则()A ．函数2()3f x π+为偶函数B ．()f x 的图象关于点(,0)3π-对称C ．()f x 在区间(0,)π上的最大值为1，最小值为12D ．()f x 在区间42(,33ππ-上单调递增12．（5分）已知()f x 是定义域为R 的奇函数，满足(2)()f x f x +=-，若对任意的1x ，2[1x ∈-，0]且12x x ≠，11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +<+，则()A ．()(4)f x f x =+B ．()f x 在区间[3，5]上单调递增C ．2317((32f f ->D ．不等式()f x f <（2）的解集为(4k ，42)()k k Z +∈三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知扇形的圆心角为34π，弧长为3π，则扇形的面积为．14．（5分）已知偶函数()f x 在[0，)+∞上是增函数，若(2)f f =-，则实数a =．15．（5分）已知某段电路中电流I （单位：)A 随时间t （单位：)s 变化的函数解析式是5sin (0100)I t ωωπ=<<，[0t ∈，)+∞，若1200t s =时的电流为3A ，则1100t s =时的电流为A ．16．（5分）已知函数23,,()4,x x a f x x x a⎧=⎨-+>⎩ 的值域为(-∞，3]a ，则实数a 的取值范围是．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知tan 3α=，求下列各式的值．（1）tan(4πα-；（2）sin sin cos ααα-．18．（12分）已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(2,1)P -．（1）求sin()πα+的值；（2）若(0,)2πβ∈且3sin 5β=，求cos()αβ+的值．19．（12分）已知函数2()31(0)f x kx x k k =-++≠．（1）若1k =，求不等式()0f x <的解集；（2）若函数2()log ()g x f x =的最大值为0，求实数k 的值．20．（12分）已知函数()4f x x π=+．（1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）若()f x 在区间[,]8m π-上的取值范围是[-，求实数m 的值．21．（12分）已知函数()(1)()x f x ln e mx m R =+-∈是偶函数．（1）求m 的值；（2）设函数()()f x g x e =，()2||h x x =-，证明：()()g x h x ．22．（12分）已知函数()()af x x a R x=+∈．（1）若4a =，判断()f x 在(2,)+∞上的单调性，并用单调性的定义证明；（2）设函数43()1x g x x +=+，若对任意1[1x ∈，2]，总有26[,0]7x ∈-，使得21()()g x f x =，求a 的取值范围．2023-2024学年海南省高一（上）学业水平诊断数学试卷（一）参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合{1A =，2，3}，2{|10}B x x =-=，则(A B = )A ．{1，2，3}B ．{1-，1，2，3}C ．{1}D ．{1-，0，1，2，3}【答案】B【分析】化简集合B ，结合并集的概念即可得解．解：由题意集合{1A =，2，3}，2{|10}{1B x x =-==，1}-，所以{1A B =- ，1，2，3}．故选：B ．2．（5分）命题“x R ∃∈，||0x e - ”的否定是()A ．x R ∀∈，||0x e ->B ．x R ∀∈，||0x e - C ．x R ∃∈，||0x e ->D ．x R ∃∈，||0x e - 【答案】A【分析】利用特称命题的否定为全称命题求解．解：原命题为特称命题它的否定为全称命题，x R ∀∈，||0x e ->．故选：A ．3．（5分）已知指数函数(2x a y =单调递减，则a 的取值范围是()A ．(0,1)B ．(,2)-∞C ．(0,2)D ．(2,0)-【答案】C【分析】根据指数函数的性质，列式求解．解：指数函数(2x a y =单调递减，则012a<<，得02a <<，所以实数a 的取值范围是(0,2)．故选：C ．4．（5分）函数2xy lnx=的定义域为()A ．(0，2]B ．(0,2)C ．(0，1)(1⋃，2)D ．(0，1)(1⋃，2]【分析】根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．解：要使函数有意义，则200x lnx -⎧⎨≠⎩，即201x x x ⎧⎪>⎨⎪≠⎩，则01x <<或12x <，故函数的定义域为(0，1)(1⋃，2]，故选：D ．5．（5分）已知在ABC ∆中，5,412A B ππ==，则tan (C =)A．B．CD【答案】D【分析】根据三角形内角和定理得到角C 的大小，然后利用特殊角的三角函数值算出答案．解：根据题意，可得54123C A B πππππ=--=--=，所以tan tan 3C π==．故选：D ．6．（5分）若角α，β的顶点在坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，则“α，β的终边关于y 轴对称”是“sin sin αβ=”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】根据三角函数的定义与诱导公式，结合充要条件的定义加以判断，即可得到本题的答案．解：若角α、β的终边关于y 轴对称，则2k βπαπ=-+，k Z ∈，可得sin sin(2)sin k βπαπα=-+=，充分性成立；反之，若sin sin αβ=，则2k βπαπ=-+或2k βαπ=+，说明α、β的终边关于y 轴对称或重合，必要性成立．综上所述，“α，β的终边关于y 轴对称”是“sin sin αβ=”的充分不必要条件．故选：A ．7．（5分）某村现有180户村民，且都从事海产品养殖工作，平均每户的年收入为8万元．为探索科技助农新模式，村委会决定调整产业结构，安排(0180)x x <<户村民只从事直播带货工作，其余的只从事海产品养殖工作，预计调整后从事直播带货工作的村民平均每户的年收入为8()(0)10xa a ->万元，从事海产品养殖工作的村民平均每户的年收入相比原来提高5%x ，若从事直播带货工作的村民不管有多少人，他们的总年收入都不大于从事海产品养殖工作的村民的总年收入，则a 的最大值为()A ．12B ．14C ．22D ．60【答案】B【分析】由题意建立不等式，分离参数后根据均值不等式求最值即可．解：由题意可得8()(180)8(15%)10xa x x x --⨯⨯+ ，化简可得180820xa x ++ ，因为180881420x x ++= ，当且仅当18020x x =，即60x =时等号成立，所以14a，即a 的最大值为14．故选：B ．8．（5分）已知函数()f x =的图象与直线y x =在区间[0，2]上有交点，则实数m 的取值范围是()A ．[1，12]B ．[6-，1]-C ．(-∞，1]-D ．[12-，1]-【答案】D【分析】问题转化为在[0x ∈，2]时，方程32x x m =--有解，作出函数图象，利用数形结合求解．解：当[0x ∈，2]x =有解，化简得，方程32x x m =--有解，可设()2x p x =，3()q x x m =--，在同一坐标系内作出函数的大致图象，如图：由()p x ，()q x 图象可知，当(0)(0)(2)(2)p q p q ⎧⎨⎩ 时，即148mm-⎧⎨--⎩ ，解得121m --，此时函数图象有交点，即方程有根．故选：D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．（5分）已知0c <，ac bc <，则()A ．a b >B ．||||a b b b >C ．22ac bc >D ．c a c b->-【答案】AC【分析】根据不等式性质判断A ，取特殊值判断B ，根据不等式性质判断CD ．解：因为0c <，ac bc <，所以a b >，故A 正确；当0b =时，||||a b b b >显然不成立，故B 错误；因为a b >，20c >，所以22ac bc >，故C 正确；因为a b >，所以a b -<-，所以c a c b -<-，故D 错误．故选：AC ．10．（5分）下列各式恒等于cos α的是()A ．sin()2πα-B ．sin()2πα-C ．sin tan ααD ．2212cos α-【答案】BD【分析】根据诱导公式判断AB ，根据同角三角函数的基本关系判断C ，由二倍角的余弦公式判断D ．解：由诱导公式可知，sin()cos 2παα-=-，sin()cos 2παα-=，故A 错B 对；由同角三角函数的基本关系知，sin sin tan sin cos cos αααααα=⋅=不恒成立，故C 错误；由二倍角的余弦公式可得，221cos 2cos αα-=，故D 正确．故选：BD ．11．（5分）已知函数1()sin()26f x x π=+，则()A ．函数2()3f x π+为偶函数B ．()f x 的图象关于点(,0)3π-对称C ．()f x 在区间(0,)π上的最大值为1，最小值为12D ．()f x 在区间42(,33ππ-上单调递增【答案】ABD【分析】根据诱导公式及余弦函数的奇偶性判断A ，根据正弦型函数的对称中心判断B ，根据正弦型函数的值域与最值判断C ，根据正弦型函数的单调性判断D ．解：因为21211()sin[()sin(cos 3236222f x x x x ππππ+=++=+=为偶函数，故A 正确；当3x π=-时，(sin 003f π-==，所以()f x 的图象关于点(,0)3π-对称，故B 正确；当(0,)x π∈时，12(,)2663x πππ+∈，正弦函数sin y x =在2(,)63ππ上有最大值1，无最小值，所以()f x 在区间(0,)π上的最大值为1，没有最小值，故C 错误；当42(,)33x ππ∈-时，1(,)2622x πππ+∈-，因为正弦函数sin y x =在(,22ππ-上单调递增，所以()f x 在区间42(,33ππ-上单调递增，故D 正确．故选：ABD ．12．（5分）已知()f x 是定义域为R 的奇函数，满足(2)()f x f x +=-，若对任意的1x ，2[1x ∈-，0]且12x x ≠，11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +<+，则()A ．()(4)f x f x =+B ．()f x 在区间[3，5]上单调递增C ．2317((32f f ->D ．不等式()f x f <（2）的解集为(4k ，42)()k k Z +∈【答案】ACD【分析】由(2)()f x f x +=-及函数为偶函数可判断A ，根据单调性定义及周期性可判断B ，根据函数周期及函数的单调性判断C ，根据不等式在一个周期内的单调性求解判断D ．解：因为(2)()f x f x +=-，所以(4)(2)(2)()()f x f x f x f x f x +=--=-+=--=，故A 正确；由11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +<+，可得1212()[()()]0x x f x f x --<，所以()f x 在[1-，0]上单调递减，又()f x 是奇函数，所以()f x 在[1-，1]上单调递减，因为()(4)f x f x =+，所以()f x 在[3，5]上单调递减，故B 错误；因为23231((8)()333f f f -=-+=，171()(22f f =，又()f x 在[0，1]上单调递减，所以11(()32f f >，故C 正确；由(2)()f x f x +=-，()f x 在[1-，1]上单调递减，可得()f x 在[1，3]上单调递增，因为()f x 为R 上的奇函数，所以(0)0f =，所以f （2）(0)0f =-=，所以在[1-，3]上不等式()f x f <（2）即()0f x <的解集为(0,2)，再由()(4)f x f x =+可得函数周期为4，可得不等式()f x f <（2）即()0f x <的解集为(4k ，42)()k k Z +∈，故D 正确．故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知扇形的圆心角为34π，弧长为3π，则扇形的面积为6π．【答案】6π．【分析】根据扇形的弧长公式及面积公式求解．解：由l r α=可知，3434lr ππα===，所以扇形面积1143622S lr ππ==⨯⨯=．故答案为：6π．14．（5分）已知偶函数()f x 在[0，)+∞上是增函数，若(2)f f =-，则实数a =4．【答案】4．【分析】由偶函数和单调性的定义可得(2)f f =2=，即可得出答案．解：因为()f x 是偶函数，所以(2)f f -=（2），又因为()f x 在[0，)+∞上是增函数，(2)f f =，2=，所以4a =．故答案为：4．15．（5分）已知某段电路中电流I （单位：)A 随时间t （单位：)s 变化的函数解析式是5sin (0100)I t ωωπ=<<，[0t ∈，)+∞，若1200t s =时的电流为3A ，则1100t s =时的电流为245A ．【答案】245．【分析】由题意得3sin 2005ω=，结合角0100ωπ<<、平方关系以及二倍角的正弦公式即可得解．解：由题意5sin3200ω=，所以3sin 2005ω=．又因为0100ωπ<<，所以40,cos 20022005ωπω<<==，所以1100t s =时的电流为34245sin 10sin cos 10100200200555I ωωω===⨯⨯=．故答案为：245．16．（5分）已知函数23,,()4,x x a f x x x a⎧=⎨-+>⎩ 的值域为(-∞，3]a ，则实数a 的取值范围是[1，2)．【答案】[1，2)．【分析】分别求出函数在两段上的值域，跟值域对比求实数a 的取值范围．解：因为033x a <<，()f x 值域为(-∞，3]a ，所以对于24x -+，x a >时的函数值范围应包含(-∞，0]，若函数值含有正数，则正数部分不超过3a ，根据图像可知[1a ∈，2)．故答案为：[1，2)．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知tan 3α=，求下列各式的值．（1）tan(4πα-；（2）sin sin cos ααα-．【答案】（1）12；（2）32．【分析】（1）根据两角差的正切公式化简即可得解；（2）利用同角三角函数的基本关系转化为正切函数求解．解：（1）因为tan 3α=，所以tan tantan 13114tan()41tan 1321tan tan 4a παπααπα----====+++．（2）因为tan 3α=，所以sin tan 33sin cos tan 1312ααααα===---．18．（12分）已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(2,1)P -．（1）求sin()πα+的值；（2）若(0,)2πβ∈且3sin 5β=，求cos()αβ+的值．【答案】（1）5-；（2）【分析】（1）根据三角函数的定义及诱导公式求解；（2）根据三角函数的定义求出cos α，再由两角和的余弦公式求解．解：（1）由角的终边经过点(2,1)P -，可知sin α=所以sin()sin 5παα+=-=-．（2）由角的终边经过点(2,1)P -，可知cos α==，由(0,2πβ∈且3sin 5β=，可知4cos 5β=，所以43cos()cos cos sin sin (55αβαβαβ+=-=-⨯-=-19．（12分）已知函数2()31(0)f x kx x k k =-++≠．（1）若1k =，求不等式()0f x <的解集；（2）若函数2()log ()g x f x =的最大值为0，求实数k 的值．【答案】（1）(1,2)；（2）32-．【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可；（2）由对数函数的单调性知()f x 有最大值，转化为二次函数开口向下，最大值为1，建立方程求解即可．解：（1）当1k =时，2()32f x x x =-+，不等式()0f x <即2320x x -+<，解得12x <<，即不等式的解集为(1,2)；（2）由函数2()log ()g x f x =的最大值为0，可知()f x 的最大值为1，所以0k <，且2339()()(11222max f x f k k k k k==-++=，解得32k =-或32（舍去），故实数k 的值为32-．20．（12分）已知函数()4f x x π=+．（1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）若()f x 在区间[,]8m π-上的取值范围是[-，求实数m 的值．【答案】（1）π，5[,]()88k k k Z ππππ++∈；（2）2π．【分析】（1）根据正弦型函数的周期、单调区间求解即可；（2）由正弦型函数的值域，结合正弦函数的图象与性质求出24x π+的范围，再由自变量的范围求出24x π+的范围，即可建立方程求解．解：（1）()f x 的最小正周期22T ππ==，令3222()242k x k k Z πππππ+++∈ ，解得5()88k x k k Z ππππ++∈ ，所以()f x 的单调递减区间为5[,]()88k k k Z ππππ++∈．（2）由()[f x ∈-，可得2sin(2)[,1]42x π+∈-，当[,]8x m π∈-时，2[0,2]44x m ππ+∈+，因为sin y x =在5[0,4π上的值域为[,1]2-，所以5244m ππ+=，解得2m π=．21．（12分）已知函数()(1)()x f x ln e mx m R =+-∈是偶函数．（1）求m 的值；（2）设函数()()f x g x e =，()2||h x x =-，证明：()()g x h x ．【答案】（1）12m =；（2）证明过程见解析．【分析】（1）根据()()f x f x -=得到方程，求出12m =；（2）先得到()()f x g x e =为偶函数，利用单调性定义得到()()f x g x e =在(0,)+∞上单调递增，结合奇偶性得到()()f x g x e =在(,0)-∞上单调递减，从而求出()2g x ，当且仅当0x =时，等号成立，再由()2h x ，当且仅当0x =时，等号成立，证明出结论．解：（1）由()()f x f x -=得(1)(1)x x ln e mx ln e mx -++=+-，即112(1)(1)111x x x x x x x e e mx ln e ln e ln ln lne x e e --++=+-+====++，故21m =，解得12m =；证明：（2）()()f x g x e =的定义域为R ，因为()f x 是偶函数，()()f x f x -=，故()()()()f x f x g x e e g x --===，所以()()f x g x e =为偶函数，()2221()x x x f x xe g x e e e e -+===+，1x ∀，2(0,)x ∈+∞，且12x x <，112212122222222212()()x x x x x x x x g x g x e ee e e e e e -----=+--=-+-2112121212121222222222222211()(1)x x x x x x x x x x x x x x e e e e e e e e e e e e +-+-=-+-=-+=--，因为x y e =在R 上单调递增，1x ∀，2(0,)x ∈+∞，且12x x <，所以12220x x e e-<，12021x x e e +-<=，故12210x x e +-->，所以1212222()(1)0x x x x e e e +---<，12()()g x g x <，所以()()f x g x e =在(0,)+∞上单调递增，又()()f x g x e =为偶函数，故()()f x g x e =在(,0)-∞上单调递减，故00()(0)2g x g e e =+= ，当且仅当0x =时，等号成立，又()2||2|0|2h x x =--= ，当且仅当0x =时，等号成立，故()()g x h x ．22．（12分）已知函数()()a f x x a R x=+∈．（1）若4a =，判断()f x 在(2,)+∞上的单调性，并用单调性的定义证明；（2）设函数43()1x g x x +=+，若对任意1[1x ∈，2]，总有26[,0]7x ∈-，使得21()()g x f x =，求a 的取值范围．【答案】（1）()f x 在(2,)+∞上单调递增，证明见解析；（2）[4-，2]．【分析】（1）判断函数在(2,)+∞单调递增，再由定义证明即可；（2）原题可转化为()f x 在[1，2]上的值域是()g x 在6[,0]7-上值域的子集，再分别求出函数值域，建立不等式求解即可．解：（1）若4a =，则4()f x x x=+，()f x 在(2,)+∞上单调递增．证明如下：设1x ∀，2(2,)x ∈+∞且12x x >，则121212*********()()()x x f x f x x x x x x x x x --=-+-=-，因为120x x ->，124x x >，所以1212124()0x x x x x x -->，即12()()0f x f x ->，故()f x 在(2,)+∞上单调递增．（2）对任意1[1x ∈，2]，总有26[,0]7x ∈-，使得21()()g x f x =，则()f x 在[1，2]上的值域是()g x 在6[,0]7-上值域的子集．因为431()411x g x x x +==-++在(1,)-+∞上单调递增，当26[,0]7x ∈-时，所以2()g x 的值域为[3-，3]．当0a <时，()f x 在[1，2]上单调递增，所以()f x 的值域为[1,2]2a a ++．由[1,2[3,3]2a a ++⊆-，可得13232a a +-⎧⎪⎨+⎪⎩ ，解得40a -< ；当0a =时，()[1.2][3f x x =∈⊆-，3]，满足题意；当0a >时，由()a f x x x=+在[1.2]x ∈时，()0f x >，由对勾函数性质可知，只需f （1）13a =+ 且(2)232a f =+ ，解得02a < ．综上可得，a 的取值范围[4-，2]．。

2023-2024学年海南省海口市海南中学高一(下)期末数学试卷(含答案)

2023-2024学年海南省海口市海南中学高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z 满足z =1−3i1−i ，则复数|z|=( )A.3B.5C. 22D.102.若{a ,b ,c }构成空间的一组基底，则下列向量不共面的为( )A. a ，a +b ，a +c B. a ，b ，a +2b C. a ，a−c ，a +cD. b ，a +c ，a +b +c3.若非零向量a ，b 满足|a |=3|b |，(2a +3b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( )A. π6B. π3C. 2π3D. 5π64.已知点A(1,−1,2)在平面α上，其法向量n =(2,−1,2)，则下列点不在α上的是( )A. (2,3,3)B. (3,7,4)C. (−1,−7,1)D. (−2,0,1)5.一帆船要从A 处驶向正东方向200海里的B 处，当时有自西北方向吹来的风，风速为152海里/小时，如果帆船计划5小时到达目的地，则船速的大小应为( )A. 534海里/小时B. 6 34海里/小时C. 7 34海里/小时D. 834海里/小时6.设A(−2,2)、B(1,1)，若直线ax +y +1=0与线段AB 有交点，则a 的取值范围是( )A. (−∞,−32]∪[2,+∞) B. [−32,2)C. (−∞,−2]∪[32,+∞)D. [−2,32]7.如图，在△ABC 中，AB =AC = 3，D 是边BC 的中点，以AD 为折痕把△ACD 折叠，使点C 到达点C′的位置，则当三棱锥C′−ABD 体积最大时，其外接球的表面积为( )A. 9π4B. 5π2C. 9π2D. 5π8.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=3，BC=PA=1，E为PD的中点，点N在平面PAC内，且NE⊥平面PAC，则点N到面PAB的距离为( )A. 16B. 18C. 38D. 178二、多选题：本题共3小题，共18分。

海南高一高中数学期末考试带答案解析

海南高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.不等式的解集为（）A．B．C．D．2.已知等差数列中，，前9项和（）A．108B．72C．36D．183.在中，若角，，成等差数列，则角=（）A．90°B．60°C．45°D．30°4.若实数，满足，则的最小值为（）A．18B．12C．9D．65.已知圆锥的正视图是边长为2的等边三角形，则该圆锥体积为 ( )A．B．C．D．6.如图，是水平放置的直观图，则的面积为（）A．12B．6C．D．7.数列前项和为，若，则=（）A．B．C．D．8.在中，，，，则=（）A．B．C．D．9.设长方体的长，宽，高分别是，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．B．C．D．10.已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则=（）A．B．C．D．11.不等式的解集为，则不等式的解集为（）A．（2，3）B．（）C．D．（）12.已知不等式≥9对任意实数恒成立，则正实数的最小值为（）A．8B．6C．4D．2二、填空题1.不等式≥0的解集 .2.在中，若，则=3.等比数列中，…，公比，则… .4.函数的图像恒过定点A，若点A在直线上，其中，则的最小值为________．三、解答题1.已知等差数列中，①求数列的通项公式；②若数列前项和，求的值。

2.设的角A、B、C所对的边分别为，已知①求的面积S；②求AB边上的高h。

3.设等比数列的前项和为，已知，求和。

4.已知简单几何体的三视图如图所示求该几何体的体积和表面积。

附：分别为上、下底面积5.如图，海船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距2海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上。

①求渔船甲的速度； ②求的值。

海南省五指山中学2024届高一数学第二学期期末达标测试试题含解析

海南省五指山中学2024届高一数学第二学期期末达标测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在等差数列{}n a 中，1590,517a a a >=，则数列{}n a 前n 项和n S 取最大值时，n 的值等于（） A ．12B ．11C ．10D ．92．已知直线a b ，，平面α，且a α⊥，下列条件中能推出a b ∥的是（） A ．b αB ．b α⊂C ．b α⊥D ．b 与α相交3．已知向量()a ab ⊥+，2b a =，则a ，b 的夹角为（） A ．23π B ．34π C ．56π D ．π4．已知非零实数a ，b 满足a b >，则下列不等关系一定成立的是（） A ．11a b+ C ．22a b >D ．3223a ab a b b +>+5．已知a ，b ，c 为实数，则下列结论正确的是（） A ．若ac ＞bc ＞0，则a ＞b B ．若a ＞b ＞0，则ac ＞bc C ．若ac 2＞bc 2，则a ＞bD ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 26．已知向量(1,1),(2,),a b x ==若a b +与42b a -平行，则实数x 的值是（） A ．-2B ．0C ．1D ．27．在边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，1CC 的中点，P 是底面ABCD 内一动点，若直线1D P 与平面EFG 没有公共点，则三角形1PBB 面积的最小值为（）A ．1B ．12C ．22D ．248．执行下图所示的程序框图，若输出的0y =，则输入的x 为（）A ．0B ．1C ．0或1D ．0或e9．记复数z 的虚部为Im()z ，已知z 满足12iz i =+，则Im()z 为（） A ．1-B ．i -C ．2D ．2i10．已知平面向量a ，b 的夹角为23π，3a =，2b =，则向()()2a b a b +⋅-的值为（） A ．－2B ．133-C ．4D ．331+二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

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