恒定磁场的边界条件33矢量磁位

H2
Байду номын сангаас
B2
2
所以铁磁质表面处磁力线（磁感应 线）稀少并与界面垂直。
切向无磁力线 在理想导磁体内部仍然存在磁感应强度。
磁导率为无限大 的媒质称为理想导磁体。在理想导磁体
中不可能存在磁场强度，否则，由式 可B见= ， H将需要无限
大的磁感应强度。产生无限大的磁感应强度需要无限大的电 流，因而需要无限大的能量，显然这是不可能的。因此，在 理想导磁体中不可能存在磁场强度。因为边界上磁场强度的 切向分量是连续的，可见，在理想导磁体表面上不可能存在 磁场强度的切向分量，换言之，磁场强度必须垂直于理想导 磁体表面。当然，在理想导磁体内部仍然存在磁感应强度。
nˆ B1 B2 0JmS
3.49
由H B M
0
，真空中 B1 0 H1 ，介质中 B2 0 H2 0 M
nˆ 0 H1 nˆ (0 H2 0 M ) 0JmS
nˆ 0 H1 nˆ (0 H2 0 M ) 0JmS
由于介质2表面没有传导电流，由（3.44）式 nˆ H1 H2 0
ÒS B dS 0
Ñ 可得
即： nˆ
或者
s
B
dS B1
B1 nr1S nr S B2
(B1 B2) 0
B2 nr2S nrS 0
3.47
B1n B2n 3.46
故：磁感应强度的法向分量连续
n$
B1
B1t
B1n
B1n
2 112
B2n
B1
B1t
1
2 B2t
B2
B2n B2
A’不满足（3.51）式，使得A是唯一的。所以矢量磁位A是由 （3.50）式和（3.51）式引入的，（3.51）式是一个附加的条件， 称为库仑规范。
B A 3.50
3.3.2 矢量磁位A的微分方程及其解
1．矢量磁位A的微分方程
由×H=J 和 H B
可以写出
B J
引入矢量磁位A
B A 3.50
磁质，边界条件（3.45）式、（3.46）式和（3.48）式仍然成
立。H1t H2t 由（3.46）式
3, .在45与磁B通1n垂直B2的n 界3面.4上6 ，磁感应tt强gg1度2 B是12 连3.48
续的。由于μ2＞＞μ1，给定B，铁磁质内的磁场强度H2≈0，
由边界条件（3.45）式
H1t=H2t0
利用安培环路定理
Ñl H dl I0i 3.40 i
上式的左边可以写为
Ñ H dl l
AB H1 dl
H dl
BDC
CD H2 dl
H dl
DCA
由于矩形回路极窄， BDC=DCA＝h 0 ，
上式中第二项和第四项积分为零，所以
Ñl H dl H1 l1 H2 l2 H1 H2 l1
沿 sˆ3方.42向 的分量
把（3.41）式和（3.42）式代入（3.40）式可得
nˆ H1 H2 JS 3.43
Ñ 界面上无面电流时
l H dl nˆ H1 H2 sˆl
nˆ H1 H2 0 3.44
所以
3.41
H1 sin1 H2 sin2
由图3.17中可以看出，上式可以写为
A A A A B
所以对于给定的B，可引入无数个A。原因是由亥姆霍兹定理， 一个矢量场的性质由该矢量场的散度和旋度唯一地确定，（3.50） 式只定义了矢量场A的旋度，没有定义散度，所以矢量场A是不 确定的。
为了使A是唯一的，令
A0
此时
3.51
A A A 2 2 0
与分界面法线的夹角分别是θ1, θ2,
单位法线矢量 由介nˆ 质2指向介质
1。在两种磁介质的分界面上作一 个极窄的跨过分界面两侧的矩形 回路ABCDA，这个小矩形回路的 两边平行于分界面，且分居于分 界面两侧，另外两边h垂直穿过分
界面，且h→0。 AB=CD=l， BDC=DCA0 ，如图3.17中所示。
H1t H2t 3.45
所以在两种磁介质的分界面上，H的切向分量是连续的。
2． B法向分量的边界条件
在两种磁介质的分界面上作一个极扁的跨过分界面两侧的小
扁状闭合柱面（高h为无穷小），圆柱形高斯面，设底面和顶面 的面积均等于ΔS,由恒定磁场的高斯定理（或应用磁通连续方程）: 仿照2.2.1节中D的法向分量边界条件的推导方法可以导出
代入上式可得
nˆ H1 H2 0 3.44
nˆ 0M 0JmS ,
JmS M nˆ
3．3 矢量磁位
3.3.1 矢量磁位A的引入
由·B=0和矢量恒等式·(×A)=0，B可以写为
B A 3.50
A称为矢量磁位，单位是特斯拉·米或韦伯/米。由（3.50） 式定义的A不是唯一的，例如设另一矢量A A ，ψ为 任一标量函数，则
把（3.50）式代入可得 A ( A) 2 A J
利用（3.51）式可得 2 A J 3.52 磁矢位的泊松方程
库仑规范 A 0 3.51
对无源区(J=0)，磁矢位满足矢量拉普
拉斯方程，即 2 A 0
所以矢量磁位A满足矢量的泊松方程，求解时一般先写出
B2t
3．B线和H线在分界面的折射
界面上无面电流时 仿照2.2.1节中推导（2.86）式的 方法，可以导出B线和H线在分界面 上发生折射的关系式
H 2sin 2 H 1sin 1 B2 cos 2 B1cos 1
B2=μ2H2, B1=μ1H1
tg1 1 tg2 2
3.48
Ò H1 sin1 H2 sin23．2．2 铁磁质表面的边界条B件 dS 约定铁磁质的下标为2，另一种介质的下S 标为1。对于铁
sˆ 由图3.17中可以看出 l1 sˆ nˆl , 是回路包围的曲
面ΔS的单位法线矢量，所以上式可以写为
Ñl H dl H1 H2 (sˆ nˆ)l nˆ H1 H2 sˆl 3.41
Ñl H dl I0i 3.40
（3.40）式的右边i 可以写为
I0i
i
JS sˆl
例题3.7 试导出介质表面磁化 电流密度Jms的表达式。 解：设图3.17中介质1是真空，介 质2是磁介质，介质2表面没有传 导电流时，安培环路定理可以写 为
Ñ l B dl 0 Imi i
上式右边是对环路包围的所有磁
化电流求和。用与推导（3.43）式
相同的方法可以导出 nˆ H1 H2 JS 3.43