恒定磁场的边界条件33矢量磁位
《电磁场与电磁波》课程教学大纲
《电磁场与电磁波》课程教学大纲一、课程基本信息课程编码：07S2117B中文名称：电磁场与电磁波英文名称：E1ectromagneticFie1dandE1ectromagneticWave课程类别：专业核心课总学时：48总学分：3适用专业：电子科学与技术专业先修课程：高等数学、大学物理、场论、数学物理方程二、课程性质及目标教学性质：电磁场与电磁波是电子科学与技术专业学生的一门专业核心课程。
通过本课程的学习，要求学生系统地理解电磁场与电磁波的基本概念、基本性质和基本规律，掌握求解电磁场问题的基本方法，为进一步学习其他课程特别是专业课打下基础。
课程目标：1.通过本课程知识的学习，使学生了解电磁场论的发展历程，掌握电磁场论的基本概念、基本性质和基本规律，掌握求解电磁场问题的基本方法，为后续专业课程奠定基础。
引导学生学习科技发展史，树立科技强国意识，感受中国在电子领域的先进成果，激励学生自觉融入到实现中华民族伟大复兴的中国梦进程中。
2.通过本课程知识的学习，使学生掌握电磁场论计算理论的基本方法，并能在具体电子科学与技术专业的具体问题中加以应用。
培养学生解决问题方法的多样性，提高学生数学分析的能力。
3.通过本课程知识的学习，使学生掌握电磁场论分析问题的基本方法，并能在复杂的实际情况中加以应用。
培养学生逻辑思维和创新能力，提高学生设计、开发系统的能力。
不同介质和边界条件对应的场方程形式不同，引导学生用发展的眼光看问题，终身学习，与时俱进，始终拥有先进的理念和较高的职业素养。
I.采用启发式、案例式教学，激发学生主动学习的兴趣，培养学生独立思考、分析问题和解决问题的能力。
2.结合科研生产中的实际例子对课程进行讲解，通过课堂讲解，加强学生对基础知识及基本理论的理解。
3.教学以课堂讲授为主，多媒体辅助教学，提高课堂教学信息量，增强教学的直观性、形象性。
4.通过课内讨论与课外答疑、线下辅导与线上交流相结合的方式，调动学生学习的主观能动性，培养学生的自学能力。
稳恒磁场问题求解
L1 I 12
MI1I 2
1 2
L2
I
2 2
六、磁场能量
【例1】长度为l ,内外导体半径分别为 R1 与 R2 的同轴电缆，通有电流 I ， 试求电缆储存的磁场能量与自感。
【解】由安培环路定律，得
H
I
2
e
I
2 R12
e
I 2
e
0 R1 ••R 1 R2
磁能为 自感
1
a
O
I
b
cIOr来自adrbc e
外磁链
【分析】 该磁通链由三部分磁通形成：外
导体中的磁通，内外导体之间的磁通以及内
导体中的磁通。由于外导体通常很簿，穿过其
内的磁通可以忽略。
I
【解】
由••
H
L
dl
I
Bo
0I
2πr
e •••• a
r
b
Bi
0 Ir
2πa 2
e •••0
r
a
o o
S Bo dS
μ0 I 4π
L L
dz R
ez
ez
μ0 I 4π
L
dz'
L ρ2 (z z')2 1 2
A
ez
μ0 I 4π
ln
ρ2 L z2 L z ρ2 L z2 L z
A
μ0I 2π
ln
2L ρ
ez
(L )
问题：L趋向无限大 该如何处理
B
A
AZ ρ
eφ
μ0 I 2πρ
eφ
A
sin
v B
v A
r er
1
工程电磁场原理(教师手册)
四、本课程学时分配建议
本课程参考学时：60学时。 以电气工程类专业为例，学时分配比例建议如下：
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 绪论(含可视化教材的演示) 电磁场的数学物理基础 静态电磁场I： 静电场 静态电磁场II: 恒定电流的电场和磁场 准静态电磁场 动态电磁场与电磁波 实验 2学时 6学时 16学时 14学时 6学时 12学时 4学时
“电磁场”课程的地位与作用：
● “电磁场”课程内容是电气信息类专业本科生所应具备知识结构的必 要组成部分——电气信息类各专业主要课程的核心内容都是电磁现象在特 定范围、条件下的体现，因此，分析电磁现象的定性过程和定量方法是电 气信息类各专业学生掌握专业知识和技能的基础； ● 近代科学技术发展进程表明，电磁场理论是众多交叉学科的生长点 和新兴边缘学科发展的基础； ● 教学实践证明，本课程不仅将为电气信息类学生专业课的学习提供 必须的知识基础，而且将增强学生面向工程实际的适应能力和创造能力， 关系到学生基本素质培养的终极目标。
2. 本课程的理论体系——宏观电磁理论
1865年英国物理学家麦克斯韦(J.C.Maxwell)建立的著名的麦克斯韦 电磁场方程组是宏观电磁理论体系的基础。 宏观电磁理论所涉及的电磁现象和过程的基本特征是： ● 场域(即场空间)中媒质是静止的，或其运动速度远小于光速； ● 场域作为点集，点的尺寸远大于原子间的距离。 本课程所讨论的任一场点，即意味着大量分子的集合 场域中的媒 质被看作为“连续媒质” 该场点处的电磁性能归结为对应的宏观统计平 均效应的表征，即通过宏观等效的物性连续参数(如电导率γ、磁导率μ和介 电常数ε)予以描述。 因而，宏观电磁理论也被称为“连续媒质电动力学”，但决不等同于“量 子电动力学”或“相对论电动力学”，后者已分别延拓到微观粒子或高速运动 体系中电磁现象和过程的研究领域。
第3章-2-磁化+边界条件+电感
(r
1)
J (b2 2b
a2 )
ez
磁介质中自由电流激发磁化电流。
思考：为什么r=a-，r=b+ 没有磁化电流？ 真空r＝1
例题3-8 删
19
3.4 恒定磁场的边界条件
S B dS 0
B 0
L H dl I
H J
B H
2A J
利用上面方程讨论介质分界面的B、H、A的变化规律
20
3.4 恒定磁场的边界条件
定义磁场强度:
B
0
Pm
J
H B Pm A / m
0
（3-30）
B 0(H Pm)
D 0E P
H J
磁介质中安培环路定理的微分形式。
（3-31）
12
3.3 磁偶极子与介质磁化
3.3.3 介质中的恒定磁场方程 1. 磁场强度、安培环路定理 磁介质中安培环路定理的积分形式。
H J
上式两边取面积分：
B1n =0
21
3.4 恒定磁场的边界条件
3.4.2 磁场强度的切向边界条件
en
H1
H dl I
△h→0H1
L
l1
H2
l2
Jsl
1
l 1 h
et
2
2
JS
H1 etl H2 etl Jsl
H2
积分方向与电流呈右手关系！
(H1 H2 ) et Js
（3-40）
H1t H 2t J s 讨论：1）如果JS =0, 则
即
A1n A2n
综合两个结论，有 A1 A2 （3-42）
表明在媒质分界面上磁矢位 A 是连续的。 23
3.4 恒定磁场的边界条件
电磁场的边界条件(二)
顷厂 Bx = B、一 B2x = 30"。H2x = B = 10 (-ax) X[6ax +
含有Js的分界面 衔接条件
Sy-(H2xax + H2yay + H&)]= -也 —H2y =4
= 得:H2=H2xdx + H2 ydy
〃O(3OR B2=%厅2 =
10 句
+
4a
y
+12a y)
H2z = 0
8\ S=心 s
矢量形式
n • （A Ps
nx（E] _E2）=。
n • （&一窟）=o
n x （亘 1-百2）="S n • （J、D-写
ot
n x （A —乙）=0
冒1 1 s = ^21S
注意：应用这些边界条件时，必须牢记以下性质
(1)在理想导体(CT = 8)内部的电磁场为零，理想导体表
s 面存在P 和。
思考：若面电流J = ^y~ ^az， 答案是否变化，如何变?
小结：
1. 磁场法向分量的边界条件 Bin = Bn
2. 磁场切向分量的边界条件 沁（瓦—貽=js
3. 矢量磁位的边界条件4|s= 4|s
4. 标量磁位的边界条件 編|s = ©m2 Is _
5. 电流密度的边界条件臨（」1-，2） = - n X （」-二）=0
亘.页=1
= He/-H2t △/ I = Js △/
于是：H「H：=囚或方、（冗匚百2）二刃
牛-与=J
Ml M
已知：B -牛=J 風=风
卩\ 卩2
若: JS = 0
风/
/B\nan0 二
当:
卩2taTn8^
电磁场导论 第三章]
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恒定磁场
2) 1 2
得到
B dl 2πB 0 I l 0 I B e 2 π
3) 2 3,
2 32 2 2 2 I I I 2 I 2 2 2 3 2 3 2
图3.2.10 同轴电缆
0 I ( 32 2 ) l B dl 2πB 32 22
根据
B A
A
z Az
B
0 I l
2 2 32
4π ( z )
e
0 I l
4πr
sin e
第 三 章
恒定磁场
例 应用磁矢位 A，试求空气中长直载流细导线产生 的磁场。
A Aez 解: 定性分析场分布，
A
0 I
L
0 I L dz 4π L r
第 三 章
恒定磁场
例
真空中有一载流为 I，半径为R的圆环， 解：元电流 Idl 在 P 点产生的 B 为
试求其轴线上 P 点的 磁感应强度 B 。
0 Idl e r ( Idl dB 2
4 πr
dB
图3.1.3 圆形载流回路
er )
2 4π( R 2 x 2 )
0 Idl sin
图3.3.3 铁磁媒质与空 气分界面
与分界面近似垂直，铁磁媒质表面
近似为等磁面。
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第 三 章
恒定磁场
磁矢位及其边值问题
1. 磁矢位 A 的引出 由
B 0 A 0 B A
A 磁矢位
Wb/m（韦伯/米）。
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恒定磁场分析
7
求证：
证 明:
∫
ur r B ds = 0
Q
ur µ B= 0 4π
∫
r ur Id l × R R3
r r u r r µ0 Idl × eR r ∴ ∫ B ds = ∫ ∫ c R2 d s s 4π
又Q
uv ur uv uv ur uv A× B C = A B×C
23
2、磁偶极子的标量位（解释P116） 磁偶极子的标量位（解释 ） 在无源区域（ 在无源区域（只有无源 ∇ × H = J＝0 uu r 区域才定义标量位）： 区域才定义标量位）： ∇×H =0 uu r H = −∇ ϕ m 由下面式子
P ( r ,θ , 0 )
µ0 µ0 1 A = p m × e r = − p m × ∇ 2 4πr 4π r B、幂级数近似） 与求电偶极子类似的方法（余弦定理、幂级数近似）可以得到 磁偶极子的矢量位和标量位： 磁偶极子的矢量位和标量位：
µ0 µ0 1 A= p m × er = − p m × ∇ 2 4πr 4π r
的距离，是标量。 其中 r 为场点 P 到磁偶极子中心 O 的距离，是标量。
这表明恒定磁场是无散有旋场， 这表明恒定磁场是无散有旋场， 无散有旋场 传导电流是其旋涡源。 传导电流是其旋涡源。
13
5－2、内、外半径分别为 a、b 的无限长空心圆柱中，均匀 － 、 、 的无限长空心圆柱中， 分布着轴向电流 求柱内、外的磁场强度。 I ，求柱内、外的磁场强度。
解：使用圆柱坐标系。电流密度沿轴线方向为 使用圆柱坐标系。
12
3、真空（介质）中磁场的基本方程： 真空（介质）中磁场的基本方程：
∫sB • d s = 0 , ∇•B =0 , ∇×H = J ∫c H • d l = I B = µ0H B = µH
电磁场 磁位、磁矢位与恒定磁场的边值问题、恒定磁场的镜像法(完美解析) 共20页
1. 微分方程
H 0 H m
0
B0 H ( m ) m m 0
2m 0 （仅适用于无电流区域）
在直角坐标系中 2m2x2m2y2m2z2m0
2. 分界面上的衔接条件
由
H 1t B1n
H 2t B2n
m1 m2
1
m1
n
2
m2
n
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第三章
3.5 磁矢位及其边值问题
恒定磁场
Magnetic Vector Potential and Boundary Value Problem
3.5.1 磁矢位 A 的引出
（Definition Magnetic Vector Potential A)
e
A A Az
B 4 0π Il(2 z2)32e 4 0 π Irlsin e
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第三章
恒定磁场
例3.5.2 应用磁矢位 A，试求空气中长直载流
细导线产生的磁场。
解: 定性分析场分布，AAez
A 0I L dz 4π L r
0I L
dz
磁位 m 仅适合于无自由电流区域;
等磁位面（线)方程为 m 常 数，等磁位面（线） 与磁场强度 H 线垂直;
m 的多值性。
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第三章
证明: 设 B 点为参考磁位， 则
恒定磁场
m A
Hdl,
AlB
m A
Hdl
Am B
Hdl Hdl
l
A lB mA
4π L( 2z2)12
0I[lL n(2L 2)ln ]
电磁场与电磁波 第五章答案
第五章 恒定磁场重点和难点该章重点及处理方法与静电场类似。
但是磁感应强度的定义需要详细介绍，尤其要强调磁场与运动电荷之间没有能量交换，电流元受到的磁场力垂直于电流的流动方向。
说明磁导率与介电常数不同，磁导率可以小于1，而且大多数媒质的磁导率接近1。
讲解恒定磁场时，应与静电场进行对比。
例如，静电场是无散场，而恒定磁场是无旋场。
在任何边界上电场强度的切向分量是连续的，而磁感应强度的法向分量是连续的。
重要公式磁感应强度定义：根据运动电荷受力： B v F ⨯=q根据电流元受力： B l F ⨯=d I 根据电流环受力： B m T ⨯=真空中恒定磁场方程： 积分形式： I ⎰=⋅ll B 0d μ⎰=⋅SS B 0d微分形式：J B 0 μ=⨯∇0=⋅∇B已知电流分布求解电场强度：1，A B ⨯∇=V V ''-'=⎰'d )(4)( 0 r r r J r A πμ2，V V ''-'-⨯'=⎰'d )()( 4)(30 r r r r r J r B πμ 毕奥─萨伐定律。
3，I ⎰=⋅ll B 0d μ安培环路定律。
面电流产生的矢量磁位及磁感应强度分别为S ''-'=⎰'d )(4)(0 r r r J r A S S πμS ''-'-⨯'=⎰'d )()(4)( 30 r r r r r J r B S S πμ 线电流产生的矢量磁位及磁感应强度分别为⎰''-'=l r r l r A d 4)(0I πμ⎰''-'-⨯'=l r r r r l r B 30 )(d 4)(I πμ矢量磁位满足的微分方程：J A 0 2μ-=∇无源区中标量磁位满足的微分方程： 0 2=∇m ϕ 媒质中恒定磁场方程： 积分形式： I l =⋅⎰l H d⎰=⋅SS B 0d微分形式：J H =⨯∇ 0=⋅∇B磁性能均匀线性各向同性的媒质：场方程积分形式：⎰=⋅lI d μl B⎰=⋅BS H 0d场方程微分形式： J B μ=⨯∇ 0=⋅∇H矢量磁位微分方程：J A 2μ-=∇矢量磁位微分方程的解： V V ''-'=⎰'d )(4)(r r r J r A πμ 恒定磁场边界条件：1，t t H H 21=。
电磁场与电磁波试题及答案
1. 写出非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式，并简要说明其物理意义。
2.答非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式为,,0,D BH J E B D t tρ∂∂∇⨯=+∇⨯=-∇⋅=∇⋅=∂∂，(3分)（表明了电磁场和它们的源之间的全部关系除了真实电流外，变化的电场（位移电流）也是磁场的源；除电荷外，变化的磁场也是电场的源。
1. 写出时变电磁场在1为理想导体与2为理想介质分界面时的边界条件。
2. 时变场的一般边界条件 2n D σ=、20t E =、2t s H J =、20n B =。
(或矢量式2n D σ=、20n E ⨯=、2s n H J ⨯=、20n B =)1. 写出矢量位、动态矢量位与动态标量位的表达式,并简要说明库仑规范与洛仑兹规范的意义。
2. 答矢量位,0B A A =∇⨯∇⋅=；动态矢量位A E t ϕ∂=-∇-∂或AE tϕ∂+=-∇∂。
库仑规范与洛仑兹规范的作用都是限制A 的散度，从而使A 的取值具有唯一性；库仑规范用在静态场，洛仑兹规范用在时变场。
1. 简述穿过闭合曲面的通量及其物理定义 2.sA ds φ=⋅⎰⎰ 是矢量A 穿过闭合曲面S 的通量或发散量。
若Ф> 0，流出S 面的通量大于流入的通量，即通量由S 面内向外扩散，说明S 面内有正源若Ф< 0，则流入S 面的通量大于流出的通量，即通量向S 面内汇集，说明S 面内有负源。
若Ф=0，则流入S 面的通量等于流出的通量，说明S 面内无源。
1. 证明位置矢量x y z r e x e y e z =++ 的散度，并由此说明矢量场的散度与坐标的选择无关。
2. 证明在直角坐标系里计算 ，则有()()xy z x y z r r e e e e x e y e z x y z ⎛⎫∂∂∂∇⋅=++⋅++ ⎪∂∂∂⎝⎭3x y z x y z∂∂∂=++=∂∂∂ 若在球坐标系里计算，则 232211()()()3r r r r r r r r r∂∂∇⋅===∂∂由此说明了矢量场的散度与坐标的选择无关。
电磁场与电磁波理论思考题
《电磁场与电磁波理论》思考题第1章思考题1.1什么是标量?什么是矢量?什么是矢量的分量?1.2什么是单位矢量?什么是矢量的单位矢量?1.3什么是位置矢量或矢径?直角坐标系中场点和源点之间的距离矢量是如何表示的?1.4什么是右手法则或右手螺旋法则?1.5若两个矢量相互垂直,则它们的标量积应等于什么?矢量积又如何?1.6若两个矢量相互平行,则它们的矢量积应等于什么?标量积又如何?1.7若两个非零矢量的标量积等于零,则两个矢量应垂直还是平行?1.8若两个非零矢量的矢量积等于零,则两个矢量应垂直还是平行?1.9直角坐标系中矢量的标量积和矢量积如何计算?1.10什么是场?什么是标量场?什么是矢量场?1.11什么是静态场或恒定场?什么是时变场?1.12什么是等值面?它的特点有那些?1.13什么是矢量线?它的特点有那些?1.14哈密顿算子为什么称为矢量微分算子?1.15标量函数的梯度的定义是什么?物理意义是什么?1.16什么是通量?什么是环量?1.17矢量函数的散度的定义是什么?物理意义是什么?1.18矢量函数的旋度的定义是什么?物理意义是什么?1.19什么是拉普拉斯算子?标量和矢量的拉普拉斯运算分别是如何定义的?1.20直角坐标系中梯度、散度、旋度和拉普拉斯算子在的表示式是怎样的?1.21三个重要的矢量恒等式是怎样的?1.22什么是无源场?什么是无旋场?1.23为什么任何一个梯度场必为无旋场?为什么任何一个无旋场必为有位场?1.24为什么任何一个旋度场必为无源场?为什么任何一个无源场必为旋度场?1.25高斯散度定理和斯托克斯定理的表示式和意义是什么?1.26什么是矢量的唯一性定理?1.27在无限大空间中是否存在既无源又无旋的场?为什么?1.28直角坐标系中的长度元、面积元和体积元是如何表示的?1.29圆柱坐标系中的长度元、面积元和体积元是如何表示的?1.30球面坐标系中的长度元、面积元和体积元是如何表示的?2.1什么是体电荷、面电荷、线电荷和点电荷?他们分别是如何定义的?2.2什么是试验电荷?什么是电场强度?2.3什么是电介质、磁介质和导体或导电媒质?2.4什么是电偶极子?电偶极矩矢量是如何定义的?2.5什么是电极化强度?电介质的极化现象是怎样的?2.6什么是电位移或电通量密度?2.7什么是相对介电常数和(绝对)介电常数?什么是自由空间?2.8什么是线性各向同性的电介质?2.9什么是恒定电流?什么是时变电流?什么是传导电流?什么是运流电流?2.10什么是体电流、面电流和线电流?他们分别是如何定义的?2.11什么是微分形式欧姆定律?2.12什么是洛伦兹力?什么是磁感应强度?2.13什么是磁偶极子?磁偶极矩矢量是如何定义的?2.14什么是磁化强度? 磁介质的磁化现象是怎样的?2.15什么是顺磁质?什么是抗磁质?什么是铁磁性物质?2.16什么是相对磁导率和(绝对)磁导率?2.17什么是磁场强度?2.18什么是线性各向同性的磁介质?2.19电磁学的三大基本实验定律是哪三个?2.20什么是库仑定律?什么是静电场的环量定律?什么是高斯定律?2.21由静电场的环量定律可以什么结论?2.22穿过任一高斯面的电场强度通量与该闭合曲面所包围的哪些电荷有关?2.23穿过任一高斯面的电位移通量与该闭合曲面所包围的哪些电荷有关?2.24高斯面上的场矢量与高斯面外的电荷是否有关?为什么?2.25什么是安培定律?什么是比奥—萨伐尔定律?2.26什么是磁通连续性定律?什么是安培环路定律?2.27磁场强度沿任一闭合回路的环量与哪些电流有关?2.28磁感应强度沿任一闭合回路的环量与哪些电流有关?2.29闭合回路上的磁场强度与闭合回路以外的电流是否有关?为什么?2.30什么是感应电流?什么是感应电场?什么是感应电动势?2.31什么是法拉第电磁感应定律?2.32什么是电荷守恒定律?电荷守恒定律的数学表达式是怎样的?2.33麦克斯韦的漩涡电场假设的基本思想是什么?2.34什么是位移电流?什么是位移电流密度?2.35什么是全电流?什么是全电流密度?什么是全电流连续性定律?2.36为什么说五个基本方程不是独立的?2.37什么是电磁场的边界条件?他们是如何得到的?2.38为什么边界条件的讨论分解成法向分量和切向分量来进行?2.39在不同媒质分界面上,永远是连续的是电磁场的哪些分量?2.40电磁场的哪些分量当不存在传导面电流和自由面电荷时是连续的?2.41什么是理想介质?什么是理想导体?2.42边界条件有哪三种常用形式?他们有什么特点?2.43在理想导体表面上不存在电磁场的什么分量?2.44垂直于理想导体表面的是电力线还是磁力线?平行于理想导体表面的是电力线还是磁力线?2.45理想导体表面的面电流密度等于磁场的什么分量?理想导体表面面电荷密度等于电场的什么分量?3.1什么是静电场?如何由是麦克斯韦方程组得到静电场的基本方程?3.2静电场是无源场还是无旋场?3.3静电场边界条件有哪两种常用形式?他们有什么特点?3.4在静电场中的不同电介质分界面上,电场强度和电位移的什么分量总是连续的?3.5什么是静电场折射定律?3.6静电场的什么分量在导体表面总是为零?导体表面面电荷密度等于电场的什么分量?3.7在静电场中,电场强度沿一个开放路径的线积分与积分路径是否有关?为什么?3.8静电场中任一点的电位是如何定义的?什么是零电位参考点?3.9静电场中任一点的电位是否是唯一的?电场强度是否是唯一的?3.10什么是等位面?电场强度矢量与等位面有什么关系?为什么?3.11什么是电位的泊松方程和拉普拉斯方程?什么是电场强度的泊松方程和拉普拉斯方程?3.12电位的边界条件是如何得到的?为什么电位在界面上总是连续?3.13为什么说导体必为等位体,导体与电介质的交界面必为等位面?3.14静电场的能量和能量密度是如何计算的?3.15导体的电容与哪些因素有关?与导体的电位和所带的电量是否有关?3.16什么是电容器?电容器的电容是如何定义的?3.17电容器的电容与其电场储能有什么关系?3.18什么是静电场分布型问题?什么是静电场的边值型问题?3.19静电场的边值问题可以分为哪三类?3.20什么是静电场唯一性定理?它是如何证明的?3.21静电场边值问题主要解法有哪些?3.22什么是直接积分法?什么情况下可以采用直接积分法?直接积分法的基本步骤是什么?3.23直角坐标系中一维电位分布的拉普拉斯方程的通解是怎样的?电荷均匀分布和线性分布区域电位的通解各是怎样的?3.24圆柱坐标系中无源区域、电荷均匀分布和线性分布区域三个一维电位分布满足的二阶微分方程各是怎样的?电位的通解各是怎样的?3.25球面坐标系中无源区域、电荷均匀分布和线性分布区域三个一维电位分布满足的二阶微分方程各是怎样的?电位的通解各是怎样的?3.26什么是分离变量法?什么是分离常数?什么是分离方程?3.27直角坐标系中的分离常数有哪几个?直角坐标系中的分离方程是怎样的?3.28直角坐标系中的分离方程的通解与分离常数有什么关系?3.29直角坐标系中分离变量法的的两种常见的二维问题是指什么情况?3.30什么是直角坐标系中分离变量法的基本问题?3.31如何根据基本问题的边界条件选取通解的具体形式?3.32如何利用三角函数的正交性或者傅立叶级数的公式来确定基本问题的最终解?3.33什么是镜像法?什么是镜像电荷?如何确定镜像电荷?3.34点电荷关于无限大导体平面的镜像电荷是如何确定的?此时导体表面的感应电荷有什么特点?3.35无限大导体平面上方与其平行的无限长直的均匀线电荷的镜像是怎样的?(画图) 3.36两个无限大相交理想导体平面之间的夹角满足什么条件才能采用镜像法?镜像电荷的数目与夹角有什么关系?(画图)3.37两个平行的无限大导体平面之间的点电荷的镜像电荷有多少?(画图)3.38接地导体球外的点电荷的镜像电荷是如何确定的?导体表面的感应电荷有什么特点?(画图)3.39接地导体球内的点电荷的镜像电荷是如何确定的?导体表面的感应电荷有什么特点?(画图)3.40如果导体球或球壳没有接地,如何借助于镜像法来求各处的场分布?3.41什么是静电场的数值解法?什么是“场域型”数值方法?什么是“边界型”数值方法?3.42什么是有限差分法?有限差分法的基本步骤是什么?3.43二维泊松方程对应的差分方程是怎样的?3.44二维静电场边值问题的有限差分法的基本步骤是怎样的?3.45什么是差分方程的超松弛迭代法求解?它的基本步骤是怎样的?3.46什么是矩量法?矩量法的三个基本步骤是什么?3.47静电场边值问题的矩量法的基本步骤是怎样的?第4章思考题4.1什么是恒定电流或直流?什么是时变电流或交流?4.2什么是恒定电场?如何由是麦克斯韦方程组得到恒定电场的基本方程?4.3恒定电场是无源场还是无旋场?4.4在电导率不同的导体的分界面上,电场强度和电流密度的什么分量是连续的?4.5在不同导体的分界面上电场强度和电流密度的什么分量是不连续的?4.6恒定电场中电位与静电场的电位有什么异同点?4.7为什么在线性和各向同性的均匀媒质中恒定电场中电位总是满足的拉普拉斯方程? 4.8线性和各向同性的均匀媒质中是否存在体电荷?4.9导电媒质分界面上的面电荷的密度是如何确定的?4.10什么情况下,导电媒质分界面上的不存在面电荷?4.11什么是电流的热效应?恒定电场的功率损耗是如何计算的?4.12什么是焦耳定律的微分形式和积分形式?4.13什么是漏电流?什么是漏电导?4.14什么是静电比拟法?它有什么用处?4.15什么情况下可以将静电场与恒定电场相比拟?4.16电容器的漏电导与电容的对应关系是怎样的?4.17什么是恒定磁场?如何由是麦克斯韦方程组得到恒定磁场的基本方程?4.18恒定磁场是无源场还是无旋场?4.19在磁导率不同的磁介质的分界面上,磁场强度和磁感应强度什么分量是连续的?4.20在不同磁介质的分界面上磁场强度和磁感应强度的什么分量是不连续的?4.21什么是恒定磁场折射定律?4.22什么是恒定磁场镜像法?4.23恒定磁场的矢量磁位是如何定义的?4.24什么是库仑条件或库仑规范?为什么恒定磁场的矢量磁位要满足库仑条件或库仑规范?4.25什么是恒定磁场矢量磁位的泊松方程和拉普拉斯方程?4.26由比奥—萨伐尔定律得到的恒定磁场矢量磁位的积分表示式是否满足恒定磁场的微分方程?4.27恒定磁场的标量磁位是如何定义的?它有什么要求?4.28为什么恒定磁场的标量磁位只是满足拉普拉斯方程?4.29恒定磁场的标量磁位的边界条件是如何得到的?4.30恒定磁场的能量和能量密度是如何计算的?4.31什么是导体载流回路的电感?它与哪些因素有关?4.32什么是自感?什么是互感?什么是内自感?什么是外自感?4.33导体回路的电感与导体回路的电流是否有关?4.34导体载流回路的电感与磁场储能有什么关系?第5章思考题5.1什么是时谐电磁场?什么是时谐电磁场的复振幅和复振幅矢量?5.2如何由时变电磁场的基本方程得到时谐电磁场的基本方程(基本方程的复数形式)?5.3如何由时变电磁场的结构方程得到时谐电磁场的结构方程(结构方程的复数形式)?5.4如何由时变电磁场的边界条件得到时谐电磁场的边界条件(边界条件的复数形式)?5.5时谐电磁场边界条件有哪三种常用形式?他们有什么特点?5.6在不同媒质分界面上,永远是连续的是时谐电磁场的哪个分量?5.7在理想导体表面上不存在时谐电磁场的什么分量?5.8垂直于理想导体表面的是时谐电磁场的电力线还是磁力线?平行于理想导体表面的是时谐电磁场的电力线还是磁力线?5.9理想导体表面的面电流密度等于时谐电磁场的什么分量?理想导体表面面电荷密度等于时谐电磁场的什么分量?5.10什么是导电媒质的复介电常数?什么是导电媒质的损耗角正切?5.11时变电磁场的矢量磁位和标量电位是如何定义?5.12什么是洛伦兹条件或洛伦兹规范?洛伦兹条件与电流连续性方程是否是一致的?5.13什么情况下矢量磁位和标量电位满足齐次达兰贝尔方程?5.14什么情况下电场强度和磁场强度满足齐次达兰贝尔方程?5.15什么是滞后位?什么是超前位?为什么在无限大自由空间中只有滞后位?5.16矢量磁位和标量电位的滞后位是怎样的?5.17时谐电磁场的矢量磁位和标量电位是如何定义?5.18如何得到时谐电磁场的矢量磁位和标量电位的洛伦兹条件或洛伦兹规范?5.19如何得到时谐电磁场的矢量磁位和标量电位的亥姆霍兹方程(复波动方程)?5.20如何得到时谐电磁场的矢量磁位和标量电位的滞后位和超前位?5.21瞬时坡印廷矢量是如何定义的?它的物理意义是什么?它有什么特性?5.22什么是瞬时坡印廷定理的微分形式和积分形式?瞬时坡印廷定理的物理意义是什么?5.23什么是平均坡印廷矢量?5.24复坡印廷矢量是如何定义的?它的物理意义是什么?5.25天线的作用是什么?天线有哪些类型?5.26什么是电基本振子?什么是磁基本振子?5.27什么是线天线?什么是对称天线?什么是半波天线?5.28什么是近区场?什么是远区场?5.29电基本振子的近区场有什么特性?5.30电基本振子的远区场有什么特性?5.31磁基本振子的近区场有什么特性?5.32磁基本振子的远区场有什么特性?5.33基本振子和磁基本振子的电场有什么异同点?它们谁的辐射能力大?5.34基本振子和磁基本振子的对偶性是怎样的?5.35什么是水平极化天线?什么是垂直极化天线?5.36天线的方向性因子、方向函数和方向图指的是什么?5.37什么是天线的E面方向图?什么是天线的H面方向图?5.38什么是无方向天线?什么是全向天线?什么是定向天线?5.39基本振子、磁基本振子和半波天线的方向图有什么特点?5.40什么是天线辐射功率?天线的半功率波瓣宽度和零功率波瓣宽度是如何定义的?5.41基本振子和磁基本振子的半功率波瓣宽度和零功率波瓣宽度的大小是怎样的?5.42什么是天线阵?它的作用是什么?决定天线阵的辐射特性的主要参数有哪些?5.43天线阵方向图相乘原理是指什么?5.44什么是均匀直线式天线阵?什么是均匀直线式边射阵?什么是均匀直线式端射阵?。
电磁场与电磁波(杨儒贵_版)课后思考题答案
电磁场与波课后思考题1-1 什么是标量与矢量?举例说明.仅具有大小特征的量称为标量.如:长度,面积,体积,温度,气压,密度,质量,能量及电位移等.不仅具有大小而且具有方向特征的量称为矢量.如:力,位移,速度,加速度,电场强度及磁场强度.1-2 矢量加减运算及矢量与标量的乘法运算的几何意义是什么?矢量加减运算表示空间位移.矢量与标量的乘法运算表示矢量的伸缩.1-3 矢量的标积与矢积的代数定义及几何意义是什么? 矢量的标积: ,A 矢量的模与矢量B 在矢量A 方向上的投影大小的乘积.矢积: 矢积的方向与矢量A,B 都垂直,且由矢量A 旋转到B,并与矢积构成右 旋关系,大小为1-4 什么是单位矢量?写出单位矢量在直角坐标中的表达式. 模为1的矢量称为单位矢量.1-5 梯度与方向导数的关系是什么?试述梯度的几何意义,写出梯度在直角坐标中的表示式.标量场在某点梯度的大小等于该点的最大方向导数, 方向为该点具有最大方向导数的方向.梯度方向垂直于等值面，指向标量场数值增大的方向在直角坐标中的表示式: 1-6 什么是矢量场的通量?通量值为正,负或零时分别代表什么意义?矢量A 沿某一有向曲面S 的面积分称为矢量A 通过该有向曲面S 的通量,以标量表示，即 通量为零时表示该闭合面中没有矢量穿过. 通量为正时表示闭合面中有源;通量为负时表示闭合面中有洞.1-7 给出散度的定义及其在直角坐标中的表示式. 散度：当闭合面S 向某点无限收缩时，矢量A 通过该闭合面S 的通量 与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场A 在该点的散度。
直角坐标形式： 1-8 试述散度的物理概念,散度值为正,负或零时分别表示什么意义?物理概念：通过包围单位体积闭合面的通量。
散度为正时表示辐散,为负时表示辐合,为零时表示无能量流过.1-9 试述散度定理及其物理概念.散度定理:建立了区域 V 中的场和包围区域V 的闭合面S 上的场之间的关系θcos B A B A B A B A B A z z y y x x =++=⋅z y x z y x z y x B B B A A A e e e B A =⨯θsin B A e z θsin B A a e zy x e e e γβαcos cos cos ++=z y x e ze y e x ∂∂+∂∂+∂∂=∇⎰⋅=S S A Ψ d VS V Δd lim div 0Δ⎰⋅=→S A A zA y A x A A div z y x ∂∂+∂∂+∂∂= A ⋅∇=物理概念: 散度定理建立了区域 V 中的场和包围区域 V 的闭合面 S 上的场之间的关系。
简述矢量磁位的微分方程和边界条件
简述矢量磁位的微分方程和边界条件
矢量磁位的微分方程描述了磁场的演化和变化，其形式为:
$$frac{partial mathbf{B}}{partial t} =
abla times mathbf{E}$$
其中，$mathbf{E}$ 表示电场强度，$mathbf{B}$ 表示磁场强度，$
abla times $$表示旋度算符，表示磁场的演化和变化。
边界条件是微分方程的附件，描述了场在边界处的变化情况，通常有两类：第一类通常是场的具体值，例如磁场强度在边界处的值;第二类通常是场的梯度，例如磁场强度的导数在边界处的值。
这些边界条件可以用来确定矢量磁位的演化和变化，从而求解磁场的分布情况。
举例来说，如果我们想要求解二维磁场的分布情况，可以使用上述微分方程和边界条件。
假设边界处磁场强度为 $B_0$(垂直于边界),磁场方向与边界平行，那么我们可以求解以下边界条件:
$$frac{partial B_x}{partial x} + frac{partial
B_y}{partial y} = 0$$
$$B_x = B_0$$
上述两个方程联立起来，可以求解二维磁场的分布情况。
其中，$frac{partial B_x}{partial x} + frac{partial B_y}{partial y}$ 表示磁场强度在边界处的斜率，$B_0$ 表示边界处的磁场强度。
《电磁场与电磁波》恒定磁场
分界面磁化电流: Km (M1 M2 ) en
Im
M dl
l
安培环路定理
1.真空中的安培环路定理
l B dl 0 I
真空磁场中，磁感应强度沿任意回路的 环路积分等于真空的磁导率乘以穿过该 回路所限定面的电流的代数和；
2.一般形式的安培环路定理
l B dl 0 ( I Im )
H dl H dl I
PaQ
PbQ
c
I
闭合回路PaQcP：
Q
H dl 2I PaQcP
H dl H dl 2I
PaQ
PcQ
规定:积分路径不穿过电流回路所限定的面。
2.标量磁位的边值问题 微分方程
B 0
H 0
H m
m 0
m m 0 均匀媒质：=0
2m 0 标量磁位的微分方程
Sd
（1）常磁链系统：
Wm
1 2
H BdV
V
V
B2 dV
20
B2Sd
2d
20 20S
f
Wm g
k const
2 20 S
吸力：F 2 f
3.虚位移法举例
例：分析电磁铁吸力，气隙截面积S，长d
1. 恒定磁场基本方程 恒定磁场的性质可由下面一组基本方程描述：
磁通连续性定理 SB dS 0 安培环路定理 l H dl I
各向同性线性媒质的构成方程
B 0 H J
B H
恒定磁场的性质：有旋无散。
2.分界面的衔接条件
B 的衔接条件
2
B2n B2
S h
1 B1
B1n
SB dS 0
B1nS B2nS 0 B1n B2n
关于矢量磁位
A
er
(
1 r
Az
A z
)
e
(
Ar z
Az r
)
ez
[
1 r
(rA r
)
1 r
Ar
]
er
1 r
Az
e
Az r
e
Az r
e
r
lim
L
0I 4
ln 4(
L2 r2
z 2)
e
lim
L
0I 4
r2 4(L2
z2)
2 4(L2 r3
z2)
0I 2 r
e
。
可见，虽然空间各点的矢量磁位都等于无穷大，但仍然有 B A 。
下面我们要说明，空间里的矢量磁位处处为无穷大，也不会妨碍我们用它来 计算磁感应强度。
先来看一个问题：求长度为 2L，通以电流 I 的直导线外任一点 P 的矢量磁 位。
4
根据式（11），取 C 0 ，则电流 元 I d l 激发的矢量磁位
dA
0 4
I dl 。
R
根据叠加原理，直电流激发的矢量
的磁场的边值关系，请同学们看课件。当然，这里存在一个问题，就是矢量磁位
的边界条件如何确定？在实际问题中，根据对称性，可以做合理的猜测。当边界
条件不能完全确定，导致 A 中包含了未知的组分 时，并不影响磁感应强度的
确定。磁场的计算与设计是一个技术含量很高的领域，如果某人精于此道，他已
经是国家的高科技人才了，他是不会憋屈在我们这样一所三流大学里的。
2
1
4
f dV C 。 VR
（6）
方程（4）可以写成 2 Ai
fi 1
恒定磁场分析
中国矿业大学 磁场的旋度 安培环路定理
在介质空间，若存在外加电流 I ，产生 磁场 B 0 ， 由于介质的磁化作用在空间 中形成的磁场为外加磁场与磁感应场 B 叠加之和。 在真空中， 若要产生与上述问题完 全相同的磁场分布， 则必须在空间放置
中国矿业大学
第四章 恒定磁场分析
实验证明: 在恒定电流周围同时存在电场与磁场
恒定磁场： 恒定电流产生的磁场， 本章主要内容： 恒定磁场的基本方程 矢量磁位函数 磁场的 边界条件 电流回路的电感 磁场能量
H 0 t
中国矿业大学
4.1 真空中恒定磁场基本方程
源量： J ( r) 磁感应强度矢量
磁介质本构关系 B H M
0
H m H
B
r 0 H B B H
式中：
0
(1 m ) H B
磁介质本构关系
r 1 m r 0
煤质的相对磁导率
煤质的磁导率
说明： 真空（空气）的相对磁导率为1
A( r ) 0
注意：规范条件是人为引入的限定条件。
三、矢量磁位的求解
矢量磁位满足的方程
中国矿业大学
1
H A( r) B A( r ) 0 A 0 J B 0 H H J
H d l I
C k
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例题3.7 试导出介质表面磁化 电流密度Jms的表达式。 解：设图3.17中介质1是真空，介 质2是磁介质，介质2表面没有传 导电流时，安培环路定理可以写 为
Ñ l B dl 0 Imi i
上式右边是对环路包围的所有磁
化电流求和。用与推导（3.43）式
相同的方法可以导出 nˆ H1 H2 JS 3.43
ÒS B dS 0
Ñ 可得
即： nˆ
或者
s
B
dS B1
B1 nr1S nr S B2
(B1 B2) 0
B2 nr2S nrS 0
3.47
B1n B2n 3.46
故：磁感应强度的法向分量连续
n$
B1
B1t
B1n
B1n
2 112
B2n
B1
B1t
1
2 B2t
B2
B2n B2
B2t
3．B线和H线在分界面的折射
界面上无面电流时 仿照2.2.1节中推导（2.86）式的 方法，可以导出B线和H线在分界面 上发生折射的关系式
H 2sin 2 H 1sin 1 B2 cos 2 B1cos 1
B2=μ2H2, B1=μ1H1
tg1 1 tg2 2
3.48
Ò H1 sin1 H2 sin23．2．2 铁磁质表面的边界条B件 dS 约定铁磁质的下标为2，另一种介质的下S 标为1。对于铁
代入上式可得
nˆ H1 H2 0 3.44
nˆ 0M 0JmS ,
JmS M nˆ
3．3 矢量磁位
3.3.1 矢量磁位A的引入
由·B=0和矢量恒等式·ห้องสมุดไป่ตู้×A)=0，B可以写为
B A 3.50
A称为矢量磁位，单位是特斯拉·米或韦伯/米。由（3.50） 式定义的A不是唯一的，例如设另一矢量A A ，ψ为 任一标量函数，则
与分界面法线的夹角分别是θ1, θ2,
单位法线矢量 由介nˆ 质2指向介质
1。在两种磁介质的分界面上作一 个极窄的跨过分界面两侧的矩形 回路ABCDA，这个小矩形回路的 两边平行于分界面，且分居于分 界面两侧，另外两边h垂直穿过分
界面，且h→0。 AB=CD=l， BDC=DCA0 ，如图3.17中所示。
H2
B2
2
所以铁磁质表面处磁力线（磁感应 线）稀少并与界面垂直。
切向无磁力线 在理想导磁体内部仍然存在磁感应强度。
磁导率为无限大 的媒质称为理想导磁体。在理想导磁体
中不可能存在磁场强度，否则，由式 可B见= ， H将需要无限
大的磁感应强度。产生无限大的磁感应强度需要无限大的电 流，因而需要无限大的能量，显然这是不可能的。因此，在 理想导磁体中不可能存在磁场强度。因为边界上磁场强度的 切向分量是连续的，可见，在理想导磁体表面上不可能存在 磁场强度的切向分量，换言之，磁场强度必须垂直于理想导 磁体表面。当然，在理想导磁体内部仍然存在磁感应强度。
A’不满足（3.51）式，使得A是唯一的。所以矢量磁位A是由 （3.50）式和（3.51）式引入的，（3.51）式是一个附加的条件， 称为库仑规范。
B A 3.50
3.3.2 矢量磁位A的微分方程及其解
1．矢量磁位A的微分方程
由×H=J 和 H B
可以写出
B J
引入矢量磁位A
B A 3.50
磁质，边界条件（3.45）式、（3.46）式和（3.48）式仍然成
立。H1t H2t 由（3.46）式
3, .在45与磁B通1n垂直B2的n 界3面.4上6 ，磁感应tt强gg1度2 B是12 连3.48
续的。由于μ2＞＞μ1，给定B，铁磁质内的磁场强度H2≈0，
由边界条件（3.45）式
H1t=H2t0
A A A A B
所以对于给定的B，可引入无数个A。原因是由亥姆霍兹定理， 一个矢量场的性质由该矢量场的散度和旋度唯一地确定，（3.50） 式只定义了矢量场A的旋度，没有定义散度，所以矢量场A是不 确定的。
为了使A是唯一的，令
A0
此时
3.51
A A A 2 2 0
沿 sˆ3方.42向 的分量
把（3.41）式和（3.42）式代入（3.40）式可得
nˆ H1 H2 JS 3.43
Ñ 界面上无面电流时
l H dl nˆ H1 H2 sˆl
nˆ H1 H2 0 3.44
所以
3.41
H1 sin1 H2 sin2
由图3.17中可以看出，上式可以写为
nˆ B1 B2 0JmS
3.49
由H B M
0
，真空中 B1 0 H1 ，介质中 B2 0 H2 0 M
nˆ 0 H1 nˆ (0 H2 0 M ) 0JmS
nˆ 0 H1 nˆ (0 H2 0 M ) 0JmS
由于介质2表面没有传导电流，由（3.44）式 nˆ H1 H2 0
H1t H2t 3.45
所以在两种磁介质的分界面上，H的切向分量是连续的。
2． B法向分量的边界条件
在两种磁介质的分界面上作一个极扁的跨过分界面两侧的小
扁状闭合柱面（高h为无穷小），圆柱形高斯面，设底面和顶面 的面积均等于ΔS,由恒定磁场的高斯定理（或应用磁通连续方程）: 仿照2.2.1节中D的法向分量边界条件的推导方法可以导出
sˆ 由图3.17中可以看出 l1 sˆ nˆl , 是回路包围的曲
面ΔS的单位法线矢量，所以上式可以写为
Ñl H dl H1 H2 (sˆ nˆ)l nˆ H1 H2 sˆl 3.41
Ñl H dl I0i 3.40
（3.40）式的右边i 可以写为
I0i
i
JS sˆl
把（3.50）式代入可得 A ( A) 2 A J
利用（3.51）式可得 2 A J 3.52 磁矢位的泊松方程
库仑规范 A 0 3.51
对无源区(J=0)，磁矢位满足矢量拉普
拉斯方程，即 2 A 0
所以矢量磁位A满足矢量的泊松方程，求解时一般先写出
利用安培环路定理
Ñl H dl I0i 3.40 i
上式的左边可以写为
Ñ H dl l
AB H1 dl
H dl
BDC
CD H2 dl
H dl
DCA
由于矩形回路极窄， BDC=DCA＝h 0 ，
上式中第二项和第四项积分为零，所以
Ñl H dl H1 l1 H2 l2 H1 H2 l1