2009 上海理工大学专升本入学考试《高等数学》试题

2009上海理工大学专升本入学考试《高等数学》试题

考生类别（文、理）

一、选择题（每题3分，共15分）1.=⎪⎭

⎫ ⎝⎛-++∞→x

x x x 121lim ____C_____。A.0 B.∞+ C.不存在 D.21

e 2.两个无穷大的和一定是___D____。

A.无穷大量

B.常数

C.没有极限

D.上述都不对3.在抛物线2x y =上过____D_______点的切线与抛物线上横坐标为11=x 和32=x 的两

点连线平行。

A.)1,1(

B.)9,3(

C.)0,0(

D.)

4,2(4.在下列函数中，在]1,1[-上满足罗尔定理条件的是____C______。

A.x e

B.||ln x

C.21x -

D.2

11

x -5.0=x 是x x x f 1sin

)(=的_____A ____。A.可去间断点 B.跳跃间断点

C.无穷间断点

D.震荡间断点二、填空题（每空3分，共15分）

1.=-⎰2

0|1|dx x ___1____2.)(x f 在],[b a 上连续是)(x f 在],[b a 上可积的____充分_____条件。

3.方程x y y x y x y x sin 24

32=''+'+'''是_____三_____阶微分方程。4.平行于向量}6,7,6{=m 的单位向量是_⎭⎬⎫⎩⎨⎧116,117,116和⎭

⎬⎫⎩⎨⎧---116,117,116________。

5.若直线b x y +=是抛物线2x y =在某点处的法线，则=b _____4

3______。三、计算题（每题6分，共36分）1.x

dt

t x x cos 1)1ln(lim 200-+⎰→原式=422lim sin )21ln(2lim 00=⋅=+→→x x x x x x 2.设2ln 93

arcsin 2+-+=x x x y ，求dy dx

x x x x x dy ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎡--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=22931133arcsin 3.设)sin ,(22y e y x xf u x +=，且),(v u f 有二阶连续偏导数，求y u 和xy u []

)cos (221y e f y f x y u x +⋅=∂∂++=∂∂∂=∂∂∂2122cos 2yf e yf x

y u y x u x [])sin 2(cos cos sin 222222121211y e f x f y e yf e y e yf x yf x x x x x ⋅+⋅++⋅+⋅化简略。

4.设y x e y x -=+2)(，求

dx dy 设y x e

y x y x F --+=2)(),(y

x y

x y x e y x e y x F F dx dy --++-+-=-=)(2)(25.⎰+xdx

x x ln 1原式=()C x x x x x xd dx x x xdx x ++-=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰⎰2ln 2

1ln ln ln ln ln 11

6.求微分方程x

e y y y 265=+'-''的通解。解：3

,20652==+-r r r ∴齐通解：x

x e c e c y 3221+=非齐一个特解：x

ae y =*代入原方程1=a ，∴通解x

x x e e c e c y ++=3221四、（8分）：求过点)2,1,3(-P 且通过直线12354:z y x L =+=-的平面方程。思路：在直线找一点)0,3,4(1-P ，作S PP ⨯1得平面的法向量，由点法式方程即得。

五（8分）：求函数x x x y 123223--=在区间]4,2[-上最大值和最小值。

解：0

)1)(2(612662=+-=--='x x x x y 2

,1=-=∴x x 由)4(),2(),2(),1(f f f f --比较，得2

20)(min 432)(max =⇒-==⇒=x x f x x f 六（8分）：设)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且0)1()0(==f f ，记{}]1,0[,)(max ∈=x x f M 。证明：至少存在一点),1,0(∈ξ使得M f 2)(≥'ξ。证明：设0)(),1,0(00>=∈M x f x （若0=M ，则0)(≡x f 显证）

在)(],0[0x f x 满足Lagrange 定理条件

000101)()0()()(),0(x x f x f x f f x =-='∈∃ξξ在]1,[0x 上同样)

1,(02x ∈∃ξ000021)(1)()1()(x x f x x f f f --=--='ξ)()(100ξf x x f M '==∴)

()1()(200ξf x x f M '-==∴)

()1()(22010ξξf x f x M '-+'=∴

讨论：①当)

()(21ξξf f '≥'则)()()1()()()1()(2110102010ξξξξξf f x f x f x f x M '='-+'≤'-+'=②当)

()(21ξξf f '≤'则)()()1()()()1()(2220202010ξξξξξf f x f x f x f x M '='-+'≤'-+'=证毕。

七（每题5分，共10分，文科类考生必做）：

1.设)(2

2y x f z +=，其中)(u f 二阶连续可导，求y x z ∂∂∂2。f xy y f x y x z x f x

z ''=⋅''=∂∂∂⋅'=∂∂4)2(2222.⎰-2

1||dx

xe x 原式=212212121211

1||2x x x x x x e e e dx e xe xde dx xe dx xe --=-==+⎰⎰⎰⎰-2

222e e e e e =+--=八（每题5分，共10分，理工类考生必做）：

1.计算⎰⎰x x dy y y dx sin 1

0原式⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=-=-==1010101021

0cos sin sin )1(sin )(sin 2y yd ydy ydy y dy y y y y dx dy y y y y 1sin 1sin 1cos 11cos cos cos cos 1

0101010-=-++-=-+-=⎰y ydy y y y 2.计算

⎰⎰++D dxdy y x 2211，其中D 由曲线0,0,122===+y x y x 在第一象限所围部

分。令⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x 原式2ln 4)1ln(41)1(2111021022202ππθθπ

=+=++=+=⎰⎰⎰⎰r r r d d r rdrd D (1,1)x y

x y

011