2021北京人大附中初三(上)10月月考数学(教师版)
2021北京人大附中初三(上)10月月考数学(教师版)
2021北京人大附中初三（上）10月月考数 学2021．10第一部分 选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题的选项只有一个．1．若关于x 的一元二次方程230x x a -+=的一个根为1，则a 的值为（ ）A ．2B ．3C ．-2D ．-1 2．二次函数2241y x x =+-的对称轴是直线（ ）A ．2x =-B ．1x =-C ．2x =D ．1x =3．下面的图形是用数学名字命名的，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）A ．科克曲线B ．笛卡尔心形线C ．赵爽弦图D ．斐波那契螺旋线4．用配方法解方程2610x x +-=，正确的是（ ）A ．()238x -=B ．()238x +=C ．()2310x -=D ．()2310x += 5．在ABC △中，5AB AC ==，8BC =，以A 为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（ ）A ．点B 在A 内 B ．点C 在A 上C ．直线BC 与A 相切D ．直线BC 与A 相离 6．抛物线()21y x t =-+与x 轴的两个交点之间的距离为4，则t 的值是（ ）A ．-1B ．-2C ．-3D ．-4 7．已知O 的半径为2，点P 为O 内一定点，且1PO =，过点P 作O 的弦，其中最短的弦的长度是（ ）A ．4BC ．D ．28．如图，已知ABC △与DEF △全等，点A ，B ，C 的对应点分别为D ，E ，F ，点E 在AC 边上，B ，F ，C ，D 四点在同一条直线上．若40A ∠=︒，35CED ∠=︒，则下列说法中正确的是（ ）A ．EF EC =，AE FC =B ．EF EC =，AE FC ≠ C ．EF EC ≠．AE FC =D ．EF EC ≠，AE FC ≠第二部分 非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9．将抛物线2y x =向上平移1个单位，所得抛物线的表达式为______．10．点()3,1-关于原点的对点的坐标为______．11．若关于x 的一元二次方程210ax bx +-=有两个相等的实数根，请写出一组符合题意的a ，b 的值=a ______，=b ______．12．如图，AB 是O 的直径，C ，D 是O 上的两点．若65CAB ∠=︒，则ADC ∠的度数为______．13．风力发电机可以在风力作用下发电，如图的转子叶片图绕中心旋转n 后能与原来的图案里合，那么n 的最小值是______．14．若二次函数22y ax ax c =-+与x 轴的一个交点坐标为()3,0，则关于x 的方程220x ax c α-+=的实数根是______．15．如，AB 是O 的直径，弦//MN AB ，分别过M ，N 作AB 的垂线，垂足为C ，D ．以下结论①AC BD =②AM BN =③回若四边形MCDN 是正方形，则12MN AB =④若M 为AN 的中点，则D 为OB 中点所有正确结论的序号是______． 16．在测量时，为了确定被测对象的最佳近似值，经常要对同一对象测量若干次，得到测量结果分别为1x ，2x ，……，n x ，然后选取与各测量结果的差的平方和为最小的数作为最佳近似值．即如果设这组测量结果的最佳近似值为0t ，则0t 需要使得函数()()()22212n y x x x x x x =-+-+⋅⋅⋅+-达到最小值．科研小组利用这种方法来分析麦穗的长度．（1）如果在测量了3个麦穗长度之后，得到的数据（单位：cm ）是1 6.2x =，2 6.0x =，5 5.8x =，则按上述方法，可以得到这组数据的最佳近似值为______．（2）科研小组在（1）的基础上又测量了6个麦穗长度。
2021-2022学年-有答案-北京市某校九年级(上)月考数学试卷(10月份)
2021-2022学年北京市某校九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（每题3分）1. 如图，将一张矩形的纸对折，旋转90∘后再对折，然后沿着右图中的虚线剪下，则剪下的纸片打开后的形状一定为（）A.三角形B.菱形C.矩形D.正方形2. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100∘，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为（）A.30∘B.40∘C.50∘D.60∘3. 抛物线y=(x+1)2+2可由y=x2如何平移得到（）A.先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度B.先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度C.先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度D.先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度4. 若关于x的方程(m+1)x|m|+1−2x＝3是关于x的一元二次方程，则m的取值为（）A.m＝1B.m＝−1C.m＝±1D.m≠−15. ⊙O是四边形ABCD的外接圆，AC平分∠BAD，则正确结论是（）A.AB＝ADB.BC＝CDC.＝D.∠BCA＝∠DCA6. 已知函数y=−x2+bx+c，其中b>0，c<0，此函数的图象可以是( )A. B.C. D.7. 小明和小亮组成团队参加某科学比赛．该比赛的规则是：每轮比赛一名选手参加，若第一轮比赛得分满60则另一名选手晋级第二轮，第二轮比赛得分最高的选手所在团队取得胜利．为了在比赛中取得更好的成绩，两人在赛前分别作了九次测试，如图为二人测试成绩折线统计图，下列说法合理的是（）①小亮测试成绩的平均数比小明的高②小亮测试成绩比小明的稳定③小亮测试成绩的中位数比小明的高④小亮参加第一轮比赛，小明参加第二轮比赛，比较合理．A.①③B.①④C.②③D.②④8. 两个少年在绿茵场上游戏．小红从点A出发沿线段AB运动到点B，小兰从点C出发，以相同的速度沿⊙O逆时针运动一周回到点C，两人的运动路线如图1所示，其中AC＝DB．两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点C的距离y与时间x（单位：秒）的对应关系如图2所示．则下列说法正确的是（）A.小红的运动路程比小兰的长B.两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇C.当小红运动到点D的时候，小兰已经经过了点DD.在4.84秒时，两人的距离正好等于⊙O的半径二、填空（18题4分，其余每题2分）方程x2−2x=0的根是________．已知菱形ABCD中，∠B＝60∘，AB＝2，则菱形ABCD的面积是________．请写出一个开口向下，并且过坐标原点的抛物线的表达式，y＝________．如图，在平面直角坐标系xOy中，△DEF可以看作是△ABC经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△ABC得到△DEF的过程：________．关于x的二次函数y＝ax2−2ax+a−1(a>0)的图象与x轴的公共点有________个．如图，AB是⊙O的弦，C是AB的中点，连接OC并延长交⊙O于点D．若CD＝1，AB ＝4，则⊙O的半径是________．阅读以下作图过程：第一步：在数轴上，点O表示数0，点A表示数1，点B表示数5，以AB为直径作半圆（如图）；第二步：以B点为圆心，1为半径作弧交半圆于点C（如图）；第三步：以A点为圆心，AC为半径作弧交数轴的正半轴于点M．请你在下面的数轴中完成第三步的画图（保留作图痕迹，不写画法），并写出点M表示的数为________．如图，抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，其中点B的坐标为B(4, 0)，抛物线的对称轴交x轴于点D，CE // AB，并与抛物线的对称轴交于点E．现有下列结论：①a>0；②b>0；③4a+2b+c<0；④AD+CE＝4．其中所有正确结论的序号是________．三、解答解下列一元二次方程：（1）3(1+x)2＝15；（2）3x2−4x−2＝0．已知一元二次方程x2−(2m−1)x+m2−m＝0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）若抛物线y＝x2−(2m−1)x+m2−m经过原点，求m的值．已知二次函数y＝x2−2x−3．（1）将y＝x2−2x−3化成y＝a(x−ℎ)2+k的形式为________；（2）此函数与x轴的交点坐标为________；（3）在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象；（不用列表）（4）直接写出当−2<x<3时，y的取值范围．如图，菱形ABCD中，AC与BD交于点O，DE // AC，DE＝AC．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）连接AE，交OD于点F，连接CF，若CF＝CE＝1，求AC长．如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC＝4，AC＝4．（1）求点O到AC的距离；（2）求∠ADC的度数．小明根据学习函数的经验，对函数y＝x4−5x2+4的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如下表：其中m＝________；（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（3）观察函数图象，写出一条该函数的性质________；（4）进一步探究函数图象发现：①方程x4−5x2+4＝0有4个互不相等的实数根；②有两个点(x1, y1)和(x2, y2)在此函数图象上，当x2>x1>2时，比较y1和y2的大小关系为：y1<y2（填“>”、“<”或“＝”）；③若关于x的方程x4−5x2+4＝a有4个互不相等的实数根，则a的取值范围是________．已知二次函数y＝ax2−4ax+3a．（1）该二次函数图象的对称轴是直线x＝________；（2）若该二次函数的图象开口向下，当1≤x≤4时，y的最大值是2，求抛物线的解析式；（3）若对于该抛物线上的两点P(x1, y1)，Q(x2, y2)，当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足y1≥y2，请结合图象，直接写出t的取值范围．在等腰△ABC中，AB＝AC，将线段BA绕点B顺时针旋转到BD，使BD⊥AC于H，连结AD并延长交BC的延长线于点P．（1）依题意补全图形；（2）若∠BAC＝2α，求∠BDA的大小（用含α的式子表示）；（3）小明作了点D关于直线BC的对称点点E，从而用等式表示线段DP与BC之间的数量关系．请你用小明的思路补全图形并证明线段DP与BC之间的数量关系．对于平面直角坐标系xOy中的点P，给出如下定义：记点P到x轴的距离为d1，到y轴的距离为d2，若d1≥d2，则称d1为点P的最大距离；若d1<d2，则称d2为点P的最大距离．例如：点P(−3, 4)到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，因为3<4，所以点P的最大距离为4．（1）①点A(2, −5)的最大距离为________；②若点B(a, 2)的最大距离为5，则a的值为________；（2）若点C在直线y＝−x−2上，且点C的最大距离为5，求点C的坐标；（3）若⊙O上存在点M，使点M的最大距离为5，直接写出⊙O的半径r的取值范围．参考答案与试题解析2021-2022学年北京市某校九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（每题3分）1.【答案】B【考点】剪纸问题【解析】对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．根据对角线互相垂直平分的四边形的菱形即可判断．【解答】将一张矩形的纸对折，旋转90∘后再对折，那么剪下的纸片打开后的形状，是对角线互相垂直平分的四边形，故是菱形．2.【答案】B【考点】旋转的性质【解析】根据旋转的性质可得出AB＝AD、∠BAD＝100∘，再根据等腰三角形的性质可求出∠B 的度数，此题得解．【解答】根据旋转的性质，可得：AB＝AD，∠BAD＝100∘，×(180∘−100∘)＝40∘．∴∠B＝∠ADB=123.【答案】D【考点】二次函数图象与几何变换【解析】找出两抛物线的顶点坐标，由a值不变即可找出结论．【解答】解：∵抛物线y=(x+1)2+2的顶点坐标为(−1, 2)，抛物线y=x2的顶点坐标为(0, 0)，∴将抛物线y=x2先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度即可得出抛物线y=(x+1)2+2．故选D.4.【答案】A【考点】一元二次方程的定义绝对值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】B【考点】圆心角、弧、弦的关系角平分线的性质圆周角定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】D【考点】二次函数图象与几何变换二次函数图象与系数的关系【解析】根据已知条件“a<0、b>0、c<0”判断出该函数图象的开口方向、与x和y轴的交点、对称轴所在的位置，然后据此来判断它的图象．【解答】解：∵a=−1<0，b>0，>0.∴该函数图象的开口向下，对称轴是x=−b2a∵ c<0，∴ 图象与y轴的交点在y轴的负半轴上.故选D.7.【答案】D【考点】折线统计图算术平均数中位数方差【解析】结合折线统计图，利用数据逐一分析解答即可．【解答】①由折线统计图知小明的成绩有5次高于小亮的成绩，有1次和小亮相等，故小明的测试成绩的平均数比小亮的高，故①错误；②由折线统计图知小亮测试成绩波动小，故小亮测试成绩比小明的稳定，故②正确；③∵小亮测试成绩的中位数大约是69，小明测试成绩的中位数大约是90，故③错误；④∵小亮测试成绩比小明的稳定，小明的测试成绩比小亮高，∴小亮参加第一轮比赛，小明参加第二轮比赛，比较合理．故④正确；8.【答案】D【考点】动点问题【解析】利用图象信息一一判断即可解决问题．【解答】A、小红的运动路程比小兰的短，故本选项不符合题意；B、两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻与点C距离相等，故本选项不符合题意；C、当小红运动到点D的时候，小兰还没有经过了点D，故本选项不符合题意；=4.84，D、当小红运动到点O的时候，两人的距离正好等于⊙O的半径，此时t=9.682故本选项正确；二、填空（18题4分，其余每题2分）【答案】x1=0，x2=2【考点】解一元二次方程-因式分解法【解析】因为x2−2x可提取公因式，故用因式分解法解较简便．【解答】解：因式分解得x(x−2)=0，解得x1=0，x2=2．故答案为：x1=0，x2=2.【答案】2√3【考点】菱形的性质【解析】过点A作AH⊥BC于H，在直角三角形ABH中求出AH的长，再根据菱形的面积公式计算即可．【解答】如图，过点A作AH⊥BC于H，∵AB＝2，∠B＝60∘，=√3，∴AH＝AB⋅sinB＝2×√32∴菱形ABCD的面积＝BC⋅AH＝2×√3=2√3．【答案】−x2+2x（答案不唯一）【考点】二次函数的性质二次函数的图象二次函数图象与几何变换【解析】直接利用二次函数的性质分析其a，c的值进而得出答案．【解答】∵开口向下，∴a<0，∵抛物线过坐标原点，∴c＝0，∴答案不唯一，如y＝−x2+2x．【答案】△ABC绕C点逆时针旋转90∘，并向左平移2个单位得到△DEF【考点】坐标与图形变化-平移几何变换的类型坐标与图形变化-旋转【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】2【考点】抛物线与x轴的交点【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】52【考点】垂径定理【解析】连接OA，根据垂径定理求出AC的长，由勾股定理可得出OA的长．【解答】连接OA，∵C是AB的中点，AB＝2，OC⊥AB，∴AC=12∴OA2＝OC2+AC2，即OA2＝(OA−1)2+22，，解得，OA=52【答案】√15+1【考点】在数轴上表示实数作图—复杂作图【解析】按照要求作图即可得点M，连接AC、BC，由题意知AB=4、BC=1、∠ACB=90∘，从而可得AM=AC=√AB2−BC2=√15，继而可得答案．【解答】如图，点M即为所求，连接AC、BC，由题意知，AB=4、BC=1，∵AB为圆的直径，∴∠ACB=90∘，则AM=AC=√AB2−BC2=√42−12=√15，∴点M表示的数为√15+1，【答案】②④【考点】二次函数图象与系数的关系抛物线与x轴的交点【解析】根据图象的开口方向、与x和y轴的交点、对称轴所在的位置，判断即可．【解答】①该函数图象的开口向下，a<0，错误；>0，∴b>0，正确；②∵a<0，−b2a③把x＝2代入解析式可得4a+2b+c>0，错误；④∵AD＝DB，CE＝OD，∴AD+OD＝DB+OD＝OB＝4，可得：AD+CE＝4，正确．三、解答【答案】3(1+x)7＝15，两边都除以3得，(1+x)8＝5，∴1+x＝±，∴x1＝−1+，x2＝−1−；3x2−4x−2＝0，∵a＝3，b＝−4，△＝b2−4ac＝16+24＝40，∴x＝＝＝，∴x3＝，x6＝．【考点】解一元二次方程-公式法解一元二次方程-直接开平方法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】由题意有△＝[−(2m−1)]7−4(m2−m)＝7>0．∴不论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根；抛物线过原点，则m2−m＝4，解得m＝0或1．【考点】二次函数的性质抛物线与x轴的交点根的判别式二次函数图象上点的坐标特征【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】y＝(x−1)2−4(−1, 0)、(3, 0)根据（1）、（2）的数据描点连线大致画出函数的图象如下：从函数图象看，当−2<x<3时，当x＝−4时，y＝x2−2x−7＝1，函数的顶点坐标为(1, −2)，故y的取值范围为−4<y<1．【考点】二次函数的性质抛物线与x轴的交点二次函数的三种形式二次函数图象上点的坐标特征【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝，∴∠DOC＝90∘，∵DE // AC，DE＝，∴OC＝DE，∴四边形OCED为平行四边形，又∵∠DOC＝90∘，∴四边形OCED是矩形；由（1）得：四边形OCED是矩形，∴OD // CE，∠OCE＝90∘，∵O是AC中点，∴F为AE中点，∴CF＝AF＝EF，∵CF＝CE＝1，∴CF＝3，∴AE＝2，∴AC＝＝＝．【考点】菱形的性质矩形的判定与性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】作OM⊥AC于M，∵AC＝4，∴AM＝CM＝4，∵OC＝4，∴OM＝＝2；连接OA，∵OM＝MC，∠OMC＝90∘，∴∠MOC＝∠MCO＝45∘，∵OA＝OC，∴∠OAM＝45∘，∴∠AOC＝90∘，∴∠B＝45∘，∵∠D+∠B＝180∘，∴∠D＝135∘．【考点】圆心角、弧、弦的关系垂径定理圆周角定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】用平滑的曲线依次连接图中所描的点，如下图所示：函数图象关于y轴对称−2.2<a<4【考点】二次函数的性质二次函数的图象二次函数图象上点的坐标特征【解析】（1）观察对应数值表即可得出；（2）用平滑的曲线依次连接图中所描的点即可；（3）观察函数图象，即可求得．【解答】观察对应数值表可知：m＝0，用平滑的曲线依次连接图中所描的点，如下图所示：观察函数图象，发现该函数图象关于y轴对称，（答案不唯一），故答案为：函数图象关于y轴对称；①∵函数的图象与x轴有4个交点，∴方程x4−5x2+4＝0有4互不相等的实数根，故答案为4；②函数图象可知，当x2>x1>2时，y1<y2；故答案为<；③观察函数图象，结合对应数值表可知：−2.2<a<4，故答案为：−2.2<a<4．【答案】2∵该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线x＝2，∴当x＝3时，y取到在1≤x≤4上的最大值为7．∴4a−8a+5a＝2．解得a＝−2，∴二次函数为y＝−2x2+8x−5，∵当t≤x1≤t+1，x4≥5时，均满足y1≥y3，∴当抛物线开口向下，点P在点Q左边或重合时，∴t≥−1，t+1≤8，∴−1≤t≤4．【考点】待定系数法求二次函数解析式二次函数的性质二次函数的图象二次函数的最值二次函数图象上点的坐标特征【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】如图：∵∠BAC＝2α，∠AHB＝90∘，∴∠ABH＝90∘−2α，∵BA＝BD，∴∠BDA＝45∘+α；补全图形，如图：证明过程如下：∵D关于BC的对称点为E，且DE交BP于G，∴DE⊥BP，DG＝GE，∠DBP＝∠EBP，BD＝BE，∵AB＝AC，∠BAC＝2α，∴∠ABC＝90∘−α，由（2）知∠ABH＝90∘−2α，∠DBP＝90∘−α−(90∘−2α)＝α，∴∠DBP＝∠EBP＝α，∴∠BDE＝2α，∵AB＝BD，∴△ABC≅△BDE，∴BC＝DE，∴∠DPB＝∠ADB−∠DBP＝45∘+α−α＝45∘，∴DGDP =1√2，∴DEDP=√2，∴BCDP=√2，∴BC=√2DP．【考点】作图-轴对称变换作图-相似变换全等三角形的性质与判定作图-旋转变换作图-位似变换【解析】（1）依据将线段BA绕点B顺时针旋转到BD，使BD⊥AC于H，连结AD并延长交BC的延长线于点P，进行作图；（2）依据∠BAC＝2α，∠AHB＝90∘，可得∠ABH＝90∘−2α，依据BA＝BD，即可得到∠BDA＝45∘+α；（3）依据D关于BC的对称点为E，且DE交BP于G，可得DE⊥BP，DG＝GE，∠DBP ＝∠EBP，BD＝BE，再判定△ABC≅△BDE，可得BC＝DE，进而得到∠DPB＝∠ADB−∠DBP＝45∘+α−α＝45∘，据此可得BC=√2DP．【解答】如图：∵∠BAC＝2α，∠AHB＝90∘，∴∠ABH＝90∘−2α，∵BA＝BD，∴∠BDA＝45∘+α；补全图形，如图：证明过程如下：∵D关于BC的对称点为E，且DE交BP于G，∴DE⊥BP，DG＝GE，∠DBP＝∠EBP，BD＝BE，∵AB＝AC，∠BAC＝2α，∴∠ABC＝90∘−α，由（2）知∠ABH＝90∘−2α，∠DBP＝90∘−α−(90∘−2α)＝α，∴∠DBP＝∠EBP＝α，∴∠BDE＝2α，∵AB＝BD，∴△ABC≅△BDE，∴BC＝DE，∴∠DPB＝∠ADB−∠DBP＝45∘+α−α＝45∘，∴DGDP =1√2，∴DEDP=√2，∴BCDP=√2，∴BC=√2DP．【答案】5,±5设点C的坐标(x, y)，∵点C的“最大距离”为2，∴x＝±5或y＝±5，当x＝7时，y＝−7，当x＝−5时，y＝8，当y＝5时，x＝−7，当y＝−4时，x＝3，∴点C(−5, 7)或(3．如图，观察图象可知：当⊙O于直线x＝5，直线y＝2，⊙O上存在点M，∴．【考点】一次函数的综合题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答试卷第21页，总21页。
北京市中国人民大学附属中学2020-2021学年九年级上学期10月月考数学试卷(含详解)
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】根据切线的性质定理得∠OAB=90°，进而可求得∠AOB=50°，再根据圆周角定理即可求得∠ACD的度数．
【详解】解：∵ 为 的切线，切点为 ，
∴∠OAB=90°，
∵∠ABO=40°，
①求Q点 纵坐标（用含a的式子表示）；
②若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
23.如图， 是等腰直角三角形， 是直角三角形， ，点 为边 中点将 绕点 顺时针旋转，旋转角记为 ，点 为边 的中点．
如图，求初始状态时 的大小；
如图，在旋转过程中，若点 构成平行四边形，请直接写出此时 的值；
【详解】A.点 在函数 的图象上，故存在“同号点”；
B.点 在函数 的图象上，故存在“同号点”；
C.对于函数 ，∵xy=-2<0，∴x，y异号，故不存在“同号点”；
D.点 在函数 的图象上，故存在“同号点”；
故选C．
【点睛】本题考查了新定义问题，以及函数图像上点的坐标特征，正确理解“同号点”的定义是解答本题的关键．
∴∠AOB=90°﹣∠ABO=90°﹣40°=50°，
∴∠ACD= ∠AOB=25°，
故选：B．
【点睛】本题考查了切线的性质定理、直角三角形的两锐角互余、圆周角定理，熟练掌握切线性质和圆周角定理是解答的关键．
5.已知点 在反比例函数的 的图像上，当 时， 的取值范围是（）
A. B. 或
C. D. 或
B选项中的三边长分别为： ，3， ，
三边不成比例，
∴这两个三角形不相似，B不符合题意；
C选项中的三边长分别为： ，1，2 ，
北京市中国人民大学附属中学2021-2022学年九年级上学期10月月考数学试题
故答案为：120．
本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
14.若二次函数 与 轴的一个交点坐标为 ，则关于 的方程 的实数根是______．
x1＝-1，x2＝3．
15.如图所示，在⊙O中，C、D分别是OA、OB的中点，MC⊥AB、ND⊥AB，M、N在⊙O上．下列结论：
① ，
② ，
③四边形MCDN是正方形，
④MN＝ AB，
所有正确结论的序号是______．
①②④
连接OM、ON，如图，利用OC＝OD＝ OM＝ ON，则∠OMC＝∠OND＝30°，则利用∠COM＝∠DON＝∠MON＝60°可判断 ；通过证明MN＝OM和四边形CDNM为矩形可对①③④矩形判断．
则x1＝1－ ，x2＝1＋ ，
∴|x1－x2|＝4，
∴(1＋ )－(1－ )＝4，
∴t＝－4．故选D．
点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数与一元二次方程的关系，利用求根公式列出关于t的方程是解题的关键．
7.已知 的半径为2，点 为 内一定点，且 ，过点 作 的弦，其中最短的弦的长度是（ ）
A.4B. C. D.2
C
过点P作AB⊥OP，交 于A、B两点，连结OA，OB，由等腰三角形性质可得AP=PB，在Rt△AOP中，AP= 即可．
解：根据勾股定理，在半径一定的情况下，弦越长，弦心距越短；弦越短，弦心距越长
故过点P、B两点，连结OA，OB，
∵ 的半径为2，
∴OA=OB=2，
第二部分 非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9.将抛物线 向上平移1个单位，所得抛物线的表达式为______．
北京市北京师范大学附属中学2021-2022学年九年级上学期10月月考数学试卷(讲解版)
【答案】B
【分析】根据二次函数解析式求得顶点坐标为 ，即可求解．
【详解】解：根据二次函数解析式，可得顶点坐标为
由二次函数的性质可得对称轴为
故选B
【点睛】此题考查了二次函数图像的性质，熟练掌握二次函数的有关性质是解题的关键．
5.实数 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
14.二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②3a+c＜0；③b2﹣4ac＞0；④16a+4b+c＞0．其中正确结论的个数是：___．
【答案】3
【分析】根据二次函数图像的性质（开口方向、对称轴、与坐标轴交点以及特殊点的值），确定对应代数值的符号即可．
【详解】解：图像开口方向向上，所以 ，
15.如图，在正方形网格中，将格点△ABC绕某点顺时针旋转α（0＜α＜180°）得到格点△A1B1C1，点A与A1，点B与B1，点C与C1是对应点．
（1）请通过画图找出旋转中心M．
（2）直接写出旋转角α的度数为____．
【答案】（1）见解析；（2）90°
【分析】（1）连接CC1、AA1，再分别作两线段的中垂线，两中垂线的交点即为所求；
对称轴为 ，
图像与 轴交点在 轴下方，∴
∴ ，①错误；
由图像可得，当 时， ，即 ，∴ ，②正确；
图像与 轴有两个交点，∴ ，③正确；
由图像可知，当 时， ，又因为 关于 对称的点为
∴当 时， ，即 ，④正确
所以正确的个数为3
故答案 3
【点睛】此题考查了二次函数的图像与系数的关系，解题的关键是根据函数图像确定出对应代数值的符号．
2022-2023学年北京市海淀人民大学附属中学九年级上学期10月月考数学试卷和答案
2022-2023学年度第一学期初三年级数学练习2考生须知：1．本试卷共7页，共两部分，28道题．满分100分．考试时间100分钟．2．在试卷和答题卡上准确填写姓名、班级和学号．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束，将答题卡和草稿纸一并交回．第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.若关于x 的一元二次方程220x x t +-=的一个根为1，则t 的值为（）A.2B.3C.-2D.-12.下列交通标志中，是中心对称图形的是（）A.禁止驶入B.靠左侧道路行驶C.向左和向右转弯D.环岛行驶3.用配方法解方程2640x x +-=，正确的是（）A.()237x -= B.()237x += C.()2313x -= D.()2313x +=4.将二次函数图象22y x =向下平移1个单位长度，所得二次函数的解析式是（）A.221y x =+ B.221y x =- C.22(1)y x =- D.22(1)y x =+5.如图，AB 为O ⊙的直径，点C ，D 在O ⊙上，若130ADC ∠=︒，则BAC ∠的度数为（）A.25°B.30°C.40°D.50°6.在公园的O 处附近有A ，B ，C 三棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均为1米）．现计划修建一座以O 为圆心，r 为半径的圆形水池．下列r 的值（单位：米）可以保证不砍伐A ，B ，C 三棵树的是（）A.B.3C.D.1．87.如图，在ABC 中，AB AC =，若M 是BC 边上任意一点，将ABM 绕点A 逆时针旋转得到ACN △，点M 的对应点为点N ，连接MN ，则下列结论不一定成立的是（）A.AM AN =B.AMN ANM ∠=∠C.CA 平分BCN∠ D.MN AC⊥8.点()11,A x y ，()22,B x y 在二次函数2y x =的图象上，12x x ≠，下列推断正确的是（）①对任意的12x x <．都有12y y <；②对任意的120x x +=，都有12y y =③存在1x ，2x ，满足120x x +=，且120y y +=．④对于任意的小于1的正实数t ，存在1x ，2x ，满足121x x -=，且12y y t -=A.①③B.②③C.②④D.②③④第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9.点()2,3-关于原点的对称点的坐标为________．10.若关于x 的一元二次方程20x x m ++=有两个相等的实数根，则m =_______．11.请写出一个开口向下，对称轴为y 轴的抛物线的解析式y =__________．12.如图，等边ABC △的三个顶点均在O ⊙上，连接OA ，OB ，OC ，则AOC ∠的度数为_______．13.若二次函数22y ax ax c =++的图象如图所示，则关于x 的方程220ax ax c ++=的实数根是________．14.斛是中国古代的一种量器．据《汉书，律历志》记载：“斛底，方而圜（huán ）其外，旁有庣（tiāo ）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形的四个顶点都在一个圆上，此圆外有一个同心圆”．如图所示，问题：现有一斛，其底面的外圆直径为五尺（即5尺），“庣旁”为五寸（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.5尺），则此斛底面的正方形的边长为_____________尺．15.点()12,A m y -，()2,B m y 在二次函数()21y x n =-+的图象上．若12y y >，则m 的取值范围为______．16.如图，射线OM 、ON 互相垂直，8OA =，点B 位于射线OM 的上方，且在线段OA 的垂直平分线l 上，连接AB ，5AB =．将线段AB 绕点O 按逆时针方向旋转得到对应线段A B ''，若点B '恰好落在射线ON 上，则点A '到射线ON 的距离d ≈______．三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21-22，每题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.解方程：2890x x --=．18.已知m 是方程22470x x --=的一个根，求代数式()()()2324m m m -+-+的值．19.如图，在正方形ABCD 中，射线AE 与边CD 交于点E ，将射线AE 绕点A 顺时针旋转，与CB 的延长线交于点F ，BF =DE ，连接FE．（1）求证：AF =AE ；（2）若正方形ABCD 的边长为2，直接写出四边形AFCE 的面积．20.下面是证明圆周角定理时需证的三种情况，请自选一种情况完成证明．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．已知：O 中，AOB ∠，C ∠分别是AB 所对的圆心角和圆周角．求证：12∠=∠C AOB ．情况一：当圆心O 在C ∠的一边上时，如图1．情况二：当圆心O 在C ∠内部时，如图2．情况三：当圆心O 在C ∠外部时，如图3．21.已知关于x 的一元二次方程()25620x k x k -+++=．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程的两根的差为2，求k 的值．22.如图，在ABC 中，AB AC =，AD 为BC 边上的中线，点E 为AD 的中点，作点B 关于点E 的对称点F ，连接AF，CF ．（1）求证：四边形ADCF 为矩形；（2）若AD BC =，AB =BF 的长．23.在平面直角坐标系xOy 中，二次函数223y x x =-++的图象与y 轴交于点C ，过点C 作x 轴的平行线，与抛物线交于另一点D ．（1）求点C 和点D 的坐标；（2）当2x >时，对于x 的每一个值，函数()0y mx m =≠的值大于二次函数223y x x =-++的值，直接写出m 的取值范围．24.如图，AB 为O ⊙的直径，E 为OB 的中点，弦CD AB ⊥于点E ，连接CO 并延长交O ⊙于点F ，连接BC ．是等边三角形；（1）求证：BOC（2）若O⊙的半径为2，求CD的长．25.某公园在垂直于湖面的立柱上安装了一个多孔喷头，喷头高出湖面3米，从喷头每个孔喷出的水柱形状都相同，可以看作是抛物线的一部分，当喷头向四周同时喷水时，形成一个环状喷泉．安装后，通过测量其中一条水柱，获得如下数据，在距立柱水平距离为d米的地点，水柱距离湖面的高度为h米．d（米）0.501.00 1.50 2.00 2.50h（米） 3.75 4.00 3.75 3.00 1.75请解决以下问题：（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；（2）结合表中所给数据或所画图象，直接写出这条水柱最高点距离湖面的高度；（3）求所画图象对应的函数表达式；（4）从安全的角度考虑，需要在这组喷泉外围设立一圈正方形护栏，这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米，请直接写出公园至少需要准备多少米的护栏（不考虑接头等其他因素）．26.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线224y x ax =-+，点()2,2A ．（1）若此抛物线经过点A 时，求a 的值；（2）求此抛物线顶点坐标（用含a 的代数式表示）；（3）已知(),2B a a -，若抛物线与线段AB 恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出a 的取值范围．27.点E 为正方形ABCD 的边AB 延长线上一点．（1）如图1，当2AB BE ==时，连接CE ，DE ，则BEC ∠=____________°，DE=_____________．（2）如图2，将射线AE 绕着点A 逆时针旋转()0°<<40°αα得到射线AF ，作DH AF ⊥于点H ，在射线AF 取点M 使得2AM DH =，连接CM ．①依题意补全图形；②猜想AMC ∠的度数，并证明．28.在平面直角坐标系xOy 中，已知O 的半径为2，对于点P ，直线l 和O ，给出如下定义：若点P 关于直线l 对称的点在O 上或O 的内部，则称点P 为O 关于l 的反射点．（1）已知直线l 为3x =，①在点()14,0P ，()24,1P ，()35,1P 中，是O 关于l 的反射点有_______________________；②若点P 为x 轴上的动点，且点P 为⊙O 关于l 的反射点，则点P 的横坐标的最大值为________________．（2）已知直线l 的解析式为()20y kx k =+≠，①当1k =-时，若点P 为直线72x =上的动点，且点P 为O 关于l 的反射点，则点P 的纵坐标t 的取值范围是___________________；②点()2,2B ，)C ，若线段BC 的任意一点都为O 关于l 的反射点，则k 的取值范围是_____________．2022-2023学年度第一学期初三年级数学练习2考生须知：1．本试卷共7页，共两部分，28道题．满分100分．考试时间100分钟．2．在试卷和答题卡上准确填写姓名、班级和学号．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束，将答题卡和草稿纸一并交回．第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.若关于x 的一元二次方程220x x t +-=的一个根为1，则t 的值为（）A.2B.3C.-2D.-1【答案】B 【解析】【分析】根据方程的解的定义，把x =1代入方程，即可得到关于t 的方程，再求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程220x x t +-=的一个根为1，∴21210t +⨯-=解得：t =3．故选B ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，正确理解一元二次方程的解是使得一元二次方程左右两边成立的未知数的值是解题的关键．2.下列交通标志中，是中心对称图形的是（）A.禁止驶入B.靠左侧道路行驶C.向左和向右转弯D.环岛行驶【答案】A 【解析】【分析】根据中心对称图形围绕旋转中心旋转180°后，与原来一样的特点判断．【详解】A 项正确；B 、C 、D 项旋转180°后，与原图位置不同，所以错误；故选：A ．【点睛】本题主要考查中心对称图形的概念，准确理解概念是解决问题的关键．3.用配方法解方程2640x x +-=，正确的是（）A.()237x -= B.()237x += C.()2313x -= D.()2313x +=【答案】D 【解析】【分析】等式两边同时加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式进行整理即可．【详解】解：移项，得264x x +=．两边同时加9，得26913x x ++=．∴()2313x +=．故选：D ．【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．4.将二次函数图象22y x =向下平移1个单位长度，所得二次函数的解析式是（）A.221y x =+B.221y x =-C.22(1)y x =- D.22(1)y x =+【答案】B 【解析】【分析】根据函数图象的平移规律“上加下减”解答即可．【详解】解：将抛物线y ＝2x 2向下平移1个单位后所得到的新抛物线的表达式为y ＝2x 2﹣1，故选B ．【点睛】本题考查的是二次函数图象的平移，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．5.如图，AB 为O ⊙的直径，点C ，D 在O ⊙上，若130ADC ∠=︒，则BAC ∠的度数为（）A.25°B.30°C.40°D.50°【答案】C 【解析】【分析】根据圆内接四边形对角互补求得B ∠，根据直径所对的圆周角是直角可得90ACB ∠=︒，根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．【详解】解：∵AB 为O ⊙的直径，∴90ACB ∠=︒，∵四边形ABCD 是圆内接四边形，130ADC ∠=︒，∴50B ∠=︒，∴905040BAC ∠=︒-︒=︒．故选：C ．【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，直径所对的圆周角是直角，直角三角形两个锐角互余，掌握以上知识是解题的关键．6.在公园的O 处附近有A ，B ，C 三棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均为1米）．现计划修建一座以O 为圆心，r 为半径的圆形水池．下列r 的值（单位：米）可以保证不砍伐A ，B ，C 三棵树的是（）A.B.3C.D.1．8【答案】D 【解析】【分析】根据根据勾股定理分别求出OA ，OC ，OB ，并将最小数值与各选项比较即可得出答案．【详解】解∶由题意可知，OA =2，OB =OC =∴OB >OC >OA ，2，32＞2，1.82＜，∴当半径r =1.8时，可以保证不砍伐A ，B ，C 三棵树，故选∶D ．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，网格中计算两点间的距离，比较线段长短的方法，熟练运用勾股定理计算是解本题的关键．7.如图，在ABC 中，AB AC =，若M 是BC 边上任意一点，将ABM 绕点A 逆时针旋转得到ACN △，点M 的对应点为点N ，连接MN ，则下列结论不一定成立的是（）A.AM AN =B.AMN ANM ∠=∠C.CA 平分BCN ∠D.MN AC⊥【答案】D 【解析】【分析】根据旋转的性质，对每个选项逐一判断即可．【详解】解：∵将△ABM 绕点A 逆时针旋转得到△ACN ，∴AB =AC ，∠ACN =∠B ，AM =AN ，故选项A 不符合题意；∴AMN ANM Ð=Ð，故选项B 不符合题意；∵AB AC =，∴∠B =∠ACB ，∵∠ACN =∠B ，∴∠ACN =∠ACB ，∴CA 平分BCN Ð，故选项C 不符合题意；∵CN 与CM 不一定相等，∴MN AC ^不一成立，故故选项D 符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质以及角平分线的定义，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．8.点()11,A x y ，()22,B x y 在二次函数2y x =的图象上，12x x ≠，下列推断正确的是（）①对任意的12x x <．都有12y y <；②对任意的120x x +=，都有12y y =③存在1x ，2x ，满足120x x +=，且120y y +=．④对于任意的小于1的正实数t ，存在1x ，2x ，满足121x x -=，且12y y t -=A.①③ B.②③C.②④D.②③④【答案】C 【解析】【分析】根据题意可得当在y 轴右侧时，y 随x 的增大而增大，当在y 轴左侧时，y 随x 的增大而减小，可得到①错误；由120x x +=，可得点()11,A x y ，()22,B x y 关于y 轴对称，从而得到②正确；③错误；再由121x x -=，可得12y y -=()11,A x y ，()22,B x y 在y 轴两侧时，此可设点()11,A x y 在y 轴左侧，则()22,B x y 在y轴右侧，可得1214<0x x -≤⋅，可得④正确，即可．【详解】解：∵二次函数2y x =的图象的对称轴为y 轴，开口向上，∴当在y 轴右侧时，y 随x 的增大而增大，当在y 轴左侧时，y 随x 的增大而减小，∴当120<<x x 时．都有12<y y ，故①错误；∵120x x +=，∴12x x =-，∴点()11,A x y ，()22,B x y 关于y 轴对称，∴12y y =，故②正确；∵120x x +=，∴12x x =-，∵12x x ≠，∴120x x =-≠，∴221212+=+>0y y x x ，故③错误；∵121x x -=，∴221212121212y y x x x x x x x x -=-=-×+=+=，当点()11,A x y ，()22,B x y 在y 轴两侧时，此可设点()11,A x y 在y 轴左侧，则()22,B x y 在y 轴右侧，∵121x x -=，∴121<<0,0<<1x x -，∴12<0x x ⋅，即1214<0x x -≤⋅，∴0≤，∴120<1y y ≤-，即对于任意的小于1的正实数t ，存在1x ，2x ，满足121x x -=，且12=y y t-，故④正确；故选：C【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9.点()2,3-关于原点的对称点的坐标为________．【答案】()2,3-【解析】【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接得到答案．【详解】点()2,3-关于原点对称的点的坐标是()2,3-故答案为：()2,3-【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P （x ，y ）关于原点O 的对称点是P ′（-x ，-y ）．10.若关于x 的一元二次方程20x x m ++=有两个相等的实数根，则m =_______．【答案】14【解析】【详解】∵关于x 的一元二次方程20x x m ++=有两个相等的实数根，∴方程根的判别式于0，∴由△=1﹣4m =0解得：m =14．故答案为：1411.请写出一个开口向下，对称轴为y 轴的抛物线的解析式y =__________．【答案】2y x =-（答案不唯一）【解析】【分析】对于二次函数2y ax bx c =++，开口向下，则0a <；对称轴为y 轴，则0b =，写出一个符合上述条件的二次函数即可．【详解】解：设抛物线的解析式为2y ax bx c =++．抛物线的开口向下，对称轴为y 轴，∴0a <，且0b =，∴符合条件的抛物线的解析式可以是2y x =-．故答案为2y x =-（答案不唯一）．【点睛】本题考查了二次函数各项系数的性质，熟练掌握二次函数2y ax bx c =++中a 、b 、c 的意义是解决此类题的关键．12.如图，等边ABC △的三个顶点均在O ⊙上，连接OA ，OB ，OC ，则AOC ∠的度数为_______．【答案】120°##120度【解析】【分析】根据圆周角定理，即可求解．【详解】解∶∵△ABC 为等边三角形，∴∠ABC =60°，∵∠AOC =2∠ABC ，∴∠AOC =120°．故答案为：120°【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．13.若二次函数22y ax ax c =++的图象如图所示，则关于x 的方程220ax ax c ++=的实数根是________．【答案】11x =，23x =-【解析】【分析】把二次函数22y ax ax c =++化为顶点式得()21y a x c a =++-，从而得抛物线的对称轴为直线=1x -，抛物线与x 轴的一个交点为(3,0)-，根据抛物线的对称性解题即可．【详解】解：∵把二次函数22y ax ax c =++化为顶点式得()21y a x c a =++-，∴抛物线的对称轴为直线=1x -，∵抛物线与x 轴的一个交点为(3,0)-，设抛物线与x 轴的另一个交点为(m ，0)∴−3+m =−1×2，∴m =1，∴关于x 的方程220ax ax c ++=的实数根是11x =，23x =-，故答案为：11x =，23x =-．【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程关系以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性，能根据对称轴和一个交点的坐标求得另一交点的坐标是解题的关键．14.斛是中国古代的一种量器．据《汉书，律历志》记载：“斛底，方而圜（huán ）其外，旁有庣（tiāo ）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形的四个顶点都在一个圆上，此圆外有一个同心圆”．如图所示，问题：现有一斛，其底面的外圆直径为五尺（即5尺），“庣旁”为五寸（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.5尺），则此斛底面的正方形的边长为_____________尺．【答案】【解析】【分析】根据正方形性质确定△CDE 为等腰直角三角形，CE 为直径，根据题意求出正方形外接圆的直径CE ，求出CD ，问题得解．【详解】解∶如图，∵四边形CDEF 为正方形，∴90D ∠=︒，CD =DE ，∴CE 为直径，∠ECD =45°，∵AB =5，两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.5尺，∴CE =5-0.5×2=4，∵90D ∠=︒，∠ECD =45°，∴cos ∠ECD =CDCE，∴cos 42CD ECD CE =∠=⨯= ，故答案为∶【点睛】本题考查了正方形外接圆的性质，等腰直角三角形性质，解题关键是判断出正方形对角线为其外接圆直径．15.点()12,A m y -，()2,B m y 在二次函数()21y x n =-+的图象上．若12y y >，则m 的取值范围为______．【答案】2m <【解析】【分析】根据12y y >列出关于m 的不等式即可解得答案．【详解】解：∵点()12,A m y -，()2,B m y 都在二次函数()21y x n =-+的图象上，∴221(21)(3)y m n m n =--+=-+，22(1)y m n =-+，∵12y y >，∴22(3)(1)m n m n -+>-+，∴69210m m -++->，即2m <，∴2m <，故答案为：2m <．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及解一元一次不等式，解题的关键是根据已知列出关于m 的不等式．16.如图，射线OM 、ON 互相垂直，8OA =，点B 位于射线OM 的上方，且在线段OA 的垂直平分线l 上，连接AB ，5AB =．将线段AB 绕点O 按逆时针方向旋转得到对应线段A B ''，若点B '恰好落在射线ON 上，则点A '到射线ON 的距离d ≈______．【答案】245【解析】【分析】添加辅助线，连接'OA OB 、，过'A 点作'A P ON ⊥交ON 与点P ．根据旋转的性质，得到''A B O ABO ≅ ，在'Rt A PO ∆和中，'B OA BOA ∠=∠，根据三角函数和已知线段的长度求出点A '到射线ON 的距离=A'P d ．【详解】如图所示，连接'OA OB 、，过'A 点作'A P ON ⊥交ON 与点P ．∵线段AB 绕点O 按逆时针方向旋转得到对应线段A B ''∴'8OA OA ==，''B OB A OA ∠=∠∴''''B OB BOA A OA BOA ∠-∠=∠-∠即''B OA BOA∠=∠∵点B 在线段OA 的垂直平分线l 上∴118422OC OA ==⨯=，5OB AB ==3BC ===∵''B OA BOA ∠=∠∴'sin ''sin 'A P BCB OA BOA A O OB∠==∠=∴'385A P =∴24'5d A P ==【点睛】本题主要考查旋转的性质和三角函数．对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连的线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21-22，每题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.解方程：2890x x --=．【答案】19x =，21x =-【解析】【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：2890x x --=()()910x x -+=解得19x =，21x =-【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．18.已知m 是方程22470x x --=的一个根，求代数式()()()2324m m m -+-+的值．【答案】8【解析】【分析】根据一元二次方程解的定义，可得2247m m -=，再把原式化简，再代入，即可求解．【详解】解：∵m 是方程22470x x --=的一个根，∴22470m m --=，即2247m m -=，()()()2324m m m -+-+2269248m m m m m =-++-+-2241m m =-+∵2247m m -=，∴原式718=+=．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解、乘法公式及代数式的值，熟练掌握能使一元二次方程左右两边同时成立的未知数的值是一元二次方程的解，乘法公式及代数式的值是解题的关键．19.如图，在正方形ABCD 中，射线AE 与边CD 交于点E ，将射线AE 绕点A 顺时针旋转，与CB 的延长线交于点F ，BF =DE ，连接FE ．（1）求证：AF =AE ；（2）若正方形ABCD 的边长为2，直接写出四边形AFCE 的面积．【答案】（1）见解析（2）四边形AFCE 的面积为4．【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得到AB =AD ，∠ABC =∠D =∠BAD =90°，求得∠ABF =90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到△ABF 与△ADE 的面积相等，得到四边形AFCE 的面积等于正方形ABCD 的面积，于是得到结论．【小问1详解】证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =AD ，∠ABC =∠D =90°，∴∠ABF =90°，在△ABF 与△ADE 中，===90°=AB AD ABF D BF DE ∠∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴△ABF ≌△ADE （SAS ），∴AF =AE ；【小问2详解】解：由（1）知，△ABF ≌△ADE ，∴△ABF 与△ADE 的面积相等，∴四边形AFCE 的面积等于正方形ABCD 的面积=2×2=4．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证得△ABF ≌△ADE 是解题的关键．20.下面是证明圆周角定理时需证的三种情况，请自选一种情况完成证明．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．已知：O 中，AOB ∠，C ∠分别是AB 所对的圆心角和圆周角．求证：12∠=∠C AOB ．情况一：当圆心O 在C ∠的一边上时，如图1．情况二：当圆心O 在C ∠内部时，如图2．情况三：当圆心O 在C ∠外部时，如图3．【答案】证明见解析．【解析】【分析】情况一：当圆心O 在C ∠的一边上时，如图1，由外角性质得∠AOB =∠B +∠C ，再由∠B =∠C 即可得证结论成立；情况二：当圆心O 在C ∠内部时，连接CO 并延长交O 于点D ，由情况一知∶∠ACD =12∠AOD ，∠BCD =12∠BOD ，从而有∠ACB =12∠AOB ；情况三：当圆心O 在C ∠外部时，由情况一知∶∠ACD =12∠AOD ，∠BCD =12∠BOD ，∴∠ACB =∠BCD −∠ACD =12∠AOB ．【详解】证明∶情况一：当圆心O 在C ∠的一边上时，如图1∵∠AOB 是△BOC 的一个外角，∴∠AOB =∠B +∠C ，∵OB =OC ，∴∠B =∠C ，∴∠AOB =2∠C ，∴∠C =12∠AOB ；情况二：当圆心O 在C ∠内部时，连接CO 并延长交O 于点D ，如下图，∵由情况一知∶∠ACD =12∠AOD ，∠BCD =12∠BOD ，∴∠ACB =∠ACD +∠BCD =12∠AOD +12∠BOD =12∠AOB ；情况三：当圆心O 在C ∠外部时，连接CO 并延长交00于点D ，如下图，∵由情况一知∶∠ACD =12∠AOD ，∠BCD =12∠BOD ，∴∠ACB =∠BCD −∠ACD =12∠BOD −12∠AOD =12∠AOB ；【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及圆的认识，熟练掌握三角形的外角性质是解题的关键．21.已知关于x 的一元二次方程()25620x k x k -+++=．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程的两根的差为2，求k 的值．【答案】（1）见解析；（2）1或3-【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式24b ac ∆=-，可得出2(1)k D =+，由偶次方的非负性可得出0∆≥，进而可证出方程总有两个实数根；（2）根据求根公式表示方程的两个根，再根据两根之差为2的关系，分类讨论列方程解之即可．【小问1详解】证明：∵222(5)4(62)21(1)0k k k k k D =+-+=++=+³，∴此方程总有两个实数根；【小问2详解】解：由（1）知，2(1)k D =+，∴(5)(5)(1)22k k k x ++±+==，∴13x k =+，22x =，∵若此方程的两根的差为2，∴322k +-=或2(3)2k -+=，解得：1k =或3k =-；∴k 的值为1或3-．【点睛】本题考查根的判别式以及求根公式，解题的关键是：（1）熟知“当0∆≥时，方程有两个实数根”；（2）牢记求根公式：2b x a-=．22.如图，在ABC 中，AB AC =，AD 为BC 边上的中线，点E 为AD 的中点，作点B 关于点E 的对称点F ，连接AF ，CF ．（1）求证：四边形ADCF 为矩形；（2）若AD BC =，AB =BF 的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】(1)连接DF ，可证得四边形ABDF 为平行四边形，=BD AF ，BC AF ∥，再根据等腰三角形的性质可得BD =DC =AF ，AD BC ⊥，即可证得四边形ADCF 是矩形；(2)设AD =x ，则12BD x =，根据勾股定理即可求得AD 、BC 的长，再根据矩形的性质及勾股定理即可求得BF 的长．【小问1详解】证明：如图：连接DF ，点E 为AD 的中点，点B 与点F 关于点E 对称，=AE DE ∴，BE =FE ，∴四边形ABDF 为平行四边形，∴=BD AF ，BC AF ∥，AB AC = ，ABC ∴△是等腰三角形，又 AD 为BC 边上的中线，=BD CD ∴，AD BC ⊥，=90ADC ∠︒∴CD =AF ，∴四边形ADCF 为平行四边形，∴四边形ADCF 为矩形；【小问2详解】解：设AD =BC =x ，则12BD x =，在Rt ABD △中，222=AB AD BD +，得(22212x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得4x =或4x =-(舍去)，∴AD =BC =4，四边形ADCF 为矩形，==4CF AD ∴，在Rt BCF △中，BF 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，作出辅助线是解决本题的关键．23.在平面直角坐标系xOy 中，二次函数223y x x =-++的图象与y 轴交于点C ，过点C 作x 轴的平行线，与抛物线交于另一点D ．（1）求点C 和点D 的坐标；（2）当2x >时，对于x 的每一个值，函数()0y mx m =≠的值大于二次函数223y x x =-++的值，直接写出m 的取值范围．【答案】（1）C （0，3），D (2，3)；（2）m >32．【解析】【分析】（1）令二次函数223y x x =-++中x =0，则y =3，从而求得C （0，3），再令二次函数223y x x =-++中y =0，即可求解点D 的坐标；（2）先求得，当2x >时，223y x x =-++的值小于3，又由当2x >时，对于x 的每一个值，函数()0y mx m =≠的值大于二次函数223y x x =-++的值，且()0y mx m =≠过点（2，2m ），从而有2m ≥3，进而即可求解．【小问1详解】解∶∵二次函数223y x x =-++的图象与y 轴交于点C ，∴令x =0，则y =0+0+3=3，∴C （0，3），∵过点C 作x 轴的平行线，与抛物线交于另一点D ，∴二次函数223y x x =-++，令y =3，得2323x x =++，解得x =0，或x =2，∴D (2，3)；【小问2详解】解：∵当x =2时，2233y x x =-++=，则m =32∴当2x >时，223y x x =-++的值小于3，∵当2x >时，对于x 的每一个值，函数()0y mx m =≠的值大于二次函数223y x x =-++的值，且()0y mx m =≠，∴m 32≥【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形的性质以及二次函数与一次函数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．24.如图，AB 为O ⊙的直径，E 为OB 的中点，弦CD AB ⊥于点E ，连接CO 并延长交O ⊙于点F ，连接BC ．（1）求证：BOC 是等边三角形；（2）若O ⊙的半径为2，求CD 的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）设O ⊙的半径为r ，取OC 的中点G ，连接EG ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得1122GE CO GO r ===，根据E 为OB 的中点，则12OE r =，可得GEO 是等边三角形，得出60COB ∠=︒，即可得证；（2）根据勾股定理求得CE 的长，根据垂径定理即可求解．【小问1详解】证明：如图，取OC 的中点G ，连接EG ，设O ⊙的半径为r ，∵AB CD ⊥，∴1122GE CO GO r ===，∵AB 为O ⊙的直径，∴BO r=∵E 为OB 的中点，∴12OE r =，∴OG GE OE==∴GEO 是等边三角形，∴60COB ∠=︒∵OC OB=∴COB 是等边三角形，【小问2详解】解：∵O ⊙的半径为2，∴1OE =，∴CE ，∵AB 为O ⊙的直径，CD AB ⊥，∴2CD CE ==．【点睛】本题考查了垂径定理，圆的基本概念，等边三角形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．25.某公园在垂直于湖面的立柱上安装了一个多孔喷头，喷头高出湖面3米，从喷头每个孔喷出的水柱形状都相同，可以看作是抛物线的一部分，当喷头向四周同时喷水时，形成一个环状喷泉．安装后，通过测量其中一条水柱，获得如下数据，在距立柱水平距离为d 米的地点，水柱距离湖面的高度为h 米．d （米）0.50 1.00 1.50 2.00 2.50h （米） 3.75 4.00 3.75 3.00 1.75请解决以下问题：（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；（2）结合表中所给数据或所画图象，直接写出这条水柱最高点距离湖面的高度；（3）求所画图象对应的函数表达式；（4）从安全的角度考虑，需要在这组喷泉外围设立一圈正方形护栏，这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米，请直接写出公园至少需要准备多少米的护栏（不考虑接头等其他因素）．【答案】（1）见解析；（2）水柱最高点距离湖面的高度是4米；（3）214h d =--+（）；（4）公园至少需要准备32米的护栏．【解析】【分析】（1）根据对应点画图象即可；（2）由图象可得答案；（3）利用待定系数法可得关系式；（4）求出落水点距离喷头的水平距离，进而求出正方形的边长，进而可以求出正方形的周长．【小问1详解】如图，【小问2详解】由图象可得，顶点（1，4），∴水柱最高点距离湖面的高度是4米；【小问3详解】由图象可得，顶点（1，4），设二次函数的关系式为214h a d =-+（），把（2，3）代入可得a =-1，所以214h d =--+（）；【小问4详解】当h =0时，即2140d -+=-()，解得d =-1（舍去）或d =3，∴正方形的边长为2×（3+1）=8（米），∴至少需要准备栏杆4×8=32（米），∴公园至少需要准备32米的护栏．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．26.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线224y x ax =-+，点()2,2A ．（1）若此抛物线经过点A 时，求a 的值；（2）求此抛物线顶点坐标（用含a 的代数式表示）；（3）已知(),2B a a -，若抛物线与线段AB 恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出a 的取值范围．【答案】（1）32（2）()2,4a a -（3）0≤a ≤2或a <-1【解析】【分析】（1）把()2,2A 代入224y x ax =-+即可求出a 的值；（2）化为顶点式求解即可；（3）分a ≥0和a <0两种情况求解即可．【小问1详解】解：把()2,2A 代入224y x ax =-+，得2444a =-+，∴a =32．【小问2详解】解：224y x ax =-+=22224x ax a a -+-+=()224x a a --+，。
北京市人大附中2021届高三数学10月月考试题含解析
③将直线 向下平移，直至与 第二次相切前，在此过程中，直线始终与 在 上有3个交点，
当直线第二次与 相切，记直线为 ，设切点为 ，易知 ，求导得 ，则 ，可得 ， ，由 ，则切点为 ，所以 为 ， 与 在 上有4个交点，从 到 的平移过程中，满足题意的 ；
（1）求函数 的解析式；
（2）如果学生的注意力指数低于75，称为“欠佳听课状态”，则在一节40分钟的数学课中，学生处于“欠佳听课状态”所持续的时间有多长？(精确到1分钟，参考数据： ， )
【答案】（1） ；（2）28分钟
【解析】
【分析】
（1）当 时，设 ，由 ，可求出 ；当 时， ，由 ，可求出 ，从而可得到 的解析式；
B. ，错误；
C. ，错误；
D. ，错误.
故选：A.
【点睛】本题考查对数的运算，是基础题.
6. 下列函数中，既是奇函数又在区间 内是增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用定义判断各选项中函数的奇偶性，结合导数可判断出各选项中函数的单调性，由此可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，函数 的定义域为 ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】
根据特称命题的否定是全称命题，可得答案，注意“一改量词，二改结论”.
【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“ ， ”的否定是“ ， ”.
故选：C.
【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题.
3. 已知点 是角 终边上一点，则 （ ）
A. B. C. D.
北京市海淀区清华大学附属中学2021-2022学年九年级上学期10月月考数学试题
北京市海淀区清华大学附属中学2021-2022学年九年级上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列交通标志中，是中心对称图形的是（ ）A ．禁止驶入B ．靠左侧道路行驶C ．向左和向右转弯D ．环岛行驶 2．抛物线()221y x =+-的顶点坐标是（ ）A ．(2,1)B ．(2,1)-C ．(2,1)--D ．(2,1)- 3．将方程2250x x +-=配方后，原方程变形为（ ）A ．()229x +=B ．()229x -=C ．()216x +=D ．()216x -= 4．在半径为1的⊙O 中，若弦AB 的长为1，则弦AB 所对的圆心角的度数为（ ） A ．90° B ．60° C ．30° D ．15° 5．如图，AB 是O 的直径，C ，D 是O 上的两点，20CDB ∠=︒，则ABC ∠的度数为（ ）A ．20︒B ．40︒C ．70︒D ．90︒ 6．将抛物线2(1)2y x =+-向上平移a 个单位后得到的抛物线恰好与x 轴有一个交点，则a 的值为（ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．2 7．⊙O 的半径为5，M 是圆外一点，MO ＝6，⊙OMA ＝30°，则弦AB 的长为（ ）A．4B．6C．D．88．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y＝ax2﹣2ax+4（a＞0）．若A（m﹣1，y1），B（m，y2），C（m+2，y3）为抛物线上三点，且总有y1＞y3＞y2．结合图象，m的取值范围是（）A．m＜1B．0＜m＜1C．0＜m＜1D．m＜02二、填空题9．已知⊙O的半径为5，点P在⊙O内，写出一个OP长的可能值___．10．若一元二次方程240++=有两个相等的实数根，则a的值为______．x ax11．若a是方程3x2﹣5x+2＝0的根，则6a2﹣10a＝___．12．如图所示，四边形ABCD内接于O，如果它的一个外角64∠=︒，那么DCE∠等于_______．BOD13．将⊙ABC绕点C顺时针旋转得到⊙A′B′C，已知⊙ACA′=90°，BC=5，连接BB′，则BB′的长为__________．14．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为_____m．15．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点是（3，0），则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根是___．16．如图，CD为⊙O的直径，AB为⊙O中长度为定值的弦，AB＜CD．作AE⊙CD于E，连接AC，BC，BE．下列四个结论中：⊙O到AB的距离为定值；⊙BE＝BC；⊙当OE＝AE时，⊙ABC＝67.5°或22.5°；⊙⊙BAE+2⊙ACD为定值．正确的是___．（填所有正确的序号）三、解答题17．解方程:x2－5x＋1=0.18．已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：求这个二次函数的表达式．19．如图，在⊙O中，AB CD=，求证：⊙B＝⊙C．20．已知，关于x的一元二次方程210+--=．x ax a（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根是负数，求a的取值范围．21．已知：如图，⊙ABC中，AB＝AC，AB＞BC．⊙BAC．求作：线段BD，使得点D在线段AC上，且⊙CBD＝12作法：⊙以点A为圆心，AB长为半径画圆；⊙以点C为圆心，BC长为半径画弧，交⊙A于点P（不与点B重合）；⊙连接BP交AC于点D．线段BD就是所求作的线段．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接PC．⊙AB＝AC，⊙点C在⊙A上．⊙点P在⊙A上，⊙BAC．（）（填推理的依据）⊙⊙CPB＝12⊙BC＝PC，⊙⊙CBD＝．（）（填推理的依据）⊙⊙CBD＝1⊙BAC．222．如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上的两点，OC⊙BD，OC交AD于点E．（1）求证：AC＝CD；（2）若OE＝2，AD＝8，求⊙O的半径．23．某中学课外活动小组准备围成一个矩形的活动区ABCD，其中一边靠墙，另外三边用总长为40米的栅栏围成，已知墙长为22米（如图），设矩形ABCD的边AB x 米，面积为S平方米．（1）求活动区面积S与x之间的关系式，并指出x的取值范围；（2）当AB为多少米时，活动区的面积最大？并求出最大面积．24．如图，以P为顶点的抛物线y＝1（x﹣m）2+k交y轴于点A，经过点P的直线y2＝﹣2x+3交y轴于点B．（1）用关于m的代数式表示k．（2）若点A在B的下方，且AB＝2，求该抛物线的函数表达式．25．如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分⊙PAE，过C作CD⊙PA，垂足为D．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度．26．抛物线y＝x2﹣2mx﹣1+m2与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧．（1）若点A的坐标为（0，0）．⊙求抛物线的对称轴；⊙当n≤x≤2时，函数值y的取值范围为﹣1≤y≤0，求n的取值范围；（2）将抛物线在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到新的函数图象．当﹣32≤x≤﹣1时，新函数的函数值随x的增大而减小，直接写出m的取值范围．27．已知⊙AOB＝45°，P为射线OB上一定点，OP＝M为射线OA上一动点，连接PM，满足⊙OMP为钝角．以点P为中心，将线段PM顺时针旋转135°，得到线段PN，连接ON．（1）依题意补全图1；（2）求证：⊙OMP＝⊙OPN；（3）Q为射线OA上一动点，E为MQ中点．连接PQ．若对于任意的点M总有ON＝PQ，请问点E的位置是否改变，若改变，说明理由，若不变，求出OE的值．28．在平面直角坐标系xOy中，对于图形M和点P，若图形M上存在两个点E、F，使得EP+FP＝2，则称点P为图形M的“距2点”．设A（﹣4，0），B（4，0），⊙O的半径为r．）中，是线段AB的“距2点”的（1）⊙点P1（1，0），P2（0，1），P3（﹣1，﹣12是．⊙若P4（3，4）是⊙O的“距2点”，求r的取值范围；（2）设⊙M的半径为2，圆心M是x轴上的动点，C（﹣4，8）．若折线段AC﹣CB上存在点⊙M的“距2点”，直接写出圆心M横坐标的取值范围．参考答案：1．A2．C3．C4．B5．C6．D7．D8．C9．410．±411．4-12．128°13．14．215．3x =或1x =-16．①④##④①17．18．2y x 2x 3=-++19．见解析20．（1）见解析；（2）1a >-21．（1）见解析；（2）圆周角定理；CPB ∠，圆周角定理的推论22．（1）见详解；（2）⊙O 的半径为23．（1）2240(920)S x x x =-+≤<；（2）当AB 为10米时，活动区的面积最大，最大面积是200平方米24．(1) k ＝﹣2m +3；(2) y 12=（x ﹣2）2﹣1． 25．（1）证明见解析（2）626．（1）⊙1x =；⊙01n ≤≤；（2）52m ≤-或112m -≤≤-27．（1）见解析；（2）见解析；（3）点E 的位置不改变，OE 28．（1）⊙1P 和3P ；⊙46r <<；（2）71x -<<-或47x -<．。
北京市北京师范大学附属中学2021-2022学年九年级上学期10月月考数学试题
北京市北京师范大学附属中学2021-2022学年九年级上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食物和药物，得到广泛的使用，经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000201kg ，将0.00000201用科学记数法表示为（ ）A ．2.01×10﹣8B ．0.201×10﹣8C ．2.01×10﹣6D ．20.1×10﹣52．若反比例函数y ＝k x的图象经过点(2，－1)，则该反比例函数的图象在（ ）A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第二、三象限D ．第二、四象限 3．在平面直角坐标系中，已知点A （﹣4，3）与点B 关于原点对称，则点B 的坐标为（ ）A ．（﹣4，﹣3）B ．（4，3）C ．（4，﹣3）D ．（﹣4，3） 4．二次函数y ＝（x +1）2﹣2的对称轴是（ ）A ．x ＝1B ．x ＝﹣1C ．x ＝2D ．x ＝﹣2 5．实数,a b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）A ．2a >-B ．a b >C ．0a b +>D ．0b a -<6．已知x ＝2是一元二次方程（m ﹣2）x 2+4x ﹣m 2＝0的一个根，则m 的值为（ ） A ．2 B ．0或2 C ．0或4 D ．0 7．函数y ＝ax 2﹣a 与y ＝ax ﹣a （a ≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ） A ． B ．C．D．8．在平面直角坐标系xOy中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于1的是（）A．y1B．y2C．y3D．y4二、填空题9x的取值范围是_______________．10．在平面直角坐标系xOy中，将二次函数y＝（x﹣1）2+4的图象平移，使图象的最低点与坐标原点重合，请写出一种平移方法____．11．如图，A、B两点在双曲线y＝4x上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知S阴影＝1，则S1+S2＝_____．12．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝20°，则∠ADC的度数是_____．13．如图，抛物线2y ax bx =+与直线y mx n =+相交于点(3,6)A --，(1,2)B -，则关于x 的方程2ax bx mx n +=+的解为_______________ .14．二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，下列结论：∠abc ＜0；∠3a +c ＜0；∠b 2﹣4ac ＞0；∠16a +4b +c ＞0．其中正确结论的个数是：___．15．如图1，在△ABC 中，AB >AC ，D 是边BC 上的动点．设B ，D 两点之间的距离为x ，A ，D 两点之间的距离为y ， 表示 y 与x 的函数关系的图象如图2所示．线段AC 的长为_________________，线段AB 的长为____________．三、解答题16．如图，在正方形网格中，将格点∠ABC 绕某点顺时针旋转α（0＜α＜180°）得到格点∠A 1B 1C 1，点A 与A 1，点B 与B 1，点C 与C 1是对应点．（1）请通过画图找出旋转中心M ．（2）直接写出旋转角α的度数为____．17．计算：101|1())3-+-π． 18．解不等式组5(1)711234x x x x +>-⎧⎪--⎨>⎪⎩并求它的整数解． 19．已知：如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点F 是边DC 的中点，连接AF ，并将线段AF 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AE ，连接EF 并确定中点G ，连接GC ． （1）请根据题意补全图形；（2）求线段GC 的长．20．已知二次函数y ＝x 2+2x -3．（1）求抛物线的顶点坐标，并将其化为y ＝a （x ﹣h ）2+k 的形式；（2）求图象与两坐标轴的交点坐标；（3）利用五点描点法，画出函数图象；（4）求顶点及图象与x轴两交点围成的三角形面积；（5）结合图象，完成填空．当y随x的增大而减小时，x的取值范围是；若y＞0，则x的取值范围是；若y≤0，则x的取值范围是；当﹣1＜x＜4时，y的取值范围是；二次函数y＝x2+2x-3关于y轴对称的图象解析式为；二次函数y＝x2+2x-3关于原点对称的图象解析式为．21．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b与双曲线y＝kx（k≠0）交于A，B两点，点A，点B的横坐标xA，xB满足xA＞xB，直线y＝x+b与x轴交点为C（3，0），与y 轴的交点为D．（1）求b的值；（2）若xA＝2，求k的值；（3）当AD≥2BD时，直接写出k的取值范围．22．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2ax+b的顶点在x轴上，P（x1，m），Q（x2，m）（x1＜x2）是此抛物线上的两点．（1）若a＝1．∠当m＝b时，求x1，x2的值；∠将抛物线沿y轴平移，使得它与x轴的两个交点间的距离为4，试描述出这一变化过程；（2）若存在实数c，使得x1≤c﹣1，且x2≥c+7成立，则m的取值范围是_______．23．正方形ABCD的边长为2，将射线AB绕点A顺时针旋转α，所得射线与线段BD 交于点M，作CE∠AM于点E，点N与点M关于直线CE对称，连接CN．（1）如图，当0°＜α＜45°时：∠依题意补全图；∠用等式表示∠NCE与∠BAM之间的数量关系：___________；（2）当45°＜α＜90°时，探究∠NCE与∠BAM之间的数量关系并加以证明；（3）当0°＜α＜90°时，若边AD的中点为F，直接写出线段EF长的最大值．答案第1页，共1页 参考答案：1．C2．D3．C4．B5．B6．C7．D8．A9．7x ≥10．向左平移1个单位，再向下平移4个单位．11．6．12．65°13．x1＝﹣3，x 2＝114．315．16．（1）见解析；（2）90°17．318．23x -<<；整数解为1-，0，1，219．（1）见解析； （220．（1）顶点坐标为（-1，-4），y =（x +1）2-4；（2）图象与x 坐标轴的交点坐标为（-3，0），（1，0），与y 坐标轴的交点坐标为（0，-3）；（3）见解析；（4）8；（5）x <-1，x <-3或x >1，-3≤x ≤1，-4＜x ＜21，y ＝x 2-2x -3，y =-x 2+2x +3．21．（1）3-；（2）2-；（3）018k <≤或605k -≤< 22．（1）∠x 1＝0，x 2＝2；②将原抛物线向下平移4个单位；（2）m≥16．23．（1）∠补图见解析；∠∠NCE ＝2∠BAM ；（2）12∠NCE +∠BAM ＝90°，证明见解析；（3）．。
2020-2021学年北京人大附中九年级(上)月考数学试卷(10月份)
2020-2021学年北京人大附中九年级（上）月考数学试卷（10月份）一．选择题（共8小题）.1．一元二次方程2x2﹣x﹣3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．2，1，3B．2，1，﹣3C．2，﹣1，3D．2，﹣1，﹣3 2．如图，圆O的弦中最长的是（）A．AB B．CD C．EF D．GH3．抛物线y＝x2﹣1的顶点坐标是（）A．（0，0）B．（0，﹣1）C．（0，1）D．（﹣1，0）4．用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0，配方正确的是（）A．（x﹣1）2＝4B．（x+1）2＝4C．（x﹣1）2＝6D．（x+1）2＝6 5．第二十四届冬季奥林匹克运动会将于2022年在北京举办，北京将成为历史上第一座既举办过夏奥会，又举办过冬奥会的城市．下面的图形是各界冬奥会会徽中的部分图案，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．6．方程2x2+x﹣1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定7．如图，将△ABC绕点C逆时针旋转，得到△CDE，若点的对应点D恰好在线段AB上，且CD平分∠ACB，记线段BC与DE的交点为F．下列结论中，不正确的是（）A．CA＝CD B．△CDF≌△CDA C．∠BDF＝∠ACD D．DF＝EF8．在平面直角坐标系xOy中，对于自变量为x的函数y1和y2，当﹣1≤x≤1时，都满足|y1﹣y2|≤1成立，则称函数y1和y2互为“关联的”，下列函数中，不与y＝x2为“关联的”的函数是（）A．y＝x2﹣1B．y＝2x2C．y＝（x﹣1）2D．y＝﹣x2+1二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．点（﹣2，3）关于原点的对称点的坐标为．10．写出一个对称轴为y轴的二次函数的表达式．11．若关于x的方程x2+2kx+k﹣4＝0的一个根是1，则k的值为．12．如图，AB是⊙的弦，直径CD⊥AB于点H，若⊙O的半径为10，AB＝16，则DH的长为．13．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图像如图所示，则a0，b2﹣4ac0（两空均选填“＞”，“＝”，“＜”）．14．如果m是方程x2+3x＝2020的根，那么代数式m（2m+1）﹣（m﹣1）2的值为．15．已知二次函数y＝ax2+bx+c中的x和y满足表格：x…﹣10123…y…105212…根据图表中信息推断，方程ax2+bx+c﹣10＝0的根为．16．如图，在正方形ABCD中，点E在线段BC上，且满足CE＝2BE，过点B作AE的垂线，与CD交于点F，点P、Q分别为线段AE和BF的中点，连接PQ，若PQ＝2，则正方形ABCD的边长为．三、解答题（本题共60分，第17-20题，每小题5分，第21题4分，第22题6分，第23-24题每小题5分，第25题6分，第26-27题，每小题5分）解答应写出文字，说明演算步骤或证明过程17．解方程：x2+5x+7＝3x+8．18．求抛物线y＝x2﹣2x与x的交点坐标，并在坐标系中画出图像．19．如图，△ABC中，AB＝AC，点D，E在直线BC上，F在BA的延长线上，且满足BF ＝CE，∠E＝∠F．求证：AE＝DF．20．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+3）x+3＝0．（1）求证：无论m为何值，x＝1都是该方程的一个根；（2）若此方程的根都为正整数，求整数的值．21．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，1），B（2，3），C（2，1），将△ABC绕平面内的某个点P逆时针旋转α．（0°＜α＜180°）角度后，得到△DEF，其中点A、B、的对应点为D（0，2）、E（﹣2，1）．（1）在图中标出点P的位置，并画出旋转后的△DEF；（2）旋转角α的度数为°；（3）小宇尝试通过运用若干次轴对称变换来代替上面的旋转过程，他写出了一种变换的方法，将请将其补全；先将△ABC关于直线x＝1对称，再将所得的图形再关于直线．（填直线的表达式）对称得到△DEF．22．小宇遇到了这样一个问题：如图是一个单向隧道的断面，隧道顶MCN是一条抛物线的一部分，经测量，隧道顶的跨度MN为4m，最高处到地面的距离CO为4m，两侧墙高AM和BN均3m，今有宽2.4m 的卡车在道中间行驶，如果卡车载物后的最高点E到隧道顶面对应的点D的距离应不小于0.6m，那么卡车载物后的限高应是多少米？（精确到0.1m）为解决这个问题，小字以AB中点O为原点，建立了如图所示的平面直角坐标系，根据上述信息，设抛物线的表达式为y＝ax2+c．（1）写出M、C、N、F四个点的坐标；（2）求出抛物的表达式；（3）利用求出的表达式，帮助小雨解决这个问题．23．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点M，过点D作DE⊥CD交⊙O于点E，若M为CD的中点．（1）求证：DE∥AB；（2）连接AD，OE，若OE∥AD，求∠BAD的度数．24．小字在学习过程中遇到一个函数y＝|x﹣1|（x2﹣2x+1）﹣2．下面是小宇对其探究的过程，请补充完整：（1）对于函数y1＝|x﹣1|，图像关于直线x＝1对称；对于二次函数y2＝x2﹣2x+1，图像的对称轴为；综合上述分析，进一步探究发现，函数y的图像也是轴对称图形，其对称轴为．（2）如图，在平面直角坐标系xOy中画出了函数y的部分图像，用描点法将这个函数图像补充完整．（3）结合数图像和解析式的分析，小得出以下三个结论：①函数y有最小值，没有最大值；②函数y的图像与轴的负半轴交点的横坐标p满足﹣1＜p＜−1 2．③若（x1，m），N（x2，n）函数y图像上的两点，若x1＜x2，且x1+x2＞2，则一定有m＜n．所有正确结论的序号是．25．在平面直角坐标系xOy中，点A（t，2）（t≠0）在二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）的图像上．（1）当t＝2时，求二次函数对称轴的表达式；（2）若点B（5﹣t，0）也在这个二次函数的图像上，结合函数图像作答：①当这个函数的最小值为0时，求t 的值；②若在0≤x ≤1时，y 随x 的增大而增大，直接写出t 的取值范围．26．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝α，点P 为∠ACB 平分线上的一动点，且满足PC ＜PA ，连接PA ，PB ，以P 为中心，将线段PB 旋转，得到线段PD ，使点D 在AC 的延长线上．（1）依题意补全图形；（2）求证：①PA ＝PB ；②∠BPD ＝∠BCD ；（3）过点D 作PC 的垂线，与PC 的延长线交于点E ，写出一个α的值，使得对于任意符合条件的点P ，都有PE AC 是一个定值，画出图形，并求出这个定值．27．在平面直角坐标系xOy 中，已知y 是x 的函数，对于这个函数图像上的一点A （a ，b ）和给定的实数t （t ＞0）．若这个函数在a ≤x ≤a +t 上有定义且满足：当a ≤x ≤a +t 时，函数值y 的最大值M 与最小值m 的差M ﹣m ＝t ，就称这个函数满足性质Φ（A ，t ）． 如图1，对于函数y ＝x ，给定其图象上的点O （0，0）和t ＝1，在0≤x ≤1上函数值y的最大值M ＝1，最小值m ＝0，满足，M ﹣m ＝t ，因此函数y ＝x 满足性质Φ（0，1）．（1）根据定义，判断函数y ＝x 2是否满足性质Φ（0，1），并说明理由；（2）已知函数y ={−12x ，x ≤0kx ，x ＞0，点M 的坐标为（﹣2，1），若这个函数满足性质Φ（M ，3），结合函数图像，求k 的值；（3）点P 为二次函数y =12x 2图像上的动点，若存在唯一的t ＞0，使得函数y =12x 2满足性质Φ（P ，t ），直接写出点P 的横坐标m 的取值范围．。
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2021北京人大附中初三（上）10月月考数 学2021．10第一部分 选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题的选项只有一个．1．若关于x 的一元二次方程230x x a -+=的一个根为1，则a 的值为（ ）A ．2B ．3C ．-2D ．-1 2．二次函数2241y x x =+-的对称轴是直线（ ）A ．2x =-B ．1x =-C ．2x =D ．1x =3．下面的图形是用数学名字命名的，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）A ．科克曲线B ．笛卡尔心形线C ．赵爽弦图D ．斐波那契螺旋线4．用配方法解方程2610x x +-=，正确的是（ ）A ．()238x -=B ．()238x +=C ．()2310x -=D ．()2310x += 5．在ABC △中，5AB AC ==，8BC =，以A 为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（ ）A ．点B 在A 内 B ．点C 在A 上C ．直线BC 与A 相切D ．直线BC 与A 相离 6．抛物线()21y x t =-+与x 轴的两个交点之间的距离为4，则t 的值是（ ）A ．-1B ．-2C ．-3D ．-4 7．已知O 的半径为2，点P 为O 内一定点，且1PO =，过点P 作O 的弦，其中最短的弦的长度是（ ）A ．4BC ．D ．28．如图，已知ABC △与DEF △全等，点A ，B ，C 的对应点分别为D ，E ，F ，点E 在AC 边上，B ，F ，C ，D 四点在同一条直线上．若40A ∠=︒，35CED ∠=︒，则下列说法中正确的是（ ）A ．EF EC =，AE FC =B ．EF EC =，AE FC ≠ C ．EF EC ≠．AE FC =D ．EF EC ≠，AE FC ≠第二部分 非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9．将抛物线2y x =向上平移1个单位，所得抛物线的表达式为______．10．点()3,1-关于原点的对点的坐标为______．11．若关于x 的一元二次方程210ax bx +-=有两个相等的实数根，请写出一组符合题意的a ，b 的值=a ______，=b ______．12．如图，AB 是O 的直径，C ，D 是O 上的两点．若65CAB ∠=︒，则ADC ∠的度数为______．13．风力发电机可以在风力作用下发电，如图的转子叶片图绕中心旋转n 后能与原来的图案里合，那么n 的最小值是______．14．若二次函数22y ax ax c =-+与x 轴的一个交点坐标为()3,0，则关于x 的方程220x ax c α-+=的实数根是______．15．如，AB 是O 的直径，弦//MN AB ，分别过M ，N 作AB 的垂线，垂足为C ，D ．以下结论①AC BD =②AM BN =③回若四边形MCDN 是正方形，则12MN AB =④若M 为AN 的中点，则D 为OB 中点所有正确结论的序号是______． 16．在测量时，为了确定被测对象的最佳近似值，经常要对同一对象测量若干次，得到测量结果分别为1x ，2x ，……，n x ，然后选取与各测量结果的差的平方和为最小的数作为最佳近似值．即如果设这组测量结果的最佳近似值为0t ，则0t 需要使得函数()()()22212n y x x x x x x =-+-+⋅⋅⋅+-达到最小值．科研小组利用这种方法来分析麦穗的长度．（1）如果在测量了3个麦穗长度之后，得到的数据（单位：cm ）是1 6.2x =，2 6.0x =，5 5.8x =，则按上述方法，可以得到这组数据的最佳近似值为______．（2）科研小组在（1）的基础上又测量了6个麦穗长度。
按上述方法得到这6个数据的最佳近似值为6.3，如果将两组测量的结果合并．．，则按上述方法计算这9个数据的最佳近似值为______．三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28，每7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．解方程：253x x x -=-．18．如图，已知BA BD =，BC BE =，ABD CBE ∠=∠．求证：DB 平分ADE ∠．19．已知m 是方程2310x x -+=的一个，求代数式()()()2231m m m -+-+的值．20．如图，AB 是O 的弦，C 为AB 的中点，OC 的延长线与O 交于点D ，若2CD =，12AB =，求O 的半径．21．下面是小宇设计的“作圆的内接正方形”的尺规作图过程．已知：O 求作：O 的内正方形．作法：如图，①作直径AB ；②分别以点A ，B 为圆心，以大于12AB 的同样长为半径作，两弧交于M ，N 两点； ③作直线MN 交O 于点C ，D ；④连接AC ，BC ，AD ，BD ．所以四边形ACBD 就是所求作的正方形．根据小宇设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：在O 中∵MA MB =，NA NB =，∴ MN AB ⊥．∴90AOC COB BOD DOA ∠=∠=∠=∠=︒∴AC BC BD AD ===（ ① ）（填理的依据）∴四边形ACBD 是菱形（ ② ）（填推理的依据）∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒（ ③ ）（填推理的依据∴四边形ACBD 是正方形．22．已知关于x 的一元二次方程22220x x m m ---=．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都为正整数，求这个方程的根．23．用一根长为24cm 的铁丝，围成一个矩形ABCD ，请用所学的方程或函数知识解答：矩形ABCD 的面积是否可以为238cm ？若能，请求出该矩形的边长；若不能，请说明理由．24，二次函数2y ax bx c =++()0a ≠中的x 与y 的部分对应值如下表：（1）判断下列说法的正误（请在答题卡的相应位置填写“正”或“错误”）：①0abc >；②当0n >时，该函数的图象与x 轴正半轴的交点(),0m 满足23m <<；③当1n =时，关于x 的方程()210ax b x c +++=的根为11x =-，22x =；（2）若关于x 的不等式20ax bx c ++≤对任意实数x 都成立，结合函数图象，求n 的取值范围．25．如图，AB 是O 的直径，C 为O 上一点，D 在AB 上，且AD AC =，CD 的延长线与O 交于点E ．（1）求证：2A BCE ∠=∠；（2）若4AB =，CE =BCE ∠的度数26．已知关于x 的二次函数212y x x n =--+．（1）求函数1y 图象的顶点坐标；（2）若函数()2231y a x n =--+()0a >满足：对于任意的实数x ，都有1212y n y ≤+≤成立．①求n 的值：②直线1y kx k =-+()0k >与函数1y 的图象交于A ，B 两点，与函数2y 的图象交于C ，D 两点，若对于任意的0k >，都有AB CD ≤，结合函数图象，直接写出a 的取值范围．27．已知45MON ∠=︒，点P 为平面内一动点，连接OP ．（1）如图1，当点P 在射线OM 上方时，在射线OM ，ON 上分别取点A ，B ，使得PA PB PO ==，连接AB ．依题意补全图形，并求PAB ∠的度数；（2）如图2，点P 在MON ∠内部，且15POM ∠=︒，2OP =，在射线OM ，ON 上分别取点A ，B ，使PAB △是以AB 为斜边的等腰直角三角形，请画出图形，并求此时PA 的长．28．在平面中，对于C 以及它的弦PQ ，若存在正方形CDEF ，使点D 在弦PQ 上，点E 在C 上，则称正方形CDEF 是C 关于弦PQ 的一个“联络正方形”下图中的正方形CDEF 即为C 关于弦PQ 的一个“联络正方形”在平面直角坐标系xOy 中，已知点C 的坐标为()4,3，点P 的坐标为(),0t ()4t ≠，以C 为圆心，CP 为半径的圆与x 轴的另一个交点为Q ．（1）当2t =时，判断C 关于弦PQ 的“联络正方形”是否存在（直接回答）； （2）当0t =时，C 关于弦PQ 的“联络正方形”为CDEF ，求点E 的坐标； （3）当C 关于弦PQ 的“联络正方形”为CDEF 存在，且点E 在抛物线21y x =-上时，直接写出此时点F 的坐标．2021北京人大附中初三（上）10月月考数学参考答案一、选择题（共16分，每题2分）第1－8题均有四个选项，符合题的选项只有一个．1. 【答案】A【解析】【分析】根据方程的解的定义，把x =1代入方程，即可得到关于a 的方程，再求解即可．【详解】解：根据题意得：1-3+a =0解得：a =2．故选A ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，特别需要注意的条件是二次项系数不等于0． 2. 【答案】B【解析】【分析】先把抛物线配方变为顶点式，根据顶点式可直接得出对称轴．【详解】解：∵二次函数解析式()()2222412213213y x x x x x =+-=++-=+- ， ∴对称轴是直线1x =-．故选B ．【点睛】本题考查二次函数的顶点式，掌握顶点式是解题的关键．3. 【答案】B【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A ．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；B ．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项符合题意；C ．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；D ．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：B ．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4. 【答案】C【解析】【分析】根据配方法的步骤先把常数项移到等号的右边，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，配成完全平方的形式，从而得出答案．【详解】∵2610x x +-=∴x 2＋6x ＝1，∴x 2＋6x ＋9＝1＋9，∴（x ＋3）2＝10；故选：C ．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是解题的关键；配方法的一般步骤是： （1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．5.【答案】C【解析】【分析】先取BC 中点D ，连结AD ，根据勾股定理AD =3，根据点到圆心的距离与半径的关系可判断选项A ，B ，根据圆心到直线的距离与半径关系可判断选项C ，D ．【详解】解：取BC 中点D ，连结AD ，∵5AB AC ==，AD 为中线，BD =CD =4，∴AD ⊥BC ，∴在Rt △ABD 中，AD 2222543BD ， ∵AB =5＞r =3，∴点B 在A 外，故选项A 不正确； ∵AC =5＞r =3，∴点C 在A 外，故选项B 不正确；∵以A 为圆心作一个半径为3的圆,r =3,AD =3,∴AD =r ，∴直线BC与A相切，故选项C正确；选项D不正确．故选择C．【点睛】本题考查两点间的距离，勾股定理，点到直线的距离，点与圆的位置关系，线与圆的位置关系，掌握两点间的距离，勾股定理，点到直线的距离，点与圆的位置关系，线与圆的位置关系是解题关键．6. 【答案】D【解析】【详解】试题分析：设抛物线y＝(x－1)2＋t与x轴的两个交点为（x1，0），（x2，0），则x1＝1，x2＝1∴| x1－x2|＝4，∴(1)－(1)＝4，∴t＝－4．故选D．点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数与一元二次方程的关系，利用求根公式列出关于t的方程是解题的关键．7.【答案】C【解析】【分析】过点P作AB⊥OP，交O于A、B两点，连结OA，OB，由等腰三角形性质可得AP=PB，在Rt△AOP中，AP=【详解】解：过点P作AB⊥OP，交O于A、B两点，连结OA，OB，∵O的半径为2，∴OA=OB=2，∵OP ⊥AB ，∴AP =PB ，在Rt △AOP 中，AP ==，∴AB =2AP =故选择C ．【点睛】本题考查等腰三角形性质，勾股定理，掌握等腰三角形性质，勾股定理，圆的半径相等是解题关键． 8. 【答案】B【解析】【分析】由ABC 与DEF 全等，A 、B 、C 的对应点分别为D 、E 、F ，可得==40A D ∠∠︒，AC=DF ，=ACB DFE ∠∠，可得=EF EC ；=35CED ∠︒，=40D ∠︒可得D CED ∠>∠，由大角对大边可得CE CD >；利用AC=DF ，可得AC CE DF CD -<-，即AE FC <，由上可得正确选项．【详解】解：ABC ≌DEF ，==40A D ∴∠∠︒，AC=DF ，=ACB DFE ∠∠，=ACB DFE ∠∠，=EF EC ∴．=35CED ∠︒，=40D ∠︒，D CED ∴∠>∠．CE CD ∴>．=AC DF ，AC CE DF CD ∴-<-，即AE FC <．AE FC ∴≠．=EF EC ∴，AE FC ≠．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质．利用全等三角形对应角相等，对应边相等是解题的关键．二、填空题（共16分，每题2分）9. 【答案】y ＝x 2+1．【解析】【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【详解】解：将抛物线y ＝x 2向上平移1个单位后所得新抛物线的表达式为y ＝x 2+1．故答案是：y ＝x 2+1．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键． 10. 【答案】()3,1-【解析】【分析】根据两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数解答．【详解】解：点（3，-1）关于原点的对称点的坐标是（-3，1）．故答案为：（-3，1）．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数． 11. 【答案】 ①. 1- ②. 2【解析】【分析】由关于x 的一元二次方程210+-=ax bx 有两个相等的实数根，0,0,a ≠= 可得240,b a +=再先选取b 的值，确定a 的值即可得到答案. 【详解】解： 关于x 的一元二次方程210+-=ax bx 有两个相等的实数根，0,0,a ∴≠=()2410,b a ∴-⨯-= 即：240,b a +=令2,b = 则 1.a =-故答案为：1,2.-【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，熟悉一元二次方程根的判别式是解题12. 【答案】25°【解析】【分析】根据圆周角定理得到∠ACB =90°，∠B =∠D ，然后利用互余计算出∠B ，从而得到∠ADC 的度数．【详解】解：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，∴∠B =90°-∠CAB =90°-65°=25°，∴∠ADC =∠B =25°．故答案为：25°．【点睛】本题考查了圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．13. 【答案】120【解析】【分析】该图形被平分成三部分，因而每部分被分成的圆心角是120°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转120度的整数倍，就可以与自身重合．【详解】解：该图形被平分成三部分，旋转120°的整数倍，就可以与自身重合，故n 的最小值为120．故答案为：120．【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．14. 【答案】x 1＝-1，x 2＝3．【解析】【分析】将x ＝3，y ＝0代入抛物线的解析式可得到c ＝−3a ，然后将c ＝−3a 代入方程，最后利用因式分解法求解即可．详解】解：将x ＝3，y ＝0代入22y ax ax c =-+得：9a-6a ＋c ＝0．解得：c ＝−3a ．将c ＝−3a 代入方程得：2230ax ax a --=∴2(23)0a x x --=．∴()()130a x x +-=∴x 1＝-1，x 2＝3．故答案为：x 1＝-1，x 2＝3．【点睛】本题主要考查的是抛物线与x 轴的交点，一元二次方程的解法，求得a 与c 的关系是解题的关键． 15. 【答案】①②④【解析】【分析】连接OM 、ON ，如图，利用OC ＝OD ＝12OM ＝12ON ，则∠OMC ＝∠OND ＝30°，则利用∠COM ＝∠DON ＝∠MON ＝60°可判断AM BN =；通过证明MN ＝OM 和四边形CDNM 为矩形可对①③④矩形判断．【详解】解：连接OM 、ON ，如图，∵MC ⊥AB 、ND ⊥AB ，∴∠OCM ＝∠ODN ＝90°，∵C 、D 分别是OA 、OB 的中点，OA ＝OB ，∴OC ＝OD ＝12OM ＝12ON ， ∴∠OMC ＝∠OND ＝30°，∴∠COM ＝∠DON ＝60°，∴∠MON ＝60°，∴AM BN =，所以②正确；∴△OMN 为等边三角形，∴MN ＝CD ，∠OMN ＝60°∴MN ∥CD ，∴四边形CDNM 为矩形，∴MC ＝ND ，所以①正确；③错误；∵MN ＝CD ＝12OA +12OB ＝12AB ， ∴④正确．故答案为：①②④【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了等边三角形的判定与性质．16. 【答案】 ①. 6 ②. 6.2##165##315 【解析】【分析】（1）先整理()()()2223 6.2 6.0 5.8y x x x =-+-+-为23336108.08y x x =-+，再利用二次函数的性质可得：当6x =时，y 有最小值，从而可得答案；（2）先整理()22936=336108.086 6.3y y y x x x k +=-++-+，再利用二次函数的性质求解y 取最小值时，x 的值，从而可得答案.【详解】解：（1）1 6.2x =，2 6.0x =，3 5.8x =， ()()()2223 6.2 6.0 5.8y x x x ∴=-+-+-2336108.08x x =-+ 当366,23x -=-=⨯ 最小值336636108.080.08.y =⨯-⨯+= 所以这组数据的最佳近似值为6.（2） 科研小组在（1）的基础上又测量了6个麦穗长度．按上述方法得到这6个数据的最佳近似值为6.3， ∴ 当 6.3x =时，6y 取得最小值，∴不妨设 ()266 6.3y x k =-+ ()22936=336108.086 6.3y y y x x x k ∴+=-++-+ 29111.6346.22+x x k =-+当111.6 6.2,29x -=-=⨯ 9y 取得最小值， 所以按上述方法计算这9个数据的最佳近似值为6.2.故答案为：（1）6； （2）6.2【点睛】本题考查的是二次函数的性质，掌握利用二次函数的性质求解顶点的横坐标与纵坐标是解题的关键.三、解答题（共68分，第17－21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24－26题，每题6分，第27－28，每7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.【答案】12x =，22x =【解析】【分析】先移项，然后找出a ，b ，c 的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．【详解】解：∵253x x x -=-，∴2530x x x --+=即2430x x --=，∴1a =，4b =-，3c =-，∴()()22=444131612280b ac -=--⨯⨯-=+=>△，∴2===±x∴12x =22x =【点睛】本题考查了解一元二次方程—公式法，利用此方法解方程时，首先将方程整理为一般形式，找出a ，b 及c 的值，然后当根的判别式大于等于0时，代入求根公式即可求出解．18. 【答案】见解析【解析】【分析】先根据边角边证明△ABC ≌△DBE ，得到∠A =∠BDE ，再由AB =BD ，得到∠A =∠ADB ，即可推出∠ADB =∠BDE ，即可得证．【详解】解：∵∠ABD =∠CBE ，∴∠ABC =∠ABD +∠DBC =∠CBE +∠DBC =∠DBE ，∵BA =BD ， BC =BE ，∴△ABC ≌△DBE （SAS ），∴∠A =∠BDE ，∵AB =BD ，∴∠A =∠ADB ，∴∠ADB =∠BDE ，∴BD 平分∠ADE ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，角平分线的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．19.【答案】-1【解析】【分析】把x =m 代入已知方程得到m 2-3m +1=0，则m 2-3m =-1，将其整体代入整理后的代数式求值即可．【详解】解：依题意得：m 2-3m +1=0，∴m 2-3m =-1，∴()()()2231m m m -+-+=2261m m -+=22(3)1m m -+=-2+1=-1【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．注意解题中的整体代入思想．20. 【答案】10【解析】【分析】连接OA ，根据垂径定理求出AC =6，OC ⊥AB ，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．【详解】解：连接AO ，∵点C 是弦AB 的中点，半径OD 与AB 相交于点C ，∴OC ⊥AB ，∵AB =12，∴AC =BC =6，设⊙O 的半径为R ，∵CD =2，∴在Rt △AOC 中，由勾股定理得：AO 2=OC 2+AC 2，即：R 2=（R -2）2+62，∴R =10答：⊙O 的半径长为10．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，解此题的关键是构造直角三角形后根据勾股定理得出方程． 21. 【答案】（1）见解析；（2）同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等；四条边相等的四边形是菱形；直径所对的圆心角是90度【解析】【分析】（1）根据题目要求进行作图即可得到答案；（2）根据题意可知MN AB ⊥则90AOC COB BOD DOA ∠=∠=∠=∠=，由圆心角与弦之间的关系可得AC BC BD AD ===即可证明四边形ACBD 是菱形，再由直径所对的圆心角是90度即可证明四边形ACBD 是正方形．【详解】解：（1）如下图所示，即为所求；（2）证明：在O 中∵MA MB =，NA NB =，∴ MN AB ⊥．∴90AOC COB BOD DOA ∠=∠=∠=∠=，∴AC BC BD AD ===（同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等），∴四边形ACBD 是菱形（四条边相等的四边形是菱形），∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=（直径所对的圆心角是90度），∴四边形ACBD 是正方形．故答案为：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等；四条边相等的四边形是菱形；直径所对的圆心角是90度．【点睛】本题主要考查了尺规作图—线段垂直平分线，直径所对的圆周角是90度，菱形的判定，正方形的判定，圆心角与弦直径的关系等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．22. 【答案】()1证明见祥解；()2 121x x ==．【解析】【分析】（1）先求出判别式，再配方变为()2410m ∆=+≥即可；（2）用十字相乘法可以求出根的表达式，方程的两个实数根都为正整数，列不等式组 020m m -⎧⎨+⎩＞＞，即可得出m 的值．【详解】()1证明：∵22220x x m m ---=是关于x 的一元二次方程，()()222442448410m m m m m ∆=---=++=+≥，∴此方程总有两个实数根． ()2解：∵()2202x x m m -+=-，∴()()20x m x m +--=，∴1x m ，2x m 2=+．∵方程的两个实数根都为正整数，020m m -⎧⎨+⎩＞＞， 解得，-2m ＜＜0，∴-1m ．121x x ==．【点睛】本题考查了根的判别式，配方为平方式，根据方程的两个实数根都为正整数，列出不等式组，求出-1m 是解题的关键．23. 【答案】不能，理由见解析．【解析】【分析】设矩形ABCD 宽为xm ，面积为Sm 2，依题意易求得y 与x 的函数关系式，再判断矩形ABCD 的面积能不能为38m 2，然后说明理由即可解答本题．【详解】设矩形ABCD 宽为xm ，面积为Sm 2根据题意得，-x 2+12x =38，即x 2-12x +38=0，∵△=212438144152-⨯=-<0，∴方程无解，故矩形ABCD 的面积是不可以为238cm ；【点睛】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的函数和一元二次方程．24. 【答案】（1）①正确；②正确；③正确；（2）82n -≤<-【解析】【分析】（1）根据题意可得二次函数的对称轴20122b x a +=-==，2c =-，则0ab <，20abc ab =->即可判断①；当0n >时，即当1x =-时， 0y >，而当0x =时， 20y =-<，则二次函数与x 轴负半轴的交点横坐标在-1—0之间，由二次函数的对称性可知，二次函数与x 轴正半轴的交点的横坐标在2—3之间即可判断②；当1n =时，二次函数经过（-1，1），则可求出1a =，2b =-，则原方程为220x x --=解方程即可判断③；（2）关于x 的不等式20ax bx c ++≤对任意实数x 都成立，即可推出即当1x =时0y a b c =++≤恒成立，故可推断二次函数开口要向下，即0a <且()()220a a +-+-≤，再由a b c n -+=推出32a n =+，由此求解即可．【详解】解：（1）∵二次函数2y ax bx c =++经过点（0，-2），（2，-2）， ∴二次函数的对称轴20122b x a +=-==，2c =-， ∴2b a =-，∴0ab <， ∴20abc ab =->，故①正确；∵当0n >时，即当1x =-时， 0y >，而当0x =时， 20y =-<，∴二次函数与x 轴负半轴的交点横坐标在-1—0之间，∵二次函数的对称轴为x=1，∴由二次函数的对称性可知，二次函数与x 轴正半轴的交点的横坐标在2—3之间，即23m <<，故②正确； 当1n =时，二次函数经过（-1，1），∴1a b c -+=，∴3a b -=，∴()23a a --=，∴1a =，∴2b =-，∴方程()210ax b x c +++=即为220x x --=， ∴()()210x x -+=，解得11x =-，22x =，故③正确；（2）∵关于x 的不等式20ax bx c ++≤对任意实数x 都成立，∴可知二次函数的函数值对于任意的实数x 都小于等于0，∴二次函数的最大值要小于等于0，即当1x =时0y a b c =++≤恒成立∴二次函数开口要向下，即0a <且()()220a a +-+-≤∴20a -≤<，∵当1x =-时，a b c n -+=，∴()()22a a n --+-=，∴32a n =+，即23n a +=∴2203n +-≤<， ∴82n -≤<-．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质及应用，结合函数图像和熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 25. 【答案】（1）见解析；（2）15°【解析】【分析】（1）先根据直径所对的圆周角是90度得到∠CBA =90°-∠CAB ，再由AC =AD ，得到∠ACD =∠ADC ，根据三角形外角的性质和三角形内角和定理得到∠ADC=∠BCE+∠CBA，∠ACD+∠ADC+∠CAB=180°，即可推出2（∠BCE+∠CBA）+∠CAB=180°，由此即可得证；（2）连接OC并延长交圆与F，连接EF，则可得到CF=AB=4，∠CEF=90°，利用勾股定理求出EF===ECF=∠EFC=45°，再由∠ACO+∠BCE=∠ACB-∠ECF=45°，可以推出∠BCE+CAB=45°，再由（1）的结论求解即可．【详解】解：（1）∵AB是圆的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°，∴∠CBA=90°-∠CAB，∵AC=AD，∴∠ACD=∠ADC，∵∠ADC=∠BCE+∠CBA，∠ACD+∠ADC+∠CAB=180°，∴2（∠BCE+∠CBA）+∠CAB=180°，∴2∠BCE+2（90°-∠CAB）+∠CAB=180°，∴2∠BCE-∠CAB=0，∴∠CAB=2∠BCE；（2）如图所示，连接CO并延长交圆与F，连接EF，∵AB与CF都是圆的直径，∴CF=AB=4，∠CEF=90°，∴EF===∴EF=CE，∴∠ECF=∠EFC=45°，∵AB是圆的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACO+∠BCE=∠ACB-∠ECF=45°，∵OA=OC，∴∠CAB =∠ACO ，∴∠BCE +CAB =45°，又∵∠CAB =2∠BCE ，∴∠BCE +2∠BCE =45°，∴∠BCE =15°．【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是90度，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．26. 【答案】（1）()1,1n -+；（2）①0n =；②01a <≤【解析】【分析】（1）把函数解析式化为顶点式，从而可得答案；（2）①分别求解212y x x n =--+与()2231y a x n =--+()0a >的最值，再分三种情况讨论：当0,0,0,n n n >=< 逐一分析对于任意的实数x ，是否都有1212y n y ≤+≤成立，从而可得答案；②分别求解当0n =时，12,y y 的顶点坐标()()1,1,3,1,H K -，再确定直线1y kx k =-+()0k >过定点()1,1,N 从而可得当1a =时，12,y y 的图象关于()1,1N 对称，从而证明,AB CD = 再结合抛物线的图象的性质可得答案.【详解】解：（1） 212y x x n =--+()()2221111,x x n x n =-++-+=-+++ ∴ 函数的顶点坐标为：()1,1.n -+（2） ()2111,y x n =-+++ ∴ 当1x =-时，函数取得最大值11,y n =+()2231y a x n =--+()0a >， ∴ 当3x =时，函数2y 取得最小值21,y n =-当0n >时，有1112,n n n -<+<+对于任意的实数x ，1212y n y ≤+≤不成立．当0n =时，()2111y x =-++最大值为1, ()2231y a x =-+的最小值为1,此时1+21,n =此时：121,y y ≤≤即：对于任意的实数x ，都有1212y n y ≤+≤成立．当0n <时，有1211,n n n +<+<-此时：对于任意的实数x ，1212y n y ≤+≤不成立．综上：0.n =②当0n =时，()2111y x =-++，()2231y a x =-+，顶点坐标分别为：()()1,1,3,1,H K -1y kx k =-+()0k >过定点()1,1N ，如图， ,H K ∴关于N 成中心对称，∴ 当1a =时，()2111y x =-++与()2231y x =-+关于N 成中心对称， ,,NB NC NA ND ∴==,AB CD ∴=对于抛物线()20y ax bx c a =++≠，a 越大，抛物线的开口越小，a 越小，抛物线的开口越大，当2y 的开口宽度比1y 大时，总有,AB CD <所以当,AB CD ≤ 则01,a <≤综上：对于任意的0k >，都有AB CD ≤时，0 1.a <≤【点睛】本题考查的二次函数的性质，顶点坐标，二次函数的最值，二次函数的图象，灵活运用二次函数的知识是解本题的关键.27. 【答案】（1）∠P AB =45°，画图见解析；（2）2，画图见解析【解析】【分析】（1）根据PO =P A =PB ，则O 、B 、A 三点共圆，因此只需要以以P 为圆心，以PO 的长为半径画弧，分别与射线OM ，ON 交于A 、B 即为所求，然后利用圆周角定理进行求解即可；（2）同（1）原理，以P 为圆心，以PO 的长为半径画弧，分别与射线OM ，ON 交于A 、B ，连接AB 即为所求；【详解】解：（1）如图所示，以P 为圆心，以PO 的长为半径画弧，分别与射线OM ，ON 交于A 、B ，连接AB 即为所求；∵PO =P A =PB ，∴O 、B 、A 三点共圆，∴∠APB =2∠AOB =90°，∵P A =PB ，∴∠P AB =∠PBA =45°；（2）如图所示，以P 为圆心，以PO 的长为半径画弧，分别与射线OM ，ON 交于A 、B ，连接AB 即为所求； ∵PO =P A =PB ，∴O 、B 、A 三点共圆，∴∠APB =2∠AOB =90°，∴△P AB 是以AB 为斜边的等腰直角三角形，P A =PO =2；【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．28. 【答案】（1）C 关于弦PQ 的“联络正方形”不存在；证明见详解；（2）点E 的坐标为（1-2，2）或（1+2，-2）；（3）点F 的坐标为（1，3）或（1，6）． 【解析】【分析】（1）连接OE ，当2t =时，点P （2，0），点C （4，3）先求出3≤CD CDEF 为正方形，可求OE ≥=即可；（2）过E 、C 分别作EH ⊥x 轴于H ，CG ⊥x 轴于G ，先证△HED ≌△GDC （AAS ），可得EH =DG ，HD =CG ，由t =0，点P （0，0），点C （4，3），利用勾股定理求出OP 5，由点E 在圆上，可得OE =OP =5，CD，利用勾股定理求出DG=，分当点E在第二象限或第四象限时即可求解；（3）过点F作FM⊥GC交延长线于M，先证△EHD≌△FMC≌△CGD，可得EH=MC=DG，HD=FM=CG=3，设点D（m,0）用m表示点E（m-3，4-m）可列方程4-m=（m-3）2-1，解方程即可求解．【详解】解：（1）连接OE，t=时，点P（2，0），点C（4，3）当2∴CP=∵点D在PQ上，∴3≤CD∵四边形CDEF为正方形，∴OE=，∴OE≥=，∴点E在C外，C关于弦PQ的“联络正方形”是不存在；（2）过E、C分别作EH⊥x轴于H，CG⊥x轴于G，∴∠HED+∠HDE=90°，∵四边形CDEF为正方形，∠EDC=90°，ED=CD,∴∠HDE+∠GDC=90°，∴∠HED=∠GDC，在△HED和△GDC中，HED GDC EHD DGC ED DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△HED ≌△GDC （AAS ），∴EH =DG ，HD =CG ，∵t =0，点P （0，0），点C （4，3），∴OP5，∵点E 在圆上，∴OE =OP =5，∵四边形CDEF 为正方形，∴OE=， ∴CD=2， 在Rt △DCG 中，DG2==， 当点E 在第二象限，PG =4， HD =CG =3，EH =DG=2， ∴PH =HD -PD =HD -（PG -DG ）=3-（4-2）=2-1， ∴点E （），当点E 在第四象限时，PH =PG -HG =PG -（HD -DG ）=4-（）， ∴点E （1+2，-2）， ∴综合点E 的坐标为（1-2，2）或（1+2，-2）；（3）过点F 作FM ⊥GC 交延长线于M ，由（2）△EHD ≌△DGC∴∠MFC +∠MCF =90°，∵四边形CDEF 为正方形，∠FCD =90°，FC =CD ,∴∠MCF +∠GCD =90°，∴∠MFC =∠GCD ，在△FMC 和△CGD 中，MFC GCD FMC CGD CF DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△FMC ≌△CGD （AAS ），∴△EHD ≌△FMC ≌△CGD∴EH =MC =DG ， HD =FM =CG =3，设点D （m ，0），∴DG =4-m ，∴OH=HG-OG=CG+DG-OG=4-m+3-4=3-m，∴点E（m-3，4-m），∴4-m=（m-3）2-1，解得m=4或m=1，当m=1时，点E（-2，3）满足条件，此时DG=3=CM，点F的横坐标x=OG-FM=4-3=1，纵坐标y=MG=MC +CG=3+3=6，∴点F（1，6），当m=4时，点E（1，0）满足条件，此时DG=0=CM，点F的横坐标x=OG-FM=4-3=1，纵坐标y=MG=MC +0=3+0=3，∴点F（1，3），综合点F的坐标为（1，3）或（1，6）．【点睛】本题考查新定义圆与正方形关系，考查圆的性质，正方形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，二次函数的性质，一元二次方程的解法，分类讨论思想，掌握抓住新定义圆与正方形的实质，圆的性质，正方形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，二次函数的性质，分类讨论思想是解题关键．31/ 31。