小学生奥数登台阶问题

小学生奥数登台阶问题

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例1：小明要登10级台阶，每步登1级或2级台阶，共有多少种不同的登法？解：我们生活中解决一个问题有许许多多的方法、途径，在我们数学中，解决一道数学题，当然也会有很多方法。我们学习数学并不是简简单单的去得到一个答案，而是要去学习如何透彻的去分析一个数学问题，探索多种方法去解决他。就上面的这道题，我们就可以通过2种途径去搞定他，可能还会有更多的方法，但我只想到了两种，具体阐述如下：

第一种方法：利用递推公式：f(n)=f(n-1)+f(n-2)(这递推公式怎么来的？我们可以这样理解：因为每步只能登1级或者2级，所以你要登上最后1级台阶的话，你必须站在第9级台阶上或者是第8级台阶上。这样我们就可以把登台阶的方法分为两类：第一类：在9级台阶的基础上再登1级，那么前面登9级台阶共有f(9)种方法，这类登台阶的总的方法有f(9)×1=f(9)种。

第二类：在8级台阶的基础上再一次登2级，那么前面登8级台阶共有f(8)种方法。这类登台阶的方法有f(8)×1=f(8)种。再根据加法原理f(10)=f(9)+f(8)种方法。)

（如果每步登2级或3级台阶的话递推公式就变为：f(n)=f(n-2)+f(n-3)怎么得来的可以自己分析。）

那么根据本道题的递推公式：f(n)=f(n-1)+f(n-2)我们可以很快知道，

f（1）=1种

f(2)=2种

f(3)=f(2)+f(1)=3种

f(4)=f(3)+f(2)=5种

f(5)=f(4)+f(3)=8种

f(6)=f(5)+f(4)=13种

f(7)=f(6)+f(5)=21种

f(8)=f(7)+f(6)=34种

f(9)=f(8)+f(7)=55种

f(10)=f(9)+f(8)=89种，利用递推公式可以轻松的得到本题的答案89种方法。

第二种方法：利用组合知识解答。

10=5×2+0×1①

4×2+2×1②

3×2+4×1③

2×2+6×1④

1×2+8×1⑤

10×1 ⑥

我们可以把登台阶的方法分为这样的6种：

第一种：都是2级、2级的登=c55=1种。

第二种：登4个2级，登2个1级台阶=c46=15种

第三种：登3个2级，登4个1级台阶=c 37=35种 第四种：登2个2级，登6个1级台阶=c 28

=28种 第五种：登1个2级，登8个1级台阶=

c

19

=9种

第六种：登10个1级台阶=1种

那么总得登法就=1+15+35+28+9+1=89种。

例2：有一堆火柴共9跟，每次取走1~3根，把这堆火柴全部取完有多少种不同的取法？（这是登台阶问题的变形，可以把取9根火柴想成是登9级台阶，每次登1~3级，共有多少种不同的登法？）

解：一样本道题我们也讲两种解法：

第一种：还是利用递推公式：f(n)=f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)（递推公式怎么来的，

可以自己分析！），我们可以很快的知道： f(1)=1种 F(2)=2种 F(3)=4种

F(4)=f(3)+f(2)+f(1)=7种 f(5)=f(4)+f(3)+f(2)=13种 f(6)=f(5)+f(4)+f(3)=24种 f(7)=f(6)+f(5)+f(4)=44种 f(8)=f(7)+f(6)+f(5)=81种

f(9)=f(8)+f(7)+f(6)=149种，所以登9级台阶有149种方法。

第二种方法还是利用组合的知识来解答： 9=3×3 ① =2×3+1×2+1×1② =2×3+3×1 ③ =1×3+3×2 ④ =1×3+2×2+2×1⑤ =1×3+1×2+4×1⑥ =1×3+6×1 ⑦ =4×2+1×1 ⑧ =3×2+3×1 ⑨ =2×2+5×1 ⑩ =1×2+7×1 ⑾ =9×1 ⑿

第一种：连续登3次3级台阶，有1种方法；

第二种：登2次3级台阶，登1次2级台阶，登1次1级台阶，有122

33

4=⨯c c 种方法；

第三种：登2次3级台阶，登3次1级台阶，有102

5=c 种方法；

第四种：登1次三级台阶，登3次2级台阶，有41

4=c 种方法；

第五种：登1次3级台阶，登2次2级台阶，登2次1级台阶，有301

33

5=⨯c c 种方法；

第六种：登1次3级台阶，登1次2级台阶，登4次1级台阶，有30122

6=⨯c c 种方法；

第七种：登1次3级台阶，登6次1级台阶，有71

7=c 种方法； 第八种：登4次2级台阶，登1次1级台阶，有545=c 种方法； 第九种：登3次2级台阶，登3次1级台阶，有2036=c 种方法； 第十种：登2次2级台阶，登5次1级台阶，有2127=c 种方法； 第十一种：登1次2级台阶，登7次1级台阶，有818=c 种方法； 第十二种：登9次1级台阶，有1种方法；

所以总得方法有=1+12+10+4+30+30+7+5+20+21+8+1=149种方法。