时间序列考试A卷——答案 2

一、单项选择题1. t X 的k 阶差分是 【 C 】（A ）k t t t k X X X -∇=- （B ）11k k k t t t k X X X ---∇=∇-∇ （C ）111k k k t t t X X X ---∇=∇-∇ （D ）1112k k k t t t X X X ----∇=∇-∇ 2. MA(2)模型121.10.24t t t t X εεε--=-+，则移动平均部分的特征根是 【 A 】 （A ）10.8λ=，20.3λ= （B ）10.8λ=-，20.3λ= （C ）10.8λ=-，20.3λ=- （D ）10.8λ=-，20.2λ= 3.关于差分121.30.40t t t X X X ---+=，其通解是 【 D 】 （A ）1(0.80.3)t t C + （B ） 1(0.80.5)t t C + （C ） 120.80.3t t C C + （D ）120.80.5t t C C +4. AR(2)模型121.10.24t t t t X X X ε--=-+，其中0.04t D ε=，则t t EX ε=【 B 】 （A ）0 （B ） 0.04 （C ） 0.14 （D ）0.25. ARMA(2,1)模型1210.240.8t t t t t X X X εε-----=-，其延迟表达式为【 A 】（A ）2(10.24)(10.8)t t B B X B ε--=- （B ） 2(0.24)(0.8)t t B B X B ε--=- （C ）2(0.24)0.8t t B B X ε--=∇ （D ）2(10.24)t t B B X ε--=∇三、（15分）已知MA(2)模型为120.60.5t t t t X εεε--=-+，其中0.04t D ε=， （1）计算前3个逆函数，,1,2,3j I j =；----------------（8分） （2）计算()t Var X ；-----------------------------------（7分）解答：（1）t X 的逆转形式为：1t jt j t j X IX ε+∞-==+∑，或0()t j t j j I X ε+∞-==-∑------------（1分）将其代入原模型得：2212(10.60.5)(1)t t X B B I B I B X =-+----------（1分）比较B 的同次幂系数得：11:0.600.6B I I --=⇒=-———（2分）2212:0.60.500.14B I I I -++=⇒=———（2分） 33213:0.60.500.384B I I I I -++=⇒=———（2分）（2）12(0.60.5)0t t t t EX E εεε--=-+=———（1分）21212[(0.60.5)(0.60.5)]t t t t t t t EX E εεεεεε----=-+-+，———（2分）因为20,0.04,t s t s E t sεεεσ≠⎧=⎨==⎩———（2分） 所以：222()(10.60.5)0.040.0644t t Var X EX ==++⨯=———（2分） 四、（15分）已知AR(2)模型为(10.5)(10.3)t tB B X ε--=，20.5t D εεσ==。

（1）计算偏相关系数(1,2,3)kk k ϕ=；--------------------------（8分）（2）()t Var X ；---------------------------------------------（7分）解答（1）11(10.5)(10.3)0.80.15t t t t t B B X X X X ε----=-+=，所以：120.8,0.15ϕϕ==-对于(2)AR 模型其系数满足2阶Yule-Walker 方程：11111212110.8110.15ρϕρρρϕρρ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以： 1120.695651ϕρϕ=≈-和212220.406521ϕρϕϕ=+≈-，1110ρϕρ=即111ϕρ=当2k =时，产生偏相关系数的相关序列为2122{,}ϕϕ，相应Yule-Wolker 方程为：0121110222ρρϕρρρϕρ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦1110ρϕρ=即111ϕρ=，所以1110.69565ϕρ=≈12211112[(1)(1)][1(1)]0.14999ϕρρϕρϕϕ-=--≈-≈对于()AR p 模型其偏相关系数具有以下特点：1,1jkj j pk p p j kϕϕ≤≤⎧=≥⎨+≤≤⎩所以，2220.15ϕϕ==，330ϕ=-(2) 1122()()t t t t t t t t E X X E X X X X X ϕϕε--=++———（2分）011221122[()]t t t t r r r E X X ϕϕεϕϕε--=++++21122r r εϕϕσ=++———（2分） 101r r ρ=，202r r ρ=———（1分）因120.8,0.15ϕϕ==-，20.5a σ=，10.69565ρ≈，20.40652ρ≈，———（1分）所以：0()0.99116t Var X γ=≈——（1分）五、（12分）已知AR(2)模型为1122t t t t X X X εϕϕ--=++，且10.5ρ=，20.3ρ= （1）求1ϕ，2ϕ； （2）计算前3个格林函数，,1,2,3j G j =； 1）Yule-Walker 方程为：01111022ρρϕρρρϕρ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭01111022ρρϕρρρϕρ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为10.5ρ=和20.3ρ=， 所以1715ϕ=,2115ϕ= （2）t X 的传递形式为：1t j t jj X G ε+∞-==∑（1分）将其代入原模型得：2120(1)j t jt j B B G ϕϕεε+∞-=--=∑—（1分）比较B 的同次幂系数得：01G =110117:015B G G G ϕϕ-=⇒==———（2分） 221120264:0225B G G G G ϕϕ-+=⇒=———（2分）3312213553:00.163853375B G G G G ϕϕ--=⇒=≈———（2分）六（15分）已知MA(2)模型：120.70.4t t t t X εεε--=-+，（1）计算自相关系数(1)k k ρ≥； （2）计算偏相关系数(1,2,3)kk k ϕ=；解：（1）1212[0.70.4)(0.70.4)]t t kt t t t k t k t k EX X E εεεεεε--------=-+-+（所以：2220120,(1)k εγθθσ==++，211121,(),k εγθθθσ==-+2122,k εγθσ==-，3,0k k γ≥=，所以：112122120.591θθθρθθ-+==-++2222120.241θρθθ-==++0,3k k ρ=≥（2）1110ρϕρ=即111ϕρ=，所以110.59ϕ≈-当2k =时，产生偏相关系数的相关序列为2122{,}ϕϕ，相应Yule-Wolker 方程为：0121110222ρρϕρρρϕρ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 所以220.166ϕ≈-当3k =时，产生偏相关系数的相关序列为313233{,,}ϕϕϕ，相应Yule-Wolker 方程为：123111132221333111ρρϕρρρϕρρρϕρ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦所以330.047ϕ≈七、（10分）证明ARMA(1，1)序列110.50.25t t t t X X εε--=+-，tWN εεσ2（0，）的自相关系数为：11,00.27,10.5,2k k k k k ρρ-=⎧⎪==⎨⎪≥⎩解答：方法一：1111t t t t X X ϕεθε---=+，所以：110.5,0.25ϕθ==-首先求ARMA(1，1)模型的格林函数：11(1)(1)t t B X B a ϕθ-=-21121(1)(1)(1)t t B G B G B a B a ϕθ→-+++=+所以：111G ϕθ=+1111t t t t X X a a ϕθ---=+两边同乘t X ，在求期望得：01111t t t t r r Ea X Ea X ϕθ--=+1111t t t t X X a a ϕθ---=+两边同乘1t X -，在求期望得：110111t t r r Ea X ϕθ---=1111t t t t X X a a ϕθ---=+两边同乘t k X -，1k >在求期望得： 110k k r r ϕ--=200()t t t j t j aj Ea X E a G a G σ+∞-===∑； 21110()t t t j t j aj Ea X E a G a G σ+∞---===∑ 2111100()t t t j t j aj Ea X E a G a G σ+∞-----===∑ 所以：2011111[1()]a r r ϕθϕθσ-=++；21101a r r ϕθσ-=所以：11111120111()(1)0.2712r r ϕθϕθρθϕθ++===++ 又因110k k r r ϕ--=11k k ρϕρ-→=， 方法二：0111122011[(0.50.25)(0.50.25)]0.50.520.50.250.250.25t t t t t t t t E X X EX εεγεεεεγεσσ------=+-+-=⨯-⨯⨯++⨯2112121[(0.50.25)]t t t t t t EX E X εεεεεσ------=+-=所以，201312εγσ=两边同乘1t X -，在求期望得：1111011[(0.50.25)]0.50.25t t t t t t E X X EX γεεγε-----=+-=-所以，21724εγσ=两边同乘,2t k X k -≥，在求期望得：111[(0.50.25)],20.5k t t t t k k E X X k γεεγ----=+-≥=一、填空题（每空3分，共30分）；1. 所谓时间序列分析是指：对时间序列进行观察、研究，找寻它变化发展的规律，预测它将来的走势（就是时间序列分析）。

2. 给出一个简单的时间序列实例：某同学一周七天每天花费的基本生活费15，13，16，17，15，18，20（单位：元）。