时间序列考试A卷——答案 2
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一、单项选择题
1. t X 的k 阶差分是 【 C 】
（A ）k t t t k X X X -∇=- （B ）11k k k t t t k X X X ---∇=∇-∇ （C ）111k k k t t t X X X ---∇=∇-∇ （D ）1112k k k t t t X X X ----∇=∇-∇ 2. MA(2)模型121.10.24t t t t X εεε--=-+，则移动平均部分的特征根是 【 A 】 （A ）10.8λ=，20.3λ= （B ）10.8λ=-，20.3λ= （C ）10.8λ=-，20.3λ=- （D ）10.8λ=-，20.2λ= 3.关于差分121.30.40t t t X X X ---+=，其通解是 【 D 】 （A ）1(0.80.3)t t C + （B ） 1(0.80.5)t t C + （C ） 120.80.3t t C C + （D ）120.80.5t t C C +
4. AR(2)模型121.10.24t t t t X X X ε--=-+，其中0.04t D ε=，则t t EX ε=【 B 】 （A ）0 （B ） 0.04 （C ） 0.14 （D ）0.2
5. ARMA(2,1)模型1210.240.8t t t t t X X X εε-----=-，其延迟表达式为【 A 】
（A ）2(10.24)(10.8)t t B B X B ε--=- （B ） 2(0.24)(0.8)t t B B X B ε--=- （C ）2(0.24)0.8t t B B X ε--=∇ （D ）2(10.24)t t B B X ε--=∇
三、（15分）已知MA(2)模型为120.60.5t t t t X εεε--=-+，其中0.04t D ε=， （1）计算前3个逆函数，,1,2,3j I j =；----------------（8分） （2）计算()t Var X ；
-----------------------------------（7分）
解答：（1）t X 的逆转形式为：1
t j
t j t j X I
X ε+∞
-==
+∑，或0
()t j t j j I X ε+∞
-==-∑------------（1分）
将其代入原模型得：2212(10.60.5)(1)t t X B B I B I B X =-+----------（1分）
比较B 的同次幂系数得：
11:0.600.6B I I --=⇒=-———（2分）
2212:0.60.500.14B I I I -++=⇒=———（2分） 33213:0.60.500.384B I I I I -++=⇒=———（2分）
（2）12(0.60.5)0t t t t EX E εεε--=-+=———（1分）
21212[(0.60.5)(0.60.5)]t t t t t t t EX E εεεεεε----=-+-+，———（2分）
因为20,0.04,t s t s E t s
ε
εεσ≠⎧
=⎨==⎩———（2分） 所以：222()(10.60.5)0.040.0644t t Var X EX ==++⨯=———（2分） 四、（15分）已知AR(2)模型为(10.5)(10.3)t t
B B X ε--=，
2
0.5t D εεσ==。 （1）计算偏相关系数(1,2,3)kk k ϕ=；--------------------------（8分）
（2）()t Var X ；---------------------------------------------（7分）
解答（1）11(10.5)(10.3)0.80.15t t t t t B B X X X X ε----=-+=，
所以：120.8,0.15ϕϕ==-
对于(2)AR 模型其系数满足2阶Yule-Walker 方程：
11111212110.8110.15ρϕρρρϕρρ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫== ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，所以： 1120.695651ϕρϕ=≈-和2
1222
0.406521ϕρϕϕ=+≈-，
1110ρϕρ=即111ϕρ=
当2k =时，产生偏相关系数的相关序列为2122{,}ϕϕ，相应Yule-Wolker 方程为：
0121110222ρρϕρρρϕρ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
1110ρϕρ=即111ϕρ=，所以
1110.69565ϕρ=≈
12211112[(1)(1)][1(1)]0.14999ϕρρϕρϕϕ-=--≈-≈
对于()AR p 模型其偏相关系数具有以下特点：
1,
1j
kj j p
k p p j k
ϕϕ≤≤⎧=≥⎨
+≤≤⎩
所以，2220.15
ϕϕ==，
330ϕ=-
(2) 1122()()t t t t t t t t E X X E X X X X X ϕϕε--=++———（2分）
011221122[()]t t t t r r r E X X ϕϕεϕϕε--=++++21122r r εϕϕσ=++———（2分） 101r r ρ=，202r r ρ=———（1分）
因120.8,0.15ϕϕ==-，2
0.5a σ=，10.69565ρ≈，20.40652ρ≈，———（1分）
所以：0()0.99116t Var X γ=≈——（1分）
五、（12分）已知AR(2)模型为1122t t t t X X X εϕϕ--=++，且10.5ρ=，20.3ρ= （1）求1ϕ，2ϕ； （2）计算前3个格林函数，,1,2,3j G j =； 1）Yule-Walker 方程为：01111022ρρϕρρρϕρ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=
⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭