线性非局部Drude模型的一种解耦格式的稳定性和收敛性分析
Drude模型简介
Drude模型简介•最简单的金属模型–只考虑到电子的运动学特性•最成功的金属模型之一–为什么这么简单的模型会获得巨大的成功？•在量子力学与原子物理学诞生之前–1897年，J.J. Thomson发现电子–1900年，Drude提出金属的电导和热导理论,Annalen de Physik1, 566 (1900), ibid. 3, 369 (1900).电导率电子气模型虽然金属中至少有两种带电粒子，离子与电子，Drude 假定参与导电作的仅是其中的一种。
传导电子的来源：价电子与芯电子。
Drude模型的基本假设忽略电子与电子之间的相互作用（独立电子近似），忽略电子与离子之间的相互作用（自由电子近似），电子只受到均匀外电场的作用；（Kinetic theory） 电子受到的碰撞是瞬时的，来自电子与杂质原子之间的散射；电子在单位时间内散射的几率是1/τ，τ是电子驰豫时间（relaxation time / life time）；电子在各种散射下达到热力学平衡，即，电子在碰撞之后的状态是随机的，由热力学平衡决定其分布。
=frequency) (cyclotron 为回旋频率令mceHc ω1nec仅依赖于载流子密度和电荷电导的实部和虚部？Drude模型的推广•经典力学→量子力学：Sommerfeld模型•自由电子近似→考虑电子-离子的相互作用：能带理论•独立电子近似→电子-电子相互作用：金属的Fermi-Liquid理论•电子气的局域热平衡（local thermal equilibrium）→小尺度、非平衡特性：介观物理（mesoscopic physics）。
11.2-11.3 李雅普诺夫稳定性的基本定理
于零;
P为不定的充分必要条件是的对角线元素有正有负。
定理11-3中的合同变换 (congruence transformation) 是指对 对称矩阵的同样序号的行和列同时作同样的初等变换。 上述三种判别实对称矩阵P的定号性的方法, 各有千秋。但 总的说来, 基于Sylvester定理的方法计算量较大，若将该方法推广
态方程的特征值, 根据特征值在复平面的分布来分析稳定性。
值得指出的区别是: 经典控制理论讨论在有界输入下的输出稳定性问题, 而Lyapunov方法讨论状态稳定性问题。 由于Lyapunov第一法需要求解线性化后系统的特征值, 因此该方法也仅能适用于非线性定常系统或线性定常系 统，但是不能推广用于时变系统。
( x1 2x2 )2 ( x1 2x2 )2
函数的定号性是一个相对概念, 与其函数定义域有关。
2 对 x 与 x 组成的 2 维空间为非负定的, 但是 如, 函数 2 x2 1 2
对于 1 维空间 x2 则为正定的。
(2) 二次型函数和对称矩阵的正定性
二次型函数 (quadratic function) 是一类特殊形式函数。 设V(x)为关于 n 维变量向量 x 的实二次型函数, 则其可以 表示为
由Lyapunov第一法的结论可知，该方法能解决部分 弱非线性系统的稳定性判定问题，但对强非线性系 统的稳定性判定则无能为力，而且该方法不易推广 到时变系统。
下面我们讨论对所有动态系统的状态方程的稳
定性分析都适用的Lyapunov第二法。 Lyapunov's second method
Lyapunov第二法又称为直接法(direct method) 。 它是在用能量观点分析稳定性的基础上建立起来的。
非线性随机分数阶积分微分方程半隐式欧拉解的收敛性和稳定性
2021年第42卷第1期中北大学学报(自然科学版)V o l.42 N o.12021 (总第195期)J O U R N A LO FN O R T HU N I V E R S I T YO FC H I N A(N A T U R A LS C I E N C EE D I T I O N)(S u m N o.195)文章编号:1673-3193(2021)01-0006-07非线性随机分数阶积分微分方程半隐式欧拉解的收敛性和稳定性李晓卫,贾宏恩,郭平(太原理工大学数学学院,山西太原030024)摘要:主要对非线性随机分数阶积分微分方程半隐式欧拉方法的收敛性进行了针对性研究,证明了此类半隐式欧拉方法具有强一阶收敛性.此外,在精确解满足均方稳定性的前提下,研究了非线性随机分数阶积分微分方程半隐式欧拉解的均方稳定性,最后利用数值算例验证了数值解的收敛性.关键词:随机分数阶积分微分方程;半隐式欧拉方法;收敛性;均方稳定性中图分类号: O242.28文献标识码:A d o i:10.3969/j.i s s n.1673-3193.2021.01.002C o n v e r g e n c e a n dS t a b i l i t y o f S e m i-I m p l i c i t E u l e r-M a r u y a m aS o l u t i o n f o rN o n l i n e a r S t o c h a s t i cF r a c t i o n a lI n t e g r o-D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n sL IX i a o-w e i,J I A H o n g-e n,G U OP i n g(S c h o o l o fM a t h e m a t i c a l S c i e n c e s,T a i y u a nU n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y,T a i y u a n030024,C h i n a)A b s t r a c t:T h i s p a p e r i sm a i n l y c o n c e r n e dw i t h t h e c o n v e r g e n c e a n a l y s i s o f t h e s e m i-i m p l i c i tE u l e r-M a-r u y a m a(E M)m e t h o df o r t h en o n l i n e a rS F I D E s.I t i s p r o v e dt h a t t h es e m i-i m p l i c i tE M s o l u t i o no f S F I D E s s h a r e s s t r o n g f i r s t o r d e r s h a r p c o n v e r g e n c e.F u r t h e r m o r e,o n t h e p r e m i s e t h a t t h e e x a c t s o l u-t i o n s a t i s f i e s t h em e a n-s q u a r e s t a b i l i t y,w e r e s e a r c h e d t h em e a n-s q u a r e s t a b i l i t y o f t h e s e m i-i m p l i c i t E M s o l u t i o n o f t h e n o n l i n e a r S F I D E s.A t l a s t,s o m e n u m e r i c a l e x a m p l e sw e r e p r e s e n t e d t o d e m o n s t r a t e t h e c o n v e r g e n c e o f t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n s.K e y w o r d s:s t o c h a s t i c f r a c t i o n a l i n t e g r a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n;s e m i-i m p l i c i tE u l e r-M a r u y a m am e t h o d;c o n v e r g e n c e;m e a n-s q u a r e s t a b i l i t y0引言积分微分方程是现代数学的重要分支,是人们解决各种实际问题的有效工具,它广泛应用于几何㊁力学㊁物理㊁电子技术㊁自动控制㊁航天㊁生命科学等领域,如反应堆动力学[1]㊁种群动态[2]和分层介质中的波传播[3],并且随着现实生活中的许多随机因素(如噪声等)被考虑进来,随机积分微分方程引起了国内外众多学者的关注与研究.在现有研究中,随机积分微分方程被应用于随机力驱动的粘弹性结构构件的力学行为[4]㊁期权定价[5]及人口增长模型中[6].此外,一些学者证明了随机积分微分方程解的存在性㊁唯一性和稳定性[7-10].但在许多情况下,随机积分微分方程的精确解很难找到,因此,寻找求解此类方程近似解的数值方法引起了许多学者的关注.如,对于具有乘性噪声的随机微分方程,T o c i n oA等[11]提出了一种二阶显式R u n g e K u t t a格式,对于具有恒收稿日期:2020-04-26作者简介:李晓卫(1995-),女,硕士生,主要从事计算数学的研究.定扩散系数的标量方程,还得到了两种三阶R u n g e K u t t a格式;B a b u s k a I等[12]采用蒙特卡罗G a l e r k i n法和随机G a l e r k i n有限元方法求解随机扩散和载荷系数的随机线性椭圆偏微分方程,当采用少量随机参数描述噪声时,随机G a l e r k i n法为首选方法;M a l e k n e j a dK等[13]利用块脉冲函数求解随机沃尔泰拉积分方程,得到了精度较高的近似解.随着分数阶微积分的发展,分数阶积分微分方程出现在信号处理的统计力学领域[14-16].目前,越来越多的研究者对随机分数阶积分微分方程进行了深入研究,探讨了此类方程解的存在性㊁唯一性和稳定性[17-18].而且,研究人员还研究了一些数值格式,并对这些数值格式的性质进行了探讨,如利用谱配置方法㊁欧拉方法以及径向基方法求解该类方程,并讨论了这些方法的性质[19-21].此外,F a e d o-G a l e r k i n方法㊁L e g e n d r e小波方法以及对应的收敛性也被研究和证明[22-23].半隐式欧拉格式已被用于多种方程中,如随机受电弓方程和随机微分延迟方程[24-25],其精确解的稳定性已被证明[26].本文主要目的是给出随机分数阶积分微分方程的半隐式欧拉格式的收敛性分析和相应离散数值解的稳定性分析.本文给出了一些必要的符号与准备,以及与原始方程对应的随机沃尔泰拉积分方程;分析了随机分数阶积分微分方程的半隐式欧拉格式的收敛性与收敛阶;给出了半隐式欧拉格式数值解的稳定性;最后通过数值算例验证了本文的理论分析.1符号与准备工作在本文中,设(Ω,F,P)为具有满足一般条件的σ域F t t⩾0的完备概率空间,㊃为R d空间上的欧拉范数.如果A为向量或矩阵,其转置表示为A T,且若A为矩阵,其F范数用A= t r a c e(A T)A来表示.如果Z为集合,其指标函数用I Z来表示,即当xɪZ时,I Z x=1;否则,值为0.设T>0,L10,T;R n表示一族所有R n值可测的F t适应过程f={f(t)}0ɤtɤT使得ʏT0f(t)d t<ɕ成立;设L2(0,T;R nˑm)表示一族所有(nˑm)矩阵值可测的F t适应过程{f(t)}0ɤtɤT使得ʏT0f(t)2d t<ɕ成立.考虑以下d维非线性随机分数阶积分微分方程Dαy(t)=Ø(t)+ʏt0k1(t,s,y(s))d s+ʏt0k2(t,s,y(s))d W(s),tɪ[0,T],y(0)=y0,(1)式中:Dα为α(αɪ(0,1])阶C a p u t o分数阶导数;ØɪC([0,T];R d);设Q=(t,s)ʒ0ɤsɤtɤT, k1ɪL1(QˑR d;R d),k2ɪL2(QˑR d;R dˑr);W(t)表示定义在完备概率空间上的r维标准布朗运动; y0为F0可测R d值的随机变量使得E y02<ɕ成立.定义1对函数fʒ[0,+ɕ)ңR d的α阶R i e m a n n-L i o u v i l e分数阶积分算子定义如下Iαf(t)=1Γ(α)ʏt0(t-τ)α-1f(τ)dτ,α>0且I0f(t)=f(t),其中Γ(α)为G a m m a函数,Γ(α)ʉʏ+ɕ0e-t tα-1d t定义2对于函数fɪCγ([0,+ɕ))的α阶C a p u t o导数可以记作Dαf(t)=1Γ(γ-α)ʏt0f(γ)(τ)(t-τ)α+1-γdτ,式中:γ-1<α<γ,γɪN+.由富比尼定理,式(1)可转化为以下随机沃尔泰拉积分方程(这两个方程的具体转化可参考文献[18])y(t)=Φ(t)+ʏt0K1(t,s,y(s))d s+ʏt0K2(t,s,y(s))d W(s),(2)其中tɪ[0,T],y(0)=y0,Φ(t)=y0+1Γ(α)ʏt0(t-τ)α-1Ø(τ)dτ, K i(t,s,y(s))=1Γ(α)ʏt s(t-τ)α-1k i(τ,s,y(s))dτ,i=1,2.假设1对于任意(t,s)ɪQ,k1(t,s,0)与k2(t,s,0)是连续有界的函数,且存在正常数l i, i=1, ,4,使得Ø,k j满足如下条件Ø(t1)-Ø(t2)ɤl1t1-t2,k j(t1,s,y)-k j(t2,s,y)ɤl2(1+|y|)t1-t2, k j(t,s1,y)-k j(t,s2,y)ɤl3(1+|y|)s1-s2, k j(t,s,y1)-k j(t,s,y2)ɤl4y1-y22,7(总第195期)非线性随机分数阶积分微分方程半隐式欧拉解的收敛性和稳定性(李晓卫等)对任意t,t1,t2,s,s1,s2ɪ[0,T],y,y1,y2ɪR d, j=1,2均成立.在假设1的条件下,得到以下定理[18].定理1存在正常数L i,i=1, ,5,使得Φ(t),K j(j=1,2)满足以下条件Φ(t1)-Φ(t2)ɤL1t1-t2,K j(t1,s,y)-K j(t2,s,y)ɤL2(1+|y|)t1-t2, K j(t,s1,y)-K j(t,s2,y)ɤL3(1+|y|)s1-s2,K j(t,s,y)2ɤL4(1+y2)t-s2, K j(t,s,y1)-K j(t,s,y2)ɤL5y1-y2,对任意t1,t2ɪ[0,T],s1,s2ɪ[0,T],t,sɪ[0, T],yɪR d均成立.下文中C代表一个任意的正常数.2半隐式欧拉格式的收敛性与收敛阶精确解的存在性㊁唯一性和稳定性已在一些文献中有研究[18].本节讨论半隐式欧拉方法的收敛性与收敛阶.首先,将整个时间区间分割为N个小区间,对于Nȡ1,令h=T/N,t n=n h,对于n=0,1, 2, ,N,当t=t n+1时,y(t n+1)=Φ(t n+1)+ʏt n+10K1(t n+1,s,y(s))d s+ʏt n+10K2(t n+1,s,y(s))d W(s)=Φ(t n+1)+ðn i=0ʏt i+1t i K1(t n+1,s,y(s))d s+ðn i=0ʏt i+1t i K2(t n+1,s,y(s))d W(s)ʈΦ(t n+1)+hðn i=0K1(t n+1,t i,y(t i+1))+ðn i=0K2(t n+1,t i,y(t i))ΔW i,因此,定义Y n+1=Φ(t n+1)+hðn i=0K1t n+1,t i,Y i+1+ðn i=0K2t n+1,t i,Y iΔW i.(3)对n=0,1,2, ,N-1及Y0=y(0)=y0,当sɪ[t n,t n+1)时,定义s=t n以及Y1(t)=ðN n=0Y n I[t n,t n+1)(t),(4)^Y1(t)=ðN n=0Y n+1I[t n,t n+1)(t),(5)则得到以下半隐式欧拉格式Y(t)=Φ(t)+ʏt0K1(t,s,^Y1(s))d s+ʏt0K2(t,s,Y1(s))d W(s).(6)引理1假定假设1满足,那么存在一个常数C>0以及h1=13T3L4>0,使得对于h<h1有E(|Y n+12)ɤC,E(Y(t)2)ɤC.证明由式(3)和基本不等式,有Y n+12ɤ3Φ(t n+1)2+3h2ðn i=0K1t n+1,t i,Y i+12+3ðn i=0K2t n+1,t i,Y iΔW i2.对上述不等式两端同时取期望,有E|Y n+1|2ɤ3EΦ(t n+1)2+3h2Eðn i=0K1t n+1,t i,Y i+12+3Eðn i=0K2t n+1,t i,Y iΔW i2ɤ6EΦ(t n+1)-Φ(0)2+Φ(0)2+3n+1h2ðn i=0E K1t n+1,t i,Y i+12+3ðn i=0E|K2t n+1,t i,Y iΔW i|2ɤ6EΦ(t n+1)-Φ(0)2+Φ(0)2+3n+1h2L4ðn i=0E((1+Y i+12)|t n+1-t i|2)+ 3h L4T2ðn i=0(1+E|Y i|2)ɤ6L21T2+ 6E y02+3h L4T3ðn i=0(1+E|Y i+1|2)+3h L4T2ðn i=0(1+E|Y i|2),则得到1+E(|Y n+1|2)ɤ6L21T2+6E y02+11-3T3L4h+ 3T3L4h+3T2L4h1-3T3L4hðn i=0(1+E|Y i|2).由离散G r o n w a l l不等式1+E(|Y n+1|2)ɤ6L21T2+6E y02+11-3T3L4h e3T3L4n h+3T2L4n h1-3T3L4hɤ6L21T2+6E y02+11-3T3L4h e3T4L4+3T3L41-3T3L4hʒ=C,及Y(t)的连续性,得到8中北大学学报(自然科学版)2021年第1期E Y(t)2ɤC.引理2假定满足假设1,在h<m i n(1,h1)的情况下,存在一个与h无关的正常数C,使得E Y(t)-^Y1(t)2ɤC h2,E Y(t)-Y1(t)2ɤC h2.证明对于任意的tɪ[0,T],存在一个整数n使得tɪ[t n,t n+1),由式(4)~式(6),得到Y(t)-Y1(t)=Y(t)-Y n=Φ(t)-Φt n+ʏt n0K1t,s,^Y1(s)-K1t n,s,^Y1(s)d s+ʏt t n K1t,s,^Y1(s)d s+ʏt n0K2(t,s,Y1(s))-K2(t n,s,Y1(s))d W(s)+ʏt t n K2(t,s,Y1(s))d W(s).再由基本不等式,C a u c h y-S c h w a r t z不等式和I tô等距,得E Y(t)-Y1(t)2ɤ5EΦ(t)-Φt n2+ 5T Eʏt n0K1t,s,^Y1(s)-K1(t n,s,^Y(s))2d s+ 5h Eʏt t n K1t,s,^Y1(s)2d s+ 5Eʏt n0K2(t,s,Y1(s))-K2(t n,s,Y1(s))2d s+ 5Eʏt t n K2t,s,Y1(s)2d sɤ5L21t-t n2+ 10T Eʏt n0L221+^Y1(s)2t-t n2d s+ 5h Eʏt t n L41+^Y1(s)2t-s2d s+ 10Eʏt n0L221+Y1(s)2t-t n2d s+ 5Eʏt t n L41+Y1(s)2t-s2d sɤ5L21h2+10T h2L22Eʏt n01+^Y1(s)2d s+ 5h3L4Eʏt t n1+^Y1(s)2d s+ 10L22h2Eʏt n01+Y1(s)2d s+ 5L4h2Eʏt t n1+Y1(s)2d sɤ5L21h2+10T h2L22ʏt n01+E^Y1(s)2d s+ 5h3L4ʏt t n1+E(^Y1(s)2)d s+ 10L22h2ʏt n01+E Y1(s)2d s+5L4h2ʏt t n1+E(Y1(s)2)d sɤC h2.同理,Y(t)-^Y1(t)=Y(t)-Y n+1=Φ(t)-Φ(t n+1)+ʏt0K1t,s,^Y1(s)-K1t n+1,s,^Y1(s)d s-ʏt n+1t K1t n+1,s,^Y1(s)d s+ʏt0K2(t,s,Y1(s))-K2(t n+1,s,Y1(s))d W(s)-ʏt n+1t K2t n+1,s,Y1(s)d W(s).再由基本不等式,C a u c h y-S c h w a r t z不等式和I tô等距,得E Y(t)-^Y1(t)2ɤ5EΦ(t)-Φ(t n+1)2+ 5T Eʏt0K1t,s,^Y1(s)-K1(t n+1,s,^Y1(s))2d s+ 5h Eʏt n+1t K1t n+1,s,^Y1(s)2d s+ 5Eʏt0K2(t,s,Y1(s))-K2(t n+1,s,Y1(s))2d s+ 5Eʏt n+1t K2t n+1,s,Y1(s)2d sɤ5L21t-t n+12+10T Eʏt0L221+^Y1(s)2t-t n+12d s+ 5h Eʏt n+1t L41+^Y1(s)2t n+1-s2d s+ 10Eʏt0L221+Y1(s)2t-t n+12d s+ 5Eʏt n+1t L41+Y1(s)2t n+1-s2d sɤ5L21h2+10T h2L22ʏt01+E(^Y1(s)2)d s+ 5h3L4ʏt n+1t1+E^Y1(s)2d s+ 10L22h2ʏt01+E(Y1(s)2)d s+ 5L4h2ʏt n+1t1+E(Y1(s)2d sɤ5L21h2+C T2h2L22+C L4h4+C L22h2T+C L4h3ɤC h2.定理2在引理1的假设下,存在一个与h无关的正常数M使得E(|y(t)-Y(t)|2)ɤM h2,对任何tɪ[0,T]均成立.证明用式(2)减去式(6),并由基本不等式, C a u c h y-S c h w a r t z不等式和I tô等距,得E y(t)-Y(t)2ɤ9(总第195期)非线性随机分数阶积分微分方程半隐式欧拉解的收敛性和稳定性(李晓卫等)6Eʏt0[K1(t,s,y(s))-K1(t,s,Y(s))]d s2+ʏt0[K1(t,s,Y(s))-K1(t,s,Y(s))d s2+ʏt0[K1(t,s,Y(s))-K1(t,s,^Y1(s))]d s2+ʏt0[K2(t,s,y(s))-K2(t,s,Y(s))]d W(s)2+ʏt0[K2(t,s,Y(s))-K2(t,s,Y(s))]d W(s)2+ʏt0[K2(t,s,Y(s))-K2(t,s,Y1(s))]d W(s)2.对上述6项分别进行处理得到Eʏt0[K1(t,s,y(s))-K1(t,s,Y(s))]d s2ɤT E(ʏt0L25|y(s)-Y(s)|2d sɤT L25ʏt0E(|y(s)-Y(s)|2)d s, Eʏt0[K1(t,s,Y(s))-K1(t,s,Y(s))]d s2ɤT Eʏt0[K1(t,s,Y(s))-K1(t,s,Y(s))]2d sɤT Eʏt0L23(1+|Y(s)|)2|s-s|2d sɤ2T h2L23ʏt0(1+E(|Y(s)|2))d sɤC h2L23T2, Eʏt0[K1(t,s,Y(s))-K1(t,s,^Y1(s))]d s2ɤT Eʏt0[K1(t,s,Y(s))-K1(t,s,^Y1(s))]2d sɤT L25ʏt0E(|Y(s)-^Y1(s)|2)d sɤC h2T2L25.采用同样的处理方式,得到Eʏt0[K2(t,s,y(s))-K2(t,s,Y(s))]d W(s)2ɤL25ʏt0E(|y(s)-Y(s)|2)d s,Eʏt0[K2(t,s,Y(s))-K2(t,s,Y(s))]d W(s)2ɤC T h2L23,Eʏt0K2t,s,Y(s)-K2t,s,Y1(s)d W(s)2ɤC h2L25T,那么E y(t)-Y(t)2ɤ(C L23T2+C L25T2+C L23T+C L25T)h2e T(T+1)L25ɤM h2. 3半隐式欧拉格式的稳定性本节在假设1的条件下研究式(6)的数值解的稳定性.定义3设Y n+1nȡ1为式(6)具有初始解ξ对应的解,X n+1nȡ1为式(6)对应初始值为λ的另一个解.对于任意的ε>0,存在一个正常数δ>0使得当E|ξ-λ|2<δ时,有E Y n+1-X n+12ɤε成立,即式(6)的解是均方稳定的.定理3设{y(t)}tȡ0,{x(t)}tȡ0分别为式(1)对应于初始值η和φ的精确解,那么,如果满足假设1,对于任意的hɤ13L25T,式(1)的精确解是均方稳定的.证明由式(2)得y(t)-x(t)=η-φ+ʏt0K1(t,s,y(s))-K1t,s,x(s)d s+ʏt0K2(t,s,y(s))-K2t,s,x(s)d W(s).对上式两端同时取期望,得E|y(t)-x(t)|2ɤ3Eη-φ2+3T Eʏt0|K1(t,s,y(s))-K1t,s,x(s)|2d s+ 3Eʏt0K2(t,s,y(s))-K2t,s,x(s)d W(s)2ɤ3Eη-φ2+3L25(T+1)ʏt0E|y(s)-x(s)|2d s.再由G r o n w a l l不等式得E y(t)-x(t)2ɤ3e x p3L25T T+1Eη-φ2.因此,对于任意的ε>0,存在一个常数δ>0,当Eη-φ2<δ时,有E|y(t)-x(t)|2ɤε.定理4 设Y n+1nȡ1,X n+1nȡ1分别为式(6)对应于初始值ξ和λ的数值解,那么如果假设1成立,则式(6)的数值解就是均方稳定的.证明由式(3)得到Y n+1-X n+12=|ξ-λ+hðn i=0K1t n+1,t i,Y i+1-K1t n+1,t i,X i+1+ðn i=0K2t n+1,t i,Y i-K2t n+1,t i,X iΔW i2ɤ3ξ-λ2+3h2ðn i=0[K1t n+1,t i,Y i+1-K1t n+1,t i,X i+1]2+ 3ðn i=0K2t n+1,t i,Y i-K2t n+1,t i,X iΔW i2.01中北大学学报(自然科学版)2021年第1期对上述不等式两侧同时取期望,得E Y n +1-X n +12ɤ3E ξ-λ2+3h 2Eðni =0K 1t n +1,t i ,Y i +1 -K 1t n +1,t i ,X i +12+3E ðni =0K 2t n +1,t i ,Y i -K 2t n +1,t i ,X i ΔW i 2ɤ3E |ξ-λ|2+3h 2(n +1)ðni =0E K 1t n +1,t i ,Y i +1-K 1t n +1,t i ,X i +1 2+3h ðni =0E |K 2t n +1,t i ,Y i -K 2t n +1,t i ,X i |2ɤ3E |ξ-λ|2+3L 25T h ðni =0E Y i +1-X i +12+3L 25h ðni =0E |Y i -X i |2,则E |Y n +1-X n +1|2ɤ31-3L 25T h E |ξ-λ|2+3L 25T h +3L 25h 1-3L 25T h ðni =0E |Y i -X i |2. 再由离散G r o n w a l l 不等式得E |Y n +1-X n +1|2ɤ31-3L 25T h E |ξ-λ|2e 3L 25T n h +3L 25n h 1-3L 25T h ɤ31-3L 25T h e 3L 25T (T +1)1-3L 25T h E |ξ-λ|2. 因此,对任何的ε>0,存在一个正常数δ>0,当E |ξ-λ|2<δ时,有E |Y n +1-X n +1|2<ε成立.4 数值算例本节给出一个数值算例以验证随机分数阶积分微分方程半隐式欧拉方法的收敛率.类似于文献[18],使用样本均值逼近期望,更准确地说,使用以下表达衡量在最后时刻t N 上的均方误差.ε=11000ð1000i =1|y (i )(t N )-Y (i )(t N )|212,式中:y (i )(t N )和Y (i )(t N )分别为精确解与数值解.例1 考虑1维随机分数阶积分微分方程且γ=1,D αy (t )=s i n (t )Γ(2)+ʏt(2t -s )s i n (2s y (s ))d s +ʏt(2t +s )c o s (2s y (s ))d W (s ),式中:t ɪ[0,1],且初始值y (0)=0.注意到函数Ø,k 1,k 2均满足先前的假设条件,且将在时间步长为h =2-11下的数值解作为随机分数阶积分方程的精确解.在相同布朗路径上任意取3个不同的时间步长,即h =2-6,2-7,2-8,并分别求得其半隐式欧拉格式的数值解及相应的误差ε,相关结果如图1所示.图1 例1中半隐式欧拉格式的均方误差F i g .1 M e a n s q u a r e e r r o r o f s e m i -i m pl i c i t e u l e r s c h e m e i n e x a m pl e 1当α=0.45与α=0.65时,图像斜率接近于1,即半隐式欧拉方法的一阶收敛率得到验证.参考文献:[1]L e v i n J J ,N o h e l JA .O n a s y s t e mo f i n t e gr o -d i f f e r -e n t i a l e q u a t i o n so c c u r r i n g i nr e a c t o rd y n a m i c s [J ].T h eA r c h i v ef o rR a t i o n a l M e c h a n i c sa n d A n a l ys i s ,1962,11(1):210-243.[2]G a r n i e r J .A c c e l e r a t i n g s o l u t i o n s i n i n t e gr o -d i f f e r e n -t i a l e q u a t i o n s [J ].S I A MJ o u r n a l o nM a t h e m a t i c a lA -n a l ys i s ,2010,43(4):1955-1974.[3]P a n a s e n k oG ,P s h e n i t s y n aN .H o m o g e n i z a t i o n o f i n -t e g r o -d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n o f B u r g e r s t y p e [J ].A p pl i -c a b l eA n a l y s i s ,2008,87(12):1325-1336.[4]A l e k s e y D .S t a b i l i t y o f a c l a s s o f s t o c h a s t i c i n t e gr o -d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s [J ].S t o c h a s t i cA n a l y s i s&A p -pl i c a t i o n s 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03非线性分析要点
第三部分非线性分析第一章非线性有限元概述1.1非线性行为1、 非线性结构的基本特征是结构刚度随载荷的改变而变化。
如果绘制一个非线 性结构的载荷一位移曲线，则 力与位移的关系是非线性函数。
2、 引起结构非线性的原因：a 几何非线性：大应变，大位移，大旋转 （例如钓鱼竿的变形）b 材料非线性：塑性，超弹性，粘弹性，蠕变c 状态改变非线性：接触，单元死活3、 非线性行为一一分析方法特点A 不能使用叠加原理！B 结构响应与路径有关，也就是说加载的顺序可能是重要的。
C 结构响应与施加的载荷可能不成比例。
1.2非线性分析的应用1、 一些典型的非线性分析的应用包括： 非线性屈曲失稳分析金属成形研究碰撞与冲击分析制造过程分析（装配、部件接触等）材料非线性分析 （塑性材料、聚合物）2、 橡胶底密封：一个包含几何非线性（大应变与大变形），材料非线性（橡胶）， 及状态非线性（接触）的例子。
2.1非线性方程组的解法1、求解一个结构的平衡问题通常等于求解结构的总位能的驻值 问题。
结构总位能n ： 口 "3弋门心 2、 增量法：就是将荷载分成一系列的荷载增量，即 ANSYS 中的荷载步或荷载子 步。
A 要点：在每一个荷载增量求解完成后，继续进行下一个荷载增量之前， 刚度矩阵以反映结构刚度的变化。
B 增量法的优点：可以追踪结构变形历程，这对于材料或几何非线性（特别是 极限值屈曲分析）十分有用。
C 增量法的缺点：随着荷载步增量的增加而产生积累误差，导致荷载-位移曲 线飘移。
D 对飘移进行平衡修正，可以大大提高增量法的精度。
应用最广的就是在每一 级载荷增量上用Newton-Raphsor 或其变形的迭代法。
3、 迭代法：割线刚度法：收敛性差，因此很少应用切线刚度法Newto n-Ra phsor 迭代法：切向刚度法中 2.2 Newto n-Ra phsor 迭代法 1、 优点：对于一致的切向刚度矩阵有 二次收敛速度。
线性系统的稳定性分析
第三章 线性系统的稳定性分析3.1 概述如果在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后，系统能够以足够的准确度恢复到原来的平衡状态，则系统是稳定的。
否则，系统不稳定。
一个实际的系统必须是稳定的，不稳定的系统是不可能付诸于工程实施的。
因此，稳定性问题是系统控制理论研究的一个重要课题。
对于线性系统而言，其响应总可以分解为零状态响应和零输入响应，因而人们习惯分别讨论这两种响应的稳定性，从而外部稳定性和内部稳定性的概念。
应用于线性定常系统的稳定性分析方法很多。
然而，对于非线性系统和线性时变系统，这些稳定性分析方法实现起来可能非常困难，甚至是不可能的。
李雅普诺夫(A.M. Lyapunov)稳定性分析是解决非线性系统稳定性问题的一般方法。
本章首先介绍外部稳定性和内部稳定性的概念及其相互关系，然后介绍李雅普诺夫稳定性的概念及其判别方法，最后介绍线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析。
虽然在非线性系统的稳定性问题中，Lyapunov 稳定性分析方法具有基础性的地位，但在具体确定许多非线性系统的稳定性时，却并不是直截了当的。
技巧和经验在解决非线性问题时显得非常重要。
在本章中，对于实际非线性系统的稳定性分析仅限于几种简单的情况。
3.2 外部稳定性与内部稳定性3.2.1 外部稳定：考虑一个线性因果系统，如果对一个有界输入u （t ），即满足条件：1()u t k ≤<∞的输入u （t ），所产生的输出y （t ）也是有界的，即使得下式成立：2()y t k ≤<∞则称此因果系统是外部稳定的，即BIBO （Bounded Input Bounded Output ）稳定。
注意：在讨论外部稳定性的时候，我们必须要假定系统的初始条件为零，只有在这种假定下面，系统的输入—输出描述才是唯一的和有意义的。
系统外部稳定的判定准则系统的BIBO 稳定性可根据脉冲响应矩阵或者传递函数矩阵来进行判别。
a) 时变情况的判定准则对于零初始条件的线性时变系统，设(,)G t τ为脉冲响应矩阵，则系统BIBO 稳定的充要条件是，存在一个有限常数k ，使对于一切0[,),(,)t t G t τ∈∞的每一个元0(,)(1,2,.......;1,2,.....)(,)ij tij t g t i q j p g t d k τττ==≤<∞⎰有即，(,)G t τ是绝对可积的。
非精确线搜索条件下共轭梯度法的收敛性分析
非精确线搜索条件下共轭梯度法的收敛性分析鞠静洁;庞德艳;杜守强【期刊名称】《江苏师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(000)003【摘要】Based on the study of the two conjugate gradient methods with the value of objective function by Hideaki and Yasushi,a new Wolf type line search is used to analyze their convergence properties.The discussion shows that the two kinds of conjugate gradient method with other inexact line search are also feasible.Finally,the effectiveness of the given conjugate gradient methods is shown by numerical results.%对Hideaki与Yasushi提出的两种使用目标函数值的共轭梯度法进行了研究，在一种新的Wolfe型线搜索条件下分析了它们的收敛性质。
通过讨论可知，在其它的非精确线搜索条件下这两种共轭梯度法也是可行的。
最后的数值试验表明了所给共轭梯度法的有效性。
【总页数】5页(P36-40)【作者】鞠静洁;庞德艳;杜守强【作者单位】青岛大学数学科学学院，山东青岛 266071;青岛大学数学科学学院，山东青岛 266071;青岛大学数学科学学院，山东青岛 266071【正文语种】中文【中图分类】O224【相关文献】1.非精确线搜索下一类新的混合共轭梯度法研究 [J], 孟姗姗;熊丽涢;廖月红2.一类新共轭梯度法在几种非精确线搜索下的收敛性 [J], 梁玉梅;刘云3.FR共轭梯度法在非精确线搜索下的收敛性质 [J], 雷伟华4.非精确线搜索条件下共轭梯度法的收敛性分析 [J], 鞠静洁;庞德艳;杜守强;5.几类非精确线搜索下共轭梯度法的收敛条件 [J], 刘云;梁玉梅因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
非线性薛定谔方程的五种差分格式
非线性薛定谔方程的五种差分格式非线性薛定谔方程（NLSE）是一类非常重要的和高度发达的信息传输研究的重要模型。
它的出现为很多无线通信的技术发展提供了重要的基础和参照。
目前，非线性薛定谔方程的差分格式已有五种。
它们是恒定折回差分格式（CFD），动态折回差分格式（DRFD），步进步函数差分格式（SDF），连续步函数差分格式（CDF）和多阶进步函数差分格式（MSDF）。
恒定折回差分格式（CFD）是用于解决非线性薛定谔方程的最简单的一种差分格式。
它最初由Lyons发明，是一种非标准的三点迭代形式，但比一般三点迭代形式更有效。
它的优点在于最大限度地减少了计算量，但它的准确性不高，偏离正确的解。
动态折回差分格式（DRFD）是用于解决非线性薛定谔方程的一种改进的差分格式。
它使用了非标准的五点迭代形式，比三点迭代形式更高效，可以很好地跟踪参数变化并准确地加以反映。
它在计算量上比CFD稍大，但其计算结果更加准确，离正确解更近。
步进函数差分格式（SDF）是用于解决非线性薛定谔方程的一种改进的五点迭代格式。
它在数值处理上有更低的计算量，而且能够比动态折回差分格式更准确地产生数值解。
连续步函数差分格式（CDF）是用于解决非线性薛定谔方程的一种七点迭代格式，它可以更准确地模拟无线信号传输状况。
它有较低的运算量，可以获得较高精度的解。
多阶步函数差分格式（MSDF）是用于解决非线性薛定谔方程的一种变阶函数形式，它可以更准确地模拟信号的非线性传输过程，同时具有低的运行复杂性和高的计算精度，减小了计算时间。
总之，非线性薛定谔方程的不同差分格式均有不同的特征，决定了它们之间的特点和性能差异，旨在满足不同信号处理需求。
ANSYS讲义非线性分析
t1
t2
时间 t
XJTU
自动时间步(续)
• 自动时间步算法是 非线性求解控制 中包含的多种算法的一种。
（在以后的非线性求解控制中有进一步的讨论。） • 基于前一步的求解历史与问题的本质，自动时间步算法或者增加
或者减小子步的时间步大小。
XJTU
5) 输出文件的信息
在非线性求解过程中，输出窗口显示许多关于收敛的信息。输出 窗口包括：
子步
时间 ”相关联。
“时间
两个载荷步的求解 ”
XJTU
在非线性求解中的 “ 时间 ”
• 每个载荷步与子步都与 “ 时间 ”相关联。 子步 也叫时间步。
• 在率相关分析（蠕变，粘塑性）与瞬态分析中，“ 时间 ”代表真实 的时间。
• 对于率无关的静态分析，“ 时间 ” 表示加载次序。在静态分析中， “ 时间 ” 可设置为任何适当的值。
最终结果偏离平衡。
u 位移
XJTU
1) Newton-Raphson 法
ANSYS 使用Newton-Raphson平衡迭代法 克服了增量
求解的问题。 在每个载荷增量步结束时，平衡迭代驱 使解回到平衡状态。
载荷
F
4 3 2
1
u 位移
一个载荷增量中全 Newton-Raphson 迭代 求解。（四个迭代步如 图所示）
XJTU
非线性分析的应用(续)
宽翼悬臂梁的侧边扭转失 稳
一个由于几何非线性造 成的结构稳定性问题
XJTU
非线性分析的应用(续)
橡胶底密封 一个包含几何非线 性（大应变与大变 形），材料非线性 （橡胶），及状态 非线性（接触的例 子。
XJTU
非线性分析的应用(续)
工程传热学智慧树知到答案章节测试2023年华中科技大学
第一章测试1.传热学是研究温差作用下热量传递规律的科学。
（）A:错B:对答案:B2.传热系数与导热系数的单位不同。
（）A:对B:错答案:A3.物体的导热系数越大，热扩散率就一定越大。
（）A:对B:错答案:B4.导热系数的物理意义是什么？（）A:表明导热系数大的材料一定是导温系数大的材料。
B:反映材料的储热能力。
C:表明材料导热能力的强弱。
D:反映材料传播温度变化的能力。
答案:C5.以下材料中，导热系数较大的是（）A:不锈钢B:纯铜C:铸铁D:玻璃答案:B6.物体不论（）高低，都在相互辐射能量，只是辐射能量的大小不同。
A:导热B:温度C:热传导D:放热答案:B7.工程中常遇到热量从固体壁面一侧的高温流体，通过固体壁面传递给另一侧低温流体的过程，称为（）。
A:热辐射B:传热过程C:热对流D:热传导答案:B8.热量传递的三种基本方式为（）A:热传导B:传热C:热辐射D:热对流答案:ACD9.下列哪几种传热方式不需要有物体的宏观运动？（）A:热辐射B:热对流C:对流换热D:热传导答案:AD10.下列各参数中，属于物性参数的是？（）A:热扩散率B:密度C:热导率D:传热系数答案:ABC第二章测试1.下列哪些种传热过程是由于物体的宏观运动导致? ( )A:对流B:导热C:复合传热D:辐射答案:AC2.热流密度方向与等温线的法线方向总是处在同一条直线上。
( )A:错B:对答案:B3.通过长圆筒壁导热时，圆筒壁内的温度呈分布规律。
( )A:抛物线分布B:对数曲线C:三角函数曲线D:直线分布答案:B4.在稳态导热中，已知三层平壁的内外表面温度差为60℃，三层热阻之比Rλ1 ：Rλ2 ：Rλ3=1：3：8，则各层的温度降为。
( )A:40℃、15℃、5 ℃B:10℃、20℃、30℃C:5℃、15℃、40℃D:30℃、20℃、10℃答案:C5.若已知某种气体的密度为0.617kg/m3，比热为1.122kJ/(kgK)，导热系数为0.0484W/(mK) ，则其导温系数是89.9 错10-6m2／s。
自动控制原理控制系统的稳定性分析
Course 自动控制原理东南大学自动控制系Southeast University Dept. of Automatic Control Chap 4 控制系统的稳定性分析稳定性分析的意义稳定性是控制系统能够正常工作的首要条件。
稳定压倒一切。
只有稳定的情况下，性能分析和改进才有意义。
负反馈只是使系统稳定的一种手段，并不一定能够保证闭环系统的稳定。
例子：秋千东南大学自动控制系Southeast University Dept. of Automatic Control Chap 4 控制系统的稳定性分析4.1 稳定性stability的概念和定义d f b c a b c 平衡点单/多平衡点系统干扰，偏差稳定的物理意义东南大学自动控制系Southeast University Dept. of Automatic Control 稳定范围/区域a 4.1 稳定性的概念和定义若控制系统在任何足够小的初始偏差作用下，随着时间的推移，偏差会逐渐衰减并趋于零，具有恢复原平衡状态的性能，则称该系统是稳定stable的；否则，称该系统是不稳定unstable的。
可通过研究描述系统的微分或差分方程的解得到系统稳定性。
东南大学自动控制系Southeast University Dept. of Automatic Control 4.1 稳定性的概念和定义基于稳定性研究的问题是扰动作用去除后系统的运动情况与输入量和初始偏差无关。
稳定性是系统本身的“固有特性”，一个控制系统的稳定性取决于系统本身的结构和参数值。
线性系统稳定性分析只需考虑齐次系统情况即可。
东南大学自动控制系Southeast University Dept. of Automatic Control 4.1 稳定性的概念和定义李亚普诺夫Lyapunov 1892稳定性x t F x t t xc t F xc t t 0 x0 x t0 Lyapunov stability 0 0 if x0 xc then x t xc n Lyapunov asymptotic stability x xc xi xic 2 i 1 If in addition lim x t xc 0 t东南大学自动控制系Southeast University Dept. of Automatic Control 4.1 稳定性的概念和定义x2 x2 xc xc x1 x1东南大学自动控制系Southeast University Dept. of Automatic Control 4.1 稳定性的概念和定义x2 xc x1东南大学自动控制系Southeast University Dept. of Automatic Control 4.1 稳定性的概念和定义x x x t x 0e t x t 0 x 0 e t x 0 0 xx x t x 0et x1 x2 x2 x1 1 x1 0 x东南大学自动控制系Southeast University Dept. of Automatic Control Chap 4 控制系统的稳定性分析4.2 线性定常系统稳定的充分必要条件4.2.1 状态空间模型若讨论稳定性是基于状态空间模型的，则只关心是齐次状态方程的响应是否收敛到xe0－渐进稳定性连续线性定常系统渐近稳定的充分必要条件是：它的系数矩阵A的特征值全都具有负实部。
非线性有限元(河海教授-任青文)
一点的位移f = [u v w]T与单元结点位移δ e 之间的关系：
f = Nδ e
(1-3)
Ni反映了单元内位移的分布形状，所以又称形函数。对于d个结点的三维单元，
⎡N1 0 0 N2 0 0
Nd 0 0 ⎤
N=
⎢ ⎢
0
N1
0
0 N2
0 "" 0 N d
0
⎥ ⎥
(1-4)
⎢⎣ 0 0 N1 0 0 N 2
x e =[x1 y1 z1 x2 y2 z2……xd yd zd]T 为单元各结点的整体坐标。
(1-7)
（2）单元的结点荷载 R e
[ ] [ ] 作 用 在 单 元 上 的 集 中 力 P = Px Py Pz T ， 体 力 p = X Y Z T 及 面 力
[ ] p = X Y Z T 必须转换成等效的单元结点荷载列阵 Re ，
其中 δ1,δ 2 ,",δ n 是未知量，ψ1,ψ2 ,",ψn 是 δ1,δ 2 ,",δ n 的非线性函数，现引用矢量记号 δ = [δ1 δ 2 " δ n ]T ψ = [ψ1 ψ 2 " ψ n ]T
上述方程组可表示为
ψ(δ) = 0
还可以将它改写为
ψ(δ) ≡ F (δ) − R ≡ K (δ)δ − R = 0 K (δ) 是一个 n × n 的矩阵，其元素 kij 是矢量 δ 的函数，R 为已知矢量。在位移有限元中, δ 代表未知的结点位移， F (δ) 是等效结点力， R 为等效结点荷载，方程 ψ(δ) = 0 表示结点
式中
4
∫ U e = 1 εT σdv V2
(1-25)
∫ ∫ V e = − f T P − f T pdv − f T pds
一种新的MIMO非线性系统动态解耦控制方法_段翀
1. 2. 2. 2 算法收敛性、 稳定性以及步长自适应调整 分析 取李雅普诺 夫函数为 E ( k ) = 到: 1 2 e ( k ) , 则可得 2 ( 11)
T
( 1) ( 2) ( 3) ( 4) ( 5)
1 2 2 $ E ( k ) = 2 ( e( k + 1) - e( k ) ) e ( k + 1) = e ( k ) + $ e( k ) = e( k ) + 由梯度下降法的原理可知 : 9 e( k ) 9 y( k) $W = - Ge( k ) = - Ge( k ) 9W 9W 结合式( 11) ～式 ( 13) 可得 : e ( k + 1) = e ( k ) + e ( k ) 1- G 9 e( k ) 9W
K [ 17]
图 1 解耦控制系统的结构图
( 1) 两个 PID 控制器采用神经网络 PID 调节规 律 , 根据输出 y 1 , y 2 与各自给定输入 R 1, R 2 之间的差 值以及各自解耦辨识器反馈的灵敏度信息调整相应 PID 控制器的输出 u 1, u 2, 同时实现 PID 控制器参数 的自整定。 ( 2) 回归小波解耦辨识器则利用回归小波网络 的非线性动态映射能力 , 对耦合系统完成在线准确 建模以及灵敏度信息的回馈, 通过学习算法与控制 器共同作用完成对指定通道的准确跟踪, 从而实现 对整个系统的实时解耦操作。 1. 1 回归小波网络 回归小波神经网络的结构如图 2 所示 , 设输入 层有K 个节点 , 输入向量为x = [ x 1, x 2, … , x K ] , 隐层 有 H 个节点, W Iij 表示输入层第 i 个节点到隐层第 j 个节点的连接 , W j 表示隐层第 j 个节点至输出层的 连 接 权, W D j 表示 隐层输出到 递归层的 连接权 值。 1. 2 解耦机理及改进算法 多层回归小波网络是由小波基函数组成的反馈
差分格式的稳定性与收敛性1
(11)
v( x)
M ( x a)(b x) . 2
因为 v( x) 是 x 的二次函数，它的四阶导数为零，从式(2)、 (3)看到 v( x) 在点 xm 的二阶中心差商与 v '' ( xm ) 相等，因此差分方 程(10)的解等于边值问题(11)的解，即
Lu u ''' q( x)u f ( x), a x b, u (a) , u (b) ,
其中 q ( x) 、 f ( x) C a, b , q( x) 0. 将区间 a, b 分成 N 等份，记分点为 xm a mh, m 0,1, , N , 这里步长 h b a .利用泰勒公式，得
和
(1) (2) 的解分别记为 u m 和 um ，其中差分算子 Lh 由式(5)定义，则方程 组(5)的解 u m 为 (1) (2) um um um
(8) (9)
由极值原理可知
(1) um max , , m 1, 2, , N 1 .
3
(2) 接下来再估计 um ，考虑差分方程
Rm (u) Lu( xm ) Lhu( xm ) ，称 Rm (u) 是用差分算子 Lh 代替微 记 分算子 L 所产生的截断误差.由式(2)，二阶中心差商代替二阶 导数所产生的截断误差 Rm ，从式(4)和式(5)可以得出
Rm Lh (u ( xm ) um ) ， Rm 称为差分方程（5）的截断误差.
N
(1)
1 [(u ( xm1 ) 2u ( xm ) u ( xm1 )] u '' ( xm ) Rm 2 h Nhomakorabea其中
基于先验信息的图像压缩感知重构算法
摘要摘要压缩感知(Compressed Sensing,CS)理论是一种不同于Nyquist采样定理的新兴采样技术，它指出只要信号能被压缩或在某变换域下具有一定的稀疏性，就能利用一个与稀疏基不相关的观测矩阵进行线性观测，然后利用优化算法恢复出原始信号。
其中，CS重构是一个病态的或不适定的逆问题，若要求得唯一的精确解，必须向CS重构系统中引入信号的先验信息。
因此，在CS理论中，深入挖掘并利用合适的先验信息对于信号重构来说具有重要意义。
对于内容丰富的图像信号而言，其自身的局部和非局部属性能体现其内部的结构特征，这为本文对图像CS重构算法的研究提供了思路。
本文针对基于图像非局部低秩先验和梯度稀疏先验的CS重构算法展开研究，取得的创新工作如下：1.为准确有效地实现自然图像的CS重构，提出一种基于图像非局部低秩和加权全变分的图像CS重构算法。
该算法考虑图像的非局部自相似性和局部光滑特性，对传统的全变分模型进行改进，只对图像的高频分量设置权重，并用一种差分曲率的边缘检测算子来构造权重系数。
此外，以改进的全变分模型与非局部低秩模型为约束构建优化模型，并分别采用光滑非凸函数和软阈值函数来求解低秩和全变分优化问题，很好地利用了图像的自身性质。
仿真结果表明，在低采样率下，该算法能有效恢复出图像的纹理和重要边缘信息，且具有较强的抗噪性。
2.传统构造非局部低秩模型的过程中存在相似块匹配准确率低，加强无重复区图像块的局部相似性引起振铃效应等不足。
针对以上问题，提出一种自适应非局部低秩和加权全变分的图像CS重构算法。
该算法分别在图像的结构区和纹理区设置不同数目的相似块，以自适应地构造不同尺寸的相似块矩阵，同时，为了更准确地度量图像块间的相似性，引入一种新的基于马氏距离的块匹配方法，以提高重构图像的质量。
仿真结果表明，与原非局部低秩模型相比，相同采样率下，新方案重构效果更好。
关键词：压缩感知，重构图像，先验信息，非局部低秩，加权全变分AbstractAbstractCompressed Sensing(CS)theory is a new sampling technology different from the Nyquist sampling theorem.It indicates that as long as the signal is compressible or sparse in some transform domain,an observation matrix that is not related to sparse basis can be used for linear observation,and an optimization algorithm is utilized to recover the original signal.Specially,the CS reconstruction is an ill-conditioned or ill-posed inverse problem,so it is necessary to introduce the sparse prior information of signal into the CS reconstruction system to obtain the only exact solution.Therefore,it is of great significance for signal reconstruction to employ prior information of signal and take advantage of them in CS theory.For the content-rich image signal,its inherent local and non-local properties can reflect internal structural features,which provide an idea for the research of image CS reconstruction.In this thesis,a CS reconstruction algorithm based on non-local low rank prior and gradient sparse prior of image is focused,and the main innovations are shown as follows:1.In order to reconstruct natural image from CS measurements accurately and effectively,a CS image reconstruction algorithm based on non-local low rank and weighted total variation is proposed.The proposed algorithm considers the non-local self-similarity and local smoothness in the image and improves the traditional TV model,in which only the weights of image’s high-frequency components are set and constructed with a differential curvature edge detection operator.In addition,the optimization model of the proposed algorithm is built with constraints of the improved TV and the non-local low rank model,and then a non-convex smooth function and soft thresholding function are utilized to solve low rank and TV optimization problems respectively.By taking advantage of them,the proposed method makes full use of the property of image,and therefore conserves the details of image and is more robust and adaptable.Experimental results show that,the proposed algorithm can effectively recover the texture and preserve edge of image at low sampling rate,while possessing a better robustness.2.Due to the low accuracy of similar image patches matching and ringing artifacts caused by enforcing local similarity in non-repetitive in the traditional construction of重庆邮电大学硕士学位论文non-local low rank model,a CS image reconstruction algorithm based on adaptive non-local low rank and weighted total variation is proposed.In order to adaptively construct a similar matrices of different size,the proposed algorithm sets different number of similar image patches in structures and textures of image.Meanwhile,to measure the similarity between image patches more accurately,a new patch matching method based on Mahalanobis distance is introduced to improve the quality of reconstructed image.Experimental results show that,the proposed scheme gets better reconstruction results compared to the old non-local low rank model with the same sampling rate.Keywords:compressed sensing,reconstructed image,prior information,non-local low rank,weighted total variation目录目录图录 (VI)表录 (VII)注释表 (VIII)第1章绪论 (1)1.1研究背景与意义 (1)1.2国内外研究现状 (2)1.2.1压缩感知理论研究现状 (2)1.2.2基于图像先验信息的压缩感知重构算法研究现状 (4)1.3现阶段研究工作中存在的不足 (5)1.4主要研究内容和章节安排 (6)第2章压缩感知理论基础 (8)2.1前言 (8)2.2压缩感知理论的数学模型 (8)2.3信号稀疏分解 (10)2.4观测矩阵构造 (11)2.5信号重构算法 (13)2.5.1贪婪算法 (13)2.5.2凸优化算法 (15)2.5.3贝叶斯算法 (16)2.6本章小结 (17)第3章基于非局部低秩和加权TV的图像CS重构算法 (18)3.1前言 (18)3.2非局部低秩模型 (19)3.2.1非局部自相似性 (19)3.2.2低秩矩阵恢复理论 (20)3.2.3基于非局部低秩的CS重构模型 (23)重庆邮电大学硕士学位论文3.3基于非局部低秩和加权TV的CS重构算法 (24)3.3.1加权TV及权重优化估计 (24)3.3.2联合约束模型 (28)3.4仿真实验 (32)3.4.1参数设置 (33)3.4.2实验结果与分析 (33)3.5本章小结 (37)第4章基于自适应非局部低秩和加权TV的图像CS重构算法 (38)4.1前言 (38)4.2基于自适应非局部低秩和加权TV的CS重构算法 (38)4.2.1相似块匹配原则 (38)4.2.2相似块组的自适应构造 (40)4.2.3基于自适应非局部低秩和加权TV的CS重构算法 (44)4.3仿真实验 (45)4.3.1参数设置 (46)4.3.2实验结果与分析 (46)4.4本章小结 (48)第5章结束语 (49)5.1主要研究工作和创新点 (49)5.2后续研究工作 (50)参考文献 (51)致谢 (57)攻读硕士学位期间从事的科研工作及取得的成果 (58)图录图1.1Nyquist 采样压缩模式........................................................................................1图2.1信号的CS 观测过程..........................................................................................9图2.2CS 采样压缩模式...............................................................................................9图3.1图像非局部相似性块示意图...........................................................................19图3.2E(,)εX ，()0rank =X X 和核范数*1⋅=⋅比较图...........................................22图3.3相似块搜索示意图...........................................................................................23图3.4构造相似块矩阵的示意图...............................................................................25图3.5基于非局部低秩和加权TV 的CS 系统.........................................................31图3.6测试图像...........................................................................................................32图3.7Barbara 仿真效果对比图..................................................................................34图3.8Parrots 仿真效果对比图...................................................................................34图3.96幅测试图在不同采样率下各种算法的PSNR 平均值................................35图3.10算法测量值含噪的PSNR 值比较...................................................................36图4.1样本块和图像块之间的相似性度量...............................................................39图4.2欧氏距离和马氏距离的区别...........................................................................39图4.3非局部低秩矩阵构造过程...............................................................................41图4.4结构区和纹理区中图像块的结构稀疏度比较...............................................43图4.5基于自适应非局部低秩和加权TV 的CS 系统.............................................45图4.6测试图像...........................................................................................................46图4.7Barbara 仿真效果对比图..................................................................................47图4.8Parrots 仿真效果对比图...................................................................................47图4.96幅测试图在不同采样率下各种算法的PSNR 平均值.. (48)表录表3.1基于非局部低秩和加权TV的图像CS重构算法伪代码 (31)表3.2不同算法重构图像的PSNR和SSIM比较 (35)表3.3算法测量值含噪的SSIM值比较 (36)表4.1不同算法重构图像的PSNR和SSIM比较 (47)注释表BCS Bayesian Compressed Sensing，贝叶斯压缩感知BP Matching Pursui，匹配追踪CoSaMP Compressive sampling Matching Pursuit，压缩采样匹配追踪CS Compressed Sensing，压缩感知FISTA Fast Iterative Shrinkage/Thresholding algorithm，快速迭代收缩阈值GPSR Gradient Projections for Sparse Reconstruction，梯度投影IST Iterative Shrinkage/Thresholding，迭代阈值NLM Non-Local Means，非局部均值NLR Non-local Low Rank，非局部低秩NSS Non-local Self-Similarity，非局部自相似性OMP Orthogonal Matching Pursuit，正交匹配追踪PCA Principle Component Analysis，主成分分析RIP Restricted Isometry Property，有限等距性质SBL Sparse Bayesian Learning，稀疏贝叶斯学习StOMP Stagewise Orthogonal Matching Pursuit，分段正交匹配追踪SVM Support Vector Machin，支持向量机TV Total Variation，全变分第1章绪论第1章绪论1.1研究背景与意义随着信息产业和集成电路产业的快速融合，以图像信号为代表的多媒体通信逐渐成为现代网络通信形式的主流。
非线性热弹耦合偏微分方程弱解的唯一性和稳定性
定性 ．
Ｓ ｈ ｉ ［ 讨 论 了热弹耦 合杆 方程组
ｆ ｂ ａ （ ｘ ， ｔ ）一Ｍ ‘ 。 ’ （ ， ｔ ）＋ ａ Ｏ ‘ （ ， ｔ ）＝ ０ ；
ｅ ｒ ｇ ｙ ｉ ｎ ｅ ｑ ｕ ａ ｌ ｉ ｔ ｙ ．
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ：ｔ ｈ ｅ ｒ ｍｏ ｅ ｌ ａ ｓ ｔ ｉ ｃ； ｎ ｏ ｎ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ；ｕ ｎ ｉ ｑ ｕ ｅ ｎ ｅ ｓ ｓ ；ｓ ｔ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ
近些 年 ， 不少 学者 广泛研 究 了热 弹性杆 方 程 ， 包 括 热 弹性 杆 耦合 方 程 组 合 ２个 杆 之 间 的热 黏 弹性 耦 合
ｌ ｂ （ ｘ ， ｆ ） 一 ０ ‘ （ ， ｔ ） ＋ ａ ｉ ／ ’ （ ， ｔ ） ： ０
的解 的存 在性 和 唯一性 ， Ｆ ａ ｔ ｏ ｒ ｉ “ 给出 了具有记 忆项 的热 弹耦合 杆方 程
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ２— ０ ８一ｌ Ｏ ．
作者简 介 ： 周道军 （ １ ９ ８ ０一） ， 男， 硕 士． 主要研究方向 ： 非线性动力系统
云南民族大学学报 ： 自然科学版 ， ２ ０ １ ３ ， ２ ２ （ １ ） ： ４ ４— ４ ７
ｄ ｏ ｉ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ６ ７ ２— ８ ５ １ ３ ． ２ ０ １ ３ ． Ｏ １ ． ０ １ １
ＣＮ ５ ３ — １１ ９ ２／Ｎ Ｉ Ｓ Ｓ Ｎ １ ６７ ２—８ ５１ ３
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ：Ｏｎ ｔ ｈ ｅ ｒ ｅ ｓ ｅ ａ ｒ ｃ ｈ ｉｎ ｆ ｄｉ ｎ ｇ ｓ ｏ ｆ ｗｅ ａ ｋ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎｓ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｎ ｏ ｎ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｔ ｈ ｅ ｒ ｍｏ ｅ ｌ ａ ｓ ｔ ｉ ｃ ｃ ｏ ｕ ｐ ｌ ｅ ｄ ｐ ａ ｒ ｔ ｉ ａ ｌ ｅ ｑｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ，ｔ ｈ ｅ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ｐ ｒ ｏ ｖ ｅ ｄ ｔ ｈ ｅ ｕ ｎｉ ｑ ｕ ｅ ｎ ｅ ｓ ｓ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｍ ｏ ｆ ｗｅ ａ ｋ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｎ ｄ ｓ ｔ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ ｗｅ ａ ｋ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎｓ ｆ ｏ ｒ ｔ ｈ ｅ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎｓ ｂ ｙ ｕｓ ｉ ｎ ｇ ｅ ｎ —
非自治拟线性双曲组的节点状态精确边界能控性及渐近稳定性
D O I :10.3969/j.i s s n .1001-5337.2022.3.016 *收稿日期:2022-01-24基金项目:国家自然科学基金(11831011).作者简介:王利彬,女,1969-,博士,副教授;研究方向:应用偏微分方程;E -m a i l :l b w a n g@f u d a n .e d u .c n .非自治拟线性双曲组的节点状态精确边界能控性及渐近稳定性*王利彬(复旦大学数学科学学院,200433,上海市) 摘要:讨论了一维非自治拟线性双曲组的节点状态精确边界能控性及其渐近稳定性,得到结论:若节点状态和已知的边界函数具有适当小的C 1模,则有节点状态精确边界能控性;进一步,若节点状态和已知的边界函数具有指数或多项式衰减性,则边界控制函数和相应的混合初边值问题的解也具有同样的衰减性.关键词:非自治拟线性双曲组;经典解;节点状态精确边界能控性;渐近稳定性中图分类号:O 175.2 文献标识码:A 文章编号:1001-5337(2022)03-0016-070 引 言近年来,双曲型方程组的精确边界能控性问题被广泛关注和研究(见文献[1,2,5,6]等).特别地,通过一个模块结构的构造性方法,对一维拟线性双曲型方程组∂u ∂t +A (u )∂u∂x =F (u )(0.1)的局部精确边界能控性建立了完善的理论[6].概括起来,这个方法主要基于3个基本结论:混合初边值问题半整体经典解的存在唯一性;在没有零特征值的条件下,时间变量t 和空间变量x 的地位可交换;单边混合初边值问题在最大决定区域内的经典解是唯一的.2011年,从气体通过管道网输运以满足用户需求这一实际问题出发,G u g a t 等人提出了一类新的边界能控性问题.与通常的精确边界能控性不同,这类能控性不是要求在边界控制的作用下混合初边值问题的解在某个适当大的时间T (>0)达到给定的终态,而是要求在边界控制的作用下解在某个适当大的时间T 以后在一个或几个节点处满足给定的状态[4].同样利用一个基于上述3个基本结论的构造性方法,他们的这一结果很快被推广到具一般非线性边界条件的一阶拟线性双曲组(0.1)式,并称这类能控性为节点状态的精确边界能控性[7].到目前为止,对拟线性双曲组在有限时间区间[T ,T ](其中T >0要适当大)上的节点状态的精确边界能控性问题已得到丰富且较完备的结果[8].为了讨论节点状态精确边界能控性的渐近行为,本文作者及其合作者进一步研究了[T ,+ɕ)上的情形,得到了相应的节点状态精确边界能控性以及指数和多项式稳定性,即:如果节点状态和不作为控制的边界函数具有指数或多项式衰减性,则边界控制函数和相应的混合初边值问题的解也具有同样的指数或多项式衰减性[10,11].然而,在实际应用中,我们常会遇到非自治的拟线性双曲组,即(0.1)式中的A 或F 显含t 的情形.比如,交通流方程组[3,13]ρt +(ρv )x =0,v t +v v x +1ρ(A (t ,x ,ρ))x =1τ(V (ρ)-v ).ìîíïïï 第48卷 第3期2022年7月 曲阜师范大学学报J o u r n a l o f Q u f u N o r m a l U n i v e r s i t yV o l .48 N o .3J u l y 2022 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.我们将在第3节对它进行详细讨论.对于非自治拟线性双曲组,是否也有与自治情形类似的精确边界能控性和节点状态精确边界能控性呢?前一问题已得到完满解决[12],对后一问题,若节点状态给在有限时间区间上时作者已于近期获得结果,但在无穷时间区间上,到目前为止,还没有相关结果.本文将致力于解决这一问题,即:非自治一阶拟线性双曲组在无穷时间区间上的节点状态精确边界能控性及其渐近稳定性.本文具体安排如下:在第1节,将给出节点状态精确边界能控性的定义和本文的主要结论;然后,在第2节给出主要结论的证明;最后,在第3节中将给出主要结论在交通流系统中的应用.1 定义及主要结果考虑如下的非自治一阶拟线性双曲组∂u ∂t +A (t ,x ,u )∂u∂x=F (t ,x ,u ),t ȡ0,0ɤx ɤL ,(1.1)其中t 是时间变量,x 是空间变量,u =(u 1, ,u n )T是(t ,x )的未知向量函数,A (t ,x ,u )ɪC 1是给定的n ˑn 矩阵函数,F (t ,x ,u )是给定的C 1模有界的n 维向量值函数,且满足F (t ,x ,0)=0.(1.2)由(1.2)式知,u =0是(1.1)式的一个平衡态.由双曲性,矩阵A (t ,x ,u )在所考察的区域上有n 个实的特征值λr (t ,x ,u )及一组完备的左(相应地,右)特征向量l i (t ,x ,u )=(l i 1(t ,x ,u ), ,l i n (t ,x ,u ))(相应地r i (t ,x ,u )=(r 1i (t ,x ,u ), ,r n i (t ,x ,u ))T)(i =1,2, ,n ),即l i (t ,x ,u )A (t ,x ,u )=λi (t ,x ,u )l i (t ,x ,u )(相应地A (t ,x ,u )r i (t ,x ,u )=λi (t ,x ,u )r i (t ,x ,u )),(1.3)d e t |l i j (t ,x ,u )|ʂ0(相应地d e t |r ji (t ,x ,u )|ʂ0).(1.4)不失一般性,假设在所考察的区域上有l i (t ,x ,u )r j (t ,x ,u )ʉδi j (i ,j =1,2, ,n ),(1.5)r Ti (t ,x ,u )r i (t ,x ,u )ʉ1(i =1,2, ,n ),(1.6)其中δi j 表示K r o n e c k e r 符号.假设λi ,l i 和r i (i =1,2, ,n )均为C 1模有界的函数且在所考察的区域上双曲组(1.1)没有零特征值,即λr (t ,x ,u )<0<λs (t ,x ,u )(r =1,2, ,m ;s =m +1, ,n ),(1.7)其中1ɤm <n .令v i =l i (t ,x ,u )u (i =1,2, ,n )(1.8)为方程组(1.1)的对角化变量.注意到(1.7),对于方程组(1.1)的前向混合初边值问题,我们给如下的初始条件t =0:u =φ(x ),0ɤx ɤL(1.9)和边界条件x =0:v s =G s (αs (t ),v 1, ,v m )+H s (t )(s =m +1, ,n ),(1.10)x =L :v r =G r (αr (t ),v m +1, ,v n )+H r (t )(r =1,2, ,m ),(1.11)其中φ,G i ,αi (t )和H i (i =1,2, ,n )均为C 1函数,并且αi (t )(i =1,2, ,n )可为向量值函数.不失一般性,假设G i 满足G i (αi (t ),0, ,0)ʉ0(i =1,2, ,n ).(1.12) 定义1 对任意给定的在点(t ,x )=(0,L )处满足C 1相容性条件的初值φ(x ),边界函数H r (t )(r =1,2, ,m )和αi (t )(i =1,2, ,n ),以及任意给定的满足边界条件(1.11)的C 1向量值函数u (t ),如果存在T >0和C 1边界控制H s (t )(s =m +1, ,n )使得混合初边值问题(1.1)及(1.9)~(1.11)的C 1解u =u (t ,x )71第3期 王利彬:非自治拟线性双曲组的节点状态精确边界能控性及渐近稳定性 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.在x =L 处满足u (t ,L )=u (t )(t ȡT ),那么就称在x =L 上有节点状态的精确边界能控性.注1 在定义1中,给定的u (t )需要满足边界条件(1.11),其中v i =v i (t ) l i (t ,L ,u (t ))u (t )(i =1,2, ,n ).这意味着:当t ȡT 时要求解u =u (t ,x )在x =L 处精确满足u (t )等价于当t ȡT 时要求v s (s =m +1, ,n )在x =L 处精确满足给定的值v s (t )(s =m +1,2, ,n ),即v s (t ,L )=v s (t )(t ȡT ),而v r (r =1,2, ,m )的值由边界条件(1.11)确定,v r =v r (t ) G r (αr (t ),v m +1(t ), ,v n (t ))+H r (t )(r =1,2, ,m ),(1.13)然后,u (t )=ðni =1v i (t )r i (t ,L ,u (t )).(1.14) 要实现节点状态的精确边界能控性,仅需要求初值,给定的节点状态和已知的边界函数具有适当小的C 1模.具体地说,有以下定理.定理1 令T 满足ʏT0m i ns =m +1, ,n i n f 0ɤx ɤL λs (t ,x ,0)d t >L .(1.15)对任意给定的初值φ(x ),边界函数H r (t )(r =1,2, ,m )和αi (t )(i =1,2, ,n ),它们具有适当小的C 1模 φ C 1[0,L ]㊁ H r C 1[0,+ɕ)及 αi C 1[0,+ɕ),且在点(0,L )处满足C 1相容性条件.假设在x =L 处任意给定时间区间t ȡT 上的值v s (t )(s =m +1, ,n ),且具有适当小的C 1模 v s C 1[T ,+ɕ),则一定存在边界控制H s (t )(s =m +1, ,n ),具有充分小的C 1模 H s C 1[0,+ɕ),使得混合初边值问题(1.1)及(1.9)~(1.11)在区域R ={(t ,x )|0ɤt <+ɕ,0ɤx ɤL }上存在唯一的C 1解u =u (t ,x ),其C 1模充分小且当t ȡT 时,在节点x =L 处有:v s (t ,L )=v s (t )(s =m +1, ,n ).这个定理的证明将在2.1节中给出.下面考察能控性的渐近稳定性.与自治情形类似[11],假设节点状态和已知的边界函数具有指数或多项式衰减性,那么可以得到边界控制函数和相应的混合初边值问题的解也具有同样的衰减性.定理2 在定理1的假设下,进一步假设边界函数H r (t )(r =1,2, ,m ),αi (t )(i =1,2, ,n )和节点状态v s (t )(s =m +1, ,n )分别满足m a x r =1,2, ,m i =1,2, ,ns u p t ȡ0{e a t(|H r (t )|+|h 'r (t )|+|αi (t )|+|α'i (t )|)}≪1,(1.16)m a x s =m +1, ,n s u p t ȡT{e a t(|v s (t )|+|v 's (t )|)}≪1,(1.17)其中a 是正常数,则一定存在边界控制H s (t )(s =m +1, ,n ),满足e a t(|H s (t )|+|h 's (t )|)≪1(s =m +1, ,n ),∀t ȡ0,(1.18)使得混合初边值问题(1.1)及(1.9)~(1.11)在区域R ={(t ,x )|0ɤt <+ɕ,0ɤx ɤL }上存在唯一的C 1解u =u (t ,x ),满足e a t(|u (t ,x )|+|u t (t ,x )|)≪1,∀t ȡ0,0ɤx ɤL ,(1.19)且当t ȡT 时,在节点x =L 处有v s (t ,L )=v s (t )(s =m +1, ,n ).定理3 在定理1的假设下,进一步假设边界函数H r (t )(r =1,2, ,m ),αi (t )(i =1,2, ,n )和节点状态v s (t )(s =m +1, ,n )分别满足m a x r =1,2, ,m i =1,2, ,ns u p t ȡ0{(1+t )μ(|H r (t )|+|h 'r (t )|+|αi (t )|+|α'i (t )|)}≪1,(1.20)m a x s =m +1, ,n s u p t ȡT{(1+t )μ(|v s (t )|+|v 's (t )|)}≪1,(1.21)其中μ是正常数,则一定存在边界控制H s (t )(s =m +1, ,n ),满足(1+t )μ(|H s (t )|+|h 's (t )|)≪1(s =m +1, ,n ),∀t ȡ0,使得混合初边值问题(1.1)及(1.9)~(1.11)在区域R ={(t ,x )|0ɤt <+ɕ,0ɤx ɤL }上存在唯一的C 1解u =u (t ,x ),满足81 曲阜师范大学学报(自然科学版) 2022年Copyright ©博看网. All Rights Reserved.(1+t )μ(|u (t ,x )|+|u t (t ,x )|)≪1,∀t ȡ0,0ɤx ɤL ,且当t ȡT 时,在节点x =L 处有v s (t ,L )=v s (t )(s =m +1, ,n ).定理2和定理3的证明将分别在2.2节和2.3节中给出.注2 对于方程组(1.1),如果初始条件(1.9)被取在t =T 0时刻,其中T 0是一个任意给定的正数,那么条件(1.15)应被ʏT 0+TT 0m i ns =m +1, ,n i n f 0ɤx ɤLλs (t ,x ,0)d t >L 替代,此时,定理1㊁定理2和定理3中的相应结论依然成立.这意味着控制时间T 虽然依赖于T 0,但系统的节点状态精确边界能控性总能实现.这一性质与非自治双曲组的精确边界能控性明显不同[9].注3 对于节点x =0,可以类似地定义和讨论其节点状态精确边界能控性,此时,节点状态给在x =0上,边界控制取为H r (t )(r =1,2, ,m ),而(1.15)应被替代为ʏT0m i nr =1,2, ,m i n f 0ɤx ɤL |λr (t ,x ,0)|d t >L .2 主要定理的证明在这一节,将用引言中提到的构造性方法来证明本文的主要定理.2.1 定理1的证明首先,由(1.7)和(1.15)式知,存在适当小的ε0>0和T 1ɪ(0,T ),使得ʏT 1m i ns =m +1, ,n i n f 0ɤx ɤL|u |ɤε0λs (t ,x ,u )d t ȡL .(2.1) 在区域R (T 1)={(t ,x )|0ɤt ɤT 1,0ɤx ɤL }上,考虑方程组(1.1)具初始条件(1.9)㊁边界条件(1.11)及如下人工边界条件x =0:v s =gs (t )(s =m +1, ,n )(2.2)的前向混合初边值问题,其中g s (t )是任意给定的C 1[0,T 1]模适当小的C 1函数,且在点(t ,x )=(0,0)处满足C 1相容性条件.由非自治拟线性双曲组半整体C 1解理论[12]可知,此前向混合初边值问题在区域R (T 1)上存在唯一的C 1解u =u f (t ,x ),其C 1模充分小.特别有|u f (t ,x )|ɤε0,∀(t ,x )ɪR (T 1).(2.3)于是可以得到u =u f (t ,x )在x =L 上的值u (t )=u f (t ,L )(0ɤt ɤT 1),其C 1[0,T 1]模充分小.由T 1<T 知,在[0,+ɕ)上存在函数v s (t )(s =m +1, ,n ),其C 1模适当小,使得v s (t )=v s (t ),0ɤt ɤT 1,v s (t ),T ɤt <+ɕ,{(2.4)其中s =m +1, ,n ,v s (t )=l s (t ,L ,u (t ))u (t ),而v s (t )是给定的节点状态.由于方程组(1.1)没有零特征值,交换t 和x 的地位得到∂u ∂x +A -1(t ,x ,u )∂u ∂t=A -1(t ,x ,u )F (t ,x ,u ).(2.5)对方程组(2.5),考虑半无界区域R ={(t ,x )|0ɤt <+ɕ,0ɤx ɤL }上的左向混合初边值问题,其边界条件由原初始条件(1.9)导出t =0:v r =v r (x ) l r (0,x ,φ(x ))φ(x )(r =1,2, ,m ),0ɤx ɤL ,(2.6)初始条件为x =L :u =u (t ),t ȡ0,(2.7)其中u (t )由隐式关系u (t )=ðni =1v i (t )r i (t ,L ,u (t ))(2.8)91第3期 王利彬:非自治拟线性双曲组的节点状态精确边界能控性及渐近稳定性 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.确定,这里v s (t )(s =m +1, ,n )已知,v r (t )(r =1,2, ,m )由边界条件(1.11)给出,即v r (t )=G r (αr (t ),v m +1(t ), ,v n (t ))+H r (t )(r =1,2, ,m ),(2.9)从而u (t )满足边界条件(1.11).注意到(1.12)式,由(1.11)式有x =L :v r (t )=ðns =m +1Gr(αr (t ),θv m +1(t ), ,θv n (t ))v s (t )+H r (t )(r =1,2, ,m ),(2.10)v 'r (t )=ðns =m +1∂G r∂v s (αr (t ),v m +1(t ), ,v n (t ))v 's (t )+∂G r∂αr(αr (t ),v m +1(t ), ,v n (t ))α'r (t )+h 'r (t )(r =1,2, ,m ),(2.11)其中θɪ(0,1).然后,注意到(1.6)式,H r (t )和αr (t )(r =1,2, ,m ),以及v s (t )(s =m +1, ,n )具有适当小的C 1模,从(2.8)式可以得到u (t )在区间[0,+ɕ)上满足s u p t ȡ0{(|u (t )|+|u '(t )|)}≪1.(2.12)于是,用类似于文献[11]中定理3.1的证明方法可以获得:这个左向问题存在唯一的C 1解u =u (t ,x ),其C 1模充分小,特别有|u (t ,x )|+|u t (t ,x )|ɤε0,∀t ȡ0,0ɤx ɤL .(2.13)显然,u =u (t ,x )满足方程组(1.1)及边界条件(1.11),下面验证其还满足初始条件(1.9).事实上,u =u (t ,x )和u =u f (t ,x )均为单边混合初边值问题(2.5)㊁(2.6)及x =L :u =u (t ),0ɤt ɤT 1(2.14)在最大决定区域Ω上的C 1解.由唯一性有u (t ,x )ʉu f (t ,x ),∀(t ,x )ɪΩ.(2.15)注意到(2.3)和(2.13)式,由T 1的选取(2.1)式易知,Ω包含初始轴t =0上的区间[0,L ],从而u =u (t ,x )满足初始条件(1.9).最后,把u =u (t ,x )代入到边界条件(1.10)中,即得到在整个时间区间t ȡ0上的边界控制函数H s (t )(s =m +1, ,n ),并且由(1.12)和(2.13)式可知 H s C 1[0,+ɕ)充分小.2.2 定理2的证明定理2的证明过程与定理1的证明类似,我们仅仅指出本质不同之处.注意到(1.16)~(1.17),代替(2.12),从(2.8)可以得到s u pt ȡ0{e a t(|u (t )|+|u '(t )|)}≪1.(2.16)于是,用类似于文献[11]中定理3.3的证明方法可以获得:这个左向问题存在唯一的C 1解u =u (t ,x ),且满足e a t(|u (t ,x )|+|u t (t ,x )|)≪1,∀t ȡ0,0ɤx ɤL .(2.17) 最后,把u =u (t ,x )代入到边界条件(1.10)中,即得到在整个时间区间t ȡ0上相应的边界控制函数H s (t )(s =m +1, ,n ),并且由(1.12)和(2.17)可知(1.18)成立.2.3 定理3的证明定理3的证明与定理1和定理2的证明类似,注意到(1.20)~(1.21)式,仅需将(2.16)式中的权e a t换成(1+t )μ,并利用类似于文献[11]中定理3.5的证明方法即可获得我们需要的结论,至于细节不再赘述.3 应 用本节考虑交通流方程组ρt +(ρv )x =0,v t +v v x +1ρ(A (t ,x ,ρ))x =1τ(V (ρ)-v )ìîíïïï(3.1)02 曲阜师范大学学报(自然科学版) 2022年Copyright ©博看网. All Rights Reserved.的节点状态精确边界能控性问题,其中ρ和v 分别为车辆密度和速度,A (t ,x ,ρ)为预知项(与流体动力学类似,表示交通的压力),是一个C 2模有界的已知函数,1τ(V (ρ)-v )为v 在确定时间τ(>0)内对它的平衡值V (ρ)的松弛项,V ɪC 1为已知函数,且A (t ,x ,ρ0)ʉ0,(3.2)A ρ(t ,x ,ρ0)>V 2(ρ0),(3.3)其中ρ0为正常数.记V (ρ0)为v 0,由(3.2)式知,(ρ0,v 0)为(3.1)式的一个平衡态.由(3.3)式知,在(ρ,v )=(ρ0,v 0)的一个邻域,方程组(3.1)是严格双曲的,其特征值为λ1(t ,x ,ρ,v )=v -A ρ(t ,x ,ρ)<0<λ2(t ,x ,ρ,v )=v +A ρ(t ,x ,ρ).相应的左特征向量可取为l 1(t ,x ,ρ,v )=-A ρ(t ,x ,ρ)ρ,1æèçöø÷,l 2(t ,x ,ρ,v )=A ρ(t ,x ,ρ)ρ,1æèçöø÷.(3.4) 考虑方程组(3.1)具如下初始条件t =0:(ρ,v )=(ρ0+ρ (x ),v 0+v (x )),0ɤx ɤL 和速度边界条件x =0:v =v 0+h 2(t ),(3.5)x =L :v =v 0+h 1(t )(3.6)的混合初边值问题,其中ρ ,v 和h i (i =1,2)均为C 1函数,且 (ρ ,v ) C 1[0,L ]适当小.令V i =l i (t ,x ,ρ,v )ρ-ρ0v -v 0æèçöø÷(i =1,2).注意到(3.4)式,有V 1=-A ρ(t ,x ,ρ)ρ(ρ-ρ0)+(v -v 0),V 2=A ρ(t ,x ,ρ)ρ(ρ-ρ0)+(v -v 0).从而得到v =v 0+12(V 1+V 2),A ρ(t ,x ,ρ)ρ(ρ-ρ0)=12(V 2-V 1).ìîíïïïï显然,(ρ,v )=(ρ0,v 0)等价于(V 1,V 2)=(0,0),并且可将(3.5)~(3.6)改写为x =0:V 2=-V 1+2h 2(t ),x =L :V 1=-V 2+2h 1(t ). 令T 满足ʏT0in f 0ɤx ɤL(v 0+A ρ(t ,x ,ρ0))d t >L .若在x =L 上给定节点状态(ρ,v )=(ρ0+ρ(t ),v 0+h 1(t )),且满足下面3个条件之一:(1) h 1 C 1[0,+ɕ)及 ρ C 1[T ,+ɕ)适当小;(2)s u p t ȡ0{e a t (|h 1(t )|+|h '1(t )|)}≪1,s u p t ȡT{e a t(|(t )|+|ρ'(t )|)}≪1;(3)s u p t ȡ0{(1+t )μ(|h 1(t )|+|h '1(t )|)}≪1,s u p t ȡT{(1+t )μ(|ρ(t )|+|ρ'(t )|)}≪1;其中a 和μ为正常数,则相应地由定理1~定理3之一可得该交通流系统在节点x =L 上有节点状态精确边界能控性和相应的渐近稳定性,h 2(t )为控制函数.对节点x =0可进行相应的讨论.此外,若速度边界条件(3.5)~(3.6)换成密度边界条件x =0:ρ=ρ0+H 2(t ),x =L :ρ=ρ0+H 1(t ),或流量边界条件x =0:ρv =ρ0v 0+H 2(t ),x =L :ρv =ρ0v 0+H 1(t ),在适当的条件下,也可到相应的结果.12第3期 王利彬:非自治拟线性双曲组的节点状态精确边界能控性及渐近稳定性 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.22曲阜师范大学学报(自然科学版)2022年参考文献:[1]C O R O NJM,N G U Y E N N H M.F i n i t e-t i m e s t a b i l i z a t i o n i n o p t i m a l t i m e o f h o m o g e n e o u s q u a s i l i n e a r h y p e r b o l i c s y s t e m s i n o n e d i m e n s i o n a l s p a c e[J].E S A I M C o n t r o lO p tC a lV a r,2020,26(119):24.[2]DÁG E RR,Z U A Z U A E.W a v eP r o p a g a t i o n,O b s e r v a t i o na n dC o n t r o l i n1-dF l e x i b l eM u l t i-s t r u c t u r e s[M].M a t hém a t i q u e s&A p p l i c a t i o n s,50.B e r l i n:S p r i n g e r-V e r l a g,2006.[3]G A R A V E L L O M,P I C C O L I B.T r a f f i c F l o wo nN e t w o r k s,C o n s e r v a t i o nL a w sM o d e l s[M].A I M SS e r i e s o nA p p l i e dM a t h-e m a t i c s,v o l1,S p r i n gf i e l d,MO:A m e r i c a n I n s t i t u t e o fM a t h e m a t i c a l S c i e n c e s(A I M S),2006.[4]G U G A T M,H E R T Y M,S C H L E P E R V.F l o wc o n t r o l i n g a sn e t w o r k s:e x a c t c o n t r o l l a b i l i t y t o a g i v e nd e m a n d[J].M a t hM e t h o d sA p p l S c i,2011,34:745-757.[5]G U G A T M,L E U G E R I N G G.G l o b a l b o u n d a r y c o n t r o l l a b i l i t y o f t h eS a i n t-V e n a n t s y s t e mf o r s l o p e dc a n a l sw i t hf r i c t i o n[J].A n n I n s tH P o i n c a réA n a lN o nL i néa i r e,2009,26:257-270.[6]L IT.C o n t r o l l a b i l i t y a n d O b s e r v a b i l i t y f o rQ u a s i l i n e a rH y p e r b o l i cS y s t e m s[M].A I M SS e r i e so n A p p l i e d M a t h e m a t i c s, v o l.3.B e i j i n g:A m e r i c a n I n s t i t u t e o fM a t h e m a t i c a l S c i e n c e s&H i g h e rE d u c a t i o nP r e s s,2010.[7]L IT.E x a c t b o u n d a r y c o n t r o l l a b i l i t y o f n o d a l p r o f i l e f o r q u a s i l i n e a r h y p e r b o l i c s y s t e m s[J].M a t h M e t h o d sA p p l S c i,2010, 33:2101-2106.[8]L IT,WA N GK,G U QL.E x a c t B o u n d a r y C o n t r o l l a b i l i t y o fN o d a l P r o f i l e f o rQ u a s i l i n e a rH y p e r b o l i c S y s t e m s[M].S i n g a-p o r e:S p r i n g e r-B r i e f s i n M a t h e m a t i c s,S p r i n g e r,2016.[9]L IT,WA N G Z Q.A n o t eo nt h ee x a c t c o n t r o l l a b i l i t y f o rn o n a u t o n o m o u sh y p e r b o l i cs y s t e m s[J].C o mm u nP u r eA p p lA n a l,2007(6):229-235.[10]WA N GK,WA N GLB.A s y m p t o t i c s t a b i l i t y o f t h e e x a c t b o u n d a r y c o n t r o l l a b i l i t y o f n o d a l p r o f i l e f o r1D q u a s i-l i n e a rw a v ee q u a t i o n s[J].M a t h M e t h o d sA p p l S c i,2020,43:1500-1515.[11]WA N GLB,WA N G K.A s y m p t o t i c s t a b i l i t y o f t h e e x a c t b o u n d a r y c o n t r o l l a b i l i t y o f n o d a l p r o f i l e f o r q u a s i l i n e a rh y p e r-b o l ic s y s t e m s[J].E S A I M C o n t r o lO p tC a lV a r,2020,26(67):25.[12]WA N GZ Q.E x a c t c o n t r o l l a b i l i t y f o rn o n a u t o n o m o u s f i r s t o r d e r q u a s i l i n e a rh y p e r b o l i c s y s t e m s[J].C h i n e s eA n n M a t hS e rB,2006,27:643-656.[13]WH I T HAM GB.L i n e a r a n dN o n l i n e a rW a v e s[M].R e p r i n t o f t h e1974o r i g i n a l.P u r e a n dA p p l i e d M a t h e m a t i c s.A W i-l e y-I n t e r s c i e n c eP u b l i c a t i o n.N e w Y o r k:J o h n W i l e y&S o n s,I n c.,999.E x a c t b o u n d a r y c o n t r o l l a b i l i t y o f n o d a l p r o f i l e f o r n o n a u t o n o m o u sq u a s i l i n e a r h y p e r b o l i c s y s t e m s a n d i t s a s y m m e t r i c s t a b i l i t yWA N GL i b i n(S c h o o l o fM a t h e m a t i c a l S c i e n c e s,F u d a nU n i v e r s i t y,200433,S h a n g h a i,P R C)A b s t r a c t:T h i s p a p e rd i s c u s s e s t h ea s y m p t o t i cs t a b i l i t y o f t h ee x a c tb o u n d a r y c o n t r o l l a b i l i t y o fn o d a l p r o f i l e f o r1-d i m e n s i o n a l n o n a u t o n o m o u s q u a s i l i n e a r h y p e r b o l i c s y s t e m s.I f t h e n o d a l p r o f i l e a n d t h e g i v e n b o u n d a r y f u n c t i o n p o s s e s s s u i t a b l y s m a l l C1n o r m s,t h e r e i s t h e e x a c t b o u n d a r y c o n t r o l l a b i l i t y o f n o d a l p r o-f i l e.F u r t h e r m o r e,i f t h e yp o s s e s s a n e x p o n e n t i a l o r p o l y n o m i a l d e c a y i n gp r o p e r t y,t h e n t h e b o u n d a r y c o n-t r o l f u n c t i o na n d t h e s o l u t i o n t o t h e c o r r e s p o n d i n g m i x e d i n i t i a l-b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m p o s s e s s t h e s a m e d e c a y i n gp r o p e r t y.K e y w o r d s:n o n a u t o n o m o u s q u a s i l i n e a r h y p e r b o l i c s y s t e m;e x a c t b o u n d a r y c o n t r o l l a b i l i t y o f n o d a l p r o-f i l e;c l a s s i c a l s o l u t i o n s;a s y m p t o t i c s t a b i l i t yCopyright©博看网. 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线性及非线性一致性问题综述
2 多 自 主 体 系 统 的 一 致 性 问 题 (Consensus problems of multi-agent systems)
在多自主体系统一致性问题中, 有三个基本要素: 动力学个体, 文献中常称之为自主体或智能体; 自主 体间用于信息交换的通信网络; 自主体接收到其他自 主体信息后做出的反应或者作用规则, 称为一致性协 议, 也有的文献称之为一致性算法、 一致性控制器. 在 许多一致性问题中涉及到非线性个体和非线性协议,
Yi = CXi + DUi .
(3)
其 中 Xi ∈ R p , U i ∈ R q , Y i ∈ R m 分 别 表 示 第 i个 自 主体的状态、 控制输入和量测输出: (A, B, C, D)是给 定的维数相容的矩阵, 一般要求满足可镇定、 可检测 [25] 的条件 . 模型(3)刻画了更一般的自主体动态, 例如 高阶积分器系统和线性振荡器系统. 2. 非线性动态模型 线性动态模型虽然简单易于分析, 但在有些场合 无法刻画所考察的对象, 尤其是一些机械力学系统, 因此一些非线性动态系统也得到了关注和研究. 这里 着重介绍三种典型的非线性模型: 非完整小车模 型、 非完整链式模型和欧拉―拉格朗日模型. (1) 非完整小车模型
1 引言(Introduction)
早在远古时期, 人类就已经观察并认识到自然界 中生物种群的一些奇特行为: 如鸟类在没有全局指引 的情况下能够紧而有序的大规模远距离迁徙, 萤火虫 能步调一致的闪烁发光, 群居的蚂蚁能够快速的发现 通往食物源的最优路径, 鱼群能迅速改变队形来围捕 猎物或者应对天敌的围捕. 这些数量庞大、 但非常简 单的个体无需集中式协调控制, 通过一些简单的局部 信息交换和作用规则, 就能产生令人惊讶的群体宏观 行为. 上世纪80年代起, 一些生物学家和物理学家通 过建模与仿真来试图发掘这些多个体系统行为背后 的 机 理, 其 中 两 个 最 著 名 的 模 型 是Boid模 型[1] , 和Vicsek模型[2] . 在Vicsek模型中, 作者提出了一个简 单的离散时间一阶非线性模型来模拟粒子群的相位 变化, 仿真结果表明: 如果粒子的分布密度足够大、 噪 声密度足够小, 那么粒子间通过局部的信息交换与协 调, 也能使最终的相位趋于一致. 所谓一致性是指随着时间的演化, 自主体通过相 互作用、 相互协调使得感兴趣的状态或者输出达到相 同. 一致性问题在计算机科学中已经有很悠久的历史,
稀疏限制的增量式鲁棒非负矩阵分解及其应用
稀疏限制的增量式鲁棒非负矩阵分解及其应用随着互联网和大数据时代的到来，数据的规模和复杂度不断增加，如何高效地对数据进行处理和分析成为了研究热点之一。
非负矩阵分解（Nonnegative Matrix Factorization，NMF）是一种基于线性代数的降维和特征提取方法，已经被广泛应用于文本挖掘、图像分析、信号处理等领域。
然而，在实际应用中，由于数据噪声和异常值的存在，NMF很容易受到影响。
为了克服这些问题，鲁棒NMF（Robust Nonnegative Matrix Factorization，RNMF）应运而生。
对于RNMF，主要考虑的是矩阵分解的鲁棒性。
矩阵的异常值和噪声不可避免地会导致NMF的分解结果出现偏差，导致特征提取不准确。
RNMF通过限制矩阵的稀疏性，进一步增强了其鲁棒性。
其中，稀疏性指的是矩阵的某些元素被设为0，并且这种稀疏性可以逐渐增强，以达到更好的鲁棒性。
因此，RNMF可以更好地处理实际数据中存在的噪声和异常值。
然而，在现实应用中，数据通常是动态变化的，需要在不断更新的过程中进行矩阵分解。
因此，增量式矩阵分解（Incremental Matrix Factorization，IMF）成为了RNMF的一个重要研究方向。
IMF的目标是在新的数据到达时，快速更新已有的矩阵分解结果，从而避免重新计算的复杂度。
在IMF中，网络架构和稀疏限制是两个重要的考虑因素。
对于网络架构，以往的研究主要采用基于传统矩阵分解的方法，即将当前的矩阵分解结果与新的数据进行拼接。
但是，这种方法难以适应动态变化的数据和大规模数据的情况。
因此，新的方法采用基于卷积神经网络（Convolutional Neural Networks，CNN）的方法进行矩阵分解，从而更好地重构特征空间中的信息并提升算法的实时性和数据处理速度。
对于稀疏限制，目前主要采用L1范数的办法来实现。
在IMF中，L1范数可以通过加L1约束的方式来保持矩阵的稀疏性。
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线性非局部Drude模型的一种解耦格式的稳定性和收敛性分
析
徐倩;夏泽宇;李茂军
【期刊名称】《西华师范大学学报:自然科学版》
【年(卷),期】2022(43)4
【摘要】本文针对线性非局部Drude模型,基于二阶向后差分(BDF)和间断伽辽金(DG)方法提出了一种能量稳定的解耦格式,证明了半离散格式和全离散格式的能量稳定性,以及全离散格式的最优收敛速率。
为了有效求解全离散系统,采用“解耦”技术将整个系统分解为2个更小的系统,即电流密度函数在电场方程中是显式的,且电场函数在电流密度方程中是显式的。
这种“解耦”技术在系统较大的时候可以提高计算效率。
最后,通过数值实验对理论结果进行了验证,结果表明所提格式具有二阶时间和空间精度且能量函数递减,与理论分析吻合。
【总页数】11页(P394-404)
【作者】徐倩;夏泽宇;李茂军
【作者单位】电子科技大学数学科学学院
【正文语种】中文
【中图分类】O241.82
【相关文献】
1.基于局部与非局部线性判别分析和高斯混合模型动态集成的晶圆表面缺陷探测与识别
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线性互补问题非光滑牛顿算法的全局收敛以及局部收敛性分析4.跳-分形过程下亚洲幂期权定价的一种高精度隐式差分格式及其稳定性和收敛性分析5.跳-分形过程下亚洲幂期权定价的一种高精度隐式差分格式及其稳定性和收敛性分析
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