证明等腰三角形的方法
等腰三角形的判定
等腰三角形的判定等腰三角形是指具有至少两条边相等的三角形,它有着特殊的特征和性质。
在几何学中,我们常常需要判定给定的三角形是否为等腰三角形。
本文将介绍几种判定等腰三角形的方法,并详细解释每种方法的原理和应用场景。
一、平面几何判定法在平面几何中,我们可以通过比较给定三角形的三条边是否相等来判断是否为等腰三角形。
假设三角形的三条边分别为AB、BC和AC,我们可以使用以下方法进行判定:1. 通过测量边长判断:通过使用直尺和量角器等绘图工具,我们可以测量三角形的各边的长度,并比较它们的大小。
如果发现其中两条边的长度相等,那么这个三角形就是等腰三角形。
2. 通过测量角度判断:使用量角器等工具可以测量三角形的各个内角,并比较它们的大小。
如果发现其中两个内角的度数相等,那么这个三角形就是等腰三角形。
二、解析几何判定法在解析几何中,通过使用坐标系可以简化等腰三角形的判定。
假设三角形的三个顶点的坐标分别为A(x1, y1), B(x2, y2)和C(x3, y3),我们可以使用以下方法进行判定:1. 通过计算边长判断:首先,我们可以计算出三角形的AB,BC和AC的边长。
然后,通过比较边长是否相等来判断是否为等腰三角形。
AB的长度:√[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2]BC的长度:√[(x3 - x2)^2 + (y3 - y2)^2]AC的长度:√[(x3 - x1)^2 + (y3 - y1)^2]如果发现其中两条边的长度相等,那么这个三角形就是等腰三角形。
2. 通过计算角度判断:首先,我们可以计算出三角形的两个内角的度数。
然后,通过比较角度是否相等来判断是否为等腰三角形。
内角A的度数:arctan[(y2 - y1) / (x2 - x1)]内角B的度数:arctan[(y3 - y2) / (x3 - x2)]如果发现其中两个内角的度数相等,那么这个三角形就是等腰三角形。
三、等腰三角形应用举例等腰三角形的判定对于几何学的研究以及实际生活中的应用具有重要意义。
证明等腰三角形的方法
证明等腰三角形的方法首先,我们来看一种基于三角形内角和的证明方法。
对于等腰三角形ABC,假设AB=AC,我们需要证明∠B=∠C。
根据三角形内角和的性质,三角形内角和等于180度,所以∠A+∠B+∠C=180度。
又因为AB=AC,所以三角形ABC是等腰三角形,于是有∠A=∠C。
将∠A=∠C代入∠A+∠B+∠C=180度中,得到∠B=∠C。
因此,我们通过三角形内角和的性质证明了等腰三角形的两个角相等。
其次,我们可以利用等腰三角形的对称性来证明。
对于等腰三角形ABC,假设AB=AC,我们需要证明∠B=∠C。
我们可以通过对称轴的对称性来证明。
根据等腰三角形的定义,可以得知∠A=∠C。
然后我们可以通过对称轴的对称性,将三角形ABC绕顶点A进行对称,得到一个新的三角形A'B'C',其中A'B'=A'C',且∠A' = ∠C'。
由于A'B'=A'C',所以三角形A'B'C'也是等腰三角形,于是有∠A'=∠C'。
再根据∠A'=∠C'和∠A' = ∠C',可以得到∠B=∠C。
因此,我们通过对称性证明了等腰三角形的两个角相等。
最后,我们可以利用等腰三角形的辅助线来证明。
对于等腰三角形ABC,假设AB=AC,我们需要证明∠B=∠C。
我们可以通过引入辅助线来证明。
首先,我们在等腰三角形ABC中引入高AD,连接D到顶点B和C。
由于等腰三角形的性质,可以得知AD是高,且BD=CD。
然后我们可以利用三角形的辅助线,将三角形ABC分割成两个等腰三角形ABD和ACD。
由于ABD和ACD是等腰三角形,所以它们的底角相等,即∠B=∠C。
因此,我们通过引入辅助线证明了等腰三角形的两个角相等。
综上所述,我们介绍了几种常见的证明等腰三角形的方法,包括基于三角形内角和的证明方法、基于对称性的证明方法以及基于等腰三角形的辅助线的证明方法。
证明等腰三角形的方法
证明等腰三角形的方法
首先,我们来看一下等腰三角形的定义。
等腰三角形是指具有两条边相等的三
角形,这两条边称为等腰边,而与等腰边不相等的边称为底边。
等腰三角形的顶角对顶的两边相等,而底边上的两个底角相等。
这就是等腰三角形的基本性质。
证明一个三角形是等腰三角形的方法之一就是利用等腰三角形的性质。
例如,
如果我们已知一个三角形的两条边相等,那么我们可以利用这一性质来证明这个三角形是等腰三角形。
具体的证明过程可以分为以下几个步骤:
首先,我们需要标出三角形的各个顶点和边,确保清晰明了。
然后,我们可以
利用已知的两条边相等的条件,通过画图或者几何推理,找出这两条边对应的顶角,以及底边上的两个底角。
接着,我们可以利用三角形内角和为180度的性质,来推导出这个三角形的其他角的大小。
最后,我们可以通过对已知条件和推导出的结论进行逻辑推理,得出结论,这个三角形是等腰三角形。
除了利用等腰三角形的性质来证明一个三角形是等腰三角形之外,我们还可以
利用角的性质和直角三角形的性质来证明等腰三角形。
例如,如果一个三角形的两个底角相等,那么我们可以通过利用三角形内角和为180度的性质,以及角的对应角相等的性质,来推导出这个三角形的两条边相等,从而得出这个三角形是等腰三角形的结论。
综上所述,证明等腰三角形的方法有多种,可以利用等腰三角形的性质,也可
以利用角的性质和直角三角形的性质。
无论采用哪种方法,关键在于清晰明了地标出已知条件和待证结论,通过合理的推理和逻辑推断,得出正确的结论。
希望本文介绍的方法对大家有所帮助,谢谢阅读!。
等腰三角形的证明方法
等腰三角形证明方法
噫,说起等腰三角形嘞证明方法,咱四川人也得搞得巴巴适适嘞。
你看哈,等腰三角形,就是两边边长相等,底角也相等那种三角形。
要证明它,方法还是有那么几手嘞。
首先嘞,你可以从它的定义下手。
比如说,你晓得一个三角形两边长度一样,那你就可以直接喊它等腰三角形了,这没得啥子好说的。
再来说说另一种方法,用等腰三角形嘞性质。
等腰三角形底边上嘞两个底角是相等的,这是它嘞一个很重要嘞性质。
所以嘛,你要是在一个三角形里头找到了两个相等的角,那它嘞对应两边肯定也是相等的,这个三角形也就是等腰三角形了。
还有一种比较高级嘞方法,就是用到啥子全等三角形嘞知识。
你画一条从等腰三角形嘞顶角到底边中点嘞线,这条线就是高、中线,还是角平分线。
然后嘞,你就可以通过证明两边嘞两个小三角形是全等的,来证明这个三角形是等腰三角形。
总之嘞,等腰三角形嘞证明方法还是比较多嘞,关键是要根据题目给出嘞条件,灵活地选择方法。
你要是掌握了这些方法,那遇到等腰三角形嘞题目,你就可以游刃有余地解决了。
所以说呀,学数学还是要动脑筋嘞,不能光靠死记硬背,要活学活用,这样才能真正嘞学好数学。
二线合一证明等腰三角形
二线合一证明等腰三角形二线合一证明等腰三角形在平面几何中,等腰三角形是一种非常重要的三角形形状。
它具有两个等长的边和两个等角,形状优美且具有独特的性质。
证明一个三角形是等腰三角形的方法有很多,其中一种方法是通过二线合一的证明方法。
下面我们将详细介绍二线合一证明等腰三角形的过程。
首先,让我们来认识一下什么是二线合一。
二线合一是指如果从一点到两个点的距离相等,那么这三个点就共线。
这个性质在证明等腰三角形中起着重要的作用。
假设我们需要证明的三角形是ABC,其中AB=AC,我们需要证明∠B=∠C。
我们先选择一个三角形的内部一点D,并构造BD和CD。
接下来的目标是证明BD=CD。
我们可以使用二线合一的性质来证明BD=CD。
首先,我们观察到三角形ABD和ACD具有两个共有的边AB和AC,且∠B=∠C(因为我们假设AB=AC,我们需要证明∠B=∠C),根据等腰三角形的性质,这两个三角形应为等腰三角形。
现在,我们将重点放在边BD和CD上。
由于∠ABD=∠ACD,我们可以得到∠ABD=∠ACD=∠BCD(这是因为∠B=∠C)。
由于∠ABD=∠BCD,我们可以得出BD=CD(这是因为二线合一的性质)。
因此,我们成功地证明了等腰三角形ABC中的BD=CD。
综上所述,通过使用二线合一的证明方法,我们可以证明等腰三角形的两个边相等。
在实际问题中,这个证明方法具有重要的指导意义。
例如,在建筑设计中,如果我们需要确定一个三角形的两个边是否相等,我们可以使用二线合一的方法进行验证。
这个证明方法也是培养学生逻辑思维和推理能力的好方法,能够提高他们的几何学习效果。
总而言之,二线合一是一种证明等腰三角形的有效方法。
通过观察具有共同边和等角的两个三角形,我们可以利用二线合一的性质证明等腰三角形的两个边相等。
这种证明方法在实际问题中具有重要的应用价值,并有助于培养学生的几何思维能力。
相信通过本文的介绍,读者们对于二线合一证明等腰三角形的方法有了更加清晰的理解。
等腰三角形证明
等腰三角形证明
等腰三角形是一种常见的几何形状,在几何学中,它作为象征平衡、稳定等性质的象征性图形被广泛应用。
两条相等的边不错形成了锐角,两边相等,角度相等。
本文将介绍一些有关等腰三角形的基本概念和证明方法,以帮助读者更好地理解等腰三角形的定义和性质。
等腰三角形定义为两边相等,两个角也相等的三角形。
一个三角形的角落一定是锐角的,所以当两边相等时,角度也一定是相等的。
如要证明一个三角形是等腰三角形,需要证明它的两边和两角都是相等的。
可以从下面几个方面进行证明:
1.尺寸证明法。
它可以从两种角度进行:一是通过比较同一三角形的两条边,另一个是比较sideA和sideB的距离。
如果两个边的距离相同,那么它就是一个等腰三角形。
2.相似三角形证明法,它可以通过比较三条边的比例来证明两个三角形是相似的,如果这两个三角形的比率都相同,表明两个三角形是等腰的。
3.三角形角度证明法。
它可以通过测量三角形有三个角的角度,
同时使用三角函数和三角关系,来证明这条三角形是一个等腰三角形。
以上是简要介绍的等腰三角形的定义和证明方法,可以看出,等
腰三角形是一种极具稳定性的图形,具有难以改变的特点,很受欢迎。
但是,在实际情况中,会有证明等腰三角形的困难,需要综合应用证
明的几种方法,仔细测量比例等,才能最终得出结论。
由此可见,证
明等腰三角形是一个体现几何学定理的有趣入门学习概念。
几何证明中的等腰三角形判别方法
几何证明中的等腰三角形判别方法几何学是数学中的重要分支,它研究的是空间中的形状、大小和位置关系。
在几何学中,等腰三角形是一种常见的几何形状,它具有特殊的性质和判别方法。
本文将介绍几何证明中的等腰三角形判别方法,帮助读者更好地理解和应用这一概念。
首先,我们来回顾一下等腰三角形的定义。
等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。
根据这个定义,我们可以得出等腰三角形的第一个判别方法:两边相等。
在几何证明中,当我们需要证明一个三角形是等腰三角形时,可以通过比较两边的长度来判断。
如果两条边的长度相等,那么这个三角形就是等腰三角形。
这个方法简单直接,容易应用。
除了两边相等,等腰三角形还有其他的判别方法。
其中一个方法是基于等腰三角形的性质:等腰三角形的两个底角相等。
这个性质可以作为判别等腰三角形的依据。
当我们需要证明一个三角形是等腰三角形时,可以通过测量或计算两个底角的大小,如果它们相等,那么这个三角形就是等腰三角形。
另一个判别等腰三角形的方法是基于等腰三角形的对称性。
等腰三角形具有轴对称性,即通过三角形的顶点可以画一条直线将其分成两个对称的部分。
当我们需要证明一个三角形是等腰三角形时,可以通过观察三角形的对称性来判断。
如果三角形的两个侧边和顶点关于某条直线对称,那么这个三角形就是等腰三角形。
此外,等腰三角形还有一个重要的性质:等腰三角形的高线也是它的中线。
这个性质可以作为判别等腰三角形的另一个方法。
当我们需要证明一个三角形是等腰三角形时,可以通过测量或计算三角形的高线和底边的长度,如果它们相等,那么这个三角形就是等腰三角形。
在几何证明中,等腰三角形的判别方法是非常有用的。
通过运用这些方法,我们可以更好地理解和证明等腰三角形的性质和定理。
同时,这些方法也可以帮助我们解决一些与等腰三角形相关的问题,如求解等腰三角形的面积、寻找等腰三角形的特殊点等。
总之,几何证明中的等腰三角形判别方法是我们研究和应用等腰三角形的基础。
如何证明三角形的等腰性质
如何证明三角形的等腰性质三角形是几何学中的基本形状,其中等腰三角形是其中一种特殊的三角形。
等腰三角形具有两条边相等的性质,其特殊性质对于解决几何问题和计算角度非常有用。
在本文中,我们将探讨如何证明三角形的等腰性质。
要证明一个三角形是等腰三角形,首先需要知道等腰三角形的定义。
在等腰三角形中,两条边的长度相等,这两条边称为腰,而另一条边称为底边。
当我们有一个三角形,需要证明它是等腰三角形时,有几种方法可以使用。
1. 通过边长证明:第一种方法是通过三角形的边长来证明等腰性质。
假设我们有一个三角形ABC,其中AB和AC两条边相等,需要证明BC也相等。
我们可以通过测量边长来进行验证。
利用尺子或者其他测量工具,分别测量AB和AC的长度,如果它们相等,我们可以得出结论,即三角形ABC是等腰三角形。
2. 通过角度证明:第二种方法是通过三角形的角度来证明等腰性质。
假设我们有一个三角形ABC,其中∠B和∠C两个角度相等,需要证明AB和AC两条边相等。
我们可以利用三角形内角和的性质来进行证明。
根据三角形内角和定理,三角形的三个内角的和总是等于180度。
由于∠B和∠C相等,它们的和为2∠B或者2∠C。
如果我们能够证明∠B+∠C=180度/2=90度,那么我们可以得出结论,即三角形ABC是等腰三角形。
3. 通过辅助线证明:第三种方法是通过添加辅助线来证明等腰性质。
假设我们有一个三角形ABC,其中AB和AC两条边相等,需要证明BC也相等。
我们可以通过在BC上添加一个点D来进行证明。
接下来,我们可以通过连接AD和BD,形成两个三角形ABD和ACD。
由于AB和AC相等,根据等腰三角形的定义,∠ADB和∠ADC也相等。
然后,我们可以利用三角形内角和的性质来证明∠B和∠C也相等。
如果我们能够证明∠B和∠C相等,那么我们可以得出结论,即三角形ABC是等腰三角形。
综上所述,我们可以使用边长、角度和辅助线等多种方法来证明三角形的等腰性质。
求证等腰三角形的几种方法
求证等腰三角形的几种方法
已知:三角形ABC中,AB=AC。
求证:∠B=∠C。
证明:
过点A作AD垂直于BC,垂足为D。
由于AB=AC,因此BD=CD(等腰三角形的“三线合一”定理)。
又因为AD垂直于BC,所以∠ADB=∠ADC=90∘。
在△ABD和△ACD中,有:∠BDA=∠CDA=90∘,AD=AD,BD=CD。
因此,△ABD≅△ACD(SAS)。
从而,∠B=∠C(全等三角形的对应角相等)。
因此,∠B=∠C。
证明等腰三角形的答题格式是:
证明:因为 [条件](例如:两角相等,两线平行等等),所以 [引理](例如:对顶角相等,三角形的角平分线和中线重合等等)。
又因为 [条件](例如:两角相等,两线平行等等),所以 [引理](例如:对顶角相等,三角形的角平分线和中线重合等等)。
所以 [定理](例如:等腰三角形的两底角相等,等腰三角形顶角的角平分线垂直于底边等等)。
注意:以上格式可能因不同的题目而略有不同,具体情况应根据题目的条件和要求进行灵活运用。
专题04 等腰三角形的证明(解析版)
专题04 等腰三角形的证明知识对接考点一、怎样解与等腰三角形有关的问题解与等腰三角形的边有关的问题时,常利用三角形的三边关系:确定能否构成三角形.当已知等腰三角形的边不能确定是腰还是底时,要分类讨论,还要考虑三角形的存在性,即两腰之和大于底边.解与等腰三角形的角有关的问题时,常利用三角形的内角和定理,遇到顶角、底角未知或仅知道两角之差但不确定大小关系时,还要注意分类讨论. 考点二、等腰三角形中的分类讨论在解决与等腰三角形的边、角有关的问题时,如果不知道已知的边是腰还是底边或不知道已知的角是顶角还是底角,就需要分类讨论.1.已知等腰三角形的两边长分别为a,b(a≠b),求周长C 时,分两种情况: (1)若腰长为a 且2a>b,则周长C=2a+b; (2)若腰长为b 且2b>a,则周长C=2b+a.2.已知等腰三角形的一个角为α,求顶角或底角的度数时,有三种情况: (1)若α为钝角,则α为顶角,底角的度数为(180°-α).(2)若α为直角,则α为顶角,且该三角形为等腰直角三角形,底角为45°.(3)若α为锐角,则应分两种情况讨论:①当α为顶角时,底角的度数为(180°-α);②当α为底角时,顶角的度数为180°-2α.特别注意:无论哪种情况,都要注意三角形的三边必须满足“任意两边之和大于第三边”,三个角必须满足“三角形的内角和等于180°”.专项训练一、单选题1.(2021·河北九年级一模)求证:如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边,那么这个三角形是等腰三角形.已知:如图,CAE ∠是ABC 的外角,12∠=∠,AD ∥BC .求证AB AC =.以下是排乱的证明过程:∥又12∠=∠, ∥∥B C ∠=∠, ∥∥AD ∥BC ,∥∥1B ∠=∠,2C ∠=∠, ∥∥AB AC =.证明步骤正确的顺序是( ) A .∥→∥→∥→∥→∥ B .∥→∥→∥→∥→∥ C .∥→∥→∥→∥→∥ D .∥→∥→∥→∥→∥【答案】B 【分析】根据平行线的性质得出1,2B C ∠=∠∠=∠,再利用12∠=∠等量代换,得出B C ∠=∠,即可判定ABC 是等腰三角形,即可证明. 【详解】 具体步骤为: ∥∥AD ∥BC ,∥∥1B ∠=∠,2C ∠=∠, ∥又12∠=∠, ∥∥B C ∠=∠, ∥∥AB AC =. 故选:B . 【点睛】本题考查平行线的性质,等量代换,等腰三角形的判定与性质,解题关键是熟练掌握平行线的性质与等腰三角形的判定与性质.2.(2021·江西)如图,在∥ABC 中,∥A =36°,AB =AC ,BD 是∥ABC 的角平分线.若在边AB 上截取BE =BC ,连接DE ,则图中等腰三角形共有( )A .2个B .3个C .4个D .5个【答案】D 【详解】试题分析:在∥ABC 中,∥A=36°,AB=AC ,求得∥ABC=∥C=72°,且∥ABC 是等腰三角形;因为CD 是∥ABC 的角平分线,所以∥ACD=∥DCB=36°,所以∥ACD 是等腰三角形;在∥BDC中,由三角形的内角和求出∥BDC=72°,所以∥BDC 是等腰三角形;所以BD=BC=BE ,所以∥BDE 是等腰三角形;所以∥BDE=72°,∥ADE=36°,所以∥ADE 是等腰三角形.共5个. 故选D考点:角平分线,三角形的内角和、外角和,平角3.(2021·河北)已知:如图,ABC 中,B C ∠=∠,求证:AB AC =,在证明该结论时,只添加一条辅助线:∥作BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ,∥过点A 作AD BC ⊥于点D ,∥取BC 中点D ,连接AD ,∥作BC 的垂直平分线AD ,其中作法正确的个数是( )A .1B .2C .3D .4【答案】B 【分析】根据辅助线构造的条件和三角形全等的判定方法结合在一起判断求解. 【详解】∥作BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ,则B CBAD CAD AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∥∥ABD ∥∥ACD , ∥AB =AC , ∥∥作法正确;∥过点A 作AD BC ⊥于点D ,则B C BDA CDA AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∥∥ABD ∥∥ACD , ∥AB =AC , ∥∥作法正确;∥取BC 中点D ,连接AD , 无法证明∥ABD ∥∥ACD , ∥∥作法不正确;∥作BC 的垂直平分线无法证明点A 在其上,∥∥作法不正确;故选B.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质证明,三角形全等的判定,熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键.4.(2021·云南文山·)若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半,则这个等腰三角形的底角为()A.30B.60︒C.30或60︒D.15︒或75︒【答案】D【分析】首先根据题意作图,然后分别从等腰三角形一腰上的高在内部与在外部去分析,根据直角三角形中,如果直角边是斜边的一半,则此直角边所对的角是30°角,再由等边对等角的知识,即可求得这个三角形的底角.【详解】解:如图∥:∥CD∥AB,∥∥ADC=90°,∥CD=12AC,∥∥A=30°,∥AB=AC,∥∥B=∥ACB=18030752︒︒︒-=;如图∥:∥CD∥AB,∥∥ADC=90°,AC,∥CD=12∥∥CAD=30°,∥AB=AC,∥∥B=∥ACB∥∥DAC=∥B+∥ACB=2∥B=30°,∥∥B=∥ACB=15°.∥这个三角形的底角为:75°或15°.故选:D.【点睛】此题考查了直角三角形的性质与等腰三角形的性质.解题的关键是注意数形结合思想与分类讨论思想的应用,小心别漏解.5.(2021·广东九年级二模)已知a、b、4分别是等腰三角形三边的长,且a、b是关于x 的一元二次方程2620-++=的两个根,则k的值等于()x x kA.6B.7C.-7或6D.6或7【答案】D【分析】当a=4或b=4时,即x=4,代入方程即可得到结论,当a=b时,即∥=(−6)2−4×(k +2)=0,解方程即可得到结论.【详解】解:∥a、b、4分别是等腰三角形三边的长,∥当a=4或b=4时,即:42−6×4+k+2=0,解得:k=6,此时,2680-+=的两个根为:x1=2,x2=4,符合题意;x x当a=b时,即∥=(−6)2−4×(k+2)=0,解得:k=7,此时,2690-+=的两个根为:x1=x2=3,符合题意;x x综上所述,k的值等于6或7,故选:D.【点睛】本题考查了根的判别式,一元二次方程的解,等腰三角形的性质,熟练掌握一元二次方程的判别式和等腰三角形的性质,进行分类讨论,是解题的关键.6.(2021·甘肃兰州·九年级)如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,∥A=46°,CD∥AB于点D,则∥DCB=()A .46°B .67°C .44°D .23°【答案】D 【分析】根据等腰三角形的性质即可求解. 【详解】解:∥等腰三角形ABC 中,AB =AC , ∥∥ABC =∥ACB ∥∥A =46°,∥∥ABC =12×(180°-46°)=12×134°=67°, ∥CD ∥AB 于D ,∥∥DCB =90°-∥ABC =90°-67°=23°, 故选:D . 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,本题的解题关键是求出∥ABC 的度数即可得出答案. 7.(2021·苏州高新区第二中学九年级二模)定义:等腰三角形的一个底角与其顶角的度数的比值()1k k >称为这个等腰三角形的“优美比”.若在等腰三角形ABC 中,36,A ∠=︒则它的优美比k 为( )A .32B .2C .52D .3【答案】B 【分析】由已知可以写出∥B 和∥C ,再根据三角形内角和定理可以得解. 【详解】解:由已知可得:∥B=∥C=k∥A=(36k )°, 由三角形内角和定理可得:2×36k+36=180, ∥k=2, 故选B . 【点睛】本题考查等腰三角形的应用,熟练掌握等腰三角形的性质、三角形内角和定理及方程思想的应用是解题关键 .8.(2021·四川成都·九年级一模)在螳螂的示意图中,AB∥DE ,∥ABC 是等腰三角形,∥ABC =124°,∥CDE =72°,则∥ACD =( )A .16°B .28°C .44°D .45°【答案】C 【分析】延长ED ,交AC 于F ,根据等腰三角形的性质得出28A ACB ,根据平行线的性质得出28CFD A,【详解】解:延长ED ,交AC 于F ,ABC ∆是等腰三角形,124ABC ∠=︒,28AACB, //AB DE ,28CFD A,72CDE CFD ACD,722844ACD,故选:C .【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,平行线的性质,三角形外角的性质,熟练掌握性质定理是解题的关键.9.(2021·全国九年级专题练习)如图,AD 是等腰三角形ABC 的顶角平分线,5BD =,则CD 等于( )A .10B .5C .4D .3【答案】B 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可判断CD 的长. 【详解】∥AD 是等腰三角形ABC 的顶角平分线 ∥CD=BD=5. 故选:B . 【点睛】本题考查等腰三角形的三线合一,关键在于熟练掌握基础知识.10.(2021·河北九年级专题练习)已知m 、n 、4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长,且m 、n 是关于x 的一元二次方程2x ﹣6x +k+2=0的两个根,则k 的值等于( ) A .7 B .7或6 C .6或﹣7 D .6【答案】B 【分析】当m =4或n =4时,即x =4,代入方程即可得到结论,当m =n 时,即∥=(﹣6)2﹣4×(k +2)=0,解方程即可得到结论. 【详解】当m=4或n=4时,即x=4, ∥方程为42﹣6×4+k+2=0, 解得:k=6;当m=n 时,2x ﹣6x +k+2=0 ∥1a =,6b =-,2c k =+,∥()()22464120b ac k =-=--⨯⨯+=⊿, 解得:7k =,综上所述,k 的值等于6或7, 故选:B . 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根、根的判别式以及等腰三角形的性质,由等腰三角形的性质得出方程有一个实数根为2或方程有两个相等的实数根是解题的关键. 二、填空题11.(2021·江苏九年级)若一条长为32cm 的细线能围成一边长等于8cm 的等腰三角形,则该等腰三角形的腰长为___cm . 【答案】12 【分析】根据题意,分腰长为8cm 和底边为8cm 两种情况并结合三角形的构成条件分类讨论即可. 【详解】解:若腰长为8cm ,则此三角形的另一边长为32-8-8=16(cm ), 而8+8=16,无法构成三角形, ∥此情形舍去;若底边为8cm ,则腰长为(32-8)÷2=12(cm ), 此时12+12>8,12+8>8,可以构成三角形. 故答案为:12. 【点睛】本题考查了三角形的构成条件、等腰三角形的性质、分类讨论的数学思想,根据题意结合三角形构成条件进行分类讨论是解题的关键.12.(2021·江苏九年级二模)顶角是36︒的等腰三角形叫做黄金三角形.如图,AC AD BE 、、是正五边形ABCDE 的3条对角线,图中黄金三角形的个数是_________.【答案】6 【分析】根据正五边形的内角和和黄金三角形的定义进行判断即可. 【详解】解:设BE 与AC 、AD 交于M 、N ,ABCDE 是正五边形,内角和为5218540(0)-⨯︒=︒,每一个内角为5405108︒÷=︒,∥∥ABC=∥BAE=∥AED=∥BCD=∥CDE=108°,∥AB=BC=AE=ED,∥∥BAC=∥BCA=36°,∥EAD=∥ADE=36°,∥∥CAD=36°,∥ACD=∥ADC=72°,∥AC=AD,∥∥ACD是黄金三角形,同理可求:∥BAN=∥ANB=∥AME=∥EAM=72°,∥CBM=∥BMC=∥DNE=∥DEN=72°,∥∥AMN、∥DEN、∥EAM、∥CMB,∥ABN也是黄金三角形.则图中黄金三角形的个数有6个.故答案为:6.13.(2021·浙江九年级期末)ABC中,∥A=36°,∥B是锐角.当∥B=72°时,我们可以如图作线段BD将ABC分成两个小等腰三角形如果存在一条线段将ABC分成两个小三角形,这两个小三角形都是等腰三角形,则∥B的角度还可以取到的有____________.【答案】54°,36°,18°,12°【分析】直线从A、B、C出发分三种情况讨论,利用等边对对角、三角形的外角性质、三角形的内角和建立方程求解,再结合题干看是否存在即可得出答案.【详解】∠=解:这条直线从A、B、C出发皆可,设B x()I假设从A出发,如下图:∥当BD=AD,AD=DC时,B BAD DAC C∴∠=∠∠=∠∴︒-︒-=︒-1803636x x此时x的值不存在;∥当BD=AD,AC=DC时∠=∠,ADC DACB BAD∠=∠ADC B BAD BAC BAD∠=∠+∠=∠-∠∴=︒-236x xx=︒;解得:12∥当BD=AD,AD=AC时∠=∠∠=∠,ADC CB BADC x x∠=︒--︒=︒-ADC B BAD x∠=∠+∠=,180361442x x∴=︒-2144解得:48x=︒︒>︒,此种情况不存在;此时4836∥当AB=AD,AD=DC时,∠=∠∠=∠,ADC CB ADBC x∠=︒-,18036∠=--︒BAD x1802()∴︒-=︒---︒x x180********x=︒(不符合题意)解得:96()II假设从B出发,如下图:∥当AD =BD ,BD =BC 时36272BDC A ABD ∠=∠+∠=︒⨯=︒72,72C B ∴∠=︒∠=︒,此情况成立;∥AD =BD ,BD =DC 时7236BDC DBC x ∠=︒∠=-︒, 3618036x x ∴-︒=︒-︒-解得:90x =︒,此时不成立;()III 假设从C 出发,如下图:∥BD =DC ,AC =DC 时362ADC A B DCB x ∠=∠=︒=∠+∠=解得:18x =︒,此时成立; ∥BD =DC ,AD =DC180362108ADC ∠=︒-︒⨯=︒,2108ADC B DCB x ∠=∠+∠==︒解得:54x =︒,此时成立; ∥BD =BC ,AD =DC 1802xBDC BCD ︒-∠=∠=,36A ACD ∠=∠=︒,BDC A ACD ∠=∠+∠ 18036362x︒-∴=︒+︒x=︒;解得:36综上所述,∥B的角度还可以取到的有54︒、36︒、12︒、18︒.故答案为:54°,36°,18°,12°.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和、三角形外角的性质,解题的关键是分情况讨论,注意不要漏掉.14.(2021·黑龙江牡丹江·中考真题)过等腰三角形顶角顶点的一条直线,将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形,则原等腰三角形的底角度数为____.【答案】45°或36°【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出答案.【详解】解:∥如图1,当过顶角的顶点的直线把它分成了两个等腰三角形,则AC=BC,AD=CD=BD,设∥A=x°,则∥ACD=∥A=x°,∥B=∥A=x°,∥∥BCD=∥B=x°,∥∥A+∥ACB+∥B=180°,∥x+x+x+x=180,解得x=45,∥原等腰三角形的底角是45°;∥如图2,∥ABC 中,AB =AC ,BD =AD ,AC =CD , ∥AB =AC ,BD =AD ,AC =CD , ∥∥B =∥C =∥BAD ,∥CDA =∥CAD , ∥∥CDA =2∥B , ∥∥CAB =3∥B , ∥∥BAC +∥B +∥C =180°, ∥5∥B =180°, ∥∥B =36°,∥原等腰三角形的底角为36°; 故答案为45°或36° 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及其判定.作此题的时候,首先大致画出符合条件的图形,然后根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及其推论找到角之间的关系,列方程求解. 15.(2021·江苏盐城·中考真题)如图,在矩形ABCD 中,3AB =,4=AD ,E 、F 分别是边BC 、CD 上一点,EF AE ⊥,将ECF △沿EF 翻折得EC F '△,连接AC ',当BE =________时,AEC '是以AE 为腰的等腰三角形.【答案】78或43【分析】对AEC '是以AE 为腰的等腰三角形分类讨论,当=AE EC '时,设BE x =,可得到4EC x =-,再根据折叠可得到=4EC EC x '=-,然后在Rt∥ABE 中利用勾股定理列方程计算即可;当=AE AC '时,过A 作AH 垂直于EC '于点H ,然后根据折叠可得到=C EF FEC '∠∠,在结合EF AE ⊥,利用互余性质可得到BEA AEH =∠∠,然后证得∥ABE ∥∥AHE ,进而得到BE HE =,然后再利用等腰三角形三线合一性质得到EH C H '=,然后在根据数量关系得到14=33BE BC =.【详解】解:当=AE EC '时,设BE x =,则4EC x =-, ∥ECF △沿EF 翻折得EC F '△,∥=4EC EC x '=-,在Rt∥ABE 中由勾股定理可得:222AE BE AB =+即222(4)3x x -=+, 解得:7=8x ; 当=AE AC '时,如图所示,过A 作AH 垂直于EC '于点H ,∥AH ∥EC ',=AE AC ', ∥EH C H '=, ∥EF AE ⊥,∥=90C EF AEC ''+︒∠∠,90BEA FEC +=︒∠∠ ∥ECF △沿EF 翻折得EC F '△, ∥=C EF FEC '∠∠, ∥BEA AEH =∠∠,在∥ABE 和∥AHE 中B AHE AEB AEH AE AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∥∥ABE ∥∥AHE (AAS ), ∥BE HE =, ∥=BE HE HC '=, ∥12BE EC '=∥EC EC '=, ∥12BE EC =, ∥14=33BE BC =,综上所述,7483BE =或,故答案为:7483或【点睛】本题主要考查等腰三角形性质,勾股定理和折叠性质,解题的关键是分类讨论等腰三角形的腰,然后结合勾股定理计算即可. 三、解答题16.(2021·江苏徐州·中考真题)如图,将一张长方形纸片ABCD 沿E 折叠,使,C A 两点重合.点D 落在点G 处.已知=4AB ,8BC =. (1)求证:AEF ∆是等腰三角形; (2)求线段FD 的长.【答案】(1)见解析;(2)3 【分析】(1)根据矩形的性质可得//AD BC ,则FEC AFE ∠=∠,因为折叠,FEC AEF ∠=∠,即可得证;(2)设FD x =用含x 的代数式表示AF ,由折叠,AG DC =,再用勾股定理求解即可 【详解】(1)四边形ABCD 是矩形∴//AD BC∴FEC AFE ∠=∠因为折叠,则FEC AEF ∠=∠AEF AFE ∴∠=∠∴AEF ∆是等腰三角形(2)四边形ABCD 是矩形8,4AD BC CD AB ∴====,90D ∠=︒设FD x =,则8AF AD x x =-=-因为折叠,则FG x =,4AG CD ==,90G D ∠=∠=︒ 在Rt AGF △中222FG AF AG =-即222(8)4x x =-- 解得:3x =∴3FD =【点睛】本题考查了矩形的性质,等腰三角形的判定定理,图像的折叠,勾股定理,熟悉以上知识点是解题的关键.17.(2021·湖南郴州市·)如图1,在等腰直角三角形ABC 中,90BAC ∠=︒.点E ,F 分别为AB ,AC 的中点,H 为线段EF 上一动点(不与点E ,F 重合),将线段AH 绕点A 逆时针方向旋转90︒得到AG ,连接GC ,HB .(1)证明:AHB AGC ≌;(2)如图2,连接GF ,HC ,AF 交AF 于点Q . ∥证明:在点H 的运动过程中,总有90HFG ∠=︒;∥若4AB AC ==,当EH 的长度为多少时,AQG 为等腰三角形?【答案】(1)见详解;(2)∥见详解;∥当EH 的长度为2AQG 为等腰三角形 【分析】(1)由旋转的性质得AH =AG ,∥HAG =90°,从而得∥BAH =∥CAG ,进而即可得到结论; (2)∥由AHB AGC ≌,得AH =AG ,再证明AEH AFG ≌,进而即可得到结论;∥AQG 为等腰三角形,分3种情况:(a )当∥QAG =∥QGA =45°时,(b )当∥GAQ =∥GQA =67.5°时,(c )当∥AQG =∥AGQ =45°时,分别画出图形求解,即可. 【详解】解:(1)∥线段AH 绕点A 逆时针方向旋转90︒得到AG , ∥AH =AG ,∥HAG =90°,∥在等腰直角三角形ABC 中,90BAC ∠=︒,AB =AC , ∥∥BAH =90°-∥CAH =∥CAG , ∥AHB AGC ≌;(2)∥∥在等腰直角三角形ABC 中,AB =AC ,点E ,F 分别为AB ,AC 的中点, ∥AE =AF ,AEF 是等腰直角三角形, ∥AH =AG ,∥BAH =∥CAG , ∥AEH AFG ≌, ∥∥AEH =∥AFG =45°,∥∥HFG =∥AFG +∥AFE =45°+45°=90°,即:90HFG ∠=︒; ∥∥4AB AC ==,点E ,F 分别为AB ,AC 的中点, ∥AE =AF =2,∥∥AGH =45°,AQG 为等腰三角形,分3种情况:(a )当∥QAG =∥QGA =45°时,如图,则∥HAF =90°-45°=45°, ∥AH 平分∥EAF , ∥点H 是EF 的中点,∥EH 12=(b )当∥GAQ =∥GQA =(180°-45°)÷2=67.5°时,如图,则∥EAH =∥GAQ =67.5°, ∥∥EHA =180°-45°-67.5°=67.5°, ∥∥EHA =∥EAH , ∥EH =EA =2;(c )当∥AQG =∥AGQ =45°时,点H 与点F 重合,不符合题意,舍去,综上所述:当EH 的长度为2时,AQG 为等腰三角形.【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质,旋转的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,熟练掌握全等三角形的判定定理,根据题意画出图形,进行分类讨论,是解题的关键.18.(2021·江苏九年级二模)如图(1),已知矩形ABCD 中,6cm AB BC ==,,点E 为对角线AC 上的动点.连接BE ,过E 作EB 的垂线交CD 于点F .(1)探索BE 与EF 的数量关系,并说明理由.(2)如图(2),过F 作AC 垂线交AC 于点G ,交EB 于点H ,连接CH .若点E 从A 出发沿AC 方向以/s 的速度向终点C 运动,设E 的运动时间为s t . ∥是否存在t ,使得H 与B 重合?若存在,求出t 的值;若不存在,说明理由; ∥t 为何值时,CFH △是等腰三角形; ∥当CG GH =时,求CGH 的面积.【答案】(1)BE =;(2)∥t=1,∥t =; 【分析】(1)连接BF ,易证B. C. F. E 四点共圆,,AD EFtan ACD tan EBF CD BE∠==∠=即可求证出BE = ;(2)∥存在,当H 、B 重合时,如图所示,结合(1)知可得BG =3,CG =,同理可知CF =2,FG =1,EG CG ==CE =,由此可得t=1,∥先得出60CFH ∠=︒ ,再由△FHC 为等腰三角形,推出△FHC 为等边三角形进而得出45CEB ∠=︒ ,△ABE =15°,△EBC =75°,根据△BCH =30°得出CH=CB=CF ,根据题意列等式64t -=求出t =,∥过点E 作MN 垂直AB ,设AE =,求证出 ~FEM EBN ∆∆ ,根据相似的性质结合4DF t =,64CF t =- ,32FG t =- 得出EG =-=,再结合EGH FGE ∽得出()232t -=进而表示出CG ,代入面积公式()21CG 2CGH S ∆==即可; 【详解】解:(1)连接BF ,如图:已知矩形ABCD 中,BE EF ⊥ , ∥∥BEF =∥BCF =90°,∥点B , C ,F , E 四点共圆,∥∥EBF =∥ACD (同圆中同弧所对圆周角相等),∥,AD EFtan ACD tan EBF CD BE∠==∠=∥BE =(2) ∥存在,当H 、B 重合时,如图所示:由(1)知,∥EBF =30°, ∥∥ACD =∥EBF =30°, 则∥ACB =60°,∥FH AC ⊥ 即∥BGC =90°,BC =∥BG =3,CG =,同理可得CF=2,FG=1,EG CG ==∥CE =, ∥AE AC CE =- ,又∥已知矩形ABCD 中,6cm AB BC ==,,∥AC =,∥AE =∥点E 从A 出发沿AC 方向以/s 的速度向终点C 运动, ∥t=1; ∥∥∥CFH 为等腰三角形, 又∥∥ACD =30°, ∥60CFH ∠=︒ , ∥∥CFH 为等边三角形, ∥FG =GH ,又由(1)知90BEF ∠=︒, ∥FG =GH =EG , ∥45CEB ∠=︒ , ∥∥ABE =15°, ∥∥EBC =75°, ∥∥BCH =30°,∥∥CHB 为等腰三角形, ∥CH =CB =CF ,∥3CE CG EG =+=,∥3AE CE == ,即3= ,解得:t =, ∥由题意知:过点E 作MN 垂直AB ,设AE =,则由(1)得EN =,3t AN =,∥∥FME =∥ENB ,∥FEM +∥BEN=∥BEN +∥EBN=90°, ∥∥FEM =∥EBN , ∥FEM EBN ∆~∆ , ∥ME MFBN EN= ,,∥MF =t ,∥4DF DM MF AN MF t =+=+=,则64CF t =- , ∥32FG t =- ,∥CG = ,EG AC AE CG =--=-=,在t R EFH ∆中,EG FH ⊥ ,,EGH FGE ∴∽ ,EG GH FG EG∴= ∥2EG GH FG =⨯ ,∥()()232t =⨯-,∥()232t -∥CG GH =,∥()()221122CGH S CG ∆===; 【点睛】此题属于四边形综合试题,考查动点问题,涉及到圆周角,三角形相似,特殊角的直角三角形各边的关系及等边三角形的证明,有一定难度.19.(2021·苏州市胥江实验中学校九年级)如图,在ABC 中,以AB 为直径的O 交BC 边于点D ,交AC 边于点E .过点D 作O 的切线,交AC 于点F ,交AB 的延长线于点G ,且DF AC ⊥,连接DE .(1)求证:ABC 是等腰三角形; (2)求证:2DE EF AC =⋅;(3)若6BG =,2CF =,求O 的半径. 【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)3 【分析】(1)DF 是△O 的切线,得到∥ODF =90°,再求出∥C +∥FDC =90° ,∥C =∥BDO ,由OB =OD ,得∥BDO =∥ABC .∥C =∥ABC ,即可求解.(2)因为AB 是直径,得到90ADB ∠=︒,知道AB AC =,BAD CAD ∠=∠,BD DE =,推出,ABD DEF ∽,得到AC DEDE EF=即可求解; (3)求出∥ODG∥∥AFG ,得出比例式,即可求出圆的半径. 【详解】(1)证明: ∥DF 是△O 的切线, ∥OD ∥DF . ∥∥ODF =90°.又∥∥BDO +∥ODF +∥FDC =180°, ∥∥BDO +∥FDC =90°. ∥DF ∥AC , ∥∥DFC =90°, ∥∥C +∥FDC =90°. ∥∥C =∥BDO . ∥OB =OD , ∥∥BDO =∥ABC . ∥∥C =∥ABC . ∥AB =AC .∥∥ABC 是等腰三角形; (2)连接AD ,∥AB 是直径 90ADB ∴∠=︒, AB AC =,BAD CAD ∴∠=∠,BD DE ∴=,在ABD △和DEF 中90ADB DFE ABD DEF∠=∠=︒⎧⎨∠=∠⎩ ABD DEF ∴∽,AB BDDE EF∴= ,AB AC BD DE ==AC DEDE EF∴= 2DE EF AC ∴=⋅ (3)解:∥AB =AC , ∥∥ABC =∥C , ∥OB =OD , ∥∥ABC =∥ODB , ∥∥ODB =∥C , ∥OD ∥AC , ∥∥GOD ∥∥GAF , ,OD GOAF GA∴= ∥设△O 的半径是r ,则AB =AC =2r , ∥AF =2r -2, 6,2262r rr r+∴=-+ ∥r =3,经检验:3r =是原方程的根,且符合题意, 即△O 的半径是3.【点睛】本题考查了切线的性质,圆内接四边形,相似三角形的性质和判定,圆周角定理,等腰三角形的性质等知识点,能综合运用知识点进行推理是解此题的关键. 20.(2021·广东中山·)如图,已知等腰ABC ∆的顶角36A ∠=︒.(1)根据要求用尺规作图:作ABC ∠的平分线交AC 于点D ;(不写作法,只保留作图痕迹.)(2)在(1)的条件下,证明:BDC ∆是等腰三角形. 【答案】(1)见解析;(2)见解析 【分析】(1)以点B 为圆心,适当长为半径画弧,交AB 、BC 于点M 、N ,然后以点M 、N 为圆心,大于MN 长的一半为半径画弧,交于点O ,连接BO ,交AC 于点D ,则问题可求解; (2)由题意易得72ABC C ∠=∠=︒,然后可得72C CDB ∠=∠=︒,则问题可求证. 【详解】.解:(1)如图所示:BD 即为所求;(2)∥36A ∠=︒,∥()18036272ABC C ∠=∠=︒-︒÷=︒, ∥BD 平分ABC ∠,∥72236ABD DBC ∠=∠=︒÷=︒, ∥1803672872CDB ∠=︒-︒-=︒, ∥72C CDB ∠=∠=︒, ∥BD BC =,∥BDC都是等腰三角形.【点睛】本题主要考查角平分线的尺规作图及等腰三角形的性质与判定,熟练掌握角平分线的尺规作图及等腰三角形的性质与判定是解题的关键.21.(2021·浙江)如图,矩形ABCD中,点E为BC边上一点,把ABE△沿着AE折叠得到AEF,点F落在AD边的上方,线段EF与AD边交于点G.(1)求证:AGE是等腰三角形(2)试写出线段FG,GD,EC三者之间的数量关系式(用同一个等式表示),并证明.【答案】(1)证明见解析;(2)GD=GF+EC,证明见解析.【分析】(1)根据矩形性质、折叠性质及等角对等边可以得到证明;(2)根据折叠性质及(1)可得AG+GD=FG+GA+EC,从而得到GD=GF+EC.【详解】解:(1)证明:在矩形ABCD中,有:AD∥BC且AD=BC.∥∥DAE=∥BEA.∥∥ABE沿着AE折叠得到∥AEF.∥∥AEB= ∥AEG.∥∥GAE=∥GEA.∥GA=GE.∥∥AGE是等腰三角形.(2)GD=GF+EC.证明:根据折叠的性质:BE=EF.∥GE=GA、AG+GD=BE+EC.∥AG+GD=EF+EC.∥EF=FG+GE=FG+GA.∥AG+GD=FG+GA+EC.∥GD=GF+EC.【点睛】本题考查矩形的折叠问题,熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质是解题关键.22.(2021·安徽)如图,AB为半圆O的直径,点C为半圆上不与A,B重合的一动点,AC =CD,连接AC,CD,AD,BC,延长BC交AD于F,交半圆O的切线AE于E.(1)求证:∥AEF是等腰三角形;(2)填空:∥若AE BE=5,则BF的长为;∥当∥E的度数为时,四边形OACD为菱形.【答案】(1)见详解;(2)∥3;∥60°【分析】(1)由AB为半圆O的直径,AE是切线,可得∥EAC=∥ABC,结合圆周角定理的推论可得∥EAC=∥CAD,从而得ACE≌ACF,,进而即可得到结论;(2)∥由等腰三角形的性质得EF=2CE,再利用勾股定理求出AB的值,然后利用面积法求出AC的值,进而即可求解;∥利用菱形的性质和圆的性质,可得ACO是等边三角形,结合圆周角定理,即可求得答案.【详解】(1)证明:∥AB为半圆O的直径,AE是切线,∥∥ACB=90°,∥EAB=90°,∥∥EAC+∥CAB=∥CAB+∥ABC=90°,∥∥EAC=∥ABC,∥AC=CD,∥∥ABC =∥CAD,∥∥EAC=∥CAD,又∥∥ACE=∥ACF=90°,AC=AC,∥ACE≌ACF,∥AE=AF,∥∥AEF是等腰三角形;(2)∥∥∥AEF是等腰三角形,AE=AF,AC∥BE,∥点C是EF的中点,即:EF=2CE,∥AE ∥AB ,∥AB∥1122AEBSAE AB BE AC =⋅=⋅,∥2AE AB AC BE ⋅===,∥1CE =, ∥EF =2CE =2, ∥BF =BE -EF =5-2=3, 故答案是:3; ∥连接OC ,∥四边形OACD 为菱形, ∥OA =OD =CD =AC =OC , ∥ACO 是等边三角形, ∥∥AOC =60°, ∥∥ABE =30°, ∥∥E =90°-30°=60°. 故答案是:60°.【点睛】本题主要考查圆周角定理,切线的性质,菱形的性质,等腰三角形的判定和性质,熟练掌握圆周角定理及其推论,是解题的关键.23.(2021·广东)如图,已知等腰三角形ABC 的顶角∥A =108°.(1)在BC 上作一点D ,使AD =CD (要求:尺规作图,保留作图痕迹,不必写作法和证明).(2)求证:∥ABD 是等腰三角形.【答案】(1)见解析;(2)见解析【分析】(1)根据线段垂直平分线的尺规作图直接进行求解即可;(2)由题意易得∥B=∥C=36°,然后根据三角形内角和与外角的性质及等腰三角形的判定可进行求解.【详解】解:(1)如图,点D即为所求;(2)连接AD,∥AB=AC,∥A=108°,∥∥B=∥C=36°,由(1)得:AD=CD,∥∥DAC=∥C=36°,∥∥ADB=∥DAC+∥C=72°,∥BAD=∥BAC﹣∥DAC=108°﹣36°=72°,∥∥BAD=∥BDA,∥AB=BD,∥∥ABD是等腰三角形.【点睛】本题主要考查线段垂直平分线及等腰三角形的判定与性质,熟练掌握各个知识点是解题的关键.。
判断等腰三角形的方法
判断等腰三角形的方法判定方法有:等腰三角形的判定等腰三角形的判定方法1、在一个三角形中,如果一个角的平分线与该角对边上的中线重合,那么这个三角形是等腰三角形。
2、在一个三角形中,如果一个角的平分线与该角对边上的高重合,那么这个三角形是等腰三角形。
3、在一个三角形中,如果一条边上的中线与该边上的高重合,那么这个三角形是等腰三角形。
4、有两条角平分线或中线、或高相等的三角形是等腰三角形。
判定的方式:定义法:在同一三角形中,有两条边相等的三角形是等腰三角形。
判定定理:在同一三角形中,如果两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称:等角对等边)。
除了以上两种基本方法以外,还有如下判定的方式:1、在一个三角形中,如果一个角的平分线与该角对边上的中线重合,那么这个三角形是等腰三角形,且该角为顶角。
2、在一个三角形中,如果一个角的平分线与该角对边上的高重合,那么这个三角形是等腰三角形,且该角为顶角。
3、在一个三角形中,如果一条边上的中线与该边上的高重合,那么这个三角形是等腰三角形,且该边为底边。
显然,以上三条定理是“三线合一”的逆定理。
4、有两条角平分线(或中线,或高)相等的三角形是等腰三角形。
等腰三角形的分类:1、等腰直角三角形:有一个角是直角的等腰三角形,叫做等腰直角三角形。
它是一种特殊的三角形,具有所有等腰三角形的性质,同时又具有所有直角三角形的性质。
2、等边三角形:是三边都相等的等腰三角形。
性质:1、等腰三角形的两个底角度数相等(简写成“等边对等角”)。
2、等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线,底边上的高相互重合(简写成“等腰三角形三线合一”)。
3、等腰三角形的两底角的平分线相等(两条腰上的中线相等,两条腰上的高相等)。
4、等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
5、等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
6、等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)。
根据等腰三角形的证明的所有方法
根据等腰三角形的证明的所有方法介绍本文将讨论关于等腰三角形的证明的多种方法。
等腰三角形是指两边长度相等的三角形。
在几何学中,证明两条边相等的等腰三角形通常需要使用几何定理和性质。
方法一:SAS法SAS法(两边一角)是一种常用于证明等腰三角形的方法。
该方法基于以下两个步骤:1.首先,通过测量两边的长度来确定两边相等。
2.其次,通过测量夹角的大小来证明两边对应角相等。
方法二:SSS法SSS法(三边全等)是另一种证明等腰三角形的方法。
该方法需要满足以下条件:1.三角形的三边长度相等。
2.三角形的三个角度也相等。
方法三:垂直平分线法垂直平分线法是一种利用等腰三角形性质的证明方法。
根据等腰三角形的性质,等腰三角形的顶角的平分线是等腰三角形的底边的垂直平分线。
方法四:底角相等法底角相等法是一种根据等腰三角形的性质证明等腰三角形的方法。
根据等腰三角形的定义,等腰三角形的两个底角是相等的。
方法五:等腰三角形的高线根据等腰三角形的高线性质,等腰三角形的高线是等腰三角形的底边的垂直平分线。
方法六:相似三角形法相似三角形法是一种利用相似三角形性质的证明方法。
通过证明两个相似等腰三角形的对应边长比例相等,可以得出这两个等腰三角形的相等边长相等的结论。
总结等腰三角形可以通过多种方法进行证明,包括SAS法、SSS法、垂直平分线法、底角相等法、等腰三角形的高线和相似三角形法。
这些方法基于等腰三角形的几何定理和性质,可以帮助我们证明等腰三角形的存在和特性。
等腰三角形解题技巧
等腰三角形解题技巧等腰三角形是一种具有特殊性质的三角形,其两边长度相等,两个底角相等。
在解题时,我们可以根据等腰三角形的性质,采用不同的技巧来解决问题。
1. 边相等对于边相等的等腰三角形,可以根据三边长度确定三个内角的大小,从而得到等腰三角形的所有性质。
例如,可以根据三角形内角和公式计算出三角形第三个角的大小,或者根据等腰三角形的对称性,得到底角的大小。
2. 角相等对于角相等的等腰三角形,可以通过角边夹角和圆周角等知识点得到等腰三角形的所有性质。
例如,可以根据角边夹角公式,计算出三角形另外两个角的大小,或者根据圆周角公式,得到三角形三个内角大小的关系。
3. 轴对称对于轴对称的等腰三角形,可以根据对称轴将等腰三角形分成两个全等的直角三角形,从而得到等腰三角形的所有性质。
例如,可以根据轴对称的性质,得到等腰三角形底边中点到顶点的距离等于底边的一半。
4. 运用定理对于一般的等腰三角形,可以根据一些定理来解题,例如“等边对等角”和“等腰三角形底边中点到顶点的距离等于底边的一半”等。
这些定理可以直接应用于解题中,帮助我们快速得到问题的答案。
5. 构造等腰三角形对于一些难以直接解决的题目,可以构造出等腰三角形,从而将题目转化为比较简单的形式。
例如,在证明两个角相等时,可以构造一个等腰三角形,利用其对称性得到两个角相等。
6. 分类讨论对于一些比较复杂的题目,可以将题目进行分类讨论,从而得到解决。
例如,在解决等腰三角形内部一点到三边的距离之和为定值的问题时,可以分别讨论该点在等腰三角形内部的位置,从而得到不同的答案。
7. 转化为线段或角度问题对于一些仍然难以解决的题目,可以将其转化为线段或角度问题,从而找到解决的方法。
例如,在解决等腰三角形内部一点到三边的距离之和为定值的问题时,可以将问题转化为证明两边之和大于第三边的问题,从而利用三角形三边的关系来解决该问题。
等腰三角形证明方法
等腰三角形证明方法
嘿,朋友们!今天咱要来聊聊等腰三角形的证明方法,这可太有意思啦!
比如说,咱看这个三角形 ABC(画一个三角形),要是想证明它是等
腰三角形,那咱可以用量角器量量角 A 和角 C 呀,要是它们相等,嘿嘿,
那这不就是等腰三角形嘛!就像你找宝藏,找到了关键线索一样兴奋!
再或者说,咱可以看看它的两条边 AB 和 AC 是不是一样长,要是一样长,哇塞,那它肯定是等腰三角形呀!这就好比你一眼就看中了一双特别酷的鞋子,就是它了!
还有哦,我们可以通过作辅助线来证明呢!比如从顶点 A 作一条垂线AD 到 BC 边(边说边画辅助线),然后证明三角形 ABD 和三角形 ACD 全等。
这就好像解题遇到困难时,突然找到一条巧妙的路,超级有成就感呀!
总之啊,证明等腰三角形的方法有好多呢,大家一定要仔细琢磨,好好探索呀!
我的观点结论是:等腰三角形的证明方法多样且有趣,值得我们深入研究和掌握!。
等腰三角形的相关要点总结
等腰三角形的相关要点总结1.等腰三角形的判定定理(等角对等边)如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”).例如:如图14-3-11,△ABC中,若∠B=∠C,则AB=AC证明:过点A作AD平分∠BAC,交BC于点D,则∠BAD=∠CAD.在△ABD和△ACD中,∴△ABD≌△ACD(AAS).∴AB=AC因此,这一结论可直接利用.【说明】(1)在使用“等边对等角”或“等角对等边”时,一定要注意是在同一个三角形中才有这一对应关系,不在同一三角形中的边、角没有这一对应关系.(2)有了这一结论,为今后证明线段相等又添了一种重要的解题途径.例如:如图14-3-12,△ABC中,AB=AC,BD、CE相交于O点.且BE=CD求证:OB=OC.证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).在△BCE和△CBD中⎪⎩⎪⎨⎧∠∠,=,=,=CBBCDCBEBCCDBE∴△BCE≌△CBD(SAS).∴∠BCE=∠CBD,即∠OBC=∠BCO∴OB=OC(等角对等边).【说明】证两条线段相等,若这两条线段在同一个三角形中,可利用等腰三角形的判定定理来证明.2.等边三角形(equilateral triangle)(1)定义:三条边都相等的三角形,叫等边三角形.如图14-3-14,△ABC 中,AB=BC=CA,则△ABC为等边三角形.(2)性质:①等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°.如图14-3-14中,若△ABC为等边三角形,则∠A=∠B=∠C=60°.②除此之外,还具有等腰三角形的一切性质,如三线合一,轴对称等.(3)判定:①三个角都相等的三角形是等边三角形.②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.下面证明以上两条判定.判定①:如图14-3-15,已知△ABC中,∠A=∠B=∠C求证:△ABC是等边三角形.证明:∵ ∠B =∠C ,∴ AB =AC又∵ ∠A =∠B ∴ AC =BC∴ AB =AC =BC ,∴ △ABC 是等边三角形.判定②:如图14-3-15,已知△ABC 中,AB =AC ,∠B =60°.求证:△ABC 是等边三角形.证明:∵ AB =AC ,∴ ∠B =∠C .又∵ ∠B =60°,∴ ∠B =∠C =60°.又∵ ∠A +∠B +∠C =180°,∴ ∠A =180°-(∠B +∠C )=60°.∴ ∠A =∠B =∠C ,∴ AB =BC =AC .∴ △ABC 为等边三角形.(4)应用:例如:如图14-3-16,△ABC 为等边三角形,D 、E 为直线BC 上的两点,且BD =BC =CE ,求∠DAE 的度数.分析:要求∠DAE 的度数,需分开求,先求∠BAC ,再求∠DAB 和∠CAE ,由△ABC 为等边三角形知∠BAC =60°,又∵ BD =BC ,而BC =BA ,则BD =BA ,∴ △ABD 为等腰三角形,∴ ∠D =∠DAB =21∠ABC =30°.同理可知,∠CAE =30°.解:∵ △ABC 为等边三角形,∴ AB =BC =AC ,∠BAC =∠ABC =∠ACB =60°.又∵BD=BC,∴BD=BC=AB.∴∠DAB=∠D,又∵∠ABC=∠D+∠DAB,∴∠ABC=2∠DAB=60°,∴∠DAB=30°.同理,∠CAE=30°.∴∠DAE=∠DAB+∠BAC+∠CAE=30°+60°+30°=120°.【说明】本题中用到了等边三角形的性质.再如:如图14-3-17,已知△ABC为等边三角形,D、E、F分别为△ABC三边上的点,且BD=CE=AF,直线AD、BE、CF两两相交于点R、Q、P.求证:△PQR是等边三角形.分析:本题既用到了等边三角形的性质,又用到了其判定.要证△PQR为等边三角形,证三边相等难度较大,可考虑证其三角相等.也可先证∠PQR=60°,而∠PQR=∠ACQ+∠QAC,又因为∠ACQ+∠BCF=60°,只需证∠BCF=∠DAC,由此可联想证△BCF与△CAD全等.证明:∵△ABC为等边三角形,∴∠BAC=∠ABC=∠BCA=60°,AB=BC=CA.又∵BD=CE=AF,∴BF=DC=AE在△ABE和△BCF和△CAD中,⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠,==,==,==CDBFAEDCAFBCBAECABCAB∴△ABE≌△BCF≌△CAD(SAS).∴∠ABE=∠BCF=∠CAD.∵∠ACQ+∠BCF=60°,∴∠ACQ+∠CAQ=60°.∴∠AQF=∠ACQ+∠CAQ=60°,即∠PQR=60°.同理,∠RPQ=∠PRQ=60°.∴△PQR为等边三角形.【说明】(1)此题证明思路比较清晰,只是步骤书写较繁,书写应认真;(2)在证明过程中用到了三个三角形全等的连等形式,可仿照两个三角形全等的方式使用.3.证明线段相等的方法到目前为止,学过的证明线段相等的方法,有以下几种:(1)全等三角形的对应边相等(在两个三角形中).(2)等角对等边(在一个三角形中).(3)轴对称的性质(在某条直线的两侧).(4)角平分线的性质(在角的平分线上的两条线段).(5)中点的概念(在一条直线上).(6)利用第三条等量线段.(7)作辅助线、创造条件.例如:如图14-3-20,点D、E在BC上,AB=AC,AD=AE.求证:BD=CE.分析:因BD与CE在一条直线上,且又在两个三角形中,可考虑证两个三角形全等或用中点的概念进行证明,也可用轴对称的性质进行证明.证法一:用全等三角形∵AB=AC,∴∠B=∠C又∵AD=AE,∴∠ADF=∠AEF.又∵∠ADF=∠B+∠BAD,∠AEF=∠C+∠CAE,∴∠BAD=∠CAE在△ABD和△ACE中,AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,∴△ABD≌△ACE(SAS).∴BD=CE.证法二:用中线如图14-3-20,过A点作AF⊥BC于F.∵AB=AC,AF⊥BC,∴BF=CF(三线合一).又∵AD=AE,AF⊥DE,∴DF=EF(三线合一).∴BF-DF=CF-EF,∴BD=CE.证法三:用轴对称过A作BC边上的垂线,垂足为F.∵AB=AC,AF⊥BC,∴△ABC关于直线AF对称,∴BF=CF.同理,DF=EF.∴BF-DF=CF-EF.即BD=CE.【说明】从以上的证明可以看出,一个结论有多种证明途径和证明方法.4.证明角相等的方法到目前为止,学过的证明角相等的方法,有以下几种:(1)角平分线的定义及性质.(2)全等三角形的对应角相等(在两个三角形中).(3)等边对等角(在一个三角形中).(4)轴对称的性质.(5)找第三等量角(如∠A=∠C,∠B=∠C,则∠A=∠B).(6)作辅助线,创造条件.例如:如图14-3-21,△ABC中,AB=AC,∠1=∠2.求证:∠BAD=∠CAD.分析:要证∠BAD=∠CAD,因两角在两个三角形中,可考虑选用全等三角形和角平分线,以及轴对称进行证明.证法一:用全等三角形∵∠1=∠2,∴DB=DC在△ABD和△ACD中,AB=AC,DB=DC,AD=AD,∴∠ABD≌△ACD(SSS).∴∠BAD=∠CAD.证法二:用轴对称∵∠1=∠2,∴DB=DC∴点D在BC的垂直平分线上.又∵AB=AC,∴A点也在BC的垂直平分线上.∴△ABD与△ACD关于直线AD对称.∴∠BAD=∠CAD(轴对称的性质).证法三:用角平分线∵∠1=∠2,∴DB=DC.又∵AB=AC,∴点A、D都在BC的垂直平分线上.∴AD也为∠BAC的平分线(三线合一).∴∠BAD=∠CAD.例如:如图14-3-22,△ABC中,AD平分∠BAC,AD的垂直平分线交AD 于E,交BC的延长线于F.求证:∠B=∠CAF.分析:要证∠B=∠CAF,根据全等三角形和等腰三角形已不可能,角平分线也用不上,可考虑用第三等量角.证明:∵EF垂直平分AD,∴F A=FD.∴∠1=∠3+∠4.又∵∠ADC为△ABD的外角,∴∠1=∠B+∠2.∴∠B+∠2=∠3+∠4.又∵∠2=∠3,∴∠B=∠4.即∠B=∠CAF.5.得到等腰三角形的方法(1)如图14-3-27,一直线平行于等腰三角形底边,与两腰(或两腰的延长线)相交所得的三角形是等腰三角形.如图中,△ADE是等腰三角形.(2)把一张对边平行的纸,像图14-3-28那样折叠,重合部分是一个等腰三角形.如图中,△FBD是等腰三角形.(3)等腰三角形两底角的平分线的交点与底边两端点组成等腰三角形.(4)等腰三角形两腰上的高的交点与底边两端点构成等腰三角形.(5)等腰三角形两腰上的中线的交点与底边两端点构成等腰三角形.(6)36°角为顶角的等腰三角形,底角的平分线把原等腰三角形分成两个等腰三角形.(7)90°角为顶角的等腰直角三角形,顶角的平分线把原三角形分成两个等腰直角三角形.。
证明等腰三角形的性质
证明等腰三角形的性质等腰三角形是指两边的长度相等的三角形。
在几何学中,等腰三角形具有许多特殊的性质和性质。
本文将证明等腰三角形的一些基本性质。
一、等腰三角形的定义和性质等腰三角形的定义是指两边的边长相等或两个底角相等的三角形。
在等腰三角形ABC中,若AB=AC,则称之为等腰三角形。
在这种情况下,∠B=∠C。
证明:假设等腰三角形ABC中,AB=AC。
我们需要证明∠B=∠C。
构造等腰三角形ABD,使得BD=BC。
根据等腰三角形的性质,有∠BAD=∠BDA。
根据三角形内角和为180°的性质,有∠BDA+∠BAD+∠BCD=180°。
由于∠BDA=∠BAD,所以2∠BDA+∠BCD=180°。
又因为BD=BC,所以∠BCD=∠BDC。
则有2∠BDA+∠BDC=180°。
将∠BDC表示为∠BDA+∠ADC,则可得2∠BDA+∠BDA+∠ADC=180°。
化简得3∠BDA+∠ADC=180°。
由于三角形内角和为180°的性质,得∠BDA+∠ADC=180°-∠BAD。
将∠BAD表示为∠BCA,则可得∠BDA+∠ADC=180°-∠BCA。
归纳得3∠BDA+∠ADC=180°-∠BCA。
3∠BDA+∠ADC和180°-∠BCA都等于180°。
所以3∠BDA+∠ADC=180°。
即∠BDA+∠ADC=180°/3=60°。
由于三角形的角度和相加等于180°,得∠ABC=180°-∠BDA-∠ADC=180°-60°=120°。
同理,可以证明∠ACB=120°。
所以∠ABC=∠ACB=120°,即∠B=∠C。
二、等腰三角形的高线性质在等腰三角形ABC中,高线AH通过顶点A和底边BC的垂直平分线。
证明:首先证明高线AH垂直于底边BC。
等腰三角形的证法
等腰三角形的证法作者:李艳来源:《中学生数理化·八年级数学人教版》2008年第07期三角形的知识是初中数学的重点,而等腰三角形的知识更是重中之重.判定一个三角形是等腰三角形,有两种基本方法:一是证明两角相等,二是证明两边相等.一、根据等角对等边来解决问题例1如图1,AO平分∠BAC,∠1=∠2,试说明△ABC是等腰三角形.思路分析:如图2,由题设可知,∠1=∠2,∠3=∠4.仅有角相等,无论是证AB=AC还是证∠ABC=∠ACB都不够,因此想到作辅助线.由于AO为∠BAC的平分线,根据角平分线的性质,过点O向角的两边作垂线OE、OF,这样得到一对直角和一组边相等:OE=OF.因为∠1=∠2,所以OB=OC.所以Rt△OBE≌Rt△OCF(HL).所以∠5=∠6.所以∠1+∠5=∠2+∠6,即∠ABC=∠ACB.所以AB=AC.△ABC为等腰三角形.点拨:题中有角平分线时,常自角平分线上一点作角两边的垂线.二、两边相等证两边相等,可以考虑下面四种方法.1. 通过三角形全等证线段相等例2如图3所示,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,E是AD延长线上的一点,连接BE、CE.试说明△EBC为等腰三角形.思路分析:根据已知条件AB=AC,AD⊥BC,易知BD=CD.由于AD⊥BC,DE为公共边,可得△BDE≌△CDE(SAS).所以BE=CE.△EBC为等腰三角形.2. 利用线段垂直平分线的性质证线段相等如上面的例2,可以发现AE是线段BC的垂直平分线,由于线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,所以BE=CE.这样就省略去了证△BDE≌△CDE的步骤.3. 利用线段的和与差证线段相等例3如图4所示,在△ABC中,AB=AC,BE=CF,AD⊥BC于D.试问:线段AE与AF 相等吗?思路分析:由于AB=AC,AD⊥BC,由等腰三角形的性质,易知有BD=CD.结合BE=CF 知ED=FD,故AD是线段EF的垂直平分线,于是AE=AF.4. 利用面积法证线段相等例4在△ABC中,AB=AC,P为BC的中点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F.试说明PE=PF.思路分析:连接AP,如图5,根据题意知AP⊥BC,BP=CP.所以△ABP和△ACP的面积相等.而△ABP和△ACP的面积还可以分别通过把AB、AC当作底,PE、PF当作高来表示,即1/2AB·PE=1/2AC·PF.而AB=AC,易得PE=PF.点拨:要证两线段相等,常用三角形全等来证.如果已知条件中有等腰三角形存在,那么等腰三角形三线合一的性质经常会用到.审题时一定要注意中点、垂直等条件.有时候已知条件不够,要适当添加辅助线,常作的辅助线是高(垂线)、平行线等.。
三角形的求证方法
三角形的求证方法在几何学中,求证是一种验证和证明几何定理的方法。
在三角形的求证中,我们需要运用一些基本的几何知识和推理能力。
本文将介绍三角形的一些常见的求证方法,并给出详细的解释和示例。
一、等边三角形的求证方法等边三角形是指三条边的长度都相等的三角形。
求证一个三角形是等边三角形的方法有以下几种:1. 证明三个角都是60度:等边三角形的三个角都是60度,所以可以通过证明三个角都是60度来求证一个三角形是等边三角形。
2. 证明三条边的长度都相等:等边三角形的三条边的长度都相等,所以可以通过证明三条边的长度都相等来求证一个三角形是等边三角形。
例如,我们要证明三角形ABC是等边三角形。
首先,可以通过测量三个角的度数来证明三个角都是60度,然后再通过测量三条边的长度来证明三条边的长度都相等。
二、等腰三角形的求证方法等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形。
求证一个三角形是等腰三角形的方法有以下几种:1. 证明两个角的度数相等:等腰三角形的两个底角的度数相等,所以可以通过证明两个角的度数相等来求证一个三角形是等腰三角形。
2. 证明两条边的长度相等:等腰三角形的两条边的长度相等,所以可以通过证明两条边的长度相等来求证一个三角形是等腰三角形。
例如,我们要证明三角形ABC是等腰三角形。
首先,可以通过测量两个底角的度数来证明两个角的度数相等,然后再通过测量两条边的长度来证明两条边的长度相等。
三、直角三角形的求证方法直角三角形是指一个角度为90度的三角形。
求证一个三角形是直角三角形的方法有以下几种:1. 证明一个角的度数是90度:直角三角形的一个角的度数是90度,所以可以通过证明一个角的度数是90度来求证一个三角形是直角三角形。
2. 证明两条边的平方和等于第三条边的平方:直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方,所以可以通过证明两条边的平方和等于第三条边的平方来求证一个三角形是直角三角形。
例如,我们要证明三角形ABC是直角三角形。
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证明等腰三角形的方法
同一三角形中,有两条边相等的三角形是等腰三角形;同一三角形中,若两角相等,则这两个角所对应边也相等(等角对等边);同一三角形中,若一个角的平分线与该角对边中线重合,则该三角形是等腰三角形,该角为顶角。
等腰三角形的性质与判定
性质:
1.等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)。
2.等腰三角形的顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高重合(简写成“三线合一”)。
3.等腰三角形的两底角的平分线相等(两条腰上的中线相等,两条腰上的高相等)。
4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)。
7.等腰三角形是轴对称图形,最少有一条对称轴,顶角平分线所在的直线是它的对称轴,等边三角形有三条对称轴。
判定:
1.有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
2.有两角相等的三角形是等腰三角形。
3.(斯坦纳—雷米欧斯定理)有两内角平分线到各自对边的长度相等的三角形是等腰三角形。