数列竞赛练习题汇编
竞赛数列训练题
竞赛数列专题训练（1）1．（2009年全国联赛）使不等式1111200712213a n n n +++<-+++对一切正整数n 都成立的最小正整数a 的值为 ．2.正整数n 使得22005n +是完全平方数, 的个位数字是________． 3.（2008年全国联赛）设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：1(1)n n n S a n n -+=+，1,2,n =，则通项n a =________．4.（2007年全国联赛）已知等差数列{a n }的公差d 不为0，等比数列{b n }的公比q 是小于1的正有理数。
若a 1=d ，b 1=d 2，且321232221b b b a a a ++++是正整数，则q 等于________．5.已知数列}{n a 满足,01=a ),2,1(1211 =+++=+n a a a n n n ，则n a =___ ．6.已知数列n x ，满足n x x n n n +=++1)1(, 且21=x ， 则2013x =． 7.（2007年湖北竞赛改编）若数列{}n a 满足：112,3n n a a a +=-=，则=2010a ____． 8.（2009年全国联赛）一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示）9.设40122N =，求不超过1Nn =的最大整数10.（2007年全国联赛） 设∑=-+=nk n k n k a 1)1(1，求证：当正整数n ≥2时，a n +1<a n 。
11.（2007年四川竞赛）已知正整数列}{n a 满足条件：对于任意正整数n ，从集合},,,{21n a a a 中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得的数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与n a a a ,,,21 一起恰好是1至n S 全体自然数组成的集合，其中n S 为数列}{n a 的前n 项和.（1）求21,a a 的值；（2）求数列}{n a 的通项公式.竞赛数列专题训练（1）参考答案1.2009 设()1111221f n n n n =++++++．显然()f n 单调递减，则由()f n 的最大值()1120073f a <-，可得2009a =．2. 解：设222005(0)n m m +=>,则()()2005120055401m n m n -+==⨯=⨯, 得12005m n m n -=⎧⎨+=⎩或5401m n m n -=⎧⎨+=⎩,解得10031002m n =⎧⎨=⎩或203198m n =⎧⎨=⎩, 由10024250210031003⨯+=,知它的个位数字是9, 由1984492203203⨯+=,知它的个位数字也是9．3. 1111(1)(2)(1)n n n n n n n a S S a a n n n n +++-=-=--++++，即 2n n a n n n n n n a ++++-++-+=+)1(111)2)(1(221 =)1(1)2)(1(2+++++-n n a n n n ， 由此得 2)1(1))2)(1(1(1++=++++n n a n n a n n ．令1(1)n n b a n n =++，111122b a =+= (10a =)， 有112n n b b +=，故12n n b =，所以)1(121+-=n n a n n ． 4. 解：因为22111212121321232221114)2()(qq qb q b b d a d a a b b b a a a ++=++++++=++++，故由已知条件知道：1+q +q 2为m 14，其中m 为正整数。
数学奥赛的冲刺数列与级数练习题集
数学奥赛的冲刺数列与级数练习题集一、数列练习题1. 已知数列{an}满足递推关系an = 3an-1 + 4，其中a1 = 2。
求a5的值。
2. 数列{bn}满足递推关系bn = 2bn-1 - 3，其中b1 = 5。
求b6的值。
3. 设数列{cn}满足递推关系cn+1 = cn + 3，且c1 = 1，求c10的值。
4. 已知等差数列{dn}的前n项和为Sn = 2n^2 + 3n，求d5的值。
5. 数列{en}满足递推关系en+1 = en^2 + en，且e1 = 1，求e4的值。
二、级数练习题1. 判断级数∑(1/n^2)的敛散性，并说明理由。
2. 求级数∑(1/2^n)的和。
3. 判断级数∑(n!/n^n)的敛散性，并说明理由。
4. 求级数∑(1/(n(n+1)))的和。
5. 判断级数∑(sqrt(n)/n^2)的敛散性，并说明理由。
三、解题技巧与方法1. 数列的通项公式推导方法。
2. 求等差数列前n项和的方法。
3. 递推数列的求解方法。
4. 求级数部分和的方法。
四、挑战题1. 设数列{fn}满足递推关系fn+1 = fn^2 + 1，且f1 = 1。
求f10的值。
2. 求级数∑(n^3/(n^4 + 1))的和。
3. 设等差数列{gn}的前n项和为Sn = An^3 + Bn^2 + Cn，其中A、B、C为常数，求等差数列{gn}的通项公式。
4. 设级数∑(an)收敛，若bn = an + 1，判断级数∑(bn)的敛散性，并说明理由。
5. 证明级数∑(1/n^2)收敛。
以上是数学奥赛的冲刺数列与级数练习题集，希望能对你的数学能力提升有所帮助。
数列经典题目(竞赛专题)
当an · an+1 为偶数时, 当an · an+1 为奇数时.
证明, 对每个 n ∈ N∗ , 都有 an ̸= 0. 13. (奥地利 − 波兰,1980) 设数列 {an } 满足 |ak+m − ak − am | p, q ∈ N∗ , 都有 ap aq 1 1 − < + . p q p q 14. (苏联莫斯科,1972) 将 0 和 1 之间所有分母不超过 n 的分数都写成既约形式, 再按递增顺序排成一 a c 列. 设 和 是其中任意两个相邻的既约分数, 证明 b d |bc − ad| = 1. 15. (波兰,1978) 对给定的 a1 ∈ R, 用下列方式定义数列 a1 , a2 , · · · : 对 n ∈ N∗ , ( ) 1 an − 1 , 当an ̸= 0时, an an+1 = 2 0, 当a ̸= 0时,
2), x1 = a, x2 = b, 记 Sn = x1 + x2 + · · · + xn , 则下列结 ) (B) x100 = −b, S100 = 2b − a; (D) x100 = −a, S100 = b − a . 1 时,xn+2 等于 xn xn+1 的个位数, 则 x1998 等于 . . . . ( (C) 6; (D) 8 . 2), 则数列的通项公式为 an = . )
的每一项都是整数, 其中 n ∈ N∗ . 并求所有使 an 被 3 整除的 n ∈ N∗ . 19. (捷克,1978) 证明, 数列 bn = ( √ )n ( √ )n 3+ 5 3− 5 − −2 2 2
的每一项都是自然数, 其中 n ∈ N∗ , 并且当 n 为偶数或奇数时分别具有 5m2 或 m2 的形式, 其中 m ∈ N∗ .
数列专项训练试卷
数列专项训练试卷一、选择题（每题5分，共30分）1. 在等差数列{a_n}中，若a_1 = 2，a_3+a_5=10，则a_7=（）A. 5.B. 8.C. 10.D. 14.2. 等比数列{a_n}的公比q = 2，a_1+a_2+a_3=21，则a_3+a_4+a_5=（）A. 42.B. 84.C. 168.D. 336.3. 已知数列{a_n}的前n项和S_n=n^2-2n + 1，则a_n=（）A. 2n - 3，n≥slant2；0，n = 1B. 2n - 3，n≥slant1C. 2n - 1，n≥slant2；0，n = 1D. 2n - 1，n≥slant14. 设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_10=100，S_100=10，则S_110=（）A. - 90.B. 90.C. - 110.D. 110.5. 等比数列{a_n}中，a_3=9，a_5=1，则a_7=（）A. (1)/(9)B. (1)/(3)C. ±(1)/(3)D. (1)/(27)6. 数列{a_n}满足a_n + 1=a_n+2n，a_1=1，则a_n=（）A. n^2-n + 1B. n^2+n - 1C. n^2-1D. n^2+1二、填空题（每题5分，共20分）1. 等差数列{a_n}中，a_2=4，a_4+a_7=15，则a_n=______。
2. 等比数列{a_n}的前n项和S_n=2^n-1，则a_1^2+a_2^2+·s+a_n^2=______。
3. 已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n + 1=3a_n+1，则a_n=______。
4. 数列{a_n}的通项公式a_n=(n + 1)/(n)，则它的前n项和S_n=______。
三、解答题（每题10分，共50分）1. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a_3=5，S_6=36。
求数列{a_n}的通项公式；设b_n=2^a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n。
数列的测试题
数列的测试题
1. 基础题：给定数列的前几项，找出数列的通项公式。
- 题目：数列的前5项为 2, 4, 8, 16, 32，求该数列的通项公式。
2. 中等题：使用等差数列和等比数列的性质解决问题。
- 题目：已知等差数列的第3项为10，第5项为18，求该数列的
首项和公差。
3. 提高题：数列的求和问题。
- 题目：给定等差数列的首项为3，公差为2，求前10项的和。
4. 应用题：将数列问题与实际问题结合起来。
- 题目：某公司每年的利润增长率为5%，如果第一年的利润为100
万元，求5年后的总利润。
5. 综合题：涉及到数列的极限问题。
- 题目：给定数列 1, 1/2, 1/3, 1/4, ...，求该数列的极限。
6. 探索题：发现数列的规律并证明。
- 题目：观察数列 1, 11, 21, 1211, 111221，找出数列的规律并
证明。
7. 计算题：使用数列的性质进行复杂的计算。
- 题目：已知等比数列的首项为2，公比为3，求前6项的和。
8. 证明题：证明数列的性质或定理。
- 题目：证明等差数列中任意两项的等差中项等于这两项的算术平
均数。
9. 开放题：设计一个数列问题并解决。
- 题目：设计一个数列，使得它的前n项和为n^2，求该数列的通项公式。
10. 创新题：使用数列解决非传统问题。
- 题目：在数学竞赛中，每位参赛者需要解决一系列问题。
如果解决一个问题可以获得5分，未解决则扣2分。
如果参赛者想要获得至少20分，他至少需要解决多少个问题？。
竞赛_140331_数列训练题
1.等差数列{}n a 前前n 项和为n S ，已知254523335,25,S S a a ==则6543S a =____________. 2.若,[],{}a a a 依次组成等比数列，则正数a =_________.3.数列中，11126)2(2,1n n n a a n a a n n--==+-≥+，则此数列的通项公式n a =____________. 4.已知数列{}n a 满足*012210,1,,1(n )n n n n a a N a a a a +====∈+,则2013a =_____________.5.已知数列{}n a 满足*113,325n n n a n a a N +∈=+-，{}n a 中只取有穷个不同的数的充要条件是__________. 6.已知2,32n n n a b n ==+，则{}n a 与{}n b 相同的项按照从小到大的顺序组成新数列{}n c ，n c =__________.7.若()1121n n n a a n ++-=-，则60S =_____________.8.已知正数数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：220,n n n n n n a a S c a b +-==，(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若*111,202,()n n b b b n n N -≥=∈=-求数列{}n c 的前n 项和n T .(3)是否存在整数,m M ，使得n m T M <<对任意正整数n 成立，且4M m -= ？说明理由.9. 已知数列{}n a 满足*1(n )n n S a N ∈=-，其中n S 为{}n a 的前n 项.(1)试求{}n a 的通项公式；(2)设11111n n n C a a +=++-，数列{}n c 的前n 项和为n P ，求证：125n P n >-.10.已知数列{}n a 满足2*113,n ,()n n n a a a n N R a λλ+==+∈∈-. (1)若2n a n ≥恒成立，求λ的取值范围.(2)若2λ=-，求证211112222n a a a ++<--+-.11.已知数列{}n a 满足*11(21)21,()2n n nn a n a N a a n n ++=--∈++=，求{}n a 的通项公式.12.设数列{}n a 满足21122(1)1,()2,3n n n a a a a n a --+==≥= (1)求{}n a . (2)求证：对*N k ∀∈都是整数.13.在数列{}n x 中，13,,,1, 4.n n n x R q x p p q x +∈===(1)求证：21;n n n x x x ++=+(2)指出2013x 的末位数字，但不必证明.14.盒中装有红色和蓝色纸牌各100张，每色纸牌都含有标数为2991,3,3,,3的牌各一张，两色纸牌的标数总和记为S ；对于给定的正整数n ，若能从盒中取出若干张牌，使其标数之和恰为n ，便成为一种取牌_n 方案，不同_n 方案的种数记为()f n ，求(1)(2)()f f n f +++.。
数列测试题及答案解析
数列测试题及答案解析一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 数列{an}是等差数列，且a1=2，公差d=3，则a5的值为：A. 11B. 14C. 17D. 20答案：B2. 下列数列中，不是等比数列的是：A. 1, 2, 4, 8, ...B. 2, 4, 8, 16, ...C. 1, 1/2, 1/4, 1/8, ...D. 3, 6, 12, 24, ...答案：D3. 数列{bn}的通项公式为bn=2n-1，该数列的前n项和Sn为：A. n^2B. n^2 - 1C. 2^(n+1) - 1D. 2^(n+1) - 2答案：C4. 等差数列{an}中，若a2+a4=10，则a3的值为：A. 2B. 3C. 4D. 5答案：C5. 数列{cn}的前n项和为Tn，若Tn=n^2+n，则c1+c2+c3+...+c10的值为：A. 100B. 110C. 120D. 130答案：B6. 数列{dn}的前n项和为Sn，若Sn=n^2-n，则dn的通项公式为：A. 2n-1B. 2nC. n-1D. n答案：C7. 数列{en}中，e1=1，e2=2，且对于任意的n∈N*，有en+1/en=n+1，则e3的值为：A. 3B. 4C. 5D. 6答案：A8. 数列{fn}是等比数列，且f1=1，f3=8，则f2的值为：A. 2B. 4C. 8D. 16答案：B9. 数列{gn}中，g1=1，g2=3，且对于任意的n∈N*，有gn+1=2gn+1，则g3的值为：A. 7B. 9C. 11D. 13答案：A10. 数列{hn}的前n项和为Tn，若Tn=2^n-1，则hn的通项公式为：A. 2^(n-1)B. 2^nC. 2^(n-1) - 1D. 2^n - 1答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 等差数列{an}中，若a1=3，d=2，则a10=________。
答案：1512. 数列{bn}的前n项和为Tn，若Tn=n^2+2n，则bn的通项公式为bn=________。
数列大题训练50题-精选.
数列大题训练50题1 ．数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足11a =，2(1)n n S n a =+.（1）求{n a }的通项公式； （2）求和T n =1211123(1)na a n a ++++L . 2 ．已知数列}{n a ，a 1=1，点*))(2,(1N n a a P n n ∈+在直线0121=+-y x 上. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）函数)2*,(1111)(321≥∈++++++++=n N n a n a n a n a n n f n且Λ，求函数)(n f 最小值. 3 ．已知函数xab x f =)( (a ，b 为常数)的图象经过点P （1，81）和Q （4，8）(1) 求函数)(x f 的解析式；(2) 记a n =log 2)(n f ,n 是正整数，n S 是数列{a n }的前n 项和，求n S 的最小值。
4 ．已知y ＝f (x )为一次函数，且f (2)、f (5)、f (4)成等比数列，f (8)＝15．求n S ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )的表达式．5 ．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S c ca =+-，其中c 是不等于1-和0的实常数.（1）求证: {}n a 为等比数列；（2）设数列{}n a 的公比()q f c =，数列{}n b 满足()()111,,23n n b b f b n N n -==∈≥，试写出1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，并求12231n n b b b b b b -+++L 的结果.6 ．在平面直角坐标系中,已知A n (n,a n )、B n (n,b n )、C n (n -1,0)(n ∈N *)，满足向量1+n n A A 与向量n n C B 共线，且点B n (n,b n ) (n ∈N *)都在斜率为6的同一条直线上.(1)试用a 1,b 1与n 来表示a n ;(2)设a 1=a ,b 1=-a ,且12<a ≤15，求数列{a n }中的最小项.7 ．已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且212322a a a +++ (1)2n n a -+8n =对任意的∈n N*都成立，数列1{}n n b b +-是等差数列．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）问是否存在k ∈N *，使得(0,1)k k b a -∈？请说明理由．8 ．已知数列),3,2(1335,}{11K =-+==-n a a a a nn n n 且中（I ）试求a 2，a 3的值； （II ）若存在实数}3{,nn a λλ+使得为等差数列，试求λ的值. 9 ．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()1,211++=⋅=+n n S a n a n n ，（1）求数列{}n a 的通项公式; （2）令n nn S T 2=，①当n 为何正整数值时，1+>n n T T ：②若对一切正整数n ，总有m T n ≤，求m 的取值范围。
初三数学奥数数列练习题
初三数学奥数数列练习题一、等差数列1. 已知等差数列的前三项分别是2，5，8，求第10项的值。
2. 一个等差数列的前5项和为35，前10项和为110，求第15项的值。
3. 在等差数列中，已知第3项与第7项的差是12，求第4项与第10项的差。
4. 等差数列的前6项和为36，第6项与第7项的差为3，求该数列的公差。
5. 已知等差数列的公差为3，第5项为15，求前8项的和。
二、等比数列1. 已知等比数列的前三项分别是2，6，18，求第6项的值。
2. 一个等比数列的前5项和为31，前10项和为1023，求第15项的值。
3. 在等比数列中，已知第3项与第5项的比是4，求第2项与第4项的比。
4. 等比数列的前6项和为63，第6项与第7项的比是2，求该数列的首项。
5. 已知等比数列的首项为3，公比为2，求前8项的和。
三、数列综合1. 已知数列的前三项分别是1，3，6，求第10项的值。
2. 一个数列的前5项和为50，前10项和为200，求第15项的值。
3. 在一个数列中，已知第3项与第7项的差是14，第4项与第10项的差是28，求该数列的公差。
4. 数列的前6项和为72，第6项与第7项的差为6，求该数列的公差。
5. 已知数列的公比为3，第5项为81，求前8项的和。
四、数列应用题1. 小明每天练习钢琴，第一天练习了30分钟，之后每天比前一天多练习10分钟，求小明第8天练习钢琴的时间。
2. 某生物种群的数量以等比数列增长，第一年有100只，第三年有400只，求第五年的种群数量。
3. 一个登山队伍第一天上升了500米，之后每天上升的高度是前一天的2倍，求第五天上升的高度。
4. 某公司年终奖金按等差数列分配，已知第一名员工获得奖金1000元，第五名员工获得奖金1500元，求第十名员工的奖金。
5. 一条直线上的点按等比数列排列，已知第一个点到起点的距离是2米，第三个点到起点的距离是8米，求第五个点到起点的距离。
五、数列的性质与判定5. 给出一个等差数列的前三项，使得该数列的前10项和为100。
六年级下册数学试题 -数学竞赛 数列分组 全国通用版(含答案)
小学数学六年级（2019全国通用）-数学竞赛部分-数列分组（含答案）一、单选题1.如图，将自然数1，2，3，…，按箭头所指方向顺序排列，依次在2，3，5，7等数的位置拐弯，如数2算做第一次拐弯处，那么第15次拐弯处的数是（）A. 64B. 65C. 66D. 67二、填空题2.有一串分数，，,，，，，，，，，，，，，；是第________ 个数．3.自然数列1，2，3，…，n，…，它的第n组含有2n﹣1个数，第10组中各数的和是________ ．4.观察三角形数阵：那么，由上而下的第22行中由左向右的第21个数是________ ，2010是第________ 行第________ 个数．5.给定以下数列：，，，，，，，，，，…，（1）是第________ 项；（2）第244项是________ ；（3）前30项之和是________ ．6.如图，问：第11行最左边的数是________ ．7.在以下数列：，，，，，，，，，，，，…中，居于第________ 项．8.将自然数按以下规律排列，则2012所在的位置是第________ 行第________ 列．9.右图是著名德国数学家莱布尼茨给出的三角形：则排在由上而下的第10行中从右边数第三个位置的数是________ ．10.把自然数1、2、3、4、…按照下面的顺序排列（横排叫行，竖排叫列）．1995这个数排在第________ 行第________ 列．三、计算题11.有一列数：1，1993，1992，1，1991，1990，1，…，从第三个数起，每一个数都是它前面两个数中大数减小数的差，求从第一个起到1993个数这1993个数之和．12.计算（1）1﹣2+3﹣4+5﹣6+…﹣1994+1995（2）1995﹣1992+1989﹣1986+…+9﹣6+3（3）（3+5）+（3+5×2）+…+（3+5×99）+（3+5×100）13.把1，2，3，…，9填在如图的9个圆圈里，然后将任意两个相邻的数相加，得到一些和，要使这些和都不超过整数n，n至少是多少？14.有一数列：101，203，105，207，109，211，…求这数列的前20项的和．四、综合题15.根据下图回答：（1）第一行的第8个数是几？（2）第五行第六列上的数是几？（3）200的位置在哪一格（说出所在行和列的序号）？16.观察下表找规律，并回答下列问题．A：1 6 7 12 …B：2 5 8 11 …C：3 4 9 10 …（1）到2012为止，A、B、C各有多少个数？（2）512和520这两个数分别躲在哪一组？17.设自然数按下图的格式排列：1 2 5 10 17 …4 3 6 11 18 …9 8 7 12 19 …16 15 14 13 20 …25 24 23 22 21 ……（1）200所在的位置是第________ 行，第________ 列；（2）第10行第10个数是________ ．18.自然数按下图所示的方法排列．问：（1）射线b上第1995个数是几？（2）数1995在哪条射线上？19.将奇数按下列方式分组：（1），（3，5），（7，9，11），（13，15，17，19），…．（1）第15组中第一个数是________ ；（2）第15组中所有数的和是________ ；（3）999位于第________ 组第________ 号．五、应用题20.有一个电脑程序，当你输入一个数字时，会输出如图结果：那么当输入4时，输出图形中的数字之和是84．21.在下面的数表中，第100行左边的第一个数是什么？5 4 3 26 7 8 913 12 11 1014 15 16 1721 20 19 18…22.将偶数排成下表：A B C D E2 4 6 816 14 12 1018 20 22 2432 30 28 26…那么，1998这个数在哪个字母下面？23.把40，44，45，63，65，78，99，105这八个数平分成两组，使每组四个数的乘积相等．24.把自然数1～200按下面的方法分成A、B、C三组．试问：（1）每组各有多少个数？最后一个数各是多少？（2）C组的第56个数是几？（3）172在哪一组的第几个数？25.把由1开始的自然数依次写下来：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14…．重新分组，按三个数字为一组：123，456，789，101，112，131，…，问第10个数是几？答案解析部分一、单选题1.【答案】B【考点】数列分组【解析】【解答】解：观察拐弯处的数的规律，可以得到n个拐弯处的数，当n 为奇数时为：1+（1+3+5+…+n）=+1，所以第15次拐弯处的数是：+1=65．故选：B．【分析】解这类题目最好是能找到拐弯次数n与拐弯处的数之间的关系，观察可以发现，当n 为奇数时为1+（1+3+5+…+n）=+1，据此即能求出那么第15次拐弯处的数是多少．二、填空题2.【答案】126或140【考点】数列分组【解析】【解答】解：分母是11的分数一共有；2×11﹣1=21（个）；从分母是1的分数到分母是11的分数一共：1+3+5+7+ (21)=（1+21）×11÷2，=22×11÷2，=121（个）；第一个是第122个数，第一个就是第126个数；第二个就是第140个数．故答案为：126或140．【分析】分母是1的分数有1个，分子是1；分母是2的分数有3个，分子是1，2，1；分母是3的分数有5个，分子是1，2，3，2，1；分母是4的分数有7个；分子是1，2，3，4，3，2，1．分数的个数分别是1，3，5，7…，当分母是n时有2n﹣1个分数；由此求出从分母是1的分数到分母是11的分数一共有多少个；分子是自然数，先从1增加，到和分母相同时再减少到1；因此在这个数列中应该有2个，分别求出即可．3.【答案】1729【考点】数列分组【解析】【解答】第1组到第9组共有自然数：1+3+5+…+（2×9﹣1）==81（个）．因此，第10组第1号数是82，第10组有2×10﹣1=19个数，所以第10组各数之和为．故答案为：1729．【分析】此题关键是读懂题意：由题意知，第1组有2×1﹣1=1个数，即1．第2组有2×2﹣1=3个数，即1，2，3．以此类推．4.【答案】462；45；74【考点】数列分组【解析】【解答】解：（1）通过分析数阵可知：行数×2﹣1=该行数字个数，则第二十一行有：21×2﹣1=41个数．到这一行为止，共有：1+3+5+…+41=441个数，那第22行由左到右的第21个数是441+21=462．（2）从左到右，第几个数上的数就是几，2010应该是第2010个数；可先试下到44行共有多少个数字，第44行有44×2﹣1=87个数字，到这一行为止共有：1+3+5+…+87=（1+87）×44÷2=1936个数字，2010﹣1936=74，说明2010在第45行第74个数字．故答案为：462、45、74．【分析】（1）仔细观察：从左到右，第几个数上的数就是几，而且第一行1个数，第二行3个数，第三5个数…，所以行数×2﹣1=个数，则第二十一行有：21×2﹣1=41个数，到这一行为止，共有：1+3+5+…+41=441个数，那第22行由左到右的第21个数是441+21=462．（2）2010应该是第2010个数，那么1+3+5+…加到多少大概在2010左右呢？由（1）可知，第22行有22×2﹣1=43个数字，第这一行为止，共有1+3+5+…+43=484个数字，离2010个数字很远，试下到44行共有多少个数字，第44行有44×2﹣1=87个数字，到这一行为止共有：1+3+5+…+87=（1+87）×44÷2=1936个数字，2010﹣1936=74，说明2010在第45行第74个数字．5.【答案】429；；17【考点】数列分组【解析】【解答】（1）以分母相同的分数分组，并记分母为n的分数属于第n组，从而是第29组的第23号数，第n组由n个分数组成，从第1组到第28组有1+2+3+...+28==406个分数，因此位于第406+23=429项．（2）因21×20=420，22×21=462，23×22=506，故第244项在第22组，前21组有=231个分数，从而第244项是居于第22组中的第13号数，是．（3）前30项之为1+（1+2）+（1+2+3）+…+（1+2+…+7）++=1+2++3++4+=10+=17．故答案为：429，，17．【分析】从给定的数列看数列中分母是几，以此为分母的数就有几个．比如：分母是4，则以4为分母的数便有4个．同理分母是7的得数有7个，所以第一题分母是29分子是23则前面有28组数加23个数．第二、三题需要试一试前多少组共多少个数．找到合适的组数在确定第几个数．6.【答案】101【考点】数列分组【解析】解：根据分析可得，方法一：10×1+10×（10﹣1）×2÷2+1=101；方法二：第10行最后一个数是：102=100，那么第11行最左边的数是：100+1=101；故答案为：101．【分析】方法一：如果单看第一列的数的排列规律是每次递增1、3、5、7…（等差数列）；根据高斯求和公式，可以求出第11行最左边的数是：10×1+10×（10﹣1）×2÷2+1=101；方法二：单看每一行的最后一个数会发现：最后一个数等于行数的平方，所以第10行最后一个数是：102=100，那么第11行最左边的数是：100+1=101；据此解答．7.【答案】319【考点】数列分组【解析】【解答】解：将分子与分母之和相等者归于同一组：，，，，…，其中在7+19﹣1=25组，是第25﹣7+1=19个数；1至24组共有分数：1+2+3++24==300（个）．所以在原数列中是第300+19=319项．故答案为：319．【分析】首先发现第一个数的分子分母的和为2，第二、第三个数的分子分母的和为3，第四、五、六个数的分子分母的和为4，…，由此将分子与分母之和相等的归于同一组，算出在7+19﹣1=25组，在算出在25组的位置，由此找出规律解决问题．8.【答案】14；45【考点】数列分组【解析】【解答】解：观察发现，第一行的第1、3、5列的数分别为1、9、25，为所在列数的平方，然后向下每一行递减1至与列数相同的行止，第一列的第2、4、6行的数分别为4、16、36，为所在行数的平方，然后向右每一列递减1至与行数相同的列止，因为452=2025，2025﹣2012+1=14，所以自然数2012在左起第45列，上起第14行．故答案为：14，45．【分析】察不难发现，第奇数列的第一行的数为所在列数的平方，然后向下每一行递减一个数至与列数相同的行止，第偶数行的第一列的数是所在行数的平方，然后向右每一列递减1至与行数相同的列止，根据此规律求出与2012最接近的平方数，然后找出所在的列数与行数即可．9.【答案】【考点】数列分组【解析】【解答】解：因为第10行最后一个数是，第9行最后一个数是，第8行最后一个数是，所以第9行倒数第二个数是﹣=，第十行倒数第二个数是﹣=，所以，第10行右数第三个数是﹣=．故答案为：．【分析】通过对已知数据进行观察分析可发现各行的前后两个数分别为行数的倒数，倒数第二个数等于前一行的最后一个数与本行的最后一个数的差，倒数第三个数等于前一行的倒数第二个数与本行的倒数第二个数的差，根据此规律解题即可．10.【答案】五百七十；二【考点】数列分组【解析】【解答】解：1995÷7=285；没有余数，1995里面正好有中285组，是第285组的最后一个数，在第二列；285×2=570；所以1995是第五百七十行，第二列．故答案为：五百七十，二．【分析】把7个连续的数看成一组，每组中前三个数是一行，这三个数是从左到右增大的，后4个数在一行，这4个数按照从右到左增大的；先求出1995里面有多少个这样的一组，还余几，再根据余数进行推算．三、计算题11.【答案】解：1×665+（666+1993）×1328÷2=665+2659×1328÷2=665+1765576=1766241；答：这1993个数的和为1766241．【考点】数列分组【解析】【分析】仔细观察这一数列，若把1抽出，则正好成为一个等差数列：1993，1992，1991，1990，…；在原数列中三个数一组出现一个1，则1993个数1993÷3=664…1．可分为664组，最后一个也是1，即665个1，其余是1993﹣665=1328个数，即除了1之外，最大是1993，最小应是1993﹣1328+1=666，首先算出这1328个数的和再加665个1即可．12.【答案】解：（1）1﹣2+3﹣4+5﹣6+…﹣1994+1995，=1+（3﹣2）+（5﹣4）+…+（1995﹣1994），=998；（2）1995﹣1992+1989﹣1986+…+9﹣6+3=（1995﹣1992）+（1989﹣1986）+…+（9﹣6）+3，=[（1995﹣9）÷6+1]×3+3，=332×3+3，=999；（3）（3+5）+（3+5×2）+…+（3+5×99）+（3+5×100），=（3+3+3+…+3）+（5+5×2+5×3+…5×99+5×100），=3×100+（5+500）×100÷2，=25550．【考点】数列分组【解析】【分析】（1）通过数字发现从最后的数字起，用最后的数字减去前面的数字结果是1，以此类推可以分成（1995﹣1）÷2=997组，最后剩下开头数字1，由此得出结果；（2）从前面开始发现每两个相邻的是相减结果都是3，而被减数和减数是依次减6的数列，所以一共分成（1995﹣9）÷6+1=332组，最后剩下甲3，由此为题得以解决；（3）把括号去掉，重新分组，把100个3放在一起相加，把与5相乘的算式放在一起，利用乘法分配律解答即可．13.【答案】解：设这9个数字分别为a、b、c、d、e、f、g、h、i，由题意得，a+b≤nb+c≤nc+d≤nd+e≤ne+f≤nf+g≤ng+h≤nh+i≤ni+a≤n2（a+b+c+d+e+f+g+h+i）≤9n得出n≥10，当n=10的只有9+1，8+2，7+3，6+4，另一个与9相邻最小是2，因此n=10不符合题意，所以n=11．填图如下：．【考点】数列分组【解析】【分析】不妨设这9个数字分别为a、b、c、d、e、f、g、h、i，根据题意连续相邻的2个圆圈内的数的和均不超过整数n，得出不等式，从而可得出n的最小值，进而将9个数分组填入即可．14.【答案】解：（1）101+（10﹣1）×4=137，（101+137）×10÷2=1190，203+（10﹣1）×4=239，（203+239）×10÷2=2210，前20项的和是：1190+2210=3400．答：这数列的前20项的和是3400．【考点】数列分组【解析】【分析】把这列数字看成两列数，奇数项一列，偶数项一列；奇数列为：101，105，109，…可以看成是公差为4的等差数列，共10项；偶数项为：203，207，211，…可以看成是公差为4的等差数列，共10项；根据等差数量求和公式求解．四、综合题15.【答案】（1）解：如图，所有自然数按自右上至左下以斜线分组：（1），（2，3），（4，5，6），（7，8，9，10），…第n组第1号数是第一行的第n个数．从第1组到第（n﹣1）组有：1+2+3++（n﹣1）=个数，从而第n组第1号数是+1．因此，第1行第8个数是+1=29．（2）解：一般地，自上至下第m行，自左至右第n列上的数在第（m+n﹣1）组中，第五行第六列上的数在第10组中，第10组第1号数是+1=46，第10组在第五行的数是46+5﹣1=50．（3）解：19×20=380，20×21=420，故200在第20组中，第20组第一个数是+1=191，因此数200在第10行第11列的位置上．【考点】数列分组【解析】【分析】按图斜线划分分组比较容易发现（1），（2，3），（4，5，6），（7，8，9，10），…也就是每组的个数分别有1，2，3，4，5，…，第一行的第8个数是几即求前7个组共有多少数？我们还发现：自上而下第m行，自左而右第n列上的数在第（m+n﹣1）组中，照此可以解决第2题．先算出200在哪一组？再算出所在组的第一个数．16.【答案】（1）解：2012÷6=335…2；余数是2，刚好由上往下排2行，A：335×2+1=671（个）；B：335×2+1=671（个）；C：335×2=670（个）．答：A组有671个，B组有671个，C组有670个．（2）解：512÷6=85…2；512在B组；520÷6=86…4；520在C组．答：512在B组，520在C组．【考点】数列分组【解析】【分析】通过观察，每6个数一个循环，占两列，前3个数为一列向下递增排列，后3个数为一列从下向上递增．（1）用2012除以6得到的商乘2得到列数，余数再继续排一下即可得解；（2）用512、520除以6得到的商乘2得到列数，余数再继续排一下即可得．17.【答案】（1）4；15（2）91【考点】数列分组【解析】【解答】解：（1）注意到第一列是完全平方数：1，4，9，16，25，…按（1），（2，3，4），（5，6，7，8，9），分组，则200在196与225之间，属第15组，倒数第4个数，在第4行、第15列上．（2）第10行第10个数是位于第10行第10列上的数91．【分析】（1）我们看出：第一竖列都是行号的平方数．如4=22，9=32，25=52…其数列发展也是按正方形来排列的1→2→3→4，正好构成一个正方形，1→2→3→4→5→6→7→8→9又围成一个较大的正方形，其发展是按顺时针方向来旋转的．由此类推第14行第一列是142=196，此时也是此行最大．200只能在其外一圈的正方形上．200就出现在第15列第4行．（2）第2题也可以得出第10行第1列为102=100，第10个数就得减9即得到91．18.【答案】（1）解：2+（1995﹣1）×3=2+1994×3，=5984；答：射线b上第1995个数是5984．（2）解：因为射线c上的数都为3的倍数，又1995÷3=665，所以数1995在射线C上．答：数1995在射线C上．【考点】数列分组【解析】【分析】通过观察可知，射线b上的数列为等差数列，公差为3，根据高斯求和有关公式可知：末项=首项+（项数﹣1）×公差，所以射线b上第1995个数是2+（1995﹣1）×3；射线c上的数都为3的倍数，而1995÷3=665，1995为3的倍数，所以所以数1995在射线C上．19.【答案】（1）211（2）3375（3）32；4【考点】数列分组【解析】【解答】解：（1）从第1组到第14组的奇数有1+2+3+…+14==105（个）．因此，第15组最初一个数是第106个奇数：2×106﹣1=211．（2）在第15组中的数是以211为首项，公差为2，项数等于15的等差数列，其和是15×211+×2=3375．（3）设999位于第n组，因31×32=992，32×33=1056，所以n=32，第32组最初一个数是：[2×（1+2+…+31）﹣1]+2=993．因此，999是第32组的第4号数．【分析】从分组情况看第几组就有几个奇数如第3组就有三个奇数，第一题先看从第1组到第14组的奇数有多少个，再看下一个奇数是几，第二题利用等差数列来解题比较容易．第三题先求出大致是第几组再利用等差数列求是第几个数．五、应用题20.【答案】解：当n=4时，输出图形是2×4﹣1=7行和7列的数列，数字之和是7+12+15+16+15+12+7=84；答：那么当输入4时，输出图形中的数字之和是84；故答案为：84．【考点】数列分组【解析】【分析】如上图所示，认真观察，发现规律，当n确定后，输出图形是一个数列，行数和列数都是2n﹣1，以n为中心，即第n行和第n列的交叉处的数字是n，向外依次减去1，象花朵一样，层层减去1，直到最外层全部是1；因此得解．21.【答案】解：99×4=396（个）；又因为这个数表中开始的最小的一个数为2，所以，依数列的排列规律可知，第100行的左边第1个数为：396+1+1=398；答：第100行左边的第一个数是398．【考点】数列分组【解析】【分析】因为每行有4个数，前99行共有99×4=396（个）数；这个数表中开始的最小的一个数为2，奇数行是从右到左的顺序依次增加的；偶数行的数是从左到右依次增加的；整个数表可以看成是以2开始的自然数列，第100行的第一个数是第397个数，由此求解．22.【答案】解：1998÷16=124 (14)所以，1998与14同列在B列．【考点】数列分组【解析】【分析】由图表看出：偶数依次排列，每8个偶数一组依次按B、C、D、E、D、C、B、A列顺序排．看A列，E列得到排列顺序是以16为周期来循环的．求出1998里面有多少个这样的周期，还余几，再根据余数判断．23.【答案】解：第一组为40、99、65、63；第二组为44、78、45、105．【考点】数列分组【解析】【分析】这个就需要解公因式：40可以拆分为2×2×2×5，44可拆分为2×2×11，45可拆分为3×3×5，63可拆分为3×3×7，65可拆分为5×13，78可拆分为2×3×13，99可拆分为3×3×11，105可拆分为3×5×7，这样就明确了，把两个7两个11两个13分开，6个2一边三个、4个5分开第一组：2×2×2×5、3×3×11、5×13、3×3×7；第二组：2×2×11、2×3×13、3×3×5、3×5×7；即第一组为40、99、65、63；第二组为44、78、45、105．24.【答案】解：各组中偶数项中的数据及奇数项中的数据有以下特点：奇数项：A组：6n﹣5，B组：6n﹣4，C组：6n﹣3，按竖列递增k=2n﹣1，偶数项：A组：6n，B组：6n﹣1，C组：6n﹣2，按竖列递减k=2n；每一组的第k项k=2n﹣1，k=2n，n=1，2，3…据此可知：（1）200=6×33+2=6×34﹣4（属于B组奇数项），n=34，k=2n﹣1=67；所以：B组有67项最后一个数200，是B组的第67项；A组有67项，最后一个数199，是A组的第67项；C组有66项，最后一个数196，是C组的第66项．（2）C组k=56项n=28是：6×28﹣2=166．（3）172=6×28+4=6×29﹣2 （C组偶数项），C组偶数项，n=29，k=2×29=58，所以，172是C组的第58个数．【考点】数列分组【解析】【分析】完成本题目要根据数列的组数、数横排及竖排的排列特点及规律，结合高斯求和的有关知识进行解答．25.【答案】解：从1到9有9个数字，10到19有20个数字，从1到19一共由29个数字，第28个数字是1，第29个数字是9，下一个数字应是20的第一个数字2，所以第10个三位数是192．【考点】数列分组【解析】【分析】重新分组的是一个三位数，要求第10个数是几，只要求出第28、29、30个数字是多少即可解决问题．。
数列竞赛习题及解答
高中数学竞赛专题讲座之 数列一、选择题部分1．（2006年江苏）已知数列{}n a 的通项公式2245n a n n =-+，则{}n a 的最大项是（ B ）()A 1a()B 2a()C 3a ()D 4a3. （2006吉林预赛）对于一个有n 项的数列P=(p 1，p 2，…，p n )，P 的“蔡查罗和”定义为s 1、s 2、…s n 、的算术平均值，其中s k =p 1+p 2+…p k (1≤k≤n )，若数列(p 1，p 2，…，p 2006)的“蔡查罗和”为2007，那么数列(1，p 1，p 2，…，p 2006)的“蔡查罗和”为 （ A ）A. 2007B. 2008C. 2006D. 10044．(集训试题)已知数列{a n }满足3a n+1+a n =4(n ≥1)，且a 1=9，其前n 项之和为S n 。
则满足不等式|S n -n-6|<1251的最小整数n 是 （ ）A ．5B ．6C ．7D ．8解：由递推式得：3(a n+1-1)=-(a n -1)，则{a n -1}是以8为首项，公比为-31的等比数列， ∴S n -n=(a 1-1)+(a 2-1)+…+(a n -1)=311])31(1[8+--n =6-6×(-31)n ，∴|S n -n-6|=6×(31)n <1251，得：3n-1>250，∴满足条件的最小整数n=7，故选C 。
5．(集训试题)给定数列{x n }，x 1=1，且x n+1=nn x x -+313，则∑=20051n nx= （ ）A ．1B ．-1C ．2+3D ．-2+3解：x n+1=n n x x 33133-+，令x n =tan αn ，∴x n+1=tan(αn +6π), ∴x n+6=x n , x 1=1，x 2=2+3, x 3=-2-3, x 4=-1,x 5=-2+3, x 6=2-3, x 7=1，……，∴有∑===2005111n nx x。
奥赛数列经典例题(含详解)
奥赛数列经典例题（含详解）1．给定正数p ，q ，a ，b ，c ，其中p ≠q 。
若p ，a ，q 是等比数列，p ，b ，c ，q 是等差数列，则一元二次方程022=+-c ax bx （ ）A ．无实根B ．有两个相等实根C ．有两个同号相异实根D ．有两个异号实根2．等比数列3log 2+a ，3log 4+a ，3log 8+a 的公比是_________。
3．设n S n +++=Λ21，n ∈N 。
求1)32()(++=n n S n S n f 的最大值。
4． PC505型文曲星具有选定一组或多组英文单词，根据科学记忆曲线在十四天内进行初记和强化复习的功能。
对于每一组单词（词量自定），初记完成后，文曲星提示“立即复习一遍”，然后在第二、第四天、第七天、第九天、第十天、第十四天，“每天复习一遍”该组单词，其他天无须复习，当你在这十四天内，按时正确地拼写这组单词后，文曲星就不再提示对该组单词的记忆。
高中《英语》第一册（下）生词表中，UNIT17~UNIT20共99个单词，请你将这99个单词适当分组，利用文曲星的强化复习功能，制定一个在20天内记忆99个单词的计划，把每天需要初记的单词数和每天需要初记和复习的单词总数填入下表中，使得每天初记和复习的单词总数不少于10个，且不多于50个。
5．在一圆周上给定2000个点，取其中一点标记上数1，从这点开始按顺时针方向到第二个点标记上数2，从标记上2的点开始按顺时针方向数到第三个点标记上数3（如图3－3），继续这个过程直到1，2，3，…，1993都被标记到点上，圆周上这些点中有些会标记上不止一个数，也有一些点未标记上任何数，在标上1993的那一点上所有标数中最小的数是什么？6．电子器件厂兼营生产和销售某种电子器件，流水线启动后每天生产p ＝500个产品，可销售q ＝400个产品，未售出的产品存入库房，每件产品在库房内每过一夜将支付存储费用r ＝0.2元。
高中数学竞赛试题汇编六《数列》
高中数学竞赛试题汇编六《数列》1.【2010全国】{}n a 是公差不为0的等差数列，{}n b 是等比数列，其中13a =，11b =，22a b =， 533a b =，则n a = ，n b =答案：d=6,q=92.【2013山东】数列{}n a 的前n 项和n S 满足1n n S a =-，则n a =答案：12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭3.【2010河南】设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若59S S =，则35:a a = A.9:5 B. 5:9 C. 3:5 D. 5:34.【2010河北】从满足12211,(1)n n n a a a a a n ++===+≥的数列{}n a 中，依次抽出能被3整除的项组成数列{}n b ，则100b = A.100a B.200a C.300a D.400a 答案：易知4k a 能被3整除，故选D5.【2010山西】数列{}n a 满足2111,n n a a a n +=+=-，则15a =答案：15104a =-6.【2013福建】数列{}n a 满足1132,2n n a a a n +=+=，则na n的最小值为 答案：累加法，(1)32n a n n =-+，321n a n n n =+-，n=6 最小313.7.【2010福建】数列{}n a 满足1112,22n n n a a a ++=-=，则满足10n a >的最小正数n=答案：11122n nn na a ++-=，3n =. 8.【2010江西】数列{}n a ，{}nb 满足1,1,2,3,k k a b k ⋅==L ，已知数列{}n a 前n 项和为1n nA n =+，则数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和为n B = 答案：9.【2010湖北】数列{}n a 满足12211,3,n n n a a a a a ++===-，前n 项和为n S ，100S =答案：9k k a a +=，故100991001210111()89S S a a a a a =+=++++=L 10.【2010江苏】数列{}n a ，{}n b 满足235212312,log ()n n n n a b a a a a n+==L ，则n b = 答案：2(123)5(4)5512322n nn n n a a a a ++++++==L L ，1(4)(4)55n n n n b n ++==11.【2013湖北】数列{}n a 满足0120,1,n n a a a a ===，211n n a a +=+，2013a = 答案：912.【2010江苏】数列{}n a 满足1112,1nn na a a a ++==-，123n n T a a a a =L ，则2010T = 答案：1234112,3,,23a a a a ==-=-=，123441,n n a a a a a a +==， 2010200820092010126T T a a a a =⨯⨯==-13.【2010浙江】数列{}n a {}n b 分别为等差数列和等比数列，且11444,1a b a b ====，则 A. 22a b > B. 33a b < C. 55a b > D. 66a b >答案：A14.【2013江苏】数列{}n a 满足()()4+1+19,130n n n n a a a a a =---=，满足条件的1a 的所有可能值之积是答案：49a =，33a =，21a =，10a =；015.【2013安徽】数列{}n a满足12121,(3)n n n a a a a n --===-≥，则2013a =答案：116.【2013浙江】等比数列{}n a 满足13a =且第1项至第8项的几何平均数为9，则3a = A.B.C.D.答案：B，2733,q a ==16.【2012天津】数列{}n a 的前n 项和22n S n n =-，则317a a +=A. 36B. 35C. 34D. 33 答案：C16.【201河南】已知n a n =，则数列11321n n n a a n c n -+⎧=⎨⨯+⎩为奇数为偶数的前2n 项和2T n = 答案：2122T 222n n n n +=++-3.【2012山西】设等差数列的前n 项和n S ，若10a >，311S S =，则当n S 取得最大值时n = 答案：7n =.3.【2012山东】等差数列{}n a 中，201a a =，2011a b =，20121a c=，则 199********ac bc ab --=答案：0.3.【2012湖北】已知数列{}n a 满足：1a 为正整数，1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩偶为数为奇数，① 若12a =，则4a = ；② 若12329a a a ++=，则1a = ； 答案：5.3.【2012四川】设等比数列{}n a 的前n 项和n S ，满足2(1)4n n a S +=，则20S =答案：0.3.【2012黑龙江】数列{}n a 满足11a =，212a =，1111()2n n n n n a a a a a -+-++=⋅，则2012a = 答案：C3.【2012江苏】在等差数列{}n a 中，44S ≤，515S ≥，则4a 的最小值是199********ac bc ab --= 答案：0.1.【2011天津】正实数1239,,,a a a a L 构成等比数列，且1234a a +=，345615a a a a +++=， 则789a a a ++= 答案：()1314a q +=①，()2231115a q q q q +++=②；②/①得2q =，114a =，789112a a a ++=2.【2011辽宁】设正数数列{}n a 的前n 项之和为n b ，数列{}n b 的前n 项之积为n C ，且满足1n n b c +=，则1na = 答案：1,n n n cbc -=1112b c ==，11n n n c c c -+=，所以1111n n c c --=，易得1,11n n n c b n n ==++ 11(1)n n n a b b n n -=-=+3.【2011福建】已知,n n S T 分别是等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且2142n n S n T n +=-， 则1011318615a ab b b b +=++答案：1010101112020111131861512012012012020a a a a a a S a ab b b b b b b b b b b b T +++=+===++++++4.【2011湖北】数列{}n a 满足12a =，21a =，1212n n n n n n a a a a a a ++++⋅⋅=++，则122011a a a +++=L答案：40225.【2011四川】设等比数列{}n a 的前n 项和n S ，若103010,70S S ==，则40S = 答案：150.6.【2011浙江】已知等差数列{}n a 的前15项和1530S =，则1815a a a ++= 答案：150.。
数学竞赛-数列试题及答案
所 以 ， 数 列 an
2
2 2 n1 2 a1 n1 ． ．所以 an
n1 成 公 比 为 的 等 比 数 列 ， 其 首 项 为
于
an
是
n 1
故 a100 101 298 ． 2． （09）已知 p ， q q 0 是实数，方程 x2 px q 0 有两个实根 ， ，数列 an 满足 a1 p ， 4， a2 p2 q ， an pan1 qan2 n 3 ， (Ⅰ)求数列 an 的通项公式（用 ， 表示） ； (Ⅱ)若 p 1 ， q ，求 an 的前 n 项和． 方法一： (Ⅰ)由韦达定理知 q 0 ，又 p ，所以 an pxn1 qxn2 an1 an2 ， n 3 ， 4， 5， 整理得 an an1 an1 an2 2， ．所以 bn 是公比为 的等比数列． 令 bn an1 an ，则 bn1 bn n 1， 数列 bn 的首项为：
1 1 1 ， ( a1 0 )， b1 a1 2 2 n(n 1)
有 bn 1 1 bn ，故 bn
2
1 ，所以 a n 1n 1 ． n 2 n(n 1) 2
4． (07) 已知等差数列{an}的公差 d 不为 0， 等比数列{bn}的公比 q 是小于 1 的正有理数。 若 a1=d， 2 2 2 a a2 a3 b1=d2，且 1 是正整数，则 q 等于________。 b1 b2 b3 已知等差数列{an}的公差 d 不为 0，等比数列{bn}的公比 q 是小于 1 的正有理数。若 a1=d，b1=d2， 2 2 1 a 2 a2 a3 且 1 是正整数，则 q 等于 。 2 b1 b2 b3
数列经典题目(竞赛专题)
5a2 n + 4, 求证, 对于 an 不可能有某一正整数 N , 使 a2N 能被 1998 整除. )
பைடு நூலகம்
31. 已知 x1 = 6, x2 = 4, xn+2 =
x2 n+1 − 4 , 则数列 {xn } 适合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( xn (A) 只有有限项且满足 xn+2 = 2xn+1 − xn ;
n
1, 其中 m, k ∈ N∗ , 证明, 对任意
证明, 这个数列中有无限多个非正项. 16. (英国,1980) 求所有的 a0 ∈ R, 使得由 an+1 = 2n − 3an , n ∈ N∗ 所确定的数列 a0 , a1 , · · · 是递增的. 17. (奥地利,1972; 保加利亚,1978) 证明, 由条件 a1 , a2 ∈ Z,
n→∞
1 √ , √ (n + 1) n + n n + 1
1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) , n ∈ N∗ , 2 · 4 · 6 · · · 2n lim an . an−1 √ , 要么为 an−1 , 其中 n ∈ N∗ , 试问 2
4. (美国纽约,1974) 在正数列 a0 , a1 , · · · 中, 每个数 an 要么为 这个数列是否有极限属于区间 (0, 1)? 5. (美国,1980; 南斯拉夫,1981) 对给定的自然数 n 级数的最大数目.
35. 已知数列 {xn } 满足 a1 = 5, 且 an = a1 + a2 + · · · + an−1 (n 36. 数列 a, b, a, b, · · · (a ̸= b) 的通项公式 an = . .
数列考试题型及答案解析
数列考试题型及答案解析一、选择题1. 已知数列{a_n}是等差数列，且a_1=3，公差d=2，则a_5的值为（）。
A. 13B. 15C. 17D. 19答案：A解析：根据等差数列的通项公式a_n = a_1 + (n-1)d，代入n=5，a_1=3，d=2，可得a_5 = 3 + (5-1)×2 = 13。
2. 已知数列{a_n}满足a_1=1，且a_{n+1} = 2a_n + 1，求a_3的值。
A. 5B. 7C. 9D. 11答案：C解析：根据题目给出的递推关系，a_2 = 2a_1 + 1 = 2×1 + 1 = 3，再求a_3 = 2a_2 + 1 = 2×3 + 1 = 7，因此a_3的值为9。
二、填空题3. 已知数列{a_n}满足a_1=2，且a_{n+1} = 3a_n - 2，求a_4的值。
答案：14解析：根据递推关系，a_2 = 3a_1 - 2 = 3×2 - 2 = 4，a_3 = 3a_2- 2 = 3×4 - 2 = 10，a_4 = 3a_3 - 2 = 3×10 - 2 = 28。
4. 已知等比数列{a_n}的首项为3，公比为4，求a_5的值。
答案：972解析：根据等比数列的通项公式a_n = a_1 × q^(n-1)，代入n=5，a_1=3，q=4，可得a_5 = 3 × 4^4 = 3 × 256 = 768。
三、解答题5. 已知数列{a_n}满足a_1=1，且a_{n+1} = a_n + n，求a_n的通项公式。
答案：a_n = n(n-1)/2 + 1解析：设S_n为数列{a_n}的前n项和，则S_n = a_1 + a_2 + ... +a_n。
根据题意，a_{n+1} = a_n + n，所以S_{n+1} - S_n = a_{n+1} = a_n + n。
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又，=15363()66－36>1，=1536()78－66<1．故选C．
1.设数列 满足 ，则 .
答案：8041.
由题意， ， ，且
∴ ， .
∴ ，
∴ .
1．设an是(3 的展开式中x项的系数(n=2,3,4,…)，则 )=________.
答案：1530.
推广到一般情形，设 个学生按题设方式排列的方法数为 ,
则 ， ， .
从而， .
∴ .
2.如果自然数a的各位数字之和等于5,那么称a为“吉祥数”,将所有吉祥数从小到大排成一列a1,a2,…,an.若an=2012.则n=_______________. (王继忠供题)
解:设 为吉祥数,则x1+x2+…+xm=5,由x1≥1和x2,…,xm≥0得
2、设数列 满足: ,且对于其中任意三个连续项 ,都有:
.则通项 ．答案： ．
解：由条件得， ，所以，
，故 ，而 ；
；于是 ；
由此得， .
1．（本小题满分16分）若 是大于2的正整数，求
的最小值.
解：当 时，
假设 时,
则当 时，
因此，所求最小值为 .
9．已知数列 满足 ， （ ），求 的通项公式.
9．
(A)150(B)200
(C)150或200(D)50或400
解：首先q≠1，于是，(q10－1)=10，(q30－1)=70，∴q20+q10+1=7．q10=2．(－3舍)
∴S40=10(q40－1)=150．选A．
1．设等差数列{an}满足3a8=5a13且a1>0，Sn为其前项之和，则Sn中最大的是( )
16、解：（I） ，
当 时，由 知 或者 ，（5分）
当 时， ，又 ， ，故 ；
当 时， ，又 ， ，故 ；
当 时， ，
∵ 时， ； 时， ；
∴ 在 处取得最大值，即
综上所述， ．（10分）
（II）当 时，欲证 ，只需证明
∵
所以，当 时，都有 成立．（15分）
（III）当 时，结论显然成立；
当 时，由（II）知
(A)S10(B)S1பைடு நூலகம்(C)S20(D)S21
解：3(a+7d)=5(a+12d)，d=－a，令an=a－a(n－1)≥0，an+1=a－a n<0，得n=20．选C．
2．等比数列{an}的首项a1=1536,公比q=－，用πn表示它的前n项之积。则πn(n∈N*)最大的是( )
(A)π9(B)π11(C)π12(D)π13
令 ,则 ，即数列 是以 ＝4为首项,4为公比的等比数列，所以 .------------------------------------------8分
所以 ,即 .------------------------------------------12分
于是，当 时,
，
因此, ------------------------------------------16分
．
所以，对任意正整数 ，都有 成立．（20分）
3．（本小题满分20分）数列 满足 ，当 时有 .证明：对所有整数 ，有 .
证法1：
证明：由已知得 ，在上式中以 代替 得到 ，
两式相减得 ，此式对所有整数 均成立.
设 ，则
由于 ，故 应在 与 之间.由于 ，故 .因此当 时，均有 ，故 ，证毕.
证法2：
.
9.（20分）设数列 满足 ， ， .求 的通项公式.
9.解：特征根法.又 ， ，…………（10分）
得 ，
于是 .………………（20分）
9．已知正项数列 满足 且 ， ，求 的通项公式．
解在已知等式两边同时除以 ，得 ，
所以 ．------------------------------------------4分
(A)5(B)6(C)7(D)8
解：(an+1－1)=－(an－1)，即{an－1}是以－为公比的等比数列，
∴an=8(－)n－1+1．∴Sn=8·+n=6+n－6(－)n，6·<，n≥7．选C．
3．给定数列{xn}，x1=1，且xn+1= ，则 =（）
A．1B．-1C．2+ D．-2+
3．xn+1= ，令xn=tanαn，∴xn+1=tan(αn+ ),∴xn+6=xn, x1=1，x2=2+ , x3=-2- , x4=-1, x5=-2+ , x6=2- , x7=1，……，∴有 。故选A。
(x1-1)+x2+…+xm=4,所以, 为第 个吉祥数. 为第 个吉祥数.
由此得:一位吉祥数共1个,二位吉祥数共 个,三位吉祥数共 个,
因以1为首位的四位吉祥数共 个,以2为首位的前两个四位吉祥数为:
2003和2012.故n=1+5+15+15+2=38.
3．各项均为实数的等比数列{an}前n项之和记为Sn,若S10=10,S30=70,则S40等于( )
由二项式定理知， ，因此
= =18.
11．已知数列a0，a1，a2，…，an，…满足关系式(3－an+1)(6+an)=18，且a0=3，则的值是；
解：=+，令bn=+，得b0=，bn=2bn－1，bn=2n．即=，=(2n+2－n－3)．
3、已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n项之和为Sn，则满足不等式|Sn－n－6|<的最小整数n是
证明：用归纳法证明加强命题：an≥n≥3．
1当n= 3, 4时，
a3= 1≥,a4=≥．
9.已知数列 满足 ，且 。
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 为非零常数，若数列 是等差数列，记 ，求
11.设 为正实数，且 ，求证：
16、设函数 在 上的最大值为 （ ）．
（I）求数列 的通项公式；
（II）求证：对任何正整数 ，都有 成立；
（III）设数列 的前 项和为 ，求证：对任意正整数 ，都有 成立．
7．椭圆 的短轴长等于 ．
【解】 故 ．从而 ．
4、设 ，则函数 的最大值是．
答案： ．
解：由 ，所以，
，即 ，当 ，即
时取得等号．
5、 ．答案： ．
解：
．
8.10名学生站成一排，要给每名学生发一顶红色、黄色或者蓝色的帽子，要求每种颜色的帽子都要有，且相邻的两名学生帽子的颜色不同.则满足要求的发帽子的方法共有种.