数列竞赛练习题汇编
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答案：1530.
推广到一般情形，设 个学生按题设方式排列的方法数为 ,
则 ， ， .
从而， .
∴ .
2.如果自然数a的各位数字之和等于5,那么称a为“吉祥数”,将所有吉祥数从小到大排成一列a1,a2,…,an.若an=2012.则n=_______________. (王继忠供题)
解:设 为吉祥数,则x1+x2+…+xm=5,由x1≥1和x2,…,xm≥0得
解：πn=1536n×(－)，故π11<0，π9，π12，π13>0．作商比较：
又，=15363()66－36>1，=1536()78－66<1．故选C．
1.设数列 满足 ，则 .
答案：8041.
由题意， ， ，且
∴ ， .
∴ ，
∴ .
1．设an是(3 的展开式中x项的系数(n=2,3,4,…)，则 )=________.
(x1-1)+x2+…+xm=4,所以, 为第 个吉祥数. 为第 个吉祥数.
由此得:一位吉祥数共1个,二位吉祥数共 个,三位吉祥数共 个,
因以1为首位的四位吉祥数共 个,以2为首位的前两个四位吉祥数为:
2003和2012.故n=1+5+15+15+2=38.
3．各项均为实数的等比数列{an}前n项之和记为Sn,若S10=10,S30=70,则S40等于( )
由二项式定理知， ，因此
= =18.
11．已知数列a0，a1，a2，…，an，…满足关系式(3－an+1)(6+an)=18，且a0=3，则的值是；
解：=+，令bn=+，得b0=，bn=2bn－1，bn=2n．即=，=(2n+2－n－3)．
3、已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n项之和为Sn，则满足不等式|Sn－n－6|<的最小整数n是
(A)S10(B)S11(C)S20(D)S21
解：3(a+7d)=5(a+12d)，d=－a，令an=a－a(n－1)≥0，an+1=a－a n<0，得n=20．选C．
2．等比数列{an}的首项a1=1536,公比q=－，用πn表示它的前n项之积。则πn(n∈N*)最大的是( )
(A)π9(B)π11(C)π12(D)π13
9.已知数列 满足 ，且 。
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 为非零常数，若数列 是等差数列，记 ，求
11.设 为正实数，且 ，求证：
16、设函数 在 上的最大值为 （ ）．
（I）求数列 的通项公式；
（II）求证：对任何正整数 ，都有 成立；
（III）设数列 的前 项和为 ，求证：对任意正整数 ，都有 成立．
(A)5(B)6(C)7(D)8
解：(an+1－1)=－(an－1)，即{an－1}是以－为公比的等比数列，
∴an=8(－)n－1+1．∴Sn=8·+n=6+n－6(－)n，6·<，n≥7．选C．
3．给定数列{xn}，x1=1，且xn+1= ，则 =（）
A．1B．-1C．2+ D．-2+
3．xn+1= ，令xn=tanαn，∴xn+1=tan(αn+ ),∴xn+6=xn, x1=1，x2=2+ , x3=-2- , x4=-1, x5=-2+ , x6=2- , x7=1，……，∴有 。故选A。
证明：用归纳法证明加强命题：an≥n≥3．
1当n= 3, 4时，
a3= 1≥,a4=≥．
16、解：（I） ，
当 时，由 知 或者 ，（5分）
当 时， ，又 ， ，故 ；
当 时， ，又 ， ，故 ；
当 时， ，
∵ 时， ； 时， ；
∴ 在 处取得最大值，即
综上所述， ．（10分）
（II）当 时，欲证 ，只需证明
∵
所以，wk.baidu.com 时，都有 成立．（15分）
（III）当 时，结论显然成立；
当 时，由（II）知
7．椭圆 的短轴长等于 ．
【解】 故 ．从而 ．
4、设 ，则函数 的最大值是．
答案： ．
解：由 ，所以，
，即 ，当 ，即
时取得等号．
5、 ．答案： ．
解：
．
8.10名学生站成一排，要给每名学生发一顶红色、黄色或者蓝色的帽子，要求每种颜色的帽子都要有，且相邻的两名学生帽子的颜色不同.则满足要求的发帽子的方法共有种.
2、设数列 满足: ,且对于其中任意三个连续项 ,都有:
.则通项 ．答案： ．
解：由条件得， ，所以，
，故 ，而 ；
；于是 ；
由此得， .
1．（本小题满分16分）若 是大于2的正整数，求
的最小值.
解：当 时，
假设 时,
则当 时，
因此，所求最小值为 .
9．已知数列 满足 ， （ ），求 的通项公式.
9．
．
所以，对任意正整数 ，都有 成立．（20分）
3．（本小题满分20分）数列 满足 ，当 时有 .证明：对所有整数 ，有 .
证法1：
证明：由已知得 ，在上式中以 代替 得到 ，
两式相减得 ，此式对所有整数 均成立.
设 ，则
由于 ，故 应在 与 之间.由于 ，故 .因此当 时，均有 ，故 ，证毕.
证法2：
令 ,则 ，即数列 是以 ＝4为首项,4为公比的等比数列，所以 .------------------------------------------8分
所以 ,即 .------------------------------------------12分
于是，当 时,
，
因此, ------------------------------------------16分
(A)150(B)200
(C)150或200(D)50或400
解：首先q≠1，于是，(q10－1)=10，(q30－1)=70，∴q20+q10+1=7．q10=2．(－3舍)
∴S40=10(q40－1)=150．选A．
1．设等差数列{an}满足3a8=5a13且a1>0，Sn为其前项之和，则Sn中最大的是( )
.
9.（20分）设数列 满足 ， ， .求 的通项公式.
9.解：特征根法.又 ， ，…………（10分）
得 ，
于是 .………………（20分）
9．已知正项数列 满足 且 ， ，求 的通项公式．
解在已知等式两边同时除以 ，得 ，
所以 ．------------------------------------------4分
推广到一般情形，设 个学生按题设方式排列的方法数为 ,
则 ， ， .
从而， .
∴ .
2.如果自然数a的各位数字之和等于5,那么称a为“吉祥数”,将所有吉祥数从小到大排成一列a1,a2,…,an.若an=2012.则n=_______________. (王继忠供题)
解:设 为吉祥数,则x1+x2+…+xm=5,由x1≥1和x2,…,xm≥0得
解：πn=1536n×(－)，故π11<0，π9，π12，π13>0．作商比较：
又，=15363()66－36>1，=1536()78－66<1．故选C．
1.设数列 满足 ，则 .
答案：8041.
由题意， ， ，且
∴ ， .
∴ ，
∴ .
1．设an是(3 的展开式中x项的系数(n=2,3,4,…)，则 )=________.
(x1-1)+x2+…+xm=4,所以, 为第 个吉祥数. 为第 个吉祥数.
由此得:一位吉祥数共1个,二位吉祥数共 个,三位吉祥数共 个,
因以1为首位的四位吉祥数共 个,以2为首位的前两个四位吉祥数为:
2003和2012.故n=1+5+15+15+2=38.
3．各项均为实数的等比数列{an}前n项之和记为Sn,若S10=10,S30=70,则S40等于( )
由二项式定理知， ，因此
= =18.
11．已知数列a0，a1，a2，…，an，…满足关系式(3－an+1)(6+an)=18，且a0=3，则的值是；
解：=+，令bn=+，得b0=，bn=2bn－1，bn=2n．即=，=(2n+2－n－3)．
3、已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n项之和为Sn，则满足不等式|Sn－n－6|<的最小整数n是
(A)S10(B)S11(C)S20(D)S21
解：3(a+7d)=5(a+12d)，d=－a，令an=a－a(n－1)≥0，an+1=a－a n<0，得n=20．选C．
2．等比数列{an}的首项a1=1536,公比q=－，用πn表示它的前n项之积。则πn(n∈N*)最大的是( )
(A)π9(B)π11(C)π12(D)π13
9.已知数列 满足 ，且 。
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 为非零常数，若数列 是等差数列，记 ，求
11.设 为正实数，且 ，求证：
16、设函数 在 上的最大值为 （ ）．
（I）求数列 的通项公式；
（II）求证：对任何正整数 ，都有 成立；
（III）设数列 的前 项和为 ，求证：对任意正整数 ，都有 成立．
(A)5(B)6(C)7(D)8
解：(an+1－1)=－(an－1)，即{an－1}是以－为公比的等比数列，
∴an=8(－)n－1+1．∴Sn=8·+n=6+n－6(－)n，6·<，n≥7．选C．
3．给定数列{xn}，x1=1，且xn+1= ，则 =（）
A．1B．-1C．2+ D．-2+
3．xn+1= ，令xn=tanαn，∴xn+1=tan(αn+ ),∴xn+6=xn, x1=1，x2=2+ , x3=-2- , x4=-1, x5=-2+ , x6=2- , x7=1，……，∴有 。故选A。
证明：用归纳法证明加强命题：an≥n≥3．
1当n= 3, 4时，
a3= 1≥,a4=≥．
16、解：（I） ，
当 时，由 知 或者 ，（5分）
当 时， ，又 ， ，故 ；
当 时， ，又 ， ，故 ；
当 时， ，
∵ 时， ； 时， ；
∴ 在 处取得最大值，即
综上所述， ．（10分）
（II）当 时，欲证 ，只需证明
∵
所以，wk.baidu.com 时，都有 成立．（15分）
（III）当 时，结论显然成立；
当 时，由（II）知
7．椭圆 的短轴长等于 ．
【解】 故 ．从而 ．
4、设 ，则函数 的最大值是．
答案： ．
解：由 ，所以，
，即 ，当 ，即
时取得等号．
5、 ．答案： ．
解：
．
8.10名学生站成一排，要给每名学生发一顶红色、黄色或者蓝色的帽子，要求每种颜色的帽子都要有，且相邻的两名学生帽子的颜色不同.则满足要求的发帽子的方法共有种.
2、设数列 满足: ,且对于其中任意三个连续项 ,都有:
.则通项 ．答案： ．
解：由条件得， ，所以，
，故 ，而 ；
；于是 ；
由此得， .
1．（本小题满分16分）若 是大于2的正整数，求
的最小值.
解：当 时，
假设 时,
则当 时，
因此，所求最小值为 .
9．已知数列 满足 ， （ ），求 的通项公式.
9．
．
所以，对任意正整数 ，都有 成立．（20分）
3．（本小题满分20分）数列 满足 ，当 时有 .证明：对所有整数 ，有 .
证法1：
证明：由已知得 ，在上式中以 代替 得到 ，
两式相减得 ，此式对所有整数 均成立.
设 ，则
由于 ，故 应在 与 之间.由于 ，故 .因此当 时，均有 ，故 ，证毕.
证法2：
令 ,则 ，即数列 是以 ＝4为首项,4为公比的等比数列，所以 .------------------------------------------8分
所以 ,即 .------------------------------------------12分
于是，当 时,
，
因此, ------------------------------------------16分
(A)150(B)200
(C)150或200(D)50或400
解：首先q≠1，于是，(q10－1)=10，(q30－1)=70，∴q20+q10+1=7．q10=2．(－3舍)
∴S40=10(q40－1)=150．选A．
1．设等差数列{an}满足3a8=5a13且a1>0，Sn为其前项之和，则Sn中最大的是( )
.
9.（20分）设数列 满足 ， ， .求 的通项公式.
9.解：特征根法.又 ， ，…………（10分）
得 ，
于是 .………………（20分）
9．已知正项数列 满足 且 ， ，求 的通项公式．
解在已知等式两边同时除以 ，得 ，
所以 ．------------------------------------------4分